Hernán B. Garrafa araGón
M A T E M Á T I C A F I N A N C I E R A
Rector AurelioPadillaRíos
PrimerVicerrector JoséS.MartínezTalledo
SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega
yPresidentedelaComisióndelProgramaEditorial
EduardodeHabich-TextosUNI
Primeraedición,juniode2008
MateMática Financiera
ImpresoenelPerú/PrintedinPeru
© HernánB.GarrafaAragón Derechos reservados
EditorialUniversitariadelaUniversidadNacionaldeIngeniería
Av.TupacAmaru210,Rímac-Lima
PabellónCentral/Sótano
Telf.:481-1070anexo240
E-mail:[email protected]
JefeEDUNI:Prof. Álvaro Montaño Freire
DiseñoyDiagramación:EDUNI
Impresopor...................................
ISBN:..............................................
HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerúNº.........................................
Prohibidalareproduccíóndeestelibroporcualquiermedio,totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.
A mi esposa, JessicaA mi hija, Yemitsu
A mis padres: Braulio y MargaritaA mi hermana, Inés
A mis hermanos: José, Franck, TinoA mi sobrina, Vanesa.
ConTEnIdo
Prólogoyagradecimientos 13Introducción 15
Interés sIMPle
1.1.Introducción 17 1.2.Elinteréssimple 20 1.3.Períododetiempo 23 1.4.Interésexactoeinterésordinario 23 1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24 1.7.Monto 24 1.8.Variacionesdetasas 26 1.9.Ecuacionesdevalor 28 Problemasresueltos 32 Problemaspropuestos 39
Interés CoMPuesto
2.1.Introducción 43 2.2.Interéssimpleeinteréscompuesto 43 2.3.Monto 45 2.4.Valoractual 47 2.5.Montoconvariacionesdetasas 49 2.6.Ecuacionesdevalor 51 Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68
DesCuento
3.1.Introducción 73 3.2.Descuentoracional 74 3.3.Descuentobancario 76 3.4.Descuentocomercial 80
1
2
3
8 Hernán B. Garrafa araGón
Problemasresueltos 83 Problemaspropuestos 90
tasas
4.1.Introducción 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94 4.3.Tasaefectiva 96 4.4.Tasasequivalentes 98 4.5.Tasaactivaypasiva 103 4.6.Tasadeinteréscompensatorio 106 4.7.Tasadeinterésmoratorio 107 4.8.Tasadeinteréslegal 109 4.9.Tasadeinflación 110 4.10.Tasareal 113 4.11.Tasadedevaluación 114 4.12.Tasasconcapitalizacióncontinua 118 Problemasresueltos 120 Problemaspropuestos 131
anualIDaDes
5.1.Introducción 137 5.2.Montodeunaanualidadvencida 138 5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140 5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143 5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144 5.6.Anualidadesdiferidas 146 Problemasresueltos 154 Casos 167 Problemaspropuestos 172
anualIDaDes PerPetuas
6.1.Introducción 177 6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177
4
5
6
�MateMática financiera
6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179 Problemasresueltos 181 Problemaspropuestos 194
GraDIentes
7.1.Introducción 197 7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaríanen progresiónaritmética 197 7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198 7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaríanenprogresiónaritmética 199 7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresión
geométrica 203 Problemasresueltos 206
Problemaspropuestos 218
aMortIzaCIón
8.1.Introducción 221 8.2.Fondodeamortización 221 8.3.CuadrodelFondodeAmortización 221 8.4.Amortización 224 8.5.CuadrodeAmortización 224 8.6.Valoractualneto 228 8.7.Tasainternaderetorno 231 8.8.Depreciación 233 Problemasresueltos 237 Casos 265 Casopropuesto 276 Problemaspropuestos 277
oblIGaCIones
9.1Introducción 281 9.2.Terminología 282 9.3.Bonos 283
7
8
9
10 Hernán B. Garrafa araGón
9.4Opcióndecompra 284 9.5.Valuacióndeunagraduación 285 9.6.Larelaciónentretasadeinteréseinflación 291 9.7.BonosBrady 392 BonosPar 292 BonosalDescuento 293 BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction Bonds) 293 BonosdeConversióndeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293 BonosdeInteresesRetrasados 294 BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295 Problemaspropuestos 300 Glosario 303 Citasbibliográficas 313 Referenciasbibliográficas 313 Anexo 315
11MateMática financiera
ÍnDICe De tablas
tabla Descripción Página
1A Tasaactivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105
1B Tasapasivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105
2A ÍndicedepreciosalconsumidordeLima.(índicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI. 111
2B InflaciónmensualdeLima(variación%mensual).Elaboración:propia. 111
3A TCydevaluaciónorevaluación(nuevosol/dólar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec. 116
ÍnDICe De GrÁFICos
Figura Descripción Página
1.1 Evolucióndelatasadeinterésensolesydólares.Fuente:DatosdelBCR.Gráfico:Elaboraciónpropia. 20
1.2 RelaciónentrePysuvalorfuturo. 21
1.3 Relaciónvalorpresenteymonto. 25
1.4 Interéssimpleconvariacionesdetasa. 27
2.1 Relaciónentreinteréssimpleycompuesto. 44
2.2 Capitalizaciónanualversuscapitalizacióntrimestral. 45
2.3 Relaciónentrevaloractualymonto. 48
8.1 EvolucióndelVANenfuncióndelcostodecapital. 230
Prólogo y agradecimientos
Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosañosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,
herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasdepartededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.
Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germán Ríos,funcionariodeMiBanco,quepermitióincluirproblemasdeope-raciones financierasque segeneran, comúnmente, en labancaprivadapara,deestamanera,hacermásefectivoyútilestelibroparaestudiantesdelamateria.
TambiénmireconocimientoalaSeccióndePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicación,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamaníyMag.JuanLamÁlvarezquie-nescolaboraronenlarevisióndeestematerial.AlseñorFreddyBartolaporlasútilesideasparamejorarestaprimeraedición.
EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temáticaFinancieraconloscualesseresolvióvariosejemplosyproblemasplanteadosenelpresentevolumen.
Introducción
Este libro está dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemáticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconómicas,ingeniería,administraciónyconta-
bilidadenlascualessedictaestecurso.
MatemáticaFinancieraestáconsideradaenelcampodelama-temáticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroenel tiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointerésquepermitentomarde-cisionesdeinversión.
