Date post: | 13-Apr-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | esteban-espinosa-tebi |
View: | 214 times |
Download: | 0 times |
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 1/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
1
23051 ANÁLISIS NUMÉRICO
DESARROLLOS DE TAYLOR
GUÍA 1
Teoría – Mg (c) Ingeniero Civil Mecánico – Marcelo Gallardo Maluenda
Desarrollos limitados
Definición 1: : → ℝ posee un desarrollo limitado de orden en torno a ∈ , , si
existen constantes , , … , ∈ ℝ tales que
∑ ( )
= .1 ∧ lim→
( ) 0 .2
o equivalentemente si
ℎ entonces
∑ ℎ
= (ℎ) .3 ∧ lim→
(ℎ)ℎ 0 .4
Así, un desarrollo limitado de :
- Es una aproximación polinomial.
- El error de aproximación por el desarrollo limitado de es
∑ ℎ= (ℎ) .5
es pequeño con respecto a ℎ.
- Para obtenerlo, se utiliza un desarrollo de Taylor.
ℎ ℎ ℎ ⋯ ℎ (ℎ) ∧ lim→(ℎ)
ℎ 0
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 2/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
2
Teorema 1: Sea : → ℝ veces derivable en ∈ , y
∑ !
= ´ ⋯
! .6
ℎ ∑ ! ℎ=
´ℎ ´´2! ℎ 3! ℎ ⋯ ! ℎ .7
su desarrollo de Taylor de orden en torno a . Entonces
( ) .8 ∧ lim→( )
0
ℎ (ℎ) .9 ∧ lim→(ℎ)
ℎ 0
Nota: El error de aproximación por el desarrollo limitado de Taylor de es
( ) .10
ℎ ℎ (ℎ) .11
Teorema 2 Teorema de Taylor): Sea una función derivable hasta el orden 1 en una
vecindad , . Sea ℎ el desarrollo de Taylor de orden de en
torno a . Entonces, la diferencia entre y ℎ, es decir el resto del desarrollo es
Resto de Lagrange
(∀ ∈ )(∃ ∈ , ) + 1! + .12
ℎ ℎ ℎ + 1! ℎ+ .13
Resto de Cauchy
(∀ ∈ )(∃ ∈ , )
+
!
.14
ℎ ℎ ℎ +! ℎ ℎ .15
Nota: Lo anterior, supone que < , por lo tanto < < . Si < , entonces ∈ , ,
es decir < < .
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 3/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
3
Definición 2: Cuando el desarrollo de Taylor es en torno a 0, se le denomina desarrollo de
McLaurin.
Definición 3: Una función es de clase si es veces derivable en ∈ , y la función : → ℝ es continua. Si esto es cierto para todo , entonces se dice que es de clase ∞.
Ejercicios
E.1.- Si
a) Determine el desarrollo de Taylor para en torno a , además de su desarrollo de
McLaurin. Expréselo como sumatoria y desplegada con algunos términos relevantes.
b) Determine el desarrollo de McLaurin para de orden ∈ {0,1,2,3}.
c) Estime el valor de , para los desarrollos de McLaurin considerados en b). Calcule los
errores verdaderos y aproximados cometidos a medida que se eleva el orden de
ℎ. ¿Cuál
es la tendencia de ℎ⁄ y ℎ+⁄ ?
d) Para 2, estime ,, , y ,. Determine el error verdadero que se comete en cada
aproximación. .
Solución
a) Si
ℎ
ℎ ∑ ! ℎ=
1
ℎ ∑ ! ℎ
= ℎ ´ℎ ℎ ℎ 1 ℎ
ℎ ∑ ! ℎ
= ℎ ´´
2! ℎ ℎ 2 ℎ 1 ℎ ℎ
2
ℎ ∑ ! ℎ=
ℎ 3! ℎ ℎ 6 ℎ 1 ℎ ℎ2 ℎ6
Los términos del desarrollo de Taylor siguen un patrón claro. En consecuencia
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 4/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
4
Desarrollo de Taylor
≈ ℎ ∑ ℎ!
