Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología 17
4. PRUEBAS Y SOLUCIONES
4.1 MATEMÁTICA
DECIMOTERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente
en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (30 puntos)
a. Encuentre la solución de la ecuación:
2 0 2sen sen
b. Resuelva la ecuación:
34
1342
xxx
c. Evalúe el límite:
1
1lim 1
2
x
x x
Problema 2: (10 puntos) Encuentre el área de la región sombreada que se indica. La figura muestra tres
semicírculos y un círculo.
Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología 18
Problema 3: (10 puntos)
Hallar la ecuación de la recta con pendiente diferente de cero, que es tangente a ambas
graficas de las funciones: 2( 1)y x &
2y x
Problema 4: (10 puntos)
Encuentre el punto sobre la parábola 21y x en el cual la recta tangente corta los ejes
en el primer cuadrante para formar un triángulo con área mínima.
Problema 5: (10 puntos)
Un puente levadizo de 100 metros de largo se abre exactamente por la mitad para dar
paso a embarcaciones grandes. Las dos secciones del puente se abren desde la
horizontal hasta un ángulo de 30° en exactamente 5 minutos. Determine la razón dz
dta
la cual crece la distancia entre los extremos de las secciones del puente cuando 15
(Suponga que la velocidad con la que cambia el ángulo de las secciones del puente es
constante; exprésela en rad/min).
Problema 6: (10 puntos)
a) Trace la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes
1lim ( ) 3,x
f x
1
lim ( ) ,x
f x
(2) 0,f (1) 1,f
lim ( ) 0,
xf x
lim ( ) 1
xf x
(5 pts.)
b) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x .
Determine el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g ,
(1) 1g , (2) 4f y (1) 23F (5 pts.)
z
θ θ
Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología 19
Problema 7: (10 puntos) Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta
tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es Q 5
millones por milla sobre el pantano y Q 3 millones por milla sobre tierra. ¿Cómo debe
construirse la tubería para minimizar el costo de construcción?
Problema 8: (10 puntos)
Un carro de carga y una pequeña embarcación están conectados por medio de una soga
de 12 metros de longitud como se muestra en la figura. La soga pasa através de una
polea ubicada en el punto P y a 4 metros del punto Q el cual se encuentra entre el carro
y la embarcación (al mismo nivel de los extremos de la cuerda). El carro es jalado a
partir de Q a una rapidez de 1 m/s. ¿Qué tan rápido se mueve la embarcación hacia Q
en el instante en que el carro está a 2 metros del punto Q?
20 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (30 puntos)
a. Encuentre la solución de la ecuación:
2 0 2sen sen
b. Resuelva la ecuación:
34
1342
xxx
c. Evalúe el límite:
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(1 +1
2𝑥)𝑥+1
Solución
a. Solución de la ecuación
2 0 2sen sen
Usando la identidad 2 2 cossen sen
2 cos
2 cos 0
(2cos 1) 0
sen sen
sen sen
sen
De donde se obtiene
10 & cos
2sen
Para 1 0sen las soluciones son 0 & 2
Para 1 1cos ( )
2 las soluciones son
3
& 5
3
Entonces la solución de la ecuación para el intervalo indicado es
0 3
5
3
2
21 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
b. Resuelva la ecuación:
34
1342
xxx
12 4 3
4 3x x
x
Se hace la suma y se simplifica
4 22
4 3
xx
x
Elevamos al cuadrado.
2
2 4 22
4 3
xx
x
216 16 44
4 3
x xx
x
Pasamos a multiplicar el denominador
24 (4 3) 16 16 4x x x x
Se simplifica la ecuación
2 216 12 16 16 4x x x x
4 4x
1x
22 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c. Evaluación del límite: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(1 +1
2𝑥)𝑥+1
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(1 +1
2𝑥)𝑥+1
= (1)+∞ forma indeterminada
La estrategia para encontrar el límite de esta expresión es convertir la expresión
en una expresión racional para poder aplicar L’Hôpital
Se aplica logaritmos a la función y propiedades
𝑦 = (1 +1
2𝑥)𝑥+1
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (1 +1
2𝑥)𝑥+1
𝑙𝑛 𝑦 = (𝑥 + 1) 𝑙𝑛 (1 +1
2𝑥)
Entonces
𝑦 = 𝑒(𝑥+1) 𝑙𝑛(1+1
2𝑥)
𝑦 = 𝑒
𝑙𝑛(1+12𝑥
)
1𝑥+1
Encontrar
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑙𝑛(1+1
2𝑥)
1
𝑥+1
=0
0 forma indeterminada
23 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Aplicar L’Hôpital
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑙𝑛 (1 +1
2𝑥)
1
𝑥+1
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
−1
2𝑥−2
1+1
2𝑥
−1
(𝑥+1)2
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(𝑥 + 1)2
2𝑥2 + 𝑥=+∞
+∞
Aplicar L’Hôpital de nuevo
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(𝑥 + 1)2
2𝑥2 + 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
2(𝑥 + 1)
4𝑥 + 1=+∞
+∞
Aplicar L’Hôpital de nuevo
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
2(𝑥+1)
4𝑥+1= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞ 2
4=
1
2
Por lo anterior se concluye que
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
(1 +1
2𝑥)𝑥+1
= 𝑒1
2
24 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (10 puntos)
Encuentre el área de la región sombreada que se indica. La figura muestra tres
semicírculos y un círculo.
Solución
Encontrar una relación con los radios de todas las semicircunferencias y el radio de la
circunferencia sombreada.
Se utiliza el teorema de Pitágoras como sigue:
2 2 2c a b
2 2 2(3 ) (3) (6 )r r
2 26 9 9 12 36r r r r
18 36r
25 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2r
Teniendo el radio es posible determinar el área sombreada del círculo:
2A r
2(2)A
4A
26 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
Hallar la ecuación de la recta con pendiente diferente de cero, que es tangente a ambas
graficas de las funciones: 2( 1)y x &
2y x
Solución
Sean a,b y ( , )
los puntos de tangencia correspondientes a cada parábola como se muestra en la
gráfica adjunta. Como se tienen 4 incógnitas, es necesario el planteamiento de 4
ecuaciones.
(a,b)
(
Planteamiento de ecuaciones:
Como el punto a,b pertenece a la gráfica de
2( 1)y x
es obtenida la 1era ecuación: 2( 1)ab
x
y
27 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Como el punto ( , ) pertenece a la gráfica de
2y x
es obtenida la 2da. ecuación:
2
Evaluando la derivada de 2( 1)y x en ax
se tiene :
2(a 1a )y
Evaluando la derivada de 2y x en x
se tiene:
2y
Igualando ambas derivadas, se tiene la 3era ecuación:
2 a 1 2
Ahora, por definición de pendiente, la pendiente de la recta tangente es igual a:
a
b
Igualando la pendiente al término 2 se tiene la 4ta. ecuación:
a2
b
28 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Despejando en la ecuaciones 1era, 2da y 3era cada incógnita en términos de y sustituyendo en la 4ta ecuación, se tiene:
2 2
2( 1)
De donde
1 1 1 2 1 2y
Siendo la ecuación de la recta tangente a ambas parábolas:
1 2( 1 )y x
1 2( 1)y x
2 1y x
29 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Encuentre el punto sobre la parábola 21y x en el cual la recta tangente corta los
ejes en el primer cuadrante para formar un triángulo con área mínima.
Solución
Sea
2( ,1 )a a el punto de tangencia.
Sean
(0, )h y ( ,0)b los puntos donde la recta tangente
intercepta al eje y & al eje x , respectivamente.
Se escribe la ecuación de la recta tangente en la forma
( )o oy y m x x
Sustituir
la pendiente de la recta tangente al evaluar 2dy xdx
en x a
2m a
21
o
o
x a
y a
entonces:
21 2y a a x a
al despejar 22 1y ax a
Ahora se establece en qué puntos la recta tangente intercepta al eje y & al eje x
Intercepta al eje x cuando 0y 20 2 1ax a
Se despeja
2 1
2
ax
a
30 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Si x b se obtiene 2 1
2
ab
a
Intercepta al eje y cuando 0x
2 1y a si
y h Entonces
2 1h a
Sea A el área del triángulo,
2 2 2
21 1 ( 1)1 (1, )
2 2 4
a aA a intervalo
a a
Se deriva respecto a a y se simplifica.
4 2
2
12 8 4
16
a aA a
a
Si
0A a
Se resuelve ecuación para obtener 3
3a y
3
3a
, se selecciona valor positivo
pues el triángulo se forma en el cuadrante I y es parte del dominio.
Se usa prueba primera derivada para determinar si 3
3a genera un valor máximo
para A.
3 3
0 03 3
A y A
Se concluye que 3
( )3
A tiene valor mínimo absoluto. Entonces el punto buscado es
3 2( , )
3 3
31 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (10 puntos)
Un puente levadizo de 100 metros de largo se abre exactamente por la mitad para dar
paso a embarcaciones grandes. Las dos secciones del puente se abren desde la
horizontal hasta un ángulo de 30° en exactamente 5 minutos.
Determine la razón dz
dta la cual crece la distancia entre los extremos de las secciones
del puente cuando 15 (Suponga que la velocidad con la que cambia el ángulo de
las secciones del puente es constante; exprésela en rad/min).
La siguiente figura ilustra la mitad del puente levadizo, con el fin de visualizar las
variables a relacionar:
Solución
502
zx (1)
La relación entre el ángulo y la variable x está dada por:
cos50
x
50cosx (2)
Se despeja z de (1) y se sustituye x por (2)
100 2 50cosz
100 100cosz
z
θ θ
32 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Al derivar z respecto del tiempo t
100cosdz d
dt dt
Donde:
10012 30
dzsen
dt
2.7104 / mindz
mdt
33 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 6: (10 puntos)
Solución
Se analiza asíntotas y puntos tendrá la gráfica
a) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x . Determine
el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g , (1) 1g , (2) 4f y
(1) 23F (5 pts.)
Se deriva ( )F x
' ' '( )F x f g x g x
a) Trace la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes
1lim ( ) 3,x
f x
1
lim ( ) ,x
f x
(2) 0,f (1) 1,f
lim ( ) 0,
xf x
lim ( ) 1
xf x
(5 pts.)
b) Si f y g son funciones derivables, se define la función ( ) ( )F x f g x . Determine
el valor de (2)f sabiendo que (1) 2,g (1) 3g , (1) 1g , (2) 4f y
(1) 23F (5 pts.)
a) Trace la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes
1lim ( ) 3,x
f x
1
lim ( ) ,x
f x
(2) 0,f (1) 1,f
lim ( ) 0,
xf x
lim ( ) 1
xf x
(5 pts.)
(1,1)
x=1
(1,3)
y
y=1
y=0
x (2,0)
34 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Se obtiene la segunda derivada de ( )F x
'' ' '' ' '' 'F x f g x g x g x f g x g x
Se evalúa la expresión anterior para 1x
'' ' '' ' '' '1 1 1 1 1 1F f g g g f g g
Se reemplazan todos los valores dados.
' ''23 2 1 3 2 (3)f f
''23 (4)( 1) (3) (2)(3)f
''23 4 9 2f
Se despeja '' 2f
'' 23 4 272
9 9f
'' 2 3f
35 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (10 puntos) Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano
hasta tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es Q
5 millones por milla sobre el pantano yQ 3 millones por milla sobre tierra.¿Cómo
debe construirse la tubería para minimizar el costo de construcción?
Solución
La distancia en tierra la definiremos como
1 4S x
La distancia en el pantano se calcula usando el teorema de Pitágoras
22 16S x
El costo de la construcción es
1 2( ) 3 5C x S S .
2( ) 3 4 5 16C x x x
El problema de optimizaciónes el mínimo
2( ) 12 3 5 16C x x x en el intervalo cerrado 0 4x
36 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Se deriva la función ( )C x
2
5( ) 3
16x
xD C x
x
2
2
3 16 5( )
16x
x xD C x
x
Encontrar números críticos
( ) 0xD C x
23 16 5 0x x
25 3 16x x
2 225 9 144x x
2 9x
3x
único número crítico en el intervalo
3x
Evaluando y comparando en el número crítico y en los extremos del
intervalo.
(3) 3 25 28
(0) 12 5 16 32
(4) 5 16 16 20 2 28.28
C
C
C
El mínimo absoluto es 28 millones y se produce cuando 3x
La tubería debe tocar tierra en un punto que diste 1 milla de los tanques de almacenamiento,
37 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
Un carro de carga y una pequeña embarcación están conectados por medio de una soga
de 12 metros de longitudcomo se muestra en la figura. La soga pasa através de una
polea ubicada en el punto P y a 4 metros del punto Q el cual se encuentra entre el
carro y la embarcación (al mismo nivel de los extremos de la cuerda). El carro es jalado
a partir de Q a una rapidez de 1 m/s. ¿Qué tan rápidose mueve la embarcación hacia Q
en el instante en que el carro está a 2 metros del punto Q?
Solución
Nombrando las cantidades que varían con el tiempo
Variables.
1 2, 1 2, , , &l l x x
Constantes:
La longitud de la cuerda l
La distancia PQ y
La velocidad del carro 𝑥2′
Incógnita 𝑥1′
𝑙1 𝑙2
𝑥2 𝑥1
38 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Primer paso
Aplicando Pitágoras al triángulo que se forma con la posición de la embarcación, la
polea y el punto Q
𝑙12 = 42 + 𝑥1
2
Derivando respecto al tiempo esta expresión
𝑙1𝑙1′ = 𝑥1𝑥1
′
De donde obtenemos que:
𝑥1′ =
𝑙1𝑥1
𝑙1′ 𝑒𝑐 1
Segundo paso
Relacionando la incógnita con la razón de cambio conocida, utilizando Pitágoras al
triángulo formado por la posición del carro, la polea y el punto Q
𝑙22 = 42 + 𝑥2
2
Derivando respecto al tiempo esta expresión
𝑙2𝑙2′ = 𝑥2𝑥2
′
despejando 𝑙1′
𝑙2′ =
𝑥2𝑙2𝑥2
′
Tercer paso
Buscar la relación entre 𝑙1 𝑦 𝑙2 12 = 𝑙1 + 𝑙2
Derivando esta expresión tenemos que:
𝑙2′ = −𝑙1
′
Esto implica que
𝑙1′ = −
𝑥2𝑙2𝑥2
′
39 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Sustituyendo este resultado en la ecuación 1 tenemos lo siguiente:
𝑥1′ = −
𝑙1𝑥1
𝑥2𝑙2𝑥2
′
Cuarto paso
Calcular los valores de las variables cuando 𝑥1 = 2. De esto tenemos que 𝑙1 = 2√5 ,
𝑙2 = 12 − 2√5 y 𝑥2 = √148 − 48√5
Entonces
𝑥1′ = −
2
2√5
12 − 2√5
√148 − 48√51
𝑥1′ = −
6 − √5
√5√37 − 12√5𝑚/𝑠
𝑥1′ = −
6 − √5
√5√37 − 12√5𝑚/𝑠
𝑥1′ = −0.52791 𝑚/𝑠
40 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DECIMOTERCERA OLIMPIADA
INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
Acontinuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente en el
cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (10 puntos)
La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente es la gráfica de
1r Hallar la ecuación polar para la circunferencia menor, de manera que las áreas
sombreadas del cuadrado es igual al área exterior a 1r e interior a la circunferencia
menor.
Problema 2: (10 puntos)
Determine si las rectas dadas están contenidas en un mismo plano
2
1
4 2
x t
y t
z t
&
1
2
1 2
x s
y s
z s
𝜃 = 𝜋2
eje polar
41 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (10 puntos)
Una colina tiene la forma de la superficie dada por 2 26z x y , se requiere perforar
un agujero perpendicular a la superficie en el punto (1, 1,4) de tal forma que pueda
colocarse un panel solar.
a) Determine en qué dirección debe perforarse.
b) Si el plano solar es tangente a la colina en dicho punto, determine la ecuación del
plano.
Problema 4: (10 puntos)
Suponga que T (grados) es la temperatura de cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la esfera
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y que 𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧. Utilizando multiplicadores determine los puntos
de la esfera en los que la temperatura sea máxima y mínima. Calcule la temperatura
en dichos puntos.
Problema5: (10 puntos)
Sea un sólido generado haciendo girar la región acotada por la curva 𝑦 =𝑥2
2 & la recta
𝑦 = 2, alrededor del eje 𝑦. Se desea perforar un orificio circular, centrado en el eje de
revolución, de manera tal que dicho solido pierda un cuarto de su volumen. Calcular
el diámetro que debe tener dicho orificio.
Problema 6: (10 puntos)
Un tanque tiene la forma de 2 conos, cada cono tiene su vértice sobre el centro de la
base circular del otro como muestra la figura. Cada cono tiene un radio de 4 pies y
una altura de 8 pies. Hallar el trabajo necesario para llenar de agua (desde el suelo) el
sólido definido por la intersección de ambos conos.
362.4 agualb
pie
42 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema7: (10 puntos)
Se vierte agua con 0.5 kg de sal por litro a un tanque a razón de 2 litros/min, y la
mezcla homogénea sale al mismo ritmo. Después de 10 min, se para el proceso y se
vierte agua pura a razón de 2 litros/min, con la nueva mezcla saliendo a la misma
razón. Si inicialmente había 100 litros de agua pura en el tanque, Encuentre: a) Las
ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el tanque
en función del tiempo. b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos.
Problema 8: (10 puntos)
Dos partículas, 1 M y
2 M , se mueven a lo largo de circunferencias concéntricas de radio
R y r respectivamente. La velocidad angular de ambas partículas es igual y constante,
pero de sentido opuesto. ¿Qué figura describe el punto medio del segmento 1 2 M M ? Dé
su respuesta en coordenadas cartesianas.
Problema 9: (10 puntos)
Exprese la integral dada en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas y
esféricas. Grafique la región que representa la integral.
2 2 2
2 2 2
2 4 8
2 4
x x y
x x y
dzdydx
Problema 10: (10 puntos)
Verifique el teorema de la divergencia de Gauss al calcular el flujo hacia el exterior del
campo F k , a través del sólido limitado por 2 2z x y & 4z .
43 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (10 puntos)
La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente es la gráfica de 1r
Hallar la ecuación polar para la circunferencia menor, de manera que las áreas
sombreadas del cuadrado es igual al área exterior a 1r e interior a la circunferencia
menor.
