Análisis De Golpes En La Caja - Interacción Entre El Baterista, La Baqueta Y El

Instrumento

Resumen

Esta tesis investiga el momento cuando la baqueta golpea la membrana de una caja. Los experimentos se llevaron a cabo para obtener información acerca de la interacción entre el baterista, la baqueta y la membrana durante un solo golpe. Se realizaron golpes a diferentes niveles dinámicos, en diferentes posiciones en el parche de la caja y para diferentes tensiones. Por otra parte, se analizaron brevemente las posibles influencias del modelo de baqueta y del baterista. Durante 3 y 6 ms de contacto entre la baqueta y la membrana, se encontró que el proceso de interacción es influenciado por la desviación del parche de la caja, la vibración de la baqueta y una onda que viaja sobre el parche de la caja. La alteración de los diferentes parámetros del experimento proporciona una idea de la influencia de cada componente que interactúa en el proceso de golpear la caja.

Contenidos

1. Introducción 2. Marco Teórico

2.1. Diseño De La Caja De Batería 2.2. Física De La Caja De Batería

2.2.1. Vibraciones De Los Parches 2.2.2. Excitación De La Membrana 2.2.3. Vibraciones De La Carcasa De La Caja

3. Experimentos Realizados

3.1. Configuración Del Experimento 3.2. Mediciones Y Equipos De Medición 3.3. Parámetros Variados

4. Análisis Y Resultados

4.1. Análisis De Señales 4.1.1. Fuerza Sobre La Baqueta 4.1.2. Tiempo De Contacto 4.1.3. Aceleración De La Baqueta 4.1.4. El Sonido De La Caja

4.2. Análisis De Parámetros 4.2.1. Nivel Dinámico De Un Golpe 4.2.2. Posición De Golpe 4.2.3. Tensión Del Parche De La Caja 4.2.4. Número De Parches De La Caja 4.2.5. Baquetas

5. Discusión

5.1. Influencia Del Baterista 5.2. Influencia De La Caja 5.3. Influencia De La Baqueta

6. Conclusiones y Trabajo Futuro Bibliografía Lista De Figuras Lista De Tablas A. Análisis detallado de la Fuerza y Aceleración

A.1. Análisis De Aceleración y Síntesis A.2. Síntesis De Fuerza A.3. Integral Doble De Aceleración

B. Análisis Modal De La Vibración Baqueta

Capítulo 1

Introducción

Tratar de entender los detalles físicos de los instrumentos acústicos ha sido un gran reto para la investigación acústica en las últimas décadas. Una notable cantidad de conocimiento sobre este tema ha sido compilado por Fletcher y Rossing en [9]. En base a los resultados de estos trabajos, se han hecho intentos para crear modelos computarizados que imiten la física de la caja. Diferentes técnicas de modelos físicos se describen por Välimäki y otros [17] y una extensa lista de publicaciones que se ocupan de este tema han sido recogidas por Smith [16]. La caja en particular, ha sido objeto de muchas publicaciones, que en la mayoría de los casos se centran en su comportamiento vibratorio. Ejemplos para la investigación en diferentes tipos de cajas se pueden encontrar en [14] y [2]. Publicaciones recientes en el modelado físico de las cajas recogen los resultados de estos trabajos y tratan de modelar la vibración del parche de la caja, como por ejemplo [10] y [1]. Con mucho conocimiento acerca de las vibraciones de la caja, el proceso físico de golpear la caja se ha dejado ampliamente desconsiderado. La investigación sobre el sonido de los golpes, en general, se ha llevado a cabo, por ejemplo dentro del Sounding Object Project [13]. En cuanto a los instrumentos musicales, la interacción del martillo y la cadena en el piano ha sido objeto de muchas publicaciones (por ejemplo, [3]), pero la interacción de baquetas y caja ha permanecido casi como un punto blanco en el mapa de la investigación acústica de la música. Este fue, por lo tanto, el objetivo de este trabajo, tomar una mirada cercana al momento en que la baqueta toca la membrana de una caja y adquirir conocimientos acerca de la interacción entre la caja, la baqueta y el baterista. A continuación en el capítulo 2 se proporciona al lector la información básica sobre la física de la caja. El capítulo 3 describe el experimento principal realizado en el contexto de este trabajo. Los resultados de este experimento se presentan en el capítulo 4. Las conclusiones del análisis se discuten en el capítulo 5 y se resumen en el capítulo 6. Los experimentos adicionales se describen en los anexos A y B.

Capítulo 2

Marco Teórico

Las cajas han evolucionado junto con la raza humana durante los años y siempre han jugado un papel importante en casi todas las culturas musicales. En [4], Blades ofrece una visión detallada de la historia de las cajas y otros instrumentos de percusión. Como sistemas de vibración, Fletcher y Rossing [9] dividen todos los tambores en tres categorías: • Membrana única sobre una cámara de aire cerrada (por ejemplo, timbales, tabla) • Membrana sola sobre una carcasa abierta (por ejemplo, toms, congas) • Dos membranas unidas por una cámara de aire cerrada (por ejemplo, caja) Este trabajo se centra en la caja o tambor y por lo tanto en la tercera categoría de los tambores; asomándose a la segunda categoría, eliminando así el segundo parche para algunos experimentos.

2.1. Diseño De La Caja De Batería

Hoy en día, las cajas se utilizan principalmente en set de baterías, música orquestal y en bandas musicales. Como se ilustra en la Figura 2.1, una caja de batería consta de una carcasa de caja cilíndrica con membranas circulares - los parches de la caja - estiradas sobre las aberturas de la carcasa. En la parte superior de los parches de la caja, los aros de metal o de madera se colocan por encima del borde de la caja. Los tornillos de tensión alrededor de los aros de la caja tiran éstos aros hacia la carcasa del tambor y dan la tensión a los parches. La carcasa de la mayoría de las cajas de batería mide desde 25,40 cm (10 pulgadas) a 40,64 cm (16 pulgadas) de diámetro, 12,70 cm (5 pulgadas) a 25,40 cm (10 pulgadas) de profundidad y está hecha ya sea de madera, fibra de vidrio o de metal. La influencia del tamaño y el material de la carcasa en el sonido de la caja llevan a una gran variedad de diferentes modelos de cajas para satisfacer las preferencias de cada baterista.

Figura 2.1: Cajas típicas utilizadas en orquestas o conjunto musicales.

Fuente: www.pearldrum.com En cuanto a los parches, existen en tantas variaciones como carcasas de cajas. El material base para la mayoría de parches es Mylar®, una fuerte lámina de poliéster. En base a este material común, los fabricantes han ideado un gran número de variantes, como por ejemplo, parches de varias capas o parches

con una región más gruesa en el borde. Todas esas modificaciones influyen en el comportamiento vibratorio del parche como se describe en la sección 2.2.1 y por lo tanto en el sonido de la caja. Además de la carcasa y los parches, hilos de alambre – de la caja - se extienden a través de la parte inferior, o cabeza de la caja para determinar el sonido de una caja de la batería. Cuando se golpea la parte superior o cabeza de la caja, las cuerdas empiezan a vibrar contra la cabeza de la caja y le dan a la caja su singular sonido agudo. Por otra parte, la mayoría de las cajas de batería están equipadas con un mecanismo de palanca que permite liberar las cuerdas de la cabeza de la caja. Sin el zumbido característico de las cuerdas, la caja entonces sonaría más como un tom de dos membranas. Por lo general, la caja se toca con un par de baquetas. Aunque hay baquetas hechas de materiales sintéticos como la fibra de carbono, la mayoría de las baquetas son de madera - de preferencia de nogal, arce o roble. La mayoría de las baquetas miden entre 38 cm y 42 cm de longitud y pesan entre 40 g y 70 g. En algunos modelos, la punta de madera de la baqueta se sustituye con una punta de nylon que otorga una mayor durabilidad. Al golpear un platillo con la baqueta, la forma de la punta influye en el sonido y por lo tanto la forma de la punta se ha convertido en un parámetro importante también. Sin embargo, hasta ahora no existe ninguna indicación real de que la forma de la punta tenga algún efecto en el sonido de los tambores. En [11], Irwin examinó el sonido iniciado por diferentes baquetas y afirma que "las amplitudes de los diferentes elementos parciales inducidos no fueron significativamente diferentes cuando se cambió la forma / tamaño de la punta drásticamente". La Figura 2.2 muestra el extremo frontal de cuatro baquetas diferentes y da una impresión de la variedad de modelos disponibles. Una descripción más detallada de los diferentes diseños de baquetas está dada por Zoutendijk [18].

Figura 2.2: Cuatro ejemplos de baquetas de longitud L y diámetro d del eje. Tipo de forma: a) 'lágrima', b) 'barril', c) 'redondas', d)

"ovalada" (material de nylon). Fuente: www.vicfirth.com

2.2. Física De La Caja De Batería

Como para cualquier otro instrumento musical complejo, no existe un modelo genérico simple que explique o incluso simule el comportamiento físico de una caja en su totalidad. Por tanto, es conveniente tomar la caja por separado y echar un vistazo de cerca a cada componente con sus propiedades físicas individuales. Dado que los experimentos llevados a cabo en el contexto de este trabajo se centraron en una caja con las cuerdas retiradas, las vibraciones incididas contra el parche inferior se quedarán fuera. El lector interesado encontrará esta acción de las cuerdas explicada en [9] y [14].

2.2.1. Vibraciones De Los Parches

Las partes más obvias de generación de sonido en las cajas son los parches. Un parche de caja vibratorio es un sistema físico complejo y para entender su comportamiento, es útil comenzar con un modelo simplificado - la membrana circular ideal.

La Membrana Circular Ideal Una membrana circular ideal se define por su diámetro d [m], la tensión superficial T [N / m] y densidad superficial ρ [kg/m2]. Atributos como la resistencia a la flexión o la densidad del material no-uniforme se desprecian en este modelo. El comportamiento de vibración de una membrana circular ideal, fijado en su circunferencia, es bien conocido (véase, por ejemplo [9]): cuando se excita, la membrana vibra con una superposición de modos de orden (m, n), donde m define el número de diámetros nodales y n el número de círculos nodales incluyendo el límite circular. Estas líneas y círculos nodales se definen como regiones en las que el desplazamiento de la membrana para el modo particular es mínimo. La Figura 2.3 ilustra los primeros doce modos de una membrana ideal, con las regiones nodales indicadas por líneas continuas. Basados en la distribución de estas regiones, los modos se pueden dividir en tres grupos, indicados por diferentes colores en la Figura 2.3:

Modos circulares con m = 0, n ≥ 1 (azul)

Modos radiales con m ≥ 1, n = 1 (verde)

Modos mixtos con m ≥ 1, n ≥ 1 (rojo) La frecuencia del modo fundamental (0, 1) se calcula como

𝑓0,1 =2.405

𝜋𝑑 𝑇

𝜌

(2.1) Las relaciones de frecuencia entre los modos más altos y el modo fundamental como el anotado en la Figura 2,3 son en general de inarmónicas, dejando el sonido de la única membrana sin un tono definido.

