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i
HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES
ii
iii
Arturo Rocha Felices
HIDRAULICA DE
TUBERIAS Y CANALES
xi
CAPITULO I INTRODUCCION
1.1 Objetivo del libro
1.2 Esquema del contenido general
1.3 Diferencias entre canales y tuberías
1.4 Tipos de flujo
1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal
1.7 Efecto de la viscosidad
1.8 Efecto de la gravedad
1.9 Concepto de distribución de velocidades
1.10 Coeficiente de Coriolis
1.11 Coeficiente de Boussinesq
1.12 Discusión de los valores de y
1.13 Relación entre los coeficientes y
1.14 Otros estudios sobre los coeficientes y
1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Problemas propuestos
1
1
3
4
7
9
11
15
15
21
23
24
25
27
32
38
CONTENIDO
Presentación v
Prólogo vii
Palabras Preliminares del Autor ix
Indice de Figuras xvi
Indice de Tablas xxi
Lista de Símbolos Principales xxiii
xii
43
46
52
55
62
69
72
75
76
79
82
87
91
94
95
98
101
103
104
109
CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME
2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías
2.2 Relación entre el corte y la inclinación
2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para un canal muy ancho con movimiento laminar
2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad
media para una tubería con movimiento laminar
2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
conductos lisos
2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el
movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso
2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en
conductos rugosos
2.9 Obtención de la ecuación de Chezy
2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e
hidráulicamente rugosos
2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl
Problemas propuestos
CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO
UNIFORME
3.1 Ecuación de Darcy
3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares)
3.3 Tuberías hidráulicamente lisas
3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de
Nikuradse
3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de
distribución de velocidades
3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de
Colebrook - White
3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.
Errores
3.8 Tuberías de sección no circular
xiii
3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades
3.10 Concepto de capa límite
3.11 Espesor de la capa límite
3.12 Desarrollo de la capa límite
3.13 La separación. Expansión de un conducto
Problemas propuestos
CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS
4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea
piezométrica
4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo
4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)
4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales
4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)
4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes
4.7 Tuberías en serie
4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación
4.9 Tubería con boquilla convergente final
4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo
Problemas propuestos
CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES
5.1 Tuberías en paralelo
5.2 El problema de los tres reservorios
5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos
5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
5.5 Conducto que da servicio (filtrante)
5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo
5.7 Fórmula de Hazen y Williams
5.8 Diseño de una conducción
5.9 Diámetro más económico
5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
Problemas propuestos
Problemas complementarios
111
121
123
125
126
130
135
138
150
163
166
168
170
174
177
180
186
193
199
205
210
211
215
218
223
228
229
237
249
xiv
CAPITULO VI CALCULO DE CANALES
6.1 Condiciones normales
6.2 Fórmulas antiguas
6.3 Fórmula de Manning
6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a
emplearse en la fórmula de Manning
6.5 Determinación de la sección transversal
6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)
6.7 Concepto de borde libre
6.8 Cálculo de canales de sección compuesta
6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno
Problemas propuestos
CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
7.2 Energía específica a gasto constante
7.3 Sección rectangular
7.4 Sección parabólica
7.5 Sección triangular
7.6 Sección trapecial
7.7 Sección circular y otras secciones
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, LS )
7.10 Transiciones
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
energía específica
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
7.13 Salto hidráulico
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Problemas propuestos
CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1 Introducción
8.2 Definiciones fundamentales
257
260
265
271
272
281
288
292
296
317
323
325
335
347
350
353
361
365
369
371
377
378
382
387
389
395
399
xv
8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado
8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico
8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
8.7 Curva de remanso
Problemas propuestos
CAPITULO IX VERTEDEROS
9.1 Objeto de los vertederos. Tipos
9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
9.3 Fórmula de Francis
9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares
9.5 Vertederos triangulares
9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos
9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
9.9 Vertederos laterales
9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error
en la medición de la carga
9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero
9.12 Vertedero sumergido
Problemas propuestos
Tablas Generales
Referencias Bibliográficas
401
407
409
418
423
451
455
466
469
471
478
483
485
487
490
492
493
497
502
507
513
xvi
INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3
Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4
Figura 1.3 Tipos de flujo 5
Figura 1.4 Movimientos variados 6
Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8
Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10
Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10
Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para
varios fluidos 13
Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
diferentes gases y líquidos 14
Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para
varios tipos de aceite 14
Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16
Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17
Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17
Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18
Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18
Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19
Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19
Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20
Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20
Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28
Figura 1.19 Ecuación de la energía 33
Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35
xvii
Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44
Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45
Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46
Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48
Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49
Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y
(b) en una tubería 51
Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53
Figura 2.8 Subcapa laminar 65
Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la
distribución de velocidades 67
Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71
Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73
Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78
Figura 2.13 Aspereza del contorno 80
Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80
Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91
Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98
Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99
Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100
Figura 3.5 Flujo paralelo 122
Figura 3.6 Generación de una capa límite 122
Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123
Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124
Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126
Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127
Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127
Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128
Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128
Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135
Figura 4.2 Abaco de Moody 140
xviii
Figura 4.3 Pérdida de carga local 150
Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155
Figura 4.5 Contracción brusca 157
Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170
Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171
Figura 4.8 Esquema de un sifón 175
Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178
Figura 4.10 Presencia de una bomba 180
Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181
Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194
Figura 5.4 Tubería ramificada 196
Figura 5.5 Tres reservorios 199
Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200
Figura 5.7 Cuatro reservorios 202
Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206
Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210
Figura 5.10 Conducto que da servicio 211
Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214
Figura 5.12 Diseño de una conducción 223
Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224
Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227
Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230
Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se
caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274
Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278
Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290
Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291
Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297
Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301
xix
Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal
rectangular 339
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351
Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358
Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363
Figura 7.11 Grada positiva en un río 373
Figura 7.12 Grada negativa en un río 373
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la
Energía Específica 378
Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza
Específica 378
Figura 7.19 Fuerza Específica 380
Figura 7.20 Salto hidráulico 382
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399
Figura 8.4 Ríos y torrentes 400
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402
xx
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy 408
Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426
Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
maxy determinado por la condición de entrega al lago. 427
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
miny determinado por la grada. 427
Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456
Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre
( HP ) 457
Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459
Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente
en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada.
Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461
Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463
Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464
Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464
Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465
Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un
vertedero rectangular 466
Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK 473
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485
Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en
cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486
Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488
Figura 9.17 Vertedero lateral 491
Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493
Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497
Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de
un vertedero sumergido 498
xxi
INDICE DE TABLAS
Tabla 1.1 Valores aproximados de y (Kolupaila) 25
Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30
Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74
Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144
Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158
Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160
Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216
Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219
Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236
Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259
Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se
usa en los diseños 262
Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la
fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263
Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la
fórmula de Bazin 264
Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos
factores sobre el coeficiente n 273
Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304
Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309
Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311
Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313
Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315
Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316
Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3/s/m) 345
xxii
Tabla 7.2 Secciones críticas ( gVyE cc 22⌡ ) 360
Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento
gradualmente variado 416
Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436
Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458
Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481
Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490
Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496
Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499
xxiii
LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES
A Area de la sección transversal
SA Area de la sección transversal de salida
a Rugosidad absoluta
a Altura de una grada
B Ancho de fondo
b Ancho
b Longitud de la cresta de un vertedero
..lb Borde libre
C Coeficiente de Chezy
HC Coeficiente de Hazen y Williams
c Coeficiente de descarga en vertederos
cc Coeficiente de contracción
vc Coeficiente de velocidad
D Diámetro de la tubería
d Tirante hidráulico
E Energía
e Constante de los logaritmos neperianos
F Número de Froude
fF Fuerza debida a la fricción
f Coeficiente de Darcy
G Coeficiente de rugosidad de Bazin
H Carga de agua
H Energía total con respecto a un plano de referencia
bombaH Energía suministrada por una bomba
SH Altura de succión
iH Altura de impulsión
fh Pérdida de carga o energía
xxiv
ih Altura del salto hidráulico
loch Pérdida de carga local
rozh Pérdida de carga por rozamiento
vorth Pérdida de carga por la formación de vórtices
Vh Energía de velocidad o cinética
K Coeficiente de pérdida de carga
K Factor de capacidad
nK Factor de capacidad para condiciones normales
k Rugosidad absoluta
0k Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)
tk Rugosidad después de transcurrido el tiempo t
L Longitud de un vertedero
eL Longitud equivalente
L. E. Línea de energía
L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica
M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas
m Relación de máxima eficiencia hidráulica
m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter
N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme
N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido
n Coeficiente de Kutter
n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades
P Umbral de un vertedero
P Perímetro
P Fuerza hidrostática
p Presión
vp Presión absoluta de vaporización
Pot Potencia
Q Caudal o gasto
nQ Gasto para un flujo normal
xxv
cQ Gasto crítico
q Caudal o gasto específico
R Radio hidráulico
Re Número de Reynolds
r , or Radio de la tubería
S Pendiente
S Pendiente media
cS Pendiente crítica
ES Pendiente de la línea de energía
LS Pendiente límite
WS Pendiente de la superficie libre
0S Pendiente del fondo
T Ancho superficial
T Temperatura
V Velocidad media
cV Velocidad crítica
hV Velocidad a la distancia h del contorno
maxV Velocidad máxima
*V Velocidad de corte
W Peso
w Velocidad de caida de una partícula
y Tirante
y Eje de coordenadas
cy Tirante crítico
ny Tirante normal
y Profundidad del centro de gravedad
Z Factor de sección
cZ Factor de sección para flujo crítico
z Elevación con respecto a un plano de referencia
xxvi
Coeficiente de Coriolis
1 Velocidad de aumento de la rugosidad
Coeficiente de Boussinesq
Espesor de la subcapa laminar
L Espesor de la capa límite laminar
T Espesor de la capa límite turbulenta
Constante de Karman
Densidad del fluido
Peso específico
Eficiencia de la bomba
Viscosidad dinámica o absoluta
Viscosidad cinemática
Esfuerzo de corte
0 Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno
h Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno
0 Esfuerzo medio de corte sobre el fondo
Angulo
E Variación de energía
p Diferencia de presiones
xxvii
1
IntroducciónCapítulo I
1.1 Objetivo del libro
El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulicay Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otrasaplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir elescurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, seofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.
El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridosanteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuacionesde Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.
En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite opetróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangencialesen el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.
1.2 Esquema del contenido general
Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente
Capítulo I: Introducción.Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribuciónde velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.
CAPITULO IINTRODUCCION
2
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Capítulo II. Movimiento uniforme.Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos derugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación deChezy.
Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Conceptode capa límite. El fenómeno de separación.
Capítulo IV. Diseño de tuberías.Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidadcon el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.Bombeo.
Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.
Capítulo VI. Cálculo de canales.Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficienten . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptosde borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.
Capítulo VII. Energía específica y Momenta.Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidadcrítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.Su uso como disipador de energía.
Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendientefuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos delmovimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.
Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.
3
IntroducciónCapítulo I
1.3 Diferencias entre canales y tuberías
Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.
El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería ellíquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre elcontorno. (Figura 1.1).
La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,sino en el comportamiento hidráulico.
Superficie libre
TUBERIA CANAL
Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías
En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamentepor la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y es el peso específicodel fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,se denomina cota piezométrica.
zcapiezométriCota
pzh ⌡ (1-1)
ph (1-2)
En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse decualquier fluido (líquido o gaseoso).
El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no esnecesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto dedesagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Alhaber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto eshidráulicamente un canal.
4
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Piezómetro
Plano de referencia
h
z
Figura 1.2 Esquema de un piezómetro
En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Haytuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferenciasentre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad delcontorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro devinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados deaspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas comolas anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.
En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que losproblemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.
En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa unavariación en la sección.
La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede serde ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.
A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posibleestudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.
1.4 Tipos de flujo
Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presentavariaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una
5
IntroducciónCapítulo I
sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.
El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.
Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal nocambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas lascaracterísticas hidráulicas. Hay impermanencia.
Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimentade un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).
Nivel de la superficie libre
Q
Figura 1.3 Tipos de flujo
Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presentavariaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, siobservamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemosque el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a uncaso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de latubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no espermanente. Es impermanente. Es variable.
Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, enuna tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se produciráuna onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquierahabrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Estefenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.
Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las característicashidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho
6
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta deun estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniformeporque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.
El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,presión o cualquier otra característica hidráulica.
Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamentevariado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hayfuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es unmovimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).
Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de lascaracterísticas hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una granlongitud. De acá su nombre de gradual.
Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá unacierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición oempalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influenciade la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, seproduce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmentevariado M. G. V. (Figura 1.4)
M. uniforme M. G. V.
y
Figura 1.4 Movimientos variados
En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambioen el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es
gradualmente variado.
No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de sergradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).
7
IntroducciónCapítulo I
Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problemapráctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimientorápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.
Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Eséste el más frecuente en los problemas de ingeniería.
Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación delrégimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimende corriente con respecto al tiempo.
Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad,éste puede ser tanto en magnitud como en dirección.
En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en launidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando secalcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1.
Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad defluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante
constanteAV
siendo la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidadmedia de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación decontinuidad es
constanteQVAVA 2211 (1-3)
A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media
AQV (1-4)
1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
La forma más conocida del teorema de Bernoulli es
constantezpg
V ⌡⌡2
2
(1-5)
8
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en unmovimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal).
Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de pesodel fluido.
V 2
g21 2V2
p
12p
1z z 2
E
g2
Línea de corriente
Plano de referencia
1 2
Figura 1.5 Teorema de Bernoulli
Al primer término gV 22 , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía
cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte delreposo, para adquirir la velocidad V .
Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa laenergía potencial y constituye la cota piezométrica.
El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energíacinética y la potencial es constante.
En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma deBernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente
En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2.
Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energíaperdida, sino transformada en calor debido a la fricción.
La ecuación de la energía para un fluido real es entonces
2122
22
11
21
22 �⌡⌡⌡⌡⌡ fhzp
gVzp
gV
(1-6)
9
IntroducciónCapítulo I
o bien,
2121 �⌡ fhEE (1-7)
V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un planohorizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos seccionesconsideradas), es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.
E es la energía total, 21�fh es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.
En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constantepara toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente yotra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presioneses hidrostática.
1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal
Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que elescurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.
Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.
Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregulary variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido porpartículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lechomóvil. Ver Figura 1.15d.
Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular.Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático.
Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.
Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetromojado de un conducto hidráulico.
PAR (1-8)
Para una tubería de sección circular se tiene
4DR (1-9)
10
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenersefácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.
En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como semuestra en la Figura 1.6
A
T
P (Perímetro mojado)
y
Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal
Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A
y el ancho superficial T .
TAd (1-10)
Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie
libre.
Radio hidráulico en un canal muy ancho
Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es uncanal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.
Figura 1.7 Radio hidráulico en un canalmuy ancho
byA ybP 2⌡
by
yyb
byR212 ⌡
⌡
y
b
11
IntroducciónCapítulo I
En un canal muy ancho by es muy pequeño y se puede considerar
yR (1-12)
Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.
1.7 Efecto de la viscosidad
El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimientose expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.
El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión
VLRe (1-13)
siendo
V : velocidad media del escurrimientoL : longitud característica
: viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad
dinámica o absoluta ( ) y la densidad del fluido ( )
En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de latubería
VDRe
Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radiohidráulico
VRRe
y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.
En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.
La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando semenciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o seaque se debe señalar cual es la longitud característica.
12
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasviscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes quelas de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.
El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos sellama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetrotiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en laque paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujose hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el casoinverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando lavelocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hayun límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más,dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores.
En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que correspondeaproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está enla ecuación 1-9.
El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través demedios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas deingeniería.
La viscosidad absoluta o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un
esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistemaabsoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional.
En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m2. En el sistema C. G. S. (absoluto) se mideen gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise
scmmasagr1poise1�
�
La viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad
. Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke
scm1stoke1 2
En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con latemperatura.
Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, EditorialDossat.
13
IntroducciónCapítulo I
Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para variosfluidos (p.e. es el peso específico relativo)
Glicerina Fuel Oil(p.e. = 0,97)
Fuel Oil(p.e. = 0,94)
SAE 30 Helio
Hidrógeno
SAE 10
Petróleo crudo (p.e. = 0,93)
Metano
Aire y oxígeno
Amoníaco
Anhidrido carbónico
Salmuera (20% NaCl)
Petróleo crudo(p.e. = 0,86)
Benceno
Kerosene
Alcohol etílico
Agua
Tetracloruro de carbono
Gasolina(p.e. = 0,68)
Mercurio10
-7
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
8
6
4
2
4
2
68
4
2
6
8
4
2
6
8
4
2
6
8
6
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
8
0o o50 o100
50o0 o 100o
2
sm
T ºC
14
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
15
IntroducciónCapítulo I
1.8 Efecto de la gravedad
El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condicionesdel escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.
El número de Froude ( F ) tiene por expresión
gLVF (1-14)
siendo
V : velocidad media
g : aceleración de la gravedad
L : longitud característica
El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud
característica el tirante hidráulico d Por lo tanto
gdVF (1-15)
Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona dela corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todoel escurrimiento.
El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasgravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influenciade la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número deReech-Froude.
1.9 Concepto de distribución de velocidades
En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada puntode la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.
Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de lasección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definenbásicamente la curva de distribución de velocidades.
16
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia delcontorno es simétrica y perfectamente definida.
En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hayinfluencia del fondo.
Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de
la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en la superficie. Enel fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidadeses el siguiente
Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso
del fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución
de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.
En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canalrectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparecedebajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de loslados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales
para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura
1.15b.
En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se
muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para 2Dh se obtiene la velocidad máxima.
Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidades cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).
Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal
Vy
h
h
17
IntroducciónCapítulo I
La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y elalineamiento del canal.
Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrolladay la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima alcontorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.
Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millonespodría tenerse la siguiente distribución de velocidades
En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande entoda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipoparabólico (ver Figura 1.12).
Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribuciónde velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).
Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución develocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera unfluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes.
h = D2
D
Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería
Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento
D
18
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtieneturbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conllevaun aumento del grado de turbulencia.
En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de lassecciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influenciade las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces unadistribución transversal de velocidades.
Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquemade la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen lospuntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidadmedia. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidadque es el doble de la velocidad media.
En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidadtípicas para diferentes secciones transversales.
El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantesde la curva de distribución de velocidades.
D
Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar
Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)
D
19
IntroducciónCapítulo I
Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial
Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales
2,01,5
1,00,5
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
2,5
2,0
1,51,00,5
2,52,0
1,5
1,0
0,5
(a)Canal circular poco profundo
(d)Canal natural (río)
(b)Canal rectangular angosto
(c)Canal circular parcialmente lleno
20
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman asípor no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largodel conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamientose desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujoprincipal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".
Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. Laresistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí laenergía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión quese produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior yque debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior.
La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidadesserá analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de laFigura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,según que el contorno sea liso o rugoso.
Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo
Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos
A
A
SECCION A - A
Liso
Rugoso D
21
IntroducciónCapítulo I
A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto
dAVQ h (1-16)
1.10 Coeficiente de Coriolis
El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 estableceque la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significaque cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.
Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es hVy la energía cinética correspondiente es gVh 22 . Pero, al ingeniero no le interesa trabajarcon líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.
Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de
presiones y por lo tanto la suma zp ⌡ , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas
las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes
líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.
Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el
promedio de los valores de gVh 22 . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se
tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca unaequivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a lavelocidad media.
Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de loscuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda lasección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de uncoeficiente que generalmente se designa con la letra y que recibe el nombre de coeficientede Coriolis ó coeficiente de energía.
Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV , quetiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es .
La energía en general se expresa por QH
Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3
dAVdQ h
22
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
y el valor de la energía cinética es
gVH h
2
2
para el tubo de corriente la energía resulta
gVdAV h
h 2
2
que equivale a
dAVh3
2
y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior
dAVh3
2
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando lavelocidad media se tendría
AV 3
2
para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor ocoeficiente de corrección al que se denomina
dAVAV h33
22
de donde,
AVdAVh
3
3
(1-17)
que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.
Obsérvese que representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energíareal y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.
dQ H
23
IntroducciónCapítulo I
Para canales prismáticos se tiene usualmente
36,103,1 (1-18)
1.11 Coeficiente de Boussinesq
El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se veafectado por la distribución de velocidades.
El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir dela velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente sedesigna con la letra y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficientede la cantidad de movimiento.
Para calcular el valor de pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV quetiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es .Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por QV
y para el tubo de corriente es
dAVh2
La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de laecuación anterior
dAVh2
Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de lavelocidad media se tendría
AV 2
para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o
coeficiente de corrección al que se denomina
dAVAV h2
luego,
AVdAVh
2
2
(1-19)
24
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.
El producto QV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en unasección dada.
Para canales prismáticos se tiene usualmente
12,101,1 (1-20)
1.12 Discusión de los valores de y
De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente se usará en los cálculos en losque intervenga la energía y el coeficiente en los cálculos en los que intervenga lacantidad de movimiento.
Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversalconsiderando como velocidad la velocidad media se obtiene
2122
22
211
21
1 22 �⌡⌡⌡⌡⌡ fhzp
gVzp
gV
(1-21)
Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de .
Es evidente que el uso de los coeficientes y depende de la exactitud con la que seestén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casosse justifica, considerar
1 (1-22)
Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.
A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la
distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición 1 .
En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.
Siempre se tendrá que puesto que en la expresión de VVh interviene al cuboy en la expresión de interviene al cuadrado.
En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de y son
grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar
25
IntroducciónCapítulo I
234 (1-23)
Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresionespara los valores de y
32 231 �⌡ (1-24)
21⌡ (1-25)
siendo
1�V
Vmax (1-26)
expresión en la que maxV es el valor de la velocidad máxima.
Como hemos señalado anteriormente los valores de y dependen del tipo de curvade distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidadmáxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.
Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valoresaproximados de y
TABLA 1.1VALORES APROXIMADOS DE Y (KOLUPAILA)
Tipo de cauce Min. Prom. Max. Min. Prom. Max.
Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07
Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17
Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,33
1.13 Relación entre los coeficientes y
Considerando que la velocidad puntual hV correspondiente a la distancia h del contorno,se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera
26
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
VVVh ⌡ (1-27)
siendo V el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirseque
0VdA (1-28)
Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que
dAVQ h
Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene
⌡ dAVVQ )(
⌡ VdAVAQ
de donde se concluye que la integral es nula.
Para calcular el valor de evaluaremos la integral
dAVV
Ah
31
que es la ecuación 1-17.
dAVV
AdA
VVV
AdA
VV
Ah
333
1111 ⌡⌡
dAVV
VV
VV
A⌡⌡⌡
32
3311
dAVV
AdA
VV
AdA
VV
A⌡⌡⌡
32 1331
Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y essiempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. Latercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con
27
IntroducciónCapítulo I
respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valorespositivos y negativos. Luego
dAVV
A⌡
231 (1-29)
Para calcular el valor hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se
obtiene de la ecuación 1-19
dAVV
AdA
VV
AdA
VV
Ah ⌡⌡
22 1211
La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego,
dAVV
A⌡
211 (1-30)
Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre
y
131 �� (1-31)
Expresión que evidentemente es aproximada.
1.14 Otros estudios sobre los coeficientes y
Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes y
. Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del
tipo
nh khV
1
(1-32)
expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia
al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad paravalores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución
28
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n . El valor de k no tieneninguna influencia sobre los valores de y .
Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factoresadimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo lasecuaciones genéricas de y (ecuaciones 1-33 y 1-34)
Los factores adimensionales son
HH1
1BB
1
2
BB
definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una seccióntransversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el taludesta formado por dos pendientes diferentes.
H1H
B
1BB2
Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss
Según la sección transversal se determinan los valores de , y con ayuda de laTabla 1.2.
Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes
1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de y son independientesdel tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución develocidades.
2. Para canales trapeciales los valores de y están influenciados además de ladistribución de velocidades, por la relación entre el ancho en el fondo B y el anchosuperficial 1B .
29
IntroducciónCapítulo I
30
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
TABLA 1.2
FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS
Factores adimensionales
FORMASECCION
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01 H ; 21 BB ; 1BB
01 H ; 0B ; 21 BB
01 H ; 21 BB ; 1BB
HH 1 ; 1BB ; 21 BB
HH 1 ; 1BB ; 12 BB
HH 1 ; 0B ; 21 BB
HH 1 ; 0B ; 21 BB
HH 1 ; 1BB ; 21 BB
'3022ºtg ; 21 BB
tg ; tg ; 21 BB
HH1
1BB
1
2
BB
0 1 1
0 0 1
0 10 1
10 10 1
10 1 1
10 0 1
10 0 1
10 10 1
0,4142 0,4142 1
1414,0 0,4142 0,4142
Rectángulo
Triángulo
Trapecio
Trapecio + Rectángulo
Trapecio + Trapecio
Triángulo + Rectángulo
Triángulo + Trapecio
Trapecio + Trapecio
Semicírculo (sustituye al semioctógano)
Semicírculo + Rectángulo
31
IntroducciónCapítulo I
3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), losvalores de y dependen de la forma de la sección expresada a través de losparámetros , y y de la distribución de velocidades en función de n .
4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de se presentanpara secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.
5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puededescribirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene
que los valores de están comprendidos entre 1,12 y 1,50.
6. Valores experimentales para obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canalescon pequeña pendiente a 1,85.
Papasov y Botcheva estudiaron los valores de y en ríos de Bulgaria de fondo móvil
y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio delos lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobreestas investigaciones.
Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribuciónde velocidades modifican los valores usuales de y . Después de estudiar tres ríosbúlgaros llegan a
97,4
056,01⌡V
Vmax
82,4
047,01⌡V
V xma
Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente de Boussinesq en un canal de
gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad deChile. Llegaron a la conclusión que para este caso
byc29,01⌡
expresión en la que cy es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.
32
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal
Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, sepresenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.
Se ha considerado que fh es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que enrealidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicablepara un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.
En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradientehidráulica.
Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecialcuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación delos lados).
Solución.
0,5
1
= 3 mb
= 0,80 my
T
Ancho superficial 80,340,0200,3 Ι⌡T m
Perímetro mojado 79,4894,0200,3 Ι⌡P m
Area 72,2A m2
Radio hidráulico 57,079,472,2 PAR m
Tirante hidráulico 72,080,372,2 TAd m
Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes y para un canal rectangular muy ancho, aceptando una
distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación
nh khV
1
k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).
33
IntroducciónCapítulo I
2V 2
p
2
2z
L. E.hf
L. P.
2V
g1
2
p
1
1z
L. P.
2V1
z 1
p
V22
2z
L. E. hf
= y
y1
y2
p = 0
Plano de referencia
Plano de referencia
2g
2g
2g
1 2
Figura 1.19 Ecuación de la energía
(a) Tubería
(b) Canal
Ecuación de la energía:
fhg
Vzpg
Vzp ⌡⌡⌡⌡⌡22
22
22
21
11
34
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión
dhVdq h
reemplazando la velocidad,
dhkhdq n1
El gasto es
dhVq h
y
n dhhkq0
1
La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,
y
dhhk
yqV
yn
0
1
Reemplazando en la ecuación 1-17
yy
dhhk
dhhk
AVdhV
yn
yn
h
3
0
1
0
33
3
3
211313
3
111
131
⌡⌡�⌡
⌡
⌡ nny
n
n
De donde,
nn
n⌡
⌡3
12
3
Haciendo un desarrollo similar se obtiene
nn
n⌡
⌡2
1 2
35
IntroducciónCapítulo I
Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente
h (m) hV (m/s)
0,05
0,10
0,30
0,50
0,70
0,90
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
El tirante es y = 0,95 m.
Calcular
a) el gasto específico qb) la velocidad media Vc) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.d) el coeficiente de Coriolise) el coeficiente de Boussinesqf) los valores de y aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados
anteriores.g) el número de Reynolds (T = 18 °C)
Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución develocidades
Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)
1,52
0,125
0,075
0,20
1,061,24
h
0,20
0,20
0,15
1,73
1,65
(m)
1,80
V (m/s)
0,95 m
36
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión
yh
hh hVq
0
En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dosconceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y lavelocidad mínima siempre está en el fondo.
Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constantede la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez paraque tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Laspartes no tienen que ser necesariamente iguales.
a) Según la figura
15080120073120065120052112502410750061 ,,,,,,,,,,,,q Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι⌡Ι
48,1q m3/s/m
b) 56,195,048,1
yq
AqV m/s
c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m
d) Para calcular hacemos el siguiente cuadro
hV 3hV A AVh .3
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
1,19
1,91
3,51
4,49
5,18
5,83
0,075
0,125
0,200
0,200
0,200
0,150
0,089
0,238
0,702
0,898
1,036
0,875
AVh3 = 3,838
06,195,056,1
838,33
Ι
= 1,06
37
IntroducciónCapítulo I
e) Para el cálculo de hacemos un cuadro similar
hV 2hV A AVh .2
1,06
1,24
1,52
1,65
1,73
1,80
1,12
1,54
2,31
2,72
2,99
3,24
0,075
0,125
0,200
0,200
0,200
0,150
0,084
0,192
0,462
0,545
0,599
0,486
AVh2 = 2,368
024,195,056,1
368,22
Ι
= 1,02
f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de paralo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.
15,0156,180,11 ��
VVmax
15,0
0225,02
003375,03
061,1231 32 �⌡ 06,1
0225,11 2 ⌡ 02,1
g) 18T ºC; 610� m2/s
66 10482,1
1095,056,1Re ΙΙ �
VR
38
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo I)
1. Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por
2
1
2
2
1
)(2
�
�
AA
hygAQ f
En donde 1A y 2A representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia
de cotas piezométricas es y . La pérdida de energía entre 1 y 2 es fh .
2. Calcular el valor de si = 1,2
3. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene
= 2 = 4/3
4. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación dedistribución de velocidades es
�44
2hDhgSVh
siendo h la distancia al contorno, la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de
la línea de energía; se cumple que
= 2 = 4/3
5. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es
71
231rhVVh ,
se cumple que = 1,07. Hallar el valor de .
39
IntroducciónCapítulo I
6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por
n
maxh rhVV
1
A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá conlos valores de ?
7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es
n
maxh dhVV � 1
La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje.
Calcular los valores de y
8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.
9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es
� 2
2
1o
maxh rrVV
r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV
Hallar los valores de y
10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 men B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m dediámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidadmedia en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.
11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.
12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.
13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). Lapresión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2. La longitud de latubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el númerode Reynolds.
40
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite deviscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2
y en el punto final de 3 Kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular elnúmero de Reynolds.
15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3/s de agua. La elevación del punto inicial Aes 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de2 Kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la líneapiezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de ladistancia AB.
16. Una tubería tiene en su primertramo 6" de diámetro y unavelocidad de 3 m/s. El segundotramo tiene 8" de diámetro.Calcular el gasto y lavelocidad en el segundo tramo.
17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquierpunto.
18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se formeen el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar
los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).
19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus
extremos 1 y 2 una pérdida de carga fh ,igual a
gVVhf 2
2502
21 � ,
1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6
m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.
La longitud del tubo es de 8 m. La presiónen el punto 2 equivale a 10 m de agua.Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1.
20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de2 Kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por
encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía fh , entre ambas secciones. Elfluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.
8"6"
8 m
2
1
D1
D2
41
IntroducciónCapítulo I
21. Una tubería vertical de sección variableconduce agua. El diámetro en la partesuperior es de 12 cm y en la parte inferiorde 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuandoel gasto es de 80 l/s la diferencia de presiónentre los manómetros instalados en lassecciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm2.Determinar cual es el gasto que deberíapasar en esta tubería para que la diferenciade presiones entre 1 y 2 sea cero.
Considerar que la perdida de carga fh
entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.
22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad.Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.
23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canalcuya sección se muestra en la Figura 1.14.
24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por laecuación 1-32 se cumple que
)992(4)132(
24
32
⌡⌡⌡⌡nnn
nn
calcular el valor de para n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss.
25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las
pérdidas de energía en el sistema equivalen a gV 24 2 .
10 m
2
1
6 cm
12 cm
H = 10 m
42
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presiónentre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de
gV 2150 21, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga?
27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio decírculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por lavelocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38;1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de y . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular elcaudal.
43
2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías
El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos detuberías como en los de canales.
En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propiavelocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrápor integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.
En un canal con movimiento uniforme la profundidad , el área , la velocidad media
y el gasto son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre
y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)
0 (2-1)
es la pendiente de la línea de energía
es la pendiente de la superficie libre
0 es la pendiente del fondo
Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es quela pendiente no sea excesivamente grande.
CAPITULO MOVIMIENTO UNIFORME
44
En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. Enmuchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero,como uniforme.
22
Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal
Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y elmovimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a queel agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y quealteran la uniformidad del escurrimiento.
En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes entodas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérveseque estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométricase le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como . es elángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, es la presión,
el peso específico del fluido, la elevación con respecto al plano horizontal de referencia.
es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.
En una tubería se denomina , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la
diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lolargo de la tubería.
2121 (2-2)
45
2
2
2
2
1
1
2 2
1-2
2
1
1
2
1 2
Plano de referencia
1
2
Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería
En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferenciade energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea deenergía y la línea piezométrica son paralelas.
2
21
1
(2-3)
El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuacionesde distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre elesfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre lavelocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una funciónque relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo sesigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).
Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. Eneste capítulo se considera que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
46
2.2 Relación entre el corte y la inclinación
a) Canal muy ancho
En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimientouniforme.
Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan
con la letra (ecuación 2-1). es la componente del peso, de la parte achurada, en la
dirección del escurrimiento, es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de
la porción achurada, cuya longitud es .
Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medidoperpendicularmente al plano del dibujo).
Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es
)(
y su peso es
)(
El producto de la densidad por la aceleración de la gravedad es igual al peso
específico .
Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
22
47
La componente del peso en la dirección del escurrimiento es
)(
Como el ángulo , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño
se considera que luego,
)(
En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la direccióndel escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo
unitario de corte por el área en que actúa
)(
De donde, la relación entre el corte y la inclinación es
)( (2-4)
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para =0
(2-5)
Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico
(2-6)
Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto delpeso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).
b) Canal de cualquier sección transversal
El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la prácticalos canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas seesquematizan en la Figura 2.4.
Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia . Para las
mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, enla dirección del escurrimiento es
48
es la densidad del fluido, la aceleración de la gravedad, la sección transversal,
la pendiente.
Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobreel fondo no es constante), que tiene por expresión
0
es el perímetro mojado, 0 es el esfuerzo de corte sobre el fondo.
o bien, aproximadamente
0
Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene
0
o bien,
0 (2-7)
Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo mediode corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, porel radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.
Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal
49
c) Tubería de sección circular
En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular dediámetro .
Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. es el ángulo que forma el eje dela tubería con la horizontal.
La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones.
La fuerza debida al corte es
22
expresión en la que es el esfuerzo de corte a la distancia del contorno (en este caso,
de la pared de la tubería).
La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es
22
21 22)(
Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería
2
1
2 2
50
operando,
212
2
pero,
21
luego,
22
11
2
2
teniendo en cuenta que,
2
21
1
se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso
2
2
que debe ser igual a la fuerza de corte,
2
222
de donde, la relación entre el corte y la inclinación es
24 (2-8)
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para 0
4
pero la expresión 4 representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,
(2-9)
51
Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideracionesanálogas
0
En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es
0 (2-10)
Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.
Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.
La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en lasuperficie.
En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro ycorresponde a la ecuación 2-11 en la que es el radio de la tubería.
Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería
(a)
(b)
52
La ecuación de distribución de corte es
1 (2-11)
que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.
Se observa que si 2 (eje de la tubería), entonces .0 Si 0 se tiene que
0 (contorno).
2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara un canal muy ancho con movimiento laminar
En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia del
contorno existe un valor de la velocidad ( ) y un valor del corte ( ). La relación entre
y depende de que el flujo sea laminar o turbulento.
Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conociday corresponde a la definición de viscosidad.
(2-12)
Combinando esta ecuación con la 2-4,
)(
dividiendo por ,
)(
separando variables,
e integrando, se obtiene
2
2
53
Expresión en la que es la velocidad a la distancia del fondo, es la pendiente de la
línea de energía, es la viscosidad cinemática, es el tirante, es una constante de
integración.
El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es
nula en el contorno ( 0 ; 0 ; 0 ), luego,
2
2 (2-13)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.Es una curva parabólica.
La velocidad máxima corresponde a la superficie ( )
2
2 (2-14)
La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de laecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución esparabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedadesgeométricas de la parábola.
Según la Figura 2.7
32
Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar
Parábola
54
Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. es el
gasto específico (por unidad de ancho).
Pero también se tiene que,
Luego,
32
2
232
3
2 (2-15)
Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y queevidentemente equivale a
3
2 (2-15)
Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potenciade la pendiente.
En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición
0
Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.
0
calculado se obtiene por división entre el área , el valor de la velocidad media, que es
el de la ecuación 2-15.
55
2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara una tubería con movimiento laminar
Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene
24
de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a
44
2
El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0 ;
0 ; 0 ). Luego,
44
2 (2-16)
que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.
La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a 4
16
2 (2-17)
La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en estecaso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es lamitad del cilindro circunscrito.
Luego,
21
En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidadmáxima; es decir,
32
2 (2-18)
56
que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en funcióndel radio hidráulico, tenemos
2
2 (2-19)
expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. Enun caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra seccióntransversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tuberíacircular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.
)32(
2
á
La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16
2/
0 22
de donde,
128
4
y,
4/2
obteniéndose el valor de la ecuación 2-18
Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de
cotas piezométricas separadas por la longitud a lo largo de la tubería es
232
(2-19a)
Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto esde 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a unadistancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad delpetróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en elgasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanececonstante.
57
Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,
221
32
(2-19a)
1 y 2 son las presiones en las dos secciones de la tubería.
21 = 0,103 kg/cm2 = 1030 kg/m2
= 25 l/min = 0,000417 m3/s
4
2 = 0,00283 m2
= 0,147 m/s
Luego,
4103600011470320301
De donde, = 7,9 x 10-4 kg-s/m2
Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidaddinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidadrelativa es 0,86. Luego,
= 9 x 10-6 m2/s
980109
0601470Re 6
El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.)
Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces
= 1,6 x 10-3 kg-s/m2
Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a
4
3
103600011061320301
Se obtiene,
= 0,0724 m/s
que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).
58
El nuevo gasto es
= 12,3 l/min
La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 %
Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad mediapromediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.
Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal conflujo laminar
2
2
Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados
22
28,0 48,0
264,08,0
22,0 18,0
El promedio de estos dos valores es 233,0 , expresión que es prácticamente igual a la ecuación
2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar
2
3
Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidadrelativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturasde los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima quese presenta en la tubería?
0,8
0,2
A
B
3 m
59
Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)
2
2
Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos
= 1,78 m/s
= 1,07 x 10-4 m2/s
Luego,
Re = 1 664
con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente
2
2 = 0,0619
o bien,
= 0,0619 = 0,0619 x 300 = 18,57 m
La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,
= 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2
La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es
16
2
= 3,55 m/s
Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimenlaminar).
Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,
1
expresión en la que es la velocidad a la distancia del eje , es la viscosidad dinámica y
es el gradiente de presiones.
60
Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio
comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1 y 2 , entonces la velocidad máxima se
presenta al radio
ln212
11
2
Solución. Consideremos un elemento anular de espesor , ubicado al radio y cuya velocidad es
. Consideremos también, longitudinalmente, una distancia , en cuyos extremos hay presiones
1 y 2 cuya diferencia es . Se cumple así que,
La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones
2 (1)
La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte
2
o bien,
2
Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.
