9789702922216

22222222222222222222222222222222Eduardo Mancera Martínez

Mat

emát

icas

2

MatemáticasMatemáticas 2

DISTRIBUCIÓN GRATUITAPROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 2 Santillana Ateneo 1 1Matematicas 2 Santillana Ateneo 1 1 5/16/08 6:18:52 PM5/16/08 6:18:52 PM

Geo

graf

ía 2

Querido alumno (a) de secundaria:

Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es

parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal

y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en

la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia.

Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

Escuela Grupo

Nombre del alumno (a)

FCyE I 2do Santillana Ateneo cov2 2 5/16/08 10:06:16 PM

Matemáticas 2Eduardo Mancera Martínez

El libro Matemáticas 2 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Santillana Ateneo son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2006 Eduardo Mancera MartínezD. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2221-6

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México

Edición:José Luis AcostaColaboración:Claudia Navarro Castillo, Javier EsquivelCoordinación editorial:Armando Sánchez MartínezRevisión técnica:José Luis Córdova FrunzCorrección de estilo:José Luis Acosta, Carlos del RazoDiseño de interiores:José Luis AcostaDiseño de portada:Francisco Ibarra MezaIlustración:Sergio Bourguet, Eliud Monroy,Abelardo Culebro Bahena, Augusto Mora, Israel RamírezDiagramación:Sergio Bourguet, Eliud Monroy

Editor en Jefe de Secundaria:Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo:Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales:Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño:Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño:Francisco Ibarra MezaCoordinación de Sistemas Electrónicos:Victor Manuel Vallejo PaquiniFotomecánica electrónica:Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco, Benito Sayago Luna

El libro Matemáticas 2. Santillana Ateneo fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

00_Preliminares Matematicas 2EDITOR.indd 200_Preliminares Matematicas 2EDITOR.indd 2 5/20/08 10:27:59 AM5/20/08 10:27:59 AM

Primera edición actualizada: junio, 2008Primera reimpresión: febrero, 2009

Presentación

Originalmente ateneo signifi caba institución literaria o científi ca. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores

y fi lósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo signifi ca institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes.

Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano.

Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científi co y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable.

Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu.

Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo.

El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estu-dio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, ade-más de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros.

Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo fl exible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mis-mo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas tam-bién en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la refl exión, la formulación de argumentaciones y la exploración de di-ferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas.

El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la refl exión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito.

En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fi jes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento.

La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias edu-cativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo.


1 Poner y quitar… tantas veces 12

• En busca del equilibrio 14• Operaciones de cuadritos 15• Caminos entre números

y letras 24• Caminos entre letras y fi guras 32• Expresiones algebraicas

equivalentes 34• Expresiones equivalentes y

operaciones algebraicas 37

2 Qué dicen los ángulos y sus medidas 48

• Letras para fi guras 50• Clases de ángulos 57• Ángulos y rectas 64• Ángulos entre rectas 66• Suma de los ángulos interiores

de un polígono 69

3 Si uno aumenta, el otro también 78

• Las buenas proporciones 80• Cuando lo grande

se hace pequeño 87• Escala tras escala 91

4 Cuentas de cuántos 98• Tablas, árboles y posibilidades 100

5 Gráfi cas que hablan 106• Histogramas y polígonos

de frecuencia 108

6 Operaciones con números y letras 120

• ¡Que alguien me ayude a calcular! 122

• Gente calculadora 123• Uso de los paréntesis 126• Geometría para calcular 130• Figuras que dividen 140

7 Prismas y pirámides 144• Anatomía de los cuerpos…

geométricos 146• Volúmenes de cuerpos

geométricos 154

8 Encuentra volúmenes de prismas y pirámides 164

• Áreas y volumen 166• Volúmenes y fórmulas 173

9 Las razones de la proporcionalidad 180

• Uso de proporcionalidad 182

10 Tendencia central y dispersión de datos 186

• ¿Qué nos dicen las tendencias? 188

21

4

Contenido BloqueBloque


11 Números con signo 196• Los números negativos

en la historia 198• Negativos y positivos

en todos lados 199• Sucesiones de números

con signo 201

12 Cuando las letras se comportan como números 206

• Ecuaciones de las fi chas 208

13 La realidad a través de modelos lineales 218

• De rectas y costos 220• Funciones lineales

en distintas disciplinas 225

14 Funciones lineales y sus gráfi cas 232

• Funciones crecientes y decrecientes 234

• La recta que sube y que baja 237• Cuando las rectas giran 242

15 Mosaicos y recubrimientos 258

• Sólo para convexos 260• Para no perder el piso 263

16 La potencia de los números 270

• La bacteria prolífi ca 272• Bases y exponentes 273• Multiplicación de potencias 275• Potencias de potencias 277• División de cantidades

expresadas en potencias, el caso de los exponentes negativos 279

• Notación científi ca (cálculos con cantidades grandes o pequeñas) 281

17 Triángulos en todas partes 286

• Preámbulo: ¿Cómo se hacen los triángulos? 288

• Congruencia de triángulos 289• Puntos y rectas notables

en el triángulo 294

18 Independencia de eventos 302

• ¿Cuándo son independientes dos eventos? 304

• ¿Cuándo son dependientes dos eventos? 308

19 Poligonales e información 314

• Lo que una gráfi ca dice 316

20 Gráfi cas segmentadas 322• Cobros y su modelación 324

21 Ecuaciones con dos incógnitas 330

• El papiro Rhind y las matemáticas antiguas que estudias hoy 332

• Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 333

• Métodos para solucionar ecuaciones con dos incógnitas 333

22 Gráfi cas y sistemas de ecuaciones 340

• Ecuaciones extrañas 342• Gráfi cas de rectas

que se cortan: una solución al sistema de ecuaciones 343

• Gráfi cas de rectas que no se cortan: ninguna solución al sistema de ecuaciones 344

• Gráfi cas de rectas que se enciman: infi nidad de soluciones al sistema de ecuaciones 345

23 Transformaciones y fi guras 350

• Geometría y movimiento 352• Traslación 352• Rotación 354• Refl exión 358

24 Teselaciones y movimientos en el plano 364

• La geometría de los tapices 366

25 Probabilidad de eventos excluyentes 374

• Eventos que no son mutuamente excluyentes 376

• Eventos mutuamente excluyentes 377

Glosario 380Simbología 381Bibliografía general 382

3 4 5

5

Bloque Bloque Bloque


En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarro-llan dichos temas en la obra.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA Subtema Lección Página

Signifi cado y uso de las operaciones Operaciones combinadas

1 12

6 120

Problemas aditivos 1 12

Problemas multiplicativos 1 12

Potenciación y radicación 16 270


Signifi cado y uso de las literales

Patrones y fórmulas 11 196

Ecuaciones12 206

21 330

Relación funcional 13 218

Eje Forma, espacio y medida


Formas geométricasRectas y ángulos

2 48

17 286

Cuerpos geométricos 7 144

Justifi cación de fórmulas 15 258

Figuras planas15 258

17 286

6

Índice temático



MedidaEstimar, medir y calcular

2 48

8 164

Justifi cación de fórmulas 7 144


TransformacionesMovimientos en el plano

23 350

24 364

Eje Manejo de la información


Análisis de la informaciónRelaciones de proporcionalidad

3 78

9 180

Noción de probabilidad18 302

25 374


Representacìón de la información

Diagramas y tablas 4 98

Gráfi cas

5 106

14 232

19 314

20 322

22 340

Medidas de tendencia central y de dispersión 10 186

7


En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante.

Las entradas de lección se componen de tres apartados:

• Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección.

• ¿Qué sé? recuerda al estudiante los contenidos trabajados en cursos anteriores que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia.

• ¿Qué lograré aprender? plantea cuestiones específi cas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos al terminar la lección.

Entrada de bloque

En este bloque…

Conocerás procedimientos para trabajarcon las leyes de los exponentes y de lanotación científi ca; además resolverásproblemas relacionados con estoscontenidos.

Abordarás algunos problemas geométricos que implican el uso de lasalturas, medianas, mediatrices ybisectrices en triángulos.

Analizarás información registrada envarias gráfi cas de funciones lineales parainterpretar y relacionar diferentescaracterísticas de un fenómeno osituación problemática.

Resolverás problemas que impliquen elcálculo de la probabilidad de dos eventosindependientes.

Podrás representar mediante una gráfi cacompuesta por distintos segmentos derectas el comportamiento de un fenómeno.

Bloque 4“Conocimientos puede tenerlos cualquiera,

pero el arte de pensar es el regalo más

escaso de la naturaleza.”

Federico II

Emperador prusiano

Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”

Mis retos Utilizarás las ideas del curso anterior para construir sucesiones de

números, pero ahora incorporarás números negativos, de modo que

podrás obtener la regla para construir cualquiera de los términos de

una determinada sucesión.

¿Qué sé? Ya pudiste analizar, en el curso anterior, varias sucesiones de

números naturales, algunas de ellas relacionadas con

confi guraciones geométricas.

Con base en regularidades que detectaste en determinadas

sucesiones pudiste plantear una fórmula o regla para obtener

cualquier miembro de ellas sin tener que partir siempre del primer

término.

¿Qué lograré aprender? Aprenderás algunas estrategias para detectar regularidades en

sucesiones de números con signo. También podrás representar

algebraicamente la regla para encontrar términos de la sucesión.

11 Números con signogú e os co s g o1 Se tiene un grupo de 15 troncos de madera apilados en 5 fi las como lo

muestra la fi gura. ¿Cuántos troncos se pueden apilar de manera semejante en

10 fi las? ¿Cuántos troncos podrían apilarse en tres fi las?

2 ¿Qué número sigue en la secuencia 1, 6, 36, …?

3 De la siguientes secuencias numéricas determina la fórmula general y anota

otros tres números.

5, 15, 25 1

3 ,

5

7,

9

11 2, 8, 32

4 Dadas las siguientes fórmulas, encuentra los cinco primeros términos de la

sucesión que generan.

Sn 2n 2 Sn4n

21 Sn 3 5n 1

5 Encuentra los primeros 10 términos de una sucesión cuyo primer término

es 5 y donde el siguiente es siempre el triple del anterior menos la mitad del

anterior. ¿Qué sucesión se formará si la regla es más bien que cada término

sea el anterior menos la mitad del anterior?

196

11 Números con signoNúmeros con signo

197

QALGO DE LO QUE ME ENSEÑARONALGO DE LO QUE ME ENSEÑARONALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON “Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica.

Las actividades planteadas en las secciones “Algo de lo que me enseñaron” y “Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) deben dosifi carse de acuerdo con el criterio del maestro. No es indispensable resolver todos los incisos, sino sólo aquellos necesarios para asignar tiempos adecuados al tratamiento de los contenidos y de acuerdo con el avance del curso.

8

Estructura de la obra


Secciones particulares

Desarrollo de lección

Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identifi cación.

Este apartado, específi co de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio.

Apertura de lección

“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

Para curiosos

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se re comienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la refl exión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

EN

EL ATENEO

Al fi nal de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones:

“Demuestro lo que sé y hago”

Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades.

“Conéctate”

Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos.

Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés.

Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográfi cas que se sugieren son publicadas por editoria-les extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliote-cas de varias instituciones o en librerías.

Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investiga-ción del CO N A C Y T . También se cuenta con revistas digitalizadas de distri bu-ción gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc.

¡Que alguien me ayude a calcular!¿Cuántas formas de hacer cálculos tenemos?

Algunos utilizan losdedos de la mano, incluso partes de lamano como lasfalanges.

Antes se usaban tablasde contar o ábacosde diferentes tipos.

Algunos hacen mentalmentelos cálculos.

Pero en la actualidadmuchos cálculosse realizan concalculadoraso computadoras.

Independientemente del recurso que usemos para calcular se deben tener en cuenta algunas reglas, pues de no hacerlo, aunque parezca increíble, se pueden obtenerdiferentes resultados en cada ocasión.

Por ejemplo, si tú y tus compañeros realizan operaciones con pocos términos, como 123 35 76 o 34 56 93, no sería extraño que obtuvieran resultados diferentes. Lo anterior se complica cuando se requiere realizar operaciones complicadas como:

3 5 7 2 ( 4 7) ( 3) ( 7) 5 2 7 4 2 7 ( 12),

8 ( 3)

23 3 ( 5) 4 2

3 (2 7 8)

( 3) 59 2 7 3

41

5

.

Trata de resolver los casos sencillos y los complicados para comprobar si llegan aresultados diferentes.

¿Por qué se obtienen resultados diferentes, tanto en casos sencillos como com-plicados?

122

BLOQUE 2

Argumenta tu respuesta.

.También puedes utilizar el resultado de los cuadriláteros para segmentar polígo-

nos convexos de más de 5 lados y así calcular la suma de sus ángulos interiores. Observa la fi gura 8.

360

180

360

360

A

A

B

BCC

DD

E

EF

Suma de los ángulos interioresdel polígono ABCDE:

Suma de los ángulos interioresdel polígono ABCDEF:

Ahora completa la siguiente tabla cuyos datos se refi eren a polígonos convexos:

Número de lados

Suma de losángulos interiores

Expresión que relaciona el número de lados con la suma de los ángulos interiores

3 180 (3 2)180 1 180 180

4 360 (4 2)180 2 180 360

5

6

7

8

9

10

25 4 140 (25 2)180 23 180 4 140

56

43

127

n

La expresión a la que llegarás al completar el último renglón de la tabla es la fór-mula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.

Figura 8

262

BLOQUE 3

9


“En la medida en que las leyes de la

matemática se refi eren a la realidad no son

ciertas, y en la medida que son ciertas no se

refi eren a la realidad”.

Albert Einstein

Bloque 1

01_01_ed2OK.Indd 1001_01_ed2OK.Indd 10 5/15/08 1:02:53 PM5/15/08 1:02:53 PM

En este bloque…

Resolverás problemas que requieran efectuar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números con signo.

Encontrarás explicaciones para entender por qué la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180∞ y la de los de un cuadrilátero es 360∞.

Hallarás la solución de problemas de conteo mediante la realización de cálculos numéricos.

Determinarás el valor faltante en problemas en los que intervienen más de dos conjuntos de cantidades.

Construirás polígonos de frecuencia e interpretarás la información contenida en ellos.


Mis retos Ya has trabajado con números con signo, pero solamente realizaste

adiciones y sustracciones con ellos. En esta lección aprenderás a

realizar operaciones de multiplicación y división con este tipo de

números, además de resolver problemas que los involucren.

También, empleando las reglas que se han obtenido para operar

con números con signo, y usando fi guras geométricas y sus

relaciones, abordarás procedimientos para obtener expresiones

algebraicas equivalentes, sumarlas y restarlas.

¿Qué sé? En el curso anterior realizaste operaciones aditivas, sumas y restas,

de números de varios tipos: naturales, fracciones, decimales e

incluso números con signo; para ello utilizaste modelos como la

recta numérica.

También elaboraste la representación algebraica de situaciones

relacionadas primordialmente con funciones lineales y expresiones

de la forma ax + b = c.

Así mismo, pudiste resolver problemas en los que las letras

representan relaciones numéricas vinculadas a confi guraciones

geométricas, y también trabajaste con otros donde las letras

representan incógnitas.

¿Qué lograré aprender? Algunos contenidos en esta lección sintetizan otros que abordaste

en el primer año y sirven para repasar algunos procedimientos.

Utilizando fi guras geométricas aprenderás algunos elementos de

álgebra elemental que sentarán las bases para abordar contenidos

de mayor complejidad.

En esta lección las literales representan números y se pueden operar

como tales aunque no se conozca su valor numérico. Las reglas de

este tipo de manipulación algebraica las podrás descubrir

empleando agrupaciones de fi guras geométricas.

1 Poner y quitar… tantas veces

12


1 Encuentra el resultado de las siguientes operaciones y efectúa las comproba-

ciones. Es decir, si obtienes por ejemplo que (-3) + (+8) = (+5), esto se com-

prueba con la operación (-3) = (+5) - (+8).

Representa las operaciones en una recta numérica con la escala adecuada.

Interpreta las operaciones usando “ganar” para cantidades positivas y “per-

der” para cantidades negativas; escribe tus interpretaciones.

• (+3) + (+5) • (-6) - (-3)

• (+5) + (-9) • (-4) - (+7)

• (-2) + (-6) • (+3) - (+5)

• (-4) + (+3) • (+12) - (-9)

• (+15) + (+23) • (+12) - (+25)

• (-12) + (-34) • (+34) - (-43)

• (+67) + (-123) • (-122) - (-345)

• (-467) + (+456) • (-456) - (+127)

2 Analiza cada una de las siguientes expresiones numéricas en las cuales hay un

valor desconocido, simbolizado por un pequeño recuadro. Encuentra dicho

valor faltante y escribe, con tus propias palabras, la forma de encontrarlo.

• + 7 = 9 • - 6 = 4

• + 12 = 18 • 8 - = 17

• 4 + = 39 • + 4 = -5

• - 3 = 29 • 2

3 + =

7

3

• - 1

4 =

3

2 • 7.4 + = 18.6

Empleando el mismo procedimiento sugerido en el enunciado de la activi-

dad 1, comprueba cada una de tus respuestas.