Membranas Reales El modelo de la membrana ideal descuida dos influencias principales: las propiedades del material de la membrana y el medio ambiente, es decir, el aire que rodea a la membrana vibrante.

Figura 2.3: Modos de una membrana circular ideal. Los valores (m, n) denotan el número de nodos diametrales m y nodos circulares n y

determinan el orden del modo. La fracción debajo de la orden da la relación de la frecuencia del modo Fm,n en relación con f0, 1. Los colores utilizados dividen los modos en tres grupos: circulares (azul), radial (verde) y los modos mixtos (rojo).

La vibración de una membrana conduce a una flexión y cizallamiento del material. Una membrana real resiste estas deformaciones elásticas hasta un cierto grado debido al grosor y a las propiedades del material de la membrana. Esta resistencia se llama resistencia a la flexión y resistencia a la cizalladura y, en general, aumentan las frecuencias modales de la membrana. Agregado a este efecto, cualquier irregularidad en el material puede alterar la estructura modal. En parches de cajas modernas, por ejemplo, se utilizan anillos adicionales o capas de mylar sobre la membrana para crear específicamente irregularidades en la estructura de la membrana. Estas modificaciones a continuación, amortiguan o cambian ciertos modos de frecuencia e influyen en el sonido de la caja, por ejemplo, que sea más armónico. Un ejemplo extremo de este efecto es la tabla india como se describe en [9]: un parche grueso aplicado en el medio de la membrana provoca un patrón completamente diferente de los modos de vibración. Concentrándose en las membranas delgadas, de una sola capa, otro efecto juega un papel más dominante – la carga de aire. Este término describe el hecho de que la membrana interactúa con el aire circundante cuando se está vibrando. El aire que se mueve por la membrana, puede afectar a la frecuencia de los modos de resonancia en dos direcciones posibles. La mera presencia de aire alrededor de una membrana provoca una disminución de las frecuencias modales. En contraste, un volumen de aire confinado por una segunda membrana o un timbal cerrado aumentará las frecuencias, especialmente de los modos circulares. En la práctica, el efecto de la carga de aire se puede observar en el sonido de los timbales cerrados o timbales: el volumen de aire cerrado del timbal cerrado es responsable de un cambio de los modos que se traduce en una relación casi armónica de los modos y da un campo definido al sonido de los timbales.

Membranas Acopladas En cajas con dos parches, ambas membranas interactúan a través de la carcasa o entre el volumen de aire encerrado entre ellos. Esta interacción, o acoplamiento, conduce a la formación de pares de modos como se ilustra en la Figura 2.4, en especial para los modos de orden inferior. Como se indicó anteriormente, una sola membrana muestra un único modo de orden (0, 1) a la frecuencia f0, 1. Cuando dos membranas están estiradas sobre una carcasa de una caja, ellas en conjunto producen dos modos de orden (0, 1) en las frecuencias f0, 1a y f0, 1b. En el caso de f0, 1a, los movimientos de los dos parches están en fase, mientras que para f0, 1b, las membranas se mueven con fase opuesta. En [14], Rossing y otros describen este efecto con detalle y calculan las frecuencias modales resultante usando un modelo de dos masas.

Figura 2.4: Acoplamiento de dos membranas en los dos primeros modos de resonancia. La vista lateral de la caja ilustra la fase relativa de las dos membranas vibratorias. f0, 1 y f1 1, representan la frecuencia modal de una sola membrana, los subíndices adicionales a y b

marcan las frecuencias de las parejas de modos.

2.2.2. Excitación De La Membrana Para instrumentos de percusión, la estructura de vibración de la membrana tal como se describe en la sección 2.2.1 se excita al golpear el parche, ya sea con la mano o una herramienta de percusión - la baqueta en el caso de la caja. En cuanto al proceso de excitación, dos variables son de gran importancia: la posición del golpe y las propiedades de la herramienta de golpeo.

Posición De Golpe Como se ilustra en la Figura 2.3, los modos de una membrana tienen regiones nodales circulares o diametrales, es decir, regiones en los que el desplazamiento de la membrana es mínimo para este modo. Al salir de un sistema de vibración en un momento dado, todos los modos que tienen una región nodal en este punto están teóricamente no excitados. Por lo tanto, al golpear una membrana circular, los modos con un nodo lineal o circular en la posición de golpe no serán capaces de acumularse. Un golpe en el centro mismo de una membrana, por ejemplo, excitará sólo a los modos circulares (0, n), ya que todos los demás modos - radial y mixto - tienen una línea nodal a través del centro. Por el contrario, una membrana excitada cerca de su periferia tendrá teóricamente incluida todas las frecuencias modales en su espectro de vibración. La importancia de este principio fundamental es que se vuelve audible cuando la caja es golpeada desde el centro y cerca del aro, respectivamente. El golpe centrado producirá un corto, bajo, y agudo ruido con la mayor parte de su energía contenida en el modo(s) circular más bajo (0, 1). Golpear la caja cerca del borde será, por otra parte, dar lugar a un sonido más duradero con más energía en los modos más altos. El lugar normal para golpear los timbales orquestales por ejemplo, se encuentra aproximadamente a un cuarto de la distancia desde el borde hasta el centro de la membrana. Excitando a la caja en esta posición, transfiere más energía a los modos radiales (m, 1), lo que contribuye al carácter tonal de los timbales. Al golpear los timbales en el centro, este carácter se pierde ya que los modos circulares (0, n) dominan el espectro del sonido de la caja.

Herramienta De Golpe Las propiedades de la herramienta de percusión o baqueta también juegan un papel importante en la excitación de los modos. Cuando se golpea una caja o cualquier otro instrumento de percusión, la transmisión de fuerza entre la baqueta y el instrumento es responsable de la energía transferida al instrumento. Esta interacción refleja una convolución en el dominio del tiempo - o una multiplicación en el dominio de la frecuencia - del impulso de la fuerza aplicada 𝑓(𝑡) y la respuesta de impulsos del instrumento como sistema vibracional 𝑕(𝑡). Esto da lugar a la vibración 𝑠(𝑡) del instrumento:

𝑠 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗ 𝑕(𝑡) (2.2)

O en el dominio de la frecuencia:

𝑆(𝑗𝜔) = 𝐹(𝑗𝜔) · 𝐻(𝑗𝜔) (2.3)

La Ecuación 2.3 muestra claramente que el espectro 𝐹 (𝑗𝜔) del impulso de fuerza determina la frecuencia modal más alta excitada en el instrumento. Este comportamiento ha sido investigado por Bork para el xilófono [5] y por Asano y otros para un tambor japonés [2].

2.2.3. Vibraciones De La Carcasa De La Caja Al igual que los parches, la carcasa de la caja igual vibra en los modos. Aunque el movimiento de la carcasa es muy pequeño en comparación con el desplazamiento del parche, un fuerte acoplamiento entre el parche y el movimiento de la carcasa conduce a una contribución significativa de los modos de la carcasa con el espectro del sonido de la caja. Dado que la vibración de la carcasa no tiene una influencia directa en la interacción entre el parche y las baquetas, se queda hasta aquí en este punto. El lector interesado puede encontrar una descripción detallada del movimiento de la cascara en [14].

Capítulo 3

Experimentos Realizados

3.1. Configuración Del Experimento

Configuración Espacial Para el análisis de la interacción entre el baterista, la baqueta y el instrumento en un contexto realista, ha sido creado un montaje experimental como se ilustra en la Figura 3.1. Como en los set de baterías, la caja se apoya sobre un soporte de percusión con el baterista que se sienta delante de esta. Este posicionamiento permite el baterista tocar de una forma relajada y natural.

Figura 3.1: Configuración espacial de los experimentos realizados. La caja se apoya en un soporte de batería y el baterista se asienta delante. Esta es la posición normal para tocar batería. Un micrófono a una distancia de un metro capturando el sonido del tambor.

Cajas y Parches Sujeto a todas las medidas efectuadas fue una caja de batería Ludwig con una cáscara de metal cromado, con 35,56 cm (14 pulgadas) de diámetro y 12,70 cm (5 pulgadas) de profundidad. Esas dimensiones, representan un tipo popular de caja usada tanto en batería y en orquestas. La caja fue equipada con parches Remo Embajador – recubierto por el lado del golpe, transparente para abajo de la caja. Tiene 0,254 mm (0,01 pulgadas) de espesor, el modelo de capa simple de golpe es una opción muy popular entre los bateristas de todos los géneros y fue elegida como un parche típico de caja. Para obtener una señal de audio limpia de la vibración de los parches de la caja, las cuerdas y su mecanismo de palanca fueron retirados de la carcasa. Mientras se graba un solo parche de la caja, el aro inferior y la cara inferior de la caja se retiraron también.

Baquetas Un par de baquetas Vic Firth American Classic 5B (en adelante, Vic Firth) fueron seleccionadas como un buen ejemplo de baqueta común utilizada para set de baterías. Este modelo de baqueta, hecho de nogal americano, es de 40,64 cm de largo, tiene un diámetro de eje de 1,50 cm y un peso de 53 g. La forma de la punta de madera entra en la categoría 'lágrima'.

Durante los experimentos, un par de baquetas Premier Jim Kilpatrick KP2 (en adelante, Premier) además, fue elegido para contrastar las propiedades de la Vic Firth. Este palo de arce pesa 56 g, es 40,40 cm de largo, tiene una punta de 'barrel' en forma de madera y un eje ligeramente cónico que alcanza un diámetro de 2,00 cm en el extremo de la baqueta. La Figura 3.2 compara las dimensiones de los dos modelos seleccionados.

Figura 3.2: Ilustración de los dos modelos de baqueta utilizados en el experimento.

Baterista Debido a la gran cantidad de permutaciones posibles de los parámetros, el número de sujetos se mantuvo a un mínimo. La mayoría de las grabaciones fueron realizadas tanto por el autor de este trabajo, con experiencia básica en set de baterías. Con el fin de validar que los golpes grabados no fueran significativamente diferentes de los golpes que un baterista profesional realizaría, se invitó a un baterista de estudio profesional con más de 20 años de experiencia en baterías para participar en los experimentos. Durante el análisis, se encontró que las características clave de las señales estaban presentes en el aficionado y en el profesional.

Técnica de agarre Los dos bateristas que participan en los experimentos sostuvieron la baqueta utilizando el agarre emparejado y la posición alemana. Para esta técnica de agarre, la baqueta se sujeta entre el pulgar y el dedo índice en el llamado punto de apoyo (véase la Figura 3.3a). Para equilibrar la baqueta correctamente, el punto de apoyo se elige normalmente en aproximadamente un tercio de la longitud de la baqueta medida desde el extremo trasero. Durante el golpe, la baqueta rota alrededor del punto de apoyo y es guiada libremente por los tres dedos restantes. Para la posición alemana, la parte posterior de la mano quede hacia arriba durante el movimiento como se ilustra en la Figura 3.3b.

