CUERPOS GEOMÉTRICOS Poliedro: es un cuerpo geométrico cerrado limitado por caras planas que son polígonos. Caras: son los polígonos que lo limitan. Aristas: son los lados de las caras. Las aristas son los dobleces que separan las caras. Vértices: son los puntos extremos de las aristas. Cuerpo de revolución: es el cuerpo que se obtiene al hacer girar una figura plana en torno a un eje. 1 Di si es un poliedro o un cuerpo de revolución cada uno de los siguientes cuerpos geométricos: 2 Completa la tabla: Caras Vértices Aristas Teorema de Euler: Si un poliedro no tiene orificios entonces el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. C + V = A + 2 3 Comprueba que las figuras del ejercicio anterior cumplen el teorema de Euler. 4 Un poliedro que tiene 4 caras y 4 vértices, ¿cuántas aristas tendrá? 161
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Poliedro: es un cuerpo geométrico cerrado limitado por caras planas que son polígonos.
Caras: son los polígonos que lo limitan.
Aristas: son los lados de las caras. Las aristas son los dobleces que separan las caras.
Vértices: son los puntos extremos de las aristas.
Cuerpo de revolución: es el cuerpo que se obtiene al hacer girar una figura plana en torno a un eje.
1 Di si es un poliedro o un cuerpo de revolución cada uno de los siguientes cuerpos geométricos:
2 Completa la tabla:
CarasVérticesAristas
Teorema de Euler: Si un poliedro no tiene orificios entonces el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos.
C + V = A + 2
3 Comprueba que las figuras del ejercicio anterior cumplen el teorema de Euler.
4 Un poliedro que tiene 4 caras y 4 vértices, ¿cuántas aristas tendrá?
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Poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son polígonos regulares idénticos y en cada vértice
concurren el mismo número de caras. También se llaman cuerpos platónicos.
5 Completa la tabla:
Poliedros regulares Nombre Descripción Desarrollo
TetraedroEstá formado por 4 triángulos equiláteros iguales y en cada vértice confluyen 3 de ellos.
El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de toda la naturaleza. Con un inusitado despliegue de fantasía geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica mediante una transferencia de propiedades del mundo matemático al mundo natural.Cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros. En cuanto al dodecaedro, cuyas caras no se pueden componer con los triángulos más bellos, Platón sugiere que es la forma general del universo (54d–55c). Tras la lectura del fastuoso Timeo uno entiende que a los poliedros regulares se les llama Cuerpos platónicos.
6 Recorta los desarrollos de los poliedros regulares que hay en las páginas siguientes, pégalos sobre cartulina para darles consistencia, vuelve a recortarlos, dobla por las aristas y pega las aristas sueltas con fixo. Utilízalos después para hacer el siguiente ejercicio.
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7 Cuenta las caras, vértices y aristas de cada poliedro regular y completa la tabla asegurándote que se cumple el teorema de Euler:
Dodecaedro Octaedro Icosaedro Hexaedro Tetraedro
Caras
Vértices
Aristas
8 Este poliedro tiene seis caras que son triángulos equiláteros. ¿Es un poliedro regular? ¿Por qué?
Prisma: es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y varios paralelogramos (caras
laterales).
Altura de un prisma: es la distancia que separa los planos que contienen las bases.
Prisma recto: es un prisma cuyas caras laterales son rectángulos. Si además las bases son polígonos
regulares el prisma se llama regular.
Prisma oblicuo: es un prisma cuyas caras laterales no son rectángulos.
Prisma recto regular de base hexagonal Prisma oblicuo de base triangular
Área lateral de un prisma: es la suma de las áreas de las caras laterales.
Área total de un prisma: es el área lateral más las áreas de las bases.
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9 Las bases de un prisma recto son dos triángulos rectángulos cuyos catetos miden 1´6cm y 1´2cm. El prisma tiene una altura de 2´5cm. Dibuja el desarrollo del prisma con las medidas exactas y calcula su área total. Sol: 13´92cm2
10 Dibuja con las medidas exactas el desarrollo de un prisma recto regular de base hexagonal sabiendo que tiene una altura de 3cm. El perímetro de cada hexágono es de 4´8cm y la apotema es de 0´7cm. Calcula su área total. Sol: 17´76cm2
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11 Las bases de un prisma recto son dos cuadrados de 1´5cm de lado. La altura del prisma es de 0´8cm. Dibuja el desarrollo del prisma con las medidas exactas y calcula su área total. Sol: 9´3cm2
12 Observa los desarrollos de algunos prismas rectos y colorea sus bases. Clasifícalos diciendo si son regulares o no y según sus bases:
Prisma recto regularde base cuadrada
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base base
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Paralelepípedo: es un prisma cuyas bases son también paralelogramos. Está limitado por seis paralelogramos y cada paralelogramo es idéntico a su opuesto.