Conesaóptica,permitiráalalumnoelaborarmodelosmatemáti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestióndelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.
Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomóvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoaplazo;solicituddecréditos,contratodepólizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversiónrentable.Elconocimientodelasmatemáticasfinancieras,portanto,lepermitiráalalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamásracional.
Lacaracterísticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfórmu-las,inusualenlostextosdeMatemáticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucióndelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestárealizadoen
16 Hernán B. Garrafa araGón
Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciación,radicaciónylogaritmo.
A lo largo del libro se plantea y resuelve problemas prácticosparaasíilustrarmejorlasfórmulasdesarrolladasenlateoría.
También, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestríaeneconomía,administraciónycontabilidadloscualeshan sido resueltos tratando siempre de que la solución de losmismosseasimple.
Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacióndenuestrabancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafórmulaaplicadaparadeterminarelmontodelpagoperiódicoeslamismadesarrolladaenlateoríaexistiendopequeñas diferencias con respecto a cómo lo obtiene el bancoconrespectoaestateoría.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasycuálesladiferenciaconrespectoalateoríamostradaenellibro.
Los temas financieros ocupan una posición muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformaciónfinancieraenlosdiarios,revistas,televisión,etc.yesqueparatomarunadecisión,de índole financiera, se debe estar informado y asesorado poruna persona con conocimientos en finanzas. Es esta crecientenecesidad de conocimientos de temas financieros lo que haceposible la edición de libros de matemáticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.
MatemáticaFinancieraeselcursoinicialbásicoparalassiguientesmaterias:AnálisisFinancierooAdministracióndeInversionesyIngeniería Financiera; su aplicación se orienta a personas quetienen como función tomardecisionesde financiamiento; paraello deben tener y procesar información para, de esta manera,estarencondicionestomarunadecisiónadecuada.
Finalmente,deboprecisar, con respectoal libro,que resultaríaabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(“HistoriayVerdad”):“Laúnicaoriginalidadquepuedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos”.
Capítulo
InTErés sIMPlE
1.1. Introducción
Antesdedesarrollarestetema,explicaréelconceptodeinterés,debidoasuimportanciaenloscapítulosposteriores.Elinteréseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,lospréstamosquegeneralmentenosbrindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstituciónbancaria,etc.Por este préstamo, solicitamos un tiempo determinado para su devolución.Determinarestepreciosignificasaber¿cuáleslacuantíadelpréstamo?y¿porcuántotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinterés(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelpréstamo),elcualde-pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestarádeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconomía(ofertaodemandamonetaria)yéstas,asuvez,dependendelapolíticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-roenlaeconomíasuniveldeprecioaumentaráycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuirá.Adicionalmente,paraesteniveltambiéninfluyenlasexpectativasdelosagenteseconómicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconómica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.
AcontinuaciónseexplicaráelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversiónyCrédito,antesdeiniciareltemadeinteréssimple.
Dinero. Se conoce comúnmentepor aquello quepuede ser utilizado comomediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementosepuedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).
Desde este puntodevista, son llamadosdinero: lasmonedasdemetal, lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrédito(engeneral,llamadodineroplásticoodinerodeplástico–esunatarjetadeplásticoconunabandamagnética–)Visa,MasterCard,etc., todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.
1
18 Hernán B. Garrafa araGón
oferta monetaria.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamásrestringidaeslaqueexpresaqueestánconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculaciónmáslosdepósitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.También,esllamadaofertamonetariabásicaocirculante.
Elbienestardeloshabitantesdeunpaísestárelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).
Siexistepocodineroenunaeconomía,aparecelarecesión(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadójicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconomía,entoncesaparecelainflación(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamañanayotromayorporlatarde.Tantolarecesióncomolainflaciónsonnocivasparalaeconomíadeunpaís.Porello,elBCRP1eslainstituciónquedebeproporcionaranuestropaísunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,éstadebeserindependientedelmanejopolíticodelgobierno.
Inversión.Eslaoperacióndecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconélproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconómicosporde-positareninstitucionesquepaganuninterés,trabajandosucapital.Alrealizarestaacción,seestáinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales, empresas, instituciones y el gobierno.Al hacer estas inversionesbuscan:
1. no tener pérdida de capital. Esimportantesaberdeunainstituciónseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejándosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinterés,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurídicasperdieroncompletamentesucapital.
2. Protección a las inversiones. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurídicoynosepuedecambiarésteporqueunadelaspartesasíloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversión.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podrían traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautónomoynodependientedelgobiernodeturno.
� BancoCentraldelaReservadelPerú.
1�MateMática financiera
3. beneficios a corto plazo. Todaempresatrataderecuperarsuinversiónenelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversióncomo:TelefónicayLuzdelSur.
4. Incrementar el valor de la inversión. Esto tambiénpuedesucederdeformacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital, automáticamentepasaa servalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.
5. Ventajas fiscales. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionescon la finalidad de atraer inversiones a zonas pobres como son las defronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosámbitos.
Crédito.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperiódicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunpréstamo.Estaoperaciónesconocidacomoob-tencióndeuncréditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoalvalordeestepréstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinterés(preciodelpréstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestáobtenien-doelinterésocosto del créditoquesepagaporelvalordelpréstamo.
EstatasadeinterésesfijadaporelBancoCentraldecadapaísalosotrosban-cosyéstos,asuvez,lafijanalaspersonasporlospréstamosodepósitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeinterésparapréstamosodepósitos.Unadeestetipoeslatasadeinterésactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeinterésactivapromedioendólaresoTAMEX.Laevolucióndeestatasadeinterésennuestropaís,expresadoenporcentajeentrelosaños1997y2006.
20 Hernán B. Garrafa araGón
Figura 1.1.Evolucióndelatasadeinterésennuevossolesydólares.
Sepuedeapreciarqueestatasaestáreduciéndosetantoennuevossolescomoendólares.
1.2. el interés simple
Tambiénllamadorégimendecapitalizaciónsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltérminodelperiododecapitalizaciónofechaquesedaporfina-lizadalaoperaciónseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacapital inicialoprincipalalacantidaddedineroquerecibimoscomopréstamoodepositamosaliniciodeunaoperación,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedinerointeréselcualdependedelossiguientesfactores:
• Elriesgo queconllevalaoperación,implicarálamayoromenortasadeinterés.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantíaquepuedepresentarelsolicitantedelpréstamoparalacancelacióndelmismopermitiráobte-nerelpréstamoencondicionesmásconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunpréstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.
