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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla Β· Segovia
Camino de la Piedad, 8 -Ββ C.P. 40002 -Ββ Segovia -Ββ Tlfns. 921 43 67 61 -Ββ Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
HOJA 4 β MOVIMIENTO ONDULATORIO TIPO 20 LIBRO PΓGINAS 54, 55 y 56: ejercicios 1, 2, 5, 12, 19, 27 y 39.
4.1. Dibuja dos ondas que cumplan con las condiciones que se especifican en cada caso: a) Que tengan la misma amplitud y una doble longitud de onda que la otra. b) Que tengan la misma longitud de onda y una doble amplitud que la otra. c) Que tengan la misma amplitud y la misma longitud de onda, pero desfasadas 180o.
4.2. La ecuaciΓ³n de una onda transversal que avanza por una cuerda viene dada por y = 0β1Β·βsin (6t + 0β3x), donde x se mide en metros y t en segundos. Calcula: a) Amplitud y frecuencia de la onda. b) Velocidad de propagaciΓ³n y longitud de onda. c) La mΓ‘xima velocidad transversal de una partΓcula de la cuerda. Sol: a) π¨ = π!π π, π = π
π π; b) ππ· = ππ π/π, π = ππβ²ππ π; c) ππππ = π!π π/π
4.3. Una onda armΓ³nica en un hilo tiene una amplitud de 0β015 m, una longitud de 2β4 m y una velocidad de 3β5
m/s. Determina: a) El periodo, la frecuencia y el nΓΊmero de onda. b) La funciΓ³n de onda tomando como sentido positivo del eje X el sentido de propagaciΓ³n de la onda. Sol: a) π» = π!ππ π, π = π!ππ π―π, π = π!ππ π!π; b) π π, π = π!πππ Β· π¬π’π§ π!ππ Β· π β π!ππ Β· π π
4.4. Escribe la ecuaciΓ³n de onda que avanza en sentido negativo a lo largo del eje =X y que posee una amplitud de
0β2 m, una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de 2 m/s. Determina, asimismo, la velocidad mΓ‘xima de las partΓculas del medio. Sol: π π, π = π!π Β· π¬π’π§ ππππ π Β· π + πππ π Β· π π, ππππ = πππ π π/π
4.5. Una onda sonora se propaga sin amortiguamiento en el sentido negativo a lo largo del eje X con una velocidad
de 50 m/s. Si la amplitud es de 20 cm y su frecuencia de 200 Hz, calcula: a) La ecuaciΓ³n de propagaciΓ³n de onda. b) La elongaciΓ³n, la velocidad y la aceleraciΓ³n de un punto del medio situado a 10 cm del foco emisor al
cabo de 0β5 s. Sol: a) π π, π = π!π Β· π¬π’π§ πππ π Β· π + π π Β· π π b) π = π!ππ π, π = βπππ!ππ π/π, π = ππππππ!ππ π/ππ
4.6. Una partΓcula oscila armΓ³nicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posiciΓ³n de equilibrio x = 0, con
f = 200 Hz. a) Si en el instante inicial (t = 0), la posiciΓ³n de la partΓcula es x0 = 10 mm y su velocidad es nula, determina
en quΓ© instante serΓ‘ mΓ‘xima la velocidad de la misma. b) Si la partΓcula forma parte de una medio material ΒΏcuΓ‘l serΓ‘ la longitud de onda del movimiento que se
propaga a lo largo del eje OX sabiendo que su velocidad de propagaciΓ³n es de 340 m/s? Sol: a) π = π!ππ Β· ππ!π π; b) π = π!π π
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4.7. La ecuaciΓ³n de una onda transversal es π¦ = 0!25 Β· sin π 0!5π‘ β 0β²2π₯ (en unidades del S.I.). Calcula:
