1
.
2
.
1. Expresiones algebraicas y reducción …………….……….. 03
2. Producto y cociente de expresiones algebraicas ………... 07
3. Productos Notables ………………………..……………….. 13
4. Factorización ………………………………..……………….. 17
5. Simplificación de fracciones algebraicas ……………..….. 26
6. Exponentes y radicales …………………………………….. 28
Webgrafía ……………………………………………………….. 33
3
Una es una
combinación de números y letras
ligados con signos de operaciones
algebraicas.
3𝒙, 𝟐
𝟑 𝒛𝟒, 𝒂 + 𝟑𝒙𝒚 − √(𝟐𝒙𝒚) , (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑)
En las expresiones algebraicas la más simple es la llamada Monomio, como 3x,
es un binomio (𝑎3 + 𝑏3), 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 , te acuerdas del binomio
de oro, la agrupación vallenata integrada por Rafal Orozco e Israel Romero.
El término Es un trinomio porque tiene tres términos.
Cuando tiene varios términos se dice que es un
polinomio, como en este caso
3x5 es un monomio de grado 5, pero x5 y 3 es un monomio de grado 8. para el
Amigo estudiante te
damos la Bienvenida a la
unidad 2 del curso
Virtual de matemáticas
básicas, éxitos en esta
maravillosa aventura
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y REDUCCIÓN
GRADO DE UN MONOMIO
4
segundo término los exponentes son 5 y 3 y se suman para obtener el grado
absoluto dela expresión.
Es un monomio de grado
absoluto 14.
Monomio Coeficiente Parte literal Grado absoluto
Grado relativo con respecto a
𝟑𝒙𝟒𝒚𝟖 3 𝒙𝟒𝒚𝟖 12 𝒙 = 𝟒 𝒚 = 𝟖
−𝟓𝒎𝟓𝒏 -5 𝒎𝟓𝒏 6 𝒎 = 𝟓 𝒏 = 𝟏
√𝟑𝒎𝟔𝒏𝟔 √𝟑 𝒎𝟔𝒏𝟔 12 𝒎 = 𝟔 𝒏 = 𝟔
Un monomio es semejante a otro cuando tienen la misma variable elevada al
mismo exponente.
𝟑𝒙𝟓; 𝒙𝟓; 𝟕 𝒙𝟓
𝟒𝒙𝟕𝒚𝟒 𝒛𝟑
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la
suma o la resta de dos o más monomios. Los monomios
que conforman un polinomio, reciben el nombre de
términos del polinomio.
5
Para adicionar polinomios, se reducen sus términos o monomios semejantes y
se copian los demás términos.
Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del
sustraendo y se suman al minuendo.
Sea 𝑦
Hallar A+B
Para A-B. Como es una resta los términos del sustraendo cambian de
signos y se procede a simplificar los términos semejantes
Si la expresión algebraica tiene , después de verificar que sean
términos semejantes se simplifica, para ello:
a. Hay que reducir a común
b. Se calcula el . los denominadores. Descomponemos en factores
los denominadores
c. Dividimos el obtenido entre cada uno de los denominadores y
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒
𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎
Recuerda que si un
signo (-) antecede a
una llave, corchete,
o paréntesis la
expresión cambia de
signo.
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 −𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒
−𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐
Recuerda que
debes agruparlos
por términos
semejantes
6
lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.
d. Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o
restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
Sea la expresión algebraica 𝟑
𝟐𝒙𝟑 −
𝟐
𝟓𝒙𝟑 +
𝟏
𝟑𝒙𝟑
Entonces: 𝟑
𝟐𝒙𝟑 −
𝟐
𝟓𝒙𝟑 +
𝟏
𝟑𝒙𝟑 =
𝟒𝟑
𝟑𝟎𝒙𝟑
7
Efectuar el siguiente producto
𝟔𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑 𝒑𝒐𝒓 𝟕𝒙𝟐𝒚
Recuerda que:
𝒂𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
+x+=+ - x - =+ +x- =- -x+=-
𝟏𝟏
𝟏𝟎𝒂𝟐 +
𝟑
𝟓𝒂𝒃 −
𝟓
𝟐𝒃𝟐 𝒑𝒐𝒓
𝟐
𝟕𝒂𝒃
Recuerda que
𝒂
𝒃×
𝒄
𝒅=
𝒂𝒄
𝒃𝒅
2. PRODUCTO Y COCIENTE DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
8
La anterior respuesta, al simplificar las fracciones queda así:
Efectuar el siguiente producto
𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 𝒑𝒐𝒓
Se puede utilizar la propiedad distributiva, así:
= 𝟕𝒙𝟐( ) − 𝟓𝒙𝒚( ) + 𝟑𝒚𝟐( )
= 𝟒𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝟕𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝟎𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟏𝟖𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝟑𝒚𝟑
= 𝟒𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟕𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝟑𝒚𝟑
Efectuar el siguiente producto
(𝟐
𝟑𝒂 −
𝟐
𝟗𝒃) (
𝟑
𝟒𝒂 −
𝟓
𝟒𝒃)
(𝟐
𝟑𝒂) (
𝟑
𝟒𝒂 −
𝟓
𝟒𝒃) − (
𝟐
𝟗𝒃) (
𝟑
𝟒𝒂 −
𝟓
𝟒𝒃)
(2
3𝑎) (
𝟑
𝟒𝒂) − (
2
3𝑎) (
𝟓
𝟒𝒃) − (
𝟐
𝟗𝒃) (
𝟑
𝟒𝒂) + (
𝟐
𝟗𝒃) (
𝟓
𝟒𝒃)
=6
12𝑎2 −
10
12𝑎𝑏 −
6
36𝑎𝑏 +
10
36𝑏2 =
6
12𝑎2 −
6
6𝑎𝑏 +
10
36𝑏2
Para multiplicar dos polinomios, se multiplican cada uno de los términos
del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo
polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la multiplicación de
monomios. Luego, se reducen términos semejantes.
9
Simplificando
Efectuar el siguiente cociente
8𝑥5−12𝑥3−16𝑥2
4𝑥2
= 𝟖𝒙𝟓
𝟒𝒙𝟐−
𝟏𝟐𝒙𝟑
𝟒𝒙𝟐−
𝟏𝟔𝒙𝟐
𝟒𝒙𝟐
= 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟒
𝟗𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟖𝒙𝟐𝒚𝟓 + 𝟔𝒙𝒚𝟕
−𝟑𝒙𝒚
=𝟗𝒙𝟐𝒚𝟑
(−𝟑𝒙𝒚)−
𝟏𝟖𝒙𝟐𝒚𝟓
(−𝟑𝒙𝒚)+
𝟔𝒙𝒚𝟕
(−𝟑𝒙𝒚)
= −𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟔𝒙𝒚𝟒 − 𝟐 𝒚𝟔
Para dividir polinomios entre polinomios, es necesario tener en cuenta los
siguientes pasos:
=𝟏
𝟐𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 +
𝟓
𝟏𝟖𝒃𝟐
Recuerda que:
𝒂𝒎
𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏
+÷+=+ - ÷ - =+ +÷- = - -÷+= -
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno
de los términos del polinomio entre el monomio respectivo y se
tienen en cuenta las leyes para la división de monomios.
10
1. Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una de las
variables.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
el resultado será el primer término del cociente.
3. Dicho término se multiplica por cada uno de los términos del divisor. Cada
producto se resta de su semejante en el dividendo y se tienen en cuenta los
respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene términos
semejantes en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al
orden del dividendo.
4. Se baja el siguiente término del dividendo. se divide el primer término del
dividendo parcial entre el primer término del divisor. el resultado será el
segundo término del cociente.
5. Se continúa el proceso hasta que el residuo tenga un grado menos que el
grado del divisor.
Efectuar el siguiente cociente
11
Nota: si al ordenar en forma descendente los términos del dividendo y nos
hace falta alguno se deja el espacio que le corresponde así:
𝒙𝟒 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 + 𝟒𝟎 Falta el término 𝑥3 entonces se coloca así
𝒙𝟒 + 𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 + 𝟒𝟎 Queda la expresión completa.
1 Ordenar los términos de cada polinomio en forma decreciente
respecto a x.
A. 𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟑𝒙 + 𝟑
B. 𝒙𝟑
𝟒+
𝒙𝟐
𝟐−
𝟐
𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟏
Amigo estudiantes
ahora realiza las
actividades de
ejercitación, es
importante para el curso
de matemáticas afianzar
tus conceptos.
