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Capitulo II
Marco Terico
2.1 INTRODUCCIN
En este capitulo se dan a conocer todos los conceptos, mtodos, investigaciones,
ensayos y otros, que sern necesarios para el anlisis a realizar que en base a lo
mencionado se podrn lograr las hiptesis planteadas.
Juliaca el lugar de estudio requiere de una evaluacin y estudio. Ver las
caractersticas que presenta, cuan vulnerable es. Ver como se encuentra con lo
establecido por la Norma sismorresistente Peruana (RNE E-030).
En principio la investigacin es realizada en concreto armado, con el sistema
aporticado, por lo que se requiere del estudio del concreto armado en su anlisis y
diseo. Todo esto por las fuerzas que intervienen sobre estas estructuras como la
presencia de sismo, lo cual hace necesario el estudio de la sismologa, los que
generan desplazamientos haciendo as su incursin en el rango inelstico (no-
lineal) y estos anlisis realizarlos por mtodos matriciales que nos ayudan a realizar
estos clculos.
En este capitulo se concluye con el estudio del anlisis por desempeo, su
procedimiento, metodologa, evaluacin, verificacin y lo establecido por las
propuestas para el Diseo por Desempeo (ATC, FEMA, VISION y la propuesta para
la norma E-030). Para luego pasar a la aplicacin en la ciudad de Juliaca.
Captulo II Marco Terico 8
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2.2 CARACTERSTICAS FISIOGRFICAS DE LA REGIN
2.2.1 Datos Generales
La ciudad de Juliaca est localizada, en la regin del sur peruano, ubicada
bsicamente en la parte central de la meseta del Kollao en la cordillera del sur
entre las cadenas Oriental y Occidental de los andes meridionales o andes del sur a
3825 metros sobre el nivel del mar en la zona central, 3854 (m.s.n.m.) en la zona
del aeropuerto, 3828 (m.s.n.m.) en el puente Maravillas , 4139 (m.s.n.m.) en la cima
del cerro Monos, de acuerdo a la clasificacin regional del Dr. Javier Pulgar Vidal, la
ciudad de Juliaca se encuentra en la zona de Tierras Altas o regin SUNI.
De acuerdo al Instituto Nacional de Estadstica e Informtica (INEI), la ciudad de
Juliaca se encuentra entre las siguientes coordenadas geogrficas.
15 29 24 de latitud Sur; y 70 08 00 de Longitud Oeste
Figura 2.2.1 Localizacin de la ciudad de Juliaca.
En lo respecto a la presin atmosfrica en promedio en la ciudad de Juliaca es
de 644.5 milibares (mb). La presin Atmosfrica varia de estacin a estacin as
como en el curso del da.
Captulo II Marco Terico 9
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Figura 2.2.2 Panorama de la ciudad de Juliaca - Per.
2.2.2 Descripcin Geolgica
El entorno de la ciudad de Juliaca, presenta dos relieves uno plano y otro saliente, la
mayor parte de la superficie esta constituido por extensas llanuras, con ligeras
ondulaciones; estos suelos estas formados por depsitos aluviales y lacustre. Las
fuerzas erosivas de la naturaleza dieron la actual configuracin a los cerros, los
mismos que, en la generalidad de casos; se caracterizan por tener colinas con cimas
casi redondeadas.
Figura 2.2.3 Panorama Geolgico de la ciudad de Juliaca.
Captulo II Marco Terico 10
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2.2.3 Amenaza Ssmica
Es la probabilidad de ocurrencia de un suceso potencialmente desastroso durante
cierto periodo de tiempo en un lugar determinado.
2.2.3.1 Tectnica y sismicidad
Emplazamiento tectnico.
El Per est localizado dentro de una de las zonas ssmicas ms activas de la tierra
denominada Anillo Circunpacfico. Su emplazamiento tectnico es complejo, debido
a que en su territorio convergen las placas tectnicas: la placa de Nazca, la placa
Sudamericana (ver Figura 2.2.4). Estas placas interactan creando esfuerzos de
compresin, traccin y corte dentro de la regin, los cuales generan acumulacin de
energa. Las zonas ms activas, ssmicamente hablando, estn localizadas en la
regin andina del pas, la cual est compuesta de tres cordilleras: occidental, oriental
y central; de stas la ms antigua es la central y la ms reciente es la oriental,
conformando un ambiente morfolgico complejo que, en la actualidad sigue siendo
motivo de investigacin.
Figura 2.2.4 Emplazamiento tectonico.
Captulo II Marco Terico 11
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Sismos que se deben de tomar en cuenta
09 de Abril de 1928.- Movimiento ssmico de grado VII en la escala de Mercalli
Modificada, a las 12:30 horas, destruy Ayapata, y Tatua Ollachea, Departamento
de Puno; saldo cinco muertos. 27 de Abril de 1928.- 15.30 horas Epicentros: Ayapata (PUNO) Se produjo una
fuerte rplica del sismo anterior, que afecto la regin montaosa de Esquilaya. En
Macusani se sinti fuerte y en la Paz-Bolivia dbil. El Observatorio de San Calixto
registr desde, el 9 de abril unas 200 rplicas provenientes de esa regin.
26 de Febrero de 1952.- Movimiento ssmico de magnitud 7,5 en la escala de
Richter a las 06:31 horas afect Coasa y Macusani en Puno.
5 de Abril de 1966.- (Tras un largo silencio ssmico) terremoto en Cusco a las 15:15
horas, deja 27 muertos, 125 heridos, 2 mil damnificados. Magnitud de 5.8 grados
Richter.
14 de Febrero de 1970.- 06:18 horas fuerte sismo en Panao, provincia de Pachitea,
departamento de Hunuco, 10 muertos y un nmero no precisado de casas
destruidas.
31 de Mayo de 1970.- 15.23 horas terremoto de magnitud 7.8 y gran aluvin en el
Callejn de Huaylas: 67 mil muertos, 150 mil heridos.
5 de Mayo de 1971.- En la localidad de Sihuas, Ancash, a las 12 horas 48 minutos.
Violento sismo. Cinco muertos y treinta heridos.
14 de Octubre de 1971.- Sismo intenso a las 05:34 horas en Aymaraes,
departamento de Apurmac. Cuatro muertos y 15 heridos. El 40% de las viviendas
daadas y 10% destruidas.
23 de Julio de 1988.- 14:30 horas terremoto de 6.2 grados en la escala de Richter.
Afect Maca, Lare y otras localidades del Valle del Colca en Arequipa: 12 muertos.
70 heridos, 800 damnificados, 323 viviendas derrumbadas, 5 locales pblicos
destruidos.
4 de Octubre de 1995.- Un temblor de 4 grados sacudi las localidades cuzqueas
de Pillpinto, Acos, Sangarar y Pomacanchi. En Pillpinto la mayora de las viviendas
fueron severamente afectadas.
31 de Octubre de 1999.- Se produce un violento movimiento ssmico en el distrito
de Chuschi Cangallo departamento de Ayacucho. Magnitud de 4 escala de Ritcher
caus graves daos en las viviendas que en su totalidad son de material rstico.
Provocando 26 heridos (6 graves evacuados al hospital de Huamanga, 14 heridos
Captulo II Marco Terico 12
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leves se atendieron en puesto de socorro), gran nmero de viviendas afectadas que
requieren reparacin y 355 viviendas destruidas.
08 de Agosto de 2003.- Se registraron 02 movimientos ssmicos de regular
intensidad en el distrito de Capacmarca, provincia de Chumbivilcas, departamento
del Cusco, que causaron daos en diversos lugares de los departamentos del Cusco
y Apurmac, dejando un total de 1,112 personas damnificadas, 4,793 personas
afectadas, 1,173 viviendas afectadas, 250 viviendas destruidas.
Estos sismos ocurrieron en la sierra y los tres primeros en el departamento de Puno,
donde predomina una aceleracin del suelo de 0.30g.16
2.2.4 Demanda Ssmica
Para representar la demanda ssmica en la ciudad de Juliaca, se utilizan: Los
espectros de diseo de la Norma Peruana (E-030).
