FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011 [Fernando Acero ] p. 1 de 7 Ejercicio 1. Para el campo escalar ( ) { se pide: (a) determinar y graficar, para k = 0, 1, 1, los conjuntos de nivel 1 C k (); (b) Analizar la continuidad y diferenciabilidad en P 0 = (0, 0). Figura 1. Cada una de las tres curvas de nivel y las tres juntas. Observar el punto blanco, que pertenece a la curva de nivel k = 0 (a) Por definición del campo escalar, es inmediato que el conjunto de nivel cero coincide con los ejes cartesianos, esto es: C 0 () = {(x, y) 2 : x = 0 y = 0}. Por otra parte, llamando H = 2 {P 0 }, es C 1 () ={(x, y) H: x = y 2 }, mientras que C 1 () ={(x, y) H: x = y 2 }. Observar con atención que P 0 pertenece a C 0 () pero no a C 1 () ni a C 1 (). (b) En P 0 el campo tiene una discontinuidad esencial: basta considerar el límite por los conjuntos de nivel (observar que P 0 es un punto de acumulación de cualquiera de ellos 2 ) determinados en (a): se concluye que no existe el límite del campo en ese punto. La diferenciabilidad, por lo tanto, está descartada (aceptando que sabemos que la continuidad en un punto es condición necesaria de la diferenciabilidad en ese punto) 3 . Ejercicio 2. Sea el campo escalar (x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 3 (x1) 2 /2 (y2) 2 + 2 (x1) (y2), mientras que la función escalar h: →es de clase C 2 (2 ) y satisface h’(t) > 0 para todo t en . Estudiar los extremos de y clasificarlos. El campo escalar = h o g es de clase C 2 (2 ), esto es : 2 → , dado que es la composición de una función escalar h que es de clase C 2 (2 ) y un campo escalar g (¡es un polinomio!) que es de clase C (2 ). Luego, sólo puede alcanzar un extremo en sus puntos estacionarios. La regla de la cadena 4 establece que para cualquier punto (x, y) del dominio del campo escalar sus funciones derivadas parciales son x : 2 → tal que x (x, y) = h’(g(x, y)) g x (x, y) = h’(g(x, y)) (3(x1) + 2(y2)), mientras que es y : 2 → tal que y (x, y) = h’(g(x, y)) g y (x, y) = h’(g(x, y)) (2(y2)+ 2(x1)), y como h’ (g(x, y) ) > 0, entonces los puntos estacionarios de coinciden con los de g: son los pares ordenados que satisfacen el sistema de ecuaciones (3(x1) + 2(y2) 2(y2)+ 2(x1)) = (0, 0), cuya solución establece el (único) punto crítico P 0 = (1, 2). Ahora se pueden obtener las funciones derivadas segundas deresultando: xx : 2 → tal que xx (x, y) = h’’(g(x, y)) [g x (x, y)] 2 + h’(g(x, y)) g xx (x, y); xy : 2 → tal que xy (x, y) = h’’(g(x, y)) g x (x, y) g y (x, y) + h’(g(x, y)) g xy (x, y); yy : 2 → tal que yy (x, y) = h’’(g(x, y)) [g y (x, y)] 2 + h’(g(x, y)) g yy (x, y), las que valuadas en P 0 [recodando que g x (P 0 ) = g y (P 0 ) = 0, g(P 0 ) = 2] dan xx (P 0 ) = 3 h’(2), xy (P 0 ) = 2 h’(2), yy (P 0 ) = h’(2) de modo que la matriz Hessiana de en P 0 es H (P 0 ) = h’(2) [ ], de modo que 5 en P 0 el campo escalar alcanza el máximo local h(g(P 0 ) = h(2). 1 Se recuerda que, por definición, es Ck(f) ≝ {(x, y) D: (x, y) = k, k R}, siendo : D2 →. 2 Observar que esta conclusión es general: si P0 es punto de acumulación de dos conjuntos de nivel, se tiene allí una discontinuidad esencial, dado que la unicidad del límite impide aceptar su existencia (leer con cuidado, explicar y probar esta afirmación es un breve y buen ejercicio que se recomienda). 3 Lo básico de límite y continuidad puede leerse en el texto clásico (Apostol 1980, 302-344). 