Simposio de Estadística – 2001 i
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
2. ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS SIMPLES .....................................................................31
2.1. Dominio de aplicación ................................................................................................................31
2.2. Fundamentos del método............................................................................................................32
2.2.1. Tabla de frecuencias relativas ............................................................................................32
2.2.2. Tablas de perfiles fila y columna .......................................................................................33
2.3. Nubes de perfiles fila y columna ................................................................................................35
2.3.1. La distancia ji-cuadrado entre perfiles ...............................................................................36
2.3.2. Centro de gravedad de la nube de perfiles fila (en Rp).......................................................37
2.3.3. Inercia de la nube de puntos...............................................................................................37
2.4. Solución del análisis de correspondencias simples - ACS..........................................................38
2.5. Relaciones cuasi-bibaricentricas.................................................................................................39
2.6. Proyección de elementos suplementarios ...................................................................................41
2.7. Ayudas a la interpretación ..........................................................................................................41
2.7.1. Contribución absoluta del punto i en el eje α, caα(i)..........................................................42
2.7.2. Contribución relativa del eje α a la posición de un punto i, crα(i) .....................................42
2.8. Un ejemplo de aplicación: estudio de la situación regional de la educación media en Colombia
(1997-1998). ............................................................................................................................................43
2.8.1. Presentación .......................................................................................................................43
2.8.2. Análisis de tablas y gráficos...............................................................................................43
2.8.3. Conclusiones. .....................................................................................................................46
2.9. Ejercicio: Estudio de la situación regional de la educación media en Colombia (1997-1998).
Desagregando educación oficial y educación privada en cada departamento. ........................................49
2.9.1. Presentación. ......................................................................................................................49
2.9.2. Guía para el análisis. ..........................................................................................................49
TABLAS Y GRAFICOS
Tabla 2-1: Tabla de contingencia: razones x método...................................................................................31
Tabla 2-2: tabla de frecuencias relativas (%) ...............................................................................................32
Tabla 2-3: perfiles fila ..................................................................................................................................34
Tabla 2-4: perfiles columna..........................................................................................................................34
Gráfico 2-1: distancia jicuadrado .................................................................................................................36
Gráfico 2-2: primer plano factorial con razones de abandono .....................................................................38
Gráfico 2-3: primer plano factorial con métodos anticonceptivos ...............................................................38
Tabla 2-5: Resultados del ejemplo razones x métodos ................................................................................40
Gráfico 2-4: representación simultánea para el ejemplo razones x métodos ...............................................41
Gráfico 2-5: coseno cuadrado ......................................................................................................................42
Simposio de Estadística – 2001 ii
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Tabla 2-6: Clasificación de los planteles de educación media por departamentos. Según resultados
obtenidos por los estudiantes de grado 11 en los exámenes de Estado. Agosto 1997 y Marzo 1998 ......... 44
Tabla 2-7: Histograma de los 4 primeros valores propios.......................................................................... 44
Tabla 2-8: coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados .................................................................... 45
Gráfico 2-6: Primer Plano Factorial. Proyección conjunta de los perfiles filas y los perfiles columnas.... 46
Gráfico 2-7: Agrupamiento aproximado de los Departamentos................................................................. 46
Gráfico 2-8: Perfiles de los Departamentos Reordenados.......................................................................... 48
Tabla 2-9: Departamentos (Educación Oficial – Educación Privada) contra Categoría ............................. 51
Tabla 2-10: Resultados del ejercicio ........................................................................................................... 52
Gráfico 2-9: Proyección de los Puntos-Departamentos sobre el primer plano factorial.............................. 53
Gráfico 2-10: Proyección conjunta de los puntos-departamentos y los puntos-categorías sobre el primer
plano factorial.............................................................................................................................................. 53
Simposio de Estadística – 2001 31
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
2. ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS SIMPLES
2.1. Dominio de aplicación
El análisis de correspondencias simples es el método factorial apropiado para la lectura de tablas de
contingencia y se extiende a otras tablas de frecuencia. El ejemplo de aplicación es una tabla de
contingencia que cruza los departamentos de Colombia con la calificación de sus colegios (instituciones
de enseñanza secundaria, Tabla 2-6).. El ejercicio que se propone también corresponde a la clasificación
de planteles por parte del icfes, pero en este caso en cada departamento se han separado los planteles de
educación oficial de los privados (Tabla 2-9).
Una tabla de contingencia cruza dos variables cualitativas. En las filas se representan las modalidades de
una variable y en las columnas la de la otra variable. El subíndice i denota las filas y el subíndice j las
columnas. Cada celda (i,j) de la tabla contiene el número de individuos (unidades estadísticas) que
asumieron simultáneamente las categorías o modalidades i y j. Al sumar sobre una fila se obtiene el total
de individuos que asumieron esa modalidad fila y haciéndolo para todas las filas de obtiene una columna
que es la marginal de la variable representada en las filas. El mismo proceso se puede hacer para las
columnas para obtener la marginal de la variable representada en las columnas.
Para ilustrar tomemos un ejemplo reducido: a una muestra de 4402 mujeres que abandonaron el último
método anticonceptivo que usaban regularmente, se les preguntó las razones para hacerlo. Para este
ejemplo se agruparon los métodos en tres modalidades: métodos fuertes (píldora, diu e inyección), otros
(vaginales, abstinencia periódica, retiro y otros menos usados) y condón. Estos se etiquetan en la tabla
como FUER, OTRO y COND, respectivamente. Las razones de abandono se agruparon en cuatro
modalidades: EMBA, quedó embarazada o busca un método más seguro; DEEM, desea embarazo, tiene
relaciones poco frecuentes, por creencias fatalistas y otros; NONE, no necesita o no tiene acceso; SALU,
problemas de salud, efectos secundarios o costo.
La tabla de contingencia que cruza estas dos variables, métodos anticonceptivos y razones para
abandonarlos, es la Tabla 2-1, en la cual aparecen también las marginales y el total. La última columna
representa la repartición de las 4402 mujeres entre las cuatro causas por las que abandonaron el último
método anticonceptivo que venían usando, por ejemplo, 1157 lo hicieron por razones de salud o efectos
secundarios. La última fila representa la distribución de las mujeres entre las tres clases de métodos
anticonceptivos: 2908 usaban métodos fuertes, 1242 otros métodos y 252 condón. Cualquier número
interior de la tabla representa el número de mujeres que usaban el método indicado por la columna y la
razón indicada por la fila. Por ejemplo 1106 mujeres usaban métodos fuertes y los abandonaron por
razones de salud.
Tabla 2-1: Tabla de contingencia: razones x método
FUER OTRO COND Tot.fila
EMBA 431 632 71 1134
DEEM 1166 425 92 1683
NONE 205 142 81 428
SALU 1106 43 8 1157
Tot.columna 2908 1242 252 4402
Conviene tener una notación generalizada para cualquier tabla de contingencia: sea K la tabla de
contingencia, k el número total de individuos, ki. la marginal de la fila i, k.j la marginal de la columna j.
Simposio de Estadística – 2001 32
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∑
∑ ∑∑∑
∑
=
= ===
=
=
↓
===→
=→
=
n
i
ijj
n
i
p
j
ji
p
j
ij
n
i
pj
p
j
iji
n
i
npnjn
ij
pj
kk
kkkkkkkk
kk
k
k
k
kkk
k
kkk
K
1
1 111
1
1
1
1
1111
.
.......
.
.
.
.
LL
M
M
LL
MMM
LLLL
MMM
LL
En la Tabla 2-1: k21 =1166, k22 =425, k23 =92 y k2o =1166+425+92 =1683. Sumando la última columna o
la ultima fila se obtiene el total de mujeres de la muestra: k =4402.
2.2. Fundamentos del método
Lo que interesa en el análisis de una tabla de contingencia es el estudio de las asociaciones entre las
modalidades de las dos variables. Estas se pueden ver mediante la comparación de los distribuciones
condicionales (perfiles) de las modalidades fila por un lado y de las columnas por el otro. No es entonces
la tabla de contingencia la que se representa geométricamente sino dos tablas de perfiles en dos espacios
diferentes pero que están relacionados. Es decir que el método requiere de transformaciones de las tabla
de contingencia inicial.
