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Introducción a las funciones y sus gráficas
Propósito de unidadAplica los conocimientos básicos sobre funciones para representar situaciones de la vida diaria y de la ciencia, desarrollando su capacidad para construir e interpretar modelos matemáticos y para avanzar en la visualización de las representaciones funcionales.
Indicadores de desempeño
• Aplicalatécnicadeladiscusióndecurvas,paratrazarlagráficadeecuacionessencillas.• Evalúafuncionesapartirdesusdistintasrepresentaciones.• Distinguesiunarelaciónentremagnitudesesonounafunción.• Determinaeldominiodefuncionesapartirdesurepresentaciónalgebraica.• Determinaeldominioyrangodefuncionesapartirdesugráfica• Determinavaloresdefuncionesapartirderepresentacionesalgebraicas,gráficasytabulares.• Cambiadeunarepresentaciónfuncionalaotra.• Caracterizalarazóndecambiodefuncioneslineales,cuadráticasyexponenciales,ylasaplicaparadeterminarsusexpre-
sionesalgebraicasapartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafunciónlineal,apartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafuncióncuadrática,apartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafunciónexponencial,apartirdeunatabladevalores.• Utilizalaspropiedadesdeloslogaritmosparadespejarvariablesquesonexponentes.• Utilizalanociónderazóndecambioparainterpretarelcomportamientodevariablesapartirdeunagráficafuncional.• Realizaoperacionesbásicasconfunciones.
y
y=log2x
y=2x
unidad1
Competencias disciplinares a evaluar2. Formula y resuelve problemasmatemáticos, aplicando
diferentesenfoques.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con
métodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionales,medianteel lenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónylacomunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos omás variables de unproceso social o natural para determinar o estimar sucomportamiento.
6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomate-máticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropieda-desfísicasdelosobjetosquelorodean.
8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.
Atributos de competencias genéricas a evaluar
5.3 Identificalasregularidadesquesubyacenalosprocesosnaturalesysociales, indagandoademáslosestadosdeincertidumbrequegenerandichosprocesos.
5.6. Utiliza las tecnologíasde la informaciónycomunica-ciónparaprocesareinterpretarinformación.
8.3. Asumeunaactitudconstructivaal intervenirenequi-pos de trabajo, congruente con los conocimientos yhabilidadesqueposee.
11
x
y=log2x
Enestaunidad,estudiaráselconceptodefunción.Unasituaciónproblemáticaqueilustralaimportan-ciadeestudiarestaunidadeslasiguiente:Enlosnoticierosaparecenadiarioenelsegmentoclima,lastemperaturastantoengradosFahrenheitcomoengradosCelsius(centígrados).Conestainformaciónpodríaconstruirselasiguientetabla:
Centigrados –50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40Fahrenheit –58 –40 –22 –4 14 32 50 68 86 104
¿Qué relación existe entre los grados Fahrenheit y los Celsius?
Actividad preliminar ¿Porquéesimportanteestudiarestaunidad?
Actividad 1
Segúnlainformacióndelatabla,estamosenpresenciadeunafunciónquepresentaunaumentoaditi-voconstanteenlosvaloresdesalida.Sicalculamoslasrazonesdecambio,obtenemos:
Si seguimoscalculandomás razonesde cambio,obtenderemos siempreelmismo resultado.Por lotanto,estamosenpresenciadeunafunciónlineal,cuyaecuaciónes:
y = f(x) = mx + b.
Enestaecuación,meselvalordelarazóndecambio,esdecir,m=.
Asimismo, brepresentaelvalordelafuncióncuandolavariableindependienteescero,esdecir, b =32.
Porlotanto,laecuaciónquerelacionaalosgradosCelsiusylosFahrenheites:
y = f(x) = x + 32.
Resuelve:utilizandoestafórmula,verificaqueparax=50,elvalordeyes122.
• Aspecto a evaluar: subproducto• Evidencia: Autoevaluación
95
95
−40−(−58) 9−40−(−50) 5
=−22−(−40) 9−30−(−40) 5
=−4−(−22) 9−20−(−30) 5
=
Enlaprimeraunidaddeestecurso,recordarásyconsolidarástusconocimientosacercadelasfunciones.Esteconocimientopromoverá(entreotras)lacompetenciaquetienequeverconlainterpretacióndetablasygráficas.Enlasituacióndescritaarriba,seilustralarepresentacióntabulardeunafunción.Encursosanterioresyahasestudiadoestetipoderepresentaciones.Reflexionaloplanteadoacontinuaciónyunavezestudiadalaunidad,vuelvearevisarlo.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i12
Desde laescuelaprimariaestás familiarizadocon lossistemasdecoordenadasrectangulares;esmuyprobablequehayasusadoesterecursoparadecirleaunapersonaquevayadeunpuntoaotro.Paratalfin,sesueledeciralapersonaquerecorraciertadistanciaenunadirecciónyluegootradistanciaenotradirección.
Por ejemplo, para dar orientaciones demaneraquesepuedairdelpuntoAalpuntoBdelacuadrí-culadeladerecha,podríadecirse:caminadoscua-drasaladerechaytreshaciaarriba.
Deestamanera,seestáusandounsistema(paraidentificarelpuntodeencuentro),queesequivalen-tealsistemadecoordenadasrectangulares.Enestecaso, el puntode encuentro tendríapor coordena-das: dos cuadras a la derecha y tres cuadras haciaarriba.
Recuerdaque,enmatemáticasseempleandosrectasperpendicularesnumeradasparaelaborarunmétododelocalizacióndepuntos.LarectahorizontalsellamaejeXoejedelasabscisas;larectaverticalsellamaejeYoejedelasordenadas.Elpuntodeinterseccióndelasdosrectassellamaorigen.Unpardenúmerosllamadoscoordenadasindicanlaubicacióndecadapunto.
ElpuntoAlocalizadoenlafiguradeladerecha,está«2unidadesaladerecha»y«1arriba»delorigen.SedicequeAtienecoordenadas(2,1).Elprimernúmeroeslacoordenadax,yelsegundolacoordenada y.Enge-neralunpuntoserepresentaconlascoordenadas(x,y).SeemplearálanotaciónP(x,y)pararepresentaralpun-to Pconlascoordenadas(x,y).Laprimeracoordenada«x»tambiénrecibeelnombredeabscisaylasegundacoordenada«y»sedenominaordenada.
Talcomohasidoconstruido,elplanocartesianosedivideencuatrocuadrantesnumeradosensentidoanti-horario.Lossignosdecadacoordenadaparacualquierpuntodependerádelcuadranteendondeseencuentre.
1.1 Sistema de coordenadas rectangulares
Plaza
Puntodeencuentro
A
B
Calle5
Calle4
Calle3
Calle2
Calle1
Avenida3 Avenida4 Avenida5 Avenida6
0
5
1 2 3 4 5
4321
−1−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4−5
Y
X0
A
CoordenadasdelpuntoA:2aladerechay1arriba:A(2,1)
SignoCuadrante x(abscisa) y(ordenada)
I + +II – +III – –IV + –
Y
XO
CuadranteICuadranteII
CuadranteIII CuadranteIV
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 13
1. Representaenunsistemadecoordenadasrectangulareslospuntoscuyascoordenadassedanacon-tinuación:
A(3,5)B(4,3)C(−3,1)D(−4,−4)E(3,−2)F(0,−3)
G(−3,6)H(4,−3)I(4,0)J(4,0)K(−4,−2)L(3,−3)
M(1/2,4/3).
2. LosvérticesAyCdeunrectánguloABCDtienenporcoordenadasA(−2,1)yC(3,−2),sisecono-cequesusladossonparalelosalosejescoordenados:a)Represéntalográficamente;b)DeterminalascoordenadasdeByD;c)Calculasuárea.
3. Enunplanocoordenado,trazalasrectasquepasanporlospuntosAyBsi:a)A(–5,4)yB(2,–3)b)A(0,0)yB(2,–2)c)A(0,3)yB(3,0).
4. Representa gráficamente 5 puntos del conjunto depuntosquetienenporcoordenadasP(x,3x+2).
5. Determinalascoordenadasdelospuntosqueseindi-canenelplanocoordenadodeladerecha.
6. DescribeelconjuntodetodoslospuntosP(x,y)deunplanoquesatisfagalacondicióndada:
a)x=−2b)y=3c)x≥0 d)y<0e)x=0f)xy >0 g)xy=0h)y=−2i)x=−3
1.1 EJERCICIOS
• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8
0
4
1
32
−1
−4
−4
−3
−3
5
−2
−2
Y
−1 1 2 3 4 X50
−5
−5
F
D
C
G
I
A E
BH
Enlasecciónanteriorlocalizastepuntosconcoordenadasyaconocidasdeantemano;enestasección,recordaráscómogenerarestosvaloresparatrazargráficas,apartirdeunaecuacióndada.Lasgráficasseusanconfrecuenciaparailustrarcambiosencantidades.Porejemplo,unagráficaenunperiódicopuedemostrarlaformaenquevaríalatemperaturaduranteundía;uningenieropodríausarunagráficaparailustrarelaumentodelaresistenciadeuncilindrodeconcretoentodounmes.
Doscantidadesserelacionanavecespormediodeunaecuaciónofórmulaquecontienedosvaria-bles.Porlasrazonesanteriores,lahabilidadparatrazargráficasapartirdesufórmulaorepresentaciónalgebraica,esfundamentalenmatemáticasyesunadelasprincipalescapacidadesquedeberásdesarro-llarenestecurso.Paratalfin,esmuyútilelusodeherramientastecnológicas.Sinembargo,previoalusodeéstas,debessercapazdehacertalesgráficasutilizandoherramientasbásicascomolápizypapel,ycalculadorascientíficasnoprogramables.Laclaveparaempezaragraficarecuaciones,esentenderlarelaciónentresolucionesdeunaecuacióncondosvariablesylosparesordenados.
1.2 Graficación de ecuaciones sencillas
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i14
Soluciones de ecuaciones.Siunaecuacióntienedosvariables,sussolucionessonparesordena-dosdenúmeros.Unasoluciónesunparordenadoconlapropiedaddequealsustituirlasvariablesporlosnúmerosseproduceunaproposiciónverdadera.
y=2x−3
−52(−1)−3−5−2−3−5−5cierto.
y=2x−3
82(6)−3812−389Falso.
x=−1y=−5
x=6y=8
Sustituyendo−1envezdexy−5envezdey,obtenemosunaproposiciónverdadera.Porlotanto,(−1,−5)esunasolucióndelaecuacióndada.
Sustituyendo6envezdexy8envezdey,obtenemosunaproposiciónfalsa.Porlotanto,(6,8)noesunasolucióndelaecuacióndada.
EjemploDeterminasilosparesordenados(−1,−5)y(6,8)sonsolucionesdelaecuacióny=2x−3.
(−1,−5)
(6,8)
Actividad 2
1. Intenta lo siguiente.Determinasilosparesordenadosqueseindicansonsolucionesdelasecua-cionescorrespondientes.
a.(1,7),(2,9);y=2x+5b.(−1,4),(0,6);y=−2x+5c.(−2,5),(3,9);y=x2
2. Sielparordenado(2,a)essolucióndey2=5x−1,determinaelvalordea.
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
Solución
Atravésdeestecursoaprenderásvariastécnicasdegraficación.Laprimera(yaestudiadaenotrosaños)consistesimplementeendeterminaralgunassolucionesdelaecuaciónylocalizarenunplanocoorde-nadolospuntoscorrespondientes.Esteprocesodegraficación,lodenominaremostécnicadetabula-ciónyloilustraremosconunejemplo.
Gráficadeecuaciones:técnicadetabulación
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 15
EjemploRepresentagráficamentelaecuacióny=2x−1
Solución • Primeroencontramosalgunosparesordenadosqueseansolución.Podemosescogercualquiernúmeroparaelquetengasentidoreemplazarxydespuésdeterminary.Paraecuacionessencillasconvieneelegirvaloresdexalrededordelcero(positivosynegati-vos),comoporejemplo−3,−2,−1,0,1,2,3,ylospresentamosenunatabla:
Seax=−3.Entonces,y=2(−3)–1=−7.Así(−3,−7)esunasolución.Seax=−2.Entonces,y=2(−2)–1=−5.Así(−2,−5)esunasolución.Seax=−1.Entonces,y=2(−1)–1=−3.Así(−1,−3)esunasolución.Seax=0.Entonces,y=2(0)–1=−1.Así(0,−1)esunasolución.Seax=1.Entonces,y =2(1)–1=1.Así(1,1)esunasolución.Seax=2.Entonces,y=2(2)–1=3.Así(2,3)esunasolución.Seax=3.Entonces,y=2(3)–1=5.Así(3,5)esunasolución.
• Acontinuaciónlocalizamoslospares(x, y)enunplanocoordenado
x y−3−2−10123
−7−5−3−1135
X
Y
012345−5−4−3−2−1
5
−1−2−3−4−5
4321
012345−5−4−3−2−1 X
Y5
−1−2−3−4−5
4321
• Finalmenteunimoslospuntosrepre-sentados,tratandodedescifrarelpatrónseguidoporesospocospuntos.Enesteejemplo,lospuntosparecenestarenunarecta.
Resumen 1.Paragraficarecuacionesenunnivelinicial,aplicamoselsiguienteprocedimiento:TabulamosalgunascoordenasP(x,y),laslocalizamosenunplanocoordenadoytrazamoslagráfi-cauniendolospuntossiguiendounposiblepatróndelineadopordichospuntos.
Enlasiguienteactividad,podrásaplicaresteprocedimiento.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i16
Estasecciónlainiciaremosconlasiguienteactividad:
Gráficadeecuaciones:discusióndecurvas
Interceptos
Actividad 4Intenta lo siguiente.Representagráficamentecadaunadelassiguientesecuaciones:
a. y=3−x2b.x=y2−5(Sugerencia:seleccionaalgunosvaloresdey.)
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
Actividad 3Utilizacadaunadelassiguientesecuacionesparaconstruirunatabladevalores;enseguida,con-vierteestatablaenunconjuntodeparesordenados(x,y),yfinalmente,trazalasgráficascorrespon-dientes.
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
a)y=3xb)y=2x–4c)y=1/xd)y=2x2 e)y=2f)y=0
g)y=x2h)y=x3i)y=√xj),y=√(x−2)k)y=2^x,
l),y =√(x+2)m)y =√x+2n)y=−3x+1o)y=(1/2)x+2
Lagraficaciónmediantelatabulacióndealgunospuntos,suelesermuylimitado,paraecuacionesconciertogradodecomplejidad.Paraavanzarenestesentido,resultamuyútilrealizarlealgunosanálisisalaecuación,loscualesnosfacilitaránlabúsquedadepatronesseguidosporlagráfica.Losprocesosimplicadossedenominadiscutirlaecuación.Dichoanálisis,seexplicaacontinuación:
Interceptos con el eje X.Sonlospuntosdeinter-seccióndelagráficaconelejeX.
Interceptos con el eje Y.Sonlospuntosdeinter-seccióndelagráficaconelejeY.
X
Y
a b c
d
X
Y
a b c
d
Cómohallar:Hacery=0ydespejarx.Aquía,bycsonintercep-tosconelejeX.
Cómohallar:Hacerx=0ydespejary.AquídesuninterceptoconelejeY.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 17
EjemploEncuentralosinterceptosconlosejesXyYdelagráficadey=x2−4.Tabulaalgunospuntosadicionalesytrazalagráfica.
Solución
Así,lasinterseccionesconelejeXson+2y−2.Lospuntosenlosquelagrá-ficacruzaelejeXson(2,0)y(−2,0).
1)InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx:
2)InterceptosconelejeY:Hacemosx=0 y=x2–4.
y=02–4y=–4
Así,laintersecciónconelejeYes–4yelpuntoenelquelagráficacruzaelejeYes(0, –4).
3) Tabulamos algunos puntos adicionales,cercanosalosinterceptosconx.
Tabular puntos alre-dedorde–2y+2.
–2+2
Interceptosconx.
x y–3–2–10123
50–3–4–305
x=±√4=±2
y=x2–4.0=x2–4x2=4
4)Setrazalagráficauniendolospuntosen-contrados:
X
Y
012345−5−4−3−2−1
5
−1−2−3−4
4321
Resumen 2.Paragraficarecuacionesenunsegundonivel,aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Tabulación y gráfica.Tabularalgunospuntos.Serecomiendaelegirvaloresdex,alrededorde
losinteceptos.3. Trazarlagráfica.
Actividad 51) EncuentralosinterceptosconlosejesXyYdelagráficay =2x−1,trazadaenlapágina15.
2) Aplicandoloestudiadohastaestemomentoacercadegraficación,graficalassiguientesecuacio-nes:a.x2+y2=9. b.x2−y2=9. c.x = y2−5
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i18
Lasfigurasquesemuestransonejemplosdesimetríaaxial.
Laideasepuededescribirdelasiguientemanera:encadafigu-raesposibletrazarunarectadetalmaneraquesisedoblaalolargodeella,lagráficaqueseencuentraenlamitadizquierdadelplanocoincideconladelamitadderecha.
Sedicequelasformastienensimetríareflexivayquelarectasobrelaquesehaceeldobladoeselejedesimetría.
Simetríarespectoauneje
Estasideasseilustranenelsiguientedibujoydefinición:
Enlenguajematemático,estaideasedescribedelasiguientemanera:
Definición Interpretación gráfica Prueba de simetría EjemploUna gráfica es simé-trica con respectoal ejeY, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica existe el punto(−x,y)
Para cada punto (x, y)de la gráfica existe elpunto(−x,y)
(1) La sustituciónde−xporx llevaalamismaecuación.Ejemplo:Seay=x2−3;sicam-biamosxpor−x:y=(−x)2–3y=x2−3(Haysime-tríaconY)
Una gráfica es simé-trica con respectoal ejeY, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica existe el punto(x,−y)
Para cada punto (x, y)de la gráfica existe elpunto(x,−y)
(2) La sustitución de−yporyllevaalamis-maecuación.Ejemplo:Seax=y2−3;sicam-biamosypor−y:x=(−y)2−3x=y2−3(Haysime-tríaconX)
X
Y (x, y)
(x,-y)
Y
X
(-x, y) (x, y)
Y
X
Y
X
EjemploDeterminarsiy=x2+1essimétricaconrespectoalosejescoordenados.Solución ParaversilarelaciónessimétricaconrespectoalejeY,sustituimosxpor−xparaobtenery=(−x)2+1.Estoesequivalenteay=x2+1.Porlotanto,lagráficaessimétricaconrespectoalejeY.Paraversilarelaciónessimétricaconrespectoaleje X,sustituimosypor−yparaobtener−y=x2+1,oy =−x2−1.Estonoesequivalenteay=x2+1.Porlotanto,lagráficanoessimétricaconrespectoalejeX.
l
Definición.UnafiguratienesimetríareflexivasihayunarectaltalqueparatodopuntoPdelafiguraexisteunpuntoP´enlafiguraqueeslaimagendereflexiónsobrel.
PP´
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 19
Enlasiguientetabla,secaracterizalasimetríaconrespectoalorigen.
Definición Interpretación gráfica Prueba de simetría EjemploUna gráfica es simé-trica con respecto alorigen, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica, existe el punto(−x,−y).
Para cada punto (x, y)de la gráfica, existe elpunto(−x,−y)
(3) La sustitución si-multánea de −x por xyde−yporyllevaalamismaecuación.Ejemplo:Sea4y=x3;sicambia-mos simultáneamenteypor−y,yxpor−x:4(−y)=(−x)3−4y=−x3
4y=x3.(Haysimetría)
Simetríarespectoaorigen
X
(x, y)
Y
(-x,-y)
Y
X
¿Dequémaneranosayudaelanálisisdelassimetrías?Silagráficaessimétricaconrespectoauneje,essuficientedeterminarlagráficaenlamitaddelplanodecoordenadas,puestoquepodemostrazarelrestodelagráficaaltomarunaimagenespejooreflexión,porelejeapropiado.Asimismo,losresultadosacercadelassimetrías,nospuedenservircomorevisióndelagráficatrazada.
Resumen 3. Paragraficarecuacionesenuntercernivel,aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Tabulación y gráfica.LocalizarprimerolosInterceptos.Tabularalgunospuntos.Serecomien-
daelegirvaloresdex,alrededordelasinterseccionesconx.Trazarlagráfica.3. Simetrías.Revisamossilagráficaquetrazamoscumpleconelanálisisdesimetrías.
Actividad 6a) Enlaactividad5setepidiógraficarlasecuaciones:x2+y2=9;x2−y2=9;x=y2−5.Analizalas
simetríasdecadaecuaciónycompruebaquetusgráficascumplenconlosresultadosdedichoanálisis.
b) Trazalagráficadey=x2+8.
Estoesloqueharásenlasiguienteactividad.
Notacióndeintervalos
1. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesqueaymenoresoigualesqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
a≤x≤b[][a,b]a b
Antesdecontinuarconnuestroestudio,recordaremosalgunosaspectosbásicosdelosintervalos.Sitenemoslosnúmerosrealesaybdondea<b,sepuedenpresentarlassiguientesnotacionesytermi-nologíadeintervalos:
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i20
3. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresqueaymenoresoigualesqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
ATENCIÓN.Estesímbolo(a,b)apareceexactamenteigualquelanotaciónparalascoordenadas(a,b),peronotienennadaquever.Tendránustedesqueaveriguar,encadacaso,elsentidoenelqueseusaelsímbolo.Porelcontextoseráusualmentemuyfácil.
a<x≤b(](a,b]a b
4. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesqueaymenoresqueb.
5. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesquea.
Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
a≤x<b[) [a, b)a b
x ≥ a[[a,+∞) a
6. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
x > a ( (a, +∞) a
7. Elconjuntodelosnúmerosrealesmenoresquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
x < a)(−∞,a) a
8. Elconjuntodelosnúmerosrealesmenoresoigualesquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
x≤ a)(−∞,a] a
Debestenerpresentequeelsignoinfinito∞norepresentaningúnnúmero,essimplementeuncon-venioqueseusaensituacionesparecidasaéstas.
2. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresqueaymenoresqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:
a<x<b()(a,b)a b
Extensióndelacurvaenx
Elpasoinicialdelmétododetabulaciónaplicadoaecuacionessencillas,consisteenelegiralgunosva-loresdex,depreferenciaaquellosubicadosenlacercaníadel0asuizquierdayderecha.Sinembargo,paraciertasecuacioneshayrestriccionesalmomentodeelegirtalesnúmeros.Enestaideaentendemosporextensión de la curvaenx(osimplementeextensióndex),comoelconjuntodetodoslosnúmerosrealesque,sí,puedetomarx,paraqueyseaunnúmeroreal.
Desdeelpuntodevistamatemático,haydosrazonesprincipalesporlosquelaextensióndelacurvaenxestárestringida:
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 21
• Noexistelaraízcuadradadeunnúmeronegativo,yaqueelresultadonoesunnúmeroreal.• Nosepuededividirpor0.¿Enquétipodeecuacionespodríanaparecerestosproblemas?Estoapareceráenecuacionesconraíz
cuadradayenecuacionesracionales
Caso 1. Ecuaciones con raíz cuadrada (una vez despejada la y)
Lasraícescuadradasdenúmerosnegativospuedenocurrirsiemprequelaecuacióntengaunaxbajounradicalconunaraízpar.Acontinuaciónrevisaremoslasraícescuadradas.
Ecuación Observaciones
y=√x Six<0,estaríamostomandolaraízcuadradadeunnúmeronegativo,porloquelaexten-sióndexestodax≥0.
Cuandoloconsideresnecesario,puedesaplicarelsiguienteprocedimiento:Paraencontrarrestriccionesenfuncionesraízcuadrada,elpasobásicoconsisteenestablecerlacan-
tidadbajoelradicalcomomayoroiguala0,yresolverladesigualdadresultante.
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
SoluciónPuestoquelacantidadradicandodebeserpositivaocero,planteamosladesigualdad:x − 4≥0
Resolviendoestadesigualdadpordespeje:x−4≥0 x ≥4Porlotanto,laextensióndelacurvaenxestodax≥4;obien:[4,+∞).Estosignifica,quealmomentodetabularalgunosvaloresparax,podríanser:4,5,6,7etc.Aplicarásesto,enlasiguineteactividad.
EjemploDeterminalaextensióndex,siy = ±√x − 4
Actividad 7a) Trazalagráficadey = ±√x − 4.Consideraquelaextensiónde xes:[4,+∞)ycompletaelanálisis
paratutrazo.
b) Trazalagráficadey = ±√x + 9.Aspectoclaveaquí,esquedetermineslaextensióndex.
SoluciónPrimerodespejamosay:y2−x2+4=0y2=x2−4=0y = ±√x2 − 4
Apareceunaecuaciónconradicales.Planteamosladesigualdad:x2−4>0.Nota:Elsignoigualsetomaencuentaalmomentodeescribirlosintervalos.
Resolveremosestadesigualdadutilizandointervalos de prueba;estatécnicaseapoyaenlosvaloresdex,quehacenalradicando0.Estosvaloressedenominanvalores críticos.Elprocedimientoseilustraacontinuación:
EjemploDeterminalaextensióndelacurvaenx:y2−x2+4=0
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i22
Actividad 8a. Trazalagráficadey2−x2+4=0.Consideraquelaextensióndexes:(−∞,−2]U[2,+∞),yaplica
todoloquehasestudiadohastaesteapartado.b. Trazalagráficade2x2+y2=9.Aplicatodoloquehasestudiadohastaesteapartado.c. Trazalagráficade2x2−y2=9.Aplicatodoloquehasestudiadohastaesteapartado.
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
Primer paso.Factorizandox2−4>0(x+2)(x−2)>0
Segundo paso.Determinacióndevalores críticos
Tercer paso. Colocar los valorescríticos en una recta numérica,tomaunvalordepruebaencadaintervaloy verifica los signosdecadafactorydecadaproducto:
Cuarto paso.Escribir la extensión de x: La extensión de x queda restringido a los intervalos: (−∞,−2]U[2,+∞)
−22
(−3+2)(−3−2)(−1)(−5)
(−)(−)=+
Aquí(x+2)(x−2)esmayorque0
(0+2)(0−2)(2)(−2)
(+)(−)=−
Aquí(x+2)(x−2)esmenorque0
(3+2)(3−2)(5)(1)(+)(+)=+
Aquí(x+2)(x−2)esmayorque0
(x+2)(x−2)(x+2)(x−2)(x+2)(x−2)
2−2Tomar−3 Tomar0 Tomar3
¿Quévaloresdexconviertena(x+2)(x−2)en0?Sixes−2,elfactor(x+2)es0;→(−2+2)(−2−2)→(0)(−4)=0.Entoncesx=−2esunvalorcrítico.Sixes2,elfactor(x−2)es0;entoncesx=2esotrovalorcrítico.
Resumen 4.Paragraficarecuacionesenuncuartonivel(ecuacionesconraízcuadrada),aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Extensión de la curva en x.Determinamoslaextensióndelacurvaenx,comoseindica: -Silaecuación(con ydespejada),presentaraízcuadradaconxenelradicando,debenexcluirse
delaextensiónlosnúmerosqueconviertenalradicandoenunnúmeronegativo.3. Tabulación y gráfica.Localizarprimero los Interceptos.Tabulamosalgunospuntos.Sereco-
miendaelegirvaloresdex,alrededordelasinterseccionesconx.Trazarlagráfica.4. Simetrías.Realizamosunanálisisdesimetríasyrevisamossi lagráficaquetrazamoscumple
condichoanálisis.
1. Revisasitusrespuestasdelaactividadanterior,cumplenconesteplandeanálisisyhazlosajus-tespertinentes.
Actividad 9
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 23
Caso 2. Ecuaciones racionales (una vez despejada la y)
Ladivisiónpor0podríaocurrircuandolaecuaciónescritaconydespejada,tengaaxeneldenomina-dor.Estudialossiguientesejemplos:
Ecuación Observaciones
Six=0,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠ 0.
Six=5,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠5.
Six=2,yx=−2,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠2,x≠−2
Cuandoloconsideresnecesario,puedesaplicarelsiguienteprocedimiento:Primero.Igualaeldenominadorcon0.Segundo.Resuelvelaecuaciónresultante.
y= 1x
y= 1x −5
y= x +2x2−4
y= x +6x2−9
Ejemplo
Siencuentralaextensióndex:
x2−9=0x2=9
Laextensióndexestodax≠3,x≠−3
Solución
x=±√9=±3
a. Trazalagráficadelaecuación:
Actividad 11
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
y= 3x −1
y= xx2+2x −3
y= −x −33
13x
Actividad 10a. Si,¿cuáleslaextensióndex?
b. Siy=3x+9,¿cuáleslaextensióndex?
c. Si,¿cuáleslaextensióndex?
• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3
Antesdeformalizarelconceptodeasíntota,realizalasiguienteactividad
Asíntotas
Alrealizarlaactividadprevia,esprobablequehayasconcluidoqueparagraficarecuacionesraciona-les,resultainsuficienteloestudiadohastaahora.Elconceptoquenoshacefaltaeseldeasíntota.Explo-raremoselconceptodeasíntotautilizandolaecuacióndelaactividadprevia.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i24
y= 3x−1
y= 3x−1
y= 3x−1
y= =−33−1
0= 3x−1
y= 30−1
EjemploTrazalagráficadelaecuación:
Solución 1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.
InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx→
InterceptosconelejeY:Hacemosx=0→
0(x−1)=30=3Esteresultadofalso,sedebeinterpretarcomoquenohayintersecciónconX.
Porlotanto,lagráficacruzaalejeYenlacoor-denada−3.Elpuntodeintersecciónes:(0,−3).
2. Extensión de x.Determinamoslaextensiónde x,comoseindica:
Puestoquelaexpresión(conydespejada),presentaalaxenundenominador,debemosexcluirdelaextensiónatodonúmeroqueconviertaaaquel,en0.Six=1,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠1.
3. Tabulación.TabulamosalgunascoordenadasP(x,y),laslocalizamosenplanocoordenadoytraza-moslagráfica.Puestoqueestamosexplorandounconcepto,observaqueenestecaso,hubonecesi-daddemáspuntosdeloshabituales.
Y
X
x 3/(x–1) y–6–5–4–3–2–10123456
3/(–6–1)=3/–73/(–5–1)=3/–63/(–4–1)=3/–53/(–3–1)=3/–43/(–2–1)=3/–33/(–1–1)=3/–23/(0–1)=3/–13/(1–1)=3/03/(2–1)=3/13/(3–1)=3/23/(4–1)=3/33/(5–1)=3/43/(6–1)=3/5
–0.4–0.5–0.6–0.8–1–1.5–3No31.510.80.6
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 25
x y=3/(x–1)0.5 –60.9 –300.99 –300
0.9999 –300001.5 61.01 300
1.0001 300001.00001 300000
¿Cómounirestospuntos?Puedesobservardoscosas:
1. Lacurva,presentadosramasqueparecenestarseparadas;cadarama,pareceacercarsemásymástantoalejeXnegativo,comoalejeXpositivo;esdecir,conformexaumentasuvalorabsoluto,laydisminuyecadavezmás.Asignavaloresaxcadavezmásgrandesycalculalosvaloresdey.Com-pruebaéstoconx=10,15,20,−10,−15,−20..
2. Noexisteningúnpuntoparax=1.
Vamosarevisarquésucedeconvaloresdexcercanosa1.
Y
X
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Hemostrazadolacurva,asumiendolapresenciadedosrectasdenominadasasíntotas,unaverticalylaotrahorizontal.Éstaúltima,lahemosinferidodelcomportamientográfico.Acontinuación,seforma-lizademaneraintuitivaesteconcepto.
Resuelve:Paraqueesteejemploquedecompleto,hazunanálisisdesimetríasyrevisasilagráficaquetrazamoscumplecondichoanálisis.
Determinación de asíntotas
Lasasíntotasverticalesestaránubicadasenaquellosvaloresdex,queconviertanaldenominadordelaecuación(conydespejada)en0.Esdecir,enaquellosvaloresdeldenominadorquerestrinjanlaexten-sióndex,habráasíntotasverticales.
Lasasíntotashorizontalesestaránubicadasenaquellosvaloresdey,queconviertanaldenominadordelaecuación(conxdespejada)en0.
Asíntotas.Siladistanciaaunarectadesdeunpun-tomóvildeunacurvatiendeacero,cuandodichopuntosemueveendeterminadadirección,sediceque la recta es asíntota de la curva. En la figura,ladistanciaABdelpuntoAalarectaBCtiendeacero,amedidaqueAsemueveenladirecciónBC.LarectaBCesasíntotadelacurva.
A
B C
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i26
Resumen 5.Paragraficarecuacionesenunquintonivel(ecuacionesracionales),aplicamoselsi-guienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Extensión de la curva en x.Determinamoslaextensióndex.3. Asíntotas.Determinamoslaposicióndeasíntotashorizontalesyverticales.4. Tabulación y gráfica.LocalizarprimeroInterceptosyasíntotas.Tabulamosalgunospuntos.Se
recomiendaelegirvaloresdex,alrededordelasasíntotasverticales.5. Simetrías.Realizamosunanálisisdesimetríasyrevisamossi lagráficaquetrazamoscumple
condichoanálisis.
Acontinuaciónresolveremosunejemplointegrador.Loplanteadoacontinuación,ilustraelprocedi-mientocompletoparatrazarlagráficadeecuacionesengeneral,atravésdelastécnicasaquídiscutidas.
EjemploAplicando las ideasy lametodologíaanteriordeanálisisydiscusión de curvas,discutirygráficar laecuaciónx2y−x2−y=0.
Solución 1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.
InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx→ x2(0)−x2−0=0. 0−x2−0=0. x2=0.→ x=±√0=0Porlotanto,lagráficacruzaalejeXenlacoordenada0.Elinterceptoes:(0,0).InterceptosconelejeY:Hacemosx=0ydespejamosy→ (0)y−(0)2−y=0. 0−0−y =0. −y =0.→ −y=0Porlotanto,lagráficacruzaalejeYenlacoordenada0.Elinterceptoes:(0,0)
y= x2x2−1
x2y−x2−y=0.x2y−y=x2.y (x2−1)=x2.
Puestoque laexpresión(conydespejada),presentaa laxenundenominador,debemosexcluirdelaextensiónatodonúmeroqueconviertaaaquelen0.Six=±1,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠ 1,x≠−1.
3. Asíntotas. a) Verticales. Habráasíntotasverticalescuandoaparezcalaxenundenominadoryexistanvalores
dexqueconviertanadichodenominadoren0.Portanto,hayasíntotasverticalesenx=1yx=−1.
b) Horizontales.Habráasíntotashorizontalescuandoaparezcalayenundenominadoryexistanvaloresdeyqueconviertanadichodenominadoren0.Asíque,elprimerpasoserádespejaraxdelaecuacióndada,x2y−x2−y=0,yacontinuaciónobservamosaldenominador.
2. Extensión de x.Tenerencuentaqueesteanálisissehaceenlaecuaciónquepresentaaydespejada.Asíque,enesteejemplodebemosdespejaray.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 27
Observamosque síy = 1, estaríamosdividiendopor 0,entoncesy≠1.Portanto,hayunaasíntotahorizontaleny=1.x2= y
y−1
x2y−x2−y=0.x2y−x2=y.x2(y−1)=y.
x=±y
y−1
4. Tabulación y gráfica.LocalizarprimeroInterceptosconlosejesyasíntotas.Serecomiendaelegirvaloresdex,alrededordelasasíntotasverticales.
x x−3−2−1−1.5−1.25−0.500.51.51.2523
1.11.3Nodefinido1.82.8−0.30(intercepto)−0.31.82.81.31.1
Y
X
Asíntota verticalAsíntota vertical
Asíntota horizontal
5. Simetrías.Hazunanálisisdesimetríasyrevisasilagráficaquetrazamoscumplecondichoanálisis.
1. Enesteapartadohasestudiadodistintastécnicasdegraficación,utilizalasqueconsideresnecesariasparatrazarlasgráficasdecadaunadelassiguientesecuaciones:
a)2x−3y+5=0b)x2+6y−3=0 c)x2+y2−100=0 d)4x2+9y2−36=0 e)xy−2y−3=0 f)2xy+x+2y=0 g)y2−5x−2=0 h)x2+8y−8x−24=0 i)4x2−y2−4=0 j)xy−x+2y−10=0 k)y=3 l)x=−3
1.2 EJERCICIOS
• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i28
EntucursoanteriordematemáticasIII,tuvistelaoportunidaddeconoceryaplicarelsoftwaredeno-minadoGeogebra.Estesoftwaretambiénresultademuchaayudaparaeltrazadodegráficas,talycomoloutilizasteenaquelcurso,algraficarlasfuncionestrigonométricas.Sinembargo,existeotrosoftwarelibredenominadoDesmos,querecomendamosutiliceseneltrabajodegraficación.Paraello,hazlosiguiente:1. TecleaenGoogle,lapalabradesmos,obienIntroducedirectamenteladirección:
https://www.desmos.com/calculator. Aparecerádeinmediatounapantallacomolaquesemuestra:
Graficacióndeecuacionesconayudadetecnología
2. Utilizaelsoftwareparatrazarla gráfica de algunas de las ecuaciones vistas ahora.Comparaestasgráficasconlasqueyahabíasobtenido.Sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomi-siones.
3. Enelejercicio1.2trazastelasgráficasdevariasecuaciones.AhorautilizaelDesmosparaquegra-fiquesestasmismasecuaciones.Comparaestasgraficascon lasqueyahabiasobtenido, sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomiciones.
4. UtilizaDesmosparatrazarlagráficade: a.x3+xy2−y2=0 b.2x2+5y2−4x+32=0 c.x2+y2−6x−4y+9=0
5. UtilizaDesmosparatrazarlagráficade: a.x=2 b.y=2 c.x=−3 d.y=−3 e.y+5=06. Laecuaciónx=2,esequivalenteax=2+0y.Hazunatabladevalores,trazasugráficaycompárala
conlaobtenidaconelsoftware.Debesconvencertequelagráficaesunarectavertical.7. Laecuacióny=2,esequivalenteay=2+0x.Hazunatabladevalores,trazasugráficaycompárala
conlaobtenidaconelsoftware.Debesconvencertequelagráficaesunarectahorizontal.
Introduceaquílaecuación
Observacomoalescribirlaecuaciónaparecelagráfica y=x2
desmos
• Aspecto a evaluar: Actividaddeevaluaciónintermedia• Evidencia: Reporteescritodeexploracióncontecnología• Competencia o atributo a evaluar: 5.6
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 29
Lasiguienteactividadpermitirácontextualizarelsignificadodeesteconcepto.
1.3 El concepto de función
Tusrespuestasdebenpermitirteentenderlasiguienteconclusión:Hayunarelaciónentreeltiempotranscurridoyladistanciarecorrida,detalmaneraqueentremás
tiempopasa,máskilómetrosrecorreelavión;asípues,elnúmerodekmrecorridosestádeterminadoporlacantidaddetiempotranscurrido.
Estarelaciónnoesmásqueuna¡FUNCIÓN!Unafunciónesunarelación,nounnúmero.Pongamosalgunosdetusresultadosenunatabla:
t(tiempotranscurridoenhoras) 1 2 3 4 5d(distanciarecorridaenkm) 900 1800 2700 3600 4500
Enciertotrayectodevarioskilómetros,unaviónvuelaaunavelocidaduniformede900km/h.Estainformaciónsedebeinterpretarenelsentidodequeenundeterminadotiempoelaviónrecorreelmismonúmerodekilómetros.Entonces:Elaviónrecorre:900kmenunahora 1800kmendoshoras
Contestalassiguientespreguntas: Escribeaquítusrespuestas
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónentreshoras?
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónencuatrohoras?
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónencincohoras?
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónenseishoras?
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónen15minutos?
Actividad 12
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
0 1 2 3 4
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
d =
dist
anci
a re
corr
ida
(km
)
t = tiempo transcurrido
Estos mismos resultados pueden presentarsecomounconjuntodeparesordenados:
{(1, 900), (2, 1800), (3, 2700), (4, 3600), (5,4500)}
Obienatravésdelagráficamostradaaladerecha.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i30
Sobrelasbasedeestagráficasepodríanhacerobservacionescomolassiguientes:Primero,elpunto(0,0)estásobrelagráfica,esdecirnoseharecorridoningunadistanciaenuntiempo0.Segundo,nin-gúnpuntoestátrazadoparavaloresnegativosdex;enelcontextodelavión,notienesentidohablardedistanciasnegativasnidetiemposnegativos,perosísehaconsideradoqueexistenvaloresdecimalestantoparadcomoparat.Tercero,paracadatiempotranscurridode1hora,ladistanciatotalrecorridaseincrementaporunacantidadconstante,quees900.
Ahoraexpresemosestoenunafórmula;paraellodebescontestarlasiguientepregunta:
¿Cuántoskmrecorreríaelaviónenthoras?
Turespuestadebeserparecidaalosiguiente:distancia recorridad=900×tiempotYlafórmulabuscadaes:d = 900t.Éstafórmulaesconsideradala regla de la función,puestoque,a
travésdeella,seestablecelarelaciónentrelasmagnitudesimplicadasenlasituaciónestudiada.Eselmomentoderecordarelsignificadodevariable.Alrespecto,cabedestacardoscuestiones:• Enestasituacióndelavión,aparecendosvariables:distancia recorrida,ytiempo transcurrido.• Acadaunadeestasvariables, lehemosasignadounsímbolo(letra),asaber:d representa la
distanciarecorridayteltiempotranscurrido.
Unavariableesunacantidadomagnitudqueenlascondicionesdeunprocesodadopuedetomardiferentesvalores.Lasvariablesserepresentanporunaletrauotrosímbolo.
Esmuycomún,queelsímboloquerepresentaalavariable,setratecomolavariablemisma.Así,envezdereferirnosalavariable“distancia”,hablamosdelavariabled(susímbolo).Porotrolado,lacanti-dad900esunaconstante.Unaconstanteesunacantidadquenosealteraenunasituacióndeterminada.
Unaexpresiónalgebraica, como900t, esuna frasematemática formadaporunoomásnúmerosovariablesuoperacionesentreellos.Unaexpresiónrepresentaunacantidad,queseconocecomoelvalordelaexpresión.Enelcasoquenosocupa,laexpresión900trepresentalacantidaddenominadadistancia.Alescribird=900tutilizamoselsignoigual(=)paraasignarelsímbolodalaexpresión900t,convirtiendodeestamaneraadichaexpresiónenunafórmulaoecuación.
Altrabajarconvariables,podemosactuarendosdirecciones:• Determinarunnúmeroparticularperodesconocido,y• Determinarmuchosvaloresposibles(variandoenunciertorango).Paraexplicarestosrolesdelavariable,retomemoslaexpresiónyaconocidad=900t,quenospermi-
tedeterminarladistanciarecorridaenthoras.Planteemosdospreguntas:Pregunta1.¿Cuál es la distancia recorrida al transcurrir 15 horas? Pregunta2.Cuando t aumenta de 0 a 5, ¿cómo cambia la distancia recorrida? Enlapregunta1,tratamoslavariabletcomounvalordesconocido(variablecomoincógnita).
Expresiónqueproporcionaladistanciarecorridaent horas:900tCuandotes15,ladistanciaes:900t→900(15)=13500.Enestecaso,enlaexpresión900t,lavariabletesunacantidaddesconocidaperoparticular(tomaelvalor15).Estainformación,proporcionauna“instantánea”delasituación.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 31
Encontraste,podemosverunavariablenosólocomorepresentantedeunacantidaddesconocidasinotambiéncomouna cantidad variando o cambiando.Sieltiempototaldevuelodelaviónesde15horas,podemospensarquelavariabletdelaexpresión900testáfluctuandosobrelosnúmerosenelintervalode0a15.(Nopodemosconsiderarunnúmeronegativodehoras,perosíunnúmerofraccio-nariodehoras).Aquí,estamosenpresenciadedoscantidadesquecambianalmismotiempo:conformecambiaelnúmerodehorastranscurridas,cambialadistanciarecorrida.
