IES Juan García Valdemora TEMA 5: INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Departamento de Matemáticas 4º ESO Matemáticas B
1
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) xxx 42)2(4)52(3 −≤−−−
2
3
6
996724242724284156 ≤⇒≤⇒≤⇒+≤+⇒−≤−⇒−≤+−− xxxxxxxxxx
Solución:
∞−∈2
3,x
b) 2
521
6
1
2
−−>−− xxx
⇒−⋅−⋅>−⋅−⇒−⋅−⋅>−⋅−
)52(3)1(6)1(136
)52(3)1(6
6
)1(13xxx
xxx
2
5
8
202081216221612156613 >⇒>⇒>⇒−>+⇒+−>+⇒+−>+−⇒ xxxxxxxxxx
Solución:
+∞∈ ,2
5x
c) 9
8
18
3
4
2
3
1 −−−≥+−+ xxx
⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅
)4(8)3(2)2(9)1(1236
)8(4)3(2
36
)2(9)1(12xxx
xxx
4520
205626232626332621891212
−≥⇒
⇒−≥⇒−≥⇒+−≥+⇒−−≥−⇒−+−≥−−+⇒
x
xxxxxxxxx
Solución: ),4[ +∞−∈x
d) 2
15
3
26
3
12 −−<−− xx
⇒−⋅−<⋅−−⋅⇒−⋅−<⋅−−⋅
)15(3)26(2)12(26
)15(36
)26(2)12(2xx
xx
31957
57195431543155443155224 <⇒<⇒<⇒+<+⇒+−<−⇒+−<−−⇒ xxxxxxxxx
Solución: )3,(−∞∈x
e) 15
132
5
4
3
4 ++>−−+ xxx
⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅
)13(1)15(2)4(3)4(515
)13(1)15(2
15
)4(3)4(5xxx
xxx
113231323133221330123205 <⇒−>−⇒−>−⇒+>+⇒++>+−+⇒ xxxxxxxxx Solución: )1,(−∞∈x
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2
f) 22
14
4
8
3
25 −+>−−− xxx
⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅
)12(2)14(6)8(3)25(412
)12(2)14(6
12
)8(3)25(4xxx
xxx
⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+⇒−+>+−−⇒1144
44111660617606161724846243820 xxxxxxxxx
4>⇒ x Solución: ),4( +∞∈x
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3
2. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 0122 ≥−+ xx
� Ceros:
−==
=±−=+±−=⇒=−+4
3
271
24811
0122
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ),3[]4,( +∞∪−−∞∈x
b) 032 2 >+− xx
� Ceros:
=⇒=+−
=⇒=+−⋅⇒=+−
23
032
0
0)32(032 2
xx
x
xxxx
� ∩⇒<−= 02a
Solución:
∈2
3,0x
c) 014 2 <−x
� Ceros: 2
1
4
114014 222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxx
� ∪⇒>= 04a
Solución:
−∈2
1,
2
1x
d) 01616 22 <−+⇒<+ xxxx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
21
31
1251
122411
016 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 06a
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4
Solución:
−∈3
1,
2
1x
e) 045081028102 2)2(:22 <++ →>−−−⇒>−− − xxxxxx ¡Cuidado al dividir por un número negativo
cambia el sentido de la desigualdad!