3 En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de x. Comprueba cada una de

tus respuestas.

• 4x + 2 = 10

• 7x - 2 = 12

13

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON


Poner y quitar

Si tienes una balanza equilibrada y quitas peso de uno de los platos, ¿qué sucede con la balanza? Si en cambio pones más peso en un plato, ¿qué sucede con la balanza?

Si en la balanza equilibrada quitas tres fi chas de uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la ba-lanza de nuevo?

Si pones cinco fi chas en uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la balanza de nuevo?

Ganar y perder

Algo similar sucede cuando ganas y pierdes.

• Si tienes cinco monedas de $1.00 y ganas en un juego ocho monedas más, pero pierdes nueve monedas en otro juego, ¿con cuántas te que-das?

• Si pierdes 10 monedas y ganas otras 10, ¿cuán-to te queda?

• Si ganas tres veces cuatro monedas, ¿cuán tas monedas tendrás?

• ¿Ganar tres monedas y perder cuatro da el mismo resultado que ganar siete monedas y perder seis?

En esta primera lección veremos cómo pode-mos representar y resolver lo que se plantea en situaciones como las anteriores mediante el uso de los números con signo.

En busca del equilibrio

14


Operaciones de cuadritos

Para estudiar los números negativos trabajaste con la recta numérica en cursos ante-riores. Ahora, para comprender mejor la adición y sustracción de números con signo podemos recurrir a representaciones diferentes a la recta numérica; tal es el caso de la siguiente actividad, en la que emplearemos fi chas de dos colores.

Tú mismo puedes elaborar las fi chas. De una cartulina recorta 20 fi chas azules y 20 amarillas, todas de forma cuadrada y de 1 cm de lado, como las que se muestran en la fi gura 1.

Ahora bien, si tomas al azar varias de estas fi chas recortadas, ¿cómo sabrás que tienes un “equilibrio” en el número de fi chas de cada color? Si conviniéramos en que una fi cha azul indica “ganar” una vez y una fi cha amarilla “perder” una vez, ¿cómo representarías cuándo ganaste y perdiste lo mismo? ¿Qué instrucciones darías a un compañero para representar mediante agregados de fi chas el resultado de un partido de futbol?

Con nuestro material podemos investigar algunos hechos interesantes sobre las operaciones de números con signo. Asignaremos el valor (+1) a cada fi cha azul y (-1) a cada fi cha amarilla.

De esta forma, el cero se representará con un equilibrio de fi chas: es decir, un agru-pamiento compuesto por una misma cantidad de fi chas de cada color, como se ilustra en la fi gura 3.

Observa que cada número puede representarse de varias maneras con las fi chas (fi gura 4).

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

Figura 1

Figura 4

0 0 0

Figura 2

Figura 3 Tres formas de representar el cero con “equilibrios” de fi chas.

15

LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES


Ya que hemos asignado valores a las fi chas que nos servirán como unidades, y que determinamos representar al cero mediante un equilibrio de éstas, vamos a repre-sentar operaciones de números con signo empleando las fi chas.

Comencemos por la adición. Considera que sumar una cantidad a otra se puede interpretar como “añadir” o “juntar” una cantidad con otra: a partir de esta interpre-tación puedes usar las fi chas para representar la suma de números con signo. Observa los siguientes ejemplos. Anticipa tu resultado y después compruébalo con el uso de fi chas de colores:

• (+3) + (+2) = ( ): A se añade y resulta

• (+3) + (-2) = ( ): A se añade y resulta

Recuerda que las fi chas de distintos colores se “equilibran”.

• (-3) + (+2) = ( ): A se añade y resulta

• (-3) + (-2) = ( ): A se añade y resulta

También puedes usar las fi chas para representar sustracciones o restas de núme-ros con signo. Esta operación implica lo contrario de “añadir”, esto es, “retirar”.

• (+3) - (+2) = ( ): A se le retiran y resulta

¿Puedes hacer esto usando fi chas de los dos colores?

• (+3) - (-2) = ( ): A se deben retirar , ¡pero no tiene fi chas amarillas!

¿Es posible agregar un cero con fi chas sufi cientes para retirar lo necesario? Explica tu respuesta:

De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue:

Discute con tus compañeros la manera de representar números con signo de distin-

tas maneras.

• Encuentra varias representaciones con fi chas para los siguientes números: (-5),

(-2), (+4) y (+7).

• ¿Las fi chas tienen que ser necesariamente cuadradas? ¿Pueden ser de otra forma?

• ¿Los colores tienen que ser azul y amarillo?

• ¿Las fi chas amarillas siempre deben estar a la izquierda y las azules a la derecha?

• ¿Es necesario colocar las fi chas en línea?

Para curiosos

16

BLOQUE 1


A se le retiran y resulta

• (-3) - (+2) = ( ): A se deben retirar , ¡pero no hay fi chas azules para retirar de (-3)!

¿Podrás recurrir nuevamente a un “cero”? Explica tu respuesta:

De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue:

A se le retiran y resulta

¿Con cuántas fi chas podrías iniciar para no tener que agregar?

• (-3) - (-2) = ( ): A se le retiran y resulta

Con el tratamiento de los números con signo a partir de fi chas de colores, tienes otra forma de visualizar las operaciones aritméticas, aparte de la que estudiaste en el grado anterior, la cual se basa en la recta numérica, y que recordamos en “Algo de lo que me enseñaron”.

Discute con tus compañeros los procedimientos para sumar y restar números con

signo empleando las fi chas.

Realiza operaciones como las siguientes, comprueba los resultados y discútelos con

tus compañeros. Primero utiliza números “pequeños” para que te alcancen las fi chas.

Intenta anticipar el resultado de cada operación, luego compáralo con el resultado

obtenido al utilizar el material.

• (+5) + (+4) • (+5) - (+4)

• (+5) + (-4) • (+5) - (-4)

• (-5) + (+4) • (-5) - (+4)

• (-5) + (-4) • (-5) - (-4)

Posteriormente, plantea con tus compañeros operaciones de números con signo

“grandes”, donde tus fi chas no te alcancen, por ejemplo:

• (+13) + (+22) • (+25) - (+14)

• (+15) + (-34) • (+17) - (-24)

• (-25) + (+14) • (-35) - (+14)

• (-35) + (-44) • (-35) - (-41)

Discute con tus compañeros la redacción de una regla para sumar y restar números

con signo, de tal forma que la puedan entender otros compañeros de tu grupo. Com-

para el método que redactaste con el que elaboraron otros compañeros y consulta

otros libros para que analices los procedimientos que en ellos se plantean y los com-

pares con tu método.

Para curiosos

17



Lo anterior te ayudará a utilizar las fi chas para analizar las operaciones de multi-plicación y división de números con signo.

Es importante recordar cómo se interpreta la multiplicación de dos números na-turales. Por ejemplo, la operación 3 ¥ 2 se interpreta como “tres veces dos” o “dos veces tres”. ¿Cómo interpretarías —en términos de “poner o quitar tantas veces”— las siguientes multiplicaciones?

(+5) ¥ (+3) y (-4) ¥ (+2).

Puedes multiplicar números con signo empleando la siguiente interpretación: El primer número indica, con su signo, si “se pone o se quita”, y la cantidad.

• (+7) indica . • (-6) indica .

Como el primer factor indica el número de veces que se “pone o quita”, al inicio no hay fi chas, es decir, se parte de un cero.

Analiza los siguientes casos:

• (+3) ¥ (+2) = ( ) se interpreta como “Poner tres veces (+2)”, y resulta:

• (+3) ¥ (-2) = ( ) se interpreta como “Poner tres veces (-2)”, y resulta:

• (-3) ¥ (+2) = ( ) se interpreta como “Quitar tres veces (+2)”, y resulta:

=

3ª 1ª 2ª

( 2) ( 2) ( 2)

=

3ª 1ª 2ª

( 2) ( 2) ( 2)

= =

3ª 1ª 2ª

( 2) ( 2) ( 2) ( 6)

18

BLOQUE 1


• (-3) ¥ (-2) = ( ) se interpreta como “Quitar tres veces (-2)”, y resulta:

Para entender la división de números con signo puedes apoyarte en el mismo mo-delo de las fi chas, pero recuerda para empezar cómo se interpreta la división de dos números naturales. Por ejemplo, la operación 6 ∏ 2 se interpreta como “¿cuántas veces cabe 2 en 6?” o “¿por cuál cantidad se debe multiplicar 2 para obtener 6?”:

6 ∏ 2 = ? fi 2 ¥ ? = 6.

En el caso de los números con signo es similar, pero debe considerarse el signo que tiene cada número, así como su interpretación (“poner” o “quitar”).

Así, las divisiones con estos números se pueden realizar como sigue:

• (+6) ∏ (+2) = (+3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (+2) para obtener (+6)?”

¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡Pues de un cero!:

Ponemos tres veces (+2):

= ( 2) ( 2) ( 2) ( 6) (( 2) (( 2) ( 2)

3ª 1ª 2ª

Discute con tus compañeros este procedimiento de multiplicación y experimenta

con él usando otros números con signo. Primero usa números “pequeños” y luego

números “grandes”.

Redacta un método para multiplicar números con signo y luego discútelo con tus

compañeros.

Cuando multiplicas dos números que tienen signos contrarios, ¿qué signo tendrá el

resultado?

Si multiplicas dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado?

Para curiosos

19



El cero se vuelve (+6):

• (+6) ∏ (-2) = (-3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (-2) para obtener (+6)?”

¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡De un cero!:

Quitamos tres veces (-2):

El cero se vuelve (+6):

• (-6) ∏ (+2) = (-3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (+2) para obtener (-6)?”


Quitamos tres veces (+2):

El cero se vuelve (-6):

• (-6) ∏ (-2) = (+3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (-2) para obtener (-6)?”


20

BLOQUE 1


Ponemos tres veces (-2):

El cero se vuelve (-6):

Discute con tus compañeros este procedimiento de división y ponlo a prueba con

otros números con signo. Recuerda que, en principio, debes utilizar números chicos y

después números grandes.

Escribe un método para dividir números con signo y discútelo con tus compañeros.

Además aplícalo a diversas cantidades.

La división es una operación inversa de la multiplicación, esto es,

(+8) ∏ (+2) = (+4) porque (+8) = (+4) ¥ (+2)

(+8) ∏ (-2) = (-4) porque (+8) = (-4) ¥ (-2)

(-8) ∏ (+2) = (-4) porque (-8) = (-4) ¥ (+2)

(-8) ∏ (-2) = (+4) porque (-8) = (+4) ¥ (-2)

• De acuerdo con lo anterior, cuando divides dos números que tienen signos contra-

rios, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por qué?

• Si divides dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por

qué?

En una de las actividades anteriores se mostró que:

(+6) ∏ (+2) = (+3) se escribe (+6)

(+2) = (+3), y puede omitirse el signo “+” 6

2 = 3.

(+6) ∏ (-2) = (-3) se escribe (+6)

(-2) = (-3), y puede omitirse el signo “+” 6

-2 = -3.

(-6) ∏ (+2) = (-3) se escribe (-6)

(22) = (-3), y puede omitirse el signo “+” -6

2 = -3.

(-6) ∏ (-2) = (+3) se escribe (-6)

(-2) = (+3), y puede omitirse el signo “+” -6

-2 = 3.

¿Entonces podemos decir que: -6

2 = 6

-2 = - 6

2 y -6

-2 = 6

2 ? ¿Por qué?

Para curiosos

21



Efectúa las siguientes operaciones, comprueba en cada caso el resultado obtenido y

discútelo con tus compañeros. ¿Coincidieron todos? Si hubo diferencias, ¿a qué se

debió?

• (+4) + (-2 ) • (-5) + (-6) • (+9) + (+8)

• (-12) + (+14) • (-18) + (-17) • (+24) + (-15)

• (-144) + (-50) • (+232) + (+62) • (+358) + (-125)

• (+3) - (-4) • (+7) - (+6 ) • (+10) - (-5)

• (-16) - (+19) • (-25) - (-13) • (-32) - (-17)

• (-111) - (+44) • (+369) - (-31) • (-670) - (-270)

• (-3) (-5) • (-7) (+6) • (+4) (-8)

• (+11) (-7) • (+38) (-4) • (-57) (-9)

• (+250) (-12) • (-421) (-43) • (+682) (-62)

• (+12) ∏ (+6) • (-28) ∏ (+7) • (+36) ∏ (-12)

• (-20) ∏ (+5) • (-48) ∏ (-6) • (+50) ∏ (+5)

• (-24) ∏ (+4) • (-72) ∏ (+9) • (-30) ∏ (+6)

• (-44)

(+11) •

(+60)

(+10) •

(+25)

(-5) •

(-72)

(-8)

Encuentra el número faltante en las siguientes expresiones.

• (+3) + ( ) = +12 • ( ) + (-5) = -9

• ( ) + (+4) = +10 • (-7) + ( ) = -5

• (+4) - (-7) = • (+6) - (-8) =

• ( ) - (-3) = -9 • ( ) - (-4) = +6

• (-3) + ( ) = +7 • (-4) - (+5) =

• (+10) - (+4) = • (+7) + ( ) = -11

• ( ) (-4) = +20 • (-5) ( ) = -10

• (-5) (-3) = • ( ) (-4) = +8

• (+2) ( ) = +12 • (+2) (+10) =

• (-7) (+2) = • ( ) (+4) = +12

• (+5) ( ) = -5 • (-9) ( ) = -18

1

EN

EL ATENEO

2

22

BLOQUE 1


• (-8) ∏ (+2) = • ( ) ∏ (+4) = +3

• (+15) ∏ ( ) = -5 • (-18) ∏ ( ) = -9

• ( ) ∏ (-4) = +20 • (+84) ∏ (-7) =

• (-96) ∏ (-6) = • ( ) ∏ (-2) = +17

• (+5) ∏ ( ) = - 5 • (-122) ∏ ( ) = -2

Se ha convenido en omitir el signo “+” en los números con signo positivo; tomando

en cuenta esto realiza las siguientes operaciones.

• (12) + (23) • (20) - (31) • (-26) + (14)

• (-38) + (18) • (-42) - (36) • (+55) - (15)

• (-248) + (122) • (364) - (234) • (-580) - (220)

• (21) (11) • (-30) (15) • (41) (-18)

• (-160) (13) • (455) (-29) • (-386) (-63)

• (135) ∏ (15) • (-126) ∏ (18) • (264) ∏ (-24)

• (-294) ∏ (21) • (168) ∏ (-42) • (-639) ∏ (-71)

Las reglas para operar con números con signo son válidas también para fracciones y

decimales. Encuentra los resultados de las siguientes operaciones con este tipo de

números.

• 3

4 +

1

2 •

2

3 +

6

5 •

1

2 +

3

5 •

3

8 +

1

4

• �1

3� + �2

3� • � 4

-5� + �-2

5 � • �-2

3 � + �-2

5 � • � 4

-7� + � 3

-4�

• 0.8 + 0.2 • 0.9 + 0.4 • 0.7 + 0.3 • 0.1 + 0.5

• 7

3 -

2

3 •

6

5 -

3

4 •

3

2 -

1

3 •

8

9 -

1

2

• � 8

11� - � 4

11� • �-2

6 � - �1

3� • � 3

-7� - �-3

14 � • � 12

-5� + � 2

-10�

• 0.9 - 0.63 • -0.6 + 0.2 • 2.4 - 0.5 • -0.9 + 1.8

• �2

3��1

6� • �4

5��1

7� • �5

8��3

9� • �6

7��1

2�

• � 5

-6��2

3� • �4

7�� 3

-4� • �-6

7 �� 3

-8� • �-5

-2��-4

-7�

• (0.2)(0.4) • (-0.5)(0.4) • (0.6)(-0.8) • (-0.4)(-0.7)

3

4

23



Caminos entre números y letras

La suma 2 + 7 = 9 puede representar la forma de resolver un problema, ¿como cuál? Discute con tus compañeros y redacta varios problemas que se resuelvan con dicha suma.

Redacta varios problemas que se relacionen con la resta 8 - 5 = 3.

• 45

5 •

56

-8 •

-77

-11 •

-189

21

• �4

6� ∏ �-1

4 � • � 2

-5� ∏ �-1

6 � • �-3

5 � ∏ �-2

8 � • �-8

9 � ∏ � 3

-6�

•

2

5

1

4

•

-3

7

1

6

•

5

-8

-2

6

•

4

9

-2

3

Encuentra el número faltante en las siguientes operaciones.

• � 1

-3�� = �-2

9 � • � ��-2

-5� = � 6

20 �

• �-1

2 �� = � 3

-14� • �-3

-4��-2

5 � =

• ( ) (-0.5) = +1.0 • (-0.3) ( ) = -0.24

• (-0.8) (-0.1) = • ( ) (-2.2) = +2.42

• (+0.5) ( ) = +0.2 • (+2.4) (+0.5) =

• (-4.2) ∏ (+1.05) = • ( ) ∏ (+0.5) = + 4.5

• (+1.5) ∏ ( ) = -5 • (-0.14) ∏ ( ) = -0.2

• ( ) ∏ (-0.2) = +1.25 • (+5.8) ∏ (-0.2) =

5

24

BLOQUE 1


Si tienes una operación como 6 + 11 = 17, redacta un problema donde los datos sean 11 y 17. También redacta un problema donde los datos sean 6 y 17.