Ortoedro: es un paralelepípedo formado por seis rectángulos.
Cubo o hexaedro: es un ortoedro formado por seis cuadrados.
13 Este es el desarrollo de un paralelepípedo. Toma medidas y calcula su área total. Sol: 9´5cm2
14 Dibuja el desarrollo, con las medidas exactas, de un ortoedro de 3cm de largo, 2cm de ancho y medio centímetro de alto. Calcula su área total. Sol: 17cm2
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15 Las aristas de un cubo miden un centímetro y medio cada una. Dibuja su desarrollo con las medidas reales y calcula su área total. Sol: 13´5cm2
16 El cubo de Rubik tiene una superficie total de 188´16cm2. ¿Cuánto mide cada cuadrado? Sol: 3´48cm2
17 Una caja tiene 10cm de ancho, 12 de largo y 5 de alto. ¿Podemos meter en ella una varilla rígida de 18cm sin romper la caja? Sol: no
18 ¿Cuánto mide la diagonal del cubo si cada arista es de 4cm? Sol: 6´93cm
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Pirámide: es un poliedro limitado por una base que es un polígono cualquiera y por triángulos que todos
ellos tienen un vértice común.
Altura de la pirámide: es la distancia que separa el vértice del plano que contiene la base.
Pirámide de base rectangular
Pirámide regular: es una pirámide cuya base es un polígono regular y cuyas caras laterales son
triángulos isósceles. La altura de los triángulos isósceles se llama apotema de la pirámide.
Pirámide regular de base pentagonal
Área lateral de una pirámide: es la suma de las áreas de los triángulos que comparten el vértice.
Área total de una pirámide: es el área lateral más el área de la base.
19 La Gran Pirámide es la mayor de las tres que se extienden en la llanura de Guiza, cerca del actual Cairo. Tuvo una altura de 146´6m en su origen. Hasta el siglo XIX fue el edificio más alto de la Tierra. Ocupa una superficie de 53000m2 (8 campos de fútbol). La pirámide tenía originalmente un revestimiento de losas de caliza pulida, es decir, que era lisa y no se veían los 203 escalones que vemos hoy; actualmente no queda nada del mismo.19.1 Comprueba que la relación entre el doble de la longitud de su lado y su altura es
aproximadamente el número π.
19.2 Calcula el área del revestimiento original. Sol: 85821´41m2
19.3 ¿A cuántos campos de fútbol equivale el revestimiento? Sol: casi a 13
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20 Una pirámide regular tiene la base hexagonal. La apotema de la base mide 0´8cm y el lado de la base 1´2cm. La altura de la pirámide es de 3´15cm. Dibuja su desarrollo con las medidas dadas y calcula su área total. Sol: 14´58cm2
21 Una pirámide regular tiene una altura de 2´4cm y su base es un cuadrado cuyo lado mide 2cm. Dibuja su desarrollo y calcula su área total. Sol: 14´4cm2
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Tronco de pirámide: si una pirámide se corta por un plano paralelo al que contiene a la base la parte de
la pirámide comprendida entre los dos planos es un tronco de pirámide. Un tronco de pirámide
tiene dos bases que son dos polígonos semejantes.
Altura del tronco de pirámide: es la distancia que separa los planos que contienen las bases.
Tronco de pirámide de base rectangular
Tronco de pirámide regular: es un tronco de pirámide que se obtiene a partir de una pirámide regular.
Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales y la altura de esos trapecios se llama apotema
del tronco de pirámide.
