Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I
Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001
Fecha Actualización
Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum
Carrera/s Todas N°
APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)
Resuelve problemas utilizando la operatoria de funciones elementales.
Resuelve problemas utilizando el concepto de composición de funciones.
Reconoce el límite como el valor de tendencia de una función
Calcula el límite de una función.
Resuelve problemas aplicando el concepto de límite.
Analiza la continuidad de una función.
NOMBRE DE LA ACTIVIDAD
Aplicaciones de operatoria, límites y continuidad de funciones
(repaso de contenidos de la prueba 2)
Modalidad
□ Presencial
□ No Presencial
Duración de la actividad (horas):
__________________________
Forma de trabajo:
□ Individual
□ Grupal
- Tamaño del grupo:
□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8
Lugar:
□ Sala de clases
□ Laboratorio (especifique)_____________
□ Taller (especifique)_____________
□ Terreno (especifique)_____________
□ Otros (especifique)_____________
Recursos de información:
□ Impreso
___________________________________________
□ Tecnológico
___________________________________________
□ Informático
___________________________________________
Material de apoyo para la actividad:
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación
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I Aplicaciones de operatoria de funciones.
1. Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el costo (en $), al
producir x artículos de un nuevo producto es 150.1900 xxC , y los
ingresos por venta (en $) están dados por la función xxI 600.2 . Se pide:
a) Determine la función de utilidad al vender x artículos del nuevo producto.
b) ¿Cuál es la utilidad al vender 730 artículos del nuevo producto?
2. Una fábrica de muebles tiene la capacidad para producir desde 0 a 100
comedores por día. El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo
variable (mano de obra y materiales) para producir un comedor es 805 dólares.
a) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por comedor) en un
día.
b) ¿Cuál es el número de comedores diarios para los cuales la función costo
unitario, tiene sentido dentro del contexto?
c) ¿Cuál es el intervalo en dólares en el cual fluctúa el costo unitario de los
comedores?
3. Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la
función de oferta es 4709)( 2 pppO y la función demanda está dada por
ppD 2500)( , donde p es el precio en dólares. Tenemos que DyO
representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente:
a) ¿Cuál es el precio de equilibrio? (Dato: )()( pDpO )
b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de
equilibrio.
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II Aplicaciones de composición de funciones.
4. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día,
es una función del número de trabajadores m , que viene dada por
4
40 2mmmP
. Además el ingreso total (en dólares) que recibe por la venta
de q unidades, está dado por la función qqI 60 .
Determine:
a) El ingreso total en función del número trabajadores.
b) ¿Cuál es el ingreso total, si la producción de 35 trabajadores es vendida?
5. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario
promedio de monóxido de carbono en el aire será 15
2 ppc partes por
millón cuando la población sea p miles de habitantes. Se estima que en t años
la población de la comunidad será 2
5
18 ttp miles de habitantes.
Determine:
a) El nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.
b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 5 años, a partir de hoy?
6. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la
cantidad de kilógramos embalados por día )(nu , es una función del número de
trabajadores ( n ), donde:
3
3520)(
3
nnnu
El ingreso total )(uI en pesos, que se recibe por la exportación de u kilógramos
de fruta embalados está dado por:
uuI 570)(
a) ¿Cuál es el ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido?
b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la pregunta (a) en un
40%. ¿Cuántos kilógramos se embalan por día?
c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n
trabajadores es vendido?
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III Aplicaciones de límite de funciones.
7. Calcule los siguientes límites:
a) 408
1522
5lim
x
xx
x
b) 2110
1822
2
3lim
xx
x
x
8. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 0x , indicando si existe el
límite de la función para ese valor.
0;
0; )(
2 xx
xxxf
9. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xf . Calcule el límite de la
función en 1x :
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10. Un conductor por ley debe conducir menos de 5 horas en forma continua. Si los
reflejos del conductor, en porcentaje, están dados por la función
xxR 20100)( , donde x representa la cantidad de horas de conducción
continua. Determine a que porcentaje tienden los reflejos del conductor cuando
las horas de conducción continua se acercan a las 5 horas.
