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8/16/2019 2009 - 2º PARCIAL - TODOS LOS TEMAS - ENUNC Y RESOLUCION.pdf
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 1 de 31
2º PARCIAL - AÑO 2009
Estimados alumnos: A continuación se enuncian y resuelven todos los ejercicios tomados en el 2º parcial 2º parcial 2º parcial 2º parcial y sus recuperatorios del año 2009, tanto del curso del lunes como del sábado. El esfuerzo y tiempo invertido en este documento tiene por objetivo darles una herramienta para el estudio de las unidades 8 y 9, y salvar el escaso tiempo disponible en las clases para aclarar sus dudas. Espero sea de utilidad.
Consultas: [email protected]
Ing. Verónica MonzónIng. Verónica MonzónIng. Verónica MonzónIng. Verónica Monzón JTP Hidráulica Gral. y Aplicada
UTN - FRBA
Se adopta:
csstokes
100:= cs 0.01 stokes= cp
1
100poise⋅:= g 9.81
m
s2
=
Rm 8.311N m⋅
K mol⋅:= mca 1m 9810⋅
N
m3
:= cp 0.001kg
s m⋅= kPa 1000Pa:=
l 1liter:= g 9.81 m
s2
:=
exámenes parciales año 2009 - 2º parcial - resoluciones - edit 02 nov 2010.xmcd
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 2 de 31
1A ESCURRIMIENTOPERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
En el circuito de la figura circula agua, y tiene en su recorrido una válvula. La circulación se produce porgravedad entre el depósito superior y el inferior. Calcular:a) el caudal que circula cuando la válvula está completamente abierta (Kvalv = 0)
b) la pérdida que tiene que provocar la válvula (Kvalv = ?) para que el caudal que circule sea la mitad del
punto anterior
Notas: Fluido: agua, de densidad del agua ρ = 1000 kg/m3; viscosidad υ = 1.10-6 m2 /s.Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula
válvula
∆z=10m
2
1
Kválvdiámetro D = 76,2mmlongitud L = 100 mrugosidad absoluta de latubería ε = 0.1 mm,
Datos: zA 10m:= zB 0m:= ρ 1000kg
m3
:= ν 1 10 6−
⋅m
2
s⋅:=
PA 0:= PB 0:= ε 0.1 mm⋅:= L 100m:= D 76.2mm:=
a) caudal que circula con la válvula completamente abierta
Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta:
Q Weje− ρ Q⋅ zB zA−( ) g⋅PB PA−
ρ+ uB+ uA−
VB2
VA2
−
2+
⋅=
Reemplazando PA=PB=0y VB=VA=0 ymultiplicando y dividiendopor g, resulta:
0 zB zA−( ) ∆htotal+=
Pérdidas de carga porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)
∆htotal fL
D⋅
V2
2g⋅
= f
L
D⋅
Q
A
2
⋅1
2g⋅= f
L
D⋅
Q2
π D2
⋅
4
2
1
2g⋅
⋅= fL
D5
⋅Q
2
π2
16
1
2g⋅
⋅= f 8⋅ L⋅ Q
2⋅
D5
π2
⋅ g⋅
=
Reemplazando PA=PB=0y VB=VA=0 ymultiplicando y dividiendopor g, resulta:
zB− zA+ ∆htotal=
f 8⋅ L⋅ Q2
⋅
D5
π2
⋅ g⋅
=
Q
zB− zA+( ) D5
⋅ π2
⋅ g⋅
f 8⋅ L⋅=
___1º iteración____________________________________________________________________________________
Adopto f para empezariteración
f 0.02:= QzB− zA+( ) D
5⋅ π
2⋅ g⋅
f 8⋅ L⋅:= Q 0.012
m3
s=
Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.
Velocidad en la cañería VQ 4⋅
π D2
⋅
:= V 2.73m
s=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 3 de 31
Reynolds y rugosidadrelativa
ReV D⋅
ν:= Re 208337=
ε
D0.00131=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F
0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0226=
Como el valor obtenido del coeficiente de fricción difiere del adoptado, se realiza un nuevo cálculo
___2º iteración____________________________________________________________________________________
f 0.0226= QzB− zA+( ) D
5⋅ π
2⋅ g⋅
f 8⋅ L⋅:= Q 0.012
m3
s=
Se verificará si el caudal obtenido concuerda con el factor de fricción adoptado.
Velocidad en la cañería VQ 4⋅
π D2
⋅:= V 2.57
m
s=
Reynold y rugosidadrelativa Re
V D⋅
ν:= Re 196131=
ε
D0.00131=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F
0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0226=
Coincide en las dos primeras cifras significativas por lo que finalizamos el cálculo
b) Coeficiente de pérdida localizada para disminuir el caudal a la mitad completamente abierta
En la segunda etapa, la válvula está cerrada de tal forma que se obtiene la mitad del caudal:
Q2
Q
2
:= Q2 0.006m
3
s=
Pérdidas de carga porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)
∆htotal fL
D⋅ kvalv+
V2
2g⋅= f
L
D⋅ kvalv+
Q2
A
2
⋅1
2g⋅= f
L
D⋅ kvalv+
Q22
π D2
⋅
4
2
1
2g⋅
⋅=
∆htotal fL
D⋅ kvalv+
Q22
8⋅
π2
D4
⋅ g⋅
⋅=
zB− zA+ ∆htotal= fL
D⋅ kvalv+
Q22
8⋅
π2
D4
⋅ g⋅
⋅=
kvalv zB− zA+( ) π
2D
4⋅ g⋅
Q22
8⋅
⋅ fL
D⋅−=
Velocidad en la cañería V2
Q2 4⋅
π D2
⋅
:= V2 1.29m
s=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 4 de 31
Reynold y rugosidadrelativa
Re
V2 D⋅
ν:= Re 98065=
ε
D0.0013=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F
0.86− lnε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅
+
⋅= => f F( )1
F
− 0.86 lnε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅
+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F
0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0237=
El valor de las pérdidaspor fricción será: ∆h1y2 f
L
D⋅
V22
2 g⋅⋅:= ∆h1y2 2.62 m=
Finalmente, sereemplazarán losvalores, obteniendo:
kvalv zB− zA+( ) π
2D
4⋅ g⋅
Q22
8⋅
⋅ fL
D⋅−:= kvalv 87.41=
1B ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
Para el sistema de la figura determinar:a) ∆z si por él circula un flujo de agua de 750 l/min, para la válvula ángulo completamente abierta (Kvalv =
0)b) Una vez establecida la altura ∆z calculada en el punto anterior la válvula se cierra parcialmente de modoque deja pasar solamente un caudal de 300 l/min, calcular el valor de K para la válvula de ángulo.El material de la cañería es acero (ε=0,046mm).Notas:
Fluido: agua de densidad ρ = 1000 kg/m³; viscosidad υ = 1.10-6 m²/s.Despreciar pérdidas localizadas excepto la de la válvula
Ø=75mmL=35m ∆zválvula
la atmósfera
Datos: D 0.075m:= L 35m:= Q 0.75m
3
min:= ν 1.011 10
6−⋅
m2
s⋅:=
ε 0.046mm:=
a) Cálculo de ∆z
Velocidad en la cañería V2
Q 4⋅
π D2
⋅:= V2( ) 2.83
m
s=
Ecuación de la Energíaentre 1 y 2
0 AρV
2
2u+ g z⋅+
p
ρ+
V
⌠ ⌡
d=
Ecuación de la Energíaentre 1y 2
0 ρ Q⋅V2
2V1
2−
2
p2 p1−
ρ+ z2 z1−( ).g+ u2 u1−( )+
⋅=
Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta: 0
V22
2 ∆z−+ u2 u1−( )+=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 5 de 31
Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:
∆zV2
2
2g∆h1y2+=
Número de Reynolds ReV2 D⋅
ν:= Re 209898=
ε
D0.00061=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A]
F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0197=
Pérdida de carga, porfricción (se desprecian laslocalizadas, excepto laválvula, por enunciado)
∆h1y2 fL
D⋅
V22
2 g⋅⋅:= ∆h1y2( ) 3.75 m=
Dividiendo miembro amiembro por g, resulta:
∆z
V22
2 g⋅ ∆h1y2+:= ∆z 4.15 m=
b) si Q=300 l/min
