Memorias de VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VI Jornada
de Investigación en Educación Matemática
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Instituto Pedagógico de Maracay. 2013
Editores: Andrés González
Julia Sanoja de Ramírez
Rolando García
Zoraida Paredes
Diseño de Portada: Angélica María Martínez
Reproducción en CD: CEINEM-NT
Derechos Reservados
© Instituto Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara”
UPEL Maracay
Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita a la fuente
ISBN: 978-980-7335-27-0
Depósito Legal: LFX46020130044180
Digitalizado en Maracay, Estado Aragua, Venezuela/ Noviembre 2013
Ediciones SIP. Subdirección de Investigación y Postgrado.
Centro de Investigación en Educación Matemática usando Nuevas Tecnologías (CEINEM-
NT). Avenida Las Delicias. Edificio de Matemática. Piso 3. Maracay. 2013
Venezuela.
Publicación arbitrada por el Comité Académico de VII Jornada de Investigación del
Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática,
UPEL Maracay
MEMORIAS
VII JORNADA DE INVESTIGACIÓN DEL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y
VI JORNADA DE INVESTIGACIÓN EN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
UPEL MARACAY, NOVIEMBRE 2013
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
AUTORIDADES RECTORALES
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
Raúl López Sayago
Rector
Doris Pérez
Vicerrectora de Docencia
Moraima Esteves
Vicerrector de Investigación y Postgrado
María Teresa Centeno
Vicerrectora de Extensión
Liuval Moreno de Tovar
Secretaria
AUTORIDADES DEL INSTITUTO PEDAGÓGICO
“RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”
UPEL Maracay
Francisca Fumero Castillo
Directora (e)
Claudia Nuñez
Subdirectora de Docencia (e)
Francisca Fumero Castillo
Subdirectora de Investigación y Postgrado
Francisco Valdivieso
Subdirector de Extensión
Yngrid Castillo
Secretaria (e)
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COORDINADORA INSTITUCIONAL
INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
Francisca Fumero Castillo
Subdirectora de investigación y Postgrado
Gabriela Gardié
Coordinadora General de investigación
Irama López
Coordinadora General de Postgrado
Scarlet Kiriloff
Coordinadora del Doctorado en Educación
Ingrid Camacho
Coordinadora del Programa de
Promoción y Difusión de la Investigación
Fredy Enrique González
Coordinador del Doctorado en Educación Matemática
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COMITÉ ORGANIZADOR
Andrés González
Angélica Martínez
Belén Arrieche
César Yraci
Dimáxi Diaz
Efraín Brizuela
Jenny Guillén
Julia Sanoja
Marisol Sarmiento
Martha Iglesias
Rolando García
Yerikson Suárez
Zoraida Paredes
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ÁRBITROS
Andrés González
Angélica María Martínez
Audy Salcedo
Belén Arrieche
Fabiola Czwienczek
Fredy González
José Ortíz
José Rafael Rodríguez
Julia Sanoja
Luis Capace
Martha Iglesias
Nelly León
Oscar Ramírez
Rocío Báez
Rolando García
Ruth Torres
Yerikson Suárez
Zoraida Paredes
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ÍNDICE GENERAL
pp.
PRESENTACIÓN 11
PARTE I: RESÚMENES 13
PARTE II: EXTENSOS 81
ÍNDICE DE AUTORES 299
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PRESENTACIÓN
El desarrollo de la actividad investigativa exige la existencia de espacios de
intercambio académico, como los eventos de distinto nivel y modalidad, donde se
produzcan encuentros entro profesores y estudiantes investigadores con pares académicos
provenientes de distintas instituciones educativas (escuelas, liceos, instituciones de
educación superior, entre otras) nacionales e internacionales.
Por ello, desde el Departamento de Matemática de la UPEL Maracay, se ha dado
continuidad a la realización de las Jornadas de Investigación del Departamento de
Matemática de la UPEL Maracay, lográndose - para el año 2013- celebrar ya su séptima
edición. Esto ha permitido dar a conocer las actividades investigativas que en al ámbito de
la Educación Matemática se llevan a cabo en distintas instancias como: Tres (3)
conferencias, un Foro, nueve (9) Mesas de Ponencias y una Muestra Didáctica conformada
por siete (7) diferentes materiales y recursos.
Asimismo, se considera indispensable ofrecer alternativas para la divulgación de la
producción intelectual investigativa en torno a la Educación Matemática, generada en la
UPEL, más allá del tiempo y espacio que dura y ocupa el evento. En este sentido, el
Comité Académico de la VII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y
la VI Jornada de Investigación en Educación Matemática - celebrada en la UPEL Maracay
durante los días 14 y 15 de noviembre del presente año - convocó a los ponentes
participantes a presentar los resúmenes y extensos de sus productos de investigación y
gestionó un proceso de arbitraje, doble ciego, por parte de pares académicos, con el
propósito de preparar y publicar las Memorias del evento. En este sentido, nos complace
poner a disposición de la comunidad académica las Memorias de la VII Jornada de
Investigación del Departamento de Matemática y la VI Jornada de Investigación en
Educación Matemática, organizadas en dos partes: (I) Resúmenes y (II) Extensos,
lográndose publicar 15 ponencias en extensos, siendo esto un logro significativo.
Esto ha permitido que los investigadores consolidados compartan con investigadores
noveles la oportunidad de escribir y publicar sus trabajos, lo cual consideramos puede
contribuir al desarrollo y puesta en práctica de competencias investigativas y, a mediano y
largo plazo, a mejorar la calidad de nuestras producciones.
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PARTE I: RESÚMENES
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ÍNDICE
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RESÚMENES CONFERENCIAS 19
Aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de aprendizaje en
informática, como eje transversal del currículo de la Especialidad de Informática
de la Upel
Jenny Guillén
21
Educación y tecnología ¿hacia dónde apunta el asunto?
Gabriela Gardié
22
Papel de la teoría en la investigación En educación matemática
Fredy Enrique González 23
RESÚMENES FORO 25
¿Cómo se investiga en Socioepistemología?
Fredy Enrique González 27
Indagaciones en Educación Matemática. Perspectivas desde el Pensamiento
Numérico y Algebraico
José Ortiz Buitrago 28
Perspectivas de la investigación en Educación Estadística
Julia Elena Sanoja 29
Aportes de la línea de investigación “perspectivas del enfoque Semiótico
Antropológico” a la Educación Matemática en Venezuela.
Mario Arrieche Alvarado
30
RESÚMENES PONENCIAS 33
Teorema de Thales: una propuesta didáctica
Odalys Báez, Andrea González, Génesis Gudiño,
Liliana Noguera y Martha Iglesias 35
Casas de bahareque: Una visión etnomatemática a partir de su construcción
Robert Lira y Martha Iglesias 37
Blog: el mundo de Pitágoras en la era tecnológica
Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero, Yerikson Suárez
y Martha Iglesias
38
La estadística y los libros de texto de matemática
Julia Sanoja y Oscar Ramírez 39
Pitágoras y el teorema de la mujer casada. Una propuesta didáctica
Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero y Martha Iglesias 40
Formación permanente de los docentes de matemática. Una propuesta didáctica
Jimmy Sánchez Chacón y Martha Iglesias Inojosa 41
Límite de una sucesión de números reales y límite de las funciones reales de una
variable real: análisis de contenido
Rolando García 42
La circunferencia y el círculo. Una propuesta didáctica
Snnaider Ramirez, Zuleidy Torres, Kelly Váldez y Martha Iglesias 43
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Aproximación a la repitencia en álgebra desde la perspectiva del docente
Zoraida Paredes 45
Número racional en actividades extraescolares realizadas por estudiantes de 4to
año
Gustavo Pedriquez y Andrés González 46
Volumen de cuerpos geométricos. Análisis de un proceso de estudio en
educación media general mediante los criterios de idoneidad cognitiva y
mediacional.
Yraima Ramos y Angélica Martínez
48
La circunferencia y el círculo en educación primaria desde la idoneidad
cognitiva, mediacional y ecológica
Erika Gabriela Valera Herrera y Angélica María Martínez
49
Significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en
juego en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática
Angélica María Martínez y Mario Arrieche 50
Consideraciones sobre la enseñanza de la matemática en el contexto de la
educación especial
Angélica María Martínez
52
Significados institucionales de referencia del conjunto de los números naturales
en la formación de profesores de matemática
Mary Carmen Arrieche Aristiguieta y Mario José Arrieche Alvarado 54
Procesos de transición del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico
Andrés González R 56
Significados institucionales de la ecuación de segundo grado
Mary G. Núñez L y Belén Arrieche 57
Construir, explorar y conjeturar en geometría
Belén Arrieche y Martha Iglesias 58
La demostración en geometría . Desde una perspectiva epistemológica
Martha Iglesias Inojosa y José Ortiz Buitrago 59
El sesgo de equiprobabilidad en profesores de matemática en formación
Yerikson Suárez y Fredy González 61
Lenguaje matemático y aprendizaje algebraicamente significativo del espacio
vectorial R3
Marlyocer Sequera M. y Andrés González R
62
Seguridad informática, técnicas criptográficas y fundamentos matemáticos
Marisol Sarmiento y Jenny Guillen 64
Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las razones
trigonométricas
Fernando Tesorero y Mario Arrieche 65
Organizaciones matemáticas y didácticas de los practicantes-docentes. Caso
ecuación de 2do grado con una incógnita. Estudio dirigido a los estudiantes de
práctica profesional iii de la mención matemática en la facultad de ciencias de la
educación-universidad de Carabobo
Vanesa Pacheco y Antonino Viviano
66
El estudio de la parábola en los libros de texto de matemática desde una
perspectiva cognitiva y didáctica
Leonela Rodríguez y Martha Iglesias 67
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Autoescritura: estrategia para la formación inicial de profesores de matemática
Fredy González 69
Accesibilidad digital: alfabetización, inclusión e igualdad para la población con
diversidad funcional visual
Dilia Caballero, Ingrid Camacho y Juan Guzmán 70
RESÚMENES DE MUESTRA DIDÁCTICA 71
Diseño de revistas digitales para la divulgación de la geometría
Adriana Mejías; Karol Ramírez;
Miguel Zambrano y Yerikson Suárez 73
Las construcciones con regla y compás en ambientes de Geometría dinámica
Richlenys Davis, Rebeca Mogollón y Martha Iglesias 74
Historia de la Matemática y web 2.0: diseño de líneas del tiempo.
Fernando Puppo, Freddy Castro;
Pedro Vivas y Yerikson Suárez.
75
Educaplay: herramienta web 2.0 para la evaluación en Matemática
Héctor Blanco, Alvin Díaz;
Mayerlin Romero y Yerikson Suárez. 76
La papiroflexia como recurso para la enseñanza de la Geometría
Jorge Gideón, Katherine Gómez;
Jonander Rivas, Yerikson Suárez
77
Papirogeometría…más allá del plegado de papel en la escuela
Erika Gabriela Valera 78
Kit para integrar tecnologia al aprendizaje de robótica, matemática y lenguaje
Jenny Guillén; Marisol Sarmiento;
Ludmilan Zambrano y Oscar Chang 79
PARTE II: EXTENSOS 81
ÍNDICE DE AUTORES 299
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CONFERENCIAS
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APROXIMACIONES TEÓRICAS PARA DESARROLLAR COMPETENCIAS DE
APRENDIZAJE EN INFORMÁTICA, COMO EJE TRANSVERSAL DEL
CURRÍCULO DE LA ESPECIALIDAD DE INFORMÁTICA DE LA UPEL
Jenny M. Guillén C [email protected]
UPEL Maracay
RESUMEN
En este trabajo se proponen aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de
aprendizaje en el abordaje de la Informática como eje transversal del currículo de la
Especialidad de Informática de la UPEL , describiendo el componente teórico y
ontoepistemológico explicito en los programas sinópticos de los cursos del componente de
Formación Especializada, en cuanto a los contenidos en el área de la Tecnología
Informática y develando la Teoría en Uso del docente de dicha Especialidad a fin de
estructurar su perfil competencial para el abordaje de la Informática. Se sustentó en la
Teoría de la Acción (Argyris Schön, 1989), (Habermas, 1989), con la Teoría de la Acción
Comunicativa, Morin (2000, 2001,2003) con la Teoría de la complejidad y los fundamentos
de la UNESCO (2004) en relación con las TIC. Se utilizo una metódica plural y emergente.
Su episteme se ubica en el enfoque cualitativo, educacional- critico y constructivo-
reflexivo. Desde el punto de vista paradigmático, en la investigación utilizó el método de la
construcción y reconstrucción de la Teoría en Uso y el enfoque de la Teoría Fundamentada
(Glasser y Strauss, 1992) y Strauss y Corvit (1999,2002) y el muestreo teórico. Los
informantes clave fueron los docentes de la UPEL que se desempeñan en la Especialidad de
Informática en los institutos que Administran dicha Especialidad. Se detectó inconsistencia
entre la teoría explicita (programas Sinópticos del componente de formación especializada)
y, en Uso (actuación del docente) en cuanto al abordaje de la Informática, respondiendo a
su “conveniencia” lo cual dista mucho de la formación de un docente en torno a lo
competencial. Se recomienda implementar acciones enmarcadas en lo complejo desde una
plataforma en línea o presencial, que se convierta en el eje transversal del currículo de
Informática y que se aborde en orden a las competencias informacionales.
Palabras Clave: Pensamiento Complejo, Competencias TIC e Informática, Modelos
Educativos.
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EDUCACIÓN Y TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?
Gabriela Gardié
UPEL Maracay – NICRED
RESUMEN
La tecnología está presente en todos los ámbitos del quehacer humano, desde el privado
y personal hasta el laboral y público; va desde el uso de un horno micro-ondas hasta el de
un teléfono celular, pasando por computadoras, geolocalizadores, entre otros.
Evidentemente, la educación no escapa a su influencia y ésta genera cambios en el modo de
asumir el proceso de enseñanza y de aprendizaje, nacen nuevos enfoques y métodos
pedagógicos, así pues, el propósito de esta conferencia es exponer cuáles de estos avances
están impactando en el ámbito educativo y las consecuencias de este hecho. En su
contenido abordaremos la computación en nube, la realidad aumentada, la robótica
educativa, los cursos masivos en línea conocidos como MOOCS y los videojuegos.
Observaremos cómo los elementos tecnológicos, pensados en primera instancia para
aumentar la eficiencia de las empresas, juegan hoy día un papel relevante en lo que se ha
denominado “la educación del futuro” según lo expone Downes (2012), pensada más allá
de las paredes de los recintos educativos para satisfacer las demandas de la sociedad en
cuanto al aprendizaje para la vida, la educación no formal e informal, que como sabemos,
se han constituido en una deuda a saldar con la sociedad actual.
Palabras Clave: Educación, MOOCS, Realidad Aumentada, Videojuegos, Robótica
REFERENCIAS
Downes, S. (2012). La condición semántica: conectivismo y aprendizaje abierto. [Video en
línea]. Disponible en: http://redesoei.ning.com/ video/la-condicion-semantica-
conectivismo-y-aprendizaje-abierto-stephen [Consulta: 15, Agosto 2013]
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PAPEL DE LA TEORÍA EN LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Fredy Enrique González
UPEL-Maracay- NIEM
RESUMEN
Uno de los indicios de robustez de un campo disciplinario es la presencia de teorías
relativas a sus asuntos específicos de interés indagatorio que ofrezcan explicaciones,
interpretaciones y/o comprensiones plausibles de sus correspondientes objetos de estudio;
este es el caso de la Educación Matemática, ámbito éste que muestra hoy evidencias de
consolidación como espacio para la producción profesional de saberes y conocimientos
relacionados con los procesos de enseñanza, aprendizaje, estudio y evaluación de la
Matemática. En esta conferencia se hará referencia a las diversas perspectivas teóricas y
desde las cuales se desarrolla la investigación en Educación Matemática; para ello se hará
mención a los siguientes aspectos: ¿Qué es una teoría? ¿Cuál es su papel en la
investigación? ¿Cuáles son las perspectivas teóricas contemporáneas de la investigación en
Educación Matemática? Y ¿qué presencia tiene estas teorías en la investigación venezolana
en Educación Matemática? Reiterando que la consolidación disciplinaria de la Educación
Matemática está vinculada con los desarrollos teóricos que tienen lugar en su interior, y
asumiendo a la investigación como uno de los medios contribuyentes al desenvolvimiento
disciplinario, se examinan las diferentes aproximaciones teóricas que, en el ámbito
internacional, se han venido instituyendo en el seno de la Educación Matemática; para esto
fueron revisados los programas de investigación en Educación Matemática que ha
identificado Font (2002) así como los trabajos de Bikner – Ahsbahs & Prediger (2006);
Harel (2010); Lester (2010); Lerman (2006); Sriraman, & English (2005, 2006); Trigueros,
Sacristán & Guerrero (2008), entre otros.
Palabras Clave: Etnomatemática, TAD, Socioepistemología, EOS, Educación Matemática
Crítica, Enculturización Matemática.
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FORO
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¿CÓMO SE INVESTIGA EN SOCIOEPISTEMOLOGÍA?
Fredy González
UPEL-Maracay-NIEM
RESUMEN
La Exposición comenzará haciendo referencia a las notas distintivas esenciales de la
metodología de investigación que ponen en juego quienes suscriben la aproximación
socioepistemológica de la Matemática Educativa. El asunto será desarrollado teniendo
como base el trabajo de Montiel & Buendía (2012) quienes, por reconstrucción
retrospectiva, elaboraron una propuesta metodológica para la investigación
socioepistemológica. Primero, se hace referencia a cuestiones generales de metodología de
investigación; luego, se mencionan los componentes de una matriz global de referencia en
la concepción de una investigación socioepistemológica; después se explicitan las premisas
fundamentales de la investigación en Socioepistemología; luego se pasa a la concepción
relativa a la unidad de análisis de la investigación socioepistemológica; finalmente, se
presentan sus procedimientos metodológicos, a saber: La Unidad de Análisis en una
investigación Socioepistemológica se concibe como una congráficoción constituida por un
escenario en cuyo seno tienen lugar prácticas sociales asociadas con procesos de
producción, uso y transmisión de conocimientos, protagonizadas por sujetos que
interactúan entre si, como consecuencia de su participación en las actividades constitutivas
de las referidas prácticas; por tanto, esta modalidad investigativa se inicia con un examen
de las actividades constituyentes de las Prácticas de Uso, Transmisión y Producción de
conocimientos matemáticos en escenarios diversos; a continuación, Problematiza el saber
matemático puesto en juego en dichas prácticas; es decir, lo considera como un saber en
acción (no hecho, sino haciéndose) y no como un producto estático; en consecuencia,
reconoce la historicidad de dicho saber y su dependencia de las condiciones, circunstancias,
posibilidades y necesidades que requieren su uso, y por ende, generan la posibilidad o
necesidad de su emergencia; lo anterior, se manifiesta como un análisis histórico
epistemológico, lo cual implica examinar las condiciones de producción y los significados
que le son atribuidos al saber en función de los usos posibles bajo tales condiciones.
Palabras Clave: Matemática Educativa; Enfoque Sociocultural; Prácticas Sociales.
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INDAGACIONES EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA. PERSPECTIVAS DESDE EL
PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO
José Ortiz Buitrago
Unidad de Investigación del Ciclo Básico
Universidad de Carabobo. Campus La Morita
RESUMEN
La línea de investigación pensamiento numérico y algebraico (LIPNA), parte de la
consideración que existe una diversidad de vínculos entre el conocimiento numérico y el
algebraico y las bases teóricas y metodológicas para su estudio tienen elementos comunes.
En LIPNA, se desarrolla una indagación y estudio en Didáctica de la Matemática sobre los
fenómenos de enseñanza, aprendizaje y utilización de conceptos numéricos, algebraicos y
analíticos, tanto en el medio educativo como en el medio social. El marco conceptual, en el
que se sitúa el pensamiento numérico y algebraico, contempla la valoración del currículo
como un plan de formación con diferentes niveles de reflexión e implementación.
Asimismo, hay una marcada preocupación por las cuestiones derivadas de la evaluación en
matemáticas. En este marco también encontramos indagación respecto a la formación
inicial y permanente del profesorado de matemáticas. Un aspecto actual en LIPNA lo
constituye el desarrollo de investigaciones que involucran las TIC en contextos de
modelización matemática. El campo de reflexión comienza en la aritmética escolar y las
nociones básicas de número, avanza por los sistemas numéricos superiores y continúa con
el estudio sistemático de las relaciones y estructuras numéricas, la teoría de números, el
inicio del álgebra, los procesos infinitos que dan lugar al sistema de los números reales y
los conceptos básicos del análisis. En fin de cuentas, el trabajo investigativo va dirigido a
ofrecer y consolidar en las instituciones una educación matemática de calidad, con
implicaciones actuales y futuras. Eso conlleva la perspectiva de lograr autonomía
intelectual en los estudiantes y una formación matemática que fomente la comprensión y
transformación de la realidad. Los resultados parecen indicar que hay una inmensa deuda
pendiente. En este trabajo se muestran algunos trabajos en desarrollo y otros realizados en
el marco de LIPNA.
Palabras clave: Investigación en Educación Matemática, Pensamiento Numérico y
Algebraico. Trabajos de investigación
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PERSPECTIVAS DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN ESTADÍSTICA
Julia Elena Sanoja
UPEL Maracay – CEINEM-NT
RESUMEN
La Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de diversas investigaciones en
distintos países, debido a su importancia, ampliamente reconocida, en la formación general
del ciudadano. En este orden de ideas, Batanero (2000) expresa que “La estadística ha
jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al proporcionar
herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones
entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y mejorar las predicciones
y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”. Sin embargo, en Venezuela, es un
campo poco explorado y con grandes necesidades en la formación didáctica de los
profesores que imparten dichos contenidos, en la formación de profesionales y usuarios de
la estadística, en el desarrollo de una alfabetización estadística en el ciudadano, así como el
empleo de tecnología así como la modelización en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Es por ello que esta línea de investigación busca investigar acerca de: (1) Situación actual
de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del sector educativo; (2) Las
prácticas actuales en formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la
estadística; (3) Inserción de la tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en
la educación estadística; (5) Desarrollo del Pensamiento estadístico; (5) la formación de
profesores en ejercicio en educación estadística.
Palabras clave: Educación estadística, alfabetización estadística, investigación, tecnología
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APORTES DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN “PERSPECTIVAS DEL
ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO” A LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA EN VENEZUELA
Mario José Arrieche Alvarado
UPEL Maracay - NIEM
RESUMEN
La Educación Matemática en Venezuela se encuentra en pleno proceso de desarrollo y
de consolidación como disciplina científica, el cual ha sido impulsado por la conformación
de Asociaciones, tanto a nivel regional como nacional, integradas por todos los
profesionales que laboran en la enseñanza de la Matemática de los diferentes niveles del
Sistema Educativo y que se encargan de organizar, coordinar y realizar Simposios,
Congresos, Jornadas y toda clase de eventos correspondientes a esta ciencia;
constituyéndose estos últimos en escenarios propicios para divulgar y valorar la
producción científica generada de los grupos de investigación que coordinan las líneas de
investigación que conforman los núcleos y centros de investigación existentes en nuestro
país, citándose por ejemplo las líneas de Arrieche (2003), Ortiz (2003), González (2003),
Rojas (2003) adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio
Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta trabajo
tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad Educadores matemáticos
de la región los productos investigativos que se han generado hasta el momento y los que
actualmente están en desarrollo, insertados la Línea de investigación perspectivas del
enfoque semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática cuyos sustentos
teóricos se basan en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática
(Godino, 2003)). El trabajo se realizó tomando como base la descripción de la línea de
investigación en referencia y sus productos investigativos. Con la expresión “enfoque
semiótico-antropológico” se describe el modelo teórico para la Didáctica de la Matemática
que adopta la noción de significado como clave para analizar la actividad matemática y los
procesos del conocimiento matemático. La idea impulsora de este modelo consiste en tratar
de articular dentro de un sistema coherente las dimensiones epistemológicas, cognitivas e
instruccionales puestas en juego en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
adoptando nociones semióticas como enfoque integrador, el cual considera como objeto o
entidad matemática todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo
cual puede hacerse referencia, cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas.
Entre los aportes referidos, consideramos en esta ponencia los productos investigativos,
citándose por ejemplo el proyecto Macro de Arrieche (2012), financiado por FONACIT,
Intitulado “Significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en
juego en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática” y algunas de las
investigaciones concluidas y en proceso, realizadas en el marco de este enfoque, desde el
año 2002 en adelante (Arrieche, 2002), Meléndez (2005), González (2005), Figueroa
(2005), Contreras (2006), Díaz (2006), Hernández (2007), Aponte (2007), Capace (2008),
Martínez (2007), Arrieche (2010), Arrieche ( 2012) y Mota (2012).
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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REFERENCIAS
Aponte, A. (2007). Significados personales de las ecuaciones de primer grado en la
Educación Básica. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad de Carabobo, Valencia.
Arrieche, M. (2002). La teoría de conjuntos en la formación de maestros: facetas y factores
condicionantes del estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral. Departamento
de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Arrieche, M. (2003). Perspectivas del enfoque semiótico-antropológico para la Didáctica de
la Matemática. Paradigma, 24 (2) :151-160.
Arrieche, M. (2010). Significados institucionales y personales de las funciones en la
formación de profesores de Educación Básica. Trabajo de Ascenso no publicado.
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PONENCIAS
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TEOREMA DE THALES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Odalys Báez
Andrea González, Génesis Gudiño, Liliana Noguera
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
La Matemática, como ciencia formal, se estructura de forma axiomática y se apoya en el
desarrollo del pensamiento lógico deductivo para la deducción y validación del
conocimiento matemático; además, se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra,
Análisis, Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones
espaciales con el entorno; cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus
estudiantes con el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en
práctica estrategias didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos
y cuerpos geométricos, identificar características invariantes en una construcción
geométrica, formular conjeturas y tratar de validarlas. Por ello, desde una perspectiva
investigativa, haciendo uso de la noción de análisis didáctico (Gómez y Rico, 2002;
Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta didáctica, partiendo de la elaboración
de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Thales y la identificación de
las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento geométrico propuestos en el modelo
de Van Hiele, con el propósito de que los estudiantes (9no grado de Educación Básica)
reconozcan las definiciones implicadas en el Teorema de Thales y la aplicación del mismo
en la resolución de problemas. Esta propuesta integra la actividad Lúdica Educativa, la cual
estimula el aprendizaje a través de la alegría, el placer, el gozo, la satisfacción, logrando
captar la atención de los estudiantes y explotando sus habilidades; se usaron dos juegos:
Encuentra mi Pareja (tipo memoria) y Aceptando el Reto (tipo Rally). Por otra parte, se
incorpora el uso de un Software de Geometría Dinámica como el Cabrí Géomètre II Plus, el
cual facilita la elaboración de gráficos, permitiendo a los estudiantes su exploración,
propiciando tanto la visualización de las relaciones existentes entre los objetos que
conforman una construcción como la resolución de problemas geométricos en un ambiente
digital. También se integró el uso de Videos Educativos, como apoyo y complemento a las
explicaciones dadas por el docente.
Palabras Clave: Teorema de Thales, Lúdica Educativa, Software de Geometría Dinámica,
Videos Educativos.
REFERENCIAS
Gómez, P. y Rico, L. (2002). Análisis didáctico, conocimiento didáctico y formación inicial
de profesores de matemáticas de secundaria. Documento no publicado. Granada:
Universidad de Granada.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo de
ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto
Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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CASAS DE BAHAREQUE:
UNA VISIÓN ETNOMATEMÁTICA A PARTIR DE SU CONSTRUCCIÓN
Robert Lira
U.E.N.C. “El Paují” – Espacio Educativo Valle de San Isidro
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En los últimos tiempos, la Etnomatemática ha logrado posicionarse entre los campos de
estudios existentes y más importantes para el estudio de la Matemática. Desde una visión
etnomatemática se pueden relacionar diferentes aspectos socioculturales y medio
ambientales con las ideas matemáticas que las personas desarrollan en su cotidianidad. Esta
investigación estuvo orientada a encontrar y develar la Matemática que se encuentra
presente en la construcción de casas de bahareque por parte de los habitantes del Valle de
San Isidro, el cual es un caserío ubicado entre la Colonia Tovar y El Consejo (Estado
Aragua); para ello se procuró interpretar los productos culturales a través de su relación con
conceptos matemáticos. Se trató de un estudio cualitativo centrado en la Etnomatemática a
través de un trabajo de campo. Para llevarlo a cabo se realizaron observaciones y
conversaciones con personas mayores del sector y practicantes de labores cotidianas, así
como la elaboración de casas a escala con los participantes del estudio. Seguidamente, se
analizó la información recabada por medio de triangulación y análisis de contenido para
llegar a comprender el fenómeno de las Matemáticas Contextualizadas presentes en el
sector, teniendo como referencia para interpretar la información a la Etnomatemática
conceptualizada por D´Ambrosio (2002) y las Actividades Matemáticas Humanas de
Bishop (1999). Entre los resultados encontrados se tiene que las personas usan
intuitivamente conocimientos matemáticos, los cuales les han ayudado en sus acciones de
trabajo, ya que, realizan cálculos y estimaciones en los procedimientos, trabajan con
diferentes magnitudes para medir longitudes y hacen uso de diferentes artefactos para la
realización de las mismas, llegando a utilizar gráficos o relaciones geométricas en la
construcción de sus casas.
Palabras Clave: Etnomatemática, Actividades Matemáticas Humanas, Matemáticas
contextualizadas, construcción de casas de bahareque.
REFERENCIAS
Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática: La educación matemática desde una
perspectiva cultural (G. Sánchez Barberán, Trad.). Barcelona, España: Ediciones Paidos
Ibérica, S.A.
D´Ambrosio, U. (2002). Why Ethnomathematics? Or what is Ethnomathematics and how
can it help children in schools. [Documento en línea]. Disponible:
http://vello.sites.uol.com.br/what.htm [Consulta: 2008, Diciembre 20]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
38
BLOG: EL MUNDO DE PITÁGORAS EN LA ERA TECNOLÓGICA
Andrea Osorio
Carmen Gil
Wolghan Gómez
Evelyn Romero
Yerikson Suárez
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
El avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación es
inevitable y genera cambios socio-culturales cuyas consecuencias forman parte inherente
de la educación actual; prueba de ello son los estudiantes de esta era, los llamados nativos
digitales: aquellos individuos que han crecido inmersos en la tecnología digital y hacen uso
cotidiano de las redes sociales para acceder a la información y comunicarse con otras
personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007). Por consiguiente, la adaptación a los
cambios y formación de los profesores para la adecuada incorporación de estas
herramientas tecnológicas en la educación es indispensable para su efectividad en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en particular, de la
Matemática. Por ello, se propone la utilización y creación del Blog: El Mundo de Pitágoras,
con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de educación media
interactúen con lo visto en las clases de Matemática, establezcan dudas acerca de este tema,
propongan información de interés en relación al teorema de Pitágoras y sean partícipes de
su propio conocimiento. Para lograr estos objetivos, este blog cuenta con un diseño que
muestra el título, una breve descripción del mismo, el perfil de sus creadores, el archivo con
todas las publicaciones cargadas cronológicamente y las actividades didácticas propuestas
por sus administradores. Cada una de estas actividades tiene una intencionalidad didáctica
específica y, por ende, una estructura que favorece el aprendizaje de los estudiantes como el
manejo efectivo del blog; dicha estructura comprende los objetivos de la actividad, la forma
de trabajo, la evaluación a aplicar y el establecimiento del lugar y los materiales a utilizar
por los estudiantes.
Palabras Clave: Tecnologías de Información y Comunicación, Blog, Teorema de
Pitágoras.
REFERENCIAS
García, F., Portillo, J. Romo, J. y Benito, M. (2007). Nativos digitales y modelos de
aprendizaje [Documento en línea] Ponencia presentada en el IV Simposio
Pluridisciplinar sobre Diseño, Evaluación y Desarrollo de Contenidos Reutilizables.
Bilbao: Universidad del País Vasco. Disponible en:
http://spdece07.ehu.es/actas/Garcia.pdf
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA ESTADÍSTICA Y LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA
Julia Elena Sanoja de Ramírez
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
Oscar Ramírez
UNESR
RESUMEN
El presente trabajo se planteó como objetivo Caracterizar los contenidos de Estadística
presentes en los libros textos de Matemática, de la Educación Primaria, desde los
organizadores del currículo. La fundamentación teórica que sustenta la investigación se
centra en los Organizadores Curriculares (Rico, 1997) y los Organizadores Curriculares
Específicos para contenidos de Estadística de Martin (2002). La investigación se desarrolló
bajo un enfoque cualitativo, asumiendo como unidad de análisis a los libros de texto de
Matemática de 4°, 5° y 6° grado de educación primaria, la técnica de análisis fue el análisis
de contenido (Bardín, 2002), para ello se diseñó el instrumento RCELTM que permitió
realizar el recuento de categorías. Se evidenció lo poco que le dedican dentro de todo el
libro a los contenidos de Estadística, los cuales son presentados al final del mismo; las
editoriales le restan importancia al organizador curricular errores y dificultad, así como al
de la historia. En cuanto a los organizadores específicos, los libros de texto no reflejan la
relación entre Estadística y Probabilidad, así como tampoco las aplicaciones de los
conceptos estadísticos para conjeturar y tomar decisiones.
Palabras Clave: Libros de Texto, Estadística, Organizadores del Currículo.
REFERENCIAS
Bardin, L. (2002 Análisis de contenido.3ª ed. Madrid, España: Akal.
Martín, C (2002). Criterios para el análisis de libros de texto desde la perspectiva de la
Didáctica de la Matemática. Aplicación a la Estadística y Probabilidad. En M. C.
Penalva, G. Torregrosa y J. Valls (eds.), Aportaciones de la Didáctica de la Matemática
a diferentes perfiles profesionales (373–385). Alicante, España: Universidad de
Alicante
Rico, L. (1997). Los Organizadores del Currículo de Matemáticas. En L. RICO (Coord.), La
Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria (39–59). Barcelona: ICE
Universidad de Barcelona – Horsori.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
40
PITÁGORAS Y EL TEOREMA DE LA MUJER CASADA.
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Andrea Osorio
Carmen Gil; Wolghan Gómez; Evelyn Romero
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En la práctica educativa actual, el estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por
los estudiantes, por diversas razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el
estudio, la forma de enseñar de los profesores, el carácter abstracto de las nociones
matemáticas, la carencia de adecuados hábitos de estudio y materiales didácticos
apropiados, etc. Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos
aritméticos y algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le
permite a los estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos
geométricos con el mundo que nos rodea. Por ello, los profesores de Matemática requieren
diseñar, desarrollar o simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las
necesidades formativas de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta
los fines de la Educación Matemática. Por ello, a partir del desarrollo de un mapa de
enseñanza y aprendizaje para determinar el alcance del contenido geométrico a ser
estudiado (Orellana Chacín, 2002) y la aplicación del modelo de razonamiento geométrico
(Van Hiele, 1959) para establecer las habilidades geométricas que se pretenden sean
alcanzadas por los estudiantes, se diseñó una propuesta didáctica orientada a la enseñanza y
el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación media) y centrada en el uso
de un juego didáctico PITAGORAS_MANIA (adaptación del reto a saber), el cual fue
diseñado con la intención de estimular la creatividad y socialización entre los estudiantes,
así como la puesta en práctica del contenido matemático y su comprensión. Asimismo, se
consideró el uso de un Blog denominado El Mundo de Pitágoras el cual ofrece a los futuros
educadores de Matemática oportunidades para desarrollar habilidades geométricas
relacionadas con la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras y su demostración
matemática en ambientes con énfasis lúdico y tecnológicos Así, se espera que el Juego más
el uso de las tecnologías de información y comunicación propicien el aprendizaje
significativo en el estudiantado, reconociendo además al docente como un actor del proceso
educativo en sus roles de planificador, facilitador y evaluador de los aprendizajes
Palabras Clave: Teorema de Pitágoras, estrategias didácticas y aprendizaje significativo.
REFERENCIAS
Orellana Chacín, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la
Matemática 11(2), 21- 42.
Van Hiele, P.M. (1959). La pensée de l'enfant et la géométrie. Bulletin de l'APMEP 198,
pp. 199-205. Traducido al español por Ricardo Barroso. Disponible en:
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/aprgeorefer.html
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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FORMACIÓN PERMANENTE DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA. UNA
PROPUESTA DIDÁCTICA
Jimmy Sánchez Chacón
UEN Manuel María Villalobos
Martha Iglesias Inojosa
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En este estudio se presenta una propuesta didáctica dirigida a la formación permanente
de los docentes de Matemática, con el propósito de contribuir a la solución de la
problemática relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación
Media General. Para ello, mediante un trabajo de campo, se identificaron las necesidades
formativas de los profesores que laboran en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Carrizal,
Estado Miranda), así como también se revisaron algunas propuestas formativas reportadas
en revistas especializadas o memorias de eventos científicos, logrando establecer las bases
teóricas y metodológicas que sustentaron el diseño de un curso de Geometría y su
Didáctica. La propuesta estuvo orientada a dar a conocer herramientas teóricas y
metodológicas susceptibles de ser empleadas en el diseño de actividades didácticas con
contenidos geométricos, para hacer uso adecuado de un software de Geometría Dinámica
como el Cabri Geometry II Plus. Recomendándose la puesta en práctica del curso por
considerarlo como un escenario propicio para la investigación en Educación Matemática
Palabras Clave: Formación Permanente del Docente, Geometría y su Didáctica, Propuesta
Didáctica.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
42
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES Y LÍMITE DE LAS
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL: ANÁLISIS DE CONTENIDO
Rolando García
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
Las investigaciones sobre el concepto límite de sucesiones o límite de funciones reales
de una variable real han estado orientadas por cuatro grandes campos: el epistemológico, el
cognitivo, de corte histórico y el didáctico, así lo aseguran Camacho, Díaz, Locia y Navarro
(2009). La presente investigación tiene como propósito realizar el análisis de contenido del
tópico matemático Límite, tanto de sucesiones de números reales como de funciones reales
de una variable real. Este análisis de contenido se llevó a cabo con la noción que plantean
Gómez y Rico (2002), la cual distingue tres tipos de significados: la estructura conceptual,
los sistemas de representación y los fenómenos asociados. En primer lugar se describen los
sistemas de representación de la noción de límite y luego los fenómenos asociados
presentes en 15 libros de texto universitarios impresos, estos fenómenos son descritos y
definidos de acuerdo a lo planteado por Claros, Coriat y Sánchez (2007): (a) Aproximación
simple intuitiva para sucesiones, (b) Aproximación doble intuitiva para funciones, (c) Ida y
vuelta para sucesiones y funciones. En seguida con un proceso denominado
descomposición genética del concepto planteado por Azcárate y Camacho (2003) que se
logra a través de: la comprensión que posee el investigador sobre el concepto en cuestión,
las investigaciones previas realizadas sobre el concepto en estudio (en esta investigación se
consideraron las investigaciones publicadas en las Actas Latinoamericanas de Matemática
Educativa ALME desde 1998 hasta 2009) y las observaciones de 3 estudiantes de la
especialidad de Matemática de la UPEL - Maracay, se completó la estructura conceptual de
este tópico tan importante para el Análisis Matemático. Lográndose así establecer
relaciones entre los sistemas de representación (Gráfico, Simbólico, Tabular y Verbal) y los
fenómenos de aproximación intuitiva y los de ida y vuelta tanto para límite de sucesiones
como para límite de funciones.
Palabras Clave: Descomposición genética del concepto límite, Didáctica del Análisis,
Libros de texto.
REFERENCIAS
Azcárate, C y Camacho, M. (2003). Sobre la investigación en didáctica del análisis
matemático. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Revista en línea X (2).
Disponible: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/matias-carmen.pdf
Consulta: 2011, Enero 7 .
Camacho, N., Díaz, M., Locia, E., Navarro, C. (2009). Formación del concepto de límite
mediante dos registros de representación: representaciones gráficas y el uso
algebraico. Documento en línea . Ponencia publicada en el Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa 22, México. Disponible: www.clame.org.mx Consulta: 2011,
Enero 6 .
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
43
LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Snnaider Ramirez
Zuleidy Torres
Kelly Váldez
Martha Iglesias
UPEL-Maracay
RESUMEN
El estudio de la Geometría ofrece diversas posibilidades para experimentar, mediante el
uso adecuado de materiales manipulables, sus métodos, conceptos, propiedades y
problemas. Actualmente existen muchos materiales que pueden utilizarse en el trabajo de
aula para enseñar los temas geométricos; algunos de ellos han sido creados
específicamente para estudiar Geometría y otros pueden ser adaptados para utilizarse en su
enseñanza; sin embargo, son pocos los docentes que están al tanto de ello o que se animan a
emplearlos en sus clases. Por ello, este trabajo estuvo dirigido a diseñar una propuesta para
la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo (8vo grado
de Educación Básica), teniendo como referente la noción de análisis didáctico (Gómez,
2007; Iglesias, 2008), el cual en la fase de planificación abarca tres componentes y la
búsqueda de respuesta a una serie de interrogantes: (1) Análisis de contenido: ¿Cuáles
aspectos se abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en
cuenta el mapa de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre
los aspectos elegidos?. (2) Análisis Cognitivo: ¿Cuáles serán las habilidades geométricas
asociadas a los niveles de razonamiento geométrico se espera sean desarrolladas por los
estudiantes cuando estudien el tema relacionado con circunferencia y círculo? (3) Análisis
de la Instrucción: ¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para
organizar la enseñanza del referido a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en
octavo grado de Educación Básica? Como respuesta a estas interrogantes, se diseñó una
propuesta que abarcaba asuntos como la representación de la circunferencia y el círculo en
el mundo real, la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro,
una reseña histórica del número Pi ( ), la identificación y trazado de los elementos de una
circunferencia y un circulo y el dibujo y cálculo con tecnología para inscribir polígonos en
una circunferencia. Para ello, se planteó el uso de materiales didácticos manipulables y la
incorporación de un software de Geometría Dinámica como el Cabri Geometry II.
Palabras Clave: Didáctica de la Geometría, Materiales didácticos y Software de Geometría
Dinámica.
REFERENCIAS
Gómez, P. (2007). Análisis didáctico. Una conceptualización de la enseñanza de las
matemáticas (capítulo 2). En P. Gómez (Ed.), Desarrollo del conocimiento
didáctico en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
44
secundaria (pp. 31-116). Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática de
la Universidad de Granada.
Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo
de ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador,
Instituto Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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APROXIMACIÓN A LA REPITENCIA EN ÁLGEBRA DESDE LA PERSPECTIVA
DEL DOCENTE
Zoraida Paredes
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
La formación inicial de los docentes de Matemática constituye un área de interés en
Educación Matemática y, dentro de ella, cobra importancia la formación en las distintas
áreas, entre las cuales se encuentra el Álgebra que, según su naturaleza formal y rigurosa,
ha originado grandes cifras de repitencia y en algunos casos deserción del curso y hasta de
la carrera. Esta situación no es ajena a la Universidad Pedagógica Experimental Libertador
(UPEL), ya que, en la especialidad de Matemática, se están generando altos índices de
reprobados, especialmente en el área de Álgebra. Es por ello que, con este trabajo, se
pretendió determinar las posibles causas de la repitencia académica en Álgebra desde la
perspectiva de los docentes. El estudio es de tipo descriptivo y se desarrolló con profesores
de la especialidad de Matemática de la UPEL – Maracay, adscritos al área de Álgebra, a
quienes se les aplicó un cuestionario y, luego, se seleccionaron dos docentes y se les realizó
una entrevista en profundidad, la cual se analizó aplicando la Teoría Fundamentada. Según
los resultados del cuestionario, el bajo rendimiento que presentan los estudiantes de la
especialidad de Matemática en los cursos del área de álgebra, está asociado a la aceptación
de estudiantes con bajo nivel académico y, por otra parte, el componente motivacional que
de alguna manera influye en este bajo rendimiento, lo cual coincide con lo mencionado por
Arrieche (2006) y Garbanzo (2007). Del análisis de las entrevistas surgieron dos categorías:
(a) los procesos pedagógicosque comprenden todos aquellos factores que influyen en la
preparación del docente para la planificación, desarrollo y evaluación del proceso de
enseñanza y aprendizaje del álgebra y que influyen de manera favorable o desfavorable en
el rendimiento académico de los estudiantes y (b) causas directas asociadas al bajo
rendimiento académico, que comprenden la primera instancia u origen a partir de la
cual se desarrolla un evento o situación específica que traen como consecuencia un
bajo rendimiento académico.
Palabras Clave: Repitencia académica, deserción escolar, enseñanza y aprendizaje del
Álgebra
REFERENCIAS
Arrieche, M. (2006). Factores condicionantes del rendimiento académico en matemática de
los estudiantes de básica, media, diversificado, profesional y superior. Ponencia
presentada en la XIX Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME),
Montevideo-Uruguay.
Garbanzo, M (2007). Factores asociados al rendimiento académico en estudiantes
universitarios, una reflexión desde la calidad de la educación superior pública. Revista
Educación, Revista en línea , 31(1), 43-63. Disponible: http://redalyc.
uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=44031103. Consulta: 2012, Julio 7
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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NÚMERO RACIONAL EN ACTIVIDADES EXTRAESCOLARES
REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE 4TO AÑO
Gustavo Pedríquez
Andrés González
UPEL-Maracay
RESUMEN
Con la finalidad de enriquecer la Educación Matemática en Venezuela, se realizará una
investigación basada en el problema de interpretación del Conjunto Q, mostrado por
estudiantes de 4to año de bachillerato, además se pretende evaluar el vínculo que
manifiestan los jóvenes entre el conjunto precisado y las actividades que realicen
habitualmente en su entorno, es decir, trabajo de economía informal, deportes, práctica de
música, danza entre otras. Además, se mostrará la construcción didáctica y axiomática del
Conjunto Q, así como su ubicación y competencia dentro del programa de Educación
Media vigente. Asimismo, los cimientos relevantes del examen responden a; Gairin (1998)
el cual afirma que la edificación del concepto de número racional es efectiva cuando se
integran y modulan conocimientos previos del conjunto de Números Naturales y Enteros, y,
Reverand (2004) cuyo estudió se pronunció acerca de la capacidad de importación de
procedimientos aritméticos realizados fuera del medio escolar hacia la aritmética dentro del
mismo. De esta manera, el trabajo de investigación se sustenta en la etnomatemática,
término que según D´Ambrosio define como el arte o técnica de explicar, comprender,
conocer y percibir lo que está arraigado en los elementos culturales, en este orden de ideas,
se adoptará el enfoque expuesto por Reverand (2005) que manifiesta “…tiene como objeto
de estudio las actividades matemáticas que llevan a cabo los alumnos fuera del contexto
escolar…”. Así la etnomatemática en sí misma conduce al método hacia el enfoque
cualitativo, por tal motivo se realizarán exámenes sucesivos con la observación que
Spradley (citado por Rojas B, 2012 p. 74) denomina “observación de participación
moderada” aquí, el observador mantiene un balance entre estar dentro y fuera del escenario
en estudio. Aparte, se piensa que los jóvenes no reconocen el potencial matemático
contenido en las actividades extraescolares que desarrollan.
Palabras Clave: Comprensión, Etnomatemática, Número Racional, Pensamiento
Numérico y Algebraico
REFERENCIAS
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Crítica, Educación Crítica de las Matemáticas y Etnomatemática. (pp. 353-369).
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Reverand, E. (2004). Niveles de Comprensión en Educación Básica. [Resumen en línea].
Tesis doctoral, Universidad central de Venezuela, Caracas. Disponible:
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Rojas, B. (2012) Investigación cualitativa, fundamentos y praxis. Venezuela; Caracas.
FEDUPEL
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VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.
ANÁLISIS DE UN PROCESO DE ESTUDIO EN EDUCACIÓN MEDIA GENERAL
MEDIANTE LOS CRITERIOS DE IDONEIDAD COGNITIVA Y MEDIACIONAL
Yraima Ramos
Angélica Martínez.
UPEL-Maracay
RESUMEN
La presente investigación está centrada en el análisis de un proceso de estudio sobre el
Volumen de Cuerpos Geométricos mediante los criterios de Idoneidad Cognitiva y
Mediacional en un curso de primer año de Educación Media General, con la finalidad de
evaluar los significados personales de los estudiantes sobre el volumen de sólidos y si la
estrategia didáctica puesta en juego fue efectiva para el aprendizaje. El trabajo se
fundamenta teóricamente en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción
Matemática (Godino, Batanero y Font, 2009); donde se destaca la importancia de indagar
sobre los criterios que determinan en qué medida un proceso de instrucción matemática se
convierte en idóneo o apto para el aprendizaje. El esquema metodológico a seguir se
fundamenta en el paradigma mixto el cual, según Hernández, Fernández y Baptista (2006),
es un proceso que recolecta, analiza y vincula datos cuantitativos y cualitativos en un
mismo estudio para responder al planteamiento de un problema. El diseño está estructurado
en distintas fases: En la fase epistemológica se aplicará el estudio documental y cualitativo.
La fase instruccional se enfocará mediante el estudio de casos, siendo éste de carácter
cualitativo por el Análisis Semiótico a fin de clarificar los conflictos y funciones
semióticas; y a la vez cuantitativo por el análisis porcentual dado a las respuestas obtenidas
en el cuestionario. La recolección de datos, según sea la fase del proyecto, se realizará a
través de técnicas como: análisis documental, encuesta, entrevista semi-estructurada y
observación participante, empleando instrumentos como: cuestionarios, guión de preguntas,
grabadoras, cuadernos de notas, entre otros. Se espera con el desarrollo de esta
investigación contribuir de manera positiva a mejorar los procesos de estudio sobre
Volumen dirigidos a estudiantes de Educación Media General y dar un aporte didáctico al
campo de la geometría.
Palabras Clave: Volumen, cuerpos geométricos, idoneidad cognitiva y mediacional.
REFERENCIAS
Godino J. D., Batanero C., Font V. (2009). Un enfoque ontosemiótico del conocimiento y
la instrucción matemática. [Documento en línea]. Disponible:
http://www.ugr.es/local/jgodino/indice_eos.htm. [Consulta 2012, Noviembre 22].
Hernández, R., Fernández, C. y Baptista, P. (2006). Metodología de la Investigación.
México: McGraw – Hill Interamericana.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO EN EDUCACIÓN PRIMARIA DESDE
LA IDONEIDAD COGNITIVA, MEDIACIONAL Y ECOLÓGICA.
Erika Gabriela Valera Herrera
Angélica María Martínez.
UPEL- Maracay
RESUMEN
El estudio de la circunferencia y el círculo, proporciona una serie de herramientas en el
proceso enseñanza y aprendizaje de la geometría en los niños(as) de educación primaria en
el país. Con tal iniciativa el siguiente proyecto tiene el interés de analizar un proceso de
estudio sobre la circunferencia y el círculo mediante los criterios de Idoneidad cognitivo,
mediacional y ecológico con estudiantes de 5to grado en la Escuela Básica Estadal “José
María Benítez”, del estado Aragua, acorde con el enfoque ontosemiótico del conocimiento
e instrucción matemática (EOS) (Godino y Batanero, 1994), modelo teórico en el que se
basa esta investigación. Metodológicamente, se trata de un estudio cualitativo, donde se
usarán como técnicas de recolección de información la observación participante y la
entrevista. En tanto, para la interpretación de los resultados, se considerará el análisis
semiótico y didáctico del proceso de instrucción matemática (Godino, Bencomo, Font y
Wilhemi, 2007). Para lograr todo lo anterior, se establecerán dos fases, una preliminar
(descriptiva- exploratoria) y una terminal (explicativa-interpretativa); a fin de explicar en
primer lugar, desde el aspecto cognitivo, si lo pretendido e implementado por el docente
durante las clases ha generado en los estudiantes un aprendizaje; en segundo lugar, desde el
aspecto mediacional, determinar el grado de adecuación de recursos como: La Canaima y
del geoplano circular; y por último, desde el aspecto ecológico, establecer el nivel de
adaptación del proceso de estudio de la circunferencia y el círculo al proyecto educativo de
los Espacios Permanentes Para El Desarrollo Cultural Endógeno (E.P.D.C.U.E.) y Canaima
Educativa.
Palabras Clave: Idoneidad didáctica, circunferencia y círculo, Educación Primaria.
REFERENCIAS
Godino, J. y Batanero, C. (1994). Significado Institucional y Personal de los Objetos
matemáticos. Recherches en didactique des Mathématiques, 14(3), 325-355.
Godino, J., Bencomo, D., Font, V. y Wilhemi, M. (2007). Análisis y Valoración de la
Idoneidad Didáctica de Procesos de Estudio de las Matemáticas. Paradigma,
27(2),221-252
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES Y PERSONALES DE LOS OBJETOS
MATEMÁTICOS PUESTOS EN JUEGO EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
Angélica María Martínez
Mario Arrieche
UPEL-Maracay
RESUMEN
El significado que los profesores y estudiantes asignan a los distintos objetos
matemáticos puestos en juego en cada contexto de estudio, puede ser factor influyente en la
intensificación de la problemática existente en la enseñanza y aprendizaje de la matemática
en los distintos niveles educativos del país; ante esto, resulta de interés abordar la presente
investigación, que tiene como objetivo identificar, describir, explicar, interpretar y analizar
los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos puestos en juego en
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Para lograrlo se estimará la
clasificación de tres dimensiones o categorías: epistemológica, cognitiva e instruccional
(Godino y Batanero, 1994; Arrieche, 2002, Capace, 2008), en el marco del enfoque
ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (EOS), donde se tienen otras
nociones, como: las idoneidades didácticas. Metodológicamente, se combinará el estudio
documental y cualitativo en la faceta epistemológica; para la faceta instruccional se
considerará el estudio de casos de experiencias de enseñanza seguido por los criterios
derivados del análisis semiótico; mientras para la faceta cognitiva, se tendrá un enfoque
cuantitativo y experimental combinado con un enfoque cualitativo e interpretativo, siendo
la encuesta la técnica a aplicar. Los posibles hallazgos responderán sistemáticamente a las
interrogantes formuladas en trabajos de grado de estudiantes de Maestría en Enseñanza de
la Matemática y Doctorado en Educación de algunas universidades del país, en el contexto
tanto de educación básica como universitaria, al estudiar objetos matemáticos, entre ellos:
círculo, volumen de cuerpos geométricos, polinomios, conjuntos numéricos. Cabe destacar
que este trabajo se encuentra en fase de proyecto y está acreditado en el Programa de
Estímulo a la Innovación e Investigación (PEII), por lo que los aportes educativos
esperados, tanto al implementar nuevas tecnologías y recursos, como al analizar
reflexivamente posibles mejoras curriculares, instruccionales y didácticas, serán de gran
alcance.
Palabras Clave: significados institucionales, significados personales, enfoque
ontosemiótico, enseñanza-aprendizaje de la matemática
REFERENCIAS
Arrieche (2002). La Teoría de Conjuntos en la formación de maestros. Facetas y factores
condicionantes del estudio de una teoría matemática. Tesis Doctoral. Departamento de
Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
51
Capace, L. (2008). La integral en una variable real en la formación técnica universitaria:
Dimensiones presentes en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Tesis Doctoral.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Instituto Pedagógico “Rafael
Alberto Escobar Lara”. Maracay
Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos
matematicos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14 (3): 325-355
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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CONSIDERACIONES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN
EL CONTEXTO DE LA EDUACIÓN ESPECIAL
Angélica María Martínez
UPEL-Maracay
RESUMEN
Ante la creciente población que presenta alguna discapacidad (Vásquez, 2006), ya sea
físico-motora, cognitiva o sensorial, se plantea su inclusión en diversos espacios educativos
lo cual implica tanto de las instituciones como de los docentes, adecuar los espacios físicos
y buscar la capacitación necesaria para brindarles una adecuada atención (Blanco, 2001).
Por esto mismo, viene al caso cuestionarse particularmente lo qué puede hacerse en el
campo de la enseñanza de la matemática: ¿cuáles son los avances en torno a adaptar
curricularmente esta asignatura a las necesidades de los estudiantes con discapacidad?,
¿existen propuestas didácticas para hacer más accesible el conocimiento de esta disciplina a
dichos estudiantes?, ¿qué se viene gestando desde la Educación Matemática como campo
científico para investigar esta problemática?. Dar respuestas a estas interrogantes, requiere
de quienes somos educadores en el área de la matemática ser más acuciosos y abordar
investigaciones acordes a esta temática para propiciar el enlace entre nuestra labor docente
y los retos que implican la atención a estudiantes con discapacidad. Por todo lo anterior, se
presenta este reporte con el propósito de propiciar la enseñanza y aprendizaje de la
matemática a personas con discapacidad, basado en el Encuentro de Educación Matemática
y Educación Especial, realizado en el Pedagógico de Maracay, y en la experiencia personal
de enseñar matemática a estudiantes ciegos, sordos y a quienes conforman el programa de
Educación Especial en el mismo instituto. Metodológicamente, la información se ha
recopilado a través de la observación participante y de la revisión documental, pero como el
presente trabajo aún se encuentra en fase de proyecto, las conclusiones estarán dadas por
los avances y propuestas manifestadas desde el encuentro, junto con algunas sugerencias
didácticas al tratar temas de matemática en la atención e inclusión a personas con
discapacidad (Ley para las Personas con Discapacidad, 2007).
Palabras Clave: enseñanza de la matemática, Educación Especial, personas con
discapacidad, inclusión.
REFERENCIAS
Blanco, R. (2001), “La atención a la diversidad en el aula y las adaptaciones del currículo”,
en Álvaro Marchesi, César Coll y Jesús Palacios (comps.), Desarrollo psicológico y
educación. 3. Trastornos del desarrollo y necesidades educativas especiales, Madrid,
Alianza (Psicología y educación), pp. 411-437.
Ley para las Personas con Discapacidad. (2007). Gaceta Oficial de la República
Bolivariana de Venezuela, 38.598. Enero 5, 2007.
Vásquez, Armando (2006). "La discapacidad en América Latina", Organización
Panamericana de la Salud: Discapacidad, lo que todos debemos saber. [Documento en
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
53
línea]. Disponible en: http://www.paho.org/Spanish/DD/PUB/Discapacidad-SPA.pdf.
[Consulta 2011, Octubre 8]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE REFERENCIA DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS NATURALES EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES DE
MATEMÁTICA
Mary Carmen Arrieche Aristiguieta
Mario José Arrieche Alvarado
UPEL-Maracay
RESUMEN
Este artículo tiene como propósito fundamental mostrar el avance de una investigación,
centrada en reconstruir los significados institucionales de referencia del conjunto de los
números naturales en la formación de profesores de matemática de la Universidad
Pedagógica Experimental Libertador-Maracay, Venezuela. Para tal fin se pondrá en
funcionamiento la noción de congráficoción epistémica en torno a este objeto matemático,
razón por la que estará fundamentada teóricamente por el Enfoque Ontosemiótico del
Conocimiento e Instrucción Matemática (Godino, Batanero y Font, 2006 y Godino, 2003)
donde se destaca la importancia de analizar la faceta epistemológica, porque no sólo
permite recabar información sobre los sistemas de prácticas utilizadas para solucionar
situaciones-problemas, en relación a marcos institucionales específicos, sino que además
rescata las técnicas, los lenguajes, los conceptos, proposiciones, procedimientos y
argumentos, puestas en juego en cada momento y circunstancia, siendo la relación de estos
aspectos lo que origina las congráficociones epistémicas (Arrieche, 2010). Para lo anterior,
se realiza un estudio documental sobre diversas propuestas de construcción de los números
naturales (Arrieche, 2002), citándose por ejemplo a Peano, Dedekind y Frege, gracias a la
revisión y lectura de diversas fuentes, entre ellas tesis doctorales, libros de filosofía de la
Matemática, artículos de revistas de Educación Matemática, relacionadas con el tema.
Finalmente, se darán algunas conclusiones de tipo didáctico para rescatar su importancia en
el campo educativo, pues se pueden plantear estrategias innovadoras a través del uso de
diversos enfoques de construcción del conjunto numérico en estudio, entre otros aportes, ya
que gracias al estudio de estas congráficociones epistémicas y de las entidades primarias, se
puede concretar el significado de un objeto o noción matemática estudiada y tomar
decisiones de tipo instructivo o curricular eficaces para la selección de los sistemas de
prácticas matemáticas que mejor se adapten a un proyecto educativo.
Palabras Clave: Números naturales, congráficoción epistémica, desarrollo histórico,
formación de profesores de matemática.
