Capitulo 1 . ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 25 Si comparamos los valores calculados P;o = .286 7972 x 10- 9 , X; O = .2 86810 x 10- 9 Y 5 ( 1) 20 1 - 10 Y; o = .3098842 x 10- con el valor exacto -3 = 2.8679719.x10 ,se 3486784401 puede ver que p;o = .2867972 x 10- 9 aproxima al valor exacto con to da s sus 7 cifras significativas, x;o = .286810 x 10 -9 aproxima al valor exacto con cinco cifras significativas (de siete), mientras que y;o = .30988 42 x 10- 5 aproxima al valor exacto con ninguna cifra significativa. Que puede decirse de la estabilidad numerica de las formulas que definen las sucesiones {Pn } n ' {xn t Y {y n} n ? Observamos que la f6rmula para cal cu lar produce rapidamente perdida de cifras Y n significativas, mientras que la formulas para calcular Pn Y xn no, as f que el algorit mo para calcular Y n es inestable , mientras que los algoritmos para calcular Pn Y xn son estables . Si calculamos mas terminos de la sucesiones {Pn } n' {xn}n Y {Yn}n' Se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 15 siguiente. n 30 40 50 60 70 80 90 100 Observe, en los calculos de la tabla anterior, que 0 Y 0, mientras que oc: (cuando n 00 ), Y es claro que lim n = 0 . n-> oc 3 Otra forma de estudiar la estabilidad numerica de las f6rmulas definidas en este ejemplo es como sigue: Las sucesiones definidas en i) Y Ii) pueden verse como ecuaciones en diferencias con condicion inicial: xn = n = 2,3, .. (11 a) i) 1 Xo = 1, = - (1. 1 b) x 1 3
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Capitulo 1 . ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 25
Si comparamos los valores calculados P;o = .2867972 x 10-9 , X;O = .286810 x 10-9 Y
5 ( 1) 20 1 - 10 Y;o = .3098842 x 10 - con el valor exacto -3 = 2.8679719.x10 ,se3486784401
puede ver que p;o = .2867972 x 10 -9 aproxima al valor exacto con todas sus 7 cifras
significativas, x;o = .286810 x 10 -9 aproxima al valor exacto con cinco cifras significativas
(de siete) , mientras que y;o = .3098842 x 10-5 aproxima al valor exacto con ninguna cifra significativa.
Que puede decirse de la estabil idad numerica de las formulas que definen las sucesiones
{Pn } n ' {xn t Y {y n } n ?
Observamos que la f6rmula para calcu lar produce rapidamente perdida de cifrasYn
significativas, mientras que la formulas para calcular Pn Y xn no, as f que el algoritmo para
calcular Y n es inestable, mientras que los algoritmos para calcular Pn Y xn son estables.
Si calculamos mas terminos de la sucesiones {Pn }n' {xn}n Y {Yn}n' Se obtienen los
resultados que se muestran en la TABLA 1 5 siguiente.
n
30 40 50 60 70 80 90 100
p~ x~
Observe, en los calculos de la tabla anterior, que p~ ~ 0 Y x~ ~ 0, mientras que y~ ~ oc:
(cuando n ~ 00 ), Y es claro que lim (~) n = 0 . n-> oc 3
Otra forma de estudiar la estabilidad numerica de las f6rmulas definidas en este ejemplo es como sigue:
Las sucesiones definidas en i) Y Ii) pueden verse como ecuaciones en diferencias con condicion inicial:
xn = (~)Xn_1 -(~) Xn_2 ' n = 2 ,3, .. (11 a) i)
1 Xo = 1, = - (1. 1 b)x1
3
26 METODOS NUMERICOS
(1 .2.a)
1 Yo = 1, Yl =- (1 .2.b)
3
Se puede probar que la soluci6n general de la ecuaci6n en diferencias (1.1.a), es
con c l Y c2 constantes arbitrarias.
