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Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 3

GUAS DE TRABAJO

Matemticas

reparado por: Hctor Muozseo Grfico por: www.genesisgrafica.cl

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2/13UNDACIN CHILE - Educacin - Mejor Escuela.

ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N1(TRABAJO INDIVIDUAL)

EMPLEO DE LETRAS PARA REPRESENTAR CANTIDADESResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 La expresin que muestra el recuadro 1 representa una propiedad de la multiplicacin.

a. Expresa esta propiedad en palabras.

b. Menciona 2 ejemplos numricos de esta propiedad.

c. Es vlida esta propiedad si el nmero a es una fraccin?

a 1 = a1

2 La expresin que muestra el recuadro 2 representa unapropiedad de la adicin.

a. Expresa esta propiedad en palabras.

b. Menciona 2 ejemplos numricos de esta propiedad.

Si a + b = centonces c- b = ay c- a = b

2

3 a. Menciona un par de fracciones que cumplan con la condicinindicada en el recuadro 3.

b. Existen pares de nmeros naturales que cumplan con esta

condicin?

pq = 13

4 El recuadro 4 muestra una frmula para calcular elrea S de un rectngulo de lados a y b.

a. Expresa esta frmula en palabras.

b. Es vlida esta frmula para el rea de un cuadrado? Explica tu respuesta.

S = ab4

5 El recuadro 5 muestra la relacin que existe entre dos

cantidades m y n.

a. Cunto debe valer m si n = 8? Y si n = 20?

b. Para qu valor de n se cumple que m = 45?

m = 5 n

5

6 Qu nmero x cumple con la condicin indicada en elrecuadro 6? 25 +x= 100

6

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N2(TRABAJO GRUPAL)

SIGNIFICADO Y PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 a. Observa las relaciones que muestra el recuadro 1. Es posiblededucir de all qu relacin debe existir entrexe y? Refuerzatu respuesta asignando valores ap y a q.

b. La repuesta a la pregunta anterior depende del valor quese asigne a los nmeros representados porp y por q?

x = p + q

p + q = y

1

3 Simn ha escrito en su cuaderno dos nmeros que llamaremos m y n.l informa adems que m = n + 25.

De acuerdo con esta informacin, es posible saber cul de los dos nmeros es mayor?Explica tu respuesta.

4 Qu valor habra que asignar a las letras a, b, cy den cada una de las siguientesexpresiones para que se cumplan las igualdades?

12 5 = a + 3 6 6 = b + 6 3 8 = c+ 4 = d

5 a. Qu valor hay que asignar a las letrasx, y,zen la siguiente expresin?

5 (4 + 8) = 5 4 +x 8 = 20 + y=z

b. Se podra afirmar en este caso quez= 5 (4 + 8)? Explica tu respuesta.

6 A continuacin se muestran dos formas de anotar el procedimientoseguido para resolver el ejercicio del recuadro 3.

(I) 11 4 = 7 + 3 = 10

(II) 11 4 = 77 + 3 = 10

Son correctas ambas formas de presentar el procedimiento seguido?Si consideras que hay errores, indica en qu consisten dichos errores.

A 11 restarle 4 y luegosumar 3 al resultado.

3

2 Observa la igualdad que muestra el recuadro 2. Cul o culesde las siguientes afirmaciones son verdaderas de acuerdo conesa igualdad?

(I) x= 13 (II) x= 5 (III) x= 21

13 = x+ 8

2

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N3(TRABAJO INDIVIDUAL)

CONVENCIONES EN EL LENGUAJE ALGEBRAICOResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2 En el recuadro 3 se muestra una expresin que combina unasuma y una multiplicacin.

a. Cmo debemos efectuar los clculos en este caso? Debemos sumar 5 + 3 y luego multiplicar

el resultado por 2? O debemos multiplicar primero 3 2 y luego sumar 5 al resultado?

b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones tomando en cuenta las convencionesrelativas a la prioridad de las operaciones.

27 8 3 (27 8) 3 5 + 3 4 - 2 (5 + 3) 4 - 2

5 + 3 (4 - 2) (5 + 3) 4 - 2 (5 + 3) (4 - 2) (5 + 3 4) - 2

5 + 3 23

1 Cuando se emplean letras para representar cantidades se puede abreviarla escritura de una multiplicacin. El recuadro 1 muestra dos formas deescribir la multiplicacin de 3 por a. Ambas formas tienen el mismosignificado.

Si uno de los factores es un nmero y el otro es una letra como en elrecuadro 1, se prefiere colocar primero el factor numrico y a su derechael factor literal.

