8 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
Los números reales11.1. Los números reales
Los números racionales son los números enteros, los decimales exactos y periódi-cos. Los números irracionales son números decimales no exactos, ni periódicos.
Operaciones con fracciones
( + ) : = · = · = =
1.2. Factorial de un número
Ejemplo
Calcula el factorial de 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Casos particulares: 0! = 1 1! = 1
1.3. Número combinatorio
En la práctica, un número combinatorio se calcula de la siguiente manera:
a) En el numerador se multiplican p factores, empezando en m y disminuyendo de uno en uno.
b)En el denominador se calcula el factorial de p
Ejemplo
( ) = = 56 56=3nCr88 · 7 · 63 · 2 · 1
83
m m m!El número combinatorio (—) se lee m sobre p, y se define por la fórmula: (—) = —————
p p p!(m – p)!
120=x!5
El factorial de un número natural es el producto de dicho número por todoslos números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n!
n! = n · (n – 1) · (n – 2) ··· 3 · 2 · 1
11 –ÆÆ 18=2ab/c3Ô)4ab/c3+6ab/c1(
1118
2236
23
1112
23
2 + 912
32
34
16
El conjunto de los números reales está formado por los números racionalesy los irracionales. Se representa por la letra �
Reales�
Irracionales: π, e, f, , , …3√5√2
Racionales�
Enteros�
Naturales �: 0, 1, 2, 3, …
Negativos: … – 3, – 2, – 1
Fraccionarios: – , – , , , …76
23
14
32
°§ §§¢§§§£
°§¢§£
°¢£
1/2 – 2/3
– 7/3
7,12345678…
e πf
– 23/47
4/5
1/7
4/13
Racionales: �
Irracionales
Números reales: �
Naturales: �
Enteros: �
– 1 – 2 – 3
– 54– 7
0 1 2
5 37
– 3/7
– 1/3
√2 √3 3√53√7
Configurala calculadora
a) Para que escriba directa-mente las fracciones im-propias:
(DISP)
(d/c)
b) Para que utilice la comacomo notación decimal:
(DISP)
(Comma) 2
�1MODE
2
1MODE
Aconsejamos la calculadoraCasio fx-82MS
91. LOS NÚMEROS REALES
Propiedades de los números combinatorios
1.4. Sucesiones de números reales
Ejemplo
Calcula los 10 primeros términos de la sucesión an = 2n + 3. ¿Es creciente o decreciente?
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23
Es creciente.
Límite de una sucesión
Ejemplo
Mediante la calculadora halla los términos de lugar 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista del
resultado obtenido halla intuitivamente
a10 = 2,41667; a100 = 2,93137; a1 000 = 2,99301. A la vista de los resultados obtenidos, el límite pedido es 3
1.5. El número e
La sucesión an = (1 + )n es monótona creciente y está acotada superiormente por 3; por tanto, tiene límite.
Ejemplo
Mediante la calculadora halla el término de lugar 1 000 000 de la sucesión an = (1 + )na1 000 000 = 2,718280469; vemos que tiene 6 dígitos exactos.
1n
1n
El número e viene definido por el siguiente límite. Es un número irracional.
1e = lím (1 + —)n = 2,71828182…
n 8 +@ n
3n – 1n + 2
límn 8 +@
3n – 1n + 2
El límite de una sucesión es el valor al que se aproxima la sucesión cuando n toma valores muy grandes. Serepresenta por lím an y se lee “límite de a sub n cuando n tiende a más infinito”. El límite puede ser un
n 88 +@@
número real, o bien más o menos infinito.
Una sucesión de números reales es un conjunto de números reales ordenado. El término general de una suce-sión se representa por an
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior.
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior.
Una sucesión es monótona cuando es creciente o decreciente.
Una sucesión está acotada superiormente cuando existe un número real K que es mayor o igual que todos sustérminos.
Una sucesión está acotada inferiormente cuando existe un número real k que es menor o igual que todos sustérminos.
m m m m – 1 m – 1a) (—) = (———) b) (—) = (———) + (———)p m – p p p p – 1
10 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
1. LOS NÚMEROS REALES
Calcula:
( + ) :
Solución:a) Elige
b) Para escribir cada línea de comentario, eligeComentar (Ctrl + T). Escribe en un
solo bloque el número y el título del tema, elnombre de los dos alumnos y Paso a paso.Para pasar de una línea a la siguiente, sincambiar de bloque, pulsa [Intro]
c) Haz clic en Calcular para crear nuevobloque.
d) Elige Comentar y escribe: Ejercicio 1e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro
del mismo bloque.
f ) Para elegir un tamaño de paréntesis que seajuste a su contenido, en elige
Paréntesis, y para escribir la fracción,elige Fracción
g) Haz clic en Calcular
Halla la expresión decimal con 15 dígitos delsiguiente número y clasifícalo como periódico:
Solución:a) Escribe: precisión(15)b)En la fracción, después del 24 va un punto
para que dé el resultado como decimal.
