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5/19/2018 6.- Capitulo IV - Formulacion Matematica
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CAPITULO IV
FORMULACION MATEMATICA DE LA METODOLOGIA PROPUESTA
4.1 INTRODUCCIN
El propsito principal de este captulo es presentar un modelo robusto, donde
se incluya las ecuaciones de control y cuya nueva variable de estado sea el
valor del dispositivo shunt.
Las dificultades en la operacin de los sistemas de potencia, se ha
incrementado en los ltimos aos, esto en funcin a la complejidad del
sistema y a las restricciones de orden econmica. Dentro de este escenariose
puede observar que los problemas relacionados a la incapacidad del sistema
de mantener las tensiones detodas las barras en niveles aceptables en
r!imen permanente, tanto en condiciones normales de operacin como
despus de la ocurrencia de un disturbio, que pueda ser causada por el
incremento en la demanda. En este ambiente, uno de los principales
problemas que deben hacer frente las empresas de ener!a, es como
mantener los niveles de tensin adecuados y de la forma m"s econmica.
Es importante definir el concepto de estabilidad de entre todas las que e#isten
en la literatura especiali$ada, en este trabajo, estabilidadest" definida por% &'n
punto de operacin de un sistema de potencia es estable s, a continuacin de
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cualquier pequeo disturbio, el estado del sistema de potencia retorna al
inicial o cerca del punto de operacin(.
) partir de este punto de vista, la utili$acin de dispositivos shunt, basado en
el control de tensin, forman un soporte de potencia reactiva a la red y en lapr"ctica es una alternativa m"s atractiva, debido a que es m"s econmico,
por este motivo, estos dispositivos son ampliamente utili$ados en los sistemas
*+.
'na de las caractersticas de los sistemas de potencia es la variacin de la
demanda, la cual dificulta la representacin de dispositivos shunt en
pro!ramas de flujo de potencia. -or este motivo, el mtodo de representacin
de dispositivos de control, presentado en */ presenta una !ran sensibilidad
de las variables de control en relacin al estado del sistema. 0omo
consecuencia, de la inclusin de los dispositivos de control, es que se
incremente el nmero de iteraciones y en condiciones e#tremas, el proceso
iterativo no pueda conver!er.
'n breve resumen sobre la metodolo!a !enrica de representacin de
dispositivos de control en problemas de flujo de potencia es representada eneste captulo.
El tem 1.2.3 presenta una visin !eneral del impacto de la utili$acin de
dispositivos shunt en la evaluacin de la m"#ima transferencia de potencia en
un sistema tradicional de dos barras. El principal objetivo de este estudio es
e#plorar los conceptos b"sicos, relacionados a la se!uridad de tensin.
4.2 METODOLOGA PROPUESTA PARA EL CLCULO DE FLUJO DE
POTENCIA CONTINUO
Este tem tiene por objetivo%
Llevar al lector a una comprensin del 4todo de 0ontinuacin el cual
tiene por objetivo eliminar los problemas relacionados con la
sin!ularidad de la matri$ 5acobiana en pro!ramas de flujo de car!a. La utili$acin del mtodo propuesto por )jjarapu y 0hristy en ++3.
Este mtodo es tambin conocida con el nombre de parametri$acin
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local, el cual consiste en determinar el punto de m"#imo de
car!abilidad 6-407. En el mtodo del vector tan!ente, la variable
esco!ida es aquella que presenta la mayor variacin, haciendo que el
factor de car!abilidad pase a ser, a partir de ah, una variable
dependiente y en cuanto a la variable esco!ida pasa a ser un nuevo
par"metro
4.2.1 Parametr!a"#$ %e&m'tr"a (ara e) F)*+& ,e P&te$"a C&$t$*a -aa,a
e$ )a /ara-)e ,e te$#$ 0 e) a"t&r ,e "ar%a-),a,.