21MateMática financiera
• A mayor periodo de tiempo, habrá un mayor pago por concepto deinterés.
• Del mercado, puede en determinado momento existir una gran ofertamonetaria,entonceslatasadeinteréstiendeabajar,comopuedesucederel caso contrario. Ejemplo, cuando la situación económica, social ypolíticadeunpaíspresentacaos,elriesgopaís2(indicadordeconfianzaen la economíadeunpaís) tiende a subir automáticamente, por tanto,la tasade interés sube, loque implica elmayorpagopor conceptodeinterés.
Entonces,elinterés(I)dependedecómoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinteréssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinterés(r)yelperiododetiempo(n).
I=Prn(1)
Donde:
I Interéspagadoporelpréstamoocrédito.
P Capitalinicialoprincipal.
r Tasadeinteréssimpleporunidaddetiempo.
n Periodo de tiempo, expresado en las mismas unidades que la tasa deinterés.
EsteinterésserelacionaconP deacuerdoalasiguientegráfica:
Figura 1.2. RelaciónentrePysuvalorfuturo.
ejemplo 1.UnapersonaconcedióunpréstamoaunamigoporS/.35000comprometiéndose éste a devolverlo dentro de un año. Por el mencionadopréstamo le cobróuna tasade interés simpledel 12%anual. ¿Cuál será elinterésquedeberápagaresteamigoporelpréstamo?
solución: En este caso, se tiene como datos P, n y r, de la fórmula (1) setiene:
� ElPerútieneunbajoriesgopaísenrelaciónaotrospaísesdeAméricaLatina.
22 Hernán B. Garrafa araGón
P=35000soles
r=12%anualcomoI=Prn
n=1añoentoncesI=35000x12%x1=4200soles
ElinterésapagarserádeS/.4200.
ejemplo 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeinterésdel12%semestral.
solución:Comoryn tienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,entonces:
P=35000soles
r=12%semestral De(1)setieneque:
n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles
EnestecasoelinterésapagarserádeS/.8400.
ejemplo 3.Unaparejadeesposossolicitaunpréstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein-teréssimpleparapréstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarseránde$520,¿quépartedelprimerpagosedestinaalpagodeinterésyasaldarelpréstamo?
solución:Setienequecalcularelinterésquesepagaporelprimermes,lain-formacióndelatasadeinterésesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(númerodemesesquetieneelaño).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinterés.
P=23000dólares
r=2%mensual
n=1mes I=23000x2%x1=460dólares
Paraelpagodeinterésdestinó$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).
ejemplo 4. UnseñorsolicitóunpréstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagóporelloS/.120porconceptodeinterés.¿Cuáleslatasadein-teréstrimestralyanual?
solución: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:
23MateMática financiera
P=800solescomo r=I/Pn P=800solescomor=I/Pn
n=1trim. r=120/800 n=3/12años r=120/(800x3/12)
I=120soles r=0.15trim.I=120soles r=0.60anual
Latasadeinterésesde15%trimestralo60%anual.
1.3. Período de tiempo
Básicamente,setienedosformasdecuantificarelnúmerodedíascompren-didosentredosfechas.Tiempoexactoqueincluyetodoslosdías,exceptoelprimero.Laotraseráeltiempoaproximado,elcualconsisteenconsiderar,porejemplo,quetodoslosmesestienen30días.
ejemplo 1.Calculareltiempoexactoyaproximadoentreel4deabrilyel28deagosto.
solución: Serealizaráestaoperaciónmesamesydeestaformasedetermi-naráelnúmerodedíasquetienecadames.
Mes t. exacto t. aproximado
AbrilMayoJunioJulioAgosto
26días(30-4)31„30„31„28„
Vemosqueelnúmerodemesesdel4deabrilal4deagosto,resultando4x30días,luegoleadicionamos24días(28ago-4ago)
total 146 días 144 días
1.4. Interés exacto e interés ordinario
Comúnmentenosenfrentaremosantelasituacióndequenecesitamosexpresarlosplazosqueestánendíasaañosoviceversa,cuandoestosucedeyutiliza-mosundivisorde360selellamaráinterés ordinario anual.Ysiutilizamosundivisorde365ó366selellamaráinterés exacto anual.Desimilarformasepuedeobtenerelinterésordinariooexactosemestral.
ejemplo 1.Calcularelinterésexactoeinterésordinariodeunpréstamode$500a90días,silatasaesde18%anual.
solución: SetieneP=500yr=18%anualdelafórmulasepuedeobtener:
24 Hernán B. Garrafa araGón
Interésordinario=500x0.18x90/360=$22,50
Interésexacto=500x0.18x90/365=$22,19
Elhechodeusar365ó366dependerásielañoesbisiestoono.
1.5. norma comercial
Deloanteriorsepuedeconcluirqueexistendosformasdecalculareltiempo(exactoyaproximado)ydostiposdeinterés(exactoyordinario),estogeneracuatroformasparacalcularelinteréssimple.
1. Tiempoexactointerésordinario.
2. Tiempoexactointerésexacto.
3. Tiempoaproximadointerésordinario.
4. Tiempoaproximadointerésexacto.
Delascuatroformas,eldeusomásfrecuenteeslaforma1,tiempoexactointerésordinario,queestambiénconocidocomonormabancaria.
1.6. Valor presente
Enel casode interés simple, tambiénes llamadocapital inicialy es aque-llacantidaddedineroqueestáinvolucradaenunpréstamoodepósitoenelmomentoinicialdelaoperación,llamadomomentocero,yseobtienedeladefinicióndeinteréssimple:
P=I/(rn) (2)
DondelasvariablesP,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.
1.7. Monto
Cuandoalvalorpresente leadicionamosel interés,aestaexpresiónsede-nominamonto(M)otambiénvalorobtenidoalfinaldelaoperaciónyseráexpresadopor:
M=P+I
M=P(1+rn) (3)
DondelasvariablesM,P,I,rynsonlasmismasdefinidasanteriormente.Enlasiguientefigurasemuestralarelaciónentrevalorpresenteymonto.
25MateMática financiera
Figura 1.3. Relaciónvalorpresenteymonto.
