New Jersey Center for Teaching and Learning
Iniciativa de Matemática Progres iva®
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7mo Grado Matemática
Expresiones y Ecuaciones
www.njctl.org
2013-01-23
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Tabla de Contenidos
Operaciones inversasEcuaciones de un pasoEcuaciones de dos pasosEcuaciones de varios pasosDistribuyendo fracciones en ecuaciones
Graficando y escribiendo inecuaciones con una variable
Click sobre el tema para ir a la secciónPropiedad distributiva y factoreo
Combinando términos semejantes
Inecuaciones simples que involucran adición y sustracción
Inecuaciones simples que involucran multiplicación y división
Common Core Standards: 7.EE.1, 7.EE.3, 7.EE.4
Simplificación de Expresiones algebraicas
Traduciendo palabras y expresiones
Propiedades conmutativa y asociativa
Uso de expresiones algebraicas y numéricas y ecuaciones
Glosario
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Vínculos para preguntas de muestra PARCC
Sin calculadora Nº 2
Sin calculadora Nº 11
Sin calculadora Nº 7
Sin calculadora Nº 4
Final del año
Performance en base a las evaluaciones
Sin calculadora Nº 5
Sin calculadora Nº 8
Calculadora Nº 6Calculadora Nº 3
Calculadora Nº 8
Sin calculadora Nº 13Sin calculadora Nº 15
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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.
¿Cuántos tercios es en un entero?
¿Cuántos quintos hay en un entero?
¿Cuántos novenos hay en un entero?
Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.
El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para
armar una "pared de palabras".
(Haz click sobre el subrayado.)
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Volver al tema
FactorUn número entero que puede dividir a
otro número sin dejar resto
15 3 5
3 es un factor de 15 3 x 5 = 15
3 y 5 son factores de 15
1635 .1R
3 no es un factor de 16
4
Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer
número
El cuadro tiene 4 partes
Vocabulario1
Su significado 2
Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la
página del tema.
(Cómo se utiliza en
esta lección)
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Propiedades conmutativa y asociativa
Volver a la Tabla de Contenidos
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Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los términos no cambia el resultado
a + b = b + a5 + 7 = 7 + 5 12= 12
Propiedad conmutativa de la Multiplicación: el orden en que los términos de un producto se multiplican no cambia el producto.
ab = ba4(5) = 5(4)
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Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los términos no cambia el resultado
a + b = b + a5 + 7 = 7 + 5 12= 12
Propiedad conmutativa de la Multiplicación: el orden en que los términos de un producto se multiplican no cambia el producto.
ab = ba4(5) = 5(4)
[This object is a pull tab]
Pist
a
Cuando cambias el orden, puedes poner un témino adelante o atras, pero es lo mismo, el resultado final es igual.
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Propiedad asociativa de la suma: el orden en el que los términos de una suma se agrupan no cambia el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) 5 + 4 = 2 + 7 9 = 9
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Propiedad asociativa de la suma: el orden en el que los términos de una suma se agrupan no cambia el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) 5 + 4 = 2 + 7 9 = 9
[This object is a pull tab]
Pist
a
Estás en una fiesta. Te asocias con Alan y Bárbara y luego con Cristian. Esto es lo mismo que te juntes con Bárbara y Cristian y luego con Alán, solo que el orden es diferente.
Slide 9 (Answer) / 314
La Propiedad Asociativa es particularmente útil cuando se combinan números enteros.
Ejemplo:-15 + 9 + (-4)=-15 + (-4) + 9= -19 + 9 = -10
Cambiándolo de esta manera permite que los negativos sean sumados juntos en primer lugar
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Propiedad Asociativa de la Multiplicación: el orden en el cuál los términos de un producto se agrupan no cambia el resultado.
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1 Identifica la propiedad de: -5 + 3 = 3 + (-5)A Propiedad Conmutativa de la suma B Propiedad conmutativa de la multiplicación
C Propiedad asociativa de la suma
D Propiedad asociativa de la multiplicación
Res
pues
ta
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2 Identifica la propiedad de: a + (b + c) = (a + c) + b
A Propiedad conmutativa de la suma B Propiedad conmutativa de la multiplicaciónC Propiedad asociativa de la multiplicaciónD Propiedad asociativa de la multiplicación
Res
pues
ta
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3 Identifica la propiedad de: (3 x -4) x 8 = 3 x (-4 x 8)A Propiedad conmutativa de la sumaB Propiedad conmutativa de la multiplicación
C Propiedad asociativa de la suma
D Propiedad asociativa de la multiplicación
Res
pues
ta
Slide 14 / 314
Habla de por qué el uso de la propiedad asociativa sería útil para los siguientes problemas:
1. 4 + 3 + (-4)2. -9 x 3 x 03. -5 x 7 x -24. -8 + 1 + (-6)
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Combinando términos semejantes
Volver a la Tabla de Contenidos
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Una Expresión - contiene números, variables y al menos una operación.
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Términos semejantes: son los términos en una expresión que tienen la misma variable elevada a la misma potencia
Ejemplos:
TÉRMINOS TÉRMINOSSEMEJANTES NO SEMEJANTES
6x y 2x 6x 2 y 2x
5y y 8y 5x y 8y
4x2 y 7x2 4x2y y 7xy2
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4 Identifica todos los términos semejantes a 2x
A 5xB 3x2
C 5yD 12yE 2
Res
pues
ta
Slide 19 / 314
5 Identifica todos los términos semejantes a 8 y
A 9yB 4y2
C 7yD 8E -18x R
espu
esta
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6 Identifica todos los términos semejantes a 8xy
A 8xB 3x2yC 39xyD 4yE -8xy R
espu
esta
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7 Identifica todos los términos semejantes a 2y
A 51wB 2xC 3yD 2wE -10y
Res
pues
ta
Slide 22 / 314
8 Identifica todos los términos semejantes a 14x 2
A -5xB 8x2
C 13y2
D xE -x2
Res
pues
ta
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Se pueden combinar dos o más términos que se están sumando o restando.
Para combinar términos semejantes suma/resta el coeficiente pero deja la variable sola.
7x +8x =15x9v-2v = 7v
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Algunas veces hay términos constantes que pueden ser combinados
9 + 2f + 6=9 + 2f + 6=
2f + 15
A veces habrá tanto coeficientes como constantes ser combinados.3g + 7 + 8g - 2
11g + 5
Observa que el signo antes de un término dado va con el número.
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Intenta éstos:
1.) 2b +6g(3) + 4f + 9f
2.) 9j + 3 + 2 4h + 6 + 7h + 3
3.) 7a + 4 + 2a -1 9 + 8c -12 + 5c
4.) 8x + 56xy + 5y
Res
pues
ta
Slide 26 / 314
9 8x + 3x = 11x
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 27 / 314
10 7x + 7y = 14xy
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 28 / 314
11 2x + 3x = 5x
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 29 / 314
12 9x + 5y = 14xy
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 30 / 314
13 6x + 2x = 8x2
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 31 / 314
14 -15y + 7y = -8y
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 32 / 314
15 -6 + y + 8 = 2y
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 33 / 314
16 -7y + 9y = 2y
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 34 / 314
17 9x + 4 + 2x =
A 15x B 11x + 4 C 13x + 2x D 9x + 6x
Res
pues
ta
Slide 35 / 314
18 12x + 3x + 7 - 5
A 15x + 7 - 5 B 13x C 17x D 15x + 2
Res
pues
ta
Slide 36 / 314
19 -4x - 6 + 2x - 14
A -22x B -2x - 20 C -6x +20 D 22x
Res
pues
ta
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Propiedad distributiva y factoreo
Volver a la Tabla de Contenidos
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Modelo de superficieImagina que tienes dos habitaciones una al lado de la otra. Ambas tienen 4 pies de longitud, una tiene 7 pies de ancho y la otra 3 pies de ancho.
4
7 3
¿Cómo podrías expresar el área de las dos habitaciones en total?
Slide 39 / 314
4
7 + 3
De una manera u otra el área es 40 pies 2
Podrías sumar 7 + 3 y luego multiplicar por 4
4(7+3)=4(10)=40
O
Podrías multiplicar 4 por 7, luego 4 por 3 y sumarlos
4(7) + 4(3) =28 + 12 =40
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Un modelo de áreaImagina que tienes dos habitaciones una al lado de la otra. Ambas tienen 4 yardas de largo. Una tiene 3 yardas de ancho y no sabes cuanto tiene la otra de ancho.