Este mtodo consiste en incrementar un sistema de ecuaciones a la
ecuacin 63.87, descrito en la ecuacin 61.7, el cual pasa por un punto
esco!ido O (0,V
0) en el plano V 6variable del factor de car!abilidad
y la ma!nitud de la tensin nodal de una barra cualquiera k6 Vk 77.
W( ,V , , )=(0 )(VkVk0 )=0 (4.1)
Donde el par"metro es el coeficiente an!ular que se resta. 0omo una
nueva ecuacin es adicionada, puede ser tratado como una variable
dependiente y como una variable independiente, siendo este valor
esco!ido como par"metro de continua 6su valor es fijado7. )s mismo, el
nmero de inc!nitas es i!ual al nmero de ecuaciones, esto es una
condicin necesaria para que se obten!a una solucin al sistema deecuaciones y de esta manera hace que la matri$ 5acobiana 6 J7 no sea
sin!ular.
0on la solucin del caso base 6 1,V
1y
1
7 obtenida a partir de un flujo de
potencia, procedemos al c"lculo de 1
a partir del punto inicial esco!ido
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O(0 ,V0) y de los respectivos valores obtenidos en el caso base
P(1 , Vk1)
1=
Vk1Vk
0
10
(4.2)
En se!uida, el flujo de potencia continua propuesta, es utili$ado para calcular
las dem"s soluciones a travs de sucesivos decrementos ( ) para el
valor de . -ara =1+ , la solucin para la ecuacin 63.87 y 61.7
formara un nuevo punto de operacin 6 2,V
2y
2
7 correspondiente a la
interseccin de la trayectoria de soluciones 6curva -9:7 haciendo que el
nuevo valor del coeficiente an!ular 6 1+ 7 ser" calculado y lue!o
especificado. -ara =1
, representara una solucin de conver!encia
cuando =1 . 'na e#pansin al sistema de ecuaciones 63.87 y 61.7 con
Figura 4.1 Grafica de la Tensin en funcin de
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respecto a la serie de ;aylor, incluyendo solo los trminos de primer orden y
considerando un valor pre fijado del valor del par"metro , el que fue
calculado del caso base, resulta en%
[ Jac GW/ z ][ z ]=Jm[ z ]=[GW](4.3)
Dnde%
z=[ V ]T
Jac es la matri$ 5acobiana de flujo de potencia.
G corresponde a la derivada de G en relacin a factor de
car!abilidad .
Los valores de G y W representan los factores de correccin 6vector
de errores7 de las ecuaciones 63.87 y 61.7. Debemos de observar que estos
valores deben ser cero 6o pr"cticamente nulos, esto es con referencia a la
tolerancia adoptada7 para que se di!a que el caso base conver!i.
)simismo, el valor de W ser" diferente de cero debido a las variaciones
de que a su ve$ es afectado por el incremento de .
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haciendo que la estructura de la matri$ 5acobiana 6 Jac 7 sea modificada.
En caso del mtodo propuesto, es muy importante la mudan$a de
par"metros a lo lar!o de todo el tra$ado de la curva - = :, la cual implicara
la mudan$a de la matri$ 5acobiana, en relacin al valor del elemento,
correspondiente a la derivada de W respecto a 6valor conocido como
7.
4.2.2 A)%&rtm& ,e) Pr&%rama ,e Parametr!a"#$ Ge&m'tr"a (ara e) F)*+&
,e P&te$"a C&$t$*a.
. Condiciones iniciales.- En este paso, se proporciona o iniciali$a la
informacin necesaria para arrancar el proceso iterativo, lo cual
incluye%a. -ar"metros de las lneas, transformadores y car!as.b. -ara nodos -:, se especifica los lmites m"#imo y mnimo de
potencia reactiva de !eneracin.c. -otencia base, valor del dispositivo, valor de la tolerancia
3. Seleccin.9 se eli!en%a. La car!a activa a variar, el cual representa el factor de
car!abilidadb. El mdulo de tensin, donde se encuentra ubicado la car!a
activa a variar.c. El punto inicial &. #ctualiacin de la $endiente.9con el fin de obtener un nuevo punto de
operacin y un incremento en el factor de car!abilidad, se disminuye el
valor de la pendiente en /./>, este proceso continuara hasta que se
alcance la cantidad de puntos deseados en la curva - 9 :.