Figura 3.3: a) Ilustración de la técnica de agarre emparejado. El palo se sostiene entre el pulgar y el índice y gira alrededor del punto de

apoyo en aproximadamente un tercio de la longitud del palo desde el extremo trasero. b) Para la posición alemana, el palo gira alrededor del punto de apoyo y la posterior de la mano quede hacia arriba. Fuente: [8]

3.2. Mediciones Y Equipos De Medición Se exploraron diferentes métodos para obtener el conocimiento del proceso de interacción entre la baqueta y el parche. Este proceso de evaluación dio lugar a las últimas cuatro cantidades medidas fuerza de contacto, aceleración de la baqueta, tiempo de contacto y sonido.

Figura 3.4: Vista lateral de la punta modificada de la baqueta Vic Firth utilizada en el experimento. Las posiciones de los equipos de

medición se muestra en la imagen superior se resumen en la ilustración inferior: acelerómetro en la parte superior, cristal piezoeléctrico pegado en un corte en la punta y la cinta de cobre conductora sobre la superficie de contacto de la punta.

Fuerza de contacto Para obtener la fuerza en la baqueta durante su contacto con el parche, se pega un cristal piezoeléctrico pequeño y circular en un corte en la punta de la baqueta (ver Figura 3.4). La aplicación de esfuerzos mecánicos en la punta y por lo tanto en el cristal, dan lugar a un cambio en la carga eléctrica del cristal. A través de un cable coaxial delgado soldado a las dos superficies de contacto del cristal, esta pequeña señal se alimenta a un amplificador de carga Brüel & Kjær Type 2635 para acondicionamiento de señal antes de la grabación. El cristal se calibró mediante la comparación de la señal de fuerza creada con la señal de un transductor de fuerza calibrado (Brüel & Kjaer Impedance Head 8001). Mientras se golpea el transductor calibrado con la baqueta, la amplificación de entrada del amplificador de carga del cristal se ajustó hasta que tanto la señal de la baqueta y la señal del transductor se igualaran.

Aceleración del golpe Perpendicular a las superficies de contacto del cristal, un pequeño acelerómetro piezoeléctrico (Endevco Model 22, peso: 0,4 g) se pegó en la parte superior de la punta de la baqueta para obtener la aceleración de la punta durante el contacto con el parche (ver Figura 3.4). La señal del acelerómetro se amplificó por un segundo amplificador de carga (Brüel & Kjær Type 2635) y luego fue registrado.

Tiempo De Contacto Para medir el tiempo de contacto exacto entre la baqueta y el parche, se adjunto un pedazo de cinta de cobre fino (0,2 mm) a la punta de la baqueta (ver Figura 3.4). Durante el contacto con el parche, esta cinta

cierra un circuito eléctrico a través de una superficie de pintura conductora en el parche. El cambio en el voltaje, medido sobre una resistencia en serie en el circuito, marca el contacto entre la baqueta y el parche. La pintura a base de grafito se pulverizó sobre el parche de la caja para formar una tira de 2 cm de ancho conductora desde el centro del parche de la caja hacia el borde como se ilustra en la Figura 3.6. Se supone que esta fina capa de pintura no altera el comportamiento de vibración de la membrana. Agregando los equipos de medida - incluyendo los cables adjuntos - a la baqueta, se altera ligeramente su masa y su centro de gravedad. Sin embargo, ambos bateristas involucrados en el experimento declararon que todavía era posible sostener la baqueta en una posición cómoda y normal.

Sonido Como cuarta medida, se registró el sonido de la caja. Un micrófono de cardioide (Brüel & Kjær 4021) se colocó a un metro del centro de la cara superior, apuntando a la caja en un ángulo de 45° como se ilustra en la Figura 3.1.

Equipos de grabación Se grabaron señales de fuerza y aceleración usando una interfaz de audio digital DC-acoplado trabajando a una frecuencia de muestreo de 32 kHz con una resolución de 16 bits. El sonido y el tiempo de contacto se registran a 96 kHz / 16 bits utilizando una interfaz de audio digital M-Audio Delta 1010LT. Aunque los dos sistemas de grabación no se sincronizaron, la naturaleza transitoria de las señales grabadas permite una sincronización precisa durante el análisis de los datos medidos.

3.3. Parámetros Variados

Nivel dinámico

Figura 3.5: Ejercicio de batería utilizado en el experimento. Un crescendo de piano forte es seguido por golpes simples en tres niveles

dinámicos. La pausa entre los últimos cuatro golpes en cada nivel dinámico permite que el sonido del tambor se descomponga por completo.

La Figura 3.5 muestra el ejercicio que se presentó al baterista. La primera parte del ejercicio fue un crescendo de piano Forte para reunir datos a través de un cierto rango dinámico. Para obtener datos más fiables, se registró una fila de golpes simples y luego tres niveles dinámicos: piano, mezzo forte y forte. Las últimas cuatro medidas de estos patrones de golpes individuales incluyen las pausas entre los golpes para asegurar una descomposición completa del sonido de la caja.

Para cada nivel dinámico, fueron seleccionados para el análisis cuatro golpes de fuerza de amplitud semejante. De esta manera, los golpes pueden ser emparejados según la amplitud y según los artefactos, que afectan a golpes simples, y que podrían ser excluidos.

Posición Del Golpe En El Parche El ejercicio se ejecutó en cuatro posiciones entre el centro y el borde de la caja como se ilustra en la Figura 3.6. Estas cuatro posiciones se denominan posiciones de golpe y fueron nombradas Centro, Fuera Del Centro, Dos Tercios y Borde. Un pequeño círculo de color en la parche de la caja marcó cada posición y fue hasta donde el baterista controlara su golpe, por lo que se golpeó la caja en la posición deseada. Aunque no se registró la posición exacta del golpe, algo de información acerca de esto pudo ser extraída de la fuerza medida y el tiempo de contacto. La estrecha franja de pintura conductora en el parche forzó una cierta precisión de posicionamiento para obtener una señal de contacto adecuada. El cambio de la posición de golpe a lo largo de la tira conductora lleva a una forma ligeramente diferente del impulso de fuerza medido. Con estos dos indicadores, las variaciones de la posición de golpe podrían reducirse al mínimo para los golpes seleccionados para el análisis.

Figura 3.6: Ilustración de las cuatro posiciones de golpe marcadas en el parche de tambor. Con la misma distancia de 5,5 cm entre los puntos, la posición más exterior Borde era 1,28 cm cerca del límite de la caja. La tira gris pegada a lo largo de las posiciones de golpe

indica la posición de la zona de pintura conductora aplicada sobre el parche de la caja.

La Tensión Y El Número de Parches El ejercicio se llevó a cabo en tres tensiones diferentes de los parches. Además, las grabaciones se hicieron con sólo el parche superior y el parche inferior fue eliminado. Como se describe por Rossing y otros en [14], la medición de la tensión de un parche es un proceso de tiempo y es complejo. En este trabajo, el valor real de la tensión era de menor interés que la capacidad de reproducir una cierta tensión. Para este fin, una herramienta llamada Reloj de Tensión (véase la fig. 3.7) se utilizó para ajustar los parches. El reloj de tensión no mide la tensión real del parche de caja como sugiere su nombre, sino más bien una rigidez local, que se puede utilizar para reproducir diferentes tensiones del parche. Para afinar el parche, el Reloj de Tensión se colocó sucesivamente cerca de todos los tornillos del aro de la caja que luego se tensa y afloja hasta que el dial del Reloj de Tensión indica el mismo valor para todas las posiciones medidas. Después de ajustar el parche en el valor deseado en el Reloj de Tensión, el parche se afinó a oído y finalmente controlado usando el Reloj de Tensión de nuevo. Después de este proceso, el parche superior se tensa hasta valores de 75, 80 y 85 en el Reloj de Tensión. Estos valores coinciden con los ejemplos de tensión publicados por Tama para la caja de batería y se conoce como baja (75), media (80) y alta (85). Para todos los experimentos con ambos parches, el parche inferior fue ajustado cinco divisiones por encima de la escala del parche superior.

Figura 3.7: Reloj de Tensión Tama usado para afinar los parches para crear tensiones reconstruibles. Fuente: www.tama.com

Baquetas Como se describe en la sección 3.1, se utilizaron dos modelos de baquetas diferentes durante los experimentos. La mayoría de las grabaciones se realizaron con la baqueta Vic Firth. Para obtener más información acerca de la influencia de la vibración de las baquetas, se realizó una grabación adicional utilizando la baqueta Premier.

Capítulo 4

Análisis Y Resultados El análisis de las señales medidas se divide en dos partes. La sección 4.1 le da al lector una descripción de las señales obtenidas mediante el análisis de un solo golpe. La sección 4.2 luego se ocupa de la influencia de los parámetros de las magnitudes medidas.

4.1. Análisis De Señales Para entender las características de las señales medidas, será analizado un solo golpe en esta sección. El ejemplo elegido es un golpe fuerte con las baquetas Vic Firth en la posición Central. El parche superior se ajusta a una tensión baja y el parche inferior ha sido eliminado. En las siguientes secciones se analizará la fuerza, la aceleración, el tiempo de contacto y el sonido para este golpe en particular y se describirán las características de las señales medidas.

4.1.1. Fuerza Sobre La Baqueta El panel superior de la Figura 4.1 muestra la fuerza en la punta de la baqueta durante el golpe. En el momento 𝑡0 = 0 𝑚𝑠, la baqueta toca el parche y la fuerza del golpe comienza a aumentar debido a la flexión de la membrana. La deformación del parche solo causaría la fuerza para aumentar hasta un valor máximo y después disminuirá a medida que el golpe es rechazado por la membrana. Mientras que esto daría lugar a un impulso de fuerza con un máximo absoluto, la señal medida dispone de un mínimo local en la parte superior del impulso marcado en A en la Figura 4.1. Una explicación para esta forma del impulso de fuerza se encuentra en la vibración de la baqueta que se puede observar como un componente periódico en la señal de aceleración en el panel inferior de la Figura 4.1. La fuerza de contacto entre el parche y las baquetas no sólo establece el movimiento de la membrana, sino que también inicia una vibración en la baqueta.

Figura 4.1: Fuerza y aceleración medida de un golpe fuerte en el centro del parche. Las líneas horizontales debajo de la señal indican la

fuerza de contacto entre la baqueta y el parche de la caja. Las letras A y D marcan una influencia de la vibración de las baquetas sobre la fuerza y la aceleración. Las letras B, C, E y F marca la interacción de la baqueta con una onda que viaja en la parche de la caja.