Tronco de pirámide regular de base pentagonal
22 Se ha excavado en la tierra para hacer una balsa de agua para riego con forma de tronco de pirámide regular invertido de base cuadrada.22.1 Calcula el área que hay que impermeabilizar para que el agua no se filtre sabiendo que el
perímetro del borde es de 640m, el perímetro del fondo es de 592m y cada arista que une dos trapecios mide 11´66m. Sol: 28064m2
22.2 Si el material para impermeabilizar viene en rollos de 50m2 ¿Cuántos rollos se necesitarán?
22.3 ¿Cuál será el importe de impermeabilizar la balsa si cada rollo cuesta 245€ con la mano de obra incluida y hay que pagar un 16% de I.V.A.? Sol: 159720´40€
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Superficie cilíndrica: es la superficie que se obtiene al hacer girar una recta en torno a un eje
paralelo a ella.
Cilindro recto o cilindro: es el espacio limitado por una superficie cilíndrica que se ha cortado por dos
planos perpendiculares al eje. Las bases son dos círculos.
También se puede definir como la figura que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de
uno de sus lados.
Área lateral de un cilindro: es el área de la superficie curva, que si se desenrolla tiene formade rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia.
AL = 2πr · a
Área total de un cilindro: es el área lateral más el área de las bases.
AT = 2πr · a + 2 · πr2
Cilindro oblicuo: es el espacio limitado por una superficie cilíndrica que se ha cortado por dos
planos paralelos y no perpendiculares al eje. Las bases son dos elipses.
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eje rect
a
a r
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23 Un rectángulo de 2cm de largo y 1´4cm de alto se hace girar entorno a uno de sus lados cortos engendrando un cilindro. Dibuja su desarrollo con regla y compás con las medidas exactas y calcula su área total. Sol: 42´7cm2
24 Ahora el rectángulo del ejercicio anterior se hace girar en torno a un lado largo. Dibuja su desarrollo con las medidas exactas y calcula su área total. Sol: 29´89cm2
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25 En una conservera se envasan los productos en tres latas cilíndricas de distintas capacidades. Toma medidas de la altura y del diámetro y calcula las dimensiones de las etiquetas que tienen que llevar.25.1
25.2
25.3
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Superficie cónica: es la superficie que se obtiene al hacer girar una recta en torno a un eje al que corta.
Vértice: es el punto de intersección de la recta y el eje.
Cono recto o cono: es el espacio limitado por una superficie cónica desde el vértice hasta un plano perpendicular al eje. La base es un círculo. También se puede definir como la figura que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos.
Altura del cono: es la distancia que separa el vértice del plano que contiene la base.
Generatriz del cono: es el segmento que une el vértice con cualquier punto de la circunferencia que delimita la base.
La hipotenusa del triánguloes la generatriz del cono.
Área lateral de un cono: es el área de la superficie curva, que si se desenrolla tiene forma de sector circular cuyo radio es la generatriz y su arco mide la longitud de la circunferencia de la base.
La longitud del arco de un sector circular y su área son
directamente proporcionales.
2
L2
2L
L2
L
L
L
long circunf área circunflong arco área sector
2 g g2 r A
g g g A r gr A
r gA rgg
A r gA rg
=
π π=π
π= → ⋅ = ⋅ π
⋅ π= = π
= ⋅ π= π
Área total de un cono: es el área lateral más el área de la base.AT = πrg + πr2
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El sector circular es como un triángulo, su área se obtiene de forma similar:
Triángulo Lb a 2 r gA A2 2⋅ π ⋅= =
LA rg= π
eje
recta
g
2π r
AL
altu
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generatriz
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Cono oblicuo: es el espacio limitado por una superficie cónica desde el vértice hasta un plano no
perpendicular al eje. La base es una elipse.
26 La altura de un cono mide 7´2cm y la generatriz mide 7´8cm.26.1 Calcula el radio de la base del cono.
26.2 Calcula el área total del cono. Sol: 101´74cm2
27 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2´4cm y 3´2cm. El triángulo se hace girar en torno al cateto menor generando un cono.27.1 Calcula la generatriz del cono.
27.2 Calcula el área total del cono. Sol: 72´35cm2
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Tronco de cono: si un cono se corta por un plano paralelo al que contiene a la base la parte del cono
comprendida entre los dos planos es un tronco de cono. Un tronco de cono tiene dos bases
circulares.
También se puede definir como la figura que se obtiene al hacer girar un trapecio rectángulo
alrededor de su lado vertical.
Altura del tronco de cono: es la distancia que separa los planos que contienen las bases.