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8. $roceso iterati%o.-0on los valores actuales de V , y , calcular las
potencias netas inyectadas, tanto real e ima!inaria, usando las
ecuaciones 63.217 y 63.2>7, con ayuda de estos valores se determina el
vector errores de P , Q y W , con las ecuaciones 63.>/7, 63.>7 y
61.7, hasta que el m"#imo valor del vector de errores sea menor o
i!ual a la tolerancia ele!ida. En caso de cumplir con las tolerancias
especificadas, ir al paso ?, de otra manera, reali$ar el si!uiente paso.
@. Solucin del con&unto de ecuaciones lineales ' actualiacin de
%aria"les.-0on los valores actuales de V , y , determinar los
elementos de la matri$ jacobiana, con el fin de encontrar el vector de
correcciones y actuali$ar las variables de estado mediante las
ecuaciones 63.>>7, 63.>87 y 61.37.
?. C(lculos finales.-0uando ya se tiene conocido el estado del sistema
6mdulos de voltaje, "n!ulos de voltajes, factor de car!abilidad7, se
obtiene un punto de operacin del sistema 6punto de la curva - = :7.
'na ve$ obtenido este punto de operacin se re!resa al paso >, hasta
obtener el nmero de puntos de la curva deseada.
+. Calculo del deter)inante- 0on cada punto de operacin obtenida en el
paso ?, se tiene una matri$ jacobiana e#pandida, donde se calcula el
determinante de dicha matri$, hasta obtener una cantidad de valoresi!uales al nmero de puntos deseados de la curva - = :.
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4.2. Da%rama ,e F)*+& ,e) M't&,& Pr&(*et& (ara e) "3)"*)& ,e F)*+& ,e
P&te$"a C&$t$*a.
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Figura 4.*+a, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el c(lculo de Flu&o de
$otencia Continua "asadas en las %aria"les de Tensin ' el Factor de Carga"ilidad
Fuente ela"oracin propia
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Figura 4.* +", iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el c(lculo de Flu&o de
$otencia Continua "asadas en las %aria"les de Tensin ' el Factor de Carga"ilidad
Fuente ela"oracin propia
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4. REPRESENTACINDE DISPOSITIVOS DE CONTROLEN FLUJO DECARGA
4..1 Re(ree$ta"#$ ,e D(&t/& ,e C&$tr&)
'na representacin fle#ible de dispositivos shunt en problemas de flujos de car!a
es obtenida, acrecentando el sistema ori!inal de ecuaciones de potencia,
obtenidas a partir de las ecuaciones 63.217 y 63.2>7. Las ecuaciones que
describen a cada dispositivo de control, posee una variable de estado,
form"ndose un sistema de ecuaciones de orden 2n+nc , donde%
2n es el nmero de ecuaciones del sistema de potencia 6potencia activa
y reactiva7.
nc
es el nmero de ecuaciones que modelan a los dispositivos decontrol 6control de tensin remota o local7.
'na forma !enrica de lineali$ar este sistema de ecuaciones resuelta del proceso
iterativo de AeBton Caphson y mostrada a travs de la ecuacin 61.17
[ P
Q
y ]=[P
P
V
P
x
Q
y
Q
V
Q
x
y
V
y
x ] .[
Vx](4.4)
En esta ecuacin el vector y representa el vector de errores de las
ecuaciones adicionales que modelan el equipamiento de control. El vector x
est" formado por las variables de estado incorporado al problema de flujo de
potencia, al final de cada iteracin las variables de estado son actuali$adas de la
si!uiente forma%
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x(k+1 )=x (k)+ x( k)(4.5)
El mtodo de AeBton Caphson, para la solucin de ecuaciones no lineales, utili$a
como criterio de conver!encia, que el vector de errores sea menor a la tolerancia,
que es relativo al vector de errores de potencia activa y reactiva en barras del
sistema. 0on la inclusin de las nuevas ecuaciones al problema ori!inal, utili$a
como criterio de conver!encia que el vector de errores de potencia activa y
reactiva junto al vector de errores de la tensin controlada, sea menor a la
tolerancia.