Solución
a. Como es una circunferencia de 1r , la diagonal del cuadrado es 1 , por lo tanto
su área es:
22 1 1
22 2
dA x
b. Si la suposición del cuadrado es válida, entonces la intersección del círculo de
1r con el círculo desconocido cosr a se da en 4
𝜃 = 𝜋2
eje polar
44 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c. Y la expresión del área entre las circunferencias quedará expresada, de la
siguiente manera:
4
2
0
12 1
2A a cos d
4 4 4
2 2 2
0 0 0
1 1( cos 1) cos2
2 2A a d a d d
2 2 2 2
s n2 s n 242 4 8 4 4 4
0
a a a aA e e
2 2
2 2
8 4 4 8 4
a aA a
d. Si las áreas son iguales y es un cuadrado, se tiene lo siguiente:
2 2 1
8 4 2a
𝜃 = 𝜋2
eje polar
45 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
2 2 2 4a
2 2 4 2a
2 2 24 2
2 2a
2 2
2
a
a
e. Por lo tanto la ecuación de la circunferencia menor es igual a:
2cosr
46 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (10 puntos)
Determine si las rectas dadas están contenidas en un mismo plano
2
1
4 2
x t
y t
z t
&
1
2
1 2
x s
y s
z s
Solución
Primero se analizan si son paralelas
Vector director de la primera recta
1 2A
i j k
Vector director de la segunda recta
2 2A
i j k
Analizando los vectores
1 2 1 2A K A A no paraleo a A
Las rectas no paralelas
Segundo si se intersectan
2 1
1 2
4 2 1 2
t s
t s
t s
simplificando
3
3
2 2 3
t s
t s
t s
La solución de las dos primeras ecuaciones es 3 & 0t s
No cumple con la tercera ecuación 6 3
Las rectas no se intersectan
Como las rectas no paralelas y no se intersectan no pueden estar contenidas en un
plano son rectas no coplanares (rectas oblicuas).
47 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema3: (10 puntos)
Una colina tiene la forma de la superficie dada por 2 26z x y , se requiere perforar
un agujero perpendicular a la superficie en el punto (1, 1,4) de tal forma que pueda
colocarse un panel solar.
a) Determine en qué dirección debe perforarse.
b) Si el plano solar es tangente a la colina en dicho punto, determine la ecuación del
plano.
Solución
a) El gradiente es perpendicular a la superficie.
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 − 6
𝛻𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘
en el punto (1, 1,4)
𝛻𝐹(1,−1,4) = 2𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
Pero como debe perforar, es en la dirección contraria
−2𝑖 + 2𝑗 − 𝑘
b) El plano tangente cumple con
∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑉(𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 0
(2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘) ∙ ((𝑥 − 𝑥0)𝑖 + (𝑦 − 𝑦0)𝑗 + (𝑧 − 𝑧0)𝑘) = 0
en el punto (1, 1,4)
(2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑘) ∙ ((𝑥 − 1)𝑖 + (𝑦 + 1)𝑗 + (𝑧 − 4)𝑘) = 0
2𝑥 − 2 − 2𝑦 − 2 + 𝑧 − 4 = 0
La ecuación del plano es
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 8
48 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (10 puntos)
Suponga que T (grados) es la temperatura de cualquier punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la esfera
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y que 𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧. Utilizando multiplicadores determine los puntos
de la esfera en los que la temperatura sea máxima y mínima. Calcule la temperatura
en dichos puntos.
Solución
𝑇 = 200𝑥𝑦2𝑧 restricción 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4
𝛻𝑇 = 𝜆𝛻(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4)
Se tiene que
200𝑦2𝑧 = 2𝑥𝜆
400𝑥𝑦𝑧 = 2𝑦𝜆
200𝑥𝑦2 = 2𝑧𝜆
Al despejar "𝜆" de cada ecuación
𝜆 =100𝑦2𝑧
𝑥
𝜆 =200𝑥𝑦𝑧
𝑦
𝜆 =100𝑥𝑦2
𝑧
Igualando "𝜆" queda
𝑦2𝑧 = 2𝑥2𝑧
𝑦2𝑧2 = 𝑥2𝑦2
Al simplificar las dos ecuaciones anteriores
𝑧(𝑦2 − 2𝑥2) = 0
𝑦2(𝑧2 − 𝑥2) = 0
Con la ecuación de la restricción 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 queda un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
49 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
La solución da los puntos críticos y se calcula la temperatura en esos puntos
𝑧 = 0 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0
𝑧 = 0 ; 𝑥 = 0; 𝑦 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0
𝑦 = 0 ; 𝑥 = 0; 𝑧 = ±2 ⇒ 𝑇 = 0
𝑥 = 1 ; 𝑧 = 1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = 400
𝑥 = −1 ; 𝑧 = −1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = 400
𝑥 = −1 ; 𝑧 = 1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = −400
𝑥 = 1 ; 𝑧 = −1; 𝑦 = ±√2 ⇒ 𝑇 = −400
Temperatura máxima 400 en los puntos (1, √2, 1), (1, −√2, 1), (−1,√2, −1) y
(−1,−√2,−1),
Temperatura mínima 400 en los puntos (1, √2, −1), (1, −√2,−1), (−1, √2, 1) y (−1,−√2, 1).
50 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5: (10 puntos)
Sea un sólido generado haciendo girar la región acotada por la curva 𝑦 =𝑥2
2 & la recta
𝑦 = 2, alrededor del eje 𝑦. Se desea perforar un orificio circular, centrado en el eje de
revolución, de manera tal que dicho solido pierda un cuarto de su volumen. Calcular
el diámetro que debe tener dicho orificio.
Solución
Usando el método de las capas cilíndricas, el volumen del sólido sin perforar viene
dado por:
𝑉 = 2𝜋∫ 𝑥ℎ(𝑥)𝑑𝑥2
0
Donde
ℎ(𝑥) = 2 −𝑥2
2.
Entonces, el volumen es:
𝑉 = 2𝜋∫ 𝑥 (2 −𝑥2
2)𝑑𝑥
2
0
= 𝜋∫ (4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥 = 𝜋 [2𝑥2 −𝑥4
4]
2
0
= 4𝜋2
0
x
y
𝑦 =𝑥2
2
r
51 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Sabemos que al ser perforado, el sólido pierde un cuarto de su volumen, es decir 𝜋. En
consecuencia, el volumen 𝑉 del sólido perforado es 3𝜋. La región que genera este
sólido es
𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2: 𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥22 ≤ 𝑦 ≤ 2}.
Por lo tanto el volumen 𝑉′ usando el método de las capas cilíndricas es:
𝑉(𝑟) = 𝜋∫ (4𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥2
𝑟
= 𝜋 [2𝑥2 −𝑥4
4]𝑟
2
= 𝜋 (4 − 2𝑟2 +𝑟4
4)
Donde 0 ≤ 𝑟 ≤ 2. Para calcular el radio r del orificio, debemos resolver la ecuación
𝜋 (4 − 2𝑟2 +𝑟4
4) = 3𝜋
𝑟4 − 8𝑟2 + 4 = 0
Resolviendo esta ecuación se obtiene lo siguiente:
𝑟 = √4 − 2√3 = √3 − 1
Y su diámetro es:
𝑑 = 2(√3 − 1)
52 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 6: (10 puntos)
Un tanque tiene la forma de 2 conos, cada cono tiene su vértice sobre el centro de la
base circular del otro como muestra la figura. Cada cono tiene un radio de 4 pies y
una altura de 8 pies. Hallar el trabajo necesario para llenar de agua (desde el suelo) el
sólido definido por la intersección de ambos conos.
362.4 agualb
pie
Solución
Se procede a realizar un esquema, con su sistema de coordenadas, identificando
los puntos o coordenadas importantes a tomar en cuenta para la resolución del
problema:
Se pide hallar el trabajo necesario para llenar de agua desde el suelo, por el
sólido definido por la intersección de ambos conos, es decir, la parte sombreada.
Identificación de constantes y variables
x radio del diferencial de volumen de agua
y distancia que tiene que recorrer el diferencial de volumen de agua
53 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
densidad del agua 3 62.4 lb
pie
dy altura o espesor del diferencial de volumen de agua.
Definición de Trabajo W
Trabajo Fuerza Distancia
La fuerza va a ser igual al peso del diferencial de agua.
Y la distancia va a ser igual a la distancia que tiene que recorrer el diferencial de
volumen de agua,desde el suelo hasta llenar por completo el sólido. Esa distancia es
variable y la denominaremos como y .
W Fuerza Distancia
W Fd
Como: F Peso & y d
Sustituyendo:
W Peso distancia
W Peso y
Para encontrar el peso, se utiliza la densidad , que indica:
/ Peso Volumen
Y el Volumen del diferencial de agua dV está dado por:
El producto del área del diferencial o disco de agua 2 r , por su espesor dy .
2 ddV r y
Pero el radio del disco varía respecto a su altura dentro del sólido, por eso
r x
Peso dV
2 ddV x y
54 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Entonces, el peso queda expresado por:
2 Peso V x dy
Y ahora se expresa el trabajo necesario para llenar la porción entre los conos, en
términos de diferenciales.
dW Peso distancia
dW Peso y
2 ydW x dy
Para encontrar la recta2 Y se utilizan los puntos
1 P y 2 P :
1 02
1 0
82
0
4 0
y ym
x x
2 0 2 0 ( )Y y m x x
2 0 2( 0) Y x
2 2Y x
2
2 2
Y yx
Para encontrar la recta1 Y se utilizan los puntos
3 P y 4 P :
1 01
1 0
8 02
0 4
y ym
x x
1 0 2 0 ( )Y y m x x
1 0 2( 4) Y x
1 8 2Y x
11 1
4 42 2
x Y y
55 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Ahora nos interesa encontrar el trabajo total necesario para llenar el sólido, que
intersectan los dos conos.
Para ello es necesario, encontrar los límites de integración, para lo cual, se igualan1 Y y
2 Y .
14
2 2 y
y
4y
Este resultado indica que las rectas se intersectan cuando 4y , entonces se definen
los límites de integración así.
Para2 Y : Límite Inferior 0 ; Límite Superior 4.
Para1 Y : Límite Inferior 4 ; Límite Superior 8.
Para la recta 2 Y , el diferencial de trabajo es:
2 ydW x dy
2
2
ydW ydy
3
4
ydW dy
Para la recta 1 Y , el diferencial de trabajo es:
2 ydW x dy
2
1
42
dW y ydy
Se procede a plantear las integrales.
4 8
2 2
0 4
14
2 2
yW ydy y ydy
4 8
32
0 4
16 44
yW dy y y ydy
56 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4 8
3 32
0 4
4 164 4
y y
W dy y y dy
4 8 8 8
3 32
0 4 4 4
4 164 4
y yW dy dy y dy ydy
Se resuelven las integrales, para encontrar el trabajo necesario total, para llenar el
sólido definido por la intersección de los dos conos.
128
3 W
62.4 4 . 2 67W
8364.2 W lb pie
57 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 7: (10 puntos)
Se vierte agua con 0.5 kg de sal por litro a un tanque a razón de 2 litros/min, y la
mezcla homogénea sale al mismo ritmo. Después de 10 min, se para el proceso y se
vierte agua pura a razón de 2 litros/min, con la nueva mezcla saliendo a la misma
razón. Si inicialmente había 100 litros de agua pura en el tanque, Encuentre: a) Las
ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el tanque
en función del tiempo. b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos.
Solución
Para este problema habrá dos ecuaciones, según que el tiempo sea menor o
mayor que 10 min.
Primera parte del proceso
Para 100 t
Primero se identifican las variables ( )x Cantidaddesal Kg
(min)tiempot
La ecuación diferencial para mezclas
ssee fcfcdt
dx
Se cuenta con los siguientes datos:
Condición inicial: 0t , 0x
Debido a que el tanque inicialmente tiene agua pura
LKg
ce 5.0
min2 Lfe
min2 Lf s
Y lo único que debe establecerse es la concentración de salida
( )s
Cantidad de sal Kgc
Volumen del tanque
En este problema, el tanque tiene volumen constante, porque el flujo de entrada es
igual al flujo de salida
58 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Por lo que la concentración de salida es:
100
xcs L
Kg
Regresando a la ecuación diferencial
ssee fcfcdt
dx
Se tiene la siguiente ecuación:
min2
100min25.0
L
L
KgxL
L
Kg
dt
dx
100
21
x
dt
dx
Por lo tanto, se obtiene una ecuación diferencial lineal en términos de x
150
x
dt
dx
De donde el factor de integración
tdt
eeFI 50
1
50
1
Y entonces al resolver la ecuación lineal, se tiene
dtexett
50
1
50
1
Para resolver la integral que se tiene del lado derecho, se realiza la siguiente
sustitución
tw50
1
dtdw 50
dwexe wt
5050
1
Cexe wt
5050
1
Regresando a la variable original, se tiene:
59 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Cexett
50
1
50
1
50
Por lo que al despejar la ecuación para la cantidad de sal en el tanque, se tiene:
t
Cex 50
1
50
Para encontrar el parámetro C se sabe que al inicio del proceso en el tanque había
agua pura
Por lo que, para 0t , 0x
C 500
Entonces el parámetro C es:
50C
Por lo que la Ecuación que determina la cantidad de sal en el tanque para 100 t es
la siguiente:
t
etx 50
1
5050
Se determina la cantidad de sal en el tanque a los 10 minutos del proceso
Por lo que, para 10t , ?x
10
50
1
505010
ex
063462346.9x Kg
Segunda parte del proceso
Para 10t
Nuevamente se identifican las variables ( )x Cantidaddesal Kg
(min)tiempot
La ecuación diferencial para mezclas
ssee fcfcdt
dx
60 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Se cuenta con los siguientes datos:
Condición inicial: 0t , 063462346.9x Kg
El tanque en el inicio del segundo proceso cuenta con 9.063462346 kilogramos de sal.
Además vierten agua pura por lo que la concentración de entrada aquí es cero.
También el flujo de entrada es igual al flujo de salida y nuevamente el volumen dentro
del tanque es constante.
0ec
min2 Lfe
min2 Lf s
Y lo único que debe establecerse es la concentración de salida
( )s
Cantidad de sal Kgc
Volumen del tanque
Por lo que la concentración de salida es:
100
xcs
L
Kg
Regresando a la ecuación diferencial
ssee fcfcdt
dx
Se tiene la siguiente ecuación:
min2
100min20
L
L
KgxL
L
Kg
dt
dx
Por las condiciones que se tienen en el segundo proceso la tasa de flujo de entrada se
hace cero.
100
2x
dt
dx
Al simplificar
50
x
dt
dx
Por lo tanto, se obtiene una ecuación de variables separables
61 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
dtx
dx
50
1
Al integrar de ambos lados, se obtiene
Ctx 50
1ln
Para dejar la ecuación de forma explícita, se aplica función exponencial a cada lado de
la ecuación
Ctx ee
50
1
ln
Por lo que al despejar la ecuación para la cantidad de sal en el segundo proceso en el
tanque, se tiene:
t
Cex 50
1
Para encontrar el parámetro C se sabe que al inicio del segundo proceso en el tanque
había 9.063462346 kilogramos de sal
Por lo que, para 0t , 063462346.9x
050
1
063462346.9
Ce
Entonces el parámetro C es:
063462346.9C
Por lo que la Ecuación que determina la cantidad de sal en el tanque para 10t es la
siguiente:
t
etx 50
1
063462346.9
Se determina la cantidad de sal en el tanque a los 10 minutos del inicio del segundo
proceso
Por lo que, para 10t , ?x
10
50
1
063462346.910
ex
Kgx 42053.7
62 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Respuesta:
a) Las ecuaciones que rigen este proceso para la cantidad de sal en kilogramos en el
tanque en función del tiempo son:
t
etx 50
1
5050 ; 100 t y
t
etx 50
1
063462346.9 ; 10t
b) La cantidad de sal en el tanque a los 20 minutos es de 7.42053 kilogramos
63 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 8: (10 puntos)
Dos partículas, 1 M y
2 M , se mueven a lo largo de circunferencias concéntricas de radio
R y r respectivamente. La velocidad angular de ambas partículas es igual y constante,
pero de sentido opuesto. ¿Qué figura describe el punto medio del segmento 1 2 M M ? Dé
su respuesta en coordenadas cartesianas.
Solución
El movimiento de las partículas se muestra en la figura. Las particulas se mueven en
sentidos opuestos.
Se supone que las circunferencias están centradas en el origen de un sistema de
coordenadas cartesiano.
Sea 𝜔 la velocidad angular de las partículas.
Para 1 M :
Las coordenadas cartesianas 1 1( , )x y del punto están dadas por las ecuaciones
paraméticas
1 cosx R t
1 y Rsen t
Para 2 M :
Las coordenadas cartesianas 2 2( , )x y del punto están dadas por las ecuaciones
paramétricas
2 x rcos t
2 y rsen t
64 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
el signo negativo de la coordenada 𝑦 indica que la particula 2 se mueve en sentido
opuesto a la partícula 1.
Para M (el punto medio):
Las coordenadas cartesianas ( , )x y del punto medio están dadas por las ecuaciones
1
2 x Rcos t rcos t
1cos
2 x t R r
1
2 y Rsen t rsen t
1
2 y sen t R r
Al despejar las funciones trigonométricas de las ecuaciones anteriores se obtiene
2
cosx
tR r
2y
sen tR r
A partir de la identidad pitagórica y las ecuaciones anteriores se obtiene
22 2
2
1yx
R r R r
Luego se simplificar se obtiene
22
2 21
2 2
yx
R r R r
Por lo tanto, el punto medio describe una elipse centrada en el origen.
En este enlace se puede ver como se forma la elipse
https://www.geogebra.org/m/ryamz8wh
65 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 9: (10 puntos)
Exprese la integral dada en coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas y
esféricas. Grafique la región que representa la integral.
2 2 2
2 2 2
2 4 8
2 4
x x y
x x y
dzdydx
Solución
Coordenadas cilíndricas
22 2 8
0 0
r
r
rdzdrd
Coordenadas esféricas
2 824
0 0 0
sen d d d
y
x
z
S1
Cono
S2
Esfera
66 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 10: (10 puntos)
Verifique el teorema de la divergencia de Gauss al calcular el flujo hacia el exterior del
campo F k , a través del sólido limitado por 2 2z x y & 4z .
