1_integracion_numerica

5/14/2018 1_integracion_numerica - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/1integracionnumerica 1/57

Integracion numerica

1



Contenido

Integracion de ecuaciones diferenciales ordinarias

Metodos de Euler

Metodo trapezoidal

Comparacion de los metodos de Euler ytrapezoidal

Metodo de Heun Metodo de Euler modificado

2



INTEGRACION DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

3



Respuesta de un sistema lineal

La investigación del comportamiento de un sistemadinamico de tiempo continuo requiere una soluciónde ecuaciones diferenciales

Sin embargo, la solucion analitica puede ser dificilo, en algunos casos, imposible

4



Necesidad de los metodosnumericos

Puede ser necesario encontrar la solucion paradiferentes funciones de “entrada”

Caso forzado (Solucion no homogenea)

En ocasiones, solo se dispone de valoresmuestreados de las “entradas” al sistema

La solucion analitica no existe

5

Los metodos numericos permiten

resolver el problema



El problema estandar

Se considera resolver la ecuacion diferencial(ODE) , y condicion inicial:

Objetivo: Hallar la solucion x(t ) en un intervalo Integracion numerica: implementar un algoritmo

computacional algebraico

6

),( xt f dt

t dx 00 xt x



Aplicación de las ODE en elmodelado

La segunda ley de Newton

7

vm

cg

dt

dv

Variable dependiente

Variable independiente

Una ecuacion diferencial de orden n puede ser

reducida a ecuaciones diferenciales de primer orden



Aplicación de las ODE en elmodelado

8



Categorias de los metodos

9

ODE Solver

Categories

Based on step

arrangement Based on equation

form

Single step Multi-step Explicit Implicit



Los metodos numericos

Primero: discretizar el tiempo

10

k t 1t 2t 1k t 0

t t t

Step size = h

En general, el tamaño de paso puede servariable




Segundo: representar x (t ) usando los valores en t k

11

1t 2t 3t k t 0

3ˆ x 4

ˆ x1ˆ x

2ˆ x

ˆ ( )k

k x x t

Solucionaproximada

Solucionexacta




Tercero: aproximar la derivada usando los valoresdiscretos

Por ejemplo:

12

ˆk

x

1

( )

k k

k

k

dx t x xdt t



Ejemplo

13

v0

Coeficiente viscoso = cm

F = m*a vcdt

dvm ( , )

dxax f x t dt

f(x,t) es la pendiente de x(t) en cada punto (t,x)

0(0) x x

t

x

(t,x) ( , )dx

f x t dt



Aprox: usando Taylor

14

v0


F = m*a vc

dt

dvm ( , )

dxax f x t

dt

2( ) (0) (0,0) ( ) x h x f h O h

1( , )i i i i x x f x y h



Analisis alterno

15

v0


F = m*a vc

dt

dvm ( , )

dxax f x t

dt

Integrar en un pequeño intervalo de tiempo, h

1 00

( ) ( , )h

x h x x f x t dt dx

dt



Analisis alterno

16

1( ( ), )

i

i

x h

i i x

x x f x t t dt

El problema es que no conocemos x(t)

Asumiendo h pequeño, f(x,t) es aproximadamente constante.Usando el metodo de Euler explicito

h y x f y y iiii ),(1



El proceso de la integracion

17

S t a t e v s . T

i m e

1) Original Data3) Initial Condition 2) Choose Time Step4) Evaluate Derivative5) Next State = Initial Condition + Derivative * Time StepError



Efecto del paso de integracion

18

S t a t e v s .

T i m

e

S t a t e v s .

T i m

e

Nine Time StepsFour Time Steps



METODOS DE EULER

19

Euler, Léonard

1707-1783



El metodo de Euler

Se considera resolver la ecuacion diferencial(ODE) de una sola variable, y condicion inicial:

Estrategia: aproximar la derivada

20

),( xt f dt

t dx 00 xt x

t t t

t xt t x

dt

dx

t

)(

)()(



El metodo de Euler explicito

El valor de f ( x) se evalua en el valor conocido de

x o en xk

21

t

x x

dt

dx k k

t k

1

)( k k k x f

t

x x

1



El metodo de Euler explicito

El valor de f ( x) se evalua y se usa para estimar el

el valor de x(t+ t )

22

)( k k k x f t x x 1

Notese que el lado derecho de la expresioncontiene valores conocidos, por lo tanto se puede

resolver explicitamente

Step size = h



Suposiciones y simplificaciones

Se asume que la funcion f es continua ydiferenciable, es decir, existe una solucion unica.