La ecuacin 61.7 puede ser convenientemente considerada de la si!uiente forma%
[w y ]=[Jac JwxJyu Jyx]. [u x](4.6)
Donde los vectores w y u son dados por%
[w ]=
[ P
Q
](4.7)
[ u ]=[ V](4.8)
La matri$ Jac en la ecuacin 61.87 representa la matri$ jacobiana de formulacin
tradicional del mtodo de AeBton Caphson, Jwx contiene las derivadas de las
ecuaciones de potencia en relacin con las nuevas variables de estado del
problema. Los bloques Jyu y Jyx representa las derivadas de las ecuaciones
que modelan el control de tensin en relacin a las variables de estado ori!inal y
adicionales respectivamente. La matri$ J es denominada matri$ 5acobiana
E#pandida.
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J=[ Jac JwxJyu Jyx](4.9)
Esta formulacin e#pandida permite !ran facilidad de incorporacin de
dispositivos shunt, tenindose en cuenta que la matri$ Jac es preservada.
4..2 E/a)*a"#$ ,e )a Re(ree$ta"#$ ,e C&m(e$a"#$ S*$t e$ e) mar%e$ ,eCar%a-),a, ,e) Stema
La capacidad de transmisin de un sistema de potencia, esta frecuentemente
asociado a su lmite de estabilidad de tensin. Las curvas que relacionan la
tensin en una determinada barra del sistema con respecto a su demanda de
potencia activa 6- 9 :7 formanuna informacin valiosa sobre los m"r!enes de
car!amento del sistema, tanto para sistemas radiales como para sistemas
complejos.
4..2.1 Ca)"*)& ,e )a M35ma Car%a-),a, ,e) Stema
-ara el sistema de la i!ura 1.2, la m"#ima capacidad de transferencia de
potencia activa depende principalmente de la impedancia del sistema de
transmisin, del !rado de compensacin de la car!a y del factor de potencia. La
i!ura 1.1 representa un circuito equivalente para este sistema.
ES VR
PR+jQR
Figura 4.0 Siste)a 2adial de Carga %ersus Generador
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Este pequeo sistema consiste en una fuente de voltaje constante 6 Es 7
abasteciendo a una car!a 6 !" 7 a travs de una impedancia serie 6 ln 7.
Esta es una representacin de un alimentador radial simple que sirve a un "rea
de car!a !rande a travs de una lnea de transmisin.
La e#presin para la corriente # en la fi!ura 1.1 es%
#=Es
ln+!"(4.10)
Donde # y Es son fasores, y%
ln=ln(4.11)
!"=!"(4.12)
0uya impedancia equivalente es%
ln
VR
PR+jQR
#
!"ES
Figura 4.4 Circuito 3ui%alente de un Siste)a 2adial de Carga %ersus Generador
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( )ln s$n ( )+!" s$n
ln+!"=ln cos ( )+!"cos ( )+j
La ma!nitud de la corriente est" dada por%
lns$n ( )+!"s$n ( )
2
#=ES
Esto puede ser e#presado como%
#= 1
%
E s
ln(4.15)
Dnde%
%=1+(!"
ln)2
+2(!"
ln)cos ( )(4.16)
La ma!nitud del voltaje en la barra de recepcin est" dada por%
VR=!" & #(4.17 )
VR= 1
%
!"
ln& ES(4.18)
La potencia suministrada a la car!a es%
PR=VR# &cos ( )(4.19)
PR=!"