4
x 3
¿Cómo podrías expresar el área de las dos habitaciones en conjunto?
Slide 41 / 314
4
x + 3
No puedes sumar x y 3 porque no son términos semejantes, de manera que sólo puedes hacerlo multiplicando 4 por x, y 4 por 3 y luego sumando.
4(x) + 4(3)=4x + 12
El área de las dos habitaciones es 4x + 12(Nota: 4x no puede ser combinada con 12)
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La Propiedad Distributiva
Encontrando el área de los rectángulos se demuestra la propiedad distributiva. Utiliza la propiedad distributiva con expresiones que son semejantes a: a(b + c)
4(x + 2)4(x) + 4(2)4x + 8
El 4 es distribuido a cada término de la suma (x + 2)
Slide 43 / 314
Escribe una expresión equivalente a:
5(y + 4)5(y) + 5(4)5y + 20
6(x + 2) 3(x + 4)
4(x - 5) 7(x - 1)
Recuerda distribuir el 5 a la y, y al 4
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Frecuentemente la Propiedad Distributiva es utilizada para eliminar los paréntesis en expresiones tales como 4(x + 2). Esto hace que sea posible combinar términos semejantes en expresiones más complicadas.
EJEMPLOS-2(x + 3) = -2(x) + -2(3) = -2x + -6 o -2x - 6
3(4x - 6) = 3(4x) - 3(6) = 12x - 18
-2 (x - 3) = -2(x) - (-2)(3) = -2x + 6
INTENTA ÉSTOS:3(4x + 2) =
-1(6m + 4) =
-3(2x - 5) =
Cuidado con los signos!
Slide 45 / 314
Ten en cuenta que cuando hay un signo negativo fuera del paréntesis, ésto significa -1.
Por ejemplo:-(2x + 7) = -1(2x + 7) = -1(2x) + -1(7) = -2x - 7
¿Qué observas acerca del problema original y su respuesta?
El número cambió a sus opuestos.
Intenta éstos:-(9x + 3) =
-(-5x + 1) =
-(2x - 4) =
-(-x - 6) =
click para revelar
Slide 46 / 314
20 4(2 + 5) = 4(2) + 5
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 47 / 314
21 8(x + 9) = 8(x) + 8(9)
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 48 / 314
22 -4(x + 6) = -4 + 4(6)
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 49 / 314
23 3(x - 4) = 3(x) - 3(4)
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 50 / 314
24 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis.
3(x + 4)
A 3x + 4B 3x + 12C x + 12D 7x
Res
pues
ta
Slide 51 / 314
25 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis 5(x + 7)
A x + 35B 5x + 7C 5x + 35D 40x
Res
pues
ta
Slide 52 / 314
26 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis (x + 5)2
A 2x + 5B 2x + 10C x + 10D 12x
Res
pues
ta
Slide 53 / 314
27 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis
3(x - 4)
A 3x - 4B x - 12C 3x - 12D 9x
Res
pues
ta
Slide 54 / 314
28 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis 2(w - 6)
A 2w - 6B w - 12C 2w - 12D 10w R
espu
esta
Slide 55 / 314
29 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis -4(x - 9)
A -4x - 36B x - 36C 4x - 36D -4x + 36 R
espu
esta
Slide 56 / 314
30 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis
5.2(x - 9.3) A -5.2x - 48.36B 5.2x - 48.36C -5.2x + 48.36D -48.36x R
espu
esta
Slide 57 / 314
31 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis
A
B
C
D
Res
pues
ta
Slide 58 / 314
Podemos usar la propiedad distributiva al revés. Esto se llama "Factoreo". Cuando factoreamos una expresión, estamos encontrando todos los números o variables que dividen a todas las partes de una expresión.
Ejemplo:7x + 35 Tanto el 7x como el 35 son divisibles por 77(x + 5) Removiendo el 7 hemos factoreado el problema
Podemos controlar nuestro trabajo usando la propiedad distributiva para ver que las dos expresiones sean iguales.
Slide 59 / 314
Podemos factorear con números, variables, o ambos.
2x + 4y = 2(x + 2y)9b + 3 = 3(3b + 1)-5j - 10k + 25m = -5(j + 2k - 5m) *Cuida los signos4a + 6a + 8ab = 2a(2 + 3 + 4b)
Slide 60 / 314
Intenta éstos:Factorea las siguientes expresiones:1.) 6b + 9c = 2.) -2h - 10j = 3.) 4a + 20ab + 12abc =
Res
pues
ta
Slide 61 / 314
32 Factorea: 4p + 24qA 4 (p + 24q)B 2 (2p + 12q)C 4(p + 6q)D 2 (2p + 24q)
Res
pues
ta
Slide 62 / 314
33 Factorea: 5g + 15hA 3(g + 5h)B 5(g + 3h)C 5(g + 15h)D 5g (1 + 3h) R
espu
esta
Slide 63 / 314
34 Factorea: 3r + 9rt + 15rx
A 3(r+ 3rt + 5rx)B 3r(1 + 3t + 5x)C 3r (3t + 5x)D 3 (r + 9rt + 15rx) R
espu
esta
Slide 64 / 314
35 Factorea: 2v+7v+14v
A 7(2v + v + 2v)B 7v(2 + 1 + 2)C 7v (1 + 2)D v(2 + 7 + 14)
Res
pues
ta
Slide 65 / 314
36 Factorea: -6a - 15ab - 18abc
A -3a(2 + 5b + 6bc)B 3a(2+ 5b + 6bc) C -3(2a - 5b - 6bc)D -3a (2 -5b - 6bc)
Res
pues
ta
Slide 66 / 314
37Divide a la expresión: -5n - 20mn - 10np
Tire
Res
pues
ta
Slide 67 / 314
38Si un pentágono regular tiene un perímetro de 10x + 25, cuánto mide cada uno de sus lados?
Res
pues
ta
Slide 68 / 314
39 ¿Qué expresiones son factor de
-48xyz - 24xy + 40xyz ?
Selecciona todas las que aplican
A 4B 24C 3xD 8y
E 2xyF 6xyG xyz
From PARCC sample test
Slide 69 / 314
39 ¿Qué expresiones son factor de
-48xyz - 24xy + 40xyz ?
Selecciona todas las que aplican
A 4B 24C 3xD 8y
E 2xyF 6xyG xyz
From PARCC sample test
[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
A, D, E
Slide 69 (Answer) / 314
40 Un jardín tiene 15 pies de largo por 5 pies de ancho. Tanto la longitud y el ancho del jardín aumentarán por el mismo número de pies. Esta expresión representa el perímetro del jardín más grande:
(x + 15) + (x + 5) + (x + 15) + (x +5)
¿Qué expresión es equivalente a la expresión para el perímetro del jardín más grande?
Selecciona todas las que aplican
A 4x + 40
B 2(2x + 20) C 2(x + 15)(x + 5) D 4(x + 15)(x + 5)
E 2(x + 15) + 2(x + 5)
From PARCC sample test
Res
pues
ta
Slide 70 / 314
Simplificando expresiones algebraicas
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 71 / 314
Ahora vamos a usar lo que conocemos acerca de combinar términos semejantes y propiedad
distributiva para simplificar expresiones algebraicas.
Recuerda, los términos semejantes tiene igual variable e igual exponente.
Slide 72 / 314
Para simplificar:
4 + 5(x + 3) En primer lugar distribuye
4 + 5(x) + 5(3)
4 + 5x + 15 Luego combina términos semejantes
5x + 19
Observa que cuando combinas términos semejantes sumas/restas los coeficientes pero la variable permanece igual. Recuerda que puedes combinar coeficientes o términos constantes.
Slide 73 / 314
41 7x +3(x - 4) = 10x - 4
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 74 / 314
42 8 +(x + 3)5 = 5x + 11
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 75 / 314
43 4 +(x - 3)6 = 6x -14
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 76 / 314
44 2x + 3y + 5x + 12 = 10xy + 12
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 77 / 314
45 5x2 + 2x + 7(x + 1) + x2 = 6x2 + 9x + 7
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 78 / 314
46 2x3 + 4x2 + 6(x2 + 3x) + x = 2x3 + 10x2 + 4x
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 79 / 314
47 ¿Qué expresiones son equivalentes a
-2.5(1 - 2n) - 1.5n?