2.2.1. Tabla de frecuencias relativas
Si la Tabla 2-1 se hubiera construido con una muestra de otro número de mujeres y suponiendo que las
reparticiones fueran exactamente las mismas, los números de la tabla serían todos diferentes a pesar de
tener la misma estructura de interrelaciones. Para eliminar este inconveniente basta dividir todas las celdas
de la tabla por el total, k =4402, con lo cual se obtiene una tabla de frecuencias relativas, la que se presenta
en la Tabla 2-2. Si se multiplican todos los números de la tabla por 100, se tiene la misma información
pero expresada en porcentajes.
Tabla 2-2: Frecuencias relativas razones x método (%)
FUER OTRO COND Tot.filaOCO EMBA 9.8 14.4 1.6 25.8
DEEM 26.5 9.7 2.1 38.2
NONE 4.7 3.2 1.8 9.7
SALU 25.1 1.0 0.2 26.3
Tot.col.OFI
66.1 28.2 5.7 100.0
El total de la tabla suma 100%, al interior de la tabla se tiene la distribución de frecuencias conjunta entre
las dos variables (métodos y razones). Por ejemplo el 3.2% del total de mujeres usaban otro método y lo
Simposio de Estadística – 2001 33
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abandonaron porque no lo necesitaban; el 25.1% de las mujeres de la muestra, usaban métodos fuertes y
los abandonaron por razones de salud.
La última columna de la Tabla 2-2 es la distribución marginal de la variable razones: 25.8% de las mujeres
abandonaron el método que usaban (cualquiera) por que quedaron embarazadas o porque buscaban un
método más seguro; 38.2% por que deseaban embarazo; 9.7% porque no lo necesitaban y 26.3% por
razones de salud.
La última fila de la Tabla 2-2 es la distribución marginal de los métodos: de las mujeres de la muestra el
66.1% usaba métodos fuertes, el 28.2% otros métodos y el 5.5% usaba condón.
Una notación generalizada de una tabla de frecuencias, calculada a partir de una tabla de contingencias es
la siguiente:
∑
∑ ∑∑∑
∑
=
= ===
=
=
↓
===→
=→
=
===
n
i
ijj
n
i
p
j
ji
p
j
ij
n
i
pj
p
j
iji
n
i
npnjn
ij
pj
j
j
i
i
ij
ij
ff
ffffff
ff
f
f
f
fff
f
fff
F
k
kf
k
kf
k
kf
1
1 111
1
1
1
1
1111
.
..11...
.
.
.
.
..,
..,
LL
M
M
LL
MMM
LLLL
MMM
LL
2.2.2. Tablas de perfiles fila y columna
La lectura interesante de la información contenida en una tabla de contingencia es la comparación entre
filas y entre columnas. En la tabla de frecuencias relativas las filas y las columnas están influenciadas por
el peso relativo de sus marginales. La comparación se facilita obteniendo las distribuciones condicionales
o perfiles de cada una de las filas y de cada una de las columnas. Para obtener la distribución condicional
de la fila i, se dividen todas las celdas de esa fila por el valor total de la fila. De manera análoga se
obtienen las condicionales de las columnas. Se llega entonces a dos tablas: una de perfiles fila y otra de
perfiles columna.
A partir de la Tabla 2-1 o de la Tabla 2-2 se obtienen la Tabla 2-3, de perfiles fila: por ejemplo para la fila
2, 26.5/38.2 = 0.6928 9.7/38.2= 0.2525 y 2.1/38.2 = 0.547 y expresados en porcentaje: 69.28, 25.25 y
5.47.
Simposio de Estadística – 2001 34
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Tabla 2-3: Perfiles fila, razones de abandono según métodos
FUER OTRO COND Tot.fila
EMBA 38.01 55.73 6.26 100.00
DEEM 69.28 25.25 5.47 100.00
NONE 47.90 33.18 18.93 100.00
SALU 95.59 3.72 0.69 100.00
0.00 50.00 100.00
EMBA
DEEM
NONE
SALU
COND
OTRO
FUER
Tanto en la tabla como en gráfico se pueden comparar fácilmente los perfiles fila: el abandono del método
por embarazo o por buscar uno más seguro se da más en los otros métodos (58%), luego en los métodos
fuertes (38%) y finalmente en el condón (6%). Los abandonos por salud ocurren en los métodos fuertes
(96%). Los perfiles desea embarazo y no necesita son los más parecidos en su forma. En ambos los
métodos se ordenan según frecuencia así: lo métodos fuertes, en otros y en condón.
La Tabla 2-4 contiene los perfiles columna expresados en porcentaje, calculados a partir de la Tabla 2-1 o
de la Tabla 2-2, dividiendo la celda en cada columna por la marginal, por ejemplo para la columna 3:
1.6/5.7 = 0.2817 = 28.17%
2.1/5.7 = 0.3651 = 36.51%
1.8/5.7 = 0.3214 = 32.14%
0.2/5.7 = 0.0317 = 3.17%
Tabla 2-4: Perfiles columna, métodos según razone de abandono
FUER OTRO COND
EMBA 14.82 50.89 28.17
DEEM 40.10 34.22 36.51
NONE 7.05 11.43 32.14
SALU 38.03 3.46 3.17
Tot.col. 100.00 100.00 100.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
FUER OTRO COND
EMBA
DEEM
NONE
SALU
A partir de la Tabla 2-4 y su gráfico asociado se pueden comparar los tres perfiles columna: lo que
diferencia a los tres métodos son los abandonos por salud y por no necesidad, siendo más abandonado por
salud el grupo de métodos fuertes y por no necesidad el condón.
Simposio de Estadística – 2001 35
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De los perfiles filas y columnas en conjunto se puede concluir principalmente que hay una
correspondencia entre los métodos fuertes y el abandono por salud y efectos secundarios. También se
puede observar una correspondencia entre los otros métodos y el abandono por embarazo y por buscar un
método más seguro.
En términos generalizados los perfiles se pueden representar de la siguiente forma, si se obtienen a partir
de la tabla de frecuencias relativas:
perfiles filaf
fperfiles columna
f
f
ij
i
ij
j
..
. ..
. . ..
→
→
L L L
L L
L L L
M M M
M M
M M M
1
1
1
1 1 1
En el análisis de correspondencias simples (ACS) se busca una representación más adecuada para analizar
simultáneamente los perfiles fila y columna obtenidos a partir de una tabla de contingencia. Cuando se
tienen tablas de contingencia de gran tamaño es muy difícil obtener una síntesis apropiada de forma como
se hizo en el ejemplo. Para el ACS se parte de la representación de los perfiles fila en un espacio
multidimensional, donde las columnas son los ejes y simétricamente de otra nube de perfiles columna,
donde las líneas son los ejes. Para ello se requiere del uso de una distancia apropiada: la distancia ji-
cuadrado entre distribuciones.
2.3. Nubes de perfiles fila y columna
En el ejemplo se tienen cuatro puntos fila que se pueden representar haciendo corresponder a cada una de
las tres columnas un eje, es decir que cada punto necesita tres coordenadas para poderlo ubicar en el
espacio de tres dimensiones. Para cada una de las filas las coordenadas se pueden leer en la Tabla 2-3. A
cada punto se le asocia como peso la marginal de la fila que representa y que se puede leer en la Tabla 2-2.
Las coordenada de los puntos fila y sus pesos se transcriben a continuación:
Coordenadas Pesos EMBA: [38.01 55.73 6.26] 0.258
DEEM: [69.28 25.25 5.47] 0.382
NONE: [47.90 33.18 18.93] 0.097
SALU: [95.59 3.72 0.69] 0.263
La representación de estos cuatro perfiles se hace mediante 4 puntos en el espacio de tres dimensiones y
además a cada punto se le asocia una masa o peso que es igual a la marginal de la fila de la tabla de
frecuencias (última columna de la Tabla 2-2).
Pero la distancia que se utiliza no es la euclidiana convencional sino la distancia ji-cuadrado, la cual se
presenta más adelante.
Para los perfiles columna la situación en simétrica: hay tres puntos representados en un espacio de cuatro
dimensiones, FUER, OTRO, COND.
A continuación se hace la descripción de los perfiles en forma generalizada.
Nube de perfiles fila
En el espacio Rp se representan los n perfiles fila, dotados del peso pi = fi.
Simposio de Estadística – 2001 36
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.......2,1,.....2,1,.
ii
i
ijfpconnipj
f
f==
=
Nube de perfiles columna
En el espacio Rn cada punto representa un perfil columna y esta dotado de un peso igual a la marginal la
respectiva columna.
jj
j
ijfpconpjni
f
f.......2,1,.....2,1,
.==
=
2.3.1. La distancia ji-cuadrado entre perfiles
La distancia ji-cuadrado entre dos perfiles fila i e i’ viene dada por:
d i if
f
f
f
fj
ij
i
ij
ij
p2
2
1
1( , )
. . .