Caudal y velocidad en lacañería
Q 0.3m
3
min:= y V2
Q 4⋅
π D2
⋅
:= V2 1.13m
s=
Siendo: V1=p2=p1=0 yz1-z2=H, resulta:
0
V22
2g∆z− f
L
D⋅ K+
V22
2 g⋅⋅+= => 0 ∆z− f
L
D⋅ Kvalv+ 1+
V22
2 g⋅⋅+=
Factor "k" para la válvula Kvalv∆z 2⋅ g⋅
V22
1− fL
D⋅−:= (1)
Número de Reynolds ReV2 D⋅
ν:= Re 83959=
ε
D0.0006=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A]
F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0216=
Reemplezando el factor defricción en la expresión(1), resulta:
Kvalv 53.45=
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1C ESCURRIMIENTO
PERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
Se desea conocer cuál es el caudal que puede transportar el sistema. La cañería es de hierro galvanizado yel fluido agua a 80ºC. Tenga en cuenta pérdidas localizadas.Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10
-6 m2 /s
valvularetención a
pistón
codo roscado 90º
válvula esf. paso total
Tanque
Longitud total de cañería = 15 mDiámetro en todo el recorrido 32 mm
entrada
4m
Agua 80ºC
salida chorro libre
Datos: z1 4m:= z2 0m:= D 32mm:= L 15m:=
P2 0:= P1 0:= ε 0.15 mm⋅:=
ρ80ºC 971.8kg
m3
:= ν 80ºC 0.367 10
6−⋅
m2
s⋅:=
500 D⋅ 16 m= >L => no se deberían despreciar las pérdidas localizadas
Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta: Q Weje
− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅P2 P1−
ρ80ºC
+ u2+ u1−V2
2V1
2−
2
+
⋅=
Reemplazando P2=P1=0 yV1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:
0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )V2
2
2 g⋅+ ∆htotal+
⋅= [1]
Pérdidas de carga ∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= ΣkV2
2
2g⋅ f
L
D⋅
V22
2g⋅+= [2]
Reemplazando (2) en (1)resulta:
0 ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( )V2
2
2 g⋅+ Σk
V22
2g⋅+ f
L
D⋅
V22
2g⋅+
⋅=
0 z2 z1−( )V2
2
2 g⋅1 Σk+ f
L
D⋅+
+= [3]
Despejando V2 de (3),resulta:
V2
z2 z1−( )− 2⋅ g⋅
1 Σk+ fL
D⋅+
=
Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 0.032 m= ft 0.022:=
kcodo90º 30 ft⋅:= kcodo90º 0.66=
kvalv_esf 3 ft⋅:= kvalv_esf 0.07=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 7 de 31
kvalv_ret 600 ft⋅:= kvalv_ret 13.2=
kentrada 0.5:=
Σk 3 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_esf+ kvalv_ret+:= Σk 15.75=
___1º iteración____________________________________________________________________________________
La velocidad depende delfactor de fricción, por locual adopto un f yempiezo a iterar:
f 0.025:= V2
z2 z1−( )− 2⋅ g⋅
1 Σk+ fL
D⋅+
:= V2 1.66m
s=
Número de Reynolds yrugosidad relativa:
Re
V2 D⋅
ν 80ºC
:= Re 144780=ε
D0.0047=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula de
Colebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:=
Se buscará la raíz queanule la expresión
F 0.01:= root f F( ) F,( ) 0.0311= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=
___2º iteración____________________________________________________________________________________
El f obtenido es distinto alsupuesto, se adopta estefactor como F y se vuelvea calcular.
f 0.0311= V2
z2 z1−( )− 2⋅ g⋅
1 Σk+ fL
D⋅+
:= V2 1.58m
s=
Número de Reynolds y
rugosidad relativa: Re
V2 D⋅
ν 80ºC:= Re 138042=
ε
D 0.0047=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:=
Se buscará la raíz queanule la expresión
F 0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0311=
El f obtenido es igual al supuesto en las dos primeras cifras significativas. Por lo tanto se termina la iteración y el Q buscado será:
Q V2
π D2
⋅
4
⋅:= Q 0.00127m
3
s= Q 4.58
m3
hr=
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1D ESCURRIMIENTOPERMANENTE ENCONDUCTOS
50 puntos
Si 500 l/s de flujo se mueven desde el depósito 1 hasta el depósito 2, ¿cuál es la potencia necesaria parabombear el agua a 80ºC? La cañería es de acero de 203 mm de diámetro. Tenga en cuenta las pérdidaslocalizadas.Considerar: ρ80ºC=971,8 kg/m³ υ80ºC = 0.367x10
-6 m2 /s
codo radio largo a 90º
bomba
26m
65m
13m
valvula
retención aclapeta 2
1
13m
l liter:=
Datos: z1 39m:= Q 500 ls
:= D 203mm:= ρ80ºC 971.8kg
m3
:=
z2 13m:= Q 0.5m
3
s= ε 0.046 mm⋅:= ν 80ºC 0.367 10
6−⋅
m2
s⋅:=
L 26m 65m+:= L 91 m= P1 0:= P2 0:=
Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies 1 y 2, resulta:
Q Weje− ρ80ºC Q⋅ z2 z1−( ) g⋅P2 P1−
ρ
80ºC
+ u2+ u1−V2
2V1
2−
2+
⋅=
Reemplazando P2=P1=0y V1=0 y multiplicando ydividiendo por g, resulta:
Wbomba−( )− ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+⋅= [1]
Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk
V22
2g⋅ f
L
D⋅
V22
2g⋅+=
Pérdidas por accesorios Factor de fricción turbulento, para diámetro D 203 mm= ft 0.014:=
codo a 90º kcodo90º 14 ft⋅:= kcodo90º 0.2=
válvula de retención kvalv_ret 100 f t⋅:= kvalv_ret 1.4=
entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=
salida caño a depósito ksalida 1:=
Σk kcodo90º kentrada+ kvalv_ret+ ksalida+:= Σk 3.096=
∆hlocalizadas ΣkV2
2
2g⋅:= ∆hlocalizadas 0.4 m=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 9 de 31
Velocidad en la cañería V2Q 4⋅
π D2
⋅
:= V2 15.45m
s=
Número de Reynolds yrugosidad relativa: Re
V2 D⋅
ν 80ºC
:= Re 8545117=ε
D0.00023=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:=
Se buscará la raíz queanule la expresión F
0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0145=
∆hfricción fL
D⋅
V22
2g⋅:= ∆hfricción 78.98 m=
∆htotal
ΣkV2
2
2g
⋅ fL
D
⋅V2
2
2g
⋅+
:= ∆htotal
116.64 m=
Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación(1), resulta:
Wbomba ρ80ºC Q⋅ g⋅ z2 z1−( ) ∆htotal+⋅:=
Wbomba 971.8kg
m3
⋅ 500l
s⋅⋅ g⋅ 13 m⋅ 39 m⋅− ∆htotal+( )⋅= 432062 W=
Otra alternativa para obtener el factor de fricción con el diagrama de Moody0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
105
106
107
108
5 2 3 4 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0.0001
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.015
0.03
0.02
0.04
0.06
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,024
0,026
0,028
0,019
0,018
0,017 8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor defricción
f
Rugosidadrelativa
ε / D
Número de Reynolds: Re=V.D ν
Tubería totalmente lisa
0.000005
64/ Re
Material(nuevo)
VidrioTubería estiradaAcero, hierro forjadoHierro fundido asfaltadoHierro galvanizadoHierro fundidoMadera cepilladaHormigónAcero remachado
e(mm)
0,00030,00150,0460,120,150,260,18-0,90,3-3,00,9-9,0
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,01
0,008
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,009
10 103 4
Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona
crítica
Flujo
laminar
Expresión de Colebrook-WhiteZona de transición
0.000230.0145
8 . 5
0 0 .