Datos 11 y 17: Datos 6 y 17:

Mediante los números con signo puedes expresar relaciones aditivas con las cuales, a su vez, puedes modelar situaciones que implican el uso de adiciones y sustracciones.

Comencemos por analizar una situación que se modela mediante una adición en la que intervienen números con signo positivo y a partir de la cual podemos construir algunos problemas.

Si Pedro tiene $63.00 y gana $15.00 al realizar un trabajo, obtiene en total $78.00.

La expresión numérica con que se representa esta situación es:

63 + (+15) = 78.

Este primer planteamiento de problemas con la suma 63 + (+15) = 78 (la cual también se puede escribir: 63 + 15 = 78) lo puedes resolver con los conocimientos adquiridos en primer grado.

A partir de una expresión como la anterior, que modela la relación entre los datos, se pueden plantear varios problemas en los cuales se desconoce alguna de las tres cantidades. Es decir, una de las tres cantidades se propone como incógnita.

Analiza los siguientes problemas —cuyo planteamiento tiene como base la rela-ción 63 + (+15) = 78— y sigue el desarrollo de su solución.

1) Si Pedro tiene $63.00 y gana $15.00 al realizar un trabajo, ¿cuánto tiene en total?

Esta situación se puede modelar mediante la siguiente expresión, que indica que se desconoce la cantidad fi nal después de haber ganado $15.00:

63 + (+15) = ?

Se puede representar la cantidad desconocida por una letra:

63 + (+15) = x.

++ = ?

Figura 5

25



La forma de resolver el problema consiste solamente en realizar la operación in-dicada:

63 + (+15) = x Ecuación que modela la relación entre los datos. 63 + 15 = x Se puede omitir el signo + de (+15). x =

Así, Pedro tiene fi nalmente $ . La ecuación anterior la pudiste resolver con lo que ya sabías del primer grado de

secundaria. Será la base para lo que viene más adelante. En este caso, la incógnita fue el resultado de la operación.

El siguiente caso también lo puedes resolver con lo ya aprendido, pero es el inicio de otras situaciones que veremos después. Ahora analiza lo que sucede si la incógni-ta es uno de los dos sumandos.

2) Juan tenía algo de dinero, ganó $15.00 al realizar un trabajo; ahora tiene $78.00. ¿Cuánto dinero tenía originalmente?

No se conoce la cantidad que inicialmente tenía Juan:

x + 15 = 78.

La solución se puede obtener considerando que, si a la cantidad desconocida se le suma 15 y da como resultado 78, entonces la cantidad desconocida debe obtenerse restando 15 a 78.

x + 15 = 78 Ecuación que modela la relación entre los datos. x = 78 - 15 Si a 78 le quitamos 15 se obtiene el valor de x. x =

Entonces Juan tenía originalmente $ .

3) José Luis tenía $63.00. Después de realizar un trabajo le pagan una cierta cantidad y al fi nal tiene $78.00. ¿Cuánto ganó?

Figura 6

=? +

26

BLOQUE 1


El modelo correspondiente se representa con la expresión

63 + x = 78.

Para resolverlo se procede como sigue:

63 + x = 78 Ecuación que modela la relación entre los datos. x = 78 - 63 Si a 78 le quitamos 63 se obtiene el valor de x. x =

Es decir, José Luis ganó $ .

Veamos ahora algunas situaciones que se pueden modelar mediante relaciones aditi-vas en las que intervienen números con signo negativo.

1) Pablo tiene 18 lapiceros en su tienda. Su primo Jaime tiene 7 lapiceros menos que él, de ahí que Jaime tiene 11 lapiceros.

Escribe la relación numérica que modela la situación anterior:

Figura 7

+ ? =+

Discute con tus compañeros sobre lo siguiente.

• ¿Es necesario usar siempre x para representar una incógnita?

• ¿Qué sucede si utilizas otra letra? ¿Cambia el proceso de resolución? ¿Cambia el resultado fi nal?

Considera la siguiente situación: Alguien tenía $63.00 y pagó $15.00; le quedaron $48.00.

• ¿Cuál es la relación numérica correspondiente?

• Usando dicha relación, redacta con tus compañeros problemas modelados por cada una de las

siguientes expresiones:

a) 63 + (-15) = x (se puede escribir como 63 - 15 = x)

b) x + (-15) = 40 (se puede escribir como x - 15 = 40)

c) 63 + x = 40

Para curiosos

27



2) José le debía $381.00 a Manuel y le devuelve $123.00. Ahora solamente le debe $258.00.

Puedes expresar esta relación numérica como:

3) Pablo le debe 12 estampillas a Felipe, pero Felipe le debe 7 a Pablo, así que Pablo solamente le debe 5 estampillas a Felipe.

La relación entre los números implicados es la siguiente:

Considerando los tres incisos anteriores y las relaciones aditivas que se determi-naron en ellos, retoma la situación original y plantea tres problemas que tengan la incógnita en el lugar indicado, encuentra el valor de la incógnita en cada caso y de-termina la solución del problema.

Situación aditiva del inciso 1): Pablo tiene 38 lapiceros en su tienda. Su primo Jaime tiene 17 lapiceros menos que él, de ahí que Jaime tiene 21 lapiceros.

a) Plantea un problema en el que la incógnita sea el primer sumando:

Resolución del problema:• Ecuación: x + = • Operaciones:

• Resultado: x = • La solución del problema es: .

b) Plantea un problema en el que la incógnita sea el segundo sumando:

Resolución del problema:• Ecuación: + x =

Discute con tus compañeros por qué siempre se utiliza el signo + para plantear la

relación aditiva. ¿Se podría hacer utilizando el signo -?

Para curiosos

28

BLOQUE 1


• Operaciones:


c) Plantea un problema en el que la incógnita sea el resultado de la suma:

Resolución del problema:• Ecuación: + = x• Operaciones:


Situación aditiva del inciso 2): José le debía $570.00 a Manuel y le devuelve $356.00. Ahora solamente le debe $214.00.





Resolución del problema:• Ecuación: + x = • Operaciones:


29






Situación aditiva del inciso 3): Pablo le debe 27 estampillas a Felipe, pero Felipe le debe 9 a Pablo, así que Pablo solamente le debe 18 estampillas a Felipe.





Resolución del problema:• Ecuación: + x = • Operaciones:



30

BLOQUE 1




Resuelve los siguientes problemas utilizando adiciones y sustracciones de números

con signo. Discute los resultados con tus compañeros.

• Si Andrés tiene $81.00 y gana $50.00 en una apuesta, ¿cuánto tiene en total?

• A Miguel le pagaron $350.00 y perdió $125.00. ¿Con cuánto dinero se queda?

• Juan tiene $250.00 y le deben $75.00. ¿Cuánto dinero tendrá cuando le paguen?

• Silvia tiene 32 estampas, Miriam tiene 6 más que Silvia. ¿Cuántas estampas tiene

Miriam?

• Rosa tiene 18 muñecas, Elvira tiene 6 menos que Rosa. ¿Cuántas muñecas tiene

Elvira?

• Gerardo ganó 5 boletos para el cine, y en una rifa ganó otros 3. ¿Cuántos boletos

tiene?

• Leonardo ganó 25 estampas en un volado, y perdió 6 en otro volado. ¿Con cuántas

estampas se quedó?

• Luis perdió 11 canicas, y al jugar perdió otras 6. ¿Cuántas canicas perdió en total?

• Rodolfo realizó dos trabajos para una empresa. De uno le deben $310.00 y del otro,

$160.00 ¿Cuánto dinero le deben en total?

• Ernesto ganó $460.00 y le debe a Yolanda $540.00. ¿Cuánto dinero le seguirá de-

biendo a Yolanda si le paga todo lo que ganó?

• Beto tenía $82.00 y después cobró una cantidad que le debían; al fi nal tiene $98.00.

¿Cuánto le debían?

• Jorge le debía $175.00 a José y le devuelve $58.00. ¿Cuánto le debe todavía?

• Antonio tenía ahorrado un poco de dinero. Le debían y le pagaron $94.00 de una

venta, con lo que ahora tiene $132.00. ¿Cuánto dinero tenía?

Resuelve los siguientes problemas en los que realizarás adiciones y sustracciones de

números decimales o fracciones con signo.

• Roberto le debe $20.00 a Luis, y si Roberto le da $30.00 a Luis, ¿quién debe a quién

y cuánto?

• Si Francisco tiene ahorrados $250.00, y le pagan por una venta la mitad de lo que

tiene, ¿cuánto dinero tiene ahora?

• Manuel le debe a su hermano $750.00, y a Pedro le debe 1

3 de lo que le debe a su

hermano. ¿Cuánto dinero debe en total?

EN

EL ATENEO

1

2

31



Caminos entre letras y fi guras

Después de analizar los procedimientos para realizar operaciones aritméticas con números con signo, puedes utilizar las mismas reglas para efectuar operaciones con literales, a fi n de cuentas pueden representar números también.

• Si de lo que tenía de lápices doy 3

4 a Jorge y me quedan 12 lápices, ¿cuántos lápi-

ces tenía?

• Un albañil cobra $500.00 por un trabajo, y Tito tiene 3 veces lo que le cobra el al-

bañil, ¿con cuánto dinero se queda Tito después de pagar el trabajo?

• José cobra $1600.00 por un trabajo, y si le piden que haga solamente 2

3 de ese

trabajo, ¿cuánto tendrá que cobrar?

• Brenda tiene 46 estampas, y jugando con Gloria pierde 2

5 de ellas. ¿Cuántas estam-

pas obtiene Gloria?

• Un carpintero tiene una tabla que mide 2.54 m de largo y necesita usar 3

7 de esa

longitud. ¿Cuánto mide el pedazo de tabla que le queda?

• Para pintar un muro de 3 m2 se utiliza 1

3 L de pintura. ¿Cuántos m2 se pintarán con

9

10 L de pintura?

Resuelve los siguientes problemas en los que se puede utilizar una multiplicación o

división de números con signo.

• Pongo $35.00 en una apuesta y gané 5 veces ese valor. ¿Cuánto dinero gané?

• Si paso libros de un librero a otro empleando una caja a la que le caben 15 libros,

¿cuántos libros cambié de librero si realicé 7 viajes?

• En una apuesta puse $1500.00, y me prometieron que si ganaba me darían 6.5

veces lo apostado. ¿Cuánto dinero me ganaría?

• Toño tiene 36 canicas y en secreto sus padres le pusieron en el costal de canicas

4.5 veces la cantidad que originalmente tenía. ¿Cuántas canicas tiene ahora Toño

en su costal?

• Mariana tiene una colección de 424 estampillas y por accidente perdió 3

8 de esa

cantidad. ¿Cuántas estampas perdió?

• Marcos tiene 1

3 de los 123 libros que tiene Marta. ¿Cuántos libros le faltan a Marcos

para tener la misma cantidad que Marta?

• Guillermo y Octavio juntaron dinero para comprar un boleto de avión para Guiller-

mo. Guillermo puso $426.00 y Octavio puso 5

6 de lo que puso Guillermo. ¿Cuánto

costó el boleto de Guillermo?

• De 350 aves que tiene una granja, 2

5 son gallinas,

1

2 son gansos, el resto son patos.

¿Cuántas aves hay de cada especie?

• ¿Cuántos lápices son la mitad de las tres cuartas partes de 64 lápices?

3

32

BLOQUE 1


Para ello realizaremos una actividad. Comencemos por ampliar el material utiliza-do en el primer apartado de esta lección. De un material rígido recorta 10 piezas azules y 10 amarillas de cada una de las unidades que se muestran en la fi gura 8, si-guiendo las medidas que ahí se indican.

Anteriormente asignamos a cada cuadrado pequeño de color azul el valor (+1) y a cada cuadrado amarillo el valor (-1).

Ahora, a cada rectángulo de color azul le asignaremos el símbolo “x” y al de color amarillo, “-x”.

Así mismo, cada cuadrado grande azul se asociará con “x2”, y cada cuadrado gran-de amarillo con “-x2”.

Como cada triángulo se obtiene al dividir por la mitad, respectivamente, el cua-drado pequeño, el rectángulo y el cuadrado grande (según se aprecia en la fi gura 8), les asignaremos la mitad del valor que tenga el cuadrilátero que les corresponda.

Así pues, en la fi gura 9 se muestra el valor asociado a cada pieza.

3.3 cm 3.3 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm 3.3 cm 3.3 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm 3.3 cm

1 cm 1 cm 1 cm

1 cm 3.3 cm 3.3 cm1 cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

Figura 8

33



Expresiones algebraicas equivalentes

Para que veas cómo se manejan las piezas, a las que llamaremos fi chas, analiza el si-guiente ejemplo y discútelo con tus compañeros.

Toma las siguientes piezas:

Toma en cuenta cada pieza y haz una lista de las que tienes:

Si juntas las piezas, ¿cuántas fi chas de cada una tendrías? ¿cómo simbolizarías el juntar todas las piezas? ¿qué operación aritmética está asociada a juntar las piezas?

Figura 9

Figura 10

- 12

x2

-1

-x

-x2

- 12

- 12

x

12

x2

1

x

x2

12

12

x

34

BLOQUE 1


Entonces, el resultado de juntar todas las piezas puede ser expresado simbólicamen-te como: .

¿Con cuáles piezas representarías: 2x + 2; 3x + 5; x + 1; -3x + 2; -2x - 1; 4x - 5? Con las piezas de la fi gura 10 se puede formar el rectángulo mostrado en la fi gu-

ra 11. ¿Cómo expresarías, con las denominaciones de las piezas, cada uno de sus la-dos? ¿Qué operación utilizarías para representar el área del rectángulo? ¿Cómo ex-presarías, usando las denominaciones de las piezas, el área del rectángulo?

Como con las mismas piezas x, x, 1 y 1 construimos distintas cosas, las diferentes expresiones para representar la misma cantidad de piezas se les llama expresiones equivalentes.

x + x + 1 + 1 = 2x + 2 = 2 ¥ (x + 1).

También podemos construir expresiones equivalentes con otras fi chas. Analiza lo que ocurre con las sigiuientes confi guraciones de las fi chas.

Las fi chas que tenemos en la fi gura 12 son:

, , , , , , , .

Sumando términos semejantes, se obtiene la siguiente expresión:

+ + .

Si se forma un rectángulo con las fi chas (fi gura 14), se obtiene:

( + ) ¥ ( + ).

Figura 11

Figura 12

Figura 13

35



De esta forma, tenemos que con las fi chas x2, x, x, x, x, 1, 1, 1 se pueden obtener

las siguientes expresiones equivalentes:

Con tus compañeros, encuentra expresiones equivalentes para las confi guraciones que se pueden obtener con las siguientes fi chas:

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

36

BLOQUE 1


Expresiones equivalentes y operaciones algebraicas

Habiendo asignado valores a las piezas que nos servirán de unidades, procedamos ahora a representar operaciones con ellas.

Considera, para empezar, que puedes agrupar y combinar piezas del mismo tipo pero no de tipos diferentes. Observa la fi gura 18.

Con las fi chas de la fi gura 18 se forman tres agrupamientos distintos. Tomados por separado son:

, , .

Tomadas las piezas en conjunto y dado que sumar es juntar, se puede escribir la expresión algebraica:

+ + .

En la fi gura 19 el conjunto de los tres agrupamientos , , se pue-de representar con la adición:

+ + .

Figura 18

Con tus compañeros, encuentra expresiones equivalentes a las siguientes:

• (+3x) • (-2x) • (+4x2) • (-3x2)

• �+ 1

2 x2� • �-

3

2 x2� • �+

3

2 x� • �-

1

2 x�

Para curiosos

37



Puedes usar las piezas triangulares, que representan partes de las piezas cuadra-das o rectangulares, para expresar de diversas maneras una misma situación. Por ejemplo, escribe en el recuadro una expresión algebraica asociada a las piezas mos-tradas en la fi gura 20:

.

Esta expresión también se puede escribir como:

o o ,

por lo tanto, se pueden obtener varias expresiones equivalentes. Con tus compañeros discute as posibles expresiones equivalentes y escribe en tu cuaderno las igualdades correspondientes.

En este tipo de fi chas también se aplican los equilibrios entre colores, es decir, el mismo número de fi chas semejantes azules con el mismo número de fi chas se-mejantes amarillas se equilibran y forman un cero, como se hizo anteriormente en esta lección.

Escribe expresiones equivalentes relacionadas a la fi gura 21:

Figura 19

Figura 20

Figura 21

+x

-x

-x

-x

12

x

12

x

38

BLOQUE 1


Observa que:

Esto conduce a:

.

¿Cómo representarías las siguientes operaciones usando fi chas de los dos colores?