Comoseobserva,elvalorpresentePpuedeser llevadodesdeelperiodo0hastaelperiodon;deigualmanera,elmontoMpuedeserregresadodesdeelperiodonhastaelperiodo0 medianteesasrelaciones.
ejemplo 1. SetieneuncapitaldeS/.1500,queseencuentradepositadopor5trimestresaunatasade60%anual.Determinarelmontogeneradoalfinaldelplazomencionado.
solución: Comonestáexpresadoentrimestres,rtienequeestarexpresadoenlamismaunidad.Estosignificaquelatasaanualtienequeestarexpresadaentasatrimestral.Oenestecasocomolatasaestáexpresadaanualmentesepuedeexpresarnenaños(5/4)yluegoaplicarlafórmula(3),obteniéndose:
P=1500soles r=60%anual
n=5/4años LuegoM=P(1+rn)=1500(1+60%x5/4)=2625
ElmontoserádeS/.2625.
ejemplo 2. Resolverelproblemaanteriorconsiderandounatasade60%se-mestral.
solución:Comonyrtienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,enestecasolatasaestáexpresadaenformasemestral,luegonqueestádadoentrimestres,tienequeserexpresadoensemestres.
P=1500soles
n=5/2semestres. Luego
r=60%semestral M=P(1+rn)=
1500(1+60%x5/2)=3750
ElmontoseríadeS/.3750.
26 Hernán B. Garrafa araGón
ejemplo 3.Unaempresaprevé lanecesidaddeS/.50000parafinalesdelterceraño,¿Cuáleselcapitalinicialadepositareldíadehoyparaobteneresemontosisesabequelatasaapagarporeldepósitoesde10%anual?
solución: Enestecaso,laincógnitaeselcapitalinicialovalorpresentedelafórmula(3),despejandoPsetiene:
M=50000soles
n=3años.Luego
r=10%anualP=M/(1+rn)=
50000/(1+10%x3)=38461,54
ElcapitalinicialadepositareldíadehoyseríaS/.38461.54.
ejemplo 4.Una inmobiliaria tienecomometaganarun interés simplede$100000enunperiododedosañosymedio.¿Cuáldebeserelcapitalinicialadepositar,sabiendoquepuedeobtenerunatasade1%trimestral?
solución:Enestecaso,setienecomodatoelinterésquedeseaobtenerlain-mobiliaria,expresandonentrimestresdetalmaneraqueseahomogéneoconr,yaplicandolafórmula(2)setiene:
I=100000dólares
n=2.5x4trimestres. Luego
r=1%trimestral P=I/(rn)=
100000/(1%x10)=1000000
Elcapitalinicialadepositarseríade$1000000.
1.8. Variaciones de tasas
Enunhorizontedetiempo[0,n]conperiodos[ni,ni+1]puedesucedervariacio-nesdetasa.Esdecir,seinicialaoperacióneneltiempo“0”aunatasadetermi-nadadeinteréssimpleparaunperiododeterminado;paraelsiguienteperiodoestatasapuedecambiar.Laacciónpuedesucederhastallegaraltiempo“n”.UnejemplodeestetipodetasaeslaLibor3,queeslatasadereferenciaquesenegocianloseurodólares.Sepuedecalcularelinteréstotalcuandoseproduceestetipodesituacionescomosemuestraenlasiguientefigura:
� SigladelaLondonInterBankOfferRate.
27MateMática financiera
Figura 1.4. Interéssimpleconvariacionesdetasas.
SeaI1elinterésgeneradoporlatasar1yelperiododetiempon1;aplicandolafórmula(1)setienequeI1=Pr1n1,deigualmaneraI2=Pr2n2yasí,su-cesivamente,secalculaIq=Prqnq,elinteréstotalseráigualalasumadelosinteresesparciales
I1+I2+I3+∙∙∙+Iq.
I=Pr1n1+Pr2n2+∙∙∙+Prqnq
I=P∑=
q
i 1
i i nr (4)
Parahallarelmontosepuedeaplicarlafórmula(3),entonces
M=P(1+∑=
q
i 1
i i nr ) (5)
ejemplo 1.UnaseñorarealizaunpréstamodeS/.2000aunfamiliar,conlafinalidaddequeselosdevuelvadentrodeunaño,ofreciéndoleunatasade1%mensualdurantelosprimeroscuatromeses,ylosmesesrestantesaunatasade1,5%mensual.¿Cuálseríalacantidadqueobtendríaalfinalizarelaño?
solución: Se aplica directamente la fórmula (5) a la información delejemplo1.
Capitalinicial=2000soles n1=4meses
r1=1%mensual n2=8meses
r2=1.5%mensualluego M=2000(1+1%x4+1.5%x8)
LacantidadqueobtendríaalfinalizarelañoseríadeS/.2320.
ejemplo 2.Enelejemploanterior,sielfamiliardesearapagarenvezder1yr2unatasaúnicar, ¿Cuáltendríaqueserestatasaparaqueestaseñoranoseperjudique?
28 Hernán B. Garrafa araGón
solución:Paraqueestaseñoranoseperjudique,alfinaldelañotendríaquere-cibirigualmonto,utilizandoestatasar queenelcasoanteriorcuandoseutilizór1yr2,planteándoselasiguienteecuación:
2320=2000(1+r x 12) → r=1,33%
Latasaúnicasería1,33%mensual.
1.9. ecuaciones de valor
Muchasvecesnosencontramosconeldilemadecomparardiferentescapita-les.Porejemplo,S/.100dehoyesigual,mayoromenoraS/.100dentrodeunaño,sifueraladevolucióndeunpréstamoodonación¿Quéprefiere?recibirhoyodentrodeunaño.Haceresteanálisissignificadeterminarelvalordeldineroeneltiempo,ylarespuestaaestainterrogantedependerádediferentesfactores;porejemplo,latasadeinterésinvolucradaenestaoperación.Deahílaimportanciadeestetemaelcualpermitecompararcapitalesendiferentesmomentosdeltiempo,losotrosfactoresatenerencuentasonlossiguientes:
• La inflación,puestoquedentrodeunañoelpoderadquisitivode esedineroserámenor.Porejemplo,siconS/.100aliniciodeañosecompra10unidades,luegodetranscurrido1añopuedeserquesecompresólo8unidades.
• El costo de oportunidad, los usos alternativos del dinero implicanexistenciadealternativas rentables, estedinerohoypuedegenerarunautilidad.
• Elriesgoquesignifica la incertidumbrede loquepuedesucedereneltranscursodeunperiododetiempo.