4 El teorema de la derivada de la función compuesta se aplica al ser tanto h como g diferenciables en todos los puntos de sus respectivos dominios, lo que está asegurado largamente por su regularidad (h es de clase C 2 en su dominio, g es de clase C en su dominio) dado que es suficiente que un campo escalar sea C 1 en un punto para que sea allí diferenciable. Ver, por ejemplo, los textos de (Lang, Cálculo II 1976, 72-82) (Lang, Introducción al Análisis Matemático 1990, 282-290), siendo el segundo de mayor profundidad y alcance. 5 Aquí se apela al resultado que afirma que si el determinante de la matriz hessiana de un campo escalar de clase C 2 en un punto P0 es positivo como es el caso en el ejercicio, det[H(P0)] = 2 [h’(2)] 2 > 0 pues h’(2) es positivoentonces en P0 se alcanza un extremo, que es un máximo local si xx(P0) < 0, tal como sucede aquí, -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 x y gráfico de la curva C1(f) -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 x y gráfico de la curva C-1(f) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 x y gráfico de la curva Co(f) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 x y las tres curvas de nivel juntas
Transcript
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 1 de 7
Ejercicio 1. Para el campo escalar ( ) {
se pide: (a) determinar y graficar, para k = 0, 1,
1, los conjuntos de nivel1 Ck(); (b) Analizar la continuidad y diferenciabilidad en P0 = (0, 0).
Figura 1. Cada una de las tres curvas de nivel y las tres juntas. Observar el punto blanco, que pertenece a la curva de nivel k = 0
(a) Por definición del campo escalar, es inmediato que el conjunto de nivel cero coincide con los ejes cartesianos, esto es: C0() =
{(x, y) 2: x = 0 y = 0}. Por otra parte, llamando H = 2 {P0}, es C1() ={(x, y) H: x = y2}, mientras que C1() ={(x, y) H: x
= y2}. Observar con atención que P0 pertenece a C0() pero no a C1() ni a C1(). (b) En P0 el campo tiene una discontinuidad
esencial: basta considerar el límite por los conjuntos de nivel (observar que P0 es un punto de acumulación de cualquiera de
ellos2) determinados en (a): se concluye que no existe el límite del campo en ese punto. La diferenciabilidad, por lo tanto, está
descartada (aceptando que sabemos que la continuidad en un punto es condición necesaria de la diferenciabilidad en ese punto)
3.
Ejercicio 2. Sea el campo escalar (x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 3 (x1)2/2 (y2)
2 + 2 (x1) (y2), mientras que la función
escalar h: → es de clase C2(
2) y satisface h’(t) > 0 para todo t en . Estudiar los extremos de y clasificarlos.
El campo escalar = h o g es de clase C2(
2), esto es :
2 → , dado que es la composición de una función escalar h que es de
clase C2(
2) y un campo escalar g (¡es un polinomio!) que es de clase C(
2). Luego, sólo puede alcanzar un extremo en sus
puntos estacionarios. La regla de la cadena4 establece que para cualquier punto (x, y) del dominio del campo escalar sus
funciones derivadas parciales son x: 2 → tal que x(x, y) = h’(g(x, y)) gx(x, y) = h’(g(x, y)) (3(x1) + 2(y2)), mientras que es
y: 2 → tal que y(x, y) = h’(g(x, y)) gy(x, y) = h’(g(x, y)) (2(y2)+ 2(x1)), y como h’ (g(x, y) ) > 0, entonces los puntos
estacionarios de coinciden con los de g: son los pares ordenados que satisfacen el sistema de ecuaciones (3(x1) + 2(y2)
2(y2)+ 2(x1)) = (0, 0), cuya solución establece el (único) punto crítico P0 = (1, 2). Ahora se pueden obtener las funciones
derivadas segundas de resultando: xx: 2 → tal que xx(x, y) = h’’(g(x, y)) [gx(x, y)]
que valuadas en P0 [recodando que gx(P0) = gy(P0) = 0, g(P0) = 2] dan xx(P0) = 3 h’(2), xy(P0) = 2 h’(2), yy(P0) = h’(2) de modo
que la matriz Hessiana de en P0 es H (P0) = h’(2) [
], de modo que5 en P0 el campo escalar alcanza el máximo local
h(g(P0) = h(2).