REFERENCIAS
Arrieche, M. (2002). La Teoría de Conjuntos en la Formación de Maestros: Facetas y
Factores Condicionantes en el Estudio de una Teoría Matemática. Tesis Doctoral.
Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Arrieche, M. (2010). Significados institucionales y personales de las funciones en la
formación de profesores de Educación Básica. Trabajo de Ascenso no publicado.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Departamento de Matemática de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador-Maracay
Godino, J.D. (2003). Teoría de las funciones semióticas: enfoque ontosemiótico de la
cognición e instrucción matemática. Memoria presentada para optar a una plaza de
catedrático en el Departamento de Didáctica de la Universidad de Granada.
Godino, J.D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis del proceso de instrucción
basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción
matemática. Recherches en Didactique des Mathematiques, 26 (1), 39-88
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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PROCESOS DE TRANSICIÓN DEL PENSAMIENTO ARITMÉTICO AL
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Andrés González R
UPEL-Maracay-NIEM
RESUMEN
El NCTM concibe el Álgebra como un conocimiento importante en sus Estándares. Un
óptimo dominio del Pensamiento Algebraico (PA) está estrechamente relacionado con un
uso eficaz del lenguaje algebraico caracterizado por el uso de letras y símbolos para denotar
objetos matemáticos. En este contexto estos objetos pueden ser representados de formas
diversas (sinonimia) y es usual que una notación particular esté asociada a distintos
conceptos (polisemia). Sin embargo, diversos Estudios reportan las dificultades que tienen
los estudiantes en la transición del nivel de Educación Primaria al de Educación Media, una
de éstas la constituye el cambio producido por la “nueva” Matemática cargada de
simbología. Además, en los primeros niveles de escolaridad del sistema educativo
venezolano preocupan los hallazgos de García (2001) quien analizando los textos
educativos observó la ausencia de competencias en PA. Por lo anterior, en este trabajo
reportamos un avance de un estudio documental comparativo en el que los libros de texto
constituirán la unidad de análisis, el objetivo es estudiar cómo se abordan algunos objetos
matemáticos tales como las ecuaciones y el signo de igualdad en los libros de textos
escolares del 6 grado y el primer año de Educación Secundaria a fin de responder: ¿Cómo
consideran los libros de texto venezolanos la transición del pensamiento aritmético hacia el
pensamiento algebraico?. Forma parte de un estudio más amplio que busca analizar los
aspectos que caracterizan esa transición en los escolares venezolanos. Las conclusiones
esperadas están en conexión directa con los objetivos planteados: concientización de la
complejidad de los objetos propios del álgebra escolar, comprensión de la conexión entre el
lenguaje natural y el algebraico, en particular el rol del simbolismo en éste último.
Finalmente, la necesidad de tomar en cuenta la existencia de un hilo conductor dinámico,
complejo y multidimensional entre los procesos escolares aritméticos y algebraicos.
Palabras Clave: Pensamiento matemático, Educación Básica, Álgebra escolar
REFERENCIAS
Andonegui, M. (2009). La Matemática de primer año de bachillerato. XIII Escuela
Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.
García, Y. (2001). Análisis de contenido del texto escolar de Matemática según las
exigencias educativas del nuevo milenio. Pixel-Bit: Revista de medios y educación, 16
[Artículo en línea]. Disponible: http://www.sav.us.es/pixelbit/pixelbit/articulos/n16
/n16art/art162.htm. [Consulta: Octubre 03, 2013]
Kieran, C. y Filloy, Y. (1989). El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva
psicológica. Enseñanza de las Ciencias, 7(3), 229-240.
Rojano, T. (2010). Modelación concreta en álgebra: balanza virtual, ecuaciones y sistemas
matemáticos de signos. Números: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 75, 5-20.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Mary G. Núñez L
Belén Arrieche
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
El presente estudio es un proyecto que se encuentra en las primeras etapas de desarrollo
y está centrado en realizar un análisis de los significados institucionales (referencia,
pretendido e implementado) en torno a la ecuación de segundo grado del tercer año de
educación básica. El trabajo está inserto en la Línea de Investigación Perspectiva del
Enfoque Semiótico Antropológico para la Didáctica de la Matemática (Arrieche 2003),
cuyos fundamentos teóricos se encuentran en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e
Instrucción Matemática (Godino, 2003). Para el análisis del significado de referencia se
realizará un estudio histórico-epistemológico que permita describir todos aquellos aspectos
implicados en el origen y desarrollo de la ecuación de segundo grado; para el pretendido se
analizará el libro de texto empleado por los docentes y en cuanto al implementado se
caracterizará la práctica docente en torno al objeto de estudio. El esquema metodológico a
seguir se fundamentará en un paradigma de tipo cualitativo. Se empleará como técnica de
recolección de datos la observación no participante. Los sujetos de la investigación serán
una docente de 3er año de Educación Básica del Liceo Nacional José Andrés Castillo
(Montalbán –Estado Carabobo) y el libro de texto de matemática de 3er año. La
información obtenida se someterá a un análisis semiótico que permite determinar los
posibles conflictos semióticos y de esta manera se pretende contribuir a mejorar los
factores que intervienen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la ecuación de
segundo grado.
Palabras Clave: Ecuación de segundo grado, Significados Institucionales, Análisis
Semiótico, Conflicto Semiótico
REFERENCIAS
Arrieche, M. (2003). Línea de Investigación Perspectivas del Enfoque Semiótico-
Antropológico para la Didáctica de la Matemática (LIPESA). Paradigma, 24(2), 151-
160.
Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semióticas en didáctica de la
Matemática. Departamento en Didáctica de la Matemática. Universidad de
Granada.
.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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CONSTRUIR, EXPLORAR Y CONJETURAR EN GEOMETRÍA
Belén Arrieche Alvarado
Martha Iglesias Inojosa
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En esta ponencia se presenta una herramienta didáctica construida mediante el doblado
de papel (Franco y Varner, 1999). Este recurso fue presentado con la intención de ser
utilizado para medir ciertos ángulos, cuando no se cuenta con un transportador; sin
embargo, se mostrará que puede ser explotado, aún más, para el reforzamiento de algunos
tópicos relacionados a las nociones geométricas de ángulos y triángulos. Además, se
señalarán algunas habilidades geométricas (Hoffer, 1981) que los estudiantes pueden
desarrollar, mediante la construcción y exploración de este recurso didáctico. Por otra parte,
conociendo que los software de Geometría Dinámica son un conjunto de programas
computarizados que crean un ambiente de aprendizaje donde los estudiantes exploran las
gráficos geométricas, descubren ciertas propiedades y formulan conjeturas (Iglesias, 2000),
se emplea el Cabri Géomètre II Plus para mostrar la construcción con regla y compás de
esta herramienta triangular, basándose en la trisección de un ángulo recto. Se describe –
paso a paso – el procedimiento empleado, dejando ver su equivalencia con la construcción
con doblado de papel. Finalmente, podemos decir que se logró construir un recurso
didáctico con un material de fácil acceso que se puede implementar en distintos niveles
educativos, que además de mejorar el ambiente de aprendizaje, evita que los conceptos
aprendidos por los estudiantes no se queden únicamente en el proceso memorístico, sino
que trascienda a su realidad inmediata. La metodología utilizada permite que el estudiante
experimente un constante proceso de descubrimiento y construcción de conocimientos a
través de la manipulación de material didáctico (papel) como herramienta facilitadora del
aprendizaje de la Geometría.
Palabras Clave: Doblado de papel, ángulos, triángulos, habilidades geométricas
REFERENCIAS
Franco, B y Varner, D. (1999). Unfolding Mathematics With Unit Origami. Emeryville,
CA: Key Curriculum Press.
Hoffer, A. (1981). Geometry is More Than Proof. Mathematics Teacher, enero 1981, 11 –
18. Traducción de Ricardo Barroso. Disponible en:
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/aprgeorefer.html.
Iglesias, M. (2000). Curso de Resolución de Problemas Geométricos Asistido por
Computadora. Trabajo de grado de maestría no publicado. Universidad Pedagógica
Experimental Libertador, Instituto Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA
DESDE UNA PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA
Martha Iglesias Inojosa
UPEL-Maracay
José Ortiz Buitrago
UC-Núcleo Aragua
RESUMEN
En este trabajo se ha pretendido presentar una aproximación al estudio de la
demostración en Geometría desde una perspectiva epistemológica, teniendo como
referencia dos asuntos esenciales de la Teoría del Conocimiento, como lo son la forma de
conocimiento y el criterio de verdad; para ello, se han planteado en el campo de la
Matemática y de la Educación Matemática las siguientes interrogantes: ¿El conocimiento
matemático es racional o puede ser intuitivo? ¿Cómo se sabe que el conocimiento
matemático es verdadero? En la búsqueda de respuesta a estas interrogantes se han revisado
algunas investigaciones sobre intuición y demostración mencionadas por D’Amore (2006)
y entre las cuales destacan los trabajos realizados por Fischbein (1987), Duval (1999),
Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007); encontrándose que la introducción del método
axiomático contribuyó a la evolución de la Matemática como disciplina científica y,
además, trajo consigo a los métodos de demostración como formas aceptadas de validación
de las verdades matemáticas. Sin embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionando una
sobrevaloración de los llamados contextos de justificación, descuidando así lo relacionado
con el descubrimiento del conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a
un conjunto de procesos como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, los
cuales conducirían a sentir la necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo que
impulsaría a los profesores y estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o
realizar una demostración formal. Asimismo, estos autores destacan las relaciones
existentes entre la intuición, la demostración y la argumentación; obligándonos a tener en
cuenta aspectos relacionados con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas
y las acciones de proceso y producto propias de la actividad demostrativa a la hora de
analizar las acciones y las producciones de los estudiantes para profesor de Matemática
cuando resuelvan un problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica.
Palabras Clave: Teoría del Conocimiento, procesos de justificación, verdades
matemáticas.
REFERENCIAS
Balacheff, N. (2000). Procesos de Prueba en los alumnos de Matemática. Bogotá: Una
Empresa Docente de la Universidad de los Andes.
D’Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial
Magisterio.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
60
Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Harel, G. y Sowder, L. (2007). Toward Comprehensive Perspectives on the Learning and
Teching of Proof. En F. Lester (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics
Teaching and Learning. A Project of the National Council of Teachers of Mathematics
(2 volumes). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
61
EL SESGO DE EQUIPROBABILIDAD EN PROFESORES DE MATEMÁTICA EN
FORMACIÓN
Yerikson Suárez Huz
Fredy E. González
UPEL-Maracay
RESUMEN
La sociedad contemporánea actual demanda de sus ciudadanos, el desarrollo de
capacidades y destrezas vinculadas al razonamiento probabilístico, debido a que el
reconocimiento de la incertidumbre, como una característica de la realidad, y aprender a
manejarse con ella, son fundamentales en el desempeño intelectual de los individuos del
siglo XXI (Azcárate, Cardeñoso y Porlán, 1998). Sin embargo, las concepciones previas de
los estudiantes constituyen obstáculos para la comprensión de los conceptos asociados a la
teoría de la Probabilidad, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje de estos temas
(Batanero, 2006; Borovcnik y Kapadia, 2010). Precisamente, una de las líneas de
investigación más relevantes y prolíficas en relación con el razonamiento probabilístico
está referida al estudio de las preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho
razonamiento. El propósito del estudio aquí reportado y realizado con estudiantes para
profesor de Matemática en la UPEL-Maracay fue identificar y caracterizar la presencia de
uno de estos sesgos, el denominado sesgo de equiprobabilidad, el cual está referido a la
suposición, sin ningún tipo de justificación, de que todos los sucesos asociados a cualquier
experimento aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables (Lacoutre, citado por Serrano,
Batanero, Ortíz y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006). Se trató de una
investigación de campo, de carácter descriptivo-interpretativo; apoyada en una indagación
documental y concebida como un estudio de caso múltiple que asumió como referente
teórico la idea de sesgo de equiprobabilidad sustentada por Kahneman, Slovic y Tversky
(1982). Los sujetos de estudio fueron 20 estudiantes, futuros profesores de Matemática, a
quienes se les aplicó un cuestionario de preguntas abiertas y cerradas. Se pudo verificar que
en los sujetos estudiados hay una marcada presencia del sesgo de equiprobabilidad, el cual
les genera dificultades para la comprensión del concepto de probabilidad.
Palabras Clave: Sesgo de Equiprobabilidad, Educación Estadística, Razonamiento
Probabilístico, Sesgos y Heurísticas.
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LENGUAJE MATEMÁTICO Y APRENDIZAJE ALGEBRAICAMENTE
SIGNIFICATIVO DEL ESPACIO VECTORIAL R3
Marlyocer Sequera M.
UC
Andrés González R
UPEL-Maracay-NIEM
RESUMEN
En la actualidad la comprensión de contenidos abstractos en el álgebra escolar vinculado
con la comunicación dentro del aula, se ha convertido en asunto de interés indagatorio tanto
en el Subsistema de Educación Básica, especialmente en Educación Media General, como
en Educación Universitaria, acerca de esto, autores se han referido con interrogantes como:
¿Constituye las matemáticas un lenguaje?, también con sintaxis de las formas matemáticas
escritas referidas por Pimm (2002). En paralelo, se han realizado investigaciones acerca de
los orígenes del lenguaje matemático, las dimensiones conformadas en él (Beyer, 2006),
también Arias (2009) señaló los errores en el lenguaje matemático empleado por los
docentes cuando resuelven problemas, permitiéndonos considerar la importancia de un
buen uso del lenguaje matemático que influye, eventualmente, en el aprendizaje; lo que
posiblemente genere en los estudiantes dificultades de naturaleza diferente, por el hecho de
transferir de lenguaje natural o cotidiano al matemático formal. Este trabajo, que es un
proyecto en desarrollo, pretende determinar la relación entre el lenguaje natural y el
lenguaje matemático en el proceso de enseñanza y aprendizaje del Espacio Vectorial R3.
Dada la naturaleza del problema, la indagación se enmarca en una perspectiva cualitativa ya
que permite una mirada más amplia del asunto considerado, de tal manera que tanto los
instrumentos como la técnica de recolección de datos se corresponderán con tal enfoque,
los sujetos de estudio serán los estudiantes de 5to año de la Unidad Educativa María
Auxiliadora del municipio San José, estado Carabobo, las conclusiones esperadas estarán
en relación directa con los objetivos y el propósito del problema considerado,lo que
contribuiría a dar relevancia a la comunicación en el aula para el desarrollo de capacidades
como la abstracción, la generalización, la categorización y, en general, al pensamiento
algebraicamente significativo.
Palabras Clave: Lenguaje Matemático, Aprendizaje Algebraicamente significativo,
Espacio Vectorial.
REFERENCIAS
Arias, H.(2009). Errores presentes en el lenguaje matemático en los docentes de educación
básica en la resolución de problemas. [Versión Completa en línea] Trabajo de Grado
de maestría no publicado, Universidad del Zulia, Facultad de Humanidades y
Educación. Disponible en: http://tesis.luz.edu.ve/tde_busca/
arquivo.php?codArquivo=1772. [Consulta: 2013, febrero, 28]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
63
Beyer, W (2006). El Laberinto del Significado: La comunicación en el Aula de Matemática.
En: Mora, D y Serrano, W. (Comps.), Lenguaje, Comunicación y Significado en
Educación Matemática (pp. 61-157). Bolivia: Grupo de Investigación y Difusión en
Educación Matemática
Pimm, D. (2002) El lenguaje matemático en el aula. (3era ed). (P. Manzano, trad.) Madrid:
Ediciones Morata.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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SEGURIDAD INFORMÁTICA, TÉCNICAS CRIPTOGRÁFICAS Y
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS COMO CONTENIDOS DE APRENDIZAJE
Marisol Sarmiento
Jenny Guillén
UPEL-Maracay
RESUMEN
En la sociedad que surgió tras la revolución industrial a finales del siglo XIX, el recurso
básico era la energía y su objetivo extender y ampliar la fuerza del cuerpo humano, de este
modo se inventaron máquinas que ahorraban trabajo físico y gran parte de los hombres y
mujeres de ese mundo desarrollado, se liberaron de penosas tareas manuales. En la
sociedad que se gesta a finales del siglo XX el recurso básico es el conocimiento y el
objetivo se centra en la actividad humana, en el acceso y uso de la información y en la
interacción de los individuos, ello tras la aparición de Internet, donde la tecnología que
antes era utilizada sólo en proyectos empresariales, militares o de gobierno ha cobrado
mayor importancia en su aplicación para la sociedad del conocimiento (Sarmiento, 2007).
Uno de estos proyectos es la seguridad informática, definida como la necesidad de
implantar mecanismos de protección que reduzcan al mínimo los riesgos asociados a los
incidentes de confianza y resguardo de información (Gonzalo, 1998). Este artículo,
proporcionara una visión general de los aspectos más relevantes de la seguridad
informática, observando esta disciplina desde un punto de vista estratégico y táctico. Para
ello destacaremos, el uso de los algoritmos criptográficos desarrollados a partir de
fundamentos matemáticos y de las técnicas de la criptografía (simétricas y asimétricas).
Como sustento teórico De Nápoli (2005) y Pino (1997) que han establecido “…Toda
encriptación se encuentra basada en un algoritmo, quien codifica un mensaje en texto plano
por medio de un método matemático para convertirlo en un texto cifrado…”(s/n), en cuyo
caso para poder descifrar el mensaje es necesario conocer además una clave o llave “KEY”,
visión que permitirá conocer las amenazas y las contramedidas ha considerarse en toda
organización, desde los estudios de la computación y la informática.
Palabras Clave: Seguridad informática, algoritmos criptográficos, técnicas de
encriptación, fundamentos matemáticos.
REFRENCIAS
De Nápoli, P. (2005). Una Introducción Matemática a la Criptografía. Computec. Editorial Ra-Ma.
Madrid
Gonzalo, M. (1998). Seguridad informática para Empresas y Particulares. [Documento en línea]. Disponible: http:// www.iec.csic.es/CRIPTONOMICON/siep.html. [Consulta: 2005, Octubre
18].
Pino, C. (1997), Seguridad Informática. Técnicas criptográficas. Computec. Editorial Ra-Ma. Madrid
Sarmiento, M. (2007). “El Docente en Servicio y las Tecnologías de la Información y de la
Comunicación. Necesidad de Formación”. UPEL – IPMAR. Trabajo de Ascenso no publicado.
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ANÁLISIS SEMIÓTICO Y DIDÁCTICO DE UN PROCESO DE ESTUDIO SOBRE
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Fernando J Tesorero
Mario Arrieche
UPEL-Maracay
RESUMEN
Este proyecto de investigación se centra en el análisis de u proceso de estudio sobre las
razones trigonométricas en un curso de cuarto año de Educación Media general del Sistema
Educativo Venezolano, mediante un análisis semiótico y didáctico. El estudio se
fundamenta en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática
(Godino, 2003), en el cual se basan los sustentos teóricos de la línea de investigación
“Perspectivas de enfoque semiótico-antropológico para la didáctica de la matemática”
(Arrieche, 2002). En la enseñanza de las Razones Trigonométricas en el nivel referido, los
docentes presentan algunas dificultades en las estrategias utilizadas, que posiblemente
están obstaculizando a los estudiantes el aprendizaje de de este tema. En este sentido lo
que se quiere es Evaluar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas, que
permita determinar y describir los significados institucionales puestos en juego e
identificar posibles conflictos semióticos en la interacción didáctica. La técnica se basa en
un modelo ontológico y semiótico para la cognición e instrucción matemática que se
presenta previamente, y se ejemplifica mediante el análisis del proceso de estudio de las
Razones Trigonométricas en un libro de texto y un análisis didáctico. La investigación se
basa en un modelo metodológico cualitativo y descriptivo para el estudio del problema, el
cual permite desarrollar el tema con una observación no participante. Los informantes
claves de interés en esta investigación es el Docente, libro de texto y un grupo de
estudiantes de cuarto año de Educación Media General de la Escuela Básica “Don Rufino
González” Santa Cruz de Aragua. La expectativa de este trabajo es facilitar la enseñanza y
aprendizaje de las Razones Trigonométricas respecto a la revisión de los libros de texto y la
actuación del docente durante el desarrollo del objeto matemático.
Palabras Clave: Razones Trigonométricas, Análisis Semiótico, Análisis Didáctico,
Conflicto Semiótico.
REFERENCIAS
Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semiótica en didáctica de la
Matemática. Departamento en Didáctica de la Matemática. Universidad de
Granada.
Arrieche, M. (2002). La Teoría de Conjuntos en la Formación de Maestros. Facetas y
factores condicionantes del estudio de una Teoría Matemática. Tesis Doctoral.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS Y DIDÁCTICAS DE LOS
PRACTICANTES-DOCENTES. CASO ECUACIÓN DE 2DO GRADO CON UNA
INCÓGNITA. ESTUDIO DIRIGIDO A LOS ESTUDIANTES DE PRÁCTICA
PROFESIONAL III DE LA MENCIÓN MATEMÁTICA EN LA FACULTAD DE
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN-UNIVERSIDAD DE CARABOBO
Vanesa Pacheco
Antonino Viviano
Universidad de Carabobo
RESUMEN
El propósito de esta investigación fue reconstruir las organizaciones matemáticas (OM)
y organizaciones didácticas (OD), aplicando la Teoría antropológica de lo didáctico
propuesta por Yves Chevallard, de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita,
desde las prácticas profesionales de los estudiantes de la Mención Matemática en la
Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. El enfoque fue
sistémico dentro del paradigma interpretativo y el tipo fue de campo y documental,
orientado por el método etnográfico y la teoría fundamentada. Los sujetos de estudios
fueron dos estudiantes cursantes de la asignatura práctica profesional III de la mención
Matemática durante el período lectivo I-2012, que realizaron sus prácticas en la Escuela
Técnica Industrial Francisco González Guinán, dictando 3er año. La reconstrucción de las
OM para las OD desde la praxis docente de las practicantes arroja que a pesar de que éstas
intentan llevar a cabo un proceso de estudio conforme a la construcción de la OM
“Ecuación de segundo grado con una incógnita” y su OD, éstas no lo logran gestar. Las
practicantes muestran la forma general de la ecuación de segundo grado como un elemento
ostensivo que carece de justificación tecnológica-teórica; no presentan los elementos
matemáticos que la conforman, es así como se pierde el significado estructural de la
ecuación de segundo grado, lo que se contrapone con el esbozo de la Organización
Matemática de Referencia (OMR). Queda también que una OM debe apuntar a destacar que
las tareas, técnicas y tecnología que usan las practicantes docentes en el proceso de estudio
pueden desprenderse de una OMR, sin embargo, mientras la OMR muestra cierta
completitud, en las clases de las practicantes tiende a existir la incompletitud y la ausencia
de los momentos didácticos, los cuales son fundamentales para la didáctica de la
matemática como disciplina científica que busca construir y reconstruir de manera efectiva
el proceso de estudio.
Palabras clave: Organización Matemática y Organización Didáctica, Práctica Docente,
Ecuación de segundo grado con una incógnita, Etnografía.
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EL ESTUDIO DE LA PARÁBOLA EN LOS LIBROS DE TEXTO DE
MATEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA COGNITIVA Y DIDÁCTICA
Leonela Rodríguez
Martha Iglesias
UPEL-Maracay
RESUMEN
Las fallas en la enseñanza de las secciones cónicas, posiblemente, sean por la manera
cómo se ha presentado el tema en educación media, lo cual ocurre, según Vílchez (2007),
por la escasa formación del profesor, o por la carencia de materiales y recursos didácticos
que le permitan al docente un mejor desempeño en su praxis educativa, o por contar con
textos escolares como guía, mal redactados y presentados con errores conceptuales en los
contenidos geométricos. Esto incidiría en el futuro desempeño de los estudiantes en la
Universidad; algunos de ellos tienen habilidades para resolver las ecuaciones algebraicas de
las secciones cónicas, pero no abordan, ni comprenden el concepto de éstas como lugares
geométricos. De acuerdo con lo antes expuesto y la situación en la que se encuentra el
aprendizaje de la Geometría, en especial el tema de la Parábola en los estudiantes de quinto
año de educación media general de la U.E.N. “Dr. José María Vargas” ubicada en San
Miguel Estado Aragua, el presente trabajo de investigación pretende analizar los
conocimientos y habilidades geométricas que tendrían que poner en práctica por los
estudiantes de 5to año de educación media general, cuando realizan las actividades
propuestas en el libro de Matemática de la Colección Bicentenario, orientadas al estudio de
la parábola. Para ello, se llevará una investigación que abarcará tres etapas: (a) una
investigación documental orientada a identificar los objetivos y contenidos geométricos
contemplados en el currículo vigente en educación media; (b) una investigación de campo
dirigida a la descripción de las actividades propuestas en los libros de texto seleccionados
por los docentes y el libro de Matemática de la Colección Bicentenario, y (c) una
investigación proyectiva, cuyo propósito es diseñar una unidad didáctica centrada en el
tema de la Parábola, teniendo en cuenta la noción de análisis didáctico planteado por
Gómez (2007).
Palabras Clave: Secciones cónicas, libros de texto y análisis didáctico.
REFERENCIAS
Gómez, P. (2007). Análisis didáctico. Una conceptualización de la enseñanza de las
matemáticas (capítulo 2). En P. Gómez (Ed.), Desarrollo del conocimiento didáctico
en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria (pp. 31-
116). Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Granada.
Vilchez, N. (2007). Enseñanza de la Geometría con utilización de Recursos Multimedia.
Aplicación a la primera etapa de Educación Básica. [Documento en línea]. Disponible:
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
68
http://www.tesisenxarxa.net/TDX-061910141631/index.html [Consulta: 2012, Octubre
1]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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AUTOESCRITURA: ESTRATEGIA PARA LA FORMACIÓN INICIAL DE
PROFESORES DE MATEMÁTICA
Fredy González
UPEL-Maracay-NIEM
RESUMEN
La formación inicial de profesores de Matemática en Venezuela ha sido reiteradamente
cuestionada por las deficiencias que ostenta, entre las que pueden mencionarse los
siguientes: carácter aditivo del currículo y divorcio entre teoría y práctica (González, 2003);
en este estudio se pretendió ensayar una estrategia para superarlas, basada en la producción
de Relatos Narrativos Escritos sobre experiencias vividas por un grupo Estudiantes para
Profesor de Matemática (EPPM) en una universidad pública venezolana de formación
docente; para ello; se implementó un estudio cualitativo, de carácter fenomenológico
interpretativo. Se encontró que los EPPM, participantes en el estudio, pasaron de la
descripción a la explicación comprensiva; haciéndose conscientes y superando la
informalidad de los conceptos espontáneos e implícitos, y avanzaron hacia la
congráficoción de una conceptualización de lo que significa ser un profesional de la
educación matemática, es decir, de la formación matemática de los ciudadanos.
Palabras Clave: Educación Matemática, Mirada Profesional, Epistemología de la Práctica
REFERENCIAS
González, F. E. (2003). La dinámica P2MA una opción didáctica frente a la enseñanza
tradicional de la matemática. Investigación y Postgrado, 18(2), 43 – 76
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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ACCESIBILIDAD DIGITAL: ALFABETIZACIÓN, INCLUSIÓN E IGUALDAD
PARA LA POBLACIÓN CON DIVERSIDAD FUNCIONAL VISUAL
Dilia Caballero
Ingrid Camacho
Juan Guzmán
UPEL-Maracay
RESUMEN
Entre los grandes retos que supone la pujante sociedad de conocimiento se encuentra el
acceso a la educación por parte de todas las personas en los diferentes rincones del planeta.
Resulta imperativo desmoronar todas las barreras que soportan el analfabetismo, la
exclusión y la desigualdad, flagelos que vejan uno de los derechos fundamentales para la
vida y progreso de las naciones, la educación. Por consiguiente, esta investigación persigue
develar los aportes de la accesibilidad digital en pro de la alfabetización, inclusión e
igualdad de la población con diversidad funcional visual. El estudio se cimienta en los
postulados de Pirela (2004), Garzón y Román (2011), apegados a la incorporación de las
TIC en la educación; además de los fundamentos de UNESCO (2002) y Flores (2010),
alineados a la inclusión de personas con discapacidad, a los sectores productivos. Desde la
perspectiva metodológica, se enmarca en la revisión documental apoyada en el análisis
crítico. Las consideraciones parciales reflejan que la accesibilidad digital para las personas
con diversidad funcional visual: incrementa su calidad de vida, promueve el acercamiento
al conocimiento, a la información y por ende facilita su inserción a los quehaceres
laborales; reivindica los derechos y el cumplimiento de las políticas del Estado; fortalece la
investigación científica-educativa en aras del estudio de la funcionalidad, la ergonomía y el
contacto usuario-dispositivo en términos de activación de los canales sensoriales;
consolidando la sensibilización social en torno a la adecuación de espacios tecnológicos
prestos a la inclusión social y la igualdad, entre otros.
Palabras Clave: Accesibilidad Digital, Inclusión, Diversidad funcional Visual.
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MUESTRA DIDÁCTICA
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Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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DISEÑO DE REVISTAS DIGITALES PARA LA DIVULGACIÓN DE LA
GEOMETRÍA
Adriana Mejías
Karol Ramírez
Miguel Zambrano.
Yerikson Suárez
UPEL-Maracay
RESUMEN
El desarrollo de actividades divulgativas en Matemática, que sean amenas y accesibles a
cualquier audiencia, es una tarea inherente a los profesores de Matemática. Por ello, el
propósito de la siguiente ponencia es describir una experiencia de aprendizaje basada en el
diseño de revistas divulgativas digitales en la actividad de extensión acreditable Club de
Geometría de la especialidad de Matemática de la UPEL-Maracay. Tal experiencia fue
llevada a cabo por futuros profesores de Matemática con la intención de ampliar y
complementar la formación de estos en Geometría. La creación de revistas digitales ofrece,
entre otras ventajas, favorecer la interactividad, diseño atractivo, incorpora elementos
multimedios, imágenes full color y de gran tamaño, sin que esto repercuta en costos (Calvo-
Rubio y Vila, 2009; Palomo, Ruiz y Rodríguez, 2006). Además, permite el desarrollo de
autonomía, creatividad y de habilidades de escritura y redacción a la hora de seleccionar los
tópicos y contenidos geométricos y el abordaje de los mismos en el contexto de una
publicación divulgativa. Para la elaboración de la revistas digitales los participantes del
club llevaron a cabo un conjunto de fases: (1) Selección del tópico o contenidos
geométricos a tratar en la revista, así como de las secciones que la conforman, (2)
Desarrollo de una investigación documental y a través de la Web, (3) Elección de recursos
tecnológicos para la construcción de la revista (Publisher, Word, Power Point), (4)
Montaje, diagramación y desarrollo de artículos y secciones de la revista, (5) publicación
a través de herramientas web 2.0 como Issuu o Slideshare, y (5) posterior difusión en un
grupo de la red social facebook creado con el fin de interactuar con los miembros del club
de geometría. Algunos temas abordados en la revistas versan sobre fractales, software de
geometría dinámica y desarrollo de contenidos geométricos específicos como cuadriláteros,
triángulos, sólidos.
Palabras Clave: Geometría, Revistas escolares, Herramientas Web 2.0, Divulgación de la
Matemática.
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LAS CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS EN AMBIENTES DE
GEOMETRÍA DINÁMICA
Richlenys Davis
Rebeca Mogollón
Martha Iglesias
UPEL-Maracay
RESUMEN
Las Construcciones con Regla y Compás han ocupado un puesto relevante en la
enseñanza de la Geometría tanto por su utilidad práctica como su contribución al desarrollo
teórico. Cabe recordar que Euclides, matemático griego, nos legó una manera de organizar
el conocimiento aritmético y geométrico, haciendo uso del método axiomático; de esta
manera, en la antigua Grecia, la Geometría abandonó su carácter empírico – práctico,
adquiriendo así un carácter lógico – deductivo. En los Elementos de Euclides, las
construcciones con regla y compás no tenían por objetivo la realización efectiva de la
construcción, sino mostrar por un encadenamiento lógico de proposiciones que algo es
construible con regla y compás. Es necesario tener en cuenta las siguientes reglas: (a) La
regla es ilimitada, sin marcas y tiene sólo un borde; el compás es un instrumento que sólo
traza circunferencias de centro dado pasando por un punto dado. (b) Ningún instrumento ha
de usarse para transportar distancias. Esto significa que la regla no puede marcarse, y que el
compás ha de tener la característica que si una de sus patas se levanta del papel, el
instrumento se cierra. A diferencia del compás euclídeo, el compás moderno conserva su
abertura y por tanto puede utilizarse para transportar distancias. Las tres primeras
proposiciones del Libro I servirán para ilustrar la metodología de trabajo empleada en los
Elementos de Euclides y el uso de la regla y el compás en un ambiente de Geometría
Dinámica: estas proposiciones son: (I.1) Construir un triángulo equilátero sobre una recta
finita dada. (I. 2) Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a una recta dada.
(I.3) Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
Palabras Clave: Geometría Euclidiana, Construcciones Geométricas, Geometría
Dinámica.
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HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Y WEB 2.0: DISEÑO DE LÍNEAS DEL
TIEMPO
Fernando Rodríguez
Freddy Castro
Pedro Vivas
Yerikson Suárez
UPEL-Maracay
RESUMEN
La Historia de la Matemática debería constituir parte indispensable del cúmulo de
conocimientos del estudiante y del profesor de Matemáticas de cualquier nivel educativo
(Cárdenas, Mesa y Fernández, 2006), debido a que, entre otras razones, proporciona una
visión dinámica acerca del desarrollo y progreso de la Matemática. El empleo de ésta en el
aula de clase, según Maz (1999), puede basarse en presentar hechos anecdóticos, biografías
de matemáticos y sus aportes a la evolución de tal disciplina. Por tanto, un posible modo de
incorporar estos elementos en la enseñanza es a través de líneas del tiempo, consideradas
como representaciones gráficas de una serie de sucesos, organizados cronológicamente, y
cuyo uso podría resultar útil por constituirse en una posible estrategia de apoyo al proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y su desarrollo histórico. Actualmente, gracias
al uso de las TIC y por medio de las herramientas WEB 2.0 (Rodríguez, 2008), es posible
diseñar líneas de tiempo en formato digital, permitiéndose de esta manera, la incorporación
de imágenes, recursos multimedia, enlaces, textos, videos y audios, entre otros. Con el fin
de promover el uso de este recurso para la enseñanza de la Matemática por medio de su
historia, se propone una actividad de carácter divulgativo, basada en el diseño y
presentación de líneas de tiempo de diversas áreas de la Matemática, elaboradas por un
grupo de futuros profesores de Matemática de la UPEL-Maracay que han participado en un
proceso de formación y capacitación en el uso de las TIC en la enseñanza de la Matemática.
El diseño de las líneas del tiempo se basó en una indagación documental y una revisión a
través de la Web para recabar algunos aspectos históricos relativos a un tópico matemático
determinado y el uso de aplicaciones en línea para la construcción de las mismas.
Palabras Clave: Historia de la Matemática, líneas de tiempo, Web 2.0.
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EDUCAPLAY: HERRAMIENTA WEB 2.0 PARA LA EVALUACIÓN EN
MATEMÁTICA
Héctor Blanco
Alvin Díaz
Mayerlin Romero
Yerikson Suárez
UPEL-Maracay
RESUMEN
Entre algunas de las necesidades detectadas en el ámbito educativo, destaca la de
impulsar el desarrollo de prácticas innovadoras en torno al uso de las Tecnologías de
Información y Comunicación (TIC) en el proceso de enseñanza-aprendizaje (Carneiro,
Toscano, Díaz; 2009). Particularmente, Montoya y Flores (2011) sugieren que para la
enseñanza de la Matemática, se necesita diseñar actividades que involucren el uso de las
TIC, bajo estándares pedagógicos bien definidos. Hoy en día es posible contar con
aplicaciones y recursos de la Web 2.0 que le permiten a los docentes de Matemática generar
actividades multimedia que sean empleadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Una
de esas herramientas es Educaplay, la cual puede ser utilizada para la evaluación de
contenidos matemáticos, ya que, la misma es una plataforma educativa en línea que
permite la creación y uso de una gran variedad de actividades interactivas con fines
formativos, tales como adivinanzas, crucigramas, sopas de letras, orden de palabras,
elaboración de test y relaciones, entre otras. Algunas de las ventajas más relevantes que
brinda esta herramienta tecnológica es su acceso gratuito, el hecho de no requerir de la
instalación de software, su interfaz atractiva, permitir la integración de voz, audio, video y
escritura; y la posibilidad de compartir las actividades en entornos virtuales de aprendizaje,
páginas web y edublogs. Por todo lo anterior, y a través de una muestra didáctica, se
proponen un conjunto de actividades de carácter divulgativo, con el propósito de dar a
conocer a la comunidad de educadores matemáticos, sobre el potencial didáctico de
Educaplay, sus posibilidades de llevar a cabo actividades de evaluación y autoevaluación, y
el manejo adecuado del mismo. Las actividades propuestas son producto de una
experiencia de aprendizaje con futuros profesores de Matemática y están apoyadas
metodológicamente en una indagación documental.
Palabras Clave: Evaluación en Matemática, Educaplay, WEB 2.0, TIC
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LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA
Jorge Gideón
Katherine Gómez
Jonander Rivas
Yerikson Suárez
UPEL-Maracay
RESUMEN
Actualmente existen una variedad de recursos y materiales concretos susceptibles de ser
empleados en la enseñanza de la Matemática; algunos de ellos son aprovechados en el
ámbito de la Geometría, puesto que ofrecen numerosas posibilidades para experimentar y
dilucidar acerca de sus métodos, conceptos, propiedades y problemas (Villarroel y
Sgreccia, 2011). Dentro de tal diversidad de recursos, la papiroflexia u origami, se presenta
al profesor de Matemática como una herramienta pedagógica que puede ser empleada en el
desarrollo de contenidos geométricos, tanto a nivel conceptual como procedimental (Grupo
PI, 2009), puesto que permite el desarrollo, por parte de quien la practica, de la
psicomotricidad, la exactitud y precisión en el trabajo; además de promover la creatividad,
la exploración, el poder experimentar y conjeturar. Por ejemplo, a través de la papiroflexia
es posible, estudiar algunos temas relevantes de la Geometría Espacial como el de los
poliedros. Sin embargo, puede llegar a ser particularmente complejo el diseño de estos por
medio de la papiroflexia tradicional, lo cual es una de las razones por la cual surge la
papiroflexia modular (Blanco y Otero, 2005), ya que gracias a la misma es posible construir
y estudiar algunos sólidos. De todo la anterior surgen las preguntas ¿Cómo se puede
emplear la papiroflexia modular en la enseñanza de la Geometría?, ¿Cuál es el potencial
didáctico de este recurso? Para dar respuesta a ellas, y a través de una muestra didáctica
sustentada metodológicamente en una revisión documental, se proponen un conjunto de
actividades divulgativas que promueven el uso de la papiroflexia modular en la
construcción de sólidos y algunas implicaciones de su uso en el contexto escolar a la hora
de enseñar estos temas de Geometría.
Palabras Clave: Papiroflexia, Origami, Geometría, Recursos Didácticos
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PAPIROGEOMETRÍA…MÁS ALLÁ DEL PLEGADO DE PAPEL EN LA
ESCUELA
Erika Gabriela Valera Herrera.
UPEL- Maracay
RESUMEN
Esta es una exposición que pretende transparentar el proceso creativo de la papiroflexia
aplicada a la enseñanza de tópicos geométricos en mi experiencia docente con niños de 1er,
4to y 5to grado, y muy bien pueden adaptarse al resto de los grados de primaria, explicando
conceptos aparentemente obvios pero generalmente desconocidos u olvidados por los
estudiantes. El utilizar papiroflexia (Azzità, E. y Schultz, W., 2011), da una alternativa
distinta para brindar a los estudiantes un modo diferente y divertido de aprender geometría
haciendo uso del plegado de papel más allá de usarlo simplemente para hacer figuritas para
regalar o jugar sin mayor sentido y provecho. Una hoja de papel puede darnos las
condiciones para que nuestros niños y niñas se apropien de conceptos y representaciones
geométricas de forma concreta, además de ser un reto de creatividad a la inteligencia de los
educandos, donde se trabaje el doblaje de una sola pieza de papel, hasta el doblado y
ensamblaje de varias piezas de papel como especie de lego para hacer; cuerpos
geométricos, animales, flores y objetos, sin dejar de un lado los elementos geométricos
presentes cuando se pliega el papel para hacer los doblados tales como; segmento de recta,
lado, ángulos, vértice, ángulos, ángulos internos, área, perímetro, áreas congruentes,
ángulos congruentes, cubo, pirámides, icosaedros, dodecaedro, entre otros, según sea el
grado en que se esté trabajando, el nivel de complejidad va a depender de las características
y las necesidades de los estudiantes considerando los contenidos del Currículo Básico
Nacional, (Ministerio de Educación, 1996).
Palabras clave: Educación Primaria, Papiroflexia, Geometría, Didáctica.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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KIT PARA INTEGRAR TECNOLOGIA AL APRENDIZAJE DE ROBOTICA,
MATEMATICA Y LENGUAJE
Jenny Guillén
Marisol Sarmiento
Ludmilan Zambrano
UPEL Maracay
Oscar Chang,
UCV
RESUMEN
MAYTU IRIMA 3.0 es un kit robot didáctico desarrollado para estimular el aprendizaje
de la ciencia Robótica en niños y jóvenes. El nombre MAYTU nace de la combinación de
dos sonidos MAY del nombre del Cacique Maracay, y TU, silaba del nombre del Cacique
Turiamo. IRIMA da significancia a su color Azul. Su finalidad es lograr que niños(as),
jóvenes y docentes tengan contacto cercano con un robot y se motiven respecto a esta
actividad. Fue diseñado y construido en la República Bolivariana de Venezuela, por equipo
de investigadores liderado por la Dra. Jenny Guillén y financiado por el Ministerio del
Poder Popular para la Ciencia, Tecnología e Innovación, a través del FONACIT (Proyecto
PEII), como recurso de apoyo al aprendizaje del Subsistema de Educación Básica
Venezolana (LOE,2009 - edades 7 a 16 años-). Este logro del primer objetivo del proyecto
de un autentico brazo robot articulado con cuatro grados de libertad, es exitoso ya que usos
a mayor escala funcionan con hasta seis grados de libertad. MAYTU está equipado con
cuatro servomotores independientes, incorporando a través de cableado el actuador de
control que lo regula, emulando la metáfora del brazo humano: el movimiento del codo, del
antebrazo y de la muñeca así como la apertura y cierre de la pinza; podrá agarrar, liberar,
levantar, bajar y girar. Su luz LED cambia de colores RGB según la actividad. Se
suministra con su mando por cable y PIC reprogramable en modalidades: manipulada y
autónoma, integrando y transfiriendo tecnologías con métodos tecno pedagógicos en Áreas
de Lenguaje Natural, Técnico, y de Señas relacionados al Diseño Curricular para
Matemática y Lenguaje agregando inteligencia artificial; posee manuales educativos. Sus
piezas y diseño son de tecnología 3D. Dotado de tarjeta electrónica y circuitos, sonido
natural y recarga de energía es liviano, físico, compacto e itinerante.
Palabras Claves: Robot, Matemática, Proyecto PEII, Tecnología, Integración.
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PARTE II: EXTENSOS
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ÍNDICE
pp.
CONFERENCIAS 85
Aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de aprendizaje en
informática, como eje transversal del currículo de la Especialidad de
Informática de la Upel
Jenny Guillén
87
Educación y tecnología ¿hacia dónde apunta el asunto?
Gabriela Gardié 99
FORO 109
Aportes de la línea de investigación “perspectivas del enfoque Semiótico
Antropológico” a la Educación Matemática en Venezuela.
Mario Arrieche Alvarado 111
Perspectivas de la investigación en Educación Estadística
Julia Elena Sanoja 126
PONENCIAS 137
Teorema de Thales: una propuesta didáctica
Odalys Báez, Andrea González, Génesis Gudiño,
Liliana Noguera y Martha Iglesias
139
Casas de bahareque: Una visión etnomatemática a partir de su
construcción
Robert Lira y Martha Iglesias 151
Blog: el mundo de pitágoras en la era tecnológica
Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero,
Yerikson Suárez y Martha Iglesias
162
La estadística y los libros de texto de matemática
Julia Sanoja y Oscar Ramírez 174
Pitágoras y el teorema de la mujer casada. Una propuesta didáctica
Andrea Osorio, Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero,
Yerikson Suárez y Martha Iglesias 194
Formación permanente de los docentes de matemática. Una propuesta
didáctica
Jimmy Sánchez Chacón y Martha Iglesias Inojosa
205
La circunferencia y el círculo. Una propuesta didáctica
Snnaider Ramirez, Zuleidy Torres,
Kelly Váldez y Martha Iglesias 217
La demostración en geometría. Desde una perspectiva epistemológica
Martha Iglesias Inojosa y José Ortiz Buitrago 230
El sesgo de equiprobabilidad en profesores de matemática en
formación
Yerikson Suárez y Fredy González
248
Seguridad informática, técnicas criptográficas y fundamentos 263
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matemáticos
Marisol Sarmiento y Jenny Guillen
Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las
razones trigonométricas
Fernando Tesorero y Mario Arrieche 277
Autoescritura: estrategia para la formación inicial de profesores de
matemática
Fredy González
285
ÍNDICE DE AUTORES 299
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85
CONFERENCIAS
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APROXIMACIONES TEÓRICAS PARA DESARROLLAR COMPETENCIAS DE
APRENDIZAJE EN INFORMÁTICA, COMO EJE TRANSVERSAL DEL
CURRÍCULO DE LA ESPECIALIDAD DE INFORMÁTICA DE LA UPEL
Jenny M. Guillén C
UPEL Maracay
RESUMEN
En este trabajo se proponen aproximaciones teóricas para desarrollar competencias de
aprendizaje en el abordaje de la informática como eje transversal del currículo de la
especialidad de informática de la upel , describiendo el componente teórico y
ontoepistemológico explicito en los programas sinópticos de los cursos del componente de
formación especializada, en cuanto a los contenidos en el área de la tecnología informática
y develando la teoría en uso del docente de dicha especialidad a fin de estructurar su perfil
competencial para el abordaje de la informática. Se sustentó en la teoría de la acción
(argyris schön, 1989), (habermas, 1989), con la teoría de la acción comunicativa, morin
(2000, 2001,2003) con la teoría de la complejidad y los fundamentos de la unesco (2004)
en relación con las tic. Se utilizo una metódica plural y emergente. Su episteme se ubica en
el enfoque cualitativo, educacional- critico y constructivo-reflexivo. Desde el punto de vista
paradigmático, en la investigación utilizó el método de la construcción y reconstrucción de
la teoría en uso y el enfoque de la teoría fundamentada (glasser y strauss, 1992) y strauss y
corvit (1999,2002) y el muestreo teórico. Los informantes clave fueron los docentes de la
upel que se desempeñan en la especialidad de informática en los institutos que administran
dicha especialidad. Se detectó inconsistencia entre la teoría explicita (programas sinópticos
del componente de formación especializada) y, en uso (actuación del docente) en cuanto al
abordaje de la informática, respondiendo a su “conveniencia” lo cual dista mucho de la
formación de un docente en torno a lo competencial. Se recomienda implementar acciones
enmarcadas en lo complejo desde una plataforma en línea o presencial, que se convierta en
el eje transversal del currículo de informática y que se aborde en orden a las competencias
informacionales.
Palabras clave: pensamiento complejo, competencias tic e informática, modelos educativos.
INTRODUCCIÓN
En referencia a los procesos de aprendizaje, Villa y Poblete (2007) plantean que en
la actualidad las competencias se convierten en la piedra angular, ya que el plan curricular
se formula y se explicita en competencias genéricas o transversales y en competencias
específicas. Los cuatro elementos para lograr las competencias son: (1) Estrategias y
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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metodologías de enseñanza-aprendizaje, (2) Modalidades, (3) Seguimiento, y (4)
Evaluación.
Es importante destacar, que el manejo de las TIC se encuentra dentro de los
contenidos de las unidades curriculares que conforman la Especialidad de Informática,
según la revisión del pensum de estudio de la Especialidad; situación que se diferencia de
otras especialidades, que no incorporan una asignatura Introductoria a la Informática con
contenidos de ofimática u otras formalidades, por lo tanto la institución pareciera que
asume que los estudiantes deben poseer las competencias o adquirirlas por sus propios
medios, tendiéndose quizá a confundir las que pudieran traer aquellos nativos digitales con
las necesarias para una persona que se está formando en la docencia.
Actualmente, teniendo en cuenta que el aprendizaje basado en competencias (ABC)
es un enfoque pedagógico, asumido colectivamente y basado en la vinculación e
interrelación de las materias (cursos), que contribuyen, aportando conocimientos científicos
o técnicos y desarrollando competencias genéricas y específicas; dimensiones en las cuales
el estudiante es el verdadero motor de su aprendizaje, es por lo que se necesita la auto
motivación, control de su esfuerzo, y desarrollo de estrategias cognitivas y meta cognitivas,
que le ayuden al aprendizaje y a la reflexión sobre su aprendizaje. .
PROBLEMÁTICA DE LA INVESTIGACIÓN
Existen agentes principales en el cambio, que de distinto modo intervienen en el
proceso de enseñanza y aprendizaje como son: los directivos, docentes y comunidad
estudiantil, quienes deben coadyuvar esfuerzos para concretar las políticas educativas en el
contexto de las TIC. Las interrogantes claves en este sentido son: ¿Cuál es la Política de la
UPEL sobre la innovación y la formación?, ¿Existe en la Universidad un plan estratégico
que recoge la innovación como un eje clave?, ¿Se formula y se dota de medios y recursos a
los Institutos para la formación y actualización del profesorado?.
Sin la participación activa, constructiva, concensuada, colaborativa, creativa, de este
conglomerado, no se podrá llevar a cabo ninguna reforma, ningún plan de estudio, ninguna
innovación pedagógica; implementar un sistema nuevo de aprendizaje, renovar
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metodologías, incorporar tecnologías, requiere un cambio organizativo e institucional, que
va más allá del profesorado, del estudiante y de la comunidad.
En tal sentido, surgen nuevas interrogantes ¿Qué características presenta el
componente teórico y ontoepistemológico de los cursos de la Especialidad de Informática
en cuanto a los contenidos en el área de la Tecnología Informática?, ¿Qué teoría en uso
utiliza el docente de la Especialidad de Informática de la UPEL?, ¿Qué competencias posee
este docente?, ¿Cuál es su perfil competencial para el abordaje de la Informática en el
proceso de enseñanza y aprendizaje?
Ahora bien, en el contexto estudiantil se debe desarrollar un proceso de “aprender a
aprender”, “aprender a emprender” y “aprender a enseñar”, para que, de manera autónoma
y consciente, descubra y desarrolle competencias que puede adquirir en sus estudios
universitarios; competencias que le ayudarán a mejorar como ser humano individual y
social y, para el buen desempeño de su profesión.
Esto es, competencia para el abordaje de las TIC, por lo que valdría la pena
preguntarse ¿Está el estudiante formado para iniciar un aprendizaje autónomo?, ¿Tiene el
estudiante las capacidades básicas para llevar a cabo este tipo de aprendizaje?, ¿Cuenta con
competencias básicas y específicas, para desarrollar el perfil de egreso de su especialidad?,
¿Es posible superar las debilidades de los estudiantes en el manejo de las TIC?, ¿Tiene la
Universidad respuestas satisfactorias a las necesidades del estudiante, en cuanto a su
formación competencial?. Y por último la pregunta que transversaliza a la presente
investigación ¿La integración de formulaciones teóricas permitirá el desarrollo de
competencias generales y específicas en los docentes para el abordaje de la Informática?
Objetivos de la Investigación
General
Construir aproximaciones Teóricas para desarrollar Competencias de aprendizaje en el
abordaje de la Informática como eje transversal del currículo de la Especialidad de
Informática en la UPEL.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Específicos
Describir el componente Teórico y Ontoepistemológico explícito en los programas
sinópticos de los cursos de la Especialidad de Informática en cuanto a los
contenidos en el área de la Tecnología Informática.
Develar la teoría en Uso de los Docentes de la Especialidad de Informática, en
cuanto a las Competencias en el área de la Informática.
Estructurar el Perfil Competencial del Docente “Formador de Formadores” de la
UPEL, para el abordaje de la Informática.
Integrar Formulaciones Teóricas como primera aproximación a una Teoría
Sustantiva para el desarrollo de Competencias en Informática en Docentes de la
Especialidad de Informática de la UPEL.
RESUMEN DE ELEMENTOS TEÓRICOS Y ENFOQUE METODOLÓGICO
Se sustentó en la Teoría de la Acción (Argyris Schön, 1989), (Habermas, 1989), con
la Teoría de la Acción Comunicativa, Morin (2000, 2001,2003) con la Teoría de la
complejidad y los fundamentos de la UNESCO (2004) en relación con las TIC. Se utilizo
una metódica plural y emergente. Su episteme se ubica en el enfoque cualitativo,
educacional- critico y constructivo-reflexivo. Desde el punto de vista paradigmático, en la
investigación utilizó el método de la construcción y reconstrucción de la Teoría en Uso y el
enfoque de la Teoría Fundamentada (Glasser y Strauss, 1992) y Strauss y Corvit
(1999,2002) y el muestreo teórico. Los informantes clave fueron docentes de la UPEL que
se desempeñan en la Especialidad de Informática en los institutos que Administran dicha
Especialidad. En la gráfico a continuación se detallan:
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Gráfico 1. Vision integral del modelo de la investigacion.
FASES DE LA INVESTIGACIÓN
Esta investigación se desarrollo en diferentes momentos o trayectos a saber:
a) Definición de la temática, b)Inmersión de la investigadora en el objeto de estudio,
c)Estructuración de la teoría base y complementaria y las técnicas e instrumentos a utilizar,
d) Construcción del guión de la entrevista semiestructurada (preguntas directrices) que se
aplico a los informantes clave (docentes) , e)Elaboración de matrices dimensionales para
recabar verbalizaciones e identificación de indicadores, categorías, subcategorías, f)
Aplicación de pasos del Método Comparativo Continuo, Strauss y Corbin (2002) y el
muestreo teórico (contraste continuo),g) Análisis de información, contraste entre teoría
explícita, obtenida del análisis de los textos clave (programas sinópticos, perfil de
formación y la teoría en uso), obtenida de los informantes clave, a través de la entrevista
semi estructurada), h)Contraste del comportamiento de informantes clave (verbalizaciones)
con el Modelo I y II de la teoría de la Acción de Argyris y Schon (1989), i) Construcción de
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la teoría emergente, como teoría sustantiva que oriente el desarrollo de Competencias
Tecnológicas en docentes de la Especialidad de Informática de la UPEL, j) Formulación de
Conclusiones, Recomendaciones.
DE LOS HALLAZGOS Y DE LO EMERGENTE
Retomando el planteamiento del Paradigma Educacional-Critico y Sistémico-Complejo
, en estas décadas cercanas al Siglo XX es conveniente tener presente una razón histórica
proveniente de la Declaración de los derechos humanos , 1948 considerando que un
ciudadano debe ofrecer servicios como actor social y los planteamientos que desde 1996
para el Siglo XXI motivó Delor’s; es así como en esta segunda década del Siglo XXI lo
reciente son los cambios en lo comunicacional ya que involucra las formas de expresiones
humanas y los medios utilizados donde la Educación Basada en Competencias tiene una
visión abierta – dialéctica de los contextos culturales, escenarios y propuestas formativas;
supra el potencial reduccionista laboral y económico e involucra la educación permanente,
en una educación integradora donde la relación docente-alumno deba ser crítica, reflexiva,
creativa, constructiva y considerando un elemento adicional como lo son los medios
informáticos y telemáticos, manteniendo sus ventajas que según el autor Martínez, 1999.
Son: su capacidad expresiva, su interactividad, su flexibilidad, su economía, su
adaptabilidad, su eficiencia.
En cuanto a las Competencias Tecnológicas requeridas los informantes claves
señalaron que son aquellas que para lograr transferencia integran conocimiento, actitud,
habilidad y destreza ubicándose por analogía o asociación complementaria; estableciendo
que las competencias cognitivas se asocian al conocer, las personales básica al ser, las
comunicacionales al convivir, las actitudinales al saber actuar, las metodológicas al
emprender y las procedimentales al hacer o saber hacer. Igualmente entre los rasgos
personales del docente para realizar una integración efectiva y práctica se considera a sí
mismo:
Comprometido con o para un Proyecto educativo tecnológico.
En Actualización permanente.
Demuestra el Interés por su rol ante la sociedad.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Crea un ambiente de aprendizaje presencial o virtual, o mixto.
Manifiesta actitud positiva hacia la informática.
Gestor de acciones para solucionar problemas.
Es guía de proyectos científicos tecnológicos o forma parte de ellos.
De modo grafico se aproximan sus tres niveles de abstracción en la fig. 2.
Gráfico 2. Heurística perfil competencial docente informática propuesto.
DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMERGENTE
Competencias Tecnológicas Básicas: las personales básica al Ser.
Competencias Tecnológicas Específicas
Tecnológicas especificas “esencia”.
Pensamientos reflexivos, críticos, transformador.
Permite incorporar conocimiento nuevo.
Confía más en la razón que en la emoción con forma multidisciplinar.
Es dinámico y promueve la creatividad.
Investigativa: actor social.
Dominio Ontológico: visión del mundo de la realidad – sociedad – tecnología que
maneja el docente de informática “conocer” y saber “como ser”.
Dominio Epistemológico: postulados del docente. Manejar medios y paquetes de
software y hardware.
Competencias Tecnológicas Procedimentales
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Permite la Transferencia Tecnológica del conocimiento a la praxis, siendo que dicho
docente asume el empoderamiento de las competencias, con énfasis en:
Transformar la realidad.
Manejo idóneo de las TIC.
Manejo instrumental de las TIC.
Incorporar acciones creativas en manejo de TIC´S.
Dominio de técnicas informáticas.
Manejo adecuado de las evaluaciones en la enseñanza con TIC´S.
Dominio de estructuras de cursos, metáforas, foros, chats, blogs, video conferencias,
video, radio y TV educativas entre otros recursos disponibles en Redes para
distintas plataformas libres o privadas.
Competencias Tecnológicas Actitudinales: las competencias sociales
Este aspecto lo podemos caracterizar como las competencias sociales en “Saber
cómo ser”, “Saber cómo actuar”, es decir empleando elementos de valores como
Solidaridad, paz, ambiente armónico, elemento humano, perspectiva social del
conocimiento, bien colectivo, respeto al discurso, respeto a la diversidad; ello con el fin de
generar:
Autoconfianza.
Auto motivación.
Comunicación interpersonal.
Relación con los pares.
Disposición a ayudar, respeto, humildad, vocación de servicio, gestionar conflictos.
Se sugiere entonces involucrar valores, contextos y actores sociales para un ser
proactivo que se muestre:
Respetuoso del discurso.
Critico.
Investigativo.
Reflexivo.
Andragogo.
Heurístico.
Interprete del aprender del otro sin importar su nivel de formación.
Competencias Tecnológicas – Metodológicas
Son aquellas que desarrollan el pluralismo metodológico, encontrándose unas
subcategorías en los hallazgos como fueron: los métodos, la formación docente. El
ambiente, los procesos. Se ha sugerido para este caso incorporar las competencias
tecnológicas en el perfil del egresado sustentada en estructura: Axiomática, Teórica,
Epistemológica, Ontológicas, Metodológicas, Comunicativa, Estéticas, Ética. Todo ello
bajo un enfoque: holístico y transdisciplinario. El componente metodológico permitirá tener
Autores y Actores Sociales tomadores de decisiones, defensores de sus convicciones,
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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catalizadores de posibles frustraciones del contexto. El perfil tecnológico metodológico del
docente de Informática debe propiciar:
Ser observador permanente.
Manejar el pluralismo metodológico en sustitución de la aplicación de un solo
método.
Manejar rutas de indagación.
Manejar lo emergente.
Manejar la diversidad.
Aplicar técnicas de recolección y análisis de datos e información en el área de la
tecnología.
Lo nuevo en la manera de comunicarnos
Ha emergido una categoría denominada Tecnologías Comunicacionales (2n), donde se
ha planteado que existan ,asumiendo una metáfora del contexto de manera binaria no
excluyente de acuerdo a la lógica booleana, 2 Dimensiones: competencia lingüística,
competencia escritural, cuya superficie de sustento se construye a través de: lo fonológico -
morfológico, semántico, argumentativo (no lineal), sintáctico pragmático, tendencias que
por afinidad tiene un carácter similar al término multimedia en las tecnologías, donde se
maneja su propia lingüística, sociolingüística, pragmática y psicolingüística. Su cualidad
heurística implica:
Innovación.