0 0 0
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 10 de 31
1E ESCURRIMIENTOPERMANENTE EN
CONDUCTOS
50 puntos
En el circuito de la figura se observa un sector de un circuito de cañería, que fluye desde un tanquesometido a presión P1 hacia la alimentación de una línea de procesos de una industria. Se sabe que senecesita en el punto 7 una presión de 240000 Pa.a) ¿qué presión P1 se necesita para hacer circular 380 l/s de agua hacia el punto 7?b) calcular las alturas piezométricas de los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7c) trazar la línea piezométrica desde el punto 1 al 7.Considerar:• tubería de hierro galvanizado de diámetro 356 mm.
• el fluido es agua a 65ºC, con: ρ65ºC=980,6 kg/m³ y υ65ºC = 0.478x10-6
m2
/s.• tener en cuenta las pérdidas localizadas
50m
50m
50m
Aire
Agua
P7
30m
valvula
retención aclapeta
P1
Codo radiolargo a 90º
10m
2
3
5
7
1
4 6 alimentaciónprocesoindustrial
Datos: Q 0.380m
3
s⋅:= p7 240000Pa:=
Datos del fluido ρ65ºC 980.6kg
m3
:= ν 65ºC 0.478 10 6−
⋅m
2
s:= γ 65ºC ρ65ºC g⋅:= γ 65ºC 9620
N
m3
=
Longitud de la cañería L1_7 160m:= D 356mm:= Rugosidad de la cañería ε 0.15mm:=
z1 30m:= z7 50m:=
a) cálculo de la presión p1
Ecuación de la Energíaentre 1 y 2 0
V72
2 g⋅
p7
γ 65ºC
+ z7+p1
γ 65ºC
− z1− ∆h1_7+=
Despejando p1 y
suponidneo V1=0,resulta:
p1 γ 65ºC
V72
2 g⋅
p7
γ 65ºC+ z7+ z1− ∆h1_7+
⋅= [1]
Pérdidas de carga∆htotal ∆hlocalizadas ∆hfricción+= Σk
V72
2g⋅ f
L1_7
D⋅
V72
2g⋅+=
Velocidad en todas lassecciones de la cañería esla misma
VQ 4⋅
π D2
⋅
:= V 3.82m
s= V7 V:=
V2 V3= V4= V5= V6= V7= V=
Pérdidas por accesorios se tendrán en cuenta (por enunciado y porque la longitud de la cañería no supera los 500 D
500 D⋅ 178 m=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 11 de 31
Factor de fricción turbulento, para diámetro D 356 mm= ft356mm 0.013:=
codo a 90º kcodo90º 14 ft356mm⋅:= kcodo90º 0.18=
válvula de retención kvalv_ret 100 ft356mm⋅:= kvalv_ret 1.3=
entrada de depósito a caño kentrada 0.5:=
Σk 2 kcodo90º⋅ kentrada+ kvalv_ret+:= Σk 2.164=
Pérdidas localizadas ∆hlocalizadas ΣkV7
2
2g⋅:= ∆hlocalizadas 1.61 m=
Número de Reynolds yrugosidad relativa Re
V7 D⋅
ν 65ºC
:= Re 2843255=ε
D0.00042=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:=
Se buscará la raíz queanule la expresión F
0.01:= f root f F( ) F,( ):= f 0.0166=
ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.
Pérdida por fricción entodo el recorrido
∆hfricción fL
D⋅
V72
2g⋅:= ∆hfricción 3.15 m=
Finalmente, las pérdidastotales entre 1 y 6serán:
∆h1_7 ΣkV7
2
2g⋅ f
L1_7
D⋅
V72
2g⋅+
:= ∆h1_7 7.15 m=
Reemplazando los valoresen [1], podremos obtenerla presión en 1
p1 γ 65ºC
V72
2 g⋅
p7
γ 65ºC
+ z7+ z1− ∆h1_7+
⋅:= p1 508351 Pa=
b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados:
Velocidad en la cañería
(es la misma en toda lasección)
V1 0
:= V2 V:= V3 V:= V4 V:= V5 V:=etc.
V 3.82
m
s=
En el punto 1 p1 508351 Pa= z1 30 m= H1
p1
γ 65ºC
z1+:= H1 82.84 m=
planteando Ec. de laenergía entre 1 y 2 0
p2
γ z2+
V22
2 g⋅+ u2+
p1
γ z1+
V12
2g+ u1+
−=
0 H2
V22
2g
+ H1− ∆h1_2+= => H2 H1
V22
2g
− ∆h1_2−=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 12 de 31
H2 H1
V22
2g− kentrada
V22
2g⋅−:= H2 81.73 m=
planteando Ec. de la
energía entre 2 y 3 0
p3
γ z
3+
V32
2 g⋅+
u3
g+
p2
γ z
2+
V22
2 g⋅+
u2
g+
−=
siendo V2=V3, resulta 0 H3 H2− ∆h2_3+= => H3 H2 ∆h2_3−= L2_3 50m:=
H3 H2 fL2_3
D⋅
V2
2g⋅−:= H3 80 m=
Procediendo de igual manera se calcularán todas las alturas piezométricas
siendo V2=V3, resulta 0 H4 H3− ∆h3_4+= => H4 H3 ∆h3_4−= L3_4 50m:=
H4 H3 2 kcodo90º⋅ fL3_4
D⋅+
V2
2g⋅−:= H4 77.99 m=
planteando Ec. de laEnergía entre 4 y 5
0 H5 H4− ∆h4_5+= => H5 H4. ∆h4_5−= L4_5 50m:=
H5 H4 f
L4_5
D⋅
V2
2g⋅−:= H5 76.26 m=
planteando Ec. de laEnergía entre 5 y 6
0 H6 H5− ∆h5_6+= => H6 H5. ∆h5_6−=
H6 H5 1 kvalv_ret⋅( ) V
2
2g⋅−:= H6 75.3 m=
planteando Ec. de laenergía entre 6 y 7
0 H7 H6− ∆h6_7+= => H7 H6 ∆h6_7−= L6_7 10m:=
H7 H6 f
L6_7
D⋅
V2
2g⋅−:= H7 74.95 m=
Verificaremos este
valor, calculando laaltura piezométrica enel punto 7 con los datos
H7 z7
p7
γ 65ºC+:= H7 50 m⋅
240000 Pa⋅
980.6kg
m3
⋅ g⋅+= H7 74.95 m=
c) línea piezométrica.