Desdeestaperspectiva,podemosverlaexpresión900t,notantocomounaexpresiónparadeterminarunsolovalordesconocidodetsinocomounaregla.tylaexpresión900tcomocantidadescambiando Sites1ladistanciaes:→ 900(1)ó900
Sites2ladistanciaes:→ 900(2)ó1800Sites3ladistanciaes:→ 900(3)ó2700Sites4ladistanciaes:→ 900(4)ó3600Sites5ladistanciaes:→ 900(5)ó4500
Esimportanteobservarquenosotrosasignamosvaloresat,ymediantelafórmula(oregla)calcula-moslosvalorescorrespondientesded.Porestarazón,enelejemploqueestamosrevisando,teslavaria-bleindependiente,ylavariabledependienteesd.Asimismo,debestenerclaroelpasodelasmagnitudesconcretas(tiempoydistancia)alasvariablesgenerales.Ennuestroejemplo,esosetraduceenpasardelaexpresiónd=900t,alaecuacióny=900x,enlaqueelsímboloyrepresentaladistanciayxrepresentaaltiempo.
Constante
d=900t
Nombres de variables según contexto
Variabledependiente
Variableindependiente
Constante
y=900x
Nombres de variables generales
Variabledependiente
Variableindependiente
Ladiscusiónprevia,nospermitehacer las siguientesobservaciones:(1) funcionesproporcionanunmedioparadescribirycomprenderrelacionesentrevariables;ennuestroejemplo,lasvariablesenjuegofuerondistanciarecorridaytiempotranscurrido.(2)Larelaciónentrevariablesseestableceatravésdeunaregla,queennuestrocasovinodadaporlaexpresiónalgebraica,d=900t.(3)Lasvariablestomanvaloresquepuedenversecomoelementosdeciertoconjuntonumérico;ennuestroejemplo,tantolavariabled,comolavariablet,tomannúmerosmayoresoigualesa0.(4)Lasfuncionestienenmúltiplesrepresentaciones,asaber,medianteunadescripciónverbal,unaexpresiónalgebraica,unatabla,ounagráfica.Yaestamosencondicionesdeplantearladefinicióndefunción.
Existenmuchasdefinicionesdeesteimportanteconcepto;enestelibro,plantearemos:unaqueayu-daatrabajarlaparteoperativadefunción.
Unafunciónesunarelación,queseestableatravésdeunareglaentreunvalor de entrada(ovariable independiente)yunvalor de salida(ovariable dependiente),detalmaneraque,siemprequeseasigneunvalordeentrada,lareglaasignaráexactamenteunvalordesalida.
Definicióndefunción
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i32
Hemosexpuestoquelaecuaciónd=900t,relacionadosvariablesquevaríanalmismotiempo:con-formevaríaelnúmerodehoras(t),varíaladistancia(d).Portanto,sepuedeafirmarqueladistanciad,dependedelnúmerodehorastranscurridas.Tambiénsedicequeladistanciaestáenfunción,oesfuncióndelnúmerodehorastranscurridas.Estoúltimo,esloquenosllevaausarlallamadanotaciónfuncional,asaber:
Lanotaciónfuncionalo
d(t)=900t(selee:"ddet",esiguala900port)
El signo igual define la relación.Esto significa que la distancia d es una función del tiempo t.
La función se denomina d.
Enestecaso,lafunciónsedenominaf,lavariableindependienteest,yladependiente(anteriormen-tedenominadadyd(t)),ahorarecibeelnombredef(t).Siesnecesariomanejarmásdeunafunción,éstassedenominanconlasletrasg,h,etc.
Porlotanto,alaexpresión900t,lehemosasignadodos“etiquetas”:primeroleasignamoslaletra“d”,ydespuéslanombramoscomod(t).Entonces,secumpleque:d=d(t)=900t
Sinembargo,normalmenteparaexpresarqueestoesunafunción,seescribeasí:f(t)=900t
La"f "essólolaprimeraletradelapalabra"función".
Inclusive,sihablamosentérminosgeneralestambiénpodemosescribiry(x)=900x,of(x)=900x.Enelsiguienteesquemadesciframosloselementosdeestasfórmulas:
La notación d(t) = 900t, nosindicaque:• Lafunciónsellamad.• La variable independiente
est.• La variable dependiente es
d(t).
La notación y(x) = 900x, nosindicaque:• Lafunciónsellamay.• La variable independiente
esx.• La variable dependiente es
y(x).
La notación f(x) = 900x, nosindicaque:• Lafunciónsellamaf.• La variable independiente
esx.• La variable dependiente es
f(x).
Constante
d(t)=900t
Nombre de la función
Variabledependiente
Variableindependiente
Constante
y(x)=900x
Nombre de la función
Variabledependiente
Variableindependiente
Constante
f(x)=900x
Nombre de la función
Variabledependiente
Variableindependiente
Recuerdaqueentodasestaspresentaciones,elsignoigualseestáutilizandoparadarleunnombrealaexpresiónoreglaquepermitecalcularladistanciarecorrida.
¿Porquénotacionesdeltipo“d(t)”,“f(t)”,“f(x)”?
Porquedescribemuybieneltrabajoquehacelaregladeunafunción.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 33
Trabajo de la regla,d(t)=900tSetomaelvalordet,sesustituyeenlaexpresión900t,yloqueresultaseleasignaad.
Valoresde t Valoresde d1 →dparat=1=f(1)=900•1=900→ 9002 →dparat=2=f(2)=900•2=1800→ 18003 →dparat=3=f(3)=900•3=2700→ 27004 →dparat=4=f(4)=900•4=3600→ 36005 →dparat=5=f(5)=900•5=4500→ 4500
Entrada Salida
Entrada: valores de t
Salida: valores ded=f(t)
Lafórmulad=f(t)=900tprocesaelvalorqueentra
Recordemos cómo traba-jaestareglaoecuación:noso-trosleasignamosvaloresat,ylareglaleasignavaloresad.
Conforme a este proceso,podemos ver la ecuación o re-gla, como una máquina queprocesaunosvaloresdet,con-siderados como valores de en-trada,yproporcionalosvaloresdedquesonvaloresdesalida.
Entra un número de la variable independiente
Sale otro número para la variable dependiente
f( ) = =Se hacen operaciones
La letra “f” de la notaciónf(t) significaquehande reali-zarseciertasoperacionesconelvalordetparaobtenerdof(t).
Notaciónfuncionalyelplanocoordenado
Debestenermuypresentelaconexiónqueexisteentreparesordenadosylanotaciónfuncional.Elsi-guienteesquemailustraestaconexión:
Variable independiente Variable dependiente
x f(x) = y(x,f(x))=(x,y)
f(x)=y
X
y = f(x)
x
Obsérvesequeparapasardelarepresentaciónconflechas,alagráficaenunplanocartesiano,bási-camenteloquesehaceesgirarlosdosejes,detalmaneraqueformenunplanocoordenadocartesiano.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i34
Imágenesypreimágenes
Alosvaloresquetomalavariableindependienteselesllamaargumentos o preimágenes,ylosvaloresquelafunciónleasignaalavariabledependiente,sellamanimágenes.
Enlasituacióndelavión:Laimagende1es:y para x=1=f(1)=900f(1)=900Laimagende2es:yparax=2=f(2)=1800Laimagende3es:yparax=3=f(3)=2700Etcétera
Preimagen o argumento
Imagen
Parafuncionesdescritasporunaexpresiónalgebraica,porejemplolafunciónf(x)=3x−2(laqueconfrecuenciaescribimosy=3x−2),podemosevaluarlafunciónsustituyendoelvalordelavariableindependiente(preimagen)endichaexpesión.Porejemplo, f(5)=3(5)−2,asíqueelvalorde f(x)cuandox=3es13.
Ahora,consideralapregunta:enlasituacióndescritadelavión,cond=f(t)=900t.¿enquétiempoelaviónrecorreráunadistanciade1000km?
Enestecaso,conocemosunvalorimagen(1000)ynospidenelvalordesupreimagen:esdecir,dadof(t),determinart.
Entonces:f(t)=900t
1000=900t.
Despejandoat:=t.
=t.
1000900109
1. Calculaelvalordeláreasombreada:
Actividad 13
f(x))=x+3
X
y=f(x)
2 5
0 1 2 3 4
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
X
f(1) = 900
f(2) = 1800
f(3) = 2700
f(4)=3600y = f(x
) = 900x
Volvamosalagráficadelasituacióndelavión,yusemosestanotación:
Paresordenados:{(1,f(1)),
(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4))
Enlasiguienteactividadpodrástrabajarconlanotaciónf( ).
t =1.1horas;portanto,elaviónrecorrerá1000kmen1hora6minutos.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 35
f(x) = y
0 1 2 3 4
6
543
2
1
X-4 -3 -2 -1
3. Dadalasfuncionesh,gyptalesqueh(x)=4x;g(x)=10x−3yp(x)=5.Determinalaimagende−2,3y4paracadaunadelasfuncionesdadas.
4. Daday=f(x),representagráficamenteloquesigni-ficalaexpresión:y=f(7)=1.
2. Lacurvaadjunta,representaaunafuncióny=f(x) Determinaf (0),f(1),f(−2)yf(2).
Paracomprendertotalmenteelconceptodefunción,debemosprecisarunacondicióndeterminantedetodafunción,asaber,“el valor único”,ydosconceptosmás:dominioyrango(oconjuntoimagen).Acontinuacióntrabajaremosestasideas.
Elvalorúnico:unacaracterísticaespecialdelasfunciones
Pordefinición, funciones son“de un solo valor”.Esto significa,queacadavalorde lavariable inde-pendiente, lecorrespondeexactamenteunúnicovalorde lavariabledependiente.Elvalorúnicoesprincipalmenteun requerimiento establecidoparahacer el trabajo con funcionesmásmanejable ymenosambiguo.Paraentenderesto,consideremoslaecuacióny=√x .Atendiendoladefiniciónderaízcuadrada,cadaxpodríacorresponderadosvaloresy.Porejemplo:
Six=4,entonces,y=√4=±2,porque(2)2=4, ytambién(−2)2=4,
Así,parax=4,existendosvaloresasignados,yenunmomentodado,nosotrospodríamosnecesitarespecificardecuálvalorestamoshablando.Consideracionescomoestasllevóamatemáticosarestringirfuncionescomoaquellasrelacionesquesondevalorúnico.
Paraprofundizarmásenesto,presentaremosenundiagramadeflechas,algunosvaloresasociadosmediantey=±√x :
Valoresdex Valoresdey
–3
–2
11
4
9
12
3
y=± √x
Atendiendoelrequerimientodevalorúnico,estaasocia-ción,noesunafunción;paraqueseafunción,acadava-lorx,seledebeasociarexactamenteunvalordey.
Siestaasociaciónsepresentacomounconjuntodeparesordenadosobtendríamos:
{(1,1),(1,−1),(4,2),(4,−2),(9,3),(9,−3)}
Observamosqueenestaasociación(quenoesunafunción),aparecenmásdeunparordenado,conelmismoprimerelemento(mismaabscisa).
Ahora,sirepresentamosestosparesordenadosmedianteunagráfica,obtendríamos:
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i36
Observamosqueestagráfica,lacualnoesunafunción,presentaalmenosdospuntos“alineados”enunarectaver-tical.
Y
3
2
1
-1
-2
-3
X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Atendiendo el requerimiento de valor único, unagráfica,noesunafunciónsialtrazaralmenosunarectavertical,éstapasapordospuntosdelagráfica.Estatécnicasedenominacriterio de la recta verti-cal.
Realizalasiguienteactividadparaqueconsolidesestaimportantepropiedaddelasfunciones.
Encadaunodelossiguientesejemplos¿esyunafuncióndex?Argumentesurespuesta.Sinosepresentaunagráfica,trazarlaquecorresponde.
Actividad 14
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
c. El conjunto detodos los pun-tossobrelagrá-fica mostradaabajo
X
Y
(4, 0)
(-4, 0)
(0, 4)
(0, -4)
f. x y−2 4−1 10 01 12 4
d. {(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
e. {(1,2),(1,3),(1,4),(2,5)}
g.
h.
X
Y
X
Y
Dominioyrango(oconjuntoimagen)
Enelapartado1.2deestelibro,seplanteóqueparaciertasexpresionesalgebraicas,hayrestriccionesalmomentodeasignarvaloresalasvariables.Estodióorigenaloqueseentiendeporextensióndelacurvaenx(osimplementeextensióndex),comoelconjuntodetodoslosnúmerosrealesque,sí,puedetomarx,paraqueyseaunnúmeroreal.Enotraspalabras,bajociertascircunstancias,lasvariablestienenuncampo o intervalo de variaciónrestringido.Cuandoseestudianrelacionesentrevariables,atravésdelasfunciones,confrecuenciaesútildeterminaresosintervalosdevariación.Éstonosllevaaladefinicióndedominioyrangodeunafunción.
a. y=√x (Atención:cuandonoseescribeunsignoantesdelsignoradical,escostumbrecon-siderarquesetratadelaraízposítivaoraízprin-cipal)
b.y=−√x
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 37
Lasfuncionescuyosdominiosyrangossonsubconjuntosdelosnúmerosreales,sedenominanfun-ciones numéricas o de variable real.Enestecurso,sóloseestudiaránestetipodefunciones.
ApartirdeestemomentoconsideraremosquelosconjuntosXyYconstandenúmerosreales;así,lafunciónfsedenominafunciónconvalorrealdeunasolavariablereal.
¿Cómo determinar el dominio y el rango? Hayquetenerpresente,queanteriormenteestedominiofuedenominadoextensióndex.Lasiguienteactividadtepermitiráempezaratrabajarestasideas.Trataderesolverlaydespuésestudiaeldesarrolloquesepresentainmediatamentedespués.
Paramostrarcómolaslongitudesdelosladosdelasparedes y sus áreas están relacionadas, pudiste haberescritounaecuaciónparecidaa,A=l2,queennotaciónfuncionalseríaA(l)=l2,obieny=f(x)=x2.Asimis-mo,debistetrazarunagráficaparecidaalamostradaaladerecha.
a. Sequiereelaboraruntabuladordecostosdepinturapormetrocuadrado,deparedesenformadecuadrado.Piensaacercadetodaslasposiblesparedesdeestaforma.Paracadalongituddela-dos,hayunáreacorrespondienteapintar.Describelarelaciónentreeláreadeunaparedcuadra-daylalongituddesulado.Calculaalgunosvaloresparalasmagnitudesimplicadasyregístralosenlasiguientetabla:
Longitud(m) 1 1.5 2 2.5 3Área(m2)
a. Presentatusresultadosenparesordenados.
b. Trazalagráfica.Siloconsiderasnecesario,calculaotrospuntos.
c. Supongamosquelalongituddecadaladodelaparedapintar,mide4m.Conestainformación,contestalassiguientespreguntas:• ¿EnquéintervalosvaríanlosvaloresdeAyl?• ¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarleal?• ¿CuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomarA?
Actividad 15
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Eldominiodeunafuncióneselconjuntodetodoslosvaloresquepuedetomarlavariableinde-pendiente.El rangooconjunto imagen deunafunción,eselconjuntodetodoslosvaloresquesonimágenesdealgúnvalordeldominio.
0 1 2 3 4
16
14
12
10
8
6
4
2
Longitud (m)
Áre
a (m
2 )
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i38
Valoresextremosdel
ValoresextremosdeA
0 A(0)=02=04 A(4)=42=16
lsólotomavaloresde[0,4]
l A sólotomavaloresde[0,16]
1. Laexpresión d=30tdescribelarelaciónqueexisteentreladistanciarecorridayeltiempotrans-currido,deunmóvilquepartedelreposoconmovimientorectilíneoaunavelocidadconstantede30m/s.SielmóvilsemuevedesdeunpuntoAhaciaunpuntoBqueseencuentraa180mdedistanciadeA,contestalassiguientespreguntas:
Atendiendolasrestriccionescontextualesdeestasituación: a.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarlea d? b.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomart?
2. Unobjetosesueltaencaídalibredesdeunaalturade30m.Ladistanciarecorridadenmetrospordichoobjetodependedeltiempotensegundostranscurridosegúnlafórmulad=4.9t2.
Atendiendolasrestriccionescontextualesdeestasituación: a.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarlead? b.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomard?
Actividad 16
Restriccionescontextuales
Paraestablecerlosintervalosdevaloresquepuedentomarlasvariablesdeunaexpresión,sedebetenerencuentaqueexistendostiposderestricciones:contextualesymatemáticas.
Ennuestroejemplo,paralaexpresiónA(l)=l2querelacionaeláreaconlalongituddelladodeunaparedcuadrada,haydosrestriccionescontextuales:laprimeraconsisteenatenderelhechodequeenelcontextodelatareaplanteada,nohayunidadesdelongitudnegativas,porloquelosvaloresquepuedetomar l sólopuedenser losnúmerosrealesnonegativos;y la segundaconsisteenconsiderarque laparedmide4m,yportanto,elvalormáximoquepuedetomarles4.Ahorabien,aunquenoexisteuncuadradodeladoigualacero,elpuntodepartidaparaempezaragenerarcuadrados,estájustamenteenl=0.Portanto,losvaloresdelvariaránenelintervalo[0,4].EsteeseldominiodeA(l)=l2
Paradeterminarel intervaloenelquevarían losvaloresdel área, consideramos losvaloresdeA,obtenidosalsustituirenlafórmuladelárea,losvaloresextremosdeldominiotalycomosemuestraacontinuación:
Sievaluamoseláreaparacadaextremodelintervalodel,obtenemos:paral=0,A=0;sil =4,A=22=4.Ademássedebeconsiderarquetampocohayunidadesdeáreanegativa.Portanto,losvaloresdeA,estaránenelintervalo[0,16].
Alafirmarque l sólotomavaloresdel intervalo[0,4],yqueAsólolohacede[0,16],estamosestableciendorestric-cionescontextuales.EsteeselrangodeA(l)=l2
Realizalasiguienteactividadparaquepuedasconsolidarestasideas.
Restriccionesmatemáticas
En lasección1.2alabordar laextensiónde lacurvaenx,estudiamoseste tipoderestricciones.Re-cordemosquelasrestriccionesmatemáticassurgenapartirdecómosedefinenlasoperacionesdelosnúmerosrealesysuspropiedades.Porejemplo,elceronotieneinversomultiplicativo,portanto,unaexpresiónqueseencuentreeneldenominadordeunafraccióndebeserdistintadecero;noesposible
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 39
1x
Elprocedimientoparadeterminareldominiodeunafunciónapartirdesuexpresiónalgebraica,eselmismoqueseaplicóenladeterminacióndelaextensióndex.Dichosprocedimientospuedenclasifi-carseentrescasos:
Caso 1. Funciones racionalesParaencontrarrestriccionesenfuncionesracionales,elpasobásicoconsisteenigualaraldenomina-
dorcon0yresolverlaecuaciónresultante.Caso 2. Funciones raíz cuadradaParaencontrarrestriccionesenfuncionesraízcuadrada,elpasobásicoconsisteenestablecerlacan-
tidadbajoelradicalcomomayora0,yresolverladesigualdadresultante.Caso 3. Funciones polinomiales.Silafunciónesunpolinomio,esdecirunafuncióndelaformaf(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
(dondea0,a1,…ansonconstantesynunenterononegativo),eldominioestáconformadoporelcon-juntodetodoslosnúmerosrealesℜ.
RangoUnavezdeterminadoeldominiodelafuncióndeinterés,yconsiderandoqueelrangosevaconfi-
gurandoconformeusamosvaloresdeldominio,aquíorientaremosaqueelrangosedetermineapartirdelgráficodelafunción.Silagráficadelafunciónsetrazausandoalgúnsoftwareocalculadoragráfica,tambiéneldominiopodríaobtenersede lagráficayentodocaso ladeterminaciónanalíticadeéste,serviríacomocomprobaciónyexplicación.
Determinacióndeldominiodeunafunciónapartirdesuexpresión
La ilustraciónde laderecha,muestra laposicióndeldominioy el rangoen la gráficadeuna fun-ción.
Observación:Para ladeterminacióndel rango,serecomiendatrazar lagráficade la funciónconlaayudadeunsoftware(preferentementeelDes-mos),ymedianteunaproyecciónsobreelejeY,identificar el intervalo que corresponde a dichorango.
Determinacióndeldominioyrangoapartirdeunagráfica
calcularlaraízcuadradadeunnúmerorealnegativo.Asimismonoesposiblecalcularlaraízcuadradadeunnúmerorealnegativo.Así,enlaexpresióny=,lavariablexnopuedevalercero,puestoqueladivisiónporceronoestápermitida;también,enlaexpresióny = √x ,debidoaqueningúnnúmerorealnegativotieneraízcuadrada,lavariablex,sólopuedetomarvaloresdelintervalo[0,+∞).
Dominio
Rango
x
f(x)
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i40
f(x)
3
2
1
-1
-2
X-4 -3 -2 -1 0 1 2
3
2
1
-1
-2
X -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x)
Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=x +3?
Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=−x2 +2x+2?
SoluciónÉstaesunafunciónpolinomialdelaforma: f(x)=a0+a1x.Asíque,nohayrestricciónmatemáticaparaeldominio;porlotanto,cualquiernú-merorealsepuedesustituirporxyobtenerunrealnúmerorealparay.Asimismo,delagráficaseobservaqueelrangoabarcatodoslosvaloresdeydelarectanumérica.Respuesta:eldominioyrangosontodoslosnúmerosrealesℜ.
SoluciónÉstaesunafunciónpolinomialdelaforma:f(x)=a0+a1x+a2x2,porloque,nohayrestricciónmatemáticaparaeldominio;porlotanto,cual-quiernúmerorealsepuedesustituirporxyobtenerunrealnúmerorealparay.Paradeterminarelrango,trazamoslagráficadelafunciónyobservamosquef(x)≤3.Respuesta:Eldominioestodoslosnúmerosrealesℜyelrangoestodoslosnúmerosrealesf(x)talesquef(x)≤3.
Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=−1 +√x + 3?Solución
Estaesunafunciónradical.Eldominiodeunafunciónradicalescualquiervalorxparaelqueelradicando(laexpresiónbajoelsignoradical)noesnegativo.Estosignificax+3≥0,entoncesx≥−3.(Elsigno≥nosindicaquextambiénpuedeser0).
Respuesta: Eldominioestodoslosnúmerosrealesxdondex≥−3,yelrangoestodoslosnúmerosrealesf(x)talesquef(x)≥−1.