1 Se recuerda que, por definición, es Ck(f) ≝ {(x, y) D: (x, y) = k, k R}, siendo : D 2 → . 2 Observar que esta conclusión es general: si P0 es punto de acumulación de dos conjuntos de nivel, se tiene allí una discontinuidad esencial, dado que la unicidad del límite impide aceptar su existencia (leer con cuidado, explicar y probar esta afirmación es un breve y buen ejercicio que se recomienda). 3 Lo básico de límite y continuidad puede leerse en el texto clásico (Apostol 1980, 302-344). 4 El teorema de la derivada de la función compuesta se aplica al ser tanto h como g diferenciables en todos los puntos de sus respectivos dominios, lo que está
asegurado largamente por su regularidad (h es de clase C2 en su dominio, g es de clase C en su dominio) dado que es suficiente que un campo escalar sea C1 en un punto para que sea allí diferenciable. Ver, por ejemplo, los textos de (Lang, Cálculo II 1976, 72-82) (Lang, Introducción al Análisis Matemático 1990, 282-290), siendo el segundo de mayor profundidad y alcance. 5 Aquí se apela al resultado que afirma que si el determinante de la matriz hessiana de un campo escalar de clase C2 en un punto P0 es positivo como es el caso
en el ejercicio, det[H(P0)] = 2 [h’(2)]2 > 0 pues h’(2) es positivo entonces en P0 se alcanza un extremo, que es un máximo local si xx(P0) < 0, tal como sucede aquí,
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva C1(f)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva C-1(f)
-2 -1 0 1 2
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva Co(f)
-2 -1 0 1 2
-2
-101
2
xy
las tres curvas de nivel juntas
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 2 de 7
Observación. Este ejercicio admite una resolución inmediata observando que los únicos extremos de se producen en los mismos lugares y son de la misma naturaleza que los de g [¡probar esto, argumentando con el hecho de que h es estrictamente creciente!], y los de g son ‘visibles’ si se observa con atención que g coincide con su polinomio de Taylor en P0, que es un punto estacionario por ausencia de la parte lineal.
Ejercicio 3. Dado el sistema { 2u + v = x, 4ev y v = 4y}, siendo P0 = (x0, y0, u0, v0) = (2, 1, 1, 0) y A0 = (x0, y0) = (2, 1) se pide: (a)
Probar que el sistema define implícitamente los campos escalares u = u(x, y), v = v(x, y) en un entorno de A0; (b) Si w(x, y) ≝ [u(x, y)]
2, estimar mediante una aproximación lineal el valor de w en A1 = (1.98, 1.1).
Definiendo los campos escalares de clase C( 4) dados por:
4 → tal que (x, y, u, v) = 2u + v x, g:
4 → tal que g(x, y, u,
v) = 4ev y v 4y, se tiene que(P0) = g(P0) = 0, fx(P0) = 1, fy(P0) = 0, fu(P0) = 2, fv(P0) = 1, gx(P0) = 0, gy(P0) = 4, gu(P0) = 0, gv(P0)= 3,
( )
( )( ) (
) se concluye6 que existe un entorno E(A0) del punto A0 en el que el sistema de ecuaciones
Ejercicio 4. Determinar la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas (k ) dada por y = k (x+1), graficando la que pasa por el punto P0 = (0, 2) y su correspondiente trayectoria ortogonal.
Figura 2. La familia de curvas dada y sus trayectorias ortogonales, señalándose en rojo la pareja recta-circunferencia que pasa por
el punto P0 = (0, 2) destacado en blanco. Las curvas no se ven ortogonales: ¿por qué?