2.2.4.1 Espectros elsticos de diseo de la Norma Peruana E-030
Los espectros elsticos de la norma peruana estn establecidos a partir de los
parmetros de Suelo y del factor de amplificacin ssmica (C), con los que se podr
obtener los espectros elsticos normalizados para cada tipo de suelo.24
Espectro Elstico de acuerdo al Suelo
0.00
0.501.00
1.50
2.00
2.503.00
3.50
4.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Periodo (seg)
SC
Figura 2.2.5 Espectro Elstico de la Norma E-030.
Captulo II Marco Terico 13
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Los parmetros de sitio como, la zonificacion, condiciones locales, factor de
amplificacin ssmica, micro zonificacin ssmica (Estudios se sitio), coeficiente de
importancia. Son datos requeridos en el anlisis de la demanda ssmica, los que se
encuentran en la Norma Peruana E-030. 24
2.2.5 Peligro Ssmico
El Peligro Ssmico depende bsicamente del panorama sismo tectnico de la ciudad
de Juliaca, en este caso como lugar de estudio, as como tambin de sus
caractersticas del suelo y la topografa local.21
Estudio de peligro ssmico para el departamento de Puno.
En el Departamento de Puno se realizo un estudio realizado por el Ing. Guillermo
Bustamante Vsquez. Prediciendo probabilsticamente las posibles aceleraciones
mximas que podran ocurrir en el departamento en estudio, considerando los datos
de sismos pasados y las caractersticas tectnicas asociadas a la actividad ssmica,
trabajo con el catlogo ssmico del Instituto Geofsico del Per (IGP) actualizado
hasta el ao 2001. Esta revisin y actualizacin del catlogo incluye la depuracin
de sismos cuyas intensidades son menores a IV, por ser un sismo leve. En ese
estudio se determino los siguientes parmetros sismolgicos: 21
FUENTES COORDENADAS GEOGRFICAS
-81.17 -9.00 -79.27 -7.90 FUENTE 1
-77.00 -14.80 -75.84 -13.87
-77.00 -14.80 -75.84 -13.87 FUENTE 2
-74.16 -17.87 -73.00 -16.53
-74.16 -17.87 -73.00 -16.53
-71.85 -19.87 -69.21 -19.00 FUENTE 3
-71.85 -22.00 -69.21 -22.00
-75.84 -13.87 -74.76 -13.13 FUENTE 4
-73.00 -16.53 -71.41 -14.67
FUENTE 5 -73.00 -16.53 -71.41 -14.67
Captulo II Marco Terico 14
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-69.71 -18.67 -68.12 -16.13
-74.76 -13.13 -72.48 -11.40 FUENTE 6
-68.12 -16.13 -67.76 -13.80
Tabla 2.2.1 Coordenadas geogrficas de las Fuentes de subduccin superficiales y de las fuentes continentales.
FUENTES COORDENADAS GEOGRFICAS
-79.80 -8.13 -77.17 -6.53 FUENTE 7
-76.38 -14.30 -73.86 -12.46
-76.38 -14.30 -73.86 -12.46 FUENTE 8
-73.28 -16.87 -71.21 -14.40
-73.28 -16.87 -71.21 -14.40
-70.86 -18.80 -68.93 -15.73 FUENTE 9
-70.38 -22.00 -67.98 -22.00
Tabla 2.2.2 Coordenadas geogrficas de las Fuentes de subduccin intermedias y profundas.
El anlisis de Peligro Ssmico lo realizo aplicando la metodologa desarrollada por A.
Cornell en 1968 en trminos probabilsticas, metodologa que fue modificada e
implementada en el programa de cmputo de RISK por Mc Guirre (1976). Esta
metodologa integra informacin sismo tectnico, parmetros sismolgicos, y leyes
de atenuacin regionales para diferentes mecanismos de ruptura. El resultado es
una curva de peligro ssmico, donde se relaciona la aceleracin y la probabilidad
anual de excedencia.
FUENTE Mmn Mmx TASA BETA PROFUNDIDAD (KM)
F1 4 8.0 8.56 3.14 30
F2 4 8.2 5.58 3.62 40
F3 4 8.2 5.33 3.25 50
F4 4 7.0 0.52 5.59 65
F5 4 7.5 1.21 5.56 55
F6 4 7.1 0.81 6.96 50
F7 4 7.2 4.08 5.13 100
F8 4 7.5 5.43 5.79 110
F9 4 7.0 22.12 5.85 90
Tabla 2.2.3 Parmetros sismolgicos de las fuentes sismogenicas.
Captulo II Marco Terico 15
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El catlogo ssmico que utiliz en el presente trabajo, est formado por los sismos
comprendidos entre 1963 y 2001. La concentracin de valores ms altos de
aceleracin ocurre especficamente en las provincias de Puno, Ilave, San Romn y
Lampa y va disminuyendo a medida que avanza al norte del departamento es decir
en las provincias de Carabaya y Sandia. Estos valores se deben considerarse al
nivel del suelo firme, donde no se considera la influencia de las condiciones locales,
ni los efectos de interaccin suelo - estructura. 21
Calculo de Peligro Ssmico de la ciudad de Juliaca.
El calculo del peligro ssmico de la ciudad de Juliaca realizado por el Ing. Guido
Rodrguez Molina, realizo el calculo mediante la utilizacin del programa de
computo RISK, desarrollado por Mc Guirre (1976), con datos de atenuacin de
[Casaverde y Vargas (1980)]27, y los de recurrencia ssmica de Castillo CISMID
(1982), con los que obtuvo riesgos anuales de aceleracin, calculado mediante la
teutnica probabilstica de modelar las fuentes sismogenicas como reas.
El anlisis lo realizo en dos partes, una para las fuentes de Subduccin o otra
para las fuentes continentales, para periodos de retorno de 30, 50, 100, 200, 475, y
1000 aos. Presentando los siguientes resultados.
Periodo de Retorno Aceleraciones
(Aos) cm/seg2 G
30 174.70 0.18
50 196.33 0.20
100 230.09 0.23
200 268.43 0.27
475 323.56 0.33
1000 379.62 0.39
Tabla 2.2.4 Aceleraciones mximas esperadas.
Sismo de operacin : 0.27g
Sismo extremo : 0.33g
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Figura 2.2.6 Mapa de isoaceleraciones para el departamento de Puno.
Captulo II Marco Terico 17
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2.3 CONCEPTOS BSICOS
2.3.1 El Concreto Armado
El conocimiento actual del concreto armado adquirido por la acumulacin de 150
aos de experiencia de emprendedores osados y de los trabajos de investigadores
meticulosos, abarca la totalidad del medio cientfico y tcnico, del material a la obra,
lo que se entiende como un buen dominio del cambio en la escala de lo
microscpico a lo macroscpico. Tambin se puede decir que el cambio de linear a
no linear fue realizado el clculo elasto-plstico as como los teoremas del anlisis
lmite tiene su lugar dentro de los reglamentos de clculo en vigor.1
La curva Esfuerzo-Deformacin, se obtiene de este ensayo, en el cual se
relaciona la fuerza de compresin por unidad de rea versus el comportamiento por
unidad de longitud. 1
140
280
420
560
700
840
00.001 0.002 0.003 0.004
Deformacin del acero (cm/cm)
Esfu
erzo
en
com
pres
in
(kg/
cm2)
Figura 2.3.1 Curva Esfuerzo-Deformacin del Concreto.
La curva que se presenta corresponde a un ensayo de corta duracin del orden
de unos cuantos minutos.
Captulo II Marco Terico 18
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Se puede observar que el concreto no es un material elstico, sin embargo se
puede considerar una porcin recta hasta aproximadamente el 40% de la carga
mxima. Adems el colapso se produce comnmente a una carga menor que la
mxima.