11. Los estudios del departamento de publicidad de una empresa, determinaron que
la utilidad por la venta de un nuevo producto, está relacionada con el gasto x en
publicidad, mediante la función:
8
1660
x
xxU , con xU y x en miles de dólares.
¿A cuánto se aproxima la utilidad, cuando el gasto en publicidad es muy grande?
Fundamente matemáticamente.
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IV Aplicaciones de continuidad de funciones.
12. Considere las siguientes funciones y determine si son continuas o discontinuas,
mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.
a)
1 ;1
1 ;2)(
xsix
xsixf
b)
2;42
124
2;4
2;2
42
)(2
2
x si x
xx
x si
x si x
xx
xf
13. Según su gráfica, diga si la función f es continua o discontinua en el valor de x
indicado, mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.
a) en 0x
b) en 2x
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14. Una compañía después de realizar un exhaustivo estudio concluyó que la función
ingreso total )(xI , en millones de pesos, al vender x unidades de un producto,
es:
400;5
800.875,30
400150;50
1500;5
400
)(
2
xsi x
xsi x
xsi xx
xI
a) ¿La compañía tiene un ingreso continuo al vender sus productos?
b) ¿Cuál será el ingreso si venden 500 unidades?
c) ¿Cuántas unidades se deben vender, para que el ingreso sea de 14 mil
millones de pesos?
15. La empresa de neumáticos RUEDALOCA, junto a sus ingenieros comerciales,
realizaron un estudio de sus costos de producción, precios de mercado y
demanda del mercado de neumáticos, para la fabricación de un nuevo tipo de
neumáticos que se venderán el primer semestre del 2013. Los ingenieros
determinaron que la función de venta total del nuevo tipo de neumáticos xV ,
en cientos de dólares, al vender x neumáticos, está dada por:
500;4
000.314
5000;200
900
)(
2
xsi x
xsixx
xV
¿La empresa RUEDALOCA tiene una venta continua al vender sus neumáticos?
Fundamente matemáticamente.
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SOLUCIONES
1. a) 1.1501.700)(150.1900600.2 xxUxxxU
b) 1.239.8501.150730.7001730 U
Respuesta: La utilidad es de $1.239.850.
2. a) La función costo unitario o costo promedio es:
805
000.5805000.5CM
xx
x
x
xC(x)
b) El Dominio son los enteros desde 1 hasta 100;
1001/ xxCMDom
c) El Recorrido son los reales desde 855 hasta 5.805;
805.5855/ yyCMRec
3.
a) 030725004709 22 ppppp
a
cabbp
c
b
a
2
4
30
7
12
xx p 3;102
137
2
9167
21
Respuesta: El precio de equilibrio es de 10 dólares.
b) 480102500)10()10( DO
Respuesta: La cantidad es de 480 libros.
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4. a) 22
40154
4060))(())(( mm
mmmPImPI
215600))(( mmmPI
b) 625.2351535600)35)((2PI
Respuesta: El ingreso total es de 2.625 dólares.
5. a) 125
2
5
161
5
18
5
2))(())(( 22
tttpctpc
2
25
2
5
21))(( ttpc
b) 2,65
315
25
2
5
21)5)((
2pc
Respuesta: El nivel de monóxido de carbono en 5 años será de 6,2 partes por millón.