Selecciona todas las que aplican
A -2.5 - 3.5n
B -2.5 + 3.5n
C -2.5 - 6.5n
D -2.5 - n(5 - 1.5)
E -2.5 + n(5 - 1.5)
From PARCC sample test
Res
pues
ta
Slide 80 / 314
48 La longitud de los lados de un campo de juego de béisbol (home plate) está representada por las expresiones que acompañan a la figura.
A 5xyzB x2 + y3zC 2x + 3yzD 2x + 2y + yz
yy
xx
yz
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
¿Cuál de las expresiones representa al perímetro de la figura? R
espu
esta
Slide 81 / 314
49 Un rectángulo tiene un ancho de x, y una longitud que es el doble del ancho. ¿Cuál es el perímetro de ese rectángulo?
A 4x
B 6xC 8xD 10x R
espu
esta
Slide 82 / 314
Operaciones inversas
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 83 / 314
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es un enunciado matemático que contiene un signo igual para mostrar que las dos expresiones son iguales.
2+3=5
9-2=7
5 + 3 = 1 + 7
Una ecuación algebraica es sólo una ecuación que tiene símbolos algebraicos en una o ambas expresiones.
4x = 24
9 + h = 15
Slide 84 / 314
Las ecuaciones también se pueden usar para indicar la igualdad de dos expresiones que contienen una o más variables.
En los números reales podemos decir, por ejemplo, que para cualquier valor de x se cumple que
4x + 1 = 14 - 1
si x = 3, entonces
4(3) + 1 = 14 - 1 12 + 1 = 13 13 = 13
Slide 85 / 314
Una ecuación puede ser comparada con una balanza equilibrada.
Ambos lados necesitan contener la misma cantidad con el fin de que este "equilibrada".
Slide 86 / 314
Por ejemplo, 9+ 11 = 6 + 14 representa una ecuación debido a que ambos lados pueden reducirse a 20 9 + 11 = 6 + 14 20 = 20
Cualquiera de los valores numéricos de una ecuación pueden ser representados por una variable.
Ejemplos:
15 + c = 25 x + 10 = 25
15 + 10 = y
Slide 87 / 314
Cuando resolvemos ecuaciones, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación para determinar su valor (el valor que
hace que la ecuación sea verdadera).
Slide 88 / 314
Con el fin de resolver una ecuación que contienen una variable, es necesario utilizar las operaciones inversas (opuesto/deshacer) en ambos lados de la ecuación.
Recordemos las inversas de cada operación:
Suma Resta
Multiplicación División
Slide 89 / 314
Existen dos preguntas para hacernos cuando resolvemos una ecuación:
*¿Qué operaciones están en la ecuación?*¿Cuál es la inversa de esa operación (Ésta será la operación que uses para resolver la ecuación)?
Slide 90 / 314
Una buena frase para recordar cuando estás resolviendo ecuaciones es:Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación debes hacerla también del otro lado.Por ejemplo si sumas 3 en un lado del signo igual, debes sumar 3 del otro lado del signo igual también.
Slide 91 / 314
Slide 92 / 314
Para cada ecuación, escribir la operación inversa necesaria para resolver la variable.
a.) y +7 = 14 restar 7 b.) a - 21 = 10 sumar 21
c.) 5s = 25 dividir por 5 d.) x = 5 multiplicar por 12 12
click
click click
click
Slide 93 / 314
Piensa acerca de esto...
Para resolver c - 3 = 12
¿Cuál método es mejor? ¿Por qué?
Celeste
Suma 3 a cada lado de la ecuación
c - 3 = 12 +3 +3 c = 15
Ariel
Resta 12 de cada lado y luego suma 15 a cada lado de la
ecuación.
c - 3 = 12 -12 -12c - 15 = 0 +15 +15 c = 15
Slide 94 / 314
50 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación?
2x = 14
A Adición
B Sustracción
C Multiplicación
D División
Res
pues
ta
Slide 95 / 314
51 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación?
x - 3 = -12
A Adición
B Sustracción
C Multiplicación
D División
Res
pues
ta
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52 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver este problema? -2 + x = 9
A Adición B Sustracción C Multiplicación D División R
espu
esta
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Ecuaciones de un paso
Volver a la Tabla de Contenidos
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Para resolver ecuaciones, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable.
Recuerda que usamos las operaciones inversas con el fin de aislar la variable en un lado de la ecuación.
Lo que sea que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado también!!!
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Ejemplos:
y + 3 = 13 - 3 -3 La inversa de sumar 3 es restar 3 y = 10
4m = 32 4 4 La inversa de multiplicar por 4 es dividir por 4 m = 8
Recuerda - Lo que sea que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado también!!!
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x - 5 = 2 +5 +5 x = 7
x + 5 = -14 -5 -5 x = -19
2 = x - 4+4 +4 6 = x
6 = x + 1-1 -1 5 = x
12 = x + 17-17 -17 -5 = x
x + 9 = 5 -9 -9 x = -4
Ecuaciones de un paso
Resuelve cada ecuación y luego haz click sobre la caja para ver el trabajo y la solución
click to showinverse operation
click to showinverse operation
click click
click
click click
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Ecuaciones de un paso
4x = 16 4 4 x = 4
-2x = -12 -2 -2 x = 6
-20 = 5x 5 5 -4 = x
x 2x = 18
= 9 (2) (2)
x-6 x = -216
= 36 (-6)(-6)
click
click
click
click
click
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53 Resuelve
x - 7 = 19
Res
pues
ta
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54 Resuelve
j + 15 = 17R
espu
esta
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55 Resuelve
42 = 6y
Res
pues
ta
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56 Resuelve
-115 = -5x
Res
pues
ta
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57 Resuelve
= 12 x 9
Res
pues
ta
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58 Resuelve
w - 17 = 37
Res
pues
ta
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59 Resuelve
-3 = x 7
Res
pues
ta
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60 Resuelve
23 + t = 11R
espu
esta
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61 Resuelve
108 = 12r
Res
pues
ta
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62 Considera la ecuación 5 + x = n
¿Qué debería ser verdad sobre cualquier valor de x si n es un valor negativo? Explica tu respuesta. Incluye un ejemplo con números para justificar tu respuesta.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Res
pues
ta
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Algunas veces la operación puede ser confusa.Por ejemplo: -2 + x = 7Esto luce como si tuvieras que usar una resta para deshacer el problema. Si embargo, -2 + x = 7 es igual que x - 2 = 7 de manera que, mientras parece ser una suma, realmente es una resta.
Entonces para deshacerla podemos sumar-2 + x = 7x - 2 = 7 +2 +2 x = 9
ó-2 + x = 7 - (-2) -(-2) x = 9
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-2 + x = 7-2 = -2-4 + x = 5
Aquí no cancelastenada.
-2 + x = 7+2 +2 x = 9
Aquí si cancelaste para encontrar la respuesta.
-2 + x = 7 x - 2 = 7 +2 +2 x = 9
Aquí es igual que con el problema del medio.
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Intenta éstos:
1.) -4 + b = 7
2.) -2 + r = 43.) -3 + w = 6 4.) -5 + c = 9
Res
pues
ta
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Piensa en ésto...
En la expresión
¿A quién le pertenece el "-" ?
¿Le pertenece a la x? Al 3? A los dos?
La respuesta es que hay un negativo así que es usado una sola vez, o con la variable, o con el 3. Generalmente, se lo asignamos al 3 para evitar tener una variable negativa.
De manera que:
Slide 116 / 314
63 Resuelve
Res
pues
ta
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64 Resuelve.
-5 + q = 15
Res
pues
ta
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65 ResuelveR
espu
esta
Slide 119 / 314
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67 Resuelve
Res
pues
ta
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68 Resuelve R
espu
esta
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69 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 123 / 314
Slide 124 / 314
Para deshacer la fracción puedes
Multiplicar por el Recíproco del Coeficiente. Esto significa que darás vuelta la fracción y luego
multiplicarás
**Dividir una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco
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1vez cada número es así mismo, de manera que se puede cancelar.