Por simplicidad se considera el caso lineal,

23

00 )(

)(

)(

xt x

t Axdt

t dx



Aproximacion con el metodo deEuler explicito

24

lt 1l

t t

x

1( ) ( )slope l l

x t x t

t

slope ( )l

d x t

dt

1( ) ( ) ( )l l l

x t x t t A x t

1

1

( ) ( )( ) ( )

or

( ) ( ) ( )

l l

l l

l l l

x t x t d x t A x t

dt t

x t x t t A x t



Aproximacion con el metodo deEuler explicito

25

1t

2t t

x

(0)tAx

3t

1ˆtAx

11

112

2

1

1

ˆ)(

ˆ

)(

)0()0(ˆ)(

L L L

L tAx x xt x

tAx x xt x

tAx x xt x



Metodo de Euler implicito

Este metodo difiere del metodo implicito en que el

valor de f ( x) se evalua en el valor desconocido de

x en xk +1

26

)( 11

k

k k x f t

x x )(11 k k k x f t x x

La ecuacion is implicita in xk+1 . Dependiendo

de la no linealidad de f ( x), puede requerirse una

solucion iterativa



Aproximacion con el metodo deEuler implicito

27

lt 1l

t t

x1slope ( )

l

d x t

dt

1( ) ( )slope l l

x t x t

t

1 1( ) ( ) ( )l l l

x t x t t A x t

11 1

1 1

( ) ( )( ) ( )

or

( ) ( ) ( )

l l

l l

l l l

x t x t d x t A x t

dt t

x t x t t A x t



Aproximacion con el metodo deEuler implicito

28

1t 2t t

x

1ˆ

tAx

2ˆtAx

Resolver con eliminacion Gausiana

11

112

2

1

11

1

][ˆ)(

][ˆ)(

)0(ˆ][

)0(ˆ)(

L L

L xtA I xt x

xtA I xt x

x xtA I

tAx x xt x



Ejemplo: y´ = – y + 1

Use el metodo de Euler para resolver

En este caso, el metodo de Euler explicito da:

29

1 y

dt

dy0)0( y

)1(1 nnn yt y y




30

n tn yn fn= - yn+1 yn+1= yn+t fn

0 0 0.000 1.000 0.100

1 0.1 0.100 0.900 0.190

2 0.2 0.190 0.810 0.271

3 0.3 0.271 0.729 0.344

4 0.4 0.344 0.656 0.410

5 0.5 0.410 0.590 0.469

6 0.6 0.469 0.531 0.522

7 0.7 0.522 0.478 0.570

8 0.8 0.570 0.430 0.613

9 0.9 0.613 0.387 0.651




31

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0 . 2

5

0 . 5

0 . 7

5 1

1 . 2

5

t

Exact

Numerical

y

t e y 1

Solucion analitica



Ejercicio

Usando el metodo de Euler resolver:

32

t

edt

dx

Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;

a) t = 2 b) t = 1

c) t = 0.5 d) t = 0.1



Solucion

330 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Solucion exacta x(t ) = 1- e-t

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t = 2

t = 1

t = 0.5 t = 0.1

Solucion aproximada usando Euler

x(t)

t



METODO TRAPEZOIDAL

34



Metodo trapezoidal

35

0 1( ) ( ) ( )

2

b

a

h f t dt f t f t

t 0 t 1 t

f (t )

L(t)



Aproximacion trapezoidal

36

t

x

1( ) ( )slope l l

x t x t

t

slope ( )l

d x t

dt

1slope ( )l

d x t

dt

1 1

1 1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

2 2l l l l

x t tAx t x t tAx t

))()((21)()(

)()(

))()((21

))()((2

1

11

1

1

1

llll

ll

ll

ll

t xt xtAt xt x

t

t xt x

t Axt Ax

t xdt

d t x

dt

d



Aproximacion trapezoidal

37

1t 2t t

x

Resolver con eliminacion Gausiana

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

211

1

][][ˆ)(

][][ˆ)(

)0(][ˆ][

))0(()0(ˆ)(

Lt t L

L

t t

t t

x A I A I xt x

x A I A I xt x

x A I x A I

Ax Axt x xt x



Modelo trapezoidal de un capacitor

38

2( ) ( ) ( ( ) ( ))t

C v t t v t i t i t t

+

C

-

+

-

( )v t t

( )i t t

( )i t t

2C eq

t

G

( )v t t

+

-

2 ( ) ( )C

eq t I v t i t

2 2( ) ( ) ( ) ( )C C t t

i t t v t t v t i t



Modelo trapezoidal de unainductancia

39

2( ) ( ) ( ( ) ( ))t

Li t t i t v t v t t

+

L

-

+

-

( )v t t

( )i t t

( )i t t

2 Leq t

R

( )v t t

+

-2 ( ) ( ) L

eq t V i t v t

2 2( ) ( ) ( ) ( ) L Lt t

v t t i t t i t v t



Ejercicio

Usando el metodo Trapezoidal resolver:

40

2t dx

edt

Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;

a) t = 2 b) t = 1

c) t = 0.5 d) t = 0.1



COMPARACION DE LOS METODOSDE EULER Y TRAPEZOIDAL

41



Comparacion de los metodos

42

1

1( ) (( ) )) )( (

l

l

t

l lt

d x t x t x t A d x t x A

dt

lt 1lt

1

( )l

l

t

t

Ax d

1( )

ltAx t E imp

( )l

tAx t E exp

1( ) ( )

2l l

t Ax t Ax t

Trap



Resumen de conceptos basicos

Los metodos de Euler y trapezoidal son todosmetodos de un solo paso:

El metodo de Euler explicito es el mas simple

El metodo trapezoidal puede ser mas preciso

43

1 2 3 4

se calcula usando solo , no , , , etc.l l l l l

x x x x x

La solucion de la ecuacion en cada pasousa un metodo implicito



METODO DE HEUN

44



Limitacion del metodo de Euler

El metodo de Euler es popular en gran medidadebido a su simplicidad. Asume que la derivadapermanece constante en el intervalo de

integracion:

Al principio, en el metodo explicito

Al final, en el metodo implicito

Si el estado cambia rapidamente esta suposicionno es valida

45




La limitacion propia de los metodos de Euler puedeenfrentarse simplemente disminuyendo el paso deintegracion (step size).

Esto puede no ser practico (mas tiempo decomputo)

El metodo de Heun usa el promedio de la derivadaen el intervalo de integracion

46



Ilustracion del metodo de Heun

47



Metodo de Heun

Es un metodo predictor-corrector

48

Predictor

Corrector

1

1

,

ˆ 1

A

A A

L f x n u n

x n x n h L

2

1 2

ˆ 1 , 1

12

A

A A

L f x n u n

h x n x n L L



Metodo de Heun con iteracion delcorrector

Iterar el corrector del metodo de Heun paraobtener un mejor estimado

49

1 22

A

h x n L L 1

j

A x n

1

2ˆ 1 , 1

j

A L f x n u n



Comparacion de los metodos

50

Euler’s

Heun’s

with 5

iterations

Exact

Heun’s

method

10 y t y dt

dy)(;)sin(

t



METODO DE EULER MODIFICADO

51




El metodo de Euler es popular en gran medidadebido a su simplicidad. Asume que la derivadapermanece constante en el intervalo de

integracion:

A menudo es mejor usar la pendiente en otrospuntos de la curva.

52



Metodo de Euler modificado

53

x(t)

t t i t i+1

t

Line with

slope f ( xi,t i)

Predicted value of x(t i+1)

Actual value of x(t i+1)

Error in

Euler’s method

El metodo de Euler modificado predice el valor de xi 1 con la



54

El metodo de Euler modificado predice el valor de xi+1 con la

pendiente en el punto (t i+1/2 , xi+1/2 ) , esto es , el punto medio

entre (t i , xi ) y (t i+1 , xi+1 )

Predicted value of x(t i+1) usingEuler’s method

x(t)

t t i t i+1

t/ 2

Actual value of x(t i+1)

t/ 2

Line withslope f ( xi,t i)

t i+1/2

Predicted value of xi+1/2

Predicted value of x(t i+1) using

Midpoint method

Line with

slope f ( xi+1/2,t i+1/2)



Metodo de Euler modificado o del punto medio

En el metodo del punto medio:

Predecir el valor de xi+1/2 usando el metoo de Euler

Predecir el valor de xi+1 con la pendiente f (t i+1/2 , xi+1/2). El

valor de xi+1/2 se obtiene del paso anterior

55

2),(2 / 1 t xt f x x iiii

t xt f x x iiii ),( 2 / 12 / 11



Ejercicio

Usando el metodo de Euler modificado resolver:

56

Para 0 < x < 10, con x (0) = 0;

a) t = 2 b) t = 1

c) t = 0.5 d) t = 0.1

t e x

dt

dx 21

Comparar con el metodo de Euler



Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback

Control . Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003.

Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of ClassNotes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003

Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.University of Birmingham. 2003.

Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics .School of Mathematics, University of Minnesota andDepartment of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.

http://www.eas.asu.edu/~tsakalis

http://www.eas.asu.edu/~tsakalis

Date post:	17-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	rodrigo-oliver-delgado-arcega
View:	560 times
Download:	0 times

1_integracion_numerica

Documents