Porlotanto,silaopciónfuerarecibirlosdentrodeunperiododetiempo,sepodríaaceptarsolamentesiseentregaraunacantidadadicionalquecompen-saralosfactoresanteriormentemencionados,debidoaqueeldinerotienelacapacidaddeproducirmásdinero,generandoriqueza.
Tomandoencuentaelfactortasadeinterés,analizaremoselsaldarunadeu-daqueestácompuestapordosdeudas;laprimera,porS/.200eldíadehoyylasegundaporS/.112,quesetendráquepagardentrodeunañoaunatasadel12%anual.Parapoderobtenerelvalordeestadeuda,senecesitasabercuáleselvalorpresentedelosS/.112.EllosignificatrasladarlosS/.112aldíadehoy,ysepuedeobtenerdespejandoPenlafórmula(3),luegoP=112/(1+12%x1),entoncesP=S/.100.Parasaldarestadeudahoy,setendríaquepagarS/.300(S/.200+S/.100).
2�MateMática financiera
Sepodríaanalizarelejemploanteriorinteresadoensabercuálseríaelvalordedeudasisepagaracuandovencelasegundadeuda(dentrodeunaño).Paraello,necesitamossabercuálseráelvalordelaprimeradeudaS/.200,dentrodeunaño,ohallarelmonto(llamadotambiénvalorfuturo)deestadeuda.Aplicandodirectamentelafórmula(3)setieneM=200(1+12%),luegoM=S/.224.Entonces,elvalordeladeudadentrodeunañoseríalacantidaddeS/.224+S/.112=S/.336.
Finalmente,sepuedeafirmarque:
S/.200eldíadehoyyS/.112dentrodeunaño,esequivalentea:
S/.300eldíadehoyy
S/.336dentrodeunaño
Entonces,parapodercompararcapitalesqueestánendiferentestiemposesnecesariollevaratodosellosaunamismafecha.Aéstaseledenominafecha focalofecha de comparación.Alllevarestoscapitalesaesafecha,seformaunaecuaciónyéstaesllamadaecuacióndevalor.
ejemplo 1.ElhospitalMaríaAuxiliadoradeseaadquirirmaterialquirúrgico–parapoderbrindarunmejorservicio–ycuentaparaellocondospropuestasquedebenseranalizadasporeldepartamentodelogística,acargodelaseñoraJessicaAricoche:
PropuestaA:
Cuotainicial$20000,00y2cuotasmensualesde$15000cadauna.
PropuestaB:
Cuotainicial$12554,11y2cuotasmensualesde$19000cadauna.
Sielcostodeldineroesel5%deinteréssimplemensual,¿cuáleslamejoroferta?
solución: Enestecaso,loquesetienequecompararescuáldelosproveedo-restieneelmenorvalorpresente,siendoelmenorelmásconvenienteparaelhospital;delainformaciónsetiene:
ProveedorA ProveedorB
Cuotainicial=$20000 Cuotainicial=$12554,11
Cuotamensual=$15000 Cuotamensual=$19000
Númerodecuotas=2 Tasa=5%mensual
30 Hernán B. Garrafa araGón
Comosetienequeobtenerelvalorpresente(VP)delosproveedores,consi-deramoselmomento“0”comolafechafocal;ellosignificallevarlascuotasmensualesaesteperiodo.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:
Diagrama de flujo para la propuesta a
Unavezquelascuotasmensualeshansidotrasladadasalafechafocal“0”seprocederáacalcularelvalorpresentedelapropuestaA,queeslasumadetodasestascantidades.
VPpropuestaA=20000+15000/(1+5%)+15000/(1+5%x2)=$47922,08
Diagrama de flujo para la propuesta b
DeigualmaneraseprocederáparalapropuestaBVPpropuestaB=12554,11+19000/(1+5%)+19000/(1+5%x2)=$47922,08
Conestaóptica(fechafocalenelorigen),lasdoscantidadessoniguales,porello la señora JessicaAricoche puede afirmar que es indiferente aceptar laofertadelproveedorAoB.
ejemplo 2.Unpadredefamiliacolocasucapitalmediantepréstamosainteréssimple.Elprimeroysegundopréstamosde$7500y$2800,respectivamente;realizaelsegundopréstamo7mesesdespuésdelprimero.Latasaqueofrecen
31MateMática financiera
pagarleesdel2%pormes,¿cuáleselmontogeneradoporestospréstamossiambaspartesdecidenmantenerestaoperaciónporunañomásdespuésdelúltimopréstamo?
solución:Enestecaso,sepidecalcularelmontogeneradoporestosdosprés-tamos;paraelprimerpréstamoelnúmerodeperiodoses19meses(7+12),paraelsegundopréstamoseráde12mesesylatasadel2%mensual.Consi-derandolafechafocalalfinaldelaño,setiene:
1erdepósito=7500dólares 2dodepósito=2800dólares
Periodos=19meses Periodos=12Meses
M = 7500 (1 + 2% x 19) + 2800 (1 + 2% x 12) → M = 13 822 dólares
Elmontogeneradoporestosdospréstamosseríade$13822.Elsiguientediagramadetiempovisualizaeldesarrollodeesteejemplo.
32 Hernán B. Garrafa araGón
ProbleMas resueltos
1. SedepositaS/.3500por19meses,aunatasade12%anual.¿Cuálseráelmontogeneradoporestaoperación?
solución:
P=3500soles
n=19meses
r=12%/12 EntoncesM=3500(1+1%x19)=4165
ElmontogeneradoseríadeS/.4165.
2. Uninversionistacolocósucapitalde$30000comopréstamoaunaen-tidadcomercialpor5añosyainteréssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempolatasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones:
• 0,5%quincenaldurantelosprimeros7meses.
• 2,5%semestralporlos5mesesconsecutivos.
• 1,2%mensualporlossiguientes4trimestres.
• 6%anualporlossiguientes5semestres.
• 0,016%diarioporlossiguientes4meses.
• 1,5%bimestralporlos2últimosmeses.
a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital.
b) ¿Cuáleslatasaacumulada(tasatotaleneltiempoqueduralaoperación)ylatasaúnicaanualdeestaoperación?
solución: (Ver Anexo página I). Como en esta operación se producenvariacionesde tasas,se tienequeaplicar la fórmula(4),peroparaellola tasa y los periodos de tiempo tienen que ser homogéneos, es decir,expresadoenlasmismasunidades.