Por su parte, el recuadro 2 muestra dos formas de escribir la multiplicacin dexpor y. Tambinen este caso, ambas formas tienen el mismo significado.

a. Se podra eliminar el punto de multiplicacin al escribir la multiplicacin entre dos nmeros,por ejemplo, escribir 2 3 para indicar el producto 2 3? Explica tu respuesta.

b. Sip = 5 y q = 3, cunto valepq? Y cunto vale 10pq?

3 a

3 a

1

xy

xy

2

3 Cuando tenemos una sucesin de sumas, como en el recuadro

4, es posible alterar el orden sin que ello modifique el resultado.Pero si la expresin contiene sumas y restas como en el recuadro5, lo ms seguro es proceder de izquierda a derecha sin alterarel orden y respetando los parntesis cuando los haya.

Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.

4 + 3 + 5 4 3 + 5 4 + 3 5 4 3 5

4 + (3 + 5) 4 (3 + 5) 4 + (3 5) (4 3) 5

6 + 3 + 2 + 5

4

6 - 3 - 2 + 55

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N4(TRABAJO GRUPAL)

REPRESENTACIN DE SITUACIONES MEDIANTE ECUACIONESResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2 En el curso de Sergio hay 17 nias y en total son 28 nios y nias.

Si representamos por unaxel nmero de nios, cules de lasecuaciones que muestra el recuadro 3 representan adecuadamente

esta situacin? Explica tu respuesta.

17 +x= 2817 x= 2828 x= 1728 =x+ 17

x + 28 = 17x = 28 - 17

3

3 La seora Claudia quiere hacer un estante para sus libros. Tiene una tabla de 3,20 m de largo.Va a ocupar dos trozos de 0,70 m para los costados del estante y quiere dividir el resto en 3

trozos iguales que servirn de repisas.

La seora Claudia escribe la ecuacin del recuadro 4 paraindicar que el largo total de la tabla debe servir para los 2lados del estante y para las 3 repisas. En esa ecuacin, la letra

xrepresenta el largo de las repisas.

Explica qu significa cada nmero, cada letra y cada operacin en la ecuacin que escribi laseora Claudia.

3,20 = 2 0,70 + 3x4

1 En el curso de Mara hay 32 estudiantes. De ellos, 18 son nias y 14 son nios.

Mara representa esta situacin en la forma que muestra elrecuadro 1.

a. Qu representa el 32 en esta igualdad? Y el 18? Y el 14?

b. Por qu crees t que Mara escribi una suma en el segundo miembro de la igualdad?

c. Si en el curso de Mara se retiran las nias, quedarn sololos 14 nios. Para representar esta situacin, Mara escribe laigualdad que muestra el recuadro 2.Qu representa cada nmero en esta igualdad?

d. Por qu crees t que Mara escribi una resta en el primer miembro de la igualdad?

e. Qu igualdad escribira Mara para indicar que si en su curso se retiran los nios quedarnlas 18 nias.

32 = 18 + 141

32 - 18 = 142

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

5 Hasta ahora Ana Mara tiene un 5,6, un 6,0 y un 5,5 en Matemticas. Falta todava una ltimaprueba. Ella quiere saber qu nota debera sacarse en la ltima prueba para que su promediosea de 6,0.

Para averiguarlo, Ana Mara escribe la ecuacin quemuestra el recuadro 6. En esta ecuacin, us unaxpararepresentar la nota de la ltima prueba.

a. Te parece que esta ecuacin muestra una forma correcta de calcular el promedio final denotas? Explica tu respuesta.

b. Qu nmero dividido por 4 da 6,0? A partir de all, podras encontrar el valor dex?

4 En el campeonato escolar de ftbol los equipos reciben 3 puntos si ganan un partido, 1 puntosi empatan y 0 puntos si pierden.

Despus de jugar 7 partidos, el equipo de Esteban va invicto y tiene 13 puntos.

a. Esteban afirma que como el equipo va invicto, el nmero de partidos ganados ms el nmerode partidos empatados debe ser igual a 7. Ests de acuerdo con l?

b. Esteban afirma asimismo que si llamamosxal nmero de partidos ganados, entonces elnmero de partidos empatados debe ser igual a 7 x. Tiene razn? Explica tu respuesta.

c. Pensando en el nmero de puntos que consigui el equipo, Esteban propone el siguientediagrama. Ests de acuerdo con Esteban?

