Date post: | 07-Aug-2015 |
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La aguja de Buffón
Héctor René Vega-Carrillo Ua Estudios Nucleares de la UAZ
Buzón-e: [email protected] URL: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron
Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ingeniería Nuclear Septiembre 2012
Contenido
►Introducción.
Cálculo de p.
Fundamento del cálculo.
►Experimento con palillos.
►Otra idea.
►Otro experimento.
Introducción
►Georges Louis Leclerc Compte de Buffon (1707-1788) propuso un método para determinar el valor de p.
► Se trazan líneas paralelas con una separación L y se lanzan, al azar, un conjunto de agujas de longitud L.
► Se cuentan aquellas que al caer cruzan una de las líneas paralelas (éxitos) y se divide entre el total de agujas lanzadas (ensayos)
►Al hacer esto las posiciones extremas de las agujas es 0 y 180 grados.
►En una posición intermedia,
► El cateto opuesto es
►Trazando f(q)
► El área bajo la curva de f(q) es,
pqq ,0:,Sen2
L
p
qqq
0
)(fdSen
2
La
Encerrando la función dentro de un rectángulo
► El rectángulo tiene dimensiones de L/2 por p.
► Por lo tanto el área del rectángulo es,
L x p/2
►La razón entre la figura envuelta y la envolvente es,
ppp
qqp
q 2
22
20)(
L
L
L
dSenL
A
a
RECTÁNGULO
f
► Si sobre la figura trazamos puntos al azar,
►No se observa ningún patrón.
► Si trazamos más puntos,
► Notamos que el número de puntos está relacionado con el tamaño de las áreas, es decir entre mayor sea el área tendrá una mayor cantidad de puntos.
► Si trazamos un número muy grande, digamos infinito, las áreas quedarán totalmente cubiertas, y si los puntos que yacen fuera de f(q) los hacemos de un color y los que están dentro de f(q) los pintamos de otro color observamos lo siguiente,
►Si al número de puntos dentro de f(q) le llamamos n, y al total de puntos trazados (fuera y dentro de f(q)) lo denominamos N.
►Podemos establecer que existe una relación entre la razón n/N y la que existe entre las áreas af(q)/ARECTÁNGULO.
N
n
A
a
RECTÁNGULO
f
p
q 2)(
► Por lo tanto el valor de p se puede estimar mediante,
► donde n es el total de puntos dentro de f(q) (éxitos) y N es el total de puntos producidos (ensayos).
n
N2p
EXPERIMENTO
CON
PALILLOS
►Trace un conjunto de líneas paralelas cuya separación sea del tamaño de la longitud de los palillos.
►Repita el siguiente procedimiento N veces:
Seleccione 20 palillos y arrójelos sobre las líneas.
Cuente aquellos que crucen alguna de las líneas (éxitos) e1, e2, etc.
►Al finalizar los N ensayos, sume el total de éxitos: n = e1, e2, …, ei.
► Estime el valor de p de la siguiente forma,
p
i
ie
N202
!OTRA IDEA¡
►Vamos a estimar el valor de p utilizando sopa de pasta.
►Pero antes vamos a los fundamentos del método.
►Si tenemos un círculo de radio R.
► El área del círculo es,
► Si encerramos al círculo dentro de un cuadrado de lado 2 R.
2
CirculoRA p
► El área del cuadrado será 2 R x 2 R, es decir, 4 R2.
► La razón entre las áreas será,
p
p
4
R
R4
A
A2
2
Círculo
Cuadrado
►Despejando p,
Si lanzamos, en forma aleatoria, las sopas sobre la figura y solo tomamos en cuenta las que caen dentro del cuadro (N), algunas yacerán dentro del circulo (n). El área del cuadro será proporcional a N, mientras que el área del círculo será proporcional a n.
Por lo tanto, el valor de p se puede estimar mediante,
►Para hacerlo aún más simple seleccionemos un cuadrante de la figura,
►Trace un cuadrado y dentro de él una cuarta parte del círculo.
►Repita el siguiente procedimiento N veces. Tome un número fijo de sopas, digamos 50.
Láncelas en la figura y cuente aquellos que se encuentren dentro de la sección circular (éxitos), e1, e2, …, ei.
Algunos caerán fuera de la figura, esos réstelos de los 50 lanzados, (50 – Total que cayeron fuera) a la cantidad que resulte llámele h.
►Registre sus datos en una tabla como la siguiente,
► Estime el valor de p mediante,