3
2
1
-1
-2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x)
X
Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=?x+2
y+3Solución
Estaesunafunciónracional.Eldominiodeunafunciónra-cionalestárestringidodondeeldenominadores0.Enestecaso,x+3eseldenominadoryestees0sólocuandox= −3.Éstevalor(quecorrespondeaunaasíntotavertical)debeexcluirsedeldominio.Paradeterminarelrango,observa-mosquehayunaasíntotahorizontaleny=1,porloque,éstevalordebeexlcuirsedelrango.Respuesta: Eldominioestodonúmerorealexcepto−3yelrangoestodonúmerorealexcepto1.
X
f(x)
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 41
Siconsideramoselnúmerodeposiciónenlaseriecomovariableindependiente(valordeentrada),yelnúmerodeángulosformadocomovariabledependiente(valordesalida),podemoscrearunafuncióndenominadaángulos.Unaentradade1tieneunasalidade0,yaquelaposición1notieneángulo(des-cartandoelángulollano);unaentradade2tieneunasalidade1,yaquelaposición2contiene1ángulo;unaentradade3,produceunasalidade3etcétera.Eldominiodeéstafunciónseobtienecontandoelnúmerodeentradas1,2,3,4,5queidentificancadaunadelasposicionesenlaserie.Lasentradasdeéstafunciónsonvalores discretos,esdecir,nosoncontinuossinoaislados(nohayposiciónquesea1.3o4.1).Elrangoeselnúmerodeángulosencadaposición.Éstosnúmerostambiénsondiscretosyaquenohayningunaposiciónquetenga2,4,5,7,8,9ocualesquiernúmerodecimaldeángulos.Podemosagruparéstalistadevaloresdentrodellaves(enlugardecorchetesoparéntesis,queindicancontinui-dad):Dominio:{1,2,3,4,5}
Rango:{0,1,3,6,10}
Posición5Posición1 Posición2 Posición3 Posición4
10ángulos0ángulos 1ángulos 3ángulos 6ángulos
Variables discretas
Ahoraveamosotrotipodedominioyrango.Acontinuaciónsemuestraunaseriedeángulosformadospor1,2,3,4y5rayosconunextremocomún.
1. Determinaeldominiodecadaunadelassiguientesfunciones:
Actividad 17
3xx+5
3xe.h(x)=√x−10f.g(x)= 3
x +3g.f(x)=−
a.f(r)=πr2b.f(x)=5x2+2x−1c.h(t)=4/t d.f(x)=√1−x2
2. Atendiendorestriccionescontextuales,determinaeldominioyrangodecadaunadelassiguien-tesfunciones:
a)Lafuncióng(r)=πr2,quedescribeeláreadeunamonedaenfuncióndelradio. b)Lafuncións(t)=4.9t2quedescribelacaídadeunapiedraquesesueltadesdeunatorrede30
mdealtura;sesladistanciaenmetrosyteltiempoensegundostranscurridoalcaer.
Nocionesparacaracterizarfunciones
Ademásdeldominioyrango,interseccionesconlosejes,simetríasyasíntotas,existenotrosconceptosquenospermitencaracterizaraunafunción.
a. Funciones crecientes y decrecientes Unafunciónfescrecientesilosvaloresde
f(x)aumentanamedidaquexaumenta. Unafunción fesdecrecientesilosvalores
def(x)decrecenamedidaquexaumenta. Lagráficadeunafuncióncrecientesubea
medidaquenosmovemosdeizquierdaaderecha. Lagráficadeunafuncióndecrecientebajaamedidaquenosmovemosdeizquierdaaderecha.
CrecienteDecreciente
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i42
Solución
Enel ladoderecho,sehatrazado lagráficautilizandoDesmos.-Eldominioestodoℜdiferentede2-Elrangoestodoℜdiferentede1.-Lafuncióntieneunaasíntotaverticalenx=2,yunahorizontaleny=1.-Lafunciónesdecrecienteenelintervalo(−∞,2)y(2,+∞).-Lafunciónescóncavahaciaabajoenelintervalo(−∞,2)ycóncavahaciaarribaenelintervalo(2,+∞).
b. Concavidad Lagráficadeunafunciónes
cóncavahaciaarribasiestácurvada hacia arriba ame-dida que nosmovemos deizquierdaaderecha; lagrá-fica es cóncava hacia abajosiestácurvadahaciaabajo.Unarectanoescóncavahaciaarribanihaciaabajo.
c. Máximos y minímos Supongamosquepesunpuntoeneldominio
def:• f tiene un mínimo local en p si f(p) es
menoroigualquelosvaloresdefparalospuntoscercadep.
• f tiene unmáximo local en p si f(p) esmayoroigualquelosvaloresdefparalospuntoscercadep.
Cóncavahaciaarriba Cóncavahaciaabajo
Máximo
p
f(x)
x
f(p)
Mínimo
p
f(x)
xf(p)
f(x)
X
EjemploCaracterizaalafunciónconecuaciónf(x)= x−1
x−2
1. UtilizaDesmos,paragraficarlassiguientesfunciones(denominadasbásicasoelementales): f(x)=c(cescualquiernúmeroreal);f(x)=x;f(x)=1/x;f(x)=|x|;f(x)=x2;f(x)=x3;f(x)=
√x ;f(x)=2x;f(x)=logx;f(x)=senx;f(x)=cosx.2. Caracterizacadaunadeestasfuncionesutilizandolasnocionesestudiadas.
Actividad 18
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 43
Consumo(kilowats/h)
Costo(enpesos)porkWh
1-300 0.583301-1200 0.7261201-2500 1.768Excedente 2.802
Consumo (kWh)
3.00
2..50
2.00
1.50
1.00
0.500
0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
Cost
o ($
)
Funcionesdefinidasatrozos
Funcionesnotienenqueserdefinidasporunafórmula.Porejemplo,consideremoslassiguientestem-peraturasmáximasdiariasenCuliacán:
Fecha(octubre2017) 11 12 13 14 15 16 17Temperaturamáxima(°C) 37 35 36 35 36 39 39
Latemperaturaesunafuncióndelafecha,porquecadadíadalugaraunaysóloaunatemperaturamáxima.Nohayfórmulaparalatemperatura(aunquedentrodeunrango,lafunciónpuedeaproximarseporunafórmula);sinembargo,latemperaturasatisfaceladefinicióndeunafunción:cadafecha,tieneunatemperaturadesalidaúnica,relacionadaconella.
Además, algunas funciones sondefinidas a trozos, condiferentes fórmulas aplicadas adiferentespartesdeldominio.Aunquefuncionesquesondefinidasatrozospuedenparecerextrañas,nosotroslasencontramosenlavidadiaria.Ennuestrorecibodelaluz,podemosverelconsumocomounafuncióndefinidaatrozossegúnlacantidaddekilowats-hora.
Solución
Podemosgraficarcadaecuaciónentodosudominio,yposteriormentesóloconservareltramoenelintervaloindicado.Así,enlafiguradeladerecha,lagráficadelafunciónpedida,estáformadaporlosdostramoscontinuos;lostrazosdiscontínuos,sólonosindicanqueinicialmentesetrazólagráficatotalsinconsiderarlascondicionesdadas.
EjemploRepresentalafunción:
Y 3
2
1
-1
-2
-3
X0 1 2 3 4 5
gt22
Variableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____
a)d=Variableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____
b) C=2πrVariableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____
c) y=5x2+2x
1.3 EJERCICIOS• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8
1. Dadaslasreglasfuncionalesqueaparecenacontinuación,escribecadafórmulaennotaciónfun-cional,identificalavariablesdependienteylavariableindependiente.
y=2,six<2;y=2x−2,six≥2;
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i44
2. Sifesunafuncióndevariablerealtalquef(x)=5x+2,pruebaquef(a+1)+4f(a)=25a+15.
3. Acontinuaciónsetepresentanvariasexpresionesalgebraicas.Debesdecir,paracadaunadeellas,sisetrataono,deunafunción.Explicadetalladamentetusrespuestas.
4. Seafunafuncióndevariablerealtalquef(x)= a)Calculaf(0),f(1),f(−1)yf(0.2) b)Pruebaquef(a)+f(−a)=a2+1.
5. Lafunciónfestádadaporelgráficodeladerecha: a)Determinaf(0),f(1),f(2),f(4)yf(6) b)Determinaelvalordexsif(x)=0;f(x)=1;f(x)=2;
x2+12
Y
3
2
1
-1
-2
X-1 0 1 2 3 4 5 6
b) x2+y2=9 c) y2=2x−4
d) y=5e) x=5
a)3x−2x,six≤40,si4<x<62,six≥6
f(x)=
Enesteapartadoseestudiarácuáleselefectoenlagráficadeunafunciónalsumar,restaromultiplicarunaconstantepordichafunción.Esteefecto,seconvertiráenotrométodoparabosquejarlagráficadeunafunción,quesedenominamétododelastransformaciones.
Sellamatransformaciónatodaalteracióndeunafunción.Existentrestiposdetransformaciones,asaber:traslaciones,dilatacionesyreflexiones.Paraexplorarcómoeslanuevagráficadeunafunciónunavezaplicadaunatransformación,deberásrealizarlasiguienteactividad:
1.4 Graficación de funciones: método de las transformaciones
h
40 cm
20 cm
40 cm
6. Unrecipientecuyaformaesladeunparalelepípedorectan-gularsellenaconunlíquido.Considerandolasdimensionesdelrecipientedelasiguientefigura:
a. Estableceunaexpresiónalgebraicaquenospermitasa-bercuáleselvolumendellíquidoentantovaríalaaltu-ra.
b. ¿Cuáleseldominiodelafunción? c. ¿Cuáleselrangodelafunción? d.Realizaunagráficavolumencontraaltura.
7. Dadaslassiguientesfunciones,determinademaneraanalíticasudominio,trazasusgráficaconayu-dadealgúnsoftwareydeterminaelrangodelafunción.
8. Complementa la caracterización de las funciones del ejercicio anterior indicando: intervalos decrecimientoydecrecimiento,concavidad,máximosymínimos.
3+xx−3
3x+3a.f(x)=5x2+2x−1 b.g(x)=1/x c.g(x)= d.f(x)=
e.f(x)=√4 − x2 f.h(x)=√x2 − 25
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 45
Actividad 19
a. Traslaciones verticales 1. Lagráficadef(x)=xes:
f(x)
x
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=x+1,h(x)=x+2,i(x)=x +1,j(x)=x −2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado_______________
X
f(x)
0 1 2 3 -3 -2 -1
3
2
1
-1 -2
-3
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=x2+1,h(x)=x2+2,i(x)=x2 −1,j(x)=x2 −2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado_______
2. Lagráficadef(x)=x2es:
f(x)
x X
f(x)
0 1 2 3 -3 -2 -1
3
2
1
-1 -2
-3
Sicesunaconstantepositiva,yy =f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,en-tonceslagráficadelafunción:1. y=f(x)+csedesplazacunidadeshacia__________________2. y=f(x)−csedesplazacunidadeshacia__________________Aestetipodetransformación,lollamaremostraslaciones verticales.
Conclusion 1
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=(x+1)2,h(x)=(x+2)2,i(x)=(x −1)2,j(x)=(x −2)2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado________
b. Traslaciones horizontales3. Lagráficadef(x)=x2es:
f(x)
xX
f(x)
0 1 2 3 -3 -2 -1
3
2
1
-1 -2
-3
Sicesunaconstantepositiva,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,en-tonceslagráficadelafunción:1. y=f(x+c)sedesplazacunidadeshacia__________________2. y=f(x−c)sedesplazacunidadeshacia__________________Aestetipodetransformación,lollamaremostraslaciones horizontales.
Conclusion 2
desmos
• Aspecto a evaluar: Actividaddeevaluaciónintermedia• Evidencia: Reporteescritodeexploracióncontecnología• Competencia o atributo a evaluar: 5.6
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i46
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=2senxyh(x)=(1/2)senx.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=sen(2x),yh(x)=senx .-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________
c. Dilataciones o distorsiones verticales
d. Dilataciones o distorsiones horizontales
4. Lagráficadeunciclodef(x)=Senxes:
5. Lagráficadeunciclof(x)=Senxes:
1. Sic>1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:y=cf(x)seestiraverticalemente.
2. Si0<c<1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:y=cf(x)secomprimeverticalemente.
Aestetipodetransformación,lollamaremosdilataciones o distorsiones ver-ticales.
1. Sic>1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:
y=f(cx)secomprimehorizontalmente.
2. Si0<c<1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráfi-caseconoce,entonceslagráficadelafunción:
y=f(cx)seestirahorizontalmente.
f(x)
xX
f(x)
0 1 2 3 4 5 6
3
2
1
-1
-2
-3
f(x)
= x
2
h(x)
= 0
.25x
2
g(x)
= 6
x2
y
x
Elcoef.mayorque1,estiraverticalmente
Elcoef.menorque1,comprimeverticalmente
f(x)
x
X
f(x)
0 1 2 3 4 5 6
3
2
1
-1
-2
-3
Conclusion 4
Conclusion 3
X
f(x)
0 1 2 3 4 5 6
3
2
1
-1
-2
-3
f(x) = senx
Almultiplicarelargumentoporunnúmeromayorque1,comprimehorizontalmente.Haydistorsión.
g(x) = sen(2x)
12
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 47
UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadef(x)=−f(x).Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbási-caconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________
e. Reflexiones con respecto al eje X
6. Lagráficadef(x)=x2es:
1. Siy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafun-ción:
y=−f(x)seinvierteverticalmente(arribaabajo),esdecir,ocurreunre-flejoconrespectoalejeX.
Conclusion 5
f(x)
xX
f(x)
0 1 2 3 -3 -2 -1
3
2
1
-1 -2
-3
Enlasreglasanterioreslaconstantec,puedeactuarobiensobrelosvaloresdelafunción(valoresdey),obiensobrelosvaloresdelargumento(valoresdex).
Cuandoestésumando,restandoomultiplicandoa lasy,elefectoessobreelejeY,esdecir,haciaarriba,haciaabajo,oefectovertical.
f(x)
x
f(x)
x
f(x) = x3 f(x) + 1 = x3 + 1 f(x) + 3 = x3 + 3
f(x)
x
f(x)
x
b) f(x)
x
f(x)
x
a)
EjemplosObserva:
Solución
f(x) = x3 f(x) - 1 = x3 - 1 f(x) - 3 = x3 - 3
Cuandoestésumando,restandoomultiplicandoalasx,elefectoessobreelejeX,esdecir,hacialade-recha,hacialaizquierda,oefectohorizontal.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i48
f(x)
x
c) f(x)
xf(x) = x3 f(x + 2) = (x + 2)3 f(x + 4) = (x + 4)3
x
f(x)
f(x)
x
d) f(x)
x
f(x) = x3 f(x - 2) = (x - 2)3 f(x - 3) = (x - 3)3
f(x)
x
Observaciones
1. Unodeloserroresmásfrecuentesespensarquesiqueremosdesplazar lagráficadeunafunciónhacialaderechaledebemossumarunnúmeropositivo(véanselasgráficasc).Alsumarunnúmeropositivoalavariableindependiente,obtenemosunefectovisualdedesplazamientodelagráficaha-cialaizquierda.Y,porelcontrario,alrestarunnúmeropositivoax,lagráficasedesplazaaladerecha(véanselasgráficasd).Reflexionayexploraconunatabulación,sobreelporquédeestefenómeno.
Efectuandoprimeroloqueestádentrodelparén-tesisconx,desplazamos3unidadeshacialadere-chalagráficadef(x)=x2.
Acontinuación,consideramosel−2queafectalosvaloresy,desplazandolagráficaúltima,dosunida-deshaciaabajo:
f(x)
3
2
1
-1
-2
X-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = x 2
f(x - 3) = (x - 3) 2
f(x)
3
2
1
-1
-2
X-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = x 2
f(x - 3) = (x - 3) 2
f(x - 3) - 2 = (x - 3) 2 - 2
Porejemplo:funciónbásicaf(x)=x2.Latransformación,f(x+c)=(x+c)2,afectaalosvaloresx.Latransformación, f(x)+c=x2+c,afectaa losvaloresy.
EjemploDibujalagráficadeg(x)=(x−3)2−2,apartirdelagráficadelafunciónbásicaf(x)=x2.SoluciónLatransformación,f(x+c)=(x+c)2,afectaalosvaloresx.Latransformación,f(x)+c=x2+c,afectaalosvaloresy.
2. El orden adecuado en que deben efectuarselasoperacionesesdedentrohaciaafuera;pri-meroloqueestéadentrodelparéntesisconxydespuésloqueestécony.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 49
1.4 EJERCICIOS• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8
1. Consideralagráficadef(x)=|x|.Trazamediantetransformacioneslasgráficasdelassiguientesfun-ciones:
a.g(x)=−2+|x+2|b.h(x)=3+|x−2|c.i(x)=−|x+1|d.j(x)=−2|x−1|+4
2. Considera la gráficade f(x)=x3.Trazamediante transfromaciones las gráficasde las siguientesfunciones:
a.g(x)=−3+(x+3)3b.h(x)=(x−3)3+1c.i(x)=−(x+3)3+5
3. Consideralagráficadef(x)= √x .Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:
a.g(x)=√x−5−2b.h(x)=√x+1+3c.i(x)=−√x−5−2
4. Consideralagráficadef(x)=.Trazamediantetransformacioneslasgráficasdelassiguientesfun-ciones:
a.f(x)=
5. Consideralagráficadef(x)=senx.Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:
a.g(x)=−2+senxb.h(x)=3senxc.i(x)=sen(x+1)d.j(x)=sen(x+1)−3
6. Consideralagráficadef(x)=cosx.Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:
a.g(x)=−2+cosxb.h(x)=3cosxc.i(x)=cos(x +1)d.j(x)=cos(x+1)−3
7. UtilizaelDesmosparagraficarcadaunadelasecuacionesanteriores.Comparaestasgráficasconlasqueyahabíasobtenido.Sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomisiones.
8. Determinalafórmuladecadaunadelassiguientesfuncionesquetienenlasgráficasmostradas.
f(x)=______________
Justificacióndelarespuesta_______________________
f(x)=______________
Justificacióndelarespuesta_______________________
-3 -2 - 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
f(x)
a)
-3 -2 - 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
f(x)
b)
1x
1x+3 b.f(x)= 1
x−3 c.f(x)=+21x+3 d.f(x)=−11
x−3
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i50
x y0 01 22 43 64 8x ¿?
x y0 01 22 43 64 8x ¿?
b. ¿Qué implicaría examinar la relación representada en la tabla desde una pers-pectiva de covariación?Ésto,loanalizaremosacontinuación:Unaperspectivadecovariaciónenfocasobrepatronesbasadosencómodosvariablescambiansimultáneamente.Estosignifica,quedebemosobservarloscambioscuantitati-vosencadaunadelascolumnasdelatabla.Asípues,desdelaperspectivadecovariaciónnosmovemosyobservamoscambiosenlosvalores,primerodeunvalordex,haciaotrovalordex,yposteriormentehacemos,lomismoparalosvaloresdey.
yx↓↓0=2×02=2×14=2×26=2×38=2×4y=2x
Laperspectivadecorrespondenciatrabajadelasiguientemanera:¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Descompongamoslosvaloresdeyenfactores,tratandodequeestosvaloresyaparezcanenfuncióndex.
Concluimosque:y=2x
Así,estaperspectivanoshapermitidoencontrarlarepresentaciónsimbólicadelafuncióndada,asaber,y=f(x)=2x.
Familia de funciones: un antecedente para la modelización de fenómenos del mundo real1.5
Esútilagrupar funcionesen familiasconpatronesdecambiosimilaresporqueestas funciones,y lassituacionesqueellasmodelan,compartenciertascaracterísticasgenerales.Entreestasfamiliastenemos,lasfuncioneslineales,funcionescuadráticas,funcionesexponenciales,funcioneslogarítmicas,funcio-nestrigonométricas,entreotras.Enestasecciónexploraráslorelativoaestascuestiones.
Elobjetivodetrabajarestasperspectivas,esdesarrollarunaestrategiaquenospermitadeterminarlaexpresiónalgebraicadeunafunciónapartirdesurepresentacióntabular.Éstoseexplicaráatravésdelossiguientesejemplos:
Laperspectivadecovariaciónylaperspectivadecorrespondencia
Ejemplo 1Determinalaexpresiónalgebraicadelafunciónrepresentadaenlasiguientetabla:
Solución a. ¿Qué implicaría examinar la relación representada en la tabla des-de una perspectiva de correspondencia?Unaperspectivadecorrespondenciadelafunción,centralaatención,so-breuna asignacióndeun conjunto aotro.Desde estaperspectiva,nosmovemosdesde los argumentos (valoresde la variable independiente)hacialasimágenes(valoresdelavariabledependiente).Ensímbolos,te-nemoslaasignación:x→yquesetraduceen:
0→0,1→2,2→4,etc.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 51
x y0 31 62 123 244 48x ¿?
Ejemplo 2Determinalaexpresiónalgebraicadelafunciónrepresentadaenlasiguientetabla:
Solución
Solución
a. Perspectiva de correspondencia
b. Perspectiva de covariación
Unopodríaobservarqueconformeaumentanlosvaloresdex,tambiénaumentanlosdey.Específicamente,sixaumentaen1,losvaloresdeyseincrementademaneraconstanteen2.
Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndela tabladeunaumento aditivo constanteenvaloresdesali-da,escaracterísticodelasfuncioneslineales.Másadelanteseabundaráalrespecto.Parafuturosanálisis,esconvenienteestablecerqueestacan-tidadenquecambian las salidas, sondiferencias entrecadavalordesalidaysupredecesor,asaber:2−0=2;4−2=2;6−4=2;8−6=2.
Comparandoestosresultadosconlaexpresióny=f(x)=2x,encontradaconelenfoquedecorrespondencia,puedeobser-varsequeelaumento aditivoconstantede+2,enlosvaloresdesalida,eselcoeficentedexenlaecuacióndelafunción(aun-quedebeaclararse,queestacoincidenciasóloesposiblesilosvaloresdexaumentanenunaunidad).
x y0 01 22 43 64 8x ¿?
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
+2
+2
+2
+2
y = f(x) = 2 x
y x↓3=¿?6=3×2=3×2112=3×2×2=3×2224=3×2×2×2=3×23
48=3×2×2×2×2=3×24Elvalorinicialdeypuedeescribirse:3=3×20
Concluimosque:y=3×2x
Puedeobservarseque,sixaumentaen1,cadavalordeyes2veceselanterior.
Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndelatabladeunaumento multiplicativo constanteenva-loresdesalida,escaracterísticodelasfuncionesexponen-ciales.Másadelanteseabundaráalrespecto.
Comparando estos resultados con la expresión y = f(x)=3×2x, encontrada con el enfoquede correspondencia,puedeobservarsequeelfactorporelquesemultiplicaunvalordeyparaobtenerelsiguiente,eslabasedelexponen-texdelaecuacióndelafunción,y,elvalordeycuandoxes0,escoeficientededichaecuación.
x y0 31 62 123 244 48x ¿?
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
×2
×2
×2
×2
y = f(x) = 3×2x
x y0 31 62 123 244 48x ¿?
¿Cómoencuentroy apartirdex?¿Qué hacer? Descompongamoslos valores de y en factores, tra-tando de que aparezcan en fun-cióndex.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i52
yx↓0=¿?1=1×1=124=2×2=229=3×3=3216=4×4=42
xy ↓1×3=32×3/2=33×1=34×3/4=3
x y0 01 12 43 94 16x ¿?
x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?
x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
+1 ↓
+1
+3
+5
+7
+2
+2
+2
x y0 01 12 43 94 16x ¿?
x y0 01 12 43 94 16x ¿?
Ejemplo 3Determinalaexpresiónalgebraicadelafunciónrepresentadaenlasiguientetabla:
Ejemplo 4Determinalaexpresiónalgebraicadelafunciónrepresentadaenlasiguientetabla:
Solución
Solución
a. Perspectiva de correspondencia
a. Perspectiva de correspondencia
b. Perspectiva de covariación
Concluimosque:y=x2
Enestafunción,unprimeranálisisdecovariación(pri-merasdiferencias),noproporcionamuchainformación;una estrategia es hacer un segundo análisis (segundasdiferencias), y en este caso, encontramos un aumentoaditivoconstanteenlosvaloresdesalida.
Atención: Este patrón específico exhibido por la fun-ciónde la tabladesegundas diferencias constantes,envaloresdesalida,escaracterísticodelasfunciones de se-gundo grado.Másadelanteseabundaráalrespecto.
Paraestafunción,laperspectivadecovariaciónsólonoshapermitidoconcluirqueestafunciónesdesegundogrado.Unavezestablecidoelmodelogeneraldeestasfunciones,éstoserádegranayuda.
¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Descompongamoslosvaloresdeyenfactores,tratandodequeaparezcanenfuncióndex.
¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Enestecaso,noparecequeproceda ladescomposiciónde los valo-res de y en factores. Debes considerarestecasoespecialdecomportamientodelasvariables,quevienedadopor:xy=3;obieny=3/x
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 53
Puedeobservarseque,sixaumenta,ydisminuye.
Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndelatabladequemientrasxaumenta,ydisminuye,escaracterís-ticodelasfuncionesinversas.Lasfuncionesinversassondeltipo:
xy=k;obieny=k/x
Solución b. Perspectiva de covariación x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?
Aum
enta
Dism
inuye
x y0 02 44 86 12¿? x
+2 ↓
+2 ↓
+2 ↓
+4
+4
+4
y = f(x) = 2x
Debes convencerte que esta tabla representa a lamismafuncióndelejemplo1cuyaexpresiónalgebrai-cases: =f(x)=2x.
Contrarioalosucedidoenlatablaanterior,elaumentoenlosvalo-resdey,nocoincideconelcoeficentedexenlaexpresiónalgebraica.Éstosucedeporquelosaumentosenlosvaloresx,nosonunitarios.
Sinembargo,podemosrazonardelasiguientemanera:sixaumenta+2,yaumenta+4sixaumenta+3,yaumenta+6sixaumenta+4,yaumenta+8si x aumenta +1, y aumenta +2.
Nosinteresaloquepasaconelaumentounitariodex,porqueestonosproporcionaelcoeficientequellevaxenlaexpresiónalgebraica.Sinembargo,observamoslosiguiente:
Éstasrazonesformadasentrelacantidadenlaquecambianlosvaloresy,ylacantidadenlaquecam-bianlosvaloresx,esprecisamenteelvalordelcoeficientedexenlaexpresiónalgebraicadeéstafunción.Estasrazonessondegranimportanciaalclasificarlasfunciones,porloquerecibenelnombreespecialderazones de cambio.
La ideaderazónescentralparael trabajoquehacemosenelanálisisdesituacionesfuncionales.Ladescripciónderazonesdecambioenunarelaciónfuncionalpuedeproporcionarnosinformaciónimportanteacercadeunasituación.Antesdeestudiarrazonesdecambio,estableceremoslasiguientedefinición:
Lavariaciónocambiodeunafunciónenunintervalo,representaelaumentoodisminucióndelafunciónenlosextremosdelintervalo.Estudialossiguientesejemplos.
Razonesdecambio
Latabladeladerecha,eslamismadelejemplo1.Endichatabla,sedebetenerencuentaquelosvaloresdex,aumentanenunaunidad.Bajoestacircunstancia,elaumentode2unidadesenlosvaloresdey,provocaquelaexpresióndelafunciónseay=f(x)=2x.
Ahora,paraestamismafunción,supongamosquesóloconocemoslosvaloresdadosenlasiguientetabla:
x y0 01 22 43 64 8x ¿?
42 = = = =26
384
21
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i54
Acontinuacióndeterminaremosloscambiosenvariablesapartirdelagráficayregladeunafunción.
Tiempo Estatura2007 1.452017 1.80
+0.35+10
Valor final menos valor inicial:2017-2010=+10 Valor final menos
valor inicial: 1.80-1.45=+0.35
0 1 2 3
25
20
15
10
5
t (segundos)
s (m
etro
s)
s(t) = 4.9t2
Entonceslarespuestaalapreguntaes:LaestaturadeCarlostuvounaumentode0.35men10años.
Ejemplo 1Actualmente,Carlosmide1.80mdeestatura,yhace10añosteníaunaestaturade1.45m.a.¿Cuántohacambiadolaestaturade10añosalafecha?
Ejemplo 2Sidesdeunatorrede30mdealturasedejacaerunapiedra,dichacaídalibresedescribeporlafórmulas(t)=4.9t2,endondesesladis-tanciaquecaeelcuerpoenmetros,yteltiempoensegundostrans-curridoalcaer.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre1y2segundos?
SoluciónEnestaactividadseobservandosvariables:estaturaytiempo.Sepidemediruncambioenlavariableestaturaalcambiareltiempo.Asumiendoqueestamosenel2017,lavariabletiempotomavaloresenelintervalo[2007,2017],ylaestaturavaríaenelintervalo[1.45,1.80].
Sialavariableestaturaladenotamoscomoe,suvalorinicialpuedesimboluizarsecomoeiysuvalorfinalcomoef;entoncesel cambio de esta variable puede medirse por la diferencia:
ef − ei = ∆e
Endonde∆erepresenta el cambio de la estatura,y,segúnlainformaciónproporcionada,estecambioes:∆e = ef − ei=1.80−1.45=+0.35metros.
Delamismamanera,sialavariabletiempo,ladenotamoscomot,yasuvalorinicialyfinalcomotiytfrespectivamente,entonceselcambio de esta variable t, se mide por la diferencia:
tf − ti = ∆t
Endonde∆t representa el cambio en el tiempo,y,segúnlainformaciónproporcionada,estecambioes:∆t = tf − ti =2017−2010=+10años.
Solución
Apartirdelagráfica,sepuedeobservarqueelcambioenladistanciadecaídadelapiedraentre1y2segundos,esaproximadamente:
∆s=sf − si =19.6−5=14.6mEsteresultadoesaproximadoypuedevariardeunapersonaaotra.Sinembargo,siutilizamoslafórmulaquemodelaaestefenómeno,asaber,s(t)=4.9t2,seobtendríaunresultadomáspreciso.Paradichocálculo,necesitamosrecordarcómodebeevaluarseunafunciónatravésdesureglayaplicarlasiguienteexpresiónparamedirelcambio:∆s = s(2) − s(1)
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 55
Ejemplo 3Determinaelcambiodelafuncióny=x2+xenlosintervalos:a.[0,1],b.[2,4].
Solución a.[0,1]∆y=yf−yi=y(1)−y(0)=(02+0)−(12+1)=0−2=−2
b.[2,4]∆y=yf−yi=y(4)−y(2)=(42+4)−(22+2)=(16+4)−(4+2)=14
0 1 2 3
25
20
15
10
5
t (segundos)
s (m
etro
s)
∆s = s(2) - s(1)
s(1)
s(2)
Sis(t)=4.9t2,entonces:s(1)=4.9(1)2=4.9s(2)=4.9(2)2=4.9(4)=19.6∆s=s(2)−s(1)=19.6−4.9=14.7
Estosignificaqueunobjetoencaídalibre,recorre14.7metrosentrelossegundos1y2.
1. Considerandolainformacióndelejemplo2,contestalassiguientespreguntas: a.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre0y2segundos? b.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre0y3segundos?2. Determinaelcambiodelafuncióny=x2+3x−2enlosintervalosindicados: a.[2,4];b.[−2,0]
Actividad 20
Recordemosquelacovariacióntratasobreloscambiossimultáneosentrevariables.Alanalizarre-presentacionestabulares,estosemanifestóobservandocambiostantoenlosvaloresdex,comoenlosdey.Enelcasodecaídalibre,evaluamosladistanciarecorridaporunobjetorespectoaciertointervalodetiempo.Laideaqueahoranecesitamosfijar,esqueestavariaciónsimultáneaentredosvariables,esconvenientequeseestablezcaparavaloresunitariosdelosvaloresdeentrada.Porejemplo,siunauto-móvilrecorre200kmen2horas,lomáscomún,esquereportemosloquerecorreen1hora.Paraello,
establecemoslarazón:yobtenemos:distanciatiempo
Estarazónseescribesimplementecomo100km/hora.Así,cuandohablamosdevelocidad,noses-tamosrefiriendoaunarazón:larazóndistanciaconeltiempo.
Volviendoalejemplo1,sisabemosqueCarloscreció0.35men10años,¿cuántocrecióCarlosporaño?Larespuestalaobtenemosplanteandolarazón:
distanciatiempo
200km2horas
100km1horas= =
Cambio en estaturaCambio en tiempo
0.35m10años= =0.035m/año
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i56
Hemosplanteadounarazóndecambio.Unarazóndecambionospermitevercómounavariablecambiaconrespectoaotravariable,esdecir,esuncambiorelativo.Enlasituaciónplanteada,laestaturadeCarloscambióconrespectoaltiempo,arazónde3.5cmporaño.EstonosignificaqueCarloscre-ció3.5cmcadaaño.Pudocrecermásalprincipioyluegodichocrecimientopudohaberdisminuidoydespuésaumentar;peroenpromediosediouncrecimientoenlaestaturade3.5cmporaño.Debidoaesto,realmenteestamoscalculandounarazóndecambiopromedio.Sinembargo,confrecuenciasólousaremos"razóndecambio"envezde"razóndecambiopromedio".
Podemosentonces,definirrazóndecambiodelasiguientemanera:
Razón de cambio,eselcocienteentreelcambioenlavariabledependiente(valordesalida)divi-didoporelcambioenlavariableindependiente(valordeentrada).
Día Profundidaddellagoenmetros
7 15.2914 15.4328 15.5735 15.7142 15.85
Ennotaciónfuncional,decimosque,dadacualquierfunción f(devalorreal)definidaenuninterva-lo[a, b],larazóndecambiopromediodeestafunciónsobreelintervalo,eselcambioenelvalordelafuncióndeaabdivididoporlalongituddelintervalodea ab.
Debidoaqueelcambioenelvalordelafunciónentreaybesf(b)−f(a)ylalongituddelintervalodeaabesb − a,larazónpromediodecambiosobreelintervalo[a,b]es:
Enunescenariográfico,confrecuenciadescribimosestecam-bioenlavariabledependientedivididoporelcambioenlainde-pendientecomo“elevación sobre avance”,queeslapendientedelarectaatravésde(a,f(a))y(b,f(b))talycomosemuestraenlafiguradeladerecha.
"Elevación"correspondealcambioverticalenlagráfica(cam-bioeny),encontrasteaun"avance",quecorrespondeauncam-biohorizontalenlagráfica(cambioenx).
f(a)
a b
f(b)
(a, f(a))
(b, f(b))
b - a avance
elev
ació
n
f(b) - f(a)y = f(x)
x
f(x)
Cambio en valor de salidaCambio en valor de entrada
yfinal−yinicialxfinal−xinicial
∆y∆x =Razóndecambio==
f(b)−f(a)b−a
∆y∆xRazóndecambio==
1. Unvigilantedeunparquemidelaprofundidaddelaguaenunlagoenelmismositioduranteunperiododevariassemanasyregistrólosresultadosenunatabla:
a. ¿Cuálfueelcambioenprofunidaddesdeeldía7hastaeldía14?b. ¿Cuálfueelcambioenprofundiaddesdeeldía14hastaeldía28?c. ¿Cuálfuelarazóndecambiopromedioenprofunidaddesdeeldía7
hastaeldía14?¿Desdeeldía14hastaeldía28?¿Desdeeldía7hastaeldía42?
Actividad 21
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 57
El área A de cualquier cuadrado es función de suladolyestádadaporlafórmulaA(l)=l2.Silcrece,entonceseláreatambiéncrece.a. ¿En cuál de los siguientes intervalos crece con
mayorrapidezeláreadelcuadrado?a.1Cuandolcambiade0a1metro.a.2Cuandol cambiade1a2metro.a.1Cuandol cambiade2a3metro.
b. ¿Larapidezconlaquecreceeláreaesconstanteotambiéncambia?
Actividad 22
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
0 1 2 3 4
16
14
12
10
8
6
4
2
Longitud (m)
Áre
a (m
2 )Larazóndecambiodeunafunciónesunmedioimportanteparadescribirla.Lafunciónquepresen-
talarazóndecambiodemaneramásexplícita,eslafunciónlineal.
Losvaloresenlatablaindicanqueporcadaincrementoeneltiempode1hora,ladistanciaquereco-rreelavióndesdeelpuntodepartidaaumenta900km.Larazóndecambioes:
1800−9002−1
900−01−0
9001
2700−18003−2===...==900
Observación.Paraéstarepresentacióntabulardelafunción,elaumentoaditivoconstantede900,enlosvaloresdesalida,esigualalarazóndecambio;sucedeasí,porquelosvaloresdeentrada,aumen-tanenunaunidad.
Estarazóndecambiotambiénpuedecalcularseconparesdevaloresnoconsecutivos;porejemplo:
Funcioneslineales
Sidefinimosgeométricamentealasfunciones,esdecir,siatendemoslaclasedegráficaquetienen,en-tonces,una función es lineal si su gráfica está sobre una línea recta.Comoconsecuenciadeestehecho,lasfuncioneslinealestienenotracaracterísticarelacionadaconlasrazonesdecambio.
Recordemoslasituacióndelaviónquevuelaa900kmporhora.Lasiguientetablailustraelcompor-tamientodeestafunciónbajounenfoquedecovariación.
+900 +900+900 +900+900 +900+900 +900+900
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 2700 3600 4500 5400 6300 7200 8100 9000
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i58
4500−18005−2
27003==900
9000−180010−6
36004==900
t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 2700 3600 4500 5400 6300 7200 8100 9000
5−2=+3 10−6=+4
4500−1800=+2700 9000−5400=+3600
Enestapresentación,noseaprecianaumentosconstantes,perotenemosentodosloscasos,razonesdecambioes900.Apartirdeestosresultadospodemosestablecerelsiguientepatrón:
Funcioneslinealesestáncaracterizadasporunarazóndecambioconstante
Ciertamente,lasfuncioneslineales,secaracterizanportenerunaumento aditivo constante;pero,éstopuedeapreciarsesólocuandolosvaloresdeentradacambiandemanerauniforme.Porejemplo,latablaanterior,bienpodríaconsistirdelossiguientesvalores:
t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 5 6 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 4500 5400 9000
5−2=+3 10−6=+4
4500−1800=+2700 9000−5400=+3600
Paravisualizarlarazóndecambioenunagrá-fica, recordemos la gráfica de esta situación delavión.Entalgráfica,formamostriángulosconunsegmentohorizontalquellamaremos“avance”(ladiferenciaentredosvaloresx),unsegmentover-ticalquedenominaremos“elevación”(ladiferen-ciaentredosvaloresy),yunsegmentodelarectamisma. Triángulos como éstos, se denominantriángulos de pendiente, y a la razón elevación/avance,seledenominapendiente de la recta,yserepresentaconlaletram.
Elevación (+1800)
0 1 2 3 4
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
X
y = f(x) = 900x
Avance (+2)
Elevación (+900)
Avance (+1)
tiempo transcurrido (horas)
dist
anci
a re
corr
ida
(km
)
pendiente=m====900ElevaciónAvance
18002
9001
pendiente=m=Razóndecambio==∆y∆x
f(b)−f(a)b−a
Además,puedeobservarseque,loquehemosdenominado"elevación",correspondeauncambiover-ticalenlagráfica(cambioendistancia),encontrasteaavance,quecorrespondeauncambiohorizontalenlagráfica(cambioeneltiempo).Entonces:
Observación.Aunqueutilizamoseltérmino“elevación”,esta“elevación”esnegativacuandolaincli-nacióndelarectaeshaciaabajo;encontraste,asumimosque“avance”siempreespositivo.
Elevación (+)
Avance (+)
Recta con pendientepositiva
Elevación (- )
Avance (+)
Recta con pendientenegativa
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 59
Funciones de variación directa
Elejemploanteriordelasituacióndelavión,esunafunciónlinealpuestoquesugráficaestásobreunarecta.Peroéstafunciónenparticular,tieneotracaracterísticaespecial:pasaporelorigen.Funcionescomoéstasedenominanfuncionesdevariacióndirecta,y,sedicequelasvariablesinvolucradas,varíandirectamenteproporcional.Lavariacióndirectapuededefinirseentérminosdevariabledelasiguientemanera
Sedicequelavariableyesdirectamenteproporcionalalavariablexsi:y=kx
Enelejemplomencionado, “ladistancia recorridaporel aviónvaríadirectamenteconel tiempotranscurridosegúnlafórmulad=900tóy=900x.
En términos de funciones, una variación directa, esunafunción,dondelarazónentreunnúmeroydelran-go(númerodesalida)yelcorrespondientenúmeroxdeldominio(númerodeentrada),eslamismaparatodaslasparejasdelafunción.
Esdecir,si(x1,y1)y(x2,y2)soncualesquieradosparesordenadosdelafunción,entonces,secumpleque:
y1=kx1→y1/x1=ky2=kx2→y2/x2=k,entonces:=
y1x1
y2x2
Estaeslabienconocidaregla de tres.Paraencontrarlaexpresiónalgebraicadelafunciónen
términosdem,consideremoslafiguradeladerechaenlaqueunodelospuntostieneporcoordenadas(1,m),yelsegundopuntotienecoordenadasgenéricas(x,y):
PuestoquelostriángulosOACyOBPsonsemejantes,secumpleque:=
(x1, y1)
(x2, y2)
y = f(x) = kx
x1
y1
x2
y2
x
y
O(0,0)
y1
x1
y2
x2= = k
C(1, m) P(x, y) = P(x, f(x))
y = f(x)
1
m
xX
Y
O(0,0)
y
y
A Byx
m1
Resolviendoparay,obtenemos:y=mx.Obien:f(x)=mxEstassonlasfórmulasdelasfuncionesdevariacióndirectamenteproporcional.Acontinuación,averiguaremoslafórmulaparaaquellasfuncionesquesonlinealesperonosonde
variacióndirecta.
Fórmuladelasfuncioneslineales
Funcioneslinealessonútilesparamodelarmuchassituacionesdelmundoreal.Lasiguienteactividadexploraunasituacióndeestetipo:
Unvendedordeuniformes,paga$26,250porlacomprade100uniformesgrabadosconlasinicia-lesdequienlocompra,yvenderáa$350cadauniforme.(a)Describirenpalabraslarelaciónentregananciayelnúmero de uniformes vendidos;(b)¿Quépatronespuedesencontrarenlamaneraenlacualunacantidadvaríaenrelaciónconlaotracantidad?;(c)Escribeunareglaoexpresiónparaestarelación;(d)Utilizaunsoftwaredinámicoparatrazarlagráficadeestafunción;(e)Trazasobrelagráficaalmenosdostriángulosdependienteyutilízalosparacomprobarquelarazóndecambioesconstante.
Actividad 23
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i60
Ganancia(total),esunafuncióndelnúmerodeuniformes vendidosysedeterminaporelingresodevendernuniformesa$350lapieza,menoselgastodelvendedor($26250)alcomprar100uniformes.Puestoqueseempiezaconunadeudainicial(inversión)de$26,250.00,podemosestablecerquealte-ner0uniformesvendidos,lagananciaesde-$26,250.00,y,apartirdeesemomento,porcadauniformevendido,seiráreduciendoesadeudaen$350.00,hastallegaraunpuntoenquerealmenteempieceahaberganancias.
Uniformesvendidos(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ganancia(G) -26250 -25900-25550 -25200 -24850 -24500 -24150 -23800 -23450 -23100 -22750
+1 +1+1 +1 +1+1 +1+1 +1 +1
+350 +350 +350+350 +350+350 +350 +350+350 +350
Razón de cambio====350∆G∆n
3501
Cambioen GCambioen n
Razóndecambio====350∆G∆n
350010
Cambio en GCambio en n
Porcadauniformevendido,lagananciaseincrementaenunacantidadconstantede$350.
Larazóndecambioes:
EnlasiguientetablavemosvaloresdeG,paraincrementosden(uniformesvendidos)distintosde1.
+350 +350 +350+350 +350+350 +350 +350+350 +350
Uniformesvendidos(n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ganancia(G) -26250 -22750 -19250 -15750 -12250 -8750 -5250 -1750 +1750 +5250 +8750
+10 +10 +10 +10+10 +10 +10 +10 +10 +10
Enesta tabla, seapreciaque lagananciaaumentaporunacantidadconstantede$3500porcadaaumentoen10enelnúmerodeuniformesvendidos.Entonces:
Observación.Enlatablaqueconsideravariacionesunitariasden,lasdiferenciasentrevaloresdeGsonigualesalarazóndecambio(350=350/1).Sinembargo,enlaotratablaconvariacionesenndis-tintasde1,lasdiferencias(3500),nosonigualesalarazóndecambioquesiguesiendo350.Lasrazonesdecambiodeunafunción,sonrazones,nodiferencias.