a) Amplitud, nΒΊ de onda, frecuencia, periodo y longitud de onda. b) La velocidad de propagaciΓ³n de la onda. c) La aceleraciΓ³n y la velocidad de las partΓculas vibrantes. d) ElongaciΓ³n, velocidad y aceleraciΓ³n de una partΓcula situada a 5 m al cabo de 10 s de empezar a vibrar. Sol: a) π¨ = π!ππ π, π = π
π π!π, π = π!ππ π―π, π» = π π, π = ππ π; b) ππ· = π!π π/π
c) π = π πππ¨π¬ π
ππ β π
ππ π/π, π = β π π
πππ¬π’π§ π
ππ β π
ππ π/ππ; d) π = π π, π = π
π π/π, π = π π/ππ
4.8. Una onda se propaga por una cuerda con una velocidad de 10 m/s, una amplitud de 1β5 cm y una frecuencia
de 20 Hz. Calcula: a) El periodo y la longitud de onda. b) La ecuaciΓ³n de propagaciΓ³n de la onda. c) La ecuaciΓ³n de la velocidad de un punto de la cuerda en funciΓ³n del tiempo. ΒΏCuΓ‘l es su velocidad
mΓ‘xima? Sol: a) π» = π!ππ π, π = π!π π; b) π π, π = π!πππ Β· π¬π’π§ ππ π
π!ππβ π
π!π π; c) ππππ = π!π π π/π
4.9. Un extremo de una cuerda de 3 m de longitud estΓ‘ sometido a un movimiento oscilatorio armΓ³nico. En el
instante t = 4 s, la elongaciΓ³n de ese punto es de 2 cm. Se comprueba que la onda tarda 0β9 s en llegar de un extremo a otro de la cuerda y que la longitud de onda es de 1 m. Calcula: a) La amplitud del movimiento ondulatorio. b) La velocidad de vibraciΓ³n en el punto medio de la cuerda para t = 1 s. Sol: a) π¨ = π!πππ π; b) π = π!ππ π/π
4.10. Sea una cuerda tensa muy larga. Hacemos que uno de los extremos (O) realice un movimiento armΓ³nico simple en una direcciΓ³n perpendicular a la cuerda, de amplitud A = 0β3 m y frecuencia f = 2 Hz, de forma que la perturbaciΓ³n se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad de 5 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongaciΓ³n del punto O es nula: a) Escribir la ecuaciΓ³n de onda. b) Hallar la elongaciΓ³n y velocidad transversal de un punto P situado a 10 m de O, 4 s despuΓ©s de iniciado el
movimiento. Interpretar el resultado. Sol: a) π π, π = π!π π Β· π¬π’π§ ππ π β ππ
ππ ; b) π πππ,ππ = π π¦; π― πππ,ππ = π!ππ π¦/π¬
4.11. La ecuaciΓ³n de una onda armΓ³nica transversal que se propaga por una cuerda, expresada en unidades del
S.I. es: π π, π = π Β· π¬π’π§ π ππ β π
ππ . Determina:
a) La frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagaciΓ³n. b) La aceleraciΓ³n mΓ‘xima.
a) Si comparamos la ecuaciΓ³n que nos dan en el problema con la ecuaciΓ³n general de una onda podemos
obtener la frecuencia π πππ/π y el nΓΊmero de onda π πππ/π :
π¦ π₯, π‘ = π΄ Β· sin ππ‘ β π π₯ βΉ π =π3 πππ/π π¦ π =
π5 πππ/π
Podemos calcular entonces la frecuencia y la longitud de onda:
π =π2π
=π
3 Β· 2π π»π§ βΆ π =
ππ π―π
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π =2ππ =5 Β· 2ππ
π βΆ π = ππ π
Una vez conocidas la frecuencia y la longitud de onda podemos calcular la velocidad de propagaciΓ³n:
π£ =ππ= π Β· π = 10 π Β·
16 π !! βΆ π =
ππ π/π
b) Para calcular la aceleraciΓ³n mΓ‘xima antes calculamos la aceleraciΓ³n derivando la expresiΓ³n de la elongaciΓ³n respecto del tiempo:
π!π¦ π₯, π‘ππ‘!
= β5π!
9Β· sin
π3π‘ β
π5π₯
Para que esta aceleraciΓ³n sea mΓ‘xima (en valor absoluto) se debe cumplir que sin !!π‘ β !
!π₯ = Β±1:
ππππ =ππ π
π π/ππ
TIPO 21 LIBRO PΓGINAS 54 y 55: ejercicios 8, 9, 20, 25 y 30.