En el ensayo de probetas de concreto simple, la carga mxima se alcanza a una
deformacin unitaria del orden de 0.002. El colapso de la probeta que corresponde
al extremo de la rama descendente se presenta en ensayos de corta duracin a
deformaciones que varan entre 0.003 y 0.007, segn las condiciones del
espcimen y de la maquina de ensayo.
2.3.1.1 Anlisis y Diseo
I Mtodos de Diseo
En el diseo de concreto estructural, los elementos deben disearse para que
tengan una resistencia adecuada, de acuerdo con las disposiciones de nuestro
reglamento; utilizando los factores de carga y los factores de reduccin de
resistencia .
El diseo por estado de limite trata de lograr, que las caractersticas accin-
respuesta de un efecto estructural o de una estructura este dentro de limites
aceptables. Segn este mtodo, una estructura o un elemento estructural deja de
ser til cuando alcanza un estado de lmite, en el que deja de realizar la funcin
para el cual fue diseada.
Se propone que la estructura se disee con referencia a varios estados de lmite.
Los estados de lmite ms importantes son: Resistencia bajo carga mxima,
deflexiones y ancho de grietas bajo cargas de servicio. En consecuencia la teora de
la resistencia mxima, se enfoca para el dimencionamiento de las secciones,
utilizando la teora elstica solamente para asegurar el comportamiento bajo cargas
de servicios.2
Captulo II Marco Terico 19
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Factores de Carga (U)
Los factores de carga tienen el propsito de dar seguridad adecuada contra un
aumento en las cargas deservicio mas all de las especificaciones en el diseo,
para que sean sumamente improbable la falla.
RNE, Titulo III, Estructuras, E-060.25
a)- Para combinaciones de carga muerta y carga viva
U=1.5*CV+1.8*CM (2.3.1) U=1.65 *(CV+L) (2.3.2)
b)- para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga de nieve
U=1.25*(D+LS) (2.3.3) U=0.9*D1.25*S (2.3.4)
Donde D es el valor de carga muerta, L el valor de carga viva y S el valor de
carga de nieve.
ACI-318-05 (como referencia).28
a)- Para combinaciones de carga muerta y carga viva
U=1.2*D+1.6*L (2.3.5)
b)- para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga accidental
U=1.2*D+1.0*L+1.6*W (2.3.6) U=1.2*D+1.0*L+1.0*E (2.3.7)
Donde W es el valor de la carga de viento y E el de la carga de sismo.
Cuando la carga viva sea favorable, se deber revisar las combinaciones de
carga muerta y carga accidental con los siguientes factores de carga:
U=0.9*D+1.6*W (2.3.8) U=0.9*D+1.0*E (2.3.9)
Factores de Reduccin de Capacidad ()
Los factores de reduccin de capacidad , toman en cuenta las inexactitudes en
los clculos y fluctuaciones en la resistencia del material, en la mano de obra y
en las dimensiones. En las vigas se considera el ms alto valor de debido a
que estn diseadas, para fallar por flexin de manera dctil con fluencia del
acero en traccin. En las columnas tienen el valor mas bajo de , puesto que
Captulo II Marco Terico 20
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pueden fallar en modo frgil cuando la resistencia del concreto es el factor crtico,
adicionalmente la falla de una columna puede significar el desplome de toda la
estructura y es difcil realizar la reparacin.2
La norma peruana como la americana dan los mismos valores y son los
siguientes:
Para flexin sin o con carga axial =0.90
Para cortante sin o con torsin (aligerados) =0.85
Para aplastamiento en el concreto (zapatas) =0.70
Para cortante =0.75
Para flexocompresion (columna zunchada) =0.70
(Columna estribada) =0.65.25
2.3.1.2 Resistencia y Funcionamiento
I. Generalidades
Las estructuras y los elementos estructurales deben ser diseados para que
tengan en cualquier seccin una resistencia de diseo al menos igual a la
resistencia requerida, calculada esta ltima para las cargas y fuerzas
mayoradas en las condiciones establecidas en el reglamento .
Resistencia de diseo Resistencia requerida
(Resistencia nominal) U
En el procedimiento de diseo por resistencia, el margen de seguridad se
proporciona multiplicando la carga de servicio por un factor de carga, y la
resistencia nominal por un factor de reduccin de resistencia.
II. Resistencia requerida
La resistencia requerida U se expresa en trminos de cargas mayoradas o de
las fuerzas y momentos internos correspondientes. Las cargas mayoradas,
son las cargas especificadas en el reglamento nacional de edificaciones
Captulo II Marco Terico 21
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multiplicadas por los factores de carga apropiados. El factor asignado a cada
carga est influenciado por el grado de precisin, con el cual normalmente se
puede calcular la carga y por las variaciones esperadas para dicha carga
durante la vida de la estructura. Por esta razn, a las cargas muertas que se
determinan con mayor precisin y son menos variables, se les asigna un
factor de carga ms bajo que a las cargas vivas. Los factores de carga
tambin toman en cuenta variabilidades inherentes al anlisis estructural
empleado al calcular los momentos y cortantes.
III. Resistencia de diseo
La resistencia de diseo proporcionada por un elemento, sus conexiones con
otros elementos, as como sus secciones transversales, en trminos de
flexin, carga axial, cortante y torsin, deben tomarse como la resistencia
nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones de este
reglamento, multiplicada por los factores de reduccin de resistencia.
Los propsitos del factor de reduccin de resistencia son:
Tomar en consideracin la probabilidad de la existencia de elementos
con una menor resistencia, debida a variacin en la resistencia de los
materiales y las dimensiones.
Tomar en consideracin las inexactitudes de las ecuaciones de
diseo.
Reflejar el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida para el
elemento bajo los efectos de la carga bajo consideracin.
Reflejar la importancia del elemento en la estructura.
IV. Resistencia de diseo para el refuerzo
Para el refuerzo se toma el acero, el que posee propiedades mecnicas
como la dureza, resistencia a la traccin, un lmite elstico, forjabilidad,
tenacidad, resistencia al impacto, etc. Todo este anlisis para determinar sus
propiedades se traza la curva de esfuerzo deformacin correspondiente,
indicando sus diferentes caractersticas.2
Captulo II Marco Terico 22
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fy (kg/cm2) fs (kg/cm2)
Grado 40 2800 4900
Grado 60 4200 6300
Grado 75 5300 7000
Tabla 2.3.1 Caractersticas de los aceros grado 40, 60 y 75.
Barra N pulg mm
Peso
(kg/m)
rea
(cm2)
Permetro
(cm)
2 1/4 635 0248 032 199
3 3/8 953 0559 071 299
4 1/2 1270 0993 127 399
5 5/8 1588 1552 198 499
6 3/4 1905 2235 285 598
8 1 2541 3973 507 799
10 1 1/4 3175 6507 792 997
11 1 3/8 3493 7511 958 1097
12 1 1/2 3810 8938 1140 1197
Tabla 2.3.2 Caractersticas del acero de refuerzo.
280
560
840
00.001 0.002 0.003 0.004
Deformacin del acero (cm/cm)
Esfu
erzo
en
com
pres
in
(kg/
cm2)
0.005
Grado 75
Grado 60
Grado 40
Figura 2.3.2 Curva esfuerzo deformacin del acero.
Captulo II Marco Terico 23
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2.3.2. Sismologa
2.3.2.1 Introduccin
Es la ciencia que estudia los terremotos. Implica la observacin de las vibraciones
naturales del terreno y de las seales ssmicas generadas de forma artificial, con
muchas ramificaciones tericas y prcticas. Como rama de la geofsica, la
sismologa ha aportado contribuciones esenciales a la comprensin de la tectnica
de placas, la estructura del interior de la Tierra. Entonces se puede decir que la
sismologa estudia el mecanismo por el cual se producen y propagan las ondas
ssmicas, y la prediccin del fenmeno ssmico.