+ =

Basndose en el diagrama, ahora Esteban escribe la ecuacin que muestra el recuadro 5. Enesta ecuacin, la incgnitaxrepresenta el nmero de partidos ganados.

d. Qu representa el producto 3xen esta ecuacin?Toma como referencia el diagrama de Esteban.

e. Qu representa el producto 1 (7 x)?

f. Por qu Esteban escribi que 3x+ 1 (7 x) es igual a 13?

g. Mediante tanteo, encuentra qu valor dexsatisface la igualdad en la ecuacin delrecuadro 5.

h. Podras decir ahora cuntos partidos gan y cuntos partidos empat el equipo de Esteban?

nmero de puntos

conseguidos con los partidosganados

nmero de puntos

conseguidos con los partidosempatados

nmero total de

p u n t o sconseguidos

3x+ 1 (7 x) = 135

5,6 + 6,0 + 5,5 +x4

6

= 6,0

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N5(TRABAJO INDIVIDUAL)

LA SOLUCIN DE UNA ECUACIN

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

Nota. En este nivel solo se trabaja con ecuaciones en las que la incgnita no est elevada a potencia. Odicho de otra manera, el exponente de la incgnita es 1. Este tipo de ecuaciones recibe el nombre deecuaciones de primer grado.

1 a. Observa la ecuacin del recuadro 1. Se cumplira la igualdadsi se reemplaza laxpor un 1? Y si se reemplaza por un 2?Y si se reemplaza por un 3?

b. Diremos que x = 3 es la solucin de la ecuacin porque al

reemplazarxpor 3 la igualdad se cumple. Cul crees que es lasolucin de la ecuacin x 5 = 12?

c. Esx= 5 solucin de la ecuacin 5x 5 = 5? Yx= 10? Yx= 2?

d. Determina six= 1 es solucin de la ecuacin 3x+ 5 = 8x.

e. Federico afirma que la solucin de la ecuacin 7x+ 3 = 3 + 4xesx= 0. Tiene razn?

2x+ 4 =x+ 71

2 La mayora de las ecuaciones de primer grado con una incgnita tienen solo 1 solucin. Perohay dos excepciones.

a. Cuntas soluciones puedes encontrar para la ecuacin delrecuadro 2?

b. Y para la ecuacin del recuadro 3?

Hay ecuaciones que se satisfacen con cualquier valor de la incgnita. En cierto modo, en estasecuaciones los dos lados de la ecuacin estn diciendo lo mismo aunque de distinta forma. Entales casos diremos que la ecuacin es una identidad.

Otras ecuaciones no tienen ninguna solucin. Esto sucede cuando lo que dice uno de los ladosde la ecuacin es contradictorio con lo que dice el otro lado.

c. La ecuacin del recuadro 1 corresponde a alguna de estas dos excepciones?

d. Y la ecuacin del recuadro 2?

e. Y la ecuacin del recuadro 3?

5x= 3x+ 2x2

5x= 3x 2x3

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N6(TRABAJO GRUPAL)

PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES (I)Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

2 A continuacin veremos algunos procedimientos generales de resolucin de ecuaciones quepermiten encontrar la solucin a una amplia gama de ecuaciones.

Para ello debemos analizar algunas propiedades de la relacin de igualdad.

a. Es correcta la igualdad del recuadro 4?

b. Se mantiene la igualdad si sumamos 5 a los dos lados de laigualdad? Y si restamos 8?

c. Ests de acuerdo con la afirmacin del recuadro 5? Refuerza

tu respuesta con ejemplos.

d. Ests de acuerdo con la afirmacin del recuadro 6? Refuerzatu respuesta con ejemplos.

e. Supongamos que una balanza est en equilibrio. Se mantieneel equilibrio de la balanza si agregamos la misma cantidad enambos platillos?

f. Y si quitamos la misma cantidad en ambos platillos?

1 Resolver una ecuacin es encontrar su solucin.

Para resolver una ecuacin la vamos transformando hasta que queda en claro cul es el valorde la incgnita que la satisface.

Al efectuar estas transformaciones debemos cuidar de preservar la igualdad.

a. Considera la ecuacin del recuadro 1. Dado que lasustraccin es la operacin inversa de la adicin, debe

cumplirse tambin la igualdad del recuadro 2.

Hemos transformado la ecuacin del recuadro 1 sin quese destruya la igualdad.

De acuerdo con esto, cul es la solucin de la ecuacin del recuadro 1?

b. Considera la ecuacin del recuadro 3. Transforma estaecuacin aplicando el hecho que la divisin es la operacininversa de la multiplicacin.

c. Cul es la solucin de la ecuacin del recuadro 3?

x+ 8 = 12

1

x= 12 - 82

7 = x: 43

3 + 8 = 5 + 64

Si en una igualdadsumamos la misma

cantidad a amboslados, la igualdad semantiene.