4.12. Una onda transversal se propaga segΓΊn la ecuaciΓ³n π¦ = 4 sin 2π π‘/4 + π₯/1β²8 (en unidades del S.I.)
Determine: a) La velocidad de propagaciΓ³n de la onda y la velocidad de vibraciΓ³n mΓ‘xima de un punto alcanzado por la
onda. b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1 m en la direcciΓ³n de avance de la
onda. Sol: a) ππ· = π!ππ π/π, ππππ = ππ π/π; b) π«π = π!ππ πππ
4.13. La ecuaciΓ³n de una onda transversal que se propaga por una cuerda tensa de gran longitud es π¦ = 16 sin 2π 0β²8π‘ + 1β²25π₯ (x, y en cm y t en s). Determine: a) Velocidad de fase de la onda. b) Velocidad y aceleraciΓ³n mΓ‘ximas de oscilaciΓ³n en un punto cualquiera de la onda. c) Distancia que separa los puntos de la cuerda que oscilan en oposiciΓ³n de fase. Sol: a) ππ· = π!ππ ππ/π; b) ππππ = ππ!π π ππ/π, ππππ = ππ!ππ π ππ/ππ; c) π«π = π!π ππ
4.14. El periodo de una onda que se propaga a lo largo del eje X es de 3Β·β10-Ββ3 s y la distancia entre los dos puntos mΓ‘s
prΓ³ximos cuya diferencia de fase es 2Ο rad es 20 cm. a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagaciΓ³n de la onda. b) Si el periodo se duplicase, ΒΏquΓ© le ocurrirΓa a las magnitudes del apartado anterior? Sol: a) π = π!π π, ππ· = ππβ²π π/π
4.15. Una onda armΓ³nica sinusoidal se propaga en el sentido positivo del eje OX con una frecuencia de 100 Hz, con una velocidad de 500 m/s y tiene una amplitud de 15 cm. Calcular: a) La ecuaciΓ³n de onda mΓ‘s general. b) La separaciΓ³n entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un cierto instante, es de Ο/5 radianes. c) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de
tiempo de 2β5Β·β10-Ββ3 s. Sol: a) π π, π = π!ππ Β· π¬π’π§ ππππ Β· π β ππ
ππ π; b) π«π = π!π π; c) π«π = π /π
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4.16. Cierta onda estΓ‘ descrita por la ecuaciΓ³n π π₯, π‘ = 0!02 Β· sin π‘ β !! (en unidades del S.I.). Determina:
a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagaciΓ³n. b) La velocidad y aceleraciΓ³n de vibraciΓ³n mΓ‘ximas de un punto alcanzado por la onda, asΓ como la
velocidad de un punto situado a 4 m del foco y a los 7β28 s de iniciarse el movimiento. c) La distancia existente entre dos puntos consecutivos que vibran con una diferencia de fase de 120o. Sol: a) π = π!ππ π―π, ππ· = π π/π; b) ππππ = π!ππ π/π, ππππ = π!ππ π/ππ, π β ππππ; c) π«π =
ππ ππ
4.17. Una onda armΓ³nica transversal de periodo T =2 s, se propaga con velocidad 60 cm/s en una cuerda tensa
orientada segΓΊn el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la direcciΓ³n del eje Y, de forma que en instante t = 1s la elongaciΓ³n es nula y la velocidad con la que oscila positiva, y en el instante t = 1β5 s, su elongaciΓ³n es 5 cm y su velocidad nula. Determina: a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda. c) La expresiΓ³n matemΓ‘tica de la onda. d) La diferencia de fase de oscilaciΓ³n, en un mismo instante, entre dos puntos dela cuerda que distan entre
sΓ un cuarto de la longitud de onda. Sol: π) π = π!π π―π, π = π!π π; π) π¨ = π!ππ π, ππ =
ππ π πππ ; π) π π, π = π!ππ Β· π¬π’π§ π π β ππ
ππ + ππ
π π
π ) π«π = π π πππ
4.18. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5 m, se provoca un movimiento oscilatorio armΓ³nico
perpendicular a la direcciΓ³n de la cuerda, cuya elongaciΓ³n es de 8 cm cuando han transcurrido 0,5 s desde su comienzo. Se observa que la onda producida tarda en llegar al otro extremo 2 s y que la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1,5 m. a) Determine la frecuencia, longitud de onda y amplitud del movimiento ondulatorio. b) Calcule la velocidad de un punto situado a 1,5 m del origen de la onda al cabo de 0,6 s de iniciado el
movimiento ondulatorio. c) Hallar el desfase entre dos puntos separados 2 m.
πΏ = 5 π, π¦ π₯ = 0, π‘ = 0,5 π = 0!08 π, Tiempo de extremo a extremo π‘ = 2 π , π = π!π π
a) La longitud de onda ya la conocemos pues es uno de los datos que nos dan en el problema (distancia entre dos crestas consecutivas). Calculamos primero la frecuencia:
π = !! para calcular la frecuencia necesitamos conocer el periodo π = !
!! ahora, la longitud de onda la
conocemos y la velocidad de propagaciΓ³n la podemos calcular, ya que nos dicen la longitud de la cuerda y el tiempo que tarda la onda en recorrerla:
π£! =πΏπ‘=5 π2 π
=52 π/π βΉ π =
1!5 π!! π/π
=35 π
Por lo tanto, la frecuencia serΓ‘:
π =ππ π―π
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Ahora para calcular la amplitud, necesitamos expresar la ecuaciΓ³n de la onda, para ello tenemos que conocer el nΓΊmero de onda (π) y la pulsaciΓ³n π .