%( ESln)2
cos ( )(4.20)
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La !rafica de # , VR y PR son mostrados en la fi!ura 1.> en funcin de
ln/!" , con cos ( )=0.95 . -ara hacer aplicables para cualquier valor de
ln , los valores de # , VR y PR est"n apropiadamente normali$ados.
0uando la demanda de la car!a se incrementa por decremento de !" , PR
se incrementa r"pidamente al inicio y lue!o lentamente antes de alcan$ar sum"#imo, lue!o del cual decrece. E#iste as un valor m"#imo de potencia activa
que puede ser transmitida a travs de una impedancia de una fuente de voltaje
constante.
La potencia transmitida es m"#ima cuando la cada de voltaje en la lnea es i!ual
en ma!nitud a VR y esto es cuando ln /!"=1 . 0uando !" se
disminuye !radualmente, la corriente # se incrementa y VR decrece.
Figura 4.5 6olta&e de entrega7 corriente ' potencia en funcin de la de)anda de
carga para el siste)a de la figura 4.0
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nicialmente, en altos valores de !" el incremento en la # domina sobre el
decremento en VR y por lo tanto PR se incrementa r"pidamente con el
decremento de !" . 0uando !" se apro#ima a ln , el efecto del
decremento en la corriente es solo un poco mayor que aquel decremento en
VR . 0uando !" en menor que ln , el decremento en VR domina
sobre el incremento en la # y el efecto neto es un decremento en PR .
La condicin de operacin crticacorresponde a la m"#ima potencia que
representa el lmite de operacin satisfactoria. -ara una mayor demanda de
car!a, el control de potencia por variacin de la car!a sera inestableF esto es,
un decremento en la impedancia de car!a, reduce la potencia. Gi el voltaje se
disminuyera pro!resivamente y el sistema lle!ara a ser inestable depender" de
las caractersticas de la car!a. 0on una caracterstica de car!a est"tica de
impedancia constante, el sistema se estabili$a en niveles bajos de potencia y
voltaje que los valores deseados. De otro lado, con una caracterstica de car!a
de potencia constante, el sistema lle!ar" a ser inestable a travs del colapso
voltaje de la barra de car!a. 0on otras caractersticas, el voltaje es determinado
por la composicin de caractersticas de la lnea de transmisin y de la car!a. Gi
la car!a es suministrada por transformadores con cambiadores autom"ticos de
taps bajo car!a, la accin del cambiador de taps tratar" de elevar el voltaje en la
car!a. Esto tiene el efecto de reducir la !" efectiva que ve el sistema. H para
bajos voltajes de VR lleva a una reduccin pro!resiva de voltaje. Ista es pura
y simplemente una clase de inestabilidad de voltaje.
Desde el punto de vista de estabilidad de voltaje, la relacin entre PR y VR
es de inters.
De las ecuaciones 61.?7 y 61.3/7, se puede observar que el factor de potencia
de la car!a tiene un efecto si!nificativo en la caracterstica -otencia = :oltaje del
sistema.
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Esto es de esperarse, debido a que la cada de voltaje en la lnea de transmisin
est" en funcin de la potencia activa as como tambin la potencia reactiva
transferida. La estabilidad de voltaje, de hecho depende de la relacin entre P
, Q y V . La forma tradicional de la relacin entre P y V , se muestra
en la fi!ura 1.8
Aormalmente, solo los puntos de operacin por encima del punto crtico
representan las condiciones satisfactorias de operacin. 'na repentina
reduccin en el factor de potencia 6incremento de QR 7 puede causar que el
sistema cambie de una condicin estable de operacin a una insatisfactoria y
posiblemente inestable, esta condicin se representa por la parte baja de la
curva - = :.