Desarrollo del pensamiento divergente y la creatividad.
Resolución de problemas.
Aprendizaje por descubrimiento.
Ahora bien ¿Como demostraría un docente de informática su perfil competencial
tecnológico comunicacional?, la respuesta sería manisfestando cotidianamente:
Expresiones claras y socializadoras.
Pensamiento abierto y divergente.
Discursividad
Fluidez en la comunicación oral y escrita.
Argumentatividad de sus acciones.
Critico constructivo.
Líder contingencial.
Promotor de cambio social en el área tecnológica.
A MODO DE CIERRE UN SISTEMA DE GESTIÓN COMUNICACIONAL DE
COMPETENCIAS
Se identifica por su Modelado Dinámico, la presencia de lo heurístico, ser abierto y
flexible, manteniendo tres (03) niveles de abstracción, pluralista emergente – complejo ,
competencial y competitivo apreciado en la fig. 3.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Gráfico 3. Perfil competencial del docente de informática de la upel propuesto
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EDUCACIÓN Y TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?
Gabriela Gardié
@gabrielagardie
UPEL Maracay – NICRED
RESUMEN
La tecnología está presente en todos los ámbitos del quehacer humano, desde el
privado y personal hasta el laboral y público; va desde el uso de un horno micro-ondas
hasta el de un teléfono celular, pasando por computadoras, geolocalizadores, entre otros.
Evidentemente, la educación no escapa a su influencia y ésta genera cambios en el modo de
asumir el proceso de enseñanza y de aprendizaje, nacen nuevos enfoques y métodos
pedagógicos, así pues, el propósito de esta conferencia es exponer cuáles de estos avances
están impactando en el ámbito educativo y las consecuencias de este hecho. En su
contenido abordaremos la computación en nube, la realidad aumentada, la robótica
educativa, los cursos masivos en línea conocidos como MOOCS y los videojuegos.
Observaremos cómo los elementos tecnológicos, pensados en primera instancia para
aumentar la eficiencia de las empresas, juegan hoy día un papel relevante en lo que se ha
denominado “la educación del futuro” según lo expone Downes (2012), pensada más allá
de las paredes de los recintos educativos para satisfacer las demandas de la sociedad en
cuanto al aprendizaje para la vida, la educación no formal e informal, que como sabemos,
se han constituido en una deuda a saldar con la sociedad actual.
Descriptores: Educación, MOOCS, Realidad Aumentada, Videojuegos, Robótica.
CONFERENCIA
Hablar de tecnología es hablar de un mundo en constante cambio, algunos de ellos,
relativamente violentos; sin embargo, cuando discurrimos entre la tecnología y la
educación, estos cambios parecen desacelerarse y difuminarse en un mar aparentemente
tranquilo.
Refiere Fernández (2013) que “el avance en el mundo digital es gobernado por la
Ley de Moore: El número de transistores que se pueden integrar en un chip se duplica cada
18 meses” (Ciudadanos – 6). Algo que parece, relativamente sencillo, tiene una importancia
transcendental porque nos abre los ojos a la velocidad de transformación de la tecnología y
ello, necesariamente, impacta en nuestro quehacer educativo porque demanda cambios en
los perfiles laborales, cambios curriculares, nuevos modelos educativos, la discusión de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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otras teorías de conocimiento y de aprendizaje, nacen enfoques pedagógicos, formas de
comunicación, valores éticos, formas de entretenimiento y de vivir. En una suerte de
espiral sin fin, estos cambios exigen nuevas tecnologías, las cuales, a su vez, exigen nuevos
perfiles laborales que deben ser satisfechos con nuevos diseños curriculares y dan origen a
modelos y enfoques pedagógicos, a otras formas de interacción, otros valores, etc.
Los educadores no debemos perder de vista que los avances tecnológicos no están
dirigidos, en primera instancia, al ámbito educativo; al contrario, surgen para satisfacer
demandas empresariales bien sea para aumentar la producción, disminuir costos, maximizar
inversiones, apalancar la empresa, generar nuevos modos de marketing y la obtención de
nuevos targets; quizás por eso sentimos que las universidades van siempre un paso atrás;
sin embargo, nuestra responsabilidad no es crear tecnología, es ajustarla, es darle el mejor
uso posible en el contexto educativo y satisfacer demandas sociales de diversa naturaleza.
Considero importante que iniciemos con un concepto interesante conocido como
cloud computing, es decir: computación en nube o servicios en la nube, informática en la
nube, nube de cómputo o nube de conceptos, como quiera que la llamemos, nació para
satisfacer la necesidad de respaldar, digitalmente, el enorme volumen de datos que
diariamente se produce en el mundo. La idea de respaldar, de tener acceso constante a estos
datos y de protegerlos de intrusos y de malware es lo que originó ésta nueva forma de
trabajar. Es importante destacar que, según lo expone Real (2010), la computación en nube
comenzó como un servicio provisto en Internet a gran escala por compañías como Google,
Amazon AWS, Microsoft y otros que construyeron su propia infraestructura, quienes,
incluso, desarrollaron su propia infraestructura para ellos mismos y para, posteriormente,
comercializar la idea.
La computación en nube, es decir, el espacio virtual para almacenamiento, impulsó
la creación de nuevas herramientas tecnológicas dirigidas a propiciar el acceso a los datos
sin restricción de tiempo ni de espacio, lo que a su vez, impulsó el trabajo colaborativo en
redes, nuevas formas de producción, nuevos mercados y modificó las redes sociales. A este
respecto, Mitra (2011) señala que con la computación en nube “toda nuestra información
relevante, ya sean documentos, aplicaciones, software de edición, etc., están
permanentemente a nuestra disposición, independientemente de donde nos
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encontremos, y podemos acceder a ellos en cualquier momento mientras tengamos una
conexión a Internet” (s/p).
Esta nueva manera de hacer las cosas le dio un giro a nuestra vida y dotó de otra
perspectiva a la Educación a Distancia (EaD) con soporte electrónico o Elearning, el mismo
concepto de las tecnologías que evolucionaron para permitir el resguardo de los datos en
espacios virtuales es el empleado para soportar los espacios virtuales de aprendizaje.
En nuestro caso, Arias (2012), señala que en Venezuela, la mayoría de las
instituciones trabajan con la modalidad presencial e indica que en el país:
La mayoría de las universidades mantienen la hegemonía de la modalidad
presencial. Esto es debido a tres grandes problemas que en la actualidad enfrenta
la Educación Superior en el país para la implementación de modalidades de
estudios no convencionales, los cuales son de índole económico, político y de
recursos humanos (p. 66).
No obstante, en el seno de las universidades venezolanas se hacen esfuerzos por
cambiar esta realidad, hemos visto como podemos ofrecer a nuestros participantes aulas
virtuales, materiales didácticos digitales, mejorar el contacto con nuestros participantes
utilizando las redes sociales y el microbloging entre otras herramientas.
De las aulas o entornos virtuales pasamos a los entornos personales de aprendizaje
(PLE por sus siglas en ingles). Attwell (2007) nos explica que los PLE nacieron de los
movimientos y la presión ejercida por las comunidades para el aprendizaje informal, el
aprendizaje no formal y el aprendizaje para la vida, además del aprovechamiento de los
estilos de aprendizaje, se sostiene en las tecnologías de información y comunicación,
software social y el aprendizaje ubicuo.
Por su parte, Van Harmelen (en Attwell, 2007) argumenta que un PLE puede ser
definido como un sistema que le permite a los participantes tomar el control y administrar
su propio proceso de aprendizaje, por ello, un PLE debe incluir no sólo los contenidos sino
también un soporte de ayuda para determinar las metas de aprendizaje individuales y las
evaluaciones de los logros de aprendizaje.
Los entornos virtuales de aprendizaje y los PLE suelen estar limitados por motivos
tecnológicos y por los procesos administrativos de las instituciones que los ofertan; sin
embargo, en poco tiempo y debido a la presión de la sociedad, se dio un salto cuántico y en
el año 2008 nacen los MOOCS, es decir, los Cursos en Línea Masivos y Abiertos (Massive
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Open Online Course). Tal como lo señalan Santamaría (2012) y Downes (2012), con los
MOOCS se pretende mejorar la oferta de cursos de pregrado, el aprendizaje para la vida, el
aprendizaje no formal y el informal, asimismo, se basa en que el conocimiento debe ser
libre para que llegue a más personas. Asimismo, estos autores señalan que el término fue
acuñado por Dave Cormier y Bryan Alexander cuando el número de inscritos a su curso
“Connectivism and Connective Knowledge” aumentó a casi dos mil trescientos (2300)
estudiantes. Estos autores indican que cuando se habla de un MOOC, hablamos de un curso
cuya matrícula puede estar por encima de 160.000 participantes.
Otro aspecto interesante de los MOOCS es que, al ser un curso masivo, los
contenidos no deben tener “color local”, por ello deben plantearse desde una perspectiva
globalizadora considerando que cualquier persona que esté interesada puede participar en
él. Claro está, como cualquier persona puede participar, en un mismo curso pueden
coincidir participantes de diferentes países con distintos niveles educativos y con sus
propias expectativas.
Otro aspecto a considerar es que, precisamente, al ser masivos, cada participante tiene
sus propias necesidades de conocimiento y sus propias expectativas de aprendizaje, por
ello, cada curso tiene estructura de red, es decir, no existe un contenido inicial y un
contenido final ni prelaciones, cada participante diseña su propio camino de aprendizaje.
Evidentemente, la generación y mantenimiento de un MOOC demanda un soporte
tecnológico bien establecido, con “granjas de servidores” y un servicio de conexión a
Internet de banda ancha estable con excelente velocidad de conexión además de un recurso
humano con preparación en diversas áreas, por ello, no es un esfuerzo que pueda asumir
una sola institución educativa, por ello vemos los proyectos generados en conjunto por la
Universidad Estatal de Utah, la Universidad de Stanford, la Universidad Yale, la
Universidad de Princeton, la Universidad de Michigan, el Instituto Tecnológico de
Massachusetts, la Universidad de Berkeley - California ; así como el Instituto Tecnológico
de Monterrey en conjunto con la Universidad Rey Juan Carlos. También destacan, en
nuestro idioma, la Universidad Politécnica de Madrid con el soporte de la Red Temática de
Criptografía y Seguridad de la Información, la Universidad de Granada y la Universidad
Nacional de Educación a Distancia de España.
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En los actuales momentos, los generadores de los MOOC y las instituciones que los
sostienen están discutiendo nuevos aspectos de infraestructura y de movilidad para hacerlos
más accesibles con aplicaciones en los celulares, mejorar los sistemas de administración de
archivos en la nube y solventar algunos inconvenientes que se generan con los picos de
descarga masiva de contenidos, sobre todo los asociados al consumo de electricidad y de
ancho de banda.
Otro asunto a discutir en torno a los MOOCS trata de las dos teorías de aprendizaje
asociadas a ellos: Educación Disruptiva y el Conectivismo. Hasta los momentos, ambas
han sido tratadas como enfoques pedagógicos y no como nuevas teorías.
Al respecto, Santamaría (2012) comenta que la Educación Disruptiva tiene como base
el rompimiento de los modelos pedagógicos y los esquemas de aprendizaje tradicionales.
Se trata de “romper” lo establecido buscando nuevas vías de acción fuera de las paredes de
las universidades por cuanto se considera que éstas no dan respuestas a las necesidades de
formación informales y no formales, las cuales tienen, hoy día, mayor demanda que la
formación tradicional y formal. Aunado a ello, existe la necesidad de aprender desde las
comunidades y en sus propias interacciones, situación ésta que es ajena a las universidades
y no puede ser reproducida en ellas.
Por su parte, Downes (2012) sostiene, en cuanto al Conectivismo que:
El conocimiento personal, partiendo del individuo, se hace de una red, que
alimenta de información a organizaciones e instituciones, que a su vez
retroalimentan información en la misma red, que finalmente termina proveyendo
nuevo aprendizaje al individuo. Este ciclo de desarrollo del conocimiento
permite a los aprendices mantenerse actualizados en el campo en el cual han
formado conexiones. (s/p).
No obstante, los MOOCS no son lo único nuevo en cuanto a educación y tecnología
se refiere; así pues, echemos un vistazo a otros desarrollos tecnológicos que se has asociado
al campo educativo con interesantes resultados:
Desde hace muchos años, el hombre ha iniciado la construcción de autómatas con la
finalidad de divertir al público, posteriormente, con el desarrollo tecnológico, estos
autómatas primitivos se convirtieron en el punto de partida de los robots, creaciones
tecnológicas automatizadas empleadas en la industria con fines productivos (brazos
mecánicos para soldadura); con fines bélicos (los exploradores para ubicar campamentos,
brazos mecánicos controlados a distancia para desarmar explosivos) con fines de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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exploración y de investigación (orugas submarinas y los enviados a explorar Marte), con
fines médicos (Da Vinci que realiza micro-cirugías).
Los robots dan un salto al ámbito educativo y se comienza a hablar de la robótica
educativa, esto es, en palabras de Del Mar (2010):
El conjunto de actividades pedagógicas que apoyan y fortalecen áreas específicas
del conocimiento y desarrollan competencias en el alumno, a través de la
concepción, creación, ensamble y puesta en funcionamiento de robots.
El objetivo de la enseñanza de la robótica es lograr una adaptación de los alumnos
a los procesos productivos actuales, en donde la Automatización (Tecnología que
está relacionada con el empleo de sistemas mecánicos, electrónicos y basados en
computadoras; en la operación y control de la producción) juega un rol muy
importante. (s/p).
Importantes universidades venezolanas, en donde destacan la Universidad Simón
Bolívar y la Universidad Católica Andrés Bello, han incursionado con mucho éxito en la
robótica. En el primer caso, desde la facultad de ingeniería se han construido brazos
mecánicos y orugas exploratorias, ello con el financiamiento de empresas que invierten en
los laboratorios de la universidad, tal es el caso de Toyota Corp.
Por su parte, desde la Universidad Católica Andrés Bello, se generó un proyecto para
acercar la robótica a las escuelas bajo las premisas de que, con la robótica educativa los
participantes (niños y jóvenes) pueden aprender experimentando (aprendizaje por
experiencia), ser más organizados, pueden desarrollar habilidades de trabajo en grupo y de
aprendizaje cooperativo, entre otros. Aunado a ello, los docentes propician un acercamiento
diferente a las matemáticas, la física, la informática, la lengua, la geografía, el cuidado
medio ambiental, entre otros. Hoy día, este proyecto ha salido fuera de las fronteras de
Venezuela y abarca otros países como Costa Rica.
Otro desarrollo tecnológico interesante que nació para satisfacer la industria del
entretenimiento son los videojuegos y éstos también se han hecho un espacio en el ámbito
educativo. Es importante destacar que los videojuegos, en la actualidad, no se juegan en
solitario, al contrario, se aprovecha de las características de las redes sociales en términos
de compartir intereses y hobbies, integración, conformación de grupos más fuertes que el
individuo, entre otros.
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Ahora bien, pudiéramos preguntarnos cuál es el impacto de los videojuegos en la
educación y la respuesta se hace difícil ya que no es evidente. Al respecto, Peña, J.;
Fernández, E. y Kiriloff, S. (2012) señalan que:
Los videojuegos permiten aumentar la motivación para el aprendizaje de diversas
materias como las matemáticas y las ciencias. Además pueden ser utilizados
como entrenamiento eficaz en programas de tipo viso-motor, desarrollo del
pensamiento reflexivo, mejora de las habilidades de los pilotos de avión, reducir
el número de errores de razonamiento, conseguir un mayor control de los tiempos
de reacción, y servir de enfrentamiento ante situaciones vitales que pueden ser
simuladas, como es el caso de la resolución de problemas, tema en el que se
muestran muy eficaces. (p. 33)
Asimismo, Castronova (citado en Peña, J.; Fernández, E. y Kiriloff, S. (2012)
indica que:
El uso de los mundos virtuales y video juegos es muy positivo en determinados
aprendizajes y entrenamientos, tal y como se demuestra en el terreno del
tratamiento de los problemas de aprendizaje, la ayuda para resolver problemas,
para responder a cuestiones relacionadas con la escuela, las drogas, la familia,
aspectos morales (p. 33)
Aunado a ello, el uso de los videojuegos bajo la técnica de la inmersión permite que
el participante entre en contacto con roles, los cuales deberá asumir, para cumplir las tareas
encomendadas, deberá trabajar en equipo desarrollando habilidades de liderazgo, tendrá un
aprendizaje colaborativo y desarrollará algunas destrezas asociadas con la motricidad fina,
la agudeza visual y la velocidad mental para la toma de decisiones.
Sin embargo, algunos investigadores, tal como lo indican Peña, J.; Fernández, E. y
Kiriloff, S. (2012), señalan que los videojuegos también tienen elementos negativos:
Uno de los puntos negativos de los videojuegos se centra, en la personalidad de
los jugadores cuyos efectos se pueden incitar a la violencia y la discriminación de
género (Escofet A, Rubio M. 2007). La mayoría de los videojuegos fomentan las
actitudes violentas y agresivas, que como se ha comprobado tienden a repetirse
en la conducta de los niños y adolescentes.
Es también evidente la existencia de estereotipos donde las gráficos femeninas,
aparecen en menor proporción, y cuando lo hacen tienden a ser representadas en
actitudes pasivas, dominadas o secundarias, mientras que los varones están más
representados, en actitudes más activas y dominadoras. (p. 34).
Por ello, es necesario hacer hincapié en el rol mediador del docente y la necesidad de
seleccionar con mucho cuidado el videojuego y los roles de inmersión que serán ejecutados
por los estudiantes.
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Por último pero no menos importante, la Realidad Aumentada da un salto desde el
campo de la mercadotecnia y cae en el campo educativo. ¿De qué se trata?
Azuma (1997) indica que la realidad aumentada:
Es el término que se usa para definir una visión directa o indirecta de un entorno
físico del mundo real, cuyos elementos se combinan con elementos virtuales para
la creación de una realidad mixta en tiempo real. Consiste en un conjunto de
dispositivos que añaden información virtual a la información física ya existente,
es decir, añadir una parte sintética virtual a lo real. (s/p).
De acuerdo con este autor, la Realidad Aumentada:
Combina elementos reales y virtuales.
Es interactiva en tiempo real.
Está registrada en 3D.
Curiosamente, otros desarrolladores como Milgram y Kishino citados por Azuma
(1997) definen la realidad como un continuo que abarca desde el entorno real a un entorno
virtual puro. Entre medio hay Realidad Aumentada (más cerca del entorno real) y
Virtualidad Aumentada (está más cerca del entorno virtual).
La Realidad Aumentada también puede definirse como la incorporación de datos e
información digital en un entorno real, por medio del reconocimiento de patrones que se
realiza con el uso de unas aplicaciones tecnológicas diseñadas para tal fin. Cabe señalar que
la Realidad Aumentada se ha desarrollado a pasos agigantados y está abarcando ámbitos
como el de los videojuegos, mass media, arquitectura, medicina y, por supuesto, educación.
Respecto a la vinculación de la Realidad Aumentada con la educación, Muñoz (2013)
explica que:
a) Los libros de texto mejorarían su nivel de interactividad, permitiendo
visualizar objetos en 3D, integrando ejercicios en donde el alumno/a pudiese
explorar dichos objetos desde todas las perspectivas posibles. Por ejemplo,
pensemos en principios básicos de anatomía, en artefactos de ingeniería o en
obras de arte que pudiésemos ver desde diferentes ángulos.
b) La realidad aumentada también permitiría conocer información sobre
ubicaciones físicas concretas o, inclusive, que profesores, alumnos y familias
puedan crear itinerarios, escenarios y experiencias basadas en la
geolocalización.
c) Es una tecnología que puede resultar muy interesante para que los más
pequeños exploren su realidad más cercana desde otra perspectiva.
d) También es posible integrar la RA a través de metodologías de trabajo más
activas y de corte constructivista como WebQuests, mejorando la motivación
del alumnado y contribuyendo al aprendizaje por descubrimiento.
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e) Desde el punto de vista del e-learning, puede integrarse en cursos on-line para
la adquisición de aprendizajes prácticos e inclusive incorporarse a través de
juegos virtuales basados en el reconocimiento gestual y la geolocalización.
f) Otra de las ventajas de uso de realidad aumentada es su integración con
diversas áreas curriculares como matemáticas, ciencias, educación física,
idiomas, conocimiento del medio, etc. (s/p).
Ahora bien, dado que el título de esta conferencia es “EDUCACIÓN Y
TECNOLOGÍA ¿HACIA DÓNDE APUNTA EL ASUNTO?” pudiésemos intentar dar
algunas respuestas en el caso de Venezuela y éstas solamente serían aproximaciones.
Algunos elementos a considerar para responder, son los siguientes:
a) La tecnología en el ámbito educativo requiere de fuertes inversiones debido al alto
costo de los equipos, incluso, cuando se trata de hardware y software libre,
satisfacer los requerimientos y el mantenimiento que demandan requiere inversión.
La visión de la universidad venezolana, hasta el momento, es que la tecnología es
un costo y, normalmente, está subutilizada.
b) Existe la necesidad de contar con un talento humano que realice las adaptaciones
tecnológicas al ámbito educativo, que pueda hacer las evaluaciones del impacto que
tiene el uso de la tecnología en estos espacios. Hasta el momento, esta oferta laboral
no resulta atractiva para las nuevas generaciones de profesionales que tienen las
competencias para ello.
c) Es preciso contar con leyes y normativas más flexibles que les permitan a las
organizaciones de educación universitaria responder de manera más efectiva a las
demandas sociales. Aunado a ello, es necesario abrir espacios de discusión e
incorporar los nuevos paradigmas, enfoques y teorías de aprendizaje asociados al
uso de las tecnologías como forma de producción y validación académica.
d) Existe la necesidad de formar nuevos profesionales con perfiles laborales
actualizados, lo cual demanda nuevos diseños curriculares y docentes con otra
formación más allá de las disciplinas básicas.
Evidentemente, cada uno de nosotros tendrá su propia respuesta a esta pregunta un
tanto incómoda.
REFERENCIAS
Arias, L. (2012). Hacia una comunicación afectiva de los materiales didácticos elaborados
para la enseñanza virtual. En Gardié, Camacho y Kiriloff (Comp) Las TICS en
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Subdirección de Investigación y Postgrado.
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http://edutechwiki.unige.ch/en/Personal_learning_environment [Consulta: 15, Agosto 2013]
Azuma, R. (1997). Realidad Aumentada y educación. [Documento en línea] Disponible en:
http://www.tendenciaseducativas.es/index.php?option=com_content&view=article&id
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Del Mar, A. (2010). Robótica Educativa. [Documento en línea] Disponible en: http://edurobotica.blogspot.com/2010/12/nueve-competencias-desarrollar-con-la.html
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Downes, S. (2012). La condición semántica: conectivismo y aprendizaje abierto. [Video en
línea]. Disponible en: http://redesoei.ning.com/video/la-condicion-semantica-
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Fernández, F. (2013). Nuevos chips cambiarán tabletas y laptos. El Nacional, Cuerpo
Ciudadanos, p. 06 del 25/08/13.
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línea] disponible en: http://www.el-nacional.com/bbc_mundo/colegio-nube-
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Muñoz, P. (2013). La realidad aumentada y su aplicabilidad en el ámbito educativo.
[Documento en línea] Disponible en: http://blogs.elpais.com/traspasando-la-
linea/2013/07/la-realidad-aumentada-y-su-aplicabilidad-en-el-%C3%A1mbito-
educativo.html [Consulta: 23, Agosto 2013]
Peña, J.; Fernández, E. y Kiriloff, S. (2012). Juegos de rol en línea como herramienta para la
inmersión educativa, en Gardié, Camacho y Kiriloff (Comp) Las TICS en educación.
Nuevas miradas desde el quehacer docente. Venezuela: UPEL Maracay – Subdirección
de Investigación y Postgrado.
Real J. (2010). Educación en la nube. [Documento en línea de la Universidad Autónoma de
Madrid] disponible en: http://bit.ly/LWgSjm [Consulta: 15, Agosto 2013]
Santamaría, F. (2012). Los MOOCs: un cambio de estrategia más que un hecho disruptivo.
[Documento en línea] disponible en: http://www.relpe.org/ultimasnoticias/los-moocs-un-
cambio-de-estrategia-mas-que-un-hecho-disruptivo/ [Consulta: 15, Agosto 2013]
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FORO
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APORTES DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN “PERSPECTIVAS DEL
ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO” A LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA EN VENEZUELA
Mario José Arrieche Alvarado
Universidad Pedagógica Experimental Libertador-Maracay-Venezuela
Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr, Emilio Medina” (NIEM)
RESUMEN
El desarrollo de la Educación Matemática en Venezuela es evidenciado por la
producción científica generada de los grupos de investigación que coordinan las líneas de
investigación que conforman los núcleos y centros de investigación existentes en nuestro
país, citándose por ejemplo las líneas de Arrieche (2003), Ortiz (2003), González (2003),
Rojas (2003 adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio
Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta
ponencia tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad Educadores
matemáticos de la región los productos investigativos que se han generado hasta el
momento y los que actualmente están en desarrollo, realizados bajo el enfoque
ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, 2003). Intitulada
“Aportes de la línea de investigación perspectivas del enfoque semiótico antropológico a la
Educación Matemática en Venezuela”, línea, que se sustenta en los sustentos del enfoque
semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática, y que actualmente se conoce
con el nombre de enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,
registrada en la coordinación general de investigación de la UPEL-Maracay, y propuesta
por Arrieche (2003).
Palabras clave: Educación Matemática, disciplina científica, enfoque ontosemiótico,
Educador matemático.
INTRODUCCIÓN
La Educación Matemática en Venezuela se encuentra en pleno proceso de desarrollo
y de consolidación como disciplina científica, el cual ha sido impulsado por la
conformación de Asociaciones, tanto a nivel regional como nacional, integradas por todos
los profesionales que laboran en la enseñanza de la Matemática de los diferentes niveles del
Sistema Educativo y que se encargan de organizar, coordinar y realizar Simposios,
Congresos, Jornadas y toda clase de eventos correspondientes a esta ciencia;
constituyéndose estos últimos en escenarios propicios para divulgar y valorar la
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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producción científica generada de los grupos de investigación que coordinan las líneas de
investigación que conforman los núcleos y centros de investigación existentes en nuestro
país, citándose por ejemplo las líneas de Arrieche (2003), Ortiz (2003), González (2003),
Rojas (2003 adheridas al Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio
Medina” de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador sede Maracay. Esta
conferencia tiene como propósito fundamental dar a conocer a la Comunidad de
Educadores matemáticos de Latinoamérica los productos investigativos que se han
generado hasta el momento, y los que actualmente están en desarrollo, realizados bajo el
enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, 2003);Intitulada
“Aportes del enfoque ontosemiótico a la Educación Matemática en Venezuela”, enfoque,
en cuyos fundamentos teóricos se sustenta la Línea de investigación perspectivas del
enfoque semiótico antropológico para la Didáctica de la Matemática, y que actualmente se
conoce con el nombre de enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática,
registrada en la coordinación general de investigación de la UPEL-Maracay, y propuesta
por Arrieche (2003). El trabajo se realizó tomando como base la descripción de la línea de
investigación en referencia y sus productos investigativos.
Cabe destacar que en este trabajo destacaremos más los aportes dados a los
postgrados, existentes en el país, relacionados con la Educación matemática en cuanto a
trabajos de grado de especialización, maestría y tesis doctorales.
DESCRIPCIÓN DE LA LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: PERSPECTIVAS DEL
ENFOQUE SEMIÓTICO ANTROPOLÓGICO PARA LA DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA (LIPESA)
La línea de investigación (LIPESA) que proponemos se centra en el área de
conocimiento Didáctica de la Matemática, considerada ésta como el campo más general de
la Educación Matemática, y una de sus principales finalidades es identificar y resolver los
problemas que surgen en la enseñanza, el aprendizaje y la comunicación de conocimientos
matemáticos para optimizar los procesos correspondientes.
Consideramos que la investigación en Didáctica de la Matemática debe afrontar el
problema del análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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toda su complejidad, situados en el seno de los sistemas didácticos. Aunque una
investigación particular tenga que centrarse en aspectos específicos (análisis
epistemológico y/o cognitivo de un concepto, o un reducido campo de problemas), no se
debe perder de vista la perspectiva sistémica, y tratar de desarrollar modelos teóricos que
articulen las facetas epistemológica, cognitiva Experimental Libertador e instruccional.
La solución de problemas de investigación en Didáctica de la Matemática (y en
cualquier otra área de conocimiento), con criterios de calidad científica, precisa realizar un
trabajo sistemático y disciplinado que garantice la validez y fiabilidad de las afirmaciones
pretendidas, es decir, debe estar guiada por una metodología adecuada de investigación y
por instrumentos teóricos adaptados a las peculiaridades de la investigación requerida. En
tal sentido, en esta línea de investigación se pretende analizar las relaciones entre teoría,
problemas y métodos de investigación en Didáctica de la Matemática, particularizada en el
caso del enfoque que Godino y Batanero (1994) denominan “semiótico-antropológico” en
Didáctica de la matemática en el que vienen trabajando desde 1993 en el seno del grupo de
investigación “Teoría y Métodos de investigación en Educación Matemática” de la
Universidad de Granada-España y que actualmente se conoce con el nombre de enfoque
ontosemiótico (EOS) de la cognición e instrucción Matemática (Godino, 2003, Godino,
Contreras y Font, 2006). (Véase la página Web:
http://www.ugr.es/local/jgodino/semioesp/indices.htm).
Con la expresión “enfoque semiótico-antropológico” se describe el modelo teórico para
la Didáctica de la Matemática que adopta la noción de significado como clave para analizar
la actividad matemática y los procesos del conocimiento matemático. No se trata de un
modelo teórico acabado sino de un sistema de nociones en proceso de elaboración y
desarrollo cuya idea impulsora consiste en tratar de articular dentro de un sistema
coherente las dimensiones epistemológicas, cognitivas e instruccionales puestas en juego en
la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, adoptando nociones semióticas como
enfoque integrador.
Entre las nociones teóricas adoptadas que usaremos en el estudio de las tres
dimensiones mencionadas, propuestas en este modelo para el análisis didáctico, están las
de "significado institucional y personal de un objeto matemático" (Godino y Batanero,
1994). Tales significados se conciben como los sistemas de prácticas (operativas y
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discursivas) realizadas por una persona (o en el seno de una institución) para resolver un
campo de problemas matemáticos. En el análisis de los significados institucionales de un
objeto matemático interesa distinguir cuatro tipos: de referencia, pretendido, implementado
y evaluado (Godino, 2003, p.138).
Significado de referencia: Es lo que representa el objeto para las instituciones
matemáticas y didácticas. Son las prácticas operativas y discursivas inherentes al objeto
matemático que se fija como objeto institucional y que es el producto de las orientaciones
de los expertos y del análisis de los currículos.
Significado pretendido: Es el sistema de prácticas que se planifican sobre un objeto
matemático para un cierto proceso de instrucción.
Significado implementado: Es el sistema de prácticas (operativas y discursivas) que
efectivamente tiene lugar en la clase de matemática, las cuales servirán de referencia
inmediata para el estudio de los alumnos y las evaluaciones de los aprendizajes.
Significado institucional evaluado: Son las tareas o cuestiones que incluyen las pruebas de
evaluación y pautas de observaciones de los aprendizajes.
En cuanto al significado personal (el del estudiante) es posible hablar de significado
global, declarado y logrado (Godino, 2003, p.139).
Significado global: Es la totalidad del sistema de prácticas personales que es capaz de
manifestar potencialmente el alumno para resolver un campo de problemas.
Significado declarado: Da cuenta de las prácticas efectivamente expresadas a propósito de
las pruebas de evaluación propuestas, incluyendo los aciertos y los desaciertos desde la
perspectiva institucional.
Significado personal logrado: Se corresponde con las prácticas manifestadas y que son
conformes con la pauta institucional establecida. El significado declarado en desacuerdo
con el establecido institucionalmente es lo que usualmente se denominan errores de
aprendizaje.
Los sistemas de prácticas que una institución considera apropiados para resolver
un tipo de tareas son denominados por Chevallard, Bosch y Gascón (1997) una
praxeología matemática, noción que podemos asimilar con la que Godino y Batanero
denominan "significado institucional de un objeto matemático". La interpretación de las
praxeologías como significados de los objetos matemáticos (teorías, contenidos u
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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organizaciones matemáticas) supone la adopción de una epistemología de tipo pragmatista
y relativista (en consonancia con la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein). Estas
entidades se conciben como sistemas formados por distintos elementos agrupables en dos
categorías:
(a) Dimensión praxémica (praxis), formada por el campo de problemas, las técnicas
(operaciones, procedimientos) y los elementos notacionales o lingüísticos puestos en
juego.
(b) Dimensión discursiva (logos), formada por los conceptos, propiedades y
argumentaciones que regulan, organizan y estructuran los componentes praxémicos.
La noción de praxeología nos proporciona una herramienta potente para analizar la
variedad de significados atribuidos a un contenido matemático cualquiera. Para
seleccionar los aspectos de dicho contenido viables en un nivel y contexto educativo es
necesario disponer de las diversas posibilidades e identificar sus elementos constituyentes,
así como tener en cuenta las relaciones ecológicas entre los objetos matemáticos
involucrados (Godino, 1993).
Por otra parte, para describir y explicar los logros y dificultades de los estudiantes
tenemos que analizar con suficiente detalle el proceso de estudio, los patrones de
interacción docente-discente a lo largo del proceso, así como la trama compleja de objetos
matemáticos y relaciones que constituyen el conocimiento pretendido. Con dicho fin las
nociones de "praxeología didáctica" y "función semiótica" pueden ser herramientas
conceptuales útiles.
La noción de praxeología didáctica (Chevallard, 1997) se corresponde con la de
praxeología matemática, pero en este caso el componente praxémico se refiere a las tareas
del profesor y del alumno, las técnicas de estudio, y de ayuda al estudio. Para el profesor,
en el momento de la planificación de la enseñanza, se trata de diseñar una praxeología
matemática viable y en el momento de realización de la instrucción se trata de decidir y
aplicar las técnicas de ayuda al estudio mejor adaptadas.
Un aspecto integrante de la praxeología didáctica es la distribución en el tiempo de
las diversas funciones docentes y discentes en conjunción con los distintos componentes
de las praxeologías matemáticas. Se necesita describir el diálogo efectivamente ocurrido
entre profesor y estudiante a propósito de cada componente del saber matemático, o prever
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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posibles alternativas para tales diálogos e interacciones. Los distintos elementos que
componen la praxeología matemática escolar deberán ser abordados por el docente y
discente de acuerdo con patrones de interacción definidos distribuidos en el tiempo, lo que
constituye una trayectoria didáctica.
Cabe destacar que la noción de función semiótica pretende tener en cuenta la
naturaleza esencialmente relacional de la actividad matemática y de los procesos de
difusión del conocimiento matemático. Se dice que se establece una función semiótica
entre dos entidades (ostensivas o no ostensivas) cuando entre ambas se establece una
dependencia representacional o instrumental, esto es, una de ellas se "pone en lugar de la
otra", o una de ellas "es usada por la otra". Esta noción permite formular en términos
semióticos, y de una manera general y flexible el conocimiento matemático y explicar en
términos de conflictos semióticos las dificultades y errores de los estudiantes.
Por otra parte, en consonancia con el interaccionismo simbólico, el modelo teórico
que se propone para la Didáctica de la Matemática, considera como objeto o entidad
matemática "todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede señalarse o a lo cual
puede hacerse referencia, cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemáticas"
(Godino, 2001, p.6). Para analizar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas se considera necesario explicitar los distintos tipos de objetos mediante los
cuales describir la actividad matemática y los productos resultantes de la misma.
En el trabajo citado, Godino, propone los siguientes tipos de entidades:
1) Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos). En un texto vienen dados en
forma escrita o gráfica pero en el trabajo matemático pueden usarse otros registros
(oral, gestual). Mediante el lenguaje (ordinario y específico matemático) se describen
otros objetos no lingüísticos.
2) Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extra matemáticas o intra
matemáticas, ejercicios); son las tareas que inducen la actividad matemática.
3) Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de
cálculo, procedimientos).
4) Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones (número, punto, recta, media,
función)
5) Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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o proposiciones.
6) Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean deductivas
o de otro tipo).
Estos seis tipos de objetos, que podemos calificar de matemáticos porque se ponen
en juego en la actividad matemática, son los constituyentes primarios de otros objetos más
complejos u organizaciones matemáticas, como los sistemas conceptuales, teorías, etc.
Las entidades lingüísticas tienen un papel representacional – se ponen en lugar de
las restantes- y también instrumental, o sea deben contemplarse además como instrumentos
de la actividad matemática. Aunque mucha actividad matemática es mental, poco
podríamos avanzar en el trabajo matemático si no tuviéramos el recurso de la escritura, la
palabra y los restantes registros materiales.
Las situaciones-problemas matemáticos son las promotoras y contextualizadoras de la
actividad matemática, y junto con las acciones (algoritmos, operaciones, procedimientos)
constituyen el componente práctico de las matemáticas, la acción dirigida a un fin. Parece
apropiado describir a estos dos componentes (situaciones-problemas y acciones) como
praxis según propone Chevallard (1997).
Los otros tres componentes (conceptos-definiciones, proposiciones, argumentaciones)
desempeñan un papel normativo en las matemáticas. Son el resultado de una actividad
reflexiva y regulativa de la praxis; conjuntamente se pueden describir como los
componentes teóricos o discursivos (logos).
Este agrupamiento de las entidades matemáticas en praxis y logos no quiere decir que
entre dichos componentes no existan relaciones de interdependencia. El lenguaje está
presente de manera intrínseca y constitutiva tanto en la praxis como en el logos; el logos
encuentra su razón de ser en la praxis y ésta se desarrolla y rige por el logos.
Las entidades matemáticas, según el juego de lenguaje en que participan, pueden ser
consideradas desde las siguientes facetas o dimensiones duales (Godino, 2001):
1 personal - institucional
2 ostensiva - no ostensiva
3 concreta – abstracta
4 elemental - sistémica
5 expresión - contenido
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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En el EOS se define trayectoria muestral como la que describe la secuencia
particular de cada función que ha tenido lugar en el tiempo y especifica seis de estas
funciones (Godino, 2003, pp.180 -181):
Trayectoria epistémica es la distribución a lo largo del tiempo de enseñanza de los
componentes del significado institucional implementados. Estos componentes se refieren a
problemas, acciones, lenguaje, definiciones, propiedades y argumentos se van sucediendo
en cierto orden en el proceso de instrucción.
Trayectoria docente es la distribución en el tiempo de instrucción de las funciones, tareas y
acciones correspondientes al docente.
Trayectoria discente es la distribución de las funciones y acciones que desempeñan los
estudiantes (una para cada estudiante).
Trayectoria mediacional representa la distribución de los recursos tecnológicos usados
durante la instrucción, tales como: libros, apuntes, manipulativos, software, etc.
Trayectoria cognitiva es la cronogénesis de los significados personales de los estudiantes.
Trayectoria emocional es la distribución temporal de los estados emocionales, valores,
afectos y sentimientos de cada alumno con relación a los objetos matemáticos y el proceso
seguido.
Cada una de estas trayectorias es una realización de un proceso estocástico, puesto
que el proceso de instrucción tiene característica no determinista. Estas trayectorias una vez
implementadas, pueden ser valoradas en su idoneidad1 didáctica mediante los criterios que
presentan Godino, Contreras y Font (2006) y que seguidamente presentamos.
Idoneidad epistémica: Es el grado de representatividad de los significados institucionales
implementados durante un proceso de enseñanza y aprendizaje, respecto a los significados
de referencia.
Idoneidad cognitiva: Con ella se valora en qué medida los significados implementados
están en la zona de desarrollo potencial de los estudiantes (Vygostski, 1934) , así también
1 Según el diccionario de la RAE, idóneo, quiere decir adecuado y apropiado para algo. En este caso se
refiere al grado en que un proceso de estudio matemático (o una parte del mismo) permite el logro de los fines
pretendidos.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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valora el grado de cercanía de los significados personales alcanzados por los estudiantes de
acuerdo a los pretendidos o implementados.
Idoneidad interaccional: Valora el grado en que las congráficociones y trayectorias
didácticas permiten: a) Determinar posibles conflictos semióticos y b) resolver los
conflictos que se presentan durante el proceso de enseñanza y aprendizaje, con la aplicación
de la negociación de significados. Idoneidad mediacional: Con este criterio se valora la
disponibilidad y adecuación de recursos materiales y temporales fundamentales para el
desarrollo del proceso de instrucción y cognición.
Idoneidad emocional: Este criterio sirve para valorar el interés y motivación del alumnado
por el proceso de estudio y los objetos matemáticos puestos en juego.
Idoneidad ecológica: El grado de adaptación que tiene el proceso de estudio al proyecto
educativo de la universidad, las orientaciones curriculares, las condiciones del entorno
social, etc.
Desde el punto vista metodológico, en las investigaciones desarrolladas dentro del
enfoque semiótico-antropológico se deben combinar diversos métodos y técnicas según
las distintas facetas de la investigación, dependiendo del problema abordado en las
mismas. Al igual que cada problema (o campos de problemas) matemático requiere sus
conceptos y técnicas específicas para su solución, se considera emplear en cada caso los
enfoques y técnicas de recogida y análisis de datos pertinentes al problema didáctico
planteado. En consecuencia, se debe combinar el estudio documental en la componente
epistemológica con diversas técnicas y enfoques en las partes experimentales, tanto
cognitivas como instruccionales. En el estudio de la evolución de los significados
personales de los estudiantes como consecuencia de un proceso instruccional se puede
utilizar el método experimental y cuasi-experimental, donde el control de variables, el
tamaño de las muestras y su representatividad deben conferir una gran potencia y
fiabilidad a los resultados del análisis estadístico de los datos. Por otro lado, y puesto que
este enfoque nos indica las tendencias existentes en la población, pero no muestra toda la
riqueza de la variabilidad individual, se debe completar el estudio mediante técnicas de
tipo cualitativo. Particularmente, el estudio de casos nos permite mostrar la consistencia
de los significados personales sobre los objetos puestos en juego. Asimismo, la
observación y registro de los episodios instruccionales muestra la complejidad semiótica
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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de los procesos elementales de estudio de las matemáticas.
La línea de investigación Perspectiva del Enfoque Semiótico-antropológico para la
Didáctica de la Matemática (LIPESA) nos permite implementar un método denominado
“análisis semiótico” (Arrieche, 2002) como herramienta para interpretar los significados de
un objeto matemático, que puede aportar explicaciones para las dificultades de los procesos
de estudio de dicho objeto basadas en la complejidad semiótica de las tareas demandadas y
la negociación de tales significados. Este tipo de análisis puede ser útil para describir
procesos de comunicación e interpretación del conocimiento matemático en el seno de los
sistemas didácticos, así como identificar factores condicionantes de los mismos.
OBJETIVOS GENERALES DE LA LÍNEA
Teniendo presente el Sistema de Referencia antes esbozado esta Línea se propone
impulsar estudios que permitan:
(1) Caracterizar los distintos significados institucionales asociados a un contenido
matemático e identificar criterios de diseño de praxeologías matemáticas en cualquiera
de los contextos y niveles educativos existentes en el país (dimensión epistémica).
(2) Caracterizar las distintas praxeologías didácticas relativas a los significados
institucionales de pretendidos e identificar criterios de diseño y optimización de tales
praxeologías en cualquiera de los contextos y niveles educativos existentes en el país
(dimensión instruccional).
(3) Caracterizar los significados personales de los estudiantes relativos a los distintos
elementos de los significados institucionales implementados en cualquiera de los
contextos y niveles educativos existentes en el país y su explicación en términos de los
significados de referencia y las praxeologías didácticas puestas en juego en el proceso
de estudio (dimensión cognitiva).
(4) La utilización de la técnica de análisis semiótico para caracterizar los significados
sistémicos (o praxeológicos) y elementales puestos en juego en el proceso de estudio de
un tema matemático en cualquiera de los niveles educativos existentes en el país.
(5) Evaluar los procesos de enseñanza y aprendizaje de los diferentes contenidos
matemáticos que conforman los programas de matemática en los niveles educativos
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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existente del Sistema Educativo Venezolano, mediante los criterios de Idoneidad
didáctica del EOS.
(6) Elaborar y difundir documentos de orientación para la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática.
(7) Contribuir al desarrollo teórico y metodológico del campo de la Educación Matemática
con productos sólidos y reconocidos a nivel nacional e internacional.
PRODUCTOS INVESTIGATIVOS DE LA LINEA DE INVESTIGACIÓN LIPESA
En este apartado haremos referencia a los trabajos de grado de especialización,
maestría y tesis doctorales, concluidos y en proceso, insertados en la línea de investigación
referida y desarrollados en el marco del enfoque ontosemiótico.
Trabajos concluidos
Año Título de trabajo Autor(Tutor)
2002
La teoría de conjuntos en la formación de maestros: Facetas y
factores condicionantes del estudio de una teoría matemática.
Tesis doctoral,
Mario Arrieche
(Juan Díaz Godino)
2004
Significados personales de las fracciones en estudiantes del
primer año de ciencias en estudiantes del Liceo Nacional José
Félix Ribas del Municipio Ribas, proyecto de investigación de
quinto año de secundaria,
Mary Arrieche
(Mario Arrieche)
2005
El papel de la aritmética en la formación matemática de los
estudiantes en la Educación Básica
Trabajo de grado de Maestría,
Marcos Mayma
(Mario Arrieche)
La resolución de problemas como herramienta de diagnóstico
del proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en
Educación diversificada y profesional,
Trabajo de grado de Maestría,
(Mario Arrieche)
Los vectores del plano en la formación matemática de los
estudiantes de Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría,
Silvia Briceño,
2006
Significados personales de los números enteros en la
Educación Básica, Trabajo de grado de Maestría
Ely Quintana.
(Mario Arrieche)
EL uso de los sistemas dinámicos en el proceso de enseñanza
y aprendizaje de las transformaciones del plano.
Trabajo de grado de Maestría,
Lucía Díaz (Mario
Arrieche)
Significados institucionales de las funciones en Educación Orlando Mendoza
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Básica. Trabajo de grado de Maestría, (Mario Arrieche)
Significados institucionales de la parábola,
Trabajo de grado de Maestría,
Yovana Urdaneta
(Mario Arrieche)
Análisis de la evaluación del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la Educación Bäsica
Trabajo de grado de Maestría,
Yaleni Contreras
(Mario Arrieche)
2007
Análisis cognitivo y didáctico de los polinomios en la
Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría.
Jesús Alvarez
(Mario Arrieche
Significados personales de las funciones en Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría.
Jenny Romero
(Mario Arrieche)
Significados institucionales de las gráficos planas en la
Educación Básica.
Trabajo de Trabajo de grado de Maestría.
Mary Carmen
Navas (Mario
Arrieche)
Significados personales de los números naturales en
Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría,
Anihányela Benítez
(Mario Arrieche)
2008
Significados personales de las ecuaciones de primer grado con
una incógnita en la Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría,
Ada Aponte (Mario
Arrieche)
La integral en la formación del técnico superior universitario.
Dimensiones presentes en los procesos de enseñanza y
aprendizaje.
Tesis doctoral.
Luis Capace (Mario
Arrieche)
Significados institucionales de geometría del triangulo en la
formación inicial de profesores de matemática.
Trabajo de ascenso,
Belén Arrieche
(Mario Arrieche)
Significados personales de la ecuación de segundo grado en la
formación inicial de profesores de matemática.
Trabajo de grado de Maestría.
Angélica Martínez
(Mario Arrieche)
Significados personales del conjunto de los números naturales
en la Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría.
Lorena Carruido
(Mario Arrieche)
Significado Institucional referencial de la factorización de
polinomios en la Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría.
Ángel Alcocer
(Mario Arrieche)
Análisis de un proceso de estudio sobre la elipse mediante los
criterios de idoneidad didáctica. Trabajo de grado de
Maestría,
Yarítza Pérez
(Mario Arrieche)
Significados de personales del límite de una función en la
formación de profesores de química
Trabajo de grado de Maestría,
César García
(Mario Arrieche)
Criterio de la idoneidad epistémica de la función afín en
Educación Básica.
Trabajo de grado de Maestría.
Ángela Chiavorolli
(Mario Arrieche)
La hoja de cálculo electrónica y su idoneidad motivacional en Wendy Mendoza
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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el aprendizaje de la estadística.
Trabajo de grado de Maestría.
(Mario Arrieche)
El proceso de instrucción estadística en docentes de
educación integral mediante el criterio de la idoneidad
mediacional.
Trabajo de grado de Maestría.
Marlene Alvarenga
(Mario Arrieche)
Transición del pensamiento aritmético al algebraico en
séptimo grado de Educación Básica,
Trabajo de grado de Maestría,
Heidi Castillo
(Mario Arrieche)
Significados institucionales de las fracciones en sexto grado
de Educación Básica,
Trabajo de grado,
Anyela Florez
(Mario Arrieche)
2010
Significados personales de las funciones en la formación de
Licenciados en Educación Matemática.
Trabajo de grado de Especialización.
Leonard Sánchez
(Mario Arrieche
2012
Significados institucionales de los Polinomios en segundo de
Educación media general.
Trabajo de grado de Maestría.
Dorenis Mota
(Mario Arrieche)
Trabajos en proceso
Año Título de trabajo Autor(Tutor)
2011
Evaluación de un proceso de estudio sobre la integral de
línea mediante los criterios de Idoneidad didáctica.
Proyecto de Tesis doctoral.
Hengleend Rincón
(Mario Arrieche)
Significado institucional referencial de las inecuaciones
en la Educación media general.
Proyecto de grado de Maestría.
Víctor Sosa (Mario
Arrieche)
Significados institucionales de los números complejos
en cuarto año de Educación media general.
Proyecto de grado de Maestría.
Pedro Oca (Mario
Arrieche).
Análisis de un proceso de estudio sobre las funciones
mediante los criterios de Idoneidad didáctica.
Proyecto de grado de Maestría.
Ana Peña (Mario
Arrieche)
2012
Significados institucionales y personales de los objetos
matemáticos puestos en juego en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la matemática,
Proyecto Macro, financiado por FONACIT,
Coordinado por DR.
Mario Arrieche.
Análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio
sobre las razones razones trigonométricas,
Proyecto de grado de Maestría,
Fernando Tesorero
(Mario Arrieche)
Evolución histórica del conjunto de los números Mary Arrieche (Luis
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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naturales como aporte didáctico y epistemológico a la
formación de profesores de matemática,
Proyecto de grado de Maestría,
Capace)
Significados institucionales de la ecuación de segundo
grado en segundo año de Educación media general.
Proyecto de grado de Maestría,
Mary Núñez (Belén
Arrieche)
Análisis de un proceso de estudio sobre el conjunto de
los números enteros mediante los criterios de Idoneidad
didáctica,
Proyecto de grado de Maestría,
Yraima Ramos (Mario
Arrieche)
Análisis de un proceso de estudio sobre la
circunferencia mediante los criterios de Idoneidad
didáctica,
Proyecto de grado de Maestría,
Erica Valera (Angélica
Martínez)
Congráficociones cognitivas de los estudiantes de
Educación media general en torno a las ecuaciones
logarítmicas,
Trabajo de grado de Maestría
Luis Leonardo Aular
(Angélica Martínez)
REFERENCIAS
Aponte, A. (2007). Significados personales de las ecuaciones de primer grado en la
Educación Básica. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad de Carabobo, Valencia.
Arrieche, M. (2002). La teoría de conjuntos en la formación de maestros: facetas y factores
condicionantes del estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral. Departamento de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Arrieche, M. (2003). Perspectivas del enfoque semiótico-antropológico para la Didáctica de
la Matemática. Paradigma, 24 (2) :151-160.
Arrieche, M. (2010). Significados institucionales y personales de las funciones en la
formación de profesores de Educación Básica. Trabajo de Ascenso no publicado.
Departamento de Matemática de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador-
Maracay
Capace, L. (2007). La integral en la formación técnica universitaria: Dimensiones presentes
en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Proyecto de tesis doctoral. Universidad
Pedagógica Experimental Libertador, Maracay.
Contreras, Y. (2006). Análisis de la evaluación del aprendizaje matemático en la Educación
Básica Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental Libertador,
Maracay.
Díaz, L. (2006). Significados personales de las transformaciones en el Plano a nivel de
Educación Básica. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, Maracay.
Hernández, O. (2007). Significados institucionales de las funciones en la Educación Básica.
Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental Libertador,
Maracay.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
125
Figueroa, T. (2005). La resolución de problemas como herramienta de diagnóstico del
proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en la Educación diversificada. y
profesional. Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, Maracay.
González, F. (2003). Educación Matemática. Comunicación presentada en la I Jornadas de
Investigación en Educación Matemática de la UPEL-Maracay.
González, Y. (2005). Significados institucionales y personales de las fracciones en la
Educación Básica Trabajo de Grado de Maestría. Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, Maracay.
Godino, J.D. (2003). Teoría de las funciones semióticas :enfoque ontosemiótico de la
cognición e instrucción matemática. Memoria presentada para optar a una plaza de
catedrático en el Departamento de Didáctica de la Universidad de Granada.
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formación inicial de profesores de Matemática. Proyecto de trabajo de Maestría.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Maracay.
Meléndez, A. (2005). Significados personales de la derivada en estudiantes de ingeniería.
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Ortiz, J. (2003). Pensamiento numérico y algebraico. Paradigma, 25 (1) :125-139
Rojas, J. (2003). Perspectivas de la neurociencia en la Educación Matemática.
Comunicación presentada en la I Jornadas de Investigación en Educación Matemática
de la UPEL-Maracay.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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PERSPECTIVAS DE LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN ESTADÍSTICA
Julia Elena Sanoja
UPEL Maracay – CEINEM-NT
RESUMEN
La Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de diversas investigaciones en
distintos países, debido a su importancia, ampliamente reconocida, en la formación general
del ciudadano. En este orden de ideas, Batanero (2000) expresa que “La estadística ha
jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al proporcionar
herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones
entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y mejorar las predicciones
y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”. Sin embargo, en Venezuela, es un
campo poco explorado y con grandes necesidades en la formación didáctica de los
profesores que imparten dichos contenidos, en la formación de profesionales y usuarios de
la estadística, en el desarrollo de una alfabetización estadística en el ciudadano, así como el
empleo de tecnología así como la modelización en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Es por ello que esta línea de investigación busca investigar acerca de: (1) Situación actual
de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del sector educativo; (2) Las
prácticas actuales en formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la
estadística; (3) Inserción de la tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en
la educación estadística; (5) Desarrollo del Pensamiento estadístico; (5) la formación de
profesores en ejercicio en educación estadística.
Palabras clave: Educación estadística, alfabetización estadística, investigación, tecnología
DESCRIPCIÓN GENÉRICA DE LA LÍNEA
La dinámica del mundo actual y la sociedad tecnológica en que vivimos, le exige al
ciudadano tener la capacidad de leer, analizar e interpretar información de diversa índole:
económica, política, deportiva, educativa, entre otras. Es la Estadística la que le provee
estas competencias, esto hace que sea una materia necesaria en la formación del ciudadano;
tal como expresa Batanero (2002) “la Estadística se considera hoy día como parte de la
herencia cultural necesaria para el ciudadano educado” (p. 2).
En esta orden de ideas, Cockcroft (1985) asegura que la estadística es una materia
cultural imprescindible en la formación del individuo. Por otra parte, Ottaviani (1999)
manifiesta que los estadísticos sienten la necesidad de difundir el conocimiento estadístico
no sólo como un conjunto de técnicas cuantitativas, sino también como cultura que
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
127
proporciona la capacidad de abstracción que hace posible extraer información de conjunto
de datos.
Es así como vemos que la enseñanza de la Estadística está presente en los curricula de
todos los niveles del sector educativo, desde el Pre-escolar hasta la Educación Superior.
Batanero (2002), Garfield y Ahlgren (1998), León (1998) y Sanoja (2007), señalan que la
Estadística está incorporada, en forma generalizada, en los diferentes niveles educativos,
debido a su carácter instrumental; además por el valor en el desarrollo del pensamiento y
razonamiento estadístico, en una sociedad caracterizada por la disponibilidad de
información y la necesidad de analizarla y tomar decisiones ante tanta incertidumbre. No
escapa a este hecho la educación venezolana, donde en todos los niveles del sector
educativo se ha incluido la Estadística, específicamente desde 1980 se incluye como tema
dentro del programa de matemática en toda la escuela primaria y el bachillerato, y en
educación superior existe en las diferentes carreras uno o más cursos de Estadística.
Al respecto Holmes (2002) justifica las razones de la necesidad de la enseñanza de la
estadística desde el nivel de primaria:
La estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros
ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e
interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los
medios informativos.
Es útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos
conocimientos básicos del tema.
Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico,
basado en la valoración de la evidencia objetiva.
Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educación
obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o
conceptos estadísticos.
Sin embargo la enseñanza de la estadística no debe ser vista como una mera
transmisión de técnicas, fórmulas, conocimiento, sino un medio para el mejor
entendimiento del hombre, de sus realidades y de su interrelación. Por su parte, Da Ponte
(2008) expresa que para enseñar Estadística es necesario saber de Estadística, esto es
conocer los elementos esenciales del pensamiento estadístico, incluyendo la formulación de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
128
preguntas, recolección de los datos, análisis de los datos e interpretación de resultados,
apropiados al contexto en que se enseña. Al respecto, Wild y Pfannkuch (1998) expresan:
“pensamiento estadístico es la encarnación del sentido común. Nosotros lo reconocemos en
cuanto lo vemos, o tal vez verdaderamente, su ausencia es a menudo claramente obvia. Con
frecuencia se utiliza en oposición a la aplicación mecánica de las técnicas estadísticas. (p.
335). Sin duda en la enseñanza de la estadística es necesario que el profesor modele el
pensamiento estadístico para este sea desarrollado por el estudiante.
Garfield y Ben-Zvi (2008) expresan que el pensamiento estadístico “incluye el saber
cómo y porqué utilizar un determinado método, medida, diseño o modelo estadístico, la
comprensión profunda de las teorías que explican los procesos y métodos estadísticos, así
como comprender las restricciones de las Estadísticas y al inferencia Estadística” (p. 34).
Esto muestra la necesidad de una enseñanza de la estadística considerando los componentes
fundamentales que sustentan del pensamiento estadístico, definidos por Wild y Pfannkuch
(1997, p. 276): (1) Reconocer la necesidad de los datos; (2) Transnumeración; (3)
Consideración de la variación; (4) Razonamiento con modelos estadísticos; y (5)
Integración de la Estadística y el contexto; debido a que en una sociedad inundada de datos,
se requiere de diferentes formas de pensar, necesarias para explorar y analizar de manera
efectiva los datos.
Por otro lado, la alfabetización estadística ayuda al desarrollo personal, fomentando un
razonamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia objetiva; debemos ser capaces
de interactuar en un mundo de información cargado de incertidumbre, que requiere
capacidades para leer y producir información cuantitativa sea esta gráfica o simbólica; esto
hace que nos apropiemos de la filosofía del pensamiento estadístico por ser un proceso de
pensamiento que permite cuantificar y controlar la variación presente en los datos, así como
la comprensión e interpretación objetiva de fenómenos o hechos de la vida. Al respecto,
Gal (2002) caracteriza la alfabetización estadística como la capacidad de interpretar,
evaluar críticamente y comunicarse sobre la información estadística.
Por todo ello, vemos como la Enseñanza de la Estadística es objeto de estudio de
diversas investigaciones en distintos países, (Allen, 2003; Álvarez y Valecillos, 2001;
Bakker, 2004; Barile, 2005; Gil, 1999; Kendall, 1968; McLean, 2001; Moore, 1997;
O´Brien, 2006) debido a la necesidad que el ciudadano adquiera una alfabetización
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estadística. Siendo la alfabetización estadística una competencia necesaria que está muy
relacionada con la sociedad tecnológica de hoy día. Batanero (2000) expresa que “La
estadística ha jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna, al
proporcionar herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad,
determinar relaciones entre variables, diseñar en forma óptima estudios y experimentos y
mejorar las predicciones y toma de decisiones en situaciones de incertidumbre”.