Es esta vibración - especialmente el peak marcado D en la señal de aceleración – la que afecta a la interacción entre la baqueta y el parche y conduce a la característica de mínimo local en el marcador A. Un análisis más detallado de la vibración de la baqueta y su influencia en la señal de fuerza puede encontrarse en el apéndice A. En 𝑡 ≈ 𝑡0 + 3.5 𝑚𝑠 la baqueta sale de la membrana y la fuerza sobre la baqueta cesa. Después de que la baqueta ha salido de la membrana, la señal de fuerza muestra dos impactos débiles más a partir de 𝑡 = 3.75 𝑚𝑠 y 𝑡 = 5.6 𝑚𝑠 marcados como B y C en la Figura 4.1. Como la señal de contacto indica, el toque de baqueta y membrana se repite durante estos pulsos cortos y se concluye que la interacción de la baqueta con las reflexiones de una onda que viaja en la parche es la responsable de un segundo y tercer impacto. Esta onda viajera circular se inicia por el impacto de la baqueta en el parche - similar a la onda causada por una piedra al caer en un charco de agua. Comenzando en el punto de contacto, que se propaga a través del parche y se refleja en el borde. En este ejemplo en particular con el golpe colocado en el centro del parche, las primeras reflexiones del borde llegan a la posición de golpe al mismo tiempo desde todas las direcciones. El retardo de tiempo entre el impacto de la baqueta en el centro del parche y la llegada de la onda que viaja en el borde se midió con un acelerómetro montado en la membrana cerca del borde de la caja. El retraso medido de aproximadamente 1,7 ms indicó que es verdad de que el frente de onda de retorno toca la baqueta sobre su camino hacia arriba y genera dos golpes en la señal de fuerza. En el ejemplo elegido, la baqueta pierde su contacto con la membrana antes de que llegue la onda reflejada. La flexión de la membrana debido a las reflexiones que llegan a continuación, conduce a un segundo y tercer contacto. Tales múltiples contactos también se pueden observar en la interacción entre el martillo y la cuerda en el piano como se describe por ejemplo por Askenfelt y Jansson en [3]. En resumen, tres partes fueron identificadas en la señal de fuerza grabada:

La deformación del parche, provocando un impulso de fuerza positiva

La vibración de la baqueta, alterando la forma del impulso de fuerza (marca A en la Figura 4.1)

Reflexiones de una onda que viaja en el parche, interactuando con el proceso de contacto (marcas B y C en la Figura 4.1)

Se puede observar que después de que la baqueta está completamente liberada de la membrana, se puede observar una fuerza negativa pequeña y cambiante. Esta señal se llegó a la conclusión que es causada por la vibración de la baqueta. Debido a la fijación rígida del cristal piezoeléctrico en la madera de la baqueta, una flexión de la baqueta y por lo tanto, un corte de la madera causan una señal de fuerza medible. La magnitud de esta fuerza era, sin embargo, pequeña en comparación con la fuerza causada por los contactos reales y por lo tanto fue despreciada.

4.1.2. Tiempo De Contacto El tiempo de contacto se define como el tiempo durante el cual la baqueta y el parche están en contacto físico. Para múltiples contactos, el tiempo de contacto se midió desde el comienzo de la primera hasta el final del último contacto. La Figura 4.2 muestra la señal de contacto medida por el golpe de ejemplo. Como la amplitud no lleva ninguna información, la señal de contacto se abstrae de una línea horizontal, que indica el tiempo de contacto. En teoría, el tiempo de contacto también puede determinarse a partir de la señal de fuerza como el lapso de tiempo durante el cual la fuerza es mayor que cero. Como muestra la Figura 4.2, esto es más o menos cierto para el ejemplo elegido. Para las señales de fuerza con inicios y finales menos definidos, sin embargo, el tiempo de contacto medido resultó ser más preciso que el valor estimado de la señal de fuerza.

Figura 4.2: Señal de contacto medida para el golpe. La curva alterna refleja la tensión de contacto real medida. La línea horizontal

debajo es una abstracción de esta señal. La comparación de la señal de la fuerza con la señal de contacto indica la relación entre la fuerza y el tiempo de contacto.

4.1.3. Aceleración De La Baqueta A pesar de que la aceleración de la baqueta en la Figura 4.1 tiene un carácter más periódico que la señal de fuerza, se encontró que se reflejan los mismos componentes - deformación del parche, la vibración de la baqueta y las reflexiones de una onda en el parche. Cuando la baqueta hace contacto con el parche, la deformación del parche primero desacelera la baqueta y a continuación, lo acelera en la dirección opuesta cuando la rechaza. Esto conduce a un pulso negativo en la señal de aceleración correspondiente al impulso de fuerza positivo. En la Figura 4.1, este impulso de aceleración se hace visible como un componente DC negativo durante el tiempo de contacto. Superpuesta sobre este componente DC está una fuerte señal periódica que contiene las frecuencias modales de la baqueta en aproximadamente 400, 1.0K, 1.7K y 2.7K Hz. Esta vibración continúa después que la baqueta ha dejado el parche y tiene una duración de alrededor de 100 ms en el ejemplo seleccionado.

Debido a su efecto sobre la fuerza de contacto, esta vibración de la baqueta se analizó con más detalle. Los Apéndices A y B contienen información acerca de estos experimentos adicionales. Medida en la señal de fuerza, la interacción de la baqueta con las reflexiones de la onda que viaja en la membrana tiene un efecto sobre la aceleración medida. Cuando la primera reflexión llega 3,75 ms después del impacto, la señal muestra un pico negativo marcado con una E en la Figura 4.1. El segundo impacto más débil tiene un ligero efecto en una pendiente descendente de la vibración de la baqueta marcado con F. Con el aumento de la tensión, las reflexiones llegan antes y tienen un efecto más destacado tanto en la fuerza y en la aceleración (véase la sección 4.2.3).

Figura 4.3: El sonido grabado del golpe de ejemplo representado en el tiempo y frecuencia. El modo circular (0,1) a f0, 1 = 140 Hz fue

marcado en el espectro.

4.1.4. El Sonido De La Caja La Figura 4.3 muestra la representación en tiempo y frecuencia del sonido grabado creado por el golpe forte. La señal de tiempo ilustra el carácter transitorio de la caja y revela una vibración dominante, con un periodo de 𝑇 ≈ 7 𝑚𝑠. El espectro de frecuencia de esta vibración identifica como a (0, 1) el modo fundamental a los f0, 1 = 140 Hz. El modo fundamental estaba presente en todas las señales grabadas y era por lo tanto un buen indicador de un posible desplazamiento de las frecuencias modales debido a una variación de los parámetros. Todos los espectros de sonido mostrados fueron creados usando una Transformación Rápida de Fourier (FFT) con una longitud de ventana de 340 ms. Debido a la naturaleza transitoria de la señal, no se aplicó ninguna función ventana. Dado que los modos no siempre eran distinguibles en esta representación, una representación tridimensional de una Transformada de Fourier de Tiempo Reducido (STFT) fue utilizada para identificar los modos individuales. Aquí, la longitud de la ventana era de 170 ms y se aplicó una ventana de Hanning a los golpes de señal.

4.2. Análisis De Parámetros En base a la información general de la señal en el apartado anterior, en esta sección se analizará la influencia de los cambios en los parámetros de las cantidades medidas. Para cada parámetro, se seleccionó un conjunto de golpes representativos para ilustrar la influencia del parámetro.

4.2.1. Nivel Dinámico De Un Golpe Fuerza, Aceleración y Tiempo de Contacto

Figura 4.4: Fuerza y aceleración para un crescendo en el centro del tambor. Las baquetas Vic Firth y un parche de caja a baja tensión. El

crescendo comienza en el piano (1) y termina con un golpe fuerte (8). La fuerza se eleva durante el crescendo por un factor de alrededor de 33 a partir de piano Forte.

Para aumentar el nivel dinámico de un golpe, el baterista aumenta la velocidad de la baqueta según lo informado por Dahl [7]. Durante un crescendo en la caja, este aumento de la velocidad de la baqueta conduce a impactos más fuertes y por lo tanto, al aumento de las fuerzas de impacto. La Figura 4.4 muestra la fuerza y la aceleración de un crescendo tocado en el centro de la caja e ilustra claramente el aumento de la fuerza en la baqueta durante un crescendo. Para esta grabación en particular, la amplitud de peak de los impulsos de fuerza medidos se eleva desde 3N (piano) hasta un poco más de 100N (forte) - un aumento de la fuerza por un factor de 33. La forma de los impulsos de fuerza cambia también con el nivel dinámico. Como se indica en la sección 4.1.1, la vibración de la baqueta es responsable de la forma característica del impulso de fuerza. La señal de aceleración en la Figura 4.4 muestra que esta vibración se vuelve más fuerte con el aumento de la fuerza del impacto. Para los últimos cuatro golpes, el mínimo local en la parte superior del impulso de fuerza por lo tanto, se hace más y más pronunciado. Similar a la influencia de la vibración de la baqueta, la influencia de la onda que viaja en el parche también se hace más fuerte con una fuerza creciente. Para los tres primeros golpes, las reflexiones que llegan de esta onda aparecen como un aplanamiento en la pendiente descendente del impulso de fuerza, comenzando

alrededor de 4 ms después del impacto. Desde el cuarto golpe en adelante, la llegada de las reflexiones puede distinguirse como pequeños peaks alrededor de 4 ms y cerca de 6 ms. En la señal de aceleración, el primer contacto con las reflexiones es visible como un peak de aceleración negativa en 4 ms. Aunque el peak de fuerza en 4 ms gana un poco de amplitud al aumentar el nivel dinámico, el segundo a 6 ms parece perder efecto. Esta observación puede explicarse por el aumento de la velocidad para los rebotes de la baqueta. Para el octavo golpe, el palo ya está tan lejos de la membrana que el segundo contacto con la onda que viaja es demasiado débil para crear un peak real en la señal de fuerza. Con el aumento de la amplitud, la interacción entre la baqueta y la onda reflejada en el parche también parece ocurrir antes. Para el golpe forte (golpe (8) en la Figura 4.4), el primer contacto con la onda viajera se puede observar aproximadamente 160 µs antes que para el golpe anterior. Esto sugiere que con el aumento de la fuerza en el parche, la velocidad de propagación de la onda que viaja aumente también. La magnitud de medición 160 µs corresponde a un aumento en la velocidad en aproximadamente un 4% entre el séptimo y el octavo golpe del crescendo. Una posible explicación para este comportamiento es un aumento en la tensión del parche causado por la fuerza, que la baqueta aplica sobre la membrana. Como se describe en la sección 4.2.3, se encontró un aumento de la tensión que causa una velocidad de propagación superior de tal onda viajera. Para la combinación alto nivel dinámico, baja tensión del parche y posición de golpe central, la baqueta pierde temporalmente el contacto con la membrana, ya sea antes o durante su interacción con la onda reflejada. Esto provocó varios contactos como se describe en la sección 4.1.1. Para el crescendo en la Figura 4.4, los contactos dobles pueden ser observados para el séptimo y el octavo golpe cuando la baqueta pierde el contacto durante la interacción con la onda viajera. La baja velocidad de la onda viajera causada por la baja tensión de la membrana y la distancia máxima al borde causada por la posición del golpe central, da como resultado una llegada tardía de las reflexiones. Este retraso en la llegada le da a la baqueta la oportunidad de una parte de la membrana antes de interactuar con el frente de onda reflejada. A mayores tensiones o en diferentes posiciones de golpe, las reflexiones de la onda llegan antes e interactúan con el impulso de la fuerza principal (véanse las secciones 4.2.2 y 4.2.3). La velocidad del golpe junto con las reflexiones sobre la membrana determinan el tiempo de contacto del golpe. En los niveles dinámicos más altos, resulta evidente a partir de la forma del impulso de fuerza que la baqueta ya sale del parche después de aproximadamente 3,5 ms. Debido a las reflexiones que llegan, sin embargo, la baqueta permanece en contacto hasta que se ha ganado una distancia suficiente del parche y ya no se ve afectada por la flexión de membrana. Con el aumento de nivel dinámico, es decir, aumento de la velocidad de la baqueta, el tiempo de contacto disminuye (véase la fig. 4.7).