N6tese que la soluci6n general anterior es el conjunto de todas las combinaciones lineales de
las soluciones particulares (~r Y (~r , de la ecuaci6n (1 .1.a). Tales soluciones
particulares pueden obtenerse buscando soluciones de la forma xn = An con A*- O, para la ecuaci6n mencionada.
Para que se satisfagan las condiciones iniciales exactas (1 .1.b), Xo = 1 Y Xl = ~ , deben 3
escogerse = 1 Y c2 = 0 , es decir, la solucion de la ecuacion en diferencias (1 .1.a) quec l
satisface la condici6n inicial (1 .1.b) es la sucesi6n
Si las condiciones iniciales son cambiadas por Xo = 1.000000 Y Xl =.3333333 (redondeando las condiciones iniciales (1 .1.b) a siete digitos), entonces los valores de las constantes son
ahora =1.0000002 Y C2 = - .2 x 10-6, asf que fa solucion de fa ecuaci6n en diferencias
(1 .1.a) con las nuevas condiciones es
xn = 1.0000002(~) n -.2 x 10-6 (~) n
Y entonces al calcular Pn = (~) n , mediante esta ultima f6rmula, el error es tan solo
( E n ~ 0 cuando n ~ 00 Y observe que Pn ~ 0 cuando n ~ 00 )
En este caso el algoritmo se considera estable.
En cuanto a la ecuaci6n en diferencias (12.a), tenemos que su soluci6n general es
con c l Y c2 constantes arbitranas
Para que se satlstagan las I'1'II1Iri6!!iiMI
= 1 Y c2 = O. es dear, IIc l
inicial (1 .2.b) es la sucesi6n
las condiciones imclalel (1
3.0000001ahora .--- yc1 3 (1 .2.a) que satlstace III
1.5 COI~DI:II:
c l
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 27
con Y c2 constantes arbitrarias . c1
1Para que se satisfagan las condiciones iniciales (1 .2.b) , Yo =1 Y Y1 = "3 ' deben escogerse
c1 = 1 Y = 0 , es decir, la soluci6n de la ecuaci6n en diferencias (1 .2.a) con cond ici6n c2
inicial (1 .2.b) es la sucesi6n
Si las condiciones iniciales son cambiadas por Yo = 1.000000 Y Y1 =.3333333 (redondeando
las condiciones iniciales (1 .2.b) a siete digitos), entonces los valores de las constantes son 7
3.0000001 1.0 x10 ahora = 3 Y c2 = 3 ' es decir, la soluci6n de la ecuaci6n en diferencias c1
(1.2.a) que satisface las nuevas condiciones, es
= 3.0000001 (2)n + 1.0 x10-7 (~) n
Yn 3 3 3 3
EI error al calcular Pn = (±) n , mediante esta ultima f6rmula , es
( En ~ +00 cuando n ~ 00 , mientras que Pn ~ 0 cuando n ~ 00 )
En este caso el algoritmo definido por la f6rmula ii) es inestable . +
1.5 CONDICIONAMIENTO DE UN PROBLEMA
Para ciertos problemas "buenas" respuestas no pueden ser obtenidas por cualquier algoritmo, porque el problema es sensible a errores pequenos cometidos en la representaci6n de los datos 0 en la aritmetica. Hay que distinguir entre algoritmos inestables Y problemas sensibles a cam bios pequer'ios en los datos.
Un problema se dice bien condicionado si pequenos cambios en los datos inducen s610 un cambio pequeno en el resultado, es decir, problemas "cercanos" tienen respuesta "cercana". EI buen condicionamiento es algo inherente al problema
Veamos un ejemplo.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
28 METODOS NUMERICOS
x+ y = 2 { 10.05x+10y=21
La soluci6n exacta (unica) de este sistema es x = 20 e y = -18 . En este caso, el punto
(20,-18) es la intersecci6n de las rectas casi paralelas:
L1: x + y =2, con pendiente m1 = -1.0
L2: 10.05x + 10y = 21, con pendiente m2 = -1.005
Ahora cambiamos el coeficiente 10.05 por 10.1 (un cambio relativo de ", .5%) y consideramos el sistema perturbado
x+ y=2 { 10.1x + 1 Oy = 21
La soluci6n exacta c;le este sistema perturbado es x = 10, Y= -8 .