La investigacin sismolgica bsica se concentra en la mejor comprensin del
origen y propagacin de los terremotos y de la estructura interna de la Tierra. Segn
la teora elstica del rebote, la tensin acumulada durante muchos aos se libera de
manera brusca en forma de vibraciones ssmicas intensas por movimientos de las
fallas.
2.3.2.2 Sismos
Los sismos son sbitas liberaciones de la energa que se acumula bajo la corteza
terrestre como consecuencia de las fuertes tensiones y presiones que ocurren en
su interior y que se manifiestan en forma de vibraciones, desplazamientos y
movimientos diversos de la superficie del terreno sobre el cual habitamos y
construimos.
Los sismos pueden dar como consecuencia grandes desastres, especialmente
donde no se han tomado medidas preventivas relacionadas con la resistencia
ssmica de la edificaciones.
2.3.2.3 Riesgo Ssmico
El riesgo ssmico se define como la probabilidad de experimentar prdidas
econmicas o sociales como consecuencia de la ocurrencia de un sismo. Por lo
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tanto si no hay sismos en la regin el riesgo de perder algo desde ese punto de vista
no existe. Similarmente si la vulnerabilidad, o sea la probabilidad de dao para una
intensidad determinada es alta, el riesgo aumenta. Como muestra la ecuacin
siguiente, se expresa como el producto del peligro ssmico por la vulnerabilidad
ssmica por el costo o valor que le asignemos a lo que podamos perder.17
RIESGO SSMICO = PELIGRO SSMICO x VULNERABILIDAD x COSTO (VALOR)
2.3.3 Anlisis estructural por el Mtodo de Elemento Finito
El mtodo del elemento finito (MEF) nace como solucin al planteamiento de
diversos problemas de la ingeniera y es utilsimo dentro del campo de la
Ingeniera Civil, cada da mas exigente, especialmente, en la obtencin precisa de
resultados en el anlisis de comportamiento de las estructuras continuas y en la
optimizacin de su diseo, (esta precisin no es tan importante para nuestro caso
por que trabajamos con factores de carga). Este mtodo del elemento finito ha
llegado ha ser una herramienta poderosa en la solucin numrica de un amplio
rango de problemas de la ingeniera.5
La idea general del MEF es la conversin de un medio continuo (infinitos grados
de libertad) en un medio discreto formado por un conjunto de pequeos elementos
interconectados por una serie de puntos llamados nodos (grados de libertad
conocidos).
El problema del MEF es lo discreto y lo continuo, lo discreto cuando el numero
de elementos usados es finito, mientras lo continuo cuando la sub-divisin es
continua y el problema solo se puede estudiar usando elementos infinitesimales.
Discretizacin.- Responde por parte del ingeniero, a una intuicin por la que,
partiendo de una divisin de la estructura real en partes mas o menos grandes
(conectadas entre si por los nodos) que, a la vez pueden ser subdivididas en otras
mas pequeas (tambin conectadas entre si por los nuevos nodos y los anteriores
nodos) estas en otras, y as sucesivamente, hasta que el limite teniendo el tamao
de estos elementos a cero, el comportamiento de tal modelo de estructura fuera el
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de la estructura real. Pero, en la realidad, al llegar a tal lmite puede no ser necesario
en orden a determinar cuantitativamente tal comportamiento, ya que una
aproximacin suficiente a dicho limite puede resolver satisfactoriamente las
necesidades de exactitud de dichos problemas (pero no seria necesario). 8
En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:
1. Dominio.- Espacio geomtrico donde se va analizar el sistema. 2. Condiciones de frontera.- Variables conocidas y que condicionan el cambio
del sistema: desplazamientos en la frontera, condiciones de cargas en la
superficie, temperatura, etc. Estas condiciones deben satisfacerse sobre la
frontera de la superficie, donde se aplican las tracciones. En esta descripcin,
las cargas puntuales deben tratarse como cargas distribuidas sobre reas
pequeas pero finitas.
3. Incgnitas.- Son las variables del sistema que deseamos conocer despus
de que las condiciones de frontera han actuado sobre el sistema:
desplazamientos, tenciones, temperatura, tenciones, etc.
2.3.3.1 Enfoques para el anlisis del MEF. Energa potencial
La energa potencial total de un cuerpo elstico se define como la suma de
la energa de deformacin unitaria total (U) y el potencial de trabajo:
= U+WP (2.3.10)
Para materiales elsticos lineales, la energa de deformacin unitaria por
unidad de volumen en el cuerpo es .5.0 Ts Para los cuerpos lineales
elsticos la energa de deformacin unitaria total U esta dada por:
dVUV
T = s21
(2.3.11)
El potencial de trabajo WP esta dado por:
---= iTiS
T
V
T PuTdSufdVuWP (2.3.12)
El potencial total para el cuerpo elstico general es:
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---=P iTiS
T
V
T
V
T PuTdSufdVudVs21
(2.3.13)
Aqu consideraremos sistemas conservativos, donde el potencial de trabajo es
independiente de la trayectoria. En otras palabras, si el sistema se desplaza
desde una configuracin dada se trae de regreso al estado inicial, las fuerzas
efectan un trabajo nulo, independiente de la trayectoria. Entonces, el
principio de la energa potencial se enuncia como sigue.
Principio de la energa potencial mnima
Para sistemas conservativos, de todos los campos de desplazamientos
cinematicamente admisibles, aquellos que corresponden a condiciones de
equilibrio extremizan la energa potencial total. Si la condicin extrema es un
mnimo, el estado de equilibrio es estable.
Mtodo de Rayleigh-Ritz
En medios continuos, se puede usarse la energa potencial total en la
ecuacin 2.3.13 para encontrar una solucin aproximada. El mtodo de
Rayleigh-Ritz implica la construccin de un campo de desplazamiento
supuesto, digamos:
F= ),,( zyxau ii ali 1= F= ),,( zyxav jj amlj 1+= (2.3.14)
F= ),,( zyxaw kk lmnanmk
>>+= 1
Las funciones usualmente son polinomios. Los desplazamientos u, v y w
deben ser cinematicamente admisibles. Es decir u, v y w deben satisfacer
condiciones de frontera especificas. Introduciendo relaciones esfuerzo-
deformacin unitaria y deformacin unitaria-desplazamiento, y sustituyendo la
ecuacin 2.3.14 en la ecuacin 2.3.13, resulta.
),...,( 21 raaaP=P (2.3.15)
Donde r= numero de incgnitas independientes. Ahora, el extremo con
respecto a )1(1 aria = da el conjunto de r ecuaciones.
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0=P
ia ri ...2,1= (2.3.16)
Mtodo de Galerkin
El mtodo de Galerkin usa el conjunto de ecuaciones gobernantes en el
desarrollo de una forma integral. Usualmente se presenta como uno de los
mtodos de residuos pesados (o ponderados). Para nuestro anlisis,
consideremos una representacin general de una ecuacin gobernante sobre
una regin V.
Enunciado del mtodo:
Se escoge las funciones base iG Se determinan los coeficientes iQ en
ii
n
iGQu
=1
tales que:
=-V
dVPuL 0)(f (2.3.17)
Para toda ==n
i iiG
1ff donde los coeficientes if son arbitrarios, excepto por el
requisito de que f debe satisfacer condiciones de frontera homogneas
(cero). La solucin de las ecuaciones resultantes para iQ da entonces la
solucin aproximada u .
2.3.3.2 Elementos unidimensionales
Para este tipo de elementos se usan los enfoques de la energa potencial y las
relaciones, esfuerzo-deformacin unitaria y deformacin, unitaria-desplazamiento
para desarrollar el MEF para un problema unidimensional. El procedimiento bsico
es el mismo para problemas bidimensionales y tridimensionales que se estudiara
mas adelante.
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Construccin del modelo del MEF
1
2
3
4
5
Figura 2.3.3 Construccin del modelo del MEF.
Figura 2.3.4 Modelamiento con elemento finito de una barra.
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Nmeros globales
Elementos Nodos
Nmeros globales
Nmeros locales
Figura 2.3.5 Conectividad de los elementos.
