3.1.DETERMINANTES DE ORDEN DOS El determinante de una matriz de
orden dos es un nmero que se obtiene del siguiente modo:
Seaentonces su determinante se denota: Y se calcula: Ejemplos:
Diapositiva 3
El determinante de una matriz de orden tres es un nmero que se
obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota:
Y se calcula: 3.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES
Diapositiva 4
Propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una
matriz coincide con el de su traspuesta: 2. Si un determinante
tiene una lnea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante
es cero: 3. Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz,
su determinante cambia de signo. 4. Si una matriz cuadrada tiene
dos lneas paralelas iguales, su determinante es cero. 5. Si
multiplicamos por el mismo nmero todos los elementos de una lnea
(fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda
multiplicado por ese nmero. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos
filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. 7. <
8. Si a una lnea de una matriz le sumamos una combinacin lineal de
las dems paralelas, su determinante no vara. 9. Si una matriz tiene
una lnea que es combinacin lineal de las dems paralelas, entonces
su determinante es cero. Y, recprocamente: si un determinante es
cero, tiene una fila (o columna) combinacin lineal de las dems. 10.
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto
de sus determinantes:
Diapositiva 5
1 El determinante de una matriz coincide con el de su
traspuesta: Veamos dos ejemplos: En general:
Diapositiva 6
2 Si un determinante tiene una lnea (fila o columna) de ceros,
entonces su determinante es cero: Veamos tres ejemplos: En
general:
Diapositiva 7
3 Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su
determinante cambia de signo: Veamos dos ejemplos: En general:
Diapositiva 8
4 Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, su
determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En general:
Diapositiva 9
5 Si multiplicamos por el mismo nmero todos los elementos de
una lnea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante
queda multiplicado por ese nmero : Veamos dos ejemplos: En
general:
Diapositiva 10
6 Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas)
proporcionales, su determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En
general:
Diapositiva 11
7 Veamos ejemplos:
Diapositiva 12
8 Si a una lnea de una matriz le sumamos una combinacin lineal
de las dems paralelas, su determinante no vara: Veamos dos
ejemplos: En general:
Diapositiva 13
9 Si una matriz tiene una lnea que es combinacin lineal de las
dems paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recprocamente:
si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinacin
lineal de las dems: Veamos dos ejemplos: En general:
Diapositiva 14
10 E l determinante del producto de dos matrices es igual al
producto de sus determinantes : Veamos un ejemplo:
Diapositiva 15
3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO Menor de una matriz: Si en
una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los
que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El
determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la
matriz inicial. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden
4 y un menor de orden 2: Menor de orden 2 de una matriz: Si en una
matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que
se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante
de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial.
Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de
orden 3: Menor de orden 3 de una matriz: Si en una matriz
seleccionamos 3 filas y 3 columnas, los elementos en los que se
cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 3. El determinante de
esa submatriz se llama menor de orden 3 de la matriz inicial. Menor
complementario de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una
matriz cuadrada n n destacamos un elemento a ij, al suprimir su
fila y su columna se obtiene una submatriz (n1) (n1). Su
determinante es un menor de orden n1 que se llama menor
complementario del elemento a ij y se designa por ij. Menor
complementario de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una
matriz cuadrada 3 3 destacamos un elemento a ij, al suprimir su
fila y su columna se obtiene una submatriz 2 2. Su determinante es
un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento
a ij y se designa por ij. Particularicemos para una matriz cuadrada
de orden 3 : Menor complementario de un elemento en una matriz
cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 3 destacamos un elemento a
ij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 2.
Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor
complementario del elemento a ij y se designa por ij.
Diapositiva 16
3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO Adjunto de un elemento en
una matriz cuadrada: Se llama adjunto de a ij, al nmero A ij = (1)
i+j ij es decir al menor complementario con su signo o con el signo
cambiado, segn que i+j sea par o impar. Para simplificar el clculo
tambin se puede utilizar las matrices de signos: Ejemplos:
Diapositiva 17
4.6 MATRIZ INVERSA. Matriz inversa: Para que una matriz A
cuadrada posea matriz inversa tiene que cumplirse la siguiente
condicin: El determinante de la matriz tiene que ser distinto de
cero. |A| 0 En dicho caso, para calcular la matriz inversa se
utiliza la siguiente formula para calcularla: Ejemplos:
Diapositiva 18
Propiedades del producto de matrices: I. ASOCIATIVA: Esta
propiedad nos permite prescindir de los parntesis cuando
multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean
multiplicables. II. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en
general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que
aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos
expresiones del tipo La matriz M est multiplicando por la izquierda
(o por la derecha)
Diapositiva 19
Las matrices cuadradas de orden m, adems de sumarse y
multiplicarse por un nmero, pueden multiplicarse entre s. Veamos
algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya
diagonal principal son todos unos y el resto de trminos son ceros.
Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz
inversa, pero otras no. La notacin si existe de la matriz inversa
es A -1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para
calcularla lo veremos en la unidad 4. 2.4 MATRICES CUADRADAS
Diapositiva 20
2.5 n-UPLAS DE NMEROS REALES n-Uplas de nmeros reales: Una
coleccin de n nmeros reales dados en un cierto orden se llama
n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-
uplas de nmeros reales. Combinacin lineal de vectores: Dados El
vector formado por Se llama combinacin lineal de los vectores Una
combinacin lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar
cada una de ellas por un nmero y sumarlas.
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Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de
V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de
ellos se puede poner como combinacin lineal de los dems. Un
conjunto de elementos de V se dice que son linealmente
independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como
combinacin lineal de los dems. El mximo nmero posible de n-uplas
linealmente independientes es n.
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2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al nmero
de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Teorema:
En una matriz, el nmero de filas L.I. coincide con el nmero de
columnas L.I. Segn esto, el rango de una matriz es el nmero de
filas o de columnas L.I. Ejemplos: el mximo rango posible es 2
porque
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2.7 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES Si tenemos un
sistemas de ecuaciones lineales, podemos escribir dicho sistema de
una forma matricial de forma que: Si nos fijamos en los
coeficientes: Escribimos la matriz de coeficiente: Y la matriz
incgnita:y la matriz de los trminos independientes: Por tanto
tenemos que el sistema se puede escribir as
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LGEBRA DE MATRICES 2.1. NOMENCLATURA Y DEFINICIONES Que es una
Matriz Dimensin de una Matriz Matriz Cuadrada.Matrices
Iguales.Matriz TraspuestaMatriz Simtrica. 2.2 OPERACIONES CON
MATRICES Suma de Matrices Producto de un nmero por una matriz
Producto de una matriz fila por una matriz columna Producto de
Matrices. 2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la Suma. Asociativa. Conmutativa. Elemento Neutro
Opuesta. Propiedades del producto de nmeros por matrices
Asociativa. Distributiva I Distributiva II Producto por el nmero 1
Propiedades del Producto Asociativa. NO Conmutativa. Distributivas.
2.4. MATRICES CUADRADAS Matriz Unidad. Matriz Inversa. 2.5. n-UPLAS
DE NMEROS REALES - Combinacin Lineal de vectores. - Dependencia e
independencia Lineal. 2.6. RANGO DE UNA MATRIZ 2.7.FORMA MATRICIAL
DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.