Se observa que un cambio pequeno en uno de los datos del problema (coeficientes y terminos independientes del sistema) ha producido un gran cambio en la soluci6n (de mas de 100%). Este problema se dice que esta mal condicionado. +
TALLER 1.
1. Convertir los siguientes numeros binarios a la forma decimal (equivalente decimal) :
2. Para los siguientes numeros x y x·, con cuantas cifras decimales exactas y con cuantas
cifras significativas aproxima x· a x ?
a) x =451.023, x· =451.01
b) x = -.045113, x· = -.04518
c) x = 23.4213, x· = 23.4604
3. Un paraleliplpedo rectangular tiene lados de 3, 4 Y 5 centimetros, medidos solamente al centimetr~ mas cercano. Determine el intervalo mas pequef"lo en el cual debe estar el area lateral de este paralelipfpedo y el intervalo mas pequef"lo en el cual debe estar su volumen .
4. Sean (Xo,yo) y (x,.y que la abscisa del pun cualquiera de las dOl .....t
Use los datos
Cap itulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 29
4. Sean (xo,Y o) y (X1' Y1) ' con Yo *Y1, puntos dados de una cierta linea recta . Verifique
que la abscisa del punto de intersecclon de dicha recta con el eje x, se puede calcular con cualquiera de las dos siguientes f6rmulas
Use los datos (xo'Yo) =(1.31, 3.24) , (x 1• Y1) =(1.93, 4.76) Y aritmetica decimal con
redondeo a tres digitos para calcular dicha abscisa. utilizando las dos formulas. Cual f6rmula da el mejor resultado Y por que?
5. Considere el sistema de ecuaclones lineales
31.69X + 14.31y = 45.00 { 13.11x + 5.89y = 19.00
Un metodo para resolver este sistema es multiplicar la primera ecuacion por 13.11 , la segunda ecuaci6n por 31.69 y restar las ecuaciones resultantes para obtener el valor de y ; luego se multi plica la primera ecuaci6n por 5.89, la segunda ecuacion por 14.31 y
restamos las ecuaciones resul tantes para obtener el valor de x.
Efectue las operaciones indicadas usando aritmetica decimal con corte a cuatro digitos y compare los resultados obtenidos con la soluci6n exacta del sistema. Si hay alguna diferencia en los resultados, puede explicar a que se debe tal diferencia?
6. a) Escriba un programa que Ie produzca un error overflow en su computador
b) Escriba un programa para determinar experimentalmente (no te6ricamente) el numero de punto f10tante mas pequeno y el mas grande de su computador.
7. Calcule In 2 a partir de la serie de Maclaurin para la funci6n f( x) = In( x + 1) . Determine el
menor numero de terminos en dicha serie que deben tomarse para conseguir In 2 con un
error menor que 10-8 . Haga 10 mismo para In 1.5 y In 1.1 , Y analice los resultados.
8. La aproximaci6n sen x "" x se usa a menudo para I x I pequeno. Estime, con la ayuda del
teorema de Taylor, el error de truncamiento al usar esta f6rmula . Para que rango de valores de x da esta aproximacion resultados con una precision de por 10 menos seis cifras decimales exactas?
30 METODOS NUMERICOS
x9. Sea f( x) = e- . Encuentre el polinomio de Taylor de tercer grado para f alrededor de 99a = to , y uselo para aproximar e- · . Cuantas cifras decimales exactas se esperan en la
aproximacion calculada?