π =2ππ=
2π1!5 π
=4π3π!!
π = 2ππ = 2π Β·53 π»π§ =
10π3
πππ/π
Expresamos la ecuaciΓ³n de onda:
π¦ π₯, π‘ = π΄ sin ππ‘ β ππ₯
y sustituimos las constantes y las condiciones iniciales y de contorno:
π¦ 0 π, 0!5 π = π΄ sin10π3
Β· 0!5 β4π3Β· 0 = 0!08 π
π¦ 0 π, 0!5 π = π΄ sin10π6
= π΄ sin5π3
= 0!08 π
π΄ Β· β0β²866 = 0!08 π
π¨ = π!ππ π πΏπ ππππππ‘π’π π π π‘πππ πππ ππ‘ππ£π .
b) π₯! = 1!5 π, π‘! = 0!6 π
La velocidad de vibraciΓ³n se calcula como la derivada de la elongaciΓ³n respecto del tiempo:
π£ π₯, π‘ =ππ¦ π₯, π‘ππ‘
= π΄π cos ππ‘ β ππ₯
Sustituimos las constantes y los datos:
π£ 1!5π, 0β²6π = 0!09 π Β·10π3
!"#! cos
10π3
Β· 0!6 β4π3Β· 1β²5 = 0!3π!! Β· cos 2π β 2π
π£ 1!5π, 0β²6π = 0!3π!! Β· cos 0 = 0!3π!! Β· 1
π π!ππ,πβ²ππ = π!ππ π/π
c) Como nos piden calcular el desfase entre dos puntos separados 2 m suponemos que es en el mismo instante, por lo tanto Ξπ‘ = 0.
Ξπ = π! β π! = ππ‘ β ππ₯! β ππ‘ β ππ₯! = ππ‘ β ππ₯! β ππ‘ + ππ₯!
Ξπ = π π₯! β π₯! =4π3π!! Β· 2 π
π«π =ππ ππππ
Como es mayor que 2π:
π«π =8π3β 2π πππ =
ππ π πππ
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TIPO 22 LIBRO PΓGINA 56: ejercicios 36 y 43 (errata: la recta es perpendicular, no paralela). 4.19. En una habitaciΓ³n tenemos dos altavoces separados una distancia de 5 m.
Emiten dos seΓ±ales idΓ©nticas de 80 Hz y con una amplitud de 5 cm. Determina cuΓ‘l serΓ‘ el valor de la amplitud en los puntos de la habitaciΓ³n seΓ±alados en el dibujo. Sol: ππ = βπ!π ππ¦; ππ = βπ!π ππ¦; ππ = βπ!π ππ¦; ππ = βπ!ππ ππ¦
4.20. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma direcciΓ³n y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0β02 m. Determina la ecuaciΓ³n de la onda resultante y su amplitud si las dos ondas difieren en fase: a) En π/6. b) En π/3. Sol: a) π¨π = π!ππ Β· ππ¨π¬ ππππ Β· ππ!ππ
π+ π
ππ π; a) π¨π = π!ππ Β· ππ¨π¬ ππππ Β· ππ!ππ
π+ π
π π
4.21. El fenΓ³meno por el cual dos o mΓ‘s ondas se superponen para formar una onda resultante se conoce como
interferencia. c) Deduce la expresiΓ³n general de la interferencia de dos ondas coherentes (misma longitud de onda,
frecuencia y amplitud) en un punto cualquiera P, a partir de la relaciΓ³n trigonomΓ©trica:
π¬π’π§π + π¬π’π§π = π Β· π¬π’π§π + ππ
Β· ππ¨π¬π β ππ
d) Por una cuerda tensa situada a lo largo del eje OX se propagan dos ondas armΓ³nicas transversales: ππ = π¨ π¬π’π§ ππ β πΏπ e ππ = π¨ π¬π’π§ ππ β πΏπ + ππ , con A = 1mm. ΒΏcuΓ‘l es la amplitud de la onda resultante? ΒΏPara quΓ© valores del desfase ππ interfieren constructivamente y destructivamente estas dos ondas? ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ en estos casos la amplitud de la onda resultante?
a) Tenemos dos ondas coherentes: π¦! = π΄ sin ππ‘ β π π₯! Aplicamos el principio de superposiciΓ³n π¦! + π¦!: π¦! = π΄ sin ππ‘ β π π₯! π¦! + π¦! = π¦ π₯, π‘ = π΄ Β· sin ππ‘ β π π₯! + sin ππ‘ β π π₯!
sin π + sin π = 2 Β· sinπ + π2
Β· cosπ β π2
π¦ π₯, π‘ = 2π΄ Β· sinππ‘ β π π₯! + ππ‘ β π π₯!