La variación de la fuerza de corte con el radio es
2
121
2
1
2
61
y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por
2 (2)
Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales
22
de donde,
1
Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad
2
2
2
ln
4
2
Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones
Si 1 , entonces 0
Si 2 , entonces 0
4ln
21
1
4ln
22
2
de donde,
4)ln(ln
22
21
12
1
2
22
21
ln
14
La velocidad es máxima cuando 0
62
02
0ln
142
1
2
22
21
2
1
22
1
22
212
ln
112
obteniéndose finalmente
ln212
1 siendo 1
2
2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso
El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,en Delft.
La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lohemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.
Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrirademás a información experimental.
Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculanen base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entrelos que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.
Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamenteuna relación entre el corte y la velocidad.
Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presenteen el flujo turbulento y que es
''
' y ' son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), es la
densidad del fluido.
Prandtl introduce una longitud característica , a la que llama longitud de mezcla. Estalongitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o
63
perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla esanálogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.
Prandtl consideró que
' es proporcional a
oo
o '
' es proporcional a
oo
o '
y por lo tanto,
22
(2-20)
expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,que es para el flujo laminar.
De la ecuación 2-20 obtenemos
(2-21)
Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.
a) Canal muy ancho
Debemos establecer para este caso una relación entre y la profundidad. La condición esque la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Estopuede expresarse por medio de
21
1 (2-22)
es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos ensuspensión).
Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos
21
1
64
sustituyendo ahora el valor de según la ecuación 2-4
21
1)(
simplificando,
separando variables,
(2-23)
Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dadapor la ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan tambiénuna concordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargoacá nos limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl.
La expresión que es igual a 0
recibe el nombre de velocidad de corte,
0* (2-24)
Luego reemplazando en 2-23
*
integrando
ln (2-25)
Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para 0 ,
0ln , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta
una cierta distancia muy próxima al fondo.
Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando dehallar, tiene la forma
65
0* ln
0 representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero.
Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración seobtiene
0
* ln (2-26)
La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensarque algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría dePrandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa enla que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa esdiferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.
En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparicióndentro de ella de una subcapa laminar.
El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra
Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e
igual al esfuerzo de corte sobre el fondo ( 0 , para ).
Figura 2.8 Subcapa laminar
Ecuación 2-26
Ecuación 2-27
Fondo liso
66
En el flujo laminar el corte es
reemplazando 0 y separando variables,
2*00
integrando,
2*
La condición de velocidad nula en el fondo determina que 0
Luego
2* para 0 (2-27)
Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujoturbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una
capa cuyo espesor, muy delgado, es , y se designa con el nombre se subcapa laminar.
En este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber consideradoque dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y noparabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8.
Evidentemente que para ambas ecuaciones deben coincidir
2* (flujo laminar)
0
* ln
(flujo turbulento)
igualando estos dos valores se obtiene
0
*2
* ln
(2-27a)
Para determinar el valor de se realizó una combinación de consideraciones teóricas y
67
experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conductoliso es una relación entre dos parámetros adimensionales
*
;
tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Sillevamos estos valores a un gráfico semilogarítmico representado para el flujo laminar losvalores de la ecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidosse tiene
Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una deellas y resulta ser 11,6; luego
11,6*
a ese valor de se le denomina . Luego
11,6*(2-28)
Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para elcálculo de la distribución de velocidades
350
150 10511,6
2520 30
10
10 000
1 000
*
100
*
100 000
68
Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a
0
*
*
2* ln6,11
6,11ln0
El valor de , constante de Karman es de 0,4
644ln0
1040 (2-29)
si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene
104ln* (2-30)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.
Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica,como se demuestra a continuación.
b) Tubería
En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión
21
21 (2-31)
reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuacióncorrespondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual.
La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyasparedes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidadesen el flujo turbulento es logarítmica.
69
Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetrosadimensionales.
*
;
que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,
*
2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductoslisos
En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso esaquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.
a) Canal muy ancho
Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muyancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.
Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación
de . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que
corresponde al flujo laminar.
104ln*
lnln104ln*
lnln104ln*
Reemplazamos los límites
70
Se obtiene
ln104ln*
Consideramos ahora que,
ln1104ln*
3,38ln104ln **
3,38ln*
3,38ln*
que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondohidráulicamente liso y que evidentemente equivale a
3,38ln* (2-32)
En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, lasimplificación de suponer , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto.
De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado elflujo a través de la subcapa laminar.
b) Tubería
El gasto es
22
71
el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de
espesor , cuya distancia al contorno es . El perímetro es 2
2 y el área
elemental correspondiente es 2
2 .
104ln2
22/
*
2/* 104ln
22
Como límites de la integral fijamos (despreciando así el flujo a través de la subcapa
laminar) y 2/ (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites de
integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento).
2* 104ln104ln
22
la primera integral ya ha sido evaluada, luego,
2* lnln104lnln
22ln
2104ln
22
Figura 2.10 Flujo a través de un anillo
72
desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos
2/3
2*
2104ln
82
2/3*
2 2104ln
4/
sustituyendo 4
4,46ln* (2-33)
que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa.
Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un conceptofundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.
*
Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)
*
En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.
2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso
En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberanciasde su superficie, son tan grandes comparativamente con que no permiten el desarrollode una subcapa laminar.
Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturalezadel fondo (liso o rugoso)
0
* ln
Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos
73
Se observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.
El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse,quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuyasuperficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme . Repitiendo lasexperiencias para diversos diámetros y valores de llegó a la conclusión que la validezde la ecuación 2-26 puede extenderse hasta
300 (2-34)
siendo el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y quetiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor comorepresentativo, entonces
2 oo
o
150 (2-35)
Reemplazando el valor de en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)
se obtiene
30ln* (2-36)
que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).
Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de Karman-Prandtl.
En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales.
Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso
Ecuación 2-26
74
TABLA 2.1
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por supropia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodosindirectos.
En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto elacabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en la Tabla 2.1.
La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.
MATERIAL (m)
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
Fierro forjado
Acero rolado nuevo
Acero laminado, nuevo
Fierro fundido, nuevo
Fierro galvanizado
Fierro fundido, asfaltado
Fierro fundido oxidado
Acero remachado
Asbesto cemento, nuevo
Concreto centrifugado nuevo
Concreto muy bien terminado, a mano
Concreto liso
Concreto bien acabado, usado
Concreto sin acabado especial
Concreto rugoso
Duelas de madera
1,5 x 10-6
4,5 x 10-5
5 x 10-5
4 x 10-5 – 10-4
2,5 x 10-4
1,5 x 10-4
1,2 x 10-4
1 x 10-3 – 1,5 x 10-3
0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3
2,5 x 10-5
1,6 x 10-4
10-5
2,5 x 10-5
2 x 10-4 – 3 x 10-4
10-3 – 3 x 10-3
10-2
1,8x10-4 – 9 x 10-4
75
2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductosrugosos
a) Canal muy ancho
Obtenemos el gasto específico por integración.
considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene
0
30ln*
0
lnln30ln*
0lnln30ln*
0
lnln)(ln)(30ln 0000
pero, 00
30lnlnln30ln **
30ln*
11ln*
que evidentemente equivale a
11ln* (2-37)
que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondohidráulicamente rugoso.
76
b) Tubería
Se procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es
2
2
Reemplazando el valor de según la ecuación 2-36,
2 *
0 2230ln
integrando y simplificando se obtiene
4,13ln* (2-38)
que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de fondo hidráulicamente rugoso.
2.9 Obtención de la ecuación de Chezy
Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media enconductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).
3,38ln* (canales)
4,46ln* (tuberías)
La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado enfunción del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante.
Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico
del coeficiente de .
Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como acanales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene
Conductoslisos
77
42ln* (2-39)
Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canalmuy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemasprácticos usaremos la ecuación 2-39; para demostraciones las ecuaciones 2-32 y 2-33.
Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) yotra para tuberías (2-38)
11ln* (canales)
4,13ln* (tuberías)
Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra queconsidere el promedio aproximado de los coeficientes de
12ln* (2-40)
Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso(canal muy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).
Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En elsegundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las característicasdel escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en elprimer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de suespesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.
Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinandolas ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sinode una adaptación
72
6ln*
(2-41)
Conductosrugosos
78
= Radio hidráulico
= rugosidad (según Tabla 2.1)
= espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)
Re =
(referido al radio hidráulico)
(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft,Holanda)
Figura 2.12 Coeficiente de Chezy
50201052
1 000
2
5
10
20
200
50
100
500
10 000
5 000
2 000
5 000 10 0001 000500200100 2 000
79
Si el valor de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierteen la de los conductos lisos; caso contrario si no tiene significación entonces es laecuación de los conductos rugosos.
Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma
72
6log10ln
72
6ln
72
6log3,25,2
Pero
183,25,2
Luego,
72
6log18 (2-41a)
(2-42)
que es la ecuación de Chezy, en la que
72
6log18 (2-43)
es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puesto
que corresponde a .
Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.
2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos ehidráulicamente rugosos
Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que estahecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es másrugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.
80
Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal,veríamos algo así como lo mostrado en la figura siguiente
Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñascorrientes secundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en lascondiciones del escurrimiento.
Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias entuberías con rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetrouniforme.
Se designa por el diámetro y por el radio de los granos.
Al valor de (o al de ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad enel escurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tiranteo cualquier otra medida característica.
Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes
;
,
;
,
;
,
(2-44)
Figura 2.13 Aspereza del contorno
Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse
= 2
81
o sus inversas,
Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil.Existen tablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es laexperiencia del ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como loestudiaremos luego en detalle, que la rugosidad cambia con el tiempo.
Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguienterango de rugosidades relativas
014130
Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grandela influencia de la rugosidad en el escurrimiento.
Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad,viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que sedesarrolle o no, una subcapa laminar.
La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de lasparedes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo
de y .
Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes sonhidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas.
El valor de la rugosidad absoluta se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparecepara cada material el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propianaturaleza de la rugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculosestos valores no pueden ser rigurosamente exactos.
Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando
4,0
Lo que equivale aproximadamente a
5*
Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando
6
82
lo que equivale aproximadamente a
70*
Para valores intermedios
705 * (2-45)
se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.
2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl
La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente lisopuede transformarse de la manera siguiente
104ln*
Combinando con 2-28, 6,11* se obtiene
** 97,8ln
Luego
97,8log3,2log3,2 *
*
de donde,
5,5log75,5 *
*
(2-46)
expresión equivalente a la 2-30.
Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media enun canal muy ancho de fondo hidráulicamente liso
3,38ln*
83
** 3,3ln
3log75,5 *
*
(2-47)
expresión equivalente a la 2-32.
Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cada
valor de , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media
5,2log75,5*
(2-48)
Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemosun desarrollo similar.
La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transformaen
5,8log75,5*
(2-49)
y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en
6log75,5*
(2-50)
efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene
5,2log75,5*
expresión que es igual a la 2-48.
Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que
5,2log75,5*
(2-51)
o bien,
5,2log75,5*
(2-52)
84
Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar.
La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente
5,3log75,5 *
*
(2-53)
Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,
2log75,5*
(2-54)
Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en
5,6log75,5*
(2-55)
que restada de la 2-49 nos da
2log75,5*
(2-56)
obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptarque en una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad mediareferida a la velocidad de corte, es
2log75,5*
(2-57)
Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero ( =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (pesoespecífico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2m y la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presiónes de 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular
a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el espesor de la subcapa laminarc) el coeficiente de Chezyd) la velocidad mediae) el gasto
Solución. La altura de presión en el punto inicial es
m256kg/m800
kg/m000503
2
85
La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica enel punto final es 47,1 m.
Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3
2103,560001
47,182,7
que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la líneade energía.
Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24)
m/s0,229103,560,159,8 2*
Consideremos, m/s0,23*
a) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos laecuación 2-45,
50,184101,25100,23
4
4*
Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.
b) Espesor de la subcapa laminar (2-28).
m0,00636,11
*
c) Coeficiente de Chezy (2-43).
Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad,
/sm5442log18 1/2
d) Velocidad media (2-42)
m/s3,95103,560,1554 2
e) Gasto
/sm1,123,954
32
86
Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcularla velocidad media verificamos que 3002Re ( 96018Re ).
A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdese
que el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico .
2400630150
500110
1504
310747404496018Re
/sm54 1/2
Se observa que todos los valores coinciden en un punto.
Para el cálculo de hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, seantuberías o canales.
Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. Elresultado habría sido prácticamente el mismo.
87
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo II)
1. En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( = 0,001 m), fluye aceite cuya
viscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de la tuberíase muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de las paredes?.
2. Demostrar que el coeficiente de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamente
lisos, mediante la siguiente ecuación implícita
Relog18
Calcular el valor de para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio paraambos conductos.
3. A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir lasexpresiones siguientes
32 23121
siendo
1
3 kg / cm2
2 kg / cm2
8 m6 m
A
B
88
es el coeficiente de Coriolis, es el coeficiente de Boussinesq, es la velocidadmáxima y es la velocidad media.
4. Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presiónes 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 msuperior a la del punto inicial. Considerar = 0,0001 m. Calcular
a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el coeficiente de Chezyc) el gastod) la pérdida de energía entre A y B
5. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy anchocon flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de lasuperficie).
6. Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante (medidoa partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujo turbulento yparedes rugosas.
7. Demostrar que si
1
entonces en un canal
83,75,2 *
8. Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. Laviscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente de Chezy. Definir la calidad de laparedes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.
9. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que
73,3*
10. Calcular el valor de
*
para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.
89
11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidadmedia: a) en un canal, b) en una tubería.
Demostrar que a esa distancia es independiente de que el contorno sea liso o rugoso (compararcon el ejemplo 1.3 del capítulo I).
12. Un canal de concreto ( = 4x10-4 m) se usa para transportar agua. El ancho en el fondo es de4 m y el ancho superficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por100.
Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredesson lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.
13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad de susección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dárselepara que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s?. La rugosidad esde = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál seríala reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa esta disminución?.
14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidadmedia. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.
15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme = 4x10-4 m. La presión en el punto Adebe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia deelevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamentelisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?.
16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniforme , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido la velocidadsuperficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absoluta y lavelocidad de corte.
17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitot seha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia 4/ del contorno. Losvalores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.
18. Demostrar que en una tubería de radio se cumple que
73,3log75,5*
19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso sepuede expresar por
5
90
20. En una tubería la distribución de velocidades esta dada por
1
Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25 delcontorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de comprendidos entre 4 y 10.
21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una solalectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar. b) si el flujo es turbulento.
22. Demostrar que
Re
12log18
23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para usar la fórmula en elsistema inglés?
24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidadmedia. Dibujar la distribución de velocidades.
91
3.1 Ecuación de Darcy
Consideremos el flujo en un cilindro de longitud . Las fuerzas que actúan son la diferencia
de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.
La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a
la resistencia que ofrece el contorno
021 sen (3-1)
CAPITULO LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL
MOVIMIENTO UNIFORME
Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería
2
2
1
1
Plano de referencia
92
es la sección transversal, el perímetro y 0 el corte medio sobre el contorno.
Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se
tiene,
(ec. 2-10) 0
ooo
220
(ec. 2-42)
si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por y se reemplaza el valor obtenido
para 0 se obtiene
sen 2
21
de donde,
2
2
22
11
luego,
42
2
Multiplicando y dividiendo por 2 el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida
de carga
2
2 82
Denominaremos , coeficiente de Darcy a la relación entre 8 y el cuadrado de
28
(3-2)
Sustituyendo,
2
2
(3-3)
93
que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En
algunos textos el coeficiente de Darcy se designa con la letra .
La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse
utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones
algebraicas.
La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga que se presenta en un tramo
de tubería de longitud , diámetro y velocidad media .
El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se
puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación
de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.
(ec. 2-10) 0
ooo
2
oo
o
2
0
(ec. 2-19)2
2
Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para 0 ,
2sen21
dividiendo ambos miembros por y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro
por ,
2
2
2
Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones,
2Re
64 2
94
o bien,
2
2
que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,
Re64 (3-4)
el número de Reynolds esta referido al diámetro.
3.2 Significado del coeficiente de Darcy (en tuberías circulares)
En lo que respecta al flujo laminar, es simplemente una función del número de Reynolds.
En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de es más complejo.
En general es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
Re, (3-5)
La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.
2-44).
La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por
a) Altura media de las irregularidades de la superficie
b) Variación de la altura con respecto a la media
c) Forma de las irregularidades del contorno
d) Separación entre irregularidades adyacentes
Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que
Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme.
Es útil el concepto de rugosidad equivalente . Según este concepto, es una longitud que
mide el grado de rugosidad y tal que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales
a los diámetros de los mismos cuando para valores iguales al número de Reynolds los valores
correspondientes de son los mismos para ambos conductos.
95
Si bien es cierto que en el flujo turbulento, es, en el caso más general, función tanto del
número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de
sólo uno de ellos.
En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es
bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro
de la subcapa laminar y por lo tanto no tienen significado para el cálculo de .
En una tubería lisa,
Re (3-6)
En cambio en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de son tan grandes con
respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,
(3-7)
Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.
3.3 Tuberías hidráulicamente lisas
Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo
que,
41
Re
316,0(3-8)
Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores
que 105, (aproximadamente).
Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,
el valor de se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.
Partimos de la ecuación 2-33,
4,46ln*
96
luego sustituimos el valor de (ec. 2-28)
6,11
y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo
ln (3-9)
Necesitamos ahora una relación entre y . Para ello combinamos las siguientes
ecuaciones, ya conocidas
Dividiendo,
(3-10)
De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,
8
(3-11)
De las dos últimas se llega a
8
(3-12)
Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,
8
ln811
efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,
92,0)log(Re03,21 (3-13)
97
y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega
finalmente a
8,0)log(Re21 (3-14)
ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre y el número de
Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente
relación empírica,
2370Re221000320 (3-15)
en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos
resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.
Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de en el flujo turbulento,
251Relog8111
(3-16)
que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones
(con respecto al diámetro).
Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia
un cuarto de la viscosidad.
Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.
Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.
Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente de Darcy y el número de
Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)
y la transición entre ambos escurrimientos.
98
3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico deNikuradse
Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse
una subcapa laminar.
El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente de la rugosidad
relativa. El valor de se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.
Partimos de la ecuación 2-38,
4,13ln
4,13ln
e introducimos la ecuación 3-12,
8
de donde
35,3log03,21
(3-17)
Figura 3.2 Coeficiente de Darcy en tuberías lisas
2 300
0,08
10
0,02
0,01
0,04
0,06
210
3
Laminar
0,10
0,20
= 2 log Re
410
Re 4
0,3161
1
105
106
Turbulento
Re =
107
64Re
99
Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse
71,3log21
(3-18)
Se observa, pues, que ahora es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente
del número de Reynolds.
Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que
considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de se
obtiene el de (ó de , según el gráfico)
Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías
lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones
analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición
entre paredes lisas y rugosas.
El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas
y a la transición entre ambos. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras
3.2 y 3.3.
Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad
artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).
0,01
0,06
0,04
0,02
104 105 106
0,03
0,0530,
61,2
120,
252,504,
1014,
Re =
Figura 3.3 Coeficiente de Darcy en tuberías rugosas
100
Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente
a) En el régimen laminar ( Re 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna
influencia sobre la resistencia.
b) Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como
hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa
en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número
de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las
tuberías lisas.
c) Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el
coeficiente es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.
Es la transición.
d) Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente es función exclusiva de la
rugosidad relativa.
Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no
es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de
transición se encontrarían fuertes diferencias.
Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama de Moody (capítulo IV).
Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse
103 104 105
Re =106
0,016
0,020
0,025
0,032
0,040
0,050
0,063
30
61,2
120
252
504
1 014
101
3.5 Introducción del coeficiente de Darcy en las ecuaciones dedistribución de velocidades
En el capítulo II establecimos la ecuación 2-57
2log75,5
Expresión en la que
: velocidad a la distancia del contorno
: velocidad media
: velocidad de Corte
: radio hidráulico
La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la
media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea
hidráulicamente liso o rugoso.
Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57
8
obteniendo así
171,0log03,2
Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,
se obtiene
1783,0log15,2
(3-19)
De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La
velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a 2 . Luego,
143,1
(3-20)
La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente de Darcy y de la velocidad
102
media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden
los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del centro, se obtiene
experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede
hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del capítulo I.
A partir de los valores obtenidos para en función de es posible calcular y por
medio de la ecuación 3-19.
Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría
con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,
hallando así y . Sin embargo toda medición implica un error. Es preferible obtener y
a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.
La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera
43,1log15,2
que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma
Siendo,
15,2
103
43,1
Los valores de y se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue
los valores de y .
La ecuación 3-19 ha sido trasformada de modo de referirla al radio de la tubería.
3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook- White
Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.
Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí
liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede
comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de
la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría
desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.
En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren
de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.
Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor
de la relación de .
En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el
fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad
natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas
protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.
Los valores de en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por
medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en
Tuberías rugosas (ec. 3-18)
71,3log21
Tuberías lisas (ec. 3-14) 51,2Re
log21
Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.
104
Re51,2
71,3log21
(3-21)
Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del capítulo II.
3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.Errores
Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías
y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de
dimensionamiento.
Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.
Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un
contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de
energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.
Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida
de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.
Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la
misma que depende del grado de turbulencia.
Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.
Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes
sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de
comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.
Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento
-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y
las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.
Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las
siguientes
105
a) Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos
b) Explicación clara del fenómeno de disipación de energía
c) Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno
d) Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida
e) Facilidad de uso en los problemas de ingeniería
La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras
transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene
8451,2
8,14log82
expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,
72
6log18
y que es mucho más simple. En ambas
: velocidad media de escurrimiento
: radio hidráulico
: pendiente de la línea de energía
: rugosidad absoluta
: espesor de la subcapa laminar
: viscosidad cinemática
: coeficiente de Chezy
Si en la última ecuación sustituimos,
8
se obtiene
8
que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.
106
Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro
requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,
rugosidad, viscosidad, etc.)
Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos
factores.
Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación
en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.
Tuberías lisas
La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es
251,2log2
42
2
de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro
es
251,2log
65,05,2
Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es
251,2log
217,05,0
Tuberías rugosas
La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es
71,3log2
42
2
107
Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,
71,3log
43,05,2
y,
5,0
Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene
aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo diámetros
comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.
Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes
(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.
Se obtiene finalmente que,
5,2 (1)
y
5,0 (2)
Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de
una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores
medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).
Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de
71,3log21
de donde,
21
21
2
108
y con respecto a la rugosidad relativa,
71,3log
43,02
A partir de la ecuación de Chezy (expresando en función de )
8
se obtiene
21
importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones
del coeficiente de Darcy.
Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene
71,3log
43,0
Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra
que,
)174,00775,0(
o bien,
121
61 a (3)
109
Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la
influencia de la rugosidad es mucho menor.
Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que
- Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.
- Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.
- Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el
gasto.
Combinado (1) y (2), se obtiene
5
lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un
aumento del 50 % en la pérdida de carga.
3.8 Tuberías de sección no circular
En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad
media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho
infinito y sección circular.
En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente al caso de
tuberías circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente de Darcy en función del diámetro.
Sin embargo, en algunos casos, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección
diferente a la circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.
Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es
constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte
será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las
circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.
Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente de
Darcy (3-5)
110
Re,
tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de sección”
,Re,
Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen
una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.
Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula
de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la formula el concepto de radio hidráulico, tal
como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).
El radio hidráulico de una sección circular es 4/ . De acá que la ecuación de Darcy se
transforma en
24
2
Para el cálculo de se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,
considerando
4Re
4
Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las
secciones no se aparten demasiado de la forma circular.
En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de en tuberías lisas (ecuación
3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,
pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a
05,1log03,21
111
3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades
A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución
de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.
La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones
- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro
de la tubería.
- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la
viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.
- Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad.
Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad
máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma
proporción.
- La velocidad a la distancia del contorno se describe según la siguiente expresión
(3-22)
Siendo la potencia cuyo valor debe determinarse; es el radio de la tubería.
Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte
0
que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da
220
(3-23)
De otro lado, según Blasius (3-8)
41
Re
316,0
Reemplazando la ecuación 3-2, 28
, y reemplazando el número de Reynolds de la
ecuación de Blasius
112
41
41
41
2
316,0
8
Reemplazando este valor en la ecuación 3-23
41
474
1
0 8316,0
Luego sustituimos el radio en lugar del diámetro y se tiene,
41
41
474
1
0 28
316,0
Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media
Sustituyendo en 3-22
De donde,
ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para 0 ,
41
41
47
47
47
47
41
0 28
316,0
Para que 0 sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio
sea nulo. Luego,
113
041
47
71
Por lo tanto la distribución exponencial de velocidades es, en una tubería
71
(3-24)
Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,
las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds
menores que 105).
Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente tiende a disminuir. Prandtl
menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades
queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces
mayor, el exponente es 1/10.
Experimentalmente se ha establecido que en una tubería
235,1 (3-25)
Luego,
71
235,1 (3-26)
Ejemplo 3.1 Calcular el valor de en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con
una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos
diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.
Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,
9601810251
600953Re 4
Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)
027,073,11
316,0
96018
316,0
Re
316,041
41
114
Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16),
2)5,1Relog81,1(1
95,381
)5,174,7(1
)5,1277,481,1(1
22
026,0
Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es
m99422953
60020010270
2
22
o bien,
m39412953
60020010260
2
Ejemplo 3.2 Calcular el valor de y luego el valor de en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.
Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar
la ecuación 3-14.
Solución. Calculamos el número de Reynolds,
560161025,1
75,076,2Re4
Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)
0280027903411
3160
56016
3160
Re
316041
41
A modo de verificación calculamos el valor de (ecuación 3-11)
538 m1/2/s
Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto
se debe a que el problema es idéntico.
115
Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.
80Relog21
5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8
5,99 6,08
Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo
hidráulicamente rugoso se cumple que
884,0
Siendo 1
. Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable
Solución.
30ln
La velocidad máxima corresponde a
30ln
La velocidad media es
11ln
Luego,
ln
1130ln11ln
5,2
Pero,
8
Luego,
88408
528
52
116
Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial = 0,001 m,
velocidad 4 m/s, = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.
Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds
56 108
1020,04Re
Luego la rugosidad relativa
005,020,0001,0
Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene
= 0,030.
Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular utilizando
la fórmula 3-18,
713log21
0010200713log21
0303,0
valor bastante próximo al calculado con el abaco.
La pérdida de carga es
m45122216
20000010300
2
2
Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
87
Re
El número de Reynolds está referido al radio de la tubería. Hallar el valor de . En la deducción debe
utilizarse la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28).
117
Solución. Sabemos que
41
Re
316,0 y 8
Combinando estas dos ecuaciones,
81
Re8
316,0
Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de
316,0Re86,11 8
1
81
81
81
31608611
Multiplicando y dividiendo por y reemplazando 2 .
81
81
81
81
237,58
87
87
87
81
237,58
87
Re65,63
Luego,
87
Re
65,63
El valor de es 63,65.
Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores
que 105 se cumple que
87
Re
El número de Reynolds está referido al radio de la tubería. Hallar el valor de . La deducción debe
hacerse sin utilizar la ecuación de anteriormente establecida (ec. 2-28).
118
Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es
41
47
41
410
28
316,0
o bien,
41
2 Re0330
El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.
Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual
a 0 ,
0
Igualando,
41
2 Re0330
41
Re0330
4
3
Re0330
Pero, según la ecuación 3-26,
71
235,1
Reemplazando,
71
43
235,1Re033,0
76
43
235,1Re033,0
Elevando a la potencia 7/6,
876
7
Re235,1033,0
119
De donde,
87
Re
45,68
Luego, = 68,45
Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al
diámetro, es menor que 105, se cumple que
71
99,6
Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius
41
Re
316,0
Sabemos también que
2
2
8
Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.
Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por
20 8
1
Solución. Partimos de la ecuación de Darcy
2
2
Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene,
2181
Combinando con
0
Se obtiene finalmente
20 8
1
120
Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en el caso de flujos en tuberías
geométricamente similares es
2
Para el caso de una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la
pérdida de carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.
Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro
en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.
Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas similares. Considerar
Peso específico del aire : 1,25 kg/m3
Peso específico del agua : 1 000 kg/m3
Viscosidad del aire : 1,8x10-4 poises
Viscosidad del agua : 1,2x10-2 poises
Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds
es el mismo para ambas
2
222
1
111
Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema a ambas tuberías y al obtener la relación entre
las pérdidas de carga se llega a
1
22
2
21
2
1
2
1
2
1
De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos
2
4
1
2
2
1
2
112 1021
1081104
2510001500
m/s422
calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga
148234
1042
50015040
2510001 2
2
1
121
Luego,
m0108014823250
2
la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.
3.10 Concepto de capa límite
En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección
transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente
transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea
cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,
y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades
disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente
desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un
aumento en el grado de turbulencia.
En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi
uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa, muy delgada, próxima
a las paredes. Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidad es intenso.
A esta pequeña capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy
compleja, pero conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente
en el aspecto físico del problema.
Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno
alguno.
Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el
fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno
deben ser iguales. Luego en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del
cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá
un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad
aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia la velocidad que
tendría en ausencia del cuerpo.
122
Consideremos que el cuerpo esta constituido por una placa lisa y delgada con borde de
ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la
escala vertical aparece considerablemente ampliada.
Esta zona de espesor variable que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas
abajo se denomina capa límite.
La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más
significativos a la Mecánica de Fluidos.
La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una
interior y otra exterior a la capa límite.
Figura 3.5 Flujo paralelo
Figura 3.6 Generación de una capa límite
123
Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente
de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con
energía constante y por la tanto son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo
potencial.
La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como
si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una pequeña capa, próxima al contorno, que es la
capa límite.
El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un
número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente
que el espesor de la capa límite es nulo (ver Figura 1.13).
3.11 Espesor de la capa límite
De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad
sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.
Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.
Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.
La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es
el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.
Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite
(a) (b)
124
Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a).
Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asintota de modo que
las áreas achuradas sean iguales.
En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asintota con una
tangente a la curva de origen.
Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de
desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia
de la disminución de velocidad en la capa límite.
Debido al gradiente de velocidades dentro de la capa límite hay una disminución en el flujo
cuyo valor sería
0)(
El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la
capa límite por el espesor de desplazamiento * .
0)(
o bien,
01 (3-27)
Figura 3.8 Espesor de la capa límite
0,99
125
3.12 Desarrollo de la capa límite
En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En
cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es
laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve
turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta
subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).
La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para
valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106 siendo,
Re
Se denomina a la distancia medida desde el borde de ataque y a lo largo de la placa en la
dirección del escurrimiento.
Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al
número de Reynolds de una tubería o un canal.
El espesor de la capa límite laminar viene dado por,
212
1
21 5
Re
5
(3-28)
El espesor de la capa límite turbulento viene dado por,
545
1
51 38,0
Re
38,0
(3-29)
Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece
con el exponente 4/5 de , mientras que la capa límite laminar crece con el exponente 1/2.
Es decir que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.
Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el
cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.
126
3.13 La separación. Expansión de un conducto
Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán lasfases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de la capa límite turbulenta sehabrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y es igual al radio. Si las paredes
de la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor .
Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener
energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del
escurrimiento, lo que implica
0
Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la
dirección del escurrimiento,
0
Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el
primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.
El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se
ecuación 3-28
ecuación 3-29
subcapalaminar
laminar transición turbulento
Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta
127
ilustra en el siguiente dibujo esquemático.
La condición 0 corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se
presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se
tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy
lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego
por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una
contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.
Capa límite
0
0
Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones
Figura 3.11 Fenómeno de la separación
Contracorriente
S
128
La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la
que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento
en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).
Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra
haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta
detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección
contraria a la del escurrimiento.
Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes.
Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición).
Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.
Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión
Capa límite
Capa límite
Figura 3.13 Aparición de contracorrientes
Contracorriente
Contracorriente
Corriente principal
129
Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo
es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción
laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.
Solución. La transición se produce para
5105
Luego,
m2,05,2
10105 65
La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.
Luego para = 5 cm la capa límite es laminar.
21
Re
5
4105,12Re
a) m1007,7105,12
1055 4
2
2
b) A la distancia de 1 m el flujo es turbulento
51
Re
38,0
El número de Reynolds es
6105,2Re
y,
cm21938,0
130
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo III)
1 . Discutir como varía en una tubería la relación de la velocidad
máxima a la media
a ) Para números de Reynolds crecientes.
b) Para rugosidad relativa creciente (para tuberías de rugosidad artificial).
2. Explique teóricamente por que no hay exactamente el mismo valor para en los ejemplos 3.5
y 3.6.
3. Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de viene dado por la ecuación de Blasius
y hacemos los reemplazos correspondientes demostrar que el exponente de la velocidad sería
1,75.
4. Demostrar que
23
55,193,21
98,01
5. Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulentoencontrándose que la velocidad a la distancia 4/ del contorno es igual a 0,89 Calcular el valor del coeficiente de Darcy y la rugosidad relativa.
6. Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Comparar resultados.
7. Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Comparar resultados.
8. Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería, aplicandola ecuación de Darcy. Calcular el valor de a partir del coeficiente de Chezy y a partir dela ecuación de Blasius. Comparar resultados.
9. A partir del valor de obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el
valor de y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida
de carga.
131
10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera el flujo es
laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000 (referido al
diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivas es de 1,67.
11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia 0 por unidad de área
del contorno depende de la viscosidad , de la densidad , de la velocidad del fluido y del
diámetro y la rugosidad absoluta de la tubería, demostrar que
,2
0
12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,
2
expresión en la que es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno, es la densidad,
es la velocidad media, el diámetro y la viscosidad dinámica.
Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluye agua.
La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular
a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que exista similitud.
b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire si en el modelo
para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.
Peso específico del agua : 1 000 kg/m3
Peso específico del aire: 1,25 kg/m3
La viscosidad dinámica del agua es 60 veces la dinámica del aire.
13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente de Darcy y el número de Reynolds Re ,
referido al diámetro, es
237,0Re221,00032,0
para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valor de y el correspondiente número de Reynolds, para los que ésta fórmula da los mismos resultados
que la ecuación de Blasius.
132
14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que
14
15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrook
y White
8451,2
8,14log82
tiene la forma de la ecuación de Chezy,
72
6log18
Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué no son
exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?
16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por
71
235,1
Calcular a qué distancia del contorno la velocidad )( es igual a la velocidad media.
17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdida de
presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está 2 m por
encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidad de las paredes
es uniforme. Calcular
a) El coeficiente de Darcy
b) La calidad de las paredes (lisa o rugosa)
c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamente
d) La velocidad máxima
18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido al
diámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente de Darcy.
133
19. Comparar los ejemplos 8 y 9 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única diferencia
en la longitud).
20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.
21. En una tubería el valor de es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la media.
22. Calcular los valores de y para la tubería del problema propuesto 5 de este capítulo.
23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de 1,25x10-4 m2/
s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m de recorrido se pierde una
energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál sería el porcentaje de disminución
en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior y no interior, como se supuso en los
cálculos.
El espesor de la tubería es de 2 cm.
24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.
25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Se mantiene
un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna de agua por
cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s.
Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valores iniciales
y finales de la velocidad media y del coeficiente de Darcy.
Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tiene el
nuevo valor de la rugosidad.
135
CAPITULO DISEÑO DE TUBERIAS
4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y líneapiezométrica
Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos laecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería
2
2
2
2
1
1
L. E.
2 2
1 2
Plano de referencia
1
2L. P.
1
2
1-2
136
�⌡⌡⌡⌡⌡
2122
22
211
21
1 22
(4-1)
Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no setransforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción yque denominamos , pérdida de energía o pérdida de carga.
Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidadtambién lo es y la energía de velocidad es constante
22
22
2
21
1
es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.
Entonces, la ecuación de la energía es simplemente
�⌡⌡⌡
2122
11
A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el líquido en una serie depiezómetros instalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea degradiente hidráulica (L. P.).
Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía develocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y lalínea piezométrica son paralelas.
Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos
a) La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión encualquier punto de ella.
b) En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendienteo inclinación de la línea de gradiente tanto mayor será la velocidad del fluido.
c) La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entredos secciones (para el movimiento uniforme).
d) La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante ypara tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.
La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloqueuna bomba.
137
La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento.
La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido enreposo. Tal sería el caso de un estanque.
En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como �21
a la suma de todas las
pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2.
Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales.
Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy (ecuación 3-3).
2
2
Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula,codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.
Potencia
Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.
(4-2)
es el peso específico del fluido en kg/m3, es el gasto en m3/s, es la energía total con
respecto al plano de referencia, en metros, es la potencia en kg-m/s (teórica). Para
obtener esta potencia en
HP (Horse Power) 76
CV (Caballos de vapor) 75
KW (kilowatts) 102
138
Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” dediámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro.
Solución. El gasto es
Ι 0,1216 m3/s
La energía en la boquilla es
2
2
11,48 m ( es la velocidad de salida)
La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es
1 396 kg m/s
o bien,
18,4 HP = 13,7 KW
4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo
En el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de lastuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificialconstituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).
Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El Estudio experimental de la pérdidade carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse
y que relaciona el coeficiente de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidad
relativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse.
Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento,concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyovalor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presenteque la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es másrugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías serádescrito mas adelante.
La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo dereposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración,
calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta se
obtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.
139
Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes
a) Cálculo de la pérdida de carga
Es el caso más simple, los datos son
: gasto
: longitud
: diámetro
: viscosidad cinemática
: rugosidad
Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicarel diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa
Con ellos se determina el valor de y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la
pérdida de carga .
b) Cálculo del gasto
Los datos son
: longitud
: diámetro
: viscosidad cinemática
: rugosidad
: pérdida de carga
Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse poraproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando eldiagrama de Moody se supone un valor para (podría ser, por ejemplo, el que correspondea turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de incorporado a los datos secalcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número deReynolds.
Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para , el cual secompara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse unnuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidoslos valores de y de se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con elvalor correcto de la velocidad se calcula el gasto.
140
141
Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido ( = 0,00025 m) de 10” de diámetro. La
longitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía)en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto.
Solución. La rugosidad relativa es
= 0,001
Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada
= 0,0198
Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,
22540
0001019802
1022
De acá se obtiene,
= 1,59 m/s
Luego,
56 10044
102540591Re ΙΙ �
Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos en eldiagrama de Moody,
= 0,0205
Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de hacemos un nuevo cálculo para lavelocidad y se obtiene
= 1,56 m/s
de donde,
Re = 3,96x105
y en el diagrama de Moody encontramos,
= 0,0205
Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto
56,14
2 = 0,079 m3/s = 79 lps
Los valores de y satisfacen la ecuación de Darcy.
142
c) Cálculo del diámetro
Los datos son
: longitud
: viscosidad
: rugosidad
: pérdida de carga
: gasto
Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y delárea se tiene
22
2
42
De donde,
2
285
o bien,
2082705 (4-3)
Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento
1. Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valorescomerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y pueden ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacerun diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles.Eventualmente su número puede ser muy restringido.
2. Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.
3. Calcular la rugosidad relativa.
4. Con el diagrama de Moody hallar el valor de .
5. Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.
6. Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de cargaadmisible (dato).
7. Caso contrario repetir el procedimiento
8. Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comercialessucesivos, tomar el diámetro mayor.
143
Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente
1. Suponer un valor para .
2. Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.
3. Calcular el número de Reynolds considerando que
Re
y que, por la ecuación de continuidad
2 4
se expresa como,
D14Re
4. Calcular la rugosidad relativa.
5. Con el diagrama de Moody hallar el valor de .
6. Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.
7. Si el valor de es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramenteel diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.
Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Estatabla es muy útil para aligerar los cálculos.
Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existendiversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valordel coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynoldsdados.Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingenierohidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidadmedia en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y elnúmero de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que lavelocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán uncomportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetromás económico, lo que será analizado posteriormente.
Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, comoel golpe de ariete, por ejemplo.
El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente entérminos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidadesadmisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado.
144
TABLA 4.1
VALORES DE PARA EL AGUA
Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de x 104
(Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)
Velocidad
m/s Calidad
0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00
4”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
435 355 300 240
415 320 265 205
410 310 250 190
405 300 240 180
400 290 230 170
395 285 225 165
395 280 220 155
390 270 210 150
385 260 200 140
375 250 190 130
370 250 185 120
6”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
425 335 275 220
410 310 250 190
405 300 240 175
400 285 225 165
395 280 220 160
395 275 210 150
390 265 205 145
385 260 200 140
380 250 190 130
375 240 180 120
365 235 175 115
8”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
420 320 265 205
405 300 240 180
400 285 225 165
395 280 220 155
390 270 210 150
385 265 205 140
380 260 200 135
375 250 190 130
370 240 185 120
365 235 175 115
360 225 170 110
10”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
415 315 260 200
405 295 230 170
400 280 220 160
395 270 210 150
390 265 205 145
385 260 200 135
380 255 190 130
375 245 185 125
370 240 180 115
365 230 170 110
360 225 165 105
12”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
415 310 250 190
400 285 225 165
395 275 210 150
395 265 205 140
390 260 200 140
385 255 195 135
380 250 190 125
375 240 180 120
365 235 175 115
360 225 165 110
355 220 160 105
16”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
405 300 240 180
395 280 220 155
390 265 205 140
385 260 200 135
380 255 195 130
375 250 190 125
370 240 180 120
365 235 175 115
360 225 170 110
350 215 160 105
350 210 155 100
20”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
400 290 230 170
395 275 210 150
390 265 200 135
385 255 195 130
380 250 190 125
375 245 180 120
370 235 175 115
365 230 170 110
360 220 165 105
350 215 160 100
350 205 150 95
24”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
400 285 225 165
395 265 200 140
385 255 195 135
380 250 190 125
375 245 185 120
370 240 180 120
365 230 175 115
360 225 170 110
355 220 165 105
350 210 155 100
345 200 150 95
30”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
400 280 220 160
385 255 195 135
380 250 190 130
375 245 185 120
370 240 180 115
365 230 175 115
360 225 170 110
355 220 165 110
350 210 160 105
350 205 155 100
345 200 150 95
36”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
395 275 215 150
385 255 195 135
375 245 185 125
370 240 180 120
365 235 175 115
360 230 170 110
355 225 165 110
355 220 160 105
350 210 155 100
345 200 150 95
340 195 145 90
48”
Rugosa Media Nueva
Muy lisa
395 265 205 140
385 250 190 125
370 240 180 120
365 230 175 115
360 225 170 110
355 220 165 110
350 215 160 105
350 210 155 100
345 200 150 95
340 195 145 90
335 190 140 90
145
Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido ( = 0,0004 m)para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m.La pérdida de carga admisible es de 25 m.
Solución.
1. Supongamos = 0,02
2. Calculamos el diámetro.
265,00827,05 2
m7670
3. Calculamos el Número de Reynolds
61077214Re Ι
4. La rugosidad relativa es
00052,00767,00004,0
5. Con el ábaco de Moody hallamos el valor de
= 0,0168
6. Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de .
5 = 0,222
= 0,74 m
Re = 2,87 x 106
= 0,00054
= 0,0168
7. Como el valor que hemos encontrado para es igual al último valor supuesto éste es el valor
correcto. Los valores de y de satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,
= 0,74 m
= 29,13’’
146
En este caso escogemos
= 30’’
Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro.No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si estavelocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad nonos traerá dificultades.
Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximopara la velocidad.
Posteriormente se verá que el problema es también económico.
Ejemplo 4.4 Qué presión se requiere para impulsar 20 lps a lo largo de una tubería lisa, horizontal, de2” de diámetro. La longitud del tramo es 300 m. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.
Solución. Por ser una tubería horizontal
21 �
Para calcular la presión requerida ( 21 � ) debemos establecer la pérdida de carga.
El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama de
Moody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene
= 381,6 m
y por lo tanto
� 21 38,2 kg/cm2
Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar auna alta velocidad y a una gran pérdida de carga.
Ejemplo 4.5 Calcular el gasto delsistema mostrado en la figura. Laviscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s.La tubería es lisa. Considerarúnicamente las pérdidas de cargacontinuas. El diámetro de la tuberíade descarga es de 2 cm.
0
4 m
1 2
5 m
147
Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2
2122
22
11
21
22 �⌡⌡⌡⌡⌡
Pero,
21 ; 21
Luego,
2
2
21
21 ��
Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1
11
21
00
20
22
⌡⌡⌡⌡
020
Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene
22
221
10 ⌡�
Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencerla fricción.
De acá,
1
2 1021
⌡
�
Reemplazando valores,
120010
10204
5221 ⌡
⌡
Ι
(1)
De otro lado sabemos que el número de Reynolds es
1611 66716
1021020Re
�
148
Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad.
1 4,51 m/s
0,00142 m3/s
Los valores de se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido del
diagrama de Moody.
Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimirenergía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.
En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.
Energía de velocidad 2
2
= 1,04 m
Fricción = 3,96 m
Energía = 5,00 m
1
(supuesto) Re
(según Blasius) 1
1,02,02,54,04,2
4,34,4
4,54,51
16 667 33 334 41 667,5 66 668 70 001,4
71 668,1 73 334,8
75 001,5 75 168,2
0,0278 0,0234 0,0221 0,0197 0,0194
0,0193 0,0192
0,0191 0,0191
3,87 4,16 4,25 4,46 4,48
4,49 4,50
4,51 4,51
149
Ejemplo 4.6 Calcular el gasto que fluye en elsistema mostrado en la figura. La tubería es lisa,de 10 cm de diámetro. La viscosidad del agua es1,25x10-6 m2/s.
No considerar pérdidas de carga locales.
Solución. Aplicando el teorema de Bernoullientre 1 y 2
2
22
2112 ���
Análogamente entre 3 y 4 se obtiene
2
23
3443 ���
Se ha considerado que 041
Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3
2
2
2332 ⌡��
puesto que 32 .
Observando que � 41 0 se llega a
)()( 342132 ����
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
2
2
41 �
(Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura)
Reemplazando los datos del problema
289,22
El número de Reynolds es 80 000 .
Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Para un valor supuesto de lavelocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Luego, en el ábaco de Moody se
1
5 m
2 m
1 m
3
4
2
150
encuentra el valor de . Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para
este problema). Si la velocidad es igual a la supuesta, el problema está resuelto. Caso contrario debenproseguirse los tanteos. Se obtiene finalmente
= 14,17 m/s = 0,0114
y el gasto es
= 111 lps
Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14, 3-15 y 3-16 (estas ecuacionespodrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Los valores obtenidos de y de satisfacen la ecuación de la energía.
4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)
En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. Las pérdidas de carga continuasson proporcionales a la longitud, se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy.
Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y sedeben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo,una válvula, un estrechamiento, etc.
En la figura 4.3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída queexperimenta como consecuencia de una singularidad, que produce una pérdida de cargalocal a la que designamos como .
Figura 4.3 Pérdida de carga local
Línea de energía L. E.
Singularidad
151
Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidaden la tubería
2
2
(4-5)
expresión en la que es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud, es un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad quegenera la pérdida de carga (codo, válvula, etc) así como del número de Reynolds y de larugosidad, es la velocidad media en la tubería.
A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. Esto en razónque en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Sin embargo entuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muyimportantes.
Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento.
A. Entrada o embocadura
Corresponde genéricamente al caso de una tubería que sale de un estanque
A la entrada se produce una pérdida de carga originada por la contracción de la venalíquida. Su valor se expresa por, (ec. 4-5),
2
2
Expresión en la que es la velocidad media en la tubería.
El valor de esta determinado fundamentalmente por las características geométricas de laembocadura. Las que se presentan más frecuentemente son
Entrada (embocadura)
152
a) Bordes agudos
b) Bordes ligeramente redondeados ( es el radio de curvatura)
En este caso el valor de depende de la relación . El valor 0,26 corresponde a unarelación de 0,04. Para valores mayores de , disminuye hasta llegar a 0,03 cuando
es 0,2.
c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados). El borde acampanado significa queel contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirseseparación.
d) Bordes entrantes (tipo Borda)
Zona de separación
= 0,5
= 0,26
= 0,04
= 1
153
Los valores aquí presentados para son valores medios, que pueden diferir según lascondiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores sólo se hacen dependerda las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad.
En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar aestas entradas la forma más hidrodinámica posible. A modo de ejemplo cabe indicar que parauna velocidad media de 2,5 m/s en una tubería la pérdida de carga es de 0,159 m si la entradaes con bordes agudos y sólo 0,013 m, si la entrada es acampanada.
B. Ensanchamiento del conducto
En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro
mayor. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual.
a) Ensanchamiento brusco
La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de laecuación de la cantidad de movimiento. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
⌡⌡⌡ 2
221
21
22 (4-6)
2
2
2 2
1 2
1
2
L. P.
L. E.
2
A D
1
B C
21
154
Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.
Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultantede las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.
)()( 12221 ��
Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1.
Dividiendo esta última expresión por 2 se obtiene
21
2221 ��
Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a
2222
22
21
2121
22
2221 �⌡�⌡�
agrupando se obtiene,
2)(
22
2212
221
21 �⌡⌡⌡
Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de
carga en el ensanchamiento brusco es
2
)( 221 � (4-7)
expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuaciónde continuidad se obtiene
2
12
12
2
2
1
22
1
2
2
1 �� (4-8)
Este resultado teórico está confirmado por los experimentos.
155
Si la superficie 2 es mucho mayor que
1 como podría ser el caso de entregade una tubería a un estanque, se tieneque
1
2
2
(4-9)
puesto que 0/ 21
Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica.
b) Ensanchamiento gradual
La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiadaexperimentalmente, entre otros, por Gibson. En una expansión gradual se producen torbellinosy vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de cargaadicional a la que corresponde por fricción con las paredes. Este fenómeno fue descrito en elcapítulo III al estudiar la teoría de la capa límite. La pérdida de carga en el ensanche graduales la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes, más la pérdida por formación detorbellinos. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanchebrusco.
1A
A 2
0º 20º 100º0
0,2
2
= 1,5
40º 60º 80º 120º 140º 160º 180º
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1
21
= 3
1 2
1 2 ( ) 2
2
Figura 4.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual)
156
En la Figura 4.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. El valorobtenido del gráfico para se reemplaza en la fórmula 4-10
2
)( 221 � (4-10)
Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual.
Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones
a) Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8° para el cual la pérdida de carga es mínima.
b) Para un ángulo de aproximadamente 60° la pérdida de carga en la expansión gradual esmayor que en la brusca.
Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir auna expansión curva.
En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansióngradual y una brusca.
C. Contracción del conducto
La contracción puede ser también brusca o gradual. En general la contracción brusca produceuna pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco.
La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1)en la Figura 4.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de
1 2
1 2
157
menor diámetro. Se produce consecuentemente una zona de separación. Luego se inicia ladesaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme.
Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. Lamayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). La energíaperdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. La pérdida de energía entre 1 y 2 secalcula con la expresión 4-8
2
12
2
2
1
2 �
en la que 1 es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y 2 esel área de la tubería menor (aguas abajo). 2 es la velocidad media en la tubería de menordiámetro (aguas abajo). La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente
2
112
12
2
222
2
2
2 �� (4-11)
Siendo el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinadosexperimentalmente por Weisbach (Tabla 4.2)
2
21
1 2
L. E.
L. P.2
2 2
0 1 2
Figura 4.5 Contracción brusca
158
TABLA 4.2COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS
Si
�2
11, entonces
2
22 (4-12)
Si 12 / es cero esto significa que 2 es mucho menor que 1 y se interpreta como una
embocadura con bordes agudos )5,0(
Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima, pues se reduce o casi eliminala formación de vórtices, dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corrientes.Consideraremos que su valor es cero.
Según Idelchik el coeficiente para la pérdida de carga en una contracción brusca se puedecalcular con la fórmula semiempírica
�2
1
2121
(4-13)
1 es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y 2 es el diámetro de la tubería menor
(aguas abajo).
D. Cambio de dirección
Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producenzonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior. El caso másimportante es el codo de 90°. La pérdida de carga es
⊕ ℘ 212 / 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,586 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1
159
2
9,02
(4-14)
Para el codo a 45° la pérdida de carga es
2
42,02
(4-15)
Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es
2
75,02
(4-16)
Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es
2
6,02
(4-17)
E. Válvulas y Boquillas
Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de
abertura. Los principales valores de son
Válvula globo (completamente abierta) 10Válvula de compuerta (completamente abierta) 0,19Válvula check (completamente abierta) 2,5
Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetrode la tubería y el grado de abertura. En una boquilla la pérdida de carga es
2
11 2
2 �
es el coeficiente de velocidad y es la velocidad de salida.
es la pérdida de carga en la boquilla.
160
TABLA 4.3PERDIDAS DE CARGA LOCALES
ENTRADA
2
22 ( : velocidad media de la tubería)
Bordes Agudos = 0,5
Bordes ligeramente redondeados = 0,26
Bordes Acampanados = 0,04
Bordes Entrantes = 1
ENSANCHAMIENTO
21
2
22
2
1
22
21 ��
( 1 : velocidad aguas arriba; 2 : velocidad aguas abajo)
Brusco = 1
Gradual Gráfico de Gibson
CONTRACCION
2211 2
22
2
2
� ( 2 : Velocidad aguas abajo)
Brusca Tabla de Weisbach
Gradual = 0
CAMBIO DE DIRECCION 2
2
( : velocidad media)
Codo de 90º = 0,90
Codo de 45º = 0,42
Codo de curv. fuerte = 0,75
Codo de curv. suave = 0,60
VALVULAS ( : velocidad media)
Válvulas de globo (totalmente abierta) = 10,0
Válvula de compuerta (totalmente abierta) = 0,19
Válvula check (totalmente abierta) = 2,5
161
Ejemplo 4.7 Calcular el gasto que escurreen el sistema mostrado en la figura. Latubería es de fierro fundido bastante oxidado.El diámetro es de 10 cm . La temperatura delagua es de 25 °C. La embocadura es conbordes agudos.
Solución. De la ecuación de la energía seobtiene
2227
2
2
2
1
2
⌡⌡
Por ser la embocadura con bordes agudos, 1 = 0,5 (ec. 4-5), 2 es igual a 1 por corresponder a la
entrega de una tubería en un depósito. (ec. 4-9). Sustituyendo
225,0
21,067
222
⌡⌡
Operando,
5,160142
⌡
La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.1. Luego,
015,0
Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada, se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4.2) que
= 0,044
Con este valor de , que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulenciaplenamente desarrollada, se calcula la velocidad.
= 5,76 m/s
Verificamos ahora el número de Reynolds. La viscosidad se obtiene de la Figura 1.8a o de la Tabla depropiedades mecánicas del agua.
5104,6Re Ι
confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. Esto significa, como sabemos, queel valor de es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds).Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.
5 m
2 m
1 m
162
= 45 l/s
A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga
Embocadura
2
502
0,85 m
Continua
2
2
4,47 m
Entrega
2
2
1,69 m
Energía total 7,01 m
Ejemplo 4.8 En el sistema mostrado en lafigura, la bomba impulsa gasolina cuyo pesoespecífico relativo es 0,68. La gasolina debepermanecer en el depósito con una cargaconstante de 1,0 m. En el depósito la presiónmanométrica es de 1,8 kg/cm2. A la salida dela bomba el diámetro de la tubería es de 3” yluego de una contracción gradual continúapor medio de un codo de curvatura suavede 2” hasta entregar al depósito. Elmanómetro ubicado inmediatamentedespués de la bomba indica 2 kg/cm2.Calcular el gasto.
Solución. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después dela bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contraccióngradual se desprecia.
2222
22
22
00
20
11
21 ⌡⌡⌡⌡⌡⌡
Por continuidad se tiene que,
21 = 0,1975 2
2
Reemplazando se obtiene
94,12
402,12
1 m
B
0
1
163
Luego,
2 = 5,2 m/s
= 10,5 l/s
4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales
En el ejemplo 4.7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega)representan el 36 % de la energía total. El 64 % restante corresponde a la pérdida de cargacontinua. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmentemuy elevadas. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor, el valor de la pérdida de cargacontinua crecería. Para una longitud muy grande podría darse el caso que las pérdidas decarga locales sean despreciables.
Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarsesin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos. Corresponde a valoresgrandes de la relación entre la longitud y el diámetro ( ).
Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes conrespecto a la energía total y por lo tanto no pueden despreciarse en los cálculos. Correspondea valores pequeños de la relación ( ).
A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de cargalocales consideremos que en la figura del ejemplo 4.7 la longitud de la tubería es , eldiámetro y la energía . Entonces,
222
2
2
2
1
2
⌡⌡
Admitamos que 1 es 0,5, 2 es 1 y = 0,024 (son valores escogidos arbitrariamente,pero que se presentan frecuentemente. En este cálculo se usan a fin de poder establecercomparaciones).
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene,
2024,05,1
2
⌡
Examinemos varias posibilidades
164
a)
= 100, luego
2
9,32
1
Pero si despreciamos las pérdidas de carga locales, entonces
2
4,22
2
La relación entre las velocidades calculadas, según que se desprecie o no, las pérdidasde carga locales, sería
27,14,29,3
Luego el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %. Evidentemente esto significaque al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado.
b)
= 1 000
Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidadsería del 3 %
c)
= 10 000
El error en el cálculo de la velocidad sería del 0,3 %
Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.
/ (con ) (sin ) 12 / Error
100
1 000
10 000
1,5 + 2,4
1,5 + 24
1,5 + 240
2,4
24
240
1,27
1,03
1,003
27 %
3 %
0,3 %
165
Estos valores son sólo indicativos, pues no corresponden a un caso absolutamente general(por ejemplo, 1 podría no ser 0,5). Sin embargo, el cuadro precedente ilustra claramentepara que orden de valores de el error es muy pequeño.
A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de laspérdidas de carga locales.
En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de laecuación de Darcy, o su equivalente
5
2
0827,0 (4-18)
Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a
2g
2
que equivale a
4
2
0827,0
La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas
4
2
5
2
0827,00827,0
⌡
La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que latubería sea larga o corta. Transformando,
4
2
082700827,0
⌡
Según lo expuesto en el capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la
estimación de la rugosidad (lo que es perfectamente posible), esto representará un error
del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en
el cálculo de la velocidad).
De acá se desprende que la condición límite corresponde a
166
4 % de 0827008270
,040
Examinemos el mismo sistema anterior ( y 024,05,1 ). Reemplazando se
obtiene,
1 562,5
1 500
En lo sucesivo se considerará, para fines prácticos, que si
1 500 (4-19)
la tubería es larga y por lo tanto las pérdidas de carga locales son despreciables.
4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)
Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadascon las pérdidas de carga continuas.
Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible detratamiento analítico. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca(ensanchamiento del conducto).
Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco, las dos ecuaciones fundamentalespara el cálculo son
⌡⌡⌡⌡ 2
22
22
12
11 22
1122221 ��
167
es el coeficiente de Coriolis, es el coeficiente de Boussinesq, es la velocidadmedia, es la presión, el peso específico del fluido, su densidad, el gasto, elárea de la sección transversal. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arribay los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo.
Para el flujo laminar consideramos
221
3/421
Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida decarga local
33 2121 �� (4-20)
Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento, ec. 4-7.
En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) lapérdida de energía por rozamiento con el contorno, b) la pérdida de energía por disipación enla formación de vórtices
⌡
Para el flujo laminar, (según ecuaciones de Darcy)
2Re
64 2
que para longitud y diámetro constante equivale a
2Re
2
La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es
2
2
168
se tiene que
⌡Re (4-21)
Naturalmente que si el flujo es turbulento
y son dos constantes.
4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes
Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energíapara que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. Lo que equivale a decir que dossistemas hidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la mismapérdida de carga.
Así por ejemplo, los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes
Siempre que los valores de la energía y del gasto sean iguales en ambos sistemas.
Ejemplo 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0,10 m de diámetro 0,020 de coeficiente
de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo, del mismo diámetro y rugosidad, en
las que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de = 2 ?
Solución. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas
⌡
222
222
169
22
2
⌡
Reemplazando los valores conocidos se obtiene = 110 m.
Ejemplo 4.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de latubería es de 4”. Está hecha de fierro fundido, nuevo. La viscosidad del agua es 1,4x10-6 m2/s. Losbordes de la entrada son ligeramente redondeados. El chorro descarga libremente a la atmósfera.Verificar por el método de la tubería equivalente.
Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 seobtiene
⌡⌡⌡� 122 21
2
20
Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general
= 3,6 m/s = 0,029 m3/s 29 l/s
La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212,24 m.
Luego,
m08,3526,3
1016,024,2120254,0
2
Con lo que queda verificado el problema.
0
1
5 m40 m
2
120 m 75 m
170
4.7 Tuberías en serie
Se dice que dos o más tuberías, de diferente diámetro y/o rugosidad, están en serie cuandose hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismogasto.
En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie. Corresponde a un sistemaformado por dos tramos que conecta dos estanques. La carga o energía disponible debeser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas ylocales). Esta condición se expresa por la ecuación de la energía
⌡⌡
22
22
2
22
21
1
11 (4-22)
Los subíndices 1 corresponden al primer tramo, los subíndices 2 corresponden al segundotramo. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos.
La ecuación de la energía junto con la de continuidad, constituyen las dos ecuacionesfundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie.
21
Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. El primero, quees el más simple, tiene por incógnita la energía . Son datos básicos los diámetros,longitudes, rugosidades y el gasto. La solución es inmediata.
L. E.
L. P.1
2
1
2=
Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos)
171
El segundo caso es más laborioso. La incógnita es el gasto. Los datos son la energía disponible , los diámetros, longitudes y rugosidades.
Hay varios métodos para resolver este problema. Uno podría ser suponer sucesivamentevalores para el gasto y verificar en cada caso si la suma de todas las pérdidas de carga esigual a la energía disponible . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energíay se determina para el valor de , dato del problema, cual es el valor correspondiente de .
Otro método es el siguiente. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuaciónde la energía en función de una de las dos velocidades ( 1 ó 2 ). Conviene luego iniciar loscálculos haciendo la siguiente suposición
21
Se debe entonces suponer un valor para . Esto puede hacerse, aproximadamente, teniendo
en cuenta la Tabla 4.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para porobservación del Diagrama de Moody, Figura 4.2 (se puede suponer inicialmente que laturbulencia está plenamente desarrollada).
Con el valor supuesto para se calcula las velocidades y luego los números de Reynoldspara cada tramo, y se determina con las rugosidades relativas los valores 1 y 2 .
Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy, se rehace el cálculo hallándosenuevos valores para 1 , 2 , Re , 1 y 2 .
Si estos valores obtenidos para son iguales a los dos últimos, esto significa que se hadeterminado los verdaderos valores de y de las velocidades. Se puede entonces calcular elgasto y cada una de las pérdidas de carga. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía.
Puede darse también el caso de un sistema en serie que descarga a la atmósfera.
L. E.
L. P.1 2
1
2=
3
3=
Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos)
172
Se mantiene el concepto general. La energía disponible es igual a la suma de todas laspérdidas de carga continuas y locales, más la energía de velocidades correspondiente alchorro final.
La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto.
321
Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro, el último de loscuales descarga a la atmósfera con una velocidad (velocidad de salida), se demuestrafácilmente que
⌡⌡
12
2
2
2
2
1 (4-23)
el gasto es evidentemente
Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que laspérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de cargacontinuas. En este caso se desprecian las pérdidas de carga locales.
Ejemplo 4.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros6 m y 9” en los 15 m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco.La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m. La tubería es de fierrofundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Calcular cada una de laspérdidas de carga.
Solución. La ecuación de la energía es
22222
5,062
22
2
2
22
221
21
1
11
21 ⌡⌡�⌡⌡ (1)
De la ecuación de continuidad se obtiene 21 25,2
Reemplazando los valores conocidos,
2
62,6521,19909,562
221 ⌡⌡ (2)
173
Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua podríamos suponer inicialmente02,021 . Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas
y observando el valor de para turbulencia plenamente desarrollada. El objetivo de esta suposiciónes obtener el orden de magnitud del valor 2 . Reemplazando se obtiene,
2 = 3,36 m/s
Lo que significa
1 = 7,56 m/s
Considerando que para 20 °C, la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s.
Los números de Reynolds son,
1Re = 1,15x1062Re = 7,7x105
y las rugosidades relativas,
1
= 0,0016 2
= 0,0011
Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0,00025 m, según la Tabla 2.1 o la 4.4.
Del diagrama de Moody (Figura 4.2) se obtiene el valor de
1 = 0,022 2 = 0,0205
Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0,02). Usando estos valores calculamosun nuevo valor para las velocidades en (2)
1 = 7,42 m/s 2 = 3,3 m/s
Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de . Se obtienen valores iguales a los
supuestos. Por lo tanto,
11 135 l/s
Verificación de la ecuación de la energía
25,0
21 1,40 m
2
21
1
111
2,43 m
174
� 2
221 0,87 m
2
22
2
222
0,75 m
2
22 0,56 (Energía total: 6,01 m)
Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este caso las tuberías son relativamentecortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el 47 % de la energíatotal.
4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación
Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) haypresión negativa.
En la figura se observa un estrechamientoen la tubería. Se produce aumento de lavelocidad y por consiguiente debe haberdisminución de la presión. Si elestrechamiento es muy grande, como elmostrado en la figura, la línea de gradientequeda por debajo de la tubería y se producepresión negativa.
En la Figura 4.8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón, quepodría ser de tipo topográfico, tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente. Aeste sistema hidráulico se le denomina sifón. es la carga.
La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une lassuperficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta, pues latubería no lo es).
Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. En lospuntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero.
Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Por lo tanto “presión cero” significa“presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”.
L. P.
175
En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire
contenido en el agua y si la velocidad
no es suficientemente grande el aire
queda retenido en la parte superior de
la tubería impidiendo la normal
circulación del agua.
Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava. Por lo tanto unsifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondientea la formación de vapor a la temperatura del agua.
Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4.8).Considerando en este caso para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas, se tiene
⌡⌡⌡⌡⌡2
2033,100
siendo,
: velocidad media en la tubería
A
B
D
C
= 0= 0
Figura 4.8 Esquema de un sifón
176
: altura correspondiente a la presión absoluta
: sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto, con respecto al nivel de lasuperficie libre en el reservorio de alimentación
: pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso)
El máximo valor de depende del valor que se admite para la presión absoluta en C. A fin deevitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor, esta presión nodebe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. EnC se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrarlas burbujas de aire.
Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas.Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente.
Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas(cavidades) de vapor en el seno del líquido. Las burbujas se forman en las zonas de reducciónde presión. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruidocaracterístico.
En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones
a) La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducciónde la eficiencia de conducción.
b) La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido ovibraciones.
c) La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la fallaestructural de la tubería.
La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominadoParámetro de Cavitación
22 �
(4-24)
es la presión absoluta en el punto considerado, es la presión absoluta de vaporizacióndel líquido a la temperatura existente, es la densidad del líquido y es la velocidadmedia.
Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler.
177
La presión absoluta de vaporización varía, como es sabido, con la temperatura. Hay curvas ygráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura. Sinembargo debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas, sales, que obligan a aceptarvalores prácticos diferentes. Para temperaturas normales se acepta que la presión absolutade vaporización del agua es el orden de 0,2 a 0,3 kg/cm2.
Ejemplo 4.12 Dos estanques A y B (Figura 4.8) están conectados por una tubería que pasa por unpunto C, ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. Calcular la máxima elevación quepuede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2,4 m decolumna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de latubería es de 1 000 m. La longitud entre A y C es 400 m. La diferencia de nivel entre ambos estanques
es 15 m. El diámetro de la tubería es 0,4 m. Considerar que el coeficiente de Darcy es 0,04. Calcular
además el gasto.
Solución. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales
por se tubería larga). Se obtiene = 1,71 m/s.
Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C
220
22
⌡⌡⌡
Reemplazando,
= 1,78 m
La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1,78 m, con respecto a la superficielibre del estanque A.
El gasto es = 215 l/s
4.9 Tubería con boquilla convergente final
Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye elgasto, pero aumenta la potencia del chorro.
La pérdida de carga en la boquilla viene dada por
2
11 2
2 � (4-25)
178
: es el coeficiente de velocidad propia de la boquilla
: es la velocidad de salida del chorro
Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es
2211
22
22
2
22
⌡�⌡⌡ (4-26)
Esta ecuación se resuelve combinándolacon la de continuidad
Los subíndices corresponden a la salida.
La potencia del chorro es
2
2
(4-27)
Ejemplo 4.13 De un estanque sale una tubería de 1,20 m de diámetro y de 840 m de longitud. La tuberíaes de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. La energía disponiblees de 40 m. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. El coeficientede velocidad en la boquilla es 0,9. La temperatura del agua es 10 °C. La embocadura es ligeramente
redondeada ( = 0,2).
Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final
L. E.
L. P.
2
2
179
Solución. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla.
222
222
⌡⌡
Reemplazando los valores conocidos
7002,1240
⌡Ι
La rugosidad relativa es 0,00004. Se obtiene finalmente
= 0,010
= 9,78 m/s
= 11,06 m3/s
La potencia del chorro es
m/s-kg0297353278906110001
2
22
ΙΙ
= 710 HP
Si la descarga se produce con boquilla, entonces
2211
22
22
2
22
⌡�⌡⌡
Por la ecuación de continuidad
4
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
70088,19240
⌡Ι
encontrándose finalmente
= 0,011
= 5,33 m/s
180
= 21,32 m/s
= 6,03 m3/s
= 1 840 HP
Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2,59 veces mayor, pero el gasto sereduce al 54,5 %
4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo
Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. Las bombas aportan energía.Las turbinas absorben, toman, energía. Las bombas están accionadas por un motor. Lasturbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida.
La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía.
El aumento en la energía dela corriente depende del gasto, delpeso específico del fluido y de lapotencia
(4-28)
( 1 es la energía inmediatamenteantes de la bomba y 2 es laenergía inmediatamentedespués).
Para el caso de una turbina cambia el signo de la expresión anterior. Vale decir que en unaturbina se usa la energía de la corriente para producir potencia. Se aprovecha la energía deelevación para obtener energía mecánica.
Si de un estanque sale una tubería que descarga por medio de un chorro libre, este chorrotiene una potencia que es aprovechable. La potencia es un trabajo por unidad de tiempo. Laaltura de velocidad del chorro, obtenida a partir de su velocidad de salida , es un trabajo porunidad de peso del fluido. Luego la potencia del chorro, tal como lo vimos en el apartadoanterior, es igual al producto del gasto por el peso específico del fluido y por la altura develocidad.
2
2
1
L. E.
Tubería
2
B
Figura 4.10 Presencia de una bomba
181
Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente yla energía que acciona la bomba.
La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energíatomada de la corriente.
Esquema genérico de un suministro por bombeo
En la Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro porbombeo de M a N. B representa una bomba. En M el líquido está confinado y sometido a unapresión 0 . El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) sedenomina de impulsión. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión.En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N, queestá a presión.
Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene
�⌡⌡⌡
101
21
10
2
B
0
21
0
3
3
M
N
Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo
182
El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales, según el
caso) entre 0 y 1. La presión 1 debe ser lo suficientemente grande como para que no se
produzca cavitación en la bomba.
De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3.Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías, succión e impulsión, no es necesariamenteigual (ver ejemplo 4.14).
�⌡⌡⌡⌡
323
23
3
22
22
22
La energía suministrada por la bomba debe ser 12 �
⌡�⌡
22
21
11
22
22
o bien,
���⌡⌡⌡�� 10
032
23
33
2
�⌡⌡�⌡⌡
30
23
303
2
(4-29)
Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera 030
La ecuación anterior se reduce a
�⌡⌡⌡
30
23
3 2
(4-30)
Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. Evidentemente que es la energía necesaria para establecer el flujo.
La potencia teórica de la bomba en HP debe ser
76 (HP) (4-31)
183
Si introducimos el coeficiente de eficiencia de la bomba entonces la potencia real es
76 (4-32)
Ejemplo 4.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s?. Las tuberíasson de fierro fundido, nuevas. El fluido es agua con una viscosidad de 1,4x10-6 m2/s. No considerarpérdidas de carga locales. La eficiencia de la bomba es 0,8. Hallar la presión a la entrada y salida de labomba.
Solución. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías, designándolas porel subíndice que corresponde al diámetro.
8 = 2,16 m/s 6 = 3,84 m/s
y luego los números de Reynolds respectivos
8Re = 3,14x1056Re = 4,18x105
Las rugosidades relativas son
0,0012 0,0016
En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente de Darcy.
8 = 0,021 6 = 0,023
Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo
B
3,0 m
0 m
33,0 m
= 8" = 300 m
= 600 m = 6"
184
8 = 7,38 m
6 = 68,12 m
La energía que debe suministrar la bomba es (ec. 4-30)
m25,1062
302
6
68
⌡⌡⌡
(no se ha considerado pérdidas de carga locales).
La potencia teórica es
76 = 97,86 HP
La potencia efectiva es 122,3 HP
La presión a la entrada de la bomba ( ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía
8
28
00
20
22
⌡⌡⌡⌡⌡
Reemplazando,
0 + 0 + 3 = 0,24 + + 0 + 7,38
Se llega finalmente a
= - 4,62 m (- 0,46 kg/cm2)
La presión a la salida de la bomba ( ) es
�⌡⌡
22
26
28
0,24 - 4,62 = 0,75 + - 106,25
= 101,12 m (10,11 kg/cm2)
Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De estamanera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.
185
TABLA 4.4
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propianaturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos.
En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concretoel acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en esta tabla.
La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. (Esta tabla es igual a laTabla 2.1).
MATERIAL (m)
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
Fierro forjado
Acero rolado nuevo
Acero laminado, nuevo
Fierro fundido, nuevo
Fierro galvanizado
Fierro fundido, asfaltado
Fierro fundido oxidado
Acero remachado
Asbesto cemento, nuevo
Concreto centrifugado nuevo
Concreto muy bien terminado, a mano
Concreto liso
Concreto bien acabado, usado
Concreto sin acabado especial
Concreto rugoso
Duelas de madera
1,5 x 10-6
4,5 x 10-5
5 x 10-5
4 x 10-5 – 10-4
2,5 x 10-4
1,5 x 10-4
1,2 x 10-4
1 x 10-3 – 1,5 x 10-3
0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3
2,5 x 10-5
1,6 x 10-4
10-5
2,5 x 10-5
2 x 10-4 – 3 x 10-4
10-3 – 3 x 10-3
10-2
1,8x10-4 – 9 x 10-4
186
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo IV)
1. Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s, de
aceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). El acero es nuevo.
La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería
2. En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Está
sometido a una presión de 0,12 kg/cm2.
Descarga por medio de la tubería
mostrada, que tiene 4 cm de diámetro y
es muy lisa, de cobre. Determinar la
viscosidad del líquido sabiendo que el
gasto es de 4 l/s. La embocadura es
perfectamente redondeada, por lo que
puede despreciarse la pérdida de carga
local. La carga es 0,90 m y la
longitud es 8 m.
3. El sistema mostrado en la figura
descarga agua a la atmósfera.
Calcular el gasto. La embocadura es
con bordes agudos. La tubería de 6
cm de diámetro es de fierro fundido
nuevo. La temperatura del agua es
de 20 °C.
4. Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamente
abierta.
5. Calcular cual debe ser el valor de la carga en el sistema mostrado en la figura para que el
gasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3” de diámetro. La longitud total es de 75 m.
La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con bordes
agudos. El codo es a 90°. Calcular cada una de las pérdidas de carga.
100 m80 m
0
1
2
187
( = 4,5 x 10-5 m)
6. Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería
arranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga de la
tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globo
completamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considérese
que la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.
7. La pérdida de presión debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en una
tubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro de la tubería, de la velocidad
media del escurrimiento, de la densidad del fluido y de su viscosidad dinámica .
Determinar la forma más general de una ecuación, dimensionalmente homogénea para obtener
. ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?.
8. En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es de
750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2. Descarga por medio de la tubería
mostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad del
líquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, por lo
que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga es 0,30 m y la longitud es 20 m.
9. Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca de
un estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de desague. A lo largo de la tubería
hay 2 codos standard de 90° y una válvula ( = 10). La embocadura es con bordes agudos.
Calcular el gasto ( = 20 °C).
10. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetro
y 1 550 m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10-6 m2/s. Calcular el
gasto.
11. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problema anterior
para que el gasto sea de 50 l/s?.
188
12. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. La
diferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primer
estanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera.
Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema se puede
considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a 0,95.
Considerando que el coeficiente de fricción es constante e igual a 0,032. Calcular el gasto:
a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta.
13. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en los
primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25,1 m. La embocadura es con bordes ligeramente
redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cual debe ser la diferencia de nivel
entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de 123,5 l/s. Dibujar la
línea de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamente cada una de las
pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3x10-6 m2/s.
14. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que los
une tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que longitud debe tener el segundo
tramo, cuyo diámetro es de 2”, para que el gasto sea 8 l/s. La embocadura es acampanada ( =
0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro forjado.
15. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro en
los primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordes
ligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las
superficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3x10-6 m2/s.
Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica.
16. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20 pies
y de 9” en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de sección es
brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20 pies.
Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar = 0,04 en ambas tuberías.
17. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de acero
remachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro. El segundo
tramo, unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro.
La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocado
una válvula. Calcular para que valor de , de la válvula, el gasto queda reducido al 90 % (del
que existiría en ausencia de la válvula). La temperatura del agua es de 15 °C.
189
18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25 m
y 8” en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio de sección
es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías son de fierro
fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto, y cada una de las
pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.
19. Dos estanques estan conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20 m
y 6” en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio de sección es
brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es de fierro fundido.
La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Dibujar la línea de energía y la línea
piezométrica.
20. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. Descarga libremente a
la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente de Darcy.
Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemos que
la pérdida de carga es despreciable, determinar cual debe ser el diámetro de la boquilla para que
la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia.
21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, su
rugosidad es de 1,5x10-4 m, la viscosidad es de 10-6 m2/s.
3,0 m
3,0 m4,0 m
7,0 m
1,5
8,0 m
190
22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. La
eficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bomba es
de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de la bomba.
El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular la longitud de
cada uno de los tramos.
23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 % para bombear 15 l/s.
La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( = 0,8). Hay una
válvula check ( = 2) y una válvula de compuerta ( = 17). El codo es de curvatura suave. Latubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.