10. Discuta los problemas que se pueden presentar al evaluar las siguientes funciones y plantee alternativas que permitan evitarlos:
eX _ e- x
a) f(x) = In(x + 1) -Inx b) senhx = --2
c) f(x) = 1-cosx d) f(x):::V1+x-1 x2
11. Use aritmetica decimal con redondeo a cuatro digitos y una formula que intente evitar la perdida de cifras significativas, para encontrar las raices de cada una de las siguientes ecuaciones cuadraticas
a) x2 -19.96x + .1995 = 0 b) x2 + 40x -1 = 0
12. Considere la ecuacion en diferencias
(1 )
a) Verifique que la sucesion
(2)
es solucion de la ecuacion en diferencias (1), Y satisface las condiciones iniciales
1+J"S Xo = 1 Y x1 = -- .
2
Utilice aritmetica finita para calcular xn ' n = 0,1, ... ,20 usando la formula (1) con las condiciones iniciales anteriores, y tambiEln usando la formula (2) . Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la formula (1) .
b) Verifique que la sucesion
(3)
es solucion de la ecuacion en diferencias (1), y satisface las condiciones iniciales
1-J"S Xo = 1 Y x1 = -- .
2
Utilice aritmetica finita para calcular xn•
condiciones iniciales anteriores, Y resultados y concluya acerca de la
13. Considere la ecuacion en diferencias
a) Verifique que si se
xn ::: (1- J3.t n - 0.1.... es soIuc_ condiciones iniciales dadas.
b) Utilice aritmetica finita para
xn = (1 - .f3)". como fa f6rmull
en a). Expfique los resu
formula xn =2( Xn-l +Xn.,
f alrededor de
(1 )
(2)
.... (3)
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 31
Uti lice aritmetica finita para calcular xn' n = 0,1, .. . ,20 usando la formula (1) con las condiciones iniciales anteriores , y tambien usando la formula (3) . Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la formula (1) .
13. Considere la ecuacion en diferencias
a) Verifique que si se dan las condiciones iniciales Xo = 1 Y Xl = 1- /3, entonces
Xn = (1- J3:"f, n = 0,1, .. es solucion de la ecuacion en diferencias y satisface las
condiciones iniciales dadas.
b) Utilice aritmetica finita para calcular xn' n = 0,1, ... ,20 usando tanto la formula
xn = (1 - J3f ' como la formula xn = 2( xn _l + xn-2 ) , con las condiciones iniciales dadas
en a) . Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la
formula xn = 2( xn_1 + xn_2 ) .
14. Las funciones de Bessel I n satisfacen la siguiente formula de recurrencia
(4)
Empiece con J o(1)= .7651976866 Y J 1(1)= .4400505857 Y use la formula de
recurrencia anterior para calcular I n(1), n = 2,3, ... ,20 . Se puede creer en los resultados
obtenidos? Explique.
Nota: Se sabe que las funciones de Bessel I n pueden definirse mediante la formula
1 n
In(x) = ; fcos(xsen8-n8)d8 o
15. Las funciones de Bessel satisfacen la misma formula de recurrencia (4) que las Yn
funcionesdeBessel I . Empiececon Yo(1) = .0882569642 Y Yl (1) =-.7812128213 Y n
use la formula de recurrencia (4) para calcular Yn (1), n = 2,3, ... ,20 . Decida si los
resultados son confiables 0 no.
. N 1
16. Escriba un programa de computador que calcule el valor de SN = L k para varios . k.l
valores de N . Encuentre el valor de N tal que Sn = SN para todo n ;:: N . Le parece
32 METODOS NUMERfCOS
<Q 1 extrano que tal valor exista? Recuerde que la serie armonica L - es divergente.
k=l k Explique.