12
C. 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒚𝟑
D. 𝟓𝒙𝟐𝒚𝟓 + 𝟕𝒙𝟒𝒚𝟑 − 𝟗𝒙𝟓𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝒙𝟔𝒚 + 𝟐𝒙𝟕𝒚
2. Identifica cada término de la expresión algebraica
Expresión
Términos
Grado absoluto
Grado absoluto
del polinomio
Grado relativo con respecto a una variable
𝒙𝟐𝒚𝟐
𝟐− 𝟗𝒙𝟑𝒚𝟓
Expresión
Términos
Grado absoluto
Grado absoluto
del polinomio
Grado relativo con respecto a una variable
𝒂𝟒𝒃𝟐 − 𝒂𝟐𝒃 −𝟏
𝟓𝒂𝒃𝟓
𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟐𝒎𝟑𝒏 − 𝟒𝒎𝒏
3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas
A. −𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟕𝒙 + 𝟖𝒙𝟑
B. 𝟖𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟏𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 + 𝟒𝒚𝟐
C. 𝟐
𝟑 𝒙𝟑 −
𝟑
𝟓𝒚𝟕 +
𝟒
𝟑𝒙𝟑 −
𝟏
𝟓𝒚𝟕 +
𝟕
𝟑𝒙𝟑 +
𝟑
𝟓𝒚𝟕
D. 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟒𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚
4. Realizar el siguiente producto y simplifica
A. (𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔)(𝟑𝒙 − 𝟒)
B. (𝟑𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 + 𝟗)(𝟐𝒚 + 𝟑)
C. (𝟒𝒙𝟐 −𝟏
𝟐𝒚) (𝟑𝒙 +
𝟏
𝟒𝒚)
D. (𝟒𝒚𝟑 −𝟏
𝟓𝒙) (𝟑𝒚 +
𝟏
𝟒𝒙)
13
5. Realizar los siguientes cocientes
A. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 |𝒙 + 𝟐
B. 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂 − 𝟑 ⌊𝒂 + 𝟑
C. 𝟔𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 ⌊𝒚 + 𝟐𝒙
D. 𝒎𝟔 − 𝒏𝟔⌊𝒎𝟐 − 𝒏𝟐
PRUEBA SABER
1. Para empacar equipos de oficina de la Universidad de la Guajira extensión
Maicao, la persona de recursos físico utiliza cajas en forma cubica de cartón
con tapa y de arista 2x, usando
el siguiente diseño.
La expresión que permite
determinar la mínima cantidad de
material requerido para la
construcción de la caja es:
A. 𝟖(𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) B. 𝟒(𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙) C. 𝟏𝟐(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) D. 𝟐𝟒(𝟑𝟐 + 𝟒𝒙)
2. Para empacar dos artículos en una misma caja la empresa requiere dividirla
en dos compartimientos iguales con una lámina de cartón, como se indica
en la siguiente figura. El área de la lámina divisoria, en unidades cuadradas,
está representada por la expresión
A. 𝒙𝟐 B. 𝟐𝒙𝟐
C. √𝟐 𝒙𝟐
D. 𝟐√𝟐 𝒙𝟐
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama
3. PRODUCTOS NOTABLES
14
productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también
productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de
la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto
notable).
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos
encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab +
b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)2 o si es a2 - 2ab + b2
como (a - b)2.
(𝟑𝒙 + 𝟒𝒚) = (𝟑𝒙)𝟐 + 𝟐(𝟑𝒙)(𝟒𝒚) + (𝟒𝒚)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚𝟐
(𝟑𝒙 − 𝟒𝒚) = (𝟑𝒙)𝟐 − 𝟐(𝟑𝒙)(𝟒𝒚) + (𝟒𝒚)𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟔𝒚𝟐
(𝟐
𝟑𝒙 +
𝟑
𝟐𝒚)
𝟐
= (𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
+ 𝟐 (𝟐
𝟑𝒙) (
𝟑
𝟐𝒚) + (
𝟑
𝟐𝒚)
𝟐
= 𝟒
𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 +
𝟗
𝟒𝒚𝟐
Así se puede escribir
15
(𝟐
𝟑𝒙 −
𝟑
𝟐𝒚)
𝟐
= (𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
− 𝟐 (𝟐
𝟑𝒙) (
𝟑
𝟐𝒚) + (
𝟑
𝟐𝒚)
𝟐
= 𝟒
𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 +
𝟗
𝟒𝒚𝟐
La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado
de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad.