′ = −
′=∑
Para el caso de dos líneas, esta distancia, es la suma de la diferencia de cada una de las respectivas
componentes de los dos perfiles, ponderadas por el inverso de las frecuencias marginales de las columnas
respectivas. Con este peso las diferencias se amplifican cuando se deben a columnas de baja frecuencia, es
decir tiende a destacar los casos raros. El Gráfico 2-1 se presenta para facilitar la comprensión de los
elementos de la distancia ji-cuadrado.
Gráfico 2-1: distancia jicuadrado
Perfil i:
Pesos de las columnas f.j
( )ji
ij
f
f
•
Perfil l:
( )jl
lj
f
f
•
(i )
(l)
(j)
.
En el ejemplo las frecuencias marginales de las columnas son: 0.661, 0.282 y 0.057. La distancia ji-
cuadrado entre la fila 1 y la fila 2 es:
(0.3801-0.6928)2 /0.661 + (0.5573-0.2525)
2 /0.282 + (0.0626-0.0547)
2 /0.057 =
0.09778129/0.661 + 0.09290304/0.282 + 0.00006241/0.057 =
0.1479 + 0.3294 + 0.0011 = 0.4784
Simposio de Estadística – 2001 37
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De manera simétrica, la distancia entre perfiles columna es:
∑= ••
−=
n
i k
ik
j
ij
i f
f
f
f
fkjd
1
2
.
2 1),(
La distancia ji-cuadrado confiere al análisis de correspondencias dos propiedades muy útiles: la
equivalencia distribucional y las relaciones de transición.
La equivalencia distribucional de la distancia ji-cuadrado
Dos perfiles fila idénticos están representados por el mismo punto en Rp. Si se reemplazan los dos puntos
por un punto común, cuyo peso sea la suma de los pesos (fi. + fl.), entonces las distancias de los demás
puntos, tanto en Rp como en Rn
permanecen inalteradas. Igual resultado se obtiene para dos perfiles
idénticos en Rn.. En Crivisqui (1993) hay una descripción bastante pedagógica de esta propiedad y en
Lebart et al. (1995) se encuentra la demostración. Con la distancia ji-cuadrado los resultados son robustos
respecto a la determinación arbitraria del número de categorías filas y categorías columna. Esto permite
unir modalidades antes y después de un análisis de correspondencias. Antes, cuando hay modalidades de
baja frecuencia que se pueden asimilar a otra modalidad, por ejemplo muy bueno a bueno. Después, para
presentar los resultados del ACS con tablas reducidas, uniendo filas y columnas de perfiles parecidos.
2.3.2. Centro de gravedad de la nube de perfiles fila (en Rp)
Sea rg el vector de p componentes, centro de gravedad de la nube de perfiles fila, la componente j es:
j
n
i i
ij
i
i
ijn
i
ij ff
ff
f
fpg •
= ••
•=
=
=
= ∑∑
11
es decir que [ ]pj fffg •••=′ LLr
1
En el ejemplo el centro de gravedad es: (0.6606, 0.2821, 0.0572), que es la distribución marginal de la
variable que esta en columna, es decir la distribución de los métodos anticonceptivos usados por las
mujeres de la muestra. Esta es la distribución promedio con la cual se comparan las distribuciones
condicionales de las razones de abandono. Esta distribución se coloca en el centro de representación.
2.3.3. Inercia de la nube de puntos
La inercia de la nube de puntos respecto al centro de gravedad es:
( )( )
kff
fff
f
fff
ffgidpI
n
i
p
j ji
jiijn
i
p
j i
jiij
j
i
n
i
i
2
1 1
22
1 11
2 1,
χ=
−=
−== ∑∑∑ ∑∑
= == == oo
oo
o
oo
o
o
donde χ2 es la estadística ji-cuadrado, de la prueba de independencia, calculada para la tabla de
contingencia K y k es el número total de individuos en la tabla. Crivisqui (1993) ilustra el hecho de que la
nube de puntos perfiles es una hiperesfera en el caso de independencia en la tabla de contingencia. La
inercia es un índice de deformación de la nube y se puede descomponer en los diferentes ejes de la
representación.
Lo que se tiene hasta ahora son dos representaciones que contienen la información de la tabla de
contingencia: la nube de perfiles fila y la nube de perfiles columna, con puntos ponderados, centradas y
con una inercia asociada. Esta información es apta para llevar a cabo dos análisis de componentes
principales con ponderación. La solución tiene propiedades particulares derivadas de la propiedades de las
tablas de perfiles y de las propiedades de la distancia ji-cuadrado.
Simposio de Estadística – 2001 38
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2.4. Solución del análisis de correspondencias simples - ACS
Encontrar el subespacio (plano cuando son dos dimensiones) que se aproxime lo mejor posible a la nube
de n puntos (perfiles fila i), dotados de los pesos fi., equivale a hacer un análisis de en componentes
principales sobre la tabla de los perfiles fila, cada uno ponderado por su frecuencia marginal y utilizando
la distancia ji-cuadrado entre perfiles.
Los planos factoriales de los individuos permiten comparar los perfiles fila entre sí y con el perfil marginal
(promedio). El perfil marginal esta ubicado en el centro de las gráficas y por lo tanto la ubicación de los
puntos perfiles indican el parecido (cerca) o la diferencia (lejos) de la distribución de la muestra o
población según las modalidades de la variable que está en columna.
El Gráfico 2-2 es el primer plano factorial de razones de abandono. Las razones de SALUD y
EMBARAZO tienen las distribuciones más opuestas. La razón DESEA EMBARAZO es la más parecida
a la distribución promedio de los métodos utilizados. En este caso la representación en el plano contiene
toda la información pues, para cada perfil fila (razones de abandono), se necesitan tres coordenadas
(método), pero como cada perfil suma uno, se pierde una dimensión: una de las coordenadas se puede
encontrar restando de uno las demás.
Gráfico 2-2: primer plano factorial con razones de abandono
De manera similar se obtiene la representación para la nube de perfiles columna: puntos perfiles columna,
ponderados por sus marginales y con la distancia ji-cuadrado (ponderación por el inverso de las
marginales fila). El Gráfico 2-3 presenta los puntos perfiles columna que representan las distribuciones de
los métodos anticonceptivos según sus razones de abandono. Las más opuestas son métodos fuertes y
otros métodos.
Simposio de Estadística – 2001 39
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2.5. Relaciones cuasi-bibaricentricas
Los ejes factoriales de los análisis de las dos nubes de perfiles estas relacionadas puesto que provienen de
la misma tabla de contingencia. En Lebart et al. (1995) y otros textos se pueden ver las denominadas
relaciones entre los dos espacios. Las más importantes desde el punto de vista de la interpretación de las
gráficas son las denominadas relaciones cuasi-bibaricentricas, propiedad derivada de utilizar la distancia
ji-cuadrado.
Gráfico 2-3: primer plano factorial con métodos anticonceptivos
La coordenada sobre un eje factorial de una modalidad fila (perfil) se puede calcular así:
ψλ
ϕα
α
αi
ij
ij
p
j
f
f=
=∑
1
1 o
Esta fórmula significa que la coordenada de un perfil fila es igual al promedio aritmético de las
coordenadas de los perfiles columna pero cada una ponderada por el valor de la coordenada del perfil fila
que se está considerando y además dilatado por el inverso del la raíz del valor propio.
Para entender mejor esta propiedad se procede a calcular la coordenada de EMBA (-0.60) en función de
las coordenadas de métodos:
( )
60.0)275.0(1848.2)0326.03678.01254.0(1848.2
.52)0.0626x(-0 66).5573x(-0.0 30.3801x0.32095.0
11,
−=−=−−=
++=EMBAψ
Las ponderaciones se toman de la Tabla 2-3, el valor propio y las coordenadas de la Tabla 2-5. La media
ponderada es –0.275, este es un baricentro de las coordenadas de las modalidades columna. Como la
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modalidad ‘otros métodos’ es la de mayor frecuencia (55.73%) en el perfil de embarazo, ‘otros métodos’
va a atraer a la modalidad ‘embarazo’ y gráficamente se va a observar una cercanía, dando cuenta de este
hecho. Desde luego hay una dilatación (alejamiento) de la coordenada de 2.1848, la cual generalmente
hace destacar esa asociación. La dilatación (por la que se introduce la palabra cuasi) es la que permite la
representación simultánea de las proyecciones de los dos espacios.(Gráfico 2-4).