17. Para cualquier entero positivo N y una constante fija r:;:.1, se tiene la siguiente formula para la suma geometrica
N+l 2 N 1 - r
GN == 1 + r + r + ... H = - -- == Q N1-r
Escriba un programa de computador que calcule GN y QN para valores arbitrarios de r
y N . Si r se escoge muy cerca de 1, los valores de GN Y QN pueden diferir. Como
ex plica esto? Cual de los dos cree que es una mejor aproximacion del valor exacto de la suma? Explique.
18. Defina una sucesi6n {xn}n' n = 0,1, ... mediante la f6rmula de recurrencia
1 xn+l = xn + -, n = 0,1, ... donde Xo > °
xn
Que puede decir ace rca de la existencia de lim xn ? n.... ",
CAPiTULO 2. SOlUCI6 N NO-LINEAL EN
INTRODUCCI6N
EI objetivo de este capitulo es estudiar de una ecuaci6n no-lineal en una ecuaciones polin6micas). En la sigu ecuacion.
Definici6n 2.1 Sea f: 0 (en D) de la ecuaci6n f(x) = 0, 0 un
Como veremos, los metodos
ecuaci6n f( x) =0, genera~n Unl
aproximaci6n de la ralz bUIC:a
CRITERIOS DE APRC)XIlIAClIl
Supongamos que
sucesi6 IXnln' n
lim t( xn )=f(a) .. 0 y n
para todo n
£>0
podriamos
CAPiTULO 2. SOlUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
INTRODUCCION
EI objetivo de este capitulo es estudiar algunos metodos numericos para hallar raices reales de una ecuaci6n no-lineal en una variable (5610 se estudiaran ra ices complejas para ecuaciones polin6micas) . En la siguiente definici6n formalizamos el concepto de ralz de una ecuaci6n .
Definici6n 2.1 Sea f: D ~ R, D ~ R , una funci6n dada. Un numero a ED se dice una raiz
(en D) de la ecuaci6n f( x) = 0 , 0 un cero (en D ) de la funci6n f si f( a) = o . V
Como veremos, los metod os numericos que estudiaremos para encontrar una raiz a de una
ecuaci6n f( x) = 0 , generaran una sucesi6n {xn t, n = 0,1,2, ... (Metodos iterativos) tal que
lim xn = a. Cualquiera de los tales metodos numericos permitira calcular los terminos' de la n-> oo
sucesi6n {xn} n ; asi que no se espera, en general , calcular lim xn. Por 10 tanto, deberemos n-.oo
disponer de algun criterio para escoger un termino de la sucesi6n {xn}n' n = 0,1,2,. como
aproximaci6n de la ra iz buscada a .
CRITERIOS DE APROXIMACION
Supongamos que la funci6n f es continua en alguna vecindad de a que contiene a la
sucesi6n {xn}, n = 0,1,2, ... , y que la sucesi6n {xn t es tal que limxn = a. Entonces n n~ro
lim f( xn) =. f( a) = 0 y asi , dado cualquier numero positiv~ E, existe N EN = {o, 1 ,2,} tal que n-> o>
para todo n ~ N se tiene que If(xn) 1< E . Teniendo en cuenta 10 anterior, dado un numero
E> 0 adecuadamente pequeno, al cual lIamaremos Tolerancia y que notaremos Tol , podriamos escoger como aproximacion de la raiz a al termino xN de la sucesi6n
mencionada, donde N es el menor entero no-negativo que satisface
Por otro lado, como lim xn = a significa que dado E> 0 , existe No EN = {0,1,2,} tal que si n-> oo
n ~ No ' entonces Ixn - a I< E , Y esto implica que
IXNO+1-XNO 1=l xNo+1-a+a- xNo I
~ I XNo + 1 - a I+ I XNo - a I < £ + £ = 2£
entonces tambien podriamos tomar como aproximacion de la raiz a al termino xN de la
sucesi6n mencionada, donde N es el menor entero no-negativo tal que
34 M~TODOS NUM~RICOS
ii) I xn - xn-1 I < e
Tambien podriamos tomar como aproximacion de la raiz a al termino xN donde N es el
menor entero no-negativo tal que
. I x -x I.•. ) n n-1 e III I xn I <
Pues bien, para una tolerancia E > 0 previamente escogida, cualquiera de los tres criterios mencionados, se adoptara como criterio para obtener una aproximacion de una raiz a .