5

Si en una igualdadrestamos la mismacantidad a amboslados, la igualdad se

mantiene.

6

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

3 Usaremos esta propiedad de la igualdad para resolver algunas ecuaciones.

a. Escribe la ecuacin que resulta si sumas 25 a cada lado

de la ecuacin que muestra el recuadro 7.b. Observa que al sumar 25 a ambos lados de la ecuacin qued aislada la incgnita.

Cul es la solucin de esta nueva ecuacin? Y cul es la solucin de la ecuacininicial?

c. Cmo puedes confirmar que esa es efectivamente la solucin de la ecuacin delrecuadro 7?

d. Un amigo de Rafael dice que en la ecuacin 7 para aislar la incgnita no necesitamossumar 25 a los dos lados de la ecuacin, sino que bastara sumar 25 en el lado derecho.Qu opinas t?

36 =x- 257

4 a. En la ecuacin del recuadro 9, resta 130 a cada lado de laecuacin. Qued aislada la incgnita?

b. Cul es la solucin de la nueva ecuacin? Y cul es la solucin de la ecuacin inicial?

130 +x= 4508

5 Hay que tener cuidado cuando la incgnita aparece restando

como en el recuadro 9. En estos casos para evitar dificultadesconviene sumarxa ambos lados.

a. Sumaxa ambos lados de la ecuacin. Qu ventajas tiene hacer esto?

b. Qu podemos hacer ahora para aislar la incgnita?

c. Cul es la solucin de la ltima ecuacin? Y cul es la solucin de la ecuacin inicial?

200 x= 309

6Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando procedimientos similares a los que acabamos dever.

25 +x= 125 220 =x 80 x+ 45 = 73 13

380 x= 200 56 x= 26 12 15 +x 8 = 2

32 +x= 32 x 120 + 220 = 160 + 40

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N7(TRABAJO GRUPAL)

PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES (II)Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 Antes de proseguir conviene recordar algunos conocimientos relativos a la multiplicacin y ala divisin.

a. Cmo se multiplica una fraccin por un nmero natural?

b. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. Simplifica cuando sea posible.

5 4 8 3 5

c. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones. Simplifica cuando sea posible.

3_4

2_3

1_2

3__10

3__10

2 5_____20

3 7_____6

3 4_____4

5x____5

5x____x

2 En el recuadro 1 se quiere multiplicar una fraccin porun nmero que es igual al denominador de la fraccin.

a. Efecta la multiplicacin del recuadro y simplifica elresultado tanto como sea posible. Qu resultado obtienes?

b. Te parece razonable que en el caso del recuadro 1 el resultado sea igual al numerador de

la fraccin? Podras formular una regla general para los casos en que una fraccin se multiplicapor un nmero que es igual a su denominador?

c. Escribe directamente el resultado de las siguientes operaciones.

8 6 2 x bd. En general, por cunto hay que multiplicar una fraccin para que el resultado sea igual asu numerador?

51

3_8

4_6

a_2

3_x

a_b

4_5

3 Volvamos ahora a las propiedades de la igualdad y a los correspondientes procedimientosde resolucin de ecuaciones.

a. Es correcta la igualdad del recuadro 2?

b. Se mantiene esta igualdad si multiplicamos por 5ambos lados de la igualdad como se ha hecho en elrecuadro 2?

c. Y si se dividen por 3 ambos lados de la ecuacin comose ha hecho en el recuadro 4?

18 - 6 = 122

(18 6) 5 = 12 53

(18 6) : 3 = 12 : 34

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

5 Usaremos esta nueva propiedad de la igualdad para resolver algunas ecuaciones.

a. En la ecuacin del recuadro 7, escribe la ecuacin queresulta si divides por 3 ambos lados de la ecuacin.

b. Observa que al dividir por 3 ambos lados de la ecuacin qued aislada la incgnita. Cules la solucin de esta nueva ecuacin? Y cul es la solucin de la ecuacin inicial? Cmo

puedes confirmar que esa es efectivamente la solucin de la ecuacin del recuadro 7?

d. El amigo de Rafael dice que en la ecuacin 7 para aislar la incgnita bastara dividir por 3el lado izquierdo. Qu opinas t?

3x= 457

6 a. Qu se podra hacer en la ecuacin del recuadro 8 paraaislar la incgnita?

b. Hazlo y encuentra el valor dexque satisface la ecuacin.

c. Cmo puedes confirmar que el valor encontrado es efectivamente la solucin de la ecuacin

del recuadro 8?