De manera simétrica, la coordenada de un perfil columna se calcula como el promedio ponderado por su
perfil de las coordenadas de los perfiles propios y dilatada por el inverso de la raíz del valor propio:
αα
α ψλ
ϕ i
n
i j
ij
jf
f∑
=
=
1
1
o
Exceptuando el coeficiente 1 λ , la coordenada de un punto es el baricentro de los puntos de la otra
nube, con pesos iguales a los elementos del perfil. Haciendo la dilatación apropiada las dos nubes se
pueden representar simultáneamente sobre el mismo plano.
Tabla 2-5: Resultados del ejemplo razones x métodos
HISTOGRAMA DE LOS 2 PRIMEROS VALORES PROPIOS
+--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+
| NUMERO | VALOR | PORCENTA.| PORCENTA.| |
| | PROPIO | | ACUMU. | |
+--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+
| 1 | .2095 | 87.55 | 87.55 | **************************************** |
| 2 | .0298 | 12.45 | 100.00 | ***** |
+--------+------------+----------+----------+------------------------------------------+
COORDENADAS , CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LAS FRECUENCIAS EN LOS EJES 1 A 2
+------------------------------------------+---------------+-------------+------------+
| FRECUENCIAS | COORDENADAS |CONTRIBUCIONE|COSENOS CUA.|
|------------------------------------------+---------------+-------------+------------|
| IDEN - ETIQUETA CORTA PESO R DIST | 1 2 | 1 2 | 1 2 |
+------------------------------------------+---------------+-------------+------------+
| FRECUENCIAS ACTIVAS
|
| fuer - Metodos fuertes 66.06 .11 | .33 .01 | 33.8 .2 | 1.00 .00 |
| otro - Otros metodos 28.21 .45 | -.66 .12 | 58.8 13.0 | .97 .03 |
| cond - Condon 5.72 .72 | -.52 -.67 | 7.4 86.9 | .38 .62 |
|------------------------------------------+---------------+-------------+------------|
COORDENADAS, CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LOS INDIVIDUOS EN LOS EJES 1 A 2
+---------------------------------------+---------------+-------------+------------+
| INDIVIDUOS | COORDENADAS |CONTRIBUCIONE|COSENOS CUA.|
|---------------------------------------+---------------+-------------+------------|
| IDENTIFICADOR P.REL DIST. | 1 2 | 1 2 | 1 2 |
+---------------------------------------+---------------+-------------+------------+
| EMBA 25.76 .39 | -.60 .15 | 44.8 20.1 | .94 .06 |
| DEEM 38.23 .00 | .07 -.01 | .9 .1 | .98 .02 |
| NONE 9.72 .36 | -.35 -.49 | 5.7 78.1 | .34 .66 |
| SALU 26.28 .39 | .62 .04 | 48.5 1.7 | 1.00 .00 |
+---------------------------------------+---------------+-------------+------------+
La lectura simultánea apoyada en las relaciones cuasi-bibaricéntricas pone en evidencia las
correspondencias más destacadas entre las dos variables. En el Gráfico 2-4 se observa la asociación entre
las modalidades EMBARAZO y otro método, NO NECESITA y condón, SALUD y métodos fuertes. El
abandono de los métodos fuertes se debe a razones de SALUD y a DESEA EMBARAZO. Esto es
exactamente lo mismo que se puede leer fácilmente en las tablas y e histogramas de los perfiles (Tabla 2-3
Simposio de Estadística – 2001 41
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
y Tabla 2-4). Obviamente el método es útil en grandes tablas de contingencia en donde un observador se
puede perder en la gran cantidad de cifras.
Porqué SALUD está más alejada que la modalidad fuerte?. En la distribución de las mujeres que
abandonaron el método que usaban por razones de SALUD (ver Tabla 2-3) casi el 96% estaba usando
métodos fuertes. En cambio para el grupo que usaba métodos fuertes el 38% lo abandonaron por razones
de SALUD y el 40% porque deseaban quedar embarazadas, es decir que los métodos fuertes también están
atraídos por DEEM (ver Tabla 2-4).
Gráfico 2-4: representación simultánea para el ejemplo razones x métodos
2.6. Proyección de elementos suplementarios
Al igual que en ACP sobre los ejes factoriales se pueden proyectar filas y columnas que no hayan
participando en el análisis. Se hace mediante las relaciones cuasi-bibaricéntricas y por lo tanto se
interpreta de la misma forma, pero debe hacerse por cada modalidad ilustrativa con respecto a las
modalidades activas. No es apropiado interpretar modalidades ilustrativas entre sí pues no han participado
en la construcción de los ejes. Esto se ilustrará en los ejemplos de más adelante.
2.7. Ayudas a la interpretación
En un ACS las modalidades aparecen repartidas a ambos lados de los ejes, lo que conlleva a la lectura de
las contraposiciones más importantes entre modalidades. En el ejemplo de métodos x razones, en el eje
uno se contraponen los métodos ‘otros’ con ‘fuertes’ y las razones EMBARAZO con SALUD (ver
Gráfico 2-4). En una tabla de contingencia de gran tamaño se puede buscar las modalidades más
importantes sobre cada eje recurriendo a las denominadas contribuciones absolutas. En el ejemplo se leen
en la Tabla 2-5.
Simposio de Estadística – 2001 42
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Las proyecciones sobre los ejes y sobre los planos factoriales serán muy ‘buenas’ para algunos puntos
pero también pueden ser de ‘mala’ calidad para otros puntos. Se requiere entonces de un índice que ponga
en evidencia este hecho, que se denomina coseno cuadrado o contribución relativa. Los cosenos
cuadrados para el ejemplo se pueden leer en la Tabla 2-5.
A continuación se presentan las expresiones de las contribuciones absolutas y relativas para las
modalidades fila. Las expresiones para las modalidades columna tienen la misma forma y la misma
interpretación.
2.7.1. Contribución absoluta del punto i en el eje αααα, caαααα(i)
( )ca if i i
αα
α
ψλ
= o
2
Es la proporción con que cada punto contribuye a la inercia del eje. Los puntos que tengan contribución
absoluta alta son los que fijan la posición del eje. La suma de las contribuciones es 1, por comodidad se
expresan en porcentaje. La contribución absoluta depende tanto del peso de la modalidad como del valor
de la proyección, y la combinación de estos dos valores da origen a distintas situaciones: una modalidad
no tan alejada del origen puede ser muy contributiva si tiene una frecuencia alta. No necesariamente los
puntos más alejados del origen son los más contributivos.
2.7.2. Contribución relativa del eje αααα a la posición de un punto i, crαααα(i)
( )( )Gid
icr i
,2
2
αα
ψ=
Estos valores son el cociente de las longitudes al cuadrado de la proyección sobre el eje, sobre la distancia
del punto al centro de gravedad (centro de la representación). Es el valor del coseno al cuadrado del
ángulo que forman las rectas que unen el origen con cada uno de los dos puntos (el punto perfil y su
proyección sobre el eje). El coseno cuadrado tiene valores entre 0 y 1 y la suma de los cosenos cuadrados
de un punto sobre cada uno de los ejes da uno, hechos estos que facilitan su interpretación. Un coseno
cuadrado cercano al 100% indica buena calidad de la proyección, es decir, buena representación de la
distancia original del punto al origen sobre un eje. Valores cercanos a 0 indican mala calidad de
representación y por lo tanto los puntos que los posean no deben leerse sobre ese eje (ver Gráfico 2-5). El
coseno cuadrado sobre un plano se obtiene sumando los cosenos cuadrados de los ejes que los conforman.
Gráfico 2-5: coseno cuadrado
G
Cos2α(i)≅0
α
i
Cos2α(i)≅1
G
i
α
i. bien representado sobre el eje α i. mal representado sobre el eje α
(Tomado de Lebart (1995))
Simposio de Estadística – 2001 43
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
2.8. Un ejemplo de aplicación: estudio de la situación regional de la educación
media en Colombia (1997-1998).
2.8.1. Presentación
Para este estudio se parte de información aportada por el ICFES. El instituto clasifica los planteles
educativos teniendo en cuenta los resultados obtenidos por los estudiantes que egresan de los mismos.