• (2x + 4) + (-x + 2)• (-3x + 2) + (4x - 5)• (x2 - 2x + 1) + (-2x2 + 3)

¿Cuál sería el resultado si al juntar las piezas en cada caso no consideras los equi-librios? ¿Por qué no importa considerar los equilibrios?

Una manera de obtener expresiones equivalentes es realizar operaciones. Con los procedimientos para sumar números con signo puedes sumar expresiones alge-braicas apoyándote también en el uso de las piezas. Por ejemplo, para sumar las expresiones

+ 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3

se procederá de la siguiente manera:

Discute con tus compañeros lo siguiente.

Encuentra diversas formas de representar las siguientes expresiones algebraicas. En

cada caso dibuja al menos dos disposiciones que representen la misma expresión

algebraica.

• 5

2 x2 +

3

2 x • -4x2 + 3x -

5

2

• -2x2 + 5

2 x • x2 -

3

2

Para curiosos

Figura 22

39



La suma que acabamos de realizar también se puede hacer en forma escrita, pres-cindiendo de las piezas, pero operando solamente con términos semejantes, colum-na por columna:

+ 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3

+ 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 32x2

+ 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 32x2 - x

Así obtuvimos expresiones equivalentes, expresadas de la siguiente manera:

(3x2 - 2x - 5) + (-x2 + x + 3) = 2x2 - x - 2.

La sustracción de expresiones algebraicas la puedes realizar de manera similar. Tomemos el siguiente ejemplo:

- 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3

Representamos cada sumando con piezas.1

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3

Para sumar, juntamos todo. 2 Posteriormente, eliminamos las pie-zas que forman equilibrios. (Solamente podemos “equilibrar” piezas del mis-mo tipo, es decir, piezas semejantes.)

3

+ 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3 + 3x2 - 2x - 5

-x2 + x + 32x2 - x - 2

40

BLOQUE 1


En este caso, al minuendo (la expresión de arriba) hay que “quitarle” el sustraendo (la expresión de abajo). 1

(minuendo)

(sustraendo)

Tal y como se procedió en la sustracción con números enteros, si se tiene un minuendo que carece de las piezas necesarias para quitarle el sustraendo, se le agregan ceros.

2

Para obtener el resultado retiramos del minuendo las piezas que conforman el sustraendo. 3

- 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3

0

41



En símbolos, esta operación también se lleva a cabo por columnas de términos semejantes:

- 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 3

- 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 34x2

- 3x2 - 2x - 5-x2 + x + 34x2 - 3x

Se obtuvieron las siguientes expresiones equivalentes:

(3x2 - 2x - 5) - (- x2 + x + 3) = 4x2 - 3x - 8.

Observa que en el ejemplo anterior se puede obtener el mismo resultado sumando

el sustraendo con los signos cambiados:

+ 3x2 - 2x - 5x2 - x - 3

4x2

+ 3x2 - 2x - 5x2 - x - 3

4x2 - 3x

+ 3x2 - 2x - 5x2 - x - 3

4x2 - 3x - 8

¿Esto es válido en general?

Escribe dos expresiones que si se suman o se restan, considerando que la suma y la

resta son expresiones de signo contrario, den el mismo resultado. ¿Es posible?

Para curiosos

Para cada uno de los siguientes 12 agrupamientos de piezas escribe la expresión algebraica que le

corresponda. Además, cuando sea el caso, encuentra expresiones equivalentes en cada inciso.1

EN

EL ATENEO

(a) (b) (c) (d)

(e) (f ) (g) (h)

42

BLOQUE 1


Representa con piezas las siguientes expresiones algebraicas.

• -3x2 + 2x - 1 • 2x2 - x + 2

• 4x2 + 3x + 4 • -5x2 - 4x + 6

• -2x2 - 7x - 5 • x2 - 6x + 3

Para cada uno de los siguientes 9 agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones alge-

braicas equivalentes.

2

3

(i ) ( j) (k) (l )

(a) (b) (c)

(d) (e) (f )

(g) (h) (i )

43



Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra dos expresiones algebraicas equivalentes.

• - 3

2 x2 • 2

1

2 x2 •

5

2 x2 • -

1

2 x2

• 1

2 x • -

5

2 x • -1

1

2 x •

6

2 x

• 2 1

2 • -4

1

2 •

5

2 • -3

1

2

Realiza con las piezas las siguientes operaciones entre las expresiones algebraicas dadas y escribe el

procedimiento que emplearías si las resolvieras simbólicamente.

• +-5x2 - 2x - 7

4x2 - 3x + 2 • +x2 + 2x + 4

-3x2 - 3x + 1 • --4x2 + 3x - 5-2x2 - x - 3

• --2a2 + 2a - 3-4a2 - 5a + 2 • +

4w2 + 3w - 1-2w2 - 3w + 4 • -

3m2 - 2m + 5-2m2 + 6m - 2

Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas.

• Adición:

• Sustracción:

• Adición:

4

5

6

Primer sumando Segundo sumando

Primer sumando Segundo sumando

Minuendo Sustraendo

44

BLOQUE 1


Demuestro lo que sé y hago1 Resuelve las sumas, restas, multiplicaciones y divi-

siones siguientes.

• (-10) + (+18) • (-21) + (-14) • (+26) + (-13) • (-16) - (+29) • (-15) - (-17) • (-30) - (-18) • (+21)(-9) • (+25)(-4) • (-42)(-8) • (-22) ∏ (+11) • (-42) ∏ (-6) • (+60) ∏ (-15)

• � 1-2��5

6� • �-47 ��-3

8 � • �-25 �� 2

-5�

• (0.2)(1.5) • (-0.8)(6.2) • (-0.3)(-3.2)

2 Encuentra el número faltante en las siguientes ope-raciones.

• (+8) + ( ) = +12 • ( ) + (-4) = -15 • ( ) + (+6) = +12 • (-6) - ( ) = -6 • (+9) - (-8) = • (+13) - (-7) =

• ( )(-5) = +20 • (-5)( ) = -20 • (-4)(-2) = • ( )(-4) = +12 • (+7)( ) = +35 • (+5)(+10) =

• ( ) ∏ (-2) = +20 • (+35) ∏ (-7) = • (-90) ∏ (-5) = • ( ) ∏ (-2) = +14 • (+4) ∏ ( ) = -4 • (-144) ∏ ( ) = -24

• � 1-3�� = �-2

9 � • � ��-2-5� = � 6

20 �

• �-12 �� = � 3

-14� • �-3-4��-2

5 � = � �

• �29�� 4

-5� = � � • � �� 1-8� = � 4

-40�

• (-0.8)(+0.5) = • ( )(+0.9) = +3.42 • (+0.4)( ) = -0.4 • (-1.6)( ) = -5.44

• (-0.25) ∏ (-0.5) = • ( ) ∏ (-0.13) = +3.8 • (+0.18) ∏ ( ) = -0.3 • (-0.936) ∏ ( ) = -2.6

3 Resuelve los problemas siguientes.

• A Manuel le pagaron $650.00 y perdió $225.00. ¿Con cuánto dinero se queda?

• Jorge tiene $450.00 y le deben $65.00. ¿Cuánto di-nero tendrá después de cobrar esa deuda?

• Raúl ganó $420.00 por un trabajo, y le debían por otro trabajo $210.00. ¿Cuánto dinero tendrá?

• Alfonso tenía $52.00 y después cobra una suma que le debían; al fi nal tiene $720.00. ¿Cuánto ganó?

• Javier le debía $850.00 a Susana, le devuelve $230.00. ¿Cuánto le debe todavía?

• Si de lo que tengo de lápices le doy 12

a Jessica y me quedan 19 lápices, ¿cuántos lápices tenía?

• Si un albañil cobra $2 500 por un trabajo, y Tomás tiene 4 veces lo que le cobra el albañil, ¿con cuánto dinero se queda Tomás después de pagar por ese trabajo?

• Luis cobra $3 400 por un determinado trabajo, y si le piden que solamente haga 3

4 de ese trabajo,

¿cuánto tendrá que cobrar? • Un carpintero tiene una tabla que mide 3.25 m de

largo y tiene que cortarla en dos partes para usar 47

de la longitud total. ¿Cuánto mide el pedazo de tabla que le queda?

• Sandra tiene una colección de 536 estampillas y por accidente perdió 2

5 de ellas. ¿Cuántas estam-

pillas perdió? • Si María tiene 1

3 de los 693 libros que tiene Elsa,

¿cuántos libros le faltan para tener la misma can-tidad que Elsa?

• Aída puso 13

de los $725.00 que tiene Gonzalo para completar el costo de su viaje. ¿Cuánto pagó Gonzalo por su viaje?

• De 550 aves que tiene una granja, 25

son gallinas, 12

son gansos, el resto son patos. ¿Cuántas aves hay de cada especie?

45



4 Escribe la expresión algebraica que corresponda a cada uno de los siguientes agrupamientos de piezas.

5 Para cada uno de los siguientes agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones algebraicas equivalentes.

6 Resuelve con símbolos las siguientes operaciones.

• +2x2 + 3x + 2

-3x2 - 4x + 3

• -2x2 + 4x - 2

-2x2 - 3x - 1

• +-6x2 - 3x - 9

3x2 - 2x + 5

7 Resuelve los siguientes problemas.

• En la mesa de un restaurante se han colocado 12 cucharas más que cuchillos. Si en total son 76 cubiertos, ¿cuántos son de cada uno?

• Corté una tabla de 60 cm de largo en dos partes. Si una mide 14 cm más que la otra, ¿cuánto mide cada parte?

8 Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas.

• Adición:

• Adición:

9 En un rectángulo el largo es cuatro veces el ancho, y el perímetro es 30 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

Primer sumando

Segundo sumando

Primer sumando

Segundo sumando

y

x

46

BLOQUE 1


10 Calcula el valor de cada lado que se pide. (P corres-ponde al perímetro de la fi gura.)

11 Encuentra el valor de la cantidad desconocida en las siguientes fi guras.

P = 34 cm

x + 5

x + 5

x x

w + 3

w + 3

w + 3 w + 3

2x

x + 5

2x

P = 26 cm

P = 40 cm

d 2 12

d1 12

d

ConéctatePuedes consultar algunas páginas de Internet para pro-fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

• http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

En este sitio encontrarás opciones de materiales virtuales

de enseñanza en varios grados y temas.

También puedes consultar los siguientes libros.

• Aurelio Baldor Álgebra Grupo Cultural Patria, México, 2007.• José María Chamoso y William Rawson

A vueltas con los númerosColección Diálogos de matemáticasNivola, Madrid, 2003.

• Edouard Lucas El laberinto y otros juegos matemáticos Zugarto Ediciones, Madrid, 1996.

• Eduardo ManceraMatematebloquemática: el arte de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritosgei, México, 2001.

• Yakov Perelman Álgebra recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/

algebrarecreativa/index.html.• Inmaculada Vargas-Machuca et al.

Números enterosSíntesis, Madrid, 1990.

47



Mis retos Ya conoces los ángulos, ahora utilizarás sus medidas para estimar,

medir y calcular en diversas situaciones. Las medidas de ángulos las

realizarás con una unidad que conoces, los grados.

Haciendo uso de los ángulos podrás analizar las relaciones que se

establecen entre varias rectas en virtud de sus posiciones relativas

en el plano (rectas paralelas, perpendiculares u oblicuas). El

conocimiento de esas relaciones es fundamental en algunas

construcciones geométricas.

Utilizarás criterios para reconocer ángulos opuestos por el vértice o

adyacentes. Además, establecerás relaciones entre los ángulos que

se forman al cortar dos rectas paralelas por una transversal, lo cual es

muy útil para justifi car relaciones entre los ángulos interiores de los

triángulos y paralelogramos.

¿Qué sé? En el primer grado ya trabajaste con los ángulos, con bisectrices y

mediatrices.

También abordaste varios aspectos de la geometría que implicaron

el uso de fi guras con ángulos de diversos tipos.

¿Qué lograré aprender? Muchas propiedades de las fi guras geométricas provienen de

considerar los ángulos que forman sus lados, ya que a partir de ellos

se establecen criterios para clasifi carlas o para obtener unas fi guras a

partir de otras.

2Qué dicen los ángulos y sus medidas

48

01_02_OK.indd 4801_02_OK.indd 48 5/15/08 1:10:09 PM5/15/08 1:10:09 PM

1 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

• ¿Qué es un ángulo?

• ¿Cuántos grados mide un ángulo recto?

• ¿Cuántos grados mide un ángulo colineal?

• ¿Qué instrumento de medición usamos para saber cuántos grados mide un

ángulo?

• ¿Qué es una bisectriz?

• ¿Qué es una mediatriz?

• ¿Cuáles son los ángulos complementarios?

• ¿Cuáles son los ángulos suplementarios?

• ¿Cuáles son las rectas paralelas?

• ¿Cuáles son las rectas perpendiculares?

• ¿Qué es la simetría?

2 Traza la bisectriz de los ángulos DEF y XYZ.

3 Traza la mediatriz de los segmentos LM y CD.

4 En la fi gura (a) y en la fi gura (b), respectivamente, ¿cómo son entre sí los pares

de ángulos ADC y CDB?

L

M CD

49



Letras para fi guras

Discute con tus compañeros la forma en que te referirías a una línea recta que pasa por dos puntos diferentes A y B, sin usar palabras y sin hacer dibujos. En el mismo sentido: ¿cómo te referirías al segmento de extremos A y B?, ¿a la distancia entre A y B?, ¿cómo te referirías a un ángulo?

Como vimos anteriormente, las letras nos sirven para representar números. ¿Nos servirán también para referirnos a fi guras geométricas?

Dibuja un triángulo en tu cuaderno y da instrucciones a otro de tus compañeros para que, sin ver tu triángulo, pueda reproducir uno igual.

Ahora conviene hacer algunas precisiones. Por dos puntos pasa una y sólo una recta.

Una recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB . Un segmento de recta cuyos extremos están en los puntos A y B se denota

como AB. La longitud del segmento o la distancia entre los puntos extremos se sim-boliza por AB.

De esta forma, un punto R está entre A y B si se cumple que AR + RB = AB, siendo R π A y R π B.

Un punto O en una recta divide a ésta en dos partes. Cada parte se denomina se-mirrecta y el punto O que divide a la recta se conoce como origen de semirrectas.

Cada semirrecta queda determinada por el origen y un punto por donde pasa. Cabe aclarar, sin embargo, que las semirrectas no incluyen a su punto de origen; en otras palabras, el origen de una semirrecta no es un punto de ella.

¿Por qué el origen no puede ser punto de ninguna de las semirrectas?En la fi gura 4 el punto O divide a la recta MN en dos semirrectas, que se denotan

como OM y ON respectivamente.

Cuando una semirrecta incluye su origen se denomina rayo, de tal modo que un rayo queda determinado por su punto de origen y otro punto por donde pasa. El rayo con origen en O y que pasa por R se denota como OR (fi gura 5). La fl echa indica la dirección hacia donde continúa el rayo indefi nidamente.

A B

Figura 1 Recta AB

Figura 2Segmento AB

A B

Figura 3 A BR

Figura 4 M NO

Figura 5Rayo OR RO

50

BLOQUE 1


Los ángulos y sus medidas

Ya sabes, del curso anterior, que un ángulo es una fi gura geométrica formada por dos rayos, denominados lados del ángulo, que tienen un origen común llamado vértice del ángulo. Esto se ilustra en la fi gura 6.

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas, haz los dibujos necesarios.

• ¿Por qué el origen de las semirrectas no se incluye en ninguna?

• ¿La recta AB es la misma que la recta BA ?

• ¿El segmento AB es el mismo que el segmento BA?

• ¿La distancia AB es la misma que la distancia BA?

• ¿La semirrecta AB es la misma que la semirrecta BA ?

• ¿El rayo AB es el mismo que el rayo BA ?

• Si un punto M está entre A y B, ¿será punto de la semirrecta AB ?, ¿de la semirrecta

BA ?, ¿del rayo BA ?, ¿o del rayo AB ?

Para curiosos

Dadas las siguientes expresiones simbólicas, explica a qué se refi eren y haz una fi gu-

ra que corresponda con lo que simbolizan.

• La recta RS • El rayo QL • El segmento RS

• El rayo AB • El segmento EF • La recta WX

Escribe el nombre y la notación correspondiente a las siguientes seis fi guras.

1

EN

EL ATENEO

2

DE

A

BW

Y

J

G

ED

BO

A

Vértice

Lado

LadoFigura 6Ángulo AOB

U Y

51

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS


Denotaremos un ángulo mediante tres puntos: el vértice y un punto en cada uno de los rayos, ubicando en medio el punto que indica el vértice. Así, por ejemplo, el ángulo de la fi gura 6 se denota como ü AOB.

Aun cuando hemos defi nido los ángulos en términos de rayos, que son semirrec-tas de longitud infi nita, en adelante representaremos los ángulos usando segmentos de rectas, por comodidad, prescindiendo de las fl echas.

A los ángulos se les asigna una medida. Esta medida es un número que se denota anteponiendo una “m” al nombre del ángulo. La medida del ángulo representado en la fi gura 6 se denota como m(ü AOB).