Para Batanero (2001) gran parte de la actividad estadística puede ser descrita como
proceso de modelización. Por ende, para la enseñanza de la estadística la modelización
matemática podría contribuir a comprender con más profundidad los conceptos estadísticos,
a comprender mejor el mundo a nuestro alrededor. En este sentido, García y Ortiz (2007)
nos indican que “la modelización contribuye al estudio de situaciones del mundo físico,
natural y social, mediante la elaboración de modelos”. Su aplicación como estrategia de
enseñanza y aprendizaje es cada día más empleada por los educadores matemáticos por ser
un instrumento de aprendizaje significativo. Diferentes trabajos de investigación en
Educación Estadística, tales como los presentados por Küchenhoff (2008), Lesh, Caylor y
Gupta (2007), Konold, Harradine y Kazak (2007), Maxara y Biehler (2006) y O´Brien
(2006) entre otros, centran su atención en la modelización matemática como una estrategia
de enseñanza y aprendizaje.
La construcción de modelos, su comparación con la realidad, su perfeccionamiento
progresivo intervienen en cada fase de la resolución de problemas estadísticos, no sólo en el
análisis de datos en situaciones prácticas, sino también en el trabajo de desarrollo teórico.
Al respecto Konold, Harradine y Kazak (2007) y Batanero (2001) manifiestan que un
ejemplo notable de modelización estadística a partir de un problema práctico son las
distribuciones de probabilidad, que permiten describir de forma sintética el comportamiento
de las distribuciones empíricas de datos estadísticos y hacer predicciones sobre su
comportamiento. Por consiguiente, la modelización forma parte inseparable de la actividad
estadística. Al respecto McLean (2001), indica que la modelización juega un papel muy
importante en el pensamiento estadístico.
Por su parte, Moore (1997) considera que la enseñanza de la estadística no debe estar
aislada de un ambiente tecnológico, este permitirá alcanzar las capacidades de
comunicación, tratamiento de la información, resolución de problemas; "La Estadística
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combinan la actividad en un entorno computacional significativo con el ejercicio de su
juicio en la elección de métodos y la interpretación de los resultados" (Moore, 1997, p.96).
La tecnología abre nuevas posibilidades educativas que relativizan la importancia de ciertas
destrezas muy arraigadas en la educación tradicional.
Para Chance, Ben-Zvi, Garfield y Medina (2008) “el impacto de la tecnología sobre la
práctica de estadística es irrefutable, así como ha sido poderoso el impacto de la tecnología
sobre la didáctica de la Estadística” (p. 3). Es por ello, que la tecnología da cabida a la
exploración de situaciones reales donde se manejan grandes conjuntos de datos y la
visualización de los efectos aleatorios en los mismos, así como permitir el descubrimiento
de situaciones tan complejas que con el uso del papel y lápiz serían muy tediosas, creando
así un nuevo ambiente de aprendizaje que ayuda al desarrollo del pensamiento estadístico.
Vale decir, que la inserción de la tecnología - como es el caso de las calculadoras
graficadoras y las hojas de cálculo - en las clases de estadística ayuda a los estudiantes en el
desarrollo de una comprensión más profunda y una conceptualización más rica. (Barile,
2005; Billotti, 1998; Kissane, 1998; Lipson, 1998 y Situmeang, 1998). Las TIC´s le
permiten al estudiante ahorrar tiempo en el cálculo matemático y disponer de un mayor
tiempo para el análisis de los resultados, la comprensión de los conceptos estadíst icos, así
como facilita la realización de las gráficas para conocer el comportamiento de los datos. En
virtud de ello, posibilita la realización de experimentos interactivos mediante simulaciones
y visualizaciones exploratorias de situaciones de la cotidianidad, que ayudan al estudiante a
conceptualizar la Estadística.
Al respecto, Garfield (1995) expresa que “el uso de las nuevas tecnologías en la
enseñanza de la estadística mejora la calidad de la enseñanza, motiva el proceso de
aprendizaje, entusiasma a los estudiantes a un aprendizaje en forma participativa y de
retroalimentación de su propia práctica, además proporciona un incentivo psicológico a los
estudiantes cuando tienen que trabajar mucho” (p. 3). Por lo que, el considerar la inserción
de las TIC´s en los procesos de enseñanza y aprendizaje conlleva a que se tome en cuenta
en cuenta el componente afectivo.
En este sentido, el concepto de actitud toma tanta importancia como el conocimiento en
sí de una materia específica, tal como lo señala Auzmendi (1992), “cualquier programa que
se proclame pedagógico debe considerar la educación de las actitudes, con su perspectiva
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de futuro que contemple un conocimiento profundo de los factores socioculturales,
educativos y profesionales” (p. 48
Investigaciones como las de Batanero (2000), Ben-Zvi y Friedlander (2002), Bilotti-
Aliaga (2007) Estrada (2002) nos señalan la necesidad de considerar en la enseñanza de la
estadística elementos tales como:
La introducción de las TIC´S, para el manejo de la información.
El uso de las calculadoras graficadoras y Software estadístico, debido a que facilitan
la exploración, comprensión y análisis de los datos y de las propiedades de ciertas
medidas estadísticas.
El modelo de razonamiento estadístico de Wild y Pfannkuch, ha ser considerado
para el proceso de enseñanza-aprendizaje en la resolución de problemas de la
estadística y asociado de manera directa con la modelización.
El componente afectivo
Todas estas razones impulsan la investigación y el desarrollo curricular en el campo
especifico de la estadística. Es por ello que esta línea de investigación busca investigar
acerca de: (1) Situación actual de la enseñanza de la estadística los diferentes niveles del
sector educativo; (2) Las formación inicial y permanente de profesores de matemática y
educación integral, respecto a la enseñanza de la estadística Las prácticas actuales en
formación inicial de profesores respecto a la enseñanza de la estadística; (3) Inserción de la
tecnología en la educación estadística; (4) la modelización en la educación estadística; (5)
Desarrollo del Pensamiento estadístico; (6) la formación de profesores en ejercicio en
educación estadística
OBJETIVOS GENERALES DE LA LÍNEA
1. Realizar indagación respecto a la formación inicial y permanente del profesorado de
matemáticas y educación integral en la enseñanza de la estadística.
2. Desarrollar investigaciones que involucren el empleo de: calculadoras graficadoras, uso
de paquetes estadísticos y TIC`s en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
estadística.
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3. Estudiar las dificultades, obstáculos y errores que se dan en el aprendizaje de la
estadística.
4. Implementar propuestas didácticas basadas en el Modelo de Razonamiento Wild y
Pfannkuch y orientadas a la enseñanza y aprendizaje de la Estadística.
5. Implementar propuestas didácticas que involucren el empleo de las nuevas tecnologías
y orientadas a la enseñanza y aprendizaje de la Estadística.
6. Estudiar sobre la concepción, el cambio conceptual y los aspectos afectivos en el
aprendizaje de la estadística.
7. Elaborar y difundir documentos de orientación para la enseñanza y aprendizaje de la
Estadística
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TEOREMA DE THALES: UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Odalys Báez
Andrea González, Génesis Gudiño, Liliana Noguera
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
La Matemática, como ciencia formal, se estructura de forma axiomática y se apoya en el
desarrollo del pensamiento lógico deductivo para la deducción y validación del
conocimiento matemático; además, se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra,
Análisis, Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones
espaciales con el entorno; cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus
estudiantes con el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en
práctica estrategias didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos
y cuerpos geométricos, identificar características invariantes en una construcción
geométrica, formular conjeturas y tratar de validarlas. Por ello, desde una perspectiva
investigativa, haciendo uso de la noción de análisis didáctico (Gómez y Rico, 2002;
Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta didáctica, partiendo de la elaboración
de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Thales y la identificación de
las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento geométrico propuestos en el modelo
de Van Hiele, con el propósito de que los estudiantes (9no grado de Educación Básica)
reconozcan las definiciones implicadas en el Teorema de Thales y la aplicación del mismo
en la resolución de problemas. Esta propuesta integra la actividad Lúdica Educativa, la cual
estimula el aprendizaje a través de la alegría, el placer, el gozo, la satisfacción, logrando
captar la atención de los estudiantes y explotando sus habilidades; se usaron dos juegos:
Encuentra mi Pareja (tipo memoria) y Aceptando el Reto (tipo Rally). Por otra parte, se
incorpora el uso de un Software de Geometría Dinámica como el Cabrí Géomètre II Plus, el
cual facilita la elaboración de gráficos, permitiendo a los estudiantes su exploración,
propiciando tanto la visualización de las relaciones existentes entre los objetos que
conforman una construcción como la resolución de problemas geométricos en un ambiente
digital. También se integró el uso de Videos Educativos, como apoyo y complemento a las
explicaciones dadas por el docente.
Palabras Clave: Teorema de Thales, Lúdica Educativa, Software de Geometría Dinámica,
Videos Educativos.
INTRODUCCIÓN
La Matemática, como ciencia formal, se estructura de forma axiomática y se apoya en el
desarrollo del pensamiento lógico para la deducción y validación del conocimiento
matemático tal como lo señalan Nagel y Newman (2000):
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones
como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos
sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esos axiomas todas
las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas
constituyen los cimientos del sistema; los teoremas son la superestructura, y se
obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios
de la lógica (p.p. 18 y 19)
Además, la Matemática se divide en áreas tales como: Aritmética, Álgebra, Análisis,
Estadística y Geometría; siendo ésta última la que permite establecer relaciones espaciales
con el entorno, según lo indicado por Villani (1998):
Descripción e interacción con el espacio en el cual vivimos, es La Geometría
considerada como una herramienta para el entendimiento, la tal vez la parte de
las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad. Por otra parte, la
geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso de
formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en
niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad (p. 337)
Ésta es una cualidad que el docente puede aprovechar para acercar a sus estudiantes con
el saber matemático durante toda su formación académica, poniendo en práctica estrategias
didácticas que motiven a los estudiantes a construir y explorar gráficos y cuerpos
geométricos, identificar características invariantes en una construcción geométrica,
formular conjeturas y tratar de validarlas; sin embargo, Nagel y Newman (2000), destacan
que
Todo el que haya estudiado geometría elemental recordará. Sin duda, que ésta
es enseñada como una disciplina deductiva. No se la presenta como una ciencia
experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por hallarse de acuerdo con
lo que enseña la observación (p.18).
Por la antes expuesto, la enseñanza de la Geometría exige, por una parte, propiciar
experiencias de aprendizaje orientadas al desarrollo de habilidades geométricas como
reconocimiento de gráficos y cuerpos geométricos por su forma y tamaño, visualización de
los elementos que congráficon una construcción geométrica, establecer semejanzas y
diferencias entre gráficos y cuerpos geométricos, construcción de objetos geométricos a
partir de ciertas condiciones dadas, etc. y, por otra, dar justificaciones lógicamente válidas
y, así, progresivamente ir aproximándose a la prueba o demostración formal (Perry
Carrasco, Camargo Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales, 2006).
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Por ello, desde una perspectiva investigativa, haciendo uso de la noción de análisis
didáctico (Gómez y Rico, 2002; Iglesias, 2008), se diseñó y desarrolló una propuesta
didáctica, partiendo de la elaboración de un mapa de enseñanza y aprendizaje sobre el
Teorema de Thales y la identificación de las habilidades asociadas a los niveles de
razonamiento geométrico propuestos en el modelo de Van Hiele, con el propósito de que
los estudiantes (9no grado de Educación Básica) reconozcan las definiciones implicadas en
el Teorema de Thales y la aplicación del mismo en la resolución de problemas.
REFERENTES TEÓRICOS
Para llevar a cabo el diseño de la propuesta didáctica se aplicó la noción de análisis
didáctico, la cual, según Gómez (2005), “se caracteriza por su especificidad a un concepto
matemático concreto. Solamente cuando se profundiza en esa especificidad, es posible
reconocer los múltiples significados del concepto” (p. 2). En este caso, el concepto
matemático seleccionado fue el de semejanza de gráficos geométricas, tomando como
referencia el Teorema de Thales. Además, este autor añade que
A la hora de planificar una hora de clase o una unidad didáctica, el profesor de
matemáticas debe estar en capacidad de resolver dos problemas relacionados
con esta característica de los conceptos en las matemáticas escolares. Primero,
él debe ser capaz de identificar y organizar los múltiples significados del
concepto en cuestión. Segundo, él debe seleccionar aquellos que serán objeto de
la instrucción (p. 2).
Para abordar estos dos asuntos, en la fase de planificación o diseño, el análisis didáctico
comprende - como se muestra en la gráfico 1 – tres componentes:
1) El análisis de contenido, el cual está orientado a develar los diferentes significados
del tema matemático seleccionado a la luz de la noción de los organizadores curriculares y,
luego, establecer el alcance del contenido en relación con el programa de estudio y los
materiales de referencia como los libros de texto. Para facilitar el análisis de un tema
matemático, Iglesias (2008) ha considerado conveniente elaborar un mapa de enseñanza y
aprendizaje, herramienta propuesta por Orellana Chacín (2002) para establecer cuáles
aspectos deben ser considerados a la hora de planificar su enseñanza: (a) Fundamentos
matemáticos, (b) Relación con otros temas matemáticos, (c) Relación con otras ciencias y
el mundo real, (d) Exploración gráfica y numérica, previa a la formalización de los
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conceptos y teoremas, (e) Dibujo a mano alzada y cálculo manual, (f) Dibujo y cálculo con
tecnología, (g) Resolución de problemas, (h) Desarrollo histórico del tema, (i) Utilización
de materiales (especialmente en Geometría), juegos y matemática recreativa.
2) El análisis cognitivo, el cual está dirigido a establecer las competencias
matemáticas que se espera sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes,
según las exigencias del curso y nivel educativo. Dado que esta unidad didáctica está
centrada en la enseñanza y el aprendizaje de un tema geométrico, se ha tenido en cuenta el
modelo de Van Hiele (1959), el cual plantea que el razonamiento geométrico evoluciona a
través de cinco (5) niveles, a saber reconocimiento, análisis, clasificación, deducción lógica
y rigor lógico, en la medida que realiza tareas que le exigen desarrollar y poner en práctica
habilidades asociadas a estos niveles. Así, para llevar a cabo una prueba o demostración
formal, tarea que se ubica en el nivel 4 de deducción lógica, es necesario que los
estudiantes sean capaces de reconocer un objeto geométrico y los elementos que lo
componen, descubrir las relaciones existentes entre los elementos que intervienen en la
construcción de un objeto geométrico, establecer una cadena de deducciones partiendo de
las condiciones dadas (hipótesis) y lo que le piden demostrar (tesis), etc.; es decir, es
necesario que los estudiantes hayan alcanzado un conjunto de habilidades asociadas a los
tres rimeros niveles de razonamiento geométrico. También se han tenido en consideración a
las cinco fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van Hiele: información,
orientación dirigida, explicitación, orientación libre e integración.
3) El análisis de la instrucción, el cual tiene como propósito el diseño de las
actividades didácticas (incluyendo la selección de materiales y recursos), en función del
alcance del tema tratado y los objetivos de aprendizaje.
Gráfico 1. Componentes del Análisis Didáctico en la fase de diseño de una unidad
didáctica
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En el próximo apartado, se darán a conocer algunos rasgos relevantes de la propuesta
didáctica diseñada, teniendo en cuenta los tres componentes del análisis didáctico en su fase
de planificación, enfatizando en el uso del mapa de enseñanza y aprendizaje como
herramienta que facilita el análisis de contenido y la aplicación del modelo de razonamiento
de Van Hiele.
PROPUESTA DIDÁCTICA
Para dar inicio al análisis de contenido, se revisaron los programas de estudio (7mo, 8vo
y 9no grado) correspondientes a la asignatura de Matemática, con el propósito de identificar
los contenidos y objetivos vinculados con el área de Geometría, como se muestra en el
siguiente cuadro:
Cuadro 1
Contenidos geométricos desarrollados en el área de matemática en educación básica
7mo Grado 8vo Grado 9no Grado
Resolución de problemas que
involucren relaciones entre los
elementos de una circunferencia o
de un círculo.
Proyección ortogonal de puntos y
segmentos sobre una recta.
Teoremas de Pitágoras, Thales y
Euclides: En esta etapa, se espera
el estudiante sea capaz de
entender la demostración de estos
teoremas y, además, aplicarlos en la resolución de problemas
geométricos.
Elementos de un triángulo:
reconocer, distinguir y clasificar
los diferentes tipos de triángulos,
según las longitudes de sus lados
y las medidas de sus ángulos.
Isometrías en el plano: realizar
traslaciones, rotaciones y
simetrías de puntos, segmentos y
gráficos en el plano.
Relación entre cuadriláteros y sus
elementos: identificar diferentes
tipos de cuadriláteros y
clasificarlos según la relación de
paralelismo existente o no entre
sus lados opuestos.
Ángulos y Paralelismo: Diferentes
tipos de ángulos que se forman
cuando dos o más rectas son
cortadas por una secante y las
relaciones de congruencia entre
estos tipos de ángulos cuando dos o más rectas paralelas son
cortadas por una secante.
Relación entre polígonos
regulares de cinco o más lados y
sus elementos.
Cálculo de áreas de gráficos
planas y volúmenes de cuerpos
geométricos.
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Observándose que el estudio de los teoremas de Pitágoras, Thales y Euclides en 9no
grado de Educación Básica requiere que el estudiante maneje, por lo menos, definiciones y
propiedades relacionadas con la Geometría del Triángulo.
Seguidamente, previa revisión de algunos libros de texto, se tomó la decisión de
trabajar, como se muestra en la gráfico 2, con los siguientes aspectos en el mapa de
enseñanza y aprendizaje del Teorema de Thales: (a) Fundamento matemático, (b) Mundo
real, (c) Desarrollo histórico y su utilización para la enseñanza del tópico o del tema, (d)
Utilización de materiales (especialmente en Geometría. Juegos y matemática recreativa, y
e) Didáctica del tema.
Gráfico 2. Mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Thales
En el Cuadro 2, se muestra una síntesis de los contenidos y objetivos asociados a cada
uno de los aspectos que conforman este mapa de enseñanza y aprendizaje, siguiendo el
orden en el cual serán abordados:
Teorema de
Thales
(1) Fundamento Matemático
(3) Mundo Real
Modelos Matemáticos
Problemas aplicados
(8) Desarrollo histórico y su
utilización para la enseñanza
del tópico o del tema (9) Utilización de materiales
(especialmente en
Geometría). Juegos y
matemática recreativa
(10) Didáctica del tema en
consideración
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Cuadro 2
Resumen de los aspectos tratados en el mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema
de Thales
Aspecto Objetivo Contenido
Historia de la Geometría Dar a conocer una breve reseña
histórica de la Geometría en la
antigua Grecia y los aportes de
Thales de Mileto.
Geometría Griega y
Biografía de Thales
de Mileto.
Fundamento Matemático Establecer las definiciones de
razones y proporciones.
Enunciar e ilustrar la aplicación de
los criterios de semejanza de
triángulos.
Razones,
proporcionalidad y
Semejanza de
Triángulos.
Aplicación en el mundo real Presentar imágenes semejantes a
objetos animados o inanimados del
entorno.
Gráficos semejantes.
Construcciones a
escala.
Utilización de materiales.
Juego y matemática
recreativa
Reconocer la semejanza y la
proporcionalidad en distintas
gráficos planas.
Proporcionalidad y
semejanza geométrica
Seguidamente, se procedió a establecer las habilidades asociadas a los tres primeros
niveles de razonamiento geométrico establecidos en el modelo de Van Hiele, siguiendo la
propuesta realizada por Hoffer (1981):
Cuadro 3
Habilidades Geométricas que se pretende sean alcanzadas por los estudiantes de 9no
grado de Educación Básica abordan el estudio del Teorema de Pitágoras
Habilidades
Geométricas
Reconocimiento Análisis
Visuales Reconoce formas geométricas en los
objetos que lo rodean al igual que los
dibujos y las construcciones que
observa.
Identifica las partes que conforman una
gráfico plana (por ejemplo, vértices,
lados y ángulos internos de un polígono)
o un cuerpo geométrico (por ejemplo,
vértices, aristas y caras).
Verbales Utiliza de manera adecuada términos
geométricos cuando describe objetos del entorno.
Describe relaciones entre los elementos
que conforman una gráfico, haciendo uso del lenguaje apropiado.
De Dibujo Realizar trazos finos en la construcción
de objetos geométricos con cierto
grado de complejidad.
Dibuja una gráfico que satisfaga las
condiciones dadas (por ejemplo, dibuja
un triángulo conociendo las longitudes
de sus tres lados).
Lógicas Descompone una gráfico en
diferentes partes, logrando así formar
gráficos más sencillas.
Establece relaciones de congruencia y
semejanza entre dos o más gráficos
dadas, atendiendo a su forma y tamaño.
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146
Finalmente, teniendo en cuenta el alcance del contenido geométrico y los objetivos de
aprendizaje, se procedió al diseño de las actividades de enseñanza y aprendizaje, teniendo
en cuenta los siguientes materiales y recursos didácticos:
1) Videos educativos: Según Salmerón Sánchez (2012), “una grabación en vídeo para
que sea didáctica, necesita de una preparación previa, precedida de una explicación previa
sobre lo que se pretende con ese vídeo y además con ejercicios y actividades antes, durante
y después de su visionado” (pp. 35 y 36). Además, este autor agrega que cualquier video se
puede utilizar como recurso didáctico, siempre que el docente sea capaz de adaptarlo a los
requerimientos de la asignatura. Por ello, haciendo uso de la plataforma www.youtube.com,
al buscar videos relacionados con el Teorema de Thales, se encontraron unos 12.000
resultados, entre los cuales se ubican videos como la canción que el grupo musical Les
Luthiers le dedicó a este tema geométrico, pasando por grabaciones de clases dadas por
diversos profesores, hasta la demostración del teorema realizada por estudiantes de
educación media o secundaria. Por ello, se seleccionó un video, preparado teniendo como
fondo musical la canción compuesta por el grupo Les Luthiers, en el cual se parte de la
observación de imágenes y construcciones de la ciudad de Buenos Aires (pero similares a
algunas que pudieran ubicarse en ciudades venezolanas), con el propósito de identificar
rectas paralelas, rectas paralelas cortadas por una secante, segmentos proporcionales, etc.,
hasta llegar a la demostración del Teorema de Thales.
2) Software de Geometría Dinámica: En esta propuesta, se decidió trabajar con el
Cabry Geometry II Plus, ya que, es un software de Geometría Dinámica que ha venido
siendo utilizado en los cursos de Geometría correspondientes a la especialidad de
Matemática en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico
de Maracay y, por ende, su manejo y utilidades han sido asimiladas por los diseñadores de
esta propuesta didáctica. En esta ocasión, se decidió emplear el Cabry II Plus como una
pizarra electrónica, mediante la cual se podrían mostrar construcciones geométricas con
regla y compás relacionadas con el trazado de rectas paralelas y las construcciones de
triángulos semejantes, incluyendo la división de un segmento en n partes iguales. Además,
con el software, es posible marcar ángulos y medirlos, así como medir las longitudes de
segmentos y, haciendo uso de la calculadora, calcular la razón entre las longitudes de dos
segmentos dados.
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147
3) Juego didáctico: Según Chacón (2008), la actividad lúdica es un ejercicio que
proporciona alegría, placer, gozo y satisfacción, captando la atención de los estudiantes y
permitiendo combinar la participación, la comunicación, el trabajo en equipo, la creatividad
y la obtención de conocimientos en el aula. Para esta autora, el juego didáctico es una
estrategia que
posee un objetivo educativo, se estructura como un juego reglado que incluye
momentos de acción pre-reflexiva y de simbolización o apropiación abstracta-
lógica de lo vivido para el logro de objetivos de enseñanza curriculares, cuyo
objetivo último es la apropiación por parte del jugador, de los contenidos
fomentando el desarrollo de la creatividad (p. 1).
Además, Chacón (2008) indica que en cualquier juego didáctico es necesario
destacar tres elementos: (a) el objetivo didáctico, (b) las acciones lúdicas y (c) las
reglas del juego. Por ello, en el Cuadro 4, se presenta una síntesis del juego
“Encuentra mi Pareja” (tipo memoria), atendiendo a los mencionados elementos:
Cuadro 4
Descripción del juego “Encuentra mi Pareja”
Título Área de
conocimiento
Contenidos
Encuentra mi Pareja Matemática Proporcionalidad y
Semejanza geométrica
Objetivo
Lúdico
Reconocer pares de segmentos proporcionales o pares de gráficos
semejantes, entendidas estás como gráficos que tienen la misma
forma y no necesariamente el mismo tamaño.
Acciones
Lúdicas En una superficie plana, se colocan volteadas, por lo menos, treinta (30)
tarjetas con gráficos geométricas, cada uno de los estudiantes escogerá un par
de tarjetas, procurando formar una pareja ya sea de segmentos proporcionales (para lo cual quizá tenga que calcular la razón entre sus longitudes para decidir
si son proporcionales) o gráficos semejantes (para lo cual necesita aplicar algún
criterio de semejanza para triángulos). El docente debe procurar que cada uno de los estudiantes explique la razón por la cual las gráficos que escogió son
semejantes o los segmentos son proporcionales.
Reglas
de Juego
Similares al juego tipo memoria
Asimismo, se diseñó el juego “Aceptando el Reto” (tipo Rally), con la finalidad de
evaluar los aprendizajes alcanzados por los estudiantes de 9no grado de Educación Básica,
en cuando al estudio de la semejanza de triángulos y los criterios de semejanza AA, LAL y
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LLL, así como el enunciado y la demostración del Teorema de Thales y su aplicación en la
resolución de triángulos (ver Cuadro 5).
Cuadro 5
Descripción del Juego “Aceptando el Reto”
Título Área de
conocimiento
Contenidos
Aceptando el
Reto
Matemática Proporcionalidad y Semejanza
geométrica; enunciado,
demostración y aplicación del
Teorema de Thales
Objetivo
Lúdico Establecer el enunciado del Teorema de Thales (Estación 1).
Reconocer gráficos semejantes, a partir de la observación de
tarjetas con diversas imágenes del entorno cercano (estación 2).
Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de triángulos
(Estación 3).
Reconstruir la demostración del Teorema de Thales, teniendo
como referencia las fichas obtenidas, una vez superado el reto, en las
estaciones previas (Estación 4).
Acciones
Lúdicas En la institución, se dispondrán cuatro (4) estaciones; en cada una de ellas se
propondrá un reto a cada uno de los equipos participantes, el cual deberá
superar en un tiempo determinado. Cabe señalar que cada equipo estará integrado por cuatro (4) estudiantes, uno (1) por cada una de las estaciones, para
que todos participen. Si logran superar el reto propuesto, recibirán una tarjeta
con un fragmento de la demostración del Teorema de Thales, las cuales son necesarias obtenerlas para completar el rally.
Reglas
de Juego
Similares al juego tipo Rally, con cuatro estaciones.
CONCLUSIONES
Con el diseño de esta propuesta didáctica, se ha evidenciado la utilidad del análisis
didáctico como una herramienta que facilitó la toma de decisiones en cuanto al alcance del
tema tratado (biografía de Thales de Mileto y sus aportes al desarrollo de la Geometría en la
Grecia Antigua; razones y proporciones; gráficos semejantes, criterios de semejanza para
triángulos; enunciado, demostración y aplicaciones del Teorema de Thales), las habilidades
geométricas que se pretende sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes y la
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planificación de estrategias didácticas que combinaron el uso de un video educativo (con
fines informativos y motivacionales), el uso del Cabri Geometry II Plus como herramienta
para realizar construcciones geométricas con regla y compás y efectuar mediciones (tareas
reproducibles haciendo uso del juego geométrico) y de los juegos didácticos, valiéndose de
la adaptación a estructuras conocidas como los juegos tipo memoria o tipo rally. Por lo
tanto, en el proceso de formación inicial de los profesores de Matemática, es necesario que
ejecute tareas vinculadas al diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas con
contenido matemático, teniendo en consideración los programas de estudio para el área de
Matemática, los libros de texto más empleados por los docentes, algunos referentes teóricos
como el mapa de enseñanza y aprendizaje propuesto por Orellana Chacín (2002) y el
modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele (1959), con el propósito de desarrollar y
poner en juego su conocimiento profesional matemático y didáctico.
REFERENCIAS
Chacón, P. (2008). El Juego Didáctico como estrategia de enseñanza y aprendizaje. ¿Cómo
crearlo en el aula? Nueva Aula Abierta nº 16. Disponible en:
http://www.grupodidactico2001.com/PaulaChacon.pdf
Gómez, P. (2005). El análisis didáctico en la formación inicial de profesores de
matemáticas de secundaria. Comunicación presentada en el Seminario Análisis
Didáctico en Educación Matemática. Málaga. Disponible en:
http://funes.uniandes.edu.co/394/1/GomezP05-2797.PDF.
Gómez, P. y Rico, L. (2002). Análisis didáctico, conocimiento didáctico y formación inicial
de profesores de matemáticas de secundaria. Documento no publicado. Granada:
Universidad de Granada.
Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo de
ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto
Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.
Nagel, E. y Newman, J.R. (1999). El Teorema de Gӧ del. Tercera edición. Madrid:
Editorial Tecnos.
Orellana Chacín, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la
Matemática 11(2), 21-42.
Perry Carrasco, P., Camargo Uribe, L., Samper de Caicedo, C. y Rojas Morales, C. (2006).
Actividad demostrativa en la formación inicial del profesor de matemáticas.
Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
150
Salmerón Sánchez, M. (2012). Uso y selección de videos educativos en el ámbito escolar.
Revista Digital Enfoques Educativos nº 87, 34 – 55. Disponible en:
http://www.enfoqueseducativos.es/enfoques/enfoques_87.pdf
Van Hiele, P.M. (1959). La pensée de l'enfant et la géométrie. Bulletin de l'APMEP 198,
pp. 199-205. Traducido al español por Ricardo Barroso. Disponible en:
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/aprgeorefer.html
Villani, V. (1998). Discussion Document for an ICMI Study. En C. Mammana y V. Villani
(Comps.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. An ICMI
Study (pp. 337-346). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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CASAS DE BAHAREQUE:
UNA VISIÓN ETNOMATEMÁTICA A PARTIR DE SU CONSTRUCCIÓN
Robert Lira
U.E.N.C. “El Paují” – Espacio Educativo Valle de San Isidro
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En los últimos tiempos, la Etnomatemática ha logrado posicionarse entre los campos de
estudios existentes y más importantes para el estudio de la Matemática. Desde una visión
etnomatemática se pueden relacionar diferentes aspectos socioculturales y medio
ambientales con las ideas matemáticas que las personas desarrollan en su cotidianidad. Esta
investigación estuvo orientada a encontrar y develar la Matemática que se encuentra
presente en la construcción de casas de bahareque por parte de los habitantes del Valle de
San Isidro, el cual es un caserío ubicado entre la Colonia Tovar y El Consejo (Estado
Aragua); para ello se procuró interpretar los productos culturales a través de su relación con
conceptos matemáticos. Se trató de un estudio cualitativo centrado en la Etnomatemática a
través de un trabajo de campo. Para llevarlo a cabo se realizaron observaciones y
conversaciones con personas mayores del sector y practicantes de labores cotidianas, así
como la elaboración de casas a escala con los participantes del estudio. Seguidamente, se
analizó la información recabada por medio de triangulación y análisis de contenido para
llegar a comprender el fenómeno de las Matemáticas Contextualizadas presentes en el
sector, teniendo como referencia para interpretar la información a la Etnomatemática
conceptualizada por D´Ambrosio (2002) y las Actividades Matemáticas Humanas de
Bishop (1999). Entre los resultados encontrados se tiene que las personas usan
intuitivamente conocimientos matemáticos, los cuales les han ayudado en sus acciones de
trabajo, ya que, realizan cálculos y estimaciones en los procedimientos, trabajan con
diferentes magnitudes para medir longitudes y hacen uso de diferentes artefactos para la
realización de las mismas, llegando a utilizar gráficos o relaciones geométricas en la
construcción de sus casas.
Palabras clave: Etnomatemática, Actividades Matemáticas Humanas, Matemáticas
contextualizadas, construcción de casas de bahareque.
SITUACIÓN INVESTIGADA
Las primeras ideas matemáticas trabajadas por el hombre estaban relacionadas con el
espacio y el número; de esta forma, las distintas civilizaciones que han existido sobre la
tierra han creado y trabajado ideas matemáticas relacionadas con la Geometría y la
Aritmética, al principio de forma rudimentaria y luego desarrollando conceptos más
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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avanzados (Boll, 1973; Sotelo Álvarez, 1987). Esto le permitió al hombre ir creando
símbolos, sistemas y técnicas con los que comprendían el entorno y actuaba sobre éste.
Así se ha visto que culturas muy antiguas desarrollaron y sistematizaron gran parte de
los conocimientos matemáticos que se conocen hoy en día, los cuales fueron fruto del
trabajo de los hombres al relacionarse con el medio y la búsqueda de respuestas a ciertas
necesidades e inquietudes. Las acciones y los productos que han dejado las diversas
culturas en el mundo forma parte del legado de la humanidad y, en la actualidad, se han ido
develando matemáticas ocultas, las cuales no tuvieron trascendencia cuando se fueron
sistematizando los conocimientos matemáticos; conocimientos que nacieron por las mismas
actividades realizadas por el hombre en el entorno inmediato.
Asimismo, D´Ambrosio (2002) dice que “muchas personas sin escolaridad tratan con
números y con mediciones en la vida cotidiana”, comprendiendo de esta manera la forma
natural con que los seres humanos hacen matemática sin haber estudiado en algún
programa escolar. De igual modo, las experiencias de la vida diaria pueden proporcionar
oportunidades para el aprendizaje de la matemática; esto por la misma necesidad de
convivir y resolver situaciones de su entorno cultural y con la firme intención de realizar
procesos que son vistos como cotidianos e inherentes a ellos, y que, en muchas
oportunidades, pasan inadvertidos por estos mismos actores (Schliemann, 1991).
En este orden de ideas, Bishop (1999) reflexiona sobre las acciones que realizan los
humanos y las llama actividades matemáticas humanas, las cuales son aquellas actividades
y procesos que conducen al desarrollo de ideas matemáticas y éstas tienden a ser
universales en todas las culturas; este autor las ubica o clasifica en seis (06) categorías, las
cuales caracterizan los fenómenos sociales; éstas son: contar, diseñar y construir, medir,
ubicar, reproducir y jugar y, por último, explicar. Estos modos de actuación que tienen los
seres humanos son los que los ayudan a resolver los problemas que se les van presentando
en su quehacer cotidiano y ahí mismo es donde se va construyendo la matemática que es
afín a ellos.
Por lo antes mencionado, los investigadores encontraron un motivo que los llevó a
realizar este estudio sobre la base de la existencia de ideas matemáticas presentes en las
acciones cotidianas de los habitantes del Valle de San Isidro; región que posee
características particulares por su aislamiento debido a factores topográficos y territoriales,
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
153
pero que dentro de su dinámica cultural presenta una gran riqueza de elementos
susceptibles de ser estudiados; entre ellos, éste que se desarrolló buscando los elementos
matemáticos presentes en algunas actividades cotidianas de la región.
A partir de lo planteado comenzaron a surgir una serie de interrogantes que de alguna
manera llevan a reflexionar sobre las matemáticas contextualizadas, las cuales son de
utilidad para resolver situaciones que forman parte de la cotidianidad y entorno de los
habitantes del Valle de San Isidro. Es por ello que se hizo una indagación sobre las
actividades cotidianas en esta localidad y una de la más resaltante fue la construcción de
viviendas, las cuales son de bahareque, construidas con elementos encontrados en el mismo
entorno.
Durante el desarrollo de este estudio y desde una visión etnomatemática, emergieron
diversas interpretaciones sobre algunas ideas matemáticas encontradas y que han resultado
eficientes en las construcciones de estas viviendas.
Objetivo General
Analizar las actividades matemáticas puestas en práctica en las construcciones de
viviendas desarrolladas por los habitantes del Valle de San Isidro – Colonia Tovar.
Objetivos Específicos
Describir los procedimientos cotidianos en las actividades de construcción de viviendas
que realizan los habitantes del Valle de San Isidro.
Identificar las actividades matemáticas que están implícitas en los procedimientos de
construcción de viviendas realizadas por los habitantes del Valle de San Isidro.
Analizar los contenidos matemáticos encontrados en las construcciones de casas de
bahareque desarrolladas por las personas del Valle de San Isidro.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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MARCO REFERENCIAL INTERPRETATIVO
Para poder comprender las situaciones encontradas en las construcciones de las
viviendas y las otras actividades encontradas en el Valle de San Isidro, se tomaron en
consideración dos importantes posturas las cuales sirvieron como sustento tanto al trabajo
de campo como al ejercicio interpretativo. Estas son:
Etnomatemática: el término fue acuñado por Ubiratan D´Ambrosio, a fin de explicar las
matemáticas que son producidas por los grupos culturales; la conceptualiza como el
conocimiento que se genera como producción socio-cultural y, por lo tanto, puede ser
(re)construida y apropiada para la solución de problemas y mejoramiento de la calidad de
vida (D´Ambrosio, 2004). Es así como las prácticas realizadas por los seres humanos
pueden ser matematizadas y reconocidas como herramientas para la vida.
Actividades matemáticas humanas
Se reconoce la Matemática como producto cultural proveniente de las actividades
sociales, en donde los grupos van desarrollando acciones con la finalidad de ir
relacionándose armónicamente y satisfacer sus necesidades; esto trae como consecuencia
que progresivamente se desarrollen y apliquen otros procedimientos, que llevan a producir
matemáticas.
Bishop (1999) presenta seis (06) actividades que conceptualizan y categorizan todos los
procesos desarrollados por los grupos sociales; las agrupa a su vez en tres campos de
estudio, estos son:
• Ideas relacionadas con números: contar y medir.
Contar: se refiere a los sistemas de contar que emplean los grupos sociales, los cuales
tienen diferentes bases de numeración; dentro de esta categoría, también se encuentran los
métodos de simbolización de tales números, las frases numéricas y los materiales
empleados para representar números.
Medir: se ocupa de comparar, ordenar y cuantificar cualidades, en donde el entorno
circundante es el que dará las pautas para proporcionar las cualidades a medir (longitud,
área o superficie, volumen, peso, tiempo, etc.) con las correspondientes unidades de
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medida; principalmente es un método comparativo que surge por la necesidad de comparar
dos o más cosas.
• Estructuración espacial: localizar y diseñar.
Localizar: es una actividad universal en donde se realiza la codificación y simbolización
del entorno espacial; entre las nociones que se trabajan y desarrollan se tienen las nociones
geométricas (dirección, orden, finitud, lateralidad, métrica, dimensión, etc.).
Diseñar: el principal objetivo de esta actividad es conocer la tecnología, los objetos y los
artefactos que puede diseñar el hombre para la vida doméstica; se destaca acá como el
hombre le impone una estructura particular a la naturaleza.
• Relación entre individuos con el entorno: jugar y explicar.
Jugar: es una actividad que tiene gran cantidad de procedimientos matemáticos, los cuales
se consideran importantes para el estudio, ya que, para llevarlos a cabo se tienen reglas que
guiarán los procedimientos a seguir en los juegos.
Explicar: su principal función es la de explicar las relaciones existentes entre unos
fenómenos y la búsqueda de una teoría explicativa; la representación de similitudes es lo
que se destaca en esa actividad, ya que los hombres van buscando algo que los lleve a
comprender y entender los fenómenos que hay a su alrededor.
METODOLOGÍA DEL PROCESO INVESTIGATIVO
Principalmente, el estudio se centró en ver cómo las personas llevan a cabo sus
prácticas cotidianas, qué sentido tiene para ellos estas prácticas e intentar develar las
matemáticas que se encuentren implícitas en sus propios actos. También, se debe destacar
que la realización de la investigación se ubicó en el ámbito de la Etnomatemática, en donde
se sugiere la necesidad de conocer qué hacen las personas, cómo lo hacen y para qué hacen
diversas actividades, develando el significado de las acciones, y poder esclarecer las
matemáticas subyacentes en las mismas.
Para la realización de la investigación se acudió a la Etnomatemática como programa
de investigación, con la finalidad de orientar el proceso para dar a conocer esas prácticas
etnomatemáticas, y con el fin de interpretar diversos fenómenos o productos culturales
existentes a través de la visión de las matemáticas académicas, esto como una forma de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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relacionarla con conceptos conocidos que tienen validez dentro de las acciones y productos
de la localidad del Valle de San Isidro. Para ello se tomó como vías de interpretación las
siguientes metodologías empíricas que caracterizan la investigación etnomatemática:
• La etnomatemática descriptiva, que describe como miembros de una cultura usan
intuitivamente matemáticas en su vida diaria.
• La etnomatemática matematizadora, la cual propone la traducción del material cultural
a una terminología matemática, o relacionarlo con los conceptos matemáticos existentes.
La interpretación de la información se hizo de modo cualitativo a través de un trabajo de
campo. El estudio estuvo centrado en aspectos socioculturales, producto de las
realizaciones de los mismos habitantes del Valle de San Isidro, los cuales se recopilaron en
diferentes descripciones, conversatorios con los propios actores y autores de actividades en
el sector; se realizaron grabaciones de la puesta en práctica de algunas actividades que
permitieron tener una documentación mas exhaustiva para su posterior interpretación de
acuerdo a la realidad encontrada. Las personas que se tomaron en consideración para el
estudio fueron adultos de la comunidad y eran los que realizaban actividades con mayor
esfuerzo. También tenemos que se realizaron descripciones detalladas de los productos
culturales, llámense casas, siembras de la región, y el juego de bola sin tener injerencia en
la realización de los mismos, esto de acuerdo al momento del proceso investigativo. En los
siguientes gráficos se resume la actividad investigativa llevada a cabo en este estudio:
Gráfico 1. Procedimiento metodológico de la investigación
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Gráfico 2. Procedimiento metodológico-investigativo para el análisis de las prácticas
etnomatemáticas del Valle de San Isidro
MATEMATIZACIÓN DE LO COTIDIANO
En los principales hallazgos encontrados del estudio realizado a las casas de la
localidad (producto cultural), así como también a la construcción de las mismas (proceso),
tanto en tamaño real como a escalas, se identificaron diversas ideas matemáticas y se
interpretaron con la visión de la funcionalidad de estas ideas en la efectividad de soluciones
habitacionales dentro de la región.
En la identificación de la actividad de diseñar tiene trascendencia la abstracción de
elementos naturales, ya que, los mismos habitantes convierten los materiales que tienen a
su alcance, a través de diversos procesos, en productos que servirán para la construcción de
la vivienda y, además, le imprimen un diseño en función del propósito por el cual se
construye la vivienda. También, se tiene que el procedimiento de construcción se vincula
con la actividad del diseño, porque ésta guiará la construcción de la casa, en ese cómo es
donde se pone de manifiesto el carácter práctico.
Otro aspecto a destacar son las gráficos geométricas que se identifican en el diseño y
construcción de las casas, llegándose a observar el empleo de diseños comunes. Tales
gráficos tienen una funcionalidad dentro de la vivienda. Así se tiene que, inicialmente se
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construye un cuadrado, el cual será la sala, luego se van construyendo las demás
habitaciones; la visualización del cuadrado se nota en el plan destinado para la casa.
Existe un modo de construir el cuadrado y es colocando las marcas de horcones de igual
distancia en el piso, se establecen estas marcas como guías que sirven para realizar el
cuadrado; es todo un proceso en donde se trata de encontrar las propiedades de esta gráfico
geométrica para su utilidad en las viviendas.
En las casas que se han visitado, se puede ver que el cuadrado está presente en la
construcción de la sala, variando solamente de tamaño de una casa a otra. Esto pudiera
relacionarse con la noción de semejanza, debido a que los cuadrados son semejantes entre
sí.
Así también tenemos presencia de otras gráficos geométricas que se forman por la
misma construcción, estas tienen que ver con el empleo de diseños comunes como puertas
y ventanas, y otras gráficos que están presentes en las casas de acuerdo a la utilidad en las
mismas. En el entramado de madera de las estructuras de las casas, se identifican gráficos
de cuadriláteros como el trapecio, rectas paralelas cortadas por una secante, rectas en
dirección vertical, horizontal u oblicua.
En la construcción de la casa, se siguen diversos procedimientos, según un plan que se
hace, aquí los horcones juegan un papel fundamental, ya que con el uso de los mismos es
que se desarrolla el proceso. De forma intuitiva, se debe comenzar haciendo un cuadrado en
el terraplén destinado para la casa, luego en los vértices se levantarán los horcones que
indicarán las esquinas, posteriormente se colocan los horcones del caballete; así ya hay una
planificación que se cumple.
En la actividad de medir, se destaca la longitud de horcones como aspecto a ser
estudiado, ya que ésta es la principal característica que se pone en evidencia cuando se
desarrolla la construcción de las casas, debido a que el material empleado con mayor
frecuencia son los palos. Entonces, se está en constante proceso de comparación de
longitudes para determinar la longitud de los mismos de acuerdo a la utilidad que tendrán
en la construcción; de igual modo, la habilidad para medir está presente en el momento de
la colocación de los horcones y varas en la casa, esto va permitiendo tener una armonía en
la construcción, incluyendo la conservación de distancia para la colocación de varas de la
pared. Otro aspecto a destacar es que prestan atención al grosor de las varas ya que debe ser
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uniforme tanto para las paredes como para el techo. Las frases comparativas se dan a cada
momento, pues, el mismo proceso de medir va determinando las acciones a seguir.
Para conocer el cómo determinan el punto medio de un segmento que conforma un lado
del cuadrado siguen un procedimiento novedoso para los investigadores: se coloca el
extremo del palo en un punto se supone sea el centro y, luego, se gira el palo haciendo el
balanceo y su longitud se compara con la mitad de un lado del cuadrado. Pueden
presentarse tres situaciones. (a) Que el palo y la mitad de un lado del cuadrado tengan la
misma longitud, lo cual garantiza que el punto seleccionado es el punto medio del lado del
cuadrado. (b) Que la longitud del palo sea mayor que la longitud de la mitad de un lado del
cuadrado. (c) Que la longitud del palo sea menor que la longitud de la mitad de un lado del
cuadrado. En otras palabras, en las situaciones (b) y (c) hay un excedente o un déficit
respectivamente de la longitud del palo con respecto a la mitad de la longitud del lado
considerado; en caso de excedente se hace una marca y para el déficit se completa con una
pequeña vara. Seguidamente, usando la marca supuesta para el punto medio, nuevamente se
gira el palo repitiendo el balanceo, cuando se llega al otro extremo se compara, de existir la
misma longitud ya se ha encontrado el punto medio, en caso que la distancia del excedente
o déficit sea diferente a la supuesta otra mitad, se hace un nuevo ajuste para repetir el
proceso hasta encontrar el punto medio. El procedimiento de rotación que se realiza es
parecido cuando se trabaja con el compás. El proceso de conseguir el punto medio tiene
relación con la actividad matemática de medir y localizar.
En la actividad de localizar se pone de manifiesto el papel fundamental que juega la
ubicación de los principales horcones y varas para el levantamiento de la casa; así, las varas
empleadas para la construcción de las paredes interiores y exteriores se ubican en posición
horizontal.
Cuando se indagó el porqué la disposición horizontal, esto viene dado por el apoyo que
brindan al momento de “embarrar”. En una conversación realizada con uno de las personas
participantes del estudio, se le preguntó si se podía envarar la casa con la disposición
vertical y dijo que el barro se caería, con la dirección oblicua no tendría resistencia para el
momento de colocar el barro. Con tales negaciones de colocar varas en modo oblicuo ya se
establece que la conformación de varas se repetirá de modo horizontal.
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Para envarar en disposición horizontal, establecen una adecuación de distancia de
separación entre las varas, aquí se pone en evidencia el uso de medida para separar las
varas. En una conversación con uno de los más experimentado en la construcción de
viviendas acerca del envarado horizontal, este comentó que se emplea como separación de
las varas cuatro (04) dedos, esta medida no es estándar pero tiende a ser similar en las
demás casas, por el mismo motivo comentado que es para sostener el barro.
CONCLUSIONES
A partir de la descripción de los procedimientos que siguen los habitantes del Valle de
San Isidro al construir sus casas de bahareque y la identificación de las actividades
matemáticas implícitas en tales procedimientos, se encontraron ideas matemáticas
asociadas a las actividades matemáticas humanas mencionadas por Bishop (1999), las
cuales se relacionaron con conceptos matemáticos, esto como vía para poder tener una base
que lleve al diseño de una propuesta didáctica basada en la Etnomatemática, con el
propósito de comprender el fenómeno de las matemáticas contextualizadas.
Entre los principales hallazgos del estudio de la construcción de las viviendas de
bahareque en el Valle de San Isidro, se pueden mencionar:
Diseñar: a través de gráficos geométricas construidas, empleo de diseños comunes,
transformación de materiales imprimiéndoles una forma y modelo (visualización de
gráficos geométricas, construcción de gráficos geométricas).
Medir: a través de la comparación de longitudes del tamaño de los horcones (procedimiento
para medir, estimación de longitudes, instrumentos de medición, orden, longitud, lenguaje
matemático contextualizado).
Explicar: frases argumentativas sobre el diseño y funcionalidad de las casas (lenguaje,
clasificación).
Localizar: ubicación de los diferentes palos en la estructura de las casas, dirección de los
palos (rectas paralelas, rectas perpendiculares, oblicuas, pendiente de una recta, sistema de
referencia).
Contar: cantidad de palos para construir la casa (numeración, uso de números, conteo,
fracciones).
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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REFERENCIAS
Bishop, A. (1999). Enculturación Matemática: La educación matemática desde una perspectiva cultural (G. Sánchez Barberán, Trad.). Barcelona, España: Ediciones Paidos Ibérica, S.A.
Boll, M. (1966). Historia de las Matemáticas. (A. A. de Alba, Trad.). Distrito Federal, México:
Editorial Diana, S.A. D´Ambrosio, U. (2002). Why Ethnomathematics? Or what is Ethnomathematics and how can it
help children in schools. [Documento en línea]. Disponible:
http://vello.sites.uol.com.br/what.htm [Consulta: 2008, Diciembre 20] D´Ambrosio, U. (2004). O programa Etnomatemática: história, metodología e padagogia.
[Documento en línea]. Disponible: http://sites.uol.com.br/vello/ program.htm [Consulta: 2010,
Mayo 9]
Schliemann, A. (1991). La compresión del análisis combinatorio: desarrollo, aprendizaje escolar y experiencia diaria. (R. C. de Cendrero, Trad.). En: En la vida diez, en la escuela cero. Distrito
Federal, México: Siglo XXI Editores, s.a. de c.v.
Sotelo Álvarez, M. (1987). Historia de los números. Caracas: Editorial Algoritmo.
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BLOG: EL MUNDO DE PITÁGORAS EN LA ERA TECNOLÓGICA
Andrea Osorio
Carmen Gil, Wolghan Gómez, Evelyn Romero
Yerikson Suárez
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
El avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación es
inevitable y genera cambios socio-culturales cuyas consecuencias forman parte inherente
de la educación actual; prueba de ello son los estudiantes de esta era, los llamados nativos
digitales: aquellos individuos que han crecido inmersos en la tecnología digital y hacen uso
cotidiano de las redes sociales para acceder a la información y comunicarse con otras
personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007). Por consiguiente, la adaptación a los
cambios y formación de los profesores para la adecuada incorporación de estas
herramientas tecnológicas en la educación es indispensable para su efectividad en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en particular, de la
Matemática. Por ello, se propone la utilización y creación del Blog: El Mundo de Pitágoras,
con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de educación media
interactúen con lo visto en las clases de Matemática, establezcan dudas acerca de este tema,
propongan información de interés en relación al teorema de Pitágoras y sean partícipes de
su propio conocimiento. Para lograr estos objetivos, este blog cuenta con un diseño que
muestra el título, una breve descripción del mismo, el perfil de sus creadores, el archivo con
todas las publicaciones cargadas cronológicamente y las actividades didácticas propuestas
por sus administradores. Cada una de estas actividades tiene una intencionalidad didáctica
específica y, por ende, una estructura que favorece el aprendizaje de los estudiantes como el
manejo efectivo del blog; dicha estructura comprende los objetivos de la actividad, la forma
de trabajo, la evaluación a aplicar y el establecimiento del lugar y los materiales a utilizar
por los estudiantes.
Palabras clave: Tecnologías de Información y Comunicación, Blog, Teorema de Pitágoras.
INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia la educación ha sido considerada el pilar y eje director del
proceso sociocultural; esto por ser un medio en el cual los individuos adquieren las
herramientas necesarias para su integración a la sociedad mediante el inquebrantable
intercambio de información, propiciando el proceso de enseñanza - aprendizaje.
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Uno de los cambios socioculturales de mayor repercusión son los ocasionados por el
avance de la era tecnológica en el manejo de la información y la comunicación cuyas
consecuencias forma parte inherente de la educación actual; prueba de ello son los
estudiantes de esta era, los llamados nativos digitales: aquellos individuos que han crecido
inmersos en la tecnología digital y hacen uso cotidiano de las redes sociales para acceder a
la información y comunicarse con otras personas (García, Portillo, Romo y Benito, 2007).
Particularmente en Venezuela a mediados de los años ochenta comienzan a llegar las
primeras computadoras, dando paso así a la Era de la Tecnología, debido a ello es como
poco a poco fuimos haciéndonos usuarios de celulares, computadoras, fax, televisión,
internet y una diversidad de artefactos y programas; convirtiéndose en una parte
indispensable de nuestra vida. Dichos avances han permitido comunicarnos de manera más
avanzada y personalizada.
A todas estas herramientas tecnológicas que se usan como medio para la
comunicación y procesamiento de la información, se le conoce como Tecnología de
Comunicación e Información (TIC). Ha sido tan grande su repercusión en la sociedad y en
la educación que el acceso a las TIC y la formación requerida para su empleo idóneo se
encuentran establecidos en la Constitución de la República Bolivariana de Venezuela
(C.R.B.V):
Artículo 108. Los medios de comunicación social, públicos y privados, deben
contribuir a la formación ciudadana. El Estado garantizará servicios públicos de
radio, televisión y redes de bibliotecas y de informática, con el fin de permitir el
acceso universal a la información. Los centros educativos deben incorporar el
conocimiento y aplicación de las nuevas tecnologías, de sus innovaciones,
según los requisitos que establezca la ley.
Además, en el Artículo 110 de la C.R.B.V, se declara como asunto de interés público a
la ciencia, la tecnología y la innovación y, por ello, “para el fomento y desarrollo de esas
actividades, el Estado destinará recursos suficientes y creará el sistema nacional de ciencia
y tecnología de acuerdo con la ley. El sector privado deberá aportar recursos para los
mismos”. Esto se ha venido materializando, a partir de la promulgación de la Ley Orgánica
de Ciencia, Tecnología e Innovación (LOCTI), en la creación de establecimientos que
garanticen el acceso a las TIC, como los infocentros, CBIT, bibliotecas virtuales, etc.
Esto se puede visualizar en el proyecto Canaima Educativo, el cual tiene por objetivo
“apoyar la formación integral de las niñas y los niños, mediante la dotación de una
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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computadora portátil escolar con contenidos educativos a los maestros y estudiantes del
subsistema de educación primaria” (Ministerio del Poder Popular para la Ciencia,
Tecnología e Innovación, s/f). Asimismo, las TIC están contempladas tanto como tema de
estudio como recurso didáctico en el Currículo Nacional Bolivariano (CNB) y las mismas
las clasifican en: (a) La informática (computadora, software, multimedia, discos compactos,
y bases de datos); (b) Tecnología audiovisual (videos en sus diferentes formatos) y (c)
Telecomunicaciones (la televisión, los programas, teleconferencias, red, web o internet, con
todas sus posibilidades y radio).
Actualmente, en el ámbito de las telecomunicaciones destaca el uso de la Web, la cual,
según Macías y Michán (2009), “es una de las formas de distribuir la información a través
de internet, evolucionando para mejorar la calidad de la telecomunicación” (p.18-19). Cabe
señalar que, en función al desarrollo de la Web, los expertos han identificado dos etapas:
(a) La Web 1.0, dedicada a la publicación de contenidos, sin participación abierta de los
usuarios, (b) La Web2.0, la cual sigue facilitando la publicación de contenidos y consultas
en línea, pero que propicia la construcción e intercambio de conocimientos por medio de la
interacción en línea. Entre las herramientas de la Web 2.0, destacan los wikis, el twitter, los
blogs, entre otros.
En cuanto a los Blog es una publicación en forma de diario o foro virtual donde se da a
conocer información general sobre un tema específico, ofreciendo la oportunidad de emitir
comentarios, publicar artículos, etc.
En el campo educativo, según Valero (2009) se distinguen varios tipos de blogs: (a)
Blogs profesionales de los docentes, los cuales muestran la experiencia, los conocimientos
y la información profesionales de un educador; (b) blogs de estudiantes, los cuales incluyen
tareas y actividades aconsejadas por los docentes, pero a la vez implican la búsqueda y la
creación de conocimiento por parte del estudiante según sus propios intereses, y (c) blogs
de aula, los cuales suelen ser colectivos, porque el docente participa en ellos con los
estudiantes, ya sea publicando tareas y actividades educativas, o publicando junto a sus
alumnos artículos de las misma características.
Por consiguiente, la adaptación a los cambios y formación de los profesores para la
adecuada incorporación de estas herramientas tecnológicas en la educación es indispensable
para su efectividad en el proceso de enseñanza y aprendizaje de cualquier disciplina y, en
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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particular, de la Matemática. Por ello, se propone la creación y utilización del Blog de aula:
El Mundo de Pitágoras, con el propósito de permitir que los estudiantes de tercer año de
educación media interactúen con lo visto en las clases de Matemática. Una de las ventajas
del uso de las TIC es que despierta o aumenta el interés de los estudiantes hacia el tema de
estudio mediante la interacción con su profesor y sus compañeros, debido a que el blog le
ofrece y permite a los estudiantes la interacción por medio de ventanillas de comentarios,
ya sea para proponer información de interés en relación al teorema de Pitágoras y plantear
dudas o inquietudes, o responder a las preguntas formuladas. De esta manera, los
estudiantes se hacen partícipes de su propio conocimiento, en la medida que haciendo uso
de la informática, abordan el estudio de un tema matemático.
DISEÑO DEL BLOG
Para determinar el alcance del contenido geométrico a ser estudiado en este blog (el
teorema de Pitágoras), se elaboró un mapa de enseñanza y aprendizaje (Orellana Chacín,
2002) y se aplicó el modelo de razonamiento geométrico (Van Hiele, 1957) para establecer
las habilidades geométricas que se pretenden sean alcanzadas por los estudiantes.
Asimismo, se estableció que el blog contara con un diseño estructural conformado por
una página principal, la cual contiene el título del Blog en su parte superior y una breve
reseña ubicada en una ventana debajo del título, donde se le da la bienvenida a los
estudiantes que accedan al blog. Además, esta página se encuentra dividida en tres
columnas organizadas de la siguiente manera: (a) Columna izquierda, cuenta con un reloj
digital y debajo de ella una pestaña para acceder al perfil del coordinador de la página; (b)
Columna derecha, se encuentra con un gagdet de conteo de seguidores, seguidamente de
ello se observa una ventana donde se publicarán hechos históricos de diversas índoles,
como parte de la cultura general del estudiantado y, luego, se mencionan cronológicamente
los archivos publicados en el blog ; (c) Columna central, la cual será la protagonista del
blog, ya que, la misma se refiere a todas las publicaciones y los links para acceder a ellas,
además dispone de una ventana de comentarios para que los visitantes puedan expresar sus
inquietudes, dudas y apreciaciones acerca del tema visto. En el siguiente gráfico, se muestra
una vista de la página principal del blog intitulado “El Mundo de Pitágoras”
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Gráfico1. Vista de la página principal del blog “El Mundo de Pitágoras”
En la parte inferior se hallan diversos gadget para la diversión de los estudiantes, con
ello se espera mantener el interés de los visitantes en la revisión periódica del blog; entre
estos gadgets se encuentran una calculadora científica, los chistes del día y los refranes del
día.
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Gráfico2. Vista de los gadgets
En cuanto a la utilidad del Blog Mundo de Pitágoras estas se reflejarán en las actividades
publicadas en el blog, conservando el siguiente formato:
Cuadro 1
Utilidades de las TIC
Actividad Ejemplo
El objetivo de la
actividad o ejercicio.
Establecer con toda claridad qué se busca lograr
con esa actividad o ejercicio.
En el caso del teorema, el estudiante
podrá explicar ¿qué es?, ¿quién fue
su creador?, ¿cuál es su
demostración?.