Cada colegio es clasificado en una de 7 categorías, desde Muy Inferior hasta Muy Superior. El criterio de
clasificación es el promedio de los puntajes obtenidos por sus egresados en la prueba que el Icfes aplica a
todos los egresados de la educación media. La Tabla 2-6 es una tabla de contingencia: cada celda contiene
el número de planteles clasificados en una categoría y departamento especificado. Es decir, en Antioquia
14 planteles fueron clasificados en la categoría Muy Superior, mientras que en Bolívar 20 fueron
clasificados en Alto.
Frente a esta tabla cabe preguntarse si la distribución de los planteles educativos en cuanto a su calidad es
aproximadamente igual para todos los departamentos, o si por el contrario, es posible encontrar tipologías
de departamentos, es decir, grupos de departamentos con una distribución similar entre ellos que los
diferencia, a su vez, de otros grupos de departamentos.
Después de una primera exploración se decidió eliminar los departamentos con una muy baja cobertura (se
restringió la tabla a aquellos departamentos cuyo número de planteles supera el 1 % del total nacional), al
departamento del Chocó por tener una distribución muy atípica, y juntar Bogotá y Cundinamarca en una
sola categoría.
Las preguntas más importantes son: Cuales son las distribuciones que se apartan del perfil promedio? Qué
tipologías de Departamentos podrían ser establecidas?.
Para responder a estos interrogantes una de las técnicas mas adecuadas es el Análisis de Correspondencia
Simples o Binarias. Se procederá a continuación a explicar como hacer dicho análisis en este caso
particular.
2.8.2. Análisis de tablas y gráficos.
Descomposición de la Inercia total.
Después de una primera exploración de la tabla usando el análisis de correspondencias se convino en
juntar las categorías extremas Muy Inferior e Inferior en una sola categoría que llamamos Infer, y Muy
Superior y Superior en una sola categoría Super. En consecuencia, solo quedaron cinco columnas, y por
esa razón, el histograma de valores propios solo muestra cuatro valores propios, de los cuales los dos
primeros recogen más del 91 % de la inercia total. Por esta razón, podemos concentrar la atención en el
análisis del primer plano factorial.
Simposio de Estadística – 2001 44
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Tabla 2-6: Clasificación de los planteles de educación media por departamentos. Según resultados obtenidos por los estudiantes de grado 11 en los exámenes de Estado. Agosto 1997 y Marzo 1998
Departamento Muy
Superior
Superior
Alto
Medio
Bajo
Inferior Muy
Inferior
Total Amazonas 0 0 0 0 3 2 0 5
Antioquia 14 15 52 100 343 89 1 614
Arauca 0 0 3 12 12 3 0 30
Atlantico 8 13 26 42 183 130 1 403
Bolivar 5 4 20 42 130 75 0 276
Bogota 62 58 222 363 277 2 0 984
Boyaca 1 10 33 130 60 5 0 239
Caldas 2 10 14 61 91 23 0 201
Caqueta 0 0 1 10 32 12 0 55
Casanare 0 0 4 16 12 1 0 32
Cauca 3 3 13 50 60 37 0 166
Cesar 2 2 6 15 76 61 0 162
Cordoba 1 2 5 15 87 36 0 146
Cundinamarca 2 12 40 155 148 11 0 368
Choco 0 0 0 7 16 34 9 66
Guainia 0 0 0 1 1 0 0 2
Guaviare 0 0 0 1 3 0 0 4
Huila 3 3 13 69 56 12 0 156
La Guajira 1 2 1 8 42 30 1 85
Magdalena 0 2 6 18 76 78 1 181
Meta 0 2 14 44 57 11 0 128
Nariño 3 6 27 93 64 29 0 222
N. de Santander 4 5 24 69 106 16 0 224
Putumayo 0 0 2 10 17 2 0 31
Quindio 1 2 8 23 43 1 0 78
Risaralda 3 2 18 24 79 8 0 134
San Andres 0 0 0 3 4 4 0 11
Santander 9 12 41 113 116 11 0 302
Sucre 0 2 7 18 60 18 0 105
Tolima 2 3 11 82 140 28 0 266
Valle 13 24 61 131 275 91 0 595
Vaupes 0 0 0 1 1 1 0 3
Vichada 0 0 0 3 1 0 0 4
Total 139 194 672 1729 2671 861 13 6279
(Fuente: ICFES)
Tabla 2-7: Histograma de los 4 primeros valores propios
APRECIACION DE LA PRECISION DE LOS CALCULOS : TRAZA ANTES DE LA DIAGONALIZACION .................... 0.2235
SUMA DE LOS VALORES PROPIOS .......................... 0.2235
+--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+
| NUMERO | VALOR | PORCENTA.| PORCENTA.| |
| | PROPIO | | ACUMUL. | |
+--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 0.1817 | 81.28 | 81.28 | ******************************************************************************** |
| 2 | 0.0239 | 10.70 | 91.98 | *********** |
| 3 | 0.0164 | 7.36 | 99.34 | ******** |
| 4 | 0.0015 | 0.66 | 100.00 | * |
+--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+
Simposio de Estadística – 2001 45
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Análisis del primer plano factorial.
Proyección de los puntos perfiles columnas (categorías).
En el Gráfico 2-6 se puede observar que a lo largo del primer eje se enfrentan las categorías Infer y Bajo a
Alto, Medio y Super , sin embargo, al examinar las contribuciones y cosenos cuadrados en la Tabla 2-8
vemos que Bajo, con un peso relativo grande del 42.7% tiene una pequeña contribución a la inercia en el
primer eje. Esto significa que este perfil es muy cercano al perfil promedio; de otra parte, Super, con un
peso relativamente pequeño, es poco contributivo al primer eje, pero también es el más mal representado
en el primer plano factorial (suma de cosenos =.52) . De lo anterior se sigue que los perfiles que definen
el primer eje son Infer de un lado y Alto y Medio por el otro. De una manera similar se puede ver que el
segundo eje factorial enfrenta principalmente la categoría Infer a Bajo.
Proyección de los puntos perfiles filas (Departamentos).
Examinando conjuntamente el Gráfico 2-6 y la Tabla 2-8, que recoge las coordenadas, contribuciones y
cosenos cuadrados de los perfiles de los departamentos podemos decir que el primer eje factorial enfrenta
a departamentos como Magdalena, Atlántico, Cesar, Guajira en un extremo a Boyacá y Bog+Cund por el
otro. El segundo eje factorial enfrenta a los departamentos como Magdalena, Cauca, Nariño y Boyacá a
Antioquia, Risaralda y Quindío. Es de advertir que la nube de puntos de los departamentos tiende a formar
una especie de arco parabólico que tiene como foco al departamento del Cauca que parece aislado del
resto.