Solución
La siguiente figura muestra el paraboloide acotado por el plano, así como las dos
superficies a considerar
4z
Verificar que el teorema de la Divergencia de Gauss
S V
d dV F S F
La figura muestra en forma aproximada la región acotada por paraboloide y el
plano, se tomará un flujo orientado hacia afuera.
2 2z x y
y
x
z
F
S1
S2
67 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
a. Calculando la integral de superficie se tiene que
1 2S S S
d d d F S F S F S
Para 1S 2 2z x y
1 1S S
d dS F S F n
Entonces
1
2 2
0 0
2
0
2 22 2
2
4
S R
R
dydxd x y
x y
dydx
rd dr
rdr
F S k i j ki j k k
Para 2S 4z región 2 20 4x y
2
2 2
0 0
( ) ( )
4
S R
R
dydxd
dydx
rdrd
F S k kk k
68 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Finalmente
1 2
4 4 0
S S S
d d d
F S F S F S
b. Aplicando el teorema de la divergencia y calculando la integral triple en
coordenadas cilíndricas se tiene
(0) (0) (1) 0x y z
F
0
0
V V
dV dV
F
Por lo tanto, se verifica el teorema de la divergencia:
S V
d dV F S F
69 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.2 FÍSICA
DECIMOTERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Uno de los juegos más solicitados por los niños en la feria es el llamado “Bungee” el
cual consiste en dos cables elásticos con un arnés de seguridad que sujeta a los niños
por la cintura que le permite oscilar verticalmente.
Si puede modelar los cables como dos resortes con constantes K1 y K2,de los cuales
cuelga un niño de 30.0 kg , y al estirarlos 2.00m y liberarlo, la rapidez máxima es de
6. 26 m/s y la constante de uno de los resortes es K1 = 100 N/m. Determine:
a) La constante K2
b) El período de oscilación
c) Magnitud de la aceleración máxima
70 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Si los cables no se encuentran conectados uno al lado del otro sino uno seguido del
otro, determine
d) Período de oscilación
e) Rapidez máxima
f) Magnitud de aceleración máxima
Problema 2: (25 puntos)
Dos discos uniformes idénticos de masa
𝑀 = 0.5 𝑘𝑔 y de radio 𝑅 = 5 𝑐𝑚se encuentran
sobre una superficie horizontal sin fricción. El
primer disco se mueve con una velocidad
angular 𝜔0 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en el sentido que se
observa en la figura adjunta y con una
velocidad del centro de masas 𝑣0 = 0.5 𝑚/𝑠, e
instantáneamente su borde P se dirige en línea
recta al borde Q del segundo disco que se
encuentra en reposo sobre la superficie
horizontal. Cuando colisiona el borde del primer
disco que hace contacto con el segundo queda
adherido totalmente al mismo.
Calcule:
a) La velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.
b) La velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.
c) La pérdida de energía del sistema.
Problema 3: (25 puntos)
En una fábrica hay un contenedor con un fluido altamente denso (su gravedad
específica s =7.5), como se muestra en la figura. El contenedor se conecta a dos tubos
en forma de U los cuales uno se encuentra abierto al exterior (el que contiene el fluido
altamente denso) y el otro se encuentra cerrado en el extremo (el que contiene
mercurio). El contenedor es cerrado y por encima del nivel de la glicerina existe una
mezcla de aire y vapor cuyas presiones manométricas son 200 mbar (para el aire) y
160 mbar (para el vapor). También sobre el contenedor existe un manómetro que
indica la presión interna que hay dentro del contenedor. (Considere 1 mbar = 100 Pa)
Con esta información calcule lo siguiente:
a) Indique la lectura en el manómetro que se encuentra en la parte superior del
contenedor, (en Pa).
b) Calcule la distancia X entre el nivel del fluido y el menisco del tubo abierto.
Se sabe que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es
de 0.5 atm. (Considere 1 atm=1.01x105 Pa y la densidad relativa del mercurio es
13.6)
c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio.
71 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
Una empresa dedicada a la fabricación de lubricantes industriales, ha tenido
problemas en sus procesos de manufactura debido a grandes pedidos. En un proceso de
llenado de recipientes se tiene una pequeña falla por parte del operario y se depositan
en un contenedor, dos lubricantes que se comportan como líquidos inmiscibles, pero
debido al movimiento se deja cerrado a una presión manométrica de 105kPa.
Conforme el tiempo, el operario se acerca a supervisar el incidente, pero en ese
momento observa que se activa el dispositivo de seguridad en la parte inferior debido a
la gran cantidad de presión dentro del contenedor, lo que produce el movimiento de los
mismos liberando uno de ellos al sistema de tuberías de desecho en forma espiral,
como muestra la figura, para su pronto desecho por contaminación. El punto que
indica el exceso de líquido y activa el sistema de desecho, posee un área transversal A1
mientras que la parte inferior del sistema de tuberías donde se encuentra un
barómetro posee un cuarto del área transversal del punto de liberación, debido a eso se
produce una variación de la presión que es medida por parte del barómetro dando una
lectura de altura de 5.5m y produciendo una rapidez en ese punto de 25.0 m/s.
Durante el proceso de desecho se determinó la siguiente información: el líquido A
posee una densidad de 1,350kg/m3 y una altura dentro del contenedor de 5.0m, el
líquido B posee una densidad de 1500 kg/m3 y una altura de 10m. Si se sabe que el
h
Y
X
Fluido
Mercurio (Hg)
Vapor de Hg
Aire + Vapor
Manómetro
72 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5.5m
h1
A2
A1
líquido que se libera dentro del sistema de desecho es continuo durante ese proceso
(tomar presión de la atmosfera de 101,325 Pa). Determinar:
a. La presión manométrica en la parte de liberación del contenedor en KPa antes
de iniciar el movimiento.
b. La rapidez con la que es liberado el líquido en el punto 1 de la liberación de la
tubería.
c. La presión manométrica que marca el barómetro durante el proceso en Pa.
d. La altura h1 donde se encuentra el punto de liberación con respecto al punto
más bajo del sistema de tubería de desecho.
73 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (25 puntos)
Uno de los juegos más solicitados por los niños en la feria es el llamado “Bungee” el
cual consiste en dos cables elásticos con un arnés de seguridad que sujeta a los niños
por la cintura que le permite oscilar verticalmente.
Si puede modelar los cables como dos resortes con constantes K1 y K2,de los cuales
cuelga un niño de 30.0 kg , y al estirarlos 2.00m y liberarlo, la rapidez máxima es de
6. 26 m/s y la constante de uno de los resortes es K1 = 100 N/m. Determine:
a) La constante K2
b) El período de oscilación
c) Magnitud de la aceleración máxima
Si los cables no se encuentran conectados uno al lado del otro sino uno seguido del
otro, determine
d) Período de oscilación
e) Rapidez máxima
f) Magnitud de aceleración máxima
Solución
a) La frecuencia angular puede ser calculada como
𝜔 =6.26
𝑚
𝑠
2.00𝑚 = 3.13
𝑟𝑎𝑑
𝑠
74 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Como 𝜔 = √𝐾
𝑚 , entonces 𝑘 = 𝜔2𝑚, por lo que
𝑘 = (3.13𝑟𝑎𝑑
𝑠)2
(30.0𝑘𝑔) = 𝟐𝟗𝟒𝑵
𝒎= 𝒌𝒆𝒒𝒖
El valor obtenido representa la constante equivalente del sistema.
Como los resortes se encuentran en paralelo
𝑘𝑒𝑞𝑢 = 𝑘1 + 𝑘2
Por lo que 𝑘2 = 𝑘𝑒𝑞𝑢 − 𝑘1 = 194 𝑁/𝑚
b) El período de oscilación está dado por
𝑇 =2𝜋
𝜔 𝑇 =
2𝜋
3.13 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑻 = 𝟐. 𝟎𝟏 𝒔
c) La magnitud de la aceleración máxima puede calcularse como
𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝑥𝑚𝑎𝑥 = (3.13𝑟𝑎𝑑
𝑠)2
(2.00𝑚)
𝒂𝐦𝐚𝐱 =𝟏𝟗. 𝟔 𝒎/𝒔𝟐
d) Se modela como resortes en serie
𝑘𝑒𝑞𝑢 = 1(1
𝑘1+
1
𝑘2)⁄
Kequ = 1
1
100𝑁/𝑚+
1
194𝑁/𝑚
= 𝑲𝒆𝒒𝒖 = 𝟔𝟔. 𝟎 𝑵/𝒎
75 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Dado que:
𝜔 = √𝑘𝑒𝑞𝑢
𝑚= √
66.0 𝑁/𝑚
30.0𝑘𝑔 = 1.48 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑻 =𝟐𝝅
𝟏. 𝟒𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔= 𝟒. 𝟐𝟒 𝒔
e) 𝑉𝑚𝑎𝑥 = (1.48 rad/s)(2.00m) = 2.96 m/s
f) 𝑎𝑚𝑎𝑥 = (1.48 rad/s)2(2.00m) = 4.38 m/s2
76 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (25 puntos)
Dos discos uniformes idénticos de masa
𝑀 = 0.5 𝑘𝑔 y de radio 𝑅 = 5 𝑐𝑚se encuentran
sobre una superficie horizontal sin fricción. El
primer disco se mueve con una velocidad
angular 𝜔0 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en el sentido que se
observa en la figura adjunta y con una
velocidad del centro de masas 𝑣0 = 0.5 𝑚/𝑠, e
instantáneamente su borde P se dirige en línea
recta al borde Q del segundo disco que se
encuentra en reposo sobre la superficie
horizontal. Cuando colisiona el borde del primer
disco que hace contacto con el segundo queda
adherido totalmente al mismo.
Calcule:
a) La velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.
b) La velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.
c) La pérdida de energía del sistema.
Solución
a) Calculo de la velocidad angular de ambos discos luego de colisionar.
En esta colisión el momentum angular debe conservarse. Calculamos la inercia
rotacional del disco:
𝐼 =1
2𝑀𝑅2 =
1
2(0.5 𝑘𝑔)(. 05𝑚)2 = 6.25 ∙ 10−4 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2
Calculamos el momentum angular del disco respecto a Q, obtenemos:
𝐿0 = −𝐼𝜔0 +𝑀𝑣0𝑅 = 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
Por lo que cuando calculamos la velocidad angular de ambos discos luego de la
colisión:
𝐿𝑓 = 𝐿0 = 𝐼𝑇𝜔𝑓 = 0 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2/𝑠
No se hace necesario calcular la inercia y se concluye que:
𝜔𝑓 = 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠
77 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
b) Calculo de la velocidad final del sistema formado por los dos discos unidos.
El momentum lineal de los discos se conserva. La colisión es inelástica.
𝑃0 = 𝑃𝑓
𝑀𝑣0 = (𝑀 +𝑀)𝑣𝑓
𝑣𝑓 =1
2𝑣0 = 0.25 𝑚/𝑠
c) La pérdida de energía del sistema.
La energía cinética inicial del sistema es, asociada solo al primer disco:
𝐾0 =1
2𝐼𝜔0
2 +1
2𝑀𝑣0
2
𝐾0 =1
2(6.25 ∙ 10−4 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2) (20
𝑟𝑎𝑑
𝑠)2
+1
2(0.5 𝑘𝑔) (0.5
𝑚
𝑠)2
= 0.18750 𝐽
La energía cinética final del sistema, asociada a los discos unidos trasladándose
sin rotar:
𝐾𝑓 =1
2(2𝑀)𝑣𝑓
2 =1
2(1𝑘𝑔)(0.25 𝑚/𝑠)2 = 0.03125 𝐽
Por lo que la pérdida de energía cinética está dada por:
∆𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾0 = −0.15625 𝐽
78 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
En una fábrica hay un contenedor con un fluido altamente denso (su gravedad
específica s =7.5), como se muestra en la figura. El contenedor se conecta a dos tubos
en forma de U los cuales uno se encuentra abierto al exterior (el que contiene el fluido
altamente denso) y el otro se encuentra cerrado en el extremo (el que contiene
mercurio). El contenedor es cerrado y por encima del nivel de la glicerina existe una
mezcla de aire y vapor cuyas presiones manométricas son 200 mbar (para el aire) y
160 mbar (para el vapor). También sobre el contenedor existe un manómetro que
indica la presión interna que hay dentro del contenedor. (Considere 1 mbar = 100 Pa)
Con esta información calcule lo siguiente:
a) Indique la lectura en el manómetro que se encuentra en la parte superior del
contenedor, (en Pa).
b) Calcule la distancia X entre el nivel del fluido y el menisco del tubo abierto.
Se sabe que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es
de 0.5 atm. (Considere 1 atm=1.01x105 Pa y la densidad relativa del mercurio es
13.6)
c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio.
h
Y
X
Fluido
Mercurio (Hg)
Vapor de
Hg
Aire + Vapor
Manómetro
79 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Solución
a) Lectura en el manómetro:
El manómetro lee la presión del gas en donde se encuentra colocado, por lo que:
𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒+ 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
𝑃𝑚𝑎𝑛 = 200 𝑚𝑏𝑎𝑟 + 160 𝑚𝑏𝑎𝑟
𝑃𝑚𝑎𝑛 = 360 𝑚𝑏𝑎𝑟 = 36 𝑘𝑃𝑎
b) Distancia X:
Si se coloca un nivel de referencia en la interfase del fluido denso y el vapor, es
igual a la de la columna de tamaño X del tubo abierto:
𝑃𝑎𝑏𝑠1 = 𝑃𝑎𝑏𝑠2
𝑃𝑎𝑡𝑚+ 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐹𝑔𝑋
𝑋 = 𝑃𝑚𝑎𝑛/𝜌𝐹𝑔 = (36𝑘𝑃𝑎)/(7.5 ∙ 103𝑘𝑔/𝑚3 × 9.8𝑚/𝑠2)
𝑋 = 0.49 𝑚
c) Calcule la altura h que marca el tubo en U que se ha llenado con mercurio:
Sabiendo que Y mide 0.5 m, y que la presión manométrica del vapor de mercurio es
de 0.5 atm. La presión en el tubo en U, en la interfase del fluido denso y del
mercurio y en el punto a la misma altura en la otra rama del tubo U es la misma,
obtenemos:
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝐹𝑔(𝑋 + 𝑌 + ℎ) = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝐻𝑔 + 𝜌ℎ𝑔𝑔ℎ
ℎ =𝜌𝐹𝑔(𝑋 + 𝑌) − 𝑃𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟𝐻𝑔
(𝜌ℎ𝑔 − 𝜌𝐹)𝑔
ℎ = 0.37𝑚
80 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5.5m
h1
A2
A1
Problema 4: (25 puntos)
Una empresa dedicada a la fabricación de lubricantes industriales, ha tenido
problemas en sus procesos de manufactura debido a grandes pedidos. En un proceso de
llenado de recipientes se tiene una pequeña falla por parte del operario y se depositan
en un contenedor, dos lubricantes que se comportan como líquidos inmiscibles, pero
debido al movimiento se deja cerrado a una presión manométrica de 105kPa.
Conforme el tiempo, el operario se acerca a supervisar el incidente, pero en ese
momento observa que se activa el dispositivo de seguridad en la parte inferior debido a
la gran cantidad de presión dentro del contenedor, lo que produce el movimiento de los
mismos liberando uno de ellos al sistema de tuberías de desecho en forma espiral,
como muestra la figura, para su pronto desecho por contaminación. El punto que
indica el exceso de líquido y activa el sistema de desecho, posee un área transversal A1
mientras que la parte inferior del sistema de tuberías donde se encuentra un
barómetro posee un cuarto del área transversal del punto de liberación, debido a eso se
produce una variación de la presión que es medida por parte del barómetro dando una
lectura de altura de 5.5m y produciendo una rapidez en ese punto de 25.0 m/s.
Durante el proceso de desecho se determinó la siguiente información: el líquido A
posee una densidad de 1,350kg/m3 y una altura dentro del contenedor de 5.0m, el
líquido B posee una densidad de 1500 kg/m3 y una altura de 10m. Si se sabe que el
líquido que se libera dentro del sistema de desecho es continuo durante ese proceso
(tomar presión de la atmosfera de 101,325 Pa). Determinar:
a. La presión manométrica en la parte de liberación del contenedor en KPa antes
de iniciar el movimiento.
b. La rapidez con la que es liberado el líquido en el punto 1 de la liberación de la
tubería.
c. La presión manométrica que marca el barómetro durante el proceso en Pa.
d. La altura h1 donde se encuentra el punto de liberación con respecto al punto
más bajo del sistema de tubería de desecho.
81 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Solución
a) Determinación de la presión manométrica del punto 1 (punto de liberación al
sistema de desecho)
Debido al principio de densidades el líquido más denso es el líquido que se libera
al sistema de desechos, por lo cual el cálculo de columnas de líquido es de la
siguiente forma:
𝑃1 = 𝜌𝐵𝑔ℎ𝐵 + 𝜌𝐴𝑔ℎ𝐴 + 𝑃𝑠𝑢𝑝
𝑃1𝑚𝑎𝑛 = (1,500)(9.8)(10) + (1,350)(9.8)(5) + 105𝑥103
𝑃1𝑚𝑎𝑛 = 318,150 𝑃𝑎 ≈ 318.15 𝐾𝑃𝑎
b) Calculo de la rapidez dentro del sistema de tubería en el punto de desecho.
Debido a que es un fluido continuo durante el proceso de descarga el líquido B se
aplica continuidad entre los puntos 1 y 2 sabiendo las condiciones de cada
punto.
𝑄1 = 𝑄2
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
𝐴1𝑣1 = 𝐴14𝑣2
𝑣1 =25
4𝑚
𝑠⁄ ≈ 6.25 𝑚 𝑠⁄
c) Cálculo de la presión del barómetro debido a que el sistema se encuentra libre a la
atmosfera se plantea que la presión que se encuentra dentro del sistema de tubería
de desecho es igual a la presión de columna de líquido B.