Para medir ángulos se utiliza un instrumento que consiste en un semicírculo divi-dido en 180 partes, llamado transportador.

Cada una de las 180 divisiones de ese semicírculo se denomina grado. Observa la fi gura 7.

Generalmente cuando mides la longitud de un segmento rectilíneo, colocas el cero de la escala en uno de los extremos del segmento e identifi cas el número que se corresponde con el otro extremo (fi gura 8).

Medir ángulos no difi ere mucho de ese procedimiento: se hace coincidir el origen del eje de referencia del transportador con el vértice del ángulo, de tal modo que los dos lados pasen por la zona graduada. Un lado debe corresponder con la marca del cero en la escala y se observa por qué marca pasa el otro lado: ésa será la medida en grados del ángulo. Observa un ejemplo en la fi gura 9.

Figura 8Medición de un segmento

Figura 7El transportador

La cantidad de grados que abarque un ángulo será su medida.

52

BLOQUE 1


Tal vez has podido observar que en la medición de ángulos queda por determinar lo que se está midiendo. Hay dos posibilidades: lo de “afuera” (llamado el exterior del ángulo) o lo de “adentro” (llamado el interior del ángulo). Observa la fi gura 10 y res-ponde ¿a qué región corresponde la medida?

Discute con tus compañeros lo que

sigue.

En la fi gura, ¿el ángulo AOB es igual al

ángulo SOR? En otras palabras, verifi ca

si m(ü AOB) = m(ü SOR).

Para curiosos

A

S

R

O B

Exterior

Interior

Figura 10

Figura 9Medición de un ángulo con el transportador

Discute con tus compañeros cómo caracterizar geométricamente el interior de un

ángulo. Puedes apoyarte en la siguiente fi gura:

¿Qué observas? ¿Cada segmento trazado en dónde está respecto al ángulo?

Para curiosos

53



¿Cómo son los segmentos de recta, es decir que posición relativa tienen, si son los lados de un ángulo de 90∞?

A un ángulo que mide 90∞ se le denomina ángulo recto.

Al trazar la bisectriz de un ángulo recto cada ángulo debe medir .

Al dividir un ángulo recto en tres partes iguales, cada parte debe medir .

Dos terceras partes de un ángulo recto corres-ponde a una medida de .

Un ángulo que indica media vuelta se le deno-mina ángulo llano y le corresponde a una me-dida de .

Un ángulo que indica una vuelta completa le corresponde a una medida de .

90∞

54

BLOQUE 1


Para curiosos

Estima la medida de cada uno de los siguientes ángulos. Posteriormente determina su medida con un

transportador y denota cada ángulo utilizando la notación de tres letras. 1

EN

EL ATENEO

O

P

Q

N

L

M

GH

F

T

V

U

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas.

Si en un círculo se trazó un ángulo recto, con vértice en su centro, ¿qué parte o fracción del círculo

abarca el interior del ángulo? ¿Cuál parte el exterior?

¿Un ángulo que mida 180∞ tiene interior y exterior?

Considera que tienes tres transportadores para medir un ángulo. ¿Puedes usar cualquiera de ellos?, es

decir, ¿la medida del ángulo será la misma si utilizas cualquiera de los transportadores? ¿Por qué?

Para medir un ángulo, ¿debes elegir uno de sus dos lados en particular para ubicarlo en el cero de la

escala circular del transportador?

55



Estima la medida de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Suma dichas es-

timaciones y compara ese resultado con el que obtienes al medir los ángulos con tu transportador y

calcular la suma con esas medidas.

Traza el lado faltante para que los ángulos así formados tengan las medidas indicadas.

2

3

m(ü ABC ) = 24∞ m(ü XYZ ) = 85∞ m(ü FGH ) = 175∞

m(ü STU ) = 17∞ m(ü ORG) = 160∞

GF

A

B Y

X

T

S

RO

56

BLOQUE 1


Clases de ángulos

Entre los ángulos se presentan diferentes tipos de relaciones que es importante cono-cer pues ayudan a estudiar las propiedades de distintas fi guras geométricas.

Ángulos congruentes

Dos ángulos con la misma medida se dice que son ángulos congruentes.

Observa que en la fi gura 11, el ángulo PQR es congruente al ángulo MTN, pues m(ü PQR) = m(ü MTN).

El signo @ se utiliza para expresar la congruencia de ángulos. Con los ángulos de la fi gura 11, tendríamos que

ü PQR @ ü MTN.

Cómo copiar ángulos

Tal vez conoces los pasos para copiar un ángulo con regla y compás. Para que lo re-cuerdes, observa la secuencia de pasos de la fi gura 12, en la que a partir del ü AOB se obtiene el ü A¢O¢B ¢.

Discute con tus compañeros qué se hizo en cada paso para copiar el ángulo en la fi gura 12, y escríbelo en tu cuaderno. Comprueba además que ü AOB @ ü A¢O¢B ¢; para ello puedes utilizar un transportador.

A los siguientes ángulos les falta el vértice, complétalos y obtén sus medidas. 4

Figura 11

57



Figura 12 Copia del ángulo AOB

1

OR

IGIN

AL

CO

PIA

3 5

O

A

B

A

B

O

A

B

O

B ¢

A¢

B ¢B ¢

O ¢ O ¢ O ¢

2 4 6

Analiza con tus compañeros lo siguiente.

Si se sabe que dos ángulos cumplen con la relación ü PRQ @ ü MTN, siendo PR = MT

y RQ = TN , ¿será cierto que ü QRP @ ü NTM? ¿Será cierto que ü PQR @ ü NMT ? Re-

dacta brevemente una explicación de tu respuesta.

Conjuntamente con algunos de tus compañeros, dibuja un ángulo y cópialo en otra

hoja. Posteriormente encima las fi guras de los ángulos y observa a contraluz si coin-

ciden. También puedes recortar uno de los ángulos y sobreponer su interior con el

del otro para saber si son congruentes o no.

Para curiosos

Haz una copia de cada uno de los siguientes ángulos, pero en diferentes posiciones. 1

EN

EL ATENEO

OQ

P

J

K

L

D

E

F

58

BLOQUE 1


Relaciones entre pares de ángulos

Estudia las siguientes fi guras:

O

A

B

C

Con tu transportador, mide los ángulos ü AOB, ü BOC y ü AOC.

• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?

Detecta en cada una de las siguientes fi guras ángulos congruentes, si los hay. 2

A

AB

B

C

C

D

D

EF

G

N

K

L

MM

N

O

P

P

Q

R

T

U

V

W

X

Y

Z

Figura 13

59



S

P R

Q

Con tu transportador, mide los ángulos ü PSQ, ü QSR y ü PSR.

• ¿Hay alguna relación entre esas medidas?

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas?

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas?

Dado el siguiente rayo, dibuja un par de ángulos que tengan el vértice y un lado común y que la suma de sus medidas sea 90 grados.

Z

V

¿Cuánto suman las medidas de cualquiera de los ángulos que se forman en cada una de las siguientes fi guras?

O

Q

P

R

Z

V

U

M

L N

Traza dos ángulos que tengan como lado común el segmento de la fi gura 17, que su vértice sea común y que sus medidas sumen 180 grados.

Figura 14

Figura 15

Figura 16

60

BLOQUE 1


Z

V

¿Cuánto suman las medidas de cualquier par de los ángulos que se forman en cada una las siguientes fi guras?

Z

V

U

M

L N

O

P

Q

Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios

Dos ángulos son adyacentes si comparten el vértice y un lado (uno de los rayos que los conforman).

Nótese que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es la medida del ángulo total que conforman. Esto se ilustra en la fi gura 19, donde

m(ü MQN ) + m(ü PQN ) = m(ü PQM) ; es decir, 47.8∞ + 23.6∞ = 71.4∞.

Dos ángulos cuyas medidas suman 90∞ se dice que son complementarios.

Por ejemplo, en la fi gura 20 las medidas de ü RWS y ü SWT suman 90∞:

m(ü RWS) + m(ü SWT ) = m(ü RWT ) 66.4∞ + 23.6∞ = 90∞.

Figura 17

Figura 18

Figura 19 ü PQN y ü MQN son adyacentes

Figura 20 ü RWS y ü SWT son complementarios

61



Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180∞ se dice que son suple-mentarios.

Observa que, en la fi gura 21, las medidas de ü RWS y ü SWT suman 180∞:

m(ü RWS) + m(ü SWT ) = m(ü RWT ) 156.4∞ + 23.6∞ = 180∞.

Discute con tus compañeros cómo las medidas de ángulos escritas en forma decimal

(por ejemplo, 37.56∞) se pueden convertir a expresiones equivalentes en grados, mi-

nutos y segundos. Por ejemplo,

37.56∞ = 37∞ 33.6 ¢ = 37∞ 33¢ 36≤.

Si un ángulo se expresa en grados, minutos y segundos, ¿cómo se puede encontrar

su expresión en forma decimal?

Para curiosos

Figura 21 ü RWS y ü SWT son

suplementarios

¿Puede haber ángulos complementarios o suplementarios que no sean adyacentes? ¿Por qué?

Considera dos ángulos con lados correspondientes paralelos (es decir, las rectas que contienen a sus

lados son respectivamente paralelas de un ángulo a otro). ¿Estos ángulos serán congruentes?

Comprueba si lo son o no usando el transportador, también puedes copiar uno de los ángulos so-

bre el otro, o puedes recortar uno de ellos para sobreponerlo al otro.

AB es paralela a PQ

BC es paralela a QR

1

EN

EL ATENEO

2

62

BLOQUE 1


¿Son congruentes dos ángulos que tienen sus lados paralelos?

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares ¿serán congruentes?

Si se intersectan dos segmentos de recta perpendiculares ¿cuántas parejas de ángulos adyacentes se

forman? ¿cuánto miden cada uno de ellos?

¿Cuántas parejas de ángulos adyacentes forman dos rectas paralelas? ¿Por qué?

En cada una de las siguientes fi guras identifi ca pares de ángulos que sean complementarios o suple-

mentarios, si los hay. Compara ángulos interiores que provengan de una misma fi gura. Puedes usar

un transportador o reproducir cada fi gura y recortar sus ángulos para ver cuáles de ellos forman

ángulos rectos o llanos; también puedes copiarlos con regla y compás de tal forma que queden ad-

yacentes, y ver si forman un ángulo recto o llano; otra forma de reproducir los ángulos es doblando

un papel.

3

5

6

7

4

63



Ángulos y rectas

En las siguientes fi guras, elige los puntos necesarios y denomínalos con letras para determinar, con la medida de ángulos o mediante regla y compás, las parejas de án-gulos que son congruentes, complementarios y suplementarios.

a)

En la fi gura, los segmentos rectilíneos AC y BD son perpendiculares. Con esta información encuentra

la medida de los siguientes ángulos.

• ü AOG

• ü BOI

• ü HOB

• ü COJ

En los siguientes pares de ángulos suplementarios encuentra la medida del ángulo que se pide.

• ü GHJ

• ü BCA

• ü RST

• ü NLM

8

9

Figura 22

64

BLOQUE 1


b)

c)

d)

Para curiosos

Si varías la posición de alguna de las rectas en:

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-

tarios y suplementarios. Si varías la posición de la recta que corta al par de rectas paralelas:

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complemen-

tarios y suplementarios.

Construye dos rectas que se intersecten y formen un par de ángulos de 90 grados. Esas rectas tienen

alguna relación? ¿Cómo se les denomina a ese tipo de rectas?

Si dos rectas al cortarse forman solamente un ángulo de 90 grados, ¿son perpendiculares?

Dibuja dos rectas que al ser cortadas por otra recta que sea perpendicular a una de ellas, sea perpen-

dicular a la otra recta. ¿Cómo se denomina a ese par de rectas?

Figura 23

Figura 24

Figura 25

65



Ángulos entre rectas

Ángulos determinados por dos rectas oblicuas

Dibuja dos rectas que se intersequen, ¿cuántos ángulos se forman? Dibuja dos rectas paralelas y otra recta que corte ambas, ¿cuántos ángulos se forman?

Para referirnos a dichos ángulos hay terminología que conviene conocer. Dos rectas que se cortan y no son perpendiculares se denominan oblicuas. Estas

rectas forman varias parejas de ángulos adyacentes, como se observa en la fi gura 26.

Los ángulos ü YPZ y ü FPE se denominan ángulos opuestos por el vértice. También ü ZPF y ü YPE son opuestos por el vértice. Observa que los ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados en semirrectas

opuestas respecto al vértice.

En la fi gura 27 hay varias parejas de ángulos suplementarios adyacentes, ¿cuáles son? ¿Es posible que con dos rectas perpendiculares u oblicuas se formen ángulos com-

plementarios?

Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una secante

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta se forman varios ángulos (fi gura 28). La recta que corta las paralelas es una recta secante a ellas.

Vamos a identifi car a continuación cuáles de estos ángulos son congruentes, para lo cual conviene clasifi carlos por parejas según su ubicación respecto a la secante y las dos paralelas dadas.

Figura 26Las rectas FY y EZ son

oblicuas

Figura 27

A B

C D

O

Figura 28 La recta CF es secante a las

paralelas AE y BD

Con algunos de tus com pañeros dibuja va rias parejas de rectas oblicuas y comprueba

que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Usa el transportador o al-

gún otro recurso de medición para hacer esta comprobación.

Para curiosos

66

BLOQUE 1


Ángulos alternos internos Ángulos alternos externos

ü APF @ ü BOP ü FPE @ ü POD ü BOC @ ü APO ü COD @ ü OPE

ü APO @ ü POD ü BOP @ ü OPE ü APF @ ü COD ü FPE @ ü BOC

A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P

Ángulos correspondientes

A

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

PA

B

E

F

C

DO

P A

B

E

F

C

DO

P

En la siguiente fi gura identifi ca, junto con tus compañeros, todas las parejas de ángu-

los suplementarios y de ángulos opuestos por el vértice.

¿Será posible dibujar dos rectas paralelas y una secante que corte a ambas de tal

modo que se formen parejas de ángulos complementarios?

Para curiosos

A E

B D

F

C

O

P

Completa la fi gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos corres-

pondientes de dos rectas paralelas cortadas por una secante. 1

EN

EL ATENEO

67



Completa la fi gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos

internos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

Completa la fi gura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos

externos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

En cada una de las siguientes fi guras considera las rectas que contienen a sus lados

y, en donde sea posible, identifi ca algunos ángulos correspondientes, alternos inter-

nos o alternos externos.

En las siguientes actividades hay situaciones en las que el trazo de paralelas es rele-

vante, y en caso de no usarlas puede complicarse mucho su resolución. Por eso, pri-

mero intenta resolverlas sin usar paralelas.

Utiliza el trazo de paralelas para encontrar cinco triángulos que tengan la misma área

que el siguiente:

Para ello, observa la siguiente fi gura, donde se ha trazado AB paralela al segmento MN.

2

3

4

5

68

BLOQUE 1


Suma de los ángulos interiores de un polígono

Toma un triángulo cualquiera como el de la fi gura 29.

Haz dobleces siguiendo las líneas punteadas (fi gura 30).

Para cada uno de los siguientes cuadriláteros construye un triángulo que tenga la

misma área que él.

Para ello, observa la siguiente construcción, donde BZ se construyó paralela a AC, y

DZ paralela a DC .

6

Figura 29

Figura 30

69



Obtendrás algo como lo siguiente (fi gura 31):

¿Coinciden los tres vértices? ¿Siempre coincidirán con este tipo de dobleces?¿Cuál sería la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren

los vértices?

Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó, como se ilustra en la fi gura 33. ¿Qué ángulo se forma?

También puedes recortar tres triángulos iguales y ensamblarlos como en un rom-pecabezas; observa la fi gura 34.

De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto debe medir la suma de los tres ángulos inte-riores de un triángulo?

Figura 31

Figura 32

T bié d iá l i

Figura 33

Figura 34

70

BLOQUE 1


En la fi gura 35 se muestran las medidas de los ángulos interiores de tres triángulos diferentes. Suma los ángulos en cada triángulo y anota el resultado.

¿Lo que obtuviste concuerda con la respuesta que diste a la pregunta anterior so-bre la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ¿Qué concluyes?

Los procedimientos anteriores parecen arrojar un mismo resultado para la suma de los ángulos interiores de un triángulo; discute con tus compañeros cuánto debe ser dicha suma.

Observa las siguientes fi guras. ¿Cómo debe ser la recta “verde” para que exista congruencia de algunos de los ángulos? ¿Por qué?

111.926.2

41.9

41.9

26.2

21.7 56

21.7 56102.3

126.314.4

14.4 126.339.3

Considera cualquier triángulo y traza la recta “verde” de manera conveniente para tener congruencia de ángulos, como en las fi guras anteriores.

¿Qué infi eres de estas fi guras respecto a la suma de los ángulos interiores de un triángulo?

Figura 35

Figura 36

Figura 37

87.4

54.3

60.5

13.6

152.3

14.1

65.236.2 56.4

71



Comencemos con el triángulo ABC que se ilustra en la siguiente fi gura:

A

B

C

Traza la paralela PQ a la recta que contiene al lado AC y que pase por el vértice B del

triángulo como se muestra a continuación:

A

B

C

P

Q

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas y elabora con ellos una res-

puesta para cada una (los datos se refi eren a la fi gura 24).