Así: ( )( )
(𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒚𝟑)(𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒚𝟑) = (𝟖𝒙𝟐)𝟐
− (𝟏𝟏𝒚𝟑)𝟐
= 𝟔𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝟏𝒚𝟔
(𝟕
𝟗𝒂𝟓𝒃 +
𝟐
𝟑) (
𝟕
𝟗𝒂𝟓𝒃 −
𝟐
𝟑) = (
𝟕
𝟗𝒂𝟓𝒃)
𝟐− (
𝟐
𝟑)
𝟐=
𝟒𝟗
𝟖𝟏𝒂𝟏𝟎𝒃𝟐 −
𝟒
𝟗
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del
primero, más el triple del cuadrado del primero por el
segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo. Así:
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑(𝒂)𝟐(𝒃) + 𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 + (𝒃)𝟑
(𝟐𝒂 + 𝟑𝒃)𝟑 = (𝟐𝒂)𝟑 + 𝟑(𝟐𝒂)𝟐(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟑𝒃)𝟐 + (𝟑𝒃)𝟑
16
Desarrollando = 𝟖𝒂𝟑 + 𝟑(𝟒𝒂𝟐)(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟗𝒃𝟐) + 𝟐𝟕𝒃𝟑
= 𝟖𝒂𝟑 + 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝟒𝒂𝒃𝟐 + 𝟐𝟕𝒃𝟑
(𝟐
𝟑𝒙 +
𝟑
𝟒𝒚)
𝟑= (
𝟐
𝟑𝒙)
𝟑+ 𝟑 (
𝟐
𝟑𝒙)
𝟐(
𝟑
𝟒𝒚) + 𝟑 (
𝟐
𝟑𝒙) (
𝟑
𝟒𝒚)
𝟐+ (
𝟑
𝟒𝒚)
𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (
𝟒
𝟗𝒙𝟐) (
𝟑
𝟒𝒚) + 𝟑 (
𝟐
𝟑𝒙) (
𝟗
𝟏𝟔𝒚𝟐) +
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (
𝟏𝟐
𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (
𝟏𝟖
𝟒𝟖𝒙𝒚𝟐) +
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
Simplificando 𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑 (
𝟏
𝟑𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (
𝟑
𝟖𝒙𝒚𝟐) +
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 +
𝟗
𝟖𝒙𝒚𝟐 +
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
Para el caso del cubo de la diferencia
(𝟐𝒂 − 𝟑𝒃)𝟑 = (𝟐𝒂)𝟑 − 𝟑(𝟐𝒂)𝟐(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂)(𝟑𝒃)𝟐 − (𝟑𝒃)𝟑
Desarrollando = 𝟖𝒂𝟑 − 𝟑(𝟒𝒂𝟐)(𝟑𝒃) + 𝟑(𝟐𝒂) − 𝟐𝟕𝒃𝟑
= 𝟖𝒂𝟑 − 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝟒𝒂𝒃𝟐 − 𝟐𝟕𝒃𝟑
(𝟐
𝟑𝒙 −
𝟑
𝟒𝒚)
𝟑
= (𝟐
𝟑𝒙)
𝟑
− 𝟑 (𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
(𝟑
𝟒𝒚) + 𝟑 (
𝟐
𝟑𝒙) (
𝟑
𝟒𝒚)
𝟐
− (𝟑
𝟒𝒚)
𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (
𝟒
𝟗𝒙𝟐) (
𝟑
𝟒𝒚) + 𝟑 (
𝟐
𝟑𝒙) (
𝟗
𝟏𝟔𝒚𝟐) −
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (
𝟏𝟐
𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (
𝟏𝟖
𝟒𝟖𝒙𝒚𝟐) −
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
Simplificando 𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝟑 (
𝟏
𝟑𝒙𝟐𝒚) + 𝟑 (
𝟑
𝟖𝒙𝒚𝟐) −
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
𝟖
𝟐𝟕𝒙𝟑 − 𝒙𝟐𝒚 +
𝟗
𝟖𝒙𝒚𝟐 −
𝟐𝟕
𝟔𝟒𝒚𝟑
17
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio,
con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede
describir como buscar el factor común entre los factores
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que
son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de
términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
𝑎𝒎 − 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = (𝒂𝒎 − 𝒃𝒎) + (𝒂𝒏 − 𝒃𝒏) Separamos o agrupamos
= 𝒎(𝒂 − 𝒃) + 𝒏(𝒂 − 𝒃) Sacamos factores comunes
= (𝒂 − 𝒃)(𝒎 + 𝒏) factorizado
3 es el divisor
común y (a)
es la letra
común en la
expresión
𝟗𝒂𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟑 − 𝟐𝟒𝒂𝒃𝟑 = 𝟑𝒂(𝟑𝒂 − 𝟒𝒃 + 𝟓𝒂 𝟐𝒃𝟑 − 𝟖𝒃𝟑)
Para el factor común se
debe considerar:
A. la parte numérica es el
mcd entre las partes
numéricas.