4..2.2 Ee"t& ,e )a C&m(e$a"#$ S*$t
Figura 4.8 Caracter9stica $otencia 6olta&e del siste)a de la figura *
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De una forma !eneral, la compensacin shunt consiste en la inyeccin de
potencia reactiva al sistema, con el objetivo de mejorar el desempeo del
sistema durante su operacin. Desde un punto de vista m"s especfico, el
objetivo es mantener el mdulo de tensin de las barras lo m"s pr#imo posible
de su valor nominal, reducindose de esta forma la corriente en las lneas de
transmisin y por tanto reduciendo las perdidas y contribuyendo a una mejora
del mar!en de se!uridad del sistema.
recuentemente, la compensacin de potencia reactiva de un sistema es posible
a travs de un banco de capacitores en contrapartida a las caractersticas
inductivas de la car!a.
Del sistema de la fi!ura 1.1, modificamos el factor de potencia debido a lainyeccin de potencia reactiva a travs de dispositivos shunt en la barra de
car!a, donde lo!ramos obtener una familia de caractersticas - = : para
diferentes valores del factor de potencia, el cual es mostrado en la fi!ura 1.@.
Figura 4.: Caracter9stica $otencia 6olta&e para diferentes factores de potencia
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Ge observa que e#isten diferentes lmites de potencia al variar el factor de
potencia. Esto reflejara el efecto positivo del compensador de potencia reactiva
en la determinacin del lmite de trasmisin por voltaje.
Las curvas - = : son usualmente adoptadas, para poder evaluar la se!uridad de
tensin en an"lisis de r!imen permanente, donde tambin observamos el
comportamiento de la tensin al aumentar la car!a del sistema en relacin al
factor de potencia de la car!a.
La utili$acin de bancos de capacitores, presenta al!unas limitaciones en cuanto
a su utili$acin, para la mejora de la se!uridad de tensin de un sistema.
Aosotros damos al!unos aspectos relevantes en relacin a este tipo de
compensacin.
En sistemas altamente compensados, la re!ulacin de la tensin tiende a
ser menos eficiente. La potencia reactiva, formada por dispositivos shunt es directamente
proporcional al cuadrado del valor de la tensin en el punto de cone#in.
Este comportamiento podra conllevar a un problema, si retiramos la
inyeccin de potencia reactiva justamente cuando es m"s necesaria.
4.4 ANLISIS MODAL A PARTIR DE LA MATRI6 JACO7IANA E8PANDIDA
4.4.1 Matr! ,e Se$-),a, ,e C&$tr&)e
La metodolo!a propuesta en este trabajo, es basada en la utili$acin del
an"lisis modal para la evaluacin de la interaccin,de dispositivos de control.
Esta metodolo!a consiste en la descomposicin de valores propios y vectores
propios de la matri$ de sensibilidad de controles, que es obtenida, reduciendola matri$ jacobiana e#pandida, definida en la ecuacin 61.17.
Los valores propios, identifican los diferentes modos de interaccin entre los
dispositivos de control. Los vectores propios derechos e i$quierdos, asociados
a los respectivos modos, proporcionan informacin sobre la observabilidad y la
controlabilidad de cada modo. En otras palabras, se tendr" informacin relativa
de los dispositivos de control, que envuelven estas interacciones y de las
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ecuaciones de equipamiento, donde las medidas correctivas ser"n m"s
efectivas.
) partir del modelo lineali$ado, en r!imen permanente, del problema de flujo
de potencia, dado por la ecuacin 61.17,se puede determinar la matri$ de
sensibilidad de controles 6matri$ Jsc 7. Esta matri$ es calculada a partir de la
manipulacin de lasecuaciones 63.217 y 63.2>7, con el objetivo de obtener la
sensibilidad entre el vector de errores de las ecuaciones de control y y el
vector de las variables de estado adicional x .
Gi se utili$a la ecuacin 61.17 para el an"lisis de sensibilidad, donde se
considera que P=Q=0 , y se define que no e#iste variacin en las
demandas de potencia activa y reactiva, de las barras del sistema, haciendo la
reduccin de la matri$ 5acobiana e#pandida, definida en 61.17,se obtiene una
matri$ Jsc , dada por la ecuacin 61.3?7.