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Slide 128 / 314
72 Resuelve
Res
pues
ta
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Ecuaciones de dos pasos
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 130 / 314
A veces tenemos que hacer más de un paso para resolver una ecuación. Recuerda que para resolver una ecuación, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable.
Esto significa que hay que deshacer en orden inverso(PEMDSR): 1°: Suma y Resta 2°: Multiplicación y División 3°: Exponentes 4°: Paréntesis
Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacer lo mismo del otro lado!
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Ejemplos:
4x + 2 = 10 - 2 - 2 Primero deshace la suma 4x = 8 4 4 Luego deshace la multiplicación x = 2
-2y - 9 = -13 + 9 + 9 Primero deshace la resta -2y = -4 -2 -2 Luego deshace la multiplicación y = 2
Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacer lo mismo del otro lado!!!
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5b + 3 = 18 -3 -3 5b = 15 5 5 b = 3
3j - 4 = 14 +4 +4 3j = 18 3 3 j = 6
-2x + 3 = -1 - 3 -3 -2x = -4 -2 -2 x = 2
Ecuaciones de dos pasosResuelve cada ecuación y luego haz click sobre la caja para ver
el trabajo y la solución.
-2m - 4 = 22 +4 +4 -2m = 26 -2 -2 m = -13
+5 = +5
t = 15
w + 6 = 102 -6 -6
w 2 = 4 2 2 w = 8
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73 Resuelve la ecuación
5x - 6 = -56
Res
pues
ta
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74 Resuelve la ecuación.
14 = 3c + 2
Res
pues
ta
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75 Resuelve la ecuación.
x 5
- 4 = 24
Res
pues
ta
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76 Resuelve la ecuación.
5r - 2 = -12
Res
pues
ta
Slide 137 / 314
77 Resuelve la ecuación.
14 = -2n - 6
Res
pues
ta
Slide 138 / 314
78 Resuelve la ecuación.
+ 7 = 13 x 5
Res
pues
ta
Slide 139 / 314
79 Resuelve la ecuación.
+ 2 = -10 x 3
-R
espu
esta
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80 Resuelve la ecuación.
Res
pues
ta
Slide 141 / 314
81 Resuelve la ecuación.
Res
pues
ta
Slide 142 / 314
82 Resuelve la ecuación.R
espu
esta
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83 Resuelve la ecuación.
Res
pues
ta
Slide 144 / 314
84 Resuelve
-3 5
1 2
x + = 1 10
Res
pues
ta
Slide 145 / 314
85 Resuelve la ecuación.R
espu
esta
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86 Resuelve la ecuación.
Res
pues
ta
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Ecuaciones de varios pasos
Volver a la Tabla de Contenidos
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Pasos para resolver Ecuaciones con Múltiples Pasos
Como las ecuaciones se vuelven más complejas, deberías:
1. Simplificar cada lado de la ecuación. (Combinando términos semejantes y aplicando propiedad distributiva)
2. Usar las operaciones inversas para resolver la ecuación.
Recuerda que lo que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado de la misma!
Slide 149 / 314
Ejemplo:
5x + 7x + 4 = 28 12x + 4 = 28 Combina términos semejantes -4 - 4 Deshace la suma 12x = 24 12 12 Deshace la multiplicación x = 2
-1 = 2r - 7r +19 -1 = -5r + 19 Combina términos semejantes-19 = - 19 Deshace la resta-20 = -5r -5 -5 Deshace la multiplicación 4 = r
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Intenta éstos.12h - 10h + 7 = 25
-17q + 7q -13 = 27
17 - 9f + 6 = 140
h = 9
q = - 4
f = -13
click
click
click
Slide 151 / 314
Comprueba siempre que ambos lados de la ecuación estén simplificados antes de comenzar a resolver la ecuación.
A veces, es necesario aplicar la propiedad distributiva con el fin de simplificar parte de la ecuación.
Recuerda: la propiedad distributiva es a(b + c) = ab + ac
Ejemplos
5(20 + 6) = 5(20) + 5(6) 9(30 - 2) = 9(30) - 9(2)
3(5 + 2x) = 3(5) + 3(2x)
-2(4x - 7) = -2(4x) - (-2)(7)
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Ejemplos:
2(b - 8) = 28 2b - 16 = 28 Distribuye el 2 con (b - 8) +16 +16 Deshace la resta 2b = 44 2 2 Deshace la multiplicación b = 22
3r + 4(r - 2) = 13 3r + 4r - 8 = 13 Distribuye el 4 con (r - 2) 7r - 8 = 13 Combina los términos semejantes +8 +8 Deshace la resta 7r = 21 7 7 Deshace la multiplicación r = 3
Slide 153 / 314
Intenta éstos.
3(w - 2) = 9
4(2d + 5) = 92
6m + 2(2m + 7) = 54
w = 5
d = 9
m = 4
click
click
click
Slide 154 / 314
87 Resuelve.
9 + 3x + x = 25R
espu
esta
Slide 155 / 314
88 Resuelve
-8e + 7 +3e = -13
Res
pues
ta
Slide 156 / 314
89 Resuelve.
-27 = 8x - 4 - 2x - 11
Res
pues
ta
Slide 157 / 314
90 Resuelve
n - 2 + 4n - 5 = 13R
espu
esta
Slide 158 / 314
91 Resuelve
32 = f - 3f + 6f
Res
pues
ta
Slide 159 / 314
92 Resuelve6g - 15g + 8 - 19 = -38
Res
pues
ta
Slide 160 / 314
93 Resuelve
3(a - 5) = -21 R
espu
esta
Slide 161 / 314
94 Resuelve
4(x + 3) = 20
Res
pues
ta
Slide 162 / 314
95 Resuelve
3 = 7(k - 2) + 17
Res
pues
ta
Slide 163 / 314
96 Resuelve
2(p + 7) -7 = 5R
espu
esta
Slide 164 / 314
97 Resuelve
3m -1m + 3(m-2) = 19.75
Res
pues
ta
Slide 165 / 314
98 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 166 / 314
99 Resuelve R
espu
esta
Slide 167 / 314
100 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 168 / 314
Distribuyendo Fracciones en Ecuaciones
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 169 / 314
Recuerda...
1. Simplifica cada lado de la ecuación.
2. Resuelve la ecuación.(En primer lugar deshace la suma y la resta y luego la multiplicación y la división)
Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo también del otro lado!!!
Slide 170 / 314
Existe más de una manera de resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario. Mientras puedas, no necesitas distribuir.
Multiplicación por el recíproco Multiplicación por el MCD
(-3 + 3x) = 3 5
72 5
(-3 + 3x) = 3 5
72 5
(-3 + 3x) = 3 5
72 5
5 3
5 3
-3 + 3x = 24+3 +3 3x = 27 3 3 x = 9
(-3 + 3x) = 3 5
72 5
(-3 + 3x) = 3 5
72 5
5 5
3(-3 + 3x) = 72 -9 + 9x = 72 +9 +9 9x = 81 9 9 x = 9
click click
Slide 171 / 314
Algunos problemas funcionan mejor cuando multiplicas por el recíproco y otros cuando multiplicas por el MCM.
¿Cuál estrategia usarías para el siguiente? Por qué?
Slide 172 / 314
101 ResuelveR
espu
esta
Slide 173 / 314
102 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 174 / 314
(8 - 3c) = 2 3
16 3
103 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 175 / 314
104 ResuelveR
espu
esta
Slide 176 / 314
105 Resuelve
Res
pues
ta
Slide 177 / 314
106 ¿Qué expresión es equivalente a
A
B
C
D
From PARCC sample test
Slide 178 / 314
106 ¿Qué expresión es equivalente a
A
B
C
D
From PARCC sample test
[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
D
Slide 178 (Answer) / 314
107 Se muestran dos ecuaciones
Ecuación 1:
Ecuación 2:
Resuelve cada ecuación, luego coloca un número en cada recuadro para hacer la afirmación cierta.
El valor de x es y el valor de y es
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Slide 179 / 314
107 Se muestran dos ecuaciones
Ecuación 1:
Ecuación 2:
Resuelve cada ecuación, luego coloca un número en cada recuadro para hacer la afirmación cierta.