B
22,0 m
10,0 m
= 4"
Fierro fundido, nuevo
= 4"
50 m
250 m90,0 m
B11,5 m
10,0 m
1,5 m
191
24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular lapotencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero en direccióncontraria.
25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. Si lapotencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal.
B = 12" = 300 m
= 600 m = 12"
12 m
193
CAPITULO DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES
5.1 Tuberías en paralelo
Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica.Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en elpunto C. La tubería continúa a lo largo de CD.
Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo
Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) lamisma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la mismaenergía. Se cumple entonces el siguiente principio
Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC
La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina,de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La
A B C D
M
N
194
energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En unconducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar quela energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que laramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene supropio diámetro, longitud y rugosidad.
A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) parael sistema mostrado en la Figura 5.2
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo
Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se produciráen cada una de ellas la misma pérdida de carga.
Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo
Se cumplirá que
54321 (5-1)
A B C D
1
2
3
4
5
A B C D
B -C
L. P.
195
representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos.
La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total de latubería AB (y de la tubería CD).
54321 ⌡⌡⌡⌡ (5-2)
La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C.
Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambossuponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, asícomo las propiedades del fluido.
1. Se conoce la energía disponible entre B y C y se trata de calcular el gasto en cadaramal.
2. Se conoce el gasto total y se trata de determinar su distribución y la pérdida decarga.
El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo,con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Serecomienda el siguiente procedimiento
Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( ) se obtiene
250827,0
(5-3)
expresión en la que,
: pérdida de carga en el tramo considerado
: coeficiente de Darcy
: longitud del tramo considerado
: diámetro de la tubería
: gasto
de la que obtenemos inmediatamente
215
477,3
(5-4)
Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchoscasos se puede considerar que también es constante, por lo menos para un determinado
196
rango de velocidades. Luego,
21
(5-5)
A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella
5
477,3 (5-6)
si usamos la ecuación de Darcy.
Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo.
La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma
(5-7)
en donde los valores de y de dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmenteobtenerse los valores de y de para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormentese obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams.
Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y seobtiene así la relación entre 1 y 2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtieneun sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales.
Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas
(5-8)
Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues o es un dato.
Hay un sistema de conducción que secaracteriza porque se produce unaramificación, pero los ramales noconcurren en un punto. Este sistemapuede tener un caso particular: que enlas bocas de descarga de los ramales laenergía sea la misma. Este sistema seconsidera como un sistema de tubería enparalelo.
Figura 5.4 Tubería ramificada
A B
1
2
3
1 2 3 = =
197
Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos
1 = 1 000 m 2 = 750 m
1 = 16’’ 2 = 12’’
1 = 0,018 2 = 0,018
El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.
Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos laecuación 5-3
225
2
22215
1
11 0827008270
de donde,
16,31216
1000750 55
2
1
1
222
21
Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
21 78,1 1,021 ⌡
Obteniéndose finalmente
2 = 36 l/s 1 = 64 l/s
El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4
215
477,3
obteniéndose
21
0863,01 21
0485,02
sumando
21
1348,0
que es la ecuación de descarga del sistema. Para = 0,1 m3/s se obtiene = 0,55 m. Al reemplazar este
valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal.
El método es extensible a cualquier número de ramales.
198
Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos
1 = 100 m 2 = 156 m
1 = 14’’ 2 = 12’’
1 = 0,018 2 = 80 m1/2/s
Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en
cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( = 2,5).
Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2
22
8
= 0,0122
Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal
225,2
2
22
2
22
21
21
1
11 ⌡
Reemplazando valores y operando se obtiene
12 1,1
Por continuidad,
144 2
22
1
21 ⌡
Se obtiene así
1 = 5,57 m/s 2 = 6,13 m/s
1 = 553 l/s 2 = 447 l/s
A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose = 11,97 m, que es
la energía disponible.
En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritosanteriormente.
199
5.2 El problema de los tres reservorios
En la Figura 5.5 se muestran tres estanques ubicados a diferentes niveles y que estáncomunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.
Figura 5.5 Tres reservorios
Los valores de corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden ala elevación de la superficie libre. Para el nudo P, representa la suma de la elevacióntopográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión.
Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotaspiezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto encada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas puedenpresentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.
El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cotapiezométrica del nudo P y la del estanque respectivo.
Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tresreservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentadordel sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tresestanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese unpunto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cadaramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón.
Así por ejemplo si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo delestanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.
1
PP
2
3
1
2
3
12
3
200
Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)
En este caso particular la ecuación de continuidad es
321 ⌡
Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otrascombinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidaden el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero.
Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes yrugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiereel método siguiente
1. Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.
2. Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a
las pérdidas de cada 1 , 2 y 3 .
Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuaciónde continuidad.
3. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4
215
477,3
1
P
2
3
1
3
2
P
P 1
P 2
P 3
201
Esta ecuación toma para cada tubería la forma
21
Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, lade Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica esde la forma
determinándose los valores de y de para la ecuación particular que se estáempleando.
Calculado el valor de es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.
4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.
5. Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevostanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.
6. A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así porejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser
321 ⌡
Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, setiene que hay un error, que es
213 ⌡�
El gráfico sería
- +0
P
- ( + )3 1 2
202
Cada punto corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. Laintersección con el eje vertical significa que
213 ⌡� = 0
con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cadaramal.
Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento encada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente.
Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo enP una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica 2 = 0. Comparando 1 y
3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.
Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios.
Figura 5.7 Cuatro reservorios
El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer unasola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cotapiezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego quecalcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a
21 ⌡ . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3
250827,0
u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy.
1
P1
1
2
3
4
2
3 4
P2
203
La forma genérica de esta ecuación es
en donde los valores de y dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de se ha supuesto que el coeficiente de resistencia
( , , , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango
de valores de la velocidad.
Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos 3 y 4 y se verificaluego la ecuación de continuidad. Caso que ésta no quede satisfecha deberá repetirse elprocedimiento y recurrir a un gráfico.
Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son
1 = 120 m 2 = 100 m 3 = 80 m
1 =1 000 m 2 = 2 000 m 3 = 1 200 m
1 = 8’’ 2 = 10’’ 3 = 6’’
1 = 0,02 2 = 0,018 3 = 0,015
Calcular el gasto en cada uno de los ramales.
Solución. A partir de la ecuación
215
477,3
determinamos la ecuación de descarga de cada tubería
21
11 0145,0 21
22 0188,0 21
33 0074,0
Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m
= 110 m
1 = 10 m; 1 = 45,9 l/s
2 = 10 m; 2 = 59,5 l/s 321 ⌡� = - 54,1 l/s
3 = 30 m; 3 = 40,5 l/s
204
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo
= 105 m
1 = 15 m; 1 = 56,2 l/s
2 = 5 m; 2 = 42 l/s 321 ⌡� = - 22,8 l/s
3 = 25 m; 3 = 37 l/s
Haremos algunos cálculos adicionales
= 101 m
1 = 19 m; 1 = 63,2 l/s
2 = 1 m; 2 = 18,8 l/s 321 ⌡� = 10,5 l/s
3 = 21 m; 3 = 33,9 l/s
= 100,5 m
1 = 19,5 m; 1 = 64 l/s
2 = 0,5 m; 2 = 13,3 l/s 321 ⌡� = 16,4 l/s
3 = 21,5 m; 3 = 34,3 l/s
= 100 m
1 = 20 m; 1 = 64,8 l/s
2 = 0 ; 2 = 0 321 ⌡� = 31,7 l/s
3 = 20 m; 3 = 33,1 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado
1 = 62 l/s 2 = 27 l/s 3 = 35 l/s
y la cota piezométrica del punto P es 102 m.
205
5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos
En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bombaB, una tubería de impulsión 2, que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques.
Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cadatubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata decalcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método
1. Suponer un valor para el gasto impulsado por la bomba ( 21 ).
2. Calcular la pérdida de carga 1
en la tubería 1.
3. Calcular la cota piezométrica a la entrada de la bomba.
4. Calcular la energía teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,
76
es la energía en metros, es la potencia en HP, es el peso específico delfluido en kg/m3 y es el gasto en m3/s.
0 +10 +20 +30 +40 +50 +60100101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
-10-20-30-40-50-60
-22,8
+10,5+16,4
+31,7
-54,1
P
- ( + )1 2 3
206
Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos
5. Calcular la cota piezométrica a la salida de la bomba.
⌡
6. Calcular la pérdida de carga 2
en el tramo 2.
7. Calcular la cota piezométrica del nudo P
2 �
8. Calcular la energía disponible 3
para el tramo 3
33 �
9. Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma
10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4.
11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
3
4
4
p
3
21
B1
P
1
3
4
207
432 ⌡
Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por labomba.
Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito enel apartado anterior.
Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una
potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar = 0,02 en todas las tuberías. (Para
los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).
Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3
250827,0
La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4
215
477,3
Reemplazando datos de cada tramo se obtiene
211
67,14 21
33 0188,0
222
63,107 21
44 0326,0
43
2
1 B
P
100 m20"
300 m
18"
1 300 m
10"1 800 m
12" 1 500 m
125 m
120 m
208
Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto = 100 l/s (en la bomba).
La pérdida de carga en el tramo 1 es
211
67,14 = 0,15 m
La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m.
La energía teórica suministrada por la bomba es
100001407676
ΙΙ = 30,4 m
La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130,25 m.
La pérdida de carga en el tramo 2 es222
63,107 = 1,08 m
La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129,17 m.
La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es
3 = 129,17 - 125 = 4,17 m
y el gasto resultante es
21
33 0188,0 = 38,4 l/s
La energía disponible para el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante es
21
44 0326,0 = 98,7 l/s
Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que
432 ⌡
o bien,
0432 ⌡�
sin embargo encontramos que para el gasto supuesto
432 ⌡� = -37,1 l/s
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.
209
Hacemos un nuevo cálculo con = 110 l/s y obtenemos
432 ⌡� = 8,9 l/s
Hacemos un nuevo tanteo con = 108 l/s y obtenemos
432 ⌡� = -1,2 l/s
con = 108,7 l/s se obtiene,
432 ⌡� = 2,1 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s) se
obtiene
= 108 l/s 3 = 24 l/s 4 = 84 l/s
0 +10 +20100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
-10-20-30-40
- ( + )2 3 4
210
5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud 1 , diámetro 1 y coeficientede resistencia 1 . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación delestanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.
Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente
El método de cálculo sugerido es el siguiente
1. Suponer una cota piezométrica en el punto P.
2. Calcular las energías disponibles para cada tramo
3. Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).
215
477,3
o bien otra ecuación de la forma
4. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
321 ⌡
5. Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar elvalor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación decontinuidad.
1
PP
1 1 2
3 3
2
211
5.5 Conducto que da servicio (filtrante)
Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gastoque transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene unatoma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle daservicio a cada casa.
Figura 5.10 Conducto que da servicio
Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismoque la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante.
Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente se tendríaque, en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadradodel gasto y a la longitud.
2
2
de donde,
2
expresiones en las que
: es la pérdida de carga
: es el coeficiente de Darcy
: es la longitud de la tubería
: es el diámetro
: es la velocidad media
: es el gasto
: es igual a 0,0827 5
(ec. 5-3)
0
212
En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es 0 . Consideremos que el gasto que sale
a lo largo del conducto es m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto es constante. El gasto en cualquier sección es
� 0 (5-9)
siendo la distancia desde el punto inicial.
La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es
2
y por lo tanto
0
2
Introduciendo la ecuación (5-9)
2
0 0 �
�⌡ 0
2220 3
���⌡ 00
202
0 3
20
203
⌡⌡ (5-10)
que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud en cuyoextremo el gasto es . Para el caso particular que el gasto final sea cero
203
(5-11)
Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la queocurriría si el gasto fuera constante.
213
Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería sebifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente ala atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidasuniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de la descarga de todas ellas es igual a lamitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final).
Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque).Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar = 0,024,constante e igual para todas las tuberías.
Solución.
En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-9
20
203
⌡⌡
En este caso particular =2
0. Luego,
205
20 0827,0
127
47
3
Sustituyendo los datos , y para el conducto filtrante se obtiene
200
52,1122
La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es
225 78,71810827,0
Debe cumplirse que
m1552,112278,7181 20
2 ⌡ (1)
1
0
0
15 m
P
214
La pérdida de carga en el otro ramal es
21
2151
46,62130827,0
Debe cumplirse que
m1546,621378,7181 21
2 ⌡ (2)
Luego2
120 46,621352,1122
10 31,1
Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano sehubiera podido establecer la ecuación
10 712
Continuando,
11110 31,231,1 ⌡⌡
Reemplazando en (2)
1 718,78(2,31)2 21 + 3 621,46 2
1 = 15
De donde,
1 = 34,2 l/s = 79 l/s 0 = 44,8 l/s
La pérdida de carga en el ramal principal es 10,73 m. En cada uno de los dos ramales la pérdida decarga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,97 m, que es prácticamente igual a la energía disponible.
Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades.Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.
Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante
0x
215
En la Figura 5.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para
un tramo de longitud y velocidad inicial 0 . Se denomina a la velocidad a la distancia
del punto inicial. Se cumple que
� 0
La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud y luego integrando
2
2
�
0 2
220
2
⌡� 2
3220
32
para se obtiene
23
1 20 (5-12)
Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero secumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.
Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.
212
7 20 (5-13)
5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo
Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gastoque pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua ypara su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.
216
Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento dela rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de lacapacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así
10 ⌡ (5-14)
siendo
: rugosidad después de transcurrido el tiempo
0 : rugosidad inicial (al ponerse en servicio de la tubería)
1 : velocidad de aumento de la rugosidad
Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmentecon el tiempo.
Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad
TABLA 5.1
INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD
Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidadinicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro deun cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frentea una disminución de la capacidad de la tubería.
La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de lacalidad o naturaleza de la tubería.
Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recubrirse interiormentecon una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidadde diseño de la conducción.
INTENSIDAD 1, mm/año
Pequeña
Moderada
Apreciable
Severa
0,012
0,038
0,12
0,38
217
Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Despuésde 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción, para bombear 400 l/s.Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 %¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de600 l/s? ( = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %).
Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es
6,74,00001
7640 ΙΙ
m
250827,0
oo
o = 0,00071 m
5109Re Ι
En el ábaco de Moody se obtiene 1 = 0,0009. Luego,
1 = 0,00046 m
Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de . Luego = 0,0213
y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es
4 = 0,0014 o
oo 4 = 0,00071 m
Sabemos que según la ecuación 5-14
104 4⌡
0,00071 = 10 4⌡ 0 = 0,00038 m
Por consiguiente oo
o
0,00046 = 10 ⌡ 1 = 0,000083 m/año
Después de 8 años de servicio
108 8⌡ oo
o 8 = 0,001044 m
002055,08
Re = 1,37 x 106
oo
o = 0,0236
218
250827,0
= 20,77 m
7677,206,00001
76ΙΙ = 164 HP
que es la potencia teórica requerida.
5.7 Fórmula de Hazen y Williams
La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos detuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, paratuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s.
La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así
54,063,2000426,0 (5-15)
expresión en la que
: gasto en litros por segundo
: coeficiente de Hazen y Williams
: diámetro en pulgadas
: pendiente de la línea de energía en metros por km
Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes,luego
54,0 (5-16)
siendo
54,063,2000426,0 � (5-17)
La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5.
Los valores de la constante de Hazen y Williams han sido determinadosexperimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que estecoeficiente es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2
219
TABLA 5.2
COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS
Hagamos una breve discusión de la fórmula.
- Si el Diámetro y la pendiente de la línea de energía se mantienen constantes setiene que
2
1
2
1
(5-18)
Significa esto que si el coeficiente varía, el gasto variará en la misma proporción.Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro yel mismo valor de . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivoscoeficientes de Hazen y Williams.
- Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces
54,022
54,011
85,1
2
1
1
2
(5-19)
Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primeratiene igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces
NATURALEZA DE LAS PAREDES
Extremadamente lisas y rectas
Lisas
Madera lisa, cemento pulido
Acero ribeteado
Fierro fundido viejo
Fierro viejo en mal estado
Fuertemente corroído
140
130
120
110
95
60-80
40-50
220
85,1
1
2
120100
= 0,714
Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen yWilliams.
63,254,0
000426,0
866,485,17
85,1
10813,5
�Ι
866,485,17
85,1
10813,5
�Ι
Para una tubería particular se cumple que
85,1 (5-20)
Así por ejemplo, si = 10’’, = 120 y = 1,25 km se obtiene
85,185,147 00417,0
10345,74,022710813,525,1
ΙΙΙΙ �
85,100417,0
Que es la ecuación de descarga para la tubería.
221
Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimientode agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.
La elevación del punto P es 10 m.
Inicialmente la válvula está completamente abierta.
1 = 5,2 km 1 = 16’’ 1 = 100 (acero usado)
2 = 1,25 km 2 = 10’’ 2 = 120 (cemento pulido)
3 = 1,5 km 3 = 10’’ 3 = 120 (cemento pulido)
Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada enel ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula.
Solución. La ecuación de Hazen y Williams es
54,063,2000426,0
de donde,
54,0
54,063,2000426,0
54,0
siendo característico de cada tubería e igual a
54,0
63,2000426,0
Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de
54,0
11 68,25 54,0
22 33,19 54,0
33 52,17
50 m
P
1
1 2
3
20 m
10 m
10 m
válvula
222
Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces
1 = 20 m 2
= 10 m 3 = 20 m
que son las energías disponibles en cada tramo.
Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable altramo 2 por tener una válvula.
1 = 129,5 l/s 3 = 88,3 l/s
2 será simplemente la diferencia, 2 = 41,2 l/s
Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es
85,122
004173,0
2 = 4,06 m
Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m.
Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión enP, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación decontinuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.
Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si secontinúan los cálculos se obtiene
= 17,3 m
1 = 139 l/s 2 = 57 l/s 3 = 82 l/s
1 = 25 m 1 = 146,04
2 = 5 m 2 = 46,1 = 15 m
3 = 15 m 3 = 75,6 24,3⌡� 321
1 = 22,5 m 1 = 138
2 = 7,5 m 2 = 57,4 = 17,5 m
3 = 17,5 m 3 = 82,2 1,6�⌡� 321
223
5.8 Diseño de una conducción
Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro másadecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de
a) Velocidadesb) Presionesc) Costo
Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sinotambién hay la posibilidad del golpe de ariete.
Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadasanteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, puesdan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación.
Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de queestán hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma partede la descripción técnica de una tubería.
El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de undiámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante.Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetroscomerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros,que escapan a los alcances de este curso.
Examinemos el caso genérico de laFigura 5.12. La tubería AB une losdos estanques. Se trata dedeterminar el diámetro que debe tener,conociendo la carga disponible yel gasto .
El dibujo muestra el perfil de latubería de acuerdo al terreno sobreel que debe apoyarse.
Se ha trazado aproximadamente lalínea de gradiente hidráulica (sobrela hipótesis de diámetro uniformeentre A y B) y, como se observa enel dibujo, se anticipa la presencia depresión negativa en N y quizá unapresión muy fuerte en M (positiva).
Figura 5.12 Diseño de una conducción
A
B
L. P.
M N
224
La inclinación de la línea de gradiente sería
Siendo la diferencia de nivel entre los estanques y la longitud total de la conducción,supuesta de diámetro uniforme.
Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandeshabría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberíasen serie, como se muestra en la Figura 5.13
Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción
Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formadapor varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustración de lo anteriormente expuestopodemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y laspresiones negativas excesivas.
Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó porqué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’).La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga seríamuy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitaresto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y porconsiguiente la pérdida de carga.
En todo caso debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primerosproblemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienenrazones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.
A
B
L. P.
MN
225
Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terrenomostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20 ‘’dediámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, = 100,
Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que
74265
= 56,4 m/km
La pérdida de carga entre A y N sería
197,43,556,4 Ι m
La cota piezométrica en N es
= 1 027,6 m
La presión en N es
= - 22,4 m
Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos:AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.
5,3175 = 50 m/km
La pérdida de carga entre A y M es
653,150 Ι m
1 225 m
1 100 m 1 050 m
A
M
N
B
960 m
2 200 m
B'
226
La cota piezométrica en M es
= 1 160 m
La presión en M resulta ser
= 60 m
Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2, lo que equivale a una altura de52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cotapiezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendiente es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williamsobtenemos
54,063,2
000426,0
o
oo = 15,5’’
Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor quela admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en Muna presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nosinteresa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de lapresión negativa en N.
Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de
tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es46,96 m/km. Sea la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que
89,98 + 46,96 (1,3 - ) = 72,3
De donde la longitud es 0,262 km. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de14’’ y 1 038 m de 16’’.
Ensayemos diámetros para el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N seríamuy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m,lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 mvalor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramoes
2,14,89 = 74,5 m
De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con
el tramo AM descompondremos en un tramo de 14’’ y otro de 16’’ de modo que
89,98 + 46,96 (1,2 - ) = 89,4
227
228
De acá se obtiene que es 0,768 km.
Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así
262 m de 14’’ (A - M’)1 038 m de 16’’ (M’ - M)2 200 m de 16’’ (M - N)
432 m de 16’’ (N - B’)768 m de 14’’ (B’ - B)
Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta eltrazo de la línea piezométrica.
5.9 Diámetro más económico
Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro comootros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, quedesde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es eldiámetro más económico.
Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de loscostos de instalación, operación y servicios del sistema.
Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo,pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, queconformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener másde una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la soluciónmás económica.
En una instalación por bombeo los costos principales son
a) Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayordiámetro, mayor costo.
b) Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcionalal diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y porconsiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.
Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmentelos datos están constituidos por
- Diámetros disponibles en el mercado
- Costo de las tuberías
- Gasto requerido
229
- Coeficientes de rugosidad de las tuberías
- Costo del KW hora
- Tiempo de amortización
- Interés
- Costo de la bomba y el motor, etc
El procedimiento de cálculo es el siguiente
a) Escoger tentativamente un diámetro
b) Calcular la pérdida de carga c) Calcular la energía necesaria
d) Calcular la potencia necesaria
e) Calcular el costo anual de la potencia necesaria
f) Calcular el costo del motor y de la bomba
g) Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)
h) Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la
amortización (en base al número de años útiles del sistema)
i) Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial
( ) y el costo anual de la potencia ( )
Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmenteel diámetro más económico.
5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías.La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximacionessucesivas.
Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta dedos circuitos. Hay cuatro nudos.
En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemanola dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Seescoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y seasigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonceslas pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.
230
Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías
Las condiciones que se deben satisfacer en una red son
1. La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo
0⌡⌡
2. En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.
3. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma
en donde los valores de y de dependen de la ecuación particular que se utilice.
Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método sesupone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación decontinuidad en cada nudo.
Si para un ramal particular se supone un gasto 0 este valor será, en principio, diferente algasto real que llamaremos simplemente , luego
⌡ 0
En donde es el error, cuyo valor no conocemos.
Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga encada tubería es
85,1
Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene
B C
M
N
I II
231
85,100
La pérdida de carga real será
85,10 ⌡
Luego, desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a
⌡
0
085,10 85,1
⌡0
00
85,1
De donde, para cada circuito
⌡ 085,10
00
De acá obtenemos finalmente el valor de
�
0
0
0
85,1
(5-21)
Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudaleshallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.
Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar = 100 en
todas las tuberías.
B C
M
N
200 l/s
232
Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación dedescarga en cada tubería es
85,1
siendo
866,485,1
61072,1
Ι
Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado queel coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso seutilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cadauno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de lasagujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.
Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. Enconsecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Porconsiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondientesigno. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se tratasolamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtieneasí
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sóloque se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de cargacon los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.
CIRCUITO I CIRCUITO II
BN 0,03367 CM 0,00969NM 0,02806 MN 0,02806MB 0,00692 NC 0,00830
M
N
200 l/s
I II
+ +
-20 +20B C
233
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga 0
en cada circuito aplicando la ecuación de
descarga.BN + 87,23 CM - 57,93NM - 7,16 MN + 7,16MB - 56,35 NC + 34,23
0 = + 23,72
0 = - 16,54
Aplicamos ahora la ecuación
�
0
0
0
85,1
para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cadacircuito
3,604,285,1
72,23 �Ι
� 1,726,185,1
54,16 Ι
6� 7
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga son los siguientes
Calculamos nuevamente la corrección
37,115,285,1
44,5 ⌡Ι
28,245,185,1
12,6 �Ι
�
1⌡ 2�
CIRCUITO I CIRCUITO II
Tramo Caudal Tramo Caudal
BN
NM
MB
+70 - 6 = +64
-20 - 6 - 7 = -33
-130 - 6 = -136
+73,91
-18,09
-61,26
CM
MN
NC
-110 + 7 = -103
+20 + 7 + 6 = +33
+90 + 7 = +97
-51,29
+18,09
+39,32
� 5,44 ⌡ 6,12
234
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de son
Calculamos ahora nuevamente la corrección
12,012,285,1
47,0 �Ι
� 06,041,185,1
16,0 Ι
0 0
En consecuencia los caudales son
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1, = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del
flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja elcomportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.
CIRCUITO I CIRCUITO II
Tramo Caudal Tramo Caudal
BN
NM
MB
+ 64 + 1 = + 65
- 33 + 1 + 2 = -30
- 136 + 1 = - 135
+76,06
-15,16
-60,43
CM
MN
NC
-103 - 2 = -105
+33 - 2 - 1 = +30
+97 - 2 = +95
-53,15
+15,16
+37,83
⌡ 0,47 � 0,16
M
N
200 30 200
235
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental
⌡
como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.
Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones
0⌡⌡
La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).
= 8’’
= 100 540632 05638100004260 ΙΙΙ
= 0,6 km 7,94 l/s
= 37,83 m Valor que está dentro del error aceptado.
M
B
N
I
236
237
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo V)
1. Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. El diámetro de la primera es de10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por elsistema en paralelo es de 18 m. Considerar = 0,02 para ambas tuberías. Calcular el gasto encada una.
2. Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primera esde 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gasto total seade 200 l/s. Considerar = 0,025 en ambas tuberías.
3. ¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y semantuviera la misma energía disponible?.
4. ¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerando queno existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?.
5. Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son , 2 y3 . Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de de Darcy. ¿Cuál es el gastoen la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?.
6. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura
1 = 80 m 1 = 4’’ 1 = 0,018
2 = 120 m 2 = 6’’ 2 = 0,018
3 = 300 m 3 = 10’’ 3 = 0,025
La elevación del punto B es 112,80 m
La elevación del punto C es 115,10 m
La presión del punto B es 4 kg/cm2
La presión del punto C es 2,5 kg/cm2
B C2
3
1
238
7. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura
= 0,400 m3/s 1 = 220 m 1 = 8’’ 1 = 0,025
2 = 280 m 2 = 10’’ 2 = 0,020
3 = 390 m 3 = 6’’ 3 = 0,028
8. Determinar el gasto en cada ramal del sistema para = 2 m3/s
1 = 100 m 1 = 10’’ 1 = 0,030
2 = 120 m 2 = 8’’ 2 = 0,025
3 = 120 m 3 = 8’’ 3 = 0,025
4 = 100 m 4 = 10’’ 4 = 0,030
9. La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m, un diámetro de8’’ y un coeficiente de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión para que el gasto en elramal 2 sea de 50 l/s.
B C2
3
1
1
2
3
4
100 m
80 m
123
239
1 = 250 m 1 = 4’’ 1 = 0,02
2 = 300 m 2 = 6’’ 2 = 0,022
3 = 100 m 3 = 4’’ 3 = 0,015
10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para unamisma energía disponible)?. Considerar = 0,02 en todas las tuberías.
11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión en elpunto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm2. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s.La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/cm2. Determinar cuál es el diámetro que debe tener unatubería de 400 m de largo, colocada paralelamente a la anterior para cumplir con lo señalado( es 0,025 en todas las tuberías).
Tramo 1-2 : 800 m, 24’’Tramo 2-3 : 400 m, 18’’
12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son
1 = 1 200 m 1 = 12’’ 1 = 0,022
2 = 800 m 2 = 10’’ 2 = 0,03
Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la segunda?
(a)
(b)
2
20"800 m
16"500 m
12"300 m
14"18" 12"
1 000 m600 m 200 m
10"
800 m
1
1
12
3
240
13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema queconsta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Estatubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramalesconcurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar = 0,03 para todas las tuberías.Hallar el gasto.
14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene
1 = 100 m 1 = 14’’ 1 = 0,018
2 = 156 m 2 = 12’’ 2 = 0,0122
Al colocar una válvula en el primer ramal hay unan disminución del 11 % en el gasto total.Calcular el valor de la válvula.
15. Calcular el gasto en cada ramal.
1 = 120 m 1 = 6’’
2 = 130 m 2 = 4’’
3 = 130 m 3 = 4’’
4 = 120 m 4 = 6’’
Considerar = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente
abierta.
16.
1 = 200 m 1 = 4’’ 1 = 0,02
2 = 250 m 2 = 6’’ 2 = 0,025
3 = 400 m 3 = 8’’ 3 = 0,030
1
2
3
= 30 m
4
válvula
2 3
1
241
Si la diferencia de nivel entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cada ramal.
¿Cuál debe ser el valor de para que el gasto sea de 300 l/s?
Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para = 10 m).
17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que ésta sea la única tuberíade desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetropara que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %.
Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloca unatubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( = 0,02 en todas las tuberías)
18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s.
1 = 150 m 1 = 6’’
2 = 80 m 2 = 4’’ = 0,025
3 = 40 m 3 = 4’’
19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio deuna tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tuberíatiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.
Asumiendo para un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entraal segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .
1
2
3
válvula
= 4 kg/cm2
0
?
1 3
2
10 l/s
242
20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener
.
1 = 300 m 2 = 300 m 3 = 300 m 4 = 600 m 5 = 800 m
1 = 8’’ 2 = 12’’ 3 = 18’’ 4 = 12’’ 5 = 12’’
Considerar = 0,018 en todas las tuberías.
21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de
Darcy igual a 0,025. Se sabe que 21 ⌡ = 10 m; 1 = 150 m; 2 = 70 m; 3 = 90 m;
321 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1 y 2 para que 2sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1 y 2 si 1 fuera cero?.
22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un
coeficiente = 100. Se sabe que 12 � = 5 m; 1 = 800 m; 2 = 600 m; 3 = 1 200 m;
321 = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1 y 2 para que 2sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1 y 2 si 1 fuera cero?.
2
3 4
5
1
1
P
2
3
1
1
2
3
1
2
243
23. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. La válvula check ubicada en la tubería 1 estácompletamente abierta de modo que para un gasto de 250 |/s produce una pérdida de carga de0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2.
24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura.
1 = 100 m 2 = 90 m 3 = 80 m
1 = 4 km 2 = 6 km 3 = 5 km
1 = 10’’ 2 = 8’’ 3 = 6’’
Considerar = 120 para todas las tuberías.
25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema
Considerar = 0,028 en todas las tuberías.
1 1
2
10"
180 m
120 m
150 m
1
P
2 3
12
3
1P
2P
0,30 m
100 m103 m
244
26. Calcular la potencia de salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9)
27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s. Lastuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2. Delnudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. En el punto B la presión es de –2,5 m( = 100 para todas las tuberías). Determinar la potencia teórica generada por la turbina.
28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 |/s( = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75
P
100 m
125 mT150 m
218 m
150 m
140 m
100 m
12
P 36" 4 000 mA B
P
124 m
0
B1
3
2
4
100 m
126 m
245
Tubería 1 : = 300 m; = 18’’; = 0,00015
Tubería 2 : = 1 500 m; = 18’’; = 0,00015
Tubería 3 : = 600 m; = 10’’; = 0,000045
Tubería 4 : = 600 m; = 12’’; = 0,000045
29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76 HP.El gasto es de 250 |/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C.Eficiencia 0,8.
1 = 20 m; 1 = 16’’; 1 = 0,025
2 = 180 m; 2 = 14’’; 2 = 0,018
30. Se tiene una red de distribución de agua
Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m.
En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 |/s.
1 = 200 m
2 = 50 m
3 = 30 m
4 = 80 m
5 = 100 m
18 m
C
5 m
B1
2
A
válvula = 2,5
+ 0,40 m
B1
2 + 0,20 m
- 0,30 m
0 m
3
4
5P1
P2
A
B
C
Considere = 0,018 para todos los tubos. Calcular la potenciaque debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).
246
31. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. Elcoeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible es de 12 m.
Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dosposibilidades. Una es instalar una bomba. La otra es instalar una tubería en paralelo de igualescaracterísticas a la existente. Cuál de las alternativas es más económica.
La eficiencia de la bomba es 0,8
El costo de la tubería es S/. 5 000 por m instaladoEl costo del HP instalado es S/. 15 000(comparar sólo los costos iniciales)
32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía disponible es de10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams. Latubería es muy lisa.
33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 |/s. Determinar la potenciaque debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías =120.
34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 |/s?. Las tuberíasson de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8). El fluido esagua con una viscosidad de 1,4 x 10-6 m2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’ de diámetro.La máxima presión negativa admisible es –6 m.
90 m
P
85 m
B
0 m70 m
3 m
33 m
B300 m
247
35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corroída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con lapotencia instalada (una bomba) se bombea en la actualidad un caudal de 300 |/s. Se trata ahorade bombear un caudal mayor con la misma potencia instalada, cambiando la tubería por unamás lisa ( = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará el caudal?
36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido0,5 |/s por metro de recorrido. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremo final140 |/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tubería tieneuna rugosidad = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el diámetro, y lapresión que existirá en el punto medio.
37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurcaen ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descargan libremente en laatmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo dela tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (laotra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ftdebajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidasde carga locales. Considerar = 0,024 (constante).
38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidadabsoluta.Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de 250 |/s,después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m.
39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de igual a 0,0168 para una velocidadde 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de igual a 0,022, para unavelocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de al cabo de 15 años de servicio, para unavelocidad de 4 m/s.
40.
Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que
B D
A C400 l/s
248
En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 |/s, respectivamente.
Tramo
AB
AC
BC
BD
CD
320 m
810 m
1 200 m
1 000 m
300 m
8”
6”
6”
6”
6”
90
120
120
120
110
249
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
(Capítulos I al V)
Problema 1
En una tubería de radio la distribución de velocidades se expresa por
1
Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Hallar losvalores particulares para igual 7.
Problema 2
La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columnade agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm2.
El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe una
pérdida de carga cuyo valor es
298,0
221 �
Problema 3
Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m3/s de aceite de viscosidad1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto finales de 3 kg/cm2.
Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.
Problema 4
De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajo dela superficie libre del estanque.
Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular el gastoy dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.
250
Problema 5
En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribución develocidades es
= 0,937 log + 3,81
Calcular el gasto.
Problema 6
En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La viscosidad del fluido es8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima.
Problema 7
En un canal muy ancho, cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyotirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es
= 0,499 ln 75,38
La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular
a) La rugosidad absoluta
b) La velocidad media
c) La velocidad máxima
d) El gasto específico
e) El coeficiente de Chezy
f) La pendiente de la superficie libre
g) A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media
h) La velocidad a una profundidad 0,6 (a partir de la superficie)
i) El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).
j) El esfuerzo de corte sobre el fondo.
Problema 8
En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidadesdiferentes.
A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular
a) La velocidad media
b) La velocidad máxima
c) La pendiente de la superficie libre
251
Problema 9
Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es defierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5kg/cm2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm2.
a) Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa
b) Calcular el coeficiente de Chezy
c) Calcular la velocidad máxima
d) Calcular el coeficiente de Darcy
e) Calcular la velocidad media y el gasto
Problema 10
En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocidad media es 2,2 m/s. El gastoes de 4 m3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperatura delagua es 20 °C.
Problema 11
Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad 10-4 m2/s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente
75,1
siendo la pérdida de carga, la velocidad media y una constante. La validez de la fórmula
propuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valor
numérico de .
Problema 12
Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, un caudal de3,5 m3/s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10-5 m2/s. ¿Qué diámetro de tubería comercial senecesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El peso específico del aire es 1,226kg/m3 .
Problema 13
Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosidad absoluta es de 1 mm.Circula agua a una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de cargaconsiderando que las paredes son hidráulicamente rugosas. No se debe utilizar ábacos.
252
Problema 14
Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10-6 m2/s. El caudal es de 400 |/s.
a) Hallar la pendiente de la línea piezométrica.
b) Hallar el espesor de la subcapa laminar.
c) ¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como
hidráulicamente lisa?.
Problema 15
Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puedeser descrita por
71
1�
expresión en la que es la velocidad a la distancia del contorno, es la velocidad en el eje,
es el radio de la tubería.
Si el gasto en la tubería es calcular la energía cinética total en función de , y la densidad del
fluido. Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto en el caso de un
movimiento laminar en la tubería. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?.
Problema 16
En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2,4 m/s. El coeficiente de Darcy es
0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno.
Problema 17
En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente de Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte.
Problema 18
Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0,240 m3/s. Laviscosidad del agua es de 1,2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de cargano debe ser superior a 15 m. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Sedispone de tubos de 12’’, 14’’ y 16’’.
253
Problema 19
De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0,60 m dediámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redondeada ( = 0,2). La contracción es brusca. Laenergía disponible es de 10 m. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierro fundido nuevo.
a) Hallar el caudal
b) Hallar la potencia del chorro
c) ¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro
a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar = 0,9
Problema 20
Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en susprimeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferencia de nivel entre losreservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección son bruscos.Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C.
Problema 21
Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarga está 10 mpor debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de laenergía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo. Latemperatura del agua es 15 °C.
Problema 22
Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Considere = 100.
600 l/s
12" 2 200 m
254
Problema 23
De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. El primer tramo esde 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es de 10’’.
Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores dela energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y el métodode la tubería equivalente)
Problema 24
Un depósito de almacenamiento de agua desagua a través de una tubería de 24’’ de diámetro (aceroribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene 800 m delongitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de la superficie libredel estanque alimentador.
El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo.Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’.Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga.
Problema 25
Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0,5m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo.
El gasto inicial es de 1 m3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud ,
que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que es constante
e igual a 0,025.
Problema 26
De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie. El primero tiene un diámetro de
0,20 m y una rugosidad absoluta de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, un diámetro de
0,40 m y una rugosidad absoluta de 5x10-5 m. La carga disponible es de 50 m. La viscosidad del agua
es de 10-6 m2/s.
Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comportecomo una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.
255
Problema 27
Para el sistema mostrado en la figura, calcular el gasto
= 2 atmósferas
= 0,5 (entrada)
= 2 (válvulas)
= 0,2 (codo)
(total) = 100 m
= 3x10-5 m
= 25 mm
= 10-6 m2/s
3 m
3 m
1 m
257
CAPITULO CALCULO DE CANALES
6.1 Condiciones normales
Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentadosen los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo decanales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dadoen determinadas condiciones.
Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal . El movimiento es permanentey uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad,la forma de la sección transversal y por el caudal , que según hemos dicho antes sesupone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) enestas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza almovimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variadohabría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Alrespecto se puede observar la Figura 1.4.
En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad mediaen un conducto
(6-1)
en el cual es la velocidad media, el coeficiente de Chezy, el radio hidráulico y la
pendiente.