• ¿Por qué ü ABP @ ü BAC y ü QBC @ ü BCA?

• ¿Por qué m(ü ABP) = m(ü BAC) y m(ü QBC) = m(ü BCA)?

• ¿Por qué m(ü ABP) + m(ü ABC) + m(ü QBC) = 180∞?

• ¿Por qué m(ü BAC) + m(ü ABC) + m(ü BCA) = 180∞?

¿La conclusión hubiera sido la misma si en la fi gura 24 se hubiera trazado PQ paralela

a cualquier otro lado del triángulo ABC ?

¿Qué pasaría si se usa cualquiera de los siguientes triángulos?

Para curiosos

A

A

B

B

C

C

A

B

C

72

BLOQUE 1


Considera el cuadrilátero ABCD de la fi gura 38.

¿Cuál debe ser la suma de los ángulos internos del ese cuadrilátero?

Considera la siguiente fi gura:

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?

Completa las siguientes relaciones:

• m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) =

• m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) =

• m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) + m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) =

• m(ü CAB) + m(ü CAD) =

• m(ü BCA) + m(ü DCA) =

• m(ü ABC) + m(ü BCD) + m(ü ADC) + m(ü DAB) =

De lo anterior obtenemos que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD es .

Si hubieras utilizado alguno de los cuadriláteros mostrados en la fi gura 40, ¿val-drían todos los elementos que utilizaste, es decir, la conclusión sería la misma?

Figura 38

Figura 39

A

B

C

D

A

B

C

D

73



AB

B

BA

D

C

C

A

D

C

D

Discute con tus compañeros y contesta por qué en el procedimiento para calcular los

ángulos interiores de ABCD se cumple cada una de las siguientes igualdades.

• m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 180∞

• m(ü BAC) + m(ü AC B) + m(ü CBA) = 180∞

• m(ü BAC) + m(ü AC B) + m(ü CBA) + m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 360∞

• m(ü BAC) + m(ü DAC) = m(ü DAB)

• m(ü ACB) + m(ü ACD) = m(ü BCD)

• m(ü ABC) + m(ü BCD) + m(ü CDA) + m(ü DAB) = 360∞

Para curiosos

Figura 40

74

BLOQUE 1


Dados el siguiente triángulo y cuadrilátero, calcula las medidas de los ángulos que

faltan:

52.3

81.3

134.8

36.4

31.9

P

R

Q

B

C

A

D

Si te dicen que un triángulo tiene dos ángulos congruentes cuyas medidas suman

120∞, ¿de que tipo es el triángulo?

En un triángulo, dos de sus ángulos son complementarios. ¿Qué tipo de triángulo

es?

En un triángulo, la suma de dos de sus ángulos es 133∞ y uno de ellos mide 86∞. ¿De

qué tipo es el triángulo?

En un cuadrilátero, dos de los ángulos opuestos miden 34∞. ¿De qué tipo es el cuadri-

látero?

En un cuadrilátero, todos los ángulos internos miden lo mismo. ¿Qué tipo de cuadri-

látero es?

¿Puede trazarse un triángulo isósceles cuyas medidas de los tres ángulos internos

sean diferentes?

En un triángulo rectángulo, ¿cuál es la suma de los dos ángulos que no son rectos?

¿Puede haber un triángulo con dos ángulos internos rectos?

1

2

4

6

3

5

7

8

9

EN

EL ATENEO

75



1 Con la ayuda del transportador traza la bisectriz de los siguientes ángulos:

2 Con ayuda de la regla y el transportador, traza la mediatriz de los siguientes segmentos:

3 Traza lo que se indica

• La recta MN • El rayo TU • El segmento CD

4 Anota el nombre de las siguientes fi guras.

5 Dados los siguientes ángulos que tienen como un lado el del dibujo, completa la fi gura que corres-ponda.

6 Dados los siguientes lados de ángulos, traza el lado faltante de modo que el ángulo resultante tenga la medida que se indica.

7 Con ayuda del transportador, traza una paralela a la recta dada que satisfaga las condiciones pedidas:

• Que pase por el punto señalado en rojo• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos

ángulos alternos internos de 65∞.• Que al cortarlas por una transversal, tenga dos

ángulos alternos externos de 123∞.

8 Si en la fi gura el segmento CG es perpendicular al segmento AE , encuentra el valor de los siguientes ángulos.

• ü BOC • ü EOD • ü FOG • ü GOH

Demuestro lo que sé y hago

G

H I

D

E

C

R

S

J

K

A

B

H

G

J

K

m(ü ABD) = 90∞

m(ü IJK ) = 14∞

m(ü MNG) = 125∞

C

E

G

A

BD

F

H

80∞20∞

50∞ 35∞O

61.7

34.9

Completa el triángulo

61.7

57.4

Completa el cuadrilátero

76

BLOQUE 1


9 Encuentra las medidas de todos los ángulos forma-dos por las tres rectas.

10 Dadas las parejas de ángulos suplementarios en-cuentra el valor de los siguientes ángulos.

• ü GHJ • ü BCA

11 Calcula los ángulos interiores del siguiente para-lelogramo:

Puedes consultar algunas páginas de Internet para pro-fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

• http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm

• http://www.eneayudas.cl/optentrada.htm#angulo


• Aurelio BaldorGeometría y trigonometríaGrupo Cultural Patria, México, 2007

• José María Chamoso y William RawsonContando la geometríaNivola, Madrid, 2004.

• Ana Millán GascaEuclides. La fuerza del razonamiento matemáticoNivola, Madrid, 2004.

• Yakov PerelmanGeometría recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/geometriarecreativa/index.html.

Conéctate

A

B C D

G

H

I

J

80∞

140∞

38.6

55.8

77



Mis retos Las relaciones de proporcionalidad son muy importantes para

abordar distintas clases de problemas. En esta lección aprenderás a

trabajar con factores de proporcionalidad fraccionarios.

Si tienes una cantidad y que varía proporcionalmente con relación a

otra cantidad x, aprenderás cómo se establece un factor inverso

para conocer cómo varía x si es y la que cambia de valores.

Al fi nal podrás encontrar procedimientos para relacionar más de dos

conjuntos de cantidades por medio de relaciones de proporciona-

lidad múltiples.

¿Qué sé? En el curso anterior estudiaste varias relaciones de proporcionalidad

directa e inversa, y las aplicaste a la solución de algunos problemas.

También trabajaste con tablas, expresiones algebraicas y gráfi cas

asociadas a relaciones de proporcionalidad.

¿Qué lograré aprender? Establecerás relaciones de proporcionalidad como las que se

manejan frecuentemente en el dibujo a escala.

Por otra parte, si hay una cantidad que varía proporcionalmente con

respecto a otra, pero esta última también varía proporcionalmente

respecto a otra cantidad, y así sucesivamente se relacionan varias

cantidades, podrás conocer la relación que se puede establecer

entre la primera cantidad y la última.

3Si uno aumenta, el otro también

78


1 ¿Qué es una variación directamente proporcional?

2 ¿Qué es una variación inversamente proporcional?

3 Si tu mamá invierte $85 en una comida para 10 personas, ¿cuánto tendrá que

invertir en una comida para 24 personas sin disminuir la ración que le

corresponde a cada una?

4 Si tienes un cubo de 4 cm de arista, ¿cuántos cubos de 1 cm de arista necesi-

tas para igualar su volumen? ¿Cuántos de 2 cm de arista? ¿Cuántos para

incrementar 10 el volumen?

5 ¿Cuántos kilogramos pesan 30 metros de alambre, si 120 metros pesan

10 kilogramos?

6 Si Elia compró un tramo de tela de 1 m2 a $120, ¿cuánto le costará 1

2 m2?

¿Cuánto 14 m2?

7 Se asignó la tarea de pintar tres bardas a tres jóvenes. Hugo tarda 3 días en

pintar su barda, Luis tarda 2

3 de lo que tarda Hugo en completar la suya, y

Paco se lleva 3

5 de lo que tarda Hugo en terminar la suya.

• ¿Cuánto tardan Paco y Luis en pintar sus bardas?

• Si Hugo puede pintar una casa en 11 días, ¿cuánto se tardarían respectiva-

mente Paco y Luis en llevar a cabo la misma tarea?

4 cm

79



Las buenas proporciones

En el mismo tipo de problemas que trabajaste en “Algo de lo que me enseñaron” con-sidera la siguiente situación: Varios amigos se juntan para planear una fi esta y deci-den que la bebida que se repartirá será agua de sabores. Saben que cada sobre del sabor requerido se debe preparar con litro y medio de agua. Con tus compañeros completa la siguiente tabla.

Usando fracciones Usando decimales

Sobres de sabor Litros de agua requeridos Sobres de sabor Litros de agua requeridos

12

1

1 12

2 1 12

¥ 2 = 32

¥ 2 = 62

= 3

2 1.5 ¥ 2 = 3

2 12

3

3 12

4

4 12

5

Especifi cando el valor de los sobres requeridos, se determina la cantidad de litros de agua.

De la tabla anterior se sacan los elementos necesarios para contestar las siguientes preguntas:

• Considerando las cantidades de los renglones de la tabla, ¿cuál es el resultado de los cocientes del tipo

sobres de saborlitros de agua requerida

?

80

BLOQUE 1


Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

Cantidad de litros

Cociente sobres

litro

Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

Cantidad de litros

Cociente sobres

litro

¿Lo anterior indica que hay proporcionalidad en los datos?En su caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

En fracciones: . En decimales: .

Si conoces la cantidad de sobres de sabor, ¿puedes calcular la cantidad de litros de agua que se necesitan?

Si se representa la cantidad de sobres con la letra x, y con y a la cantidad de litros de agua, ¿cuál sería su expresión algebraica?

= , o bien con decimales = ,

cuya gráfi ca se muestra en la fi gura 1. Los puntos marcados en la recta de dicha gráfi ca, ¿qué represen-

tan? Por ejemplo, ¿cómo se interpreta el punto (2, 3)?

El 2 indica

El 3 indica

En la pareja (4.5, 6.75), ¿que representan cada uno de los núme-ros?:

El 4.5 indica

El 6.75 indica

En la pareja (6, 9), ¿que representan cada uno de los números?:

El 6 indica

El 9 indica

Discute con tus com-

pañeros lo siguiente.

Si hay 12 sobres de

sabor y hay 5 litros de

agua, ¿se utilizarán

los 12 sobres?

Si hay 17 sobres y 23

litros de agua, ¿se uti-

lizarán todos los litros

de agua?

Para curiosos

Figura 1

81

LECCIÓN 3 • S I UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN


¿Qué sucedería si tienes 10 litros de agua para preparar las bebidas de la fi esta? ¿Cuántos sobres necesitarías?

Con tus compañeros considera que tienes varios litros de agua y determina la can-tidad de sobres que se requieren.

También puedes suponer que tienes varios sobres para hacer la mezcla, determina los litros de agua necesarios en cada caso.

La cantidad de sobres y la cantidad de agua están relacionados, encuentra la ex-presión algebraica correspondiente y determina si hay o no una relación de propor-cionalidad entre dichas cantidades.

Construye la siguiente tabla (algunos valores incluidos en ella son aproximaciones).

Usando fracciones Usando decimales

Litros de agua Sobres de sabores Litros de agua Sobres de sabores

123

1 0.67

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Discute con tus compañeros cómo saber, aproximadamente, los litros de agua que se

necesitan para 2 3

4 y 6

1

4 sobres.

Usa la expresión algebraica que relaciona la cantidad de sobres con la cantidad de li-

tros de agua para saber los valores exactos correspondientes para 2 3

4 y 6

1

4 sobres.

Para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, ¿es preferible usar decimales

o fracciones? ¿Por qué?

Para curiosos

82

BLOQUE 1


De acuerdo con las cantidades que calculaste, por cada renglón de la tabla, ¿cuál es el resultado de lo cocientes del tipo:

litros de agua requeridossobres de sabor

?

Fracciones Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros

Cantidad de sobres

Cociente litrossobre

Decimales Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros

Cantidad de sobres

Cociente litrossobre

¿Hay proporcionalidad entre los datos? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

En fracciones: . En decimales: .

En este caso, para calcular la cantidad de sobres (x) si conoces la cantidad de agua (y), se observa que se puede utilizar la expresión algebraica:

x = y,

En los siguientes ejes coordenados construye una gráfi ca de esta relación e inter-preta las coordenadas de cada punto en términos de la situación analizada.

1 0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Litros de agua

Cantidad de sobres

83



Cuando a partir de la cantidad de sobres requeridos (x) se determinó la cantidad de litros de agua (y), la expresión algebraica correspondiente fue:

y = 32

x.

En este caso, el factor de proporcionalidad es 32

.Sin embargo, cuando invertimos la relación entre las cantidades, es decir, cuando

a partir de la cantidad de litros de agua (y) se determinó la cantidad de sobres reque-ridos (x), la expresión algebraica correspondiente fue:

x = 23

y .

En este caso, el factor de proporcionalidad es 23

.Como

32

¥ 23

= ¥

¥ = =

Resulta que 32

es el recíproco (también llamado inverso multiplicativo) de 23

. En el grado anterior ya trabajaste con este tipo de números.

Por analogía podemos decir que 23

es el factor de proporcionalidad inverso de 32

.


¿Qué es más útil para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, usar decima-

les o fracciones? ¿Por qué?

Observando la gráfi ca es posible encontrar la expresión algebraica de una relación de

proporcionalidad y algunos valores en forma aproximada. Utiliza la siguiente gráfi ca

para determinar la expresión algebraica correspondiente y encontrar algunos valores

de y a partir de los de x.

Analiza lo que sucede con el punto (6, 8) que está sobre la recta.

Para curiosos

84

BLOQUE 1


Dada la relación de proporcionalidad encuentra los valores que faltan en las tablas.

• Un vendedor de autos recibe por cada unidad vendida de cierto modelo y marca 2

5 de su costo, que es de $123 589.00. Llena la siguiente tabla:

Unidades vendidas

(x)3 5 7 12 34 45 60

Pago que recibe

(y)

¿Cuál es la expresión algebraica correspondiente para hacer los cálculos?

Elabora una gráfi ca de la situación.

¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

¿Qué parte de la venta de cada unidad, de otra marca y modelo, recibe el vende-

dor si se conoce que el precio de cada unidad es de: $154 978.00? Llena los espa-

cios vacíos de la siguiente tabla:

Unidades vendidas

(x)1 4 7 12 34 45 60

Pago que recibe

(y)$21 697 $ 88 788

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?



1

EN EL ATENEO

Analiza y responde con tus compañeros:

¿Podemos decir que 3

2 es el factor de proporcionalidad inverso de

2

3 ?

Si y = 3

2 x = x ¥

3

2 , ¿es correcto que y = x ∏

3

2 ? ¿Por qué?

Para curiosos

85



• Un enfermo debe consumir 456 gramos de carbohidratos diarios. Cada gramo de

comida proporciona 1

4 de gramo de carbohidratos. Llena la siguiente tabla:

Gramos de comida por día (x)

375 528 786 142 348 555 460

Gramos de carbohidratos (y)




• Un automóvil consume 1

3 de tanque de gasolina en un día. ¿Cuánto consume en

7 días?

Días 1 2 3 4 5 6 7

Tanque de gasolina 13




Dadas las siguientes gráfi cas encuentra la relación de proporcionalidad.

Observa que en la gráfi ca de la izquierda (1, 2) y (2, 4), están sobre la recta.

Observa que en la gráfi ca de la derecha (2, 1) y (4, 2), están sobre la recta.

¿Las gráfi cas anteriores tienen alguna relación? ¿Una es inversa de la otra?

Dada la siguiente gráfi ca llena los valores faltantes de la tabla.

2

86

BLOQUE 1


Cuando lo grande se hace pequeño

Recorta un dibujo sencillo de un periódico y trata de reproducirlo al doble de su ta-maño original.

Toma dos puntos cualesquiera en el dibujo original y mide la longitud del segmen-to que los une. ¿Qué longitud deberá tener la réplica de ese segmento en el dibujo que hiciste al doble del tamaño?

Si ahora intentas reproducir el dibujo pero para que sea más pequeño, digamos a la tercera parte, ¿qué longitud deberá tener la réplica del segmento en el dibujo más pequeño?

Procedimientos como estos son muy frecuentes al reproducir fi guras a escala. Por ejemplo, en la fi gura 2 el triángulo grande (ABC ) se utiliza para dibujar otro

más pequeño (PRQ), a escala.

x y

1 2

3

4

5

6

7

Encuentra expresiones con un factor de proporcionalidad inverso al de las siguientes

expresiones algebraicas.

• y = 4x • P

4 = L •

h

3 = b • m =

3n

4

3

4

Figura 2

87



Las longitudes de los lados del triángulo pequeño equivalen a la mitad de las lon-gitudes de los lados del triángulo grande. También es posible establecer una expre-sión algebraica en estos casos.