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 13 de 31
1
H2H3
H4H5
H6H7
plano de referencia
50m
50m
50m
Aire
Agua
P7
30m
valvula retencióna clapeta
P1
Codo radiolargo a 90º
10m
2
3
5
7
1
4 6
Como no cambia eldiámetro ni el materialde la cañería, Re y e/Dse mantienen constanteen todo el recorrido, porlo que la pendiente de
la línea piezométrica,entre los tramos, es lamisma.
Otra forma de hallar el factor de fricción utilizando el diagrama de Moody
Rugosidad promedio detubos comerciales
0,01
0,008
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,009
10 103 4
Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona
crítica
Flujo
laminar
Expresión de Colebrook-WhiteZona de transición
0.00042
0.0166
2 .
8 0 0 .
0 0 0
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
105
106
107
108
5 2 3 4 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0.0001
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.015
0.03
0.02
0.04
0.06
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,024
0,026
0,028
0,019
0,018
0,017 8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor defricción
f
Rugosidadrelativaε / D
Número de Reynolds: Re=V.D
Tubería totalmente lisa
0.000005
64/ Re
Material(nuevo)
VidrioTubería estiradaAcero, hierro forjado
Hierro fundido asfaltado
Hierro galvanizadoHierro fundido
Madera cepilladaHormigónAcero remachado
e(mm)
0,00030,00150,0460,12
0,150,26
0,18-0,90,3-3,0
0,9-9,0
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 14 de 31
1F ESCURRIMIENT
O PERMANENTE
EN CONDUCTOS
50 puntos
La figura esquematiza la instalación de un Complejo Hidroeléctrico. Se desea saber:a) qué ganancia tendrá la turbina para un caudal Q=100 m³/s.b) qué presión absoluta habrá en el punto C, a la entrada de la turbinaConsiderar:• las características de las tuberías según se indican en el gráfico• el fluido es agua a 15ºC, con: ρ65ºC=999 kg/m³ y υ15ºC = 1.146x10
-6 m2 /s.
• presión atmosférica patm=93.700 N/m²• despreciar las pérdidas localizadas
T
185m
Tramo 1L1=330mmaterial:acero remachado
ε1=9mmØ=4m
Tramo 2L2=6 kmmaterial: roca excavada
ε2=10cmØ2=7,5m
EmbalseA
EmbalseB
A
B
60mC
Turbina
zA 245m:= PA 0:= patm 93700N
m2
:=
zB 60m:= PB 0:=
zC 0m:=
ε1 9 mm⋅:= L1 330m:= D1 4m:=
ε2 10 cm⋅:= L2 6000m:= D2 7.5m:=
Q 100m
3
s:= ρ15ºC 999
kg
m3
:= ν 15ºC 1.146 10 6−
⋅m
2
s⋅:=
a) Ganancia de la turbina
Planteando Ec. de laenergía entre lassuperficies A y B, resulta:
Q Wturb Wbomba−( )− ρ15ºC Q⋅ zB zA−( ) g⋅PB PA−
ρ15ºC
+ uB+ uA−VB
2VA
2−
2+
⋅=
Reemplazando PA=PB=0y VB=VA=0 ymultiplicando y dividiendopor g, resulta:
Wturb( )− ρ15ºC Q⋅ g⋅ zB zA−( ) ∆htotal+⋅= [1]
Pérdidas de carga porfricción (se desprecian laslocalizadas por enunciado)
∆htotal ∆h1.fricción ∆h2.friccion+= f1
L1
D1
⋅V1
2
2g⋅ f2
L2
D2
⋅V2
2
2g⋅+=
Pérdidas de carga en el tramo 1
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 15 de 31
Velocidad en la cañería, enel tramo 1
V1
Q 4⋅
π D12
⋅
:= V1 7.96m
s=
Reynolds y rugosidadrelativa Re
V1 D1⋅
ν15ºC
:= Re 27775732=ε1
D1
0.00225=
Cálculo de coeficiente deFricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε1
D1 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅= => f F( )1
F− 0.86 ln
ε1
D1 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= [A]
Se buscará la raíz queanule la expresión [A] F
0.01:= f1 root f F( ) F,( ):= f1 0.0247=
ver otra forma de calcular f al finalde la resolución.
Las pérdidas de cargapor fricción en el tramo 1
serán:
∆h1.friccion f1
L1
D1
⋅V1
2
2g⋅:= ∆h1.friccion 6.57 m=
Pérdidas de carga en el tramo 2
Velocidad en la cañería,en el tramo 2
V2
Q 4⋅
π D22
⋅
:= V2 2.26m
s=
Reynolds y rugosidadrelativa Re2
V2 D2⋅
ν 15ºC
:= Re2 14813724=ε2
D2
0.0133=
Cálculo de coeficiente de
Fricción por fórmula deColebrook-White:
1
F0.86− ln
ε2
D2 3.7⋅
2.51
Re2 F⋅+
⋅= => f F( )
1
F− 0.86 ln
ε2
D2 3.7⋅
2.51
Re2 F⋅+
⋅−:=
Se buscará la raíz queanule la expresión F
0.01:= f2 root f F( ) F,( ):= f2 0.0427=
Las pérdidas de carga en eltramo 2 serán:
∆h2.friccion f2
L2
D2
⋅V2
2
2g⋅:= ∆h2.friccion 8.93 m=
Pérdidas de carga total ∆htotal ∆h1.friccion ∆h2.friccion+:= ∆htotal 15.49 m=
Finalmente, reemplazandola pérdida en la ecuación(1), resulta:
Wturb ρ15ºC Q⋅ g⋅ zA zB− ∆htotal−( )⋅:=
Wturb 999kg
m3
⋅ 100m
3
s⋅⋅ g⋅ 245 m⋅ 60 m⋅− ∆htotal−( )⋅= 166120 kW=
b) presión absoluta en el punto C
patm 93700 Pa= zC 0= γ 15ºC ρ15ºC g⋅:= γ 15ºC 9800.19N
m3
=
VC V1:= VC 7.96m
s=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 16 de 31
planteando Ec. de laenergía entre A y C 0
pC
γ zC+
VC2
2 g⋅+
uC
g+
pA
γ zA+
VA2
2g+
uA
g+
−=
Siendo VA=0,
zc=-60m;uc-uA=∆h10
pC
γ z
C+
VC2
2 g⋅+
pA
γ − z
A− ∆h
1.friccion+=
Trabajando con valoresabsolutos de la presión,obtendremos:
pabs_C
patm
γ 15ºC
zA zC−+VC
2
2g− ∆h1.friccion−
γ 15ºC⋅:= pabs_C 2399 kPa=
Expresión de Colebrook-WhiteZona de transición
0.00230.0247
2 7 .