Presión manométrica únicamente incluye los efectos de columnas de líquido
𝑃2𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝐵𝑔𝑌 = (1500)(9.8)(5.5) = 80,850 𝑃𝑎
d) Calculo de altura del inicio del sistema de tubería de desecho
Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 debido a que en el cálculo final lo
que importa es la diferencia de presiones, se pueden emplear las presiones
manométricas, se tomara nivel de referencia en el punto más bajo del sistema
𝑃1𝑚𝑎𝑛 + 𝜌𝐵𝑔ℎ1 + 1
2𝜌𝐵𝑣1
2 = 𝑃2𝑚𝑎𝑛 + 𝜌𝐵𝑔ℎ2 + 1
2𝜌𝐵𝑣2
2
82 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝜌𝐵𝑔ℎ1 = 𝑃2𝑚𝑎𝑛 − 𝑃1𝑚𝑎𝑛 + 1
2𝜌𝐵𝑣2
2 − 1
2𝜌𝐵𝑣1
2
𝜌𝐵𝑔ℎ1 = 𝑃2 − 𝑃1 + 1
2𝜌𝐵(𝑣2
2 − 𝑣12)
ℎ1 =𝑃2 − 𝑃1 +
1
2𝜌𝐵(𝑣2
2 − 𝑣12)
𝜌𝐵𝑔= 13.75 𝑚
83 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DECIMOTERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA
EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos
correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.
Problema 1: (25 puntos)
Dos líneas de carga poseen la misma densidad de
carga 𝜆 = +5 𝜇𝐶/𝑚. Están colocadas
paralelamente y separadas una distancia
2𝑅 = 10 𝑐𝑚. Una pequeña partícula de masa
𝑚 = 1 𝑔, y de carga 𝑞 = −1 𝜇𝐶, se encuentra
colocada el eje 𝑦, en plano perpendicular al plano
sobre el cual se encuentran las líneas de carga.
Dicho eje y, biseca a la línea que une a las dos
líneas de carga como se observa en la figura
adjunta.
Calcule:
a) La ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se encuentra
muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.
b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del
punto medio entre las líneas de carga.
c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las
líneas de carga, para que alcance el reposo en el punto P localizado a una
distancia 𝑦 = 𝑅 de O.
Problema 2: (25 puntos)
En el circuito que se muestra en la figura adjunta,
ambos capacitores se encuentran descargados. En
el tiempo 𝑡 = 0 𝑠, el interruptor se conecta al
punto a. Calcule:
a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1
cuando han transcurrido tres constantes de
tiempo en el proceso de carga.
b) El tiempo para el cual la energía
almacenada en el capacitor 𝐶1 es la mitad
84 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
del total que puede almacenar si tarda
conectado mucho tiempo.
Después de que el capacitor 𝐶1, se cargó completamente, el interruptor se conmuta
al punto b, bajo esta condición, calcule:
c) Cuánta energía hay almacenada en el capacitor 𝐶2, después de un tiempo
suficientemente grande después de la conmutación.
Para los cálculos tome 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2 = 1 𝜇𝐹, 𝑅 = 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 1 𝑘Ω y 𝑉𝑜 = 5 𝑉
Problema 3: (25 puntos)
La figura muestra a dos espiras de alambre de
una sola vuelta que tienen el mismo eje. La
espira pequeña está por encima de la grande a
una distancia 𝑥 que es grande, comparada con el
radio de la espira mayor 𝑅. Por lo tanto con la
corriente 𝐼 indicada en la espira grande, el
campo magnético producido por ésta es
prácticamente constante en la región delimitada
por la superficie de la espira pequeña.
a) Calcule el campo magnético producido por la espira grande a una distancia “x”
de su centro, sobre el eje “x”.
b) Calcule el flujo magnético a través de la espira pequeña.
c) Considérese que la espira pequeña, se mueve con velocidad constante 𝑣 en
sentido del eje de “x” positivo. Calcule la fem inducida en la espira pequeña.
d) En relación con el inciso anterior, indique la dirección de la corriente inducida
en la espira pequeña.
Problema 4: (25 puntos)
Si se selecciona una unión PN entre dos mitades de una barra semiconductora, que se
extiende en la dirección 𝑥. Se supondrá que la región para 𝑥 < 0 impurezas que la
hacen tipo P y que la región para 𝑥 ≥ 0 es de tipo N. El grado o concentración de
impurezas es idéntico en cada lado de la unión.
Si la distribución de carga se define como:
𝜌𝑣 = 2𝜌𝑣𝑜 sech (𝑥
𝑎) tanh (
𝑥
𝑎)
Donde la carga máxima 𝜌𝑣,max = 𝜌𝑣𝑜
A medida que 𝑥 → ±∞ el Campo eléctrico se aproxima a cero y el potencial cero en el
centro de la unión 𝑥 = 0. La ecuación que gobierna el comportamiento del potencial
85 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
cuando se conoce la distribución de carga es la ecuación de Poisson, la cual está dada
por:
∇2𝑉 =𝑑2𝑉
𝑑𝑥2+𝑑2𝑉
𝑑𝑦2+𝑑2𝑉
𝑑𝑧2= −
𝜌𝑣𝜖
El caso que se plantea es en una dimensión, por lo que la solución está dada por 𝑉(𝑥). Calcular:
a) El Campo Eléctrico y
b) El Potencial Eléctrico para la unión PN, con la densidad de carga dada.
86 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Problema 1: (25 puntos)
Dos líneas de carga poseen la misma densidad de
carga 𝜆 = +5 𝜇𝐶/𝑚. Están colocadas
paralelamente y separadas una distancia
2𝑅 = 10 𝑐𝑚. Una pequeña partícula de masa
𝑚 = 1 𝑔, y de carga 𝑞 = −1 𝜇𝐶, se encuentra
colocada el eje 𝑦, en plano perpendicular al plano
sobre el cual se encuentran las líneas de carga.
Dicho eje y, biseca a la línea que une a las dos
líneas de carga como se observa en la figura
adjunta.
Calcule:
a) La ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se encuentra
muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.
b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del
punto medio entre las líneas de carga.
c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las
líneas de carga, para que alcance el reposo en el punto P localizado a una
distancia 𝑦 = 𝑅 de O.
Solución
a) Se calculará la ecuación que describe el movimiento de la partícula cuando se
encuentra muy cerca al punto medio entre las dos líneas de carga.
En primer lugar el campo eléctrico para una línea de carga, está dado por:
𝐸 =𝜆
2𝜋𝜀0𝑟
Y la fuerza resultante sobre la carga, está dada por:
𝐹𝑦 = 2𝐹𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑞𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2𝑞(𝜆
2𝜋𝜀0𝑟)𝑠𝑒𝑛𝜃
El ángulo 𝜃, es pequeño por lo que 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃 ≅ 𝑦/𝑅, además 𝑟 ≅ 𝑅. Por lo tanto
de la segunda ley de Newton:
𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 = −(𝑞𝜆
𝜋𝜀0𝑅)1
𝑅𝑦 = −𝜅𝑦
87 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Reescribiendo: 𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ [
𝑞𝜆
𝜋𝜀0𝑚𝑅2] 𝑦 = 0
Es la ecuación de movimiento de la partícula.
b) El período de pequeñas oscilaciones de la partícula localizada cerca del punto
medio entre las líneas de carga, se obtiene a partir de la ecuación de
movimiento:
𝜔 = √[𝑞𝜆
𝜋𝜀0𝑚𝑅2] =
2𝜋
𝑇
Por lo que
𝑇 = 2𝜋√[ 𝜋𝜀0𝑚𝑅2
𝑞𝜆] = 2𝜋√
1 ∙ 10−3 × (0.05)2
4(9 ∙ 10−9)(1 ∙ 10−6)(5 ∙ 10−6)𝑠 = 23.41 𝑚𝑠
c) La velocidad de la partícula cuando pasa por el punto medio entre las líneas de
carga, para que alcance el reposo cuando se mueve hasta una distancia 𝑦 = 𝑅, se
puede calcular utilizando conservación de la energía y tomando en cuenta que el
potencial en un punto producido por una línea de carga se puede calcular de la
siguiente manera:
∆𝑉 = −∫ 𝐸(𝑟)𝑑𝑟 = −∫𝜆
2𝜋𝜀0𝑟𝑑𝑟
𝑟
𝑎
𝑟
𝑎
Es importante observar que el potencial es una función 𝑉(𝑟), la cual si se toma
𝑉(𝑎) = 0 𝑉, queda determinada de la siguiente forma:
∆𝑉 = 𝑉(𝑟) − 𝑉(𝑎) = −𝜆
2𝜋𝜀0ln (𝑟/𝑎) 𝑟 ≥ 𝑎
𝑉(𝑟) = −𝜆
2𝜋𝜀0ln (𝑟/𝑎)
Considerando el punto P y el punto Q y aplicando conservación de la energía
obtenemos:
(0 −1
2𝑚𝑣2) + 𝑞(𝑉𝑄 − 𝑉𝑃) = 0
88 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝑉𝑄 − 𝑉𝑃 = (−𝜆
𝜋𝜀0ln (
√2𝑅
𝑎)) − (−
𝜆
𝜋𝜀0ln (
𝑅
𝑎)) = −
𝜆
𝜋𝜀0ln(√2)
Por lo que la velocidad se calcula de la siguiente manera:
𝑣 = √2𝑞
𝑚(−
𝜆
𝜋𝜀0ln(√2)
𝑣 = √2(−1 ∙ 10−6)
(1 ∙ 10−3)(−4(9 ∙ 109)(5 ∙ 10−6) ln(√2))𝑚/𝑠
𝑣 = 11.17 𝑚/𝑠
89 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2: (25 puntos)
En el circuito que se muestra en la figura adjunta,
ambos capacitores se encuentran descargados. En
el tiempo 𝑡 = 0 𝑠, el interruptor se conecta al
punto a. Calcule:
a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1
cuando han transcurrido tres constantes de
tiempo en el proceso de carga.
b) El tiempo para el cual la energía
almacenada en el capacitor 𝐶1 es la mitad
del total que puede almacenar si tarda
conectado mucho tiempo.
Después de que el capacitor 𝐶1, se cargó completamente, el interruptor se conmuta
al punto b, bajo esta condición, calcule:
c) Cuánta energía hay almacenada en el capacitor 𝐶2, después de un tiempo
suficientemente grande después de la conmutación.
Para los cálculos tome 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2 = 1 𝜇𝐹, 𝑅 = 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 1 𝑘Ω y 𝑉𝑜 = 5 𝑉
Solución
a) El valor del voltaje en el capacitor 𝐶1 cuando han transcurrido tres constantes
de tiempo en el proceso de carga, se calcula de la siguiente manera:
De la ley de voltajes de Kirchoff, se obtiene la ecuación,
−𝑉 + 𝑖(2𝑅) + 𝑞/𝐶 = 0
Cuya solución es:
𝑖(𝑡) = (𝑉0/2𝑅)exp (−𝑡/(2𝑅𝐶)) 𝑦 𝑣𝐶(𝑡) = 𝑉0(1 − exp (−𝑡/(2𝑅𝐶))
La constante de tiempo del circuito es 𝜏 = 2𝑅𝐶, por lo que:
𝑣𝐶 = 𝑉0(1 − exp(−3)) = 4.75 𝑉
b) El tiempo para el cual la energía almacenada en el capacitor 𝐶1sea la mitad del
total que puede almacenar si tarda conectado mucho tiempo, se calcula:
1
2(1
2 𝐶(𝑉0)
2) =1
2 𝐶(𝑣𝐶(𝑡))
2=1
2 𝐶(𝑉0(1 − exp (−𝑡/(2𝑅𝐶))2
𝑡 = −2𝑅𝐶 ln (1 −√2
2) = 2.46 𝑚𝑠
90 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c) Cuánta energía hay almacenada en el capacitor 𝐶2, después de un tiempo
suficientemente grande luego de la conmutación
Dado que los capacitores son iguales, la carga se distribuye de manera idéntica,
𝑞2(+∞) = 𝐶𝑉0/2
𝑈𝑓 =1
2𝐶(𝑞2(+∞))
2=
1
2𝐶(𝐶𝑉0/2)
2 =1
4(1
2 𝐶(𝑉0)
2)
𝑈𝑓 =1
4𝑈𝑇 =
1
4(12.5𝜇𝐽) = 3.12𝜇𝐽
91 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3: (25 puntos)
La figura muestra a dos espiras de alambre de
una sola vuelta que tienen el mismo eje. La
espira pequeña está por encima de la grande a
una distancia 𝑥 que es grande, comparada con el
radio de la espira mayor 𝑅. Por lo tanto con la
corriente 𝐼 indicada en la espira grande, el
campo magnético producido por ésta es
prácticamente constante en la región delimitada
por la superficie de la espira pequeña.
a) Calcule el campo magnético producido por la espira grande a una distancia “x”
de su centro, sobre el eje “x”.
b) Calcule el flujo magnético a través de la espira pequeña.
c) Considérese que la espira pequeña, se mueve con velocidad constante 𝑣 en
sentido del eje de “x” positivo. Calcule la fem inducida en la espira pequeña.
d) En relación con el inciso anterior, indique la dirección de la corriente inducida
en la espira pequeña.
Solución
a) Utilizando la Ley de Biot-Savart, calcularemos el campo producido por la espira
grande en un punto ubicado a una distancia “x” de su centro:
𝑑�⃗� =𝜇04𝜋
𝐼𝑑𝑙 × �̂�
𝑟2
92 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
En la figura se observa que al tomar un diferencial de espira de longitud 𝑑𝑠, que
transporta una corriente 𝐼, produce un diferencial de campo magnético 𝑑𝐵, y por la
simetría la componente resultante del campo solamente tiene componentes en el eje
“𝑥” dado por:
𝑑𝐵 =𝜇04𝜋
𝐼𝑑𝑠 sin 𝜃
𝑟2
En donde, 𝑟 es la distancia del diferencial de espira al punto donde se quiere calcular
el campo magnético
𝑟 = √𝑅2 + 𝑥2𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜑 y sin 𝜃 =𝑅
𝑟=
𝑅
√𝑅2+𝑥2;
por lo que:
𝑑𝐵 =𝜇04𝜋
𝐼𝑅𝑑𝜑 sin 𝜃
𝑟2=
𝜇04𝜋
𝐼𝑅2𝑑𝜑
(𝑅2 + 𝑥2)3
2
Entonces el campo magnético resultante a una distancia “x”, es:
�⃗� = ∫𝜇04𝜋
𝐼𝑅2𝑑𝜑
(𝑅2 + 𝑥2)3
2
2𝜋
0
=𝜇0𝐼𝑅
2
2(𝑅2 + 𝑥2)3
2
𝑖̂
Si se considera que la distancia 𝑥 es grande comparada con 𝑅, entonces:
�⃗� =𝜇0𝐼𝑅
2
2𝑥3𝑖̂
b) Por lo que se indica en el problema el campo magnético a una distancia x es
prácticamente el mismo en la región delimitada por la superficie de la espira pequeña,
por lo tanto el flujo magnético es:
𝜙𝐵 = �⃗� ∙ 𝐴 = 𝐵𝐴 cos 0° = 𝐵𝐴 =𝜇0𝐼𝑅
2
2𝑥3∗ 𝜋𝑎2
c) La fem inducida en la espira pequeña cuando ésta se mueve con velocidad constante
en dirección del eje “x” positivo es:
𝜀𝑖𝑛𝑑 = −𝑁𝑑𝜙𝐵
𝑑𝑡= −(−
3𝜇0𝜋𝑎2𝐼𝑅2
2𝑥4𝑑𝑥
𝑑𝑡) =
3𝜇0𝜋𝑎2𝐼𝑅2
2𝑥4𝑣
d) E l sentido de la corriente inducida es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
93 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4: (25 puntos)
Si se selecciona una unión PN entre dos mitades de una barra semiconductora, que se
extiende en la dirección 𝑥. Se supondrá que la región para 𝑥 < 0 impurezas que la
hacen tipo P y que la región para 𝑥 ≥ 0 es de tipo N. El grado o concentración de
impurezas es idéntico en cada lado de la unión.
Si la distribución de carga se define como:
𝜌𝑣 = 2𝜌𝑣𝑜 sech (𝑥
𝑎) tanh (
𝑥
𝑎)
Donde la carga máxima 𝜌𝑣,max = 𝜌𝑣𝑜
A medida que 𝑥 → ±∞ el Campo eléctrico se aproxima a cero y el potencial cero en el
centro de la unión 𝑥 = 0. La ecuación que gobierna el comportamiento del potencial
cuando se conoce la distribución de carga es la ecuación de Poisson, la cual está dada
por:
∇2𝑉 =𝑑2𝑉
𝑑𝑥2+𝑑2𝑉
𝑑𝑦2+𝑑2𝑉
𝑑𝑧2= −
𝜌𝑣𝜖
El caso que se plantea es en una dimensión, por lo que la solución está dada por 𝑉(𝑥). Calcular:
a) El Campo Eléctrico y
b) El Potencial Eléctrico para la unión PN, con la densidad de carga dada.
Solución
a) Calculo del Campo Eléctrico.
Sujeta a la distribución de carga 𝜌𝑣
𝑑2𝑉
𝑑𝑥2= −
2𝜌𝑣𝑜𝜖
sech (𝑥
𝑎) tanh (
𝑥
𝑎)
Integrando una vez se tiene
𝑑𝑉
𝑑𝑥=2𝜌𝑣𝑜𝑎
𝜖sech (
𝑥
𝑎) + 𝐶
Ahora se obtiene la intensidad de campo eléctrico
𝐸𝑥 = −𝑑𝑉
𝑑𝑥= −
2𝜌𝑣𝑜𝑎
𝜖sech (
𝑥
𝑎) + 𝐶
Aplicando condiciones iniciales para determinar la constante, que en este caso
es 𝐶 = 0
94 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝐸𝑥 = −2𝜌𝑣𝑜𝑎
𝜖sech (
𝑥
𝑎)
b) Calculo del Potencial Eléctrico para la unión PN
Integrando nuevamente,
𝑉 =4𝜌𝑣𝑜𝑎
2
𝜖tan−1 𝑒(
𝑥
𝑎) + 𝐶
Aplicando condiciones iniciales,
0 =4𝜌𝑣𝑜𝑎
2
𝜖
𝜋
4+ 𝐶
Y finalmente se tiene que:
𝑉 =4𝜌𝑣𝑜𝑎
2
𝜖(tan−1 𝑒(
𝑥
𝑎) −
𝜋
4)
95 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.3 QUÍMICA
DECIMOTERCERA
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I
INSTRUCCIONES:
A continuación, se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y
valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo
de la prueba es de 120 minutos.
PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)
Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.
Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte
de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. De los siguientes, ¿Cuál es una propiedad extensiva?
a. Densidad
b. Temperatura
c. Temperatura de fusión
d. Masa
e. Temperatura de ebullición
2. Un objeto se hunde en un líquido si la densidad del objeto es mayor a la del
líquido. Si la masa de una esfera es de 9,83 g, la esfera se hundirá en una muestra
de mercurio (densidad del mercurio en su tabla periódica) cuando el volumen de
esta esfera es menor de _____ 𝑐𝑚3
a. 0,725
b. 1,380
c. 134,0
d. 7,480
e. 72,34
96 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
3. El número atómico indica:
a. El número de neutrones en el núcleo
b. El número total de neutrones y protones en el núcleo
c. El número de protones o electrones en el átomo neutral
d. El número de átomos en 1 g de un elemento
e. El número de los diferentes isótopos de un elemento
4. En el isótopo 197𝐴𝑢 hay ___ protones, _____ neutrones y _____ electrones.
a. 197; 79; 118
b. 118; 79; 39
c. 79; 197; 197
d. 79; 118; 118
e. 79; 118; 79
5. Según la tabla periódica, la opción correcta es:
a. La electronegatividad aumenta en un período de derecha a izquierda
b. El radio atómico disminuye de arriba hacia abajo en un grupo por el
incremento de los niveles de energía
c. La electronegatividad disminuye en un grupo de abajo hacia arriba
d. La energía de ionización disminuye al descender por un grupo
e. El carácter metálico disminuye de derecha a izquierda
6. Una de las siguientes opciones la posee un elemento del período 3:
a. 8 electrones y 3 niveles de energía
b. 10 neutrones, 10 protones y 3 electrones de valencia
c. 3 niveles de energía y 6 electrones de valencia
d. 5 niveles de energía y 3 electrones de valencia
e. 3 protones y 6 niveles de energía
7. La configuración electrónica de un elemento que termina en 𝑠2𝑝6, corresponde al
siguiente grupo:
a. Halógenos
b. Gases nobles
c. Calcógenos
d. Metales alcalinos
e. Metales alcalinotérreos
8. ¿Cuál es la composición del átomo que presenta la siguiente notación 2760𝐶𝑜?
a. 33 protones, 33 electrones y 27 neutrones
b. 60 protones, 60 electrones y 27 neutrones
c. 27 protones, 27 electrones y 60 neutrones
d. 60 protones, 27 electrones y 87 neutrones
e. 27 protones, 27 electrones y 33 neutrones
97 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. El nombre del compuesto 𝑀𝑔3𝑁2 es:
a. Nitrato de magnesio
b. Nitruro de magnesio
c. Magnesio (II) de nitrógeno (III)
d. Nitrito de magnesio
e. Magnesio (III) de nitrógeno (II)
10. La fórmula del cloruro áurico es:
a. 𝐴𝑢3𝐶𝑙3
b. 𝐴𝑢𝐶𝑙
c. 𝐴𝑢𝐶𝑙2
d. AuC𝒍𝟑
e. 𝐴𝑢2𝐶𝑙2
11. El nombre del compuesto 𝑁𝑎2𝐶𝑟2𝑂7 es:
a. Dicromato de sodio (I)
b. Hipercromato de sodio
c. Dicromato de sodio
d. Cromato de sodio
e. Cromato (II) de sodio (I)
12. La fórmula del fosfito ferroso es:
a. 𝑭𝒆𝟑(𝑷𝑶𝟑)𝟐
b. 𝐹𝑒 (𝑃𝑂4)2
c. 𝐹𝑒 (𝑃𝑂3)
d. 𝐹𝑒2(𝑃𝑂4)3
e. 𝐹𝑒2(𝑃𝑂3)3
13. En el enlace covalente no se observa la siguiente característica:
a. Se comparten electrones
b. Se forman cationes y aniones
c. Se da en sustancias covalentes
d. La diferencia de electronegatividad entre los átomos que lo forman es de
1,7
e. La diferencia de electronegatividad entre los átomos que lo forman es
mayor a 1,7
14. La diferencia de electronegatividad entre el átomo de fósforo y el de cloro es de 0,9,
lo cual indica que el enlace entre ambos es:
a. Iónico
b. Metálico
c. Covalente polar
d. Covalente no polar
e. Covalente apolar
98 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
15. Es la cantidad de producto que, según los cálculos, se forma cuando reacciona todo
el reactivo limitante:
a. Rendimiento teórico
b. Rendimiento porcentual
c. Rendimiento real
d. Rendimiento en exceso
e. Rendimiento limitante
16. Un electrolito débil existe predominantemente como ___ en la solución.
a. Átomos
b. Iones
c. Moléculas
d. Electrones
e. Isótopos
17. Un gas desconocido 𝑋2 tiene una masa de 4 g y hace la misma presión, en el mismo
recipiente y a la misma temperatura que 64 g de 𝑂2 ¿Quién es X?
a. Cl
b. Ne
c. H
d. O
e. Ninguna es correcta
18. Imagine un cilindro rígido el cual contiene vapor de agua, el cilindro se enfría y el
vapor condensa. ¿Qué pasa con la presión dentro del cilindro?
a. Aumenta ya que el agua líquida ejerce una mayor fuerza en la superficie
b. Aumenta ya que el volumen disminuye y son inversamente
proporcionales
c. Disminuye ya que el volumen ocupado por la fase gaseosa queda
vacío
d. Disminuye ya que se genera un choque térmico dentro del cilindro
e. Ninguna de las anteriores
19. Considere un gas ideal confinado en un recipiente rígido y cerrado, con masa molar
MM (g/mol) ¿Qué tendría que hacer para aumentar la densidad del gas?
a. Aumentar la presión del gas
b. Aumentar la temperatura del gas
c. Disminuir la temperatura del gas
d. a y b son correctas
e. a y c son correctas
99 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
20. En un secador la presión del gas de salida es de 25 psi; la temperatura 80°C y el
contenido de humedad es de 85 % n/n. El gas de salida es una mezcla de aire y
vapor de agua. ¿Cuál es la presión parcial del 𝑁2 a la salida? (Suponga que el aire
seco es de 21 % n/n 𝑂2 y el resto de 𝑁2?
a. 25,0 psi
b. 5,25 psi
c. 3,75 psi
d. 2,96 psi
e. Ninguna de las anteriores
100 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SEGUNDA SERIE: (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo
de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de
todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y
ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el
temario.
Problema 1 (Ciencia y medición)
Se prepara una solución de etanol (𝐶2𝐻5𝑂𝐻) y agua (𝐻2𝑂) con un porcentaje en masa de
69,75 %, el cambio de volumen por mezclado tuvo un descenso de 2 mL y la masa
obtenida de la solución fue de 85,964 g. Determine la densidad de la solución
preparada y el porcentaje en volumen experimental de la mezcla.
Solución
𝝆 =𝒎𝒔
𝑽𝒔
Donde:
ρ: densidad de la solución
V: volumen experimental de la solución
Del porcentaje en masa de la solución se tiene, para el etanol:
𝑚𝑒𝑡 = 0,6975 𝑚𝑠
y para la masa de agua,
𝑚𝑎 = 0,3025 𝑚𝑠
Para el volumen de la solución:
∆ V= Vexp - Videal
Despejando para el volumen experimental,
V exp = ∆V + Videal
Obteniendo la ecuación del volumen ideal en función de la masa y la densidad se
tiene:
𝑉 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝑉 𝑒𝑡 + 𝑉𝑎
101 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝑚𝑒𝑡
𝜌𝑒𝑡+
𝑚𝑎
𝜌𝑎
Sustituyendo las ecuaciones de volumen y masa en la ecuación de densidad;
𝜌 =𝑚𝑠
∆𝑉 + 𝑉 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
𝜌 =𝑚𝑠
∆𝑉 + 𝑚𝑒𝑡
𝜌𝑒𝑡+
𝑚𝑎
𝜌𝑎
Sustituyendo los datos:
masa de la solución ; ms=85.964 g
𝜌 =85,964 𝑔
−2𝑚𝐿 + 0,6975∗85,964𝑔
0,789 𝑔/𝑚𝐿+
0,3025∗85,964 𝑔
1,00 𝑔/𝑚𝐿
𝜌 = 0,8596 𝑔/𝑚𝐿
Determinando el porcentaje en volumen:
- Volumen de la solución:
0,8596 =𝑚𝑠
𝑉𝑠
𝑉𝑠 =𝑚𝑠
𝜌𝑠
𝑉𝑠 =85,964 𝑔
0,8596𝑔
𝑚𝐿
𝑉𝑠 = 99,99 𝑚𝐿
- Porcentaje en volumen:
%𝑉
𝑉=
𝑉𝑒𝑡
𝑉𝑠∗ 100
%𝑉
𝑉=
𝑚𝑒𝑡
𝜌𝑒𝑡
𝑉𝑠∗ 100
102 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
%𝑉
𝑉=
0,6975∗85,964 𝑔
0,789 𝑔
𝑚𝐿
99,99 𝑚𝐿∗ 100
%𝑉
𝑉= 75,99 % ≈ 76,00%
Respuesta: La densidad de la solución es de 0,8596 g/mL y el porcentaje en volumen es
de 76 %.
103 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2 (Teoría Atómica)
El litio posee dos isótopos estables, Li-6 y Li-7, con masa de 6,01512 uma y 7,01600
uma, respectivamente. La masa atómica promedio del litio es 6,941 uma. ¿Cuál es el
porcentaje de abundancia de cada isótopo?
Solución
6,01512 𝑢𝑚𝑎 ∗ (𝑥) + 7,01600 𝑢𝑚𝑎 ∗ (1 − 𝑥) = 6,941 𝑢𝑚𝑎
6,01512𝑥 + 7,01600 − 7,01600𝑥 = 6,941
𝑥 = 0,07493
Respuesta:
El porcentaje de abundancia de Li-6 es de 7,493 % y el de Li-7 es de 92,507 %
104 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 3 (Enlace químico)
Para el perreniato de sodio:
a. Realice la estructura de Lewis del compuesto
b. Determine la carga formal del átomo central
c. Describa los tipos de enlace que posee la estructura
Solución
a) Realice la estructura de Lewis del compuesto.
1. Aplicando reglas de nomenclatura se obtiene que la fórmula química del
perreniato de sodio es: NaReO4
2. Realizar el diagrama de los puntos de Lewis para cada elemento utilizando los
electrones de valencia.
3. Determinar el número de oxidación del átomo central.
NaReO4
1(1) + 1(x) + 4(-2) =0
x=7
El número de oxidación del Renio es de 7, por lo cual debe de dar sus 7 electrones
de valencia para formar la estructura.
4. Realizar la estructura de Lewis
b) Determine la carga formal del átomo central
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑒− 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 − # 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑙𝑎𝑐𝑒𝑠 − 𝑒− 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠
105 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑅𝑒 = 7 − 6 − 0
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑅𝑒 = 1
c) Describa los tipos de enlace que posee la estructura
2 enlaces covalentes dobles
1 enlace covalente simple
1 enlace covalente coordinado
1 enlace iónico
106 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4 (Estequiometría)
Se llevó a cabo en un laboratorio experimental una reacción entre cal hidratada sólida
y 120 g de ácido clorhídrico al 40 % con una densidad de 1,1977 g/mL.
a. Escriba la reacción química balanceada
b. Calcular la cantidad de cloruro de calcio obtenida
c. ¿Cuántos mililitros de HCl al 40 % habría que usar para obtener 50 g de agua?
d. ¿Cuál es el porcentaje de rendimiento, si se obtuvo 100 g de cloruro de calcio en
una experimentación realizada?
Solución
a) Reacción Química Balanceada:
2HCl + Ca(OH)2 CaCl2 + 2 H2O
b) Calcular la cantidad de cloruro de calcio obtenida.
120 𝑔 𝐻𝐶𝑙 40 𝑔 𝐻𝑐𝑙 𝑝𝑢𝑟𝑜
100 𝑔 𝑠𝑙𝑛 𝐻𝐶𝑙 ∗
1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙
36,5 𝑔 𝐻𝐶𝑙 ∗
1 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂
1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙∗
111 𝑔 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂
1 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑎𝐶𝑙 ₂ = 145,97 g CaCl2
c) Calcular los mililitros de HCl que habría que usar para obtener 50g de agua.
50 𝑔 𝐻₂𝑂 ∗1 𝑚𝑜𝑙 𝐻₂𝑂
18,02 𝑔 𝐻₂𝑂 ∗
2 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙
2 𝑚𝑜𝑙 𝐻₂𝑂∗
36,5 𝑔 𝐻𝐶𝑙𝑝𝑢𝑟𝑜
1 𝑚𝑜𝑙 𝐻𝐶𝑙∗100 𝑔 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 40%
40 𝑔 𝐻𝐶𝑙 𝑝𝑢𝑟𝑜 *
1𝑚𝑙
1,1977 𝑔 𝐻𝐶𝑙 40% =
211, 4 mL HCl
d) Cuál es el porcentaje de rendimiento, si se obtuvo 100 g de cloruro de calcio en
una experimentación realizada.
% Rendimiento = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 ∗ 100
% Rendimiento = 100 𝑔
145,97 𝑔 ∗ 100 = 68,5%
107 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5 (Gases)
Una forma de vida extraterrestre, completamente diferente a la nuestra, se encuentra
interesada en estudiar la vida terrícola, es por esto que le secuestran para estudiarlo.
Lo colocan en una esfera de alta tecnología, donde la presión y temperatura son
constantes (1 atm y 20 °C), la esfera tiene un radio de 10 m, el 70 % del volumen de la
esfera es ocupado por una fase gaseosa, el 20 % es agua y el 10 % es tierra. Después de
un tiempo determinado usted muere por falta de oxígeno, la producción de 𝐶𝑂2 por
persona es de 565,36 g/día y la reacción química en la respiración es la siguiente: 𝐶6𝐻12𝑂6 + 6𝑂2 → 6𝐶𝑂2 + 6𝐻2𝑂
Determine el tiempo, en años, en que moriría. (Considere la presión de vapor de agua
a esta temperatura como 17,546 mmHg, la composición del aire seco como 79 % n/n de
𝑁2y el resto de 𝑂2)
Solución
𝑉 = 4/3 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟3 = 4/3 ∗ 𝜋 ∗ (10𝑚)3 = 4 188,79 𝑚3
𝑉𝑔𝑎𝑠𝑒𝑜𝑠𝑜 = 0,7 ∗ 𝑉 = 0,7 ∗ 4 188,79 𝑚3 = 2 932,12 𝑚3 = 2 932 153,14 𝐿
P = 1 atm
T= 20 °C = 293,15 K
𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑃 ∗ 𝑉/𝑅 ∗ 𝑇 = 1 𝑎𝑡𝑚 ∗ 2 932 153,14 𝐿 / (0,08206 (𝐿 ∗ 𝑎𝑡𝑚/ 𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾) ∗ 293,15 𝐾)
𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙
𝑃𝑣𝑎𝑝 = 17,546 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 0,023 𝑎𝑡𝑚
𝑃𝑣𝑎𝑝 = 𝜒𝑣𝑎𝑝 ∗ 𝑃
𝜒𝑣𝑎𝑝 = 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃
𝜂𝑣𝑎𝑝/𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃
𝜂𝑣𝑎𝑝 = 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 ∗ 𝑃𝑣𝑎𝑝/ 𝑃
𝜂𝑣𝑎𝑝 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙 ∗ 0,023 𝑎𝑡𝑚/ 1 𝑎𝑡𝑚 = 2 803,45 𝑚𝑜𝑙 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝜂𝑣𝑎𝑝
108 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 − 𝜂𝑣𝑎𝑝 = 121 889,20 𝑚𝑜𝑙 − 2 803,45 𝑚𝑜𝑙 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 = 119 085,75 𝑚𝑜𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒
Como la reacción química es equimolar entre el 𝑂2 y el 𝐶𝑂2, entonces:
𝜂𝑂2 = 𝜂𝐶𝑂2
De esta forma se calcula los moles máximo que se pueden producir partiendo de la
cantidad de oxígeno disponible
𝜂𝑂2 = 0,21 ∗ 𝜂𝑎𝑖𝑟𝑒 = 0,21 ∗ 119 085,75 𝑚𝑜𝑙 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝑂2 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2
565,36 𝑔𝐶𝑂2/𝑑í𝑎 ∗ 1𝑚𝑜𝑙𝐶𝑂2/44,01 𝑔𝐶𝑂2 = 12,85 𝑚𝑜𝑙𝐶𝑂2/𝑑í𝑎
#𝑑í𝑎𝑠 = 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 = 25 008,00 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/12,85 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂2/𝑑í𝑎
= 1 946,73 𝑑í𝑎
1 946,73 𝑑í𝑎 ∗ 1 𝑎ñ𝑜/365 𝑑í𝑎 =5,33 año
109 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DECIMOTERCERA
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y
valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de
conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo
de la prueba es de 120 minutos.
PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)
Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.
Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte
de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.