Sonido

Figura 4.5: Representación de tiempo y frecuencia del sonido grabado para un crescendo tocado en el centro del tambor. Las baquetas Vic Firth y con el parche de caja a baja tensión. Con el aumento de nivel dinámico, el nivel de sonido aumenta mientras que la estructura

modal sigue siendo ampliamente estable. Para un alto nivel dinámico, la frecuencia del modo (0,1) aumenta ligeramente por 3 Hz.

La Figura 4.5 muestra larepresentación del tiempo y la frecuencia del sonido grabado para el crescendo. Comparando las amplitudes crecientes de ataque de los golpes, se encontró que en ese lugar son proporcionales al incremento medido en la fuerza en la baqueta. Los espectros de frecuencia de los golpes muestran que el modo fundamental sigue siendo dominante para todos los golpes del crescendo. Mientras que la estructura modal del sonido no cambia significativamente para los niveles dinámicos más altos, se encontró que la frecuencia de algunos modos aumenta ligeramente para el séptimo y octavo golpe. Este cambio de aproximadamente 3 Hz para el modo fundamental se concluyó que es causado por un aumento de la tensión del parche debido a la fuerza del golpe aplicada sobre el parche. Un comportamiento similar se analizó para el tom-tom por Dahl [6]. El desplazamiento de frecuencia observado también apoya la teoría para el aumento de la velocidad de propagación observado para la onda que viaja a niveles dinámicos más altos.

Resumen El aumento del nivel dinámico de los golpes tuvo los siguientes efectos:

Aumento de la fuerza en la baqueta

Excitación más fuerte de la vibración de baqueta

Disminución del tiempo de contacto

Ligero aumento en la velocidad de propagación de la onda en la parche de tambor

Aumento de nivel de sonido

Más fuerte excitación de los mismos modos de membrana

Ligero cambio de frecuencias modales en los niveles más altos dinámicos

4.2.2. Posición De Golpe Fuerza, Aceleración y Tiempo de Contacto.

Figura 4.6: Fuerza y aceleración de un golpe fuerte en cuatro posiciones diferentes sobre el parche: Centro (0 cm), Fuera de Centro (5,5

cm), Dos Tercios (11 cm) y Borde (16,5 cm desde el centro del parche). Baquetas Vic Firth y un parche a baja tensión. El cambio de posición conduce a un cambio en la forma, tanto para la señal fuerza y la señal de aceleración debido principalmente a la interacción con

la onda que viaja en la parche. El comienzo estimado de esta interacción está marcado con una línea vertical para cada posición.

Moviendo la posición de golpe desde el centro de la caja hacia el borde, afecta de nuevo a todas las cantidades medidas. La Figura 4.6 muestra la fuerza y la aceleración medida para un golpe fuerte en las cuatro posiciones seleccionadas en la caja - Centro, Fuera del Centro, Dos Tercios y Borde (ver Sección 3.3). Como se ve en la figura, el impulso de fuerza es más estrecho y tiene una amplitud superior al golpear la caja en la posición del borde, en comparación con las otras tres posiciones. Esto puede explicarse por un aumento en la rigidez local de la membrana cerca del borde. Junto con el aumento de la fuerza, la amplitud de la señal de aceleración crece también. Además de las diferencias en la amplitud, las formas de los impulsos de fuerza cambian para cada posición. Para las posiciones Fuera del Centro y Dos Tercios, las diferencias en la forma son causadas principalmente por la interacción de la baqueta con la onda que viaja sobre el parche. Saliendo de la posición central en la caja, la llegada de la onda reflejada se propaga en el tiempo ya que la distancia desde su origen hasta el borde ya no es igual en todas las direcciones. La primera llegada de la reflexión en las diferentes posiciones

se indica con líneas verticales en la Figura 4.6. Debido a la llegada anterior, en comparación con la posición central en la caja, las reflexiones interactúan con el proceso de contacto entre la baqueta y la membrana directamente y alteran la forma del impulso de fuerza. En la posición del Borde, la primera reflexión llega inmediatamente e interactúa con la pendiente ascendente del impulso de fuerza. Su llegada está indicada por un pequeño peak en la pendiente descendente de la señal de aceleración y tiene sólo un efecto pequeño sobre el impulso de fuerza. Aunque los impulsos de fuerza de las posiciones Central y Borde están libres de la influencia de las reflexiones de interferencia, ellos muestran diferentes formas al máximo nivel. Para el golpe central, un pequeño máximo local es seguido por uno más fuerte. Para la posición de borde, este orden se invierte. Una posible explicación para la diferencia en la forma podría ser un cambio en la frecuencia de vibración de la baqueta superponiéndose al impulso de fuerza y la alteración de su forma (véase el Apéndice A). Mientras que las frecuencias de los modos de la baqueta son poco probable que cambien, sus proporciones en la vibración de la baqueta podrían ser alteradas. En efecto, los espectros de frecuencia de las cuatro señales de aceleración revelaron una excitación diferente de los modos de la baqueta para cada posición. La Tabla 4.1 enumera las amplitudes de los tres primeros modos de la baqueta extraídos de los espectros de frecuencia de las señales de aceleración en la Figura 4.6. Los valores muestran que el modo de 400 Hz se excita mucho más fuerte en la posición de Borde en comparación con las otras posiciones. El predominio de esta frecuencia también se puede observar en la Figura 4.6 como un cambio en la forma de la señal de aceleración. Esta alteración de la señal de aceleración es probablemente suficiente para causar la diferencia en la forma para el impulso de fuerza en el Centro y en el Borde.

[dB] Modos de la Baqueta

Posición de Golpe 400 Hz 1 kHz 1.7 kHz

Centro 0 -7 -10 Fuera del Centro 0 -4 -11

Dos Tercios 0 -2 -6 Borde +6 -2 -8

Tabla 4.1: Amplitudes de los modos de la baqueta excitados en diferentes posiciones de golpe. Los valores se normalizaron al nivel de los modo de 400 Hz en la posición Central. Para la posición Borde, el modo de 400 Hz domina claramente la vibración de la baqueta y altera

la forma de la señal de aceleración.

Figura 4.7: Medición de los tiempos de contacto para el crescendo en diferentes posiciones en el parche. Para los dos últimos

golpes en el centro de la caja, el tiempo de contacto se denota con y sin los múltiples contactos tomadas en consideración.

La llegada temprana de la onda viajera, al mover la posición de golpe hacia el borde, también influye en el tiempo de contacto medido. La Figura 4.7 compara los tiempos de contacto de un crescendo tocado en las cuatro posiciones diferentes de golpe. Avanzando hacia el borde, el tiempo de contacto disminuye para todos los golpes - que indica la influencia decreciente de la onda viajera. La anchura reducida del impulso de fuerza en la posición de borde, debido a la mayor rigidez de la membrana, disminuye adicionalmente el tiempo de contacto.

Sonido La posición de golpe determina principalmente qué modos de la membrana son excitados por el golpe (ver sección 2.2.2). En teoría, un golpe en el centro de la membrana sólo puede excitar modos circulares ya que todos los otros modos tienen una línea nodal a través del centro. Debido a las propiedades de la membrana real, en combinación con la variabilidad en la posición de golpe, la baqueta generalmente toca la membrana fuera de la región nodal y excita también los modos radiales y mixtos. La Figura 4.8 muestra la representación del tiempo y la frecuencia del sonido grabado para las cuatro posiciones de golpe sobre el parche. Además de un modo fuerte (0, 1), el espectro del golpe centrado contiene un rastro débil del modo (1, 1) y otros modos radiales y mixtos. Como era de esperar, estos modos radiales y mixtos se vuelven más prominentes hacia el borde y el modo de (0, 1) pierde su dominio. Este efecto se puede observar en la ilustración del espectro, así como en la señal de tiempo. Comparando la señal de tiempo para el golpe en el Centro y con el Borde, el sonido pierde la amplitud y la señal se hace más densa. En el espectro, el peak del modo fundamental (0, 1) se reduce en 5 dB y el modo (1, 1) aumenta aproximadamente en 5 dB en amplitud.

Figura 4.8: Señal de tiempo y espectro de un golpe fuerte en diferentes posiciones en el bajo-tensado, de un solo parche. Avanzando

hacia el borde, la ganancia marcadas de los modos radiales (1,1) y (2,1), y el modo fundamental (0,1) pierden potencia.

Resumen Moviendo la posición de golpe desde el centro hacia el borde de la caja se tienen los siguientes efectos:

Aumento de la fuerza en el baqueta, sobre todo en la posición del Borde

Reducido ancho del impulso de fuerza en la posición del borde debido a una mayor rigidez de la membrana

Cambios en la forma de los impulsos de fuerza

Los cambios en la excitación de la vibración de la baqueta

A principios de la llegada de la onda viajera en el parche, resultan cambios en la interacción entre la baqueta y el parche

Disminución del tiempo de contacto

Disminución del nivel de sonido

Fuerte excitación de modos más altos de la membrana

4.2.3. Tensión Del Parche De La Caja Fuerza, Aceleración y Tiempo de Contacto.

Figura 4.9: Fuerza, tiempo de contacto y aceleración de un golpe fuerte en el centro en tres tensiones diferentes de un solo parche. La

primera llegada de la onda viajera reflejada en el parche se indica mediante una línea vertical para cada tensión.

La Figura 4.9 compara la fuerza y la aceleración de un golpe en el centro en tres tensiones de parches diferentes. El aumento de la tensión del parche afectó notablemente más a la velocidad de propagación de la onda viajera en la membrana. Las líneas verticales en la figura marcan el primer contacto de la onda reflejada con la baqueta. A una tensión baja, las reflexiones llegan demasiado tarde para tener un efecto sobre el principal impulso de fuerza. Con el aumento de la tensión, llegan temprano e influyen claramente tanto en la fuerza y como en la aceleración durante el tiempo de contacto. Esta llegada temprana indica una velocidad de onda superior para tensiones de membrana mayores. Una tensión más alta también aumenta la rigidez de la membrana, lo que conduce a un impulso de fuerza ligeramente más estrecho. En combinación con la llegada temprana de la onda viajera, esto reduce el tiempo de contacto. La Figura 4.10 compara los tiempos de contacto de golpes forte en diferentes posiciones de golpe y para diferentes tensiones de la cara superior. Con el aumento de la tensión, el tiempo de contacto disminuye en todas las posiciones de golpe en el parche. En el centro de la caja, donde más cambia la rigidez local, el tiempo de contacto también muestra el cambio más grande.