El valor de x es y el valor de y es
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
[This object is a pull tab]
Res
pues
ta
x = 15
y = 18
Slide 179 (Answer) / 314
Traduciendo palabras y
expresiones
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 180 / 314
TIRE
Escribe palabras que indican adición
Slide 181 / 314
TIRE
Escribe palabras que indican resta
Slide 182 / 314
TIRE
Escribe palabras que indiquen multiplicación
Slide 183 / 314
TIRE
Escribe palabras que indiquen división
Slide 184 / 314
TIRE
Escribe palabras que indiquen iguales
Slide 185 / 314
Presta atención a la diferencia entre "menos" y "menos que".
Por ejemplo:"Ocho menos tres" y "Tres menos que ocho" son expresiones equivalentes. Entonces, ¿cuál es la diferencia en redacción?
Ocho menos tres: 8 - 3 Tres menos que ocho: 8 - 3
Cuando ves "menos que" necesitas necesitas cambiar el ordende los números.
Slide 186 / 314
Como regla general, si ves las palabras "que" o"de", significa que tienes que invertir el orden
de los dos elementos a ambos lados de la palabra
Ejemplos: · 8 menos que b significa b - 8· 3 más que x significa x + 3· x menos que 2 significa 2 - xclick para revelar
Slide 187 / 314
Muchas maneras de representar multiplicación...
¿Cómo representas 3 veces "a"?
(3)(a) 3(a) 3 a 3a
La representación preferida es 3a
Cuando una variable está siendo multiplicada por un número, el número (coeficiente) está siempre escrito delante de la variable.
Lo siguiente no está permitido:3xa ... El signo de multiplicación parece otra variablea3 ... El número debe estar escrito siempre delante de la variable
Slide 188 / 314
Representación de división...
¿Cómo representas "b dividido por 12"?
b ÷ 12
b ∕ 12
b12
Slide 189 / 314
Cuando se elige una variable, hay algunas que se evitan:
l, i, t, o, O, s, S
Discute con tus compañeros ¿Por qué se deberían evitar?
Res
pues
ta
Slide 190 / 314
Tres veces j
Ocho dividido j
j menos que 7
5 más que j
4 menos que j
12 3
4 5
6 7
8 9
0+
-
.÷
TRADUCIENDO LAS PALABRAS EN EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
j
Slide 191 / 314
La suma de veintitrés y m
Escribe las expresiones para cada oración.Luego controla tu respuesta.
Res
pues
ta
Slide 192 / 314
Veinticuatro menos que d
Escribe las expresiones para cada oración.Luego controla tu respuesta.
Res
pues
ta
Slide 193 / 314
Cuatro veces la diferencia entre ocho y j
Escribe las expresiones para cada oración.Recuerda, algunas veces necesitarás usar paréntesis
para una cantidad.
Res
pues
ta
Slide 194 / 314
El producto de siete y w, dividido 12
Escribe las expresiones para cada oración.Luego controla tu respuesta.
Res
pues
ta
Slide 195 / 314
El cuadrado de la suma de seis y p
Escribe las expresiones para cada oración.Luego controla tu respuesta.
Res
pues
ta
Slide 196 / 314
108 El cociente de 200 y la cantidad de p, 7 veces
A 200 7p
B 200 - (7p)C 200 ÷ 7p
D 7p 200
Res
pues
ta
Slide 197 / 314
109 35 multiplicado por la cantidad de r menos 45
A 35r - 45
B 35(45) - r
C 35(45 - r)
D 35(r - 45) Res
pues
ta
Slide 198 / 314
110 María tiene 5 gomitas para cada uno de 4 amigos.
A 5+4 B 5 - 4 C 5 x 4 D 5 ÷ 4 R
espu
esta
Slide 199 / 314
111 Si n + 4 representa a un entero impar, el siguiente entero impar más grande está representados por
A n + 2B n + 3C n + 5D n + 6
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
Res
pues
ta
Slide 200 / 314
112 a menos que 27
A 27 - a
B a 27
C a - 27
D 27 + a
Res
pues
ta
Slide 201 / 314
113 Si h representa a un número, ¿cuál ecuación es una traducción correcta de: "Sesenta más que 9 veces un número es 375”?
A 9h = 375B 9h + 60 = 375C 9h - 60 = 375D 60h + 9 = 375
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
Res
pues
ta
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Uso de expresiones numéricas y algebraicas y ecuaciones
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 203 / 314
Podemos usar nuestras habilidades de traducción algebraica para resolver otros problemas.
Podemos usar una variable para mostrar una cantidad desconocida.
Una constante será un cantidad fija.
Si hay dos cantidades desconocidas separadas, relaciona una a la otra.
Slide 204 / 314
En la cafetería de la escuela, hoy se vendieron 225 porciones de comidas con pollo. La cantidad de sándwiches de pollo grillado fue dos veces más que la de croquetas de pollo. ¿Cuántas porciones de cada una se vendieron?
2c + c = 225
sándwiches de pollo
croquetas de pollo
comida total
c + 2c = 225 3c = 225 3 3 c = 75La cafetería vendió 150 sándwiches de pollo grillado y 75 croquetas
Slide 205 / 314
Julia está poniendo una pintura en un marco. Su marco es de 9 1/2 pulgadas de ancho y su pintura de 7 pulgadas de ancho. ¿Cuánto debería poner en cada lado?
2m + 7 = 92m + 7 = -7 -7 2m = 2 2 2 m = 1Julia necesita 1 pulgada en cada lado
14
12
12
14
9
ambos lados del mat
Tamaño de la
pintura
Tamaño del marco
12
12
Slide 206 / 314
Muchas veces en las ecuaciones hay un número que es el mismo, no importa cuál (constante) y uno que puede cambiar (variable y coeficiente)
Ejemplo: Jorge está comprando video juegos online.El costo del video es $30 por juego y chipeado tiene una costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró en total?
Slide 207 / 314
Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?
Observa que los vídeo juegos son "por juego", así que eso significa que podría haber diferentes cantidades de juegos y entonces muchos diferentes precios. Esto se muestra a partir de la escritura la cantidad para un juego seguido a la variable que indica cualquier número de juegos.
30g
costo de un vídeo game
número de
juegos
Slide 208 / 314
30 g + 7
costo de un video
juego
número de
juegos
El costo del
chipeado
Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?
Observa también que hay una cantidad específica que está cargada, el costo adicional. Este no cambia, de manera que es la constante y será sumada (o restada) de la otra parte del problema.
Slide 209 / 314
"Total" significa igual de manera que aquí es como escribir el resto de la ecuación.
30g + 7 = 127
La cantidad
total
costo de un video
juego
número de
juegos
El costo del
chipeado
Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7.Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?
Slide 210 / 314
30g + 7 = 127 -7 -7 30g = 120 30 30 g = 4 Jorge compró 4 video games.
Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7.Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?
Ahora podemos resolverlo
Slide 211 / 314
114 Lorena tiene un jardín y quiere poner una puerta a la cerca directamente en el centro de uno de los lados. La longitud total de la cerca es de 24 metros. Si la puerta es de 4 pies, ¿A cuántos pies debería estar a cada lado de la cerca?
12
Tire
Res
pues
ta
Slide 212 / 314
115 Leandro quiere ir al parque de diversiones con su familia. El costo es de $ 12 para el estacionamiento, más $ 27 por persona para entrar en el parque. Ellos gastaron $ 147. ¿Qué ecuación muestra este problema?
A 12p + 27 = 147 B 12p + 27p = 147 C 27p + 12 = 147 D 39p = 147 R
espu
esta
Slide 213 / 314
116 Leandro quiere ir al parque de diversiones con su familia. El costo es de $ 12 para el estacionamiento, más $ 27 por persona para entrar en el parque. Ellos gastaron $ 147. ¿Cuántas personas fueron al parque CON Leandro?
Res
pues
ta
Slide 214 / 314
117 María está ahorrando para una nueva bicicleta que es de $ 239. Ella tiene guardado $ 68. Si quiere guardar $ 9 por semana, ¿cuántas semanas tomará para ahorrar lo suficiente para su bicicleta?