258
Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico implica un
tirante " " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en
el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones deKarman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente de Chezy tiene unaestructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de lasparedes. La expresión general del coeficiente es
72
6log18⌡
(6-2)
es el radio hidráulico, la rugosidad absoluta y el espesor de la subcapa laminar.Según los valores relativos de y de el contorno puede considerarse hidráulicamente lisoo hidráulicamente rugoso. Esta ecuación aparece en la forma presentada por Thijsse. Laecuación de Chezy resulta ser entonces,
72
6log18⌡
(6-3)
El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.
Los valores de la rugosidad absoluta pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación
de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4).
La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White,estudiada el capítulo III
⌡�
84
51,28,14
log82 (6-4)
Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.
Como en muchos casos el canal es hidráulicamente rugoso las ecuaciones 6-3 ó 6-4, queson generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.
259
TABLA 6.1
VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA
NOTA: Téngase presente que el valor de señalado para los contornos muy rugosos (roca,fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variacionessegún las circunstancias de cada caso particular.
MATERIAL (m)
Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero
nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)
Fierro forjado
Acero rolado, nuevo
Acero laminado, nuevo
Fierro fundido, nuevo
Fierro galvanizado
Fierro fundido, asfaltado
Fierro fundido, oxidado
Acero remachado
Cemento enlucido
Asbesto cemento, nuevo
Concreto centrifugado, nuevo
Concreto muy bien terminado, a mano
Concreto liso
Concreto bien acabado, usado
Concreto sin acabado especial
Concreto rugoso
Duelas de madera
Piedra asentada y bien lisa
Revestimiento de piedra
Grava
Piedra pequeña
Piedra grande
Roca
Tierra (lisa)
Fondo con transporte de arena
Acequia con vegetación
1,5 x 10-6
4,5 x 10-5
5 x 10-5
4 x 10-5 – 10-4
2,5 x 10-4
1,5 x 10-4
1,2 x 10-4
1 x 10-3 – 1,5 x 10-3
0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3
4 x 10-4
2,5 x 10-5
1,6 x 10-4
10-5
2,5 x 10-5
2 x 10-4 – 3 x 10-4
10-3 – 3 x 10-3
10-2
1,8 x 10-4 – 9 x 10-4
5 x 10-4
2 x 10-3
10-2
2 x 10-2
5 x 10-2
0,1
3 x 10-3
10-2 – 5 x 10-2
0,1
260
6.2 Fórmulas antiguas
Desde el Siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y
estructura del coeficiente . La fórmula se originó en 1 768 cuando Chezy recibió el encargo
de diseñar un canal para el suministro de agua a París.
Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente era constante e igual a 50,
para cualquier río.
Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que
en el pasado se estableciera para el coeficiente .
Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.
Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica
⌡
1
(6-5)
Los valores de e corresponden a cada fórmula particular. es el radio hidráulico. es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.
a) Fórmula de Ganguillet-Kutter
La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, sebasó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvobastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es
⌡⌡
⌡⌡
00155,0231
00155,0123 (6-6)
es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), es la
pendiente, el radio hidráulico y un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores
aparecen en la Tabla 6.2.
261
Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a
1 entonces resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a
1 (6-7)
Según señala King, la pendiente fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para
lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río
Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones
orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido
la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.
Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación6-5.
La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es
⌡⌡
⌡⌡
00281,065,411
811,100281,065,41(6-8)
b) Fórmula de Kutter
Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene unaforma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmulaes
⌡ 100
(6-9)
Los valores del coeficiente de rugosidad son diferentes de los valores de (Kutter). es
el radio hidráulico. es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de aparecen en la Tabla 6.3.
262
TABLA 6.2VALORES DEL COEFICIENTE DE KUTTER QUE GENERALMENTE
SE USA EN LOS DISEÑOS.
SUPERFICIE
Superficie metálica, lisa, sin pintar
Superficie metálica, lisa, pintada
Superficie metálica, corrugada
Cemento liso
Mortero de cemento
Madera cepillada
Madera sin cepillar
Tablones sin cepillar
Concreto liso
Concreto bien acabado, usado
Concreto frotachado
Concreto sin terminar
Gunita (sección bien terminada)
Gunita (sección ondulada)
Superficie asfáltica lisa
Superficie asfáltica rugosa
Tierra, limpia, sección nueva
Tierra, limpia, sección antigua
Tierra gravosa
Tierra, con poca vegetación
Tierra, con vegetación
Tierra, con piedras
Tierra, con pedrones
Para secciones circulares (trabajando como canal)
Metal, liso
Acero soldado
Acero riveteado
Fierro fundido
Cemento
Vidrio
0,012
0,013
0,025
0,011
0,013
0,012
0,013
0,014
0,013
0,014
0,015
0,017
0,019
0,022
0,013
0,016
0,018
0,022
0,025
0,027
0,035
0,035
0,040
0,010
0,012
0,016
0,013 – 0,014
0,011 – 0,013
0,010
263
TABLA 6.3VALORES DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DE
KUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005
CATEGORIA FORMA DESCRIPCION
I
II Semicircular
Superficie muy lisa. Cemento muy pulido
Superficie bastante lisa. Madera cepillada
0,12
0,15
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Rectangular
y
Otras
Superficie bien terminada
Superficie usada. Tuberías de abastecimiento
de agua con mucho tiempo de servicio, pero
sin grandes incrustaciones
Piedra labrada bien acabada
Piedra no bien terminada, usada
Piedra rústica, fondo con poco lodo
Piedra mal terminada, fondo fangoso
Piedra antigua, sin vegetación, fangoso
0,20
0,25
0,30 - 0,35
0,45
0,55
0,75
1,00
Xa
Xb
XIa
XIb
XII
Trapecial
Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca
vegetación
Sección definida, en tierra sin vegetación
En tierra con fondo pedregoso o fangoso.
Poca vegetación. Ancho superior a 2 m
(corresponde a algunos arroyos y ríos)
En tierra o piedra, lecho fangoso, con
vegetación abundante (corresponde a
algunos arroyos y ríos)
En tierra con vegetación muy abundante. Con
mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre
de fondo
1,25
1,50
1,75
2,00
2,50
264
c) Fórmula de Bazin
Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897
⌡
1
87 (6-10)
es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, el radio hidráulico, el coeficiente
de rugosidad de Bazin.
Los valores del coeficiente aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula
TABLA 6.4
VALORES DEL COEFICIENTE DE RUGOSIDAD A UTILIZARSEEN LA FORMULA DE BAZIN
Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidadenorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes.
Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplicasegún la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidadde Kutter.
CATEGORIA DESCRIPCION
1Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha
metálica. Cemento liso, madera muy cepillada. 0,06
2 Contornos lisos. Concreto bien acabado. 0,16
3 Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada. 0,46
4 Canales en tierra, sin vegetación. 0,85
5Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular,
sin vegetación. 1,30
6Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos
rodados. Canales en tierra muy erosionados e
irregulares.
1,75
265
Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es enrealidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esta época está basada enmodificaciones de las ideas de Kutter y Bazin.
Lindboe publico en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientesnaturales.
Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).
Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914),Scobey, etc.
Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citarlo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez.
"Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, enprimer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultadosexperimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparaciónjusta. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentadorcon las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe unacomparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la deGanguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es lapared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección quecategoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún másdifícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, larugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos,deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haberexpresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cementoliso hasta una roca’’.
6.3 Fórmula de Manning
Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que
en la fórmula de Chezy el coeficiente es
61
(6-11)
de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning
266
21
32
(6-12)
y el gasto es
21
32
(6-13)
Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que seutilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6).
Se observa que las dimensiones de son 31�
. En consecuencia, al tener unidades
debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio seimpusieron los valores de determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló
una solución práctica que consiste en considerar a como adimensional e incorporar en laecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.
Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es
21
32486,1
(6-14)
Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal laconstante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.
Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez estélimitada a determinadas condiciones.
Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valoresintermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipono puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactituddisminuya con números de Reynolds bajos".
En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o deManning-Strickler y con la siguiente forma
21
32
(6-15)
siendo,
267
1 (6-16)
La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con elnombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales desPonts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su formaactual al irlandés Manning.
Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otrasimilar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente
(6-17)
Siendo,
10,075,013,05,2 ��� (6-18)
es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios
hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de comprendidos entre 0,011 y0,040.
La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones
Para < 1 m = 1,5 (6-19)
Para > 1 m = 1, 3 (6-20)
Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberátomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente de Kutter, los mismos queserán analizados más adelante.
Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. Lasuperficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcularel gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski.Comparar los resultados. ( = 20 °C)
Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser
= 1,875 m
268
a) Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a = 0,014. Entonces,
875,1
014,0
0008,0
00155,0231
0008,0
00155,0
014,0
123
⌡⌡
⌡⌡ = 77 m1/2/s
de donde,
= 2,98 m/s
= 89,4 m3/s
b) Fórmula de Kutter ( > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a = 0,25
875,125,0
875,1100
⌡ = 85 m1/2/s
= 3,29 m/s
= 98,7 m3/s
c) Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a = 0,16
875,1
16,01
87
⌡ = 78 m1/2/s
= 3,02 m/s
= 90,6 m3/s
d) Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a = 3x10-4 m
* = 0,121 m/s = 0,000096 m
* = 36 (transición) = 87 m1/2/s
por lo tanto, = 3,37 m/s
= 101,1 m3/s
269
e) Fórmula de Manning. ( = 0,014)
21
32
= 3,07 m/s
= 92,1 m3/s
(Corresponde a un valor de igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11)
f) Fórmula de Pavlovski. ( = 0,014)
10,0014,0875,175,013,0014,05,2 ��� = 0,147
= 78 m1/2/s
= 3,02 m/s
= 90,6 m3/s
COMPARACION DE LOS RESULTADOS
Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismasfórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Compararlos resultados de ambos ejemplos.
Solución.
a) Ganguillet-Kutter = 0,025 = 45 m1/2/s = 1,74 m/s = 52,2 m3/s
FORMULA
Ganguillet – Kutter
Kutter
Bazin
Chezy
Manning
Pavlovski
77
85
78
87
79
78
2,98
3,29
3,02
3,37
3,07
3,02
89,4
98,7
90,6
101,1
92,1
90,6
Promedio 81 3,13 93,8
270
b) Kutter = 1,75 = 44 m1/2/s = 1,70 m/s = 51 m3/s
c) Bazin = 1,3 = 45 m1/2/s = 1,74 m/s = 52,2 m3/s
d) Chezy = 5x10-2 m = 48 m1/2/s = 1,86 m/s = 55,8 m3/s
e) Manning = 0,025 = 1,72 m/s = 51,6 m3/s
f) Pavlovski = 0,025 = 0,206 = 46 m1/2/s = 1,78 m/s = 53,4 m3/s
COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s)
SUPERFICIE
FORMULA
CONCRETO BIEN ACABADO CON VARIOS AÑOS DE USO
EN TIERRA CON FONDO PEDREGOSO, BUEN ESTADO
Ganguillet - Kutter
Kutter
Bazin
Chezy
Manning
Pavlovski
89,4
98,7
90,6
101,1
92,1
90,6
52,2
51
52,2
55,8
51,6
53,4
271
De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.
En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una mismanaturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertementeinfluenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importanciala correcta estimación de la rugosidad de las paredes.
De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logradisminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.
6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad aemplearse en la fórmula de Manning
Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente
a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto que puede escurrir, aplicando la
fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de que corresponde al
cauce.
b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que vaa tener el canal, cual es el valor de que se le asigna.
Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente para condiciones que podríamosllamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemasque a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a .
El coeficiente depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de lasuperficie. También interviene lo siguiente
a) Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es uncoeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presenciade curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeñoradio de curvatura.
b) Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puedealterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Esfrecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente aaumentos del orden del 50 % en el valor de .
c) Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una seccióntransversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuenciade bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.
272
Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuraciónvariable del lecho.
d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que larugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente .
Cowan determinó que el valor de a considerarse en los cálculos debería tomar en cuentalos factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente
543210 ⌡⌡⌡⌡
siendo
0 : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)
1 : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades
2 : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la
sección transversal
3 : es para tomar en cuenta las obstrucciones
4 : es para tomar en cuenta la vegetación
5 : es un factor para tomar en cuenta los meandros
Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.
6.5 Determinación de la sección transversal
En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto devista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. En el caso de un canal queva a ser construido, el gasto o caudal esta dado por las condiciones de diseño; no proviene deun cálculo hidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta ypor cierto del análisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño es un dato impuesto al que debe adecuarse al cálculo de la sección del canal.
Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a unacentral hidroeléctrica o tener un uso múltiple.
Para transportar un gasto podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar unadeterminada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos enfunción de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.
273
TABLA 6.5TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES
SOBRE EL COEFICIENTE
543210 ⌡⌡⌡⌡
Tierra 0,020
Roca 0,025
Grava fina 0,024 Superficie del Canal
Grava gruesa
0
0,028
Suave 0,000
Menor 0,005
Moderada 0,010 Irregularidad
Severa
1
0,020
Gradual 0,000
Ocasional 0,005 Variación de la Sección
Frecuente
2
0,010 – 0,015
Despreciable 0,000
Menor 0,010 – 0,015
Apreciable 0,020 – 0,030 Efecto de la Obstrucción
Severo
3
0,040 – 0,060
Bajo 0,005 – 0,010
Medio 0,010 – 0,025
Alto 0,025 – 0,050 Vegetación
Muy alto
4
0,050 – 0,1
Menor 1,000
Apreciable 1,150 Intensidad de Meandros
Severo
5
1,300
274
En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial,semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizanpor tener todas un radio hidráulico de 1 m.
Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño.
No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos).Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión(arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro.
Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimentenformando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener unadistribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que lavelocidad media.
4 m
1,5 m
6 m
3 m
3 m
4 m
2 m
2,4 m
6 m
1,095 m
20 m
45°
Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que secaracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m
275
Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media esun parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida semantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída y la velocidad de la corriente.
Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación y al depósito. Las partículasactúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.
El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en unamargen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña.
Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.
La velocidad ideal es aquella que para las características del agua y del revestimiento noproduce erosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción.
El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramentehidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.
Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)
Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempreconsideramos que el talud se define como 1 vertical y horizontal.
1
MATERIAL TALUD
Roca dura y sana
Roca fisurada
Suelos cementados, firmes
Tierra arcillosa
Tierra arenosa
Arena
0
0,5
1
1,25
1,5
2 ó más
276
La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de lasotras).
21
32
de donde,
21
32
(6-21)
El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor 3/2generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente
dadas hay un valor de 3/2 que corresponde al tirante normal.
Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con eltirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figuraadjunta.
(6-22)
Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta.Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones esimpuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.
CASO A: Se conoce el ancho en la base
Los datos son
: ancho en la base
: gasto
: pendiente
: talud
: rugosidad
277
La incógnita es el tirante
Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puederequerir para el canal un ancho determinado.
Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los
valores de 3/8
3/2
y se obtiene el valor de
, para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en
el esquema adjunto.
Para el cálculo de 3/8
3/2
basta con recordar que (6-21)
21
32
Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación.El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en lasuperficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.
8/3
2/3
278
279
Solución.
= 8 m3/s = 4 m = 1 = 0,0007 = 0,02 (Tabla 6.2)
21
32
= 6,04 oo
o
38
32
= 0,15
De la Figura 6.2 se obtiene = 0,315
de donde = 1,26 m
Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).
Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico deVen Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una seccióntrapecial como la mostrada en la figura
Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes
⌡ (6-23)
212 ⌡⌡ (6-24)
212
⌡⌡
⌡ (6-25)
De donde,
213
2
212 ⌡⌡⌡
⌡ (6-26)
1
280
Reemplazando los datos del ejemplo se tiene
⌡ 4
224⌡
224
4⌡⌡
02,0
0007,0224
4
4
213
2
⌡⌡
⌡
Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.
32
22444323,1⌡⌡⌡
Dando valores al tirante se obtiene lo siguiente
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 118
(m)
(m /s)
1,26
3
(m) (m3/s)
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
4,48
5,37
6,34
7,37
8,48
9,66
10,92
281
CASO B: Se conoce el tirante
Los datos son
: tirante
: gasto
: pendiente
: talud
: rugosidad
La incógnita es el ancho en la base.
Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.
Para la solución de este caso se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.
CASO C: Se desconoce los valores de e
En este caso se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante. Sesuele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia a continuación.
6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)
Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen lasecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme.
Como normalmente los datos son , , y , hay muchas combinaciones de las incógnitas
e , que satisfacen la fórmula de Manning.
Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo elancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bienal revés.
También puede darse el caso que haya libertad para escoger los valores del ancho en la basey el tirante.
En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica.
Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para elmismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.
282
La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning
21
32
Luego,
32
21
35
525
3
21
Como en un canal dado, , y son constantes
52
La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. Enconsecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.
Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma áreatiene el perímetro mínimo.
En condiciones normales la sección de M. E. H., involucra la mínima sección de excavación,de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetromínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados.
Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínimaexcavación.
Hay una patente española, Barragan, para la construcción de canales circulares. Más adelantenos ocuparemos de este tipo de canales.
283
Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la secciónsemicircular por una trapecial.
Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre e para que la sección sea de
máxima eficiencia hidráulica. Llamemos a esta relación
(6-27)
Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene
2 ⌡
de donde,
⌡
El perímetro es
212 ⌡⌡
Mediante transformaciones sucesivas se obtiene
22222 4414 ⌡⌡⌡⌡⌡
Derivando el perímetro con respecto a
1
284
0)(2)12(2 22
⌡
�⌡⌡
De donde,
�⌡ 212 (6-28)
Se concluye que para cada talud hay una relación , que es la que da la máxima eficienciahidráulica.
Así por ejemplo, en un canal rectangular = 0, de donde = 2. Significa esto que en uncanal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al dobledel tirante.
Para las diferentes secciones trapeciales la relación se obtiene para cada talud, aplicandola ecuación 6-28.
Los valores más comunes son
En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es
2
2
12 ⌡⌡
⌡ (6-29)
reemplazando el valor de de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar
2
0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4
2 1,56 1,24 0,83 0,61 0,47 0,39 0,32 0,25
285
2 (6-30)
Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico esigual a la mitad del tirante (sección trapecial).
También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso
el perímetro es
212 ⌡⌡
por condición de M. E. H.
�⌡ 212
sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es
214 2 �⌡
0
de donde
33 (6-31)
En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales enmáxima eficiencia hidráulica.
Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por lanaturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversalcon la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficientede rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025.
Solución.
tg 60° = 1
= 1,732. Luego, = 0,577
286
Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,
�⌡ 212 = 1,155 oo
o
= 1,155
Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior
= 0,866
y obtenemos que,
38
32
= 0,74
pero,
21
32
= 2,74 oo
o = 1,63 m
luego los otros valores son = 1,41 m = 3,45 m2
= 1,74 m/s = 0,705 m
El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación
2 ⌡ se obtiene 273,1
aplicando la fórmula de Manning
025,0
003,0273,1
213
2
2
se obtiene
= 2,39 38
para = 6 m3/s se encuentra = 1,41 m
(Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)
287
Con lo que la sección transversal queda así,
= 6 m3/s = 1,74 m/s = 0,705 m = 3,45 m = 4,89 m = 1,41 m
Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es iguala la mitad del tirante , la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.
El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetromínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular lasección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.
Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una secciónde máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m.
Con la ecuación = 2,39 38
obtenida, se puede hacer un gráfico
1,63 m
3,26 m
1,41 m
60º
(m /s)30
10642 8 12 14 16 2018
0,5
1,0
1,5
2,0
(m)
288
La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 %mayor (6,6 m3/s). Entonces
= 1,46 m
6.7 Concepto de borde libre
Se denomina borde libre (free board) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorberlos niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de uncanal.
¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gastode diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante(normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor?
Las razones son entre otras las siguientes
a) Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para larugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingenierodiseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, serequerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.
También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriorey tienda ha hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, ladiferencia es tomada por el borde libre.
b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingresea éste un caudal mayor que el de diseño.
c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.
d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída deun tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcancomo consecuencia de lo anterior.
e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorberla altura de ola correspondiente.
borde libre
289
El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos quetienen una cierta probabilidad de ocurrencia.
Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que sedebe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidadque ocurra algún fenómeno extraordinario.
En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel lanaturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zonaarenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.
Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemostener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.
Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación
Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el calculo,que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudaly en la segunda un aumento de caudal bastante mayor.
El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo unaperspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante,sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo.
Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecenuna gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las quesea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmenteque hay que tener presente como varía el costo de una canal con el tirante. Esta función no eslineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeñoen el costo del canal.
Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante.Indudablemente se trata de valores extremos.
8 m3 m
290
Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto alcoeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft(0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes,profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomiendala fórmula siguiente
.. (6-32)
.. : es el borde libre en metros
: es el tirante en metros
: es un coeficiente que varía así
0,46 para = 0,60 m3/s
0,76 para = 85 m3/s
El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3
Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como
aparece en la Figura 6.4.
,2 ,3 ,4 ,5 52 3 4 20 5030 40 100 m /s,1 1,0 10
0
0,3
0,6
0,9
1,2
Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre
Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre
3
GASTO
Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation
291
Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales(Tomada de Engineering News Record)
00
0,1
1
BORDE LIBRE EN METROS
0,2 0,3 0,4 0,5 0,70,6 0,8 0,9 1,0
3
2
4
5
6
292
6.8 Cálculo de canales de sección compuesta
Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta
Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figurasgeométricas.
También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje uncaudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreasadyacentes.
Una sección compuesta se puede dividir en secciones parciales de modo que el gasto
total es igual a la suma de los gastos parciales
........321 ⌡⌡⌡ (6-33)
Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: 1 , 2 ,......,
Para cada parte de la sección se tendrá que
21
32
Areas deinundación
1 2 3
293
212
132
siendo,
32
El gasto total es
21
1
(6-34)
de donde,
21
(6-35)
que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.
Rugosidad compuesta
Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidadesdiferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondoy otra para las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.
Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta.
Si cada parte de la sección tiene un coeficiente de Kutter, entones el problema consiste
en hallar un valor de que sea representativo de todo el perímetro.
concretopiedravidrio
madera
294
Consideremos que hubiera rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte
del perímetro mojado.
Rugosidades : 1 2 3 .....
Perímetros : 1 2 3 .....
Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cadauna de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidadparcial
1
21
32
11
2
21
32
22
o bien,
23
21
111
23
21
222
en consecuencia, y aplicando la ecuación se tiene que
1
23
21
111
2
23
21
222
El área total es igual a la suma de las áreas parciales
21 ⌡
2
23
21
221
23
21
11
23
21
⌡
La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es unasola.
........21
295
Luego,
32
23
2223
11 ⌡
(6-36)
que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.
Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m.Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidadaumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m.
a) Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y lasparedes el acabado liso original.
b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal, para el caso que el fondo fuera liso y las paredesrugosas.
Solución. Si el canal es liso entonces
6
0007,066,029,4 213221
32
1
= 0,014
Si el canal es rugoso entonces,
10
0007,097,083,7 2132
2 = 0,20
a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas
32
23
2223
11 ⌡
⊕ ℘ 32
322323
11,702,04014,011,3 ⌡ = 0,0175
296
el gasto es
0175,0
0007,079,061,5 213221
32
= 7,25 m3/s
b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas
⊕ ℘ 32
322323
11,702,011,3014,04 ⌡ = 0,017
Luego,
017,0
0007,079,061,5 2132
= 7,46 m3/s
6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno
Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la seccióntransversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.
En cualquiera de estos casos el conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.
Examinemos el caso de un tubo circular parcialmente lleno
297
Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y
demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos
se pueden simplificar con el gráfico de Figura 6.6 "Características geométricas de la sección
circular" que nos da para cada valor de la relación el correspondiente valor del área,
perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico.
La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidadmedia y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno.
Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tuboparcialmente lleno.
Consideremos una tubería cuyo diámetro es y cuyo radio es . El flujo corresponde a un
tirante .
Se trata de hallar la relación que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie
libre, es el ángulo en el centro.
Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son
sen2
2
� (6-37)
(6-38)
Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno
A B
298
sen2
� (6-39)
Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra, para el cálculo de lavelocidad media encontramos que siempre se cumple que
(6-40)
Para pendiente y rugosidad constantes, y dependen de la fórmula particular empleada.
Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo
0
(6-41)
0cossen2 2 �
de donde,
tg (6-42)
4934,4 rad
= 257º 27‘ 10’’ 257º 30’
es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.
Se determina inmediatamente que
�2 = 102º 30’
El tirante es �2
cos1 (6-43)
De donde = 0,8128 0,81 (6-44)
Por lo tanto, cuando el tirante es 81,0 la velocidad es máxima.
299
Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule lavelocidad media.
Calculemos ahora cual es el valor de que hace que el gasto sea máximo.
En la Figura 6.5 se observa que
sen2
2
�
sen2
�
El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión
21
32
Se observa que para y constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo
valor de 32
0
32
(6-45)
3
231
32 ⌡
� = 0
�
32
sen2
cos12
cossen2
sen23
2 2
2
2
�����
De donde,
300
03sen2cos5 �� (6-46)
= 5,278 rad
= 302º 24’ 26’’ 302º 30’
que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que
�2 = 57º 30’
El tirante es
�2
cos1
de donde,
= 0,938 0,94 (6-47)
Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo
cuando = 0,94 .
Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido
32
= 0
y se habría obtenido
= 5,3784 rad
= 308º 09’ 35’’ 308º
= 0,95 (6-48)
Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando
95,0 .
En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve paraaligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).
301
302
303
Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales
La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente
llena, la relación existente entre el gasto correspondiente a dicha sección y el gasto 0correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades
( 0 ).
Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de
rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura. es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como 0 ).
En cambio, es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así
por ejemplo si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté
trabajando a 0,7 tendrá un coeficiente
015,085,0013,0
85,0
puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para 7,0la relación es 0,85.
Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidadconstante.
La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a igual a 0,94 si se usa la
fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación
0 es 1,07 y en el segundo es 1,05.
La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para 81,0 . Corresponde a
0 igual a 1,14 (según Manning).
Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormenteestablecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.
En la Figura 6.7 se observa que para 82,0 (aprox.) hay para cada valor del gasto dos
tirantes posibles. También se cumple que para 5,0 se tiene dos tirantes posibles
para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de 81,0 ).
304
305
Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando,se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio,si consideraramos que la rugosidad es variable entonces la velocidad media en medio tubo essólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno.
En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces lasuperficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a queel escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usualdiseñar para un ángulo de 240°.
Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.
Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado
Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circularparcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conductoabovedado. Siempre se tendrá por continuidad que
de donde
0⌡
que es la condición de máximo caudal. De acá
� (6-49)
También debe cumplirse la ecuación de Chezy
o bien,
Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el
valor de obtenido de la ecuación de Chezy se llega a
3 (6-50)
306
Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conductoabovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximoen un conducto circular
0sencos3 ⌡� (6-51)
cuya solución es precisamente 3784,5 rad que corresponde al resultado de la ecuación 6-
48. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo paracualquier conducto abovedado está dado por
25 (6-52)
Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.
Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado
En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que
21
de donde,
021
2
21
21
��
0� (6-53)
que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación nodepende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad.
Canales cubiertos de hielo
A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómenoinconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguientedisminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmentesi el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculosy verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.
307
Canales circulares
Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficienciahidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivasque conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de seccionescirculares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economíaimportante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). En todo caso nuestraopinión es que es difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnico-económico.
Secciones en herradura
Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una delas secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayudapara el cálculo de las secciones en herradura (horse shoe).
Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de0,0008. El coeficiente de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad.
Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que
015,0
0008,0460,0
460,0
213
22
0 = 0,1505 m3/s 151 l/s
Luego,
53,015180
0
del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene
= 0,52 oo
o = 0,31 m
para = 0,52 se obtiene
0
= 1,02
la velocidad a tubo lleno es
20 60,04150,0 Ι
= 0,53 m/s
308
o bien, (para verificar)
015,0
0008,015,0 2132
0 = 0,53 m/s
Luego = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s
La velocidad es = 0,54 m/s
Ejemplo 6.7 Hallar el tirante que corresponde a la condición de caudal máximo en una seccióncuadrada, de lado , en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.
Solución.
Mediante consideraciones geométricas seobtiene
212 �
�� 2212
Considerando la semejanza de los triángulosMAB y MRS se obtiene
� 22
luego,
2222 ��
similarmente se obtiene para el perímetro
22
tomando en cuenta la ecuación 6-50,
3
se obtiene
0245 22 ��
de donde = 1,287
que es la respuesta buscada
A BP
R S
N
M
309
TABLA 6.7PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES
2
2
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
0,11 0,12 0,13 0,14 0,15
0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
0,0013 0,0037 0,0069 0,0105 0,0147
0,0192 0,0242 0,0294 0,0350 0,0409
0,0470 0,0534 0,0600 0,0668 0,0739
0,0811 0,0885 0,0961 0,1039 0,1118
0,2003 0,2838 0,3482 0,4027 0,4510
0,4949 0,5355 0,5735 0,6094 0,6435
0,6761 0,7075 0,7377 0,7670 0,7954
0,8230 0,8500 0,8763 0,9020 0,9273
0,0066 0,0132 0,0197 0,0262 0,0326
0,0389 0,0451 0,0513 0,0574 0,0635
0,0695 0,0754 0,0813 0,0871 0,0929
0,0986 0,1042 0,1097 0,1152 0,1206
0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
0,26 0,27 0,28 0,29 0,30
0,31 0,32 0,33 0,34 0,35
0,36 0,37 0,38 0,39 0,40
0,1199 0,1281 0,1365 0,1449 0,1535
0,1623 0,1711 0,1800 0,1890 0,1982
0,2074 0,2167 0,2260 0,2355 0,2450
0,2546 0,2642 0,2739 0,2836 0,2934
0,9521 0,9764 1,0003 1,0239 1,0472
1,0701 1,0928 1,1152 1,1373 1,1593
1,1810 1,2025 1,2239 1,2451 1,2661
1,2870 1,3078 1,3284 1,3490 1,3694
0,1259 0,1312 0,1364 0,1416 0,1466
0,1516 0,1566 0,1614 0,1662 0,1709
0,1755 0,1801 0,1848 0,1891 0,1935
0,1978 0,2020 0,2061 0,2102 0,2142
Perímetro mojado
Radio hidráulico
Area
Diámetro
Tirante
310
2
2
0,41 0,42 0,43 0,44 0,45
0,46 0,47 0,48 0,49 0,50
0,51 0,52 0,53 0,54 0,55
0,56 0,57 0,58 0,59 0,60
0,61 0,62 0,63 0,64 0,65
0,66 0,67 0,68 0,69 0,70
0,3032 0,3130 0,3229 0,3328 0,3428
0,3527 0,3627 0,3727 0,3827 0,3927
0,4027 0,4127 0,4227 0,4327 0,4426
0,4526 0,4625 0,4723 0,4822 0,4920
0,5018 0,5115 0,5212 0,5308 0,5404
0,5499 0,5594 0,5687 0,5780 0,5872
1,3898 1,4101 1,4303 1,4505 1,4706
1,4907 1,5108 1,5308 1,5508 1,5708
1,5908 1,6108 1,6308 1,6509 1,6710
1,6911 1,7113 1,7315 1,7518 1,7722
1,7926 1,8132 1,8338 1,8546 1,8755
1,8965 1,9177 1,9391 1,9606 1,9823
0,2181 0,2220 0,2257 0,2294 0,2331
0,2366 0,2400 0,2434 0,2467 0,2500
0,2531 0,2561 0,2591 0,2620 0,2649
0,2676 0,2703 0,2728 0,2753 0,2776
0,2797 0,2818 0,2839 0,2860 0,2881
0,2899 0,2917 0,2935 0,2950 0,2962
0,71 0,72 0,73 0,74 0,75
0,76 0,77 0,78 0,79 0,80
0,81 0,82 0,83 0,84 0,85
0,86 0,87 0,88 0,89 0,90
0,91 0,92 0,93 0,94 0,95
0,96 0,97 0,98 0,99 1,00
0,5964 0,6054 0,6143 0,6231 0,6318
0,6404 0,6489 0,6573 0,6655 0,6736
0,6815 0,6893 0,6969 0,7043 0,7115
0,7186 0,7254 0,7320 0,7384 0,7445
0,7504 0,7560 0,7642 0,7662 0,7707
0,7749 0,7785 0,7816 0,7841 0,7854
2,0042 2,0264 2,0488 2,0714 2,0944
2,1176 2,1412 2,1652 2,1895 2,2143
2,2395 2,2653 2,2916 2,3186 2,3462
2,3746 2,4038 2,4341 2,4655 2,4981
2,5322 2,5681 2,6061 2,6467 2,6906
2,7389 2,7934 2,8578 2,9412 3,1416
0,2973 0,2984 0,2995 0,3006 0,3017
0,3025 0,3032 0,3037 0,3040 0,3042
0,3044 0,3043 0,3041 0,3038 0,3033
0,3026 0,3017 0,3008 0,2996 0,2980
0,2963 0,2944 0,2922 0,2896 0,2864
0,2830 0,2787 0,2735 0,2665 0,2500
311
TABLA 6.8PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA
2
2
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,06 0,07 0,08
0,0886 0,09 0,10
0,11 0,12 0,13 0,14 0,15
0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
0,0019 0,0053 0,0097 0,0150 0,0209
0,0275 0,0346 0,0421 0,0491 0,0502 0,0585
0,0670 0,0753 0,0839 0,0925 0,1012
0,1100 0,1188 0,1277 0,1367 0,1457
0,2830 0,4006 0,4911 0,5676 0,6351
0,6963 0,7528 0,8054 0,8482 0,8513 0,8732
0,8950 0,9166 0,9382 0,9597 0,9811
1,0024 1,0236 1,0448 1,0658 1,0868
0,0066 0,0132 0,0198 0,0264 0,0329
0,0394 0,0459 0,0524 0,0578 0,0590 0,0670
0,0748 0,0823 0,0895 0,0964 0,1031
0,1097 0,1161 0,1222 0,1282 0,1341
0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
0,26 0,27 0,28 0,29 0,30
0,31 0,32 0,33 0,34 0,35
0,36 0,37 0,38 0,39 0,40
0,1549 0,1640 0,1733 0,1825 0,1919
0,2013 0,2107 0,2202 0,2297 0,2393
0,2489 0,2586 0,2683 0,2780 0,2878
0,2975 0,3074 0,3172 0,3271 0,3370
1,1078 1,1286 1,1494 1,1702 1,1909
1,2115 1,2321 1,2526 1,2731 1,2935
1,3139 1,3342 1,3546 1,3748 1,3951
1,4153 1,4355 1,4556 1,4758 1,4959
0,1398 0,1454 0,1508 0,1560 0,1611
0,1662 0,1710 0,1758 0,1804 0,1850
0,1895 0,1938 0,1981 0,2023 0,2063
0,2103 0,2142 0,2181 0,2217 0,2252
/2
Tirante
Diámetro
Area
Radio hidráulico
Perímetro mojado
312
2
2
0,410,420,430,440,45
0,460,470,480,490,50
0,510,520,530,540,55
0,560,570,580,590,60
0,610,620,630,640,65
0,660,670,680,690,70
0,3469 0,3568 0,3667 0,3767 0,3867
0,3966 0,4066 0,4166 0,4266 0,4366
0,4466 0,4566 0,4666 0,4766 0,4865
0,4965 0,5064 0,5163 0,5261 0,5359
0,5457 0,5555 0,5651 0,5748 0,5843
0,5938 0,6033 0,6126 0,6219 0,6312
1,5160 1,5360 1,5561 1,5761 1,5962
1,6162 1,6362 1,6562 1,6762 1,6962
1,7162 1,7362 1,7562 1,7763 1,7964
1,8165 1,8367 1,8569 1,8772 1,8976
1,9180 1,9386 1,9592 1,9800 2,0009
2,0219 2,0431 2,0645 2,0860 2,1077
0,2287 0,2322 0,2356 0,2390 0,2422
0,2454 0,2484 0,2514 0,2544 0,2574
0,2602 0,2630 0,2657 0,2683 0,2707
0,2733 0,2757 0,2781 0,2804 0,2824
0,2844 0,2864 0,2884 0,2902 0,2920
0,2937 0,2953 0,2967 0,2981 0,2994
0,710,720,730,740,75
0,760,770,780,790,80
0,810,820,830,840,85
0,860,870,880,890,90
0,910,920,930,940,95
0,960,970,980,991,00
0,6403 0,6493 0,6582 0,6671 0,6758
0,6844 0,6929 0,7012 0,7094 0,7175
0,7254 0,7332 0,7408 0,7482 0,7554
0,7625 0,7693 0,7759 0,7823 0,7884
0,7943 0,7999 0,8052 0,8101 0,8146
0,8188 0,8224 0,8256 0,8280 0,8293
2,1297 2,1518 2,1742 2,1969 2,2198
2,2431 2,2666 2,2906 2,3149 2,3397
2,3650 2,3907 2,4170 2,4440 2,4716
2,5000 2,5292 2,5595 2,5909 2,6235
2,6576 2,6935 2,7315 2,7721 2,8160
2,8643 2,9188 2,9832 3,0667 3,2670
0,3006 0,3018 0,3028 0,3036 0,3044
0,3050 0,3055 0,3060 0,3064 0,3067
0,3067 0,3066 0,3064 0,3061 0,3056
0,3050 0,3042 0,3032 0,3020 0,3005
0,2988 0,2969 0,2947 0,2922 0,2893
0,2858 0,2816 0,2766 0,2696 0,2538
313
314
315
316
317
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VI)
1. Hallar una expresión para la pérdida de carga en un canal de longitud , en función de lacarga de velocidad y del radio hidráulico.
2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. Lavelocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico?. Dibujar la seccióntransversal.
3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad de Kutterde 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto.
Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene lamisma rugosidad y la misma pendiente.
4. Hallar el radio que debe tener la sección semicircular de un canal para transportar 3 m3/s. Lapendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente de Chezy es 49 m1/2/s.
Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la secciónanterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de y la misma pendiente?.
5. El canal mostrado en la figura tieneuna pendiente de 0,0009. Elcoeficiente de Kutter es 0,013.Calcular el gasto.
¿En cuánto aumentará el gasto si lapendiente fuera el doble?
6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace de unarugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.
7. En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular
a) el coeficiente de Kutter
b) el coeficiente de Ganguillet-Kutter
c) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad
media dato del problema
d) el coeficiente de Strickler
e) el coeficiente de Chezy con la fórmula de Pavlovski
90º 1,0 m
1,5 m
318
8. Un canal tiene según la tabla de Kutter una rugosidad = 0,035. Calcular el coeficiente de
Chezy usando las fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirantees 1 m.
9. Hallar los valores de e , a que se refiere la ecuación 6-5, de las ecuaciones de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.
10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidadde Kutter a considerarse es 0,018,
a) para una sección rectangular de 6 m de anchob) para una sección triangular con un ángulo de 60°c) para una sección circular de 4 m de diámetrod) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m
11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de 10 m3/s,con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). La pendiente es de8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar la fórmula de Bazin.
12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de 8 ft.El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar la fórmula deGanguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas).
13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5. Elcanal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcular el gastoutilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Comparar resultados (latemperatura del agua es 15 °C)
14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su pesoespecífico relativo es 0,86. Calcular el gasto.
15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es 0,006.El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de la seccióntransversal y la velocidad media?. Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudal adicional podríaser absorbido? (en porcentaje).
