Date post: | 05-Apr-2017 |
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Inecuaciones
Valor Absoluto
Silvestre García O.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Aplicar las propiedades de las desigualdades en la resolución de ejercicios de inecuaciones.
• Representar soluciones de una inecuación a través de intervalos, conjuntos y representación gráfica.
• Resolver inecuaciones con valor absoluto con una incógnita.
Contenidos1. Desigualdades
1.1 Definición1.2 Propiedades
2. Intervalos
2.1 Intervalo abierto2.2 Intervalo cerrado
2.3 Intervalo semi-abierto o semi-cerrado2.4 Intervalos indeterminados
3. Inecuaciones lineales y cuadráticas4. Inecuaciones con valor absoluto
1.3 Operaciones
1. Desigualdades
Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que:
1.1. Definición:
a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferenciaa - b es positiva
a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.
La simbología utilizada es: < Menor que> Mayor que≤ Menor o igual que≥ Mayor o igual que
1.2. Propiedades (1) • Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o
se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad.
Ejemplos:
Si a ≤ bentonces:
a + c ≤ b + c
(Sumando 2 a cada lado de la desigualdad)
5 < 85 + 2 < 8 + 2
a)
7 < 10
(Restando 3 a cada lado de la desigualdad)
12 > 8b)12 - 3 > 8 - 3
9 > 5
Es decir:
• Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Es decir:
Ejemplos:a) < (Multiplicando por 2 cada lado de la
desigualdad) <∙ 2 ∙ 2
37
65
65
37
67
12 5
<
b) 160 > 24(Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad) 24
8160 8
>
20 > 3
1.2. Propiedades (2)
a ≤ bentonces:
a . c ≤ b . c
Si: c > 0y
• Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.
Ejemplos:a) <
(Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad) >∙ -2 ∙ -2
6565
37
-6 7
-12 5
>
37
b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad) 24
-8160 -8
<
-20 < -3
1.2. Propiedades (3)
a ≤ bentonces:
a . c ≥ b . c
Si: c < 0y
2. IntervalosLos intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica.
2.1. Intervalo abierto
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a “a”, ni “b”.
] a,b [ = { x Є IR / a < x < b }
a b-∞ +∞
Gráficamente:
Observación: ] a,b [ = (a,b)
2.2. Intervalo cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” y “b”.
[ a,b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b }
a b-∞ +∞
Gráficamente:
2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” pero no a “b”.Gráficamente:
I. [ a,b [ = { x Є IR / a ≤ x < b }
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a “a”, pero sí a “b”.Gráficamente:
II. ] a,b ] = { x Є IR / a < x ≤ b }
a b-∞ +∞
a b-∞ +∞
2.4. Intervalos indeterminados
Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a”
I. [ a,+∞ [ = { x Є IR / x ≥ a }
a-∞ +∞
Incluye a todos los reales mayores que “a”
II. ] a,+∞ [ = { x Є IR / x > a }
a-∞ +∞
Incluye a todos los reales menores o iguales que “b”
III. ]-∞, b ] = { x Є IR / x ≤ b }
b-∞ +∞
IV. ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b }
Incluye a todos los reales menores que “b”
b-∞ +∞
V. ]-∞, +∞ [ = IR
+∞-∞IR
El infinito nunca se incluye dentro de un intervalo y además nunca se escribe en la desigualdad.
3. Inecuación linealCorresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad.
Ejemplos:a) 7
√5-xLa expresión representa un número real si:
5 - x > 05 > x
El conjunto solución será:
5-∞ +∞
C.S.= ] -∞, 5 [Gráficamente:
x2
6x -2 5
≥ 1- (Multiplicando por 10)b)
6x -2 5
≥ x2
-10 ∙ 1010 ∙
2(6x – 2) ≥ 5x - 10
12x – 4 ≥ 5x - 10
(Simplificando)
(Desarrollando)
12x – 5x ≥ 4 - 10
7x ≥ -6
7x ≥ -6
,+∞C.S.= 7 -6
-∞ +∞
7 -6
Gráficamente:
c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 47x – 8 ≥ 7x - 12
– 8 ≥ - 12
En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales.
+∞-∞IR
Gráficamente:
d) 6x + 11 2
< 3x / ∙ 2
6x + 11 < 6x
11 < 0
En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA.
Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación.El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:
En algunos casos, puede interesar conocer la diferencia entre los datos recogidos y un número en particular, sin importar que esta diferencia sea positiva o negativa.
Por ejemplo, se puede obtener la distancia de los siguientes puntos al valor de 2:
4. Inecuaciones con valor absoluto
0 4-∞ +∞
x=2
La distancia se expresa de la forma: |x – 2|
Definición de Valor Absoluto
0 si ,0 si ,
xxxx
x
Utilizando definición, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.
Ejemplos:
xx
xx
x
x
243 .4
331 .3
14
2 .2
312 .1
1.
0
a b
b b a b
Propiedades del Valor Absoluto
a b
a b a b
2.
22
22
baba
baba
3.
Si
Entonces:
Si
Entonces:
Si
Entonces:
Ejemplo 1
• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5- 15 ≤ x ≤ 5
• La solución gráfica será:
-15 -10 -5 0 5 10 15
Ejemplo 2
• Resuelve: | -3x + 6 | > 18
-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18 -3x < -24 -3x > 12 x > 8 x < -4
• La solución gráfica será:
-4 -2 0 2 4 6 8