Paraencontrarunaexpresiónalgebraicaquerelacionegananciaconnúmerodeuniformesvendidos,debemostenerencuentadoscuestiones:primero,porcadauniformevendido,elgruporecibe$350.Esta ideasepuederepresentarcon350n.Segundo,estaexpresiónnotieneencuenta los$26250dedeudaporcomprar100uniformes;portanto,necesitamos incluir -$26250en lareglade la función,quedandocomo,G(n)=350n–26250.
Acontinuaciónsepresentaunapartedelagráficadeestafunciónsobrelaquesehantrazadodostriángulosdependiente:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
10000
5000
0
-5000
-10000
-15000
-20000
-25000
-30000 Avance(+20)
Avance(+15)
Elevación(+700)
Elevación(+5250)
(20, -19250)
(90, 5250)
Gan
anci
a (G
)
Númerodeuniformesvendidos(n)
G(n) = 350n – 26250
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 61
Utilizandoestostriángulos,lafórmuladelafunción,yladefiniciónderazóndecambioennotaciónfuncionalobtenemos:
Intervalo[0,20]:
Intervalo[75,90]:
Unavezmás,hemosdemostrado,queenunafunciónlineal,larazóndecambiopuedeobtenerseconcualesquieradosparesdepuntos(ocualesquieradosparesdetriángulosdependiente).
Ladefinicióngeométricade funciones lineales, como funcionesqueyacensobreuna recta,y losconceptosde lasemejanzadetriángulos,nospermitiránencontrar la fórmulaquecaracterizaaestasfunciones.
Seaf(x)unafuncióncuyagráficayacesobreunarecta.Seab= f(0)ym lapendientede larecta; SeaP(x, y) unpunto genérico sobre larecta(peronosobreelejeX).Conbaseenestainformaciónyteniendoencuentaquelapen-dientempuedeserilustradaencualquiertrián-gulopendiente,podemosdibujarlosiguiente:
A(0,b)
P(x, y) = P(x, f(x))y = f(x)
1
m
x X
Y
O(0,0)
y
y CB
D
1
b
y-b
700020==350
∆G∆npendiente=m=Razóndecambio===G(20)−G(0)
20−0(350(90)−26250)−(350(0)−26250)
20
525015==350
∆G∆npendiente=m=Razóndecambio===G(90)−G(75)
90−75(350(90)−26250)−(350(75)−26250)
20
PuestoquelostriángulosABDyACPsonsemejantes,secumpleque:=y−bx
m1
Resolviendoparay,obtenemos:y=mx+b.Puestoquey=f(x),podemosescribir:f(x)=mx +b
Resumiendo:
Lasfuncioneslinealesestáncaracterizadasporunarazóndecambioconstanteytienenunafórmu-ladeltipof(x)=mx+b,dondemeslarazóndecambioconstante(pendientedelarecta),ybeselvalordeycuandox=0(intersecciónconeleje Y).
Sib=0,lafunciónlinealcontienealpunto(0,0),yesdevariacióndirectacuyaecuación,yasabemosquees,y=mx.
Yaestamosencondicionesdedeterminar la expresiónalgebraicade toda funciónque sea lineal.Estudiaelsiguienteejemplo:
Ejemplo 1Determinasilafunciónexpresadaenlatabladevaloresdeladerecha,eslineal.Encasodequelosea,determinatambiénsuexpresiónalgebraica(regla).
x y0 −11 42 93 144 19
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i62
Puestoquelosvaloresenlasentradas,aumentanenunacanti-dadconstante,podemoscalcularsobrelatabla,lasdiferenciasenlosvaloresdesalida.Enestafunción,paracadaaumentoen1en la variable independiente, el valorde la variabledepen-dienteaumentaenunacantidadconstante.Porlotanto,esta-mosenpresenciadeunafunciónlineal.Entonces,suecuaciónesdelaforma:y=f(x)=mx+b.
Losvaloresquedebemosdeterminarsoneldem(razóndecambio)yeldeb(valordeycuandox=0).
Cálculodem.m=Razóndecambio====5
Solución
+1↓+1↓+1↓+1↓
4−(−1)=5
9−4=5
14−9=519−14=5
x y0 −11 42 93 144 19
Determinacióndeb.Puestoquey=−1,cuandox=0,entonces,b=−1.Sustituyendoestosvaloreseny=f(x)=mx+b:
y=f(x)=5x+(−1).y=f(x)=5x−1).
∆y∆x
51
Cambio en yCambio en x
Representagráficamentelafunciónanterior,ydeterminalapendienteatravésdeuntriángulodependiente.
Actividad 24
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Cálculodeb.Enestecaso,noconocemoselvalordey cuandox=0.Asíque,debemoscalcularlo.Puestoquem=2,lafórmula"parcial"deestafunciónes:y=f(x)=2x+b.Pero,yasabemosquecualesquierpardepuntos(x,y)delafunción,essolucióndesuecuación.Siescogemoselprimerpardevalores:x=15,y=62.Sustituyendoestosvaloreseny=f(x)=2x+b: 62=f(15)=2(15)+b.Despejandoab:62=2(15)+b.62−30=b.b=32.
Estafunción,aunquenopresentaaumentosuni-tariosen losvaloresdeentrada,éstosaumentossonconstantes;asimismo,losvaloresdesalidapresentanaumen-tosconstantes.Porlotanto,estamosenpresenciadeunafunciónlineal.Entonces,suecuaciónesdelaforma:y=f(x)= mx+b.
Ejemplo 2Determinasilafunciónexpresadaenlatabladevaloresdeladerecha,eslineal.Encasodequelosea,determinatambiénsuexpresiónalgebraica(regla).Solución
x y15 6220 7225 8230 92
+5↓+5↓+5↓
72−62=10
82−72=10
92−82=10
x y15 6220 7225 8230 92
∆y∆x
105
Cambio en yCambio en xCálculodem.m=Razóndecambio====2
Sustituyendoestevaloreny=f(x)=2x+b,obte-nemoslafórmulapedida:y=f(x)=2x+32
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 63
Ejemplo 3Determinasilatabladevaloresdeladerecha,correspondeaunafun-ciónlineal.
Revisemossobrelatabla,lasdiferenciastantoenxcomoeny:
x −1 0 3 5 8y 3.5 5 6.5 8 9.5
x −1 0 3 5 8y 3.5 5 6.5 8 9.5
+1 +3 +2 +3
+1.5 +1.5 +1.5 +1.5
Estafunción,aunquepresentaaumentosconstantesenlosvaloresdey;éstonoesasíparalosvaloresdex.Porlotanto,estafunciónpodríanoeslineal.Calculemoslasrazo-nesdecambioparaverificarésto:
Nohaynecesidaddeseguirconestoscálculos;bastaconencontrardosrazonesdecam-biodiferentesparaconcluirquelafunciónnoeslineal.
Solución
Razóndecambio====1.5∆y∆x
1.51
Cambio en yCambio en x
Razóndecambio====0.5∆y∆x
1.53
Cambio en yCambio en x
1. Determinasilasiguientetablacorrespondeaunafunciónlineal.Siloes,siguelospasosindica-dosparaencontrarsuexpresiónalgebraica.
x −1 5 9 13 17y −3.25 −0.75 1.75 4.25 6.75
a. ¿Esunafunciónlineal?________¿Porque?_____________________________
b. Laexpresiónalgebraicapedidaesdelaforma____________¿Cuálessonlosdatosnecesariosparaestablcerlaexpresióndeestafunción?____________¿Cuáleslarazóndecambiodelafunción?________¿Cómoseobtieneb(elinterceptoconelejeY?______________Encuentraelvalordeb:Laexpresiónalgebraicaes:____________________
2. ¿Cuálesdelassiguientestablaspodríanrepresentarfuncioneslineales?Encuentralaecuacióndeaquellasquesílosean.
Actividad 25
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
x 0 1 2 3y 27 25 23 21
a. u 0 1 2 3v 5 10 18 28
b. x 5 9 11 14y 20 32 44 56
c.
3. Encadacaso,graficalarectaquepasaporelpuntodado,yquetienelapendientedada. a.(5,−2),m=2b.(−2,4),m=3/4c.(3,1),m=−1/3 d.(0,4),m=−3e.(4,2),m=0f.(−3,1),sinpendiente.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i64
Hemosexploradofuncioneslinealeseidentificadospatroneslinealesdecambioentablas,gráficasyexpresionesalgebraicas.Ahoraconsideramosotrasclasesdefunciones,cuyasrazonesdecambionosonconstantes.Aunqueestasfuncionesnotienenrazonesdecambioconstantescomofuncioneslineales,ellastienenrazonesdecambioquesonpredecibles,yellaspuedenusarseparaparamodelarfenómenosdelmundo-realyrelacionesmatemáticas.
Funcionescuadráticas
Paracontinuarconelenfoquedecovariación,asumiremosquetienespresentelasiguientedefinicióndefuncionescuadráticas:
Lasfuncionescuadráticassonfuncionesquesepuedenescribirenlaformay=f(x)=ax2+bx+cparaalgunasconstantesa,byc,dondeanoes0.
Conlasiguienteactividad,empezaremosaexplorarestetipodefunciones.
Dadalaexpresiónalgebraicadetresfuncionescuadráticas:1. Determina una tabla de valores para cada
unadeellas. ¿Quéobservas?¿Quédestaca?Usaelenfo-
quedecovariaciónydeterminalasdiferen-ciasentrecadaunodelosvaloresinmediatoeinferior.¿Esunafunciónlineal?¿Porqué?
Actividad 26
Podríashaberobservadoqueadiferenciadelasfuncioneslineales,aquí,conformexseincrementaen1,yseincrementaenunacantidadnoconstante.
Aunqueestasfuncionesnotienenrazonesdecambioconstantescomofuncioneslineales,ellastie-nenrazonesdecambioquesonpredecibles,yellaspuedenusarseparamodelarfenómenosdelmundo-realyrelacionesmatemáticas.Lasiguienteactividadtepermitiráavanzarhaciaunacaracterizaciónquehagapredeciblesaestasfunciones.
x y−101234
x y−101234
x y−101234
c.y=x2+5x+2
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Ahora, vamosadarunpasoadicional: en los inci-sosb)yc),determinalassegundasdiferenciasentrecadaunadelasprimerasdiferencias.¿Quéobservas?
Actividad 27
x y−1 30 21 32 63 114 18
−1+1
+3
+5
+7
Primerasdiferencias
Segundasdiferencias
1−(−1)=2
3−1=25−3=27−5=2
a.y=x2+2
a.y=x2+2 b.y=3x2+3x
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 65
Debisteobservarqueenestasfunciones,lasprimerasdiferencias,nosonconstantes,perolassegun-dasdiferencias,sísonconstantes.Estepatrónespecíficodecovariaciónexhibidoporestasfuncionesescaracterísticadelasfuncionescuadráticas.
Silosvaloresdeentradavaríanenformaconstante,ylassegundasdiferenciasenvaloresdesalidasonigualesaunaconstantediferentedecero,entonces,lafunciónescuadrática.
Aúnmás,enlastablasanteriores,losvaloresdeentrada(valoresdex)variaronenunaunidad,porloquelasdiferenciascalculadas,sondehechorazonesdecambio,asíquepodemosasegurarque:
Funcionescuadráticasestáncaracterizadasporrazonesdecambioqueellasmismasestáncam-biandoaunarazónconstante.Enotraspalabras,enunarelacióncuadrática,larazóndecambiodelarazóndecambioesconstante.
Ahorabien,lasfuncioneslinealestienenporgráficaunalínearecta,¿quétipodegráficatendráunafuncióncuadrática?
+18
+24
x y−1 00 01 62 183 364 60
0+6
+12
Primerasdiferencias
Segundasdiferencias
b.y=3x2+3x
x y−1 −20 21 82 163 264 38
Primerasdiferencias
Segundasdiferencias
+4+6
+8
+10
+12
c.y=x2+5x+2
Enlaactividad15yatrabajasteconunafuncióncuadrática,asaberA=l2,quedescribelarelaciónentreeláreadeunaparedcuadradaylalongituddesulado.Enelcontextoparticularconsiderado,sólovalorespositivosdel(longituddeloslados)tienensentido,porloquelagráficaobtenidasólodebetra-zarseenelprimercuadrante,talycomosemuestraacontinuaciónalaizquierda.Sinembargo,éstagráfi-ca(surgidadeuncontexto),espartedelagráficacorrespondienteay=x2,mostradaenlapartederecha:
0 1 2 3 4
16
14
12
10
8
6
4
2
Longitud (m)
Áre
a (m
2 )
A(l) = l2
f(x)
f(x) = x 2
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
16
14
12
10
8
6
4
2
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i66
Desdeelpuntodevistagráfico,unafuncióncuadráticaesaquellaquetieneporgráficaunacurvadenominadaparábola.Portanto,lagráficadecualquierfunciónconunaregladeltipof(x)=ax2+bx+c,paraadiferentedecero,tieneporgráficaunaparábola.
Yaestamosencondicionesdedeterminarlaexpresiónalgebraicadetodafunciónqueseacuadrática.Estudiaelsiguienteejemplo.
Solución Primerorevisemossilafunciónescuadrática.
Porlotanto,elproblemasereducearesolverelsistema:
Enesta función, al variar los valoresxen forma constante, las segundasdife-renciassonvaloresconstantes(+4).Porlotanto,esta-mosenpresenciadeunafuncióncuadrática.Entonces,suecuaciónesdelaforma:f(x)=ax2+bx+c.
El trabajoahora,esdeterminar losvaloresdea,byc.Puestoquetenemostresincógnitas,necesitamosutili-zartrescondicionesquesecumplanparaestasituación.Cadaparordenadodelatablapuedeutilizarse.
Delatablasabemosque:f(0)=5,entonces,f(0)=5=a(0)2+b(0)+c→5=cf(1)=3,entonces,f(1)=3=a(1)2+b(1)+c→3=a+b+cf(2)=5,entonces,f(2)=5=a(2)2+b(2)+c→5=4a+2b+c
EjemploDeterminalaexpresiónalgebraica(regla)delafunciónrepresentadaporlosdatosdelatabladeladerecha.
x y0 51 32 53 114 21
+1↓+1↓+1↓+1↓
x y0 51 32 53 114 21
Primerasdiferencias
Segundasdiferencias
−2 2−(−2)=4
6−2=410−6=4
2
+6
+10
c=5(1) a+b+c=3(2)4a+2b+c=5(3)
→
→→
Sustituyendo(1)en(2)y(3):
a+b+5=3(4)4a+2b+5=5(5)
Porlotanto,larepresentaciónalgebraicadeestafunciónes:y=f(x)=2x2−4x+5
Multiplicando(4)por−4ysumandoelresultadocon(5)
→
Sustituyendo(1)y(6)en(2):a+(−4)+5=3:a=2
Funcionescuadráticassonútilesparamodelarmuchassituacionesdelmundo-real.Lasiguienteac-tividadexploraunasituacióndeestetipo.
−4a−4b=84a+2b=0
−2b=8b=−4(6)
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 67
Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano 1 3 6 10 15 21
+1 +1 +1 +31
+2Primeras diferencias:
Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano 1 3 6 10 15 21
+1 +1 +1 +1
+2+1
+3 +4 +5 +6Primeras diferencias:segundas diferencias:
¿Lafuncióneslineal?_____¿Porqué?__________________________________
c. Lasiguienteopciónesindagarsilafunciónescuadrática;paraellodeterminalassegundasdife-rencias:
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Sevaarealizaruntorneodeajedrez,yunodelosorganizadoresproponequecadaparticipantesa-ludedemanoacadaunodelosotrosparticipantes.Algunosorganizadoresapruebanestaidea,perootrospiensanquetantossaludosdemanopodríanllevarmuchotiempo.Paradecidirlacuestión,alguienpropusoqueseintentaraestimarcuantossaludosdemanopodríanocurrir,suponiendoqueson30losparticipanteseneltorneo.Elnúmerototaldesaludosdemanodependede,oesfunciónde,elnúmerodeparticipanteseneltorneo.Resuelvelassiguientescuestionesparadeterminarcúan-tossaludosdemanoseproducen.
a. Enlasiguientetablaregistraelnúmerodesaludosdemanopara2a7participantes.
Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano
b. Analizalafunciónconunenfoquedecovariación,empezandopordeterminarlasprimerasdife-rencias:
Actividad 28
Debisteencontrarque,lassegundasdiferencias(enotraspalabras,lasdiferenciasquemuestranelcambioenelcambio)sonconstantes.Portanto,estaesunafuncióncuadrática,porloquesuexpresiónalgebraicaesdelaformaf(x)=ax2+bx+c.
Eltrabajoahora,esdeterminarlosvaloresdea,byc.Puestoquetenemostresincógnitas,necesita-mosutilizartrescondicionesquesecumplanparaestasituación.Seaxelnúmerodeparticipantesyf(x)elnúmerodesaludosdemano.
Delatablasabemosque:f(2)=1,entonces,f(2)=1=a(2)2+b(2)+c→1=4a+2b+cf(3)=3,entonces,f(3)=3=a(3)2+b(3)+c→3=9a+3b+cf(4)=6,entonces,f(4)=6=a(4)2+b(4)+c→6=16a+4b+cPorlotanto,elproblemasereducearesolverelsistema: 4a+2b+c=1 9a+3b+c=3 16a+4b+c=6Laactividad25teinvitaaconcluirlaresolucióndeesteproblema.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i68
x 2 4 6 8 10y 1 9 25 49 81
a. u 1 2 3 6v 2 5 10 17
b. x 3 6 9 12y 10 37 82 145
c.
Posición5Posición1 Posición2 Posición3 Posición4
10ángulos0ángulos 1ángulos 3ángulos 6ángulos
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
1. Resuelveelsistema:4a+2b+c=1 9a+3b+c=3 16a+4b+c=6
2. Sustituyelosvaloresdea,bycenf(x)=ax2+bx+c.3. Evalúaf(30). Debesencontrarque f(30)=435.Por tanto, los30participantesproducirán435 saludosde
mano.4. ¿Cuálesdelassiguientestablaspodríanrepresentarfuncionescuadráticas?Determinalaecua-
cióndeaquellasquesílosean.
Actividad 29
5. Considerarlaseriedeángulosformadospor1,2,3,4y5rayosconunextremocomún:
Alconsiderarelnúmerodeposiciónenlaseriecomox,variableindependiente(valordeentrada),yelnúmerodeángulosformadocomoy,variabledependiente(valordesalida),secreaunafuncióndenominadaángulos,conlasiguientetabladevalores:
x 1 2 3 4 5 ny 0 1 3 6 10 f(n)
Compruebaqueestaesunafuncióncuadráticayencuentrasufórmula.¿Cuántosángulosforman10rayos?
Funcionesexponenciales
Otradelasfuncionescongranaplicaciónenlavidarealsonlasfuncionesexponenciales.Lacaracterís-ticaquedefineaestasfuncionesesquecambian(aumentanodisminuyen)muyrápidamenteynoenformaconstantecomoocurreconlaslineales.
Funcionesexponencialesmodelanvariassituacionesdelmundorealenquecantidadesaumentanodisminuyenenunarazónproporcionalalacantidadpresente.Crecimientopoblacionalsobreeltiempoydepreciaciónenvalorsobreeltiemposonambosejemplosdefuncionesexponenciales.Aligualquelas funcionescuadráticas, funcionesexponenciales tienenuna razóndecambioquenoesconstante(comounafunciónlineal)sinoquecambia.Enelcrecimientoexponencial,larazóndecambioaumentasobreeltiempo,peroendecrecimientoexponencial,larazóndecambiodisminuyesobreeltiempo.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 69
Enejemplo2,de lapágina51 exploramosuna funciónque resultó serexponencial.Acontinuaciónreproducimoseltrabajorealizadoconestafunción:
Enlatablaobservamoslosiguiente:• Losvaloresdexaumentanen1,ycadavalordeyes2veceselan-
terior.Esdecir,éstafunciónpresentaunaumento multiplicativo constanteenvaloresdesalida.
• El enfoquepor correspondencianospermitiódeterminar la ex-presiónalgebraicadeestafunción,asaber,y=f(x)=3×2x.
• Puedeobservarsequeelfactorporelquesemultiplicaunvalordeyparaobtenerelsiguiente,eslabasedelexponentexdelaecua-cióndelafunción;estefactorsedenominafactor de cambio.
• Elvalordeycuandoxes0,eselcoeficientededichaecuación.
Enelplanocoordenadodeladerecha,sehanlocalizadolascoordenadasmostradasenlatabla;unelospuntos.¿Quéformatienelagráfica:curvaorecta?¿Podríaserunaparábo-la?Utilizalafórmulaf(x)=3×2xquedescribeaestafunciónparadeterminarmáspuntosquecorrespondanavaloresdex negativos, e inclusive valores decimales tanto positivoscomonegativos.
Definiciónycaracterizacióndefuncionesexponenciales
×2
×2
×2×2
x y0 31 62 123 244 48x ¿?
+1↓+1↓+1↓+1↓
y=f(x)=3×2x
f(x)
f(x) = 3×2x
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
24
21
18
15
12
9
6
3
f(x)
Lafunciónfdefinidaporf(x)=3×2x,paratodonúmerorealxsedenominafunciónexponencialconbase2.
Éstafunciónf(x)=3×2xes creciente,puestoquealmovernosdeizquierdaaderecha,sugráficasube.
Parareforzarlacomprensióndeestetipodefórmula,resuelvelasiguienteactividad:
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Lasiguientetabladedatosrepresentaelcrecimientodeunaplantah,comofuncióndeltiempot.Analizalosdatosparaencontrarunpatróndecomportamientoparaestafunción;paraello,reflexio-naycontestaenlaslíneasloquesetepide.