� Ceros:
−=−=
=±−=−±−=⇒=++4
1
235
216255
0452
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ( )1,4−−∈x
f) 012 2 <++ xx
� Ceros: realsolución 2
811012 2 ∃/⇒
−±−=⇒=++ xxx
� ∪⇒>= 02a
Solución: La inecuación no tiene solución
g) 0932 >++ xx
� Ceros: realsolución 2
36930932 ∃/⇒
−±−=⇒=++ xxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: ℜ
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5
h) 0962 ≤++ xx
� Ceros:
−=−=
=±−=−±−=⇒=++3
3
206
236366
0962
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: 3−=x
i) 03737 22 >−⇒> xxxx
� Ceros:
=⇒=−
=⇒=−⋅⇒=−
7
3037
0
0)37(037 2
xx
x
xxxx
� ∪⇒>= 07a
Solución:
+∞∪−∞∈ ,7
3)0,(x
j) 06565 22 >−+−⇒>+− xxxx
� Ceros:
==
=−
±−=−
−±−=⇒=−+−3
2
215
224255
0652
x
xxxx
� ∩⇒<−= 01a
Solución: )3,2(∈x
k) 0740254425)2( 222 ≤+−⇒≤−++−⇒≤+− xxxxx
� Ceros: realsolución 2
281640742 ∃/⇒
−±=⇒=+− xxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: La inecuación no tiene solución
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6
l) ⇒−<−⇒−<−
⇒−<−
⇒−<− 2
222
2412610
2410
12610
2410
)63(210
245
63xxx
xxxxxxxxx
0601222 22 :2 <−+→<−+⇒ xxxx
� Ceros:
−==
=±−=+±−=⇒=−+3
2
251
22411
062
x
xxxx
� ∪⇒>= 01a
Solución: )2,3(−∈x
m) ⇒−+−−−≥++−⇒−+−−≥+− )842(1344)2)(4(13)2( 222 xxxxxxxxxx
03272484214 22222 ≥−+⇒+−−≥+−⇒+−+−−≥+−⇒ xxxxxxxxxxx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
23
1
451
42411
032 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 02a
Solución: [ )+∞∪
−∞−∈ ,12
3,x
n) ⇒>++−−⇒>+−−−
⇒>+−−−1020
101026105
1020
1010)13(2)2(5
25
132
2 222 xxxxxxx
xx
028452084510
20
10
845 222
>−+⇒>−+⇒>−+⇒ xxxx
xx
� Ceros:
−=
==±−=+±−=⇒=−+
5
14
2
10
244
10
56016402845 2
x
x
xxx
� ∪⇒>= 05a
Solución: ( )+∞∪
−∞−∈ ,25
14,x
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7
2
3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 3:
a) 043 >− xx
� Ceros:
∗=−=
⇒=−⋅⇒=−)( 04
00)4(04
2
23
x
xxxxx
=−=
⇒±=⇒=⇒=−∗2
24404 )( 22
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(043 >+−⇔>− xxxxx
−=−−−⇒−= ))()((3x
+=+−−⇒−= ))()((1x
−=+−+⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((3x
Solución: ),2()0,2( +∞∪−∈x
b) 0233 ≤−− xx
� Ceros: 0233 =−− xx Posibles raíces = {divisores de 2− }= }2 ,1{ ±±
2 3 0 1 −−
2 4 2 +++
0 1 2 1 ++ 2
notable Identidad
23 )1)(2()12()2(23 +−=++−=−−⇒ xxxxxxx43421
−=⇒=+
=⇒=−⇔=+−⇔=++−
(doble) 10)1(
2020)1)(2(025159
2
223
xx
xxxxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
(doble) 1y 2 −== xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(2(023 23 ≤+−⇔≤−− xxxx
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8
−=+−⇒−= ))((2x −=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((3x
Solución: ]2,(−∞∈x
c) 014 ≥−x
� Ceros:
−=⇒=+=⇒=−
⇔=++−⇔=+−⇔=− 101
1010)1)(1)(1(0)1)(1(01 2224
xx
xxxxxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
1y 1 =−= xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(1)(1(01 24 ≥++−⇔≥− xxxx
+=+−−⇒−= ))()((2x −=++−⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((2x
Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x
d) 0623 >−− xxx
� Ceros:
∗=−−=
⇒=−−⋅⇒=−−)( 06
00)6(06
2
223
xx
xxxxxxx
−==
=±=+±=⇒=−−∗2
3
251
22411
06 )( 2
x
xxxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(0623 >+−⇔>−− xxxxxx
−=−−−⇒−= ))()((3x
+=+−−⇒−= ))()((1x
−=+−+⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((4x
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9
1− 3+
Solución: ),3()0,2( +∞∪−∈x
e) 0365365 2424 ≥−−⇒≥− xxxx
� Ceros: 0365 24 =−− xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