A 9 + 68 = 239B 9d + 68 = 239C 68d + 9 = 239D 77d = 239
Res
pues
ta
Slide 215 / 314
118 María está ahorrando para una nueva bicicleta que es de $ 239. Ella tiene guardado $ 68. Si quiere guardar $ 9 por semana, ¿cuántas semanas tomará para ahorrar lo suficiente para su bicicleta?
Tire
Res
pues
ta
Slide 216 / 314
119 Estás vendiendo camisetas por $ 15 cada una para recaudar fondos. Vendiste 17 menos hoy de lo que hiciste ayer. En total, ha recaudado $ 675.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de camisetas que se vendieron hoy.
Prepárate para mostrar tu ecuación!!!
Res
pues
ta
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120 Raquel compró 12,53 dólares en materiales escolares. Ella todavía tiene que comprar lapiceras que cuestan $ 2.49 por paquete. Tiene un total de 20 dólares para gastar en material escolar. ¿Cuántos paquetes de lapiceras puede comprar?
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de paquetes de lapiceras que Raquel puede comprar.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
Res
pues
ta
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121 La longitud de un rectángulo es 9 cm mayor que su ancho y su perímetro es de 82 cm.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el ancho del rectángulo.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
Res
pues
ta
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122El producto de -4 y la suma de 7 más que un número es -96.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
Tire
Res
pues
ta
Slide 220 / 314
123 Una compañía de revistas tiene más de 2.100 suscriptores este año que el año pasado. Su revista se vende por $ 182 por año. Su ingreso combinado del año pasado y este año es $ 2.566.200.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de subscriptores que tuvieron cada año.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
¿Cuántos abonados hubo el año pasado?
Tire
Res
pues
ta
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124 Una compañía de revistas tiene más de 2.100 suscriptores este año que el año pasado. Su revista se vende por $ 182 por año. Su ingreso combinado del año pasado y este año es $ 2.566.200.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de subscriptores que tuvieron cada año.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
¿Cuántos abonados hay este año?
Res
pues
ta
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125El perímetro de un hexágono es 13.2 cm.
Escribe y resuelve una ecuación para determinar la longitud de un lado del hexágono.
Prepárate para mostrar tu ecuación!
Tire
Res
pues
ta
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126 Rebeca y Megan fueron a un negocio que vende accesorios, bufandas y bolsos. El costo de todos los artículos del negocio incluye impuestos.
Parte A. Rebeca compra algunas bufandas que cuestan $5 cada una y dos bolsos que cuestan $12 cada uno. El costo total de las compras de Rebeca es $39. Escribe una ecuación para calcular n, el número de bufandas que compró.
Arrastra y suelta la variable o el número apropiados dentro de cada recuadro
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
n 2 5 12 17 24 39
+ =
Res
pues
ta
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127 (Continúa de la diapositiva previa)
Megan compró 3 pulseras y 3 collares. Cada pulsera costó $5. Pagó con $40 y le dieron de vuelto $4. ¿Cuánto costó cada collar?
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Res
pues
ta
Slide 225 / 314
128 Jésica alquiló un video juego y dos películas por $11.5.
El alquiler del video juego costó $4.75.
El alquiler de cada película costó lo mismo.
¿Cuánto pagó Jésica el alquiler de cada película?
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Res
pues
ta
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129 La semana pasada, David entrenó la misma cantidad de tiempo cada día, durante 5 días-
Su entrenamiento incluyó caminata y pileta.
Cada día caminó 10 minutos.
En total caminó 225 minutos.
¿Cuántos minutos nadó David en cada uno de los 5 días?
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Res
pues
ta
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130 Al comenzar el mes, el valor de una inversión fue de $48.45, al finalizar el mes, el valor de la inversión cambió perdiendo $13.80.
¿Cuál fue el valor de la inversión al terminar el mes?
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
Res
pues
ta
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Graficando y escribiendo inecuaciones
con una variable
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 229 / 314
Cuando necesitas usar una inecuación para resolver un problema de palabras, es posible que encuentres una de las frases de abajo.
Palabras importantes
Sentencia de muestra Equivalente Traducción
es más que Trenton está a más de 10 millas de distancia.
t > 10
es mayor que A es mayor que B. A > B
debe exceder La velocidad debe exceder los 25 mph.
La velocidad es mayor que
25 mph. s > 25
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Palabras importantes
Sentencia de muestra Equivalente Traducción
no puedeexceder
El tiempo no puede exceder los 60 minutos
El tiempo debe ser menor o igual que 60
minutos
t < 60
es como máximo
Como máximo, 7 estudiantes
llegaron tarde a la clase
Siete o menos estudiantes
llegaron tarde a la clase
n < 7
es comomínimo
Bob tiene como mínimo 14 años
La edad de Bob es mayor o igual
que 14B > 14
Cuando necesitas usar una inecuación para resolver un problema de palabras, es posible que encuentres una de las frases de abajo.
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¿Cómo se leen estas inecuaciones?
2 + 2 > 3 Dos más dos es mayor que 3
2 + 2 ≥ 4 Dos más dos es mayor que o igual a 4
2 + 2 < 5 Dos más dos es menor que 5
2 + 2 ≤ 5 Dos más dos es menor que o igual a 5
2 + 2 ≤ 4 Dos más dos es menor que o igual a 4
2 + 2 > 3 Dos más dos es mayor que o igual a 3
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Leyendo inecuacionesVamos a traducir cada sentencia en una inecuación.
x es menor que 10
20 es mayor que o igual a y
x < 10
palabra
sentencia de inecuación
traducida a
20 > y
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Intenta unos pocos:
1. 14 es mayor que a
2. b es menor que o igual a 8
3. 6 es menor que el producto de f y 20
4. La suma de t y 9 es mayor que o igual a 36
5. 7 más que w es menor que o igual a 10
6. 19 disminuido en p es mayor que o igual a 2
7. menos que 12 ítems
8. No más que 50 estudiantes
9. Al menos 275 personas atienden el juego
Res
pues
tas
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¿Hablas Matemática?Traduce las siguientes expresiones del Español a matemática.
El doble de un número es al menos cuatro.
Tres más un número es al menos seis
2x ≤ 4
3 + x ≥ 6
click
click
Slide 235 / 314
Cinco menos que un número es menos que dos veces ese número.
La suma de dos números consecutivos es al menos trece.
Tres veces un número más siete es al menos nueve.
x - 5 < 2x
x + (x + 1) ≥ 13
3x + 7 > 9
click
click
click
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7.5
$7.50
7.5
al menos
>
Un empleado gana
e
Los empleados de una tienda ganan por lo menos $ 7.50 por hora. Define una variable y escribe una inecuación para la cantidad que los empleados pueden ganar por hora.
e representa el sueldo de un empleado
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Intenta éste:
La velocidad límite en la ruta es 55 millas por hora. Define una variable y escribe una inecuación.
Res
pues
ta
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131 Tienes $200 para gastar en ropa. Ya has gastado $140 y las remeras cuestan $12. ¿Qué ecuación muestra ésta situación?
A 200 < 12x + 140B 200 12x + 140C 200 > 12x + 140D 200 12x + 140
≤
≥
Res
pues
ta
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132 Una tortuga puede vivir hasta 125 años. Si una ya tiene 37 años, cuál es la sentencia que muestra cuántos años más podría vivir?
125 < 37 + x125 37 + x≤
A
BC 125 > 37 + x D 125 37 + x≥
Res
pues
ta
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133 El ancho de un rectángulo es 3 pulgadas más grande que el largo. El perímetro no es menor que 25 pulgadas.
A 4a + 6 < 25B 4a + 6 25C 4a + 6 > 25D 4a + 6 ≥ 25
≤
Res
pues
ta
Slide 241 / 314
134 El valor absoluto de la suma de dos números es menor que o igual que la suma de los valores absolutos de los mismos dos números.