Ahora, en cuanto a los criterios de aproximaci6n anteriores, es facil ver que el hecho de que
If(XN) I< eo! xN - XN_1 ! < e no necesariamente indica que xN este muy cerca de a, como
puede apreciarse en la FIGURA 2.1 yen el ejemplo 2.1 siguientes.
x
y! f(X)
FIGURA 2.1
Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuaci6n f(x) = 0 donde f(x) = (x,-1fo
. Es claro que a = 1 es
una ralz de esta ecuaci6n, y que la sucesi6n {xn} n' n = 1,2, ... donde xn = 1 + n1 converge a
dicha ralz .
Si tomamos como tolerancia e = 10-3 , al aplicar el criterio de aproximaci6n i), se tiene que
= --io < 1 0 -3 c:> n1a > 103 c:> n ~ 2 n
. 13 bSi tomamos como aproximaci6n de a al termlno x2 = 1 + - = -, 0 servamos que2 2
3Ix2 - a 1=\ 1- % \ = ~ , y ~ no es menor que E = 10 - ; realmente IX2 - a I es una distancia
muy grande entre a Y x2 . Vea la FIGURA 2.2. I,
Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO·lINEAL EN UNA VARIABLE 35
Resolviendo esta ultima desigualdad se obtiene que si n ~ 33 , entonces
1 xn - xn- 1 1 < E = 10-3, aSI que la aproximaci6n de CJ. obtenida, usando este criterio , serla
X33 = 1 + _1_ = 1.030.. . , Y la distancia 1 CJ. - 1 = _1_ no es menor que E =10-3 .X3333 33
3 1 Observe que para que 1 CJ. - xn 1 < E = 10- , debe tomarse xn = X 100 1 = 1 + 1001 = 1.00099 ....
y Y=(x-1)
10
I
FIGURA 22
Se sigue de 10 anterior que cualquiera de los criterios i) , ii) , iii ) puede no darnos una idea clara
de la d istancia real 1CJ. - xn I.
Por otra parte, para tener garantla de que una sucesi6n , generada por un determinado metodo numerico, converge a la ralz buscada, la funcion f en cuesti6n debera satisfacer ciertas condiciones ; resulta que muchas veces aplicaremos el metodo sin chequear tales condiciones 10 que nos conducira, posiblemente, a una sucesi6n divergente, caso en el cual, un entero N para el cual se cumpla i), Ii) 0 iii) , puede no existir. Puede ocurrir tam bien que, aun tratandose de una sucesi6n que converge a la ralz buscada , el entero N al que nos hemos referido sea muy grande: por ser "muy lenta" la convergencia de la sucesion . Por 10 anterior, al aplicar cualquiera de los criterios, se hace necesario establecer siempre una cota para N, es decir, imponer un maximo al numero de iteraciones.
Tambien, con frecuencia, tendremos que combinar dos 0 mas de los criterios mencionados, 0
considerar algun otro criterio, al momenta de obtener una aproximaci6n de una ralz .
Por 10 general al aplicar un metodo numerico necesitaremos de una aproximaci6n inicial de la raiz buscada 0 bien de un intervalo que contenga a dicha ralz . Esta informacion puede
obtenerse dibujando la grafica de la funci6n f, si la ecuaci6n en cuestion es f(x) = 0 ; las
abscisas de los puntos de corte de dicha grafica con el eje x son ralces reales de la
36 METODOS NUMERICOS
ecuaci6n. Ademas, la grafica de f nos permitira tener alguna idea util del comportamiento cualitativo de fen la vecindad de la raiz (1 (por ejemplo crecimiento y concavidad) . Ahora bien, es posible que a traves de un proceso puramente grafico podamos obtener una aproximaci6n para una raiz, que aunque limitada, sea util para ciertos fines.