16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Qué dimensionesdebe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s. El talud es 1,5. Considerar
que el coeficiente de Kutter es 0,025.
17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, taludde 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s.Calcular
319
a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?.
b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes, paraaumentar su capacidad en 50 %?.
18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de lostaludes es igual al ancho superficial.
19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que
21221 ⌡⌡
20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°, secumple que
38
32
= 1,90
21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para la secciónmás eficiente que
83
21968,0
83
21118,1
22. Demostrar que en un canal con una velocidad , dada, la condición de máxima eficiencia
hidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima.
23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. La pendientees 0,006 y el coeficiente de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.
24. El gasto de canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es 1,25.
a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente de0,0008 (el coeficiente de rugosidad de Bazin es 0,30).
b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal encondiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?.
c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica manteniendo una pendiente 0,001¿Cuál será la velocidad en este caso?.
320
25. Un canal debe transportar 8 m3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de la seccióntransversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,002 yel coeficiente de Kutter es 0,022. En caso de revestir el contorno con concreto ( = 0,016)determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal.
26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinar lasdimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficiencia hidráulica.La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado.
27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la sección transversalcon la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de 1 m/s. (a finde prevenir erosiones). Considerar que es 0,03.
En el caso de revestir el canal ( = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendola pendiente y la forma de la sección calculada en el caso anterior?.
28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es de 60° con la horizontal.Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máximaeficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. Encaso de revestir el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de lasección?.
29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones de lasección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es 0,0015.El coeficiente de Chezy es 55 m1/2/s.
30. Se trata de diseñar un canal para 8 m3/s que debe ser construido en media ladera (inclinaciónmedia 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y elcoeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá de laFigura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultado máseconómico un canal de máxima eficiencia hidráulica.
31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficienciahidráulica.
32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes casos se obtendrá unamayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?
a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica
b) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica
33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendientees 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entoncespara un gasto de 45 m3/s el tirante es 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido con concretofrotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.
321
a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo es de concreto y las paredes de albañilería de piedra, siendoel tirante de 3,0 m?.
b) ¿Cuál será el gasto si el fondo es de albañilería y las paredes de concreto para un tirante de 3 m?.
34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulica parallevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es deconcreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados.
35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de 3 m yel tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metros habría queprofundizar la base del canal manteniendo el talud?. Considerar para concreto antiguo 0,018 ypara el nuevo revestimiento 0,014. ¿Qué dimensión tendría la nueva base del canal?
36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29.
37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, anchosuperficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en elque el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego las
expresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para igual constante y para igual variable.
Como aplicación calcular todos los valores para = 16’’, = 0,001 y = 0,014. ¿Cuál esel máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puedepresentarse?.
38. Hallar cual es el grado de sumergencia ( ) que corresponde a un ángulo de 240° en una
tubería circular parcialmente llena.
39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de los gastossiguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es el tiranteen cada caso?. La cota del colector en el punto inicial es 100 m y en el punto final es 99,85. Lalongitud es de 200 m. El coeficiente de Kutter es 0,014. Dibujar la curva de variación entre y .
40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( = 0,030) para conducir ungasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008. Calculartambién el tirante y velocidad respectivos.
41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para que conduzcaun gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones la velocidaddebe ser superior a 0,60 m/s ( = 0,014). Determinar también con que tirante se producirá elescurrimiento.
322
/2
/2
42. Un conducto tiene forma oval, formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo
de radio . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal del
semicírculo son 3 2 y 4,82 , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga se presenta
cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura del semicírculo
(usar la ecuación de Chezy).
43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio . La
porción inferior es una semieclipse de ancho 2 , profundidad 2 y perímetro 4,847 , cuyo
eje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/s
trabajando a 3/4 ( = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, = 0,014. Hallar las dimensiones
de la sección y el tirante que daría un gasto máximo.
44. Un acueducto tiene la forma que se muestraen la figura
= 0,0005
= 800 l/s
= 0,012
Calcular el tirante, la velocidad mediacorrespondiente y determinar cual sería eltirante para las condiciones de gasto máximoy de velocidad máxima.
45. Se tiene un conducto de la forma siguiente
= 100 l/s
= 0,2 %o
= 0,013
Calcular el valor del ancho , el tirante y la
velocidad media.
1,5 m
0,3 m
0,3 m
1,5 m
323
Energía específica y momentaCapítulo VII
CAPITULO VIIENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA
7.1 Energía específica
La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma deltirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal dereferencia arbitrariamente escogido y se expresa así
Energía = zg
Vy ⌡⌡2
2
(7-1)
y es el tirante, el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la
sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.
Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina
energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.
gVyE2
2
⌡ (7-2)
La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como estáreferida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.
Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un
324
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paraleloy aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentalesde la ecuación 7-1.
La energía específica se interpreta gráficamente así
Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. Enconsecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.
Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente deCoriolis es igual a la unidad. Entonces,
gVyE2
2
⌡ (7-3)
es la ecuación de la energía para este caso particular.
Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección
transversal, que es una función del tirante y ( AQV ).
2
2
2gAQyE ⌡ (7-4)
En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,gasto y tirante
2Vg2
Línea de energía
yFondo (plano de referencia)
E
Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica
325
Energía específica y momentaCapítulo VII
QEy , (7-5)
Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia decada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.
Así, si aceptamos que el gasto es constante
Ey (7-6)
Pero si la energía es constante,
Qy (7-7)
7.2 Energía específica a gasto constante
Discusión de la curva yE �
La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el
eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,
tal como se ve en el Figura 7.2.
Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,
2
2
2gAQyE ⌡
que evidentemente son
0� yE ; 0y
Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( yE ) y por el eje deabscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerseque tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente alfondo.
Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a
0dydE
326
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva yE � )
Tirante
y
g2V2
2
2y
CRISIS
VcV < F < dEdy0 < < 11
Q = CONSTANTEdE = 0dy
2gcV 2
yc
2 g1V 2
y1
y2
Emin
1Vg2
2
y1= + = + 2y2 2 gV 2
E
TORRENTE RIO
y1
= +E y2 gV 2
Energía Específica
F =V = cV 1 = 1gQ2 T
A3
F >VV > c
dE < 01 dy45º
E = y
= +E2Vyg2
y1 e son tirantes alternos
Vg2
2
F > 1
y2
V1
g2
2c
E E1 2( = )
> (flujo supercrítico) ( < )y y1 c
y y( > )VV1 c< (flujo subcrítico) F < 1g2 2 g 2
2 2
c
Si < no hay flujo posible del gastoE E Qmin
Qg
T2
< 13A
A
2
gQ
> 13T
327
Energía específica y momentaCapítulo VII
y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene
dydA
gAQ
dydE
3
2
1� (7-8)
Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en lafigura
Para cada valor del tirante y , que es
variable, hay un valor del área A y un
valor del ancho superficial T . El áreaes
y
dyyTyA0
Al diferenciar esta expresión se llega a
TdydA
Luego,
dydAT (7-9)
Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérveseen el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas lassecciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene
3
2
1gA
TQdydE � (7-10)
Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir
un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas
01 3
2
�gA
TQdydE
y
dy
T
A
328
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
o bien,
TA
gQ 32
ó 13
2
gA
TQ(7-11)
que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.
Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse
adimensional al dividir ambos miembros por 5L .
5
3
5
2
TLA
gLQ (7-11a)
siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).
Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dosasíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.
La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que
13
2
gA
TQ
La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumpleque
13
2
gA
TQ
El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)
13
2
gA
TQ
La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.
De esta última ecuación se obtiene
TAgAQ
329
Energía específica y momentaCapítulo VII
El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,
TAd
es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,
gdAQ
o bien,
gdTAgV
que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina
velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).
cc gdTAgV (7-12)
Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en
las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , cA y en lugar de T , cT , etc. Por
comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de
A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.
Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidadcrítica sería
cc dgV (7-13)
De la ecuación 7-12, para 1 , se obtiene que
22
2cc d
gV (7-14)
Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitaddel tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14son absolutamente equivalentes.
330
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a lamínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.
El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza por que la velocidadsiempre es menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de elloscorresponde a un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayorque la crítica. Por eso se llama régimen supercrítico.
De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que
gVyE c
cmin 2
2
⌡ (7-15)
Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entretirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.
Los tirantes 1y e 2y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía
específica se denominan alternos.
Introducción del Número de Froude
Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.
El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de lasfuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es
TAgV
gdVF (7-16)
Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces
1c
c
gdgd
F (7-17)
Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude esigual a 1.
331
Energía específica y momentaCapítulo VII
En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y por lo tanto el número de Froudees menor que 1.
Por similares razones en un torrente el número de Froude es mayor que 1.
Examinemos nuevamente la ecuación 7-10
3
2
1gA
TQdydE �
Al introducir AQV se obtiene
TAg
VdydE 2
1� (7-18)
Pero, (ec. 7-16)
TAg
VF
De donde,
21 FdydE � (7-19)
Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,
0dydE
(7-20)
Condición que es precisamente de la energía mínima.
Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,
10 dydE
(7-21)
332
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Propagación de una onda superficial
Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos
Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridadc , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a
gyc (7-22)
Siendo y la profundidad de la corriente.
Resulta evidente que la condición paraque un onda pueda remontar la corrientees que su celeridad sea mayor que lavelocidad de la corriente.
En un torrente siempre se cumple quela velocidad media de la corriente es
mayor que gy (sección rectangular).
De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar lacorriente.
En cambio en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.
En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta
permanece estacionaria, ( Vc ).
Ríos y torrentes
Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).
En cambio en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.
La conclusión que obtenemos es que la relación E
gV 22
describe el régimen de la corriente.
La relación E
gV 22
es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.
En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumentael tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en laFigura 7.2a.
yV
c - V c + V
333
Energía específica y momentaCapítulo VII
En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.
Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondoque implican un cambio en la energía específica.
Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)
Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, hansido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en formade resumen, sus principales características.
i) La curva yE � (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una
superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.
ii) En un torrente, dydE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).
iii) La curva yE � tiene dos asíntotas que son yE ; 0y .
iv) La curva yE � tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,
0dydE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.
El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominancríticos.
v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre lacurva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que secaracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.
vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.
vii) En la zona superior de la curva yE � la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo
subcrítico).En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujosupercrítico).
viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisises 1.
ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.
334
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0dydE .
En un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía específica
0dydE
.
Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante
Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en laforma siguiente
gQyx32
232
Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea deenergía.
Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,
2Tx g
Vy2
2
Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11
TA
gQ 32
y
E
y
E
Ey
En un río las variaciones de
E e y son del mismo signo y
del mismo orden de magnitud.
En un torrente las variaciones de
E e y son de diferente signo y
de diferente orden de magnitud.45º
335
Energía específica y momentaCapítulo VII
Siendo en este caso,
xT 2gy
QVQA
2
Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica laexpresión propuesta.
Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.
7.3 Sección rectangular
Condiciones críticas
En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación
TAgVc
expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el
ancho superficial.
Tal como lo señalamos antes, para estos casos de flujo crítico se sobreentiende que A es
cA y T es cT .
En una sección rectangular la relación TA (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,
cc gyV (7-23)
que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato
22
2cc y
gV (7-24)
Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía develocidad es igual a la mitad del tirante crítico.
336
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
La energía que corresponde a las condiciones críticas es
gVyE c
c 2
2
⌡
Este valor de la energía es el mínimo en la curva yE � , tal como se ve en la Figura 7.2.
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
Eyc 32 (7-25)
Eg
Vc
31
2
2
(7-26)
Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en uncanal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después depresentar la ecuación 7-15.
Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordandoque
Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular
yE
c
c
31 E
3 E2
2Vg2
337
Energía específica y momentaCapítulo VII
cc y
qAQV
cc gyV
q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión
corresponde al sistema métrico.
En general la energía específica de un canal rectangular es
gVyE2
2
⌡
Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a
gyV
yE
21
2
⌡
Introduciendo el número de Froude gy
VF se obtiene
21
2FyE ⌡ (7-28)
Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,
yE
dydE 23� (7-29)
Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1F esto significa condiciones críticas, y se
obtiene cyE23 , tal como se demostró anteriormente.
Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por
oo
o32
3
2
467,0 qgqyc (7-27)
338
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
0dydE , obteniéndose también cyE
23 .
Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)
La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico
es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4
2
2
2gyqyE ⌡ (7-30)
Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico cy se obtiene
ccc ygyq
yy
yE
2
2
2⌡
Pero, en una sección rectangular
3
2
gqyc
ó lo que es lo mismo,
32cgyq (7-31)
Reemplazando se obtiene
2
2
2yy
yy
yE c
cc
⌡ (7-32)
que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente
2
2
31
32
yy
yy
EE c
cmin
⌡ (7-32a)
339
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular
CRISIS
45º
E = ycyy
Ecy
Ecy yc
yycy 2
22= +
yc E= 32
0 1 21,5 3
1
2
3
340
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante
El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.
Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7
Qy , para energía constante
La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es
2
2
2gyqyE ⌡
De acá podemos despejar el gasto específico q
yyEgq � 2 (7-33)
Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un
valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gastomáximo
0dydq
0212 2
121
��� � yyEyEgdydq
De donde,
Ey32
Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en uncanal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas
23
cccc byggybyAVQ
341
Energía específica y momentaCapítulo VII
Pero, en un canal rectangular Eyc 32
Luego,
bQq
232
3
32 Egq (7-34)
En el sistema métrico
23
704,1 Eq (7-35)
Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específicadado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.
Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficialesremontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y en otro caso son arrastradas por la corriente conuna velocidad de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.
Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.
Entonces,c - V = 2,2
c + V = 3
De donde,
c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s
A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que
gcy
2
= 0,69 m
El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s
Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica como puede fácilmente comprobarse.(F= 0,15).
Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad es de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si laonda se produce contra la corriente su velocidad es 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.
342
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante
CRISIS= 1F
= 0dydq
q = 2g(E - y) y
3
q = 1,704E 2
qmax
q2V2g
R
Vc
2g
2
VT
2 g
2
23c
y = y(sección rectangular)
yRE
q
max
maxq < q
q = 1,704 E 23
(sección rectangular)
y
q
= (1 + 1 + )y
T
Ty
4FR
28FR
2yR
yy = (1 + 1 + )8
T4 FT
2
FR T2
Los subíndices R y T se
refieren a río y torrente
343
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla quemuestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente enfunción del tirante (1,50 > y > 0,10 m).
Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular elárea, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.
Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación7-27
3
2
gqyc = 0,4673 m (0,47 aprox.)
En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23
cc gyV = 2,14 m/s
La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de1 m3/s/m en un canal rectangular.
7009,0214,24673,0
2
⌡g
cy gVc 22 E (mínima)
Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento(ríos y torrentes).
Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).
Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica. (régimensupercrítico).
Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.
Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos
a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor quela crítica el régimen es subcrítico).
El número de Froude es menor que 1 y los valores de dydE son positivos, pero menores que 1.
344
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor quela crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores
dedydE son negativos.
Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que sontirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.
En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.
En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.
Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.
En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a1,05 m.
Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3
yc
1 m
Tirantes alternos
CRISIS
45º
E = y
y
E
cy
0 1,00 2,001,50 2,50
1,00
2,00
(m)
0,50
1,50
0,50
(0,20)
(1,46)
0,7009
1,48
(m)
2 gcV 2
0,4673 0,2336
q = 1 m /s/m3
0,17 (Número de Froude)0,18
0,32
0,69
1,001,26
1,943,57
345
Energía específica y momentaCapítulo VII
346
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de unapequeña onda superficial.
En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y deotros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.
Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y eltirante crítico yc la siguiente relación
3
21
22
212
cyyyyy
⌡
Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica
gVy
gVy
22
22
2
21
1 ⌡⌡
Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene
22
2
221
2
1 22 gyqy
gyqy ⌡⌡
Pero en un canal rectangular
3
2
gqyc
Luego,
22
3
221
3
1 22 yyy
yyy cc ⌡⌡
Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a
3
21
22
212
cyyyyy
⌡
En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energíaespecífica). A modo de comprobación
1027,066,1
46,120,02 22
que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.
347
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.4 Sección parabólica
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente)
TAgVc
Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 delárea del rectángulo circunscrito
TyA c32
reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene
cc gyV32 (7-36)
o bien,
cc gyV32
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene
32
2cc y
gV (7-37)
yc
T
A
348
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con ladefinición de energía específica en condiciones críticas se obtiene
Eyc 43 (7-38)
Eg
Vc
41
2
2
(7-39)
En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, encondiciones críticas.
El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a lascondiciones críticas.
Su expresión para un canal parabólico es
cc gyTyQ32
32
A cV
23
212
3
32
cyTgQ (7-40)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene
TQq
Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico
2Vg2
yE
c
c
41 E
4 E3
349
Energía específica y momentaCapítulo VII
23
212
3
32
cygq (7-41)
De donde, en el sistema métrico
32
701,0 qyc (7-42)
El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condicionescríticas
23
437039,1 Eq
23
1067,1 Eq (7-43)
Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es
41
21
41
41
16427
g
Qp
yc (7-44)
Considerar que la ecuación de la parábola es pyx 22
Solución.
La expresión general para las condicionescríticas viene dada por la ecuación 7-11
TA
gQ 32
Por ser una parábola el área es
TyA c32
Por condición de parábola
cc y
Ty
Ty
xp82
22
222
c
2T
py= 2
cy( , )
y
T
x
2xy
350
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
De donde,
cpyT 8
cc pyyA 832
Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)
41
21
41
41
16427
g
Qp
yc
que es la expresión propuesta.
7.5 Sección triangular.
En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente).
TAgVc
En el triángulo el área es
TyA c21
Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene
yc
T
A1
z
351
Energía específica y momentaCapítulo VII
cc gyV21 (7-45)
o bien,
cc gyV21
que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene
42
2cc y
gV (7-46)
ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.
Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticasse obtiene
Eyc 54 (7-47)
Eg
Vc
51
2
2
(7-48)
ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica encondiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.
Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular
yc
2 gV 2
c
54 E
E
51 E
352
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.
cc gyTyAVQ21
21
23
212
3
21
cyTgQ (7-49)
Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial TQq
23
212
3
21
cygq
de donde, en el sistema métrico
23
7920,0 Eq (7-50)
o bien,
32
9346,0 qyc (7-51)
Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es
4,02,02
zQ
gyc (7-52)
siendo z el talud.
Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante críticoen el sistema métrico es
4,07277,0 Qyc
Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en uncanal triangular.
La energía específica es
gVyE2
2
⌡
De donde,
353
Energía específica y momentaCapítulo VII
yEgV � 2
Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es
2zyA
Luego,
yEgzyAVQ � 22
Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego
0dydQ
De acá se obtiene inmediatamente
Eyc 54
verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que lascondiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo paraenergía constante.
Nota.En muchos casos en los que aparece la aceleración de la gravedad se ha reemplazado éstapor su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.
Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquiersistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazadopreviamente el citado valor de la gravedad.
7.6 Sección trapecial
c
T
A1z
b
y
354
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)
TAgVc
En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones
yzybA ⌡
zybT 2⌡
que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan
c
ccc zyb
yzybgV2⌡
⌡ (7-53)
o bien,
cc
cc gy
zybzybV
2⌡⌡
Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidadcrítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.
Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si
b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad
crítica en una sección rectangular.
Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11
TA
gQ 32
se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por
g
Qzyb
yzybc
cc233
2
⌡⌡
(7-54)
Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe
355
Energía específica y momentaCapítulo VII
recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponervalores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).
Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el áreadel trapecio de la siguiente manera
cyTbA2⌡
valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da
cc yTTbgV
2⌡ (7-55)
De donde,
EbT
Tbg
Vc
⌡⌡
52
2
(7-56)
EbT
Tyc ⌡
54
(7-57)
Obsérvese que siempre se cumple
EEbT
TE54
54
32
⌡
cy : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)
Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial encondiciones críticas. (Se observa que es función del talud).
cy
E
E
g2
2Vc
b + T
4T
5T + b
5T + bE
356
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenidaa partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.
La energía específica es
gVyE2
2
⌡
La velocidad es
yEgV � 2
El gasto es
yEgyzybQ �⌡ 2 (7-58)
La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)
0dydQ
Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene
02435 2 ��⌡ bEyzEbzy cc (7-59)
que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta
expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si
hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular.
Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a
zbzEbEzbzEyc 10
9161634 222 ⌡⌡⌡� (7-60)
Abaco de Ven Te Chow
Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) quepermite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un métodográfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximadoy luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.
Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es
357
Energía específica y momentaCapítulo VII
gQZ (7-61)
Se entra al gráfico con el valor de 5,2bZ y se obtiene el valor de
byc para cada valor del talud
z , (Figura 7.9).
Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un canal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la basees de 0,50 m. El talud es 3.
Solución. Si partimos de la expresión general g
QTA 23
se tiene, luego de reemplazar el gasto, que
TA 2,103
Luego,
cccc yyyzybA 35,0 ⌡⌡
cyT 65,0 ⌡
ccc yyy 65,02,1035,0 32 ⌡⌡
Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndoel valor del tirante crítico yc = 1,098 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación yanálisis, otros valores
2,5b
Z
b
yz
cy
bc
358
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
359
Energía específica y momentaCapítulo VII
A = 4,18 m2
Vc = 2,39 m/s
gV
yE cc 2
2
⌡ = 1,39 m
gVc
2
2
= 0,29 m
Obsérvese que también se cumple que cc gdV
TAdc = 0,59 m 59,08,9 ΙcV = 2,40 m/s
Se aprecia que Eyc 79,0 valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a
este último, pues la figura es casi triangular.
También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.
Entonces,
19,3g
QZ 185,2
bZ
De donde, (Figura 7.9),
2,2byc yc = 1,10 m
A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,7-48 y 7-60.
0,29 m
1,10 m
0,50 m
31
21 % E
79 % E
Línea de energía
E = 1,39 m
360
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
361
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.7 Sección circular y otras secciones
Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas porla ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos laprimera de ellas
TA
gQ 32
En una sección circular el área es (ec.6-37)
sen2
2
� rA
Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene
2sen
cos1� rdydAT (7-62)
Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.
Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene
2
sencos1sen
82sen
cos1sen
8
35362
��
�� r
rr
gQ
Haciendo2Dr
cos1
2sensen
2
3
8
52
�
� D
gQ (7-63)
Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a
Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir
D
yc
362
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2sen2
2sen
cos1 �(7-64)
Luego,
25
21
23
4
2sen2
sen2
Dg
Q � (7-65)
En el sistema métrico
25
21
23
2sen
sen1383,0 DQ � (7-66)
Esta última expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmentellena, la que hidráulicamente es un canal.
Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente
ángulo que da condiciones críticas.
El tirante crítico es
�2
cos12Dyc (7-67)
La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función
25
D
Q(7-68)
El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico datambién las condiciones críticas para otros conductos abovedados.
El gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) puede también emplearse.
363
Energía específica y momentaCapítulo VII
364
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diámetro es de 1 m. Calcular
a) tirante críticob) velocidad críticac) energía mínimad) ángulo en el centro
Solución. Vamos a usar la Figura 7.10
225
D
Qo
oo yc = 0,81 m
A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente
�2
cos12Dyc
2cos1
5,081,0 � = 256º 38’
= 4,4791 rad
El área es
9729,04791,4225,0
2
2
⌡� senrA
A = 0,6815 m2
Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7
Dy
= 0,81, 2DA
= 0,6815 oo
o A = 0,6815 m2
La velocidad crítica es
6815,02
AQVc = 2,93 m/s o
oo
gVc
2
2
= 0,44 m
La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m
Hay también la posibilidad de usar el ábaco de Ven Te Chow
gQZ = 0,64 ;
25
D
Z= 0,64 o
oo yc = 0,80 m
Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre esaplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no existagráficos especialmente preparados.
365
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica
Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.
Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puedeconseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.
En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener unrégimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimientoy, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.
Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igualal tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.
Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variacionesde la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Seproduce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.
Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libremayor.
Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que unacondición de diseño sea
⌡⌡c
cc T
Ayg
Vy2
05,12
2
(7-69)
Cambiando la notación se podría escribir
⌡2
05,1 cc
dyE (7-70)
La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de lavelocidad normal. (Manning, Chezy, etc).
TAgVc
nSRV
21
32
Igualando ambas expresiones se obtiene
366
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
TAgnSR c
21
32
de donde,
34
2
R
nTAgSc (7-71)
que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.
Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería
TP
CgSc 2 (7-72)
En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al
ancho superficial, TP .
entonces la ec. 7-72 queda reducida a
2CgSc
pero, 28C
gf , de donde, fgC 82 , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,
8fSc (7-73)
Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?
Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es
cc gyV (ec. 7-19)
Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debeser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea críticoy sea normal.
367
Energía específica y momentaCapítulo VII
cgynSR
21
32
De donde,
El tirante crítico es según la ec. 7-27
3
2
gqyc = 0,92 m
El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene
3
4
2
34
2
46,0
018,092,08,9 ΙR
ngyS cc = 0,0082
cS = 0,0082
Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.
Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,cuyo tirante es igual al tirante crítico.
Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).
Ejemplo 7.9 En un canal de concretofrotachado el gasto es de 3,86 m3/s. Lasección transversal es la mostrada en lafigura. Calcular: a) el tirante crítico y laenergía específica correspondiente, b) lapendiente para que se establezca un flujocrítico normal.
Solución.
a) La condición general de crisis es 5204,123
g
QTA
2
21
21
cc yTyA cyT
De donde,
88
563c
c
c yy
yTA
c
T
A
45º
y
368
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
8
5cy
= 1,5204 ooo yc = 1,648 1,65 m
358,186,3
AQVc = 2,84 m/s
gV2
2
= 0,412 0,41 m
E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m
E54
5E
(por ser sección triangular)
Podría emplearse la ecuación 7-52,
4,02,04,02,0
5,086,322
gzQ
gyc = 1,648 1,65 m
siendo,
5,02
102
21 ⌡⌡
zzz
b) S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica
nSRVV c
c
21
32
2cc yyP ⌡ = 3,9835 m
9835,33613,1
PAR = 0,3417 m
015,0
3417,084,2
21
32
c
c
SV
Obteniéndose finalmente,
Sc = 0,0076
369
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )
En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente críticacorrespondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).
Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interéspráctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico.
Examinemos en primer lugar un canal rectangular.
En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)
34
2
R
nTAgSc
Para un canal rectangular es
31
34
34
2 2
c
cc
y
yb
b
gnS ⌡ (7-74)
La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de 0c
c
dydS
Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene
cyb 6 (7-75)
de donde,
cyP 8 (7-76)
cybR43
8 (7-77)
que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente
límite LS .
Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a
31
2
38
b
gnSL (7-78)
370
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces
234CgSL (7-79)
si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2), 2
8C
gf se llega a
6fSL (7-80)
El gasto que corresponde a la pendiente límite es
25
6 cygQ (7-81)
Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es(ec. 7-71)
TA
PgnSc31
34
2
La pendiente límite se obtiene a partir de 0c
c
dydS , teniendo en cuenta que
cyzbP 212 ⌡⌡
cc yzybA ⌡
czybT 2⌡
Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones
dydT
dydP
PT
TA34
2
� (7-82)
que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en
esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 cyA que es lo correcto para un canal
rectangular.
371
Energía específica y momentaCapítulo VII
Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.
Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es
(ec. 7-78)31
2
67,2b
gnSL = 0,0038
Luego,
6byc = 0,40 m
gqyc
2
oo
o3cgyq = 0,792 m3/s/m
(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s
cc gyV = 1,98 m/s
Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)
nSRV
21
32
= 1,98 m/s
nRC
61
= 58,4 m1/2/s
2
8C
gf = 0,0229
60229,0LS = 0,0038
7.10 Transiciones
Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de lasuperficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambiopuede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondoascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho delcanal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para elestudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es
372
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dossecciones 1 y 2 la ecuación de la energía es
ag
Vyg
Vy ⌡⌡⌡22
22
2
21
1 (7-83)
siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminuciónde la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirsela ecuación de continuidad.
QAVAV 2211
Si no existiera una grada de fondo, entonces 0a . Si el ancho es constante y el cambio de
la superficie libre se origina en una grada se observa en las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 losperfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos.
La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específicasignifica una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Porel contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos yuna disminución en los torrentes.
El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)
Curva yE � para diferentes caudales
Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una
familia de curvas yE � . Es evidente que para el caso particular de un canal rectangular la
recta que une el origen con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada
vértice corresponde a la condición crítica del respectivo caudal).
373
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.11 Grada positiva en un río
Figura 7.12 Grada negativa en un río
1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E2
a
Línea de energía
qE1 y1 y
2
E2
E1
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un río una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45º
E
1
y
y1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E2
a
Línea de energía
qE1
y2 y
1
E1
E2
a
y
Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un río un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45ºE
1
E y +2 g2 22V 2
374
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 7.13 Grada positiva en un torrente
Figura 7.14 Grada negativa en un torrente
1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E2
a
Línea de energía
qE1
y1 y
2
E2
E1
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +11Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2
Luego, E < E2 1
Del gráfico de la energía específica y > y2 1
En un torrente una disminución de la
energía específica, a gasto constante,
implica un aumento del tirante.
45ºE
1
y
1
2 gV 2
1
yc
2Vg2
2
y2
E2
a
Línea de energía
q
E1
y1
y2
E1
E2
a
y
Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c
E (Energía específica antes de la grada) y +1
1Vg2
2
Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2
Luego, E > E2 1
Del gráfico de la energía específica y < y2 1
En un torrente un aumento de la
energía específica, a gasto constante,
implica una disminución del tirante.
45ºE
1
y
375
Energía específica y momentaCapítulo VII
Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva
Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales
2 gV 2
1
cVg2
2
yc
Emin
a
Línea de energía
qE
Emin
E
a
y
Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max
sobre la grada debe ser mínima E = y + cVg2
2
El máximo valor de la grada, sin alterar
las condiciones aguas arriba, corresponde
a condiciones críticas (energía mínima).
45ºmax
V2 g
22
1y
y2
max E
min c
y
45º
q < q < qE = y
V2 g
2
E = y +
1q
min
q2
3q
1 2 3
pendiente = 2/3(canal rectangular)
E (1)
321
E (2)min
E (3)min
376
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (gradapositiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libredesciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energíaespecífica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismogasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?.
Solución.
Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,respectivamente
25,02
45,22
80,22
22
1 ⌡⌡⌡g
Vg
V
Por continuidad,
2,114 111
Qy
QAQV
35,73 22
QyQV
Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene
Q = 13,64 m3/s
Efectuando las operaciones indicadas se tiene que
1V = 1,22 m/s; 2V = 1,86 m/s; gV2
21 = 0,08 m; g
V2
22 = 0,18 m
4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m13 q = 4,55 m /s/m2
3
Línea de energía0,08 m
0,10 m
y = 1,28 mc2
2,45 m2,63 m
0,25 m
cy = 1,06 m1
2,88 m 2,80 m3Q = 13,64 m /s
45º
2,80 m
2,88 m
1,06 m
1,59 m
1,06 m 0,53 m
E
y
377
Energía específica y momentaCapítulo VII
De donde,
gVyE2
21
11 ⌡ = 2,88 m
gVyE2
22
22 ⌡ = 2,63 m
Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos
1F = 0,23 ; 2F = 0,38 ; 1cy = 1,06 m ; 2cy = 1,28 m
Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.
El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es
1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es cy23
, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía
es
maxmin1 aEE ⌡
2,88 = 1,92 + maxa
maxa = 0,96 m
La depresión de la superficie libre es 0,56 m
7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energíaespecífica
Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay uncambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.
En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la
caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a minE , (lo que ocurre teóricamente
sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).
Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento deenergía.
Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante críticoque se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobreel plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable lasuposición de una distribución hidrostática de presiones.
378
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 vecesel tirante sobre la grada.
El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de cy3 a cy4 ,
aproximadamente, aguas arriba de la grada.
7.12 Fuerza Específica (Momenta)
La segunda Ley del movimientode Newton dice que el cambiode la cantidad de movimiento porunidad de tiempo es igual a laresultante de las fuerzasexteriores.
Consideremos un canal con unflujo permanente cualquiera y unvolumen de control limitado pordos secciones transversales 1 y2, la superficie libre y el fondodel canal, tal como se ve en laFigura 7.18.
Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)entre las secciones 1 y 2 se obtiene
fFWsenPPVVQ �⌡�� 211122 (7-84)
Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la EnergíaEspecífica
L
y1
y2
Wsen
P1 P2
Q
Ff
1 2
Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuaciónde la Fuerza Específica.
y
E
yc
3,5yc
ENERGIAMINIMA
Emin
379
Energía específica y momentaCapítulo VII
expresión en la que: densidad del fluido; Q gasto; coeficiente de Boussinesq; Vvelocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; fF fuerza debida a la fricción; ángulo
que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W sen componente del peso en la
dirección del escurrimiento; ‘’ y ’’ tirante.
En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que esválido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmentevariado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cadauna de ellas sea aplicable la ley hidrostática.
Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.
En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.
Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el
volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 . Entonces la
ecuación 7-84 se reduce a
2112 PPVVQ �� (7-85)
La fuerza hidrostática P es Ay , siendo y la profundidad del centro de gravedad.
Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos
reemplazos se llega a
222
2
111
2
AygAQAy
gAQ ⌡⌡ (7-86)
Como los dos miembros son análogos se puede escribir
AygAQ ⌡
2
= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)
que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.
Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmenteuna fuerza por unidad de peso de agua.
380
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
gAQ2
es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y
por unidad de peso.
Ay es la fuerza hidrostática por unidad de peso.
A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta (F. E. ó M.)
El gráfico de la Fuerza Específica es
Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles 1y e 2y . Los
tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.
En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo
0..2
2
⌡�dy
AyddydA
gAQ
dyEFd
De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que
Figura 7.19 Fuerza Específica
y2
F. E.Fuerza específica
(Momenta)
yc
y1
M
yTirante F. E. mínima
ec. 7-87
381
Energía específica y momentaCapítulo VII
22
2 dg
V
que se puede comparar con la ecuación 7-14.
Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde acondiciones críticas.
Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puedeexaminar un canal rectangular en el que
bqQ ; 11 byA ; 22 byA
21
1yy ; 2
22
yy
siendo b el ancho del canal.
Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunassimplificaciones a
2121
2
21 yyyy
gq ⌡ (7-88)
Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es
3
2
gqyc
valor que sustituido en 7-88 nos da
21213
21 yyyyyc ⌡ (7-89)
Siendo 1y e 2y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).
382
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
7.13 Salto hidráulico
El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.
fhEE ⌡ 21 21 .... EFEF
La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1y e 2yson tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1E a 2E .
Salto hidráulico en un canal rectangular
Partimos de la ecuación 7-88
2121
2
21 yyyy
gq ⌡
Se divide ambos miembros por 31y , y luego de algunas sustituciones se llega a
⌡1
2
1
2
1
21 1
21
yy
yy
gyV
De donde,
⌡1
2
1
221 1
21
yy
yyF
Figura 7.20 Salto hidráulico
2 g2E
2V2
y2
fh = (E)1-2
RIO
TORRENTE
1y
g2
2V1
E1
Línea de energía
383
Energía específica y momentaCapítulo VII
De acá se obtiene una ecuación en 1
2
yy
02 21
1
2
2
1
2 �⌡ Fyy
yy
Resolviendo esta ecuación se obtiene
18121 2
11
2 �⌡ Fyy
(7-90)
Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los
tirantes conjugados 1
2
yy es función exclusiva del número de Froude incidente,
11
2 Fyy
Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.
Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es quehay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.
El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas decorriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el pasoviolento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.
El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de lavelocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo quese traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también laincorporación de aire a la masa líquida.
El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.
Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchassimplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representaciónesquemática, del modo como ocurren los fenómenos.
Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectosde las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promediotemporal son en este caso de poca utilidad.
384
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valorestan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de laestructura.
Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar laatención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación lassolicitaciones variables”.
Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuenciay amplitud.
Tipos de salto
En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue lossiguientes tipos de salto
1F Flujo crítico, no hay salto
7,11 F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)
5,27,1 F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña
5,45,2 F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales
95,4 F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)
9F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)
Pérdida de energía en el salto
La perdida de energía en el salto hidráulico se define así
⌡�⌡g
Vyg
Vyhf 22
21
1
22
2 (7-91)
expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñastransformaciones a
21
312
21 4 yyyyEEhE f
�� (7-92)
385
Energía específica y momentaCapítulo VII
Eficiencia
Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica despuésdel salto y la que hay antes de él.
2
12
1
21
23
21
1
2
281418
FFFF
EE
⌡⌡�⌡ (7-93)
La pérdida de energía relativa es
11
21EE
EE � (7-93a)
Altura del salto ( ih )
La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto( 12 yyhi � )
Se demuestra fácilmente que
2381
21
21
1 ⌡�⌡
F
FEhi (7-94)
Longitud del salto ( L )
La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,etc.). Aproximadamente se tiene que
129,6 yyL � (7-95)
En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.
Oleaje
En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y
periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como SH a la altura
significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que
161
11
� Fy
H S (7-96)
Para 71F
386
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplos de salto hidráulico
Línea de energía
g2V1
2
y1
h = E - Ef 1 2
g2V 2
2
2y
L
Canal
ColchónDispipador
Rápida
1y 2
y
Vertedero Oleaje
yn
yn
yn
Línea de energía
y1ay
2
E
Compuerta
y1
yny
S
Para vencer un desnivel se construye una
rápida. Al final de ella debe disiparse
la energía. El salto hidráulico actúa como
un disipador de energía
a)
b)
En un río se costruye una presa derivadora
(barraje) para elevar el nivel del agua
en época de estiaje. La energía se disipa
por medio de un salto hidráulico.
c)
Si en un canal se coloca una compuerta
que deja una abertura en la parte inferior
se produce aguas abajo un salto hidráulico.
En la figura se observa el llamado
salto hidráulico libre.
d)
Si el tirante normal aguas abajo es mayor
que y se produce el llamado salto
hidráulico ahogado.2
(y es el tirante normal aguas abajo)n
387
Energía específica y momentaCapítulo VII
7.14 Descarga por una compuerta de fondo
Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.
Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.
La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuertadebe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.
Sea a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces acy c2 . La
ecuación de la energía específica es
gVy
gVy
22
22
2
21
1 ⌡⌡
Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad
QAVAV 2211
Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.
Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta
fhg
Vyg
Vy ⌡⌡⌡22
22
2
21
1
En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.
La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las
Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo
Línea de energía
a y2
E
21
g2V V 2
g22
y1
388
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
condiciones de aguas abajo. Ellas son
a) No se forma salto
b) Se forma un salto libre
c) Se forma un salto sumergido (ahogado)
Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para elanálisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta enun canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión
�⌡1
222
2
121yyF
yys
Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 eltirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo delsalto. Despréciese la fricción en el canal.
Solución. Por continuidad, 2211 yVyV . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-
85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).
1221 VVQPP ��
Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene
122222
2
21 VVyV
gyys ��
Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a
122
222
2
121 VV
yV
gyys ��
��2
1222
2
2
121VVF
yys
Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.
389
Energía específica y momentaCapítulo VII
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VII)
1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirantecrítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones 7-25y 7-26.
2. Demostrar que en un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas debetener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.
3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos
Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 %o ; n = 0,0125
Calcular
a) El tirante normal
b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme
c) El gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b
Verificar que se cumple la ecuación 7-14.