La forma de trabajo Es necesario que de manera puntual se
especifique qué y cómo se utilizará la TIC.
Buscar la información en los
siguientes espacios y anotar en una
hoja los datos relevantes, (es
importante que se consulte por lo
menos en dos fuentes de
información, cuando se realice una
consulta).
Evaluación
Toda actividad de aprendizaje tiene que tener una
evaluación, autoevaluación o confirmación de lo aprendido, con la revisión de un tercero. Por
ejemplo: al finalizar las actividades de consulta o
de uso de la TIC el estudiante podrá presentar sus
resultados a su profesor.
El estudiante presentará sus
resultados directamente a su
profesor asesor.
Material y lugar
Elementos que se requieren para llevar a cabo la
actividad, espacios en la sala y TIC que se
utilizarán.
Computadoras, internet y/o
software, sala de usos múltiples y
de cómputo.
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Basados en lo señalado en el cuadro 1, se presentarán las cuatro (4) actividades que
inicialmente fueron incorporadas al este blog: (a) A través del tiempo, (b) Recordemos; (c)
Demostrando, y (d) Pitágoras y nuestro mundo.
Cuadro 2
Descripción de la actividad nº 1: A través del tiempo
Pantalla
El objetivo de la actividad o
ejercicio.
Que el estudiante conozca el origen del teorema de Pitágoras
y su recorrido a lo largo del tiempo. Por lo que podrá
responder a preguntas tales como:
*¿Quién fue Pitágoras?
*¿Cómo surge el teorema de Pitágoras?
*¿Cuáles fueron las civilizaciones donde se evidenció el uso
del teorema?
La forma de trabajo
Que el estudiante busque, en el blog, la información
denominada “A través del tiempo”, la lea y, en el cuaderno
de Matemática, haga una síntesis de esta lectura. También se
le recomienda buscar otras fuentes de información para
complementar la lectura realizada.
Evaluación
Cada uno de los estudiantes realizará la lectura de su
resumen y, además, se les pedirá que den su opinión sobre el
tema estudiado.
Material y lugar
Computadora con conexión a internet y cuaderno de la
asignatura.
Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos
múltiples como los cybers, o la sala de informática de la
institución.
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Cuadro 3
Descripción de la actividad nº 2: Recordemos
Pantalla
El objetivo de la
actividad o
ejercicio.
Que el estudiante repase los conocimientos previos y necesarios para
la comprensión del Teorema de Pitágoras. Por lo que podrá responder
a preguntas tales como:
a) ¿Qué es un triángulo rectángulo?
b) ¿Cuáles son las propiedades de los triángulos?
c) ¿Qué es un teorema?
d) ¿Cuáles son los elementos de un teorema?
e) ¿Cuál es la importancia del teorema de Pitágoras?
La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información denominada
“¡Recordemos!”, la lea y, en el cuaderno de Matemática, haga una
síntesis de esta lectura. También se le recomienda buscar otras fuentes
de información para complementar la lectura realizada.
Evaluación El docente dirigirá una discusión sobre los temas relacionados con la
Geometría del Triángulo y el Teorema de Pitágoras, para reforzar lo
presentado en el blog; de esta manera, se podrá apreciar el dominio de
los conocimientos geométricos por parte de los estudiantes.
Material y lugar Computadora con conexión a internet y cuaderno de la asignatura.
Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos múltiples
como los cybers, o la sala de informática de la institución.
Aula de clases.
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Cuadro 4
Descripción de la actividad nº 3: Demostrando
Pantalla
El objetivo de la actividad o
ejercicio.
Que el estudiante analice y comprenda una de las
demostraciones del teorema de Pitágoras; por medio de una
construcción interactiva. De esta manera el estudiante podrá:
a) Entender el enunciado del teorema.
b) Asimilar de manera eficaz lo planteado en el teorema.
c) Conjeturar y validar algunos aspectos de la
demostración.
La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información
denominada “Demostración”, la lea y, en una hoja blanca,
responda a las interrogantes planteadas en la demostración.
Evaluación Revisión de las respuestas dadas por los estudiantes,
procurando mediante una discusión dirigida clarificar dudas
o corregir algún error cometido.
Material y lugar Computadora con conexión a internet y hojas blancas.
Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos
múltiples como los cybers, o la sala de informática de la
institución.
Aula de clases.
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Cuadro 5
Descripción de la actividad nº 4: Pitágoras y nuestro mundo
Pantalla
El objetivo de la
actividad o ejercicio.
Conocer la relación existente entre el teorema de Pitágoras, el
teorema de Euclides y el Teorema de Tales.
Establecer el uso que se le ha dado al teorema de Pitágoras en la
arquitectura y en la jerga mundial. De esta manera podrá:
*Establecer semejanzas y diferencias entre los teoremas
mencionados anteriormente.
*Explorar las construcciones y deducir su relación matemática
(teorema de Pitágoras).
La forma de trabajo Que el estudiante busque, en el blog, la información denominada
“Pitágoras y nuestro mundo”, la lea y, en el cuaderno de
Matemática, haga una síntesis de esta lectura. También se le
recomienda buscar otras fuentes de información para
complementar la lectura realizada.
Evaluación Peguntas realizadas a lo largo de la clase acerca del teorema de
Pitágoras y la relación con la cotidianidad.
Material y lugar Computadora con conexión a internet y cuaderno de la
asignatura.
Ya sea desde la comodidad del hogar, o de una sala de usos
múltiples como los cybers, o la sala de informática de la
institución.
Aula de clases.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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CONSIDERACIONES FINALES
Es necesario entender que cada actividad que se proponga en un blog educativo debe
contar con una estructura determinada; en este caso, la estructura presentada en los Cuadros
2 al 5, ya que, de esta manera, se establecerá claramente los objetivos de aprendizaje a
alcanzar y el cómo se espera que los estudiantes lo logren. Procurando así delinear un
escenario de actuación docente, en dónde se conozcan las acciones a seguir para un
funcionamiento eficaz y uso adecuado del blog por parte de los usuarios. Así, pues, el blog
será un medio para atender las necesidades e interés de los estudiantes, abordar el estudio
de los temas contemplados en el programa de la asignatura y plantear actividades didácticas
tecnológicamente mediadas.
Asimismo, es indispensable que los docentes orienten a sus estudiantes en el uso
adecuado del blog, para evitar que se distraigan por la diversidad de programas y sitios
Web existentes y que, por lo general, no estén relacionados con el contenido matemático
estudiado. Por ello, puede afirmarse que la calidad del aprendizaje no lo garantiza el uso de
las herramientas tecnológicas, sino que la misma facilita de cierto modo el aprendizaje de
un determinado objetivo siempre que vaya acompañado con una adecuada planeación
didáctica.
Con las TIC podemos reforzar el aprendizaje, desarrollar las habilidades necesarias para
el uso de la tecnología y el auto aprendizaje; de esta manera, la incorporación de las
tecnologías es eficaz, si se conoce el alcance y funcionamiento de la TIC, si se definen con
claridad los conocimientos que se pretenden sean aprendidos, si se establecen ejercicios del
uso de las TIC relacionados con el mundo real, y si se enseña al estudiante a ser
autodidacta.
REFERENCIAS
Constitución de las República Bolivariana de Venezuela. (2009) [Documento en línea]
Disponible: http://www.tsj.gov.ve/legislacion/enmienda2009.pdf
[Consulta: 2013, Enero 23].
García, F., Portillo, J. Romo, J. y Benito, M. (2007). Nativos digitales y modelos de
aprendizaje [Documento en línea] Ponencia presentada en el IV Simposio
Pluridisciplinar sobre Diseño, Evaluación y Desarrollo de Contenidos Reutilizables.
Bilbao: Universidad del País Vasco. Disponible en:
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
173
http://spdece07.ehu.es/actas/Garcia.pdf [Consulta: 2013, Febrero 25].
Macías L, Michán L. (2009). Los recursos de la web 2.0 para el manejo de la información
académica. [Revista en línea]. Disponible:
http://fuente.uan.edu.mx/publicaciones/01-
01/los_recursos_de_la_web_2.0_para_el_manejo_de_informacion_academica.pdf
[Consulta: 2013, Enero 21].
Ministerio del Poder Popular para la Ciencia, Tecnología e Innovación. (s/f). ¿Qué es el
proyecto Canaima Educativo? [Página Web en Línea] Disponible:
http://www.canaimaeducativo.gob.ve/index.php?option=com_content&view=category
&layout=blog&id=14&Itemid=282 [Consulta: 2013, Enero 21]
Orellana Chacín, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la
Matemática 11(2), 21- 42.
Valero, A. (2009). ¿Qué es un blog educativo? [Página Web en Línea]. Disponible:
http://salonvirtual.upel.edu.ve/pluginfile.php/19635/mod_resource/content/0/Blogs/Blo
gs_Educativos.pdf. [Consulta: 2013, Enero 15]
Van Hiele, P.M. (1957): El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión
de los escolares en el aprendizaje de la geometría. Tesis de Doctorado No
Publicada, Universidad Real de Utrecht: Utrecht, Holanda. Disponible en:
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf
[Consulta: 2012, Octubre 15]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA ESTADÍSTICA Y LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICA
Julia Elena Sanoja de Ramírez
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
Oscar Ramírez
UNESR
RESUMEN
El presente trabajo se planteó como objetivo Caracterizar los contenidos de Estadística
presentes en los libros textos de Matemática, de la Educación Primaria, desde los
organizadores del currículo. La fundamentación teórica que sustenta la investigación se
centra en los Organizadores Curriculares (Rico, 1997) y los Organizadores Curriculares
Específicos para contenidos de Estadística de Martin (2002). La investigación se desarrolló
bajo un enfoque cualitativo, asumiendo como unidad de análisis a los libros de texto de
Matemática de 4°, 5° y 6° grado de educación primaria, la técnica de análisis fue el análisis
de contenido (Bardín, 2002), para ello se diseñó el instrumento RCELTM que permitió
realizar el recuento de categorías. Se evidenció lo poco que le dedican dentro de todo el
libro a los contenidos de Estadística, los cuales son presentados al final del mismo; las
editoriales le restan importancia al organizador curricular errores y dificultad, así como al
de la historia. En cuanto a los organizadores específicos, los libros de texto no reflejan la
relación entre Estadística y Probabilidad, así como tampoco las aplicaciones de los
conceptos estadísticos para conjeturar y tomar decisiones.
Palabras Clave: Libros de Texto, Estadística, Organizadores del Currículo.
INTRODUCCIÓN
La Educación es el pilar fundamental para la transformación social, se constituye en un
verdadero motor que impulsa el desarrollo nacional, al capacitar mejor a los individuos para
su participación en la sociedad, tal como lo establece la Constitución de la República
Bolivariana de Venezuela (1999) en su artículo 102 “ … y está fundamentada en el respeto
a todas las corrientes del pensamiento, con la finalidad de desarrollar el potencial creativo
de cada ser humano y el pleno ejercicio de su personalidad en una sociedad democrática
….”. Para el desarrollo de este potencial creativo en el individuo, en cualquier nivel
educativo venezolano, existe un currículo establecido que sirve de marco de referencia
donde se recogen las intenciones educativas que deberán desarrollar los profesores y
alumnos en las aulas de clase. Particularmente en la Educación Primaria, el Currículo
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Nacional Bolivariano (C.N.B) (M.P.P.E., 2007) es este marco de referencia, para su
desarrollo los profesores y alumnos emplean una variedad de medios instruccionales, entre
los que se encuentra el libro de texto, el cual es el elemento central de esta investigación y
que de aquí en adelante referiremos como “los libros de texto”.
Ahora bien, en los contenidos que establece el C.N.B (M.P.P.E., 2007), vemos como la
enseñanza de la Estadística en la educación primaria venezolana, está incorporada como un
tema dentro de Matemática. En cuanto a su enseñanza propone un tratamiento muy
diferente, una enseñanza centrada en el análisis de los datos para conocer y entender el
contexto donde se desenvuelve el niño. En vista de ello los libros de texto deben estar en
consonancia con los planteamientos del C.N.B.
En el informe Cockcroft (1985), se afirma que "los libros de texto constituyen una
ayuda inestimable para el profesor en el trabajo diario del aula" (p. 114). El libro de texto
no es sólo un medio de enseñanza, sino también una manera de entender el desarrollo
curricular. Parece obvio pensar que los libros de texto deben diseñarse de manera que
trasmitan los principios y valores que promueven los cambios curriculares, de manera que
profesores y alumnos queden impregnados por ellos durante la práctica educativa. Los
libros de texto deben facilitar la construcción del conocimiento y promover aspectos
sociales del aprendizaje. Rico (1990), haciendo referencia al papel tradicional que en
ocasiones ha desempeñado el profesor, afirma:
El profesor conserva, mantiene y transmite el saber institucionalizado en los
manuales, donde aparece seleccionado y adecuadamente estructurado. El libro
proporciona seguridad y continuidad en los puntos de vista, facilita la imagen de
que el conocimiento es algo localizado, que se puede encontrar fácilmente y con
respecto al cual el único trabajo posible consiste en su asimilación. Su
determinación ya está hecha, y su base fundamentalmente es "científica", apoyada
por la tradición y la experiencia. Como el libro supone un gran esfuerzo de
síntesis, planificación, estructuración y acomodación de contenidos, por encima
de la capacidad del profesor medio, se considera el paradigma del conocimiento
que hay que transmitir (p. 22).
Sin embargo es el profesor quien debe, entre otras tareas, organizar y desarrollar dicho
currículo y para ello tiene que tomar una serie de decisiones referidas al diseño, análisis y
selección de unidades didácticas. Una fuente potencial para esto la constituyen los libros de
texto. Para Holgado (2000) el libro de texto es “un cuerpo de conocimientos derivado de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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una reconstrucción social del mundo exterior, provisto de una lógica interna y articulado en
torno a temas específicos” (p. 298).
Los sistemas educativos los muestran como el medio por excelencia para la adquisición
de los contenidos curriculares, siendo la base de la propia actuación del profesor, limitada -
en la mayoría de los casos - a reproducir/transmitir los saberes reflejados en sus páginas.
Así la escuela primaria será un mero agente transmisor de un conjunto de saberes
elaborados fuera de la misma. Su mayor o menor preponderancia en la enseñanza responde
a los principios y valores educativos –manifiestos o latentes- inmersos en la formación del
individuo. Al mismo tiempo refleja la manera de concebir la propia disciplina y su lugar en
el currículo. Su protagonismo en la formación del niño y de los profesores en particular no
puede ser analizado sin contar con una visión amplia del fenómeno, donde se integran e
interrrelacionan factores e intereses que afectan tanto al ámbito interno como externo del
proceso educativo.
Es, por lo tanto, un hecho que el profesor en la actualidad utiliza los libros de texto
como uno de los elementos centrales y básicos del trabajo diario en las escuelas. Porque
seguramente a través de ellos pervive una metodología pedagógica muy bien asentada, unos
intereses económicos y unas pautas de control eficaz sobre la escolaridad de tal forma que
los libros de texto congráficon el currículo y, además, las prácticas escolares. (Brewer,
1986; Cobb, 1987; Gimeno, 1991, 1994; Grinberg, 2002; Parcerisa, 1996).
Es así como vemos que los libros de texto son pilar fundamental en el proceso de
enseñanza y aprendizaje, y la Estadística no escapa de ello. Esto debido a que a pesar de
que a lo largo del currículo C.N.B. están presentes los contenidos de Estadística en toda la
primaria, los profesores no imparten dicho contenido o lo hacen de manera superficial, por
diversas razones, solventando esta falla a través de la asignación de un trabajo que deben
desarrollar los niños (León 1998 y Sanoja 2010), siendo los libros de texto de Matemática
la fuente de conocimiento para dichos trabajos.
Esto nos lleva a preguntarnos ¿cuál es la situación de los contenidos de Estadística
dentro de los libros de texto?,
Es una realidad indiscutible que los libros de texto han sido, desde su existencia, un
medio básico en enseñanza, e incluso hoy día a pesar de la proliferación de otros medios
posibles a utilizar, ocupa un lugar predominante en los procesos de organización y
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
177
selección de los contenidos que serán enseñados en el contexto del aula. Su especificidad
radica en que en tanto que es producido por fuera de las organizaciones que componen la
escuela primaria, debe situarse a mitad de camino entre el diseño curricular oficial y las
necesidades y demandas que surgen del y en el espacio áulico. Es decir que si bien, no
forma parte del organigrama escolar, constituye una herramienta clave de los procesos de
enseñanza y aprendizaje que ocurren en el contexto del aula.
Los libros de texto en la escuela primaria son utilizados por los profesores y alumnos
para mediar sus procesos formativos. En la escuela primaria resultan ser más accesibles que
muchos otros medios de aprendizaje; pueden llegar a todos los lugares, ser utilizados y
reutilizados tantas veces como se requiera en la labor educativa, se convierten en un
generador de procesos pedagógicos, cognitivos, psicológicos y culturales. Desde esta
perspectiva, los libros de texto han servido como programa cotidiano para desarrollar el
trabajo del profesor. Holgado (2000) señala que los libros de texto les sirven a los
profesores no sólo para introducir y describir conceptos, sino que también les provee del
contenido de las lecciones, los proyectos y actividades a través de los cuales pueden
explicar, desarrollar y reforzar ideas. Por consiguiente, los libros de texto proponen un
camino, un enfoque y una fundamentación teórica que median los procesos de construcción
del conocimiento.
La relación existente entre el currículo oficial, los libros de texto y otros materiales
curriculares influyen de forma considerable en la calidad y eficacia del proceso educativo.
Los libros de texto pueden entenderse como una forma de desarrollo del currículo, además
de un medio para la enseñanza, debiendo por tanto transmitir los principios y valores que
promueven el cambio y la innovación. Constituyéndose así como la principal o única
fuente de organización del trabajo en las aulas escolares, por consiguiente la elección de
uno u otro puede ser determinante para el modelo educativo que se vaya a aplicar en el
aula. Al respecto, Grinberg (2002) expresa que los libros de texto constituyen un elemento
organizador de las experiencias de aprendizaje, además dan seguridad a los padres, a los
alumnos y a los mismos profesores porque este recurso indica cuáles son los objetivos, los
contenidos y las actividades a realizarse en el aula de tal manera que los tome como guía
para lograr flexibilidad y autonomía ante la posible rigidez del currículum, y también para
cumplir totalmente con el programa del grado respectivo.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
178
Para Azcárate, Serradó y Cardeñoso (2004) una de las principales fuentes de
información que utilizan los profesores de Matemáticas en la preparación del proceso de
enseñanza y aprendizaje del conocimiento estadístico son los libros de texto.
En función a ello y teniendo en cuenta que los cuatro elementos generales que
componen el currículo: objetivos, contenidos, metodología y evaluación, deben estar
presentes en los libros de texto, vemos como los planteamientos de Rico (1997) sobre los
organizadores del currículo de Matemática así como Martin (2002) sobre los organizadores
curriculares específicos para Estadística, nos permiten dar una mirada a los libros de texto
de Matemática, específicamente en los contenidos de Estadística. Para Rico (1997) los
Organizadores de Currículo permiten dar una mirada a los libros de texto como elementos
que tradicionalmente han organizado las unidades didácticas y en función a ello los define
como “aquellos conocimientos que adoptamos como fundamentales para articular el diseño,
desarrollo y evaluación de unidades didácticas” (p.45).
El análisis de la presencia y desarrollo de los organizadores del currículo en los libros
de texto puede ayudar a los profesores a realizar una selección adecuada de los textos, a
efectuar un análisis comparativo y reflexivo de los mismos, a planificar y desarrollar mejor
los aspectos de las componentes del currículo en cada unidad didáctica. Por lo que, al
considerar los libros de texto como la guía primordial para el profesor, se hace necesario
conocer los organizadores del currículo implícitos en sus propuestas, esto es de vital
importancia para comprender el tipo de intervención que promueven y poder reflexionar
sobre sus consecuencias y su evolución. A su vez, resulta interesante develar qué es lo que
dicen y lo que omiten los libros de texto que, obligatoriamente, entran en contacto con los
alumnos y alumnas, así como develar las tendencias didácticas que subyacen en éste.
En los libros de texto subyace implícitamente no sólo una concepción del saber
estadístico a enseñar, sino además las relaciones que se pueden establecer entre el
estudiante y el saber mediatizadas por el texto. En este orden de ideas, Cañizares, Estepa y
Batanero (2000) señalan la importancia de los libros de texto como material didáctico y el
interés de su análisis para detectar posibles desajustes en el tratamiento de la Estadística.
Es por ello, que esta investigación se dedica a estudiar los contenidos de Estadística
presentes en los libros de texto de Matemática para la escuela primaria, específicamente en
4°, 5° y 6° grado de primaria.
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Hacer un estudio crítico de los libros de texto, implica problematizar y desentrañar estas
cuestiones que operan como restricciones didácticas para el estudio de un conocimiento
estadístico específico.
Todo lo anteriormente expresado, nos lleva a preguntarnos:
¿Qué elementos caracterizan la estructura de los contenidos de Estadística en los libros de
texto de Matemática para la Educación Primaria?
Objetivo de la Investigación
Caracterizar los contenidos de Estadística presentes en los libros textos de Matemática, para
la Educación Primaria, desde los organizadores del currículo.
MARCO REFERENCIAL
Quispe, Gallardo y González (2010) en su reporte de investigación fundamente el
análisis en la dimensión fenómeno-epistemológica de un modelo operativo para la
interpretación de la comprensión en Matemáticas. Se pone la atención sobre los
significados, las representaciones e ilustraciones, la fenomenología y la orientación
metodológica. y el estudio de Bodí y Valls (2002) se llevó a cabo mediante el análisis de la
presencia y desarrollo de los denominados por Rico (1997) organizadores del currículo de
Matemáticas, elementos que permitan una adecuada programación, el conocimiento
objetivo de las unidades didácticas, que además de procedimientos y conceptos, faculten la
planificación y desarrollo estructurado de las distintas unidades didácticas. El análisis de
los distintos organizadores en los textos de Matemáticas, resulta fundamental para una
planificación correcta del currículo en el aula o en la elección de un libro escolar. Ambas
investigaciones sobre los libros de texto consideraron para su análisis los organizadores
curriculares, aportando a esta investigación orientaciones metodológicas en cuanto al
empleo de los organizadores del currículo para la construcción del instrumento así como
para el análisis de la información.
Por otra parte, los trabajos de Serrado, Cardeñoso y Azcárate (2008), León (2006), y
Cortés (2006) utilizan como técnica de Análisis de la Información: el análisis de contenido,
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cada uno de estos trabajos emplea modalidades distintas del análisis de contenido para
realizar el análisis de la información, siendo esto orientaciones metodológicas muy
interesantes para esta investigación.
En lo que respecta a los aportes de Monterrubio y Ortega (2009) y García (1999), se
vinculan con la investigación al ofrecer fuentes referenciales en cuanto al diseño de
instrumentos para la valoración de libros de texto:
Además la importancia de las referencias obtenidas de esos trabajos, permitieron
enriquecer la búsqueda de información referente al tema de investigación. Dado que los
contextos son similares (Venezuela, Latinoamérica y España), hace que las experiencias de
estas investigaciones den un aporte significativo a la presente investigación.
El Libro de Texto
Si entendemos por libro de texto escolar todo libro dirigido a niños, adolescentes y
jóvenes escrito con una finalidad educativa podríamos incluir en esta categoría a los libros
concebidos directamente con esta finalidad y a aquellos que sin haber sido escritos
inicialmente para el mundo infantil y juvenil han llegado formar parte de este ámbito en la
práctica. Gimeno (1991) lo define como "cualquier instrumento u objeto que pueda servir
como recurso para que, mediante su manipulación, observación o lectura se ofrezcan
oportunidades de aprender algo, o bien con su uso se intervenga en el desarrollo de alguna
función de la enseñanza".
Los libros de texto juegan un papel importante en la enseñanza de las Matemáticas
debido a su estrecha relación con la enseñanza en clase. Se identifican los temas y el orden
de una manera que los profesores y estudiantes deben explorar. También se trata de
especificar cómo las lecciones en el aula pueden ser estructuradas con los ejercicios
adecuados y actividades. Por otra parte, los libros de texto tienen un lugar destacado en las
reformas curriculares y se considera como la herramienta más importante para la
implementación de un nuevo plan de estudios en muchos países (Valverde, Bianchi, Wolfe,
Schmidt y Houang, 2002). Así mismo, Cobo y Batanero (2004) afirman que los libros de
texto no son únicamente el medio para enseñar sino también una manera de entender el
desarrollo de los contenidos curriculares.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Los organizadores del currículo
Los organizadores del currículo propuestos por Rico (1997) ofrecen a los profesores un
buen marco conceptual para la enseñanza de la Matemática, permiten generar espacios de
reflexión que muestran la complejidad de los procesos de transmisión y construcción del
conocimiento matemático y proporcionan criterios para abordar y manejar esta
complejidad. La necesidad organizativa del currículo de Matemática de primaria no puede
ser reducida sólo a la disciplina Matemática, por lo que se hace preciso buscar otros
organizadores. En el Cuadro 1 se presenta de manera resumida los cinco organizadores del
currículo propuestos por Rico en 1997.
Cuadro 1.
Organizadores del Currículo
Organizadores Especificidad
Errores y
dificultades
Deben ser dirigidos al diseño de enseñanzas que los eviten. Se ponen
de manifiesto como conocimientos inadecuados, por ello su detección
se organiza mediante un escalonamiento de ejercicios, problemas y
actividades; también se tratan de controlar en las recomendaciones que
los autores van haciendo al lector para que ponga atención sobre
determinados aspectos o para que no confunda nociones similares.
Materiales y
recursos
Empleo de materiales manipulables y de diferentes recursos, como la
calculadora para la enseñanza de los contenidos son entes motivadores.
Sistemas de
representación y
modelos
Diferentes representaciones para los conceptos y procedimientos
matemáticos se presentan explícitamente, así como las conexiones
entre ellas, pero raras veces se insiste en que expresan diversas facetas
y propiedades de un mismo concepto. Así como La consideración del
conocimiento matemático como modelo también la podemos encontrar
con frecuencia; igualmente las modelizaciones surgen en los problemas
de aplicación.
Análisis
fenomenológico
y aplicaciones
Cada uno de los conceptos debiera estar en la base de los diferentes
ejercicios y actividades que se proponen o de las actividades de
motivación y ampliación; no es usual que los libros de texto hagan un
barrido explícito de las principales opciones fenomenológicas para un
determinado concepto pero está claro que, si se quiere presentar un
tópico matemático en toda su riqueza y pluralidad de significados, debe
considerarse en conexión con diferentes fenómenos y debe aplicarse a
otros campos diferentes del conocimiento.
Historia Empleo de la evolución histórica del concepto para motivar al alumno
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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No obstante, las características y especificidad de la enseñanza y aprendizaje de cada
tópico matemático, requiere no sólo una forma diferente de aplicar estos organizadores,
sino también disponer de unos organizadores específicos para cada uno de ellos que incidan
especialmente en sus particularidades. Por tal razón, el análisis de los temas de Estadística,
presentes en el libro de texto de Matemática, requiere que se considere además los
planteamientos de Moore (1997) y Wild y Pfannkuch (1999) en cuanto a centrar la
Estadística sobre las aplicaciones del análisis exploratorio de datos de áreas diversas, esto
lleva a Martín (2002) plantear otros organizadores curriculares específicos para Estadística
(Cuadro 2).
Cuadro 2.
Organizadores Curriculares Específicos para Estadística
Organizador Especificidad
Relación entre
Estadística y
Probabilidad
Integrar el estudio de la probabilidad y la Estadística, de forma que la
introducción gradual de los conceptos y notación probabilística sirva
para explicar Matemáticamente las regularidades observadas en los
datos recogidos, el empleo del concepto de frecuencia relativa, como
punto de partida en el estudio de la probabilidad.
Gestión de datos
estadísticos
Proporcionar a los alumnos las técnicas y procedimientos para
recoger y organizar datos estadísticos u obtenidos en la realización de
experiencias aleatorias: qué información interesa recoger y cómo
facilitar su anotación, valorar la utilidad de las tablas para organizar
los datos, la conveniencia o no de agrupar por intervalos, qué gráfico
será el más adecuado para presentar la información.
Aplicación de los
conocimientos
estadísticos para
conjeturar,
predecir y tomar
decisiones
A través del planteamiento de situaciones reales que involucren al
alumno, no solo en el cálculo sino también en al análisis e inferencia,
que arroje conclusiones
La Estadística y el currículo de la escuela primaria
El contenido de Estadística debe ser tal que responda a las necesidades de todas las
materias cognitivas del programa escolar. Debe permitir una formación integral del niño.
La introducción de la Estadística en el currículo de primaria debe ayudar en la promoción
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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de la alfabetización Estadística entre la población en general y ayudar a preparar a los
estudiantes para su prosecución en los estudios de bachillerato. Tal y como lo plantea el
Currículo Nacional Bolivariano, la enseñanza de la Estadística está interconectada con las
demás áreas del saber, y permite abordar el estudio de problemas y fenómenos reales del
entorno, regionales y de su cotidianidad.
En el contenido de Estadística de la escuela primaria venezolana (cuadro 3) se puede
observar el énfasis que se le da a la organización de los datos a través de tablas y
representaciones gráficas y como se pretende a través de estos que el estudiante adquiera la
habilidad de la interpretación de los datos. Al respecto, Pereira-Mendoza (1995) expresa
que estos elementos son fundamentales en el desarrollo de la comprensión de las medidas
de tendencia central, ellos pueden ayudar a desarrollar habilidades para el análisis de la
información gráfica.
Cuadro 3.
Contenido de Estadística en el currículo de la Educación Primaria venezolana
grado Contenido
Cuarto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.
Identificación de fenómenos y hechos que se pueden predecir y fenómenos al azar.
Predicción de los estados de la materia por variaciones de la temperatura.
Quinto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.
Identificación de fenómenos y hechos que se pueden predecir y fenómenos al azar.
Predicción de los estados de la materia por variaciones de la temperatura.
Predicción y verificación. Análisis de datos: la moda y el promedio. Resolución de
problemas cotidianos a través del uso de la Estadística.
Sexto Interpretación y representación de datos estadísticos en diversos tipos de gráficos.
Identificación de fenómenos y hechos que se pueden predecir y fenómenos al azar.
Predicción de los estados de la materia por variaciones de la temperatura.
Predicción y verificación. Análisis de datos: la moda y el promedio. Resolución de
problemas cotidianos a través del uso de la Estadística. Nota. Cuadro elaborado con datos tomados de Currículo del Subsistema educación primaria bolivariana por
Ministerio del Poder Popular para la Educación, 2007, Caracas: CENAMEC
METÓDICA
Paradigma: La presente investigación se planteó como objetivo: Caracterizar los
contenidos de Estadística presentes en los libros textos de Matemática, para la Educación
Primaria, desde los organizadores del currículo. Pero para dar respuesta a este la
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investigación se desarrolló bajo el paradigma interpretativo-fenomenológico, debido a que
me permitió la interpretación de una realidad educativa concreta y compleja, como es la
enseñanza de la Estadística en la escuela primaria desde los libros de texto. Con un
abordaje metodológico cualitativo, el cual presenta una manera diferente de ver la realidad.
Se desarrolló bajo un proceso activo, sistemático y riguroso de indagación dirigida al
descubrimiento del conocimiento estadístico presente en el libro de texto de Matemática.
Para Taylor y Bogdan (1987) la metodología
designa el modo en que enfocamos los problemas y buscamos las respuestas (…) Los
métodos cualitativos, buscan analizar cómo y de qué manera los actores interpretan el
mundo y le dan sentido, a partir de idea, sentimientos y motivos internos (p. 123)
Contexto de la Investigación: Esta investigación tiene como contexto de investigación la
escuela primaria venezolana, presentando como unidad de análisis los libros de texto de
Matemática, de cuarto (4°), quinto (5°) y sexto (6°) grado, particularmente la sección de
Estadística de dichos libros de texto.
Unidad de análisis: Luego de haber realizado una consulta en once librerías de la ciudad
de Maracay, especializadas en material educativo, se detectó que existen diez (10)
editoriales con libros de texto de Matemática para la escuela primaria, y su selección, para
este estudio, se realizó en función a los siguientes criterios:
- Libros de texto que han sido elaborados conforme al programa educativo oficial
vigente en Venezuela, esto es según lo establecido en el Currículo Nacional
Bolivariano de la educación primaria (CENAMEC, 2007)
- Los más demandados en las listas escolares, de acuerdo a la información suministrada
en la consulta a las librerías
Según lo señalado, existen seis (6) editoriales susceptibles de ser seleccionadas, pero
para el momento de dicha selección se escogieron solo tres editoriales: Santillana, Tricolor
y Premier, por ser aquellas que para el momento del desarrollo de la investigación estaban
presentes en las librerías, para los tres grados en estudio (4°, 5° y 6°).
Instrumentos de Recolección de Información: De acuerdo al paradigma interpretativo
fenomenológico, el investigador se convierte en el principal instrumento de recogida de
información con la ayuda de técnicas que le permitan la adaptación y consecución de los
objetivos deseados. Tras la revisión de las fuentes bibliográficas y de diversos materiales,
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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relacionados con el análisis de los libros de texto, se emplearon como instrumentos de
recogida de información: Cuaderno de notas, permitió recabar la información proveniente
del análisis de los organizadores específicos, siguiendo las especificaciones propuestas por
Martin (2002) que señala la necesidad de considerar los planteamientos de Wild y
Pfannkuch (1999) y Moore (1997) en cuanto a centrar la Estadística sobre las aplicaciones
del análisis exploratorio de datos de áreas diversas, y un instrumento denominado
RCELTM (Reconocimiento del Contenido de Estadística en los Libros de Texto de
Matemática) que permitió reconocer el contenido de Estadística en los libros de texto de
acuerdo a los organizadores del currículo.
Técnica de Análisis: Para caracterizar los contenidos de Estadística presentes en los
libros de texto de Matemática se empleó la técnica de Análisis de Contenido Bardín, 2002),
por ser una técnica de interpretación de textos (escritos, grabados, pintados, filmados, entre
otros), cuyo denominador común de todos estos materiales es su capacidad para albergar un
contenido que leído e interpretado adecuadamente nos abre las puertas al conocimientos de
diversos aspectos y fenómenos de la vida social
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Análisis de Contenido Descriptivo de Organizadores Generales
En primer lugar, en el cuadro 4, se presenta la proporción en que las editoriales le
asignan la cantidad de páginas a los contenidos de Estadística de los libros de texto, en este
aspecto no se diferencian los grados por presentar las mismas características en cuanto a los
indicadores señalados.
Cuadro 4
Páginas del libro de texto dedicadas a Estadística.
INDICADORES EDITORIAL
Santillana Tricolor Premier
Número de páginas del libro: 160 152 111
Número de Unidades del libro 9 5 5
Número de páginas dedicadas a Estadística 18 (11,25%) 21 (13,8%) 8 (7,21%)
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Aquí puede se puede observar que la editorial Tricolor es la que dedica más páginas
(13,8 %) al contenido de Estadística, aún cuando si hiciese una distribución equitativa en
función a las cinco unidades en que se estructura el libro le correspondería a cada unidad el
20% de las páginas. En contraparte vemos como la editorial Premier le resta importancia a
los temas de Estadística al dedicarle solamente el 7,21% de las páginas del libro, donde si
hiciera una repartición equitativa en función a las cinco (5) unidades en que se estructura el
libro le correspondería a cada unidad el 20% de las páginas del libro.
Ahora bien, para el estudio del contenido de Estadística presente en los libros de texto de
Matemática de la escuela primaria a través de la técnica de análisis de contenido, en este
apartado, se empleó el reconteo de las categorías expresadas en el instrumento RCELTM,
mostrando la frecuencia de aparición; presencia (P) o ausencia (A); la contingencia,
entendida como la presencia en el mismo momento de dos o más categorías. En el cuadro 5
se presentan la frecuencia de la presencia o ausencia da cada categoría según los Aspectos
Generales presentes en los libros de texto.
Cuadro 5
Reconteo de las categorías de los Aspectos Generales presentes en los libros de texto
de Matemática
Categorías
Grado Grado Grado
4° 5° 6° 4° 5° 6° 4° 5° 6°
Editorial
Santillana Tricolor Premier
P A P A P A P A P A P A P A P A P A
Contenidos
(12) 10 2 10 2 10 2 10 2 11 1 11 1 6 6 7 5 7 5
Actividades
(10) 8 2 6 4 7 3 5 5 6 4 6 4 2 9 2 9 2 9
Evaluación
(4) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0
Se puede evidenciar en Santillana una alta presencia de las categorías en estudio, esto
nos indica que se detectan como elementos decisivos en el diseño de la unidad de
Estadística; de igual manera podemos ver este comportamiento en términos generales con
la editorial Tricolor, sin embargo en cuanto a la presencia de la categoría Actividades se
observa una frecuencia de presencia media. Preocupante es la situación que evidencia la
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editorial Premier en cuanto a la presencia de las categorías, en lo que respecta a la categoría
Contenido se observa una frecuencia media, pero en la categoría Actividades presenta
grandes debilidades, se detectó la poca presencia de esta categoría en la unidad de
Estadística indicando esto que se le da poca importancia o casi nula a este organizador.
Por otra parte, vemos como las tres editoriales consideran necesario el proceso de
reflexión sobre lo que el niño ha aprendido el proponer actividades de evaluación, esto
queda evidenciado al presentar la frecuencia más alta en cuanto a presencia de la categoría
se refiere.
En el cuadro 6 se presentan la frecuencia de la presencia o ausencia da cada categoría
según los Aspectos Relativos a los Organizadores del Currículo presentes en los libros de
texto.
Cuadro 6
Reconteo de las categorías de los Aspectos Relativos a los Organizadores del
Currículo
Organizador
Grado Grado Grado
4° 5° 6° 4° 5° 6° 4° 5° 6°
Editorial
Santillana Tricolor Premier
P A P A P A P A P A P A P A P A P A
Errores y
dificultad 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
Materiales y
recursos 1 6 2 5 2 5 4 3 3 4 4 3 2 5 2 5 1 6
Sistemas de
representación
y
modelos
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 3
Análisis
fenomenológico
y aplicaciones
5 0 4 1 5 0 4 1 4 1 5 0 0 5 0 5 0 5
Historia 0 3 0 3 0 3 2 1 2 1 2 1 0 3 0 3 0 3
Errores y dificultad. Es notorio como ninguna editorial presta atención a este
organizador como un elemento a considerar para el diseño de la unidad, esto se evidencia al
no tener presencia dentro del contenido desarrollado en el libro de texto, aún cuando este es
un organizador de gran ayuda, tal como lo refiere Rico (1997) por ser un factor motivador
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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en la exploración de los conceptos o que se emplee para clarificar conceptos, como por
ejemplo establecer las diferencias entre la media aritmética y la mediana por ser conceptos
que tienden a confundirlos.
Materiales y recursos. En la editorial Tricolor se evidencia la presencia de este
organizador, con una frecuencia media, al presentar actividades que involucran el uso de
materiales manipulables como dados, monedas, uso de la prensa para la búsqueda de
información; siendo este organizador un recurso didáctico motivador y/o ilustrativo que
conecta el aula con la realidad, además de permitir la exploración de los conceptos. Al
respecto Moore (1997), expresa que los materiales y recursos empleados para la enseñanza
de la Estadística ayudan a plantear situaciones problemáticas interesantes permitiendo el
desarrollo y comprensión de los conceptos de Estadística y probabilidad.
Vemos con preocupación cómo en las editoriales Santillana y Premier no hay presencia
de este organizador. Así como ninguna de las editoriales considera el uso de la calculadora
como recurso que facilita el cálculo y permite que el niño le dedique más tiempo al análisis
de la información y así comprender su entorno.
La función de los materiales y recursos es servir como instrumento para plantear nuevos
problemas o para favorecer una mayor reflexión en torno a problemas planteados, permite
al niño conectarse con experiencias y necesidades de su entorno.
Sistemas de representación y modelos. Este organizador tiene mayor presencia en las
editoriales Santillana y Tricolor, esto permite al niño organizar la información sobre un
concepto para poder pensar sobre ellos, expresar su comprensión, y utilizarla en situaciones
y problemas prácticos o en situaciones escolares convencionales. Se aprecia como en
menor presencia este organizador se evidencia en la editorial Premier.
Análisis fenomenológico y aplicaciones. Este organizador tiene mayor presencia en las
editoriales Santillana y Tricolor, se refleja en la presentación de las situaciones problemas
asociadas a la cotidianidad del niño, esto permite que el niño reconozca la importancia de la
Estadística para su desenvolvimiento en sociedad, percibe la vinculación de la Estadística
con otras áreas del saber. Por otro lado, se observa como en la editorial Premier es
inexistente este organizador, de vital importancia para el desarrollo de los contenidos de
Estadística.
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Historia. Es notorio como el uso de la historia es inexistente en las editoriales Santillana
y Premier, solamente la editorial Tricolor emplea la historia haciendo referencia al tema o
como recurso anecdótico siendo esto un recurso motivador y enriquecedor para el niño al
ver cómo en otros tiempos se empleaba la Estadística y la probabilidad o bien para mostrar
sus orígenes.
Análisis de Contenido Descriptivo de Organizadores Específicos
En lo referente a los Organizadores Específicos se observó, en las tres editoriales, que
los Organizadores: Relación entre Estadística y Probabilidad y Aplicación de los
conocimientos estadísticos para conjeturar, predecir y tomar decisiones no aparecen
reflejados ni destacados a los largo del desarrollo de los temas.
Sin embargo se aprecia como el Organizador Específico Gestión de datos estadísticos,
aparece reflejado en las editoriales Santillana y Tricolor a través de las actividades que debe
desarrollar el niño, en las que debe aplicar técnicas y procedimientos para recoger y
organizar datos estadísticos, allí valorará la utilidad de las tablas de frecuencia para
organizar los datos, la conveniencia o no de agrupar por intervalos, qué gráfico será el más
adecuado para presentar la información. Estos son aspectos que difícilmente serán
analizados y observados por los niños si no se enfrentan a situaciones abiertas donde tengan
que realizar el proceso completo. Todos los niños deberían estar capacitados para formular
cuestiones que puedan resolverse a partir de un conjunto de datos estadísticos y
coleccionar, organizar, representar gráficamente los datos relevantes para contestarlas.
Por su parte, en los libros de texto de la editorial Premier no aparece reflejado este
organizador.
CONCLUSIONES
En función a los Organizadores del Currículo: Las editoriales ignoran por completo al
organizador errores y dificultades y en la mayoría de los casos se refieren a hechos y
técnicas, ello revela una metodología que escasamente utiliza el fundamental principio
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pedagógico de enfrentar al estudiante con contradicciones y mostrar la necesidad de
coherencia en sus conclusiones.
El uso de materiales es pobre y escaso. El análisis fenomenológico y aplicaciones de los
conceptos estadísticos se utilizan de forma irregular, incluso entre las unidades didácticas
de un mismo texto. Sin embargo, las tres editoriales muestran diferencias en relación con la
riqueza y variedad de recursos que utilizan.
El uso de la historia como recurso se limita, en el caso de la editorial Tricolor, a breves
reseñas al principio o final del capítulo, puesto que las editoriales Santillana y Premier
ignoran la presencia e importancia de este organizador, siendo este un recurso enriquecedor
y a menudo muy motivador para los niños.
Los sistemas de representación y modelos son variados, ya que el propio desarrollo de
los contenidos oficiales lo requiere, pero las traslaciones de una representación a otra se
plantean habitualmente en la misma dirección; por ejemplo: conjunto de datos - tabla –
gráfico, sin embargo las tres editoriales obvian la modelización, aspecto contemplado en el
currículo oficial.
En función a los Organizadores Específicos del Currículo: En lo que se refiere al
tratamiento de la Estadística y la probabilidad, ninguna de las editoriales contempla la
vinculación entre las tablas de frecuencia y el concepto de probabilidad.
En el caso específico de la editorial Premier, los conocimientos seleccionados como
organizadores específicos no se reflejan en el desarrollo de las unidades didácticas. Tal
como señala Rico, Sierra y Castro (2000), la influencia de la disciplina Didáctica de la
Matemática en editoriales y casas comerciales que trabajan sobre libros de texto, es cuando
existe, minoritaria e inapreciable y no se ha producido la incorporación sistemática de
resultados de investigación en los libros de texto.
La editoriales Santillana y Tricolor inducen someramente al niño al desarrollo del
pensamiento estadístico al considerar el organizador Gestión de datos estadísticos.
Si los libros de texto son las herramientas que delimitan los contenidos sobre los que el
profesor ha de basar su enseñanza, y por ende los conocimientos que el niño va a adquirir,
entonces se debe hacer una selección adecuada de los mismos, por la importancia que
tienen para el proceso de enseñanza- aprendizaje.
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Aún cuando todos los libros de textos de las tres editoriales contemplan en cada grado
los contenidos establecidos según el C.N.B. (2007), sin embargo no plasman el enfoque tal
y como está planteado en el currículo, una orientación de los contenidos hacia la resolución
de problemas.
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PITÁGORAS Y EL TEOREMA DE LA MUJER CASADA.
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Andrea Osorio
Carmen Gil; Wolghan Gómez; Evelyn Romero
Martha Iglesias
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En la práctica educativa actual, el estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por
los estudiantes, por diversas razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el
estudio, la forma de enseñar de los profesores, el carácter abstracto de las nociones
matemáticas, la carencia de adecuados hábitos de estudio y materiales didácticos
apropiados, etc. Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos
aritméticos y algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le
permite a los estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos
geométricos con el mundo que nos rodea. Por ello, los profesores de Matemática requieren
diseñar, desarrollar o simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las
necesidades formativas de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta
los fines de la Educación Matemática. Por ello, a partir del desarrollo de un mapa de
enseñanza y aprendizaje para determinar el alcance del contenido geométrico a ser
estudiado (Orellana Chacín, 2002) y la aplicación del modelo de razonamiento geométrico
(Van Hiele, 1959) para establecer las habilidades geométricas que se pretenden sean
alcanzadas por los estudiantes, se diseñó una propuesta didáctica orientada a la enseñanza y
el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación media) y centrada en el uso
de un juego didáctico PITAGORAS_MANIA (adaptación del reto a saber), el cual fue
diseñado con la intención de estimular la creatividad y socialización entre los estudiantes,
así como la puesta en práctica del contenido matemático y su comprensión. Asimismo, se
consideró el uso de un Blog denominado El Mundo de Pitágoras el cual ofrece a los futuros
educadores de Matemática oportunidades para desarrollar habilidades geométricas
relacionadas con la comprensión y aplicación del Teorema de Pitágoras y su demostración
matemática en ambientes con énfasis lúdico y tecnológico. Así, se espera que el juego más
el uso de las tecnologías de información y comunicación propicien el aprendizaje
significativo en el estudiantado, reconociendo además al docente como un actor del proceso
educativo en sus roles de planificador, facilitador y evaluador de los aprendizajes.
Palabras clave: Teorema de Pitágoras, estrategias didácticas y aprendizaje significativo.
INTRODUCCIÓN
El estudio de la Matemática tiende a ser rechazado por los estudiantes, por diversas
razones, entre ellas: la falta de motivación e interés hacia el estudio, la forma de enseñar de
los profesores, el carácter abstracto de las nociones matemáticas, la carencia de adecuados
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hábitos de estudio y materiales didácticos apropiados, etc. Al respecto, Sánchez (2008), al
referirse específicamente a la enseñanza de la Geometría, señala que
La práctica educativa actual dificulta que los conocimientos matemáticos sean
asimilados correctamente, debido en gran parte a que en la mayoría de las aulas
no son aplicadas estrategias didácticas adecuadas para conseguir los objetivos
geométricos de manera significativa, por lo que es necesario aplicar estrategias
y recursos en el aula para que los alumnos puedan tener ejemplos prácticos y
visuales de la teoría suministrada por el docente (p. 14).
Además, los docentes de Matemática suelen enfatizar en los contenidos aritméticos y
algebraicos, descuidando el estudio de la Geometría; situación que no le permite a los
estudiantes percatarse de la relación existente entre los contenidos geométricos con el
mundo que nos rodea. Cabe señalar que, en Venezuela, los temas geométricos están
presentes tanto en el currículo básico nacional como el currículo nacional bolivariano para
la educación básica; sin embargo, diversos autores reportan que es escaso el contenido
geométrico que se trabaja en el desarrollo de las clases (Sánchez, 2008; Linares, 2008;
Pérez, 2008); esto quizá, según Bressan, Bogisic y Crego (2000), se deba a la poca relación
que establece el docente entre la vida cotidiana y la geometría intuitiva, espacial y lógica,
así como la inseguridad que presenta el docente con respecto al dominio de conceptos
geométricos.
Debido a esto, los profesores de Matemática requieren diseñar, desarrollar o
simplemente gestionar estrategias didácticas que den respuesta a las necesidades formativas
de los estudiantes y, por ende, de la sociedad, teniendo en cuenta los fines de la Educación
Matemática. Por ello, este trabajo tiene como propósito diseñar una unidad didáctica
orientada a la enseñanza y el aprendizaje del Teorema de Pitágoras (3er año de educación
media) centrada en el uso de un juego didáctico denominado Pitagora´s-manía (adaptación
de reto al saber) y el uso de la tecnología a través de la elaboración y utilización de un Blog
en línea. Asimismo, con su diseño y puesta en práctica, se pretende ofrecerles a los
estudiantes oportunidades para desarrollar ciertas habilidades geométricas relacionadas con
el estudio del Teorema de Pitágoras, en ambientes con énfasis lúdico y tecnológico.
REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS
En este trabajo se asumió el análisis didáctico – noción introducida por Rico (1997) y
definida por Gómez (2007; p. 18) como “un procedimiento con el que es posible explorar,
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profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático
escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y
aprendizaje”.
En este sentido, Peñas y Flores (2005) destacan que en la formación del profesor de
Matemática intervienen referentes teóricos provenientes de la investigación en Educación
Matemática como de la reflexión sobre el quehacer docente y, por ello, a los futuros
profesores es necesario brindarles la oportunidad de poner en práctica su conocimiento
tanto matemático como didáctico en la ejecución de tareas apropiadas como el diseño y
desarrollo de unidades didácticas con contenido matemático. Este tipo de tarea exige que el
profesor reflexione y tome decisiones debidamente fundamentadas sobre el alcance de los
contenidos a ser estudiados, los fines que se persiguen, las actividades a ser cumplidas, los
materiales y recursos didácticos a ser empleados y el modo como se llevará a cabo la
evaluación de los aprendizajes.
De la acción reflexiva surge esta propuesta didáctica, la cual busca que los estudiantes
en plena formación matemática, superen la manera tradicional o algorítmica que se ha
implementado a lo largo de los años. En nuestro caso que el teorema de Pitágoras no sólo
quede en una simple fórmula, sino que sean capaces de relacionarlo con su entorno, su vida
diaria, con la tecnología y utilicen dichos conocimientos para solucionar cualquier
eventualidad que se le presente en su día a día.
El análisis didáctico contempla una fase de diseño, dividida en tres componentes, siendo
éstos: (a) Análisis de Contenido, (b) Análisis Cognitivo y (c) Análisis de la Instrucción.
Para llevar a cabo el análisis de contenido se usó el Mapa de Enseñanza y Aprendizaje
(MEA) propuesto por Orellana Chacín (2002) como una herramienta que facilita llevar a
cabo el análisis de contenido de un tema matemático en un determinado nivel educativo.
Cabe destacar que el profesor de Matemática, en atención a los distintos factores que
condicionan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, decide en cuáles
aspectos se centrará al momento de diseñar una unidad didáctica y, además, establecerá la
secuencia a seguir. Atendiendo a lo antes mencionado, la propuesta a seguir centrará su
atención en los siguientes aspectos:
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Gráfico 1. Componentes del mapa de enseñanza y aprendizaje del Teorema de
Pitágoras.
El análisis cognitivo dirigido a la identificación de habilidades asociadas a los niveles de
razonamiento geométrico que se mencionan en el modelo de Van Hiele y que se espera
sean desarrolladas y puestas en práctica por los estudiantes cuando estudien el tema
relacionado con el Teorema de Pitágoras. Este modelo ayuda a entender la forma cómo se
aprende Geometría y, además, cómo propiciar un aprendizaje significativo de los
contenidos geométricos (Gutiérrez y Jaime, 1990; Corberán, 1994, Gutiérrez, 2000). Van
Hiele (1959) estableció que los estudiantes avanzan a través de una sucesión de cinco
niveles de razonamiento en la medida que aprenden un tema geométrico: reconocimiento,
análisis, clasificación, deducción y rigor lógico. Por lo general, educación media, interesa
que los estudiantes reconozcan gráficos y cuerpos geométricos, identifiquen los elementos
que conforman a los distintos objetos geométricos, establezcan relaciones entre estos
elementos y las apliquen en la resolución de problemas; es decir, se suelen considerar los
tres primeros niveles de razonamiento geométrico y, aunque, se trabaje con la verificación
empírica de propiedades, no es habitual que se aborde la demostración de teoremas como el
de Pitágoras. También es necesario tener en cuenta que las edades de los estudiantes de 3er
año de educación media están comprendidas entre 13 y 15 años y están desarrollando su
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capacidad de abstracción y, por ello, pudieran aún presentar ciertas dificultades para
manejar la formalidad matemática, ya que el paso de un nivel a otro de razonamiento
geométrico se produce en forma progresiva a través del tiempo.
Además, en el modelo de Van Hiele, se señala que cualquier estrategia didáctica, que
permita conducir a los estudiantes de un nivel a otro, debe contemplar las siguientes fases:
información, orientación guiada, explicitación, orientación libre e integración; cada una de
ellas tiene una intencionalidad didáctica que se ha tenido en cuenta al momento de
organizar las estrategias de enseñanza y aprendizaje.
Por ello, el análisis de la instrucción está orientado al diseño de las actividades de
enseñanza y aprendizaje por parte del profesor de Matemática, teniendo como base el
análisis de contenido y el análisis cognitivo previamente realizado, lo cual, según Iglesias
(2008), significa seleccionar o elaborar los materiales y recursos didácticos a ser utilizados
durante la puesta en práctica de la unidad didáctica.
En este trabajo, el análisis de la instrucción se materializó a través del diseño de tres
subunidades didácticas centradas en el estudio del Teorema de Pitágoras, las cuales
guardan una estrecha relación con las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van
Hiele, pretendiendo que los estudiantes alcancen las habilidades geométricas previstas por
medio de la realización de actividades de modelización matemática, actividades que
incorporan el uso de material didáctico manipulable y de un blog en línea. El desarrollo de
estas actividades, se ha estimado siete (7) sesiones de clases, de cuarenta (40) minutos de
duración cada una. Para el desarrollo de estas actividades, se ha considerado usar los
siguientes materiales o recursos didácticos: (a) Jugando con Ingenio, (b) Pitágora´s -
Manía, y (c) Blog. Cabe decir que el diseño y desarrollo del blog denominado El Mundo de
Pitágoras será dado a conocer en otra ponencia que será presentada en este evento.
PROPUESTA DIDÁCTICA
En este apartado se describen las actividades didácticas planificadas para que los
estudiantes de 3er año de educación media aborden el estudio del Teorema de Pitágoras,
atendiendo a las fases de aprendizaje y niveles de razonamiento geométrico establecidos en
el modelo de Van Hiele. Además, teniendo en consideración lo expuesto en el mapa de
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enseñanza y aprendizaje sobre el Teorema de Pitágoras, con esta propuesta se aspira que el
estudiante: (a) Reconozca que el teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos. (b)
Calcule la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, conociendo las longitudes de los
otros dos lados. (c) Visualice distintas demostraciones del Teorema de Pitágoras y
comience a familiarizarse con el uso del pensamiento lógico – deductivo en Matemática.
(d) Determine áreas de gráficos planas, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras. (e)
Valorice la aplicación del Teorema de Pitágoras en situaciones de la vida cotidiana.
Nivel 1. Visualización o reconocimiento
Fase 1 (Información): En esta fase, el profesor introduce el tema a tratar y, mediante la
formulación de ciertas preguntas, tales como: ¿Qué forma tiene un trozo de pizza?, ¿qué
forma tienen las escuadras del juego geométrico?, ¿pueden reconocer en el aula de clase
algún otro objeto que tenga forma triangular?, ¿qué es un triángulo?, dibuja un triángulo e
identifica sus partes, ¿cómo se clasifican los triángulos?, etc., procura repasar los
conocimientos previos sobre el estudio de la Geometría del Triángulo, ya que, los mismos
son necesarios para el estudio del Teorema de Pitágoras.
Fase 2 (Orientación Guiada): El docente guiará a sus alumnos en la construcción de
diferentes tipos de triángulos, haciendo uso de materiales como papel, cartulina, foami,
cartón, etc., con la finalidad que identifiquen sus vértices, lados y ángulos internos y,
además, determinen las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos internos y los
clasifiquen según los criterios establecidos. En particular, en el caso de los triángulos
rectángulos, es necesario que los estudiantes ubiquen el ángulo recto, determinen la medida
de los otros dos ángulos y se percaten que ambos son agudos e identifiquen el par de
catetos (lados que determinan el ángulo recto) y la hipotenusa (lado opuesto al ángulo
recto). Para facilitar el reconocimiento de un triángulo rectángulo y sus elementos, se
inscribirá un ángulo recto en una circunferencia (ver Gráfico 2), para que, al girarla, se
percaten que el ángulo recto se mantiene y el triángulo ∆ABC sigue siendo rectángulo.
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Gráfico 2. Angulo recto inscrito en una circunferencia
Fase 3 (Explicitación): El docente, teniendo como referencia las actividades hasta ese
momento realizadas, propiciará un conversatorio, con el propósito de intercambiar ideas,
para ir afianzando los conocimientos geométricos en sus estudiantes, como también
clarificar dudas o atender las inquietudes que éstos tengan.
Fase 4 (Orientación Libre): Se le pedirá a los estudiantes que construyan con regla y
compás triángulos que satisfagan ciertas condiciones conocidas como LLL, LAL y ALA y,
además, identifiquen sus elementos y cuáles de los triángulos construidos son triángulos
rectángulos.
Fase 5 (Integración): El docente pedirá a sus estudiantes que elaboren un resumen
gráfico (mapa conceptual, mapa mental, cuadro resumen, etc.) en relación al tema tratado y
en función a lo que ellos han entendido, que expliquen los procedimientos usados, que
mencionen los instrumentos o materiales utilizados y cómo podrían relacionar lo que se ha
hecho con aspectos de la vida real.
Nivel 2. Análisis
Fase 1 (Información): Inicialmente, el docente hará una síntesis de las definiciones y
propiedades relacionadas con el estudio de los triángulos, teniendo en cuenta las
actividades antes descritas. Seguidamente, se presentará una reseña histórica sobre
Pitágoras de Samos, enfatizando en su vinculación con el teorema que lleva su nombre.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Fase 2 (Orientación Guiada): El docente enunciará el Teorema de Pitágoras y mostrará
cómo puede aplicarse para hallar la longitud de la hipotenusa, conocidas las longitudes de
los catetos o para hallar la longitud de un cateto, conocidas las longitudes de la hipotenusa
y del otro cateto en un triángulo rectángulo. Luego, mediante una hoja de trabajo, orientará
a los estudiantes para que realicen exploraciones geométricas relacionadas con el Teorema
de Pitágoras y, además, lo apliquen en la resolución de triángulos rectángulos.
Fase 3 (Explicitación): Con la finalidad, de aproximar a los estudiantes al estudio de la
demostración matemática, el docente introducirá a través de fichas nuevos términos como
teorema, hipótesis, tesis y demostración, procurando aclarar las dudas que pudieran surgir.
Se recomienda a modo de ejemplificación valerse de propiedades matemáticas conocidas
por los estudiantes.
Fase 4 (Orientación Libre): Se darán a conocer algunas demostraciones del Teorema de
Pitágoras que suelen presentarse en los libros de texto e incentivando a los estudiantes para
que identifiquen hipótesis (lo dado) y tesis (lo que piden demostrar) y traten de comprender
el proceso demostrativo. Algunas demostraciones pueden mostrarse gráficamente o
mediante construcciones de gráficos geométricas realizadas con cartulina o cartón.
Fase 5 (Integración): Se conformarán pequeños grupos de trabajo (2 o 3 integrantes) y
a cada uno de estos grupos se les entregará un folleto denominado Jugando con Ingenio
(ver gráfico 3), similar a un “pasatiempo”, en el cual se proponen cinco (5) actividades
(sopa de letras, exploración, cruzadas, crucijuego y damero) y cuyo objetivo principal es
que los estudiantes a través de la realización de las mismas logren reforzar los
conocimientos adquiridos en las clases, haciendo uso de definiciones y propiedades
geométricas; así como también estimular la creatividad en un ambiente lúdico.