= 1 ℎ ℎ
2 ℎ6 ⋯ ℎ
! ℎ
Por lo tanto
ℎ (ℎ) 1 ℎ ℎ2 ℎ
6 ⋯ ℎ! (ℎ) ℎ
Si
0 ∧ ℎ 0
1
1
1 2
1 2
6
Los términos del desarrollo de McLaurin siguen un patrón claro. En consecuencia
Desarrollo de McLaurin
≈ ∑ !=
1 2 6 ⋯ ! 0
Por lo tanto
() 1 2
6 ⋯ ! () 0
b) Los desarrollos de McLaurin de en torno a 0 son
0 ≈ 1
1 ≈ 1
2 ≈ 1 2
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 5/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
5
3 ≈ 1 2
6
c)
0 ∧ 0 , 4 ⟹ ℎ 0 0 , 4.
Sea
− −
1 0 0
1 0 0 100
−
1 0 0 −
1 0 0
100
0,4 , 1,491825
0 , ≈ 0,4 1
1,49182510,491825
100 [0,4918251,491825] 10032,97 %
ℎ
0,4918250,4 0,4918251 0,491825
ℎ+ + 0,4918250,4 0,491825
0,4 1,229562
1 , ≈ 0,4 1 0 , 4 1 , 4
1,4918251,40,091825
100 [0,0918251,491825] 1006,16 %
ℎ 0,0918250,4 0,091825
0,4 0,229562
ℎ+ + 0,0918250,4 0,091825
0,16 0,573904
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 6/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
6
1 , 4 1 0 , 4
100 [0,41,4] 10028,57 %
2 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 1 , 4 8
1,4918251,480,011825
100 [0,0118251,491825] 1000,79 %
ℎ 0,0118250,4 0,011825
0,16 0,073904
ℎ+ + 0,0118250,4 0,0118250,064 0,184761
1,481,40,08
100 [0,081,48] 1005,41 %
3 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 0,4
6 1,490667
1,4906671,4918250,001158
100 [0,0011581,491825] 1000,08 %
ℎ 0,0011580,4 0,001158
0,064 0,018094
ℎ+ + 0,0011580,4 0,001158
0,0256 0,045236
1,4906671,480,010667
100 [0,08
1,48] 1000,72 % En las siguientes tablas, se exponen los resultados con más detalle.
Nota: NT se refiere al número de términos del desarrollo de por Taylor o McLaurin.
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 7/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
7
Tabla 1.1: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
k k+1 x0 x h h^k h^(k+1) f(x)=exp(x) Tfk(h) Et
NT x-x0
0 1 0 0,4 0,4 1 0,4 1,4918247 1 0,4918247
1 2 0 0,4 0,4 0,4 0,16 1,4918247 1,4 0,09182472 3 0 0,4 0,4 0,16 0,064 1,4918247 1,48 0,0118247
3 4 0 0,4 0,4 0,064 0,0256 1,4918247 1,49066667 0,00115803
4 5 0 0,4 0,4 0,0256 0,01024 1,4918247 1,49173333 0,00009136
5 6 0 0,4 0,4 0,01024 0,004096 1,4918247 1,49181867 0,00000603
Tabla 1.2: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
Et/h^k Et/h^(k+1) Et/h^k Et/h^(k+1) Etp Ea Eap
[%] [%] [%] [%]
0,4918247 1,22956174 49,1824698 122,956174 32,9679954 - -
0,22956174 0,57390436 22,9561744 57,390436 6,15519356 0,4 28,5714286
0,07390436 0,1847609 7,39043603 18,4760901 0,79263319 0,08 5,40540541
0,01809423 0,04523558 1,8094234 4,52355849 0,07762514 0,01066667 0,71556351
0,00356892 0,0089223 0,35689183 0,89222957 0,00612433 0,00106667 0,07150518
0,00058896 0,00147241 0,05889624 0,14724059 0,00040427 8,5333E-05 0,00572009