Generatriz del tronco de cono: es el segmento que une un punto de la circunferencia que delimita la
base menor con el más próximo de la circunferencia que delimita la base mayor.
Área lateral de un tronco de cono: es el área de la superficie curva, que si se desenrolla tiene forma de
sector de corona circular.
Los sectores son semejantes → 1 1
2 2
2 r g2 r g
π =π → 1 1
2 2
r gr g
= → 2 11
2
r grg⋅=
AL = πr1g1 – πr2g2
AL = πr1(g + g2) – πr2g2
AL = πr1g + πr1g2 – πr2g2
AL = πr1g + π 2 1
2
r gg⋅
g2 – πr2g2
AL = πr1g + πr2g1 – πr2g2
AL = πr1g + πr2(g1 –g2)
AL = πr1g + πr2g
AL = πg(r1 + r2)
AL = π(r1 + r2)g
Área total de un tronco de cono: es el área lateral más el área de las bases.
AT = π(r1 + r2)g + πr12 + πr2
2
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El sector de corona circular es como un trapecio, su área se obtiene de forma similar:
1 2Trapecio L
(2 r 2 r ) g(B b) aA A2 2
π + π ⋅+ ⋅= =
1 2L
2 (r r ) gA2
π + ⋅=
L 1 2A (r r )g= π +
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generatriz a g
r2
r1
g
2π r1
2π r2
2π r1
2π r2
g1
g2
= –
AL π r1g1
π r2g2
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28 Un alfarero hace maceteros de barro con forma de tronco de cono. La generatriz del macetero mide 26cm, y los diámetros 30cm y 20cm. En el almacén tiene 1200 maceteros a los que ahora tiene que pintar por fuera, por el lateral y por la base. ¿Cuántos botes de pintura necesitará sin con cada bote puede pintar 5m2? Sol: 57 botes
29 Calcula el área de la superficie reflectante de un cono de tráfico. La altura del tronco de cono reflectante mide 13´7cm y los radios 4´9cm y 2´7cm. Sol: 331´23cm2
30 Una fábrica de lámparas utiliza tulipas con forma de tronco de cono. Calcula la superficie de la tulipa sabiendo que mide 24cm de alto y que sus radios son de 4cm y 14cm. Sol: 904´32 cm2
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Esfera: es la figura que se obtiene al hacer girar un semicírculo alrededor de su diámetro.
La esfera no tiene desarrollo plano.
Área de la esfera: Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual que el área
lateral de un cilindro que tenga el mismo radio y cuya altura sea el diámetro
de la esfera.
A = 2πr · 2r = 4πr2
31 Un artesano hace globos terráqueos de madera de 10cm de diámetro que después tiene que barnizar. Averigua cuántos globos puede barnizar con un bote pequeño de barniz que da para barnizar 2m2.
Sol: 63
32 Un globo se infla hasta tener forma esférica y el diámetro mide 56cm. ¿Cuánto mide la superficie del globo inflado? Sol: 9847´04cm2
33 Un oso avanza al Sur cien metros, a continuación avanza cien metros al Oeste (o al Este), y finalmente recorre otros cien metros al Norte llegando al punto de partida. ¿De qué color es el oso?
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2r
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¿Qué diferencia hay entre un poliedro y un cuerpo de revolución?
¿Qué dice el teorema de Euler?
¿Qué tiene que cumplir un poliedro para ser regular?
Nombra los poliedros regulares.
¿Qué es un prisma? Dibuja un prisma.
¿Cómo se calcula el área lateral de un prisma?
¿Cómo se calcula el área total de un prisma?
¿Cuáles son las diferencias que hay entre un paralelepípedo, un ortoedro y un cubo?
¿Qué es una pirámide? Dibuja una pirámide.
¿Cómo se calcula el área lateral de una pirámide?
¿Cómo se calcula el área total de una pirámide?
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¿Qué es un cilindro? Dibuja un cilindro.
¿Cómo se calcula el área lateral de un cilindro?
¿Cómo se calcula el área total de un cilindro?
¿Qué es un cono? Dibuja un cono.
¿Qué es la generatriz de un cono?
¿Cómo se calcula el área lateral de un cono?
¿Cómo se calcula el área total de un cono?
¿Cómo se calcula el área lateral de un tronco de cono?
¿Cómo se calcula el área total de un tronco de cono?