Denotemos por x la longitud de cada lado del triángulo grande ABC, y por y la de cada lado del triángulo chico PQR. En la tabla siguiente se describe el procedimiento por el que se obtienen los lados del triángulo chico a partir de los del grande.

Lados del triángulo grande ( x)

Cálculo de los lados del triángulo chico

Lados del triángulo chico ( y)

AB = 8 cm PQ =

BC = 6 cm QR =

CA = 10 cm RP =

Generalizando este procedimiento llegamos a que la relación proporcional que se da entre las longitudes de los lados del triángulo chico y el grande está dada por

y = ,

donde es el factor de proporcionalidad.

Nota que cualquier longitud medida dentro del triángulo mantiene dicha relación, como se ilustra en la fi gura 3.

Inversamente, si se parte del triángulo chico para dibujar el triángulo grande, se establecería una relación inversa (fi gura 4).

Figura 3

PN = 12

AM

Fig

88

BLOQUE 1


El resultado es que la longitud de los lados del triángulo chico debe ser del para construir el triángulo grande.

Si x es la longitud de los los lados del triángulo chico y y es la longitud de los lados del triángulo grande, llena la tabla siguiente:

Valores de x Cálculos Valores de y

PQ = 4 cm AB =

QR = 3 cm BC =

RP = 5 cm CA =

La expresión algebraica correspondiente es:

y = .

En este caso también, cualquier longitud medida en el triángulo chico será el do-ble en el triángulo grande (fi gura 5).

¿Qué sucedería si hubiera que agrandar cada parte del triángulo 2.56?¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:

Figura 5 Figura 4

Figura 5

QN = 12

BM

89



¿Que sucedería si hubiera que agrander cada parte del cuadrilátero 0.46?¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso?Escribe las expresiones algebraicas correspondientes:


• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es mayor que 1?

¿Qué se está haciendo?

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es igual a 1?


• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es menor que 1?


• Si en un dibujo a escala sabes que cualquier longitud es un décimo del tamaño

real, y mides en ese dibujo un segmento de 12 cm, ¿cuánto mide la longitud co-

rrespondiente en el objeto real?

• Si la escala de un mapa es de 1

1000 y una carretera en el mapa mide 28 cm de lon-

gitud, ¿cuál es la longitud de la carretera real?

Para curiosos

Toma las medidas necesarias de las fi guras y, en cada caso, encuentra el factor de

proporcionalidad que se aplicó. También encuentra el factor de proporcionalidad

inverso y las expresiones algebraicas asociadas.

1

EN

EL ATENEO

90

BLOQUE 1


Escala tras escala

Una empresa que fabrica carteles educativos desarrolla cuatro versiones del apara-to circulatorio: la original, una que debe tener una altura de la mitad del original, otra que debe ser la tercera parte de la primera versión y una más que se reduce a una cuarta parte de la segunda versión.

Las longitudes de los lados de un rectángulo son 12 y 23 cm. Si se hace un dibujo

a escala de éste de tal modo que las longitudes de sus lados sean 5.14 �ª 36

7 �

y 9.86 �ª 69

7 �.

¿Cuál sería el factor de proporcionalidad directa e inversa?

¿Cuáles serían las expresiones algebraicas correspondientes a los dos factores?

En la reducción, ¿qué longitudes tendrían los segmentos marcados en la fi gura?

Se hizo un dibujo a escala de un rectángulo usando un factor de proporcionalidad

de 3

8 . Si el rectángulo a escala tiene dimensiones de 9.75 cm por 4.5 cm, dibuja el

rectángulo original.

2

3

Figura 6

91



Para cerciorarte de que todas las partes del cartel se redujeron proporcionalmen-te, escribe las expresiones algebraicas y encuentra también la expresión algebraica correspondiente a las situaciones inversas, que corresponderían a:

• La reducción de la versión original a la primera versión:

• La reducción de la versión original a la segunda versión:

• La reducción de la versión original a la tercera versión:

• La reducción de la primera versión a la segunda versión:

• La reducción de la segunda versión a la tercera versión:

• Si el cartel tiene dimensiones de 50 por 35 cm, encuentra el tamaño de la primera, segunda y tercera versión.

, y .

92

BLOQUE 1


• Si la tercera versión debe ser de 5 por 3 cm, ¿cuál debe ser el tamaño de la segun-da y primera versión, así como el original?

, y .

Se edita un libro de arte y las reproducciones de las pinturas deben quedar enmar-cadas con cuadros de dimensiones 2.75 por 1.56.

Las reducciones deben ocupar media cuartilla impresa en tamaño carta (21.59 por 27.94 cm) con márgenes de 2.5 cm en cada orilla.

• ¿Cuál sería el tamaño de la reproducción que mejor se acomodaría? .

• ¿Con qué fórmula se calcularían las reducciones necesarias de otras obras de arte para ocupar el mismo espacio?

• Para promoción, se quieren imprimir folletos que contengan reducciones de algu-nas obras de arte en un octavo de cuartilla, con los márgenes antes señalados.Encuentra la fórmula que acomodaría mejor a esta situación

Compara los resultados con tus compañeros. Pueden variar, pero en conjunto se-guramente encontrarán la mejor solución para esta situación.

A veces se aplican relaciones de proporcionalidad de manera reiterada. Por ejemplo, si se desea incluir en un libro una imagen a escala de una pintura que

tiene dimensiones de 2 m (200 cm) de largo por 1 m (100 cm) de alto, y se tiene que ocupar un espacio de 20 cm ¥ 10 cm, se aplica una escala de 1

10.

También se quiere imprimir un folleto promocional que contenga dicha imagen en un espacio de 10 cm por 5 cm. En este caso, a la reproducción de la pintura en el libro se le aplica una escala de 1

2.

Finalmente, se desea hacer estampas de 2 cm por 1 cm a partir de la imagen del folleto. Para lograr esto, se aplica a dicha imagen una escala de 1

5.

Así pues, la imagen de la pintura original ha sufrido varias reducciones hasta su impresión en las estampas, como se aprecia en la fi gura 7. La primera reducción fue de 1

10, a la cual se le aplicó después una escala de 1

2 y a esta última una escala de 1

5.

Esto quiere decir que la imagen original se redujo en una escala de

110

¥ 12

¥ 15

= 1100

.

93



Discute con tus amigos lo siguiente.

Una foto primero se reduce 2

3, luego

3

5; posteriormente

1

7 y fi nalmente

3

4. Si la foto

original tiene dimensiones de 30 cm por 20 cm, ¿cuáles son las dimensiones de

cada reducción y cuál será el factor que indica la reducción del original a la última

reducción?

Si se tiene una foto de 15 cm por 30 cm después de haber sufrido las mismas reduc-

ciones que en el inciso anterior, ¿cuál era el tamaño del original?

1

EN

EL ATENEO

2

12

110

15

Figura 7

94

BLOQUE 1


Demuestro lo que sé y hago1 De la siguiente gráfi ca, encuentra la relación de pro-

porcionalidad. 2 Dada la siguiente gráfi ca llena los valores faltantes

de la tabla.

x 1 1 12

2 12

3 12

4 4 12

5

y

3 Alberto cobra por cada hora de trabajo $150. ¿Cuánto cobrará en 7 horas?

Horas 1 2 3 4 5 6 7

Cobro $150

95



4 A partir de cada uno de los siguientes triángulos, di-buja otro a escala usando el factor de proporcionali-dad que se pide.

5 ¿Cuántas botellas de 34

de litro se requieren para embotellar 240 litros de aceite?

6 En un poblado, 23

del total de los varones están casa-dos con 2

5 del total de las mujeres. ¿Qué parte de la

población total está soltera?

7 Una máquina para retirar lirio acuático retira 2 to-neladas por día.

• ¿Cuántas toneladas retira en la tercera parte de un día?

• ¿Cuántas toneladas retira en 4 días y medio?• ¿Cuántos días se requieren para retirar 13 tonela-

das?

8 Reproduce a escala las siguientes fi guras usando un factor de proporcionalidad de 1

3.

9 En una medicina se agregan 30 ml de la sustancia A, a 76 ml de la sustancia B.

• Si se tienen 12, 17, 34, 56 ml de la sustancia A, ¿con cuántos ml de la sustancia B se pueden mez-clar cada uno?

• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-tancia B que se necesitan, dadas ciertas cantida-des de ml de la sustancia A.

• Si se tienen 56, 89, 102, 306 ml de la sustancia B, ¿cuántos ml de la sustancia A se requieren para mezclar en cada caso?

• Encuentra la fórmula para calcular los ml de sus-tancia A que se necesitan, dadas ciertas cantida-des de ml de la sustancia B

Factor r = 4

Factor r = 13

15

9

5 3

4

15

96

BLOQUE 1


10 Mi reloj se adelanta 8 minutos al día, ¿cuánto se ade-lantará en 3 horas?

11 Dada la siguiente gráfi ca, encuentra la relación de proporcionalidad.

12 Una empresa de juguetes decide hacer un modelo a escala de un auto que ocupa un espacio de 2.8 m de largo por 1.5 m de ancho y 1.6 m de altura.

• Quiere hacer un modelo, en un auto de pedales que debe reducir el largo del vehículo a 1.2 m. ¿Cuánto deberán reducirse las otras dimensiones?

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-nes de distintas partes de la reducción.

• Si del auto de pedales se desea hacer una reduc-ción, como adorno, donde su altura sea de 5 cm, ¿cuánto deben reducirse las otras dimensiones?

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-nes de diversas partes de la reducción del auto de pedales al auto de adorno.

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensio-nes de distintas partes de la reducción del auto ori-ginal al auto de adorno.

13 Dada la siguiente gráfi ca, encuentra la relación de

proporcionalidad.


• http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/

documentos/10021635.pdf

Encontrarás información sobre el manejo de escalas en

distintas situaciones.


• Aurelio BaldorGeometría y trigonometríaGrupo Cultural Patria, México, 2007

• Grupo BetaProporcionalidad geométrica y semejanzaSíntesis, Madrid, 1990.

• María Luisa Fiol y Josep Maria FortunyProporcionalidad directaSíntesis, Madrid, 1990.

• Yakov PerelmanGeometría recreativaEn línea: http://www.librosmaravillosos.com/geometriarecreativa/index.html.Matemática recreativa En línea: http://www.librosmaravillosos.com/matematicarecreativa/index.html.

97



Mis retos En esta lección abordarás situaciones de conteo apoyándote en el

uso de arreglos rectangulares y diagramas de árbol, entre otros

recursos, con el fi n de determinar el número de casos posibles en

diversos problemas.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con algunas técnicas de conteo,

empleando tablas y diagramas. Además abordaste diversas

situaciones en las cuales se presentan regularidades numéricas.

¿Qué lograré aprender? Abordarás problemas de conteo en los cuales, para organizar la

información y averiguar el total de combinaciones posibles,

utilizarás recursos asociados a la multiplicación de números, como

es el caso de los arreglos rectangulares y los denominados

diagramas de árbol, gracias a los cuales puedes analizar todas las

posibilidades de organización de un conjunto de datos. Esto

conducirá a la deducción de un principio fundamental de conteo.

4 Cuentas de cuántos

98


1 Si echo volados con dos monedas a la vez, una de $10 y otra de $1, ¿de

cuántas maneras distintas pueden caer esas monedas?

2 Si tengo 2 playeras, una verde y otra amarilla, y también tengo 3 pantalones

cortos: uno rojo, otro blanco y otro verde, ¿cuántas formas distintas de

combinar ambos tipos de prendas tengo?

3 Si se deben etiquetar varias cajas con tres dígitos del 000 al 999 seguidos de

la letra A o la letra B. ¿Cuál es el número máximo de cajas que se pueden

etiquetar utilizando este sistema?

4 ¿Qué es un diagrama de árbol?

5 Una señora gana dos boletos para viajar a Cancún, Puerto Vallarta o Ixtapa, y

solamente puede llevar a su esposo, hija o hermana. ¿Cuántos lugares y

combinaciones posibles tendrá la señora para elegir?

6 Si un mago tiene escondidas en una bolsa 3 pelotas, una verde, una roja y

una amarilla, ¿cuántas maneras diferentes tiene para sacar las 3 pelotas?

Recuerda que las pelotas no se regresan a la bolsa después de sacarlas.

7 En una cafetería venden 3 tipos de café y 5 tipos de sándwich. ¿Cuántos

almuerzos diferentes se pueden formar con un tipo de café y un tipo de

sándwich?

8 En una eliminatoria hay 5 boxeadores de Asia que deben pelear con 7

boxeadores europeos. ¿Cuántas parejas de contrincantes se pueden formar?

99



Tablas, árboles y posibilidades

En una escuela se está organizando un baile para conmemorar la Revolución mexica-na. A uno de los grupos le toca organizar una presentación de bailes regionales. En él hay dos hombres y tres mujeres dispuestas a participar (fi gura 1).

¿Cómo se podrán organizar las parejas para el baile?

Hay muchas posibilidades para realizar la asignación de parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar en total?

Si en cada baile debe actuar por lo menos una pareja diferente, ¿cuántos bailes se podrían montar?

Si después de algún tiempo ya se cuenta con cinco hombres y tres mujeres, ¿cuán-tas parejas se podrían formar?

¿Cuántos bailes se podrían considerar en la función con la condición de que por lo menos una pareja fuera diferente?

Figura 1

Figura 2

100

BLOQUE 1


¿Empleaste diagramas de árbol o rectangulares como en la sección “Algo de lo que me enseñaron”? Si no fue así, trata de utilizarlos para resolver las preguntas y analiza qué tipo de diagrama es más adecuado para cada pregunta.

¿Qué operación utilizarías para hacer los cálculos en las preguntas anteriores?

Veamos otro ejemplo. Analiza con tus compañeros la siguiente situación y respon-de las preguntas.

En el periodo de elecciones de una escuela, para determinar cuáles serán los dos estudiantes que se encargarán de la organización estudiantil, hay 4 candidatos de un grupo A y 3 de otro grupo, el B. Ambos grupos están de acuerdo en lanzar candida-turas conjuntas.

¿Cuántas parejas de posibles contendientes se pueden formar?¿Cómo utilizarías un diagrama rectangular para resolver esta situación?

¿Puedes utilizar un diagrama de árbol? ¿Cómo?

¿Qué operación harías para determinar el número de casos posibles?

Discute con tus compañeros:

¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si en cada grupo (A y B) hay 5

estudiantes para formar la planilla?

¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si hubiera 7 estudiantes en el

grupo A y 12 en el B?

¿Cuántas ternas se pueden formar para tener planillas si se trataran de poner de

acuerdo tres grupos, uno con 2 candidatos, otro con 4 y otro con 5?

Para curiosos

101

LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS


Analiza otra situación. Se organiza un torneo de yudo entre dos clubes deportivos, el Club A y el Club B.

En el Club A hay cinco competidores y en el Club B, 12 competidores.¿Cuántas parejas se podrán formar en el primer encuentro eliminatorio?

Si usas un diagrama rectangular, ¿cuántas fi las y columnas se forman?

Si usas un diagrama de árbol, ¿de cuántos puntos inicias las ramas? ¿En cuántas ramas se despliega cada una?

¿Con qué operación aritmética se calcula el resultado del total de posibilidades?

Se van a mezclar 5 tonos de pintura verde con tres tonos de pintura café ¿Cuántos colores se obtendrían de todas las combinaciones posibles?

¿Se pueden realizar operaciones aritméticas para obtener la solución?

¿Cómo calcularías el total de colores que se obtendrían con las combinaciones?

Plantea la solución empleando solamente sumas.Plantea el procedimiento para resolver la situación con una multiplicación.Utiliza un diagrama de árbol y un diagrama rectangular para comprobar tus res-

puestas

Lo anterior se resume en lo que se denomina el principio de multiplicación: si tienes dos grupos con determinado número de elementos, el total de parejas que se pueden formar con un elemento de cada grupo, sin considerar permutaciones, es

102

BLOQUE 1


igual al producto de las cantidades que indican los elementos de cada uno de los grupos. Este principio se puede aplicar a más de dos grupos.

¿Cuántas parejas se puede formar con cinco hombres y siete mujeres?

¥ = .

Si fueran 32 hombres y 45 mujeres, ¿cuántas parejas se formarían?

¥ = .

Plantea un problema que se resuelva con una tabla como esta:

¿Cuántas parejas se pueden formar?

¥ = .

Plantea un problema que se resuelva con el diagrama de árbol de la fi gura 3.

En las siguientes actividades, analiza con tus compañeros si es más útil un diagrama

de árbol o uno cartesiano (la tabla) para resolver los problemas.

Unos amigos llegaron a un expendio de tacos. En él se ofrecen tacos de bistec y pollo,

con cebolla, con salsa y cilantro.

¿Cuántas posibles combinaciones de tacos se pueden elegir?

¿Cuántas maneras hay para contestar un examen de 6 preguntas que sólo admite

como opciones de respuesta verdadero o falso?

Si el examen tiene 15 preguntas y cada una con 5 opciones de respuesta, ¿cuántas

maneras hay para responderlo?

1

EN

EL ATENEO

2

Figura 3

103



¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por

dentro. ¿De cuántas formas puede una persona entrar y salir de la tienda?