El resultado se anticipa de inmediato observando que la familia dada es el haz de rectas que pasa por el punto A0 = (1, 0), de modo que la familia ortogonal la constituyen las circunferencias centradas en A0. La recta que acierta a pasar por el punto P0 se obtiene para k = 2, de modo que su ecuación es y = 2(x+1); por otra parte, la circunferencia centrada en A0 que pasa por P0 debe
tener un radio cuyo cuadrado es 2 = 1
2 + 2
2 = 5, de modo que su ecuación debe ser (x+1)
2 + y
2 = 5.
Se llega al mismo resultado considerando que la ecuación diferencial de la familia dada es y = y’ (x+1), de modo que la de sus trayectorias ortogonales es (x+1) + y y’ = 0, lo que es lo mismo que [½ (x+1)
2 + ½ y
2]’ = 0 de modo que debe ser (x+1)
2 + y
2 = c, con
c constante real positiva. El valor de c para que la circunferencia pase por P0 resulta de escribir (0+1)2 + 2
2 = c.
pues es de clase C2 en todo su dominio, y xx(P0) = 3 h’(2) es negativo pues h’(2) es positivo. Una lectura acerca de extremos se encuentra en (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968, 201 ss.). 6 Teorema de Cauchy-Dini, ver por ejemplo el texto (Marsden y Tromba 1991, §4.4, 280-289).
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
La familia de rectas y = k(x+1) y sus trayectorias ortogonales; en rojo, la circunferencia (x+1) 2+y2=1, y la recta y = 2(x+1)
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 3 de 7
Ejercicio 5. Determinar los puntos P0 = (x0, y0, z0) 3 y los valores de c para los que el vectorv = (1, 1, 2) resulte, en el
punto P0, tangente a la curva C intersección de las superficies S1 = {(x, y, z) 3: x2 + y
2 = 2cx} y S2 = {{(x, y, z) 3: z = 4 x
2 y
2 }.
Figura 3. La curva (blanca) es la intersección entre el cilindro y el paraboloide. Se señalan con círculos verdes los puntos que
pertenecen a la curva y cumplen que sus vectores tangentes (verdes) sean paralelos al vector dadov
La curva plana7 C es la intersección de dos superficies S1 y S2 que son el conjunto de nivel cero de sendos campos escalares C(
3)
dados por f1: 3 → tal que f1(x, y, z) ≝ x
2 + y
2 2cx, f2:
3 → tal que f2(x, y, z) ≝ x
2+ y
2 + z 4, y por lo tanto en P0 la superficie
S1 es normal af1(P0) = (2x02c, 2y0, 0), mientras que en P0 la superficie S2 es normal af2(P0) = (2x0, 2y0, 1). Dado que la curva C en está contenida en S1 y en S2, un vector tangente en P0 pertenece al plano tangente de ambas en ese punto, debiendo
entonces ser normal tanto alf1(P0) como alf2(P0), esto es debe serv = (1, 1, 2) un múltiplo del vectorf1(P0) f2(P0) =
2(y0, cx0, 2cy0). De este modo, debe existir un número real tal que (y0, cx0, 2cy0) = (1, 1, 2), de donde deben cumplirse
las ecuaciones [y0 = , cx0 = , 2cy0 = 2] y entonces debe ser y0 = c y0 de donde resulta que necesariamente8 es c = 1. Ahora
basta reemplazar la relación y0 = x0 1 en la ecuación de S1 para obtener x0 = 1 1/2 con los correspondientes y0 = 1/2, con
los que, reemplazando en la ecuación de S2 resulta z0 = 2 2. De esta manera, resulta que los dos puntos que satisfacen la
Alternativa de resolución, tal vez más sencilla. Parametrizando la curva C por(t) = (c + c cos(t), c sin(t), 4 2c2 (1+cos(t)) se
tiene que su velocidad’(t) = c ( sin(t), cos(t), 2c sin(t)) debe se múltiplo dev = (1, 1, 2), de modo que sin(t) = , cos(t) = ,
c sin(t) = para algún real, de donde sin(t) = cos(t), lo que produce t01 = /4, t02 = 5/4, y como c sin(t) = sin(t) es c = 1. Los
puntos pedidos son entonces P01 =( t01) = (1 + 1/2, 1/2, 22), P02 =( t02) = (1 1/2, 1/2, 2+2), como antes.