Tabla 2-8: Coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados
COORDENADAS, CONTRIBUCIONES DE LAS FRECUENCIAS SOBRE LOS EJES 1 A 4
FRECUENCIAS ACTIVAS
+------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| FRECUENCIAS | COORDENADAS | CONTRIBUCIONES | COSENOS CUADRADOS |
|------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------|
| IDEN – ETIQUETA P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 |
+------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| ALTO - Alto 10.89 0.25 | -0.44 -0.06 0.21 0.08 0.00 | 11.4 1.5 30.2 46.0 0.0 | 0.78 0.01 0.19 0.03 0.00 |
| MEDI - Medio 27.50 0.20 | -0.41 -0.11 -0.14 -0.01 0.00 | 25.8 13.2 32.1 1.3 0.0 | 0.85 0.06 0.10 0.00 0.00 |
| BAJO - Bajo 42.71 0.05 | 0.16 0.17 -0.01 0.00 0.00 | 5.8 51.0 0.5 0.0 0.0 | 0.46 0.53 0.00 0.00 0.00 |
| SUPE - Super 5.47 0.26 | -0.36 -0.07 0.33 -0.12 0.00 | 3.9 1.1 37.1 52.5 0.0 | 0.50 0.02 0.43 0.05 0.00 |
| INFE - Infer 13.43 0.78 | 0.85 -0.24 0.02 0.00 0.00 | 53.0 33.2 0.2 0.2 0.0 | 0.92 0.08 0.00 0.00 0.00 |
+------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
COORDENADAS, CONTRIBUCIONES Y COSENOS CUADRADOS DE LOS INDIVIDUOS
EJES 1 A 4
+---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| INDIVIDUOS | COORDENADAS | CONTRIBUCIONES | COSENOS CUADRADOS |
|---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------|
| IDENTIFICADOR P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 |
+---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| ANTQ 10.08 0.09 | 0.21 0.21 0.05 0.00 0.00 | 2.5 19.4 1.5 0.1 0.0 | 0.48 0.49 0.03 0.00 0.00 |
| ATLA 6.62 0.40 | 0.60 -0.13 0.13 -0.02 0.00 | 13.2 5.0 6.4 2.6 0.0 | 0.91 0.05 0.04 0.00 0.00 |
| BOLI 4.53 0.22 | 0.46 -0.06 0.03 0.04 0.00 | 5.4 0.7 0.2 3.9 0.0 | 0.97 0.02 0.00 0.01 0.00 |
| BOYA 3.92 0.44 | -0.57 -0.21 -0.26 0.02 0.00 | 7.1 7.1 16.2 0.9 0.0 | 0.75 0.10 0.15 0.00 0.00 |
| CALD 3.30 0.02 | -0.02 0.05 -0.09 -0.11 0.00 | 0.0 0.4 1.6 24.8 0.0 | 0.02 0.12 0.35 0.50 0.00 |
| CAQE 0.90 0.27 | 0.45 0.16 -0.20 0.01 0.00 | 1.0 1.0 2.1 0.1 0.0 | 0.76 0.09 0.14 0.00 0.00 |
| CAUC 2.73 0.09 | 0.17 -0.21 -0.11 0.00 0.00 | 0.5 5.0 2.0 0.0 0.0 | 0.35 0.51 0.14 0.00 0.00 |
| CESA 2.66 0.63 | 0.77 -0.17 0.03 0.01 0.00 | 8.7 3.1 0.1 0.3 0.0 | 0.95 0.05 0.00 0.00 0.00 |
| CORD 2.40 0.34 | 0.56 0.17 -0.03 0.00 0.00 | 4.1 2.9 0.1 0.0 0.0 | 0.91 0.09 0.00 0.00 0.00 |
| HUIL 2.56 0.15 | -0.26 -0.08 -0.27 -0.04 0.00 | 1.0 0.7 11.0 3.4 0.0 | 0.46 0.05 0.48 0.01 0.00 |
| GUAJ 1.40 0.62 | 0.77 -0.12 0.01 -0.07 0.00 | 4.6 0.8 0.0 5.3 0.0 | 0.97 0.02 0.00 0.01 0.00 |
| MADG 2.97 0.88 | 0.88 -0.31 -0.01 0.05 0.00 | 12.7 12.2 0.0 5.7 0.0 | 0.89 0.11 0.00 0.00 0.00 |
| META 2.10 0.06 | -0.12 0.07 -0.18 0.10 0.00 | 0.2 0.4 4.3 14.5 0.0 | 0.24 0.07 0.53 0.16 0.00 |
| NARI 3.65 0.13 | -0.20 -0.24 -0.16 0.04 0.00 | 0.8 9.1 5.5 4.1 0.0 | 0.32 0.47 0.20 0.01 0.00 |
| NORT 3.68 0.04 | -0.13 0.13 -0.09 0.03 0.00 | 0.3 2.7 1.8 1.7 0.0 | 0.37 0.42 0.19 0.02 0.00 |
| QUIN 1.28 0.15 | -0.19 0.32 -0.10 0.02 0.00 | 0.3 5.6 0.8 0.2 0.0 | 0.25 0.68 0.07 0.00 0.00 |
| RISA 2.20 0.15 | -0.01 0.36 0.07 0.12 0.00 | 0.0 11.9 0.7 19.8 0.0 | 0.00 0.87 0.04 0.09 0.00 |
| SANT 4.96 0.12 | -0.35 0.02 -0.03 -0.02 0.00 | 3.3 0.1 0.3 1.8 0.0 | 0.98 0.00 0.01 0.00 0.00 |
| SUCR 1.72 0.14 | 0.30 0.20 -0.06 0.05 0.00 | 0.9 3.0 0.4 2.7 0.0 | 0.66 0.30 0.03 0.02 0.00 |
| TOLI 4.37 0.10 | 0.05 0.17 -0.26 -0.04 0.00 | 0.1 5.4 17.4 4.8 0.0 | 0.02 0.30 0.66 0.02 0.00 |
| VALL 9.77 0.02 | 0.10 0.05 0.07 -0.02 0.00 | 0.6 0.9 2.7 3.4 0.0 | 0.60 0.12 0.25 0.03 0.00 |
| BO+CU 22.20 0.29 | -0.52 -0.05 0.14 0.00 0.00 | 32.9 2.7 24.9 0.0 0.0 | 0.93 0.01 0.06 0.00 0.00 |
+---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
Simposio de Estadística – 2001 46
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Gráfico 2-6: Primer Plano Factorial. Proyección conjunta de los perfiles filas y los perfiles columnas
Proyección Conjunta de los puntos perfiles – categorías y los perfiles - departamentos.
La proyección conjunta permite observar aproximadamente tres centros de gravedad constituidos por las
categorías, en torno a los cuales se agrupan los departamentos. En un extremo está la Categoría Infer que
parece ser el centro de gravedad de los departamentos encerrados en el circulo en el Gráfico 2-7. En ese
mismo gráfico se han trazado círculos para definir aproximadamente los otros dos agrupamientos.
Naturalmente quedan por fuera de esos círculos algunos puntos cuya ubicación en uno u otros
agrupamiento no está precisada. Esta situación puede ser resuelta usando los métodos de clasificación.
2.8.3. Conclusiones.
Siguiendo el arco formado por los departamentos en el primer plano factorial es posible reordenar los
perfiles de los departamentos y verificar el parecido de dichos perfiles entre sí. Esta situación se puede
apreciar en el Gráfico 2-8. Lo que se observa en el plano factorial (Gráfico 2-6), se puede ahora verificar
aquí: los departamentos ubicados en el circulo de la derecha del plano factorial son los mismos ubicados
en la parte inferior del gráfico, caracterizados por el gran peso que tiene en ellos la categoría Infer. Los del
circulo inferior son los mismos departamentos ubicados en la mitad de la tabla y caracterizados por la
categoría Bajo. Y los del circulo izquierdo están ubicados en la parte superior de la tabla, en el peso
relativo de las categorías Infer y Bajo en pequeño al tiempo que tienen un mayor peso las categorías
Medio, Alto y Super . El departamento del Cauca, que aparece ubicado en el plano en el ‘foco’ del arco
parabólico que arman los demás departamentos se ubica hacia el centro de la tabla y es el que muestra un
perfil en el cual están más equilibradas las cinco categorías.
Simposio de Estadística – 2001 47
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Gráfico 2-7: Agrupamiento aproximado de los Departamentos
Simposio de Estadística – 2001 48
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Gráfico 2-8: Perfiles de los Departamentos Reordenados.
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Magdalena
Cesar
Guajira
Atlantico
Bolivar
Cordoba
Caqueta
Sucre
Antioquia
Cauca
Valle
Tolima
Quindio
Risaralda
Caldas
Meta
Norte
Santander
Huila
Narino
Bog+Cun
Boyaca
Super Alto Medio Bajo Infer
Simposio de Estadística – 2001 49
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
2.9. Ejercicio: Estudio de la situación regional de la educación media en Colombia
(1997-1998). Desagregando educación oficial y educación privada en cada
departamento.
2.9.1. Presentación.
A continuación se muestra una tabla de contingencia (Tabla 2-9), que contiene la información
correspondiente al número de planteles educativos clasificados por el Icfes en cada una de las cinco
categorías usadas en el ejemplo anterior, pero ahora en cada departamento se han separado los colegios
pertenecientes a la educación oficial de la privada. Los primeros están identificados con una letra ‘O’ y los
otros con una ‘P’. El objetivo es el mismo del ejemplo: estudiar la configuración de las nubes de puntos-
departamentos y puntos-categorías. Como elementos necesarios para realizar el análisis se incluye en la
información: la Tabla 2-10 que contiene la información acerca de los valores propios, las coordenadas,
contribuciones y cosenos cuadrados para las frecuencias (Categorías) y para los individuos
(Departamentos), y dos gráficos: Gráfico 2-9, la proyección de la nube de puntos-departamentos sobre el
primer plano factorial y Gráfico 2-10, la proyección conjunta de las dos nubes de puntos: departamentos y
categorías sobre el primer plano factorial. A continuación encuentra una serie de interrogantes para
orientar el análisis.
2.9.2. Guía para el análisis.
1. Que porcentaje de la inercia total es recogida por el primer eje factorial, por el segundo eje
factorial y por el primer plano factorial. Que se puede concluir de esta constatación?