P=30000dólares
n1=7x2quincenas r1=0,5%
n2=5/6semestres r2=2,5%
n3=4x3meses r3=1,2%
n4=5/2años r4=6%
33MateMática financiera
n5=4x30días r5=0,016%
n6=1bimestre r6=1,5%
30000(0.5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1)
I=$12571
a) Elinversionistarecibiráporsucapitaluninterésde$12571alfinaldeloscincoaños.
Latasaacumuladaenestos5años,esigual:
0,5%x14+2,5%x5/6+1,2%x12+6%x5/2+0,016%x120+1,5%x1=0,4190
LatasaúnicaconvierteP=$30000enunperiodode5añosenunmontoM=$42571($30000+$12571),de la fórmula (3)setiene:
42 571 = 30 000 (1 + r x 5) → r = 8,3806%
b) Latasaacumuladaenlos5añoses41,9%ylatasaúnicaes8,381%anual.
3. Unapersonainvierte$50000aunatasadel12%deinteréssimpleanual;alcabode3añosinviertelautilidadaunatasadel3%deinteréssimplemensual.Siluegodetranscurridountiempo“n”lautilidaddelasegundainversiónesel75%delautilidaddelaprimera(enlostresaños),ycomonovaharetirarlainversióninicial,entonces,¿acuántoasciendeelmontototal?
solución: En este caso, se tiene que analizar el interés que genera lautilidadparaalfinalpoderobtenerelmonto.
P=50000dólaresr=0,12anual
Deacuerdoalafórmula(1),elinteréssimpleI3añosparalosprimeros3añosaestatasaserá:
I3años=50000x12%x3=18000
ConformeelenunciadodelproblemaennmesesmáselinteréssimpleI2generadoporunatasadel3%mensualesigualal75%deI3años(utilidaddelaprimera),entonceselinteréssimplegeneradoporestautilidadserá:
I2=75%x18000=18000x3%xn
Elcualdacomorespuestaqueeltiempotranscurridoesn=25meses.
34 Hernán B. Garrafa araGón
Adicionalmente,setienequeelcapitalinicialgenera,durante25meses,aunatasadel1%mensual(12%/12),uninteréssimpleI3:
I3=50000x1%x25=12500
Entonces,elinteréssimpleIgeneradoenestaoperaciónserá:
I=I3años+I2+I3=18000+13500+12500=44000
SetienequeM=P+I=50000+44000.
Elmontototalasciendea$94000.
4. LaempresamineraBuenaventuratieneensuplandestinar$9000000aunainversióndelaqueesperauningresode$5200000en6mesesyde$6300000dentrodeunaño.Considerandoelorigencomopuntofocalyqueestaoperaciónesrealizadaainteréssimple,determinar:
a) Latasadeinterésquehaceindiferentelainversión.
b) Lanuevatasadeinteréssialcabodeloctavomesadiciona$500000alainversión.
solución: Enunaoperaciónenlaqueestáninvolucradosegresoseingresosloquebuscatodoinversionistaesobtenerutilidades.Elloimplicaquelosegresosseanmenoresalosingresos;enelmomentoqueéstosseaniguales,sedicequeesindiferentelainversión,enelsentidoquenoexistenpérdidasogananciasenlainversión.Desarrollandoeldiagramadeflujo,setiene:
Considerandocomopuntofocalelorigen,sumaremoslosingresosylosigualaremosalosegresos(lainversiónrealizada)enestepunto,luego:
9000000=5200000/(1+rx6)+6300000/(1+rx12)
Considerandoa“r”latasadeinteréssimplemensual.
a) Aplicandolainterpolación,setienequeresiguala3,06212742%mensual.
b) es similar al caso anterior; se adiciona una nueva inversión a lainversióninicial;entoncesse tienequehallarelvalor totaldeesta
35MateMática financiera
inversión,locualsignificasumarestasdosinversionesenelpuntofocal,elorigen.Eldiagramadeflujoparaestecasoserádelasiguienteforma:
9000000+500000/(1+r1x8)=5200000/(1+r1x6)
+6300000/(1+r1x12)
Lanuevatasadeinteréssimpler1es2,4260252%mensual.
5. Unafábricatienedosdeudasconunprestamista.Laprimeraesporunmontode$1350convencimientodentrode28díasylasiguientedeudaesde$5400quevenceráalos42días.Lafábricadeseacancelareltotalde sus deudas mediante dos pagos de igual monto dentro de 35 y 70días,respectivamente.¿Cuálseráelmontodelospagosaefectuarporlafábricasielprestamistaaceptóestaformadepagoyestandodeacuerdoambos en aplicar una tasa de interés simple mensual del 8% para lasoperacionesrealizadasdentrodelos42primerosdíasyde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocaleldía70.
solución:Alconsiderarcomofecha focaleldía70, significa trasladarfuturasdeudasypagosaesafecha,teniendoencuentalavariacióndetasaqueserealizaeldía42.Eldiagramadeflujoseráelsiguiente:
ElmontodelospagosparacubrirladeudaseráelvalordeXeneldía70,adicionandoelvalordeXeneldía35,perollevadoaldía70,elcuales:
X+X(1+8%x7/30+7%x28/30)=2,084xX
36 Hernán B. Garrafa araGón
Elvalordeladeudaserálasumadelasdosdeudasllevadasaldía70,elcuales:
1350(1+8%x14/30+7%x28/30)+5400(1+7%x28/30)=7241,31
Elmontodelospagosdebeserigualalvalordeladeuda,elloimplicaque
2,084 x X = 7241,31 → X = 3474,72
Elmontodelospagosarealizarseráde$3474,72eldía35yelmismomontoeldía70.
6. Enelproblemaanterior,¿cuálseráelmontodepagosalaplicarunatasadeinteréssimplemensualdel8%paralasoperacionesrealizadasdentrodelos50primerosdías,yde7%mensualparalasoperacionesposteriores?Considerarcomofechafocaleldía70.
solución:Enestecaso,cambialafechaparalavariacióndetasadeldía42aldía50,entoncesahoracalcularemosnuevamenteelmontodelospagoseldía70.
X+X(1+8%x15/30+7%x20/30)=2,087xX
Elnuevovalordeladeudaserá:
1350(1+8%x22/30+7%x20/30)+5400(1+8%x8/30+7%x20/30)=7259,40
Comoenelcasoanterior,elvalordeestasdosecuacionestienenqueserigualesimplicandoparaelloelmontoapagarque,enestecaso,seráX=$3478,95eldía35y70,respectivamente.