Cuestiones abiertas por los ejercicios. En esta sección se pretende mostrar el carácter esencialmente abierto de los ejercicios
planteados fundamentalmente en dos direcciones: (a) variando las preguntas o su nivel de profundidad, (b) variando algunas precisiones del enunciado para analizar su impacto en las respuestas. Se presentan algunas de estas cuestiones a propósito de algunos de los ejercicios, entendiendo como muy bueno el trabajo de reflexionar sobre ellas y resolverlas. Ejercicio 1. Manteniendo el enunciado tal como se ha presentado, podría haberse preguntado acerca de sus derivadas parciales o
direccionales. Puede probarse (¡hacerlo!) que existen y son nulas las derivadas parciales de en P0, pero que las funciones
derivadas parciales no son continuas en P0; también, que existen todas las derivadas direccionales en P0, y llamandov al versor
que indica la dirección, probar que v (P0) = 0 siv es cualquiera de los versores canónicos o sus opuestos, mientras que v
(P0) = (v ) en caso contrario. Siempre con las derivadas direccionales, podría ser interesante probar que en P0 las derivadas direccionales no están acotadas ni inferiormente ni superiormente: el trabajo consiste en mostrar, que para cualquier número M
positivo (negativo) existe un versorvM tal que (vM ) es mayor (menor) que M. Esto bastaría para probar indirectamente que el
campo escalar no puede ser diferenciable en P0 (¿por qué?). Ahora, cambiando ligeramente la definición de la función,
7 ¿Por qué es plana? Probar ese hecho, determinando de modo explícito cuál es el plano en que yace la curva C, hacer un gráfico que muestre la intersección del cilindro S1 con el paraboloide S2 y visualizar en ese gráfico el plano al que pertenece la curva. 8 ¿Por qué se descarta la opción y0 = 0? Se recomienda el ejercicio de seguir esta pista, reemplazando y0 = 0 para fundamentar qué es lo que permite rechazar esta opción, y así concluir que c = 1 es la única solución consistente con los datos.
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 4 de 7
( ) {
, cabe preguntar cómo se modifican si se modifican las mismas cuestiones ya
respondidas, para los diferentes valores del parámetro real (está claro que para = 0 se tiene el ejercicio original). Solamente
para ejemplificar, si = 1, existe un impacto sobre los conjuntos de nivel, que ahora resultarían: C0() = {(x, y) 2: x 0, y = 0};
C1() ={(x, y) 2: x = y2 x = 0}: llamando H = 2 {P0}, es C1() ={(x, y) H: x = y
2}. Observar con atención que P0 pertenece
a C1() pero no a C1() ni a C0(). En este caso el gráfico original se cambia en el siguiente.
Figura 4. Variante de las curvas de nivel para = 1 en la definición del campo escalar
Lo que se sugiere es responder todas las cuestiones originales para todo real, incluyendo las añadidas respecto a las derivadas parciales y direccionales.