2Β· cos
ππ‘ β π π₯! β ππ‘ + π π₯!2
π π, π = ππ¨ ππ¨π¬ πΏππ β ππ
πΒ· π¬π’π§ ππ β πΏ
ππ + πππ
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b) A partir de la expresiΓ³n obtenida en el apartado anterior, y teniendo en cuenta las particularidades de las
dos ondas seΓ±aladas π₯! = π₯! π¦ π! , escribimos la ecuaciΓ³n de la interferencia:
π¦ π₯, π‘ = 2π΄ cosβπ π₯ + π π₯ β π!
2Β· sin
ππ‘ β π π₯ + ππ‘ β π π₯ + π!2
π¦ π₯, π‘ = 2π΄ cosβπ!2
Β· sin ππ‘ β π π₯ +π!2
Por lo tanto, la amplitud de la onda resultante es π¨πΉ = ππ¨ ππ¨π¬ !ππ
π.
Si ππ = π,ππ ,ππ β¦ πππ β π¨πΉ = ππ¨ β Interferencia constructiva. Si ππ = π ,ππ ,ππ β¦ ππ + π π β π¨πΉ = π β Interferencia destructiva.
TIPO 23 LIBRO PΓGINAS 54, 55 y 56: ejercicios 21, 22, 28, 33, 35 y 41.
4.22. Responde a estas cuestiones sobre ondas estacionarias: a) ΒΏQuΓ© es una onda estacionaria? Explica quΓ© condiciones deben cumplirse para que se forme una onda
estacionaria en una cuerda tensa y fija por sus dos extremos. b) Una cuerda de guitarra de longitud πΏ = 65 ππ vibra estacionariamente en su modo fundamental a una
frecuencia π = 440 π»π§. Representa grΓ‘ficamente el perfil de esta onda indicando la posiciΓ³n de nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagaciΓ³n de ondas transversales en esta cuerda.
Sol: b) nodos: π±π = π π; ππ = π!ππ π; vientre: ππ = π!πππ π; ππ· = πππ π/π
4.23. En la primera cuerda de una guitarra las ondas se propagan a 422 m/s. La cuerda mide 64 cm entre sus extremos fijos. ΒΏCuΓ‘nto vale la frecuencia en el modo fundamental? Sol: ππ = πππ!π π―π
4.24. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitud πΏ = 1!2 π. Cuando esta cuerda se excita transversalmente a una frecuencia π = 80 π»π§, se forma una onda estacionaria con dos vientres. a) Representa esta onda y calcula su longitud de onda y su velocidad de propagaciΓ³n en esta cuerda. b) Para quΓ© frecuencia inferior a la dada se formarΓ‘ otra onda estacionaria en la cuerda? Representa esta
onda. Sol: a) ππ = π!π π¦; ππ· = ππ π/π; b) ππ = ππβ²π π―π
4.25. Una cuerda de 40 cm con sus dos extremos fijos vibra en un modo con dos nodos internos. Representa esta onda. ΒΏCuΓ‘l es la longitud de onda de la vibraciΓ³n? Sol: a) π = π!πππ π¦
4.26. Indique, justificando en cada caso, cuΓ‘les de las siguientes funciones pueden representar una onda estacionaria y cuΓ‘les no: a) sin π΄π₯ Β· cos π΅π₯ b) sin π΄π₯ Β· cos π΅π‘ c) cos 100π‘ Β· sin π₯
d) sin π΄π₯ + cos π΅π₯ e) sin π΄π₯/π Β· cos π΅π‘/π f) sin 2π π₯/π + π‘/π
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4.27. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuaciΓ³n π¦ π₯, π‘ = 0!02 Β· cos !