A
B
CD
Res
pues
ta
Slide 242 / 314
Una solución a una inecuación NO es un número individual. En su lugar, las
inecuaciones tienen más que un valor para una solución.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Esto sería leído como, " El conjunto solución son todos los números mayores que o igual a menos 5 "
Conjunto de soluciones
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Vamos a nombrar los números que son soluciones de la desigualdad dada.
r > 10 ¿Cuáles de los siguientes son soluciones? {5, 10, 15, 20}
5 > 10 No es ciertoentonces, 5 no es una solución
10 > 10 No es ciertoEntonces, 10 no es una solución
15 > 10 Es ciertoEntonces, 15 es una solución
20 > 10 Es ciertoEntonces, 20 es una solución
Respuesta:{15, 20} son soluciones para la inecuación r > 10
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Vamos a intentar con otras
30 ≥ 4d; {3, 4, 5, 6, 7, 8}
30 ≥ 4d30 ≥ (4)330 ≥ 12
30 ≥ 4d30 ≥ (4)430 ≥ 16
30 ≥ 4d30 ≥ (4)530 ≥ 20
30 ≥ 4d30 ≥ (4) 630 ≥ 24
30 ≥ 4d30 ≥ (4)730 ≥ 28
30 ≥ 4d30 ≥ (4)830 ≥ 32
click para revelar
click para revelar
click para revelar
click para revelar
click para revelarclick para
revelar
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Graficando inecuaciones. El círculo
Un círculo abierto sobre un número muestra que ese número NO ES parte de la solución. Se usa con "mayor que" y "menor que".La palabra igual no está incluida. < >
Un círculo cerrado sobre un número muestra que ese número ES parte de la solución.Se usa con "Mayor que o igual a" y "menor que o igual a".< >
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Graficando inecuaciones. La flechaLa punta de flecha debería siempre apuntar en la dirección de aquellos números que satisfacen la inecuación.
*Si la variable está en el lado izquierdo de la inecuación, entonces < y ≤ mostrarán una flecha apuntando a la izquierda.
*Si la variable está sobre el lado izquierdo de la inecuación, entonces > y ≥ mostrarán una flecha apuntando hacia la derecha
Slide 247 / 314
Observa que < y ≤ parecen una flecha apuntando a la izquierda y que > y ≥ parecen una flecha apuntando a la derecha
Pero, ¿qué pasa si la variable no está sobre el lado izquierdo? Busca el opuesto de donde apunta el símbolo de la inecuación.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
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¿Cuál es el número en la inecuación?
¿Qué tipo de círculo se debería usar?
¿En qué dirección va la recta?
Graficando inecuaciones
Slide 249 / 314
Paso 1: Reescribe ésto como x < 5.
Paso 2: ¿Qué tipo de círculo? Porque ésto es menos que, no incluye el número 5 así que se debe usar un círculo abierto.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Graficando inecuacionesx es menor que 5
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Paso 4: Dibuja una recta, más gruesa que la recta horizaontal desde el punto hasta la punta de flecha. Esto representa todos los números que cumplen la inecuación.
Paso 3: Dibuja una punta de flecha sobre la recta numérica mostrando todas las posibles soluciones. Los números mayores que la variable, van hacia la derecha. Los números menores que la variable, van hacia la izquierda.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x < 5
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Slide 251 / 314
Paso 1: Reescribe ésto como x ≤ 5.
Paso 2: ¿Cuál es el tipo de círculo? Porque es menor que o igual que, esto si incluye el número 5 así que el círculo debe ser cerrado.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Graficando inecuacionesx es menor que o igual a 5
Slide 252 / 314
Paso 4: Dibuja una recta, más gruesa que la recta horizontal, desde el punto hasta la punta de flecha. Ésta representa todos los números que completan la inecuación.
Paso 3: Dibuja una punta de flecha sobre la recta numérica mostrando todas las posibles soluciones. Los números mayores que la variable, van hacia la derecha. Los números menores que la variable, van hacia la izquierda.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
x ≤ 5
Slide 253 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
IntentaGraficar la inecuaciónx > 2
Graficar la inecuación -3 > x
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Hacé click en 2 sobre la recta numérica para ver la respuesta
Hacé click en -3 sobre la recta numérica para ver la respuesta
Res
pues
ta
Slide 254 / 314
Intenta éstoGrafica las inecuaciones.
1. x > -3
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
2. x < 4
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Res
pues
ta
Slide 255 / 314
Intenta éstos.Indica la inecuación mostrada
1.
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
2.
Res
pues
ta
Slide 256 / 314
135 Este conjunto de soluciones sería x > -4.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
1. x< 52. x> -1
Slide 257 / 314
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
136
A x > 3
B x < 3
C x < 3
D x > 3
Indica la inecuación mostrada.R
espu
esta
Slide 258 / 314
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
137
A 11 < x
B 11 > x
C 11 > x
D 11 < x
Indica la inecuación mostrada.
Res
pues
ta
Slide 259 / 314
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
138
A x > -1
B x < -1
C x < -1
D x > -1
Indica la inecuación mostrada.
Res
pues
ta
Slide 260 / 314
-1-5 1 50-2-3-4 2 3 4
139
A -4 < x
B -4 > x
C -4 < x
D -4 > x
Indica la inecuación mostrada.R
espu
esta
Slide 261 / 314
-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5
140
A x > 0
B x < 0
C x < 0
D x > 0
Indica la inecuación mostrada
Res
pues
ta
Slide 262 / 314
Inecuaciones simples que involucran adición y sustracción
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 263 / 314
x + 3 = 13 - 3 - 3 x = 10
¿Recuerdas como se resuelve una ecuación algebraica??
10 + 3 = 13 13 = 13
Asegúrate de controlar tu respuesta!
Usa la inversa de la adición
Slide 264 / 314
· Resolver inecuaciones de un paso es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso. · Para resolver una inecuación necesitar aislar la variable usando las propiedades de las inecuaciones y la inversa de las operaciones.
· Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado, DEBES hacerlo también del otro lado.
Slide 265 / 314
12 > x + 5-5 -5 Resta para deshacer la suma 7 > x
Para encontrar la solución, aisla (despeja) la variable x.
Recuerda, está aislada o despejada cuando aparece sola en uno de los lados de la ecuación.
Slide 266 / 314
7 > xEl símbolo es > así que se indica con un círculo abierto y estos números son menores que 7 de
manera que van a la izquierda.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Slide 267 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A. j + 7 > -2
Resuelve y grafica.
-9 no está incluido en el conjunto solución; por lo tanto lo graficamos con un círculo abierto.
A. j + 7 > -2 -7 -7 j > -9
Slide 268 / 314
B. r - 2 > 4
Resuelve y grafica.
1110 12 13 149876543210
r - 2 > 4 +2 +2 r > 6
Slide 269 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
5 > w
- 4 - 49 > w + 4
w < 5
C. 9 > w + 4
Resuelve y grafica.
Slide 270 / 314
141 Resuelve la inecuación.
3 < s + 4
____ < s
Res
pues
ta
Slide 271 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10B
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10C
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
D
142 Resuelve la inecuación y grafica la solución.-4 + b < -2
Res
pues
ta
Slide 272 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
B
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
C
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
D
143 Resuelve la inecuación y grafica la solución.
-8 > b - 5R
espu
esta
Slide 273 / 314
144 Resuelve la inecuación.
m + 6.4 < 9.6m < ______
Tire
Res
pues
ta
Slide 274 / 314
Inecuaciones simples que involucran Multiplicación y División
Volver a la Tabla de Contenidos
Slide 275 / 314
Ya que x está multiplicado por 3, aplica en ambos lados la operación inversa, es decir, divide por 3 en ambos lados.
Multiplicando o dividiendo por un Número Positivo
3x > -36
3x > -36 3 3
x > -12
Slide 276 / 314
Resuelve la inecuación
2 3
r < 4
3 2( )
r < 6
Ya que r está multiplicado por 2/3, multiplica ambos lados por el recíproco de 2/3.
2 3
r < 4 3 2( )
Slide 277 / 314
145 3k > 18
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A
B
C
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10D
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Tire
Res
pues
ta
Slide 278 / 314
146
A
B
C
-30 > 3q
10 > q
-10 < q
-10 > q
D 10 < q
Res
pues
ta
Slide 279 / 314
147 X 2
A
B
C
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10D
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
< -3
Res
pues
ta
Slide 280 / 314
148
A
B
C
g > 27
g > 36
g > 108
g > 36
D g > 108
3 4
Res
pues
ta
Slide 281 / 314
149
A
B
C
-21 > 3d
d > -7
d > -7
d < -7
D d < -7
Res
pues
ta
Slide 282 / 314
· Algunas veces debes multiplicar o dividir para despejar una variable.