Figura 5. Tomado de (Apostol 2001, 257)
Finalmente, puede verse en la reproducción de la figura anterior, un ejemplo muy similar al presentado en esta evaluación,
recogido del libro de texto de Tom Apostol (2001, 257). Interesa prestar especial atención al párrafo final que se ha subrayado donde se señala la imposibilidad de concluir acerca de la continuidad con la sola información de la existencia de las derivadas direccionales. Ejercicio 2. El enunciado incluye una condición para la función escalar: h’(t) > 0 para cualquier valor real t. ¿Cómo variarían las respuestas cambiando solamente esa condición por cada una de las siguientes?: (a) h’(t) < 0 para cualquier valor real t; (b) h’(2) > 0; (c) h’(2) < 0. Ejercicio 5. La curva C que es la intersección entre dos superficies, un cilindro y un paraboloide se puede asimismo expresar como la intersección de infinitos pares de superficies, además de las dos dadas en el enunciado de este ejercicio. Son particularmente
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva C1(f)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva C-1(f)
-2 -1 0 1 2
-2
-101
2
x
y
gráfico de la curva Co(f)
-2 -1 0 1 2
-2
-101
2
x
y
las tres curvas de nivel juntas
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 5 de 7
interesantes, y relevantes desde el punto de vista histórico, los llamados cilindros proyectantes en los que una tal curva yace, como lo señala la siguiente cita de un texto clásico de Historia de la Matemática. Clairaut published a celebrated treatise, Recherches sur les courbes à double courbure, the substance of which had been presented to the Académie two years earlier. […] The treatise of Clairaut carried out for space curves the program that Descartes had suggested almost a century earlier—their study through projections on two coordinate planes. It was, in fact, this method that suggested the name given by Clairaut to gauche or twisted curves, inasmuch as their curvature is determined by the curvatures of the two projections [...]. This book by the teenage Clairaut constitutes the first treatise on solid analytic geometry. (Boyer y Merszbach 1989, 402). Uno de los cilindros proyectantes es, por supuesto, el cilindro del enunciado mismo. Otro de ellos se obtiene eliminando la
variable ‘y’ de las ecuaciones dadas por x2 + y
2 = 2x, z = 4 x
2 y
2, resultando que degenera en el plano de ecuación 2x + z = 4 (es
el plano en el que está contenida la curva C). El tercero, eliminando la variable ‘x’, el cilindro elíptico de ecuación 4 y2 + (z2)
2 = 4.
Graficando las curvas como la intersección de dos pares cualesquiera de estos cilindros, se obtienen visualizaciones que fueron el punto de partida de las estrategias utilizadas por Clairaut para caracterizarlas. En las figuras siguientes se muestra la curva como intersección de un par de cilindros. Se propone como ejercicio graficarla como intersección del par restante.
Figura 6. La curva C como intersección del cilindro y el plano de ecuaciones: x2 + y
2 = 2x, 2x + z = 4
Figura 7. La curva C como intersección del cilindro y el plano de ecuaciones: (z2)2 + 4y
2 = 4, 2x + z = 4
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 6 de 7
Algunas cuestiones teóricas. Dados algunos resultados o definiciones que se reproducen, tomados de libros de texto clásicos,
tiene interés establecer dónde intervienen o se aplican los resultados o definiciones reproducidas.
Figura 8. Este es un fragmento del texto de (Apostol 2001)¿en qué parte de esta resolución se utilizó?
Figura 9. Tomado del libro (Marsden y Tromba 2003, 216). Identificar en qué sección de este documento fue utilizado.
Figura 10. Del mismo texto que la figura anterior. Identificarlo e indicar de qué manera intervino en la resolución. Descubrir,
además, una discrepancia entre el lenguaje utilizado en la asignatura y el que emplea en este teorema el autor para designar el
sujeto del que se predica el extremo (lo mismo sucede en la reproducción anterior fragmento)
FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 29 de mayo de 2011
[Fernando Acero ] p. 7 de 7
Referencias
Apostol, Tom. Calculus volumen 2. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones
diferenciales y a las probabilidades. Segunda edición en castellano [Original: Calculus II, Multi-variable calculus and
linear algebra. with applications to differential equations and probabilty]. Traducido por Francisco Vélez Cantarell. Vol.
II. 2 vols. Barcelona: Reverté, 1980.
—. Calculus. Volume II. Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability.
Segunda edición. Vol. II. 2 vols. New York: John Wiley & Sons, 2001.
Boyer, Carl Benjamin, y Uta Merszbach. A history of mathematics. Segunda edición. Republic of Singapore: John Wiley & Sons,
1989.
Lang, Serge. Cálculo II. Primera edición. Traducido por Hugo Pereyra. México D. F.: Fondo educativo interamericano, 1976.
—. Introducción al Análisis Matemático. Primera edición. [Original 1968, Undergrauate Analysis]. Traducido por Manuel López