7. Unprestamistaanalizaunatransaccióncomercialllevadaconanterioridadenlaqueinvirtióuncapitalalatasadeinteréssimpledel6,5%mensual,lacualseconvirtióen$3600.Sihubieseinvertidoala tasadeinteréssimpledel5%mensualyunañomenosqueenelcasoanterior,elinterésseríade$450.Obtener:
a) Loinvertidoporelprestamista.
b) Eltiempodeestaoperaciónenaños.
solución:Paraelprimercaso,setienecomodatoelmontoylatasa;enelsegundocaso,setienecomodatoelinterésgeneradoenestaoperaciónylatasa,entonces:
37MateMática financiera
1ercaso 2docaso
Monto=3600dólares Interés=450dólares
r=6.5%x12 r=5%x12
n=taños n=t-1años
Paraelprimercaso,aplicandolafórmula(3),setiene:3600=P(1+6.5%x12xt);paraelsegundocaso,aplicandolafórmula(1),setiene:450=Px5%x12x(t-1),deestasdosecuacionessetieneque:
a) Loinvertidoporelprestamistafue$1693,82.
b) Eltiempodeestaoperaciónfue1,44años.
8. Una persona tiene hoy una deuda de S/. 23 000, comprometiéndose acancelartaldeudadentrode360días,aunatasadeinteréssimplede1%mensual.Contandoconefectivo,dentrodelplazoprevistorealizaciertospagosdeS/.13500eldía90,S/.4500eldía180yS/.500eldía270.¿Cuálseráelpagofinaleldía360?
a) Realizandolaoperaciónelmismodíadelpago.
b) Realizandolaoperaciónteniendocomofechafocaleldía360.
solución:Ladeudaesúnica,confechasfocalesdistintas;paraelcasoa)setienequellevarladeudahaciacadafechadelospagos,restandoluegoelvalordepagorealizadoenesafecha,entonces:
Paraeldía90,elvalordeladeudaserá:
23000(1+1%x90/30)-13500=10190
Paraeldía180,elvalordeladeudaserá:
10190(1+1%x90/30)-4500=5995,7
Paraeldía270,elvalordeladeudaserá:
5995,7(1+1%x90/30)-500=5675,57
Paraeldía360,elvalordeladeudaserá:
5675,57(1+1%x90/30)=5845,84
a) En este caso, el pago final será de S/. 5845,84. En el caso b) setienequellevarestospagos,yladeudaalafechafocal(día360),ladiferenciaeslaquesetendríaquepagar.
Elvalordeladeudaenlafechafocales:
38 Hernán B. Garrafa araGón
23000(1+1%x360/30)=25760
Elvalordelospagoses:
13500(1+1%x270/30)+4500(1+1%x180/30)
+500(1+1%x90/30)=20000
b) EnestecasoelpagofinalseráS/.5760.
9. Sihoyinvertimos$10000enunCertificadodeDepósito,aunatasadeinterésdel3%mensualduranteseismeses.
(www.gacetafinanciera.com).
a) ¿Cuántoseráelmontofinaldelosseismeses?
b) ¿Cuántoseráelmontoalfinaldecadames?
solución:Delainformaciónsetiene:
P=10000dólares
r=3%mensual M=P(1+rn)
n=6meses M=10000(1+3%x6)=11800
a)Alcabodelosseismeses,setendría$11800.
Paraelcasob),seobtieneelsiguientecuadroresumen:
Periodo Capitalinicial Interés Capitalfinal
1 10,000 300 10,300
2 10,300 300 10,600
3 10,600 300 10,900
4 10,900 300 11,200
5 11,200 300 11,500
6 11,500 300 11,800
Como se observa, el monto al final del sexto mes es el mismo valorobtenidoparaelcasoa),comoeralógicodeesperar.
3�MateMática financiera
ProbleMas ProPuestos
1. Uninversionistacolocósucapital,deS/.150000,comopréstamoaunparticularpor6añosyainteréssimple.Sesabequeduranteestelapsodetiempo,latasadeinteréstuvolassiguientesvariaciones:
• 0,5%quincenaldurantelosprimeros6meses.
• 1,5%semestralporlos6mesesconsecutivos.
• 2%mensualporlossiguientes4trimestres.
• 1,5%anualporlossiguientes5semestres.
• 0,012%diarioporlossiguientes2meses.
• 1,25%bimestralporeltiemporestante.
a) Elinversionistadeseaconocerelinterésgeneradoporsucapital
b) ¿Cuáleselinteréspromediomensual?
2. IsaacMattostieneuncapitalque,porconveniencia,lodivideen2partes.Unaparteoprimercapitalcolocadoaunaciertatasadeinteréssimpledurante2/5deaño.Elresto,queesmayoren$50000alprimercapital,escolocadoalamismatasadeinterésdurante3/5deaño.Ladiferenciaentrelosinteresesgeneradosasciendea$2250ylasumadeestosintere-seses$6250.Calcularelmontodeestoscapitalesylatasadeinterés.
3. Unaempresainmobiliariaofreceunainversiónqueduplicarásudineroen10años.¿Quétasadeinteréssimpleleestaránofreciendo?
4. Enformasimilaralproblemaanterior,supongaquelehanofrecidounainversiónquetriplicarásudineroen10años.¿Quétasadeinteréssimpleleofrecerán?
5. DoshermanostienenahorradociertocapitalquedifiereenS/.100000.Unprestamista lespagaporesecapitalel2%y6%anuales respecti-vamente,laoperaciónespormedioaño.Sesabe,además,quesiestoshermanos juntaran sus capitales, les pagarían 8% por un año y seríasuperiorenS/.15000altotaldelosintereses.¿Cuáleselcapitalquetienenahorradoestoshermanos?
6. UnafamiliahalogradoreuniruncapitaldeS/.75000.Paradiversificarelriesgo,unterciodeestecapitalescolocadodurante15mesesal24%anual,mientrasquelosdosterciosrestantessoncolocadosdurante4mesesaunatasadeinterés,detalmodoquealfinaldelplazoelinterésgeneradoentotalasciendeaS/.17500.¿Cuáleslatasadeinterésmensualalaquesecolocóelsegundocapital?