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Gráfico 3. Imágenes del folleto Jugando con Ingenio.
Nivel 3. Relaciones, clasificación u ordenamiento
Fase 1 (Información): Una vez mostradas algunas demostraciones del teorema, se
enfocará el trabajo en la demostración realizada por Pitágoras de Samos, siendo ésta la más
comúnmente utilizada a nivel escolar, donde se reconocerán los conceptos básicos y, se
procederá mediante la demostración formal, a la deducción de su fórmula.
Fase 2 (Orientación Dirigida): El docente dará a conocer un juego didáctico
denominado Pitágora’s Manía (adaptación del juego conocido como Reto al Saber), con el
propósito que los estudiantes estén en la capacidad de comprender, relacionar y poner en
práctica lo aprendido durante las clases (aprendizaje significativo), así como también
estimular la creatividad, el pensamiento estratégico, la socialización y compañerismo al
estar involucrados todos los estudiantes del curso.
Fase 3 (Explicitación): El docente motivará a los estudiantes para que comenten, a
partir de sus vivencias, los resultados obtenidos (aciertos y equivocaciones) y, en caso de
ser necesario, aclarar dudas o responder las preguntas que pudieran surgir.
Fase 4 (Orientación Libre): El docente pedirá a sus estudiantes que traten de
identificar situaciones cotidianas, donde sería factible aplicar el Teorema de Pitágoras, para
luego discutirlas en clases.
Fase 5 (Integración): Como cierre del desarrollo de esta propuesta didáctica, el
docente, ayudado por sus alumnos, hará una síntesis del tema estudiado, destacando los
logros alcanzados en cuanto al dominio de los contenidos geométricos y la responsabilidad
y eficiencia demostrada en la realización de las actividades cumplidas.
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203
CONSIDERACIONES FINALES
En el diseño y desarrollo de esta propuesta didáctica, se ha tenido la oportunidad de
aplicar la noción de análisis didáctico como referente teórico que guió la ejecución de la
tarea; surgiendo así la necesidad de atender diferentes significados del tema geométrico
seleccionado (Teorema de Pitágoras), apoyándose en el mapa de enseñanza y aprendizaje,
así como la identificación de las habilidades geométricas que se pretendía alcanzarán los
estudiantes de 3er año cuando realizarán las actividades propuestas. Esto facilita la toma de
decisiones por parte de los diseñadores, ya que, existe una racionalidad que la justifica.
Asimismo, la matemática lúdica permite crear un ambiente que favorece el trabajo
colaborativo y la socialización entre compañeros de clases en un ambiente agradable, a la
vez que consolidan sus conocimientos sobre la Geometría del Triángulo y aplican el
Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
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FORMACIÓN PERMANENTE DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICA. UNA
PROPUESTA DIDÁCTICA
Jimmy Sánchez Chacón
UEN Manuel María Villalobos
Martha Iglesias Inojosa
UPEL-Maracay-CEINEM-NT
RESUMEN
En este estudio se presenta una propuesta didáctica dirigida a la formación permanente
de los docentes de Matemática, con el propósito de contribuir a la solución de la
problemática relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación
Media General. Para ello, mediante un trabajo de campo, se identificaron las necesidades
formativas de los profesores que laboran en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Carrizal,
Estado Miranda), así como también se revisaron algunas propuestas formativas reportadas
en revistas especializadas o memorias de eventos científicos, logrando establecer las bases
teóricas y metodológicas que sustentaron el diseño de un curso de Geometría y su
Didáctica. La propuesta estuvo orientada a dar a conocer herramientas teóricas y
metodológicas susceptibles de ser empleadas en el diseño de actividades didácticas con
contenidos geométricos, para hacer uso adecuado de un software de Geometría Dinámica
como el Cabri Geometry II Plus. Recomendándose la puesta en práctica del curso por
considerarlo como un escenario propicio para la investigación en Educación Matemática.
Palabras clave: Formación Permanente del Docente, Geometría y su Didáctica, Propuesta
Didáctica.
INTRODUCCIÓN
La Matemática comprende diversas áreas de conocimiento, tales como la Aritmética, el
Álgebra, la Geometría y la Estadística y Probabilidad, entre otras; por ello, en los planes de
estudio correspondientes al área de Matemática, los contenidos tratados tradicionalmente se
han organizado en bloques temáticos asociados a las áreas de conocimiento antes
mencionadas.
En subsistema de Educación Básica, integrado por los niveles de Educación Inicial,
Educación Primaria y Educación Media, la Matemática juega un papel protagónico, por su
valiosa contribución al desarrollo del pensamiento lógico - matemático de los estudiantes,
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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procurando además que los conocimientos matemáticos se usen o apliquen en distintas
situaciones y en el contexto de la vida cotidiana.
Específicamente la Geometría es una disciplina de la Matemática que, según Silva y
Becerra (2007), permite que el estudiante pueda explorar, descubrir y formular conjeturas a
través de diversos recursos didácticos; asimismo permite realizar abstracciones y
comprender el entorno al momento que refuerza el desarrollo de las destrezas y habilidades
para establecer la relación entre los objetos de la vida cotidiana y los objetos matemáticos
(Sánchez, 2008).
Por lo tanto, el docente debe buscar la forma de enseñar la Geometría a través de
estrategias que conlleven calidad en los contenidos y puedan brindar al estudiante las
características anteriormente descritas; destacando que uno de las principales limitaciones
presentes en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría es la de no ser un área de
conocimiento habitualmente incorporada por los docentes en sus planes de clases, tal como
se precisa más adelante en esta investigación.
Asimismo en diversos reportes de investigación (Moreno, 2006; Beyer, 2007; Sánchez,
2008; Pérez, 2008; Linares, 2008; Pérez, 2010 y Galvis, 2010) se señala que, en la
enseñanza de la Matemática, se han privilegiado los tópicos aritméticos y algebraicos,
dejando – en un segundo plano – el estudio de la Geometría, así como también de la
Estadística y Probabilidad, los autores consideran que para comprender y solucionar la
problemática relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en Educación
Media, es necesario atender la formación inicial y permanente de los docentes en el área de
Geometría y su Didáctica.
Por ello, se llevó a cabo una indagación preliminar, donde uno de los autores de este
trabajo entrevistó a sus colegas, teniendo como punto de partida las siguientes dos
interrogantes: (1) ¿Qué área de la Matemática impartes con mayor frecuencia? (2)
¿Lograste abordar los contenidos geométricos con detenimiento? A partir de las respuestas
obtenidas, se desarrollaba un conversatorio con los docentes sobre la enseñanza y el
aprendizaje de la Geometría en la Educación Media.
Observándose que los docentes privilegian la enseñanza de la Aritmética y del
Álgebra, enfatizando en los cálculos numéricos y algebraicos, y dejando relegada la
enseñanza de la Geometría, así como de la Estadística y la Probabilidad. Además, la
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enseñanza de la Geometría se limitaba al estudio de algunos temas tales como el cálculo del
área de gráficos geométricas y el cálculo del volumen de cuerpos geométricos, congruencia
de ángulos y cálculos trigonométricos. En consecuencia se detecta que la enseñanza de la
Geometría Plana y del Espacio no es abordada de forma adecuada por la mayoría de los
docentes de Matemática de la mencionada institución.
Por lo antes mencionado, este trabajo tuvo como propósito principal diseñar un curso
en Geometría y su Didáctica para la formación permanente de los docentes de Matemática
que laboran en la U.E.N “Manuel María Villalobos”, considerando las necesidades de los
docentes y algunas propuestas didácticas para establecer las bases teóricas y metodológicas
que sustentaron el diseño de mencionado curso.
Esta investigación resalta la necesidad de establecer la relevancia de los contenidos
geométricos en la Educación Media, considerando que esta es una de las ramas principales
de la Matemática y una de la más olvidada en la escolaridad; se intenta mediante el diseño
de un curso en Geometría y su Didáctica para la formación permanente del docente en
servicio, aportar mecanismos que despierten en el docente el interés de enseñar Geometría
en escuelas y liceos, sin menospreciar las demás áreas de la Matemática.
MÉTODO
Esta investigación se ubicó en el campo de la Educación Matemática, ya que, se diseñó
un curso en Geometría y su Didáctica dirigido a los docentes de Matemática que trabajan
en la U.E.N. Manuel María Villalobos (Municipio Carrizal del Estado Miranda). Asimismo,
este trabajo se sitúa en el contexto de la línea de investigación en Pensamiento Geométrico
y Didáctica de la Geometría, adscrita al Centro de Investigación en Enseñanza de la
Matemática usando Nuevas Tecnologías (CEINEM – NT) que funciona en la UPEL
Maracay; línea dónde se han venido desarrollando algunos estudios acerca de la formación
profesional del profesor de Matemática en el área de Geometría y su Didáctica.
La investigación se enmarcó dentro de la modalidad de Proyecto Factible, apoyándose
en una Investigación de Campo que permitió describir y comprender la problemática
planteada teniendo como aspectos relevantes el desempeño de los docentes que trabajan en
la U.E.N. Manuel María Villalobos y sus necesidades formativas; así como también en una
Investigación Documental, debido a que se consideró necesario revisar diversos reportes
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investigativos que dieron a conocer propuestas formativas en el área de Geometría y su
Didáctica, como: (1) Jugando con el Tangram y algo más (Silva y Becerra, 2007). (2)
Curso de Resolución de Problemas Geométricos Asistido por Computadora (Iglesias,
2000). (3) Estudio de las Funciones Trigonométricas y sus Inversas en un ambiente de
Geometría Dinámica. Una Propuesta Didáctica (García, Czwienczek e Iglesias, 2007). (4)
Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica (Iglesias, 2008). (5) Estudio de
las Cónicas en un Ambiente de Geometría Dinámica (García, 2010). (6) Evaluación de un
Programa de Formación para Docente en Servicio en el Área de Geometría y su Didáctica
(Pérez, 2011). (7) La Formación de Profesores de Matemáticas. Un Campo de Estudio y
Preocupación (García Blanco, 2005); tratando de establecer algunos referentes teóricos y
metodológicos que sustentaran el diseño del mencionado curso.
Los sujetos considerados para este trabajo fueron cinco (5) docentes de Matemática
que laboraron en la U.E.N. Manuel María Villalobos durante el año escolar 2010 – 2011, a
quienes se les realizó entrevistas para saber la manera cómo llevaron a cabo el proceso de
enseñanza de la Geometría en Educación Media y sus necesidades formativas en el área de
Geometría y su Didáctica. Además, la revisión de propuestas formativas en el área de
Geometría y su Didáctica – diseñadas y puestas en práctica por otros investigadores,
obligando a considerar ciertos aspectos susceptibles de ser analizados y que coadyuvaron a
concretar el diseño del curso en el área de Geometría y su Didáctica.
Cabe señalar que, para la recopilación y análisis de la información recabada en el
trabajo de campo, se privilegiaron técnicas asociadas a la investigación cualitativa. Para la
recopilación de la información, el investigador elaboró un guión de entrevista
semiestructurada, con las siguientes interrogantes: (1) ¿consideras que presentas algunas
debilidades en cuanto al manejo de las estrategias didácticas? En caso afirmativo, ¿cuáles
serían estas debilidades? (2) ¿cuáles serían tus fortalezas en cuanto al uso de estrategias
didácticas al momento de enseñar Matemática? (3) ¿a cuáles acostumbras darle mayor
importancia? (4) ¿Cuáles estrategias didácticas, así como materiales y recursos didácticos,
utilizas o te gustaría utilizar en la enseñanza de la Geometría? De tener la oportunidad de
participar en un curso de Geometría y su Didáctica, ¿qué te gustaría aprender?
Teniendo en cuenta los resultados de la indagación preliminar, las interrogantes y
objetivos que guiaron la investigación, se procuró profundizar en aquellos aspectos
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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referidos a: la problemática de la enseñanza de la Geometría en Educación Media, la
gestión de las clases de Geometría y las necesidades formativas en el área de la Geometría
y su Didáctica. Asimismo se utilizó una grabadora MP4 para no perder ningún detalle en
las conversaciones con los docentes. Los resultados obtenidos se presentan y discuten en
forma amplia en Sánchez Chacón, (2012).
Para el análisis de contenido de la revisión de propuestas didácticas, se utilizó como
instrumento un registro, el cuál se revisó exhaustivamente los contenidos de las
investigaciones reportadas en los antecedentes de este trabajo para así haber podido
identificar ciertos procesos y elementos didácticos que ayudaron al diseño del curso en
Geometría y su Didáctica.
RESULTADOS
La Propuesta
El diseño de esta propuesta didáctica materializada en un curso – taller con contenidos
geométricos surgió en atención a los objetivos de esta investigación y la misma se ajustó a
los resultados obtenidos por el desempeño de los docentes y sus necesidades formativas.
Fundamentación Didáctica
Este curso trata sobre ciertos temas de la Geometría del Triángulo y el mismo está
basado en la aplicación de la Geometría Dinámica, con cierto enfoque de resolución de
problemas y la utilización de un software manipulativo como lo es el Cabri II Plus. Con su
diseño se pretende brindarles a los docentes en servicio una oportunidad para mantenerse
activos e interesados en la enseñanza de la Geometría. Cabe destacar que la mayoría de las
propuestas didácticas analizadas trabajaron con el modelo de razonamiento geométrico de
Van Hiele y, por ende, las actividades elaboradas para los talleres de esta propuesta siguen
algunos aspectos de este modelo.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Objetivos Generales del curso
1. Realizar construcciones geométricas con regla y compás.
2. Explorar tales construcciones geométricas, con el propósito de identificar los objetos
geométricos involucrados y las relaciones entre ellos.
3. Establecer las definiciones y propiedades geométricas implicadas en tales
construcciones.
4. Plantear y resolver problemas geométricos relacionados con situaciones de la vida
cotidiana.
Medios, Recursos o Materiales
Los medios a utilizar en el curso son: (1) Medios impresos y hojas de trabajo. (2)
Medios audiovisuales como el video beam, empleado para presentarán diapositivas
elaboradas en PowerPoint. (3) Medios interactivos, especialmente el Cabri II, ya que, según
Iglesias (2000), el Cabri posee ciertas ventajas con respecto a otros medios: (a) Se realizan
construcciones geométricas de forma rápida y precisa. (b) Se pueden analizar varios casos
particulares en un corto lapso de tiempo. (c) Favorece la resolución de problemas y la
formulación de conjeturas. (d) Es una poderosa herramienta que puede facilitar el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Geometría.
Orientación
El curso está orientado a propiciar un ambiente de aprendizaje centrado en el uso de un
software de Geometría Dinámica que permita a los participantes realizar construcciones
geométricas, así como explorar, identificar propiedades en dichas construcciones, enunciar
conjeturas, hacer demostraciones, incrementar actitudes favorables hacia la resolución de
problemas geométricos, entre otros. Asimismo apoyar la formación permanente de los
docentes en servicio, propiciando actitudes favorables hacia la enseñanza de la Geometría y
así poder a futuro incorporar estrategias didácticas apropiadas en clases con sus estudiantes.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
211
Actividades contempladas en el curso
Para el diseño de las actividades didácticas propuestas en cada uno de los talleres
contempladas en hojas de trabajo, se han organizado los contenidos en un mapa de
enseñanza y aprendizaje, teniendo en cuenta lo señalado por Orellana Chacín (2002); de
forma que tales actividades permitan a los docentes en servicio participar activamente en la
construcción de su propio conocimiento de la temática a trabajar. Tales actividades
estuvieron centradas en las características de la orientación mencionada anteriormente. Se
ha considerado dedicar cuatro (4) horas para el desarrollo de las actividades propuestas en
cada una de las hojas de las hojas de trabajo, para un total de veinte (20) horas. Además, al
inicio, se contempla una sesión de trabajo, para presentar la propuesta del curso – taller a
los participantes, así como para explorar el software a ser utilizado, con el propósito de
familiarizar a los docentes participantes en el uso del mismo.
Hojas De Trabajo
Se elaboraron cinco (5) hojas de trabajo contentivas de las actividades propuestas y las
mismas abarcaban los siguientes asuntos: (1) Construcción con regla y compás de ciertos
elementos básicos de la Geometría y la valoración de las construcciones a través del uso de
definiciones y propiedades geométricas. (2) Construcción y descripción de triángulos según
sus ángulos y los criterios de congruencia. (3) Construcción y descripción de la
concurrencia de los elementos del triángulo. (4) Construcción, descripción, manipulación,
exploración y reflexiones sobre los triángulos, Teselados, cálculos de áreas y perímetros y
el Teorema de Pitágoras. (5) Resolución de problemas geométricos e planteamiento de
otros problemas. A continuación, se muestra una de las (5) hojas de trabajo para tener idea
de las actividades contempladas en el curso.
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Hoja de trabajo 1
Actividad nº 1: Trazado de una recta perpendicular en el punto medio de un
segmento.
1. Trace un segmento AB .
2. Con el compás teniendo una abertura mayor que la mitad de la longitud de AB (aquí
es necesario introducir un segmento auxiliar cuya longitud representa la abertura del
compás), haga centro en los puntos A y B sucesivamente y trace arcos de circunferencia
que se corten en los puntos C y D.
3. Trace la recta determinada por los puntos C y D. La recta CD
se denomina
mediatriz del segmento AB .
4. Determine el punto de intersección P de la recta CD
con el segmento AB . Tal
punto de intersección es el punto medio del segmento AB .
5. ¿Cómo puedes garantizar que P es punto medio del segmento AB y que la recta
CD
es perpendicular al segmento AB en P? y ¿Cómo puedes garantizar que la recta
CD
es la mediatriz del segmento AB ?
6. ¿Cuáles son los objetos iniciales y los objetos finales en esta construcción?
Actividad nº 2: Construcción de un ángulo que mida 90º (sin usar transportador)
1. Trace una semirrecta AB
(es decir, traza una semirrecta con origen en A y, luego,
marca un punto B, distinto de A, perteneciente a tal semirrecta).
2. Trace una recta L perpendicular a la semirrecta AB
en el punto A.
3. Ubique un punto C, distinto de A, en la recta L.
4. Marque el ángulo < CAB.
5. Mide el ángulo < CAB.
6. ¿Qué definiciones o propiedades geométricas sustentan esta construcción?
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
213
Actividad nº 3: Construcción de un ángulo que mida 60º.
1. Trace la semirrecta AB
y, seguidamente, trace el segmento AB (esto facilitará el
uso del botón compás)
2. Con el compás y considerando una abertura igual a la longitud AB, haga centro en
los puntos A y B sucesivamente y trace arcos que se cortan en el punto C.
3. Trace la semirrecta AC
.
4. Marque el ángulo < BAC.
5. Mide el ángulo < BAC.
6. ¿Qué definiciones o propiedades geométricas sustentan esta construcción?
Actividad nº 4: Construcción de un ángulo que mida 45º (sin usar transportador).
1. Trace una semirrecta AB
.
2. Trace una recta L perpendicular a la semirrecta AB
en el punto A.
3. Con el compás, haciendo centro en A y considerando una abertura igual a la longitud
AB, trace un arco de circunferencia que corte a la recta L en el punto C.
4. Trace la semirrecta BC
.
5. Marque el ángulo < CBA.
6. Mida el ángulo < CBA.
7. ¿Qué definiciones o propiedades geométricas sustentan esta construcción?
Actividad nº 5: Construcción de un ángulo que mida 150º (sin usar transportador)
1. Trace una semirrecta AB
.
2. Trace un ángulo recto con vértice en A; es decir: m < CAB = 90°. (Sugerencia:
Revisar la actividad n° 2 de esta hoja de trabajo).
3. Tomando como referencia la recta perpendicular que pasa por el punto A (es decir, la
recta AC
), trace un ángulo con vértice en A que mida 60º (m < CAD = 60°).
(Sugerencia: Revisar la actividad n° 3 de esta hoja de trabajo).
4. Marque el ángulo < DAB.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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5. Mida el ángulo < DAB.
6. ¿Qué definiciones o propiedades geométricas sustentan esta construcción?
CONSIDERACIONES FINALES
Las bases teóricas y metodológicas para el diseño del curso en Geometría y su didáctica
se basaron en algunas estrategias usadas en las propuestas ya analizadas en este trabajo,
resaltando las siguientes: (1) Modelo Didáctico – Metodológico de Luengo y otros (1997),
empleado para organizar los componentes de la propuesta (fundamentación didáctica,
contenidos a ser estudiados, objetivos de aprendizaje, actividades, materiales y recursos
didácticos y evaluación). (2) El Mapa de Enseñanza Aprendizaje de Orellana Chacín (2002)
permitió organizar y determinar el alcance de los contenidos geométricos a ser estudiados.
(3) Las hojas de trabajo con las actividades propuestas se diseñaron tomando en
consideración algunos aspectos contemplados en el Modelo de Razonamiento Geométrico
de Van Hiele. (4) El estudio de un contenido geométrico específico y susceptible de ser
relacionado con otros temas: Geometría del triángulo.
Este curso fue diseñado con la intención de despertar interés en los docentes en
servicio por la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos geométricos y, de esta manera,
apoyar la formación permanente del docente de Matemática, pretendiendo con ello mejorar
la calidad de la enseñanza de la Geometría en la Educación Media.
Cabe destacar que, aunque el curso estuvo dirigido a docentes en servicio de la Unidad
Educativa Nacional Manuel María Villalobos, se considera que las actividades reflejadas en
los cinco (5) talleres propuestos, pudieran ser abordadas por los docentes en su formación
inicial, con el propósito al desarrollo del conocimiento geométrico, didáctico y de gestión
de clases.
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Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Caracas.
Silva, D. y Becerra, R. (2007). Jugando con el Tangram y algo más. En J. Ortiz
Buitrago y M. Iglesias Inojosa (Eds.), Memorias VI Congreso Venezolano de
Educación Matemática (p. 13). Maracay: Universidad Pedagógica Experimental
Libertador, Instituto Pedagógico de Maracay “Rafael Alberto Escobar Lara”.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA
Snnaider Ramirez
Zuleidy Torres
Kelly Váldez
Martha Iglesias
UPEL-Maracay
RESUMEN
El estudio de la Geometría ofrece diversas posibilidades para experimentar, mediante el uso
adecuado de materiales manipulables, sus métodos, conceptos, propiedades y problemas.
Actualmente existen muchos materiales que pueden utilizarse en el trabajo de aula para
enseñar los temas geométricos; algunos de ellos han sido creados específicamente para
estudiar Geometría y otros pueden ser adaptados para utilizarse en su enseñanza; sin
embargo, son pocos los docentes que están al tanto de ello o que se animan a emplearlos en
sus clases. Por ello, este trabajo estuvo dirigido a diseñar una propuesta para la enseñanza y
el aprendizaje de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo (2do año de educación
media), teniendo como referente la noción de análisis didáctico (Gómez, 2007; Iglesias,
2008), el cual en la fase de planificación abarca tres componentes y la búsqueda de
respuesta a una serie de interrogantes: (1) Análisis de contenido: ¿Cuáles aspectos se
abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en cuenta el mapa
de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre los aspectos
elegidos?. (2) Análisis Cognitivo: ¿Cuáles serán las habilidades geométricas asociadas a los
niveles de razonamiento geométrico se espera sean desarrolladas por los estudiantes cuando
estudien el tema relacionado con circunferencia y círculo? (3) Análisis de la Instrucción:
¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para organizar la
enseñanza del referido a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en 2do año de
educación media? Como respuesta a estas interrogantes, se diseñó una propuesta que
abarcaba asuntos como la representación de la circunferencia y el círculo en el mundo real,
la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, una reseña
histórica del número Pi ( ), la identificación y trazado de los elementos de una
circunferencia y un circulo y el dibujo y cálculo con tecnología para inscribir polígonos en
una circunferencia. Para ello, se planteó el uso de materiales didácticos manipulables y la
incorporación de un software de Geometría Dinámica como el Cabri Geometry II.
Palabras Clave: Didáctica de la Geometría, Materiales didácticos y Software de Geometría
Dinámica.
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INTRODUCCIÓN
La Geometría ayuda a estimular y ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de
resolución de problemas. Da oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar,
imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar a los estudiantes
a aprender cómo descubrir relaciones por ellos mismos y convertirse en mejores resolutores
de problemas. Es por ello que es de suma importancia que los docentes de Matemática
tomen en consideración la enseñanza de los contenidos geométricos.
La problemática abordada en este trabajo está centrada en la enseñanza y el aprendizaje
de la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en la educación media y la misma se
presenta mediante algunas interrogantes que sirvieron de hilo conductor para la
investigación y, además, permitieron establecer los objetivos: ¿Cuáles aspectos se
abordarán sobre la Geometría de la Circunferencia y el Círculo teniendo en cuenta el mapa
de enseñanza y aprendizaje?, ¿Cuáles relaciones se pueden establecer entre los aspectos
elegidos?, ¿Cuáles serán las habilidades asociadas a los niveles de razonamiento
geométrico que se espera sean desarrolladas por los estudiantes cuando estudien el tema
relacionado con circunferencia y círculo?, ¿Cuáles son las estrategias, materiales y recursos
didácticos idóneos para organizar la enseñanza referida a la Geometría de la Circunferencia
y el Círculo en 2do año de educación media?.
Por lo antes mencionado, se decidió diseñar una unidad didáctica centrada en la
Geometría de la Circunferencia y el Círculo y dirigida a estudiantes de 2do año de
educación media. Para llevar a cabo el diseño de la unidad didáctica, se tomó como
referente a la noción de análisis didáctico, la cual fue introducida por Rico (1997) y
utilizada por Gómez (2007) como un procedimiento para organizar la enseñanza de la
Matemática. Según Gómez (2007), el análisis didáctico “es un procedimiento con el que es
posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del
contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar
actividades de enseñanza y aprendizaje” (p. 18). Cabe decir que, en la fase de diseño o
planificación de la unidad didáctica, se desarrollaron tres de los cuatro componentes del
análisis didáctico: análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de la instrucción.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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En el análisis de contenido, se trabajó con el mapa de enseñanza y aprendizaje
propuesto por Orellana Chacín (2002), teniendo en consideración los siguientes aspectos:
(a) Fundamentación matemática, (b) Reseña histórica, (c) Relación con el mundo real, (d)
Relación con otros tópicos o temas matemáticos y (e) Dibujo y cálculo con tecnología. Para
el análisis cognitivo se utilizó el modelo de razonamiento geométrico propuesto, en 1957,
por los esposos Van Hiele y, finalmente, en el análisis de la instrucción se emplearon las
estrategias, materiales y recursos didácticos idóneos para el desarrollo del tema geométrico
considerado, procurando contribuir al logro de los objetivos de aprendizaje por parte de los
estudiantes.
Es necesario indicar que el procedimiento utilizado para llevar a cabo el diseño de esta
unidad didáctica, también se sustentó en la manera como Iglesias (2008) empleó el mapa de
enseñanza y aprendizaje y el modelo de Van Hiele para facilitar el análisis didáctico de
contenidos geométricos, cuando asumió el diseño de las unidades didácticas que conforman
el curso de Geometría I; curso correspondiente al componente de formación especializada
de la especialidad de Matemática en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador,
Instituto Pedagógico de Maracay.
Objetivo general
Diseñar una unidad didáctica dirigida al estudio de la Geometría de la Circunferencia y
el Círculo en 2do año de educación media.
Objetivos específicos
1. Elaborar el mapa de enseñanza y aprendizaje referido a la Geometría de la
Circunferencia y el Círculo en 2do año de educación media.
2. Identificar las habilidades geométricas que se pretende sean desarrolladas por los
estudiantes durante el estudio del tema seleccionado.
3. Describir las estrategias didácticas a ser puestas en práctica durante el desarrollo de
la unidad didáctica referida a la Geometría de la Circunferencia y el Círculo en 2do año de
educación media.
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ANÁLISIS DIDÁCTICO
A continuación, se mostrará cómo se llevó a cabo el análisis didáctico del tema
seleccionado, atendiendo a los tres componentes de la fase de diseño de una unidad
didáctica.
Análisis de contenido
Este es el primer componente del análisis didáctico y correspondiente a la fase de diseño
de una unidad didáctica y está orientado a develar la estructura conceptual y los distintos
significados del tema matemático seleccionado (Gómez, 2007). Por ello, se consideró
viable la elaboración de un mapa de enseñanza y aprendizaje (MEA) para la Geometría de
la Circunferencia y el Círculo, ya que, existe una correspondencia entre los aspectos
señalados por Orellana Chacín (2002) y la noción de organizadores curriculares (Segovia y
Rico, 2001), lo cual favorece el estudio del contenido matemático a la luz de sus diferentes
significados y que, en el caso de este trabajo, destacan: (a) Significado formal
(fundamentación matemática y relación con otros tópicos matemáticos), (b) Historia de la
Matemática (reseña histórica sobre la circunferencia y el círculo), (c) Modelos
matemáticos, procesos de modelización y fenomenología (relación con el mundo real); (d)
Sistemas de representación y uso de materiales y recursos (dibujo y cálculo con tecnología).
Además, el MEA permite diseñar y poner en práctica estrategias de enseñanza y
aprendizaje, tomando en cuenta distintos aspectos a enseñar de un tema matemático, así
como también sirve como guía didáctica a seguir en cuanto a la presentación de los
contenidos matemáticos.
En el Gráfico 1, se muestra el MEA para la Geometría de la Circunferencia y el Círculo,
en función a los cinco aspectos seleccionados, mencionando el alcance del contenido a ser
estudiado:
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Gráfico 1. Mapa de Enseñanza y Aprendizaje para la Circunferencia y Círculo.
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1. Relaciones con el mundo real: Se establecen las relaciones del tema sobre la
circunferencia y el círculo con situaciones cotidianas u objetos del entorno próximo al
estudiante; por ello, es recomendable dejar ver la utilidad del conocimiento geométrico,
mediante la presentación de problemas provenientes del mundo real, los cuales, por lo
general, son susceptibles de ser abordados con un enfoque de laboratorio. Por ejemplo,
mediante mediciones y cálculos, hallar la relación entre la longitud de una circunferencia y
su diámetro.
2. Historia de la Matemática: Se presenta una reseña histórica del número Pi ( ); de
esta manera, los estudiantes se percatarían del interés de distintas civilizaciones sobre el
estudio de la circunferencia y el círculo.
3. Fundamentación matemática: Se establecen las definiciones a utilizar y las
propiedades que serán empleadas en la resolución de problemas.
4. Relaciones con otros temas matemáticos: Se vincula el estudio de la circunferencia
y el círculo con el de los cuerpos redondos.
5. Dibujo y cálculo con tecnología: En este caso, se utiliza un software de Geometría
Dinámica como el Cabri Geometry II Plus.
Análisis cognitivo
Este es el segundo componente del análisis didáctico en la fase de diseño de una unidad
didáctica y el mismo está orientado a identificar las competencias matemáticas que se
espera sean desarrolladas o puestas en práctica por los alumnos, los posibles errores que
puedan cometer y las posibles dificultades que puedan llegar a confrontar, cuando se
enfrenten a las situaciones de enseñanza y aprendizajes diseñadas por el profesor y
orientadas al estudio de un tema matemático específico (Gómez, 2007; Iglesias, 2008).
En este caso, para llevarlo a cabo, se aplicó el modelo de razonamiento geométrico
propuesto por Van Hiele (1957), ya que se enfatizó en la identificación de las habilidades
asociadas los tres primeros niveles de razonamiento geométrico, los cuales son:
1. Reconocimiento: Los estudiantes reconocen por su apariencia global a distintos
objetos geométricos; especialmente, son capaces de identificar gráficos planas o cuerpos
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geométricos al observar o manipular objetos físicos como ruedas, balones, CD’s, canchas
deportivas, etc.
2. Análisis: Los estudiantes identifican los elementos de una gráfico geométrica como
centro, radio, diámetro y cuerda de una circunferencia y establecen relaciones entre ellos.
3. Relaciones, clasificación u ordenamiento: Los estudiantes son capaces de
establecer definiciones y aplicar propiedades de una gráfico geométrica en la resolución de
problemas.
Además, atendiendo a la clasificación establecida por Hoffer (1981), se consideraron las
habilidades geométricas visuales, verbales, de dibujo y aplicadas relacionadas con el
estudio del tema seleccionado. En el Cuadro 1, se presenta un resumen de las habilidades
geométricas que se pretende sean desarrolladas o puestas en práctica por los estudiantes de
2do año de educación media, cuando realicen las actividades propuestas por el docente de
Matemática.
Cuadro 1
Habilidades asociados a los niveles de razonamiento geométrico
Reconocimiento Análisis
Relaciones,
Clasificación u
Ordenamiento.
Visuales
Identifica en objetos del
entorno dibujos y
construcciones propias a
las formas de
circunferencia, círculo y
esfera.
Reconoce algunos
elementos en estos objetos
geométricos tales como:
radio, diámetro, rectas
secantes y tangentes,
ángulos inscritos, etc.
Identifica ángulos
inscritos en una
circunferencia.
Reconoce las
posiciones relativas entre:
un punto y la
circunferencia, una recta
y la circunferencia.
Reconoce las posiciones
relativas entre dos
circunferencia.
Verbales
Utiliza adecuadamente las
palabras radio, diámetro y
centro de una
circunferencia.
Expresa en forma oral
y escrita los resultados
obtenidos.
Formula diferencias
entre la circunferencia y
el círculo.
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Cuadro 1. (Cont.)
Análisis de la instrucción
Según Iglesias (2008), el análisis de la instrucción está orientado al diseño de las
actividades de enseñanza y aprendizaje por parte del profesor de Matemática, teniendo
como base el análisis de contenido y el análisis cognitivo previamente realizados. También,
en el análisis de la instrucción, el profesor de Matemática seleccionará o elaborará los
materiales y recursos didácticos a ser utilizados durante la puesta en práctica de la unidad
didáctica.
De esta modo, el análisis de la instrucción se materializó a través del diseño de cuatro
subunidades didácticas centradas en el estudio de la circunferencia y el círculo, las cuales
guardan una estrecha relación con las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de Van
Reconocimiento Análisis
Relaciones,
Clasificación u
Ordenamiento.
De dibujo
Traza circunferencias y
círculos utilizando
diferentes estrategias.
Dibuja y recorta
gráficos planas.
Traza circunferencias
y círculos y reconoce sus
elementos.
Construye segmentos
circulares, sectores
circulares y ángulos
inscritos en la
circunferencia.
Traza rectas tangentes,
secantes y exteriores a
una circunferencia.
Construye
circunferencia
conociendo ciertos
elementos.
Traza polígonos
regulares inscritos
en una
circunferencia.
Aplicadas
Identifica y relaciona los
elementos de una
circunferencia: radio,
diámetro, cuerda y arco.
Resuelve
problemas en los
cuales utilizan las
relaciones entre los
elementos de
circunferencias y
círculos.
Resuelve
problemas de
cálculo de áreas,
perímetros y
volúmenes.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Hiele, pretendiendo que los estudiantes alcancen las competencias matemáticas previstas
por medio de la realización de actividades de modelización matemática, actividades que
incorporen el uso de material didáctico manipulable y de un software de geometría
dinámica, así como la proyección de un video relacionado con el número Pi ( ). Para el
desarrollo de estas actividades, se ha estimado siete (7) sesiones de clases, de cuarenta (40)
minutos de duración cada una.
Para el desarrollo de estas actividades, se ha considerado usar los siguientes
materiales o recursos didácticos: (a) Calculadora (ésta se utilizará para hallar el cociente
entre la longitud y el diámetro de una circunferencia), (b) Software de Geometría Dinámica
como el Cabri Geometry II Plus (se les mostrarán a los estudiantes construcciones
relevantes de la circunferencia, el círculo y los polígonos regulares y, luego, se les pedirá
que realicen construcciones de polígonos inscritos en una circunferencia), (c) Geoplano
circular (el mismo se utilizará para introducir la noción de rectas tangentes y rectas secantes
y, con ello, poder diferenciarlas), y (d) Objetos del entorno que tengan forma circular (estos
nos servirán para identificar los elementos de una circunferencia y del círculo, así como
distinguir entre circunferencia y círculo).
En el Cuadro 2, se muestra una síntesis del contenido e intencionalidad didáctica de las
actividades que se tienen previstas en cada una de las cuatro subunidades que conforman la
unidad didáctica sobre la circunferencia y el círculo.
Cuadro 2
Descripción de las actividades didácticas diseñadas para el estudio de la
circunferencia y el círculo
Denominación Contenido Intencionalidad
Didáctica
Actividades previstas
La Circunferencia y El
Círculo en el Mundo
Real
Representación de la
circunferencia y el
círculo en el mundo real. Relación existente entre
la longitud de una
circunferencia y el
diámetro; es decir,
existencia del número Pi
(π).
Entender el porqué de la
existencia del número Pi
( ), a través de la
relación existente entre
el diámetro y longitud de
una circunferencia.
Traer al aula de clase
objetos en forma
circular para efectuar mediciones y, luego,
calcular el cociente
dado por la longitud y
el diámetro de la
circunferencia, y
comprender con ello la
existencia del número
Pi (π).
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Cuadro 2 (Cont,)
Denominación Contenido Intencionalidad
Didáctica
Actividades previstas
Reseña Histórica del
número .
Evolución histórica del
número .
Identificar los aportes de
distintas civilizaciones al estudio del número pi
( ).
Desarrollo de un guión
de observación de un video relacionado con
el número Pi ( ).
La Circunferencia, El
Círculo y sus Elementos
Circunferencia:
Definición, elementos,
longitud.
Rectas exteriores, rectas
tangentes y rectas
secantes a una circunferencia.
Círculo: Definición,
elementos, área, etc.
Propiciar el
reconocimiento de
relaciones y propiedades
entre los elementos de
una circunferencia y un
círculo.
Se realizarán
construcciones
geométricas de la
circunferencia y el
círculo, con la finalidad
de identificar sus elementos y las
relaciones existentes
entre éstos.
Dibujo y Cálculo con
tecnología
Construcción de
polígonos inscritos en
una circunferencia.
Inscribir polígonos
regulares en una
circunferencia, haciendo
uso de un software de
Geometría Dinámica
(SGD).
Establecer relaciones
entre los elementos de un polígono regular y la
circunferencia donde
está inscrito.
Uso de un SGD como
el Cabri Geometry II
Plus para efectuar
construcciones con
regla y compás.
Seguidamente, a modo de ilustración, se presentará una breve descripción de las
actividades propuestas en esta unidad didáctica sobre la circunferencia y el círculo. Así,
para la subunidad 1, La Circunferencia y El Círculo en el Mundo Real, se propone a los
estudiantes que busquen en su entorno objetos físicos donde se encuentren presentes la
circunferencia y el círculo y los traigan a clases, para calcar la forma circular del objeto en
papel y, así, facilitar la medición (con una cuerda o una cinta métrica) de la longitud de la
circunferencia trazada y de uno de sus diámetros (en cm). Con los datos obtenidos, se
procede a elaborar una tabla con tres columnas: longitud de la circunferencia, longitud del
diámetro correspondiente y el cociente dado por la longitud de la circunferencia y su
diámetro (aquí es útil el uso de la calculadora). Una vez construida esta tabla, cada
estudiante presentará sus resultados, con el propósito de establecer comparaciones y
relaciones entre los valores de la tercera columna y, así, de manera empírica, establecer la
relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro y el número Pi ( ).
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En la subunidad 2, Reseña Histórica del número π, se presenta a los estudiantes un video
relacionado con la reseña histórica del número π; previamente, con el propósito de captar su
atención, se conformarán cuatro grupos de trabajo denominados: Ramanujan, Arquímedes,
Ptolomeo y Euler. Posteriormente, por grupo, se realizará una ronda de preguntas
relacionadas con la información divulgada en el video sobre el número Pi (π) y las
implicaciones que ha tenido este tema matemático en la resolución de problemas de la vida
diaria.
En cuanto a la subunidad 3, La Circunferencia, El Círculo y sus Elementos, se propone a
los estudiantes que recorten tiras de cartulina de igual grosor (por ejemplo, de 1 cm de
grosor) y distintas longitudes que permitan construir circunferencias concéntricas, de
manera que la más interior no deje un “hueco” y las otras se ajusten perfectamente unas a
otras, tratando de formar un “círculo”. Luego se desenrollaran las tiras de cartulina,
colocándolas de mayor a menor para obtener una gráfico como se muestra en el siguiente
gráfico:
Gráfico 2. Gráfico formada con las tiras de cartulina
Obsérvese, en el Gráfico 2, que la gráfico formada se asemeja a un “triángulo
rectángulo” cuya área se supone que los estudiantes ya saben calcular; de modo que, la tira
con mayor longitud se corresponde a la circunferencia concéntrica más externa y
representaría la base del “triángulo” y se asume que su longitud es 2.π. r. Además, la altura
del triángulo son r cuerdas de radio 1 cm; es decir la altura es igual a r cm. Así, pues el área
del “triángulo” viene dada por A = [(2.π. r). r] / 2 = π.r2
, la cual coincide con el área del
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“círculo” formado por las circunferencias concéntricas. Esta actividad fue planteada por
Fernández, Padilla, Santos y Velásquez (1996) en la obra intitulada “Circulando por el
Círculo”.
En la subunidad 4, Dibujo y Cálculo con Tecnología, haciendo uso del Cabri II Plus, se
le mostrará a los estudiantes como inscribir un triángulo en una circunferencia y, luego, se
les pedirá que indaguen y procuren - con regla y compás - inscribir un hexágono en una
circunferencia dada, teniendo además como referencia la construcción antes mostrada.
CONSIDERACIONES FINALES
El diseño de unidades didácticas con contenido geométrico exige a los docentes de
Matemática del dominio tanto del conocimiento disciplinar como del conocimiento
didáctico asociado al conocimiento matemático y, por ello, se considera útil el manejo de
referentes teóricos como la noción de análisis didáctico, ya que, permite centrarse en
asuntos específicos relacionados con el tema a tratar (análisis de contenido), los objetivos
de aprendizaje (análisis cognitivo) definidos en términos de habilidades asociadas a los
niveles de razonamiento geométrico y las situaciones de enseñanza y aprendizaje (análisis
de la instrucción). Por ello, se considera que el diseño y desarrollo de una unidad didáctica
en Matemática debe abordarse desde una perspectiva investigativa en el ámbito de la
Educación Matemática y que los futuros docentes de Matemática deben apropiarse de
herramientas teóricas y metodológicas que les permitan efectuar estas tareas con eficiencia.
También es relevante resaltar la vigencia del modelo de razonamiento geométrico de
Van Hiele y la utilidad del mapa de enseñanza y aprendizaje propuesto por Orellana Chacín
(2002) al momento de determinar el alcance de un tema matemático como se ha mostrado
en este trabajo.
REFERENCIAS
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Madrid: Síntesis.
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matemáticas (capítulo 2). En P. Gómez (Ed.), Desarrollo del conocimiento didáctico
en un plan de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria (pp. 31-
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Granada.
Hoffer, A. (1981). Geometry is More Than Proof. Mathematics Teacher, enero 1981, 11 –
18. Traducción de Ricardo Barroso. Disponible en: http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/
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Iglesias, M. (2008). Proyecto Docente en el área de Geometría y su Didáctica. Trabajo de
ascenso no publicado. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto
Pedagógico Rafael Alberto Escobar Lara, Maracay.
Orellana, M. (2002). ¿Qué enseñar de un Tópico o de un Tema? Enseñanza de la
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Castro, M. Coriat, A. Marín, L. Puig, M. Sierra, M. Socas (Eds.), La educación
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Van Hiele, P.M. (1957). El problema de la comprensión. En conexión con la comprensión
de los escolares en el aprendizaje de la geometría. (Universidad Real de Utrecht:
Utrecht, Holanda). Director: Hans Freudenthal. Disponible en:http://www.uv.es/
Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/VanHiele57.pdf
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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LA DEMOSTRACIÓN EN GEOMETRÍA
DESDE UNA PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA
Martha Iglesias Inojosa
UPEL-Maracay
José Ortiz Buitrago
UC-Núcleo Aragua
RESUMEN
Se presenta una aproximación al estudio de la demostración en Geometría desde una
perspectiva epistemológica, teniendo como referencia dos asuntos esenciales de la Teoría
del Conocimiento, como lo son la forma de conocimiento y el criterio de verdad; para ello,
se han planteado, en el campo de la Matemática y de la Educación Matemática, las
siguientes interrogantes: ¿El conocimiento matemático es racional o puede ser intuitivo?
¿Cómo se sabe que el conocimiento matemático es verdadero? En la búsqueda de respuesta
a estas interrogantes se han revisado algunas investigaciones sobre intuición y
demostración mencionadas por D’Amore (2006) y entre las cuales destacan los trabajos
realizados por Fischbein (1987), Duval (1999), Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007);
encontrándose que la introducción del método axiomático contribuyó a la evolución de la
Matemática como disciplina científica y, además, trajo consigo a los métodos de
demostración como formas aceptadas de validación de las verdades matemáticas. Sin
embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionado una sobrevaloración de los llamados
contextos de justificación, descuidando así lo relacionado con el descubrimiento del
conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a un conjunto de procesos
como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, los cuales conducirían a sentir la
necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo que impulsaría a los profesores y
estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o realizar una demostración formal.
Asimismo, estos autores destacan las relaciones existentes entre la intuición, la
demostración y la argumentación; obligándonos a tener en cuenta aspectos relacionados
con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas y las acciones de proceso y
producto propias de la actividad demostrativa a la hora de analizar las acciones y las
producciones de los estudiantes para profesor de Matemática cuando resuelvan un
problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica.
Palabras clave: Teoría del Conocimiento, procesos de justificación, verdades matemáticas.
INTRODUCCIÓN
La Demostración Matemática se estudia desde diferentes perspectivas: Histórica
(evolución histórica de la Matemática y, en particular, de la Geometría y la demostración y
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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sus implicaciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje), Epistemológica (rasgos
característicos del conocimiento matemático, fuentes o procedencia, criterios de validación
y relación entre el sujeto que conoce y el objeto matemático), Cognitiva (desarrollo del
pensamiento matemático, dificultades confrontadas, errores cometidos y competencias
matemáticas alcanzadas y puestas en práctica) y Didáctica (estrategias, materiales y
recursos didácticos que favorezcan el abordaje y la comprensión de la actividad
demostrativa).
En el contexto de la Línea de Investigación en Pensamiento Geométrico y Didáctica de
la Geometría adscrita al Centro de Investigación en Enseñanza de la Matemática usando
Nuevas Tecnologías (CEINEM – NT) de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador - Instituto Pedagógico de Maracay, se ha enfatizado en las perspectivas
cognitiva (la demostración como objeto de aprendizaje) y didáctica (la demostración como
objeto de enseñanza). Desde la perspectiva cognitiva, se ha venido estudiando la evolución
del Pensamiento Geométrico; entendido éste como la dinámica cognitiva que se produce
cuando una persona – sea docente, sea estudiante o sea un estudioso – está abordando una
tarea (resolver un problema, construir un modelo matemático, realizar una demostración)
que implica un objeto matemático directo (definiciones y proposiciones matemáticas) o
indirecto (los procesos de validación matemática como la demostración, entre otros)
asociado con la Geometría. Y, en cuanto a la perspectiva didáctica, la actividad
investigativa ha estado orientada a diseñar, poner en práctica y evaluar los resultados
(productos y procesos) de unidades didácticas con contenido geométrico, teniendo como
sustento distintos referentes teóricos y metodológicos.
No obstante, el énfasis en lo cognitivo y lo didáctico en los estudios hasta ahora
realizados o dirigidos por los autores, también es importante abordar el estudio de la
demostración matemática desde una perspectiva epistemológica, ya que, ésta es una
actividad propia y distintiva del quehacer matemático, por tratarse de un objeto matemático
indirecto relacionado con el carácter lógico – deductivo de la Matemática como disciplina
científica.
En este orden de ideas, en este trabajo se pretende dar a conocer una aproximación al
estudio de la demostración en Geometría desde una perspectiva epistemológica, teniendo
como referencia dos asuntos esenciales de la Teoría del Conocimiento como lo son las
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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formas del conocimiento humano y el criterio de la verdad (León Rugeles, 2011). Para ello,
se han planteado en el campo de la Matemática y de la Educación Matemática las
siguientes dos preguntas asociadas a los asuntos antes mencionados:
1. Formas del conocimiento matemático: ¿El conocimiento matemático es racional o
puede ser intuitivo?
2. El criterio de verdad del conocimiento matemático: ¿Cómo se sabe que el
conocimiento matemático es verdadero?
En la búsqueda de respuesta a estas interrogantes se han revisado algunas
investigaciones sobre intuición y demostración mencionadas por D’Amore (2006) en su
obra compilatoria intitulada Didáctica de la Matemática y entre las cuales destacan los
trabajos realizados por Fischbein (1987), Duval (1999), Balacheff (2000), Harel y Sowder
(2007) y complementado por los trabajos de Fetisov (1973), Perry Carrasco, Camargo
Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales (2006) y Flores (2007).
También, cabe señalar que se ha seleccionado este trabajo, debido a la realización de un
proyecto de investigación, más ambicioso, donde se estudian las competencias matemáticas
y didácticas que ponen en práctica los profesores en formación cuando abordan la
demostración en Geometría.
¿QUÉ ES UNA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA?
Teniendo en cuenta la evolución histórica de la Matemática como disciplina científica,
se puede afirmar que tanto la inducción como la deducción han sido dos formas o caminos
de llegar al conocimiento matemático. La Matemática, en sus inicios, se caracterizó por su
carácter empírico – práctico, ya que se dedicaba a la resolución de problemas provenientes
de las prácticas cotidianas realizadas por los seres humanos (problemas de reparto,
medición de extensiones de tierra, construcción de templos y graneros, etc.), destacándose
así el uso instrumental del conocimiento matemático. De manera que el principal propósito
de los primeros matemáticos fue desarrollar algoritmos o procedimientos de cálculo que les
permitieran resolver situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, unos 300 años A.C, con
la publicación del libro Elementos - obra compilatoria del conocimiento aritmético y
geométrico existente para su época - el matemático griego Euclides introduce el llamado
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método axiomático, el cual se convierte en el método privilegiado para organizar y validar
el conocimiento matemático. Así, pues, la Matemática abandona su carácter empírico –
práctico y se convierte en la disciplina lógico – deductiva por excelencia y se comienza a
distinguir entre la Matemática Pura y la Matemática Aplicada.
Refiriéndose al caso de la Geometría, Fetisov (1973) afirmó que
“Por supuesto, los primeros conocimientos geométricos del hombre se
obtuvieron por el método inductivo, a partir de un número muy grande de
observaciones y experimentos. No obstante, conforme creció el conjunto de
conocimientos geométricos, se descubrió que podían obtenerse muchas
verdades a partir de otras, por medio de la deducción, sin recurrir a las
observaciones o a los experimentos” (p. 16)
El uso del método deductivo para obtener nuevas proposiciones geométricas a partir de
otras conocidas sirvió como base para introducir la noción de sistema axiomático en
Matemática y, en particular, en Aritmética y Geometría. De esta manera, no es fortuito que,
históricamente, la Geometría Euclidiana sea la más connotada representante de una teoría o
un sistema axiomático. Por lo antes señalado, puede decirse que la Demostración
Matemática como objeto formal está asociada al desarrollo de una teoría axiomática cuyos
componentes son: (1) Conceptos no definidos o términos primitivos. (2) Postulados o
axiomas. (3) Conceptos definidos o definiciones propiamente dichas. (4) Teoremas, Lemas
y Corolarios. (5) Métodos de demostración (directos e indirectos); permitiendo decir que:
“Una demostración es una cadena de deducciones a través de las cuales se deduce la
veracidad de la proposición que debe probarse, a partir de axiomas y propiedades
previamente establecidas” (Fetisov, 1973, p. 17).
Asimismo, Balacheff (2000, p. 2) señala que “la demostración es una herramienta
esencial de prueba; ésta conduce a un ejercicio práctico, que hace posible la comunicación
y la evaluación a la vez” y seguidamente añade que “es también el objeto de estudio de la
lógica”; estos son los dos aspectos principales de la demostración en lo relativo a la
comunidad matemática.
Cabe señalar que la pregunta clave para un matemático al momento de iniciar el
desarrollo de una teoría axiomática es la siguiente: ¿Cuáles proposiciones se aceptan sin
demostración?, ya que, estas proposiciones serán los postulados o axiomas que servirán de
base para la construcción de la teoría; de modo que la verdad del conocimiento matemático
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es absoluta en el seno de una teoría matemática, pero relativa al conjunto de axiomas
seleccionados; así, por ejemplo, las llamadas Geometrías No Euclidianas fueron
desarrolladas a partir de la aceptación de los primeros cuatro axiomas asumidos por
Euclides en su obra Elementos y la negación del célebre quinto postulado, en los esfuerzos
realizados, a través de varios siglos, por demostrar la independencia de este postulado (es
decir, por demostrar que el quinto postulado no podía deducirse a partir de los cuatro
postulados precedentes). Es necesario indicar que los primeros cuatro postulados admitidos
por Euclides hacen referencia a situaciones geométricas fáciles de aceptar como
verdaderas: (1) Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta. (2)
Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente. (3) Con un centro y un radio
dado sólo se puede trazar una única circunferencia. (4) Todos los ángulos rectos son
iguales; mientras que el quinto postulado hace referencia a una situación que no es fácil de
aceptar como evidente: “Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos,
y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán de ese lado”. Actualmente, el quinto postulado es conocido como el postulado
de las paralelas y el enunciado equivalente más conocido establece que por un punto
exterior a una recta dada pasa una única recta paralela.
Además, los axiomas seleccionados deben satisfacer dos características relevantes:
Consistencia (en el seno de una teoría axiomática es imposible que sean verdaderas una
proposición p y su negación) e Independencia (Ningún axioma puede deducirse de los
precedentes).
También se ha señalado el asunto de la Completitud, pero Kurt Gӧ del, en 1931, publicó
un artículo, el cual ha sido considerado una de las más importantes contribuciones a la
lógica y a la Matemática de los últimos siglos; en este artículo, Gӧ del enuncia y demuestra
el Teorema de la Incompletitud de la Aritmética: “Todo sistema formal deductivo que
añada, cuando menos, al aparato de la lógica elemental los principios y reglas de la
Aritmética se enfrentará fatalmente con proposiciones bien construidas que no podrá ni
demostrar ni refutar y que, por lo tanto son “indecidibles”. En otras palabras, la presencia
de tales proposiciones delata que el sistema axiomático en cuestión es “incompleto”. Este
resultado tuvo consecuencias innegables en el quehacer matemático. Al respecto, el
reconocido matemático Von Neumann señaló que “el objeto de la lógica ha cambiado por
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completo su naturaleza y posibilidades con esta aportación”; en el prólogo del libro
intitulado “El Teorema de Gӧ del” (Nagel y Newman, 2000, p. 11), se señala lo siguiente:
“Mas un descubrimiento científico de semejante magnitud no puede menos de tener
repercusiones filosóficas”, ya que “Gӧ del puso coto con su descubrimiento al imperialismo
de la razón lógica, representada por el logicismo de Russell o el formalismo de Hilbert”.
Al respecto, valdría la pena añadir que la existencia de tales proposiciones indecidibles
y el riego de toparse con ellas no le ha impedido a los matemáticos seguir esforzándose por
demostrar algunas conjeturas, tal como lo hizo Andrews Wiles, matemático británico, que
logró demostrar, en 1993, el llamado “último Teorema de Fermat” (No existe solución con
números enteros no nulos para la ecuación: xn + y
n = z
n si n es un entero más grande que
dos). Wiles se sintió, desde niño, fascinado por este enunciado matemático, y decidió
dedicarle su vida a la demostración del mismo. Duró ocho años desarrollando la
demostración, la cual ocupa más de cien páginas. Hubiera sido una tragedia personal para
Wiles, dedicar su vida a la demostración de una proposición indecidible.
Además, desde un punto de vista matemático, es preciso dar respuesta a ciertas
interrogantes: ¿Qué condiciones debe reunir una demostración? ¿Qué significa hacer una
demostración matemática? ¿Cómo se valida una demostración? Estos son elementos que es
importante tenerlos en cuenta. Y son preguntas asociadas a la perspectiva epistemológica.
De modo que hasta este apartado, se ha enfatizado en la demostración, teniendo en cuenta
el significado formal de la Matemática, estableciéndose que la demostración es una
herramienta de prueba, una manera de validar una proposición matemática; una proposición
matemática es verdadera si es un axioma o postulado en el seno de una teoría axiomática o
si es demostrada haciendo uso de los métodos conocidos. Además, la prueba debe ser
comunicada y, además, sometida a escrutinio por integrantes de la comunidad científica.
INTUICIÓN Y DEMOSTRACIÓN
Para Sierpinska y Lerman (1996, p. 3)
La epistemología se ocupa en sí misma con una 'reconstrucción racional' de los
procesos de pensamiento científico, esto es con la descripción de cómo los
procesos científicos se desarrollarían si 'factores irracionales' no interfirieran.
Las 'reconstrucciones racionales' quieren decir descripciones de los procesos de
pensamiento de los científicos, no cuando están descubriendo algo, sino cuando
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están intentando comunicar y justificar sus descubrimientos. Esto es,
presentaciones del 'contexto de justificación' del pensamiento científico.
Entonces, hasta aquí, se ha enfatizado en lo que se conoce con el nombre de contexto de
justificación, pero se ha ignorado lo relacionado con el contexto de descubrimiento del
conocimiento matemático; contexto en el cual aparecen asuntos vinculados con la evidencia
empírica, la intuición y la convicción; al respecto, Sierpinska y Lerman (1996) expresan
que para los representantes del Fundacionalismo en la Filosofía de la Matemática “los
procesos de hechos del descubrimiento científico y del impacto sobre ellos de los factores
cognitivos, sociales e histórico-culturales pertenecen no a la epistemología sino a los
dominios empíricos de la psicología, sociología e historia del conocimiento” (p. 3). Por
ello, los asuntos vinculados al contexto de descubrimiento han venido siendo abordados por
la Psicología de la Educación Matemática, destacando los trabajos realizados por Efraim
Fischbein, los cuales tienen implicaciones didácticas significativas.
En relación a lo antes mencionado, D’Amore (2006) destaca que, en la historia del
pensamiento filosófico, existe un ir y venir entre las siguientes dos tesis: si es más perfecta
como forma de conocimiento la que deriva del intuir o la que deriva del razonar; es decir,
existe un ir y venir entre las tesis centradas en el contexto de justificación o las tesis
centradas en el contexto de descubrimiento del conocimiento matemático. Sin entrar en este
debate, es oportuno señalar que las investigaciones realizadas por Fischbein (1987) han
dejado en claro la relación existente entre intuición y demostración en el campo de la
Matemática y, además, como este asunto está vinculado a la necesidad de certeza que
tienen los seres humanos y, en particular, los hombres y mujeres dedicados a las ciencias; al
respecto, este autor expresa que
Es por la lucha para hacer explícita y para purificar la estructura formal,
deductiva de la ciencia que los científicos y filósofos han descubierto los
efectos fundamentales (tanto positivos como negativos) de los mecanismos
intuitivos de comprender, resolver, inventar y aprender. La contribución de los
matemáticos ha sido la más significativa, probablemente porque las
matemáticas, por su propia naturaleza, es la más adecuada para alcanzar una
estructura axiomatizada. Es en el curso del pensamiento matemático que las
cualidades de un modelo formal, ideal por un lado y las limitaciones concretas,
psicológicas, por el otro, parecen tan bruscamente contrastantes. (p. 8)
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Dejando claro que la intuición es una forma de conocimiento que está relacionada con
ciertas tareas intelectuales como comprender la definición de un concepto, resolver un
problema, crear un algoritmo o procedimiento, realizar una demostración en Matemática;
así como la necesidad de conocer si las proposiciones intuitivamente aceptadas como
evidentes (sin recurrir a la demostración) son realmente verdaderas. Surgiendo así lo que se
conoce como “el problema de la evidencia”, el cual Fischbein (1987) describe de la
siguiente manera:
Al tratar de definir los conceptos utilizados y para construir estructuras
deductivas, los matemáticos han de tener el máximo cuidado para no depender
de lo intuitivo, de lo aceptado implícitamente, de la evidencia. (…). Tratando de
construir una estructura lógica – deductiva, los matemáticos tenían, en primer
lugar, que aceptar un grupo de proposiciones iniciales. El criterio utilizado fue
el de la (aparente) evidencia: si uno tiene que aceptar inicialmente algunas
proposiciones no probadas como puntos de partida, es evidente que uno trata de
elegir entre aquellas proposiciones que puedan ser aceptadas sin pruebas. (p. 8)
De manera tal que los matemáticos tienen que ser capaces de distinguir entre las
proposiciones directamente aceptables por evidentes (axiomas o postulados) y aquellas
propiedades que tienen que ser probadas (teoremas), con el propósito de estructurar una
teoría axiomática que satisfaga los requerimientos establecidos: consistencia e
independencia. Y esto representa un verdadero reto universal, ya que, a través de la historia
de la Matemática (y de las Ciencias en general), un conjunto de revoluciones científicas han
contribuido a “la noción de que la evidencia (es decir, la evidencia intuitiva) no es sinónimo
de certeza” (Fischbein, 1987, p. 10). Sin embargo, los matemáticos no pueden renunciar a
la evidencia intuitiva; ellos tienen que seguir arriesgándose y hacer uso de su intuición
matemática, especialmente al momento de resolver un problema y hacer una demostración,
tal como lo afirma Fischbein (1987, p. 56):
La intuición cumple, en el plano intelectual, la función desempeñada por la
percepción a nivel sensorial: la intuición es la antesala directa a la acción
cognitiva (mental o práctica). Se organiza la información en una estructura de
comportamiento significativo y creíble intrínsecamente.