7 0 0 .
0 0 0
1 4 .
8 0 0 .
0 0 0
0.0130.0427
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
105
106
107
108
5 2 3 4 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0.0001
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.015
0.03
0.02
0.04
0.06
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,024
0,026
0,028
0,019 0,018
0,017 8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor defricción
f
Rugosidadrelativaε / D
Número de Reynolds: Re=V.D ν
Tubería totalmente lisa
0.000005
64/ Re
Material(nuevo)
VidrioTubería estirada
Acero, hierro forjadoHierro fundido asfaltado
Hierro galvanizado
Hierro fundidoMadera cepillada
HormigónAcero remachado
e(mm)
0,00030,00150,046
0,120,15
0,260,18-0,9
0,3-3,00,9-9,0
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,01
0,008
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,009
10 103 4
Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona
crítica
Flujo
laminar
Otra forma dehallar el factorde fricciónutilizando el
diagrama deMoody
1G CANALES
50 puntos
La instalación de la figuramuestra el almacenamiento de lamateria prima de una industria,que se conecta con la línea deproducción en el punto 2. Apartir de allí, la instalación escapaz de procesar 16 m³/hora.Calcular el valor k de la válvulapara no sobrecargar al sistema.Despreciar otras pérdidaslocalizadas excepto la de laválvula. El material es petróleocrudo de ρr=0,86 a 70ºC y lacañería es de acero.
30m
D=50mmL=50m
P2=8 mcapetróleocrudo70ºC
La cañería es acero
válvula
2
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 17 de 31
ρrpetroleo 0.86:=Datos: Q 16m
3
hr:= ν petroleo 4 10
6−⋅
m2
s:=
γ petroleo 9810N
m3
ρrpetroleo⋅:= γ petroleo 8436.6N
m3
=
z1 30m:= L 50m:= D 50mm:= ε 0.046mm:=
p2 8m 9810⋅N
m3
:= p2 78480N
m2
=
Sección de la cañería Aπ D
2⋅
4
:= A 0.00196 m2
=
Velocidad en la cañería V2Q
A:= V2 2.26
m
s=
Reynolds Re V2 D⋅
ν petroleo
:= Re 28294= ε
D0.00092=
f F( )1
F− 0.86 ln
ε
D 3.7⋅
2.51
Re F⋅+
⋅−:= F 0.01:=
Factor de fricción
f root f F( ) F,( ):= f 0.027=
Planteando ecuación dela energía entre elnivel del embalse y la
salida, resulta:
p1
γ
V12
2g+ z1+
u1
g+
p2
γ
V22
2g+ z2+
u2
g+= [1]
Siendo: p1 0= V1 despreciable=u2 u1−
g∆hlocaliz ∆hfricción+= z2 0= [2]
Reemplazando [2] en[1], resulta
∆hlocaliz ∆hfricción+p2
γ −
V22
2g− z1+=
Por Darcy-Weisbach ∆hfricción fL
D⋅
V2
2g⋅:= ∆hlocaliz Σk
V22
2g⋅:=
Siendo:f
L
D
⋅ Kvalvula+
V22
2g
⋅p2
γ
−V2
2
2g
− z1+=
Despejando elcoeficiente de laválvula
Kvalvula
p2
γ petroleo
−V2
2
2g− z1+
2g
V22
⋅ fL
D⋅−:= Kvalvula 51.73=
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2 8 . 0 0 0
0.027
0.0009
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
105
106
107
108
5 2 3 4 6 7
0.00001
0.000001
0.00005
0.0001
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.015
0.03
0.02
0.04
0.06
0,095
0,085
0,075
0,065
0,055
0,048
0,046
0,044
0,042
0,038
0,036
0,034
0,032
0,022
0,024
0,026
0,028
0,019
0,018
0,017 8 9
5
2
3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9 5 2 3 4 6 7 8 9
6 7 8 9
Factor defricción
f
Rugosidadrelativaε / D
Número de Reynolds: Re=V.D
Tubería totalmente lisa
0.000005
64/ Re
Material(nuevo)
VidrioTubería estirada
Acero, hierro forjadoHierro fundido asfaltadoHierro galvanizado
Hierro fundidoMadera cepilladaHormigónAcero remachado
e(mm)
0,00030,0015
0,0460,12
0,150,26
0,18-0,90,3-3,00,9-9,0
Rugosidad promedio de
tubos comerciales
0,01
0,008
0,016
0,015
0,014
0,013
0,012
0,011
0,009
10 103 4
Flujo turbulento, tuberías rugosasZona de TransiciónZona
crítica
Flujo
laminar
Expresión de Colebrook-WhiteZona de transición
Otra forma de calcularel factor de fricción
2A CANALES
50 PUNTOS
En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 3m de ancho, circula un caudal regulado por
un vertedero rectangular aguas arriba, que tiene una carga de H=0,7m.En su recorrido, el canal cambia de pendiente según se indica en la figura y se desea conocer:a) el caudal regulado por el vertedero rectangularb) los tirantes normales (uniformes) en cada tramoc) el tirante críticod) evaluar si se produce resalto en algún sectore) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,curva y nombre de cada una.Notas:Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniformeSe desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero
S02=0,025
B=3m
l=3m
H=0,7m
h0=3,3m
H=0,7m
h0=3,3m
Vertedero regulador decaudal aguas arriba
vista corte
S01=0,004
S03=0,004
Datos Cd 0.423:= l 3m:= H 0.7m:= B 3m:= Y 4m:= n 0.012m
1−
3s⋅:=
S01 0.004:= S02 0.025:=
a) flujo en vertedero rectangular
Utilizando la ecuación 10.30, y verificando luego si la velocidad de llegada (V1) es menor a 0,3 m/s de tal forma que sea despreciable
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 19 de 31
Como no hay contracciónlateral
lc l:= lc 3 m=
Q Cd lc⋅ 2g⋅ H
3
2⋅:=
Q 0.423 lc⋅ 2 g⋅⋅ 0.7 m⋅( )
3
2
⋅= 3.29m
3
s= Q 3.292
m3
s=
V1
Q
B Y⋅:= V1 0.274
m
s= Se comprueba que la velocidad es despreciable (< a 0,3
m/s)
b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0
[1]Partiendo de la ecuaciónde Maning
Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅= => 0 Q−
1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅+=
Siendo A B Y⋅=
P B 2
Y⋅+=