B. la parte literal está
formada por las letras
que tienen en común,
los términos del
polinomio, con su
menor exponente.
4. FACTORIZACIÓN
18
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas
exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el
segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar
los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz
cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los
escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al
segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 = (𝟓𝒙 − 𝟑𝒚)𝟐
𝟓𝒙 𝒓𝒂𝒊𝒄𝒆𝒔 𝟑𝒚 → 𝟐(𝟓𝒙)(𝟑𝒚)𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = 𝟑𝟎𝒙𝒚
𝒂𝟒 +𝟒
𝟑𝒂𝟐𝒃 +
𝟒
𝟗𝒃𝟐
𝒂𝟐 𝟐
𝟑𝒃 Son las raíces cuadradas del primer y tercer término
𝟐(𝒂𝟐) (𝟐
𝟑𝒃) =
𝟒
𝟑𝒂𝟐𝒃 Doble producto del primer y el tercer término
Luego: 𝒂𝟒 +𝟒
𝟑𝒂𝟐𝒃 +
𝟒
𝟗𝒃𝟐 = (𝒂𝟐 +
𝟐
𝟑𝒃)
𝟐
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a
los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo
término del binomio negativo es la raíz del término del binomio que es
negativo).
19
𝒂𝟐
𝟑𝟔−
𝒃𝟐
𝟐𝟓= (
𝒂
𝟔−
𝒃
𝟓) (
𝒂
𝟔+
𝒃
𝟓)
𝟒𝒙𝟒 − 𝟗𝒚𝟐 = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚)
1. Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el
segundo término puede ser positivo o negativo).
Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos
perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64,
125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son
múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15, 18, etc.). así:
Para la suma
Para la diferencia
𝟐𝟕𝒎𝟔 + 𝟔𝟒𝒏𝟗 = (𝟑𝒎𝟐 + 𝟒𝒏𝟑)(𝟗𝒎𝟒 − 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟏𝟔𝒏𝟔)
𝟐𝟕𝒎𝟔 − 𝟔𝟒𝒏𝟗 = (𝟑𝒎𝟐 − 𝟒𝒏𝟑)(𝟗𝒎𝟒 + 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟏𝟔𝒏𝟔)
Recuerda que el segundo término se eleva al
cuadrado
𝒂𝟑 + 𝟏𝟐𝟓 = (𝒂 + 𝟓)(𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 + 𝟐𝟓)
𝒂𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 = (𝒂 − 𝟓)(𝒂𝟐 + 𝟓𝒂 + 𝟐𝟓)
20
El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores
binomiales mediante el siguiente proceso:
1. El coeficiente del primer término es 1
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1
y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2°
término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
.
Descomponer
Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a x2:
Abrimos dos paréntesis con la raíz de x2.
c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del
trinomio.
d) El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del
segundo y tercer término.
e) serán dos números que multiplicados den 5 y sumados dado que
ambos paréntesis son positivos den 6
.
Factorizar
Le sacamos la raíz cuadrada al primer término o sea a x2 :
Abrimos dos paréntesis con la raíz de x2.
21
c) Al primer paréntesis le colocamos el signo del segundo término del
trinomio.
El signo del segundo paréntesis se toma multiplicando los signos del
segundo y tercer término.
e) Serán dos números que multiplicados me den 12y2 y restado me de
4y
(𝟔𝒚)(𝟐𝒚) = 𝟏𝟐𝒚𝟐 𝒚 𝟔𝒚 − 𝟐𝒚 = 𝟒𝒚
.