40 Hernán B. Garrafa araGón
7. Giancarlo Álvarez tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al1,2%trimestralporunperiodode2años.UnasegundaopciónenelcasodequeincrementeelprimerdepósitoenS/.12000durante1año,lepagarían2,6%semestralconloquesegeneraríaunmontoigualaldobledelcapitaloriginal.¿Cuáleseldinerodepositadoyelmontodelaprimeraopción?
8. Enelproblemaanterior,quépasasisegeneraríaunmontoequivalentealdobledelcapitaloriginal.
9. DavidEspinozahalogradoreuniruncapitaldeS/.33000.Unapersonaleofrecepagar12%deinteréssimple.Porlosriesgosqueestaoperaciónrepresenta,sólodecidedepositar1/3desucapital,porunlapsodetiempode8meses,yel restodelcapital logracolocarloal9%anuala interéssimple,porunlapsodetiempo,detalformaquesegeneraríaporestasdosoperacionesunagananciatotaldeS/.2860.¿Cuántotiempotendríaqueestarcolocadoelsegundocapital?
10. ManuelMachucaesunprestamistayleexpresaaPedroBarrientosquesicolocasucapitalal3,5%mensualporunlapsodetiempo,legeneraunmontodeS/.2000.Finalmente, logracolocareste capital al18,5%mensualporelmismotiempo,generándoseunmontodeS/.6000.Pedroquieresaber.¿Cuáleseltiempoyelcapitalacolocar?
11. ElseñorManuelCortéstieneuncapitalde$12000quelogracolocarloaunatasadeinteréssimpleanualdel4,2%.Pasadountiempo,leofre-cenunatasadeinteréssimpleanualdel5%,considerandolamejoraenlatasa,decideretirarsucapitalyelinterésgeneradoycolocarlopor6mesesmásqueenlaanterioroperación.Alfinal,Manuellograobte-nerporlasegundaoperación,entreelnuevocapitalyelinterésgene-rado,$16000.¿Cuálfueellapsodetiempoenqueestuvocolocadoelcapitalenlaprimeraoperación?
12. Conrelaciónalproblemaanterior,¿cuánto tiempo tendríaquepasarsiparalasegundaoperaciónsóloretira3/4desucapital?
13. LaseñoritaVanesaÁlvareztieneuncapitaldeS/.9500.Estecapitalestuvoprestadoyhalogradogenerarunacantidad,detalformaqueaumentadaenun8%seríaS/.1450.LaseñoritaVanesasabequesucapitalestuvoprestadoporunañoyloquequieresaberes.¿Aquétasamensualestuvoprestado?
14. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasienvezdeestaraumentadaenun8%estuvodisminuidaen4%?
15. Setieneunciertocapitalqueseplaneaprestaren2partes.Si3/7deestecapitalseprestaal7%anualyladiferenciaal9%anual,porestaoperación
41MateMática financiera
segeneraun interés.Comoamayormonto seobtieneunamejor tasa,decideaumentardichocapitalenS/.27000ylepagarían10%anual.Si,finalmente,elinterésaumentaenS/.4500.¿Cuáleselcapitalinicialsilaoperaciónseríaporunaño?
16. Conrelaciónalproblemaanterior,¿quépasasilaspartesson3/5y2/5?
17. MaríaMujica tiene los capitalesdeS/. 126000yS/. 94000,queporrazones de riesgo están colocados a distintas tasas de interés. Comofueroncolocadosaplazofijodeunaño,alfinaldelmismosetienequelasumadelosinteresesgeneradosporestosdoscapitalesesunacantidaddeS/.12460.Adicionalmente,setienequeelinterésgeneradoporunodeloscapitalessuperaalotroenS/.1280.¿Cuálessonlastasasdeinterésconlaqueestuvieroncolocadosdichoscapitales?
18. Seprestaundeterminadomontodedineropor1añoal10%mensual.Sipasadoslos6mesessetieneuntieneentotalS/.25000.¿Cuálserálacantidaddedineroquesetendríaalfinalizarelaño?
19. Seprestaunacantidaddedinero,ainteréssimple,desdeel05/03al28/09.Durante los primeros 3 meses, le pagaron 5% mensual y el resto deltiempoa12%anual.¿Cuáleslacantidaddedineroinicialmenteprestadasi,pornecesidadel28/07,retiróS/.15000?
20. UnalavadoracuestaS/.1299,segúnelpreciodelista,tratandodemostraralternativasdeventaesofrecidaendosmodalidades:
a) Alcontado:conundescuentodel20%sobreelprecioenlista;
b) Financiada: 50% de anticipo y el 50% restante a los 6 meses, sininterés.
Enrealidad,¿quétasadeinterésestácobrandolacompañía?
21. Se tieneuncapitalde$9000,quees colocadoel1/3/2004por elquepagan6%anualmente,yel23/8/2005,porunapuro,retiran$3600.¿Cuáleselsaldoal24/12/2007?
22. Unainmobiliariatienelaposibilidaddecomprarunterreno,eldueñodelterrenolepropone2opcionesdeventa:
a) Unacuotainicialde$7000y$33000alfinaldelsegundoaño.
b) $33000decontado.
Sieldineroquenoseutiliceparaelpagopuedecolocarseaunatasadeinteréssimpledel9%anual.¿Porcuálde lasopciones la inmobiliaria,finalmente,decidiría?
42 Hernán B. Garrafa araGón
23. Conrelaciónalproblemaanterior,¿cuáldeberíaserelpagodecontado,detalmaneraquelasdosopcionesseanindiferentes?
24. JoséAragónplanificasueconomía;esporelloquerealizóundepósitodeS/.23000el1/3/2003aunatasadeinteréssimpledel3%semestral;el6/2/2004retiróunacantidaddedinero.El8/8/2005latasadeinterésvaría,detalformaqueel12/11/2007lograobtenerporestaoperaciónunsaldofavorableporunmontodeS/.28420,00.¿Encuántovariólatasadeinterésparalograrestesaldo?
25. Unprestamistacoloca sudinerocon la condiciónque se lodevuelvandentrode4y14mesesS/.7500yS/.15000,respectivamente.Recibelacontraofertadepartedelprestatariodecancelarladeudaconunsolopagoa los7meses,si lecobraunatasadeinteréssimplemensualdel1.5%porloqueelprestamistaacepta.¿Cuáleselpagoquetendráquerealizaréste?