6.
a) 201.520.11)120( u ; 570.514.566.6)201.520.11( I
Respuesta: El ingreso total es de $6.566.514.570.
b) Trabajadores 726,0120 ; 441.488.2)72( u kg. embalados por día
c) 3
3520570))(())((
3
nnnuInuI
570950800.3))(( 3 nnnuI
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10
7. a) 0
0
408
1522
5lim
x
xx
x
18
8
8
3
58
53
408
152
55
2
5limlimlim
x
x
xx
x
xx
xxx
b) 0
0
2110
1822
2
3lim
xx
x
x
3
4
62
7
32
73
332
2110
182
332
2
3limlimlim
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
8. 0)( 0
lim
xx
0)( 2
0lim
x
x ; 0)()()(
000limlimlim
xfxfxfxxx
9. 1)( 1
lim
xfx
; 3)( 1
lim
xfx
;
)()(11
limlim xfxfxx
)(1
lim xfx
10. 0201005
lim
x x
Respuesta: Los reflejos del conductor tienden a un 0%.
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11
11. 8
1660limlim
x
xxU
xx (dividimos por la mayor potencia de x )
6001
060
81
1660
8
1660
limlim
x
x
x
xx
x
xx
Respuesta: Cuando el gasto en publicidad es muy grande, la utilidad tiende (o se
aproxima) a 60.000 dólares.
12. a) i) 0)0( f (Existe imagen para 0x )
ii) 0)( 0
lim
xx
; 0)( 2
0lim
x
x 0)()()(
000limlimlim
xfxfxfxxx
iii) )0()(0
lim fxfx
Respuesta: La función f es continua en 0x .
b) i) 2)1( f (Existe imagen para 1x )
ii) 2)2( 1
lim x
; 0)1( 1
lim
xx
)()(11
limlim
xfxfxx
)(1
lim xfx
iii) )1()(1
lim fxfx
Respuesta: La función f es discontinua en 1x .
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c) i) 4)2( f (Existe imagen para 2x )
ii) 422
)2(2
2
42
22
2
2
limlimlim
xx
xx
x
xx
xxx
42
6
)2(2
)6)(2(
42
124
22
2
2
limlimlim
x
x
xx
x
xx
xxx
4)()()(222
limlimlim
xfxfxfxxx
iii) )2()(2
lim fxfx
Respuesta: La función f es continua en 2x .
13. a) i) 0)0( f (Existe imagen para 0x )
ii) 0)( 0
lim
xfx
; 0)( 0
lim
xfx
0)()()( 000
limlimlim
xfxfxfxxx
iii) )0()(0
lim fxfx
Respuesta: La función f es continua en 0x .
b) i) 1)2( f (Existe imagen para 2x )
ii) 4)( 2
lim
xfx
; 4)( 2
lim
xfx
4)()()(222
limlimlim
xfxfxfxxx
iii) )2()(2
lim fxfx
Respuesta: La función f es discontinua en 2x .
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14. a) i) 500.7)150( I (Existe imagen para 150x )
ii) 500.7)(150
lim
xIx
; 500.7)(150
lim
xI x
xI xIxIxxx
500.7)()()(150150150
limlimlim
iii) )150()(150
lim IxIx
La función I es continua en 150x .
i) 000.20)400( I (Existe imagen para 400x )
ii) 000.20)(400
lim
xIx
; 000.20)(400
lim
xI x
xI xIxIxxx
000.20)()()(400400400
limlimlim
iii) )400()(400
lim IxIx
La función I es continua en 400x .
Respuesta: La compañía tiene un ingreso continuo al vender sus productos.
b) Si venden 500 unidades el ingreso será de 20.610 millones de pesos.
c) Se deben vender 280 unidades para lograr un ingreso de 14 mil millones de
pesos.
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15. Analizaremos la continuidad de la función en el punto 500x , por lo que se
deben cumplir 3 condiciones:
i)
000.14
000.350014)500(
V (Existe imagen para 500x )
ii) 000.1200
900)(
2
500500
limlim
xxxV
xx
; 000.14
000.314)(
500500
limlim
xxV
xx
xV xVxVxxx
000.1)()()(500500500
limlimlim
(Existe límite de la función cuando 500x )
iii) 000.1000.1)500()(500
lim
VxVx
(se cumple la igualdad)
Respuesta: La empresa RUEDALOCA tiene una venta continua al vender el nuevo tipo
de neumáticos.