Figura 4.10: Tiempos de contacto de golpes forte en diferentes posiciones y diferentes tensiones de la cara superior sola. Con el

aumento de la tensión, cortos impulsos de fuerza y una llegada más temprana de la onda reflejada causa la disminución de los tiempos de contacto.

Como se ilustra en el ejemplo en la Figura 4.9, una tensión más alta causó mayores amplitudes de fuerza en la mayoría de las grabaciones. Este aumento fue, sin embargo, no constante y depende del intérprete. En la sección 4.2.2, un aumento de la fuerza ha sido notado debido a una mayor rigidez de la membrana en la posición Borde. Un aumento en la fuerza de contacto debido a una mayor tensión y por lo tanto una mayor rigidez de todo el parche podría ser también posible.

Sonido La tensión es una variable en la ecuación para las frecuencias modales de una membrana (Ecuación 2.1). Como era de esperar, todos los medios se vieron afectados y elevados por una creciente tensión. La Figura 4.11 ilustra este desplazamiento de frecuencia mediante la comparación de los espectros de golpes en tres diferentes tensiones del parche. Los valores de las frecuencias modales identificados y su porcentaje de aumento en comparación con la baja tensión se encuentran en la Tabla 4.2.

[Hz] Tensión

Modo Baja Media Alta

(0,1) 138 170 (+23 %) 188 (+36 %)

(1,1) 255 311 (+22 %) 352 (+38 %)

(2,1) 363 439 (+21%) 504 (+39%) Tabla 4.2: Frecuencias modales identificadas para tres tensiones diferentes de un solo parche. El porcentaje entre paréntesis da el

crecimiento de cada frecuencia modal en comparación con la baja tensión.

Figura 4.11: Espectros de sonido de golpes en la posición del borde de tres tensiones diferentes - bajo, medio, alto. Los valores se normalizaron al nivel del modo (0,1) a una tensión baja. Las frecuencias marcadas de los modos (0,1), (1,1) y (2,1) aumentan con el

aumento de la tensión parche.

Resumen El aumento de la tensión del parche tiene los siguientes efectos:

Reducción del ancho del impulso de fuerza

Aumento de la velocidad de propagación de la onda viajera en el parche

El contacto temprano entre la baqueta y la reflexión de la onda viajera

Disminución del tiempo de contacto

Desplazamiento hacia arriba de las frecuencias modales de membrana

4.2.4. Número De Parches De La Caja

Fuerza, aceleración y tiempo de contacto Agregando la cara inferior de la caja produce un volumen de aire confinado entre los dos parches. El efecto del segundo parche en la fuerza, aceleración y tiempo de contacto era muy pequeño - las propiedades de la cara superior en contacto con la baqueta eran claramente dominante.

Sonido

Figura 4.12: Espectros de sonido de golpes en la posición Borde con uno y dos parches presentes. Los modos individuales (0,1) y (1,1) para

la cada de una sola cara se dividen en modos acoplados al agregar el segundo parche.

La mayor influencia del segundo parche se encuentra en el sonido de la caja. La Figura 4.12 muestra los espectros de frecuencia de un golpe fuerte en la posición Borde con y sin el segundo parche. El cambio más evidente es la creación de modos acoplados, como se describe en la sección 2.2.1. Para la caja de una sola cara, los modos (0, 1) y (1, 1) aparecen cada vez. Cuando se adhiere el segundo parche, estos modos se dividen y aparecen dos veces en el espectro – en una las dos membranas se mueven en fase y en la otra con fase opuesta. Las frecuencias medidas para los modos individuales y acoplados se muestran en la Tabla 4.3.

Modo (0,1) (0,1) (1,1) (1,1)

Caja con una sola cara 188 - 352 - Caja con ambas caras 240 366 349 407

Tabla 4.3: Frecuencias de los modos (0,1) y (1,1) en Hz. El efecto de acoplamiento introducido con la segunda membrana divide cada modo en dos modos de fase opuesta.

4.2.5. Baquetas Usando la baqueta Premier (ver sección 3.1), en lugar del modelo de Vic Firth se tuvo poca influencia en la forma de las señales registradas. Una diferencia clara en la grabación con la baqueta Premier se encuentra en la amplitud de las señales registradas. Sin la intención de tocar más fuerte, la amplitud de la fuerza, la aceleración y el sonido fue casi el doble. La Figura 4.13 muestra la fuerza, tiempo de contacto y la aceleración de un crescendo idéntico al de la Figura 3.5 e ilustra las amplitudes mayores.

Figura 4.13: Fuerza, tiempo de contacto y aceleración de un crescendo tocado con la baqueta Premier en el centro del parche. Un parche

a baja tensión.

Un breve análisis de las grabaciones realizadas con la baqueta Premier, apoya todas las conclusiones extraídas de las señales obtenidas con el modelo Vic Firth. Debido a limitaciones de tiempo, no se realizaron grabaciones adicionales con el modelo Premier.

Capítulo 5

Discusión El proceso de golpear una caja parece simple y sin embargo es un proceso físico bastante complejo. Las medidas que se presentan permiten una visión de la interacción entre el artista, el instrumento y la herramienta de golpe. En este capítulo se resumen las conclusiones y comentarios sobre las conclusiones y decisiones.

5.1 Influencia de la batería El baterista prepara el golpe y toma una decisión para la velocidad del golpe y el posicionamiento del golpe. La velocidad del golpe determina la fuerza transmitida al parche y por lo tanto el nivel dinámico del golpe. Los crescendos analizados ilustran un aumento de la fuerza, la aceleración y el sonido de amplitud al aumentar el nivel dinámico. El posicionamiento del golpe en la parche determina, principalmente, cuales modos se excitan en la membrana. Se observó la mayor diferencia en el sonido entre un golpe en el centro del parche y uno cerca del borde. Estas observaciones fueron consistentes tanto con el modelo teórico de la membrana y los resultados experimentales publicados por Fletcher y Rossing en [9]. Una decisión importante en este trabajo fue utilizar un baterista humano en lugar de un dispositivo mecánico para realizar los golpes. Los beneficios de esta decisión fueron un agarre natural y el movimiento de la baqueta – que pueden dar lugar a señales más representativas. Por otro lado, un baterista humano también introduce pequeñas faltas de uniformidad en el nivel dinámico y en el posicionamiento del golpe. Mientras que el posicionamiento del golpe era bastante constante, las amplitudes medidas para golpes a nivel dinámico constante mostraron algunas variaciones. Por otra parte, un intérprete humano es probable que adaptara un estilo a diferentes condiciones, por ejemplo, diferentes tensiones del parche. La caja y la baqueta dan una retroalimentación al baterista a través del rebote de la baqueta y del sonido de la caja. Cuando esta información cambia, el baterista inconscientemente podría optar por modificar su golpe. Algunas observaciones de la base de la magnitud de los impulsos de fuerza, por ejemplo, es un aumento de la fuerza para tensiones superiores del parche, puede estar sesgada por el baterista. Para obtener información sobre una posible influencia de agarre individual del baterista en el proceso de interacción, un baterista profesional de estudio fue invitado a participar en el experimento. Al comparar estas señales de fuerza y aceleración con las señales producidas por el autor, no se revelaron diferencias significativas. Para dos sujetos, esto puede ser pura coincidencia, pero la naturaleza del agarre y de las señales de fuerza medidas sugiere una posible explicación: Para la variante de agarre utilizada en este trabajo, el baterista mantiene la baqueta sujeta entre el pulgar y el índice y los otros tres dedos controlan el movimiento de la baqueta (ver Figura 3.3). Durante el golpe, la fuerza sobre la punta de la baqueta puede llegar a 200N de acuerdo con las mediciones, haciendo que la baqueta gire alrededor del punto de apoyo. Para controlar estas fuerzas altas, sería necesario un mayor agarre firme. Un bloqueo más fuerte de la baqueta, sin embargo, podría reducir el rebote de la baqueta. Aprender a utilizar este rebote se considera esencial para un baterista y facilita un toque relajado y fluid0. Por lo tanto, puede ser la ventaja del baterista para mantener la amortiguación del rebote al mínimo y dejar a la baqueta rebotar libremente.

5.2. Influencia De La Caja Para la caja, se investigó la interacción del parche con la baqueta. Se analizó la respuesta de la cara superior de la caja en diferentes posiciones y tensiones así como los efectos causados por la presencia de la cara inferior de la caja. Moviendo la posición de ataque desde el centro de la caja hacia el borde se altera claramente el proceso de interacción, que afecta a la forma de la fuerza y de la aceleración. Un cambio en la tensión del parche afecta la fuerza y la aceleración también. Se encontraron dos factores importantes para estos cambios: la rigidez local del parche y las reflexiones de una onda que viaja en el parche causadas por el impacto de la baqueta. Estos factores están determinados principalmente por la cara superior, y la adición de la cara inferior mostró poco o ningún efecto sobre la interacción. Cerca del borde, se encontró que la rigidez de la membrana es mayor que en el centro. Probablemente fue la mayor rigidez que causó impulsos de fuerza más fuerte y más estrechos en la posición Borde. Cuando la baqueta golpea el parche, se inicia una onda que se propaga a través de la membrana. Esta onda se refleja en el borde e interacciona con la baqueta si regresa durante el tiempo de contacto. Con el aumento de la tensión, se encontró que la velocidad de propagación de la onda aumenta y las reflexiones tempranas interactúan con la baqueta. La interacción entre las reflexiones y la baqueta era más claramente visible para los golpes en el centro del parche. En la posición central, la distancia al borde es igual para todas las direcciones y por lo tanto las reflexiones llegan simultáneamente. Esta llegada sincronizada era visible tanto en la señal de fuerza y en la señal de aceleración. Golpear la caja fuera de su centro, extendió la llegada de los reflejos en el tiempo. Para estos golpes, sólo el comienzo de la interacción puede determinarse a partir de la fuerza o aceleración medida - los efectos de la interacción eran continuas y por lo tanto difíciles de identificar.

