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ENSAYO DE
CALCULO Integración por sustitución o cambio de variables,
Integración por partes e Integración por partes
fraccionarias.
UNIVERSIDAD SABES CELAYA PROFESOR : ING FRANCISCO SAMANIEGO 23 DE FEBRERO DE 2015
Noe Rivera Velázquez Calculo 2
Noe Eliezer Rivera Velázquez Centro UNIDEG Celaya
[email protected]. Actividad 5 Elaboración de Ensayo
23 de febrero de 2015
1
Contenido INTRODUCCION .............................................................................................................................. 2
Método de Integrales por Sustitución. ........................................................................................... 3
Ejercicios ...................................................................................................................................... 4
Conclusión ......................................................................................................................................... 7
Método de integrales por partes. ................................................................................................... 8
Ejercicios ...................................................................................................................................... 9
Conclusión ....................................................................................................................................... 11
Método de integración por fracciones parciales ........................................................................ 12
Ejemplos ...................................................................................................................................... 14
Factores lineales distintos ......................................................................................................... 14
Ejemplos ...................................................................................................................................... 16
Conclusión ....................................................................................................................................... 22
Bibliografía ........................................................................................................................................ 22
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INTRODUCCION
Las matemáticas son un área muy extensa que jamás tiene fin, ya sea en
resultados, problemas ejercicios etc.... Cabe resaltar que estas se aprenden desde
el inicio de nuestros días en las escuelas, en este momento tan crucial que es la
universidad se lleva a cabo la realización de las matemáticas aplicadas con el
conocimiento del algebra, aritmética y razonamiento, derivadas, limites, el cual nos
lleva a él calculo integral que nos sirve para determinar áreas.
Se entiende que el cálculo integral es la esencia de calcular áreas de superficies,
sumar áreas etc. en fin de una diversidad de problemas son moldeados y resueltos
a través de una integral como por ejemplo la física, la química por lo que resulta
importante que el ingeniero domine el cálculo integral.
El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 ac)
matemático griego de la antigüedad que obtuvo resultados importantes como el
valor del área encerrada por un segmento parabólico .La derivada apareció veinte
siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en
común con el cálculo integral.
El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow,
Newton y Leibniz) es la íntima relación relación entre la derivada y la integral
definida.
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Método de Integrales por Sustitución. Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas,
Para facilitarlas se han inventado diversos procedimientos generales, de los cuales
los más extendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y
de integración por partes.
Esta técnica consiste en introducir una nueva variable T para sustituir a una
expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más
fácil de integrar, este se basa en la regla de la cadena.
∫ 𝑓"(u)∙u" 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una variable
T, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
∫ 𝑓(u)∙u" 𝑑𝑥
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
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3º Se vuelve a la variable inicial:
Ejercicios
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(Vitutor, 2015)
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Conclusión
Respecto a las integrales por sustitución esta manera resulta más fácil de lo que
parece, esto implica al tener ciertos conocimientos de igual manera determinar
cómo o cual es la parte de la integral que tenemos que sustituir, ya que en muchas
ocasiones cuando la integración no es tan obvia, es posible resolver la integral
simplemente con hacer un cambio de variable adecuado.
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Método de integrales por partes.
El método de integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la
integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como el tipo u (x) –
v” (x).
La fórmula que se emplea para resolver este tipo de integrales es
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Este método resulta indicado particularmente cuando vd es mas fácil que integrar
que u-dv. Ahora para diferentes tipos de expresiones a veces es difícil determinar
cual es u y cual es dv , una de las maneras rapidas para hacer esto es tomar el
método ILATE que significa:
I = Inversa
L = Logarítmica
A= Algebraica
T= Trigonométrica
E= Exponencial
Con esta regla se determiná cada uno de los valores para la elaboración de la
integral por partes.
Conociendo cual es u y dv aplicamos los conceptos para comenzar.
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de
v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arco tangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen
como v'.
El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más sencilla
que la inicial. 7l decidir una selección par u y dv se trata que u =f(x') sea una función
que se simplifique cuando se derive X o al menos no se complique' mientras que
dv=g (x’) dx se pueda integrar fácilmente para encontrar v. (peña, 2015)
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Ejercicios
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Conclusión
El método de sustitución por partes es de demasiada ayuda ya que nos sirve para
evaluar la función de una manera más sencilla si esta es muy grande o difícil de
analizar su forma, ahora el método que plantee a un inicio para determinar cuál es
u Y cual dv es efectivo ya que este es un problema al observar ya sea la integral o
el problema que se nos plantee.
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Método de integración por fracciones parciales
Entender el concepto de una descomposición de fracciones parciales, este es un
procedimiento para descomponer un función racional en funciones racionales más
simples para poder aplicar las formulas básicas de la integración, este
procedimiento se le llama integración por fracciones parciales.