Rh
A
P=
[2]
Reemplazando [2] en [1],resulta:
0 Q−1
nB Y0⋅( )⋅
B Y0⋅
B 2 Y0⋅+
2
3
⋅ S0
1
2⋅+= [3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
Y01 0.01m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]
f Y01( ) Q−1
nB Y01⋅( )⋅
B Y01⋅
B 2 Y 01⋅+
2
3
⋅ S01
1
2⋅+:=
Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 0.432 m=
______________________________________________________________________________________________
Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]
Y02 0.01m:=f Y02( ) Q−1
nB Y02⋅( )⋅
B Y02⋅
B 2 Y 02⋅+
2
3
⋅ S02
1
2⋅+:=
Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 0.24 m= ______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude
FrV
g Dh⋅= [4]
velocidad VQ
A=
Q
Y B⋅= profundidad hidráulica Dh
A
T=
Y B⋅
Y= Y=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 20 de 31
Reemplazando la velocidady la profundidad hidráulicaen [4], resulta
Fr Q
Y B⋅
1
g Y⋅⋅= Fr
Q
B Y
3
2⋅ g⋅
=
al igualar el número de
Froude a 1, encontraremoslas variables críticas
Fr 1= 1
Q
B Yc
3
2⋅ g⋅
= Yc
Q
B g⋅
2
3
:= Yc 0.5
m=
d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto
e) curvas de la superficie libre
S02=0,025
S01=0,004
S03=0,004
y02=0,24m
y01=0,43myc=0,50m
y03=y01=0,43m
F2
F3
2B CANALES50 puntos
En un canal rectangular revestido de hormigón (n=0,012) de 5m de ancho, escurre un caudal controlado
aguas arriba por un vertedero triangular (de ángulo recto) de carga H=2,5m. El canal cambia de pendientesegún se indica en la figura y se desea conocer:a) el caudal regulado por el vertedero triangularb) los tirantes normales (uniformes) en cada tramoc) el tirante críticod) evaluar si se produce resalto en algún sectore) las curvas del perfil de la superficie, indicando en el gráfico: línea de tirante crítico, tirantes uniformes,curva y nombre de cada una.Notas:Se supone que la longitud de cada tramo es suficiente como para alcanzar el tirante uniformeSe desprecia la velocidad de llegada del fluido hacia el vertedero
2,5m
b=5m
S01=0,00036
S02=0,000095
S03=0,00036
Vertedero regulador decaudal aguas arriba
Datos: B 5m:=
S01
0.00036
:= S
02 0.000095
:= n 0.012m
1−
3s
⋅:= H 2.5m
:=
a) flujo en vertedero triangular
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 21 de 31
flujo en vertederotriangular
Q 1.346m
s2
⋅ H
5
2⋅:= Q 1.346
m
s2
⋅ 2.5 m⋅( )
5
2⋅= 13.3
m3
s=
b) Cálculo de los tirantes uniformes Y 0
[1]Partiendo de la ecuaciónde Maning
Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅= => 0 Q−
1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅+=
Siendo A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= RhA
P= [2]
Reemplazando [2] en [1],resulta:
0 Q−1
nB Y0⋅( )⋅
B Y0⋅
B 2 Y0⋅+
2
3
⋅ S0
1
2⋅+=
[3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación [3]
f Y01( ) Q−1
nB Y01⋅( )⋅
B Y01⋅
B 2 Y 01⋅+
2
3
⋅ S01
1
2⋅+:=
Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.68 m=
Se buscará el valor de Y
que haga 0 la ecuación [3]Y
02
0.000001m:=f Y02( ) Q−
1
n B Y02⋅( )⋅B Y02⋅
B 2 Y 02⋅+
2
3
⋅ S02
1
2
⋅+:=
Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.74 m=
______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude
FrV
g Dh⋅= [4]
velocidad VQ
A=
Q
Y B⋅= profundidad hidráulica DhA
T=
Y B⋅
Y= Y=
Reemplazando la velocidady la profundidad hidráulicaen [4], resulta
Fr Q
Y B⋅
1
g Y⋅⋅= Fr
Q
B Y
3
2⋅ g⋅
=
al igualar el número deFroude a 1, encontraremoslas variables críticas
Fr 1= 1Q
B Yc
3
2⋅ g⋅
= YcQ
B g⋅
2
3
:= Yc 0.9 m=
d) se observa que no se atraviesa el tirante crítico en ningún sector, por lo que no se forma resalto
e) curvas de la superficie libre
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 22 de 31
2,5m
b=5m
línea de profundidad crítica
línea de profundidad normal
S01=0,00036
S02=0,000095
S03=0,00036
Vertedero regulador decaudal aguas arriba
y02=2,74m
Y01=Y03=1,68myc=0,9m
D1
D2
2C CANALES
50 puntos
Los ingenieros civiles, con frecuencia encuentran flujo en tuberías donde éstas no están completamentellenas de agua. Por ejemplo esto ocurre en alcantarillas y, por consiguiente, el flujo es a superficie libre. Enla figura se muestra una tubería parcialmente llena, si el n de Manning es 0.015
a) ¿cuál es la pendiente necesaria para un flujo normal de 25000 l/s?b) si la sección puede escurrir como máximo a sección llena, qué diámetro se debería poner paratransportar el mismo caudal en un tramo de la cañería en donde la pendiente es de 1/200? Considere quela ecuación de Manning es válida también para escurrimientos a sección llena en conductos circulares.
d0=2,5m
0,625m
Datos: Q 25000liter
sec⋅:= Q 25
m3
s= n 0.015m
1−
3s⋅:= a 0.625m:= d
0 2.50m:=
a) Cálculo de la pendiente
Despejando la pendientede la expresión deManning, resulta:
Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅= S0
Q n⋅
A Rh
2
3⋅
2
= Radio de la cañería rd0
2
:= r 1.25 m=
CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulicade Canales Abiertos, Ven Te Chow)
Sección
ÁreaA
Perímetro mojado
P
Radio HidráulicoR
AnchoSuperficial
T
ProfundidadHidráulica
D
Factor de SecciónZ
yd0
θ
T
Círculo
1
8θ sen θ( )( ). d 0
2.
θ
d 0
2
.
1
41
sen θ( )
θ
. d 0.
sen θ
2d 0.
ó
2 y d 0 y..
1
8
θ sen θ( )
sen θ
2
. d 0.
2
32
θ sen θ( )( )1.5
sen θ
2
0.5
. d 02.5.