4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentesvalores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente paraq = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?
5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será lapendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando elgasto sea de 6 m3/s?
Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería en él?(¿río o torrente?) ¿Por qué?
6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer una piedraen el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguas abajo, de lasondas superficiales producidas.
7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos 1y e 2y la siguiente
relación
22
21
22
2
1
⌡⌡
FF
yy
390
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente crítica es
24,6943
1
2 f
y
n
c
( g = 9,8 m/s2)
9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistemamétrico, las siguientes ecuaciones
a) 23
13,3 cmax yq
b) 21
21
56,213,3 mincc EyV
c) 3 27,0 maxmin qE
d) 3 2467,0 maxc qy
e) 3 214,2 maxc qV
10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es laecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.
11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es yx 162 , la energía
específica mínima es 0,3611 21Q
12. Hallar el tirante crítico para el canalmostrado en la figura. El gasto esde 8 m3/s. ¿Cuál es la energía quecorresponde a las condicionescríticas?. Demostrar que secumplen las ecuaciones 7-14, 7-56y 7-57.
13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s y
conduce un gasto de 10 m3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para que pendientese establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estascondiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s. ¿Qué tipo de flujo seestablecerá?.
14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial ( b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular lapendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a laenergía cinética?. Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.
yc
45º 60º
2,20 m
391
Energía específica y momentaCapítulo VII
15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canal
mostrado en la figura para que se
produzca un movimiento uniforme
con el mínimo contenido de energía
para un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendo
que la rugosidad del contorno
corresponde a G = 0,46 en la fórmula
de Bazin?.
Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujo se
presentaría con la pendiente crítica calculada.
16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud del
canal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del punto
B es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.
Calcular
a) el tirante normal
b) el tirante crítico
c) la pendiente crítica
d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente
(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).
17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto
( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máxima
eficiencia hidráulica, hallar
a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía
b) la energía especifica cuando el gasto sea de 15 m3/s
18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s
a) establecer si este flujo es un río o un torrente
b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?
(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)
19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.
20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m3/s.
Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.
c
45º
3,00 m
y
392
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
21. Calcular la altura de río y de torrente quepodrían producirse en el canal cuya secciónaparece en la figura, para un gasto de 6,5 m3/s y una energía específica de 3,14 m. Calculartambién para cada uno de los dos regímenes,el número de Froude y el correspondientevalor de dydE en la curva yE � . Dibujarla curva yE � y verificar todos los valorescalculados, así como las condiciones críticas.
22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de 30m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?.
23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es
(ec. 7-52)
4,02,02
zQ
gyc
24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s. ¿Cuál es la energíaespecífica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la misma energía el gasto esmáximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gasto máximo sea de 321,8 l/s?.
25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es
2,08883,1 QVc
26. Para el canal mostradoen la figura ¿Cuál es eltirante crítico para ungasto de 12 364 l/s?¿Cuál debe ser elcoeficiente n de Kutterpara que con unapendiente de 0,0022 seestablezca un flujocrítico normal?.
27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirante de1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de los regímenes,el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gasto mencionado.Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobación hacer el cálculo conel ábaco de la Figura 7.10.
c
1,50 m90º
y
1
1,00 m
0,25
393
Energía específica y momentaCapítulo VII
28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de 6 m3/scon un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadrado para que eltirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?.
29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río ytorrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que
⌡⌡ 2
2 8114 R
R
R
T
FF
yy
o bien,
gyVF
⌡⌡ 2
2 8114 T
T
T
R
FF
yy
RF y TF son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando RF = TF =1?
30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho, pormedio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ninguna alteración.El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar el tirante en laprimera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico. Dibujar el perfil dela superficie libre.
31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es 2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobre elevación de una grada de fondo para que se produzca unrégimen crítico.
32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es la máximasobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condiciones de aguasarriba. El tirante normal es 2,50 m.
33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal se produceun resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayor que el que haydespués del resalto, hallara) tirante críticob) tirante antes del resaltoc) tirante después del resaltod) la fuerza específica (momenta)e) la energía disipada en el resaltof) la potencia del resalto en HP
394
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipaciónde energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirantedespués del salto y el gasto.
35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % dela energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.
36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en el que seproduce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son 1y e 2y se cumple que
2381
21
21
1
12
⌡�⌡
�F
FE
yy
siendo 1E y 1F la energía específica y el número de Froude antes del salto.
37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que deja enel fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuerta esde 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. No considerarla fricción.
38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana vertical quedescarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma un resalto.Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular
a) el caudalb) la fuerza sobre la compuertac) la altura conjugada del resaltod) la energía disipada
e) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)f) la altura y la eficiencia del salto
No considerar la fricción.
39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas
a) yE � para q = 5 m3/s/m
b) yEF �.. para q = 5 m3/s/m
c) yq � para E = 4 m
Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 y mvalores de y = 0,50 m.
40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es
22
21 y
gyq ⌡
395
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
CAPITULO VIIIMOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1 Introducción
El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (caladoo tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varíade una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que laspendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimientogradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.
El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canaleshechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real esque a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidady alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no esuniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimientogradualmente variado.
La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con losestudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta acontinuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).
La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente
La pérdida de carga en una sección es la misma quecorrespondería a un flujo uniforme que tuviese la mismavelocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.
La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,
396
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de unmovimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.Las principales son las siguientes
i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica unflujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variacióndel tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe serpequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que eltirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.
Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferenciade la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo
En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, talcomo se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas decorriente no tienen curvatura y por lo tanto no hay componentes de la aceleración normalesa la dirección de la corriente.
Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la direcciónde la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a lalínea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario ala gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. Enel flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.
P' P
N
M
Flujo convexo
M
Flujo cóncavo
PP'N
M
N
P
Flujo uniforme
397
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
ii) El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométricadefinida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río noes un ‘‘canal prismático’’.
iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente deltirante.
iv) La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolises constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que lavelocidad media varía.
v) La pendiente del canal es pequeña, de modo que
a) La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondodel canal.
b) No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande la alta velocidadda lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmentepara velocidades mayores de 6 m/s.
En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en unpunto de la corriente.
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.
Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporadoy, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical onormalmente al fondo.
vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K son funciones exponenciales deltirante.
y cosy cos y
2
398
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El factor de sección Z se define de la siguiente manera
dAZ (8-1)
siendo TAd , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así
TAZ
3
(8-2)
A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial.
Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo delmovimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes
YX SCRV (8-3)
YX SCARQ (8-4)
Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente Ses 1/2. Luego,
21
SCARQ X (8-5)
K
Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión XCAR . En consecuencia,
XCARK (8-6)
Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de lacapacidad de conducción de la sección transversal. De la última expresión se deduceinmediatamente que
21
KSQ (8-7)
Luego,
21
SQK (8-8)
399
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,
21
CARK (8-9)
Si se utiliza la ecuación de Manning,
nARK
32
(8-10)
8.2 Definiciones fundamentales
Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante sedenomina normal ( ny ).
En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (ypor lo tanto la velocidad media de la corriente).
Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, lacorriente se eleva y por lo tanto se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hacemayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimientogradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque sutirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva deremanso, (Figura 8.3).
Podría se también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída laenergía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguasarriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así unacorriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en laFigura 8.3.
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida
y
Eje Hidráulico
Vertedero
Corriente peraltada y > y
y
Corriente deprimida y < y
yn yn yc
n n
400
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientesperaltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.
Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otrasdefiniciones.
Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.
En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,en un torrente es menor.
Figura 8.4 Ríos y torrentes
En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media dela corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condicionesde aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.
Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientessuaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuerteslos lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.
A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientesfuertes, tipo S, del ingles steep.
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes
Pendiente suave (tipo M) y > y Pendiente fuerte (tipo S) y < y
cy
yn
n c n c
ny
yc
y
Río ( y > y )
y
Torrente ( y < y )
yc cy
c c
401
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y pendientes fuerteslos que dan torrentes.
Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, unlecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.
Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),puede escurrir un río o un torrente.
La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimientocrítico en movimiento uniforme.
Zonas
En función de la posición relativa (magnitud) que tiene el tirante crítico cy , el normal ny , así
como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas
Zona 1n
c
yyyy
Zona 2cn
nc
yyyyyy
Zona 3n
c
yyyy
8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado
Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en laFigura 8.6. La energía total H es
zyg
VH ⌡⌡2
2
(8-11)
Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondoes pequeña.
El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayorque el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.
El tirante del movimiento gradualmente variado y estácomprendido entre el crítico y el normal.
El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor
que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
402
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2 g
2V
y
H
(1)
(2)
z
dx
SELínea de energía
Superficie libreSW
0S Fondo
x
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado
La variación de esta energía a lo largo del canal es dxdH
, siendo x la ordenada en la dirección
de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene
dx
zyg
Vd
dxdH
⌡⌡
2
2
(8-12)
La pendiente 0S del fondo se define como el seno del ángulo .
La pendiente ES de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la deManning.
La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa siasciende en la dirección del flujo. La variación de energía H es siempre negativa en ladirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variaciónde la elevación del fondo z puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6 z es negativa.Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección deescurrimiento, se tendrá que
dxdzS � sen0
403
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
34
22
2
2
R
nVRC
VdxdHSE ���
Luego,
ESSdx
yg
Vd��
⌡
0
2
2 (8-12a)
Pero ⌡ yg
V2
2
es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,
ESSdxdE � 0 (8-13)
Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que
21 FdydE �
Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
20
1 FSS
dxdy E
�� (8-14)
que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.
Como el cuadrado del número de Froude es
3
22
gATQF (8-15)
se tiene que,
3
20
1gA
TQSS
dxdy E
�
� (8-16)
404
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de
capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ).
Según la definición de factor de capacidad
21
ESQK para cualquier sección del M. G. V.
21
0SQKn para el movimiento uniforme
Luego,
2
0
KK
SS nE
Según la definición de factor de sección
TAZ
3
para cualquier sección
gQZc para condiciones críticas
Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticasel número de Froude es igual a 1, por lo tanto
TAggdV cc ; T
AgAQVc
TAg
AQ 2
2
;2
32
cZTA
gQ
Luego,
3
22
gATQ
ZZc
Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a
405
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
2
2
0
1
1
�
�
ZZKK
Sdxdy
c
n
(8-17)
que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado.
Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variaciónde la superficie libre con respecto al fondo del canal.
Aplicación a una sección rectangular muy ancha
Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene
ny
nARK n
n
35
32
(para condiciones normales)
ny
nARK
35
32
(para cualquier sección del M. G. V.)
32
ccc ydAZ (para flujo crítico)
23
ydAZ (para cualquier sección del M. G. V.)
Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene
3
310
0
1
1
�
�
yy
yy
Sdxdy
c
n
(8-18)
que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)en movimiento gradualmente variado.
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimientogradualmente variado sería
406
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
3
3
0
1
1
�
�
yy
yy
Sdxdy
c
n
(8-19)
Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.
La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así
2
2
0
1
1
�
�
c
n
Sdxdy
(8-20)
siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, nQ es el gasto para un flujo normal
cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, cQ es el gasto críticopara una profundidad .y
Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguienteecuación
dgAQ
RACQS
dxdy
2
2
22
2
0
1�
� (8-21)
siendo d el tirante hidráulico TA
Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente laecuación del movimiento gradualmente variado es
3
2
3
2
0
1gA
bQdxdb
gAyQSS
dxdy E
�
⌡�
(8-22)
407
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos
dxg
Vd
dxdySSE ⌡⌡��
2
2
0 (1)
Pero,
dxdAA
gQ
dxdA
gQ
dxgAQd
dxg
Vd3
2222
22
222
22 ��
�
⌡�dxdby
dxdyb
gAQ
3
2
Reemplazando en (1)
⌡�⌡��dxdby
dxdyb
gAQ
dxdySSE 3
2
0
De donde,
3
2
3
2
0
1gA
bQdxdb
gAyQSS
dxdy E
�
⌡�
que es la expresión buscada.
8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico
El signo de dxdy
en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características
del eje hidráulico. Así,
Si 0dxdy
,
entonces el tirante y aumenta
en la dirección de la corriente.La superficie libre se levanta.Esta condición se da en losríos peraltados y en lostorrentes deprimidos.
S 0
y
La superficie libre se levanta ( )0dxdy
SW
408
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Si 0dxdy
,
entonces el t irante ydisminuye en la dirección dela corriente. La superficie libredesciende. Se da en los ríosdeprimidos y en los torrentesperaltados.
Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunoscasos especiales.
¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace
igual al tirante crítico?
Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que cZZ , por lo tanto en la ecuacióndiferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces
dxdy
infinito
lo que implicaría que para cyy el eje hidráulico debería ser vertical tal como se aprecia enla Figura 8.7.
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy
Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( cyy ) el eje hidráulico tiene una
gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variadode considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar por lo tanto una distribuciónhidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecidapara el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en lasinmediaciones de cyy .
S 0 y
La superficie libre desciende ( )dxdy 0
WS
yyc
y = yc
409
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
¿Qué ocurre cuando el tirante se hace igual a cero?
En el caso más general el valor de dxdy
se hace indeterminado.
Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que
se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para 0y se obtiene que dxdy
infinito,
lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio si hubiéramos usado lafórmula de Chezy (8-19) se tendría que
3
3
0c
n
yyS
dxdy
lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.
¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?
Entonces 0dxdy
lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,
de un movimiento uniforme WSS 0 .
¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente?
Entonces,
0Sdxdy
o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.
8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo delprimer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.
La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17es
410
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2
2
0
1
1
�
�
ZZKK
Sdxdy
c
n
En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades
Numerador y denominador positivosNumerador y denominador negativos
Numerador positivo y denominador negativoNumerador negativo y denominador positivo
Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión decada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variad, que son las siguientes
- Río peraltado en pendiente suave (M1)
- Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
- Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
- Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
- Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
- Río deprimido en pendiente suave (M2)
PRIMERA POSIBILIDAD
0dxdy
Numerador y denominador positivos
Como el numerador es positivo esto significa que
01 2
2
�KKn
lo que necesariamente implica nKK . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante
normal ( nyy ).
Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.
0dxdy
0dxdy
411
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Como el denominador también es positivo, esto significa que
01 2
2
�ZZc
Lo que necesariamente implica cZZ ( cyy ). Se trata por lo tanto de un río. Esta estambién una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo setiene un río.
Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.
Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dosprimeros casos del movimiento gradualmente variado.
Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)
Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Por lo tanto,
cn yyy
Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está enla ZONA 1.
Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.
Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las quecorresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también seránmenores.
Esta curva es la más conocida y estudiada pues se presenta frecuentemente. Usualmente sele llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta nyy ,de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.
Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hayuna presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumentoen la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.
Río peraltado en pendiente suave
M1
yyc
yn
412
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientefuerte el tirante normal es menorque el crítico. Luego,
nc yyy
Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encimadel tirante crítico y del normal (ZONA 1).
Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de cyy , que larealiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguasabajo. Es una curva convexa.
Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa ocompuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendientees fuerte. Esta curva es de longitud limitada.
Prosiguiendo con la discusión tenemos que
SEGUNDA POSIBILIDAD
0dxdy
Numerador y denominador negativos
Como el numerador es negativo esto implica que
01 2
2
�KKn
lo que nos conduce a KKn ( yyn ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.
Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.
Como el denominador también es negativo se tiene que
01 2
2
�ZZc
Río peraltado en pendiente fuerte
yycy
n
S1SALTO
413
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Lo que implica ZZc . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( cyy ). Se trata porlo tanto de un torrente.
Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea negativose trata de un torrente.
Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que porcierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros doscasos de movimiento gradualmente variado.
Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por sependiente suave el tirante normales mayor que el crítico. Luego,
yyy cn
Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en laZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.
Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.
Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en unestrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega enrealidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel ny que está determinado por las
condiciones de aguas abajo.
Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
Por tratarse de un torrente eltirante del movimientogradualmente variado es menorque el crítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico, Por lotanto,
Torrente deprimido en pendiente suave
M3
nyyc
SALTO
y
Torrente deprimido en pendiente fuerte
S3
yn
ycy
414
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
yyy nc
Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muypoco frecuente.
Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente demuy fuerte a fuerte.
Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en
la dirección del escurrimiento lo que implica la condición 0dxdy
TERCERA POSIBILIDAD
0dxdy
Numerador positivo y denominador negativo
Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltaday denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.
Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendientefuerte.
Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente
Corriente peraltada nyy
Torrente cyy No hay solución posible
Pendiente suave cyy
Por lo tanto no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación designos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.
Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente peraltada el tirante esmayor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico. Luego,
Torrente peraltado en pendiente fuerte
yn
yc
S2
y
415
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
nc yyy
Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en
la ZONA 2.
La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es unacurva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.
Nótese que al corresponder este caso a 0dxdy
la superficie libre desciende en la dirección
del escurrimiento.
El eje hidráulico debe ser normal a cyy . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un
cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.
CUARTA POSIBILIDAD
0dxdy
Numerador negativo y denominador positivo
El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendientesuave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.
Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)
Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrientedeprimida el tirante es menor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Luego,
cn yyy
Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.
Es una curva convexa del tipo M2.
Río deprimido en pendiente suave
ynyc
M2
y
416
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a
cyy . El eje hidráulico es asintótico a nyy .
Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, uncambio de pendiente, etc.
Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.
Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.
Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos delmovimiento gradualmente variado.
En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuacióngeneral del M. G. V. y que, con algunas ampliaciones, se presenta en la Tabla 8.1.
TABLA 8.1
RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS SEIS CASOS DEL MOVIMIENTOGRADUALMENTE VARIADO
+ 0
NUMERADOR
DENOMINADOR
CORRIENTE PERALTADA
MOVIMIENTO UNIFORME
CORRIENTE DEPRIMIDA
RIO CRISIS TORRENTE
dydx > 0 dx
dy> 0
M1 S1 M3 S3
PENDIENTESUAVE
PENDIENTEFUERTE
PENDIENTEFUERTE
PENDIENTESUAVE
417
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
418
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
ynyc
2ny 1
10SS02
M1P
Río uniformeque empieza en el punto P
S > >c 10S S02
y
8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusiónde diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generadosexclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas lasotras características permanecen constantes.
Los seis casos generales son
- De pendiente suave a pendiente más suave
- De pendiente suave a pendiente menos suave
- De pendiente suave a pendiente fuerte
- De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
- De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
- De pendiente fuerte a pendiente suave
Los cuatro casos especiales son
- De pendiente suave a pendiente crítica
- De pendiente crítica a pendiente suave
- De pendiente crítica a pendiente fuerte
- De pendiente fuerte a pendiente crítica
1. De pendiente suave a pendiente más suave
Sean1ny e
2ny los tirantes
normales en cada uno de los dostramos.
En el primer tramo, por ser
pendiente suave, cn yy 1
.
En el segundo tramo, por serpendiente más suave también se
cumple que cn yy 2
El tirante normal del segundotramo es mayor porque supendiente es menor que la del
primero. Por lo tanto, 12 nn yy
419
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipoM1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.
2. De pendiente suave a pendiente menos suave
Por consideraciones similares alas anteriores se tiene que
12 nn yy
En ambos tramos se cumple que
cn yy 1
(pendiente suave)
cn yy 2
(pendiente menos
suave)
Como2ny está más cerca de cy que
1ny , se dice que la pendiente es menos suave.
El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto Pempieza un río uniforme.
3. De pendiente suave a pendiente fuerte
En el tramo de aguas arriba hayun río que al aproximarse alcambio de pendiente se deprime(M2) y tiende a acercarsenormalmente a cyy . Como unrío deprimido en pendiente suave.
Inmediatamente aguas abajo delcambio de pendiente el torrentese peralta (S2), arrancandonormalmente a cyy como untorrente peraltado en pendientefuerte.
yn
yc
2
ny 1
10SS02
M2
P
Río uniforme
S < <20S Sc01
yc
y
yn
yc
2
ny 1
10S
S02S < <cS S01 yc
M2
S2
20
(río deprimido en pendiente suave)
(torrente peraltado en pendiente fuerte)
SUAVE FUERTE
yy >n1 c y < y2n c
420
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.
5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.
El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendientemás fuerte que la de aguas arriba.
yn1
yc
y2n
S > >S10 Sc
01S
20S
20
P
S3
yFUERTE MENOS FUERTE
y <1n c yy <n2 c
ny <1
yn2
Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo.
Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba
yn
yc
2
ny 1
10S
S02
S > > cS S02
yc
S2 (torrente peraltado en pendiente fuerte)
yy <n1 c y < y2n c
P
10
ny >1
y2n
FUERTE MAS FUERTE
421
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
6. De pendiente fuerte a pendiente suave
Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un saltohidráulico hay dos tirantes conjugados: 21 yy (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).
En el presente caso de cambio de pendiente, 1ny es el tirante 1y del salto.
Para el tirante 1y (1ny ) existe un tirante conjugado 2y que puede ser igual, mayor o menor
que2ny .
Si22 nyy el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas
arriba.
Si22 nyy entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.
Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.
7. De pendiente suave a pendiente crítica
El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entreel tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con cyy .En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.
yn1
S < S10
01S
cSc
ySUAVE CRITICAy >
1n c yy =n2 c
cy
M2
y = yc n2
yn1
y2n
1cy
yc
c
FUERTE SUAVE
1ny < yy >
2n 1ny2 cny > y
01S >
02S
S02
10S
422
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
8. De pendiente crítica a pendiente suave
Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido enpendiente suave y fuerte.
9. De pendiente crítica a pendiente fuerte
Equivale al cambio de pendiente fuerte a más fuerte
10. De pendiente fuerte a pendiente crítica
Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimidoen pendiente suave y fuerte.
y = yn1
y
CRITICA SUAVE
y =1n c yy >n2 c
c
Sc
10S
n 2y
yc
y >n2y
1n
y = yn1 c
n2y yc
S2
CRITICA FUERTE
y = yn2 c
yyn1
c
FUERTE CRITICA
423
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
8.7 Curva de remanso
Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimientogradualmente variado. El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la solución dela ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud de lacurva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la curvade remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa comosección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo delescurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definiciónde longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decirque la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmentevariado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).
En muchos casos no es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimientogradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.
Para la obtención de la curva de remanso presentaremos tres métodos
- Integración gráfica
- Aproximaciones sucesivas
- Integración directa
Método de la integración gráfica
Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencialdel movimiento gradualmente variado.
Examinemos la siguiente figura
Eje hidráulico (M. G. V.)y
1y
2y
x1
x 2
x
0
424
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que
dydydxdxxxx
y
y
x
x� 2
1
2
112
Nótese que dydx es igual a la inversa del segundo miembro de la ecuación general del M. G. V.
Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimientogradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre esposible.
Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que seconoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que sepresentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala acontinuación.
i) Suponer un valor para el tirante
ii) Calcular el valor correspondiente de dxdy
a partir de la ecuación general del M. G. V.
iii) Calcular dydx , que es la inversa del valor anterior.
iv) Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes
supuestos) y los valores obtenidos para dydx .
1
dydx
2
dx dy
yy
1
2y
x
dxdy
Eje hidráulico (M. G. V.)
425
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas
dydx correspondientes a los valores de y . Luego,
Area dydydxx
y
y 2
1
Al medir esta área se tiene el valor de x .
v) Finalmente se obtendrá una curva de este tipo
dxdy
y
De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de A .
Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla
dydx
y A P R K Z A xdydx
Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro,
radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, suinversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x .
Por último se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso.
426
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Método de subdivisión en tramos
Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.
En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x en el que
aparecen las secciones 1 y 2.
1g2
V12
SE
WS2V
2 g2
2
h =f
1y y
2S0
S x0
S xE
xz1
2zPlano de referencia
Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso
Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
xSg
Vyg
VyxS E⌡⌡⌡⌡22
22
22
21
110
de donde,
EEESSx E �� 120
y por lo tanto,
ESSEx�
0
El valor de ES se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de
Manning
427
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
34
22
R
VnSE
Para un tramo (de longitud x ) el valor de ES es el promedio de los respectivos valores de
ES al principio y al final del tramo.
Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxydeterminado por la condición de entrega al lago.
El cálculo se puede empezar por la sección extrema de aguas abajo, en la cual el tirantealcanza su máximo valor, o mínimo según el caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casostípicos).
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
miny determinado por la grada.
Para hacer el cálculo asignaremos valores al tirante y de modo de acercarnos lentamente
del valor extremo al normal.
Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular
M. G. V.
ny Lagomaxy y
nyymin
x = 0y = ymin
M. G. V.
y
428
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
A : Area (en función de la geometría de la sección)
R : Radio hidráulico PAR
V : Velocidad media AQV
Vh : Energía de velocidad gVhV 2
2
E : Energía específicag
Vy2
2
⌡
E : Diferencia de energía específicaentre dos secciones 12 EEE � ó ( 21 EE � )
ES : Pendiente de la línea de energíaen esa sección
2
32RVnSE
ES : Pendiente media de la línea de energía
para un tramo dado2
21 EEE
SSS
⌡
x : DistanciaESS
Ex�
0
Acumulando los valores de x se obtiene la distancia desde el origen escogido.
Metodo de la integración directa
En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanentegradualmente variado (8-17) es
2
2
0
1
1
�
�
ZZKK
Sdxdy
c
n
Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimientode Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
429
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadradodel factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir
NycK 12 (8-23)
1c es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo delmovimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación.
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene
NycK 1lnln2
Derivando con respecto a y se llega a
N
N
ycdydyNyc
dyKd
1
11ln2
�
De donde,
y
Ndy
Kd2
ln (8-24)
Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es
nARK
32
tal como aparece en la ecuación 8-10.
Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene
n
ARK32
lnln
Derivando con respecto a y se llega a
dydA
AdydR
RdyKd 11
32ln ⌡
Introducimos ahora, las conocidas expresiones,
(ec. 7-9) TdydA
430
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
(ec. 1-8)PAR
y se obtiene,
AT
dydR
RdyKd ⌡ 1
32ln
Pero,
PdydPRT
dyPAd
dydR
�
Reemplazando se llega a
AT
PdydPRT
RdyKd ⌡
� 1
32ln
�dydPRT
AdyKd 25
31ln
Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene
�dydPRT
AyN 25
31
2
De donde,
�dydPRT
AyN 25
32
(8-25)
que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal.
Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que
⌡⌡
⌡�
⌡
⌡
byz
byz
byz
byz
N2
2
121
1
38
1
21
310 (8-26)
siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
431
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
Para el caso particular de una sección rectangular ( 0z ) se obtiene
⌡�
by
by
N213
83
10(8-27)
Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación by es muy pequeña y tiendea cero, con lo que
310N (8-28)
Se puede hacer un desarrollo similar a partir de la suposición de que el cuadrado del factor de
sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una potencia M del tirante
MycZ 22 (8-29)
M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus característicasse establecen a continuación
Tomando logaritmos
MycZ 2lnln2
Derivando con respecto a y ,
dydy
yM
dyZd ln2
se llega a
y
Mdy
Zd2
ln (1)
Pero, TAZ 3 (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con
respecto a y se obtiene
dydT
TAT
dyZd
21
23ln � (2)
Igualando (1) y (2) se obtiene
�dydT
TAT
AyM 3 (8-30)
432
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal.
Para un canal trapecial,
⌡⌡
⌡�⌡
byz
byz
byz
byz
byz
M121
122132
(8-31)
siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
Para el caso particular de una sección rectangular ( 0z ), se obtiene
3M (8-32)
Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variadose considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente
NycK 12
Nn ycK 12
MycZ 22
Mc ycZ 22
Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene
Mc
Nn
yy
yy
Sdxdy
�
�
1
1
0(8-33)
que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquiersección transversal, en función de los exponentes hidráulicos.
Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza 310N (ec. 8-28) y 3M (ec. 8-32)se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para uncanal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18,previamente establecida.
Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirantenormal ny existe la relación u , se tiene
433
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
nyyu (8-34)
Como se recuerda, si u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que1 se trata de corrientes deprimidas.
Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a
Mc
N
yyuS
dxdy
�
�
1
110
De acá se obtiene
duu
uyy
uSydx N
MNM
n
cN
n
�⌡
��
�
1111
0
Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el
tramo considerado. Luego,
cduu
uyy
uduu
Syx
u
N
MNM
n
cu
Nn ⌡
�⌡
��
�
000 11 (8-35)
Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven TeChow la denomina función del flujo variado y la representa como
�
u
NuduNuF
0 1, (8-36)
Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar
JN
uv (8-37)
siendo
1⌡�
MNNJ (8-38)
Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así
JvFNJ
vdv
NJdu
uu v
J
u
N
MN
,11 00
�
�
�
(8-39)
434
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
De donde,
�
v
JvdvJvF
0 1, (8-40)
Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a
cJvFNJ
yyNuFu
Syx
M
n
cn ⌡⌡� ,,0
(8-41)
Ven Te Chow usa la siguiente notación,
⊕ ℘ cJvFBNuFuAx ⌡⌡� ,, (8-42)
siendo,
0SyA n
NJ
yyB
M
n
c
nyyu
JN
uv
1⌡�
MNNJ
A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dossecciones 1 y 2, de modo que
⊕ ℘ ⊕ ℘∞ ≤,,,, 12121212 JvFJvFBNuFNuFuuAxxxL �⌡���� (8-43)
Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy
o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.)y del tirante.
A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular
435
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
el valor correspondiente del exponente hidráulico N .
Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango devariación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentessecciones transversales.
Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unastablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durantemuchos años. Más tarde se recalcularon para 4,58,2 N y fueron publicadas porBakhmettef en 1932.
La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores deN comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se hatomado.
En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a lafunción NuF , . La Tabla 8.2 sirve también para la función JvF , reemplazando u por vy N por J .
Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicasde la sección transversal.
El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente
1. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) ydeterminar el tirante normal ny
2. Calcular el tirante crítico cy
3. Se supone que para un tramo determinado ( x ) los exponentes hidráulicos N y M son
constantes. Se calcula N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, oalguna de sus simplificaciones)
4. Se calcula J , con la ecuación 8-38
5. Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valoresde u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)
6. Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene NuF , , ingresando con los valores previamentecalculados de u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.
7. Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene JvF , , ingresando con los valores de v y de Jpreviamente calculados
8. Se calcula la longitud x correspondiente mediante la ecuación 8-43
436
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
TABLA 8.2FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS
�
u
NuduNuF
0 1,
Nu 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
0,10 0,12 0,14 0,16 0,18
0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,30 0,32 0,34 0,36 0,38
0,40 0,42 0,44 0,46 0,48
0,50 0,52 0,54 0,56 0,58
0,60 0,61 0,62 0,63 0,64
0,65 0,66 0,67 0,68 0,69
0,70 0,71 0,72 0,73 0,74
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,161 0,181
0,202 0,223 0,244 0,265 0,286
0,307 0,329 0,351 0,372 0,395
0,418 0,442 0,465 0,489 0,514
0,539 0,565 0,592 0,619 0,648
0,676 0,691 0,706 0,722 0,738
0,754 0,771 0,787 0,804 0,822
0,840 0,858 0,878 0,898 0,918
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,161 0,181
0,201 0,222 0,243 0,263 0,284
0,305 0,326 0,348 0,369 0,392
0,414 0,437 0,460 0,483 0,507
0,531 0,557 0,582 0,608 0,635
0,663 0,678 0,692 0,707 0,722
0,737 0,753 0,769 0,785 0,804
0,819 0,836 0,855 0,874 0,892
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,181
0,201 0,221 0,242 0,262 0,283
0,304 0,325 0,346 0,367 0,389
0,411 0,433 0,456 0,479 0,502
0,525 0,550 0,574 0,599 0,626
0,653 0,667 0,680 0,694 0,709
0,724 0,738 0,754 0,769 0,785
0,802 0,819 0,836 0,854 0,868
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,201 0,221 0,241 0,262 0,282
0,303 0,324 0,344 0,366 0,387
0,408 0,430 0,452 0,475 0,497
0,521 0,544 0,568 0,593 0,618
0,644 0,657 0,671 0,684 0,698
0,712 0,727 0,742 0,757 0,772
0,787 0,804 0,820 0,837 0,854
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,221 0,241 0,261 0,282
0,302 0,323 0,343 0,364 0,385
0,407 0,428 0,450 0,472 0,494
0,517 0,540 0,563 0,587 0,612
0,637 0,650 0,663 0,676 0,690
0,703 0,717 0,731 0,746 0,761
0,776 0,791 0,807 0,823 0,840
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,220 0,241 0,261 0,281
0,302 0,322 0,343 0,363 0,384
0,405 0,426 0,448 0,470 0,492
0,514 0,536 0,559 0,583 0,607
0,631 0,644 0,657 0,669 0,683
0,696 0,709 0,723 0,737 0,751
0,766 0,781 0,796 0,811 0,827
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,220 0,240 0,261 0,281
0,301 0,322 0,342 0,363 0,383
0,404 0,425 0,446 0,468 0,489
0,511 0,534 0,556 0,579 0,603
0,627 0,639 0,651 0,664 0,677
0,689 0,703 0,716 0,729 0,743
0,757 0,772 0,786 0,802 0,817
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,220 0,240 0,260 0,281
0,301 0,321 0,342 0,362 0,383
0,403 0,424 0,445 0,466 0,488
0,509 0,531 0,554 0,576 0,599
0,623 0,635 0,647 0,659 0,672
0,684 0,697 0,710 0,723 0,737
0,750 0,764 0,779 0,793 0,808
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,220 0,240 0,260 0,280
0,301 0,321 0,341 0,362 0,382
0,403 0,423 0,444 0,465 0,486
0,508 0,529 0,551 0,574 0,596
0,620 0,631 0,643 0,655 0,667
0,680 0,692 0,705 0,718 0,731
0,744 0,758 0,772 0,786 0,800
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080
0,100 0,120 0,140 0,160 0,180
0,200 0,220 0,240 0,260 0,280
0,300 0,321 0,341 0,361 0,382
0,402 0,423 0,443 0,464 0,485
0,506 0,528 0,550 0,572 0,594
0,617 0,628 0,640 0,652 0,664
0,676 0,688 0,701 0,713 0,726
0,739 0,752 0,766 0,780 0,794
437
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
�
u
NuduNuF
0 1,
Nu 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
0,75 0,76 0,77 0,78 0,79
0,80 0,81 0,82 0,83 0,84
0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
0,90 0,91 0,92 0,93 0,94
0,950 0,960 0,970 0,975 0,980
0,985 0,990 0,995 0,999 1,000
1,001 1,005 1,010 1,015 1,020
1,03 1,04 1,05 1,06 1,07
1,08 1,09 1,10 1,11 1,12
1,13 1,14 1,15 1,16 1,17
0,940 0,961 0,985 1,007 1,031
1,056 1,083 1,110 1,139 1,171
1,201 1,238 1,272 1,314 1,357
1,401 1,452 1,505 1,564 1,645
1,737 1,833 1,969 2,055 2,164
2,294 2,477 2,792 3,523
3,317 2,587 2,273 2,090 1,961
1,779 1,651 1,552 1,472 1,404
1,346 1,295 1,250 1,209 1,172
1,138 1,107 1,078 1,052 1,027
0,913 0,933 0,954 0,976 0,998
1,022 1,046 1,072 1,099 1,129
1,157 1,192 1,223 1,262 1,302
1,343 1,389 1,438 1,493 1,568
1,652 1,741 1,866 1,945 2,045
2,165 2,333 2,621 3,292
2,931 2,266 1,977 1,807 1,711
1,531 1,410 1,334 1,250 1,195
1,139 1,089 1,050 1,014 0,981
0,950 0,921 0,892 0,870 0,850
0,890 0,909 0,930 0,950 0,971
0,994 1,017 1,041 1,067 1,094
1,121 1,153 1,182 1,228 1,255
1,294 1,338 1,351 1,435 1,504
1,582 1,665 1,780 1,853 1,946
2,056 2,212 2,478 3,097
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438
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
�
u
NuduNuF
0 1,
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439
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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u
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440
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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441
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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442
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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443
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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444
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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445
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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446
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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447
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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448
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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449
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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1,05 1,06 1,07 1,08 1,09
1,10 1,11 1,12 1,13 1,14
1,15 1,16 1,17 1,18 1,19
1,20 1,22 1,24 1,26 1,28
0,746 0,753 0,760 0,766 0,773
0,780 0,786 0,793 0,799 0,805
0,811 0,817 0,823 0,829 0,835
0,840 0,846 0,851 0,854 0,857
0,859 0,861 0,864 0,867 0,870
0,873 0,875 0,877 0,882 0,888
0,892 0,896 0,901 0,905 0,909
0,913 0,917 0,921 0,925 0,928
0,932 0,936 0,939 0,943 0,947
0,950 0,956 0,962 0,968 0,974
0,750 0,757 0,764 0,771 0,778
0,784 0,791 0,797 0,803 0,810
0,816 0,821 0,828 0,833 0,840
0,845 0,861 0,866 0,859 0,861
0,863 0,867 0,869 0,873 0,874
0,878 0,880 0,883 0,887 0,893
0,897 0,901 0,906 0,910 0,914
0,918 0,921 0,926 0,929 0,933
0,936 0,941 0,944 0,947 0,950
0,953 0,957 0,962 0,971 0,977
0,755 0,762 0,769 0,776 0,783
0,790 0,797 0,803 0,810 0,816
0,822 0,828 0,834 0,840 0,846
0,852 0,857 0,863 0,866 0,868
0,870 0,873 0,876 0,879 0,881
0,884 0,886 0,889 0,893 0,898
0,903 0,907 0,911 0,916 0,920
0,923 0,927 0,931 0,935 0,938
0,942 0,945 0,948 0,951 0,954
0,958 0,964 0,970 0,975 0,981
0,762 0,770 0,777 0,784 0,791
0,798 0,804 0,811 0,818 0,825
0,831 0,837 0,844 0,850 0,856
0,861 0,867 0,972 0,875 0,878
0,880 0,883 0,885 0,887 0,890
0,893 0,896 0,898 0,902 0,907
0,911 0,915 0,919 0,923 0,927
0,931 0,935 0,939 0,943 0,947
0,950 0,953 0,957 0,960 0,963
0,966 0,972 0,977 0,982 0,987
0,768 0,776 0,783 0,790 0,798
0,805 0,812 0,819 0,826 0,832
0,839 0,845 0,851 0,857 0,864
0,869 0,875 0,881 0,883 0,886
0,889 0,891 0,894 0,897 0,899
0,902 0,904 0,907 0,911 0,916
0,920 0,924 0,928 0,932 0,936
0,940 0,944 0,948 0,951 0,954
0,957 0,960 0,963 0,965 0,968
0,970 0,976 0,981 0,986 0,990
450
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
⌡
�
u
NS uduNuF
0 1,
0
N u 4,0 4,2 4,5 5,0 5,5
1,301,321,341,361,38
1,401,421,441,461,48
1,501,551,601,651,70
1,751,801,851,901,95
2,002,102,202,302,40
2,52,62,72,82,9
3,03,54,04,55,0
6,07,08,09,010,0
0,979 0,985 0,990 0,994 0,998
1,001 1,005 1,009 1,014 1,016
1,020 1,029 1,035 1,041 1,047
1,052 1,057 1,061 1,065 1,068
1,071 1,076 1,080 1,084 1,087
1,090 1,092 1,094 1,096 1,098
1,099 1,103 1,106 1,108 1,110
1,111 1,111 1,111 1,111 1,111
0,978 0,986 0,992 0,996 1,000
1,004 1,008 1,013 1,016 1,019
1,021 1,029 1,035 1,040 1,046
1,051 1,055 1,059 1,060 1,064
1,068 1,071 1,073 1,079 1,081
1,083 1,085 1,087 1,088 1,089
1,090 1,093 1,097 1,098 1,099
1,100 1,100 1,100 1,100 1,100
0,985 0,990 0,995 0,999 1,003
1,006 1,010 1,014 1,017 1,020
1,022 1,029 1,034 1,039 1,043
1,047 1,051 1,054 1,057 1,059
1,062 1,065 1,068 1,071 1,073
1,075 1,076 1,077 1,078 1,079
1,080 1,082 1,084 1,085 1,085
1,085 1,086 1,086 1,086 1,086
0,991 0,995 0,999 1,002 1,006
1,009 1,012 1,016 1,018 1,020
1,022 1,028 1,032 1,036 1,039
1,042 1,045 1,047 1,049 1,051
1,053 1,056 1,058 1,060 1,061
1,062 1,063 1,063 1,064 1,065
1,065 1,066 1,067 1,067 1,068
1,068 1,068 1,068 1,068 1,068
0,994 0,997 1,001 1,005 1,008
1,011 1,014 1,016 1,018 1,020
1,022 1,028 1,030 1,034 1,037
1,039 1,041 1,043 1,045 1,046
1,047 1,049 1,050 1,051 1,052
1,053 1,054 1,054 1,054 1,055
1,055 1,055 1,056 1,056 1,056
1,056 1,056 1,056 1,056 1,056
451
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VIII)
1. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre.En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como seaprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerandodos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.
2. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se colocaun vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente C deChezy es 40 m1/2/s calcular las características de la curva de remanso originada por el vertedero.¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?.
3. Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en elfondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirantecorrespondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en unasección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.
4. Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m3/s. Lapendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028.Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en ladesembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay mareabaja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirantenormal. Calcular la curva de remanso en cada caso.
5. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n de Kutteres 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3/s.a) Calcular el tirante normalb) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al
colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.
yn
452
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
6. Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave yredondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de concretocon n =0,013 es recto y largo. La pendiente es 0S =0,001. Calcular el caudal y el tipo de perfilsuperficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.
7. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son lossiguientes
Cota del fondo del canal en la desembocadura 575,80 m
Cota del fondo del canal en su iniciación 575,85 m
Longitud del canal 275,00 m
Ancho del canal 8,00 m
Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0,014
Gasto en el canal 5,0 m3/s
Nivel del agua en el río 576,80 m
Calcular
a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal
b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal
c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en elcanal.
S0
H
575,85 m
575,80 m
576,80 m
453
Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII
8. Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las
siguientes
9. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro quetiene un tirante de 0,60 m.
10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay unvertedero que eleva la corriente a 1,20 m de profundidad. Existe una compuerta de fondo a 300m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de profundidad.El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2/s y el tirante normal es 0,90 m.
Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo yel vertedero.
Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura?. Indicar igualmente lostipos de curva y sus características.
b
T
T = 12 m
b = 5 m2
1
455
VertederosCapítulo IX
CAPITULO IXVERTEDEROS
9.1 Objeto de los vertederos. Tipos
El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contornoabierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal orío, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el ríoo canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, ocuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular.
En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .
En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudalesy b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal.Estas funciones no son excluyentes.
Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivode medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños.
También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un ciertonivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.
En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras deingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan lafunción de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que midencaudales.
Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por losniveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación conrespecto a la corriente y por otras circunstancias.
456
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
457
VertederosCapítulo IX
Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederoses necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga pororificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos.
Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en laFigura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado(M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencialen energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmentevariado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección seencuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que estadistancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamenteaguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.
Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal quepasa por la cresta, medida en la sección AB.
En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que esla distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.
Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea.
En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napavertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presiónes igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente aesas condiciones (chorro libre).
Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( HP )
phV
p
Vh
H
P
458
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, segúnFranke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero
( HP ).
Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacioantes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas deaire que garantizan la comunicación con la atmósfera.
Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastanteconstantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Este es el caso deseable enun vertedero.
TABLA 9.1
COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( HP )
P > H
Hx
1,00
z
z z
x PARTE INFERIOR
PARTE SUPERIOR
x PARTE INFERIOR
PARTE SUPERIOR
- 3,00
- 2,00
- 1,00
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,75
-
-
-
- 0,125
- 0,035
- 0,005
0
- 0,010
- 0,030
- 0,060
- 0,105
- 0,125
1,000
0,985
0,950
0,830
0,805
0,775
0,745
0,705
0,665
0,620
0,570
0,540
0,75
0,80
0,90
1,00
1,20
1,40
1,54
1,60
1,80
2,00
2,50
3,00
- 0,125
- 0,155
- 0,210
- 0,270
- 0,41
- 0,59
- 0,74
- 0,80
- 1,05
- 1,31
- 2,10
- 3,11
0,540
0,510
0,450
0,380
0,22
0,03
- 0,125
- 0,19
- 0,43
- 0,70
- 1,50
- 2,50
459
VertederosCapítulo IX
460
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presiónmenor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento delvertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro sevuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.
Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor quela atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, talcomo se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente yadquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudalespequeños.
Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen aerror en la medición del caudal.
Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta
Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederosen pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.
En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, esdecir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensableque la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto
espesor. Si éste es menor que 3/2H se considera que el vertedero es en pared delgada,como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente encresta delgada.
Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero enpared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1
Ventilación
H23
H0,23
H0,11
H0,66
P >> H
p
H p
P
0,85 H
0,27 H0,15 H
461
VertederosCapítulo IX
En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a lacresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c seconsidera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de paredintermedia.
En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertederoen pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativasaproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracterizaporque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable parala correcta medición de caudales.
Velocidad de aproximación
Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad mediaque corresponde a la sección AB en la que el escurrimiento se produce en toda la sección.Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que participa del
escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación 0V es
HPBQ
AQV
⌡0 (9-1)
siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H
entonces 0V tendería a cero.
Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética Vh cuya expresión es
gVhV 2
20 (9-2)
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet
(a) (b) (c)
462
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Siendo el coeficiente de Coriolis.
Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo
Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguasabajo es inferior al de la cresta.
En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajoes superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en elescurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no essinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.
Clasificación por las condiciones laterales de descarga
Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.
Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertederoes menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contraccioneslaterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pareddel canal sea por lo menos de H3 . Es recomendable también que la altura P del umbralsea por lo menos igual a H3 , tal como se ve en la Figura 9.1.
Naturalmente que si LB es un vertedero sin contracciones laterales.
Clasificación de los vertederos según su forma
Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como seobserva en la Figura 9.6.
Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento
El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguasarriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguasabajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumentacon la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría locontrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.
463
VertederosCapítulo IX
Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos
(a) Rectangular (b) Triangular (c) Trapecial
(d) Circular (e) Parabólico
(f) Parábola semicúbica (g) Mixto
(h) Hiperbólico (i) Proporcional
464
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente
Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.
Otros tipos de vertederos
Existen otros tipos de vertederos como
- Desarrollados- Abatibles- Inflables- Laterales- Morning Glory, etc.
Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.
Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)
Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente
B L
(a) (b) (c)
H
465
VertederosCapítulo IX
Figura 9.9 Otros tipos de vertederos
Vertedero de planta circular
Vertedero proporcionalEl caudal es proporcional a la
carga H
Combinación de orificio y vertedero
Vertedero desarrollado Vertedero Inflable
cámara inflable
466
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga
A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertederorectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredeshay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en lafigura.
2Vg
20
h2
h1
yL
dy
Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular
Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de áreaelemental de ancho L y espesor dy a través de la cual pasa el siguiente caudal
VLdyVdAdQ
siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el teorema
de Bernoulli y se obtiene
⌡g
VygV2
22
0
Por lo tanto,
Ldyg
VygdQ ⌡2
22
0
467
VertederosCapítulo IX
Integrando se obtiene el caudal a través del orificio
Lg
Vhg
VhgQ ⌡�⌡23
20
2
23
20
1 222
32
Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2h = 0. Si, además,llamamos H a 1h , que es la carga, se tiene
Lg
Vg
VHgQ �⌡23
20
23
20
222
32
(9-3)
que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta lafricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, paraobtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es
Lg
Vg
VHcgQ �⌡23
20
23
20
222
32
(9-4)
El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.
Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña quepudiese despreciarse, entonces, para 0V = 0 se obtiene la descarga teórica
23
232 LHgQ (9-5)
La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a
23
232 cLHgQ (9-6)
gV
h2
20
1 ⌡
gV
h2
20
2 ⌡
Ldyg
Vy21
20
2⌡gQ 2
468
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidadde despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la queestemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal deaproximación es mayor que LH8 entonces se puede despreciar la velocidad de aproximación.
Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longituddel vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.
La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerososestudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero dependede varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades delfluido, etc.
Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga sehan desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, uncampo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados.
La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro delos límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia lascaracterísticas generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.
Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversoscaminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras seintroduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados enfenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica.
En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sincontracciones y con contracciones laterales.
De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), Kindsvater-Carter (1959).
Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos VhgV 220 y tomamos factor común
H , entonces se obtiene
�⌡23
23
23
1232
Hh
HhLHgQ VV
(9-7)
si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente dedescarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es
469
VertederosCapítulo IX
23
23
1 �⌡Hh
Hh VV (9-8)
9.3 Fórmula de Francis
James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederosrectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficientede descarga.
Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadascondiciones, las que constituyen los limites de aplicación del coeficiente de descarga queobtuvo.
La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sinembargo, experimentó también con otras longitudes.
En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyenlos límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral Pesté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación HL / seamayor que 3.
La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación 0V y la posibilidad de
contracciones laterales.
La fórmula de Francis es
�⌡�23
20
23
20
2210622,02
32
gV
gVHnHLgQ (9-9)
En el sistema métrico se considera
84,1836,1622,0232 g (9-10)
Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 esdimensional.
En el sistema de unidades inglesas se tendría
470
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
33,3622,0232 g (9-11)
En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así
�⌡�23
20
23
20
221084,1
gV
gVHnHLQ (9-12)
en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H enmetros, la velocidad de aproximación 0V en m/s. Se designa como n el número decontracciones (0, 1, 2).
Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones esel de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del
vertedero. Aparece así una longitud efectiva �10nHL en función del número n de
contracciones. Obsérvese que si HL 2,0 aparecería cero o un valor negativo para el caudal.
Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse,entonces 0V = 0 y la fórmula de Francis queda así
23
1084,1 HnHLQ � (9-13)
Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces 0n y la fórmula de Francis
quedaría reducida a
23
84,1 LHQ (9-14)
Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método detanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular 0V se requiere conocer lacarga H .
Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendoque la velocidad 0V de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con esevalor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidosy se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.
471
VertederosCapítulo IX
Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograraproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar acargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendríaresultados menores que los reales.
9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares
a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly
En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableció una fórmulapara calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.
En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para elcálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sinellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmulade Bazin-Hégly.
La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas están comprendidas entre0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes están entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura delumbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m.
La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero
23
232 cLHgQ
en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es
⌡⌡⌡��
22
55,0100405,0045,06075,0PH
HBL
HBLBc (9-15)
en la que B es el ancho del canal.
Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces LB y el coeficiente de descarga sería
⌡⌡⌡
2
55,0100405,06075,0PH
HH
c (9-16)
472
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos
Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero
23
232 cLHgQ
En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no.
El coeficiente c para un vertedero con contracciones es
⌡⌡
⌡
�⌡⌡
2
2
2
211
6,11000
3615,3037,0578,0
PHH
BL
HBL
BLc
(9-17)
B es el ancho del canal.
Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederosrectangulares con contracciones son
80,0025,0 HBL
m
BL 30,0 m
BP 30,0
1PH
El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es
⌡⌡
⌡⌡
2
211
6,1100011615,0
PHH
Hc (9-18)
La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son
0,025 m H 0,80 m
473
VertederosCapítulo IX
P 0,30 m
PH
1
c) Fórmula de Kindsvater - Carter
Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de1959.
La fórmula es
23
232
HLe KHKLgcQ ⌡⌡ (9-19)
Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, quees la suma de la longitud L del vertedero más un valor LK que se encuentra a partir de unaexpresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. HK es un valor iguala 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ec es el coeficientede descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.
Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.
La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga.
El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm deespesor.
0
L0,2 0,4 0,6 0,8 1
5
4
3
2
1
0
-1
B
Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK
0
L0,2 0,4 0,6 0,8 1
5
4
3
2
1
0
-1
B
474
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la crestadel vertedero.
La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.
La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.
La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.
Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( BL ), entonces no hay contracciones,
pero debe cumplirse que 2,0� LB m
Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.
Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cadaextremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones decontracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción.
Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podríanusarse.
Fórmula de Francis
Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contraccionesno velocidad de acercamiento importante
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial
H0,5
P
0 1 1,5 2,52
ISO (1980) LMNO
00,4
0,6
0,7
0,8
0,9
= 1LB
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
475
VertederosCapítulo IX
ΙΙ 23
23
50,0284,184,1 LHQ 1,301 m3/s
Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( 0n ; 00 V ). A partir del
caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)
108,026
301,10
Ι
⌡
HPBQ
AQV m/s
Aplicando la ecuación 9-2, para 1 , se obtiene
0006,02
20 g
VhV m
Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12
�⌡� 23
23
1084,1 VV hhHnHLQ
�⌡Ι� 23
23
0006,00006,050,010
50,02284,1Q
238,1Q m3/s
Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no habíacontracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculode la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tanpequeña no vale la pena hacerlo.
Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces
236,150,09,184,110
84,1 23
23
ΙΙ� HnHLQ m3/s
103,012236,1
0 V m/s
0005,02
20 g
VhV
238,10005,00005,050,09,184,1 23
23
�⌡ΙQ m3/s
476
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Por lo tanto según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficientede descarga con la ecuación 9-8 se obtendría
0015,150,0
0005,050,0
0005,01123
23
23
23
�⌡�⌡Hh
Hhc VV
que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s
Fórmula de Bazin
El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15
⌡⌡⌡��
22
55,0100405,0045,06075,0PH
HBL
HBLBc
reemplazando los valores conocidos se obtiene
⌡⌡⌡��
22
50,150,050,0
6255,01
50,000405,0
626045,06075,0c
588,0c
y el gasto es
227,1232 2
3
LHgcQ m3/s
Fórmula de la Sociedad Suiza
Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17
⌡⌡
⌡
�⌡⌡
2
2
2
211
6,11000
3615,3037,0578,0
PHH
BL
HBL
BLc
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
⌡⌡
�⌡⌡
2
2
2
00,250,0
62
211
6,11000623615,3
62037,0578,0
Hc
477
VertederosCapítulo IX
De donde,
595,0c
El caudal es
242,150,02595,02322
32
23
23
ΙΙΙ gcLHgQ m3/s
1,756
Fórmula de Kindsvater
Se aplica la ecuación 9-19
23
232
HLe KHKLgcQ ⌡⌡
HK es 0,001 m. Para el cálculo de LK se usa la Figura 9.11 y a partir de 33,0BL se obtiene
LK = 0,025 m.
Para el cálculo de ec se usa la Figura 9.12 y para 33,0PH se obtiene ec = 0,59
Por lo tanto,
237,1001,050,00025,0223259,0 2
3
⌡⌡ gQ m3/s
CUADRO COMPARATIVO
INVESTIGADOR Q (m3/s) (m3/s) %
Francis 1,238 + 0,002 0,16 %
Bazin 1,227 - 0,009 0,73 %
Sociedad Suiza 1,242 + 0,006 0,48 %
Kindsvater 1,237 - 0,001 0,08 %
Promedio 1,236 0 0
Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada unade ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio soninferiores al 1 %.
478
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
d) Fórmula de Rehbock
Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica deKarlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechasy trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.
La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pareddelgada sin contracciones es
23
0011,0100009,00813,06035,0 ⌡⌡⌡HPP
Hc (9-20)
H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.
Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.
9.5 Vertederos triangulares
Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura
Consideremos el gasto a través de
la pequeña franja elemental dx .
La longitud de la franja es
H
xHb �
El área de la franja es
dxH
xHb �
Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación seobtiene el caudal
dxxHxgHbdxgxxH
HbdQ �� 2
121
22
Integrando entre 0x y Hx se obtiene
2
b
dx H
x
479
VertederosCapítulo IX
23
2154 HgbQ
Pero, tan2Hb , de donde
25
2tan158 HgQTEORICO (9-21)
25
2tan158 HgcQREAL (9-22)
La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente cconstante puede expresarse así
25
KHQ
siendo,
gcK 2tan158
La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de lafórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si estánpresentes en el flujo real.
Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétricoes considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es
tanyx
dy H
y
de donde, el caudal es
�H
ydyyHcgQ0
21
tan22
integrando se obtiene
480
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
25
tan2158 HcgQ
que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.
De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas.La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.
Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respectoa la vertical fuesen 1 y 2 se puede considerar el promedio respectivo.
Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descargadepende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición decaudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influenciade la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho delcanal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.
HB 5 (9-23)
A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, queliberalmente significa escotadura en V .
Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a laexactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y lacapilaridad.
El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y lacarga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.
En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo envertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica deDominguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor dela carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,
mc8
15
El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los erroresno son superiores al 5 %.
481
VertederosCapítulo IX
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares
Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo elcoeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de uncierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminucióndel coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeñosea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamenteconstantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas sonpara cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2
TABLA 9.2
COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES
ANGULO ( 2 ) 15º 30º 45º 60º 90º 120º
H 0,25 0,205 0,185 0,17 0,14 0,12
m 0,343 0,33 0,325 0,32 0,313 0,322
c 0,643 0,619 0,609 0,6 0,587 0,604
K 0,2 0,392 0,596 0,818 1,386 2,471
CRUZ COKE Y MOYA
H
MIGUEL Y FIGARIotros ángulos120º
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,25
0,30
0,35
0,40m
15º2
30º45º
90º120º 60º
482
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un ciertoángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así,se tendría
Para 15º 25
2,0 HQ (para 25,0H m)
Para 30º 25
392,0 HQ (para 205,0H m)
Para 45º 25
596,0 HQ (para 185,0H m)
Para 60º 25
818,0 HQ (para 17,0H m)
Para 90º 25
386,1 HQ (para 14,0H m)
Para 120º 25
471,2 HQ (para 12,0H m)
Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que º902 º45y el gasto teórico es
25
25
3612,22158 HHgQT (9-24)
James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida sufórmula para vertederos triangulares de º902 . Sus experimentos abarcaron cargas entre5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula deThomson podía extenderse hasta 30H cm. La fórmula es
25
2158593,0 HgQ
o bien,
25
4,1 HQ
que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y elcaudal Q en m3/s.
A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula
48,237,1 HQ
que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de1 %.
Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de uncierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.
483
VertederosCapítulo IX
9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga.
Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformadapor tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Seobtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es
25
223
1 tan21582
32 HgcLHgcQ ⌡
H
L
Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descargapara este caso. Balloffet señala que es frecuente considerar 6,021 cc , a pesar de la faltade justificación teórica o experimental.
En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,cuyas características se señalan a continuación.
Vertedero de Cipolletti
Es un vertedero trapecial dedeterminadas característicasgeométricas.
El gasto se considera formado de dospartes
- Una parte a través de la aberturarectangular.
- Otra parte a través de lostriángulos.
L
H
d
d2
484
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Por consideraciones geométricas se cumple que
Hdtan
Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos seaprecisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertederorectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es
23
2158 HgdQ
La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene apartir de una fórmula tipo Francis
23
2,0232 HHgQ
Igualando
23
23
2,02322
158 HHgHgd
se obtiene
14
dH
Es decir, 41tan que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica '2º14 .
Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletties 0,63.
El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitudL , sin contracciones
23
23263,0 LHgQ
L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico
23
86,1 LHQ
Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a 3L . La altura P del umbral debeser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b , señalada en la
485
VertederosCapítulo IX
Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal deaproximación debe estar comprendido entre H30 y H60 . La carga debe medirse a unadistancia de 4 H del vertedero.
L
0,25
1
P
B
b
H
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti
La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizocon la fórmula Francis.
El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otrossistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso enlaboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el
error puede ser ο 5 %.
9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos
Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condicionesindispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes
1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudalescon un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, unvertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que enellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medircaudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría serel más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en elcálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.
486
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existennumerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango deaplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una altaaproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos deexperimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa.
3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendacionesde carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las queaparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de larecomendación de varios investigadores.
H
H>3>3H>3H
H>3
L
P
Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuentapara instalar un vertedero rectangular con contracciones.
Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredesdel canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero.En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.
4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. Elvertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente.
Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.
El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debemantenerse lisa.
El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior
a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.
487
VertederosCapítulo IX
5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima cargasobre el vertedero.
6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal
del canal de aproximación ⊕ ℘PHB ⌡Ι debe ser por lo menos igual a 6, o mejor
8 veces, la sección de la napa vertiente LH .
7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamenteaireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuesenecesario, debe instalarse dispositivos de aireación.
8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarseelementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrilloshuecos, mallas, etc.
9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, medianteuna toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia deaproximadamente cuatro veces la carga ( H4 ) de modo que no haya influencia delmovimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampocose debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces apareceríala influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.
10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan enla napa.
11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antesseñaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.
9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,
plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las
condiciones de aguas abajo.
Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b dela cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga
Hb32
(9-25)
puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (verFigura 9.4) o de pared intermedia.
488
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
2Vg
20
y
P
b
Hg2
2VH =
cy =
Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa
Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de H15
En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico
de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es gVH 220⌡ , la que debe ser
igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y queel coeficiente de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,
gVy
gVH
22
220 ⌡⌡
siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta y H la diferencia de energía
correspondiente. De la última ecuación se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es
�⌡ yg
VHgV2
22
0
Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( 1F ). En la seccióncorrespondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico 1F . Enalgún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.
489
VertederosCapítulo IX
El flujo sobre el vertedero es crítico cyy . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del
vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía.
Si se tratase de una sección rectangular de ancho L entonces
⌡g
VHyy c 232 2
0(9-26)
Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es
�⌡⌡ cc yg
VHgg
VHLVByQ2
223
2 20
20
cy VDe donde,
23
23
13,3 cc yLyLgQ (9-27)
Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba
23
20
23
22
32 ⌡
gVHLgQ
Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente,entonces el gasto teórico es
232
3
32 LHgQ (9-28)
En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es
23
7,1 LHQ (9-29)
En el sistema ingles sería
490
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
23
09,3 LHQ (9-30)
Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descargac . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores
23
7,1 LHcQ (9-31)
George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones delborde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.
Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, lascondiciones de cálculo serían diferentes.
TABLA 9.3COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA
EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c
BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO
Bazin
U.S. Deep Waterways Board
Woodburn
2
2
3
0,75
1,40
0,53
0,09 a 0,50
0,25 a 1,50
0,15 a 0,45
1,42 a 1,61
1,55
1,53 a 1,57
BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO
Bazin
U.S. Deep Waterways Board
Woodburn
2
2
3
0,75
1,40
0,53
0,06 a 0,45
0,27 a 1,50
0,15 a 0,45
1,33 a 1,45
1,31 a 1,38
1,44 a 1,45
(Todas las dimensiones en metros)
9.9 Vertederos laterales
Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes(taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, sonaliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.
En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud Lpracticado en un canal con flujo subcrítico ( 1F )
491
VertederosCapítulo IX
h0
H0 H1
h1h
HQ0 QP
L
i
Q1
Q0
Q
1Q
x
Figura 9.17 Vertedero lateral
Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo
caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero
y el umbral P . El caudal inicial en el canal es 0Q . El caudal que pasa por el vertedero es Qy el caudal remanente es 1Q . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiereeliminar del canal.
10 QQQ �
0V es la velocidad correspondiente al caudal 0Q y 1V lo es del caudal 1Q , 0H es la cargaen el punto inicial del vertedero y 1H , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de unrégimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde 0H hasta 1H en el punto final delvertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energíaes constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguientededucción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga
492
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
a la distancia x del punto inicial es
xL
HHHH 010
�⌡ (9-32)
El gasto es
dxxL
HHHgcQL 2
3
0
0102
32 �⌡ (9-33)
De donde,
01
25
025
1215 HH
HHLgcHQ�� (9-34)
Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio
de Francis es 10nHL � . Si el vertedero es muy largo, más de H10 , puede despreciarse el
efecto de las contracciones.
9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error enla medición de la carga
a) Vertedero rectangular
La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es
23
KHQ
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
21
5,1 KHdHdQ
de donde,
dHKHdQ 21
5,1
comparando con el gasto se obtiene,
HdH
QdQ 5,1 (9-35)
493
VertederosCapítulo IX
Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en elcálculo de Q .
b) Vertedero triangular
La ecuación de descarga de un vertedero triangular es
25
KHQ
La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior
dHKHdQ 23
5,2
de donde,
HdH
QdQ 5,2 (9-36)
En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % enel cálculo de Q .
9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero
El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier formay características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre seadescendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudalva disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviaderode presas.
Depósito
2H
H
H1
L
2H
H
H1
dH
Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero
494
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento
de un estanque, entre los niveles 1H (nivel inicial) y 2H (nivel final). H es una carga variable
comprendida entre 1H y 2H .
Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se
puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese
constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser
dtLHgcdV 23
232
Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del
depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,
AdHdtLHgc 23
232
(9-37)
Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en
muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es queesta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, porejemplo, de paredes inclinadas 45º un otro ángulo. En los embalses naturales no existe esafunción matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo queel coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración
2
1
2
1 23
230 2
32
232
H
H
H
H
t
H
dH
Lgc
A
LHgc
AdHdt
Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de 2H a 1H es
�12
11
232
2HHLgc
At(9-38)
495
VertederosCapítulo IX
Obsérvese que si 2H tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerdacon la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estaríanaproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulaspara el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta cargamínima.
Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicandolas fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuandoel depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función deltiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las característicasde la información disponible.
Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La crestadel vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descargaes constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libredescienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final delintervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.
Solución.
a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene
�ΙΙΙ
Ι�20,0
105,0
1
5,026,032
5001211
232
2
12 gHHLgc
At
t = 7 576,7 segundos
b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando 00 V y sin contracción).
23
23
885,0232 HLHgcQ
Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s
Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s
c) El volumen total descargado es
22515,0503021 ΙΙ� HHA m3
496
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
El caudal medio es
0297,07,5767
225 Tiempo
Volumen m3
Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria seprocede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, lasprimeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2.
Se procede así
1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre 1H y 2H(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,etc.
2. Luego se calcula los correspondientes valores de H , es decir, 12 HH � paracada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).
3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es 2121 HH ⌡
(columna 3).
4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4).
5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversalcorrespondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga(columna 5).
6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entreel volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).
7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.
TABLA 9.4
EJEMPLO 9.2
1 2 3 4 5 6 7
H H H Q Volumen t t
0,19
0,18
0,17
0,01
0,01
0,01
0,195
0,185
0,175
0,0762
0,0704
0,0648
15
15
15
196,9
213,0
231,5
196,9
409,9
641,4
etc.
497
VertederosCapítulo IX
9.12 Vertedero sumergido
Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de lacresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de lascondiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que sepresente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar queun vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.
En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia ala relación que existe entre h y H .
H
h
Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido
Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas elvertedero actúa como un aliviadero más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para elcálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientesa un vertedero libre, razón por la cual no se les usa como estructuras para determinar caudales.
Si la relación Hh , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muypequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para
8,02,0Hh
(9-39)
498
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajode un vertedero sumergido
Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es elDu Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos
parciales. 1Q que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se
supone que coincide con el nivel de aguas abajo y 2Q que es el que escurre por un orificiovirtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. Enconsecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es
21
20
2
23
20
23
20
1 22
222
32 �⌡⌡��⌡ h
gVHLhgc
gVh
gVHLgcQ (9-40)
1Q = vertedero libre 2Q = orificio
La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los
coeficientes 1c y 2c para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar
dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele
considerar que 62,021 cc , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útilpara los cálculos prácticos.
Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertederosumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis
23
84,1 NHLQ (9-41)
499
VertederosCapítulo IX
en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente
de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Losvalores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.
TABLA 9.5
VALORES DE N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41
Hh 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
1,000
1,005
1,004
1,003
1,006
1,002
1,006
1,000
1,007
0,998
1,007
0,996
1,007
0,994
1,006
0,992
1,006
0,989
1,005
0,987
0,2 0,3
0,4 0,5 0,6
0,7
0,985
0,959
0,929
0,892
0,846
0,787
0,982
0,956
0,926
0,888
0,841
0,780
0,980
0,953
0,922
0,884
0,836
0,773
0,977
0,950
0,919
0,880
0,830
3,766
0,975
0,947
0,915
0,875
0,824
0,758
0,972
0,944
0,912
0,871
0,818
0,750
0,970
0,941
0,908
0,866
0,813
0,742
0,967
0,938
0,904
0,861
0,806
0,732
0,964
0,935
0,900
0,856
0,800
0,723
0,961
0,932
0,896
0,851
0,794
0,714
0,8
0,9
0,703
0,574
0,692
0,557
0,681
0,539
0,669
0,520
0,656
0,498
0,644
0,471
0,631
0,441
0,618
0,402
0,604
0,352
0,590
0,275
Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica paravertederos sumergidos de diferente forma
385,0
1 1�n
HhQQ (9-42)
n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,
etc.), 1Q es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.
500
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala unvertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre sesobreeleva en 1 m. Determinar el caudal
Solución.
H = 1,30 m
2,10 m
1,00 m
0,30 m
0,80 m
h = 0,30 m
1,10 m
gV2
20
Como no se conoce el caudal no se puede calcular 0V . Supongamos inicialmente que su valor es cero.
El gasto se obtiene a partir de la ecuación 9-38
21
23
)(262,0)(23262,0 hHLhghHLgQ �⌡�
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
Q = 11,35(1,30 - 0,30)3/2 + 5,11(1,30 - 0,30)1/2
11,535,11 ⌡Q
Q = 16,46 m3/s
Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación
26,110,220,6
46,160
ΙV m/s o
oo 08,0
2
20 g
V m
Q = 11,35(1 + 0,08)3/2 + 5,11(1 + 0,08)1/2
Q = 12,74 + 5,31 = 18,05 m3/s
Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene
23,030,130,0
Hh
oo
o 977,0N (Tabla 9.4)
501
VertederosCapítulo IX
77,17)38,1977,0(35,11)(84,1 23
23
Ι NHLQ m3/s
Si usamos la fórmula de Villemonte
⊕ ℘ 956,0)23,0(11 1
385,02/31
385,0
1 �� QQHhQQ
n
4,1838,120,683,184,1 23
23
1 ΙΙ LHQ m3/s
59,17956,04,18 ΙQ m3/s
CUADRO COMPARATIVO
FORMULA RESULTADO
Fórmula completa
Francis – Herschel
Villemonte
18,05 m3/s
17,77 m3/s
17,59 m3/s
Promedio 17,8 m3/s
502
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo IX)
1. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para la velocidadmedia, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a la zona de máximacontracción.
2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener elvertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracciónsea de 0,80 m/s.
3. En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgada de3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.
Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad,preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.
Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de lascontracciones.
4. En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular enpared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal. Usarvarias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de los resultados.
5. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, para queal colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m la superficie libre se sobreeleve0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda en pared delgaday que el flujo de aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.
¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho?. Comentar las diferencias en elcálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.
6. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C deChezy de 53 m1/2/s.
Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda la carga seríade 0,60 m.
¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirante normal se comportecomo de máxima eficiencia hidráulica?.
503
VertederosCapítulo IX
7. En un canal de 1,20 m de ancho que tieneun caudal de 500 l/s se va a instalar unaplaca como la mostrada en la figura, la queda lugar a un orificio y a un vertedero. Si laplaca tiene 0,75 m de alto, calcular laabertura a del fondo para que el orificio yel vertedero descarguen el mismo caudal.
8. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado demodo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de 0,80m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º. Lascotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cada vertedero, siel diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio para que ambosvertederos descarguen el mismo caudal?.
109,00
108,00
100,80100,00
A B
9. El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndricode 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el nivel delagua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente de descargadel vertedero.
10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo
,2 gHHgHHQ
expresión en la que
H : es la carga: viscosidad cinemática
: es el ángulo del vertedero
0,75
H
a
504
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula
5,2386,1 HQ
Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso dela fórmula práctica para medir el gasto cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemáticaes 12 veces la del agua será del 5 % por defecto.
11. Un fluido de viscosidad cinemática pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto
ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .
Demostrar por medio del análisis dimensional que
21
23
21
25
gH
gH
Q
Para el caso particular de un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por laexpresión
5,2392,0 HQ
Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidad
cinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.
12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión 2/56,0 HQ .
Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante no repercutaen un error superior al 1 % al calcular el gasto.
13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura
45º
0,90 m
60º0,50 m
505
VertederosCapítulo IX
14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de 0,12 m.
0,12 m
0,25 m
30º
15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura
1,23 m
60ºH = 1 m
x
y
2y = x
16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.
17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es 27cHQ . Establecer la forma del vertedero
y la ecuación respectiva.
18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en un canal.El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertedero triangular, sipara un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.
19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m3/s. Se va a colocar un vertedero a todo loancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. Lavelocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debe tener elumbral del vertedero.
507
IntroducciónCapítulo I
TABLAS GENERALES
TABLA 1
TABLA DE DIMENSIONES
SISTEMA ABSOLUTO
SISTEMA GRAVITACIONAL CANTIDADES
MLT FLT
LONGITUD
AREA
VOLUMEN
TIEMPO
VELOCIDAD
VELOCIDAD ANGULAR
ACELERACIÓN LINEAL
VISCOSIDAD CINEMATICA
GASTO
MASA
FUERZA
DENSIDAD
PESO ESPECIFICO
VISCOSIDAD DINAMICA
TENSION SUPERFICIAL
MODULO DE ELASTICIDAD
PRESION
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ENERGIA (Y TRABAJO)
POTENCIA
L
L2
L3
T
LT-1
T-1
LT-2
L2 T-1
L3 T-1
M
MLT-2
ML-2 T-2
ML-1 T-1
MT-2
ML-1 T-2
ML-1 T-2
MLT-1
ML2 T-2
ML2 T-3
L
L2
L3
T
LT-1
T-1
LT-2
L2 T-1
L3 T-1
FT2 L-1
F
FT2 L-4
FL-3
FTL-2
FL-1
FL-2
FL-2
FT
LF
LFT-1
508
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
TABLA 2
PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA
Tabla tomada del libro de Mecánica de Fluidos Aplicada de Robert L. Mott, 1996
Temperatura
T(ºC)
Densidad
(Kg - s2/m4)
Peso específico
(Kg/m3)
Viscosidad dinámica
(Kg - s/m2)
Viscosidad cinemática
(m2/s)
0,0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
101,94
101,94
101,94
101,94
101,74
101,63
101,53
101,33
101,12
100,92
100,71
100,51
100,31
100,00
99,69
99,39
98,98
98,67
98,37
98,06
97,66
1 000
1 000
1 000
1 000
998
997
996
994
992
990
988
986
984
981
978
975
971
968
965
962
958
1,81 x 10-4
1,55 x 10-4
1,33 x 10-4
1,17 x 10-4
1,04 x 10-4
0,909 x 10-4
0,815 x 10-4
0,732 x 10-4
0,663 x 10-4
0,606 x 10-4
0,552 x 10-4
0,508 x 10-4
0,468 x 10-4
0,439 x 10-4
0,410 x 10-4
0,381 x 10-4
0,356 x 10-4
0,336 x 10-4
0,317 x 10-4
0,298 x 10-4
0,287 x 10-4
1,78 x 10-6
1,52 x 10-6
1,30 x 10-6
1,15 x 10-6
1,02 x 10-6
0,894 x 10-6
0,803 x 10-6
0,722 x 10-6
0,656 x 10-6
0,600 x 10-6
0,548 x 10-6
0,505 x 10-6
0,467 x 10-6
0,439 x 10-6
0,411 x 10-6
0,383 x 10-6
0,360 x 10-6
0,341 x 10-6
0,322 x 10-6
0,304 x 10-6
0,294 x 10-6
509
IntroducciónCapítulo I
TABLA 3
CONVERSION DE UNIDADES
SUPERFICIE
1 metro cuadrado 10,76 pies cuadrados
1 metro cuadrado 1,550 pulgadas cuadradas
1 metro cuadrado 1,196 yardas cuadradas
1 metro cuadrado 2,471x10-4 acres
1 pie cuadrado 0,0929 metros cuadrados
1 acre 4,047x103 metros cuadrados
LONGITUD
1 micrón 10-6 m
1 milimicrón 10-9 m
1 Angstrom (A) 10-10 m
1 pulgada 0,0254 m
1 pie 0,3048 m
1 milla 1,609 m
1 yarda 0,9144 m
1 centímetro 0,3937 pulgadas
1 metro 39,37 pulgadas
1 metro 3,281 pies
1 metro 1,093 yardas
1 kilómetro 0,6214 millas
1 yarda 36 pulgadas
1 milla 1,760 yardas
510
Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales
VOLUMEN
1 metro cúbico 35,31 pies cúbicos
1 metro cúbico 220 galones imperiales
1 metro cúbico 264,2 galones americanos
1 galón imperial 4,546 litros
1 galón americano 3,785 litros
1 pie cúbico 2,832x10-2 metros cúbicos
MASA
1 kilogramo - masa 2,205 libras - masa
1 kilogramo - masa 6,852x10-2 slugs
1 slug 14,59 kilogramos - masa
1 libra - masa 3,108x10-2 slugs
DENSIDAD
1 gr - masa/cm3 62,43 lb - masa/pie3
1 gr - masa/cm3 1,940 slug/pìe3
1 lb - masa/pie3 0,01602 gr - masa/cm3
511
IntroducciónCapítulo I
FUERZA
1 Newton 105 dinas
1 Newton 0,1020 kilogramos
1 Newton 0,2248 libras
1 kilogramo 2,205 libras
PRESION
1 atmósfera 1,013x105 Newton/m2
1,013x106 dinas/cm2
76 cm de Hg
406,8 pulgadas de agua
29,92 pulgadas de Hg
2,116 lb/pie2
14,7 lb/pulg2
1,033 kilogramos/cm2
POTENCIA
1 HP 76,04 kg - m/s
1 HP 745,7 watts
1 watt 0,1020 kg - m/s
1 watt 1,341x10-3 HP
1 watt 1 joule/s
1 HP 550 lb - pie/s
1 HP 33 000 lb - pie/minuto
512
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TABLA 4
PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE(a la presión atmosférica)
Temperatura
T
(ºC)
Densidad
(gr - masa/cm3)
Viscosidad
absoluta
(dina - s/cm2)
Viscosidad
cinemática
(cm2/s)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1,293 x 10-3
1,093
0,946
0,834
0,746
0,675
0,616
0,567
0,525
0,488
0,457
1,709 x 10-4
1,951
2,175
2,385
2,582
2,770
2,946
3,113
3,277
3,433
3,583
0,1322
0,1785
0,2299
0,2860
0,3461
0,4104
0,4782
0,5490
0,6246
0,7035
0,7840
513
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