Tabla 2.1: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
k k+1 x0 x h h^k h^(k+1) f(x)=exp(x) Tfk(h) Et
NT x-x0
0 1 0 0,2 0,2 1 0,2 1,22140276 1 0,22140276
1 2 0 0,2 0,2 0,2 0,04 1,22140276 1,2 0,02140276
2 3 0 0,2 0,2 0,04 0,008 1,22140276 1,22 0,00140276
3 4 0 0,2 0,2 0,008 0,0016 1,22140276 1,22133333 6,9425E-05
4 5 0 0,2 0,2 0,0016 0,00032 1,22140276 1,2214 0,00000276
5 6 0 0,2 0,2 0,00032 0,000064 1,22140276 1,22140267 0,00000009
Tabla 2.2: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
Et/h^k Et/h^(k+1) Et/h^k Et/h^(k+1) Etp Ea Eap
[%] [%] [%] [%]0,22140276 1,10701379 22,1402758 110,701379 18,1269247 - -
0,10701379 0,53506895 10,7013791 53,5068954 1,75230963 0,2 16,6666667
0,03506895 0,17534477 3,5068954 17,534477 0,11484812 0,02 1,63934426
0,0086781 0,04339052 0,86781034 4,33905168 0,00568402 0,00133333 0,10917031
0,00172385 0,00861925 0,17238501 0,86192505 0,00022582 6,6667E-05 0,00545822
0,00028592 0,00142959 0,02859172 0,1429586 7,4909E-06 2,6667E-06 0,00021833
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 8/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
8
Tabla 3.1: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
k k+1 x0 x h h^k h^(k+1) f(x)=exp(x) Tfk(h) Et
NT x-x0
0 1 0 0,1 0,1 1 0,1 1,10517092 1 0,10517092
1 2 0 0,1 0,1 0,1 0,01 1,10517092 1,1 0,005170922 3 0 0,1 0,1 0,01 0,001 1,10517092 1,105 0,00017092
3 4 0 0,1 0,1 0,001 0,0001 1,10517092 1,10516667 4,2514E-06
4 5 0 0,1 0,1 0,0001 0,00001 1,10517092 1,10517083 0,00000008
5 6 0 0,1 0,1 0,00001 0,000001 1,10517092 1,10517092 0,00000000
Tabla 3.2: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
Et/h^k Et/h^(k+1) Et/h^k Et/h^(k+1) Etp Ea Eap
[%] [%] [%] [%]
0,10517092 1,05170918 10,5170918 105,170918 9,5162582 - -
0,05170918 0,51709181 5,17091808 51,7091808 0,46788402 0,1 9,09090909
0,01709181 0,17091808 1,70918076 17,0918076 0,01546531 0,005 0,45248869
0,00425141 0,04251409 0,4251409 4,25140898 0,00038468 0,00016667 0,01508068
0,00084742 0,00847423 0,08474231 0,84742314 7,6678E-06 4,1667E-06 0,00037702
0,0001409 0,00140898 0,01408981 0,14089812 1,2749E-07 8,3333E-08 7,5403E-06
Tabla 4.1: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
k k+1 x0 x h h^k h^(k+1) f(x)=exp(x) Tfk(h) Et
NT x-x0
0 1 0 0,05 0,05 1 0,05 1,0512711 1 0,0512711
1 2 0 0,05 0,05 0,05 0,0025 1,0512711 1,05 0,0012711
2 3 0 0,05 0,05 0,0025 0,000125 1,0512711 1,05125 2,1096E-05
3 4 0 0,05 0,05 0,000125 0,00000625 1,0512711 1,05127083 2,6304E-07
4 5 0 0,05 0,05 0,00000625 3,125E-07 1,0512711 1,05127109 0,00000000
5 6 0 0,05 0,05 3,125E-07 1,5625E-08 1,0512711 1,0512711 0,00000000
Tabla 4.2: Resultados desarrollo de McLaurin de
evaluado en
, .