Ejemplo 2.2 Supongamos que estamos interesados en encontrar todas las raices de la ecuaci6n
Una forma de iniciar la busqueda de las rafces es determinando intervalos que contengan a
3x2dichas raices . Para esto, graficamos f(x) = - eX (ver la FIGURA 2.3 siguiente) .
y
6
3 4 x
I
FIGURA2.3
De acuerdo con la grafica anterior se ve que la ecuaci6n en consideraci6n tiene por 10 menos tres raices reales (1 1 E[- 1,Oj, (12 E[0,1] Y (13 E[3,4]. (Verifique analiticamente que la
ecuaci6n 3x2 - eX = 0 tiene unicamente tres raices reales) .
Ahora bien, puesto que 3x 2 - eX = 0 ¢:> 3x2 = eX , otra forma de proceder es graficando las
funciones f1(X) = 3x 2 Y f2(X) = eX , en un mismo plano coordenado (ver la FIGURA 2.4) . En
este caso las ralces buscadas son las abscisas de los puntos de intersecci6n de las dos graficas.
Una forma de aproximar cada una de las rafces (1 1' (1 2 Y (13' es dividiendo el intervalo donde cada una de elias se encuentra, y hacer esto sucesivamente hasta lograr un subintervalo de longitud suficientemente pequer'\a y que contenga a dicha ralz . Por ejemplo, si empezamos con los intervalos dados y hacemos una tabla de valores para la funci6n
f(x) = 3x2 - eX con tamaiio de paso h = 0.1, obtenemos que (11 E[-0.5,-OA], (12 E[O.g,tO]
y (13 E[3.7,3.8]. La TABLA 2.1 corresponde a la tabla de valores para la funci6n
•
f(x) = 3x2 - eX en el intervalo (O,1J
funci6n f es continua en (O.9,tOJ y
y
45
30
15
intervalo
Iograr un ejemplo, funci6n
1.0]
Capitulo 2 . SOLUCICN NUMERICA DE UNA ECUACICN NO·LlNEAL EN UNA VARIABLE 37
3x2f(X) = - eX en el intervalo [0,1] con tamar'\o de paso h =0.1 . Observe que como la
funci6n f es continua en [0.9,tO] y f(0.9)f(tO) < 0 , entonces a2 E[0.9,tO] .
*VECTORc[ x , f( x)], x , a , b , h): aproXima una tabla de valores de la funci6n f( x) en el
intervalo [a,b] , con tamar'\o de paso h. Para el ejemplo, aproXime la expresi6n
VECTOR([X, 3x2 - exp(x)]. x, 0 , 1, 0.1) . 0
En situaciones como la del ejemplo anterior, donde se sabe de la existencia de una unica raiz
a para una ecuaci6n f( x) = 0 en un determinado intervalo cerrado [a, b], se puede usar
alguno de los siguientes metodos numericos lIamados cerrados para encontrar una aproximaci6n de dicha rafz.
38 METODOS NUMERICOS
2.1 METODOS CERRADOS
Los metodos numericos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la rafz buscada, son Ilamados metodos cerrados. Aquf estudiaremos dos de tales metodos: el metodo de Bisecci6n y el m~todo de Posici6n Falsa.
2.1.1 Metodo de Biseccl6n : Supongamos que f es una funci6n continua en un intervalo
[a, b] y--f( a )f(b) < O. Entonces, por teorema del valor intermedio para funciones continuas,
existe al men os un a E(a,b) tal que f(a) = O. Asumiremos en 10 que sigue que la raiz en
este intervalo es (mica (aunque el metodo tambien se puede aplicar cuando hay mas de una
raiz en (a,b)).