· Multiplicar o dividiendo ambos lados de una ecuación por un número negativo da un resultado sorprendente.
Ahora vamos a ver qué sucede cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo.
Slide 283 / 314
1. Escribe abajo dos números y coloca los símbolos apropiados apropiados (< o >) entre ellos.
2. Aplica cada regla para tus dos números originales del paso 1 y simplifica. Escribe los símbolos correctos de inecuación (< o >) entre las respuestas.
A. Suma 4
B. Resta 4
C. Multiplica por 4
D. Multiplica por -5
E. Divide por 4
F. Divide por -4
Slide 284 / 314
3. ¿Qué sucedió con los símbolos de inecuación en tus resultados?
4. Compara tus resultados con los de tus compañeros.
5. ¿Qué patrones observas en las inecuaciones?
¿Cómo afectan las diferentes operaciones a las inecuaciones?
Escribe una regla para inecuaciones.
Slide 285 / 314
Vamos a ver qué sucede cuando multiplicamos esta inecuación por -1.
5 > -1
-1 • 5 ? -1 • -1
-5 ? 1
-5 < 1
Sabemos que 5 es mayor que -1
Multiplica ambos lados por -1
Es -5 menor o mayor que 1?
Sabemos que -5 es menor que 1, así que deberías usar <
¿Qué sucedió con el símbolo de la inecuación para mantener la sentencia de inecuación verdadera?
Slide 286 / 314
La dirección de la inecuación cambia sólo si el número que estás usando para multiplicar o dividir es negativo.
Pista útil
Slide 287 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Dividiendo cada lado por -3 cambia > a <.
-3y > 18
-3y < 18 -3 -3
y < -6
Resuelve y grafica.
A.
Slide 288 / 314
Divide cada lado por -7
El signo se da vuelta porque dividiste por un negativo.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
-7m > -28
-7m < - 28 -7 -7
m < 4
Resuelve y grafica.
B.
Slide 289 / 314
Divide cada lado por 5.
El signo NO cambia porque no dividiste por un negativo.
5m > -255m > -25 5 5
m > -5
Resuelve y grafica
C.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Slide 290 / 314
D. -8y > 32
Resuelve y grafica
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
E. -9f > -54
Res
pues
ta
Slide 291 / 314
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Multiplicaste por un negativo.
-r 2
< 5
-2( )r > -10
Multiplica ambos lados por el recíproco de -1/2.
-r 2
> 5 -2( )¿Por qué cambió la inecuación?
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1. -6h < 42
Intenta éstos.Resuelve y grafica cada inecuación.
2. 4x > -20
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Res
pues
ta
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3. 5m < 30
Intenta éstos.Resuelve y grafica cada inecuación.
4. > -3
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
a -2 R
espu
esta
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150
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Resuelve y grafica.
3y < -6
Si no puedes poner la inecuación en tu responder,
sólo coloca el número.
Tire
Res
pues
ta
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151
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Resuelve y grafica.
x -4 < -2 Ti
re
Si no puedes poner la inecuación en tu responder,
sólo coloca el número.
Res
pues
ta
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152
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Resuelve y grafica.
-5y ≤ -25
Tire
Si no puedes poner la inecuación en tu responder,
sólo coloca el número.R
espu
esta
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153
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Resuelve y grafica
n -2 > 2
Res
pues
ta
Si no puedes poner la inecuación en tu responder,
sólo coloca el número.
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154 Considera la desigualdad 5x < 30.
Parte A
Natalia dice que cualquier valor de x menores de 25 hacen cierta la desigualdad. · Usa un ejemplo para demostrar que lo que dice
Natalia no es cierto.· Explica por qué tu ejemplo desaprueba su
afirmación.
Parte B
Describe en palabras todos los valores de x que hacen cierta la desigualdad. Explica tu respuesta.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
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154 Considera la desigualdad 5x < 30.
Parte A
Natalia dice que cualquier valor de x menores de 25 hacen cierta la desigualdad. · Usa un ejemplo para demostrar que lo que dice
Natalia no es cierto.· Explica por qué tu ejemplo desaprueba su
afirmación.
Parte B
Describe en palabras todos los valores de x que hacen cierta la desigualdad. Explica tu respuesta.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
From PARCC sample test
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Res
pues
ta
Las respuestas de los estudiantes incluyen cada uno de los siguientes 2 elementos:· Ejemplo que desaprueba la afirmación de Natalia· Explicación de por qué el ejemplo demuestra que la afirmaciòn no es ciertaMuestra de respuesta5 x < 305 (15) < 3075 < 30La afirmación de Natalia es incorrecta porque elegí 15, un número que es menor que 25 y no hizo cierta la igualdad. Ya que 75 no es menor que 30, no es una solución para la desigualdad. Esto desaprueba laafirmación de Natalia
Las respuestas de los estudiantes incluye cada uno de los siguientes 2 elementos:
· La correcta descripción en palabras, de los valores de x que hacen la desigualdad cierta: x es menor que.
· Explicación válida dada
Muestra de respuestas de Natalia
5 x < 30 así que si divido ambos lados de la desigualdad por 5, obtengo x < 6. Los valores de x que hacen la desigualdad cierta son cualquier valor menor que 6.
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Glosario
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Propiedad asociativa de la suma
El orden en el cual se agrupan los términos de una suma no cambia el
resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
5 + 4 = 2 + 7
9 = 9
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Propiedad asociativa de la multiplicación
El orden en el cual los términos de un producto son agrupados no
cambian el producto.
(a•b)•c = a•(b•c) (3•4)•5 = 3•(4•5)
12•5 = 3•20 60 = 60 (3•4)•5 = 12•5 = 60
3•(4•5) = 3•20 = 60 Volver
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Propiedad conmutativa de la adición
El orden de los términos de una suma no cambia el resultado de la suma.
2 + 3 = 53 + 2 = 5
2 + 3 = 3 + 2 5 = 5a + b = b + a
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Propiedad conmutativa de la multiplicación
El orden de los términos de un producto no cambia el resultado.
2 • 3 = 63 • 2 = 6
2 • 3 = 3 • 26 = 6
ab = ba
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Propiedad distributiva
Para todos los números reales a, b, c, a(b+c) = ab + ac y a(b - c) = ab - ac.
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
3(2 + 4) = (3)(2) + (3)(4) =
6 + 12 = 183(2 - 4) =
(3)(2) - (3)(4) =6 - 12 = -6
3(x + 4) = 48 (3)(x) + (3)(4) = 48
3x + 12 = 48 3x = 36 x = 12
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Ecuación Una afirmación matemática que
contiene un signo igual para representar que dos expresiones son
iguales.
4 + 9 = 13
1 + 2 = 322 = 20 + 2
3y + 2 = 117x = 21
(donde x = 3) 3x + 6 = 11
7 + 4 = 905 = -3 + 10
(donde x = 3)(donde y = 3)
11 - 1 = 3z + 1(donde z = 3) Volver
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7x 3y + 22 - 9b
-0.5a7 x 6
7x = 2111 = 3y + 2
11 - 1 = 3z + 1
¡Recuerda!
7x "7 veces x"
"7 dividido por x"
Números, símbolos y operadores agrupados que representar el valor de
algo.
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Expresión
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Factoreo La propiedad distributiva al
revés.
Calcular todos los números o variables en que se dividen todas las partes de una ecuación.
7x + 35
2x + 4y 13x + 8z
no puede ser factoreado(los términos no tienen nada en común).
PRIMO
1 • 7 • x + 7 • 5
7(x + 5) 1 • 2 • x + 1 • 2 • 2 • y
2(x + 2y) =
=
==
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Inversa
Suma
Resta
Multiplicación
División
+
x ÷
11 = 3y + 2- 2- 2
9 = 3y÷ 3÷ 3
3 = y
- 5 + x = 5
x = 10+ 5 + 5
La operación que revierte o deshace el efecto de otra operación.
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Términos semejantes
Los téminos en una expresión que tienen la misma variable elevada a la misma
potencia.
3x
5x15.7x
x 1/2x
-2.3x27x3
-2x3
x3
1/4x3
-5x3
2.7x3
5x3
5x
5x25
5x4
NO SON SEMEJANTES!
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