Este método de descomposición de fracciones parciales fue introducido por John
Bernoulli matemático suizo cuyas investigaciones fueron fundamentadas en el
desarrollo temprano del cálculo.
Estas son las fórmulas que se aplican para este tipo de métodos o pasos para llevar
a cabo.
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Ahora, suponer que se ha observado que:
1
𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 =
1
𝑥 − 3−
1
𝑥 − 2
Entonces evaluar la integral fácilmente como sigue.
∫1
𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥 − 3−
1
𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 3| − ln|𝑥 − 2| + 𝐶
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Este método es preferible a los cambios de variable trigonométricos. Sin embargo,
su uso depende de la habilidad para factorizar el denominador 𝑥2 − 5𝑥 + 6 y para
encontrar las fracciones simples o parciales
1
𝑥 − 3 𝑦
1
𝑥 − 2
Ejemplos
Factores lineales distintos
Escribir la descomposición de la fracción simple para 1
𝑥2 −5𝑥+6
Solución: Porque 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2), incluir una fracción simple para cada
factor y escribir.
1
𝑥2 − 5𝑥 + 6 =
𝐴
𝑋 − 3+
𝐵
𝑋 − 2
Donde A y B serán determinados .Multiplicando esta ecuación por el mínimo común
denominador (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) da la ecuación básica.
1 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 3) Ecuación básica
Porque esta ecuación es cierta para todo x, se puede sustituir cualquier valor
conveniente para x para obtener las ecuaciones en A y B .Los valores más
convenientes son los que hacen los factores particular igual a 0.
Para resolver para A, sea x = 3 y obtener
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1 = 𝐴(3 − 2) + 𝐵(3 − 3)
1 = (1) + 𝐵(0)
𝐴 = 1 Sea x = 3 en la ecuación básica.
Para resolver para B, sea x = 2 y obtener
1 = 𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 − 3)
1 = 𝐴(0) + 𝐵(−1)
𝐵 = 1 Sea x = 2 en la ecuación básica.
Así la descomposición es
1
𝑥2 − 5𝑥 + 6=
1
𝑥 − 3−
1
𝑥 − 2
Como se demuestra al principio de esta sección.
Para esto hay que asegurarse de que el método de fracciones simples parciales
solo es práctico para las integrales racionales cuyos denominadores factorizan muy
bien. Por ejemplo, si el denominador en el ejemplo 1 se cambiara a 𝑥2 − 5𝑥 + 5 , su
factorización como.
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𝑥2 − 5𝑥 + 5 = [𝑥 +5 + √5
2] [𝑥 −
5 − √5
2]
Sería demasiado complicada como para usar con las fracciones parciales. En casos
así, es preferible completar el cuadrado o recurrir a integración simbólica, al realizar
esto se obtiene. (Larson, 1999)
∫1
𝑥2 − 5𝑥 + 5 𝑑𝑥 =
√5
5 ln|2𝑥 − √5 − 5| −
√5
5 ln|2𝑥 + √5 − 5| + 𝐶
Ejemplos
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Conclusión
Para entender de lleno este tema es necesario tenerlos conocimientos de algebra
en un nivel adecuado a la carrera de ingeniería ya que varios tipos de fracciones
parciales se usa este tipo de conceptos así como el uso de las fracciones que ya
por demás tenemos que tener muy desarrollado , en mi punto personal este tema
es de demasiado interés ya que se me hizo difícil investigar este tema ya que lo
desconocía por completo y ahora creo que necesito tener más desarrollo
matemático que tenga este curso de cálculo 2.
Bibliografía Analisis matematicos. (23 de Febrero de 2015). Obtenido de
http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/integracion_por_sustitucion.htm
Castillo, C. J. (13 de Febero de 2015). monogafias.com. Obtenido de
http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-
integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml
Francisco Soler Fajardo, R. N. (23 de Febero de 2015). Geogle Books. Obtenido de Fundamentos de
calculo:
https://books.google.es/books?id=2DFArZinPWgC&pg=PR14&dq=Metodo+de+integraci%
C3%B3n+por+fracciones+parciales&hl=es&sa=X&ei=K_TrVLfHBoOZyATGnIHQCw#v=onepa
ge&q&f=false
Larson, R. (1999). Calculo con geometria analitica Octava edicion. Florida: Mc Graw -Hill.
peña, D. (23 de Febrero de 2015). Scribd.com. Obtenido de
https://es.scribd.com/doc/252319249/Integrales-POR-PARTES
Vitutor. (23 de Febrero de 2015). [email protected]. Obtenido de
http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion2.html