EI metodo de Bisecci6n consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a,b] por la mitad,
hasta que la longitud del subintervalo que contiene a la ra lz a sea menor que alguna tolerancia especificada £ .
Para empezar tomamos a1 = a , b, = b Y x, es el punto medio de [a"b, ] , 0 sea
x1 = ~(al + b1) =a1 + b1 - a1 : primera aproximaci6n de la ralz a 2 2
x
FIGURA 2.5
ex. I I II a, x~ xb,
()
I b - a Si f Xl = 0 0 _ 1 __I < £ , entonces a = Xl Y el proceso term ina.
2 .
Si f(a 1)f(x1) < O, entonces aE(a1,x1) y .tomamos a2 =a1 , b2 =X1 ; en caso contra rio
tomamos a2 = Xl' b2 = b1 .
Ahora aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [a2 ,b2 ], asl:
En general, despu~s de {n -
b-aComo lim 0
n. 2" 10 que significa q~
sea
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO·lINEAL EN UNA VARIABLE 39
2X2 = ~(a2 + b2 ) = a2 + b2 - a : segunda aproximaci6n de la raiz a
2 2
I I • x
En general, despues de (n -1 )-pasos, la raiz a E (an' bn) Y tomamos
an + bn bn - an I '--_x_n_=__2__=_a_n_+_ -_"--_-2_-_"------.J: n-esima aproximaci6n de la raiz a
a 1 b - au., •x o~ Ia - x I~ - (b - a ) = n 2 n n 2n
Como lim b - a = 0 • entonces lim xn = a , es decir, la sucesi6n {xn} n converge a la raiz a; 2nn-+CXl n-+CXl .
10 que significa que el metodo de Biseccion siempre converge.
Dado E > 0, si b2~a < E , entonces Ixn - a 1< E : En particualr, si E = 5 x 10- (k+1) para un
cierto entero no-negativo k, y N es el menor entero positivo para el cual b - a < E, entonces 2n
IxN - a I~ 5 x 1 O-(k+1) , asl que xN = a' aproximara a la raiz a con una precision de por 10
menos k cifr;ls decimales exactas.
Algoritmo 2.1 (Biseccion) Para encontrar una aproximaci6n a' de una raiz a E(a,b) de
una ecuaci6n f(x) = 0 do'nde f es una funci6n continua en [a,b] y f(a)f(b) < 0 :
Entrada: f( x); los extremos a, b del intervalo; una tolerancia Tol , y un numero maximo de
iteraciones N .
Salida: Una raiz aproximada a' 0 un mensaje.
Paso 1: Tomar n = 1.
Paso 2: Mientras que n :s: N seguir los pasos 3-6:
40 MElODOS NUMERICOS
a+b b-aPaso 3: Tomar c = -- 0 c = a + -- (calcular xn )
2 2
Paso 4: Si f( c) = 0 0 b - a < Tol , entonces salida: "Una rafz aproximada de la 2
ecuaci6n dada es u' = c ". Terminar.
Paso 5: Tomar n = n + 1.
Paso 6: Si f(a)f(c) < 0, entonces tomar b = c, de 10 contrario tomar a = c.
Paso 7: Salida: "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar.
Para el ejemplo 2.2 anterior, usemos el metodo de Bisecci6n en el inteNalo [0.9,1.0] para
aproximar la rafz u 2 , con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales exactas .
Debemos encontrar n tal que Iu 2 - xn I~ 5 x 10"::; pero como
I b - a 1.0 - 0.9 0.1 0.1_4
Iu 2 - xn ~ -n- = n =n ' basta encontrar n tal que -2n ~ 5 x 10 . La soluci6n de
2 2 2 . esta ultima desigualdad es n ~ 8 , asi que Xs aproximara a u 2 con por 10 menos tres cifras
decimales exactas.
La TABLA 2.2 siguiente , muestra los calculos para obtener xs.