1. ¿ Si una solución de etanol-agua tiene 90 % v/v, se puede decir que:
a. Hay 90 unidades de volumen de etanol en 100 mL de agua
b. Hay 100 unidades de volumen de solución en 90 unidades de volumen
de etanol
c. Hay 10 unidades de volumen de etanol por 90 unidades de volumen de agua
d. Hay 10 unidades de volumen de agua por cada 90 unidades de volumen de
etanol
e. Ninguna es de las anteriores es correcta
2. Se tiene una solución de hidróxido de potasio 14,8 M ¿Cuántos mL de esta solución
se deben de diluir para preparar 1 L de hidróxido de potasio a 0,250 M?
a. 8,45 mL
b. 16,9 mL
c. 3,7 mL
d. 0,0037 L
e. 250 mL
3. ¿Cuál será la molaridad de una solución 6 N de ácido fosfórico?
a. 6 M
b. 18 M
c. 2 M
d. 3 M
e. 1,5 M
110 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. ¿Cuál de las siguientes disoluciones de permanganato de potasio es la más
concentrada?
a. 0,011 M
b. 50 g/L
c. 0,5 mol en 750 mL de disolución
d. 250 ppm
e. Ninguna de las anteriores es correcta
5. Indique la fracción de un átomo en cada esquina de una celda cúbica centrada en
la cara
a. 1
b. ½
c. ¼
d. ⅛
e. 1/16
6. Indique la fracción de un átomo en cada cara de una celda cúbica centrada en la
cara
a. 1
b. ½
c. ¼
d. ⅛
e. 1/16
7. De los siguientes, indique ¿Cuál no es un tipo de sólido?
a. Iónico
b. Molecular
c. Supercrítico
d. Metálico
e. De red covalente
8. ¿Cuál es el número mínimo de átomos que pueden estar contenidos en la celda
unitaria de un elemento con una red cúbica centrada en el cuerpo?
a. 4
b. 1
c. 6
d. 2
e. 3
111 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
9. Para predecir hacia donde se desplaza el equilibrio al provocar una alteración en el
mismo, usamos el principio de:
a. Incertidumbre de Heisenberg
b. Exclusión de Pauli
c. Máxima multiplicidad de Hund
d. Le Chatelier
e. Acción de masas
10. Uno de los siguientes factores afecta la velocidad de la reacción pero no el
equilibrio
a. Concentración de los reactivos
b. Temperatura
c. Catalizadores
d. Keq = 1
e. Formación de gases
11. Para el siguiente sistema en equilibrio, se afirma: 𝐶𝑠 + 𝐻2𝑂 + 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 ↔ 𝐶𝑂𝑔 + 𝐻2𝑔
a. Corresponde a un equilibrio homogéneo
b. La Keq es dependiente de la concentración de Carbono
c. Corresponde a una reacción exotérmica
d. Si el sistema se enfría aumenta [ CO ]
e. Una disminución en la presión desplaza el equilibrio hacia la
derecha
12. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es correcta?
a. Si se incrementa al doble la concentración de un reactivo, la Keq incrementa
al doble
b. Si Keq > 1 el equilibrio está desplazado a la derecha
c. La disminución de la concentración de productos respecto al tiempo es una
medida de la velocidad de reacción
d. Los catalíticos elevan la energía de activación de una reacción
e. Una colisión requiere energía suficiente aunque la orientación no se la
adecuada
13. Se define como el estudio de la energía, sus formas y transformaciones, así como
sus interacciones con la materia
a. Termodinámica
b. Energía
c. Calor
d. Trabajo
e. Entropía
112 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
14. ¿Cuál es la ley que segura que los sistemas A y B están a la misma temperatura
cuando se coloca un termómetro u otro sensor de temperatura en equilibrio térmico
con un cuerpo o sistema A, y en forma similar se coloca un sensor en equilibrio
térmico con el sistema B, y ambos sensores leen la misma temperatura?
a. Primera Ley de la termodinámica
b. Segunda Ley de la Termodinámica
c. Ley cero
d. Ley de conservación de la masa
e. Equilibrio térmico
15. Es la energía transferida a través de las fronteras de un sistema en forma
organizada y cuyo uso exclusivo sea la elevación de un peso. Esta definición
incluye a las que se emplean en mecánica, por ejemplo, es la fuerza de actúa a lo
largo de cierta distancia. En términos matemáticos, la cantidad de trabajo
resultante ϐW por el movimiento a lo largo de una distancia diferencial dS, donde
el punto central lleno representa al producto punto F*dS. El trabajo realizado en
una trayectoria finita entre los puntos S1 y S2. Donde F es la fuerza externa de los
alrededores sobre el sistema en la dirección S en que ocurre el movimiento.
a. Termodinámica
b. Energía
c. Calor
d. Trabajo
e. Ninguna de las anteriores es correcta
16. Es la ley que se enuncia como el balance de energía o cambio en la energía total.
Puede ser cinética, potencial e interna. Es igual al trabajo realizado en la masa de
control más el calor transferido a dicha masa. Matemáticamente se puede expresar
como la convención de signos que indica que toda la energía transferida hacia el
sistema es positiva. No hay referencia a ninguna trayectoria en particular. Por lo
tanto, el cambio de la energía de la masa de control entre el estado 1 y el estado 2,
es igual al calor transferido a la masa de control siguiente cualquier trayectoria,
más el trabajo realizado sobre dicha masa, a lo largo de cualquier trayectoria.
a. Primera Ley de la Termodinámica
b. Segunda Ley de la Termodinámica
c. Ley cero
d. Ley de la conservación de la masa
e. Equilibrio térmico
17. En la reacción de óxido - reducción: 𝐶𝑟𝑎𝑐3+ + 𝐶𝑙𝑎𝑐
− → 𝐶𝑟𝑠 + 𝐶𝑙2𝑔
a. Se oxida primero el cromo
b. Se oxida primero el cloro
c. Se reduce primero el cromo
d. Se reduce primero el cloro
e. La oxidación y la reducción se realizan a la vez
113 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
18. Se sabe que la reacción global de un proceso es: 𝐹𝑒𝑎𝑐3+ + 𝐼𝑎𝑐
− → 𝐹𝑒𝑎𝑐2+ + 𝐼2𝑠 La reacción
balanceada que ocurre en el cátodo:
a. 2𝐼− → 𝐼2𝑠 + 2𝑒−
b. 𝟐𝑭𝒆𝒂𝒄𝟑+ + 𝟔𝒆− → 𝟑𝑭𝒆𝒂𝒄
𝟐+
c. 𝐹𝑒𝑎𝑐3+ + 1𝑒− → 𝐹𝑒𝑎𝑐
2+
d. 6𝐼− → 3𝐼2𝑠 + 6𝑒−
e. Ninguna de las anteriores es correcta
19. Se sabe que la reacción global para obtener cloruro de aluminio es: 𝐴𝑙𝑠 + 3𝐶𝑙2𝑔 →
2𝐴𝑙𝐶𝑙3𝑔 La reacción que se lleva a cabo en el ánodo es:
a. 3𝐶𝑙2𝑔 + 6𝑒− → 6𝐶𝑙−
b. 𝟐𝑨𝒍𝒔 → 𝟐𝑨𝒍𝟑+ + 𝟔𝒆−
c. Ninguna de las anteriores
20. Para la reacción 𝐴𝑙𝑠 + 3𝐶𝑙2𝑔 → 2 𝐴𝑙𝐶𝑙3𝑠 el cambio neto de electrones es:
a. 6
b. 3
c. 1
d. 0
e. Ninguna de las anteriores es correcta
114 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Segunda Serie (50 puntos):
A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo
de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de
todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y
ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el
temario.
Problema 1 (Soluciones)
En un planta embotelladora de bebidas, el departamento de investigación se
encuentra desarrollando un producto nuevo. Para ello se requiere preparar una
solución de concentrado de naranja-agua que tenga una densidad de 1,0412 g/mL. Si
se agregan 510 mL de agua, determine el % v/v y % m/m de la solución, si el
concentrado de naranja tiene una densidad de 1,210 g/mL.
Solución
Para dar solución al problema, se utilizará la siguiente nomenclatura:
Sln = Solución A = Concentrado de naranja B = Agua
𝜌𝑠𝑙𝑛 =𝑚𝑠𝑙𝑛
𝑉𝑠𝑙𝑛=𝑚𝐴 +𝑚𝐵
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵=𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵𝑉𝐴 + 𝑉𝐵
De la ecuación anterior se procede a despejar 𝑉𝐴
𝜌𝑠𝑙𝑛 =𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵𝑉𝐴 + 𝑉𝐵
𝜌𝑠𝑙𝑛(𝑉𝐴 + 𝑉𝐵) = 𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵
𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 + 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵 = 𝜌𝐴𝑉𝐴 + 𝜌𝐵𝑉𝐵
𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 − 𝜌𝐴𝑉𝐴 = 𝜌𝐵𝑉𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵
𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐴 − 𝜌𝐴𝑉𝐴 = 𝜌𝐵𝑉𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛𝑉𝐵
𝑉𝐴(𝜌𝑠𝑙𝑛 − 𝜌𝐴) = 𝑉𝐵(𝜌𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛)
𝑉𝐴 =𝑉𝐵(𝜌𝐵 − 𝜌𝑠𝑙𝑛)
(𝜌𝑠𝑙𝑛 − 𝜌𝐴)
Sustituyendo datos en la ecuación despejada
𝑉𝐴 =510𝑚𝐿(1
𝑔
𝑚𝐿− 1.0412
𝑔
𝑚𝐿)
1.0412𝑔
𝑚𝐿− 1.210 𝑔/𝑚𝐿
115 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
𝑉𝐴 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 = 124.48 𝑚𝐿
𝑉𝐵 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 510 𝑚𝐿
Determinar el %𝑣
𝑣 de la solución
%𝑣
𝑣=𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑙𝑛∗ 100
%𝑣
𝑣=
124.48 𝑚𝐿
124.48𝑚𝐿 + 510𝑚𝐿∗ 100
19.62 %𝑣/𝑣
Determinar el %m/m de la solución
𝜌𝐴 =𝑚𝐴
𝑉𝐴
𝑚𝐴 = 𝑉𝐴 ∗ 𝜌𝐴
𝑚𝐴 = (124.48 𝑚𝐿)(1.210𝑔
𝑚𝐿)
𝑚𝐴 = 150.62 𝑔
𝜌𝐵 =𝑚𝐵
𝑉𝐵
𝑚𝐵 = 𝑉𝐵 ∗ 𝜌𝐵
𝑚𝐴 = (510 𝑚𝐿)(1.00𝑔
𝑚𝐿)
𝑚𝐴 = 510 𝑔
%𝑚
𝑚=𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑙𝑛∗ 100
%𝑚
𝑚=
150.62 𝑔
150.62 𝑔 + 510 𝑔∗ 100
22.80 %𝑚/𝑚
116 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 2 (Sólidos)
El iridio cristaliza en una celda unitaria centrada en las caras que tiene una longitud
de arista de 3,833 Angstrom.
a. Calcule el radio atómico de un átomo de iridio
b. Calcule la densidad del metal de iridio
Solución
(a) 4 r = √2 (a) → r = (√2 x 3.833 A) /(4) = 1.3552 Angstroms =
1.355 Angstroms
(b) Densidad = ((4 átom. Ir) / (3.833 x 10-8 cm)3 ) x (192.22 g Ir/6.02 x 1023atom.)
Densidad = 22.67 g/cm3
Problema 3 (Equilibrio químico)
El valor de la Keq de la siguiente reacción es 0,64
𝐻2𝑔 + 𝐼2𝑔 ↔ 𝐻𝐼𝑔
Calcule el valor de la Keq de la reacción de descomposición del yoduro de hidrógeno.
Solución
2HI (g) H2(g) + I2 (g)
Keq= [H2 ] * [I2 ] / [HI]2
Keq= [HI]2 / [H2 ] * [I2 ] = 0.64
Keq= [H2 ] * [I2 ] / [HI]2 = 1/ 0.64 = 1.56
117 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 4 (Termodinámica)
Tres moles de un gas ideal monoatómico, contenido en un recipiente. Realiza una
compresión isotérmica, desde 5 L hasta 1,5 L, manteniendo la temperatura constante e
igual a 450 K.
a. Calcular el trabajo realizado, si el proceso es reversible
b. Si el proceso es irreversible con una presión externa de 51,2 atm
Solución
a. Si W = − ∫𝑉1
𝑣2𝑃 𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉
En esta ecuación hemos cambiado los límites de integración para hacer énfasis que es
una compresión de 5L a 1.5L. Como el proceso es reversible Pext = Pgas. Por lo
tanto:
𝑊 = − ∫𝑉1
𝑣2
𝑛 𝑅 𝑇
𝑉𝑑𝑉 = −𝑛 𝑅𝑇 ∫
𝑉1
𝑣2
𝑑𝑉
𝑉 = −𝑛 𝑅𝑇 𝑙𝑛 𝑙𝑛
𝑉1
𝑉 2
W = - (3 moles) ( 8.31451 𝐽
𝐾 𝑚𝑜𝑙) (450 K) ln (
1.5𝐿
5 𝐿)
W = + 13,514.099 J
W = + 13.514 kJ
El trabajo de expansión reversible y el trabajo de compresión reversible tienen la
misma magnitud pero de signo contrario. El signo del trabajo indica quién hizo el
trabajo: El sistema en el caso de la expansión, o los alrededores en el caso de la
compresión.
b. Si el proceso es irreversible, Pext = constante, entonces:
W = − ∫ P 𝑉1
𝑣2 𝑑𝑉 = −Pext (V1 – V2)
W = −(51.2 atm) ( 1.01325 𝑋 105
1 𝑎𝑡𝑚 ) ( 1.5L − 5L) (
1𝑚3
103𝐿) = + 18,157.44 J
W = + 18.574 kJ
El trabajo de compresión irreversible es mucho mayor que el trabajo de comprensión
reversible.
118 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Problema 5 (Electroquímica)
Se prepara una solución de cloruro de sodio y se arma una celda electrolítica. Se
colocan en la solución los electrodos que están conectados a una fuente que
proporciona una corriente de 0,8 A. La reacción global es la siguiente: 2𝑁𝑎𝐶𝑙𝑠 + 𝐻2𝑂𝑙 → 𝐶𝑙2𝑔 + 𝐻2𝑔 + 2𝑁𝑎𝑂𝐻𝑎𝑐
a. Escriba la reacción que ocurre en el cátodo
b. Escriba la reacción que ocurre en el ánodo
c. Describe la masa en gramos de hidróxido de sodio obtenido al conectar la fuente
externa durante 45 minutos
Solución
a. Reacción ocurrida en el cátodo → reducción ( gana é)
2 H+ + 2é → H2(g)
b. Reacción ocurrida en el ánodo → oxidación ( pierde é)
2 Cl - → Cl2(g) + 2 é
c.
45 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛∗ 0.8 𝐶
𝑠∗
1 é
1.6022𝑥10−19 𝐶∗
1 𝑚𝑜𝑙 é
6.022𝑥1023 é∗2 𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝑂𝐻
2 𝑚𝑜𝑙 é∗40.00 𝑔 𝑁𝑎𝑂𝐻
1 𝑚𝑜𝑙 𝑁𝑎𝑂𝐻
= 0.8954 𝑔 𝑁𝑎𝑂𝐻
119 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.4 BIOLOGÍA
DECIMOTERCERA
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I
INSTRUCCIONES GENERALES:
Esta prueba consta de cuatro series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o
negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder
es de 100 minutos.
PRIMERA SERIE: COMPLETACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Total 30 puntos).
Instrucciones: Responda las siguientes preguntas. En algunos casos debe completar
los espacios en blanco, en otros casos debe resolver problemas de genética.
1. ¿Qué es una hipótesis? (1 p.)
________________________________________________________________________________
2. Una buena hipótesis presenta las siguientes características: (3 p.)
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. En un breve párrafo, en el recuadro, explique el proceso que ocurre en la figura
siguiente: (2 p.)
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
________________________________________
_
120 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. Los eritrocitos colocados en cloruro de sodio al 0.9% no se contraen ni se hinchan.
¿Qué les sucede si se colocan en una disolución de cloruro de sodio al 1.3%? (1 p.)
____________________________________________________
5. En las reacciones redox de la respiración celular, la glucosa se ___________ y el
oxígeno se ___________. (2 p.)
6. Observe la siguiente figura y responda en los espacios en blanco lo que se le solicita.
(2 p.)
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
a) Nombre de la molécula: _____________________________
b) Función: __________________________________________
7. ¿En qué etapa de la mitosis se encuentra la siguiente célula? (1 p.)
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
En la fase llamada: ____________________
121 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
8. El mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin
consiste de observaciones en cuatro aspectos del mundo natural. ¿Cuáles son estos
cuatro aspectos? (4 p.)
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
9. Para la evolución química de la vida debieron existir cuatro requisitos. ¿Cuáles son
éstos? (2 p.)
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
10. Compare la figura (a) con la figura (b) y responda lo siguiente: (3 p.)
¿Qué sucede en la figura (b)?
____________________________________________________________________________
¿Cómo se denomina este suceso? ________________________________________________
¿Qué le ocurre al polipéptido que se forma? _______________________________________
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
(b)
122 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
11. Las formas del mango pueden ser larga (FLFL), redonda (FRFR) u oval (FLFR). Si se
cruzan solamente mangos ovales ¿qué proporción fenotípica se espera en la F1? Deje
constancia de su procedimiento. (3 p.)
Proporción fenotípica: ___________________________________
12. Si ambos progenitores son Mm, ¿cuál es la probabilidad de que produzcan un
descendiente que sea mm? (1 p.)
Probabilidad: _______________
13. Si 84% de las plantas de guisante de jardín de una población en equilibrio genético
son altas (TT o Tt), ¿cuál es la frecuencia del alelo dominante (T)? ¿Cuál es la
frecuencia de los heterocigotos? Deje constancia de su procedimiento. (2 p.)
_________
_________
14. Subraye la secuencia correcta de la interfase y de la fase M en el ciclo celular
eucariota: (1 p.)
a) S – G1- G2 – interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
b) G1- G2 –S -interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
c) G1- G2 –S – mitosis- profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
d) G1- S - G2 – profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
123 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
15. El código genético se define como una serie de ___________ en el _________________.
Subraye la respuesta correcta. (1 p.)
a) Codones y anticodones/ ARNt
b) Codones /ARNm
c) Anticodones/ARNm
d) Anticodones /ARNr
16. Grupo que contiene un ancestro común y algunos de sus descendientes, mas no
todos. Subraye respuesta correcta.(1 p.)
a) Grupo unifilético
b) Grupo parafilético
c) Grupo polifilético
d) Grupo monofilético
SEGUNDA SERIE: VERDADERO O FALSO (25 puntos)
Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada respuesta correcta tiene un valor de 1 punto.
Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es
verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada
respuesta correcta tiene un valor de 1 punto.
1. Una diferencia entre los procariotas y eucariotas es la ausencia de ribosomas en
células procariotas y abundancia de ribosomas en células eucariotas.
2. En eucariotas, la membrana nuclear está formada por dos membranas concéntricas
que separan el nucleoplasma del citoplasma.
3. El retículo endoplásmico rugoso sintetiza hormonas de la reproducción, a partir del
colesterol, y además, almacena iones de calcio.
4. Los complejos de Golgi de las células vegetales producen polisacáridos extracelulares
que se utilizan como componentes de la pared celular.