De lo antes expuesto, se puede afirmar que la intuición se acepta como una particular
forma de conocimiento por lo que la idea, el concepto resulta inmediatamente presente a la
conciencia sin que eso dependa de algún proceso lógico y racional (D’Amore, 2006) y,
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además, que la evidencia es una característica general del conocimiento intuitivo. Así, pues,
los matemáticos suelen recurrir a la intuición para seleccionar los axiomas o postulados que
aceptarán por evidencia y que les servirán de base para construir una teoría axiomática.
Asimismo, los matemáticos acostumbran hacer usos de modelos que favorecen la
comprensión de ciertas nociones matemáticas y que favorecen el desarrollo del
conocimiento intuitivo mediante el establecimiento de relaciones entre los objetos
matemáticos involucrados o el descubrimiento de ciertas propiedades invariantes.
Para comprender la relación entre intuición y demostración, es recomendable revisar los
trabajos de Balacheff (2000), en los cuales este autor, entre varios asuntos, ha analizado la
complejidad de la noción de prueba matemática a nivel teórico, con el fin de distinguir el
significado de los verbos explicar, probar y demostrar y sus implicaciones en las
investigaciones sobre el aprendizaje de la demostración; al respecto, Balacheff (2000)
señala que
Los verbos explicar, probar y demostrar son considerados frecuentemente como
sinónimos en la práctica de la enseñanza de las matemáticas; (…). Ellos
conducen a amalgamar diferentes niveles de actividad de los alumnos. Es
necesario distinguirlos. Trataremos de mostrar este fenómeno a través de la
complejidad del problema del aprendizaje de la demostración (p. 11).
Para precisar el significado de los términos explicación, prueba, demostración,
razonamiento y procesos de validación, Balacheff (2000) comienza señalando que
El paso inicial hace referencia a lo que los matemáticos llaman a menudo
“intuición”. Esta se remite a los significados, es decir, a la comprensión de la
validez de una aserción, no por medio de la lógica, sino a través de las
relaciones con el cuerpo de los conocimientos matemáticos (p. 11).
Realizada esta aclaratoria, Balachaeff (2000) procede a establecer las siguientes
definiciones:
Explicación: Ésta establece y garantiza la validez de una proposición, se arraiga en los
conocimientos y en lo que constituye la racionalidad (reglas de decisión de la verdad) de la
persona que la expresa (en términos lingüísticos, sujeto locutor), haciendo uso
esencialmente de la lengua natural. En la explicación, la verdad de una proposición ya ha
sido aceptada por el sujeto locutor, pero no necesariamente por la audiencia (o por los
integrantes de una comunidad).
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Prueba: es una explicación reconocida y aceptada por una comunidad, una vez que la
misma ha sido dada a conocer o comunicada por el sujeto locutor. Dicha aceptación no es
definitiva, ya que, puede cambiar con el avance de los conocimientos y las reglas en las
cuales se sustenta.
Demostración: Es el tipo de prueba predominante en Matemática. Una demostración “se
trata de una serie de enunciados que se organizan siguiendo un conjunto bien definido de
reglas” (p. 13). Como forma discursiva, la demostración se caracteriza por el rigor formal y
el empleo del lenguaje simbólico; además, es un tipo de prueba que requiere ser validada
por la comunidad matemática para ser debidamente aceptada.
Razonamiento: Es la actividad intelectual no completamente explícita que se ocupa de la
manipulación de la información dada o adquirida, para producir una nueva información.
Procesos de validación: Es una forma de razonamiento cuando tenga como propósito
asegurarse de la validez de una proposición y producir una explicación, una prueba o una
demostración.
Una vez establecidas estas definiciones, Balacheff (2000) enfatiza en las dimensiones
sociales de los procesos de validación de las pruebas y de las demostraciones; al respecto,
este autor expresa que:
Uno de los principales medios que permiten transformar una situación de
decisión en una situación de prueba es someterla a debate para garantizar o
desconocer su validez. (…). En una situación de decisión, las operaciones
intelectuales del razonamiento hipotético – deductivo (…) pueden ser puestas
en práctica sin que, por consiguiente, sea producida una prueba. (…). Por el
contrario las situaciones en las cuales los estudiantes tienen que producir
soluciones comunes a un problema (…) necesitan la formación progresiva de
un lenguaje común, adecuado a los objetos y a las relaciones en juego. Necesita
también de la elaboración o el reconocimiento de un sistema común de decisión
y prueba para los grupos de trabajos constituidos (p. 17).
De esta manera, cualquier investigación que se pretenda realizar sobre el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la demostración debería tener en cuenta los fenómenos socio-
afectivos que intervienen en todo proceso de interacción social y, además, pareciera
razonable pensar en una perspectiva socio-cognitiva a la hora de analizar las actividades y
producciones de los estudiantes cuando abordan procesos de validación de una proposición
matemática.
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Asimismo, Balacheff (2000) menciona algunos elementos necesarios para emprender un
proceso de prueba para la solución de un problema:
1. La identificación de un riesgo generado por la incertidumbre en la motivación de un
individuo; es decir, la toma de conciencia del riesgo que implica admitir un enunciado
falso o rechazar uno verdadero.
2. El deseo de certidumbre; es decir, la búsqueda de la verdad o el deseo de saber.
Además, Balacheff (2000) ha realizado sus investigaciones sobre el aprendizaje de la
demostración en el contexto de la educación secundaria francesa, ya que, en la misma se
produce el paso de la Geometría Práctica a la Geometría Deductiva y, por ello, demuestra
su interés por los procesos de validación en el ámbito escolar y, en particular, por la
microgénesis de la prueba en el contexto de ciertas situaciones didácticas.
Por otra parte, Balacheff (2000) distingue entre el discurso argumentativo natural y el
discurso argumentativo formal, cuando establece que: “Distanciarse del “discurso
argumentativo natural” para elaborar un “discurso argumentativo formal” basado en un
lenguaje operativo, permite el cálculo de las proposiciones y las relaciones que garantizan
las pruebas de nivel elevado, sobre todo las demostraciones” (p. 20).
ARGUMENTACIÓN Y DEMOSTRACIÓN
Esto nos lleva a considerar las relaciones entre argumentación y demostración que han
sido investigadas por Duval (1999), quien tiene dos ámbitos de investigación, uno es el
campo de los registros semióticos; el otro es la diferencia entre argumentar y demostrar, en
sus aspectos didácticos.
Según Duval (1999), argumentar y demostrar son actividades diferentes al menos en la
mente del docente, pero no tan diferentes en las expectativas y en los primeros pasos de los
estudiantes. Ambas actividades tienen una base lingüística muy semejante y esta es una de
las razones por las cuales a los estudiantes les cuesta trabajo entender la diferencia entre las
dos actividades.
Duval (1999) distingue y estudia los dos tipos de pasajes que caracterizan el
funcionamiento de un proceso de razonamiento: (1) La inferencia, el pasaje de las
proposiciones dadas como premisas o hipótesis a una proposición dada como conclusión o
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tesis y (2) La concatenación, la transición que lleva de un paso de razonamiento al
siguiente. Asimismo, este autor señala que en las argumentaciones las proposiciones no
tienen un reconocido estatuto operativo y que, por ende, la distinción entre contenido y
estatuto operativo de las proposiciones se tiene sólo en el razonamiento deductivo; y,
además, que en las argumentaciones, la inferencia se debe a relaciones semánticas entre
ellas, más cercanas a la retórica que a la lógica formal (como en el caso de las
demostraciones). Este autor destaca que existen diferencias notables de funcionamiento
entre el modo deductivo del razonar y el modo argumentativo:
1. El modo argumentativo aparece como más natural mientras que el razonamiento
deductivo se expresa, se hace, se desarrolla, se explica al interior del mismo discurso
natural.
2. Toda proposición tiene dos valores, uno lógico (V o F) y uno epistémico (evidente,
verosímil, incierto, conjetural, absurdo, etc.) y, por ello, no se garantiza que dos
proposiciones verdaderas tengan el mismo valor epistémico. En Matemática, nos
ocupamos, entre las proposiciones verdaderas, de las apodícticas (es decir aquellas cuya
certeza se debe a condiciones necesarias).
3. En el curso de la demostración, el valor epistémico de la proposición se mueve del
contenido al estatuto operativo; es decir, se resalta la función que cumple una
proposición en el seno de una teoría axiomática (axioma o teorema) o en el contenido de
una proposición molecular (hipótesis o tesis).
De modo que, en Matemática se debe examinar esta forma de lógica natural, dado que es
la usualmente recurrente en el discurso en lengua común, y es en lengua común que se hace
la Didáctica de la Matemática; sin embargo, la aceptación de esta forma de lógica en las
clases de matemática es relativamente reciente. Y es en tal contexto que Duval (1999)
busca entender si el pasaje de la argumentación a la demostración es un pasaje que crea una
ruptura cognitiva o si en cambio existe una especie de continuidad.
Además, Duval (1999) considera tres modalidades de razonamiento:
Argumentación: “una forma de razonamiento natural, que no se deja describir ni evaluar
según los clásicos criterios lógicos” (p. 3) y, la misma se halla estrechamente vinculada con
la justificación de una afirmación o una tesis.
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Demostración: es un razonamiento válido, es una verdadera prueba y la única aceptable
en Matemática.
Explicación: “Da una o más razones para volver comprensible un dato (un fenómeno, un
resultado, un comportamiento, etc.)”. (p.9)
También, Duval (1999) introduce una distinción entre las argumentaciones retóricas y
las argumentaciones heurísticas. Para este autor, una argumentación retórica es una
argumentación para convencer al interlocutor o a sí mismo, mientras que una
argumentación heurística es una argumentación que se pone en acto en Matemática para
avanzar en la resolución de un problema. Al respecto, Duval (1999) resalta que
Una argumentación heurística requiere la capacidad de comprender o de
producir una relación de justificación entre proposiciones, que sea de naturaleza
deductiva y no sólo de naturaleza semántica. (p. 30)
Asimismo, Duval (1999) puntualiza que “una argumentación heurística debe implicar
algunos subprogramas de razonamiento válido, ¡aunque no se sepa aún como ligarlos para
llegar a un árbol deductivo completo que corresponda a una demostración!” (p.p. 29 y 30).
De modo que, es necesario que el profesor de Matemática tenga en consideración
diversas formas discursivas susceptibles de ser puestas en práctica por sus alumnos ante la
exigencia de justificación de una afirmación o una tesis; por ello, el profesor de Matemática
debe diseñar situaciones donde los estudiantes se vean exigidos a producir razones (dar
respuestas a preguntas del tipo ¿por qué?) y, además, a examinar la aceptabilidad de las
razones expuestas (dar respuestas a preguntas que requieren de una explicación).
A continuación, en el cuadro 1 se muestra una comparación entre argumentación y
demostración, teniendo en cuenta los aportes de D’Amore (2006).
En este cuadro se logra apreciar que la demostración – como proceso - puede ser
entendida como una práctica argumentativa orientada por las leyes de la lógica formal o
reglas de inferencia y dirigida a entender el porqué es válida una proposición matemática y
convencer a otros y quizá a uno mismo de su validez.
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Cuadro 1
Comparación entre Argumentación y Demostración
Argumentación Demostración
Proporcionar argumentos, es decir razones a
favor o en contra de una determinada tesis.
Trata de la verdad de una conclusión, o por
lo menos su relación necesaria con las
premisas.
Para la retórica antigua, la argumentación
era vista como un discurso para convencer a
los demás.
Y la demostración para convencerse a sí
mismos, a su vez distinguida en
demostración para convencer (¿Es verdad?)
y demostración para entender (¿Por qué es
verdad?).
La argumentación es el corazón del discurso
persuasivo. En ella se aducen las pruebas y
se impugnan las tesis del adversario.
Una argumentación no tiene jamás el rigor
que obliga a una “buena” demostración. Su
validez es una cuestión de grado: es más o
menos fuerte.
Una demostración formal es correcta o no
es correcta, no hay vía intermedia. Y si es
correcta, es autosuficiente.
En una argumentación nos apoyamos en la
lógica natural.
En la demostración, en la lógica formal.
Una argumentación puede tomar en cuenta
el momento en el que se desarrolla.
La demostración al contrario es a-temporal.
En la argumentación se tiene la
presentación de varias tesis y su
verificación o refutación son simples
razonamientos, con ejemplos inmediatos o
con pruebas experimentales.
Y eso se halla en contraposición a las
demostraciones que requieren en cambio
razonamientos articulados y muchas veces
lejanos de la verificación intuitiva
inmediata.
Otros educadores matemáticos como Harel y Sowder (2007) han dirigido sus trabajos
hacia la prueba como instrumento de la cognición individual y atribuyen las respuestas de
los alumnos al funcionamiento de esquemas generales de la cognición cuya diferenciación
se proponen comprender.
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En el contexto latinoamericano destacan las investigaciones realizadas por Perry
Carrasco, Camargo Uribe, Samper de Caicedo y Rojas Morales (2006) y Flores (2007), las
cuales se ubican en el contexto de la formación inicial y permanente de los profesores de
Matemática.
Perry Carrasco y otras (2006) desarrollaron una investigación que “pretendía identificar
experiencias significativas con potencial para aportar a la construcción de un ambiente de
aprendizaje favorable al desarrollo de la competencia demostrativa, en las que la geometría
dinámica pudiera jugar un papel importante” (p. 11). Para ello, estas investigadoras
formularon un constructo denominado actividad demostrativa desde la perspectiva de la
Educación Matemática, teniendo en consideración “el aprovechamiento de la justificación
como recurso para la comprensión de ideas geométricas y a la adquisición de herramientas
para la comunicación de éstas y para su validación” (pp. 22 y 23). En el mencionado
constructo, las autoras identifican acciones de proceso (visualización, exploración,
conjeturación y verificación) y acciones de producto (explicación, prueba y presentación
sistemática) y, además, proponen a la argumentación como el puente entre las acciones de
proceso y las acciones de producto y viéndola como “el razonamiento asociado a todas las
acciones, el cual podría considerar como el proceso mental que las estaba soportando” (p.
26).
Por un lado, las acciones de proceso están asociadas a la heurística y las mismas son
realizadas con un doble propósito:
Comprender el contenido geométrico implicado y buscar cómo justificar el
hecho geométrico que subyace a la solución del problema; es decir, tales
acciones, por un lado, deben generar la necesidad de justificar y, por otro,
proveer elementos para satisfacer esa necesidad, circunstancia que debe tener
como consecuencia que el estudiante se haga más responsable de la verdad (p.
58)
Y por el otro lado, las acciones de producto están relacionadas con la práctica de
justificar, lo cual obliga a movilizar el razonamiento argumentativo con el propósito de
formular explicaciones, pruebas o demostraciones formales.
Así, pues, Perry Carrasco y otras (2006) logran vincular los procesos y productos
asociados a la actividad demostrativa, especialmente en el ámbito educativo y, además,
resaltan el papel que juega el razonamiento argumentativo conjuntamente con el
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razonamiento deductivo a la hora de validar una proposición matemática. En nuestro caso,
consideramos a la demostración en el contexto de una práctica argumentativa, la cual está
vinculada con procesos y productos propios del quehacer matemático. Por ello, la
demostración como proceso conlleva a la realización de un conjunto de acciones asociadas
a ciertas formas de razonamiento, con la finalidad de cumplir con las funciones asociadas a
la actividad demostrativa (De Villiers, 1993) como lo son: descubrir nuevos resultados o
reconocer patrones y regularidades al explorar una construcción geométrica, dar una
explicación o justificación de la validez de una proposición, verificar el cumplimiento de
ciertas relaciones entre objetos geométricos, comunicar ideas matemáticas y sistematizar
los hallazgos en el contexto de una teoría axiomática como lo es la Geometría Euclidiana.
Esto conduciría a la presentación de explicaciones, pruebas o demostraciones formales.
En este orden de ideas, Flores (2007) destaca que “la función de una práctica
argumentativa es convencer a otros individuos de un resultado o una conjetura” (p. 71) y,
por ello, introduce la noción de esquemas de argumentación en vez de la noción de
esquemas de pruebas utilizados por Balacheff (2000) y Harel y Sowder (2007). Según
Flores (2007), los esquemas de argumentación pueden ser autoritarios, simbólicos, fácticos,
empíricos y analíticos y, por lo general, “en un principio los esquemas de argumentación
suelen ser exclusivamente autoritarios, rituales y fácticos o una combinación de ellos.
Conforme se avanza en el desarrollo de las prácticas argumentativas los esquemas se
vuelven empíricos y analíticos” (p. 72). Asimismo, este autor señala que en los esquemas
de argumentación empíricos y analíticos es factible detectar el uso del razonamiento
deductivo. En consecuencia, él asume a la demostración o prueba como el resultado de una
práctica argumentativa que se apoya en esquemas analíticos cuyos razonamientos son
válidos desde el punto de vista de la lógica formal. Para nosotros, la propuesta de Flores es
considerada como apropiada, ya que, teniendo en cuenta el conjunto de acciones realizadas
por un individuo cuando resuelve un problema matemático (construcción, exploración,
formulación de conjeturas y verificación cuasi-empírica) y las formas de razonamiento que
pone en práctica (intuitivo, empírico y deductivo), es posible identificar, describir y
analizar los esquemas de argumentación que privilegia.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
246
CONSIDERACIONES FINALES
La introducción del método axiomático contribuyó a la evolución de la Matemática
como disciplina científica y, además, trajo consigo a los métodos de demostración directos
e indirectos como formas aceptadas de validación de las verdades matemáticas. La
Geometría Euclidiana es un ejemplo prototípico de una teoría axiomática, teniendo como
punto de partida los Elementos de Euclides; obra en la cual se introducen ciertos términos
geométricos no definidos y algunos axiomas (verdades evidentes y aceptadas sin
demostración) como puntos de partida para ir estableciendo nuevas definiciones y
demostrando un conjunto de teoremas, haciendo uso de las reglas de inferencia propias de
la lógica formal. Así, desde el punto de vista de las disciplinas científicas, la Matemática es
la ciencia formal por excelencia.
Sin embargo, en el ámbito educativo, esto ha ocasionando una sobrevaloración de los
llamados contextos de justificación, descuidando así lo relacionado con el descubrimiento
del conocimiento matemático. Esto último pareciera estar asociado a un conjunto de
acciones o procesos como construir, explorar, visualizar, conjeturar y verificar, las cuales
son acciones que conducirían a sentir la necesidad de justificación; siendo esta necesidad lo
que impulsaría a los profesores y estudiantes a dar una explicación, presentar una prueba o
realizar una demostración formal. Esta necesidad es la que compartimos, como un elemento
generador de interés, para abordar, o no, una demostración en el ámbito de la educación
matemática.
Asimismo, algunos autores destacan las relaciones existentes entre la intuición, la
demostración y la argumentación; obligándonos a tener en cuenta aspectos relacionados
con las intuiciones matemáticas, las prácticas argumentativas y las acciones de proceso y
producto propias de la actividad demostrativa a la hora de analizar las acciones y las
producciones de los estudiantes para profesor de Matemática cuando resuelvan un
problema geométrico en un ambiente de Geometría Dinámica. En nuestro grupo de
investigación se han realizado experiencias que contemplan estas relaciones y las cuales
han dado como resultado que la elaboración y exploración de construcciones con regla y
compás en un ambiente de Geometría Dinámica y la mediación oportuna del docente
propician que los estudiantes centren su atención en las relaciones existentes entre los
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
247
objetos geométricos (iniciales, auxiliares y finales) involucrados en tales construcciones,
surgiendo así la necesidad de validar sus conjeturas, ya sea mediante la verificación cuasi-
empírica, la presentación de una explicación o de una prueba formal.
REFERENCIAS
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Empresa Docente de la Universidad de los Andes.
D’Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial
Magisterio.
De Villiers, M. (1993). El Papel y la Función de la Demostración en Matemáticas.
Epsilon, 26, 15–29.
Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Fetisov, A.I. (1973). La Demostración en Geometría. México: Editorial Limusa –
Wiley, S.A.
Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Flores, A.H. (2007). Esquemas de Argumentación en Profesores de Matemáticas del
Bachillerato. Educación Matemática, abril, 19 (1), 63-98.
Harel, G. y Sowder, L. (2007). Toward Comprehensive Perspectives on the Learning
and Teching of Proof. En F. Lester (ed.), Second Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning. A Project of the National Council of Teachers
of Mathematics (2 volumes). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
León Rugeles, F. (2011). Teoría del Conocimiento. Valencia: Universidad de Carabobo.
Nagel, E. y Newman, J.R. (1999). El Teorema de Gӧ del. Tercera edición. Madrid:
Editorial Tecnos.
Perry Carrasco, P., Camargo Uribe, L., Samper de Caicedo, C. y Rojas Morales, C.
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Matemática. [Documento en Línea] Disponible en:
http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/escorial/SIERLERM.html [Consulta: 2012,
Diciembre 12]
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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EL SESGO DE EQUIPROBABILIDAD EN PROFESORES DE MATEMÁTICA EN
FORMACIÓN
Yerikson Suárez Huz
Fredy E. González
UPEL-Maracay
RESUMEN
La sociedad contemporánea actual demanda de sus ciudadanos, el desarrollo de
capacidades y destrezas vinculadas al razonamiento probabilístico, debido a que el
reconocimiento de la incertidumbre, como una característica de la realidad, y aprender a
manejarse con ella, son fundamentales en el desempeño intelectual de los individuos del
siglo XXI (Azcárate, Cardeñoso y Porlán, 1998). Sin embargo, las concepciones previas de
los estudiantes constituyen obstáculos para la comprensión de los conceptos asociados a la
teoría de la Probabilidad, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje de estos temas
(Batanero, 2006; Borovcnik y Kapadia, 2010). Precisamente, una de las líneas de
investigación más relevantes y prolíficas en relación con el razonamiento probabilístico
está referida al estudio de las preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho
razonamiento. El propósito del estudio aquí reportado y realizado con estudiantes para
profesor de Matemática en la UPEL-Maracay fue identificar y caracterizar la presencia de
uno de estos sesgos, el denominado sesgo de equiprobabilidad, el cual está referido a la
suposición, sin ningún tipo de justificación, de que todos los sucesos asociados a cualquier
experimento aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables (Lacoutre, citado por Serrano,
Batanero, Ortíz y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006). Se trató de una
investigación de campo, de carácter descriptivo-interpretativo; apoyada en una indagación
documental y concebida como un estudio de caso múltiple que asumió como referente
teórico la idea de sesgo de equiprobabilidad sustentada por Kahneman, Slovic y Tversky
(1982). Los sujetos de estudio fueron 20 estudiantes, futuros profesores de Matemática, a
quienes se les aplicó un cuestionario de preguntas abiertas y cerradas. Se pudo verificar que
en los sujetos estudiados hay una marcada presencia del sesgo de equiprobabilidad, el cual
les genera dificultades para la comprensión del concepto de probabilidad.
Palabras Claves: Sesgo de Equiprobabilidad, Educación Estadística, Razonamiento
Probabilístico, Sesgos y Heurísticas.
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EL PROBLEMA
Diversos estudios revelan la complejidad del aprendizaje de aspectos inherentes al
concepto de Probabilidad en los diversos niveles educativos. En este sentido, Sánchez y
Hernández (2000) indican que existe un consenso entre profesores e investigadores
respecto al hecho de que los temas vinculados con la Probabilidad constituyen un área
difícil de enseñar y aprender. Idea a su vez respaldada por Azcárate (2007), quien señala
que la Probabilidad “es un concepto de difícil comprensión, pues, en general, entra en clara
contradicción con el pensamiento determinista y causal dominante en nuestra educación”
(p.48). Una razón que justifique esta visión, aparentemente complicada y compleja, es que
la inserción de la Probabilidad en el contexto educativo pretende desplegar en los
estudiantes una forma de razonamiento diferente al lógico-deductivo y causal-determinista.
Al respecto Urrea (2005) indica que
Hay indicios de que la comprensión del concepto de probabilidad y de las ideas
básicas, relacionadas con éste, enfrentan la interferencia de varias dificultades
para que los estudiantes puedan llevar a cabo un razonamiento acorde a lo
establecido por la disciplina, estas dificultades se manifiestan en los estudiantes
por medio de diferentes sesgos (p. 208)
Lo anterior conduce al interés particular de aquellos aspectos cognitivos que están
relacionados con la comprensión de temas propios de la Probabilidad. En este orden de
ideas Kahneman, Tversky y Slovic (1982) refieren que las personas a la hora de expresar
juicios probabilísticos tienen y emplean sesgos, esto es, concepciones erróneas vinculadas
al razonamiento probabilístico.
Precisamente uno de los sesgos más estudiados y vinculado al enfoque clásico de
probabilidad es el sesgo de equiprobabilidad (Lacoutre, citado por Serrano, Batanero, Ortíz
y Cañizares, 1998; Barragues y Guisasola, 2006) y que está referido a la presuposición sin
ningún tipo de justificación de que todos los sucesos asociados a cualquier experimento
aleatorio tienen la cualidad de ser equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de
ocurrir; aún y cuando esto no es necesariamente cierto o cuando no existen razones para
presumir de tal hipótesis.
Pero además del interés en estos aspectos propios del razonamiento probabilístico,
también es importante revisar aspectos relacionados con el ámbito escolar donde se debe
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
250
poner en evidencia el desarrollo y empleo del mismo, así como el abordaje de manera
adecuada las dificultades y errores que puedan persistir en los estudiantes a la hora de
recurrir a este modo de razonar, por lo que pareciese que se requiere entonces de
profesionales- que en general son los profesores de Matemáticas, pero que no se limita a
ellos solamente-con formación matemática sólida en torno a la teoría de la Probabilidad; así
como en todo lo vinculado al estudio, comprensión, abordaje didáctico y manejo
pedagógico asociado al razonamiento probabilístico; en atención a sus errores, dificultades,
obstáculos y sesgos.
Por lo tanto para mejorar la formación de los profesores en torno a la enseñanza de la
probabilidad; es necesario, entre otras cosas, que se cuente con una comprensión lo más
clara posible, acerca de cómo los docentes y futuros docentes abordan y resuelven
problemas asociados al concepto de Probabilidad. En particular Ortíz, Mohamed, Serrano y
Rodríguez (2009); señalan que es primordial reconocer los conocimientos y modos de
razonar de los futuros los profesores en torno al concepto de Probabilidad; pues esto
permitiría implementar un proceso de formación más adecuada para los futuros docentes;
no solo desde el punto de vista matemático-formal sino también desde el punto de vista
didáctico.
En Venezuela, la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) – a través
de sus diversos institutos - tiene la misión de preparar y capacitar a los docentes que
demanda el sistema educativo venezolano en sus distintos niveles y modalidades (UPEL,
1999). Específicamente en el Instituto Pedagógico de Maracay se ofrece la especialidad de
Matemática y dentro de su plan de estudios se oferta el curso de Probabilidad y Estadística
Inferencial y a través del cual los estudiantes para profesores de Matemática deben adquirir
conocimientos propios del campo de la Teoría de la Probabilidad. Sin embargo, no existen
estudios en torno a la identificación del sesgo de equiprobabilidad – entre otros sesgos –
por lo que el objetivo de la investigación que aquí se reporta, era identificar la presencia
del sesgo de equiprobabilidad en el razonamiento que hacen los futuros docentes de
Matemáticas de la UPEL Maracay, cuando resuelven problemas asociados al enfoque
clásico de la probabilidad, por considerarse necesario examinar e indagar de manera
profunda y sistemática algunos elementos propios del razonamiento probabilístico de estos.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
251
MARCO TEÓRICO
Las personas, desde su niñez, poseen un conjunto de ideas intuitivas, preconcepciones
o juicios previos acerca del azar y la Probabilidad que son puestos el descubierto en el
razonamiento empleado en determinadas situaciones o planteamientos. A este respeto,
Bennett citado en Serradó, Cardeñoso y Azcárate (2005) indica que las preconcepciones
acerca del azar pueden en general anteceder al pensamiento formal, normativo e
institucionalizado y, que si son correctas, pueden ser de gran ayuda en el proceso de
aprendizaje; pero que de forma contraria, se pueden convertir en dificultades para la
correcta comprensión de los conceptos probabilísticos.
En general, se ha comprobado de manera empírica, a través de variados estudios
como Kahneman, Tversky, y Slovic, (1982), Sáenz de Castro (2002), Barragués, Guisasola
y Morais (2005) y Borovcnik y Kapadia (2010), que muchas veces tales ideas son
equivocadas o difieren de la teoría normativa, es decir, de los significados referenciales
asociados a la Probabilidad. Precisamente, una de las líneas de investigación más relevantes
y prolíferas en relación al razonamiento probabilístico es la referida al estudio de tales
preconcepciones y a la presencia de sesgos en dicho razonamiento, por ejemplo, autores
como Kahneman, Slovic y Tversky (Ob. cit) han señalado la presencia de errores
sistemáticos de tipo psicológico en la toma de decisiones por parte de los sujetos ante
situaciones de tipo probabilístico.
En consecuencia el uso de estrategias de tipo cognitivas empleadas de manera
inconscientes y que suprimen parte de la información del problema, tienden a reducir la
complejidad del mismo, de modo que sea comprensible a aquel quien lo trata de resolver;
pero ocasionado posibles errores y la presencia de sesgos en el razonamiento. Godino,
Batanero y Cañizares (1996) ya hacían referencia a estudios como los de Kahneman, Slovic
y Tversky en 1982; para apoyar “la existencia de ciertos errores sistemáticos y conductas
estereotipadas persistentes en la toma de decisiones ante situaciones de tipo probabilístico”
(p. 47). En opinión de quien llevó a cabo esta investigación, muchas veces el profesor no
está consciente de la presencia de estas concepciones erróneas en sus estudiantes; para así
promover estrategias didácticas adecuadas para su detección, concientización de parte de
los estudiantes y posterior corrección.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Para Salcedo (2006) “A los razonamientos incorrectos respecto a situaciones
probabilísticas se les conoce en la literatura especializada como sesgos en la interpretación
de la Probabilidad, se entiende por esto el conjunto de respuestas incorrectas que tienen un
origen similar” (p. 24). Uno de los sesgos identificados y ampliamente estudiado, por
ejemplo ver Serrano, Batanero, Ortíz y Cañizares (1998), es el sesgo de equiprobabilidad, y
está vinculado al hecho de que los individuos tienden a creer que todos los sucesos
asociados a cualquier experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir.
Así que los sujetos que manifiestan tal sesgo asocian que el hecho de que un
experimento sea aleatorio entonces, automáticamente cada uno de sus posibles resultados
tiene el mismo chance de ocurrencia. Salcedo (2006) apoya estos argumentos cuando
señala que, para ellos, pareciera confluir una conexión inmediata entre azar y lo aleatorio; y
la equiprobabilidad.
Barragués, Guisasola y Morais (2005); Sánchez (2009) y Batanero(2001) señalan un
conjunto de estudios llevados a cabo por un grupo de investigadores entre 1985 y 1992,
vinculados al cálculo de probabilidades; los cuales se realizaron en diversos contextos de la
pregunta, con diversas edades de los sujetos; y varios niveles de formación; se encontró que
la gran mayoría de los sujetos tenían la creencia de que al lanzar dos dados era igual de
probable obtener un cinco y un seis que obtener dos seises.
Tales resultados estarían ligados a la idea de que si un experimento es aleatorio,
entonces sus resultados deben tener la misma probabilidad; lo que hoy en día se conoce
como sesgo de equiprobabilidad. Además Sánchez (2009) indica que la presencia de dicho
sesgo puede ser no erradicada debido a una sobrestimación del enfoque clásico. También
Salcedo (2006) indica que “al parecer, este sesgo se debe a que las personas no logran
establecer conexiones entre los modelos combinatorios con experimentos aleatorios.” (p.
26). Este autor también señala que la presencia de este sesgo pueda deberse entre otras
cosas al hecho de que
…los contactos iniciales en la educación formal respecto a la probabilidad se
hace a través de su concepto clásico, el cual se basa en experimentos aleatorios
donde todos los eventos son igualmente probables. Generalmente, se inicia el
estudio de la probabilidad con experimentos aleatorios, cuyos resultados son
todos igualmente probables. (p. 26)
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Venturiello (2008), así como Barragués y Guisasola (2006) señalan que este sesgo
se refiere a la certeza de los sujetos de que todos los sucesos involucrados a cierto
experimento aleatorio tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Es decir, en caso de no
existir una información cierta y manifiesta, y en ocasiones incluso aun existiendo esta
información, la presencia del sesgo de la equiprobabilidad ocasiona que una persona tienda
a asignar la misma probabilidad a las distintas alternativas que se proponen o sugieren.
En Barragués, Guisasola y Morais (2005), así como en Barragués y Guisasola (2006)
se analiza el sesgo de equiprobabilidad - entre otros sesgos y heurísticas- a la hora de
estudiar las formas de razonamiento utilizadas por un grupo de 110 estudiantes
universitarios de ingeniería en España. Para el estudio se recurre a la aplicación de un
cuestionario escrito con 6 enunciados abiertos, así como al desarrollo de entrevistas. Los
resultados señalan que en los dos ítems donde se estudio este sesgo en particular, la
mayoría de los estudiantes evidencian presencia del mismo; esto a pesar de haber recibido
formación académica en teoría de la Probabilidad. De esta investigación son tomados y
adaptados parte de los reactivos aplicados.
Un estudio similar es desarrollado por Urrea (2005) con 180 estudiantes
universitarios, pertenecientes a diversas carreras; algunos con formación en el área de
Probabilidad y otros sin ella. Se pone en evidencia nuevamente una alta presencia del sesgo
de equiprobabilidad (entre otros sesgos estudiados) y las dificultades que afrontan los
estudiantes al resolver problemas de probabilidad ya que se detecta que una proporción
importante de estudiantes incurren en una serie de desviaciones en su razonamiento en
comparación a lo que se considera como razonamiento normativo fundamentado en la
teoría. Fueron adaptados algunos ítems propuestos en su cuestionario para la presente
investigación, y también se tomaron como referentes parciales para este estudio el modo en
el cual se analizó la información recabada.
METODOLOGÍA
Metodológicamente, la investigación se sustenta en un enfoque cualitativo, y
constituye un estudio de caso, de carácter interpretativo, apoyado en una indagación
documental y en un trabajo de campo, considerando como sujetos de estudio un grupo de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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estudiantes para profesores de Matemática del Instituto Pedagógico “Rafael Alberto
Escobar Lara” (Maracay, Edo. Aragua), núcleo de la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador. Los sujetos de estudio de la investigación fueron seleccionados por medio de un
muestreo intencional, no probabilístico tomando en cuenta los siguientes dos criterios de
selección: (a) que no hayan sido cursantes de la asignatura de Estadística aplicada a la
Educación; o en su defecto que no hayan visto el contenido asociado a temas de
Probabilidad; y que así mismo no hayan cursado la asignatura de Probabilidad y Estadística
Inferencial; y (b) estudiantes que sí cursaron y aprobaron el curso de Probabilidad y
Estadística Inferencial.
En total, en el estudio participaron 20 estudiantes para profesores de Matemática con
un promedio de edad de 22 años y cursantes de entre el tercer y el noveno semestre; 10 de
género femenino y 10 de género masculino; 9 de estos estudiantes ya habían cursado y
aprobado la asignatura de Probabilidad y Estadística Inferencial; en tanto que 11 no lo
habían cursado ni visto contendidos de Probabilidad desde su ingreso a la especialidad.
Para indagar y obtener la información acerca de la presencia del sesgo de
equiprobabilidad en los futuros docentes de Matemática de la UPEL Maracay al resolver
situaciones que involucran el cálculo de probabilidades bajo su enfoque clásico se procedió
al diseño y aplicación de un instrumento - un cuestionario – con 5 preguntas cerradas y 5
abiertas que los sujetos deberían responder. El cuestionario escrito fue construido y
validados a la luz de los referentes teóricos descrito en el apartado anterior ya que para la
construcción del mencionado instrumento se seleccionaron, rediseñaron y adaptaron
preguntas contenidas en cuestionarios previamente aplicados por otros autores (Green,
1983; Cañizarez, 1997, Fischbein y Gazit, 1984) que aparecen como referencias de trabajos
clásicos dentro de la literatura especializada en estudios cognitivos acerca de la
comprensión de la probabilidad. En el cuadro 1 se muestran los ítems asociados al sesgo de
equiprobabilidad.
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Cuadro 1
Ítems que abordan el sesgo de equiprobabilidad
Código del ítem Preguntas
1.4) Al lanzar simultáneamente 3 dados ¿Cuáles de los siguientes resultados es más fácil
que ocurra?
(a) Obtener de alguna forma 5, 3 y 6
(b) Obtener de alguna forma dos veces el 5 y una vez el 3
(c) Obtener 3 veces el 5
(d) Todos estos resultados son igualmente probables
1.5) Una ruleta está dividida en cinco áreas iguales, numeradas del 1 al 5 ¿Cuál de los
siguientes resultados es más probable que ocurra al girar la ruleta tres veces
(a) Obtener exactamente 2, 1 y 5 (en ese estricto orden)
(b) Obtener 2, 1 y 5
(c) Obtener de alguna forma dos veces el 1, y una vez el 5
(d) Las opciones (a), (b) y (c) son igual de probables
2.1) El semáforo que regula el tráfico en cierto cruce puede encontrarse en uno de los
siguientes estados: ROJO, VERDE y AMARILLO. ¿Cuál es la probabilidad de que en un
instante determinado el estado del semáforo sea ROJO o VERDE?
2.5) Un juego de la feria consta de dos ruletas como las que se muestran en la figura. Un
jugador gana un premio sólo si ambas flechas caen en el área sombreada, cuando se hace
girar una vez cada una de las flechas. ¿Consideras que el juego anterior es equitativo?
Justifica tu respuesta
Items tomado del cuestionario elaborado por Suárez (2013)
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Con relación al procedimiento llevado a cabo, el mismo se estructuró en las siguientes
etapas: (a) Revisión documental preliminar, (b) Trabajo de Campo y (c) Organización,
sistematización, análisis e interpretación de la información.
RESULTADOS
Para el análisis de cada ítem se compararon las respuestas formuladas por los sujetos
de estudio con la respuesta normativa o institucionalizada delimitada por los referentes
teóricos. Se procedió a contrastarlas y a la interpretación de los argumentos empleados. Así
mismo, se analizó el desempeño global de los informantes a la hora de contestar los 4 ítems
que abordaban el sesgo de equiprobabilidad.
En el Cuadro 2 se pueden apreciar las opciones escogidas por los informantes claves,
donde se refleja que tan solo 3 estudiantes seleccionaron la opción correcta a, mientras que
13 individuos, lo cual representa el 65%, consideran que la opción correcta era la d, la cual
está asociada a la presencia del sesgo de equiprobabilidad. Por ejemplo la justificación del
participante P5 quien indica que “Todos estos resultados son igualmente probables porque
se está considerando el mismo espacio muestral, es decir, las 6 caras de los dados”, lo cual
pone en evidencia la no distinción del espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado y
al lanzar 3 dados
Cuadro 2
Distribución de respuestas del ítem 1.4
Opción
escogida
Participantes Total %
a P8,P17,P20 3 15%
b P10 1 5%
c P9 1 5%
d P1,P2,P4,P5,P6,P7,P11,P12,P13,P15,P16,P18,P19 13 65%
No contesta P3,P14 2 10%
Total 20 100%
En el Cuadro 3 se pueden apreciar las opciones escogidas por los participantes para el
ítem 1.5 y donde se refleja que la opción correcta (b) es escogida tan solo por cuatro, lo que
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representa el 20% del total de sujetos y la opción más seleccionada es la opción d con el
55%, siendo esta la que evidencia el sesgo de equiprobabilidad en los informantes. Este
ítem es similar al anterior; se ha cambiado es el experimento aleatorio. Se puede apreciar
que el número de sujetos que no contesta se eleva con respecto al cuestionamiento anterior,
por lo que parece que el contexto del planteamiento del experimento aleatorio pudiése
influir en la comprensión del mismo. Por ejemplo el participante P2 señala que “Todos
pueden ser probables porque están girando la ruleta tres veces y hay 5 áreas iguales
entonces en cada giro la probabilidad sería igual en cada área”; dándole mayor peso en el
argumento al hecho de tener áreas iguales lo que es sinónimo de equiprobables.
Cuadro 3
Distribución de respuestas del ítem 1.5
Opción
escogida
Participantes Total %
a ---- 0 0%
b P8,P9, P17,P20 4 20%
c ---- 0 0%
d P1,P2,P4,P5,P6,P11,P14,P15,P16,P18,P19 11 55%
No contesta P3,P7,P10,P12,P13 5 25%
Total 20 100%
En el Cuadro 4 se describe el comportamiento de las respuestas dadas al ítem 2.1,
siguiendo lineamientos propuestos por Barragues, Guisasola y Morais (2005). La categoría
“sesgo de equiprobabilidad” recoge aquellas respuestas en las que se asume de forma
implícita que la probabilidad de cada uno de los tres estados del semáforo es 0,33, lo cual
es notablemente lo poco razonable que, en general, resulta este supuesto a la hora de
abordar la situación planteada ya que no existiría a priori ninguna razón que justifique el
asumir este supuesto. El análisis detallado de la situación planteada establece y reconoce
que las probabilidades de cada uno de los estados del semáforo son desconocidas, pero que
se decide añadir de manera explícita la hipótesis de equiprobabilidad, esto es, se establece
explícitamente que P(R) = P(V) = P(A) = 1/3 y, en consecuencia, se obtiene que la
probabilidad del evento {R, V} está dada por P({R, V}) = P(R) + P(V) = 2/3.
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Entre algunos razonamientos expuestos por los informantes claves y que reflejan la
presencia de dicho sesgo tenemos por ejemplo el informante clave P6 indica que “El
semáforo puede encontrarse en uno de los 3 estados, por lo tanto la probabilidad de que en
un instante determinado el estado del semáforo sea rojo es 1 de 3 por lo tanto su
probabilidad es 33,33%”; de manera similar explica de manera simbólica el sujeto P7 que
“Los tres eventos probabilísticos de este caso son A={semáforo en rojo} P(A)=1/3,
B={Semáforo en Verde} P(B)=1/3, C={Semáforo en Amarillo} P(C)=1/3”
Cuadro 4
Categorización de respuestas al ítem 2.1
Categoría de las
Respuestas
Participantes Total %
Respuesta correcta de
baja calidad
explicativa
P2,P16 2 10%
Respuesta Correcta --- 0 0%
Sesgo de
Equiprobabilidad
P1,P5,P6,P7,P8,P9,P11,P12,P14,P15,P20 11 55%
Respuesta
incodificable
P3,P4,P10 3 15%
No contesta P13,P17,P18,P19 4 20%
Total 20 100%
En el Cuadro 5 se aprecia el comportamiento de las respuestas proporcionadas por los
sujetos de estudio. Tan solo el 30% de los sujetos de estudio contestan correctamente ante
el problema planteado; pero nada más dos sujetos emiten argumentos del todo correctos
para justificar sus respuestas; mientras que el restante 70% contesta de manera incorrecta o
no se considera capaz de responder ante tal cuestionamiento.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
259
Cuadro 5
Categorización de respuestas al ítem 2.5
Categoría de las
Respuestas
Participantes Total %
Respuesta correcta de
baja calidad
explicativa
P5,P6,P15 3 15%
Respuesta Correcta P1,P8,P20 3 15%
Respuesta incorrecta P2,P4,P7,P9,P11,P14,P16,P19 8 40%
Respuesta
incodificable
P10 1 5%
No contesta P3,P12,P13,P17,P18 5 25%
Total 20 100%
Con respecto al grupo de sujetos que contestan de manera incorrecta, los participantes
coinciden en afirmar que el juego si es equitativo debido al hecho de que en ambas ruletas
la mitad está sombreada y la otra mitad no, lo que les pudiese hacer pensar que esto
conlleva inmediatamente a la idea errónea de un juego justo puesto que hay la misma
posibilidad de caer en una o en otra zona; lo que se traduce en un desconocimiento o la no
consideración de los distintos casos posibles que se pueden presentar. Por ejemplo, el
informante P2 reseña que “Claro que es equitativo porque es la misma posibilidad, porque
la ruleta está a mitad”, pero no considera todos los casos posibles.
CONCLUSIONES
En función de las respuestas develadas por los informantes clave, se puede concluir
que en general, existe importante predominancia de este sesgo en los estudiantes para
profesores de Matemática de la UPEL Maracay, con base en el número de respuestas
asociadas a identificar el mismo. Además, se comprueba el hecho de que no solo se asigna
de manera discrecional la cualidad de ser equiprobable a un suceso determinado, sino que
se pudo constatar por medio de las respuestas, que es un error reiterativo el confundir el
hecho de que un evento simple tiene la misma probabilidad que el resto de los eventos
simples asociados a aun cierto experimento aleatorio, pero que a la hora de estudiar eventos
compuestos, la equiprobabilidad no es “heredada” por estos últimos.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
260
Se puede concluir que la presencia de error es recurrente y persistente, ya que incluso
aquellos estudiantes para profesores de Matemática que recibieron formación en
Probabilidad evidencian la presencia del sesgo. De hecho, de todos los enunciados del
cuestionario, el ítem 3, que evaluaba la presencia de dicho sesgo, no obtuvo respuestas
correctas. En este caso se determinó que el sesgo de equiprobabilidad se reflejaba al
asignar, de manera a priori pero irracional, la misma probabilidad a diferentes eventos, aún
y cuando no existen razones aparentes que hagan suponer que tal asignación es correcta.
Pero no es la única forma en la cual dicho sesgo es exteriorizado por los sujetos de la
investigación. Otra forma, tiene que ver con la aparente confusión entre la equiprobabilidad
de los eventos o sucesos elementales, característica de los juegos de azar, con la no
equiprobabilidad de los eventos compuestos asociados a un cierto experimento aleatorio y
en conjunto los planteamientos asociados al estudio de este sesgo en los futuros docentes
fueron los que más respuestas incorrectas tuvieron.
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Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
263
SEGURIDAD INFORMÁTICA, TÉCNICAS CRIPTOGRÁFICAS Y
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS COMO CONTENIDOS DE APRENDIZAJE
Marisol Sarmiento
Jenny Guillén
UPEL-Maracay
RESUMEN
En la sociedad que surgió tras la revolución industrial a finales del siglo XIX, el
recurso básico era la energía y su objetivo extender y ampliar la fuerza del cuerpo humano,
de este modo se inventaron máquinas que ahorraban trabajo físico y gran parte de los
hombres y mujeres de ese mundo desarrollado, se liberaron de penosas tareas manuales. En
la sociedad que se gesta a finales del siglo XX el recurso básico es el conocimiento y el
objetivo se centra en la actividad humana, en el acceso y uso de la información y en la
interacción de los individuos, ello tras la aparición de Internet, donde la tecnología que
antes era utilizada sólo en proyectos empresariales, militares o de gobierno ha cobrado
mayor importancia en su aplicación para la sociedad del conocimiento (Sarmiento, 2007).
Uno de estos proyectos es la seguridad informática, definida como la necesidad de
implantar mecanismos de protección que reduzcan al mínimo los riesgos asociados a los
incidentes de confianza y resguardo de información (Gonzalo, 1998). Este artículo,
proporcionara una visión general de los aspectos más relevantes de la seguridad
informática, observando esta disciplina desde un punto de vista estratégico y táctico. Para
ello destacaremos, el uso de los algoritmos criptográficos desarrollados a partir de
fundamentos matemáticos y de las técnicas de la criptografía (simétricas y asimétricas).
Como sustento teórico De Nápoli (2005) y Pino (1997) que han establecido “…Toda
encriptación se encuentra basada en un algoritmo, quien codifica un mensaje en texto plano
por medio de un método matemático para convertirlo en un texto cifrado…”(s/n), en cuyo
caso para poder descifrar el mensaje es necesario conocer además una clave o llave “KEY”,
visión que permitirá conocer las amenazas y las contramedidas ha considerarse en toda
organización, desde los estudios de la computación y la informática.
Palabras Clave: Seguridad informática, algoritmos criptográficos, técnicas de
encriptación, fundamentos matemáticos.
SEGURIDAD INFORMÁTICA
En palabras de Gonzalo (1998) la seguridad en informática (SI), persigue disminuir
los riesgos asociados al acceso y utilización de determinado sistema de forma no
autorizada. Este propósito implica la necesidad de aplicar la gestión de riesgo. Ello,
requiere evaluar y cuantificar los bienes a proteger, y en función de estos análisis,
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
264
implementar medidas preventivas más que correctivas, que excluyan estos riegos o los
reduzcan hasta niveles permisibles.
De esta manera, la SI, es la característica de cualquier sistema informático, la cual lo
hace libre de todo peligro, daño o riesgo. Quizás debido al propio avance del software y su
potencialidad para vulnerar la estabilidad de los sistemas, pareciese que estos no son del
todo infalibles. La seguridad persigue tres objetivos básicos; confidencialidad, que la
información sea accesible exclusivamente a las personas que estén autorizadas; integridad,
que la totalidad de la información esté protegida y también sus métodos de proceso y
disponibilidad, que el acceso a la información y los recursos esté garantizada para los
usuarios autorizados.
Asimismo, para Gonzalo (Ob. cit) existen tres principales elementos a proteger en
cualquier sistema informático son; el hardware, que puede verse afectado por caídas de
tensión, averías, entre otros, el software, al que le pueden afectar virus y, los datos. De estos
tres, el principal son los datos, ya que es el más amenazado y seguramente el más difícil de
recuperar.
Con base a lo anterior, ya sea en las empresas privadas, cuyo objetivo es obtener
beneficios económicos y el de las organizaciones públicas, ofrecer un servicio eficiente y
de calidad a los usuarios, ambas deben proteger los sistemas para evitar las potenciales
pérdidas que podrían ocasionar la degradación de su funcionalidad, el acceso a los sistemas
por parte de personas no autorizadas y garantizar la oferta de sus servicios de forma
eficiente y correcta.
En este particular, las organizaciones pueden y deben reducir la frecuencia y la
severidad de las pérdidas relacionadas con violaciones de la seguridad en sus sistemas; ya
que estos son vulnerables a multitud de amenazas que pueden ocasionar daños que resulten
en pérdidas significativas. Asimismo, los efectos de las diversas amenazas puedes ser muy
variados. Unos pueden comprometer la integridad de la información o de los sistemas, otros
pueden degradar la disponibilidad de los servicios y otros pueden estar relacionados con la
confidencialidad de la información. (Hernández, 1996).
En cualquier caso una correcta gestión de los riesgos debe implicar un profundo
conocimiento de las vulnerabilidades de los sistemas y de las amenazas que los pueden
explotar. Existe un gran abanico de medidas de seguridad que pueden reducir el riesgo de
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
265
pérdidas debidas a la aparición de incidentes en los sistemas informáticos. A continuación,
se mencionan las mismas y los sistemas de seguridad más frecuentes agrupándolas bajo dos
aspectos; medidas de gestión y técnicas, cuya clasificación es señalada por De Nápoli
(2005). Las primeras deben ser implantadas por los gestores de las organizaciones como
parte de los planes estratégicos y tácticos, mientras que las segundas se corresponden con
herramientas y sistemas técnicos diseñados para evitar, controlar o recuperar los daños que
pueden sufrir los sistemas por la aparición de determinadas amenazas de seguridad.
Los gestores de toda organización deberían contemplar la seguridad informática
como parte integral de las estrategias y tácticas corporativas. Una vez plasmada la
importancia de los sistemas para la consecución de los propios objetivos y los riesgos que
puede suponer para la empresa la pérdida de integridad de su información, la
indisponibilidad de sus sistemas o la violación de la confidencialidad de su información,
pueden plantearse con mayor rigor el resto de medidas encaminadas a servir a los objetivos
empresariales.
Ahora bien, las medidas técnicas, son de interés para este trabajo; existen innumerables
herramientas y sistemas de seguridad orientadas a preservar la integridad, confidencialidad
y disponibilidad de información y sistemas. Entre las técnicas más consolidadas se tienen
las copias de respaldo, los antivirus, los cortafuegos, los mecanismos de autenticación y la
criptografía.
Como medidas más avanzadas, se menciona la esteganografía, la detección de
vulnerabilidades y la detección de intrusos. Las técnicas esteganográficas tratan de ocultar
información. A diferencia de la criptografía, que trata de hacer indescifrable la información,
la esteganografía trata de evitar que siquiera se note su existencia. Por ejemplo las empresas
dedicadas a producir documentos digitales, pueden estar interesadas en incluir determinada
marca invisible de forma que sea demostrable su autoría y puedan perseguirse copias
ilegales. (De Nápoli, Ob. cit).
LA CRIPTOGRAFÍA Y SU FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA
Las raíces etimológicas de la palabra criptografía son kryptos, que significa oculto y
graphos, que se traduce como escribir, lo que da una clara idea de su definición clásica “…
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
266
arte de escribir mensajes en clave secreta o enigmáticamente…” (Pino, 1997, p. 3). La
criptografía, es el arte de escribir mensajes ocultos, históricamente la criptografía tiene su
origen en aplicaciones militares, pero hoy en día se utiliza habitualmente en aplicaciones de
computación. (Wikipedia, 2007). Un algoritmo criptográfico es un método matemático para
convertir un mensaje en texto plano (que cualquiera puede leer) en un texto cifrado (que
sólo es legible para el que sabe como descifrarlo). Generalmente los algoritmos de
encriptación son públicamente conocidos, pero para poder descifrar el mensaje es necesario
conocer además una clave.
Para este Pino, los algoritmos de encriptación se usan todos los días en aplicaciones
y protocolos tales como; Secure Shell (SSH) definido como el acceso remoto a otras
computadoras, el HTTPS (Sitios web seguros, por ejemplo homebanking), el GPG The
GNU Privacy Guard usado por ejemplo para correo electrónico encriptado y, el IPSec
usado en redes privadas virtuales. Pino (Ob. cit) señala dos tipos de algoritmos; los
algoritmos convencionales privados o simétricos, conceptualizados como quien envía un
mensaje encriptado utiliza el mismo procedimiento y la misma clave que su receptor para
desencriptarlo y los algoritmos de clave pública o asimétrica, en el cual se utilizan claves
diferentes para encriptar y para desencriptar.
Los algoritmos de clave pública se basan en el hecho de que existen operaciones
matemáticas que se pueden realizar rápidamente en una computadora, para las que la
operación inversa (aunque teóricamente es posible) demanda un tiempo de procesamiento
tal que la hacen prácticamente imposible. Es decir dados dos números primos grandes p y
q, es muy fácil calcular N = pq. Pero conocido N, es prácticamente imposible calcular p y q
si ambos son suficientemente grandes. Otras aplicaciones de los algoritmos de llave
pública, son los algoritmos de clave pública resuelven el problema de la distribución de
claves y los algoritmos de clave pública también pueden usarse para autentificación (firma
digital).
Dos de los algoritmos criptográficos, más potentes (complejos en su aplicación, por
lo cual proporcionan mayor seguridad) son el algoritmo RSA y el algoritmo de intercambio
de claves de Diffie-Hellman; por lo cual resulta interesante explicar cómo funcionan. El
algoritmo RSA (por las siglas de sus creadores) fue inventado por Ron Rivest, Adi Shamir
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
267
y Len Adleman en 1977. El algoritmo de intercambio de claves de Diffie-Hellman fue
creado en 1976, ambos algoritmos emplean varias herramientas de la teoría de números.
Así como también, ambos algoritmos utilizan como función de una sola vía, la
función exponencial modular: x 7→ ax(mod n) que dado x devuelve el resto de ax módulo
n. Es posible calcular ax en forma muy eficiente utilizando el método de cuadrados
repetidos: por ejemplo al calcular 100119 (mod301), para ello, se escribe el exponente en
binario 19 = 24 + 2 + 1 = 100112. Y se explica de la siguiente manera.
Otra fundamentación matemática, presentada por Stein (1977) con respecto a la
teoría de números, son las Raíces Primitivas. Si p es un número primo, decimos que g es
una raíz primitiva módulo p, si gn módulo p recorre los valores 1, 2, . . . , p − 1 cuando n
recorre esos mismos valores. Por ejemplo: si se elije p = 23, g = 5 es una raíz primitiva ya
que tenemos la siguiente tabla de valores. Para todo primo p, existen raíces primitivas:
Grafico 1. Tabla de Valores Raíces Primitivas. Fuente: Fuente Pino (1997).
Otra explicación interesante, con este algoritmo, es Alicia elige al azar dos primos
enormes p y q, (p ≠q), y calcula N = pq. A los fijes de un ejemplo, se elije p = 17 y q = 41.
Entonces N = 697. También elige (al azar) e que no tenga factores en común con ƒ = ∂ (N)
= (p − 1) (q − 1). En nuestro ejemplo elegimos e = 231 ƒ = 640. Alicia hace públicos N y
e: son su clave pública. Alicia: Mi clave pública es el par (697,231).
El algoritmo de Diffie-Hellman Supongamos que dos personas, Alicia y Benito
deben ponerse de acuerdo en una clave pero no disponen de un canal seguro para
intercambiar la clave. Entonces pueden hacer lo siguiente: acuerdan (¡en público!) un
número primo p (grande) y una base g, idealmente una raíz primitiva de p. A modo de
ejemplo, supongamos que eligen p = 23 y g = 5. Cada uno por su lado. Alicia elige una
clave secreta a (por ejemplo a = 6), calcula ga (módulo p) y da a conocer el resultado a
Benito (¡en público!). En el ejemplo: 56 ≡ 8(mod 23).
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
268
Benito hace lo mismo, elije una clave secreta b (por ejemplo b = 15) calcula gb
(módulo p) y comunica el resultado a Alicia (¡en público!). En el ejemplo: 515
≡ 19(mod
23). Un secreto en común, se señala entonces que tanto Alicia como Benito pueden calcular
gab
módulo p: han quedado con un secreto en común. Alicia (que conoce a y gb calcula (g
b)
a
≡ gab
(mod p). En el ejemplo: 196 ≡ 2(mod 23). Mientras que Benito (que conoce g
a y b)
calcula: (ga)b
≡ gab
(mod p). En el ejemplo: 815
≡ 2(mod 23).
La seguridad del algoritmo de Diffie-Hellman depende de que conociendo por
ejemplo y = ga (o g
b) no sea posible determinar a (o b), no sea posible (desde el punto de
vista práctico) resolver la ecuación de congruencia: gx ≡ y (modp). Lo cual se denomina
Problema del logaritmo discreto. Si se nota que si g es una raíz primitiva de p este problema
siempre tiene una solución, pero no se conoce ningún algoritmo eficiente (esto es: con
complejidad polinomial en el número de bits de los datos) para resolverlo, si p y g son
grandes).
El Algoritmo de Euclides, para chequear que ƒ y e no tengan factores comunes, se
encuentra su máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides (aprox. 325-265
AC):
640 = 231 ∗ 2 + 178 231 = 178 ∗ 1 + 53 178 = 53 ∗ 3 + 19
53 = 19 ∗ 2 + 15 19 = 15 ∗ 1 + 4 15 = 4 ∗ 3 + 3
4 = 3 ∗ 1 + 1 3 = 1 ∗ 3 + 0
Último resto no nulo = máximo común divisor.