De este modo, manipulando la primera ecuacin 61.87se obtiene la e#presin
de u mostrada en la ecuacin 61.317.
'=[00 ](4.21)
0=Jac &u+J'x & x (4.22)
Jac &u=J'x & x (4.23 )
u=Jac1& J'x & x (4.24 )
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acilit"ndose la sustitucin de u en la se!unda ecuacin de 61.87, se
obtiene Jsc .
y=Jyu &u+Jyx & x (4.25)
y=Jyu &Jac1& J'x & x+Jyx & x (4.26 )
y=(JyxJyu & Jac1& J'x ) & x (4.27)
Lue!o, la matri$ de sensibilidad de controles, es dado por%
Jsc=JyxJyu & Jac1& J'x(4.28 )
y=Jsc & x (4.29 )
x=Jsc1 & y (4.30)
La matri$ de sensibilidades de controles Jsc determina la relacin entre la
variacin incremental de las variables de estado 6variable de control7
conrespecto a la variacin incremental de las ecuaciones de control. El sistema
de ecuaciones, que modelan los dispositivos de control, hace que la matri$
jacobiana tradicional ten!a una estructura de orden superior.
Es importante destacar que el c"lculo de la matri$ de sensibilidad de control
debe de ser, el efecto de un punto de equilibrio de las ecuaciones de potencia,
que es obtenida a travs de la solucin completa o parcial del problema
ori!inal. El costo computacional de este procedimiento no es si!nificativo,
tenindose en vista que en !ran parte del modelaje de estos dispositivos, se
someten e incorporan a la solucin de flujo de potencia a partir de la
conver!encia parcial de las ecuaciones de potencia *>.
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4.4.2 A$3) M&,a) ,e )a Matr! ,e Se$-),a, ,e C&$tr&)e
'na de las principales ventajas del an"lisis modal, aplicado a la matri$ de
sensibilidades de control, es que nos brinda informacin importante sobre la
interaccin de aquellos equipamientos presentes, mediante las ecuaciones decontrol y la participacin de cada uno de estos dispositivos, con respecto a
cada modo del sistema, pudiendo entonces, tomar las medidas correctivas que
deben ser adoptadas. Esta informacin, es obtenida a travs de los vectores
propios, asociados a un valor propio crtico del sistema.
Ge supone que los valores propios de la matri$ Jsc est" representada por 6
1 , 2 ,(,nc 7. En este caso, la matri$ Jsc puede ser dia!onali$ado de
acuerdo a la ecuacin 63.?>7.
De la misma manera que la ecuacin 63.+?7, tambin se puede descomponer la
matri$ Jsc , mediante la ecuacin 61.3?7.
Jsc=)& * &+ (4.31
)
Dnde%
Jsc es la matri$ de sensibilidad de controles, de dimensin nc x nc .
) es la matri$ de vectores propios derechos.
+ es la matri$ de vectores propios i$quierdos.
La ecuacin 63.++7, se puede escribir de la si!uiente forma para la matri$ Jsc
%
Jsc1=)& *1& +(4.32)
Donde la inversa de la matri$ dia!onal, es dada por%
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100
*1=[
1/1
0
0
00
1/20
01/n](4.33)
Gustituyendo la ecuacin 61.237 en 61.2/7, se obtiene%
x=)& *1 & + y (4.34)
x==1nc ) &+
& y(4.35)
Ge puede observar, que en esta ltima ecuacin, cada valor propio , en
conjunto, con sus respectivos vectores propios derechos e i$quierdos, define el
i9simo modo.
Gi se considera que y=$k , donde $k es un vector columna, con todos
sus elementos i!uales a cero, e#cepto en su J9simo termino, el cual
corresponde a la posicin del dispositivo de control del sistema, teniendo
ense!uida una relacin de sensibilidad entre las variables de estado, asociado
a los dispositivos que modelan las ecuaciones de control%
xk
yk=
=1
nc )k &+k
(4.36)
;ambin se puede constatar en la ecuacin 61.287, que el numerador esta
e#presado por )k&+k , el cual representa el factor de participacin -k .