!π₯ Β· cos 40π Β· π‘ donde y,
x, t se expresan en unidades del S.I. a) Escribe las funciones de onda de dos trenes de ondas que al superponerse produzcan esta onda
estacionaria. b) Calcula la distancia entre dos nodos consecutivos. c) Determina la velocidad de vibraciΓ³n de un segmento de la cuerda situado en el punto π₯ = 1 π en
cualquier instante. Sol: a) π²π = π!ππ Β· π¬π’π§ πππ Β· π + π
ππ β π
π; π²π = π!ππ Β· π¬π’π§ πππ Β· π β π
ππ β π
π; b) π = π π; c) π = π π/π
4.28. Un onda estacionaria se puede describir mediante la ecuaciΓ³n π π, π = π!ππ Β· π¬π’π§ πππ
ππ Β· ππ¨π¬ πππ Β· π
donde π, π, π se expresan en unidades del S.I. Calcula: a) La velocidad y la amplitud de las ondas que, por superposiciΓ³n, pueden dar lugar a esta onda
estacionaria. b) La distancia entre dos nodos consecutivos de la cuerda. c) La velocidad mΓ‘xima que presenta el punto medio entre dos nodos consecutivos.
a) La ecuaciΓ³n general de las ondas estacionarias es π¦ π₯, π‘ = 2π΄ Β· cos ππ₯ Β· sin ππ‘ .
La onda que nos dan en el problema puede ser reescrita de tal manera que coincida con la expresiΓ³n general:
π¦ π₯, π‘ = 0!02 Β· cos10π3
π₯ +π2
Β· sen 40π Β· π‘ βπ2
Comparando ambas expresiones: β’ 2π΄ = 0!02 π β π¨ = π!ππ π β’ π = !!
!= !"!
! β π = !
! π = 0!6 π
β’ π = !!!= 40π β π = !
!"π = 0!05 π
Por lo tanto, la velocidad de propagaciΓ³n serΓ‘:
π£! =ππ=0!6 π0!05 π
β ππ· = ππ π/π
b) En una onda estacionaria, la distancia entre nodos consecutivos es:
π =π2=0!6 π2
β π = π!π π
El primer nodo estarΓ‘ en el origen (ya que π¦ 0, π‘ = 0 π), por lo tanto, el siguiente nodo se encontrarΓ‘ en la posiciΓ³n π₯ = 0 π + 0!3 π = 0!3 π.
c) La expresiΓ³n para la velocidad de vibraciΓ³n de cualquier punto de la onda serΓ‘:
π£ π₯, π‘ =ππ¦ π₯, π‘ππ‘
= β40π Β· 0!02 Β· sin10π3
π₯ Β· sen 40π Β· π‘
π£ π₯, π‘ = β0!8π Β· sin10π3
π₯ Β· sen 40π Β· π‘
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Camino de la Piedad, 8 -Ββ C.P. 40002 -Ββ Segovia -Ββ Tlfns. 921 43 67 61 -Ββ Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Podemos comprobar que la velocidad en cualquiera de los nodos es nula independientemente del tiempo:
β’ π₯ = 0 π β π£ 0, π‘ = β0!8π Β· sin 0 Β· sen 40π Β· π‘ = 0 π/π β’ π₯ = 0β²3 π β π£ 0β²3, π‘ = β0!8π Β· sin !"!
!Β· !!"
Β· sen 40π Β· π‘ = 0 π/π
La velocidad de vibraciΓ³n de un punto medio entre dos nodos (π₯ = 0!15 π por ejemplo) serΓ‘ la velocidad de vibraciΓ³n de los vientres de la onda estacionaria:
π£ 0β²15, π‘ = β0!8π Β· sin10π3
Β·15100
Β· sen 40π Β· π‘ = β0!8π Β· sinπ2
Β· sen 40π Β· π‘
π£ 0β²15, π‘ = β0!8π Β· sen 40π Β· π‘ π/π
La velocidad mΓ‘xima se obtendrΓ‘ para aquellos valores del tiempo que hagan que sen 40π Β· π‘ = Β±1:
π πβ²ππ, π πππ = π!ππ π/π
TIPO 24
4.29. En una onda plana que atraviesa un medio absorbente con coeficiente de absorciΓ³n Ξ² = 115 m-Ββ1, si inicialmente la intensidad de la onda es I0, ΒΏquΓ© intensidad tendrΓ‘ despuΓ©s de recorrer 2 cm? Sol: π° = π!π Β· π°π
4.30. Un muro de 60 cm tiene un coeficiente de absorciΓ³n π· = π!ππ π!π. a) Si al muro llega una onda de π πΎ/ππ, ΒΏquΓ© intensidad llega a la segunda cara del muro? b) ΒΏQuΓ© espesor deberΓa tener para que la intensidad del sonido se reduzca un 80%?
a) Aplicamos la ecuaciΓ³n para la absorciΓ³n de ondas planas:
πΌ π₯ = πΌ! Β· π!!" = 5 π/π! Β· π!!!!"Β·!!! β π° = πβ²ππ πΎ/ππ
b) Buscamos el espesor que haga que la intensidad final sea un 20% de la inicial:
0!2 Β· πΌ! = πΌ! Β· π!!" β ln 0β²2 = βπ½π₯ β π₯ = βln 0!2π½
β π = π!ππ π
TIPO 25 LIBRO PΓGINAS 54 y 56: ejercicios 10, 13, 15, 16, 18 y 37.