Tiempot(semanas) 0 1 2 3 4Alturah(mm) 5 7.5 11.25 16.875 25.3125
a. ¿Latabladadacorrespondeaunmodelolineal?______¿Porqué?__________________b. ¿Latabladadacorrespondeaunmodelocuadrático?_____¿porqué?________________c. ¿Cómocrecelaalturadelaplanta?______________________________________d. ¿Quéalturadelaplantaesperasquehayaparalasextasemana?____________________e. ¿Quéhicisteparaobtenerlacantidadanterior?______________________________
Actividad 30
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i70
Paraencontrarestefactor,puedesdividirunvalordesalidaentreelvalordesalidaanterior:Segundo valor de salidaprimer valor de salida ==1.57.5
5Tercer valor de salida
Segundo valor de salida ==1.511.257.5
Cuarto valor de salidaTercer valor de salida ==1.516.875
11.25
Pudistehaberaplicadoelenfoquedecovariaciónyestablecerelsiguientecomportamientodelasprimerasysegundasdiferencias:
Porlotanto,estamosenpresenciadeunafunciónquenoesnilinealnicuadrática.Parapoderavan-zar,envezdeplanteardiferencias,analizamoscadaalturabuscandounfactorconstante;convéncetequeenestafunción,cadavalor(conexcepcióndel0th),seobtienemultiplicandoelanterior,porelfactorconstante1.5,talycomoseobservaenlasiguientetabla:
+1 +1 +1 +1
Primeras diferencias:Segundas diferencias:
+1
+2.5 +3.75 +5.625 +8.4375+1.25 +1.875 +2.8125
Tiempot(semanas) 0 1 2 3 4Alturah(mm) 5 7.5 11.25 16.875 25.3125
Para obtener un valor, el valor previo se multiplica por1.5.
+1 +1 +1+1 +1
×1.5 ×1.5 ×1.5 ×1.5
Tiempot(semanas) 0 1 2 3 4Alturah(mm) 5 7.5 11.25 16.875 25.3125
t h0 51 7.52 11.253 16.8754 25.3125
Paraencontrarhapartirdet,descomponemoslosvaloresdehenfactores,utili-zandoelfactorencontradoytratandodequeaparezcanenfuncióndet.
h t↓5=¿?7.5=1.5×5=5×1.5111.25=1.5×7.5=1.5×1.5×5=5×1.5216.875=1.5×11.25=1.5×1.5×7.5=1.5×1.5×1.5×5=5×1.53
25.3125=1.5×16.875=1.5×1.5×11.25=1.5×1.5×1.5×7.5=1.5×1.5×1.5×1.5×5=5×1.54
Elvalorinicialdehpuedeescribirse:5=5×1.50Concluimosque:h(t)=5×1.5t
Paraobtenerestafórmulah(t)=5×1.5tquedescribelaalturadeunaplanta,consideramosquelosvaloresdeentradaparateranenterospositivos,perolafórmulaparah(t)tienesentidoinclusivecuan-doasignamosatvaloresquenosonenteros.Estafunciónh(t)=5×1.5t,dondetpuedetomartodoslosnúmerosreales,esotroejemplodefunciónexponencial.Estasfuncionessecaracterizanportenerunfactor de cambioconstante;esdecir,podemosidentificarunnúmeroquealmultiplicarloporunvalorpresenteobtenemoselsiguientevalor.Esporesoqueestasfuncionescambianmuyrá-pidamente.
Trazalagráficadeestafunción,enelplanocoordenadodeladerecha.Utiliza su fórmulah(t)=5×1.5t paradeterminarmáspuntos que correspondan a valores de t negativos; si lo consi-deras necesario, también utiliza valores decimales para t tantopositivoscomonegativos.Estafunción,aligualqueladiscutidaanteriormente,tambiénescreciente.
h(t)
t
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 71
Acontinuación realiza la siguiente actvividadque tepermitirá exploraruna funciónexponencialdecreciente.
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Analizalasiguienterepresentacióntabularquecorrespondeaunafunciónexponencial.(a)Calculasufactordecambio,(b)Determinasuecuación,(c)Trazasugráfica,¿Escrecien-teodecreciente?
Actividad 31
x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
60
50
40
30
20
10
f(x)
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3y 96 48 24 12 6 3 1.5 0.75 0.375
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
60
50
40
30
20
10
f(x)
Tu análisis debe permitirte establecer que esta función(cuyagráfica semuestra a laderecha), esdecreciente, yquetieneporfórmula,y=f(x)=3x
Lasgráficasanteriores,muestranquesia>1,entoncesfescrecienteentodoeldominio,y,elejeXesunaasíntotahorizontal.Si0<a<1,entoncesfesdecrecienteeneldominio,conelejeXtambiéncomoasíntotahorizontal.
Engeneral,sepuededefinirunafuncióncuyodominioesRyelrangoeselconjuntodelosnúmerosrealespositivos,talycomosemuestraacontinuación:
(0, b)
y
x(0, b)
y
x
Concepto Definición Gráficadefparaa>1 Gráficadefpara0<a<1Función exponencial fconbaseaeinterceptocony en(0,b)
y=f(x)=baxparatodaxenR,dondea>0ya≠1.
12
Sia=0,entonces,a0=00noestádefinido.Sia=1,entonces,y=b(1)0=b;representaaunarectahorizontal.
Enlafórmulay=f(x)=baxdeunafunciónexponencial,elpará-metrobeselinterceptoconelejeY(elvalordeycuandox=0),alquellamaremosvalorinicial,y,elparámetroasellamabasedelafunciónyrepresentaelfactor de cambiodelafunción.
y=f(x)=baxIntercepto con y
Factor de cambio
(−3)=√−3=noesreal12
(−3)=√(−3)3=noesreal34 4
Convieneaclararporquéexcluimosloscasosa≤0ya=1.Sia<0,entoncesaxnoesunnúmerorealparamuchovaloresdexcomoporejemplo:
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i72
x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
6
5
4
3
2
1
f(x)
Sea:x=−1;→f(−1)=2−1=2=1.3.
Lacurvapasapor(−1,1.3)
23
32
Sea:x=1;→f(1)=21=2=3.Lacurvapasapor(1,3)32
32
Sea:x=2;→f(2)=22==4.5.Lacurvapasapor(2,4.5)92
32
32
Trazodegráficasdefuncionesexponenciales
SoluciónLagráficaesdelaformay=f(x)=bax.Cona>0;porlotanto,representaaunafunciónexponencialcreciente,conintercepto(0,2)yasíntotahorizontalenelejeX.Conestainformación,bastacondeter-minardosotrespuntosadicionalesparauntrazoconfiabledelacurva.
EjemploTrazarlagráficadey=f(x)=2x
x y=3x+10 11 42 73 104 13n y=3n+1
→f(1)−f(0)=4−1=3→f(2)−f(1)=7−4=3→f(3)−f(2)=10−7=3→f(4)−f(3)=13−10=3→f(n)−f(n−1)=3
Ahorabien,puestoque loscálculosanexadosalatabla,serefierenaentradascon1unidaddedi-ferencia,elvalor3,constanteencadadiferenciaentreunvalordesalidayelanterior,estambiénla razóndecambiode la función;por lo tanto,podemosasegurarqueparatodafunciónlineal,con valores de entrada variando uno a uno, secumpleque:
f(n)−f(n−1)=Razón de cambio
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Daunargumentodeporquélarazóndecambiodeestafunciónlineales3,yacontinuaciónverificalavalidezdelassiguientesafirmaciones:
Actividad 33
Debemostenerclaro,queelfactor de cambio,noeslarazón de cambioquehemosvenidotrabajan-do,y,puestoquelanaturalezadelarazóndecambiodeunafunción,determinaeltipodefórmulaquetiene,acontinuaciónrevisaremosquélugarocupalarazóndecambioenlasfuncionesexponenciales.Paraello,volveremosarevisarenlaactividadsiguiente,elcasodeunafunciónlineal,yposteriormentelafunciónexponencial.
a.f(x)=x
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Trazalasgráficasdelassiguientesfuncionesexponenciales:
Actividad 32
12 b.f(x)=2
x12 c.f(x)=1.5
x43
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 73
→f(1)−f(0)=15−5=10=2(5)→f(2)−f(1)=45−15=30=2(15)→f(3)−f(2)=135−45=90=2(45)→f(4)−f(3)=405−135=270=2(135)→f(n)−f(n−1)=2f(n−1)
Al igualqueen la funciónanterior, losvaloresdeentradavaríandeunoenuno,yporlotanto,cadadiferenciaentreunvalordesalidayelanterior,estambiénlarazóndecambiodelafunción;Ade-más,seobservaqueestarazóndecam-bioes2veceselvalordesalidaanterioraltiempoevaluado.Enotraspalabras,la razón de cambio de esta función, es pro-porcional a la población,conconstantede proporcionalidad 2. Esta constantesedenominatasaoritmoconelquelafunciónaumenta(cuandoescreciente),odisminuye(cuandoesdecreciente).
Ahora,haremosunanálisisparecidoalanterior,para la tabladeuna funciónexponencial.Debesconvencertequeelfactordecambiodeestafunciónes3,yacontinuaciónverificalavalidezdelassiguientesafirmaciones:
Ahorabien,siloquesenecesitaparaestablecerlaecuacióndeunafunciónexponencialeselfactordecambio,¿quépapeljueganlarazón de cambioyladenominadatasa de variación?
Siloquetenemoscomoinformaciónesunatabladevalores(comoenlosejemplosprecedentes),loqueprocedeesdeterminarelfactordecambio,pero,lomáscomúnesquesenosproporcionelatasaoritmoconelquelafunciónaumentaodisminuye,talycomosemuestraenelsiguienteejemplo.
EjemploEnel2015,elInstitutoNacionaldeEstadísticayGeografíareportóquelapoblacióndenuestropaísal-canzó119.5millonesdehabitantesconunatasadecrecimientopromediode1.4%anualenlosúltimoscincoaños.Conestatasa,estimarlapoblaciónpara2016y2017.SoluciónPodemosconsiderarquelafechaactualest=0,lade2016est=1,ylade2017est=2,yconstruirlasiguientetabla:
t(años) P(millones)
0 119.5
1 ¿?
2 ¿?
t(años) P(millones)
0 119.5
1 121.2
2 122.9
→ Poblaciónactual:P=119.5
→ P=119.5
→ Poblaciónalpasar1año:P=119.5+1.4%(119.5)=119.5+0.014(119.5)=119.5+1.67=121.2
→ P=119.5+1.4%(119.5)=119.5+0.014(119.5)=119.5(1+0.014)=119.5(1.014)=121.2→ P=121.2+1.4%(121.2)=121.2+0.014(121.2)=121.2(1+0.014)=121.2(1.014)=122.9
→ Poblaciónalpasar2años:P=121.2+1.4%(121.2)=121.2+0.014(121.2)=121.2+1.767=122.9
x y0 51 152 453 1354 405n ¿?
×3
×3
×3×3
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i74
Elanálisisanterior,nospermitellegaralasiguienteconclusión:
Siunafunciónexponencialcrecientetieneunatasadecrecimientoder%cadaaño,elfactordecam-bioseobtienesumandounaunidadaesatasaanual.Similarmente,silafunciónesdecreciente,elfactorseobtienerestandoesatasadelaunidad.Esdecir,
Factordecambio=1+rSilafunciónescrecienteFactordecambio=1−rSilafunciónesdecreciente
Resuelve:¿Cuálserálapoblaciónparat=3?_____________________________Lafórmuladeestafunciónes:_______________Asíque,lacantidadennegritasnosindicaque,silapoblacióndeunciertoañolamultiplicamospor
1.014seobtendrálapoblacióndelsiguienteaño.Esdecir,elfactordecambiodeestafunciónes1.014.Resuelve:Paraestafunción,latasadevariaciónes0.014,ysufactordecambioes1.014,¿quérelación
hayentreellos?_________________________________
EjemploElnúmerodebacteriasdeuncultivoaumenta10%porminuto.Siinicialmentehay1000bacterias,plan-teaunafórmulaquepermitadeterminarelnúmerodebacterias(B)enfuncióndeltiempo.¿Cuántashabráluegodetresminutos?
SoluciónLainformación"aumenta10%porminuto",significaqueestamosenunasituacióndecrecimientoex-ponencial.Porlotanto,laecuaciónausares:f(x)=bax.Deestamismainformación,concluimosquelafuncióntieneunatasadecrecimientoiguala10%.Porlotanto,elfactordecambioaesiguala:1+0.20=1.20.Lainformación"inicialmentehay1000bacterias",nosindicaqueelvalorinicialbesiguala1000.Porlotanto,laecuaciónquepermitedeterminarelnúmerodebacteriasenfuncióndetiempoes:
B(t)=1000(1.20)t.Lacantidaddebacteriasquehabrádespuésde3minutosserá:
B(3)=1000(1.20)3=1000(1.728)=1728bacterias
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
a. Elcenso2010muestraqueciertaregióntieneunapoblaciónde40,000personas.Científicossocialespredicenqueestaregiónexperimentaráunatasadecrecimientode5.5%alaño.SeaP lafuncióntalqueP(t)eslapoblaciónpredichaparaestaregión.Determinalafórmulaparaestafunción,y,encuentralapoblaciónquehabráen2020silatasadecrecimientonocambia.
Actividad 34
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 75
Puestoquelafunciónesexponencial,laecuaciónausaresf(x)=bax.Delatablaobservamosqueb=3(valordeyparax=0).Entonces,podemosescribir:f(x)=3ax
Elusodelafórmulaf(x)=bax,sóloesválidosilosvaloresdelavariableindependientevaríandeunoenuno.Cuandoéstenoseaelcaso,el factordecambioesafectadoporunexponente.Paraqueesteexponentesemanifieste,no debemos sustituir directamenteenf(x)=bax,dichofactordecambio,sinoprocedertalycomoseindicaenelsiguienteejemplo:
Enlatablasiguientesemuestraunafunciónqueesexponencialconfactordecambioiguala5.deter-minarsuecuación
Establecerlafórmuladeunafunciónexponencialenlaquelosvaloresdeentradanocambiandeunoenuno
×5
+2
×5
+2
×5
+2x(años) 0 2 4 6
y(poblaciónenmillones) 3 15 75 375
Latablatambiénnosindicaqueelfactordecambioes5,perolosvaloresdexnocambiandeunoenuno,sinodedosendos.Éstonosimpidesustituirdirectamenteel5enlafórmula,porloqueprocede-moscomoseindicaacontinuación:
Yasabemosquelaecuaciónbuscadatienlaformar:f(x)=3ax
Pero,tambiénconocemostresparesdecoordenada(x,y)quedebensatisfaceresaecuación.Sielegimosx=2,ysurespectivaimageny=15,entoncessedebecumplirque:
f(2)=15=3a2
Despejandoa:15=3a2
Porlotanto,laecuaciónbuscadaes:f(x)=3((5)1/2)x=3×5x/2,engeneral,podemosconcluir:Enunafunciónexponencialconvalorinicialbyfactordecambioa,silosvaloresdexcambiandenenn,lafunciónquedaexpresadadelaformaf(x)=bax/n.
Acontinuaciónresolveremosalgunosejemplosqueconsistenendeterminarlafórmulaomodelodefuncionesexponenciales.
153 =a2
5=a2
(5)1/2=a → Ésteeselvalordeaquedebesustituirseenlafórmulaoriginalf(x)=bax
EjemploApartirdelasiguienterepresentacióntabularquecorrespondealaevolucióndeciertapoblación,de-terminalafórmuladelafunción.
x(años) 0 20 40 60y(poblaciónenmillones) 5 15 45 135
SoluciónPrimerodebemosidentificarquétipodefunciónes;veamossieslineal:
+10 +30 +90
+20 +20 +20x(años) 0 20 40 60
y(poblaciónenmillones) 5 15 45 1351020
3020
9020
Razonesdecambio:≠≠
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i76
Lafunciónpresentaal3comounfactordecambioconstante.Porlotanto,éstafunciónesexponencial.Ahorabien,puestoquelosvaloresdeentradavaríande20en20,nodebemosusarlaecuaciónf(x)= bax,sinoecuaciónmodificada,f(x)=bax/n.
Losdatosquenecesitamosconocerson,b,ayn.Enestecaso,lainformaciónproporcionadanospermi-teestablcerdemaneradirectaestosvalores,asaber:b=5,a=3yn=20.
Entonces,laecuacióndeestafunciónes:f(x)=5(3)x/20:
Deestaformaquedaindicadoqueelfactordecambiodelapoblaciónescada20años.Sinembargo,aplicandoleyesdeexponentes,podemosescribirf(x)=5(31/20)x;Elevando3alexponente1/20,laecuaciónquedaexpresadacomof(x)=5(1.056467)x.Estaexpresión,yapresentaunfactordecambioparavaloresdesalidaquepuedenobtenersecuandolosvaloresdeentradavaríandeunoenuno.
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Enlatablaadjunta,semuestraelcrecimientodelapoblacióndeciertaciudad,elcualhasidoexponencialenelperiodode1990a2015.a. Planteaunafórmulaparaestapoblaciónenfuncióndeltiempo.b. Decontinuaresatendencia¿cuálserálapoblaciónen2020?
Actividad 35
Año 2010 2015Habitantes 345,291 1,536,723
Funcioneslogarítmicas
Lasfuncioneslogarítmicastienenampliasaplicaciones,peroenelpresenteestudiosóloatenderemoslosaspectosquesonnecesariosparacomplementaralgunoscálculosimplicadosenlasfuncionesexpo-nenciales.
¿Quéesunlogaritmo?Iniciemosresolviendolaecuación:2x=32Paracalcularelvalorde x,contestemoslapregunta:¿aquéexponentehayqueelevarlabase2para
obtenerelnúmero32?Larespuestaes5puestoque:25=32Éstenúmerox=5,recibeelnombredelogaritmo base2de32ysedenotapor:5=log232
EjemploResolver10x=10,000Solución Larespuestaesx=4puestoque:104=10,000Éstenúmerox=4,recibeelnombredelogaritmo base10de10,000ysedenotapor:4=log10,000Observación:¿Porquénoseescribe4=log1010,000?Porquecuandosetratadelabase10éstanoseescribe.Portanto,siemprequeveamosescritolog n,debemossobreentenderquelabasees10.
logn=log10n
155
4515
13545Factordecambio:===3
Lafunciónpresentarazonesdecambiodedistintovalor.Porlotanto,lafunciónnoeslineal.Revisemossilafunciónpresentaunfactordecambioconstante:
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 77
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Revisalassiguientesproposicionesqueserefierenanotaciónlogarítmica,einterpretasusignificadoentérminosdeexponentes.Sigueelejemplo. Ejemplo:log5u=2→Significa:"elexponentealquehayqueelevarlabase5paraobtenerues2;
esdecir,lanotaciónlog5u=2,esequivalentea52= u". logb8=3→Significa:________________________________________________ r=logpq→Significa:________________________________________________ w=log4(2t+3)→Significa:___________________________________________ log x=3z→Significa:_______________________________________________
Actividad 36
Dadaunaecuaciónexponencial,despejarsuexponente
Enlosejemplospreviosenlosquesepedíaelvalordeunexponentex,nohubonecesidaddedespejarx.Sinembargo,¿cómoresolverporejemplolaecuación3x=25?
Esaquídondeaplicaremosloslogaritmos.Paraello,razonamosenformainversaacomosehizoenlaactividadprevia:esdecir,debemospasardelaformaexponencialalalogarítmica.
EjemploResolver10x=25
SoluciónRazonandoenfuncióndelanotaciónlogarítmica,procedemoscomosigue:Puestoqueelexponenteesellogaritmo,labasees10yloquedebeobtenersees25,ecribimos:
x=log1025.Pero,aquílabasees10,asíqueescribimos:x=log25.Leemos:"xesellogaritmobase10de25".Ahorabien,¿cómodeterminamoselvalordelog25?Debemosusarunacalculadoracientífica,enlaque,paradeterminarlog25,pulsamoslassiguientesteclas:
log25=Yobtenemos:1.398.Entonces,elvalordexen10x=25esx=1.398.Esteprocedimiento,que sebasaen la equivalenciaentre logaritmosyexponentes,puedecambiarseporunoqueconsisteenlaaplicacióndelasiguientepropiedad,quenospermite"bajar"elexponenteconvirtiéndoloencoeficiente:
loga(uc)=clogau
Argumentación: Sear=loga uEntonces,ar=u Interpretacióndelogaritmocomoexponenteuc =(ar)c Elevandoambosladosalapotenciac.uc=acr Propiedaddeexponentes.loga(uc)=loga(acr) Extraerlogaaambosladosloga(uc)=cr Interpretacióndelsignificadodelogaritmo.loga(uc)=cloga u Definiciónder.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i78
Ejemplo 1Despejarx,de5x=N
Ejemplo 2Despejar10x=16
Ejemplo 3Miltruchas,cadaunadeellasde1año,seintroducenenungranestanque.SepronosticaqueelnúmerodeN(t)todavíavivasdespuésdetañosestarádadaporlaecuaciónN(t)=1000(0.9)t.¿Enquétiempo500truchasestaránvivas?
Solución
Solución
Extrayendologaamboslados:log(5x)=log N xlog5=log NPropiedad de logaritmos
Extrayendologaamboslados:log(10x)=log 16 xlog10=log 16Propiedad de logaritmos
SoluciónDelaecuaciónN(t)=1000(0.9)t,sabemosqueN(t)=500,ysenospreguntacuálesvalordetparaquesecumpladichacantidad.Elproblemasereducearesolverlaecuación:
log Nlog5x =Dividiendo ambos lados entrelog5
log 16log10x =Dividiendo ambos lados entrelog5
1.2041x ==1.204
500=1000(0.9)t
5001000 =0.9t
log0.5log0.9 =t
−0.301−0.046 =t
0.5=0.9t
log0.5=log(0.9t)log0.5=tlog(0.9)
t=6.54.Porlotanto,enelestan-que habrá 500 truchas en 6.54años
Extrayendologaamboslados:
3. Cienrenos,cadaunodeellosde1añodeedad,seintroducenenunareservadecaza.ElnúmeroN(t)vivosdespuésdetañossepronosticaqueesN(t)=100(0.9)t.Estimaelnúmerodeanima-lesvivosdespuésde:(a)1año;(b)5años;(c)10años.