03652 =−− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−==
=±=+±=⇔=−−4
9
2315
2144255
03652
t
tttt
3) Deshacemos el cambio de variable
3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
Por tanto, los ceros del polinomio son:
3y 3 =−= xx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)4)(3)(3(0365 224 ≥+−+⇔≥−− xxxxx
36 0 5 0 1 −−
36 12 9 3 ++++ 0 12 4 3 1 +++ 12 0 3 −−
0 4 0 1 + )4)(3)(3(365 224 ++−=−−⇒ xxxxx
Es decir, tenemos que resolver la inecuación: 0)4)(3)(3( 2 ≥+−+ xxx
+=+−−⇒−= ))()((4x −=+−+⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((4x
Solución: ),3[]3,( +∞∪−−∞∈x
3−
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10
21
f) 0122021
21 23)2(23 ≤−+−→≤−+− ⋅ xxxxxx
� Ceros: 01223 =−+− xxx Posibles raíces enteras = {divisores de 1− }= }1{±
Posibles raíces fraccionarias =
±=
−
2
1
2 de divisores
1 de divisores
1 2 1 2 −+− 1 0 1 ++
0 2 0 2 + )22(21
122 223 +
−=−+−⇒ xxxxx
∃/⇒−=⇒=+
=⇒=−⇔=+
−⇔=−+−realsolución 1022
21
021
0)22(21
012222
223
xx
xxxxxxx
Por tanto, el cero del polinomio es:
2
1=x
� Luego, factorizando, tenemos: 0)22(2
10122 223 ≤+
−⇔≤−+− xxxxx
−=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((1x
Solución:
∞−∈21
,x
g) 03520332233)1(2 23432243222 <+−−+⇒<−++−−⇒+−−<−− xxxxxxxxxxxxxx
Tenemos que resolver la inecuación: 0352 234 <+−−+ xxxx
� Ceros: 0352 234 =+−−+ xxxx
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11
1−
3 1 5 1 2 +−−+
3 4 1 2 −++−
0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx
3 1 2 −++
0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx
∗=−+=⇒=−
−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+
)( 032
101
101
0)32)(1)(1(03522
2234
xx
xx
xx
xxxxxxxx
−=⇒−=
=⇒==±−=+±−=⇒=−+∗
2
3
4
6
14
4
4
51
4
2411032 )( 2
xx
xxxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:23
y 1 )doble(1 −=−== xxx
� Luego, factorizando, tenemos:
02
3)1()1( 0
2
3)1()1(20352 2
2 :
2234 <
++−⇔<
++−⇔<+−−+ xxxxxxxxxx
+=−−+⇒−= ))()((2x
−=+−+⇒−= ))()((25,1x
+=+++⇒= ))()((0x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución:
−−∈ 1,2
3x
h) 025159 2345 ≤++− xxxx
� Ceros:
∗=++−
=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−
)( 025159
(doble) 00
0)25159(02515923
2
2322345
xxx
xx
xxxxxxxx
025159 )( 23 =++−∗ xxx Posibles raíces = {divisores de 25}= }25,5 ,1{ ±±±
1+
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12
5
1−
25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+
0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx
∗∗=−−
=⇒=−⇔=−−−⇔=++−
)( 054
505
0)54)(5(0251592
223
xx
xx
xxxxxx
−==
=±=+±=⇒=−−∗∗1
5
264
220164
054 )( 2
x
xxxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx
� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()5(025159 222245 ≤+−⇔≤++− xxxxxxx
−=−++⇒−= ))()((2x
+=+++⇒−= ))()((5,0x
+=+++⇒= ))()((1x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución: }5,0{]1,( ∪−−∞∈x
i) 03452035523)1(52 23233 ≤+−−⇒≤++−−⇒−−≤+− xxxxxxxxxxx
Tenemos que resolver la inecuación: 03452 23 ≤+−− xxx
� Ceros
3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−
0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx
∗=+−
−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−
)( 0372
1010)372)(1(03452
2
223
xx
xxxxxxxx
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13
=
==±=−±=⇒=+−∗
2
1
3
457
424497
0372 )( 2
x
x
xxx
Por tanto, los ceros del polinomio son:
21
y 3 , 1 ==−= xxx
� Luego, factorizando, tenemos:
02
1)3)(1(0
2
1)3)(1(203452
)2(:
23 ≤
−−+⇔≤
−−+⇔≤+−− xxxxxxxxx
−=−−−⇒−= ))()((2x
+=−−+⇒= ))()((0x
−=+−+⇒= ))()((2x
+=+++⇒= ))()((4x
Solución:
∪−−∞∈ 3,2
1]1,(x