Para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c se toma el coeficiente de la
variable elevada al cuadrado (6) y este número multiplica y divide toda la
expresión: así
𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 6 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
22
Se deben descomponer en dos factores
Ejercitación 2.
1. Resolver los siguientes productos notables
A. (2𝑚 + 3𝑛)2
B. (2
3𝑥 + 𝑦)
2
C. (𝑚2 − 9𝑛)2
D. (𝑥4 − 𝑦4)2
E. (3𝑝 +𝑞
2)
3
F. (5𝑥 − 3𝑦)3
G. (3
2𝑥2 + 3𝑦)
3
Resolver los siguientes expresiones aplicando el caso de
factorización pertinente
a) 𝟗𝒂𝟐 − 𝟐𝟓𝒃𝟐 b) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏
Amigo estudiantes ahora
realiza las actividades de
ejercitación, es importante
para el curso de
matemáticas afianzar tus
conceptos.
23
c) 𝟑𝟔𝒎𝟐𝒏𝟐 − 𝟐𝟓
d) 𝟐𝟓𝒂𝟐 + 𝟓𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟒𝟗𝒃𝟒
e) 𝟏𝟐𝟏𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝟑𝒙𝟐𝒚𝟒 + 𝟑𝟔𝒚𝟖
f) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎
g) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏
h) 𝒎𝟐 − 𝟐𝒎 − 𝟏𝟔𝟖
i) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
j) 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟒𝟎
k) 𝟐𝟕𝒂𝟑 − 𝒃𝟑
l) 𝟔𝟒𝒂𝟑 − 𝟕𝟐𝟗
m) 𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏 + 𝟐𝟒𝒎𝟑𝒏𝟐 − 𝟑𝟔𝒎𝟒𝒏𝟑
n) 𝟏𝟎𝒑𝟐𝒒𝟑 + 𝟏𝟒𝒑𝟑𝟑𝒒𝟐𝟐 − 𝟏𝟖𝒑𝟒𝒒𝟑 − 𝟏𝟔𝒑𝟓𝒒𝟒
Prueba Saber
RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON EL SIGUIENTE GRÁFICO
1. Sigue estrictamente el orden de las operaciones indicadas y verás que siempre llegas al mismo resultado.
Los números que al ubicarse en el Lado 2 NO cumplen con la condición requerida para que el resultado final sea 24 son, respectivamente A. 4 y 2 B. 16 y 8 C. 22 y 16 D. 26 y 13 2. Los números que aparecen dentro de los círculos del Lado 1, pertenecen al
conjunto de los números A. Impares B. Primos C. Pares D. Enteros negativos
RESPONDE LAS PREGUNTAS 3, 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN Para la seguridad de una casa que tiene forma rectangular de 20 m por 10 m, se tiene un perro guardián amarrado a una de sus esquinas con un lazo de 3 m, como lo muestra la siguiente figura.
24
3. El área máxima que puede recorrer el perro guardián es
A. 3/4 del área de un círculo de radio 3 m B. 1/4 del área de un círculo de radio 6 m C. . el área total de un círculo de radio 6 m D. 4/3 del área de un círculo de radio 3 m
4. En la noche se duplica la medida del lazo, para que el perro pueda recorrer
una mayor zona ¿qué pasará con el área máxima que puede recorrer el perro con el nuevo lazo? A. Se mantiene igual B. Se duplica C. Se triplica D. Se cuadruplica
5. Si se requiere que el perro de una vuelta completa alrededor de la casa, la
cantidad de lazo que se necesita es
A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 60 m
RESPONDE LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Para servir los tintos en una oficina se tienen tres cafeteras, de igual material, como se muestran a continuación.
25
6. De acuerdo a la cantidad de tinto que se puede cargar en cada cafetera, se puede afirmar que
A. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 B. la cafetera 1 tiene mayor capacidad que la cafetera 3 C. la cafetera 3 tiene mayor capacidad que la cafetera 2 D. la cafetera 2 tiene mayor capacidad que la cafetera 1
RESPONDE LAS PREGUNTAS 7, 8 Y 9 TENIENDO EN CUENTA LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN La gráfica muestra las calificaciones de 1 a 5, obtenidas por un estudiante en una materia en la universidad. Cada aspecto evaluado vale el 25% para la calificación final.