Los conceptos de grado de libertad, desplazamientos nodales, cargas nodales y
conectividad de los elementos, son clave en el MEF y deben entenderse con toda
claridad.
El enfoque de energa potencial
De la expresin de energa potencial:
---=Pi
iiL
T
L
T
L
T PuTdxufAdxuAdxs21
(2.3.18)
Despus de que el continuo ha sido discretizado en elementos finitos, la expresin
variara. Donde tambin se considera la carga puntual que es aplicada en los nodos
la que se escribe como sigue.
---=Pe
ee i
iiTT
ee PQTdxufAdxuU (2.3.19)
Donde = AdxU Te s21
es la energa de deformacin unitaria del
elemento.
Matriz de rigidez del elemento
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Despus de haber considerado el trmino de energa potencial y sustituyendo los
valores del esfuerzo y la deformacin unitaria se tiene la siguiente expresin:
= qdxABEBqU TTe ]***[21
(2.3.20)
En este modelo del elemento finito en la ecuacin 2.3.20, el rea de la seccin
transversal del elemento e, denotada por Ae, es constante. Adems, B es una matriz
constante. La transformacin de x a como se ve a continuacin.
( ) 12 112
---
= xxxx
x (2.3.21)
Todo esto a partir de las coordenadas y funciones de forma que es analizada en un
elemento de con 2 nodos. Esta definido en un sistema de coordenadas natural o
intrnseco.
La que nos da la siguiente expresin.
xdxxdx2
12 -= (2.3.22)
o
xddx e2l
= (2.3.23)
donde 11 - x y el es la longitud del elemento, 12 xxe -=l .
La energa de deformacin unitaria eU del elemento se escribe como hora como
qdBBEAqU TeceT
e
= -
1
1221
xl
(2.3.24)
donde eE es el modulo de elasticidad del elemento e. Notado que - =1
12xd , y
sustituyendo el valor de B dado por la ecuacin de la matriz b de (1x2), llamada
matriz de deformacin unitaria-desplazamiento del elemento con la que
obtendremos.
de la matriz de deformacin unitaria-desplazamiento
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[ ]11112
--
=xx
E (2.3.25)
se tendr la siguiente ecuacin:
[ ]qEAqUe
ceeT
e 11111
21
2 -
-
=l
l (2.3.26)
lo que nos lleva a
qEA
qUe
eeTe
-
-=
1111
21
l (2.3.27)
La ecuacin anterior queda de la siguiente forma:
qKqU eTe 21
= (2.3.28)
Donde la matriz de eK de rigidez del elemento esta dada por:
-
-=
1111
e
eee AEKl
(2.3.29)
Como se ver aqu la expresin es similar a la energa de deformacin unitaria, que
se da en la ecuacin 2.3.29, con la ecuacin de deformacin unitaria en un resorte
simple, la cual esta dada por 221 kQU e = . Observe tambin que eK es linealmente
proporcional al producto de ee AE e inversamente proporcional a la longitud el .
Tambin se puede expresar en trminos de fuerza
Fuerza del cuerpo del elemento
=11
2fA
f eeel
(2.3.30)
El vector de fuerza de traccin eT del elemento esta dado por:
=11
2ee TT
l (2.3.31)
Despus de haber concluido el clculo de las matrices del elemento, la energa
potencial total se puede escribir como:
FQKQQ TT -=P21
(2.3.32)
Captulo II Marco Terico 32
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Donde K es la matriz de rigidez global, F es el vector de carga global y Q es el vector
de desplazamiento global, K es una matriz de (5x5) y Q y F son cada uno vectores
de (5x1). K se obtiene usando la informacin de la conectividad del elemento, los
elementos de cada Ke se colocan en las posiciones apropiadas de la matriz k y los
elementos que se traslapan, se suman. El vector F se ensambla de manera similar.
2.3.3.3 Vigas y marcos
Para el anlisis de las vigas y columnas se realiza por el MEF. Las vigas son
miembros esbeltos que se usan para soportar cargas transversales. Los miembros
horizontales largos usados en edificios y puentes, y las flechas apoyadas en
cojinetes, son algunos ejemplos de vigas. Alas estructuras complejas con miembros
rgidamente conectadas se les llama marcos.
Las vigas con secciones transversales que son simtricos respecto a plano de
carga sern consideradas es esta seccin. En la figura 2.3.6 se muestra una viga
horizontal comn. La figura 2.3.7, muestra la seccin transversal y la distribucin
del esfuerzo por flexin. Para deflexiones pequeas, recordamos la teora elemental
de vigas la siguiente ecuacin:
yIM
-=s (2.3.33)
Es
= (2.3.34)
EIM
dxvd
=22
(2.3.35)
Donde es el esfuerzo normal, es la deformacin unitaria normal, M es el
momento flexionante en la seccin respecto al eje neutro (el eje z pasa por el
centroide).
Captulo II Marco Terico 33
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Figura 2.3.6 Carga de la Viga y deformacin el eje neutro.
Eje neutro
Centroide
dA
Figura 2.3.7 Seccin transversal de la viga y distribucin del esfuerzo..
Mtodo de la energa potencial
La energa de deformacin unitaria Du en un elemento de longitud dx es:
= A dAdxdU s21 dxdAy
EIM
A
= 22
2
21
Notando que A dAy2 es el momento de inercia I, tenemos:
dxEIMdU
2
21
= (2.3.36)
Cuando se usa la ecuacin 2.3.36, entonces la energa de deformacin unitaria total
en la viga esta dada por:
Captulo II Marco Terico 34
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=
Ldx
dxvdEIU
0
2
2
2
21
(2.3.37)
La energa potencial de la viga entonces:
---
=P
kkk
mmm
LLvMvPpvdxdx
dxvdEI '
21
00
2
2
2
(2.3.38)
donde p es la carga distribuida por unidad de longitud, Pm es la carga puntual m, MK
es el momento del par aplicado en el punto k, vm es la deflexin en el punto m y uk
es la pendiente en el punto k.
Marcos planos
Aqu se considera estructura planas con miembros conectados rgidamente. Esos
miembros sern similares a las vigas, excepto que se tendrn presentes carga
axiales. Los elementos tambin tendrn diferentes orientaciones. La figura 2.3.8
muestra el elemento de un marco. En cada nodo se tiene dos desplazamientos y
una deformacin rotacional. El vector de desplazamiento nodal esta dado por:
[ ]Tqqqqqqq 654321 ,,,,,= (2.3.39)
Figura 2.3.8 Elemento de Marco.
Captulo II Marco Terico 35
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Tambin se define un sistema de coordenadas local o del cuerpo x, y tal que x
este orientada a lo largo de 1-2, con cosenos directores l , m (donde l =cos , m=
sen ). Estos se evalan usando las relaciones dadas para el elemento armadura,
mostrado en la figura 2.3.9. El vector desplazamiento modal esta dado por:
l
g
Figura 2.3.9 Cosenos directores.
[ ]Tqqqqqqq 654321 ',',',',',''= (2.3.40) Reconociendo que 33' qq = y 66' qq = , que son rotaciones con respecto a cuerpo,
obtenindola transformacin local-global
Lqq =' (2.3.41)
Donde
1000000000000000010000000000
l
l
l
l
mm
mm
L
-
-
= (2.3.42)
Ahora observamos que 532 ',',' qqq y 6'q son como grados de libertad de vigas,
mientras que 1'q y 4'q son similares a los desplazamientos de un elemento barra.