2. Análisis de la proyección de la nube de puntos-categorías sobre el primer plano factorial.
a. Cuáles son las dos categorías más contributivas al primer eje factorial? Cuáles son sus
coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están esas
categorías en el primer plano factorial? Cuál es la categoría que está más mal representada
en el primer plano factorial? Puede decirse que está muy mal representada? Como podría
denominarse al primer eje factorial?
b. Cuales son las dos categorías más contributivas al segundo eje factorial? Cuáles son sus
coordenadas y sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están esas categorías en el
primer plano factorial? Como podría denominarse al segundo eje factorial?
3. Análisis de la proyección de la nube de puntos-departamentos sobre el primer plano factorial.
a. Cuáles son los 6 departamentos mas contributivos al primer eje factorial? Cuáles son sus
coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están estos
departamentos en el primer plano factorial? Cuales son los dos departamentos más mal
representados en el primer plano factorial? Puede concluirse de lo anterior que algunos
departamentos están muy mal representados? De qué manera estos resultados son útiles
para ayudar a la caracterización del primer eje factorial?
b. Cuáles son los 6 departamentos mas contributivos al segundo eje factorial? Cuáles son sus
coordenadas y cuáles sus pesos relativos?. Qué tan bien representadas están estos
departamentos en el primer plano factorial? De qué manera estos resultados son útiles
para ayudar a la caracterización del segundo eje factorial?
4. Análisis de la proyección conjunta de las dos nubes de puntos.
a. Puede evidenciarse algún patrón de comportamiento con respecto a los perfiles de
educación oficial y privada? Teniendo en cuenta las proyecciones de las categorías, como
se puede caracterizar dicho patrón?
Simposio de Estadística – 2001 50
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
b. Liste los departamentos más cercanos a cada una de las categorías. Se puede evidenciar
algún patrón especial en estos grupos respecto a la educación oficial y privada?
c. Cuales son las cuatro parejas de perfiles de educación (oficial-privada) de un mismo
departamento más distanciadas entre sí? En que sentido se da tal diferencia?
d. Cuales son las cuatro parejas de perfiles de educación (oficial-privada) de un mismo
departamento menos distanciadas entre sí? En que sentido se da tal diferencia?
e. Se puede sugerir un reordenamiento de los departamentos teniendo en cuenta su
disposición en el primer plano factorial? Cuál?
5. Escriba en un párrafo las conclusiones más relevantes del análisis.
Simposio de Estadística – 2001 51
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Tabla 2-9: Departamentos (Educación Oficial – Educación Privada) contra Categoría
Departamento Super Alto Medio Bajo Infer
AN_O 0 1 7 54 53
AN_P 0 1 1 31 22
AT_O 0 0 2 72 32
AT_P 0 3 6 58 40
BG_O 0 0 1 3 2
BG_P 0 4 22 77 47
BL_O 2 5 11 22 26
BL_P 20 21 33 120 110
BY_O 4 3 9 18 21
BY_P 3 0 7 11 9
CA_O 1 5 9 63 21
CA_P 0 12 40 277 77
CE_O 0 1 9 29 10
CE_P 0 12 40 135 36
CL_O 1 2 13 41 11
CL_P 0 8 18 68 7
CO_O 0 3 15 41 1
CO_P 3 7 63 121 23
CQ_O 1 7 47 88 23
CQ_P 2 3 16 29 10
CU_O 1 5 5 19 7
CU_P 0 9 39 48 27
GJ_O 3 16 56 69 14
GJ_P 4 17 76 55 27
HU_O 2 4 19 19 5
HU_P 3 22 84 78 10
MA_O 0 7 55 38 11
MA_P 3 22 104 99 8
ME_O 0 11 28 28 1
ME_P 3 25 107 51 5
NA_O 113 147 256 167 2
NA_P 7 75 107 110 0
NO_O 11 18 51 49 3
NO_P 5 10 17 9 2
QU_O 8 8 23 9 0
QU_P 3 5 8 2 0
RI_O 11 7 14 3 0
RI_P 5 10 6 11 1
ST_O 18 19 29 38 1
ST_P 29 40 60 66 13
SU_O 6 6 14 18 1
SU_P 6 8 13 37 2
TO_O 3 5 13 13 4
TO_P 37 49 91 140 55
VL_O 6 4 11 12 10
VL_P 37.00 49.00 91.00 140.00 55.00
Simposio de Estadística – 2001 52
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Tabla 2-10: Resultados del ejercicio
ANALYSE DES CORRESPONDANCES BINAIRES
VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION .. 0.2777
SOMME DES VALEURS PROPRES .... 0.2777 HISTOGRAMME DES 4 PREMIERES VALEURS PROPRES +--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+
| NUMERO | VALEUR | POURCENT.| POURCENT.| |
| | PROPRE | | CUMULE | |
+--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | 0.1753 | 63.11 | 63.11 | ******************************************************************************** |
| 2 | 0.0540 | 19.43 | 82.54 | ************************* |
| 3 | 0.0362 | 13.02 | 95.56 | ***************** |
| 4 | 0.0123 | 4.44 | 100.00 | ****** |
+--------+------------+----------+----------+----------------------------------------------------------------------------------+ COORDONNEES, CONTRIBUTIONS DES FREQUENCES SUR LES AXES 1 A 4
FREQUENCES ACTIVES +------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| FREQUENCES | COORDONNEES | CONTRIBUTIONS | COSINUS CARRES |
|------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------|
| IDEN - LIBELLE COURT P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 |
+------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| Supe - Super 7.44 0.49 | -0.24 0.53 -0.32 0.22 0.00 | 2.5 38.3 21.6 30.2 0.0 | 0.12 0.57 0.21 0.10 0.00 |
| Alto - Alto 10.80 0.40 | -0.50 0.29 -0.01 -0.26 0.00 | 15.5 16.7 0.1 57.0 0.0 | 0.63 0.21 0.00 0.16 0.00 |
| Medi - Medio 26.55 0.25 | -0.44 -0.13 0.18 0.07 0.00 | 29.9 8.9 23.5 11.1 0.0 | 0.78 0.07 0.13 0.02 0.00 |
| Bajo - Bajo 41.20 0.10 | 0.22 -0.17 -0.15 -0.02 0.00 | 11.2 21.1 24.9 1.6 0.0 | 0.49 0.28 0.22 0.01 0.00 |