4.4. A)%&rtm& ,e) Pr&%rama (ara e) A$3) M&,a) ,e )a matr! Ja"&-a$a
E5(a$,,a
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101
. Condiciones iniciales.- En este paso, se proporciona o iniciali$a la
informacin necesaria para arrancar el proceso iterativo, lo cual incluye%a. -ar"metros de las lneas, transformadores y car!as.b. -ara nodos -:, se especifica los lmites m"#imo y mnimo de
potencia reactiva de !eneracin.
c. -otencia base, valor de la tolerancia.
3. Seleccin.9 se eli!en%a. La tensin en la barra 6 j 7 a controlar.b. La ubicacin del dispositivo shunt a conectar.
2. Calculo de la Matri !"us.9 se utili$a la ecuacin 63.387
1. $roceso iterati%o.-0on los valores actuales de V , y s/un0 , calcular las
potencias netas inyectadas, tanto real e ima!inaria, usando las ecuaciones63.217 y 63.2>7, con ayuda de estos valores se determina el vector errores
de P , Q yV c1n0213 , con las ecuaciones 63.>/7, 63.>7, hasta que el
m"#imo valor del vector de errores sea menor o i!ual a la tolerancia
ele!ida. En caso de cumplir con las tolerancias especificadas, ir al paso 8,
de otra manera, reali$ar el si!uiente paso.
>. Solucin del con&unto de ecuaciones lineales ' actualiacin de %aria"les.-
0on los valores actuales de V , y . s/un0 , determinar los elementos de la
matri$ jacobiana, con el fin de encontrar el vector de correcciones y
actuali$ar las variables de estado mediante las ecuaciones 63.>>7, 63.>87 y
61.>7.8. C(lculos finales.- 0uando ya se tiene conocido el estado del sistema
6mdulos de voltaje, "n!ulos de voltajes, valor del dispositivo shunt7, seobtiene un punto de operacin en estado estacionario del sistema.
@. eter)inacin de los %alores ' %ectores propios de la )atri JR .9 Ge
procede a reducir la matri$ jacobiana e#pandida obtenida a partir del paso
8, de la matri$ jacobiana reducida JR se utili$a las ecuaciones 63.@7,
63.@37 y 63.@>7 para determinar los valores y vectores propios.
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?. eter)inacin de los Factores de $articipacin ' an(lisis de sensi"ilidad
de la )atriJR .9 0on los valores obtenidos en el paso @, se calcula los
factores de participacin y la sensibilidad V 4 Q , de acuerdo a las
ecuaciones 63.+27 y 63.//7.
+. eter)inacin de los %alores ' %ectores propios de la )atri JS5 .9 Ge
procede a reducir la matri$ jacobiana e#pandida obtenida a partir del paso
8, de la matri$ jacobiana reducida JS5 se utili$a las ecuaciones 63.@7,
63.@37 y 63.@>7 para determinar los valores y vectores propios.
/.#n(lisis de Sensi"ilidad de la )atri JS5 .9 0on los valores obtenidos en
el paso +, se calcula la sensibilidad V 4 s/un0 , de acuerdo a la ecuacin
61.287.
4.4.4 Da%rama ,e F)*+& ,e) M't&,& (r&(*et& (ara e) C&$tr&) ,e Te$#$ 0
A$3) M&,a)
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Figura 4.;+a, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin '
#n(lisis Modal
Fuente ela"oracin propia
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Figura 4.; +", iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin
' #n(lisis Modal
Fuente ela"oracin propia
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Figura 4.;+c, iagra)a de flu&o del M/todo $ropuesto para el Control de Tensin '
#n(lisis Modal
Fuente ela"oracin propia