7. Teniendo en cuenta que el porcentaje asignado al examen es del 25%, la nota que obtiene el estudiante en este aspecto evaluado corresponde al A. 4 %
B. 6,25 %
C. 20 %
D. 25 %
8. ¿Cuál fue la nota final del estudiante?
A. 2,5
B. 3,0
C. 3,5
D. 4,0
9. Si se asignaran porcentajes diferentes a cada aspecto, como se indica a continuación
Participación 20 % Apuntes 30 % Examen 20 % Trabajos 30 % Y se sabe que con menos de 3,0 como calificación final se pierde, ¿el estudiante habría perdido la materia?
A. Si, porque el estudiante tiene calificaciones por debajo de 3,0 en dos de
los aspectos evaluados
26
B. No, porque no importa que se cambien los porcentajes, pues las
calificaciones se mantienen
C. Sí, porque la calificación obtenida sería 2,85
D. No, porque al promediar las notas obtiene 3,0
10. El siguiente diagrama muestra el rendimiento de un ciclista en los últimos años en la vuelta a España en bicicleta. De acuerdo con el diagrama, el período en el que el ciclista tuvo su mayor rendimiento fue
A. 1996 - 1997 B. 1997 - 1998 C. 1998 - 1999 D. 1999 - 2000
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno
o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.
1 Simplificación de monomios: 2
3
52
42
8ab
ab
ba
2 Simplificación de polinomios:
. 5
2
55
52
25
1072
2
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
xx
xx
xx
x
2
4
42
44
82
162
2
No te olvides: primero factorizar, luego simplificar.
5. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
27
164
9
32
13
x
x
x
x Se factoriza el 2º denominador
1
)32(2
9
32
13
x
x
x
x
Se multiplica toda la ecuación por el M.C.M de los denominadores: 2(2x-3)
2(3𝑥 − 1) − (𝑥 + 9) = 2(2𝑥 − 3)
6𝑥 − 2 − 𝑥 − 9 = 4𝑥
1. cba
ba53
72
60
12
2.
222
32
22 yxyx
yx
3.
16
202
2
a
aa
4.
yyx
yxy
x
x2
2 3
93
1
5.
127
862
2
xx
xx 6.
145
43
209
214
32
1072
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
28
7.
656
565
2536
3011
25
2560362
2
2
2
ax
xa
x
aa
a
xx
8. 32
7
3
5
xx 9. 1
4
1
3
1
2
xxx
10. 4
3
12
5
8
5
1
xx
x 11. 12
612
1
4
12
52
xx
x
xx
12. 21
8
1
3
2
4
xxxx 13.
1510
16
9
7
64
83
32
5
x
x
x
x
x
14. 21
3
3
1
x
x
x
x 15. 21
26
7
43
32
1252 2
xx
x
xx
Las propiedades de los
exponentes son teoremas y como
tal se pueden demostrar, sin
embargo no es el interés de este
módulo, veamos algunas de las
propiedades:
𝑥4. 𝑥3 = 𝑥5
Se aplicó la propiedad 1
(𝑥4)2 = 𝑥8
Se aplicó la propiedad 2
m y n, enteros positivos: 1. 𝒂𝒎. 𝒂𝒎 = 𝒂𝒎+𝒏 2. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏 3. (𝒂. 𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎𝒃𝒎
4. (𝒂
𝒃)
𝒎 =
𝒂𝒎
𝒃𝒎
5. 𝒂𝒎
𝒂𝒏= { 𝟏
𝒂𝒎−𝒏 𝒔𝒊 𝒎 > 𝒏𝒎 = 𝒏
𝟏
𝒂𝒏−𝒎 𝒏 > 𝒎
6. 𝒂𝟎 = 𝟏
7. 𝒂−𝟏 =𝟏
𝒂
6. EXPONENTES Y RADICALES
29
(𝑥. 𝑦)3 = 𝑥3𝑦3
Se aplicó la propiedad 3
(2𝑥
3𝑦)
2=
4𝑥2
9𝑦2
Se aplicó la propiedad 4
𝑥6
𝑥2 = 𝑥4
Se aplicó la propiedad 5
4𝑥4𝑦5𝑧
2𝑥2𝑦3 𝑧= 2𝑥4−2𝑦5−3𝑧1−1 = 2𝑥2𝑦2𝑧0 = 2𝑥2𝑦2
Se aplicó la propiedad 4 y 6
Ejercitación
Simplifica. Expresa los resultados con exponentes positivos.