4.31. El sonido emitido por un altavoz tiene un nivel de intensidad (sonoridad) de 60 dB a una distancia de 2 m de Γ©l. Si el altavoz se considera como una fuente puntual, determina: a) La potencia del sonido emitido por el altavoz. b) ΒΏA quΓ© distancia el nivel de intensidad sonora es de 30 dB, y a quΓ© distancia es imperceptible el sonido?. Dato: El umbral de audiciΓ³n es: πΌ! = 10!!" π/π!. Sol: π) π!ππ Β· ππ!π πΎ; π) πΉπ = ππ!ππ π, πΉπ = ππππ π
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4.32. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual,
siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la segunda de 80 dB al alejarse en la misma direcciΓ³n 100 m mΓ‘s. a) ObtΓ©n las distancias al foco desde donde se efectΓΊan las mediciones. b) Determina la potencia sonora del foco. Dato: El umbral de audiciΓ³n es: πΌ! = 10!!" π/π!. Sol: π) πΉπ = ππ!ππ π, πΉπ = πππ!ππ π; π) π· = ππ!ππ πΎ
4.33. En un partido de fΓΊtbol sala un espectador canta un gol con una sonoridad de 40 dB. ΒΏCuΓ‘l serΓ‘ la sonoridad si
gritaran a la vez y con la misma intensidad sonora los 10000 espectadores que se encuentran viendo el partido? Dato: El umbral de audiciΓ³n es: πΌ! = 10!!" π/π!. Sol: π³ = ππ π π©
4.34. La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcula: a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar donde se produce es
ladrido. b) El nivel de intensidad sonora producido por el ladrido de 5 perros a 20 m de distancia de los mismos.
SupΓ³n que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio. Dato: El umbral de audiciΓ³n es: πΌ! = 10!!" π/π!. Sol: π) π° = ππ!ππ Β· ππ!π πΎ/ππ, π³ = ππ π π©; π) π³π» = ππ π π©
4.35. En un concierto se utiliza un altavoz que emite con una potencia de 50 W.
a) ΒΏCuΓ‘l es la intensidad del sonido que se percibe a 50 m del mismo? b) La organizaciΓ³n quiere impedir que el pΓΊblico se aproxime a una distancia menor que el doble de la
correspondiente al umbral del dolor. ΒΏDΓ³nde deben poner el lΓmite de seguridad? Umbral del dolor: I0 = 100 W/m2.
a) Para una onda esfΓ©rica tridimensional, la intensidad a una determinada distancia al foco viene dada por la expresiΓ³n:
π° =ππ=
π4π Β· π !
=50 π
4π Β· 50 π ! = π!ππ Β· ππ!π πΎ/ππ
b) Primero tenemos que estudiar a quΓ© distancia del foco se alcanza el umbral del dolor:
πΌ! =π
4π Β· π ! β π =
π4π Β· πΌ!
=50 π
4π Β· 100 π/π! = 0!2 π
Por lo tanto, el lΓmite debe ponerse al menos al doble de esa distancia:
πΉπππ = π!π π
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4.36. Al dejar caer una piedra en la superficie de agua en calma de un estanque obtenemos una onda
con π΄ = 25 ππ. Suponiendo que no hubiese rozamiento entre las partΓculas del medio, ΒΏcuΓ‘l serΓ‘ la amplitud cuando la onda haya avanzado 2 m desde el origen? Nota: suponer que a 1 cm del foco la amplitud sigue siendo 25 cm. La onda que se propaga por la superficie de un estanque es bidimensional, en este caso, cada circunferencia que se forma aumenta el radio repartiendo la energΓa entre un mayor nΓΊmero de puntos, ya que la longitud de la circunferencia que define el frente de onda es cada vez mayor: π ! β π! = 2ππ ! π ! β π! = 2ππ ! Como πΌ = !
!Β·! β πΌ! =
!/!!! πΌ! =
!/!!! sabiendo que !
!= ππ‘π:
!!= πΌ! Β· 2ππ !
!!= πΌ! Β· 2ππ !
πΌ! Β· 2ππ ! = πΌ! Β· 2ππ ! β πΌ!πΌ!=π !π !