5. Las mitocondrias generan otras mitocondrias por crecimiento y subsecuente división.
6. Cada mitocondria de una célula de mamífero tiene de cinco a 10 moléculas idénticas de
ADN circular, lo que representa hasta el 1% del ADN total de la célula.
7. Los centriolos se conocen como estructuras 9 X 5 ya que están formadas por nueve
grupos de cinco microtúbulos unidos, que se organizan formando un cilindro hueco.
8. En los animales, los cilios se encuentran en las superficies de las células que tapizan
los conductos internos del cuerpo, como las vías respiratorias.
9. Una propiedad física importante de las bicapas de fosfolípidos es que se comportan
como cristales líquidos.
10. Entre las funciones de las proteínas de membrana están el anclaje y el transporte
pasivo.
124 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
11. En cada ciclo completo de bombeo, de la bomba de sodio-potasio, la energía de una
molécula de ATP se utiliza para exportar dos iones de sodio (Na+ ) e importar tres
iones de potasio (K+).
12. Las proteínas las simportadoras, mueven dos tipos de sustancias en una misma
dirección.
13. En la respiración anaeróbica, una sustancia inorgánica tal como el nitrato o el sulfato
sustituyen al oxígeno molecular como aceptor terminal de electrones.
14. En ausencia de O2, las levaduras realizan la fermentación alcohólica.
15. La membrana interna del cloroplasto encierra una región llena de fluido llamado
matriz, que contiene la mayor parte de las enzimas requeridas para producir
moléculas de carbohidrato.
16. El dióxido de carbono y el agua son las materias primas de la fotosíntesis.
17. La meiosis implica una división nuclear y dos citoplásmicas, generando hasta cuatro
células.
18. El ligamiento es la tendencia de un grupo de genes, en el mismo cromosoma, de ser
heredados juntos en generaciones sucesivas.
19. Las hembras humanas tienen 21 pares de autosomas y dos cromosomas X.
20. Cada nucleótido de ADN consiste en la pentosa desoxirribosa, un fosfato, y cualquiera
de las tres pirimidinas.
21. La evolución se define como la acumulación de cambios genéticos dentro de las
poblaciones a lo largo del tiempo.
22. Cuando el ser humano elige ciertos caracteres en algunas plantas de cultivo, y cruza
sólo a los individuos que muestran los caracteres deseados, está llevando a cabo
selección natural.
23. Las características estructuralmente similares que no son homólogas pero tienen
funciones semejantes que evolucionaron de manera independiente en organismos con
parentesco distante son homoplásticas.
24. El mismo epíteto específico puede usarse como segundo nombre de especies en
diferentes géneros.
25. Un grupo interno es un taxón que se considera se ramificó más temprano que los
taxones motivo de investigación, los grupos externos.
TERCERA SERIE: APAREAMIENTO (25 pts.)
Instrucciones: Coloque el número del término a la par de la letra correspondiente en
la hoja de respuestas. Debe relacionar cada definición con el término correcto. Algunos
términos no aplican. Cada respuesta correcta tiene un valor de 1.25 puntos.
DEFINICIONES
A. Proyecciones pilosas en procariotas, que son utilizadas para adherirse entre sí o a
las superficies celulares de otros organismos.
B. Membrana de la vacuola.
C. Plastidio sin pigmento que almacena almidón en las células y en muchas semillas,
125 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
raíces y tubérculos.
D. Densa red de fibras de proteína que proporciona a las células su resistencia
mecánica y su forma; participa en la división celular.
E. Proteínas transmembrana de canal que permiten que diversos solutos o agua pasen
a través de las membranas.
F. Proceso por el cual la célula ingiere partículas grandes de sólidos como alimento o
bacterias.
G. Serie de reacciones en las que la parte acetil del acetil CoA se degrada a CO2; los
átomos de hidrógeno se transfieren a los portadores; se sintetiza ATP.
H. Serie de reacciones en las que la glucosa se degrada a piruvato; con una ganancia
neta de 2 moléculas de ATP; los átomos de hidrógeno se transfieren a los
portadores.
I. Desdoblamiento fotoquímico del agua en las reacciones dependientes de la luz de la
fotosíntesis; en este proceso se libera oxígeno a la atmósfera.
J. Fijación de carbono que ocurre en el estroma mediante una secuencia de
reacciones.
K. Proteínas reguladoras cuya concentración oscila durante el ciclo celular.
L. Proceso durante el cual los cromosomas homólogos apareados intercambian
material genético.
M. Ubicación de un gen particular en el cromosoma.
N. Enzimas que se unen al ADN en el origen de replicación y rompen los enlaces de
hidrógeno, causando la separación de las dos cadenas.
O. Extremos protectores de los cromosomas que consisten en secuencias de ADN
cortas, simples y no codificadoras que se repiten muchas veces.
P. Secuencia de tres bases nucleótidas consecutivas en el ARNm.
Q. Ensambles parecidos a vesículas de polímeros orgánicos producidos abióticamente.
R. Tipo de evidencia fósil que consiste en rocas con forma de columna compuestas de
capas de células procariotas.
S. Cada punto de ramificación, en un cladograma, que representa la divergencia, o
división, de dos o más grupos nuevos de un ancestro común.
T. Caracteres ancestrales compartidos.
TÉRMINOS
1. ciclinas 11. glucólisis 21. porinas
2. ciclo de Calvin 12. helicasas 22. protobiontes
3. ciclo de Krebs 13. intercinesis 23. sinapomorfias
4. citoesqueleto 14. leucoplasto 24. telómeros
5. codón 15. ligasas 25. tonoplasto
6. entrecruzamiento 16. locus
126 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
7. estromatolitos 17. nodo
8. fagocitosis 18. pinocitosis
9. fimbrias 19. plásmidos
10. fotólisis 20. plesiomorfias
CUARTA SERIE: TEMA (20 pts.)
Instrucciones En un máximo de dos páginas desarrolle el siguiente tema con los
subtemas correspondientes. Su texto debe tener un orden lógico, debe ser coherente y
su explicación debe ser clara y concisa. Evite las faltas de ortografía y redacción.
Puede utilizar algún dibujo, si lo cree necesario.
Utilice las hojas adicionales que se adjuntan a este temario.
Tema: Evidencias que apoyan la evolución
Subtemas:
a) Registro fósil
b) Biogeografía
c) Anatomía comparada
d) Comparaciones moleculares
e) Biología del desarrollo
127 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
DECIMOTERCERA
OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II
INSTRUCCIONES GENERALES:
Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o
negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder
es de 100 minutos.
PRIMERA SERIE: COMPLETACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Total 30 puntos).
Instrucciones: Responda las siguientes preguntas. En algunos casos debe completar
los espacios en blanco, en otros casos debe resolver problemas de genética.
1. Uno de los experimentos previos al descubrimiento del ADN fue el que realizó el
médico inglés Frederick Griffith. Él realizó cuatro experimentos en ratones,
utilizando dos cepas de neumococos. A continuación se brindan detalles de los
experimentos:
I. Inyección de ratones con células rugosas (R) vivas,
II. Inyección de ratones con células lisas (S) vivas,
III Inyección de ratones con células lisas (S) y muertas por calor, y
IV Inyección de ratones tanto con células vivas rugosas (R) como con células lisas
(S) muertas al ser sometidas al calor.
Observe la figura.
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
128 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Con respecto al experimento anterior, complete lo que se solicita a continuación:
Pregunta de investigación (2 p):
_____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
La hipótesis planteada fue la siguiente:
La capacidad de las bacterias de neumococo para causar una enfermedad se puede
transmitir de una cepa virulenta (células S o lisas) a una cepa no virulenta (células
R o rugosas).
¿Cuál fue la conclusión? (3 p):
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Los eritrocitos colocados en cloruro de sodio al 0.9% no se contraen ni se hinchan.
¿Qué les sucede si se colocan en una disolución de cloruro de sodio al 1.3%? (1 p)
_______________________________________________
3. En la respiración celular ocurren reacciones redox en las que la glucosa se
_______________ y el oxígeno se ___________________. (2 p)
129 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4. Observe la siguiente figura y responda en los espacios en blanco lo que se le solicita.
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
a) Nombre de la molécula (1 p): ___________________________________
b) Tipo de organismos donde se encuentra (1 p): __________________ y
________________
c) Función (1 p): ________________________________________________
5. Los cromosomas están hechos de _________________, un material que consiste en
ADN y proteínas asociadas. (1 p)
6. ¿En qué etapa de la mitosis se encuentra la célula de la siguiente figura?
_______________________ . (1 p)
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
130 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
7. El mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin
consiste de observaciones en cuatro aspectos del mundo natural. ¿Cuáles son estos
cuatro aspectos? (2 p)
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
8. Para la evolución química de la vida debieron existir cuatro requisitos. ¿Cuáles son
éstos? (2 p)
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
9. La __________________________________es un proceso anaeróbico que llevan a cabo
las bacterias, y en el cual se convierten los nitratos en nitrógeno gaseoso. (1 p)
10. Compare la figura (a) con la figura (b) y responda lo siguiente:
¿Qué sucede en la figura (b)? (1 p) ______________________________________________
¿Cómo se denomina este suceso? (1 p) ___________________________________________
¿Qué le ocurre al polipéptido que se forma? (1 p) ___________________________________
131 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Tomado de: Solomon, E.P., Berg, L.R., Martin, D.W. (2013). Biología. 9ª ed. México: Cengage Learning.
11. Las formas del mango pueden ser larga (FLFL), redonda (FRFR) u oval (FLFR). Si se
cruzan solamente mangos ovales ¿qué proporción fenotípica se espera en la F1? Deje
constancia de su procedimiento. (3 p)
Proporción fenotípica: ___________________________________
12. Si ambos progenitores son Mm, ¿cuál es la probabilidad de que produzcan un
descendiente que sea mm? (2 p)
Probabilidad: _______________
(b)
132 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
13. Si 84% de las plantas de guisante de jardín de una población en equilibrio genético
son altas (TT o Tt), ¿cuál es la frecuencia del alelo dominante (T)? ¿Cuál es la
frecuencia de los heterocigotos? Deje constancia de su procedimiento. (2 p)
__________
__________
14. La ____________________________ representa la mayor población que un ambiente
particular puede mantener por un período indefinido, en el supuesto de que en dicho
ambiente no haya cambios. (1 p)
15. En la sobrevivencia tipo III, la probabilidad de mortalidad es _____________ en la
etapa temprana de la vida. (1 p)
SEGUNDA SERIE: VERDADERO O FALSO (20 pts.)
Instrucciones: Marque la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es
verdadero o la columna F, si es falso. Debe marcar su respuesta con una X. Cada
respuesta correcta tiene valor de 0.8 puntos.
1. Una diferencia entre los procariotas y eucariotas es la ausencia de ribosomas
en células procariotas y abundancia de ribosomas en células eucariotas.
2. La mayoría de las células procariotas tiene paredes celulares, que son
estructuras extracelulares que rodean a la cápsula.
3. Los flagelos de procariotas son importantes en la locomoción; son proyecciones
largas de dos microtúbulos centrales y nueve pares periféricos.
4. La membrana nuclear está formada por dos membranas concéntricas que
separan el nucleoplasma del citoplasma.
133 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
5. El retículo endoplásmico rugoso sintetiza hormonas de la reproducción, a partir
del colesterol, y además, almacena iones de calcio.
6. Las mitocondrias generan otras mitocondrias por crecimiento y subsecuente
división.
7. La clorofila está presente en las membranas tilacoidales que, al igual que las
membranas mitocondriales internas, están implicadas en la formación de ATP.
8. Un microtúbulo se alarga a medida que se agregan dímeros de tubulina.
9. Los centriolos son estructuras 9 X 5, ya que están formadas por nueve grupos
de cinco microtúbulos unidos, que se organizan formando un cilindro hueco.
10. Una propiedad física importante de las bicapas de fosfolípidos es que se
comportan como cristales líquidos.
11. Entre las funciones de las proteínas de membrana están el anclaje y el
transporte pasivo.
12. En cada ciclo completo de bombeo de la bomba de sodio-potasio, la energía de
una molécula de ATP se utiliza para exportar dos iones de sodio (Na+ ) e
importar tres iones de potasio (K+).
13. Las proteínas simportadoras mueven dos tipos de sustancias en una misma
dirección.
14. En ausencia de O2, las levaduras realizan la fermentación alcohólica.
15. La membrana interna del cloroplasto encierra una región llena de fluido
llamado matriz, que contiene la mayor parte de las enzimas requeridas para
producir moléculas de carbohidrato.
16. El dióxido de carbono y el agua son las materias primas de la fotosíntesis.
17. La meiosis implica una división nuclear y dos citoplásmicas, generando hasta
cuatro células.
18. El ligamiento es la tendencia de un grupo de genes, en el mismo cromosoma, de
ser heredados juntos en generaciones sucesivas.
19. Las hembras humanas tienen 21 pares de autosomas y dos cromosomas X.
20. Cada nucleótido de ADN consiste en la pentosa desoxirribosa, un fosfato, y
cualquiera de las tres pirimidinas.
21. La evolución se define como la acumulación de cambios genéticos dentro de las
poblaciones a lo largo del tiempo.
22. Cuando el ser humano elige ciertos caracteres en algunas plantas de cultivo, y
cruza sólo a los individuos que muestran los caracteres deseados, está llevando
a cabo selección natural.
23. Las características estructuralmente similares que no son homólogas pero
tienen funciones semejantes que evolucionaron de manera independiente en
organismos con parentesco distante son homoplásticas.
24. El mismo epíteto específico puede usarse como segundo nombre de especies en
diferentes géneros.
25. Un grupo interno es un taxón que se considera se ramificó más temprano que
los taxones motivo de investigación, los grupos externos.
134 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
TERCERA SERIE: SELECCIÓN MÚLTIPLE (30 pts.)
Instrucciones: Marque con una X la respuesta correcta en la hoja de respuestas. No
hay factor de corrección. (1 punto cada respuesta correcta).
1. La secuencia de la interfase y de la fase M en el ciclo celular eucariota es la
siguiente:
a) S – G1- G2 – interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
b) G1- G2 –S -interfase, profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
c) G1- G2 –S – mitosis- profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
d) G1- S - G2 – profase, metafase, anafase, telofase y citocinesis
2. El código genético se define como una serie de ___________ en el
_________________.
a) Codones y anticodones/ ARNt
b) Codones /ARNm
c) Anticodones/ARNm
d) Anticodones /ARNr
3. Dentro de la jerarquía de clasificación, Anthophyta es un/una:
a) Filo
b) Clase
c) Orden
d) Familia
4. Grupo que contiene un ancestro común y algunos de sus descendientes, mas no
todos.
a) Grupo unifilético
b) Grupo parafilético
c) Grupo polifilético
d) Grupo monofilético
5. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre virus es FALSO?
a) El ADN del virus rodea a los capsómeros.
b) Al inicio del ciclo lítico, el virus se fija a receptores específicos de la célula
huésped.
c) El sistema Baltimore clasifica a los virus con base en el tipo de ácido nucleico
que contienen.
d) De acuerdo a la hipótesis del origen celular, los virus pudieron originarse
como elementos genéticos móviles.
6. Enfermedades como la polio y hepatitis A son causadas por virus ARN sin
envoltura del grupo de los:
a) Picornavirus
b) Togavirus
c) Reovirus
d) Flavivirus
135 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
7. ¿Qué diferencia a las bacterias de las arqueas?
a) La envoltura nuclear
b) La presencia de peptidoglucano en la pared celular
c) El número de cromosomas
d) La presencia de ribosomas
8. Las bacterias pueden reproducirse por:
a) Fisión binaria
b) Gemación
c) Fragmentación
d) Todas son correctas
9. Grupo de bacterias fotoautótrofas
a) Clamidias
b) Cianobacterias
c) Actinomicetos
d) Micoplasmas
10. La neumonía es producida por una bacteria del género:
a) Treponema
b) Salmonella
c) Streptococcus
d) Vibrio
11. Seleccione la opción que contenga a los protistas apareados de forma correcta
con el grupo al que pertenecen.
a) Algas rojas-Excavata
b) Mohos mucilaginosos-Rizarios
c) Algas verdes-Archaeplastida
d) Euglenoides-Cromalveolados
12. Las diatomeas se asignan al grupo:
a) Rhizaria
b) Cromalveolados
c) Phaeophyceae
d) Rhodophyta
13. Durante la generación diploide de las plantas, un _____________ multicelular
produce esporas por meiosis.
a) Gametofito
b) Esporofito
c) Gameto
d) Ninguna es correcta
136 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
14. Los tres linajes de plantas no vasculares son los siguientes:
a) Musgos, helechos y licopodios
b) Antoceros, licopodios y colas de caballo
c) Psilotáceas, helechos y hepáticas
d) Hepáticas, musgos y antoceros
15. En las plantas vasculares con semilla, las microsporas producen:
a) Óvulos
b) Megaesporas
c) Granos de polen
d) Esporangios
16. En los basidiomicetos:
a) No se forman esporas.
b) Se forman esporas flageladas.
c) La reproducción es exclusivamente asexual.
d) Ocurre cariogamia dentro de los basidios.
17. Un ________________ es un organismo compuesto por un hongo u hongos y una
pareja fotosintética.
a) Quitridio
b) Liquen
c) Ascomiceto
d) Microsporidio
18. En los protostomados, la primera abertura que aparece en un embrión se
convierte en:
a) La boca
b) El celoma
c) La mesodermis
d) El pseudoceloma
19. Grupo de moluscos similares a sus primeros ancestros; poseen un caparazón
dorsal con 8 placas, y todos son marinos:
a) Bivalvos
b) Quitones
c) Cefalópodos
d) Gasterópodos
20. Todos los artrópodos son animales con:
a) Simetría bilateral, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema
circulatorio cerrado.
b) Simetría radial, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema
circulatorio abierto.
137 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
c) Simetría bilateral, celoma reducido, tracto digestivo completo, sistema
circulatorio abierto.
d) Asimetría, celoma extenso, tracto digestivo incompleto, sistema circulatorio
abierto.