5.3. Influencia De La Baqueta Un resultado importante del trabajo fue la idea de que la baqueta no actúa como una simple masa en el proceso de interacción - al golpear el parche, la baqueta comienza a vibrar también. Se encontró que la vibración de la baqueta domina la señal de aceleración, altera la forma del impulso de fuerza transducido y por lo tanto, desempeña un papel importante en el proceso de interacción. Un análisis modal de la baqueta, realizada en la División de Mecánica Experimental, Universidad Técnica de Luleå, Suecia, visualizó los modos de resonancia de los dos modelos de baquetas utilizadas (ver Apéndice B). Para obtener más información sobre los efectos de la vibración de la baqueta, se ha seleccionado una baqueta adicional. Aunque el modelo Premier investigado difería en el tipo de madera, la forma y el diámetro, se desarrollaron vibraciones muy similares al modelo Vic Firth. El modelo Premier fue elegido debido a que su vibración se sentía diferente y por lo tanto fue sorprendente encontrar una característica de vibración similar en las señales grabadas y en el análisis modal. Una posible explicación de esto se puede encontrar en la ecuación para las frecuencias modales de una barra de flexión. En esta ecuación, la longitud de la barra de vibración está al cuadrado y por lo tanto tiene una fuerte influencia. Con una longitud similar en ambas baquetas, las frecuencias modales calculadas se vuelven muy similar (véase Tabla B.1). La "sensación" muy diferentes de la baqueta podría explicar las amplitudes mayores que se encuentran en las señales grabadas. En el caso de la vara Premier, una evaluación diferente de la baqueta aparece para dejar al baterista tocar más fuerte. Como el rebote de la baqueta no se midió en este trabajo, sigue siendo poco clara la razón para el rendimiento más potente. Una posible explicación podría encontrarse en la forma de la baqueta Premier - su eje cónico distribuye el peso de manera diferente en comparación con la

Vic Firth. Esto podría resultar en un rebote diferente y por lo tanto, una evaluación diferente para el baterista. Como se ha indicado en la sección 2.2.2, las propiedades de la herramienta de percusión pueden influir en el espectro de sonido de la caja. Mazos rígidos y blandos han sido analizados, por ejemplo, por Bork [5], que encontró diferencias principalmente en la forma del impulso de fuerza transducido por el mazo. Una forma diferente, y por lo tanto un espectro diferente de este impulso, tuvieron un efecto sobre las vibraciones excitadas en el instrumento. En este trabajo, se descubrió que la vibración de la baqueta tiene una influencia en la forma del impulso de fuerza transducido. Esto implica que la vibración de la baqueta podría influir ligeramente en el sonido de la caja. En este trabajo, sin embargo, no se encontró evidencia medible en apoyo de esta hipótesis.

Capítulo 6

Conclusiones y Trabajo Futuro En el proceso de golpear la caja, los tres factores analizados - baterista, herramienta de golpe e instrumento - se encontraron que influyen en laa cantidades medias de fuerza, aceleración, tiempo de contacto y sonido. Con la velocidad de golpeo y el posicionamiento del golpe en el parche, el baterista decide dónde y qué tan fuerte excitar la membrana de la caja. Con estas dos decisiones, el baterista controla el nivel y el timbre del sonido de la caja durante la sesión. Una posible influencia adicional de la técnica de agarre del baterista no puede ser analizada en detalle. Un análisis de la empuñadura en relación con una medida del rebote de la baqueta, probablemente será de interés para una investigación futura. Durante el contacto con el parche, la baqueta transfiere energía en forma de un impulso de fuerza a la membrana. El impacto no sólo establece el movimiento del parche, sino que también inicia una vibración en la baqueta. Se utiliza un análisis modal para visualizar los modos de resonancia individuales contenidos en esta vibración de la baqueta. En el análisis de la fuerza medida, se encontró que la vibración baqueta influye en la forma del impulso de fuerza transmitido a la membrana. Basándose en esta información, se definió un modelo simple que permite simular el efecto que la vibración de la baqueta tiene en el impulso de fuerza. Para la investigación en modelos físicos de la batería, esta simulación puede ser de utilidad para crear modelos de martillo más precisos, por ejemplo, las funciones usadas para excitar un modelo físico de una membrana. Comparando un modelo de martillo incluyendo la vibración de la baqueta con un modelo convencional, además, podría dar información acerca de la posible influencia de la vibración de la baqueta en el sonido de la caja. Esta hipótesis surgió durante el trabajo, pero no podía ser refutada ni confirmada por los experimentos realizados. Para la caja, la tensión de la cara superior determina principalmente, la forma de la reacción de la membrana ante la fuerza transmitida por la baqueta. El impacto de la baqueta inicia una onda que viaja en el parche, que se extiende a través de la membrana y se refleja en el borde. La tensión del parche determina la velocidad de propagación de esta onda viajera. En función de esta velocidad y la posición del golpe, las reflexiones de la onda viajera pueden llegar al punto de impacto lo suficientemente rápido como para interactuar con la baqueta en contacto y afectar a la fuerza medida y la aceleración. En resumen, este trabajo permite una visión en el breve momento cuando la baqueta toca la membrana de una caja. El proceso de interacción entre la baqueta y la membrana pudo ser capturado y se identificaron tres diferentes componentes de esta interacción - la deflexión de la membrana, la vibración de la baqueta y una onda que viaja en la membrana iniciada por el impacto.

Bibliografía

Lista De Figuras

Lista De Tablas 4.1 Amplitudes de los modos de baquetas para diferentes posiciones en huelga 4.2 Frecuencias modales identificadas por tres tensiones diferentes 4.3 Frecuencias acopladas de los modos (0,1) y (1,1) B.1 Frecuencias fundamentales calculadas para las baquetas modeladas como barras simples sujetas en el extremo B.2 Frecuencias modales de ambas baquetas sujetas en el extremo B.3 Frecuencias modales de ambas baquetas sujetas en el punto de apoyo

Apéndice A

Análisis detallado de la Fuerza y aceleración Con el fin de identificar los distintos componentes de la fuerza y la aceleración medida, se eliminó la caja como factor de influencia y se sustituyó por una almohadilla de goma de espesor 11 mm. Esta sustitución permite eliminar el comportamiento complejo vibratorio complejo del parche mientras se imita la tensión del parche con la elasticidad de la goma.

Figura A.1: Fuerza y aceleración medida por un golpe con la baqueta Vic Firth en una almohadilla de goma gruesa de 11 mm. Se encontró

que la forma de la fuerza y la aceleración son similares a las señales obtenidas de golpear una caja.

El golpe en la almohadilla con las baquetas Vic Firth produce señales de fuerza y la aceleración como se muestran en la Figura A.1. Al igual que la señal obtenida de golpear la caja (véase por ejemplo la Figura 4.1), el golpe en la almohadilla de goma mostró un mínimo local en la parte superior del impulso de fuerza. Al excluir la caja como factor que influye, se demostró que la vibración de la baqueta causó la forma particular del impulso de fuerza.

A.1 Análisis y Síntesis de Aceleración

Figura A.2: Espectro de frecuencia de la señal de aceleración obtenida golpeando la almohadilla de goma. La interacción con la

almohadilla presenta un componente DC. Los modos de la baqueta fueron identificadas en las frecuencias marcadas.

Podría obtenerse más información acerca de la vibración de la baqueta a partir de la aceleración de la baqueta. La Figura A.2 muestra un análisis de frecuencia de la señal de aceleración a partir de la Figura A.1 y revela dos componentes principales:

Una estructura similar a la frecuencia de una función sinc comenzando los 0 Hz (DC)

Cuatro frecuencias individuales destacadas en aproximadamente 400, 1k, 1,7 k y 2.8k Hz Como se informó por Bork [5], una colisión entre un objeto blando y uno rígido produce un impulso de fuerza en forma de sen2 debido a la compresión / descompresión del objeto blando. La medición de la fuerza y la aceleración de una masa simple redonda cayendo sobre la almohadilla de goma, confirmaron esta observación y revelaron un similar impulso negativo en la señal de aceleración. La representación en frecuencia de un pulso tal como sen2 corresponde a la primera componente que se encuentra en el espectro de la aceleración. Se supuso que las cuatro frecuencias destacadas reflejar los modos de frecuencia y por lo tanto la vibración de la baqueta. Un análisis modal óptico de la baqueta de la División de Mecánica Experimental, Universidad Técnica de Luleå, Suecia confirmó esta suposición. Los resultados del análisis modal se incluyen en el apéndice B. Con esta información a partir del espectro, la señal de aceleración se llegó a la conclusión que es una composición de un impulso negativo de sen2 con la vibración de la baqueta. Para separar la vibración de la baqueta del impulso, se utiliza un algoritmo de ajuste de curvas para la resíntesis de la señal de aceleración a partir de los componentes identificados. El algoritmo trató de adaptarse a la siguiente función para los primeros 4 ms de la señal medida mediante la alteración sucesivamente de los valores de los parámetros de

entrada de amplitud 𝐴, factor de amortiguación 𝑏−𝛿 , frecuencia 𝑓 y tiempo 𝑡:

𝑎𝑠𝑦𝑛 𝐴, 𝑏, 𝛿,𝑓, 𝑡, 𝜏 = 𝐴0 ∙ 𝑏0−𝛿0𝑡 ∙ sin2 2𝜋𝑓0𝜏 +

(A.1)

= 𝐴1 ∙ 𝑏1−𝛿1𝑡 ∙ sin 2𝜋𝑓1𝑡 +

(A.2)

= 𝐴2 ∙ 𝑏2−𝛿2𝑡 ∙ sin 2𝜋𝑓2𝑡 +

(A.3)

= 𝐴3 ∙ 𝑏3−𝛿3𝑡 ∙ sin 2𝜋𝑓3𝑡 +

(A.4)

La función consta de cuatro términos diferentes. El término (A.1) modela la compresión / descompresión de la almohadilla de goma con un pulso sen2. El uso de la variable 𝜏 en lugar del tiempo en continuo aumento 𝑡, garantiza que la parte sen2 forme un pulso y no una señal continua:

𝜏 = 𝑡 : 𝑡 ≤

1

2𝑓0

0 : 𝑒𝑙𝑠𝑒

Los términos (A.2) y (A.4) modelan los tres primeros modos de vibración de la baqueta con sinusoides

simples. Para cada término, la frecuencia 𝑓, la amplitud 𝐴 y el factor de amortiguamiento 𝑏−𝛿 fueron modificados por el algoritmo de ajuste.

Figura A.3: Resultado del algoritmo de ajuste de curvas para la señal de aceleración. Los componentes que se encuentran en la señal (a

la derecha) y la comparación de la señal sintetizada con la original (izquierda). Usando sólo los cuatro componentes definidos anteriormente, el resultado del ajuste de la curva era muy similar al original medido. La Figura A.3 compara la sintetizada y la señal medida e ilustra los componentes utilizados para la síntesis. Este resultado confirmó la composición supuesta de la aceleración medida. El siguiente paso fue analizar la señal de fuerza y buscar una posible influencia de la vibración de la baqueta.

A.2 Síntesis de Fuerza La hipótesis era encontrar los mismos componentes de la señal de fuerza en la señal de aceleración: un pulso sen2 causada por la almohadilla de goma y una traza de la vibración de la baqueta. Para apoyar esta hipótesis, se han simulado diferentes combinaciones de estos elementos.

Figura A.4: Modelo para imitar la forma del impulso de fuerza mediante la adición de un impulso de sen2 y una sola sinusoide. Su

relación de frecuencia determina la forma del impulso resultante.

La Figura A.4 muestra que un impulso similar al impulso de fuerza medido podría ser sintetizado por la adición de un impulso de sen2 y una sola sinusoide. La forma y la intensidad de los dos máximos locales en la parte superior del impulso se determinan por la relación de amplitud y frecuencia f0 y f1. Se observó un cambio similar de la forma sobre la caja al mover el punto de golpe del Centro a la posición del Borde (véase la sección 4.2.2). Un algoritmo de ajuste de curva similar al anterior se utiliza a continuación para separar el pulso sen2 en la señal de fuerza a partir de la superposición de la vibración. La Figura A.5 muestra el resultado del proceso de adaptación. Excepto que en el modelo en la Figura A.4, la vibración fx resultante no es una sola sinusoide sino que una composición de varias frecuencias.