Et/h^k Et/h^(k+1) Et/h^k Et/h^(k+1) Etp Ea Eap
[%] [%] [%] [%]0,0512711 1,02542193 5,12710964 102,542193 4,87705755 - -
0,02542193 0,50843855 2,54219275 50,843855 0,12091043 0,05 4,76190476
0,00843855 0,16877101 0,84385504 16,8771008 0,00200675 0,00125 0,11890606
0,00210434 0,04208683 0,21043415 4,20868305 2,5021E-05 2,0833E-05 0,00198173
0,00042016 0,00840328 0,04201639 0,8403277 2,498E-07 2,6042E-07 2,4772E-05
6,9944E-05 0,00139887 0,00699437 0,13988739 2,0791E-09 2,6042E-09 2,4772E-07
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 9/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
9
Del análisis de los datos, podemos inferir que la razón entre y ℎ tiende a cero.
Además, lo anterior también se tiene entre y ℎ+, pero la tendencia es más rápida en el
primer caso. En consecuencia
ℎ ⟶ 0 ⟹
ℎ ⟶ 0 ∧
ℎ+ ⟶ 0 ∧
ℎ ≤
ℎ+ ∧ ℎ⁄
ℎ+⁄ ℎ
d) Para 2, el desarrollo de McLaurin de es
2 ≈ 1 2
Para comparar los valores que son solicitados, con respecto al cálculo anterior,
recordamos los valores obtenidos en la aproximación de,, con 2. Luego, se exponen los
demás resultados.
0 , 4 , ≈ 0,4 1 0 , 4 0,42 1 , 4 8
1,4918251,480,011825
100 [0,0118251,491825] 1000,79 %
ℎ 0,0118250,4 0,011825
0,16 0,073904
ℎ+
+ 0,0118250,4 0,0118250,064 0,184761
0 , 2 , ≈ 0,2 1 0 , 2 0,22 1 , 2 2
1,2214031,220,001403
100 [0,0014031,221403] 1000,12 %
ℎ 0,0014030,2 0,0014030,04 0,035069
ℎ+ + 0,0014030,4 0,001403
0,008 0,175345
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 10/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
10
0 , 1 , ≈ 0,1 1 0 , 1 0,12 1 , 1 0 5
1,1051711,1050,000171
100 [0,0001711,221403] 1000,02 % ℎ 0,000171
0,1 0,0001710,01 0,017092
ℎ+ + 0,0001710,4 0,000171
0,001 0,170918
0 , 0 5 , ≈ 0,05 1 0 , 0 5 0,052 1,051250
1,0512711,0512500,000021
100 [0,0000211,221403] 1000,02 %
ℎ 0,0001710,05 0,000021
0,0025 0,008439
ℎ+ + 0,0001710,05 0,000021
0,000125 0,168771
E.2.- Considerando un desarrollo de Taylor o McLaurin que permita calcular aproximadamente
1,1
a) Calcule 1,1 tal que el error de aproximación sea menor que 10−.
b) Calcule 1,1 con seis decimales exactos.
Solución
a) Dado que no está definido para 0, y considerando además que resulta
conveniente un desarrollo en torno a éste valor, utilizamos para estimar
1,1
la función
1
Así 0 ⟹ 0 1 0 1 0
0 , 1 ⟹ 0,1 1 0, 1 1,1
Si
0 ∧ ℎ 0,1 ⟹ ℎ 0 0,1 0,1 ⟹ 0,1 1 0, 1 1,1
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 11/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
11
Para determinar el orden del desarrollo de McLaurin de que necesitamos,
utilizaremos el error que se comete por la aproximación a determinar. Tenemos dos opciones
para ello
Error de Lagrange Error de Cauchy
ℎ + 1! ℎ+ ℎ +! ℎ ℎ
El error a escoger, lo determinaremos conforme obtengamos una expresión para +, lo cual sea conveniente o simplifique los cálculos a realizar.