21. ¿Cuál de las siguientes es una característica de los cordados?
a) Hendiduras branquiales
b) Cordón nervioso hueco paralelo a la notocorda
c) Cola muscular que se extiende más allá del ano
d) Todas son correctas
22. Los tunicados son animales que se ubican en el Subphylum:
a) Cephalochordata
b) Urochordata
c) Gnathostomata
d) Hexapoda
23. Animales que constituyen el clado Squamata:
a) Cecílidos y tortugas
b) Ranas y sapos
c) Lagartos y serpientes
d) Salamandras y cocodrilos
24. ¿Cuál de las siguientes NO es una característica de las aves?
a) Reproducción sexual
b) Pico formado de queratina
c) Corazón de tres cámaras
d) Carecen de vejiga urinaria
25. Los mamíferos que ponen huevos son llamados:
a) Marsupiales
b) Monotremas
c) Placentarios
d) Euterios
26. ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO?
a) El hipotálamo se conecta estructural y funcionalmente con la pituitaria, la
cual produce calcitocina.
b) En humanos, la sangre oxigenada regresa al corazón por medio de las venas
pulmonares, las cuales desembocan en la aurícula izquierda.
c) Los glóbulos rojos, cuando maduran, pierden su núcleo y otros organelos y se
convierten en discos flexibles con una depresión en el centro.
d) Los neutrófilos son los leucocitos más abundantes en la sangre y a menudo
son los primeros en responder en un sitio de infección.
138 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
27. ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO?
a) La fiebre mejora los pasos de la inmunidad innata y adaptativa, pues
acelera la producción de glóbulos blancos, mientras que reduce la tasa de
replicación viral y la división bacteriana.
b) La IgG es el anticuerpo que cruza la placenta; protege al feto.
c) Cuando una persona inhala, el diafragma se aplana y se mueve hacia
abajo y los músculos intercostales externos se contraen.
d) En la respiración normal, el volumen corriente que entra y sale de los
pulmones es de 0.5 litros, y en las exhalaciones forzadas, los pulmones se
desinflan completamente.
28. Las siguientes son ejemplos de células gliales, EXCEPTO:
a) Astrocitos
b) Oligodendrocitos
c) Células ependimarias
d) Condrocitos
29. Las enzimas pancreáticas incluyen, EXCEPTO:
a) Tripsina
b) Quimiotripsina
c) Amilasa
d) Gastrina
30. ¿Qué tipos de músculo forman parte del estómago?
a) Circular
b) Longitudinal
c) Oblicuo
d) Todas son correctas
CUARTA SERIE: APAREAMIENTO (20 pts.)
Instrucciones Coloque el número del término a la par de la letra correspondiente en
la hoja de respuestas. Algunos términos no aplican. Cada respuesta correcta tiene un
valor de 0.8 puntos
DEFINICIONES
A. Proyecciones pilosas en procariotas que son utilizadas para adherirse entre sí
o a las superficies celulares de otros organismos.
B. Membrana de la vacuola.
C. Plastidio sin pigmento que almacena almidón en las células y en muchas
semillas, raíces y tubérculos.
139 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
D. Densa red de fibras de proteína que proporciona a las células su resistencia
mecánica y su forma; participa en la división celular.
E. Proteínas transmembrana de canal que permiten que diversos solutos o agua
pasen a través de las membranas.
F. Proceso por el cual la célula ingiere partículas grandes de sólidos como
alimento o bacterias.
G. Serie de reacciones en las que la parte acetil del acetil CoA se degrada a CO2;
los átomos de hidrógeno se transfieren a los portadores; se sintetiza ATP.
H. Serie de reacciones en las que la glucosa se degrada a piruvato; con una
ganancia neta de 2 moléculas de ATP; los átomos de hidrógeno se transfieren
a los portadores.
I. Desdoblamiento fotoquímico del agua en las reacciones dependientes de la luz
de la fotosíntesis; en este proceso se libera oxígeno a la atmósfera.
J. Fijación de carbono que ocurre en el estroma mediante una secuencia de
reacciones.
K. Composición cromosómica de un individuo.
L. Proteínas reguladoras cuya concentración oscila durante el ciclo celular.
M. Proceso durante el cual los cromosomas homólogos apareados intercambian
material genético.
N. Ubicación de un gen particular en el cromosoma.
O. Enzimas que se unen al ADN en el origen de replicación y rompen los enlaces
de hidrógeno, causando la separación de las dos cadenas.
P. Extremos protectores de los cromosomas que consisten en secuencias de ADN
cortas, simples y no codificadoras que se repiten muchas veces.
Q. Secuencia de tres bases nucleótidas consecutivas en el ARNm.
R. Grupo de organismos, con estructura, función y comportamiento similares,
que son capaces de cruzarse naturalmente entre sí y producir progenie fértil.
S. Proceso mediante el cual una nueva especie evoluciona dentro de la misma
región geográfica que la especie progenitora.
T. Cambios evolutivos a pequeña escala debidos a cambios en las frecuencias
alélicas que tienen lugar dentro de una población durante varias
generaciones.
U. Ensambles parecidos a vesículas de polímeros orgánicos producidos
abióticamente.
V. Tipo de evidencia fósil que consiste en rocas con forma de columna
compuestas de capas de células procariotas.
W. Cada punto de ramificación, en un cladograma, que representa la divergencia,
o división, de dos o más grupos nuevos de un ancestro común.
X. Caracteres ancestrales compartidos.
Y. Partícula infecciosa diminuta, compuesta por una cadena circular muy corta
de ARN desnudo.
140 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
TÉRMINOS
1. cariotipo 12. estromatolitos 23. microevolución
2. ciclinas 13. fagocitosis 24. nodo
3. ciclo de Calvin 14. fimbrias 25. pinocitosis
4. ciclo de Krebs 15. fotólisis 26. plásmidos
5. citoesqueleto 16. glucólisis 27. plesiomorfias
6. codón 17. helicasas 28. porinas
7. comunidad 18. intercinesis 29. protobiontes
8. entrecruzamiento 19. leucoplasto 30. sinapomorfias
9. especiación
alopátrica 20. ligasas 31. telómeros
10. especiación
simpátrica 21. locus 32. tonoplasto
11. especie 22. macroevolución 33. viroide
141 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
4.5 TECNOLOGÍA
DECIMOTERCERA OLIMPIADA
INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DEL ÁREA TECNOLOGÍA
INSTRUCCIONES:
A continuación se le presenta una serie de problemas, debe de proponer su solución
por medio de un programa de computadora que resuelvan cada problema, puede
resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada
problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que le será
entregado por los jueces, deberá generar su salida y entregarla para su verificación.
Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la
competencia. A menos que se indique otro método, los problemas deberán solicitar el
nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salida N.txt,
donde N corresponde al número de problema.
PROBLEMA 1: (35 puntos)
ESPIRALES.
DESCRIPCIÓN
Se tiene una cuadrícula rectangular de M por N casillas. Iniciando de la casilla en la
esquina superior izquierda, se desea dibujar una espiral en la cuadrícula.
Las reglas para dibujar la espiral son las siguientes:
• La espiral siempre se inicia a dibujar desde la esquina superior izquierda.
• La espiral siempre gira en sentido horario.
• Puedes dejar de dibujar la espiral en cualquier momento.
• Un punto se considera una espiral, de igual forma una línea.
• La espiral nunca pasa dos veces sobre un cuadro
Algunos ejemplos de espirales válidas son:
PROBLEMA
142 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
Dadas las dimensiones de una cuadrícula, escribe un programa que cuente el número
total de espirales distintas que pueden dibujarse y escriba ese número módulo
1,000,000,000, es decir, el residuo que se obtiene de dividir el número por
1,000,000,000.
ENTRADA
Tu programa deberá leer de la entrada estándar los siguientes datos:
• En la primera línea dos números enteros separados por un espacio: M y N
que representan el alto y el ancho de la cuadrícula respectivamente.
SALIDA
Tu programa deberá escribir a la salida estándar un único número que indique el
número total de espirales distintas que pueden dibujarse.
CONSIDERACIONES
1 <= N, M<= 1000
Entradas Salidas
6 7 1715
8 8 12869
10 20 30045014
15 10 3268759
7 9 11439
4 4 69
143 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PROBLEMA 2: (25 puntos)
RANGOS.
DESCRIPCIÓN:
Se tiene un renglón con casillas numeradas del 1 al N. Inicialmente cada casilla
contiene el número 0. Los valores en las casillas del renglón se pueden actualizar
utilizando el siguiente mecanismo:
• Se define un rango de casillas del renglón como i,j, donde i < j. Por
ejemplo i=3, j=6.
• Se le suma 1 a la casilla i, 2 a la casilla i+1, 3 a la i+2, y así hasta
llegar a la casilla j.
Por ejemplo, si N=7 se tiene un renglón de 7 posiciones que originalmente está lleno
con 7 ceros {0,0,0,0,0,0,0}, al actualizar el rango 3, 6 el renglón queda {0,0,1,2,3,4,0},
una siguiente actualización al rango 4,7 dejaría el renglón como sigue: {0,0,1,3,5,7,4}.
Después de aplicar actualizaciones al renglón, se requiere poder responder preguntas
del siguiente tipo:
• Se define un rango de casillas del renglón como u, v, donde u < v. Por
ejemplo u=4, v=6.
• Se debe dar como respuesta la suma de los valores de todas las
casillas comprendidas en el rango, módulo 10,000, es decir, el
residuo que se obtiene si se divide el total entre 10,000.
PROBLEMA
Dado el número N y una serie de A rangos de actualización escribe un programa que
sea capaz de contestar P preguntas en el tiempo dado.
ENTRADA
Tu programa deberá leer de la entrada estándar los siguientes datos:
• La primera línea contiene 3 números enteros separados por un
espacio: N, A y P que representan el largo del renglón, el número de
actualizaciones y el número de preguntas respectivamente.
• Las siguientes A líneas contienen 2 números enteros cada una y
representan un rango de actualización.
• Las siguientes P líneas contienen 2 números enteros cada una y
representan el rango de una pregunta.
144 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
SALIDA
Tu programa deberá escribir a la salida estándar Plíneas, cada una con un número
entero que representa la respuesta a la pregunta correspondiente.
NOTA: Recuerda que las respuestas a las preguntas deberán ser módulo 10,000.
CONSIDERACIONES
1 <= N <= 1,000,000,000
1 <= A <= 1,000
1 <= P <= 1,000
Entradas Salidas
8 3 3
4 5
1 8
3 7
4 6
3 8
1 8
27
51
54
9 5 2
1 9
2 7
5 9
2 6
2 6
2 7
1 9
84
111
11 4 3
1 11
3 8
4 10
5 10
4 10
5 11
2 8
118
122
81
12 4 2
1 5
5 10
8 12
6 12
1 12
5 12
79
69
20 2 4
1 20
10 20
1 5
1 10
5 20
2 12
15
56
266
83
145 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
REQUERIMIENTOS DE EJECUCION.
Para obtener los puntos en este problema, tu programa deberá terminar en un tiempo
menor a 1 segundo.
EVALUACION.
En un subconjunto de los casos de prueba con un valor total de 30 puntos N <= 1000 y
A, P <= 100.
En otro subconjunto de casos de prueba (distinto del anterior) con un valor total de 30
puntos, el rango de cada una de las preguntas nunca tendrá una longitud mayor a
1001. Y A, P <= 100.
INFORMACION UTIL.
La fórmula para calcular la sumatoria de los números desde 1 hasta k es la siguiente:
Suma de todos los números desde 1 hasta k = k * (k + 1) / 2
146 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PROBLEMA 3: (20 puntos)
VUELTAS.
DESCRIPCIÓN
Se tiene un tablero de M filas por N columnas donde M y N son números impares
mayores a uno. Sobre este tablero se desean realizar dos tipos de operaciones: Vueltas
verticales y Vueltas horizontales.
Una Vuelta se refiere a un giro del tablero que utiliza como eje de giro, la fila central
en el caso de las vueltas verticales y la columna central en el caso de las vueltas
horizontales.
Por ejemplo, si sobre un tablero se realiza una vuelta vertical entonces la fila que está
hasta arriba ahora estará hasta abajo y viceversa, lo mismo con la segunda de arriba
hacia abajo quedará ahora como segunda de abajo hacia arriba, etc.
PROBLEMA.
Escribe un programa que reciba como entrada el tablero y la secuencia de vueltas a
realizar sobre él y escriba como salida la configuración final del tablero después de
haber aplicado K vueltas.
Restricciones
1 < M, N < 1,000 Dimensiones del tablero.
1 <= K <= 50,000 Número de vueltas a ejecutar sobre el tablero
1 <= Aij < 1,245 Contenido de la posición (i,j) del tablero.
ENTRADA.
En la primera línea los números M y N que indican el tamaño del tablero.
En las siguientes M líneas habrá N números enteros separados por un espacio
en cada una que indican el contenido del tablero en esa fila.
En la línea siguiente a la última del tablero, el número K que indica la cantidad
de vueltas a aplicar.
En las siguientes K líneas habrá un carácter ‘V’ o ‘H’ (mayúsculas) que indica
una vuelta Vertical u Horizontal. Las vueltas al tablero se aplican en el orden
en el que aparecen en el archivo.
SALIDA.
Tu programa debe escribir a la pantalla los siguientes datos:
147 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
M líneas con N enteros separados por un espacio cada uno que indiquen el
estado final del tablero después de haber aplicado las K vueltas en el orden que
se especifica en la entrada.
Entradas Salidas
4 7
2 4 6 8 10 12 14
16 18 20 22 24 26 28
30 32 34 36 38 40 42
44 46 48 50 52 54 56
3
H
V
H
44 46 48 50 52 54 56
30 32 34 36 38 40 42
16 18 20 22 24 26 28
2 4 6 8 10 12 14
2 4
10 20 30 40
50 60 70 80
5
V
V
V
V
H
40 30 20 10
80 70 60 50
5 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
3
H
H
V
13 14 15
10 11 12
7 8 9
4 5 6
1 2 3
3 8
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
4
V
V
H
H
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
3 7
10 20 30 40 50 60 70
80 90 100 110 120 130 140
150 160 170 180 190 200 210
7
V
V
V
H
H
H
V
70 60 50 40 30 20 10
140 130 120 110 100 90 80
210 200 190 180 170 160 150
148 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PROBLEMA 4: (10 puntos)
FRACCIONES EGIPCIAS.
DESCRIPCIÓN
Cuando los antiguos egipcios escribían fracciones, solo podían usar unas de la forma 1
/ a , llamadas fracciones unitarias. Un egipcio que quisiera escribir la fracción b / c ,
donde b no era 1, tuvo que escribirla como la suma de fracciones unitarias (diferentes).
Todas las fracciones b / c ( b< c ) se pueden escribir como una fracción egipcia.
Por ejemplo, la fracción 5/6 se escribió como 1/2 + 1/3, y 6/7 se escribió como 1/2 + 1/3 +
1/42. Las fracciones egipcias no son necesariamente únicas: 6/7 también se puede
escribir como 1/2 + 1/4 + 1/14 + 1/28. Dado que las fracciones unitarias deben ser
diferentes, 2/3 se puede escribir como 1/2 + 1/6, pero no 1/3 + 1/3.
Una fracción egipcia que representa b / c es 'mínima' si usa la menor cantidad de
fracciones unitarias posibles. Una fracción egipcia es 'óptima' si es mínima, y la
fracción de unidad más pequeña es lo más grande posible. Puede haber varias
fracciones egipcias mínimas y varias óptimas para un b / c dado.
Por ejemplo, 19/45 no se puede representar como la suma de dos fracciones de unidad,
pero hay 5 formas de representarlo como la suma de 3 fracciones de unidad: 1/3 + 1/12
+ 1/180, 1/3 + 1 / 15 + 1/45, 1/3 + 1/18 + 1/30, 1/4 + 1/6 + 1/180 y 1/5 + 1/6 + 1/18. Estas
cinco fracciones egipcias son todas mínimas. Solo 1/5 + 1/6 + 1/18 es óptimo, ya que
1/18 es mayor que 1/30, 1/45 y 1/180.
PROBLEMA
Escriba un programa que ingrese dos números a y b, y calcule una fracción
egipcia que represente a / b con no más de una unidad de fracciones. Solo se
le darán fracciones con 0 < a < b <1000. Su programa debería generar los
denominadores (partes inferiores) de las fracciones unitarias.
RESTRICCIONES:
Ninguna fracción de unidad deberá ser menor que 1/32000. [Todavía puede generar
denominadores superiores a 32000, siempre que no tengan más de 8 dígitos].
149 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PROBLEMA 5: (5 puntos)
TIEMPO.
DESCRIPCIÓN
Dado un tiempo en números, podemos convertirlo en palabras. Por ejemplo:
ENTRADA Y SALIDA
5:00 →Cinco en punto.
5:10 →Las cinco y diez minutos.
5:15 →Las cinco y cuarto.
5:30 →Las cinco y media.
5:45 →Las seis menos cuarto.
5:47 →Las cinco y cuarenta y siete minutos.
PROBLEMA
Escriba un programa que ingrese dos números (el primero entre 1 y 12, el segundo
entre 0 y 59 inclusive) y luego imprima el tiempo que representan, en palabras. Debe
seguir el formato de los ejemplos anteriores. Su programa debería terminar entonces.
150 Decimotercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología
PROBLEMA 6: (5 puntos)
POEMA.
DESCRIPCIÓN
Como cada año, en el colegio de José se organiza todo un evento por el día de la madre.
Comenzar a con un himno, coreografías de bailes, una pequeña obra de teatro, una
banda de estudiantes tocara un tema especialmente dedicado y, por último, un poema,
(a cargo de José). Pero, José está muy nervioso, ha hecho todo lo posible para
memorizar el poema. Sus amigos decidieron ayudar a José quitando todas las vocales
del poema y remplazarlos por guiones, luego dejaron que José lo lea para ver si
realmente lo ha memorizado todo. El problema es que los amigos de José quieren estar
seguros de remplazarlos bien sin arruinar el poema, para lo cual decidieron hacerlo
mediante un programa.
Tu trabajo es ayudar a estos niños.
ENTRADA.
La primera línea tendrá un número entero N (0 < N < 1000) que representa el número
de líneas que tendrá el poema. Cada línea del poema tendrá un máximo de 100
caracteres que contendrá: mayúscula (A-Z), minúscula (a-z), espacios ( ), puntos (.) y
comas (,).
SALIDA.
En la salida se mostrará el poema sin vocales como se muestra en el ejemplo de salida.