Figura A.5: Resultado del análisis de componentes (a la derecha). Comparación entre la señal reconstruida y medida (a la izquierda).

Similar a la señal de aceleración, el impulso de fuerza se puede dividir en un sen2 y una parte vibratoria.

Por último, la vibración fx se comparó con los modos de la baqueta extraídos de la señal de aceleración. Como ilustra la figura A.6, la vibración desconocida de la señal de fuerza corresponde con el modo fuerte en 440 Hz de la baqueta para los primeros 2 ms. La estrecha correspondencia sugiere que es en realidad la vibración de la baqueta que es responsable de la forma particular del impulso de fuerza. Esta relativamente simple síntesis del impulso de fuerza también podría ser de interés en relación con un modelo físico de la caja para modelar una excitación más realista de la membrana.

Figura A.6: Comparación del modo de la baqueta en 𝑓 = 440 𝐻𝑧 con la vibración fx extraída de la señal de fuerza.

A.3 Integral Doble de Aceleración Interpretando la aceleración medida se encuentra directamente que no es trivial. Un segundo intento determina si la vibración de la baqueta tiene una influencia sobre el impulso de fuerza fue era por lo tanto, integrar la aceleración 𝑎(𝑡) dos veces y ahí obtener primero la velocidad 𝑣(𝑡) y a continuación, la deflexión 𝑥(𝑡) de la baqueta:

𝑎(𝜏)𝑑𝜏𝜏

0

= 𝑣 𝑡 + 𝑣0

(A.5)

𝑣 𝑡 + 𝑣0 𝑑𝜏𝜏

0

= 𝑥 𝑡 + 𝑥0

(A.6)

La Figura A.7 muestra los resultados de una integración numérica de la señal de aceleración obtenida de golpear la almohadilla de goma. Después de la primera integración, la velocidad inicial 𝑣0 de la baqueta en la Ecuación (A.5) tuvo que ser estimada. Se asumió que la velocidad de la baqueta llegó a cero en aproximadamente 1,5 ms después del impacto - la mitad del ancho del impulso de fuerza. A continuación 𝑣0 en consecuencia fue elegido, de modo que el resultado de la primera integración fuese cero en este punto. Integrando la curva de velocidad obtenida da lugar a una medida de la desviación de la baqueta. Para la segunda integración, la 𝑥0 constante en la Ecuación (A.6) se elige de modo que la desviación sea cero en 𝑡0 = 0 𝑚𝑠 cuando la baqueta toca la almohadilla de goma. Puesto que la velocidad inicial tenía que ser estimada, el proceso de integración se repite para diferentes valores de 𝑣0. La Figura A.7 muestra tres curvas de velocidad con velocidades iniciales ligeramente diferentes e ilustra el efecto de la desviación resultante. Los valores calculados alrededor de 6,5 m/s para la velocidad inicial corresponden bien con las mediciones presentadas por Dahl [7]. La desviación resultante muestra una parte superior plana, o - dependiendo del valor elegido para 𝑣0 - incluso un mínimo local en la parte superior. Esta forma corresponde al mínimo local observado en el impulso de fuerza y está claramente causado por la vibración de la baqueta. Los resultados de la integración por lo tanto, apoyan la hipótesis de que es la vibración de la baqueta la que altera la forma del impulso de fuerza.

Figura A.7: Integración de la señal de aceleración obtenida golpeando la almohadilla de goma. Los paneles muestran la señal original de

aceleración (panel superior), la velocidad después de la primera integración (segundo panel), deflexión después de la segunda integración (tercer panel) y una comparación de la deflexión calculada con la señal de fuerza (panel inferior). El gráfico de velocidad muestra tres curvas de velocidad diferentes - cada una basada en una estimación ligeramente diferente de la velocidad inicial 𝑣0. El gráfico deflexión muestra de las tres deflexiones correspondientes. La comparación de una curva de deflexión magnificada con el

impulso de fuerza ilustra cómo la vibración de la baqueta afecta a la forma del impulso.

Apéndice B

Análisis Modal de la Vibración de la Baqueta Las frecuencias importantes observadas en el espectro de la señal de aceleración (ver fig. A.2) se supone que son los modos de la baqueta. Para confirmar esta hipótesis, el análisis modal óptico de los dos modelos de baquetas utilizadas se llevó a cabo en la División de Mecánica Experimental, Universidad Técnica de Luleå, Suecia. La Figura B.1 muestra la configuración experimental para dos soportes condicionados a las baquetas. En la imagen izquierda, la baqueta Vic Firth se sujeta en su extremo. La foto de la derecha muestra la baqueta Premier sujeta en el punto de giro, es decir, la posición en la que el baterista normalmente sostiene la baqueta (véase la Figura 3.3). Para ambas posiciones, los palos se sujetaron entre dos piezas de gomaespuma para imitar la tenencia entre el pulgar y el dedo índice del baterista. Durante el análisis, la baqueta se pone en movimiento por un agitador y su deflexión se midió mediante un rayo láser. Los puntos de medición del láser están marcados con cuadrados de color a lo largo de la baqueta en la Figura B.1. Para investigar cualquier posible influencia de la estructura de la madera en la vibración, las mediciones se realizaron en paralelo y perpendicular a la estructura de fibra de la madera. Con los anillos de crecimiento de la horma visible en el extremo de la baqueta, que se hizo girar para vibrar paralelo y perpendicular a la dirección del fibra, respectivamente. Fig. B.2 ilustra las frecuencias modales identificadas para ambas baquetas sujetas en el extremo y la vibración perpendicular a la fibra. En [9], Fletcher y Rossing ilustran los modos de una barra sujetada por un extremo y listan sus razones de frecuencia. Con excepción del tercer modo en 991 Hz y 948 Hz, respectivamente, las formas y relaciones de frecuencia de los modos medidos se corresponden bastante bien con los resultados teóricos para una barra con sección transversal uniforme.

Figura B.1: análisis modal óptico de la baqueta. Para el análisis, las baquetas se sujetan suavemente en el extremo (izquierda) y en el

punto de giro (a la derecha). Los cuadrados de colores a lo largo de la baqueta marcan los puntos de medición del rayo láser utilizado.

La Tabla B.1 da la base de las frecuencias modales teóricos calculados para ambos baquetas utilizando el modelo de flexión de barra en [9]. La sección transversal no uniforme de la baqueta se descuida en este cálculo. En base a estos resultados, a continuación la Tabla B.2, compara las frecuencias calculadas con las frecuencias de los modos realmente medidas para las baquetas sujetadas en el extremo. Sujetar la baqueta en el punto de giro conduce a una estructura modal diferente. La Figura B.3 ilustra los modos de ambas baquetas de la vibración perpendicular a la fibra y la Tabla B.3 lista todas las frecuencias medidas. Se puede observar que incluso en la posición donde se sujeta la baqueta, se muestra una desviación en las mediciones. Dado que la baqueta se sujeta desde los lados (véase la Figura B.1), se mantiene una cierta libertad en la dirección de la vibración, es decir, a lo largo del eje z. Las cuatro frecuencias obtenidas del análisis FFT de la aceleración medida de la baqueta son razonablemente cercanas a los cuatro modos más altos del análisis óptico (véase Tabla B.3). Por consiguiente, se llegó a la conclusión de que los componentes de frecuencia en la señal de aceleración representan los modos de la baqueta.

Figura B.2: Ilustración de las formas modales de ambas baquetas. La baqueta se sujeta en el extremo de espesor entre dos piezas de

gomaespuma y se ajustó para vibrar perpendicular a los anillos de crecimiento.

Modelo de Baqueta 𝑑 𝑚𝑚 𝐿 𝑚𝑚 𝐸 𝐺𝑃𝑎 𝜌 𝑘𝑔/𝑚3 𝑓𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐻𝑧

Vic Firth (Hickory) 15 406.4 9.45 600 50 Premier (Maple) 20 404 9.79 400 61

𝑑 : diameter of the stick, 𝐿 : longitud de la barra, 𝐸 : módulo de Young,

𝜌: la densidad de la madera, 𝑓𝑏𝑎𝑠𝑒 = 0.1782 ∙ 𝜋𝑑 ∕ 4𝐿2 𝐸 ∕ 𝜌 Tabla B.1: Calculado de frecuencias fundamentales de las baquetas modeladas como barras simples sujetas en el extremo. El

cálculo se basa en la vibración de la flexión de la barra en [9]. Las propiedades de los materiales para los diferentes tipos de madera fueron tomadas de [12].

Sujeta en el extremo

Baqueta Vic Firth Baqueta Premier

CF PF Doblado de la Barra CF PF

69 ( 1.00) 69 ( 1.00) 50 ( 1.00) 61 76 ( 1.00) 77 ( 1.00) 419 ( 6.07) 405 ( 5.87) 313 ( 6.26) 382 409 ( 5.38) 403 ( 5.23) 991 (14.36) 913 (13.23) - 948 (12.47) 902 (11.71) 1305 (18.91) 1220 (17.68) 878 (17.56) 1071 1233 (16.22) 1138 (14.78)

- - 1718 (34.37) 2097 1996 (26.26) 1616 (20.99) Tabla B.2: Frecuencias modales en Hz medidas para ambas baquetas sujetas en el extremo. El valor entre paréntesis muestra la relación de cada frecuencia con la frecuencia del modo más bajo. CF y PF indican una vibración perpendicular (CF) o en paralelo (PF) para la fibra.

La columna titulada ' Doblado de la Barra ' tiene las frecuencias modales calculadas a partir del modelo de flexión de la barra en [9].

Figura B.3: Ilustración de las frecuencias modales medidas para ambas baquetas. La baqueta se sujeta suavemente en el punto de giro,

es decir, la posición en la que el baterista sostiene la baqueta. Esta posición se indica mediante una línea vertical. Las vibraciones ilustradas representan las vibraciones perpendiculares a los anillos de crecimiento.

Sujeta en el punto de giro

Baqueta Vic Firth Baqueta Premier

FFT CF PF CF PF

- 21 ( 0.31) 21 ( 0.31) 18 ( 0.27) 19 ( 0.29) - 67 ( 1.00) 67 ( 1.00) 66 ( 1.00) 66 ( 1.00)

400 500 ( 7.46) 490 ( 7.31) 442 ( 6.70) 444 ( 6.73) 1000 932 (13.91) 915 (13.66) 850 (12.88) 860 (13.03) 1730 1640 (24.48) 1606 (23.97) 1375 (20.83) 1392 (21.10) 2770 2358 (35.19) 2306 (34.42) 2110 (31.97) 2117 (32.08)

Tabla B.3: Frecuencias modales en Hz medidas para ambos modelos de baqueta sujetas en el punto de giro. El valor entre paréntesis muestra la relación de cada frecuencia con la frecuencia del segundo modo más bajo. CF y PF indican una vibración perpendicular (CF) o

en paralelo (PF) para la fibra. La columna 'FFT' da las frecuencias obtenidas del análisis FFT de la aceleración medida de la baqueta (ver la Figura A.2).