Una consecuencia del algoritmo de Euclides. Los restos que aparecen en el
algoritmo de Euclides al calcular el máximo común divisor entre ƒ y e siempre se pueden
escribir en la forma a ƒ + de, donde a y d son dos enteros. En particular, esto es verdadero
para al máximo común divisor entre e y ƒ.
En este ejemplo:
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
269
Grafico 2. Resultados del algoritmo de Euclides. Fuente: Pino (1997).
El secreto de Alicia. Así pues, se ve que existen enteros c y d tales que: a ƒ + de =
mcd(e, ƒ) = 1. En este ejemplo: a = 61, d = −169.Por lo tanto, en particular existirá (¡y se
puede calcular!) un entero d tal que: de ≡ 1(mod ƒ). Alicia mantiene d en secreto: es su
clave privada. Como se prefiere no trabajar con números negativos, se hace un pequeño
truco: −169 ≡ −169 + 640 ≡ 471(mod 640) por lo tanto si elegimos d = 471 se seguirá
verificando la relación de ≡ 1(mod 640).
Los mensajes son números, es posible pensar el conjunto de números {0, 1, 2, . . .
,N − 1}como un alfabeto, y representar el mensaje como un número (o varios) de ese
alfabeto. Por lo tanto, se puede pensar que el mensaje a transmitir es un número m de la
aritmética modular módulo N. Encriptando con el RSA, cuando Benito quiere enviarle un
mensaje m a Alicia, busca su clave pública (e,N) y calcula c = me(mod N), c es el mensaje
cifrado. En el ejemplo, si Benito quiere enviar el mensaje m = 12 a Alicia, calcula 12e =
12231
≡ 466(mod 697) y envía el mensaje cifrado c = 466 a Alicia.
¡Alicia sabe matemática!. Para desencriptar el mensaje, Alicia utilizará el siguiente
teorema: (me)
d ≡ m(mod N). Prueba: Como hemos elegido d de modo que de ≡ 1(mod ƒ)
existe un entero k tal que de = 1 + kf = 1 + k(p − 1)(q − 1) por lo que (me)
d ≡ m
de ≡
m(m(p−1)
)k(q−1)
(mod p). Pero por el teorema de Fermat sabemos que módulo p,
m(p−1)
≡ 1 si p no divide a m
0 si p divide a m
Se deduce que en cualquier caso: (me)
d ≡ m(mod p). De modo similar: (m
e)
d ≡
m(mod q). Como p y q son primos distintos, deducimos que (me)
d ≡ m(mod N).
Como desencripta Alicia. Se deduce que Alicia puede decifrar el mensaje de Benito,
calculando cd (mod N). En ejemplo, Alicia recibe el mensaje c = 466 de Benito, y calcula
466471
≡ 12(mod 697). Sólo Alicia que conoce ƒ = ∂ (N) = (p − 1) (q − 1), puede
desencriptar el mensaje.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
270
¿Es seguro?, la seguridad del Algoritmo RSA depende de que aún conociendo N,
no sea posible calcular los factores p y q, y por lo tanto ƒ. Es decir, depende de que no sea
posible (desde el punto de vista práctico) factorizar el número N. Actualmente no se conoce
ningún algoritmo eficiente (o sea, con complejidad polinomial en el número de bits del
número N) para factorizar números grandes, y se conjetura que tal algoritmo no existe. Se
nota, sin embargo que sí existe un algoritmo para decidir si un número es primo o no en
tiempo polinomial (¡sin calcular sus factores!).
El RSA-576 (RSA Security, Inc.), organiza un concurso para factorizar números
primos, con la finalidad de verificar la seguridad del RSA. Por ejemplo, el RSA − 576 (576
bits de longitud, 174 digitos decimales) ha sido factorizado Y sus factores primos son
p= 398075086424064937397125500550 386491199064362342526708406385189
575946388957261768583317
q= 472772146107435302536223071973 048224632914695302097116459852171
130520711256363590397527
De igual manera, Koblitz (1987) da a conocer los criptosistemas de clave privada,
siendo su característica más notable, que usa una sola clave para codificar y descodificar.
Los algoritmos de clave privada son altamente eficientes (siempre hablando en relación al
tamaño de la clave) y robustos, pero inseguros para los usos actuales y los posibles usos
futuros de la criptografía de seguridad informática.
Este mismo autor, señala que la criptografía simétrica era suficientemente difícil de
desencriptar para la criptografía clásica, pues todos los sistemas históricos hasta la llegada
de las computadoras eran criptosistemas simétricos, ya que eran suficientemente complejos
para la capacidad de resolución de la época, otra de las razones de su desuso actual es la
necesidad de transmisión de la clave al receptor deseado (ejemplo las máquinas Enigma
eran enviadas en tren, en cualquier momento podían ser interceptadas y por tanto muy
probablemente decodificadas) por un canal más o menos seguro según el caso.
Dentro de los criptosistemas simétricos existe una subdivisión según la manera de
cifrar y descifrar un mensaje: cifradores simétricos en flujo, cifradores simétricos por
bloques y los cifradores en resumen. Se tienen entonces, el Cifrado en flujo (Block cipher),
el cual se define como aquel cifrado con características simétricas (clave pública, de
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pequeño tamaño y con algoritmos rápidos) que cifra el mensaje bit a bit. A continuación se
explican algunos de los subtipos más usuales. Cifrado síncrono y autosincronizante, en el
cifrado síncrono la secuencia pseudo aleatoria (clave) generada para cifrar y descifrar un
mensaje es independiente de éste, mientras que en los cifradores de flujo
autosincronizantes la secuencia de cifrado sí es función del mensaje. (Koblitz, Ob. cit).
Así, en el cifrado síncrono, el emisor y el receptor deben usar la misma clave (que,
además, debe estar sincronizada) para poder establecer la comunicación; por este motivo
utilizan señales de sincronización, que no son necesarias en el cifrado autosincronizante, ya
que al tener una realimentación, en caso de pérdida de sincronismo, éste puede recuperarse
transcurrido un tiempo.
Ahora bien, Morales (2005) explicado dos cifrados; el de Vernam y el Lineal
Perfecto. Este primero, fue desarrollado en los Estados Unidos y recibe el nombre del que
fuera su creador en 1917. Originalmente se usó en circuitos teletipo, siendo su diseño para
el cifrado en tiempo real y el descifrado de señales teletipo. Hace uso de la función OR-
exclusiva (XOR) para cifrar un mensaje dado con una clave determinada. Es un proceso
simétrico, pues usa la misma clave para el proceso de cifrado y el de descifrado. Las
versiones más recientes de cifradores Vernam usan claves generadas electrónicamente, que
son infinitamente largas y de naturaleza aleatoria, en principio, aunque por supuesto cada
usuario del sistema debe ser capaz de generar la misma secuencia usada como clave.
El segundo cifrador, fue introducido por Massey y Rueppel y es semejante al
estándar utilizado para el cifrado de la televisión en la European Broadcasting Universe. El
Cifrado en bloques (Block cipher), este tipo de cifrador es simétrico toma un número
determinado de bits como elemento base y los cifra en bloques iguales (normalmente de 64
bits). Existen numerosos ejemplo de cifradores en bloque por ejemplo (DES), para la
transmisión de datos confidenciales entre ordenadores se desarrolló a principios de la
década de 1970. LUCIFER, un sistema de cifrado basado tanto en la sustitución como en la
transposición, y en 1976 se elaboró la norma de cifrado de datos o DES (Data Encryption
Standard) sobre la base del primero. Fue, y todavía es, ampliamente usado, sobre todo, en el
campo financiero.
El DES transforma segmentos de mensaje de 64 bits en otros equivalentes de texto
cifrado, empleando una clave de 56 bits. Cada usuario elige una clave al azar, que sólo
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comunica a aquellas personas autorizadas a conocer los datos protegidos. El mensaje real se
codifica y descodifica automáticamente mediante equipos electrónicos incorporados a las
computadoras emisoras y receptoras. Como existen más de 70.000 billones de
combinaciones de 56 bits, la probabilidad de descubrir la clave aleatoria parece mínima.
Así, es un método de cifrado altamente resistente frente a ataques criptoanalíticos
diferenciales.
Investigadores como Landaverde, Soto y Torres (2000), dan a conocer la eleva
resistencia del cifrado DES, al exponer que por medio de un reciente ataque contra un
mensaje con cifrado DES requirió el uso de cientos de computadoras durante 140 días. Pero
hay diseños de máquinas que, con un costo de un millón de dólares, podrían descifrar
mensajes DES en cuestión de minutos, actualmente el algoritmo DES está obsoleto. Luego
de esto el NIST (National Institute of Standards and Technology) propuso una competición
para desarrollar el estándar AES, hasta cuya resolución ha adoptado el sistema Triple- DES
como una solución temporal. Los cinco algoritmos finalistas para AES, elegidos entre un
total de quince, fueron MARS, RC6, Rijndael, Serpent y Twofish. Así, Rijndael es un
cifrador en bloque diseñado por John Daemen y Vincent Rijmencomo algoritmo candidato
al AES (Advanced Encryption Standard). Su diseño estuvo fuertemente influenciado por el
de un cifrador (block cipher Square), que también fue creado por John Daemen y Vincent
Rijmen y se centraba en el estudio de la resistencia al criptoanálisis diferencial y lineal.
El nombre del algoritmo es una combinación de los nombres de sus dos creadores.
El cifrador tiene longitudes de bloque y de clave variables y puede ser implementado de
forma muy eficiente en una amplia gama de procesadores y mediante hardware. Como
todos los candidatos del AES es muy seguro y hasta la fecha no se le han encontrado puntos
débiles. La longitud de la clave de Rijndael, si bien es variable, debe ser de 128, 192 o 256
bits, según los requisitos establecidos para el AES. Asimismo, la longitud del bloque puede
variar entre 128, 192 o 256 bits.
Lizárraga y Toledo (2001), describen el cifrado en resumen y el SHA-1. Este
primero, establece funciones hash (hash functions), estas funciones son básicas en la
programación y en la seguridad informática actual por su alta eficiencia y su gran rapidez
de ejecución. El funcionamiento de estas funciones es sencillo, mediante una clave crean un
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273
“resumen” del mensaje que es único para cada mensaje y de un tamaño relativamente
pequeño, siendo este resumen complemente distinto al resumen de otro mensaje distinto.
Como ejemplos de algoritmos hash se ponen; el MD2 (Message Digest 2), el cual se
diseñó para computadoras con procesador de 8 bits, y hoy apenas se utiliza. Se conocen
ataques a versiones parciales de MD2. MD4 (Message Digest 4). Fue desarrollado por Ron
Rivest, de RSA Data Security. Su diseño es la base de otros hash, aunque se le considera
inseguro. Un ataque desarrollado por Hans Dobbertin permite generar colisiones (mensajes
aleatorios con los mismos valores de hash) en cuestión de minutos para cualquier PC. Por
ese motivo, está en desuso.
El segundo cifrado señalado por estos autores, es el SHA-1 (Secure Hash
Algorithm), fue desarrollado como parte del estándar hash seguro (Secure Hash Standard,
SHS) y el estándar de cifrado digital (Digital Signature Standard, DSS) por la Agencia de
Seguridad Nacional norteamericana (NSA). Aparentemente se trata de un algoritmo seguro
y sin fisuras, al menos por ahora. La primera versión, conocida como SHA, fue mejorada
como protección ante un tipo de ataque que nunca fue revelado.
El documento FIPS (Federal Information Processing Standard) expuesto por el
Grupo Inter México (S/F), que oficialmente lo describe afirma que los principios
subyacentes al SHA- 1 son similares a los del MD4 de Rivest. Su implementación puede
estar cubierta por patentes en Estados Unidos y fuera de ellos. A falta de ataques ulteriores,
se le puede considerar seguro. Es el algoritmo de firmado utilizado por el programa PGP
(un conocido programa comercial de cifrado usado casi siempre en codificación de correo
electrónico) en sus nuevas claves DH/DSS (que significa: cifrado mediante clave Diffie-
Hellman y firmado mediante función hash/ Digital Signatura Standard). Para la generación
de otro tipo de firmas digitales suelen usarse algoritmos basados en criptografía de clave
pública, sobre todo RSA y DSS.
A MANERA DE CONCLUSIÓN
En la práctica, que un programa de criptografía sea seguro o no, no depende sólo del
algoritmo matemático que emplea, sino de muchos detalles que hacen a su implementación.
Sólo pueden considerarse seguras las implementaciones de los algoritmos criptográficos
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para las que está disponible el código fuente (o sea, el texto del programa en un lenguaje
comprensible para los seres humanos), porque sin él no es posible auditar el código para
verificar que el programa no tenga puertas traseras, u otros defectos que lo tornen inseguro.
Todo ello, representa una aproximación a la inclusión y uso de la criptografía como
técnica algorítmica que debería formar parte de los estudios de las carreras relacionadas a la
enseñanza de la Informática y la Matemática, al propiciar el desarrollo del pensamiento
matemático y algorítmico. Se dice entonces que en la revisión actual del pensum de estudio
de la Especialidad de Informática, se tienen cursos como introducción al cálculo,
introducción al algebra, introducción al algebra lineal, matemática discreta y calculo
diferencial; en cuyos contenidos se entre mezclan los fundamentos matemáticos, la teoría
de números y, el desarrollo de la lógica que a su vez deben servir de sustento teórico para
cursos del componente especializado de la misma, tales como introducción a la informática,
sistemas operativos, redes informáticas, por lo cual y en atención a los lineamientos de
formación integral se debería incorporar tales enseñanzas. Tal como es el caso del curos
Matemática discreta y su explicación desde los fundamentos matemáticos, de los grafos,
arboles, pilas y colas interrelacionadas con la estructura de datos en la programación.
Asimismo, en la especialidad de Matemática, los cursos que propugnan la
fundamentación matemática deben relacionarse con los contenidos de la criptografía como
sustento teórico explicativo, para el desarrollo del pensamiento matemático. Ya que hoy
día, este tema no se encuentra presente en los estudios de pregrado, sino solamente en
estudios de cuarto nivel. En la actualidad existen diversos simuladores que pudiesen
implementarse de manera gratuita para este uso, entre ellos se tiene Arce que combina el
más poderoso (actualizado) motor de cálculo matemático, con una interfaz de usuario
intuitiva. Todo ello, debe representar un avance para el Docente de Matemática y sus áreas
de estudio, al impulsar una protección real que garantice la seguridad informática y el
aumento del uso de la Red Internet, pero no solo sobre el beneficio económico, si no
científico, educativo, social y cultural.
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ANÁLISIS SEMIÓTICO Y DIDÁCTICO DE UN PROCESO DE ESTUDIO SOBRE
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Fernando J Tesorero
Mario Arrieche
UPEL-Maracay
RESUMEN
Este proyecto de investigación se centra en el análisis de u proceso de estudio sobre las
razones trigonométricas en un curso de cuarto año de Educación Media general del Sistema
Educativo Venezolano, mediante un análisis semiótico y didáctico. El estudio se
fundamenta en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática
(Godino, 2003), en el cual se basan los sustentos teóricos de la línea de investigación
“Perspectivas de enfoque semiótico-antropológico para la didáctica de la matemática”
(Arrieche, 2002). En la enseñanza de las Razones Trigonométricas en el nivel referido, los
docentes presentan algunas dificultades en las estrategias utilizadas, que posiblemente
están obstaculizando a los estudiantes el aprendizaje de de este tema. En este sentido lo
que se quiere es Evaluar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas, que
permita determinar y describir los significados institucionales puestos en juego e
identificar posibles conflictos semióticos en la interacción didáctica. La técnica se basa en
un modelo ontológico y semiótico para la cognición e instrucción matemática que se
presenta previamente, y se ejemplifica mediante el análisis del proceso de estudio de las
Razones Trigonométricas en un libro de texto y un análisis didáctico. La investigación se
basa en un modelo metodológico cualitativo y descriptivo para el estudio del problema, el
cual permite desarrollar el tema con una observación no participante. Los informantes
claves de interés en esta investigación es el Docente, libro de texto y un grupo de
estudiantes de cuarto año de Educación Media General de la Escuela Básica “Don Rufino
González” Santa Cruz de Aragua. La expectativa de este trabajo es facilitar la enseñanza y
aprendizaje de las Razones Trigonométricas respecto a la revisión de los libros de texto y la
actuación del docente durante el desarrollo del objeto matemático.
Palabras Clave: Razones Trigonométricas, Análisis Semiótico, Análisis Didáctico,
Conflicto Semiótico.
OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
.
La dinámica social del docente en un escenario del aprendizaje, en donde establece un
rol de mediador de experiencia de aprendizaje y estructuración del proceso lógico
matemático, es por estos que debe estar dirigida a cambios que llevan implícitos una
concepción de la enseñanza de una superficie de transmisión de conocimiento donde el
estudiante se convierta en un ente activo, pleno de interés, y entendimiento, lo que implica
la utilización de esquemas motivantes y atrayentes. Según Romero 2007 en su
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investigación titulada Significados Personales de las funciones en estudiante de Educación
Básica menciona, que el objetivo principal de un educador es lograr que los estudiantes se
apropien de los contenidos que se le está enseñando, esto es logrado por la formación
profesional y la experiencia del docente.
Es importante la fase en donde el docente planifica actividades, estrategias y desarrolla
una clase, donde permita que los estudiantes adquiera un conocimiento, en tal sentido que
su aprendizaje sea significativo González 1997 señala que el profesor debe hacer una
revisión de la información previa, tanto en los contenidos como en los procedimientos y
formas de trabajo con los estudiantes, donde también debe diseñar un plan de clase que
incluya estrategias especificas.
Por esa razón se considera que el docente debe de tener un conocimiento previo con
respecto al contenido y planificación, esto juega un papel importante en el proceso de
enseñanza y aprendizaje. Quiroz, 2002, p.217 . Señala que gran parte de los fracasos
matemático de nuestro estudiantes tiene su origen en una introducción inadecuada hacías
los contenido o tema a desarrollar, generando una actitud negativa por parte del estudiante
hacia al tema y destruyendo sus propia potencialidades.
Esta investigación surge principalmente dos intereses, entre ellas tenemos, como el
docente trabaja el contenido de trigonometría específicamente las razones trigonométricas,
y que estrategias utiliza el docente para facilitarle a los estudiante el contenido. Esta noción
se presenta como un objeto que va emergiendo progresivamente, la trigonometría es
abordada por primera vez en cuarto año según el Currículo Del Sistema Educativo
Venezolano,
La experiencia de la investigación en la enseñanza de la matemática en cuarto año de
educación media general, le permite afirmar que los docentes muestran algunas dificultades
en lo que respecta la enseñanza y aprendizaje, ya que somete al contenido a unas estrategias
tradicional en donde el estudiante se le dificulta el aprendizaje. Así mismo se indica que
una de las razones que conlleva a la dificultad de comprensión de los alumnos, es que
algunos profesores tienen la creencia de que el tema a desarrollar es talmente nuevo para
los estudiantes, o por el contrario que esto domina todos los conocimientos previos y no
tiene nada que aprender.
En este sentido se piensa trabajar las razones trigonométricas como resolución de
problema en un contexto que en si misma puede ser utilizado como estrategias novedosa en
donde el estudiante se sienta motivado, así también donde se pueda obtener más y mejor
información acerca de los alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones
trigonométrica. Dentro este mismo orden de ideas este interés de estudios está centrado en
la práctica que tiene el docente en la enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométrica,
es por ello que surgen las siguientes interrogantes.
1. ¿Qué dificultades presenta el estudiante en la comprensión de las razones
trigonométrica sobre el contexto institucional de la educación básica?
2. ¿Qué dificultades presenta los estudiantes cuando se imparte el objeto matemático?
3. ¿Es adecuado el modo en que el docente transmite a los estudiantes el objeto
matemático razones trigonométricas?
4. ¿Los libros de texto que usa el docente plantean de manera precisa los conceptos,
ejemplo, procesos y brindan información clara sobre las razones trigonométricas?
5. ¿Qué patrones de interacción profesor-alumno son óptimo para facilitar el aprendizaje
de las Razones Trigonométrica?
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Objetivo General
Analizar un proceso de estudio sobre las Razones Trigonométricas en un curso cuarto año
de Educación Media General mediante un análisis semiótico y didáctico.
Objetivos Específicos
1. Determinar los significados institucionales implementados por el docente sobre las
Razones Trigonométricas en un proceso de estudio en una sección de cuarto año de
Educación Media General de la U.E. “Don Rufino González”
2. Caracterizar los significados elementales y sistémicos (o praxeológicos), puestos en
juego en el libro de texto Figueroa J (1998), que utiliza el docente para impartir la
enseñanza de las razones trigonométricas en una sección de cuarto año de Educación
Media General de la U.E. “Don Rufino González”
3. Describir los patrones de interacción didáctica (Profesor- Alumno) en el proceso de
estudio de las Razones Trigonométricas de cuarto año de Educación Media General de
la U.E. “Don Rufino González”
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
La investigación se engloba en un modelo metodológico del tipo cualitativo por qué
parte de una concepción integral de la realidad para el estudio del problema planteado. Y se
considera que el conocimiento matemático es producto de las interacciones humanas, y por
lo tanto está subordinado a ésta, en consecuencia, el significado que se le asigne a cada
tópico matemático viene influenciado por la institución donde esta se genere.
En palabras de Martínez (2006) el enfoque cualitativo de investigación: Trata de
identificar, básicamente, la naturaleza profunda de las realidades, su estructura dinámica,
aquella que da razón plena de su comportamiento y manifestaciones” (p. 66). Así mismo,
Buendía, Colas y Hernández (1998) considera que la investigación cualitativa “Supone una
adopción de una determinada concepción filosófica y científica, unas formas de trabajar
científicamente y formulas especificas de recogidas de análisis de datos, lo que origina un
nuevo lenguaje metodológico” (p. 228)
Se debe de tener en cuenta que la clasificación del tipo de investigación a utilizar viene
influenciada por el criterio que tome el investigador para hacer esa clasificación; en este
caso, la selección del tipo de investigación se hizo de acuerdo a los objetivos propuestos en
el estudio; de esta manera, para cada objetivo se selecciono el tipo de investigación que, a
juicio de investigador estuvo acorde con la naturaleza del mismo, de esta forma:
En ese sentido, el primer objetivo es “Determinar los Significados Institucionales
implementados por el docente sobre las Razones Trigonométricas”, se empleara una
investigación de carácter descriptivo, en relación a la visión que se asume de la realidad
como holística y cambiante, además, se concibe el conocimiento de una manera
constructivista y dialógica, en el cual, los resultados serán válidos para el contexto, o
institución en este caso, donde se desarrolle la investigación (Sandoval, 2002). En cuanto al
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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método se hará uso del hermenéutico, ya que el interés de este estudio es “descubrir los
significados de las cosas, interpretar lo mejor posible las palabras, los escritos, los textos y
los gestos” (Hurtado y Toro, 1997; p. 101) que en este caso giran en torno a un objeto
matemático: Razones Trigonométrica.
Con respecto al segundo objetivo en el cual se pretende Caracterizar los significados
elementales y sistémicos o praxeológicos, puesto en juego en el libro de texto Figueroa J
(1998), en el cual se tomará como referencia el libro de texto empleado por los docentes
para impartir tal contenido, se empleará la técnica del análisis semiótico de un texto,
propuesto por Godino (2002, 2003) y aplicada por Arrieche (2002), Ramos y Font (2008).
Con respecto a lo antes mencionado esta investigación se realizara mediante arqueo
documental, según Finol y Camacho (2006), se basa en analizar información sobre un
tópico específico, con el propósito de establecer relaciones, diferencias, etapas, postura o
estado actual del conocimiento, respecto al tema objeto de estudio; de esta manera, el
diseño estará orientado hacia la revisión bibliográfica, la cual, es definida por Tamayo
(2009) como aquella información que se obtiene de datos secundarios, lo que significa que
la información ya ha sido elaborada y obtenida por otros de acuerdo a los fines de éstos al
momento de recolectar los datos.
En cuanto al último objetivo es Describir los patrones de interacción didáctica
(Profesor- Alumno) en el proceso de estudio de las Razones Trigonométricas. se estará
empleando como tipo de investigación el Interaccionismo Simbólico (IS), ya que “una parte
sustancial de la investigación matemática se ocupa de estudiar las relaciones entre el
profesor, los estudiantes y la tarea matemática en las clases de matemática” (pg. 70), en
consecuencia, el IS supone que “las condiciones culturales y sociales” están
intrínsecamente relacionadas con el aprendizaje matemático (Godino y Llinares, 2000),
desde esa perspectiva, se partirá de considerar que existe una cultura en el aula en la que
interactúa el docente y el estudiante, por lo tanto, las reglas y convenios en torno al objeto
matemático emergerán de esa interacción, además el proceso de comunicación se sustenta
en los acuerdos (negociación) y significados compartidos.
El diseño a seguir, para este tipo de investigación, es de campo ya que tal como lo señala
Tamayo (2009) “cuando los datos se recogen directamente de la realidad, por lo cual
denominamos primarios, su valor radica en que permiten cerciorarse de las verdaderas
condiciones en que se han obtenido los datos” (p. 114), a su vez, dentro de este diseño, se
empleará el tipo de diseño de caso ya que se realizará “un estudio exhaustivo de uno o muy
pocos objetos de investigación, lo cual permite en conocer en forma amplia y detallada a
los mismos. Consiste, por lo tanto, en estudiar cualquier unidad de un sistema, para estar en
condiciones de conocer algunos problemas generales del mismo”. (Tamayo op. cit p. 114).
De este modo, los docentes de 4to año de Educación Media General serán representantes de
la Institución donde se lleva a cabo la investigación.
Cabe destacar, que desde este punto de vista, también se implementará un análisis
semiótico y didáctico de los apuntes del profesor en torno al contenido de las razones
Trigonométricas, a fin de contrastarlos con el análisis del texto empleado, teniendo en
cuenta el significado de referencia, y de esa manera determinar los posibles conflictos
semióticos potenciales que vayan surgiendo del estudio.
El criterio para la selección del texto está determinado, porque el último recurso en
cuanto a contenido que utilizan los docentes de 4to año de Educación Media General para
impertir las clases sobre Razones Trigonométricas en las instituciones educativas
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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venezolanas donde se realiza esta indagación, la Unidad Educativa “Don Rufino González”
ubicado en Santa Cruz Municipio José Ángel Lamas, Estado Aragua
PROCEDIMIENTO DE LA INVESTIGACIÓN
La investigación se llevará a cabo en tres fases:
Fase 1 Se caracterizaran los significados elementales y sistémico praxeológico puesto en
juego en el libro de texto.
Fase 2 Se describirán, y caracterizarán los elementos de significados puestos en juego por
los Docentes a través de una observación no participante.
Fase 3 Se realizará un análisis semiótico y didáctico de un proceso de estudio sobre las
Razones Trigonométrica.
Contexto de Investigación e Informantes Claves
La investigación se realizará en la Unidad Educativa “Don Rufino González” ubicada
en el Municipio José Ángel Lamas, del Estado Aragua, considerada como una de las
principales instituciones del municipio a nivel de Educación media general (7mo, 8vo y
9no, 1ro y 2do de Ciencias), por su capacidad, ya que atiende a una población estudiantil en
promedio de 620 estudiantes y cuenta con alrededor de 35 docentes.
Por la pretensión de la investigación de realizar un análisis semítico y didáctico sobre las
razones trigonométricas en curso de 4to año de Educación Media General, los informantes
clave de los dos docentes de matemática de un curso de 4to año de la Institución
mencionada, considerando que las clases grabadas siempre se realizarán tomando en cuenta
a un mismo grupo de estudiantes (Docente : 4to año sección D), por lo cual, también se
podría incluir a este grupo de estudiantes como informantes clave. Dichos informantes han
sido seleccionados de manera intencional de acuerdo a los intereses específicos del estudio
(Hurtado y Toro, 1997), donde los sujetos investigados permiten evidenciar el fenómeno a
estudiar según el juicio del investigador (Tamayo, 2009).
Cabe destacar que también será tomado el libro de texto empleado por los profesores de
matemática de 4to año (Figueroa, 1998) para impartir el contenido de trigonometría, de los
cuales se analizará todo lo concerniente a las razones trigonométricas de esa manera, estos
textos pueden considerarse como elementos importantes del presente trabajo y en
consecuencia es menester mencionarlos dentro de los sujetos que forman parte del mismo.
Técnicas, e Instrumentos de Recolección de la Información
A continuación se dará una explicación de aquellos procedimientos y condiciones por
medio de los cuales se recogerá la información de la investigación, y que de alguna manera,
constituyen la “expresión operativa del diseño de investigación” (Tamayo, 2009).
En correspondencia con los objetivos del estudio, entre las técnicas a utilizar, para el
análisis del libro de texto se empleará la técnica del análisis semiótico, la cual se describirá
más abajo. Las relacionadas con las prácticas operativas y discursiva (Significados
institucionales implementados y patrones de interacción didáctica), se debe hacer un
seguimiento pormenorizado de las clases de los docentes al impartir el contenido sobre las
razones trigonométricas, por lo tanto se hará uso de la técnica de campo, entre las que
destacan la observación concebida como “la inspección y estudio realizado por el
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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investigador, mediante el empleo de sus propios sentidos, con o sin ayuda de aparatos
técnicos, de las cosas o hechos de interés social, tal como son o tienen lugar
espontáneamente” (Hurtado y Toro, 1997).
La observación se implementará desde el punto de vista no participante ya que tal como
señala Hurtado y Toro (1997), el investigador observa la situación de interés “desde
afuera”, es decir, que no influye o se inmiscuye en el fenómeno estudiado; no obstante, el
observador centrará su atención en las características de los sujetos de estudio (los docentes
de 4to año), en el ambiente donde tienen lugar los hechos (aula de clases), comportamiento
de los participantes (lo que el docente dice y escribe en la pizarra, las posibles preguntas y
respuestas de los estudiantes durante la clase), frecuencia y duración de la situación (hora
de inicio y finalización de la clase, contenido impartido, entre otros). Los instrumentos
empleados para esta técnica serán: Diarios de campo, cuadernos de notas, grabación de
videos, fotografías, grabación de audios, entre otros.
EL ANÁLISIS SEMIÓTICO COMO TÉCNICA PARA DETERMINAR
SIGNIFICADOS
La técnica del análisis semiótico se realizará en el transcurso de esta investigación para
caracterizar los significados elementales y sistémicos puestos juego en el libro de texto,
sobre las Razones trigonométricas, tema correspondiente del cuarto año del nivel de
Educación Media General.
El análisis en su ejecución consta de una descomposición en unidades sistémicas y
elementales aplicables a un texto asociado al objeto matemático presente en un acto de
comunicación de la disciplina. En el caso de la indagación en los procesos de
comunicativos de aula, es necesario recabar las emisiones verbales y graficas del docente
de aula en un registro escrito.
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Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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AUTOESCRITURA: ESTRATEGIA PARA LA FORMACIÓN INICIAL DE
PROFESORES DE MATEMÁTICA
Fredy González
UPEL-Maracay-NIEM
RESUMEN
La formación inicial de profesores de Matemática en Venezuela ha sido reiteradamente
cuestionada por las deficiencias que ostenta, entre las que pueden mencionarse los
siguientes: carácter aditivo del currículo y divorcio entre teoría y práctica (González, 2003);
en este estudio se pretendió ensayar una estrategia para superarlas, basada en la producción
de Relatos Narrativos Escritos sobre experiencias vividas por un grupo Estudiantes para
Profesor de Matemática (EPPM) en una universidad pública venezolana de formación
docente; para ello; se implementó un estudio cualitativo, de carácter fenomenológico
interpretativo. Se encontró que los EPPM, participantes en el estudio, pasaron de la
descripción a la explicación comprensiva; haciéndose conscientes y superando la
informalidad de los conceptos espontáneos e implícitos, y avanzaron hacia la configuración
de una conceptualización de lo que significa ser un profesional de la educación matemática,
es decir, de la formación matemática de los ciudadanos.
Palabras Clave: Educación Matemática, Mirada Profesional, Epistemología de la Práctica
INTRODUCCIÓN
Poseer una formación matemática de calidad es un derecho humano, aún cuando ello
no esté explícitamente consagrado en la Declaración Universal de los Derechos Humanos
adoptada por la Asamblea General de la Organización de las Naciones Unidas (ONU,
1948); sin embargo, cuando se concibe a la Matemática como un bien cultural, en cuya
construcción, a lo largo de la Historia, ha participado la Humanidad toda, es comprensible
que tal formación, efectivamente sí constituye un derecho y como tal los Estados están
obligados a garantizarlo; uno de los modos para lograrlo en la época actual, es la formación
de un personal que, con idoneidad, sea capaz de gestionar profesionalmente los procesos de
apropiación de los objetos, procesos, productos, procedimientos y, general, conocimientos
y saberes propios de la Matemática, tales profesionales son los Profesores de Matemática
(PM). Tal relevancia ha alcanzado la formación de profesores que se han creado
instituciones especialmente destinadas a esta tarea como, en Venezuela, lo son la
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
286
Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) y otras instituciones de
educación superior universitaria.
Además, el asunto de la formación de PM profesionales se ha convertido en un ámbito
de reflexión hacia el cual dirigen sus intereses indagatorios connotados investigadores del
campo de la Educación Matemática en diferentes lugares del mundo. Uno de los aspectos
en los que ya se posee conocimiento consolidado es el referido a los momentos de
desarrollo de la formación de un PM: (a) inicial; (b) continuada; y (c) profesional que,
respectivamente, se refieren a los niveles de pregrado (o licenciatura), postgrado
(especialización, maestría o doctorado), y permanente (que se da durante el ejercicio mismo
de la profesión).
Sin embargo, aun cuando se estima que la formación de un profesional comienza
cuando está realizando sus estudio de pregrado, cada vez se tiene más evidencia de que ello
no es así, por cuanto al llegar a la universidad quien se prepara para ser profesor de
Matemática, ha tenido contactos con ésta, en su condición de alumno, en otros niveles
educativos y en distintos espacios formativos en los que ha participado a lo largo de su vida
pre-universitaria.
De allí que resulte relevante rescatar esta experiencia pre-profesional y convertirla en
insumo para la formación profesional. Una manera de lograrlo es a través de la
recuperación consciente de dicha experiencia convirtiéndola en objeto de reflexión y en
base para la construcción de la identidad docente propia.
En ello juegan un papel relevante la evocación, la rememoración, y el recuerdo, lo cual
se hace ostensible mediante la producción de relatos narrativos escritos cuyo contenido,
mediante procedimientos analíticos idóneos, permite construir conocimientos a partir de las
experiencias y vivencias propias.
Escritura, Trayectoria Escolar y Socialización Profesional
A lo largo de su “trayectoria escolar”, el Futuro Profesor de Matemática (FPM) se
vincula con diversos docentes quienes le ofrecen una variedad de “modelos didácticos” y
algunos de éstos le resultan tan significativos que los “marcan”, y se constituyen en
referencias para la actuación profesional; en consecuencia, en la formación (tanto inicial
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
287
como permanente) de los profesores, estas huellas o “marcas” pueden ser utilizadas como
recurso que coadyuve a la construcción de la identidad profesional del futuro profesor, es
decir del Estudiante para Profesor de Matemática (EPPM) quien, va construyendo, de
manera no formal, a-sistemática, no consciente, una serie de conceptos en torno a la
Matemática y los procesos de aprendizaje, enseñanza, estudio y evaluación de esta
disciplina. Análogamente, construye un marco conceptual relativo a: identidad del docente;
papel social de la escuela; espacios de formación (hogar, calle, escuela), etc.
De este modo, va perfilando modelos en torno a los diferentes agentes, espacios, y
escenarios formativos. Además, construye también una visión de lo que ha de ser el aula de
clases en general y de la Matemática en particular. También visualiza los roles, funciones y
tareas que han de asumir los protagonistas primarios del hecho edumático (aquel en donde
la Matemática es trabajada con fines educativos), es decir, el estudiante (en su rol de
aprendiz) y el docente (en su rol de enseñante); se da así una madeja de concepciones,
actitudes, creencias, representaciones, cogniciones, etc. en torno a la escuela, el docente, el
alumno, la enseñanza, el aprendizaje, el estudio, la materia, etc., que durante su “vida
escolar” el EPPM va conformando como un conjunto de saberes provenientes de las
relaciones que establece con los profesores (u otras personas: familiares, vecinos, amigos,
“señoras que enseñan las primeras letras”, “compañeros de estudio”), que le han “dado
clases” de Matemática; estos trabajos se “hospedan en la memoria del futuro profesor” y se
actualizan (se ponen en juego) en el momento cuando tiene la oportunidad de afrontar
situaciones de aula que son similares a aquellas en las que él mismo se ha encontrado
cuando le ha tocado ejercitar el rol de estudiante de Matemática. Como consecuencia de lo
anterior, puede inferirse que el EPPM participa de diferentes Espacios Formativos, tales
como: el hogar, la escuela, otros grupos a los que se pertenezca (culturales, artísticos,
deportivos, religiosos, políticos, gremiales, institucionales, económicos, etc.).
Esta “Socialización Previa” (García, 1999), es decir, la construcción de una
identidad social y profesional, forma parte de la “Trayectoria Pre-Profesional” que el
EPPM construye a partir de su propia historia escolar, es decir, de sus experiencias con la
Matemática, en cuanto estudiante; durante su vida escolar, los futuros profesores van
construyendo creencias, representaciones, y concepciones, que permanecen fuertes y
estables a lo largo del tiempo, y que muchas veces NO son debilitadas ni desestabilizadas
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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durante los estudios correspondientes al período de formación inicial; “durante los años en
los que el futuro profesor fue alumno, observó profesores enseñando, colaboró con algún
profesor en la realización de investigaciones. Durante ese período los futuros profesores
aprenden formas de comportamiento, y estilos de enseñanza” (García, 1999: 250) que, muy
probablemente, serán puestos en juego durante el ejercicio de la docencia, una vez
incorporados al mercado laboral luego de haberse graduado, obteniendo así la licencia para
ejercer profesionalmente labores docentes.
Las “marcas” o “huellas” que, en los EPPM, han dejado aquellos profesores que les
han resultado “influyentes”, “significativos”, “buenos” “excelentes” (entre otros
calificativos que utilizan para referirse a los docentes que les parecen destacados por alguna
cualidad cognitiva, afectiva o actuativa), tienen carácter conservador, es decir, son
resistentes al cambio, y no son disolubles mediante la influencia del conocimiento
declarativo portado por los cursos pedagógicos o didácticos que han de completar durante
su período de formación inicial; por el contrario, las experiencias, creencias y teorías,
basadas en las vivencias y convivencias que el futuro profesor de Matemática tuvo con sus
profesores durante el tiempo de su proceso de escolarización, constituyen un componente
clave en la construcción de su propia identidad como docente (Ver: Lima, 2006; p. 91).
En relación con las “marcas” dejadas por los “profesores significativamente
influyentes”, tanto positiva como negativamente, podrían formularse las siguientes
preguntas: ¿cómo perciben su desempeño docente? ¿Cuáles conocimientos exhibían? ¿Qué
habilidades mostraban? ¿Qué lograban generar en sus alumnos? ¿Cuáles competencias
didácticas poseían? ¿Cómo enseñaba? ¿Cuáles recursos didácticos utilizaba? ¿Cuáles son
las razones por las que lo recuerda?
La Práctica como Fuente de Saberes Profesionales
En esta indagación son asumidos tanto los planteamientos de García (1999) como
los de Tardif (2002), en cuanto, respectivamente, a que la profesionalización del profesor
tiene una fase de “socialización previa” que acontece cuando el EPPM es alumno; y que las
fuentes de saberes (saber ser y saber hacer) del futuro profesor son plurales y
heterogéneas; así, los saberes docentes son “disciplinares, curriculares, profesionales y
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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experienciales” (Tardif, 2002) y, además, provienen de diferentes fuentes entre las que se
encuentran las vivencias y experiencias escolares (García, 1999).
Lima (2006) coincide con estos autores cuando afirma que “los fundamentos del
saber enseñar son, a un mismo tiempo, existenciales, sociales y pragmáticos” (Lima, 2006;
97); son existenciales, por cuanto el EPPM no es un ser que padece la vida personal,
familiar, escolar o social, sino que es un participante activo en ella (aún cuando no esté
consciente de ello); sociales, porque en tanto que persona humana participa de innumerable
circunstancias de relación y de convivencia con otros (familiares, vecinos, compañeros de
distinta naturaleza, etc.); y, pragmáticos, debido a que están circunstancialmente
condicionados, socialmente mediados, e históricamente situados
Lo anterior significa que la experiencia escolar con la Matemática de los EPPM es
culturalmente desarrollada, históricamente acumulada; y, socialmente compartida; por
tanto, puede ser asumida como un ámbito para la producción de conocimientos, lo cual
remite a la Epistemología de la Práctica, cuyo correlato operativo es la reflexión acerca de
la práctica propia, la cual es considerada como un espacio para la producción (y no sólo
para la aplicación) de conocimientos; así que una de las competencias que debe exhibir
todo docente es la de ser capaz de reflexionar críticamente sobre su propia práctica, es
decir, sus vivencias (lo que se vive al interior, en la intimidad, sentires intransferibles,
aunque cognitivamente comunicables) y sus experiencias (lo que se con-vive, se comparte
con otros, la exterioridad). En el caso específico de los EPPM, su reflexión sobre la
experiencia escolar previa con la Matemática puede ser asumida como una Práctica Social
Didácticamente Mediada, habida cuenta de que los fenómenos didácticos asociados con los
incidentes críticos que acontecen en el aula de clase, forman parte de la vida escolar y, en
consecuencia, de la realidad social.
Surgen, entonces, interrogantes tales como: ¿Cómo están conformados los cuerpos
de conocimiento de los EPPM, adquiridos en la práctica, en relación con la condición de ser
profesional de la docencia en Matemática? ¿Pueden los EPPM transformarse de
consumidores de conocimiento en productores de conocimiento, considerando a la práctica
como un ámbito para la construcción de teorías de acción fundamentada en la reflexión?
Una pregunta importante, cuya búsqueda de respuesta dio lugar al estudio que aquí se
reporta, fue: ¿cuáles son los conocimientos, competencias, creencias, actitudes y valores en
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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torno a la Matemática y su enseñanza y aprendizaje, desarrollados por los EPPM durante su
vida escolar?
La Escritura Discursiva “acerca de si mismo” como Modalidad de Auto-Formación
La búsqueda de las respuestas a las interrogantes expuestas anteriormente, amerita
la reorientación de la trayectoria de los procesos formativos, cuyo sentido tradicional (de
afuera hacia adentro), que considera al EPPM como “un vaso vacío que debe ser llenado” o
una “tabla rasa”, debe ser trocado en un movimiento de adentro hacia fuera, que reivindica
la potencialidad de cada uno de los estudiantes. Para esto se adoptó la Escritura Discursiva
concibiéndola como una modalidad de la práctica formativa del Futuro Profesor de
Matemática (FPM), también llamados Estudiante para Profesor de Matemática (EPPM) o
Profesor de Matemática en Formación (PMF). Entre los argumentos esgrimidos para usar la
escritura discursiva se puede resaltar su potencial formativo: aportación de elementos para
la auto-reflexión por parte del profesor en formación; posibilidad de problematizar sus
concepciones, representaciones, y creencias acerca de la Matemática y de los procesos de
aprendizaje, enseñanza y estudio de esta disciplina; y, el carácter de dispositivo mediador
de las relaciones entre el profesor y sus estudiantes. Así que a los EPPM puede
solicitárseles que produzcan relatos narrativos escritos en los que se refieran a las
experiencias y vivencias relacionadas con la Matemática, que ellos hayan tenido a lo largo
de toda su trayectoria escolar, es decir, desde la educación inicial hasta el momento actual
como estudiantes universitarios. Tales relatos conforman una ex-posición, es decir, un
posicionamiento desde sí hacia “fuera de si”; por tanto, con el relato cada EPPM puede
colocarse fuera de si mismo, de modo que otros puedan auscultarlos inmediata o
posteriormente.
De los relatos pueden ser extraídas algunas de las dificultades confrontadas por los
alumnos para producir los relatos, entre las que se pueden mencionar las siguientes:
creencias acerca del papel de la escritura en las clases de Matemática; perspectivas acerca
de la Matemática como lenguaje; modelos escriturales promovidos por el docente;
concepciones acerca de cómo se aprende Matemática; vinculación con la escritura que se
proyecta dentro del aula; creencias suscritas por los alumnos en torno al papel que
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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desempeña lo escrito en su formación. Además de esto, se puede obtener información
acerca de los pormenores y circunstancias en las que se produjo el relato; esto es lo que se
denomina Meta-texto. Sin embargo, a pesar de reconocérsele su potencialidad formativa, la
escritura de relatos narrativos no está exenta de dificultades; entre éstas se puede mencionar
la dificultad que manifiestan los EPPM para registrar por escrito sus vivencias,
sentimientos y reflexiones. Así que el examen del contenido de los relatos narrativos
escritos acerca de su trayectoria escolar, enfatizando las relaciones que se hayan tenido con
la Matemática, constituye una de las modalidades de aprendizaje de la docencia en
Matemática como una profesión; en efecto, Lima (2006) señala que existen las siguientes
tres opciones para aprender una profesión: (a) escolarización; (b) formación inicial; (c)
ejercicio de la profesión misma. Lo anterior se contextualiza en el marco de la
Investigación Narrativa concebido como método de investigar la formación de docentes de
Matemática.
Con base en todo lo anterior, se llevó a cabo el estudio aquí reportado con el cual se
pretendió alcanzar el siguiente Objetivo:
Propiciar en los EPPM, una toma de conciencia acerca del significado de “Ser
Profesor de Matemática” a partir del examen de las experiencias y vivencias con la
Matemática que se hayan tenido a lo largo de toda su trayectoria académica: desde
pre-escolar hasta la universidad.
METODOLOGÍA
Este estudio se llevó a cabo con un grupo de EPPM, estudiantes de Educación
Matemática, insertada como asignatura obligatoria en el Plan de Estudios de la
Especialidad de Matemática que se cursa en la Universidad Pedagógica Experimental
Libertador (UPEL), institución de Educación Superior dedicada a la formación de
profesores, y en cuyo contexto se realizó la actividad de producir relatos narrativos escritos,
relacionados con la experiencia escolar con Matemática; el investigador responsable del
estudio ejerció la función de “activador del proceso”; y, además, fue simultáneamente el
facilitador del curso; en esta función tuvo la oportunidad de estudiar en sus estudiantes
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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procesos que él mismo como docente del curso, contribuyó a desencadenar, aportando para
ello orientaciones, sugerencias y claves de análisis.
La modalidad didáctica implementada para el desarrollo del curso implicó
actividades de escritura discursiva y reflexiva, expresada mediante la producción de relatos
escritos por parte de cada uno de los alumnos participantes en el curso de Educación
Matemática ya referido. Las referencias al curso de Educación Matemática como contexto
en el que se activó la producción de este relato, no debían aludir a cuestiones personales de
su facilitador, sino al sistema didáctico que se puso en juego; ¿cuáles principios científicos
e ideológicos fueron puestos en juego? ¿Cuáles valores orientaron el trabajo? ¿En qué
consistió la praxis de aula? ¿Roles y funciones desplegadas por los protagonistas; qué hizo
cada quien? ¿Cuáles son las características más relevantes del sistema didáctico puesto en
juego durante el curso de Educación Matemática que hizo posible la construcción de
conocimientos a partir de la reflexión sobre la práctica propia de cada uno de los EPPM
participantes en el curso? ¿Cuál fue el papel desempeñado por el docente?
Además, la modalidad didáctica desarrollada fue interpretada como una experiencia
de auto y co-formación, puesto que el grupo de estudiantes fue asumido como
constituyentes de una Comunidad de Aprendizaje, con actuaciones dentro del aula de
clases, tanto como fuera de ella, con la intervención del profesor como activador de
procesos; en esta función, el docente: ofreció explicaciones, dio orientaciones, realizó
exposiciones, dio retroalimentación sobre las diferentes versiones de los relatos escritos por
los alumnos, aclaró dudas tanto presencialmente como vía correo electrónico y por
mensajes de texto a través de teléfonos celulares.
La Investigación Narrativa en la Formación Profesional
En cuanto a los aspectos metodológicos implementados durante el trabajo, se puede
señalar que mediante la producción de relatos narrativos escritos se propició la
problematización de la formación inicial de los estudiantes para profesor, quienes debían
relatar narrativamente, por escrito, sus vivencias y experiencias con la Matemática a lo
largo de toda su vida escolar, transcurrida desde la educación inicial hasta la realización del
curso de Educación Matemática donde se llevó a cabo el estudio aquí reportado.
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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Las experiencias narradas por cada EPPM, fueron comunicadas públicamente
mediante un relato escrito, leído ante los compañeros; la lectura en voz alta en Encuentros
Presenciales de Trabajo se interpretó como “diálogo” de saberes en el ámbito público del
aula de clases (asumida como comunidad de aprendizaje); dicha lectura pretendía
colectivizar y socializar aquello que es individual y privado; además, en dicho relato se
debían identificar los así denominados Incidentes Críticos; éstos estarían referidos a
situaciones relacionadas con los procesos de Enseñanza, Aprendizaje, Estudio, y
Evaluación de la Matemática que le hubiesen resultados significativos. Dichos incidentes
fueron examinados teórica y conceptualmente, derivándose de dicho examen aprendizajes
relativos al desempeño aúlico del futuro profesor de Matemática.
Lo que se pretendió fue propiciar en los EPPM una reflexión acerca del significado
y compromiso implicados por los procesos de Aprendizaje y Enseñanza de la Matemática
en un aula de clases, teniendo como referencia las experiencias y vivencias personales
propias. La intención fue propiciar en los EPPM explicaciones idóneas acerca de los
fenómenos didácticos implícitos en los incidentes críticos que ellos identificaron en sus
respectivos relatos. Hacia donde se deseaba apuntar es a la explicitación de la relación que
cada EPPM participante en el estudio establece con el Ser Docente de Matemática,
tomando conciencia de su identidad como profesional del Proceso de Aprendizaje y
Enseñanza de esta asignatura.
Interrogantes-Guía en la Producción de los Relatos Narrativos escritos
Para lograr lo anterior, se les sugirió tener presentes las siguientes interrogantes:
¿Qué pienso que debe ser un docente? ¿Cómo debe ser enseñada? ¿Cómo se estudia?
¿Cómo se aprende? ¿Cómo ha de ser la dinámica del aula de clases de matemática? ¿Cuáles
son los factores afectivos que inciden sobre los procesos de Enseñanza y Aprendizaje de la
Matemática? ¿Cómo ha de evaluarse el desempeño en Matemática? ¿Qué papel
desempeñan los materiales didácticos en la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática?
¿Cuáles prácticas de enseñanza son idóneas para propiciar el aprendizaje? ¿Cuáles son los
conocimientos, competencias, creencias, actitudes y valores en torno a la Matemática y su
enseñanza y aprendizaje, desarrollados por los EPPM durante su vida escolar? La base para
Memorias de VII Jornada de Investigaciónn del Departamento de Matemática y VI Jornada de Investigación en Educación Matemática, UPEL Maracay 14 y 15 de Noviembre de 2013
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construir respuestas a estas interrogantes estuvo constituida por ejemplos y anécdotas
recaudadas a partir de los relatos narrativos escritos de las situaciones personales
experienciadas y vivenciadas por los propios EPPM que participaron en el estudio.
Procedimiento Analítico
A los estudiantes se les solicitó que, en forma individual o en pequeños grupos de
no más de cuatro integrantes, procedieran a reconocer los Incidentes Críticos a los que
hubiesen podido haber hecho mención en sus respectivos relatos; tales incidentes podían
referirse a diferentes acontecimientos ocurridos en el aula de clases en donde ellos tuvieron
alguna participación como estudiantes; como incidentes pueden ser mencionados los
siguientes: maneras de explicar utilizadas por el docente; materiales didácticos empleados
para enseñar algún concepto, procedimiento u operación propios de la Matemática;
tratamiento dado por el docente a eventos presentes en la cotidianidad de una clase de
Matemática; participación de familiares en la formación matemática del estudiante; la
comunicación docente-estudiante; la imagen acerca del docente de Matemática que ellos se
formaron en función del desempeño de sus respectivos profesores de Matemática, entre
muchísimos otros.
A algunos de los participantes del curso, se les pidió que leyeran en voz alta frente a
sus compañeros, parte de su respectivo Relato Narrativo Escrito (RNE); ello permitió al
facilitador identificar Incidentes Críticos y el correspondiente Fenómeno Didáctico
asociado; de este modo, se ejemplificó el tipo de análisis que ellos posteriormente, en forma
individual o en grupo, debían realizar.
Varios de sus autores, que conformaban grupos naturales (es decir, aquellas
agrupaciones conformadas por estudiantes que se conocen entre sí y forman equipos para
estudiar juntos) se intercambiaron sus respectivos RNE con el fin de realizar una lectura
analítica de su contenido (Miller, s/f); de este modo, realizaron un análisis que les permitió
reconocer incidentes críticos y develar los fenómenos didácticos implicados en los mismos.
Para la consideración de los Fenómenos Didácticos subyacentes en los Incidentes
Críticos, tanto los referidos en el RNE como los que se presentaron durante el curso, se
asumió la idea de Triángulo Didáctico, cuyos vértices son Profesor, Alumno, y Objeto de
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Estudio; considerando las relaciones dos a dos, entre los tres vértices y también su dinámica
global en los EPT. Algunos de los Incidentes Críticos considerados fueron los siguientes:
Concientizar el sentido, significado y valor de las asignaciones extra escolares
Darse cuenta del rol social que le corresponde cumplir al profesor de Matemática
Incidencia de la arquitectura escolar, particularmente, la del aula, sobre el proceso de
enseñanza y aprendizaje
Procesos de democratización de la comunicación en el aula
Papel de la escritura en los procesos de formación inicial de profesores
Reflexión Inducida
Una vez que tales RNE estuvieron listos, se inició una fase de reflexión con respecto
a los pormenores de la modalidad formativa implementada con el fin de develar el
correspondiente modelo didáctico subyacente, lo cual permitiera identificar sus
fundamentos filosóficos e ideológicos, el modelo conceptual del aula, sus principios
didácticos, sus fines educativos, y su práctica escolar implementada. Para esto, a los
estudiantes se les llamaba la atención y se les pedía que notaran los incidentes críticos que
estaban teniendo lugar en los EPT. Los cinco elementos constitutivos del modelo didáctico
fueron asumidos como criterios para organizar el conocimiento necesario para la gestión de
fenómenos didácticos que acontecen en las aulas de Matemática que, junto con el
conocimiento matemático y el conocimiento didáctico asociado, constituyen los tres
ámbitos de competencia que deben poseer los docentes que se dedican profesionalmente a
enseñar Matemática.
RESULTADOS
La Producción Escrita como instancia propiciatoria de prácticas reflexivas. La
elaboración de RNE, sobre experiencias y vivencias con la Matemática, y su posterior
análisis y socialización, efectivamente constituye una instancia para reflexionar acerca
del Ser Profesor de Matemática.
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La condición de profesionalidad de un profesor de Matemática, y de cualquier otra
disciplina, se hace ostensible en la competencia que él exhiba para identificar, describir
y aprovechar formativamente los fenómenos didácticos relacionados con los incidentes
críticos que tienen lugar en los Encuentros Edumáticos.; todo ello con el fin de
coadyuvar a la mejor formación matemática de quienes se hayan visto involucrados,
directa o indirectamente, en el desarrollo del mismo.
Los procesos tradicionales de formación inicial de profesores de Matemática han sido
objeto de variados cuestionamientos; uno de ellos es su carácter sumativo, es decir, la
creencia según la cual la teoría y la práctica para el ejercicio de la función docente se
producen en dos contextos separados; por un lado “el teórico” donde, de modo
declarativo, el EPPM se apropia del “deber hacer” y por el otro, “el empírico”, donde
debe “poner en práctica” aquello que “teóricamente” aprendió; la producción de RNE
hace posible el abordaje conjunto de estos dos ámbitos (teórico y práctico) del ejercicio
de la función docente.
La profesionalización de un profesor de Matemática, tiene como punto de partida, no
su formación inicial en la universidad, sino las experiencias con Matemática que ha
acumulado durante la trayectoria escolar previa, porque estas pudieran haber
contribuido a instalar en él representaciones acerca de lo que es ser un profesor de
Matemática.
Puesto que en los RNE hay alusión a contextos educativos correspondientes a
instituciones públicas y privadas; urbanas y rurales; laicas y religiosas; ubicadas en
diferentes regiones del país, el análisis de tales relatos hace posible la identificación de
las características de los contextos reales de enseñanza de la Matemática
DISCUSIÓN
El divorcio, habitualmente presente en la formación inicial de los EPPM, entre lo que
ellos “aprenden en la universidad” y lo que “realmente deben hacer en las escuelas u otras
instituciones educativas donde ha de desempeñarse”, puede ser suprimido estimulando una
relación, reflexivamente mediada, entre tal práctica (representada por las experiencias y
vivencias, evocadas y consignadas en el RNE) y la “teoría”; esto se puede expresar al
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menos de dos formas; una, el análisis del contenido del RNE y la otra, sesiones de reflexión
(dirigidas por el facilitador) durante los EPT; en éstas se les ha de llamar la atención acerca
de los pormenores implicados por la gestión del aula; con todo ello se pretende convertir su
propia práctica en una referencia valiosa para su futura acción pedagógica.
CONCLUSIONES
Se encontró que en los EPPM, participantes en el estudio, hubo un cambio respecto a
las ideas inicialmente suscritas en relación con lo que ha de ser un profesor de Matemática,
reconociendo que no es sólo “un dador de clases” sino un profesional responsable de
garantizar el derecho que todos los ciudadanos tienen de poseer una formación matemática
de calidad.
REFERENCIAS
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Porto.
González, F. E. (2003). La dinámica P2MA una opción didáctica frente a la enseñanza
tradicional de la matemática. Investigación y Postgrado, 18(2), 43 – 76
Lima, M. L. R. (2006). Memórias de Profesores: Uma experiencia de pesquisa na formaçaô
de profesores de ensino superior. Diálogo Educacional, 6(19), 89-98.
Miller, S-J (s/f). ¿Qué es la Lectura Analítica?. Documento en Línea. Disponible en:
http://www.ehowenespanol.com/lectura-analitica-info_268923/. Consulta: 19 de agosto
de 2013. 16:45
Organización de las Naciones Unidas (1948). Declaración Universal de los Derechos
Humanos (DUDH). Disponible en: http://www.un.org/es/documents/udhr/ Consulta:
19 de agosto de 2013. 16:30
Tardif, M. (2002). Saberes docentes e formaçâo profissional. Petrópolis: Vozes.
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ÍNDICE DE AUTORES
NOMBRE Y APELLIDO CORREO ELÉCTRÓNICO
Adriana Mejías
Alvin Díaz
Andrea González
Andrea Osorio [email protected]
Andrés González R [email protected]
Angélica Martínez. [email protected]
Antonino Viviano
Belén Arrieche [email protected]
Carmen Gil
Dilia Caballero
Erika Gabriela Valera Herrera [email protected]
Evelyn Romero
Fernando J Tesorero [email protected]
Fernando Rodríguez
Freddy Castro
Fredy E. González [email protected]
Génesis Gudiño
Gustavo Pedríquez [email protected]
Héctor Blanco
Ingrid Camacho [email protected]
Jenny Guillén [email protected]
Jimmy Sánchez Chacón [email protected]
Jonander Rivas
Jorge Gideón
José Ortiz Buitrago [email protected]
Juan Guzmán [email protected]
Julia Elena Sanoja de Ramírez [email protected]
Karol Ramírez
Katherine Gómez
Kelly Váldez [email protected]
Leonela Rodríguez [email protected]
Liliana Noguera
Mario Arrieche [email protected]
Marisol Sarmiento [email protected]
Marlyocer Sequera M. [email protected]
Martha Iglesias [email protected]
Mary Carmen Arrieche Aristiguieta [email protected]
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300
Mary G. Núñez L [email protected]
Mayerlin Romero
Miguel Zambrano
Odalys Báez [email protected]
Oscar Ramírez [email protected]
Pedro Vivas
Rebeca Mogollón [email protected]
Richlenys Davis [email protected]
Robert Lira [email protected]
Rolando García [email protected]
Snnaider Ramirez [email protected]
Vanesa Pacheco [email protected]
Wolghan Gómez [email protected]
Yerikson Suárez Huz [email protected]
Yraima Ramos [email protected]
Zoraida Paredes [email protected]
Zuleidy Torres