| Infe - Infer 14.00 0.65 | 0.72 0.24 0.28 0.01 0.00 | 41.0 15.1 29.9 0.1 0.0 | 0.79 0.09 0.12 0.00 0.00 |
+------------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
COORDONNEES, CONTRIBUTIONS ET COSINUS CARRES DES INDIVIDUS
AXES 1 A 4 +---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| INDIVIDUS | COORDONNEES | CONTRIBUTIONS | COSINUS CARRES |
|---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------|
| IDENTIFICATEUR P.REL DISTO | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 | 1 2 3 4 0 |
+---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
| AN_O 6.95 0.30 | 0.46 -0.12 -0.28 0.03 0.00 | 8.3 1.8 14.8 0.5 0.0 | 0.69 0.05 0.26 0.00 0.00 |
| AN_P 3.30 0.19 | -0.34 0.23 -0.13 -0.03 0.00 | 2.2 3.1 1.7 0.3 0.0 | 0.63 0.27 0.10 0.01 0.00 |
| AT_O 1.57 0.36 | 0.53 -0.20 -0.12 -0.15 0.00 | 2.5 1.2 0.6 2.9 0.0 | 0.78 0.11 0.04 0.06 0.00 |
| AT_P 4.82 0.46 | 0.59 0.27 0.21 -0.01 0.00 | 9.5 6.3 5.7 0.1 0.0 | 0.75 0.15 0.09 0.00 0.00 |
| BG_O 5.51 0.18 | -0.19 0.05 0.20 -0.31 0.00 | 1.2 0.3 6.0 43.1 0.0 | 0.21 0.02 0.23 0.55 0.00 |
| BG_P 10.86 0.46 | -0.62 0.25 -0.13 0.03 0.00 | 23.6 12.9 5.0 0.9 0.0 | 0.82 0.14 0.04 0.00 0.00 |
| BL_O 2.57 0.30 | 0.53 0.08 0.05 0.10 0.00 | 4.1 0.3 0.2 2.3 0.0 | 0.93 0.02 0.01 0.04 0.00 |
| BL_P 2.00 0.09 | 0.24 0.16 0.02 -0.12 0.00 | 0.6 0.9 0.0 2.2 0.0 | 0.59 0.26 0.00 0.14 0.00 |
| BY_O 3.03 0.52 | -0.58 -0.29 0.32 0.04 0.00 | 5.7 4.7 8.7 0.4 0.0 | 0.64 0.16 0.20 0.00 0.00 |
| BY_P 0.88 0.31 | -0.37 0.29 0.21 0.20 0.00 | 0.7 1.4 1.1 2.9 0.0 | 0.44 0.28 0.15 0.13 0.00 |
| CA_O 2.11 0.05 | 0.10 0.04 0.16 0.12 0.00 | 0.1 0.0 1.5 2.7 0.0 | 0.19 0.02 0.49 0.29 0.00 |
| CA_P 0.68 0.16 | 0.08 0.33 0.12 0.19 0.00 | 0.0 1.3 0.3 2.0 0.0 | 0.04 0.65 0.09 0.22 0.00 |
| CE_O 1.83 0.56 | 0.72 0.17 0.04 0.05 0.00 | 5.5 1.0 0.1 0.3 0.0 | 0.94 0.05 0.00 0.00 0.00 |
| CE_P 0.87 0.50 | 0.54 0.30 0.33 0.09 0.00 | 1.5 1.5 2.6 0.5 0.0 | 0.59 0.18 0.22 0.01 0.00 |
| CL_O 2.63 0.14 | 0.16 -0.33 0.04 0.00 0.00 | 0.4 5.4 0.1 0.0 0.0 | 0.18 0.80 0.01 0.00 0.00 |
| CL_P 0.65 0.85 | -0.45 0.72 0.00 0.37 0.00 | 0.7 6.2 0.0 7.0 0.0 | 0.24 0.61 0.00 0.16 0.00 |
| CO_O 2.06 0.37 | 0.52 0.15 -0.19 -0.18 0.00 | 3.2 0.9 2.1 5.6 0.0 | 0.74 0.06 0.10 0.09 0.00 |
| CO_P 0.60 0.05 | -0.21 0.01 0.07 0.02 0.00 | 0.1 0.0 0.1 0.0 0.0 | 0.90 0.00 0.09 0.01 0.00 |
| CQ_O 0.84 0.17 | 0.36 -0.10 -0.12 0.12 0.00 | 0.6 0.2 0.3 1.0 0.0 | 0.77 0.06 0.08 0.08 0.00 |
| CQ_P 0.12 0.19 | 0.36 0.21 0.07 -0.07 0.00 | 0.1 0.1 0.0 0.1 0.0 | 0.70 0.24 0.03 0.03 0.00 |
| CU_O 3.74 0.25 | -0.31 -0.38 0.11 0.02 0.00 | 2.1 9.8 1.3 0.1 0.0 | 0.39 0.56 0.05 0.00 0.00 |
| CU_P 2.09 0.17 | -0.39 -0.11 -0.04 0.03 0.00 | 1.8 0.4 0.1 0.2 0.0 | 0.91 0.07 0.01 0.01 0.00 |
| GJ_O 0.94 0.72 | 0.82 0.19 0.02 0.04 0.00 | 3.7 0.6 0.0 0.1 0.0 | 0.95 0.05 0.00 0.00 0.00 |
| GJ_P 0.53 0.15 | 0.23 0.26 0.17 0.02 0.00 | 0.2 0.7 0.4 0.0 0.0 | 0.34 0.45 0.20 0.00 0.00 |
| HU_O 1.90 0.20 | -0.28 -0.16 0.19 0.26 0.00 | 0.8 0.9 1.9 10.0 0.0 | 0.38 0.12 0.18 0.32 0.00 |
| HU_P 0.71 0.16 | -0.32 0.03 -0.22 0.09 0.00 | 0.4 0.0 1.0 0.4 0.0 | 0.64 0.00 0.31 0.05 0.00 |
| MA_O 1.97 0.85 | 0.84 0.28 0.21 0.11 0.00 | 8.0 2.8 2.4 1.8 0.0 | 0.84 0.09 0.05 0.01 0.00 |
| MA_P 1.05 0.55 | 0.56 0.24 0.42 -0.05 0.00 | 1.9 1.1 5.0 0.2 0.0 | 0.58 0.10 0.32 0.00 0.00 |
| ME_O 1.16 0.18 | -0.40 -0.12 -0.05 -0.02 0.00 | 1.1 0.3 0.1 0.0 0.0 | 0.90 0.08 0.02 0.00 0.00 |
| ME_P 0.95 0.07 | 0.17 -0.19 0.06 0.04 0.00 | 0.2 0.6 0.1 0.1 0.0 | 0.43 0.50 0.05 0.02 0.00 |
| NA_O 2.84 0.16 | -0.16 -0.14 0.34 0.05 0.00 | 0.4 1.0 8.9 0.6 0.0 | 0.16 0.12 0.71 0.02 0.00 |
| NA_P 0.68 0.39 | -0.58 0.22 0.06 -0.08 0.00 | 1.3 0.6 0.1 0.4 0.0 | 0.85 0.13 0.01 0.02 0.00 |
| NO_O 2.50 0.09 | -0.13 -0.26 0.08 -0.05 0.00 | 0.2 3.1 0.5 0.4 0.0 | 0.18 0.72 0.08 0.02 0.00 |
| NO_P 1.05 0.16 | -0.06 -0.13 -0.37 -0.08 0.00 | 0.0 0.3 4.0 0.5 0.0 | 0.02 0.10 0.84 0.04 0.00 |
| QU_O 1.03 0.27 | 0.01 -0.34 -0.38 0.07 0.00 | 0.0 2.3 4.1 0.4 0.0 | 0.00 0.44 0.54 0.02 0.00 |
| QU_P 0.33 0.52 | -0.48 0.48 0.23 -0.02 0.00 | 0.4 1.4 0.5 0.0 0.0 | 0.46 0.44 0.10 0.00 0.00 |
| RI_O 1.73 0.20 | 0.13 -0.21 -0.37 -0.03 0.00 | 0.2 1.5 6.5 0.1 0.0 | 0.08 0.23 0.68 0.01 0.00 |
| RI_P 0.52 0.56 | -0.42 0.41 -0.32 -0.34 0.00 | 0.5 1.6 1.5 4.8 0.0 | 0.31 0.30 0.19 0.20 0.00 |
| ST_O 3.12 0.20 | -0.30 -0.30 0.13 -0.03 0.00 | 1.6 5.3 1.6 0.2 0.0 | 0.45 0.46 0.09 0.00 0.00 |
| ST_P 1.66 0.30 | -0.40 0.21 -0.31 0.04 0.00 | 1.5 1.3 4.5 0.2 0.0 | 0.54 0.14 0.32 0.00 0.00 |
| SU_O 1.08 0.22 | 0.34 -0.30 -0.08 -0.02 0.00 | 0.7 1.8 0.2 0.1 0.0 | 0.54 0.42 0.03 0.00 0.00 |
| SU_P 0.59 0.14 | 0.27 -0.02 -0.05 -0.26 0.00 | 0.2 0.0 0.0 3.2 0.0 | 0.51 0.00 0.02 0.47 0.00 |
| TO_O 3.44 0.16 | 0.12 -0.39 -0.03 0.04 0.00 | 0.3 9.5 0.1 0.4 0.0 | 0.08 0.90 0.01 0.01 0.00 |
| TO_P 0.78 0.09 | -0.16 -0.20 0.14 0.07 0.00 | 0.1 0.6 0.4 0.4 0.0 | 0.27 0.45 0.21 0.06 0.00 |
| VL_O 3.82 0.12 | 0.27 -0.11 -0.19 0.04 0.00 | 1.6 0.9 3.9 0.5 0.0 | 0.59 0.10 0.30 0.01 0.00 |
| VL_P 5.90 0.02 | -0.03 0.13 -0.02 -0.01 0.00 | 0.0 1.9 0.1 0.0 0.0 | 0.04 0.93 0.03 0.01 0.00 |
+---------------------------------------+-------------------------------+--------------------------+--------------------------+
Simposio de Estadística – 2001 53
Pardo C.E. y Cabarcas G. Métodos estadísticos multivariados en investigación social
Gráfico 2-9: Proyección de los Puntos-Departamentos sobre el primer plano factorial
Gráfico 2-10: Proyección conjunta de los puntos-departamentos y los puntos-categorías sobre el primer plano factorial