Calcula el factorial de 5
Solución:
Calcula ( )Solución:En elige Combinaciones
Halla los 10 primeros términos de la sucesión:
an = 2n + 3
¿Qué es: creciente o decreciente?
Solución:
Escribe la función aplicar_función,Apunta a está en
Mediante Wiris halla los términos de lugar 10,
100 y 1 000 de la sucesión an = . A la
vista del resultado obtenido, halla intuitivamente
Solución:
Después de la sucesión escribe la lista [10, 100,1 000]
Calcula el siguiente límite:
(1 + )n¿Qué número se obtiene?
Solución:
En elige Límite. El Infini-to positivo está en
1n
límn 8 +@
7
3n – 1n + 2
límn 8 +@
3n – 1n + 2
6
5
83
4
3
2411
2
32
34
16
1
Paso a paso
111. LOS NÚMEROS REALES
Linux/Windows
Halla la expresión decimal con 15 dígitos delnúmero e y clasifícalo como racional o irra-cional:
Solución:
En elige Número decimal e
Plantea el siguiente problemas y resuélvelo con ayudade Wiris:
Aplica las propiedades de los números combi-natorios y calcula el valor de x en la siguienteigualdad:
( ) = ( )Solución:Planteamiento: x + 2 = 12 – (x – 2)
En elige yescribe la ecuación.
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eli-ge Matemáticas, curso y tema.
10
12x + 2
12x – 2
9
8
Así funciona
Menú edición Menú análisis Menú combinatoria
Comentar (Ctrl+T) Límite Combinaciones
Menú operaciones
Paréntesis Fracción
Menú símbolos
Apunta a Infinito positivo Número decimal e
Número e Número decimal PI Número PI
Notación decimal en Wiris
Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,). En Wiris, para obtener un resultadocon decimales, es suficiente con añadir a uno de los números de la operación un punto de decimal al final.Wiris utiliza la función precisión(n) para indicar el número de cifras significativas con las que deseamostrabajar. El mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en la queestá definida. Devuelve el número de cifras significativas que había anteriormente; por defecto son 5
El número π y el número e
En se elige Número decimal PI si se quiere la expresión decimal o Número PI si no sequiere la expresión decimal. De la misma forma, se elige Número decimal e, o bien Número e
Términos de una sucesión
Se emplea la función aplicar_función, que calcula los términos de una sucesión dada por una fórmula.
12 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
Linux/Windows
Calcula: · – : = Calcula: · – =
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
=
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
=
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional oirracional:
=
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irra-cional: π =
Calcula: 6! = Calcula: 8! =
Calcula: = Calcula: =
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = . ¿Es creciente o decreciente?
Halla = Halla =
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:
Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:
=
Planteamiento: Solución: x =
Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?26
)9x – 2()9
x – 5(25
n2
n + 1lím
n 8 +@24
6n – 32n + 5
límn 8 +@
23
(–n)n
n22
21
)126(20)7
5(19
1817
16
1 + À5
3
15
2843
14
6712
13
)56
94(4
312
54
38
74
23
11
Practica con Wiris
131. LOS NÚMEROS REALES
Ejercicios y problemas
Calcula: · – : =
Calcula: · – =
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
=
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:
=
Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional oirracional:
=1 + À
53
15
2843
14
6712
13
)56
94(4
312
54
38
74
23
11
Practica con bolígrafo y papel
14 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO
Ejercicios y problemasHalla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irra-cional:
π =
Calcula: 6! =
Calcula: 8! =
Calcula: =
Calcula: =
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?
Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = . ¿Es creciente o decreciente?(–n)n
n22
21
)126(20
)75(19
18
17
16
151. LOS NÚMEROS REALES
Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obteni-dos, halla el siguiente límite:
a10 =
a100 =
a1 000 =
=
Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obteni-dos, halla el siguiente límite:
a10 =
a100 =
a1 000 =
=
Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:
Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:
=
Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?26
)9x – 2()9
x – 5(25
n2
n + 1lím
n 8 +@
n2
n + 124
6n – 32n + 5
límn 8 +@
6n – 32n + 5
23