Captulo II Marco Terico 36
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Combinando las dos rigideces y situndolas en las posiciones apropiadas,
obtenemos la rigidez del elemento de marco como :
eeee
eeee
ee
eeee
eeee
ee
e
EIEIEIEI
EIEIEIEI
EAEA
EIEIEIEI
EIEIEIEI
EAEA
K
llll
llll
ll
llll
llll
ll
460260
61206120
0000
460460
61206120
0000
'
22
2323
22
2323
-
---
-
-
-
-
= (2.3.43)
del el anlisis de armaduras, se puede plantear que la energa de deformacin del
elemento esta dada por:
LqKLqqKqU eTTeTe '21'''
21
== (2.3.44)
de la ecuacin 2.3.44 se reconoce que la matriz de rigidez del elemento en
coordenadas globales es:
LKLK eTe '= (2.3.45) Si existe una carga distribuida sobre un miembro, como se muestra en la figura
2.3.10 tenemos
''' fLqfq TTT = (2.3.46)
l
ll
l
Figura 2.3.10 Carga distribuida sobre un elemento de marco.
Captulo II Marco Terico 37
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Donde T
eeee ppppf
=
12,
2,0,
12,
2,0'
22 llll (2.3.47)
Las cargas nodales debido a la carga distribuida p estn dadas por:
'' fLf T= (2.3.48) Los valores de f se agregan a vector de carga global. Ntese que aqu p es positivo
en la direccin y.
Las cargas puntuales y pares simplemente se agregan al vector de carga global. Al
agrupar las rigideces y cargas, obtenemos el sistema de ecuaciones.
FKQ = (2.3.49)
Donde las condiciones de frontera se consideran aplicando los trminos de
penalizacin en las formulaciones de energa o de galerkin.
2.3.3.4 Marcos tridimensionales
Los marco tridimensionales, tambin llamados marco espaciales, suelen
encontrarse en el anlisis de edificios de mltiples niveles. En la figura 2.3.11 se
muestra un marco tridimensional tpico. Cada nodo tiene 6 grados de libertad (gdl)
(en vez de solo 3 en el caso de marcos planos). La numeracin de los gdl se
muestra en la figura 2.3.11: para el nodo J, los gdl 6J-5, 6J-4 y 6J-3, representan los
gdl trasnacionales en x, y y z, Los vectores desplazamientos de los elementos en los
sistemas coordenadas locales u globales se denotan por q y p, respectivamente.
Esos vectores son de dimensiones (12x1), como se muestra en la figura 2.3.12.
La orientacin del sistema coordenado x-y-z local se establece usando tres
puntos. Los puntos 1 y 2 son los extremos del elemento; el eje x esta a lo largo de la
lnea del punto 1 al punto 2, como en el caso de los marcos bidimensionales. El
punto 3 es cualquier punto de referencia que no este a lo largo de la lnea que une
los puntos 1 y 2. Eje y se encontrara en el plano definido por los puntos 1, 2 y 3.
Esto se muestra en la figura 2.3.12. El eje z queda entonces automticamente
definido por el echo de que x-y-z forma un sistema derecho. Ntese que y-z son
los ejes principales de la seccin transversal, con 'xI e 'zI los momentos de inercia
Captulo II Marco Terico 38
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principales. Las propiedades transversales son especificadas por cuatro parmetros:
rea A, momentos de inercia 'yI , 'zI y J. El producto GJ es la rigidez torcional, donde
g es el modulo cortante. Para secciones transversales circulares o tubulares, J es el
momento polar de inercia. Para otras formas de seccin transversal, como una
seccin I, la rigidez torcional esta dada en los textos de resistencia de materiales.
gdl en el nodo J
Figura 2.3.11 Numeracin de los grados de libertad en un
marco tridimensional.
La matriz de rigidez K de (12x12) de un elemento en el sistema coordenado local se
obtiene por medio de una generalizacin directa de la ecuacin 2.3.43:
Captulo II Marco Terico 39
__________________________________________________________________________________________________________ U.A.N.C.V. C.A.P.I.C. Marco Eddy Quiroz Coaquira
''''
''''
''''
''''
''''
''''
''''
''''
0000000000000000000000000000000000
000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
000000000000000000
'
zzzz
yyyy
yyyy
zzzz
zzzz
yyyy
yyyy
zzzz
cbdbcbdb
TSTSbcba
babaASAS
dbcbdbcb
TSTSbaba
babaASAS
K
--
--
----
--
----
--
= (2.3.50)
Vista desde el extremo
Plano formado por 1,2,3
Punto de referencia
[ ]T
nodoelennestrasalacio
nodoelennestrasalacio
nodoelennestrasalacio
nodoelennestrasalacio
qqqqqqqqqqqqq4434421434214342143421
2
121110
2
987
1
654
1
321 ',',',',',',',',',',',''=
a lo largo de x, y, z
[ ] == Tqqqqq 12321 ,...,,, vector de desplazamiento en el sistema global (x, y, z)
Figura 2.3.12 Elemento tridimensional de marco en sistemas de coordenadas local y global.
Captulo II Marco Terico 40
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Donde ,el
EAAS = =el longitud del elemento, ,el
GJTS = ,12 3''e
zz l
EIa =
,6 2''e
zz l
EIb = ,4 ''e
zz l
EIc = ,2 1''e
zz l
EId = ,12 3''e
zy l
EIa = etc. La matriz de
transformacin global-local esta dada por
Lqq =' (2.3.51) La matriz de transformacin L de (12x12) esta definida con base en una matriz
(3x3) como :
ll
ll
000000000000
=L (2.3.52)
es una matriz de cosenos directores
333
222
111
nmlnmlnml
=l (2.3.53)
Aqu, 111 , nyml son los cosenos de los ngulos entre ejes x y los ejes globales x,
y y z, respectivamente. De igual forma, 222 , nyml son los cosenos de los ngulos
entre el eje y y los ejes x, y y z, mientras que 333 , nyml estn asociados con el
eje z. Esos cosenos directores y por consiguiente la matriz se obtiene de las
coordenadas de los puntos 2 y 3, como sigue. Tenemos:
elxxl 121
-=
elyym 121
-=
elzz
n 121-
=
( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxle -+-+-= Sea ahora [ ]Tx nmlV 111' = el vector unitario a lo largo del eje . Sea tambin
---=
13
12
13
12
13
1213 l
zzl
yyl
xxV
Donde 13l = distancia entre los puntos 1y 3. El vector unitario a lo largo del eje esta
ahora dado por:
Captulo II Marco Terico 41
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[ ]Tx nmlV 333' =13'
13'
VVVV
x
x
=
El producto cruz de dos vectores cualesquiera u y v esta dado por el determinante
yxyx
zxzx
zzzy
zyx
zyx
uvvuuvvuuvvu
vvvuuukji
vu---
==
Por ultimo, los cosenos directores para el eje y son
[ ] ''111' xzTy VVnmlV == La matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales es
LkLk T '= Donde k ha sido definida en la ecuacin 2.3.104.
Si una carga distribuida con componentes 'yw 'zw (unidades de fuerza/longitud
unitaria) se aplica al elemento, entonces las cargas concentradas equivalentes en
los extremos del miembro son:
--=
12,
12,0
2,
2,0,
12,
12,0,
2,
2,0'
2''
2''''
2''
2'''' eyezezeyeyezezey lwlwlwlwlwlwlwlwf (2.3.54)
Esas cargas se transfieren a componentes globales por medio de 'fLf T= . Despus de imponer las condiciones de frontera y resolver las ecuaciones del
sistema FKQ = , podemos calcular las fuerzas de extremo en el miembro de
''' qkR = + reacciones de los extremos fijos (2.3.55) Donde las reacciones de los extremos fijos son las negativas del vector f y estn
solo asociados con aquellos elementos que tienen cargas distribuidas actuando
sobre ellos. Las fuerzas del extremo del miembro proporcionan los momentos
flexionantes y las fuerzas cortantes a partir de los cuales se determinan los
esfuerzos en la viga.
2.3.4 Anlisis No Lineal
2.3.4.1 Introduccin y metodologa
Captulo II Marco Terico 42
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Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir
donde se cumple que entre causas y efectos existe una relacin lineal. Para el
cumplimiento de estas premisas deban verificarse que el material es elstico lineal
(material hookeano) y los desplazamientos de la estructura son pequeos. Cuando
no se cumple algunas de estas premisas el comportamiento de la estructura es NO
LINEAL. 4
La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y
estamos en el caso de NO-LINEALIDAD FISICA.
Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura
no son pequeos estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA.
Para analizar todos estos temas estableceremos dos hiptesis dentro de las
cuales desarrollaremos una teora que nos permitir abordar problemas sumamente
complejos.
Hiptesis:
1. Material elstico
2. Los desplazamientos no son pequeos y no deben despreciarse en el anlisis
del equilibrio.
Con respecto a esta ltima hiptesis cabe realizar algunas consideraciones respecto
a la magnitud de los desplazamientos. Estos pueden tomar distintos valores para los
cuales se puede hacer distintas aproximaciones que permiten arribar a soluciones
matemticas sencillas, sin perder por ello la precisin en los resultados.
Si se analiza el conjunto de deformaciones y desplazamientos, se puede hacer
las siguientes consideraciones:
Caso 1. Las deformaciones especficas y los desplazamientos son pequeos.
Captulo II Marco Terico 43
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Este es el caso del anlisis de estructuras lineales donde los
desplazamientos son pequeos y el equilibrio se analiza sin tenerlos en
cuenta.
Caso 2. Las deformaciones especficas no son pequeas y los
desplazamientos son pequeos.
En este es el caso del anlisis de estructuras en rgimen anelstico
(clculo plstico), donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza
deformaciones muy importantes que se traducen en la formacin de
articulaciones plsticas, a pesar de las cuales los desplazamientos de la
estructura se mantienen pequeos y el equilibrio puede seguir siendo
analizando sin tenerlos en cuenta. Esta es una no-linealidad fsica.
Caso 3. Las deformaciones especficas son pequeas y los desplazamientos no son pequeos.
En este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la no
linealidad geomtrica.
Caso 4. Las deformaciones especficas y los desplazamientos no son
pequeos.
En este caso corresponde a un comportamiento no-lineal geomtrico y
fsico.
En lo sigue nos limitaremos al anlisis de los puntos 3 y 4, ya que el 1 y 2, ya
fueron tratados en el anlisis de las estructuras en rgimen lineal y en clculo
plstico.
El anlisis de la no-linealidad geomtrica se le suele subdividir de acuerdo a la forma
de cuantificar el valor del radio de curvatura .
( ) 2/32'1''1
yy
r +==c (2.3.56)
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2
2
''1dx
yddxdy
r====
qc (2.3.57)
En la ecuacin 2.3.56 se utiliza la expresin exacta de la curvatura y se denominada
teora de barras de grandes deformaciones.
Para nuestro anlisis se utilizara la ecuacin 2.3.57 de la curvatura, que a pesar
de ser aproximada, la teora desarrollada con ella arriba a resultados muy
aceptables a travs de formulaciones matemticas muy sencillas.
Para empezar analizaremos un simple caso, a modo de ejemplo, de una barra
sometida a una carga transversal q constante y una fuerza axial P en sus extremos.
Figura 2.3.13 Equilibrio a X distancia del apoyo fijo.
Si en el estudio del equilibrio tenemos en cuenta los desplazamientos de la barra, el
valor del momento flector a una distancia x vale:
( ) MtPyqxRxPyxM +=++=2
2
(2.3.58)
Siendo Mt el momento flector de las cargas transversales, o sean aquellas
generadas por R y q.
La ecuacin diferencial de la elstica cuya expresin es:
( )xMJyE -=''. (2.3.59) Reemplazando la ecuacin 2.3.57 en la ecuacin 2.3.58.
MtyPJyE --= .''. EJMty
EJPy -=+''
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EJMtyky -=+ .'' 2 EJ
Pk =
Esta es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden no homogneo con
coeficientes constantes, cuya solucin es:
21 yyy += (2.3.60) siendo:
y1: Solucin de la ecuacin homognea, es decir de la ecuacin diferencial igualada
a cero.
0 y . k "y 12
1 =+ (2.3.61)
La solucin de esta ecuacin diferencial es del tipo:
.cos(kx)C .sen(kx)C y 211 += (2.3.62)
Esta solucin tiene la particularidad de ser independiente de las cargas
transversales y depende nicamente de las propiedades de la barra y del esfuerzo
axial P. Este aspecto es sumamente importante para temas que trataremos mas
adelante. A travs de las condiciones de borde podemos obtener el valor de las
constantes C1 y C2.
y2: Solucin particular de la ecuacin diferencial que depende del trmino
independiente, es decir en este caso de la funcin Mt/EJ.
=
EJMtf y 2 (2.3.63)
Esta expresin muestra que la solucin es independiente de la carga axial P y
dependen solo de las cargas transversales. La solucin y2 es una funcin lineal de
las cargas, no as y1 que es del tipo no lineal. Osea la respuesta y es del tipo lineal
con respecto a las cargas transversales y no lineal con respecto a P.
Como conclusin que podemos decir que si tenemos varias cargas transversales,
las solucin de y1 es nica e independiente de las mismas, a esta habr que
sumarle las soluciones particulares que dependen de cada carga transversal.
............ y y y y y 2c2b2a1 ++++= (2.3.64)
Continuemos analizando el caso de una viga simplemente apoyada y verificaremos
lo anteriormente enunciado.
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La ecuacin diferencial que gobierna el equilibrio, como vimos anteriormente:
y" + k . y = - Mt/EJ (2.3.65)
la solucin de esta ecuacin diferencial es:
21 yyy +=
( ) ( )kxCkxsenCy cos211 += (2.3.66)
( )
-+= 2
22
2 xLxkkxsen
qy (2.3.67)
Las condiciones de borde son las siguientes:
x = 0 y = 0 M = 0
x = L y = 0 M = 0
reemplazando estas condiciones en la anterior ecuacin obtenemos la solucin final.
( )
++
= ) x-(Lx
2k cos(kx)-1
kLsensen(kx) . cos(kL)-1-
)k (EJq y 2
2
4 (2.3.68)
y a su vez si aplicamos la ecuacin M = y" EJ podemos obtener la funcin momento
flector.
+
= 1 - cos(kx)
sen(kL)sen(kx) . cos(kL)-1
kq M
2 (2.3.69)
en la parte central de la viga, cuando x = L/2 el descenso vertical y el momento
flector mximo valen:
( )
+
+
=22
4 8L k
2kLcos-1
kLsen2
kLsen . cos(kL)-1-
k EJq mx.y (2.3.70)
=
2kLcos
2kLcos-1
kq mx. M 2 (2.3.71)
Con estos valores podemos realizar grficos entre las causas q y P, y obtener la
respuesta de la estructura analizada. Primero dejaremos fijo P y haremos variar q y
obtenemos los siguientes grficos:
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Figura 2.3.14 Variacin de q con respecto de P fijo.
En estos grficos podemos observar que existe una relacin lineal entre causa (q) y
efecto (u y M) para distintos valores fijos de P. Esta es una conclusin sumamente
importante porque significa que si el esfuerzo axial se mantiene constate podremos
utilizar el Principio de Superposicin y todos el andamiaje matemtico desarrollado
para las estructuras lineales, como ser los mtodos de resolucin de estructuras
indeterminadas (mtodo de las fuerzas y mtodo de las deformaciones). Esta
conclusin permite desarrollar mtodos para la resolucin de estructuras donde sea
necesario este tipo de anlisis, aun en los casos en que no se cumple que el
esfuerzo axial se mantenga constante. 15
Si ahora mantenemos constante q y variamos P, tenemos los siguientes grficos.
Figura 2.3.15 Variacin de p con respecto de q fijo
En estos en cambio no existe linealidad entre causa P y los efectos u y M para
distintos valores de q constantes. La relacin es no-lineal, muy acentuada e incluso
indeterminada para valores de q = 0 cuyos valores tienen una gran significacin
como veremos mas adelante.
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A continuacin estudiaremos una forma de aplicar el mtodo de las deformaciones
que nos permitir resolver estructuras que por sus caractersticas es necesario este
tipo de anlisis.