600 = 50x8

4 a. Ests de acuerdo con la afirmacin delrecuadro 5? Refuerza tu respuesta conejemplos.

b. Ests de acuerdo con la afirmacin delrecuadro 6? Refuerza tu respuesta conejemplos.

Si en una igualdad multiplicamosambos lados por la misma cantidad,la igualdad se mantiene.

5

Si en una igualdad dividimos amboslados por la misma cantidad, laigualdad se mantiene.

6

7 Hay que tener cuidado cuando la incgnita aparece en eldenominador como en el recuadro 9. En tales casos, para evitardificultades, conviene multiplicar porxambos lados de la ecuacin.

a. Multiplica porxambos lados de la ecuacin. Qu ventajas tiene hacer esto?

b. Qu podemos hacer ahora para aislar la incgnita?

c. Cul es la solucin de la ecuacin del recuadro 9?

= 69 240___

x

8 Utiliza procedimientos similares a los que hemos visto para resolver las siguientes ecuaciones.

8x= 480 0,1x= 0,01 25x= 2.500

1.000 =x 40 = 11 320 =

= 1 120 = = 5

x__9

x__0,2

10__x

1.200_____x

1_x

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

Gua de Trabajo N8(TRABAJO GRUPAL)

RESOLUCIN DE PROBLEMAS CON AYUDA DE ECUACIONESResponde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 Considera el siguiente problema.

La familia Gmez est planificando sus vacaciones. Disponen de $ 150.000 y saben que durante

la estada necesitarn $ 25.000 diarios. Para cuntos das les alcanzar el dinero disponible?

a. Designa por la letraxel nmero de das que pasarn en vacaciones y escribe una ecuacinque indique que el producto del gasto diario por el nmero de das tiene que ser igual al dinerodisponible.

b. Qu representa la incgnita y cada uno de los nmeros que aparecen en esta ecuacin?

c. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuacin.

d. Puedes ahora saber para cuntos das le alcanzar el dinero a la familia Gmez?

e. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

2 Considera el siguiente problema.

La estatura de una persona adulta es alrededor de 7,5 veces el alto de su cabeza. De acuerdo

con esto, cunto mide el alto de la cabeza de Felipe si su estatura es 1,70 m?

a. Qu informacin entrega el enunciado del problema acerca de la relacin que existe entrela estatura y el alto de la cabeza de un adulto? Cul de estas cantidades es conocida y cules desconocida?

b. Representa mediante una letraxla cantidad desconocida y escribe una ecuacin en que seestablezca la relacin que existe entre la estatura y el alto de la cabeza.

c. Qu representa la incgnita y cada uno de los nmeros que aparecen en esta ecuacin?

d. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuacin.

e. Puedes ahora saber cunto mide el alto de la cabeza de Felipe?

f. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

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ECUACIONES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Unidad 3

Matemticas

3 Considera el siguiente problema.

Ins ha dibujado un tringulo rectngulo. Uno de sus ngulos agudos mide 30.

Cunto mide el otro ngulo agudo?

a. Una de las propiedades de todos los tringulos es que la suma de sus ngulos es 180.Qu otra cosa sabes acerca de los ngulos de un tringulo rectngulo?

b. Qu cantidad conviene representar con la letraxen este problema?

c. Escribe una ecuacin en que se indique que la suma de los tres ngulos del tringulodibujado por Ins es 180. En esa ecuacin introduce los valores que ya son conocidos.

d. Qu representa la incgnita y cada uno de los nmeros que aparecen en la ecuacin?

e. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuacin.

f. Puedes ahora saber cunto mide cada uno de los ngulos del tringulo?

g. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

4 Considera el siguiente problema.

Mario le pregunt a su ta cuntos aos tena. La ta no quiso decir su edad pero le dio el

siguiente dato: Si multiplicas mi edad por 5 y al resultado le restas 100 obtendrs justo la

edad de tu abuelita. Mario sabe que su abuelita tiene 60 aos porque hace poco se celebrsu cumpleaos con una gran fiesta. Podr Mario con estos datos saber la edad de su ta?

a. Qu cantidad conviene representar con la letraxen este problema?

b. Escribe una ecuacin que represente la informacin que la ta le dio a Marioacerca de su edad.

d. Qu representa la incgnita y cada uno de los nmeros que aparecen en la ecuacin?

e. Utiliza alguno de los procedimientos conocidos para resolver esta ecuacin.

f. Puedes ahora saber la edad de la ta de Mario?

g. Describe con tus propias palabras lo que hiciste para resolver este problema.

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