4. Conlainformacióndelproblemaanterior,contesta:¿Cúantosañosdebenpasarparaquehaya10animalesvivos?
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
1. Resolverlasecuacionessiguientes: a.2x+1=3x b.72x−1=43x−2 c.2.97x=2.71x+2
2. Resolverlossistemasdeecuacionessiguientes:
Actividad 37
a.52x+3y=12023x+5y=30
b.134x−y=1575x−y=50
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 79
Cerraremosestaintroducciónaloslogaritmosconladefinicióndefunciónlogarítmicayeltrazadodesugráfica.
Seaaunnúmerorealpositivodiferentede1.La función logarítmicasedefinecomoy=f(x)=logaxsiysólosix=ay
paratodax>0ytodonúmerorealy.
Gráfica de la función logarítmica
Parapoderdeterminarunatabladevalores,necesitamosutilzarunacalculadora;sinembargo,puestoqueéstasólotrabajaenbase10,necesitamosunapropiedadquenoscambiecualquierbaseaunabase10.Éstapropiedadeslasiguiente:
logbu= loga uloga bSiu>0ysiaybsonnúmerorealpositivodiferentede1,entonces
Argumentación:Seanlassiguientesproposicionesequivalentes
w=logbuybw=uentoncespodemosestablecerque:
bw=u Enunciado loga(bw)=loga(u) Extraerlogaaamboslados wloga(b)=loga(u) Propiedaddelogarimtos
loga uloga bw=Dividiendoentreloga b
loga uloga blogb u=Sustituyendoelvalordew
log21===0log1log2
00.30
log22===1log2log2
0.300.30
log23===1.6log3log2
0.480.30
log24===2log4log2
0.600.30
log25===2.3log5log2
0.700.30
x - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
f(x)
EjemploTrazalagráficadey=f(x)=log2x.SoluciónTabulemosalgunospuntos(tenerencuentaque la calculadoranonosproporciona logaritmosparabasesdiferentesde10,yaquílabasees2).Loscálculosylagráficasemuestranacontinuación.
x 1 2 3 4 5f(x) 0 1 1.6 2
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i80
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3
Actividad 38
Actividad 39
a. Enlagráficaanterior,verificaquex=0esunaasíntotaverticaldey=f(x)=log2x.
b. Enelmismoplanoenelquedibujastelagráficadey=f(x)=log2x,trazalasgráficasdey=f(x)= 2xyladey=f(x)=x.¿Quéobservas?
c. Ahora,enelmismoplanotrazalagráficadey=f(x)=x2,eneldomino[0,∞),ladef(x)=+√xylagráficadef(x)=x.¿Quéobservas?
1. Mediantetabulación,trazalasgráficasenelmismoplanocoordenadolassiguientesfunciones: a.f(x)=log3x, yf(x)=3xb.f(x)=logx,yf(x)=10xc.f(x)=log4x, yf(x)=4x
2. Utilizandolasgráficasqueobtuvistedelincisoa,yelmétododelastransformaciones,delasec-ción1.4,trazalasgráficasdelassiguientesfunciones:
a.f(x)=log3(x+2);b.f(x)=3x+1;c.f(x)=log(x−1); d.f(x)=10x−1;e.f(x)=log4(x +1);f.f(x)=4x+13. UtilizandoelsoftwareDesmos,trazalasgráficasdetodaslasfuncionesdelaactividadanterior,
yverificasilasquetuobtuviste,coincidenconlastrazadasconelsoftware.
Debellamartelaatención,quelasfunciónf(x)=log2x,esunreflejodef(x)=2xsobrelarectadadaporf(x)=x,ytambiénquelagráficadef(x)=x2esunreflejodef(x)=+√xsobrelarectaf(x)=x..
Las funciones que cumplen con esta propiedad, se llaman funciones inversas. Así, las funcionesf(x) =log2x,yf(x)=2xsonfuncionesinversas.Tambiénf(x)=x2esinversadef(x)=+√x.
Paralainterpretacióndegráficasfuncionales,podemosguiarnosconlassiguientescuatropreguntasysusrespectivasacciones:
1) ¿Qué cambia?Pararesponder,debemos:identificarvariables,ubicarpuntosenelplanoydeter-minarlosintervalosdevariación.
2) ¿Cuánto cambia?Serequierehacercomparacionesyoperacionesentrevaloresdeentradayva-loresdesalidadelafunciónyatenderlacovaraciónentreloscambios.
3) ¿Cómo cambia?Éstosedeterminaestableciendoelcrecimientoydecrecimientodelagráfica.4) ¿Qué tan rápido cambia?Paracontestar,debemostenerencuentalarazóndecambiopromedio
delavariabledependienteenrelaciónconlaindependiente.
1.6 Interpretación de gráficas cartesianas
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 81
a. ¿CuáleraelpesodeJoséalosnueveaños?¿yeldeRosaalosdiecisiete?b. ¿AquéedadJosépesaba50kg?¿yRosa20kg?c. ¿CuándoJosépesabamenosde50kg?¿yRosamenosde30kg?d. ¿CuándoJosépesabamásqueRosa?¿Cuándopesabanigual?e. ¿CuálfueelaumentodepesodeRosaentrelosdiezylosquinceaños?f. ¿Cuálfueelaumentopromedioporañoenelperiodoanterior?g. ¿CuándoaumentóRosamásrápidamentedepeso?¿yJosé?
0 1 2 3 4 5 6
80
60
40
20
t (segundos)h
(met
ros)
h(t) = 4.9t2
g(t) = 0.8t2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
80
70
60
50
40
30
20
10
peso
(kg)
Edad(años)
José
Rosa
EjemploEnlailustraciónadjunta,sehangraficadolasfuncionesh(t)=4.9t2ygt=0.8t2quedescribelacaídalibredeloscuerposenlasuperficieterrestre,yenlasupeficielunarrespectivamente.SupóngasequedoscuerpossedejancaersimultáneamentetantoenlaTierracomoenlaLuna.¿Cuáldeelloscaeconmayorrapidez?
Solución Sepuedeobservarqueeninterva-los igualesde tiempo, los cuerposrecorrenmayordistanciaen lasu-perficieterrestre;enotraspalabras,larazóndecambiod/tcon laquecaen los cuerpos es mayor en laTierraqueenlaLuna.
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3Actividad 40
1. Enlasiguientegráficasemuestralaevolucióndelpesodeunjovenyunajovenhastalosveinteaños.Contestalassiguientespreguntas:
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i82
2. Lasiguientegráficamuestraladistanciarecorridapordosautomóvilesalrealizarelmismoviajede80km.Contestalassiguientespreguntas:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
80
70
60
50
40
30
20
10
Dis
tanc
ia (k
m)
Tiempo(min)
Automóvil 1
Automóvil 2
2 1
a. ¿Aquéhorasaliócadacoche?¿Cuálllegóantes?¿Cuálinvirtiómayortiempoenrealizarelrecorrido?
b. ¿Cuántotiempoestuvoparadocadacoche?¿Enquékmsedetuvieron?c. ¿Cuándolavelocidaddelprimercochefuemayor?¿Yladelsegundo?
3. Lasiguientegráficarepresen-talacantidaddegasolinaquehayeneldepósitodeunco-chea lo largodeunviajede300km.a. ¿Cuántos litros tenía el
depósitoalasalida?b. ¿Enquékilómetroseen-
contrabacuandotenía10litros?¿Ycuándoteníaeldepósitomáslleno?
c. ¿Qué sucedió en el km80?¿Yenel240?
d. ¿Cuándopusomásgaso-lina?
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Gas
olin
a (li
tros)
Distancia(km)
e. ¿Cuántoslitrosgastóduranteelviaje?¿Cuándogastómásgasolina?f. ¿Cuálfueelconsumomedio(litrosporcada100km)enesteviaje?g. ¿Sepuedesabereltiempoquetardóenhacerelviaje?¿Ylavelocidad?
4. Queremosrepresentarunagráficaparadescri-birlavariacióndevelocidadqueexperimentaunapelotadebásquetbolenunlanzamientodetrespuntos,desdeelmomentoenquesaledelasmanosdel jugadorhastaque llegaa laca-nasta.a) ¿Cuáldelasdosgráficasadjuntascreesque
esmáscorrecta?b) ¿Porqué?
Tiempo
Velo
cida
d
Tiempo
Velo
cida
d
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 83
EjemploEnelcontextodelllenadoderecipientes,unadelascuestionesquepuedeplantearsees:Cuandoviertesaguadeungrifoenunrecipientecilíndrico,quenotienefugas,avelocidadconstante,laalturadelaguaesunafunciondeltiempo.Dibujalagráficadelafunciontiempo-alturadelrecipientecilíndrico.
Solución Sepodríarazonardelasiguientemanera:Sisuponemosquepor cada unidad de tiempo,elniveldelaguaenelcilindroaumenta una unidad aenlaaltura,tenemosque
h
0 1 2 3 4 5 6
4a
3a
2a
a
Tiempo
Alt
ura
Tiempo Altura01234..t
0a2a3a4a..ta
+a
+a+a+a
+a
EjemploSetienendoscilindros(cuyasseccionestransversalessonconstantes),talesquelasecciontransversaldeunodeellosesmayoraladelotro;explicarquésucedealllenarlossimultáneamente.
SoluciónSe podría razonar de la siguiente ma-nera: Tenemos dos recipientes con lamismaalturayconseccióntransversalconstante. Según la fórmula del volu-menparauncilindro,V=πr2h,elvolu-mendellenadoy(porendelaalturadellenado),sedescribemedianteunarec-ta;ahorabien,conformesevanllenandolosdosrecipientes,yporendeaumentandolaalturah,elniveldelaguatiendeasubirmásrápidamenteporunidaddetiempoenelcilindrodemenorradio,ycuantomasgrandeseaelareaAdelasecciontransversaldelcilindro,maslentamenteaumentarálaaltura.
Tiempo
A B
Altu
ra
A B
EjemploConsidérenselasmismascuestionesdelapreguntaanteriorperoenreferenciaaunreci-pientecónico:
SoluciónSepodríarazonarde lasiguientemanera:Conformeseva llenandoelrecipientecónicoyporendeaumentando laalturah, elagua tiendeaocuparmayoráreaporunidaddetiempo,y,cuantomasgrandeseaelareaAdelasecciontransversaldelcilindro,maslentamenteaumentarálaaltura.
h
Tiempo
Velo
cida
d
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i84
EjemploSupongamosquesesirvecaféaunarazónconstanteenlatazaquesemuestraenlaFiguraad-junta.Hazunbocetodelagráficadelllenadodelatazaconrespectoaltiempo.SoluciónAlservirelcafédemaneraconstante,al inicioelnivelenlatasaserá lentopuestoqueelespacioinferioresamplioporquelabaseesmayor;perocon-formelatasasellena,alirsereduciendoelespacioyalmantenerconstanteelllenado,elnivelaumentarápidamentehastallegaraunpuntoderapidezdellenadomáximoubicadojustoenelcentrodelrecipientequeeslapartemásangosta;apartirdeestepunto,latasaseinviertedemodoqueencadaunidaddetiempoelniveldellenadoirádecreceráamedidaquelasecciónpasadeangostaaancha.
Tiempo
Volum
en
h
V(h) a.
h
V(h) b.
h
V(h) c.
h
V(h) a.
h
V(h) b.
h
V(h) c.
h
2. Elsiguienterecipienteseestállenandoconunlíquido.¿Quégráfica,volumencon-traaltura,representamejoralfenómeno?Justificaturespuesta.
h
Actividad 41
1. Elsiguienterecipienteseestállenandoconunlíquido.¿Quégráfica,volumencontraaltura,representamejoralfenómeno?Justificaturespuesta.
Lasfuncionessepuedencombinar,descomponerytransformardemuchamanerasdiferentes.Enformamásprecisa:lasfuncionessepuedensumar,sustraer,multiplicarydividir.Ademas,conestosobjetosmatemáticossepuederealizarunaoperacióndenominadacomposicióndefunciones.
1.7 Operaciones con funciones
Suma,multiplicaciónydivisióndefunciones
Dadasdosfuncionesfygqueasignannúmerosrealesytienenelmismodominio,podemosformarnue-vasfunciones,f +g,f−g,f•g,yf/g,definidasporlassiguientesreglas:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f−g)(x)=f(x)−g(x)(f•g)(x)=f(x)•g(x)(f/g)(x)=(f(x))/(g(x))
Estas funciones todas tienenelmismodominioque f yg, exceptoparaaquellasxpara lascualesg(x) =0puedenecesitarserremovidaparaeldominodef/g.
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 85
Sumarymultiplicarunafunciónporunaconstanteesdeinterésespecialporquesusefectossobrelagráficadeunafunciónsonfácilesdedescribir.Sisumamosunafunciónconstante,g(x)=c,(dondecesunaconstante),aunafunciónfcuyodominioestáenlosnúmerosreales,entonceslagráficadelafunciónsumaresultante,f+g,simplementesedesplazaverticalmente|c|unidadeshaciaarribasicespositivoyhaciaabajosicesnegativo.
Así,porejemplo,mientrascvatomandotodoslosnúmerosreales,lagráficadey =x2+cconsistede todos lospuntosde lagráficadey =x2,perodesplazadosverticalmente|c|unidades.
f(x)
x
f(x) = x2g(x) = c
(f +g)(x) = f(x) +g(x) = x2 + c
f(x)
x
(f + g)(x)
c
f(x) =
x2
h(x)
= 0.25
x2
g(x)=6
x2
y
x
r(x)
=-x
2
Composicióndefunciones
Seanf ygdosfuncionescualesquieratalesqueelrangodegseencuentradentrodeldominiodef;lacomposicióndef ygeslafuncióndadaporf(g(x)),ysedentotacomof°g,entonces:
(f°g)(x)=f(g(x))
EjemploSeaf(x)=4x2−9yg)(x)=2x−3.Determina:a)(f+g)(x);b)(f −g)(x);c)(fg)(x);d)(f /g)(x).
Solucióna) (f + g)(x)= f(x)+g(x)=(4x2 − 9)+(2x−3)=4x2 − 9+2x−3=4x2 +2x−12b) (f − g)(x)= f(x)−g(x)=(4x2 − 9)−(2x−3)=4x2 − 9−2x+3=4x2 −2x−6c) (f g)(x)= f(x)g(x)=(4x2 − 9)(2x−3)=8x3 − 12x2−18x+12d) (f /g)(x)= f(x)/g(x)=(4x2 − 9)/(2x−3)=2x+3
Multiplicando una función por una funciónconstante dilata la gráfica de la función vertical-mente,ytambiénreflejalagráficasobreelejeXsilaconstanteesnegativa.
Ejemplo 1Seaf(x)=x2yg(x)=x+2,determina(a)(f°g)(3)y(b)(g°f)(3)
Solución (a)(f°g)(3)=f(g(3))
Primeroencuentrag(3):g(3)=3+2=5
Despuésencuetraf(g(3))f(g(3))=f(5)=52=25.
(b)(g°f)(3)=g(f(3))
Primeroencuentraf(3):f(3)=32=9
Despuésencuetrag(f(3))g(f(3))=g(9)=9+2=11.
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i86
Ejemplo 2Seaf(x)=4x2−9yg(x)=2x−3.Determina(a)(f°g)(x)y(b)(g°f)(x)
Solución (a)(f°g)(x)=f(g(x))=f(2x−3)=4(2x−3)2−9=16×2−48x+27.
(b)(g°f)(x)=g(f(x))=g(4×2−9)=2(4×2−9)−3=8×2−21.
Podemosverlaadicióndeunafunciónconstanteaunafunción,ymultiplicacióndeunafunciónporunafunciónconstantecomolacomposicióndefunciones.Conéstefin,definamoslasfuncionesTkyDkdelasiguientemanera:
Paraunnúmerorealk,seanTkyDklasfuncionesdeRenR,definidascomo:
Tk(x)=x+k yDk(x)=kx
Seaf(x)unafuncióncualquiera;determinemos(Tk°f )(x)y(Dk°f)(x)
(Tk°f)(x)=Tk(f(x))=f(x)+k
(Dk°f )(x)=Dk(f(x))=kf(x)
Observamosqueparasumarlafunciónconstantekalafunciónf,podemosformarlafuncióncom-puestaTk°f,yparamultiplicarlafunciónfporlafunciónconstantek,podemosformarlafunciónDk°f.
Ahora,hagamoslacomposicióndeestasfuncionesperoenelordenopuesto:
(f°Tk)(x)=f(Tk(x))=f(x+k)(f°Dk)(x)=f(Dk(x))=f(kx)
Observamosquelagráficadef°Tkeslamismaquelagráficadefexceptoqueestátrasladadahorizon-tamente:setrasladaalaizquierdasikespostivo,ysetrasladaaladerecha|k|unidadessikespositivo.
Asimismo,lagráficadef°Dkeslamismaquelagráficadefexceptoqueestádilatada(odistorsiona)horizontalmenteytambiénestáreflejadaatravésdelejeYsikesnegativa.
• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3Actividad 42
SeanlasfuncionesTk(x)=x+kyDk(x)=kx;f(x)=x2,h(x)=x3.Determinalascomposicionesin-dicadasytrazalagráficadelafunciónresultanteaplicandolastransformacionesalasqueequivalen.
a.(Tk°f)(x) b.(f°Tk)(x) c.(Dk °f)(x) d.(f°Dk)(x) e.(Tk°h)(x) f.(h°Tk)(x) g.(Dk °h)(x) h.(h°Dk)(x)
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 87
instrucciones:Resuelvelossiguientesproblemascomopreparaciónparaevaluarloindicado.Encadarespuestasedebeincluirelrazonamientoseguidoparallegaralasolución.
Problema 1.Trazalagráficadecadaunadelassiguientesecuaciones.Debesmostrarunanálisiscompletoqueincluya:tabulación,interceptos,simetrías,extensióndexyasíntotas(encasodesernecesario).
a)x2y−4xy+4y−1=0. b)y=√x−3
Problema 2.Unbarcodecargatieneuntanquedealmacenamientoparacombustiblepara2500litros.Alnavegarcadadíaconsumeaproximadamente150litrosdecombustible.SeaC(t)lafun-ción"cantidaddecombustible"ytlavariabletiempo.
a) Establecelaexpresiónalgebraicaquemodelaestasituación.b) ¿CuáleseldominiodelafunciónC?c) ¿CuáleselrangodelafunciónC?¿Despuésdecuantosdíasenelmarsedebellenareltan-
quedecombustible?d) Dibujalagráficacorrespondiente.
Problema 3.Searrojaunapelotadirectamentehaciaarribaconunavelocidadde32m/sporloquesualturatsegundosdespués,esy(t)=32t−5t2.
a)¿Cuáleseldominiodelafunción?b)¿Cuáleselrangodelafunción?c)¿Alcabodecuántotiemporegresarálapelota?d)¿Aquéalturaestálapelotaalos3segundos?e)¿Enquétiempoestálapelotaa30metrosdealtura?e)Dibujalagráficacorrespondiente.
Problema 4.Lagráficasiguientemuestraelcomportamientodeunafunción:
a) ¿Cuáleseldominiodelafunción?b) ¿Cuáleselrangodelafunción?c) ¿Enquéintervaloslafunciónescreciente?d) ¿Enquéintervaloslafunciónesdecreciente?e) ¿Enquéintervaloslafunciónescóncavahaciaabajo?f) ¿Enquéintervaloslafunciónescóncavahaciaarriba?
Problema 5.Determinademaneraanalíticaeldominiodelassiguientesfuncionesytrazasugráfica: a)f(x)=2x−5x2 b)y=+√x−3 c)y=+√x−3 +2
d)f(x)= e)f(x)=−3
• Aspectoaevaluar: Producto integrador de unidad• Evidencia: Examen (problemario)• Competenciaoatributoaevaluar: 2, 4 y 5.
EXAMEN 1 (PROBLEMARIO)
-3 -2 - 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
f(x)
x3x+6
4x+5
introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i88
Problema 6.Paracadaunadelassiguientestablasestablecelafórmulaquerelacionaalasvaria-blesindicadas.
Problema 7.Algunasde lassiguientestablascorrespondena funciones lineales,cuadráticasoexponenciales.Encadacaso,identificaacualdeellascorrespondecuálesyestablecesufórmula.
Problema 8.Obténlaecuaciónparalafuncióndadaenlasiguientegráfica:
a)
a)
e)
g)
f)
c)
c)
e)
b)
b)
d)
d)
x 1 2 3 4 5y 3 6 9 12 15
x 1 2 3 4 5y 3 6 12 24 48
x 1.5 2 2.5 3 3.5y 172.3 155.07 139.56 125.61 113.05
x −1 3 7 11 15y 3.4 4.6 5.8 7 8.2
m 2 4 6 8 10n −8 −10 −13 −17 −22
x 1 2 3 4 5y 1 4 9 16 25
x −1 3 7 11 15y 3.4 4.6 5.8 7 8.2
x 0.1 0−5 1 1.5 2y 10 2 1 2/3 1/2
m 0 2 4 6 8n 0 2 4 6 8
m −2 1 4 7 10n 6.3 7.8 9.3 10.8 12.3
x 1 2 3 4 5y 1 8 27 64 125
p 1 2 3 4 5q 2 5 10 17 26
-3 -2 - 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
f(x)
matemáticas iv • funciones y geometría analítica 89
Problema 9.Obténlaecuaciónparalafuncióndadaenlasiguientegráfica:
Problema 11.Asumiendoque lassiguientesgráficastienenuncomportamientoexponencial,determinasuecuación:
Problema 12. Elvalordeunacomputadoraesde$18,000.00.Despuésde5añossuvaloresde$12,600.00;suponiendouncomportamientoexponencial:
a) Determinalafórmulaquerelacioneelvalordelacomputadoraconeltiempo.b) ¿Cuálseráelvalordelacomputadora12despuésdesucompra?
Problema 13.Describacómolacantidaddeaguaenunapiscina(V,paraelvolumen)cambiaconeltiempo(t)encadacaso:
Problema 10.Aparirdelaconstruc-cióndeunatabla,determinarelvalordelasumade losángulosdeunpolígonoconocidoelnúmerodelados.
Número de lados 3 4 5 6 ?Suma de los ángulos 180 360 ? ? 1080
-3 -2 - 1 1 2 3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
x
f(x)
x
f(x)
a)
(-1, 4)
(3, 1)
x
f(x)
b)
(0, 2)
(5, 10)
V(t) a. V(t) b.
t
t
V(t) c.t
t
V(t) d.