Para el lanzamiento de dos monedas y un dado:

• Construye el diagrama de árbol y enumera todos los casos posibles.

• ¿Cuántas veces saldrá dos soles y el uno?

Construye el diagrama de árbol para el lanzamiento de tres dados.

¿Cómo podrías distribuir en un diagrama cartesiano todas las posibles formas en que pueden caer

tres monedas que se lanzan? ¿Cuántas combinaciones se obtienen?

Ahora se tienen cuatro monedas de distinto valor, al lanzarse generan diferentes combinaciones.

¿Cuántas combinaciones se obtienen?

Construye el diagrama de árbol para dos dados de diferente color y una moneda.

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde $100.

El hombre empieza con un billete de $100 y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su

dinero o si gana $300, esto es, si tiene cuatro billetes de $100. Hace el siguiente diagrama para deli-

near su estrategia.

• Después de cinco juegos, ¿en cuántos puede ganar $400, en cuántos puede ganar $200 y en cuán-

tos no gana?

9

10

3

4

5

6

7

8

$100

$200

$300

$400 $200 $200 $0 $400 $200 $200 $0

$400 $200

$300 $100 $300 $100

$200 $0

$100

$0Juego 1

Juego 2

Juego 3

Juego 4

Juego 5

104

BLOQUE 1


Demuestro lo que sé y hago1 De cuántas formas diferentes se puede responder

un examen que consta de 12 preguntas de falso y verdadero.

2 De cuántas formas diferentes se puede responder un examen de 6 opciones por pregunta, si consta de 25 preguntas.

3 ¿Cuántas palabras de siete letras se podrán formar utilizando solamente las cinco vocales?

4 ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo repeticiones?

5 Eduardo tiene 6 camisas y 4 pantalones que com-binan perfectamente. Haciendo un diagrama de árbol, ¿cuántas combinaciones tendrá para elegir?

6 Se tiene un dado verde y un rojo, al arrojarlos se producen diferentes combinaciones. ¿Cuántas son?

7 ¿De cuántas maneras puede acomodarse una enci-clopedia de 4 volúmenes en el anaquel de un librero?

8 Si arrojamos un dado y una moneda al mismo tiem-po, ¿de cuántas formas distintas podrán caer?

9 En un problema de arrojar dos dados de distinto co-lor, ¿cuántas combinaciones existen en donde apa-rece un cinco?


• http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm

Encontrarás elementos para analizar las técnicas de

conteo que se aplican en diagramas como los de árbol.


• Juan Díaz Godino et al.Azar y probabilidadSíntesis, Madrid, 2001.

• Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés CastroKolmogórov: el zar del azarNivola, Madrid, 2003.

105



Mis retos Conocerás un nuevo tipo de gráfi ca que te ayudará a interpretar

información contenida en conjuntos de datos.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con representaciones gráfi cas básicas,

las cuales pueden ayudar a abordar otro tipo de representaciones

gráfi cas y a partir de ello analizar la conveniencia de utilizar unas u

otras.

¿Qué lograré aprender? Aprenderás a leer nuevos tipos de gráfi cas que te permitirán

interpretar las características de un conjunto particular de datos, lo

cual resulta relevante cuando se quiere comparar dos conjuntos de

datos.

5 Gráfi cas que hablan

106


1 Defi ne los términos “frecuencia absoluta” y “frecuencia relativa”.

2 Si tienes el valor de la frecuencia relativa en una tabla de datos, ¿cómo

calculas el porcentaje correspondiente?

3 En un estudio se recolectaron los siguientes datos:

Deporte favorito Frecuencias

absolutas Frecuencias

relativasPorcentajes

Golf 13

Voleibol 81

Futbol 235

Beisbol 167

Natación 114

Total

• Completa la tabla, calculando las frecuencias relativas y los porcentajes

faltantes.

• Elabora una gráfi ca de barras que presente la información recabada en la

tabla.

4 La siguiente tabla muestra la cantidad de veces que se obtuvo un número al

lanzar un dado.

Resultado del lanzamiento

Frecuencia absoluta 12 11 12 15 11 12

• Elabora una gráfi ca circular para representar esta información.

107



Histogramas y polígonos de frecuencia

Se realizó una encuesta con estudiantes de secundaria. En una parte se les preguntó qué volumen (en litros) de agua pura y de bebidas gaseosas que toman al día. Los datos recabados se encuentran en la siguiente tabla.

Llena las columnas de frecuencia relativa y porcentaje de cada una de las tablas mostradas abajo.

Elabora una gráfi ca de barras con los datos de cada tabla, usando los valores de las frecuencias relativas.

Distribución de frecuencias para consumo de agua pura

Litros de agua bebidosFrecuencia

absoluta Frecuencia

relativaPorcentajes

1. Cero 25

2. Más de cero hasta medio litro 16

3. Más de medio litro hasta un litro 54

4. Más de un litro hasta un litro y medio 76

5. Más de un litro y medio hasta dos litros 45

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio 23

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros 12

8. Más de tres litros 5

Distribución de frecuencias para consumo de gaseosas

Litros de gaseosas bebidosFrecuencia

absoluta Frecuencia

relativaPorcentajes

1. Cero 15

2. Más de cero hasta medio litro 28

3. Más de medio litro hasta un litro 69

4. Más de un litro hasta un litro y medio 71

5. Más de un litro y medio hasta dos litros 30

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio 21

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros 19

8. Más de tres litros 4

108

BLOQUE 1


Frecuencia relativa para consumo de agua pura

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia relativa para consumo de gaseosas

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Al comparar las gráfi cas, ¿qué observas respecto al consumo de agua o gaseosas?Puedes plantearte preguntas como:¿Qué bebida se consume más?¿Qué cantidades de agua o gaseosas son más bebidas?Elabora una gráfi ca que incluya las dos gráfi cas.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Figura 1Gráfi ca con barras encimadas

109

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN


¿Qué problemas se presentan al intentar hacer la gráfi ca de barras de dos conjun-tos de datos?

Si en la gráfi ca que integra a las dos gráfi cas, en lugar de dibujar las barras comple-tas, solamente dibujas la parte superior de las barras y enlazas los escalones resultan-tes mediante segmentos de recta, ¿cómo se verá ahora la gráfi ca?

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Si en lugar de escalones utilizas el punto medio de cada escalón y los enlazas me-

diante segmentos de recta, ¿cómo queda la gráfi ca ahora? A la gráfi ca resultante de este caso se le denomina polígono de frecuencias.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Figura 2Gráfi ca con escalones de

colores unidos por segmentos de recta

Figura 3Gráfi ca con el punto medio

del escalón unidos por segmentos de recta

Supongamos que agregas 20 a cada frecuencia absoluta en las dos tablas. ¿Cambia-

rán las frecuencias relativas y los porcentajes?

¿Se modifi carán las gráfi cas?

Si en vez de usar en las gráfi cas frecuencias relativas, usas frecuencias absolutas o

porcentajes, ¿se modifi carán en su forma las gráfi cas?

Para curiosos

110

BLOQUE 1


Considera ahora los siguientes datos obtenidos de un estudio sobre las longitudes del cuerpo de cierta especie de serpientes. Se recolectaron los siguientes datos:

43, 41, 17, 24, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 10, 17, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 19, 44, 38, 28, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 24, 19, 16, 43, 25, 39.

Si te piden elaborar una tabla que indique la frecuencia de cada medición, ¿cuán-tos renglones tendría la tabla? ¿Cuántas barras tendría la gráfi ca?

Como acabas de deducir, sería impráctico hacerlo de esta manera. ¿Qué conven-dría hacer entonces?

El menor dato es , el mayor dato es .Quiere decir que todos los datos se encuentran entre y .Puedes dividir el segmento con extremos menor dato y mayor dato en varias par-

tes y considerar en cada una a los datos que caen en ellas.Divide en dos partes el espacio entre el menor y mayor dato. Así, el número que es

el punto medio entre el dato mayor y el menor es .¿Cuántos datos caen en la primera parte (de a ) y cuántos caen en la

segunda parte (de a ). Pero, ¿en qué parte se considera?La posibilidad que más se usa es: La primera parte es de hasta antes de (esto se simboliza de la siguien-

te manera: ó , à).La segunda parte es desde hasta (esto se simboliza: ó , ò).Llena la siguiente tabla:

Intervalo o clase Frecuencia absoluta

ó , à

ó , ò

Haz una gráfi ca con esta información, pero usando las frecuencias relativas.

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

111



Puedes dividir el espacio entre y en más partes; por ejemplo, en cinco partes. Llena la siguiente tabla y elabora una gráfi ca con los datos de la tabla:

Intervalos o clases Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Divide le espacio entre y , en 12 partes iguales.Llena la siguiente tabla y elabora una gráfi ca con los datos de la tabla:

Intervalos o clases Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje

112

BLOQUE 1


1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

01 2 3 4 5 6 7 8

Sobre las gráfi cas que elaboraste, traza un polígono de frecuencias.La siguiente tabla muestra la información recabada en un estudio sobre el tiempo

que los empleados de una fábrica dedicaron a aprender una tarea de carpintería.

Distribución de frecuencias

Intervalo (en minutos)

Punto medioLongitud

del intervaloFrecuencia absoluta

(empleados)Porcentaje

(empleados)

[20, 25) 22.5 5 2 0.6

[25, 30) 27.5 5 4 1.1

[30, 35) 32.5 5 52 14.4

[35, 40) 37.5 5 74 20.6

[40, 45) 42.5 5 108 30.0

[45, 50) 47.5 5 64 17.8

[50, 55) 52.5 5 46 12.8

[55, 60) 57.5 5 8 2.2

[60, 65) 62.5 5 2 0.6

Totales 360 100.0

Cada intervalo abarca un rango de tiempo en el que se logró aprender dicha tarea. Los paréntesis rectan-gulares indican que el valor adjunto se incluye y los circulares indican que se excluye.

La información de la tabla se registra en la gráfi ca de la fi gura 4.

A este tipo de gráfi cas se les denomina histograma. En la fi gura 4 se observa que muy pocos empleados

aprendieron muy rápido, y también muy pocos apren-dieron muy lento. La mayor parte requirió entre 30 y 55 minutos para lograrlo y, de éstos, la mayoría logró apren-der la tarea entre 40 y 45 minutos.

35

30

25

20

15

10

5

0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)

Porcentaje de empleados

Tiempo de aprendizaje de la tarea

Figura 4

113



Si en cada barra se identifi ca el punto medio de cada intervalo y se unen dichos puntos con una línea recta se obtiene lo que se conoce como polígono de frecuen-cias, el cual se muestra, con barras y sin ellas, en las gráfi cas de la fi gura 5.

En la tabla, une dos intervalos y elabora la tabla de frecuencias.

Intervalos Punto medioLongitud del

intervaloFrecuencia

absoluta Frecuencia

relativa

60 65

35

30

25

20

15

10

5

020 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)Po

rcen

taje

de

emp

lead

os

Tiempo de aprendizaje de la tarea(polígono de frecuencias)

35

30

25

20

15

10

5

020 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Tiempo (en minutos)

Porc

enta

jed

e em

ple

ado

s

Figura 5

Discute con tus compañeros los siguiente.

¿Hay diferencias entre un diagrama de barras y un histograma? Si las hay, ¿cuáles son?

¿Es necesario tener la gráfi ca de barras para dibujar el polígono de frecuencias corres-

pondiente?

Dado un polígono de frecuencias, ¿será posible dibujar la gráfi ca con las barras?

Para curiosos

114

BLOQUE 1


También elabora el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias para la actividad que propusiste utilizando los datos de la tabla anterior.

Ahora veamos otro ejemplo. Dada la importancia que tiene la capacitación para mejorar la productividad en las empresas, cierta fábrica decidió evaluar las califi ca-ciones obtenidas por el personal matutino (grupo A) y el vespertino (grupo B) para cierto curso impartido. El informe fi nal de la evaluación incluyó las califi caciones de los dos grupos que recibieron capacitación y una gráfi ca, las cuales se muestran a continuación:

Califi caciones

Grupo A Grupo B

35 25

86 38

45 79

79 81

65 40

83 31

28 29

18 14

23 45

45 48

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificaciones

Grupo A

Grupo B

Personal evaluado

Calificaciones de capacitación

¿Cuál de los dos grupos es el más estable porque tiene menos variaciones?¿En cuál de los grupos la gente está mejor capacitada?¿En qué grupo se conglomeran más las califi caciones bajas? ¿En cuál las más altas?

Figura 6

115



Se obtuvieron los siguientes resultados en un examen de matemáticas en una escuela (el puntaje

máximo era de 50):

6, 7, 14, 31, 32, 30, 25, 17, 13, 25, 6, 8, 14, 30, 31, 26, 40, 17, 20, 45, 7, 15, 24, 26, 36, 41, 35, 17, 20, 39, 12,

24, 24, 38, 26, 43, 41, 17, 36, 17.

• Construye una tabla de frecuencias, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias,

para ello utiliza intervalos de longitud 5.

Se registraron los siguientes tiempos (en minutos) para completar un examen:

36.3 44.9 49.1 49.4 35.2 30.3 37.8 46.6 36.4 46.5

40.6 41.0 52.5 41.1 47.6 36.3 43.1 48.1 53.5 42.9

38.4 41.4 39.8 42.4 33.8 35.7 37.8 45.3 57.7 43.8

39.4 51.0 33.9 41.7 31.9 33.9 46.7 55.4 41.9 34.8

35.1 38.0 45.6 43.4 36.2 50.7 43.0 41.2 42.3 45.1

38.6 41.7 45.3 53.5 40.3 44.9 35.5 34.8 37.2 30.8

41.0 47.8 52.5 34.3 47.3 41.7 51.5 53.9 35.1 41.1

38.2 43.5 33.2 32.8 41.3 40.4 45.0 44.1 47.2 44.1

34.4 42.7 37.7 31.5 52.3 38.4 35.4 43.1 44.3 32.7

31.3 41.4 40.1 38.8 49.1 50.8 43.5 42.7 42.4 29.5

• Construye una tabla de frecuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígo-

no de frecuencias. Determina la longitud del intervalo.

• Construye una tabla de frecuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polí-

gono de frecuencias. Determina la longitud del intervalo.

Para cada uno de los siguientes polígonos de frecuencias reconstruye el histograma correspondiente

y la tabla de frecuencias relativas.

2

EN

EL ATENEO

1

3

15

10

5

0 60 120 180 240 300

Porc

enta

je

25

20

15

10

5

0 30 34 38 42 46 50

Porc

enta

je

116

BLOQUE 1


Demuestro lo que sé y hago1 Para el siguiente polígono de frecuencias relativas

encuentra la tabla de frecuencias absolutas y relati-vas y el histograma correspondiente.

Utiliza el punto medio de cada intervalo como re-presentante de toda la clase o intervalo.

2 Elabora un polígono de frecuencias con los siguien-tes datos:

33.9 41.7 31.9 33.9 46.7 55.445.6 43.4 36.2 50.7 43.0 41.245.3 53.5 40.3 44.9 35.5 34.852.5 34.3 47.3 41.7 51.5 53.933.2 32.8 41.3 40.4 45.0 44.1

3 Se obtuvieron los siguientes datos sobre el tiempo (en minutos) para completar un examen:

35.1 38.0 45.6 43.4 36.238.6 41.7 45.3 53.5 40.341.0 47.8 52.5 34.3 47.338.2 43.5 33.2 32.8 41.334.4 42.7 37.7 31.5 52.331.3 41.4 40.1 38.8 49.130.3 37.8 46.6 36.4 46.5

• Construye una tabla de frecuencias con tres in-tervalos, el histograma correspondiente y el po-lígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos.

• Construye una tabla de frecuencias con cinco in-tervalos, el histograma correspondiente y el po-lígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos.

4 La siguiente gráfi ca corresponde a dos grupos evaluados de acuerdo con diferentes de tareas.

• ¿Qué grupo tuvo mejor desempeño?• ¿Qué grupo obtuvo las puntuaciones más altas?• ¿Hubo algún momento en que los grupos se

emparejaron?

30

25

20

15

10

5

0 30 34 38 42 46 50

Porcentaje

Puedes consultar algunas páginas de Internet para pro-fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

• http://www.mty.itesm.mx/dia/profs/anavarro/

Cap6NAV.htm

• http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/

guia_estadistica/modulo_2.htm


• Carmen Azcárate y Jordi DeulofeuFunciones y gráfi casSíntesis, Madrid, 1990.

• Shell Centre for Maths (ed.)El lenguaje de las funciones y gráfi casUniversidad del País Vasco y mec, Madrid, 1990.

Conéctate

100

80

60

40

20

01 2 4 6 8 103 5 7 9

Calificaciones

Grupo A

Grupo B

Trabajos manuales

117



22222222222222222222222222222222Eduardo Mancera Martínez

Mat

emát

icas

2

MatemáticasMatemáticas 2

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Matematicas 2 Santillana Ateneo 1 1Matematicas 2 Santillana Ateneo 1 1 5/16/08 6:18:52 PM5/16/08 6:18:52 PM

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