Como sabemos que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud πΌ β π΄!:
π¨ππ
π¨ππ=πΉππΉπ
Con esta expresiΓ³n ya podemos calcular la amplitud de la onda a los dos metros:
π΄!! = π΄!! Β·π !π ! β π΄! = π΄! Β·
π !π !
= 25 ππ Β·0!01 π20 π
π¨π = π!π ππ
TIPO 26 LIBRO PΓGINA 48: ejercicio 34. 4.37. Una ambulancia viaja por una carretera a 40 π/π . Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz.
ΒΏCon quΓ© frecuencia escucha la sirena un observador que viaja a 25 π/π ? a) Cuando se aproxima a la ambulancia. b) Cuando se aleja de la ambulancia. Sol: a) ππΉ = πππ π―π; b) ππΉ = πππ π―π
4.38. Calcula la frecuencia con la que percibe un policΓa la alarma de un banco si se aproxima en su coche a una velocidad de 120 ππ/β, sabiendo que la frecuencia a la que emite la alarma es de 750 π»π§. Sol: ππΉ = πππ π―π
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4.39. Un murciΓ©lago que persigue a una mosca emite ultrasonidos a una frecuencia de ππ ππ―π. El murciΓ©lago se mueve a ππ = ππ π/π y la mosca a ππ = πβ²π π/π ambos en la misma recta y no hay viento apreciable. Calcula en estas condiciones: a) Frecuencia que percibe la mosca. b) Frecuencia que percibe el murciΓ©lago de los ultrasonidos una vez reflejados en la mosca.
a) Tenemos que tener en cuenta que, a la hora de escoger el signo para las velocidades del observador y del receptor, tomamos como sentido positivo el que va desde el emisor hacia el receptor. En este caso el murciΓ©lago es el emisor y su velocidad es π£! = +π£! ya que el murciΓ©lago se mueve hacia el receptor. La mosca es el receptor y se mueve a π£! = +π£!, ya se se estΓ‘ alejando del murciΓ©lago.
Una vez definidas las velocidades y teniendo en cuenta que la velocidad de la onda es la del sonido π£ = 340 π/π aplicamos la expresiΓ³n del efecto Doppler:
ππΉ =π£ β π£!π£ β π£!
Β· π! =340 π/π β 2β²4 π/π 340 π/π β 13 π/π
Β· 55 ππ»π§ = ππ!ππ ππ―π
b) Ahora la mosca actΓΊa como emisor, reflejando las ondas con la misma frecuencia que le llegan, y el murciΓ©lago actΓΊa de receptor:
β’ π! = 56!78 ππ»π§ β’ π£! = βπ£! (la mosca se aleja del murciΓ©lago). β’ π£! = βπ£! (el murciΓ©lago se acerca a la mosca).
ππΉ =π£ β π£!π£ β π£!
Β· π! =340 π/π + 13 π/π 340 π/π + 2β²4 π/π
Β· 56β²78 ππ»π§ = ππ!ππ ππ―π
4.40. Un observador en reposo pretende medir la velocidad de un coche basΓ‘ndose en el efecto Doppler. Para ello
mide la frecuencia del sonido del motor cuando se acerca y cuando se aleja, obteniendo como resultado 500 π»π§ y 450 π»π§, respectivamente. Con esos datos, calcula la velocidad con que se mueve el vehΓculo.
En este problema, la velocidad del observador es cero π£! = 0 π/π . Planteamos las dos ecuaciones teniendo cuidado con los signos de las velocidades del emisor (coche), en el primer caso positiva (ya que se acerca al receptor) y en el segundo negativa (ya que se aleja del mismo). Tendremos que tener en cuenta tambiΓ©n que las frecuencias del enunciado son las frecuencias percibidas por el receptor.
π!! =π£ β π£!π£ β π£!
Β· π! =340 π/π
340 π/π β π£!Β· π! = 500 π»π§
π!! =π£ β π£!π£ β π£!
Β· π! =340 π/π
340 π/π + π£!Β· π! = 450 π»π§
Para despejar la frecuencia del coche (emisor) dividimos ambas expresiones:
340 π/π 340 π/π β π£!
Β· π!340 π/π
340 π/π + π£!Β· π!
=500 π»π§450 π»π§
β 340 π/π + π£!340 π/π β π£!
=5045 β 50 Β· 340 π/π β π£! = 45 Β· 340 π/π + π£!
17000 π/π β 50 Β· π£! = 15300 π/π + 45 Β· π£! β 1700 π/π = 95 Β· π£!
ππ¬ =1700 π/π
95= ππ!ππ π/π