Para este fin primero analizaremos la barra aislada, o sea estudiaremos la matriz
rigidez, de la misma manera que lo hicimos en la teora lineal.
Matriz rigidez de barra de segundo orden
Para simplificar sobre la barra no acta otras cargas que los esfuerzos en sus
extremos y para este anlisis seguiremos el mismo camino utilizado anteriormente,
es decir analizaremos el equilibrio de la barra en su estado deformado. 10
Figura 2.3.16 Matriz de rigidez de la barra de segundo orden.
x1t Q - M M = ( )
EJQM
yky x-
-=+ 12'' EJP k 2 =
Por razones de equilibrio se cumple
l
) vP M (M Q r21 ++=
=+
l x vP -
l xM -
l x)- (l M - y k y" r212
La solucin es:
21 yyy +=
l xv
l) EJ(k x)M2- x)-(l (M1 - cos(kx) C2 sen(kx) C1 y r++= (2.3.72)
A travs de las condiciones de borde se pueden determinar el valor de todas las
constantes C1, C2, M1 y M2
Captulo II Marco Terico 49
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Condiciones de borde:
x = 0 y = v1 y'= q1
x = l y = v2 y'= q2 Los valores de las constantes dan :
E
)-( )B + A( - B + = 1221 L
JL
vvqqA M1 (2.3.73)
E
)-( )B + A( - + = 1221 L
JL
vvAqq B M2 (2.3.74)
Para el esfuerzo de corte podemos tener las siguientes expresiones:
l
) vr P M (M Q 21 ++= (2.3.75)
( )
E
- )B + A( 2 - ) + += 21 l
Jl
vrDqq ).( B A ( Q (2.3.76)
Los coeficientes A B D se denominan coeficientes de Pandeo o de Estabilidad y las
expresiones que las definen sus valores son:
( ) ( )
( ) ( )( )eeeeeee
senos
--
=cos-12
csen A (2.3.77)
( )( )
( )( )eeeeeee-
-=
cos-2 B sen (2.3.78)
( )
( ) ( )eeeeecos
C-
=sen
sen (2.3.79)
EJPL=e (2.3.80)
Todas estas frmulas corresponden para un esfuerzo de compresin, en el caso de
que este sea de traccin.
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iEJPL
=e (-1) i siendo = ( ) 22i ee -=
( ) ( )ee Ch= icos ( ) ( )ee iShen = is ( ) ( )ee iThtg = i
Para este caso los coeficientes de estabilidad valen:
( ) ( )( )( )( ) ( )eee
eeeeSh
Chh--
-=
1Ch2S A (2.3.81)
( )( )
( )( ) ( )eeeeeeeShh
Sh--
-=
1C2 B (2.3.82)
( )
( ) ( )eeeeeShCh
Sh-
= C (2.3.83)
EJPL=e
El valor de estos coeficientes se pueden observar en el grfico adjunto. En el
podemos realizar las siguientes observaciones:
a) Para volares de = 0, los coeficientes de estabilidad coinciden los valores
utilizados en la teora lineal
A = 4 B = 2
C = 3 D = 12
Captulo II Marco Terico 51
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Figura 2.3.17 Curvas No Lineales.
b) Los coeficientes de estabilidad se anulan para determinados valores de , los
cuales tienen una significacin muy importante como veremos ms adelante.
Si el valor de estos coeficientes solo dependen del valor de P y por lo tanto son
independientes de los desplazamientos que los generan. O sea que los esfuerzos
que se originan en los extremos de las barras son funciones lineales de los
desplazamientos; si mantiene constante el esfuerzo axial P. La linealidad cambia
para cada valor distinto de P. Si incorporamos el valor de P a las constantes
geomtricas y elsticas de la barras podramos decir que la relacin entre causa y
efecto es lineal. Este procedimiento nos da una poderosa arma para resolver
problemas no lineales mediante los mtodos lineales que han sido sumamente
desarrollados.
Finalmente la matriz rigidez de barra de segundo orden es la siguiente:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2
2
2
1
1
1
3232
2323
3232
2323
2
2
2
1
1
1
//0//0//20//20
00/00///0//0
//20//2000/00/
q
q
vu
vu
LAEJLEJBALBEJLEJBALEJBALEJDBALEJBALEJDBA
LEFLEFLBEJLEJBALAEJLEJBA
LEJBALEJDBALEJBALEJDBALEFLEF
mpypxmpypx
+-++--++--+-
-+-+
+-+-+-+-
=
(2.3.84)
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2.3.4.2 Material No lineal
Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos uno de tipo no
lineal, cuya relacin - es del tipo:
Figura 2.3.18 Propiedad del Material No Lineal.
En estas estructuras donde se cumple KU=0, las barras solo estn sometidas a
esfuerzos axiales de valor constante en toda su extensin. El valor de estos
esfuerzos determinar, si las barras se encuentran en la zona elstica o inelstica
del material. Por otra parte la ecuacin diferencial de la elstica y = M/EJ, a partir de
la cual se determinaron los coeficientes de estabilidad, establece una relacin entre
los esfuerzos y los desplazamientos a travs de propiedades mecnicas EJ, y estas
deben representar la situacin en que se encuentra la barra, osea que se debe
utilizar el valor del modulo de elasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel
de tensin a que esta sometida. Para tener en cuenta esto ltimo debemos utilizar
el ET cuando determinamos los coeficientes de estabilidad. En la determinacin de
Pcr, se deber incluir un nuevo paso a los ya enumerado anteriormente.
1. Adoptar un valor para las cargas.
2. Determinar el valor de los esfuerzos axiales.
3. Determinar el valor de
4. Determinar el valor del ET en funcin de .
5. Determinar los coeficientes de estabilidad.
6. Plantear la matriz K.
7. Evaluar el valor DK.
8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.
9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma proporcional.
10. Volver a (2).
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De esta manera y para este caso particular de problemas (KU=0) podemos tener en
cuenta el comportamiento anelstico del material en el anlisis de la estabilidad.
Este comportamiento provoca una disminucin general de la capacidad de la
estructura para soportar cargas y por lo tanto un descenso de la carga crtica de
Pandeo.
P
Figura 2.3.19 Material Lineal y No Lineal.
Estructuras Reales 1. Material lineal
Las estructuras reales tienen un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo:
K U = P (2.3.85)
Estas estructuras se las denominan Sistemas imperfectos, a diferencia de las
anteriores.
En estas estructuras a medida que crecen los esfuerzos axiales se modifica la
rigidez general de la misma, ablandndose las barras sometidas a compresin y
endurecindose a traccin. A los efectos de fijar ideas continuemos estudiando
el sistema con dos desplazamientos.
K11 U1 + K12 U2 = P1 (2.3.86) K21 U1 + K22 U2 = P2 (2.3.87)
Este sistema de dos rectas que se cortan en un lugar y permiten determinar los
valores U1 U2 solucin del sistema de ecuaciones.
En los sistemas lineales donde las cargas que crecen proporcionales, las
soluciones se alinean sobre una recta que pasa por el origen.
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Figura 2.3.20 Sistema Lineal con cargas que crecen
proporcionalmente.
Aqu las rigideces kij son independientes de las cargas y por lo tanto las rectas
que representan el equilibrio nodal de una direccin, se trasladan en forma
paralela de acuerdo con los trminos independientes provenientes de las cargas.
Figura 2.3.21 Sistema No Lineal con cargas que crecen.
En los sistemas no-lineales la recta donde se interceptan las soluciones se
transforman en curva y las rigideces kij que dependen de las cargas P cambian y
se trasladan modificando sus pendientes.
Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado equilibrio
indiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado, en
el siguiente grfico podemos sintetizar los distintos comportamientos.
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Figura 2.3.22 Comportamiento con estado de equilibrio diferente.
La indeterminacin se manifiesta en la tendencia hacia la asntota KU=0. Esta
asntota corresponde a la determinada con los esfuerzos axiales finales. Esto
ltimo se debe q