a=0,5m
d0=2,50m
θ
T
αr
gráfico de análisis α asina
r
:= α 30 deg=
θ π 2 α⋅+:= θ 4.19= θ 240 deg=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 23 de 31
Área de la cañería A1
8d0
2⋅ θ sin θ( )−( )⋅:= A 3.95 m2=
Pmojado θd0
2
⋅:= Pmojado 5.24 m=Perímetro mojado
RhA
Pmojado
:= ó Rh1
41
sin θ( )θ
−
⋅ d0⋅:= Rh 0.754 m=Radio hidráulico
Pendiente normal S0Q n⋅
A Rh
2
3⋅
2
:= S0 0.013134=
b) Cálculo del diámetro, si la pendiente cambia, para transportar el mismo caudal a sección llena
Datos: S01
200:= S0 0.005= Q 25
m3
s=
Área de la cañería asección llena
A π r2
⋅= Perímetro mojado a secciónllena
Pmojado 2 π⋅ r⋅( ):=
Rh
A
Pmojado
= π r
2⋅
2 π⋅ r⋅=
r
2= Rh
A
Pmojado
=Radio hidráulico
Reemplazando lasexpresiones anteriores enla ecuación de Manning,resulta:
Q1
nA⋅ Rh
2
3⋅ S0
1
2⋅
=
1
nπ r
2⋅( )⋅ r
2
2
3
⋅ S0
1
2⋅
=
1
nπ⋅ r
2⋅
r
2
3
2
2
3
⋅ S0
1
2⋅
= 1
nπ⋅ r
8
3⋅
S0
1
2
2
2
3
⋅=
Despejando r:
rQ n⋅ 2
2
3⋅
π S0
1
2⋅
3
8
:= r 1.45 m= d0 2 r⋅:= d0 2.89 m=
1.5m
7,18m
S01=0,01
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 24 de 31
2D CANALES 50 PUNTOS
En un canal rectangular de ancho B = 4 m, de pendiente S0=0,01 y de rugosidad n = 0,015, quetransporta un caudal Q = 29 m³/s, se coloca una compuerta que eleva el tirante a 7,18 m, y tiene unaabertura inferior de 1,50 m. Considerar que las longitudes de los tramos son tales que la altura del tirantealcanza el tirante normal antes y después de la compuerta. Determinar:a) el tirante uniformeb) el tirante críticoc) determinar si se produce resalto; si es así: calcular los tirantes conjugados.d) dibujar en forma aproximada las líneas de las curvas de la superficie libre, indicando su forma y su
denominación
1.5m
7,18m
S01=0,01
ATENCIÓN: HAY UN ERROR EN EL GRÁFICO DEL ENUNCIADO, SE CAMBIA LA ABERTURA INFERIOR DE 1,5m A 0,75m
Datos: B 4m:= S01 0.01:= Q 29m
3
s⋅:= n 0.015m
1−
3s⋅:=
a) Cálculo de los tirantes normales Y01
Y02
Partiendo de la ecuaciónde Maning
Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅= A B Y⋅= P B 2 Y⋅+= Rh
A
P=
Se buscará el valor de Yque haga 0 la ecuación f Y01( ) Q−
1
nB Y01⋅( )⋅
B Y01⋅
B 2 Y 01⋅+
2
3
⋅ S01
1
2⋅+:=
Y01 0.01m:= Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.28 m=
b) Cálculo del tirante crítico Y c
El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude
Fr 1= FrVc
g Dh⋅= Vc
Q
A=
Q
Y B⋅=
A Y B⋅=
Dh
Ac
T=
Y B⋅
Y=
Y=
1Q
Yc B⋅
1
g Yc
1
2⋅
⋅= 1Q
B Yc
3
2⋅ g⋅
= YcQ
B g⋅
2
3
:= Yc 1.75 m=
c) Cálculo de tirantes conjugados
Tomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto
Y1 Y01:= Y1 1.28 m=
Y2
Y
12
1 8 Fr12⋅+ 1−⋅=
Y
12
1 8
V
1Y1 g⋅
2
⋅+ 1−
⋅=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 25 de 31
Y2
Y1
21 8
Q
Y1 B⋅
2
⋅1
Y1 g⋅⋅+ 1−
⋅:= Y2 2.32 m=
Al ser Y2 0 Q−
1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅+=
Siendo A B Y⋅=
P B 2
Y⋅+=
Rh
A
P=
[2]
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 26 de 31
Reemplazando [2] en [1],resulta:
0 Q−1
nB Y0⋅( )⋅
B Y0⋅
B 2 Y0⋅+
2
3
⋅ S0
1
2⋅+=
[3]
___Procedimiento auxiliar para cálculo de raíces________________________________________________________________
Y01 0.00001m:=Se buscará el valor de Y01que haga 0 la ecuación [3]
f Y01( ) Q−1
nB Y01⋅( )⋅
B Y01⋅
B 2 Y 01⋅+
2
3
⋅ S01
1
2⋅+:=
Y01 root f Y01( ) Y01,( ):= Y01 1.42 m=
Se buscará el valor de Y02
que haga 0 la ecuación [3]
Y02 0.000001m:=f Y02( ) Q−1
n
B Y02⋅( )⋅B Y02⋅
B 2 Y 02⋅+
2
3
⋅ S02
1
2⋅+:=
Y02 root f Y02( ) Y02,( ):= Y02 2.64 m=
_______________________________________________________________________________________________
c) Cálculo del tirante crítico Yc
El tirante crítico es aquelque hace 1 el número deFroude
FrV
g Dh⋅= [4]
velocidad VQ
A
= Q
Y B⋅
= profundidad hidráulica DhA
T
= Y B⋅
Y
= Y=
Reemplazando la velocidady la profundidad hidráulicaen [4], resulta
Fr Q
Y B⋅
1
g Y⋅⋅= Fr
Q
B Y
3
2⋅ g⋅
=
al igualar el número deFroude a 1, encontraremoslas variables críticas
Fr 1= 1Q
B Yc
3
2⋅ g⋅
= YcQ
B g⋅
2
3
:= Yc 2.02 m=
c) Evaluación de resalto: Al producirse un cambio en la altura del tirante, desde un nivel inferior al crítico a unosuperior: se produce resalto y se calcularán los tirantes conjugados
Tomamos como Y1 altirante uniforme antes delresalto
Y1 Y01:= Y1 1.42 m=
Y2
Y1
2
1 8 Fr12
⋅+ 1−⋅=Y1
2
1 8
V1
Y1 g⋅
2
⋅+ 1−
⋅=
Y2
Y1
2
1 8Q
Y1 B⋅
2
⋅1
Y1 g⋅⋅+ 1−
⋅:= Y2 2.78 m=
Al ser Y2>Y02, el tirante se forma en el tramo débil y se calcula de la siguiente manera:
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 27 de 31
Tomamos como Y2 altirante uniforme despuésdel resalto
Y2 Y02:= Y2 2.64 m=
Y1
Y2
2
1 8 Fr22
⋅+ 1−⋅=Y2
2
1 8
V2
Y2 g⋅
2
⋅+ 1−
⋅=
Y1
Y2
21 8
Q
Y2 B⋅
2
⋅1
Y2 g⋅⋅+ 1−
⋅:= Y1 1.51 m=
d) gráfico
Y02=2,64m
yc=2,02m
Y01=1,42m
S02=0,00095
S01=0,006
D3
resaltoY1=1,51m
Y2=Y02=2,02m
línea de profundidad crítica
línea de profundidad normal
canal principal
área planicie de inundación
perímetro planicie de inundación
perímetro mojado canal principal
y2=2mB2=20mB1=10m
y1=5m Planicie de inundaciónPaston=0,035
Canal principal
Hormigónn=0,013
e) caudal máximo que escurre por el canal principal y la planicie de inundación
Datos: S0 0.00095:= ncanal_ppal 0.013m
1−
3s⋅:= nplanicie 0.035m
1−
3s⋅:=
Característicasgeométricas de la planiciede inundación: área,perímetro mojado y radiohidráulico:
Aplanicie 2m 20m⋅:= Aplanicie 40 m2
=
Pplanicie 2m 20m+:= Pplanicie 22 m=
Rhplanicie
Aplanicie
Pplanicie
:= Rhplanicie 1.82 m=
Característicasgeométricas del canalprincipal: área, perímetromojado y radio hidráulico:
Acanal_ppal 10m 7⋅ m:= Acanal_ppal 70 m2
=
Pcanal_ppal 10 m⋅ 7m+ 5m+:= Pcanal_ppal 22 m=
Rhcanal_ppal
Acanal_ppal
Pcanal_ppal
:= Rhcanal_ppal 3.18 m=
Reemplazando los valoresanteriores en la ecuaciónde Manning, resulta:
Qplanicie
1
nplanicie
Aplanicie⋅ Rhplanicie
2
3⋅ S0
1
2⋅:= Qplanicie 52.47
m3
s=
Qcanal_ppal
1
ncanal_ppal
Acanal_ppal⋅ Rhcanal_ppal
2
3⋅ S0
1
2⋅:= Qcanal_ppal 359.03
m3
s=
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Año 2009 - 2º parcial Resoluciones Pág. 28 de 31
Q Qplanicie Qcanal_ppal+:= Q 411.51m
3
s=
2F CANALES
50 puntos
Se desea construir un canal consección transversal en forma de
trapecio, del que ya se han definidolas dimensiones indicadas en lafigura, pero no se ha decidido todavíael valor del tramo horizontal queforma el fondo del canal.a) Determine el valor de la longitud b del fondo del canal para que puedaevacuar un caudal de 4 m3 /s siendo laprofundidad y = 1 m.b) Altura crítica y tipo deescurrimientoc) Con el valor de b calculado en elpunto a), determine el máximo caudalque puede evacuar el canal sin
desbordarse.DATOS:-Coeficiente de Manning: n = 0.022.-Pendiente: S0 = 0.0024.