1
´ 1 1
1
´´ [ 11 ] 11
[ 1
1 ] [ 1
1 ] 21 1 2
1
[ 2
1 ] 2 [ 1
1 ] 2 31 1 3 ∙ 2
1
[ 3 ∙ 2
1 ] 3 ∙ 2 [ 1
1 ] 3 ∙ 2 41 1 4 ∙ 3 ∙ 2
1 ⟹
1− 1!1 ≥ 1 ⟹ + 1+− 1 1!
1 + 1!1 +
Dada la expresión deducida para +, es conveniente utilizar el resto de Lagrange
ℎ + 1! ℎ+ 1!
1 + ℎ+ 1! 1! ℎ+
1 + 1! 1ℎ+1 + 1
ℎ 0 ⟹
ℎ 1+1 + 1
|ℎ| 1+1 + 1 1+
|1 +|| 1| ∧ { > 0 ∧ ∈ , 0, } ⟹
|ℎ| 1+|1 +|| 1| 1 ∙ +
1 + 1 +1 + 1 < 10− 0,0001
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 12/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
12
Para lograr que el error sea menor a 10−, primero lo maximizamos y luego lo acotamospor el valor solicitado. Por ello, utilizamos 0.
0 ∧ 0 , 1 ⟹
|ℎ| 0,1+
1 0+ 1 0,1+
1+ 1 0,1+
1 ⟹ |ℎ| 0,1+
1
Iniciamos el proceso iterativo para determinar el orden del desarrollo de McLaurin de
0 |ℎ| 0,1+0 1 0,1
1 0,1>0,0001
1 |ℎ| 0,1+1 1 0,1
2 0,012 0,005>0,0001
2 |ℎ| 0,1+
2 1 0,1
3 0,001
3 0,0003̅ >0,0001
3 |ℎ| 0,1+3 1 0,1
4 0,00014 0,000025<0,0001 ⟹
1 ≈ ∑ ! ℎ
= 0
! 1−
1!1 1! 1−
1!1 1! 1−
1
! 0
! 1−1 0 1−
1 1−
1 ≈ 0 ∑ 1−
=
1 0 1−1 1−
2 1−3
1 11 1
2 13 0 1
1 12 1
3
2
3
7/24/2019 23051 - Analisis Numerico - 2015 - S1 - Desarrollos de Taylor - Guia 01 - Mg c Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo Ma…
http://slidepdf.com/reader/full/23051-analisis-numerico-2015-s1-desarrollos-de-taylor-guia-01-mg 13/13
23051 – Análisis Numérico Desarrollos de Taylor – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
13
1 ≈ 2
3 ∧ 0 , 1
1 0, 1 1,1 ≈ 0,1 0 , 1 0,12 0,1
3 0,095250438266967
1,1 0,095310179804325
1,1 0,1 0, 00006 6×10− < 10−
[ 1,1] 1000,062681≈0,06 %
1,1 ≈ 0,095250438266967 10−
b) Para obtener seis decimales exactos, el error |ℎ| maximizado, lo acotamos por 10−.
|ℎ| ℎ+ 1 < 10−
|0,1| 0,1+ 1 10−+
1 10−+ 1 < 10− 0,000001 ⟹ 10−+
10− < 1
⟹ 10−+ < 1
0 10−+ 10− 10 < 0 1 1 ×
1 10−+ 10− 10 < 1 1 2 ×
2 10−+ 10− 10 < 2 1 3 ×
3 10−+ 10− 10 < 3 1 4 ×
4 10−+ 10− 10 < 4 1 5 ×
5 10−+ 10− 10 1 < 5 1 6 ⟹
1,1 0, 095310 179804325
1 0, 1 1,1 ≈ 0,1 0 , 1 0,12 0,13 0,12 0,13 0,0953103̅
1,1 ≈0,0953103̅