1. (3𝑎2𝑏
𝑐)
5
2. 𝑥3𝑦−2
𝑥−5𝑦3 3. (
3𝑥4𝑦−1
2𝑧5 )4
4. (𝑥
12𝑦0
𝑧−5 )
−2
5. 𝑥−2 + 𝑦−2 6. 𝑥−2
𝑥−1 − 𝑦−1 7. 8𝑥0 − (7𝑥)0 8. − 42
9. (−4)−3 10. (−4)2 11. (𝑥−3𝑦2
𝑥−5𝑦−4)−2
12. (8𝑚−3𝑛2)2
3
13. (−3𝑎𝑏)2(−2𝑎3𝑏−1)3
30
Notación para la raíz n- ésima
Para un número n mayor que 1, y cualquier real b √𝑏𝑛
= 𝑏1
𝑛 entonces √3 =
31
2⁄ ; √53
= 51
3⁄
Para b no negativo, cuando n es par
n, m y k son los números naturales ≥ 2, x y y son números reales positivos.
1. √𝑥𝑛𝑛= 𝑥
2. √𝑥𝑦𝑛 = √𝑥𝑛
√𝑦 𝑛
3. √𝑥
𝑦
𝑛 =
√𝑥𝑛
√𝑦𝑛
4. √𝑥𝑘𝑚𝑘𝑛 = √𝑥𝑚𝑛
√49𝑥4𝑦5 = 722 𝑥
42 𝑦
52 = 7𝑥2𝑦2√𝑦
√𝑥3𝑦2𝑧 = 𝑥3
2 𝑦 2
2𝑧1
2⁄ = 𝑥𝑦√𝑥𝑧
√𝑥6𝑦4𝑧8
√𝑥3𝑦2= √
𝑥6𝑦4𝑧8
𝑥3𝑦2 = √𝑥6−3𝑦4−2𝑧8 = √𝑥3𝑦2𝑧8
𝑥3
2⁄ 𝑦2
2⁄ 𝑧8
2⁄ = 𝑥𝑦𝑧4√𝑥
31
Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces.
Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos
convenientemente el numerador y el denominador por una raíz de tal forma
que se vaya del denominador la raíz.
𝑎
√𝑏 Multiplicamos el numerador y el denominador por √𝑏 así:
𝑎√𝑏
(√𝑏)(√𝑏)
Luego efectuamos el producto 𝑎√𝑏
√𝑏2=
𝑎√𝑏
𝑏 queda racionalizado.
En el caso que sea un binomio el proceso se le llama la conjugada
3−√2
1+√2=
(3−√2)(1−√2)
(1+√2)(1−√2)=
(3−√2)(1−√2)
(1−√4)
=3 − 3√2 − √2 + 2
1 − 2
=5 − 4√2
−1= −(5 − 4√2) = 4√2 − 5
1. Ejercitación
Simplifica cada radical.
1. √24𝑥2𝑦5
2. √24𝑎𝑏6𝑐83
3. √144𝑥15𝑦17
32
2. Racionaliza el denominador.
1. 5
√2
2. 7√3
8√5
3. 5
√𝑅3
4. 1
√3 + √2
5. √3
√5 − 2√3
6. 7 − √2
7 + √2
7. √𝑥
√ 𝑥 − √2
8. 3.3
2
x
x
9. 9 8256
4
y
10. 3 2
2
x
x
11. 35
15
3. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba
a. 4100 b. 9
144 c. 3 2 d. 4 5 3 e. 5 53
4. Hallar el perímetro de las siguientes figuras
33
Portal matemático
http://www.sectormatematica.cl/
Algebra elemental
http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Algebra-Elemental
Productos notables
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas
4.html
Productos Notables y Factorización de Polinomios
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv000
09/lecciones_html/cap2/algebra10.html
Álgebra con Papas
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamento
s/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconp
apas/recurso/index.htm
WEBGRAFÍA