1
z
b
y=1m60º
ymáx
1
z
Datos: Q 4m
3
sec⋅:= y 1m:= n 0.022m
1−
3s⋅:= S0 0.0024:=
tan60º1
z= z
1
tan 60deg( ):= z 0.58=
a) cálculo de la longitud del fondo b
Ecuación de Manning Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅=
CANALES. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SECCIONES (Fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow)
Sección
ÁreaA
Perímetro mojadoP
Radio HidráulicoR
Ancho SuperficialT
ProfundidadHidráulica
D
Factor de SecciónZ
1
z
b
y z
1
Trapecio
b z y.( ) y. b 2 y. 1 z2.
b z y.( ) y.
b 2 y. 1 z2.
b 2 z. y.
b z y.( ) y.
b 2 z. y.
b z y.( ) y.( )1.5
b 2 z. y.
Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅=
Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅
b 2 y⋅ 1 z2
+⋅+
=
Reemplazando A y Rh enla ecuación de Manning,resulta: Q
1
nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅
b z y⋅+( ) y⋅
b 2 y⋅ 1 z2
+⋅+
2
3
⋅ S0
1
2⋅=
Como es una ecuaciónimplícita -no se puededespejar b directamente-se busca la raíz.
f b( ) Q−1
nb z y⋅+( ) y⋅[ ]⋅
b z y⋅+( ) y⋅
b 2 y⋅ 1 z2
+⋅+
2
3
⋅ S0
1
2⋅+:=
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b 0.01m:= b root f b( ) b,( ):= b 1.96 m=
b) Profundidad crítica y tipo de escurrimiento
El tirante crítico es elque hace 1 el número deFroude
Fr 1= FrVc
g Dh⋅=[1]
Siendo la velocidad y laprofundidad hidráulica:
VcQ
A= [2] Dh
A
T=
Y b z Y⋅+( )⋅
b 2 z⋅ Y⋅+= [3]
Reemplazando [2] y [3] en[1], resulta:
1Q
A g⋅A
T⋅
= Q T⋅
A
3
2g⋅
=
Es difícil despejar
directamente el valor deYc, se buscará la raíz dela ecuación.
f Yc( ) 1
−
Q b 2 z⋅ Yc⋅+⋅
Yc b z Yc⋅+( )⋅[ ]
3
2g⋅
+:=
Yc 0.1m:= Yc root f Yc( ) Yc,( ):= Yc 0.7 m=
Al ser el tirante crítico menor que el uniforme, el escurrimiento es lento
c) Caudal máximo sin desborde
Para un ymax=1,2m secalculará el caudal
ymax 1.2m:= y ymax:=
Área del canal A b z y⋅+( ) y⋅:= A 3.19 m2
=
Radio hidráulico Rhb z y⋅+( ) y⋅
b 2 y⋅ 1 z2
+⋅+
:= Rh 0.67 m=
Caudal Q1
nA⋅ Rh
2
3⋅ S0
1
2⋅:= Q 5.45
m3
s=
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2G CANALES
50 puntos
Para un canal de seccióntransversal conformada por untriángulo con el vértice haciaabajo y talud z=2 y con un tiranteuniforme y = 1 m, si la pendientees de 1:5000 y está construido enchapa con coeficiente de Manningn = 0,015; determinar:a) el caudal que circulab) el tirante críticoc) el tirante uniforme si lapendiente cambia a 1:500.d) la curva de la superficie libre
y1
z=2 z=2
1
So1=1/5000
So2=1/500
Datos: S01
5000
:= Y 1m:= n 0.015m
1−
3s⋅:= z 2:= g 9.81
m
s2
= S021
500
:=
Área A z Y2
⋅:= A 2 m2
=
Perímetromojado Pmojado
2 Y⋅ 1 z2
+⋅:= Pmojado 4.47 m=
Radio hidráulico RA
Pmojado
:= R 0.45 m=
Ancho superficialT 2 z⋅ Y⋅:= T 4 m=
Prof. hidráulicaD
Y
2:= D 0.5 m=
a) caudal que circula
Ec. de Manning Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S0
1
2⋅:= Q 1.1
m3
s=
b) tirante crítico
Froude Fr 1= FrV
g Dh⋅= V
Q
A=
Q
Y2
z⋅
=
1Q
Yc2
z⋅
1
gYc
2⋅
⋅= 1Q
Yc
5
2 g
2
⋅
= YcQ
g
2z⋅
2
5
:= Yc 0.57 m=
c) cálculo del tirante uniforme en el tramo 2
Ec. de Manning Q1
nA⋅ R
2
3⋅ S02
1
2⋅= Q
1
nz Y
2⋅( )⋅ z Y
2⋅
2 Y⋅ 1 z2
+⋅
2
3
⋅ S02
1
2⋅=
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Q1
n
z Y2
⋅( )
5
3
2 Y⋅ 1 z2
+⋅( )
2
3
⋅ S02
1
2⋅= Q
1
n
z
5
3Y
10
3⋅
Y
2
32 1 z
2+⋅( )
2
3
⋅
⋅ S02
1
2⋅=
Q1
n
z
5
3Y
8
3⋅
2 1 z2
+⋅( )
2
3
⋅ S02
1
2⋅= Y
Q n⋅ 2 1 z2
+⋅( )
2
3
⋅
S02
1
2z
5
3⋅
3
8
:= Y 0.65 m=
d) Curva de la superficie libre
Se observa que el tirante uniforme es mayor que el tirante crítico, en los dos tramos, se trata de un canal con pendiente débil a otramenos débil. La superficie toma la forma D2.