1/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
A FÍSICA DO LHC: Conceitos fundamentais eprincipais resultados
1a Aula
Carla GöbelDepto. de Física - PUC-Rio
July 13, 2015
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
2/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Tópicos de Hoje
1 Introdução: Modelo PadrãoOs Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
2 Simetrias e Números QuânticosIsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
3/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Introdução: Modelo Padrão
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
4/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Os Constituintes da Matéria
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
5/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Os Constituintes da Matéria
Toda a matéria ordinária é feitade
prótons nêutrons elétrons
99,999999999999% do volume de umátomo é apenas espaço vazio!
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
6/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Os Constituintes da MatériaMas este não é o fim (ou começo?) da história ...Anos 30 ) novas partículas começaram aaparecer
RAIOS CÓSMICOSACELERADORES
1932 o pósitron é observado
1933 Fermi postula o neutrino
1935 Yukawa propõe a existênciado méson
1937 descoberta do múon
1947 descoberta do píon
1947, 1949 K 0;K observados
1950 0 !
’50 ... um monte de novaspartículas !
K o
p
e− νeo
n Ξo
+−
e++−
+−
πo
Λo
+− ∆ o
00 10 20 30 40 50 60 Σo
Λµn ρωηK
νµ
fφ
Ωηa2
−
*
’
π
K
ΞΣ−
p
Partículas “elementares” ????Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
7/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Classificação das Partículas
Partículas observadas com diferentes propriedades
massa tempo de vida spin carga interações
As partículas foram classificadas em duas categoriasprincipais:
LÉPTONS
os carregados sentem asforças EM e fracae ; ;
neutrinos sentem somentea força fracae ; ;
HÁDRONS
sentem todas as forças
Bárions: spin semi-inteiroex. n ; p;
Mésons: spin inteiroex. ;K
mas ...por que tantoshádrons?
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
8/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
“Eightfold Way”
Gell-Mann e Ne’eman (61) agrupam os hádrons de massaspróximas em octetos e decupletos de acordo a seus isospin eestranheza
mésons pseudoescalares
+1
−1
−1 +1−1/2 +1/2
K
ππ
KK
K
η η
+
+
−
oπ−
o
o
’
Q=+1
Q=0Q=−1
S
I 3
bárions de spin 1/2
Σ+Σ−
Λo oΣ
Ξ oΞ−
−1/2
−1
−2
0 +1/2 +1−1
pn
Q=+1
Q=0Q=−1
I3
S
bárions de spin 3/2
Ξ −* Ξ * ο
Ω−
I3
−1/2 0 +1/2 +1−1
∆ ∆ ∆ ∆+++ο−
+3/2−3/2
Σ−1 Σ * +* οΣ* −
−2
−3
S
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
9/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Quarks
Gell-Mann e Zweig (64) propõe a existência de QUARKS:férmions com spin 1/2 e carga fracionária ...
todos os mésons (qq) ebárions (qqq) são explicadosa partir de combinações detrês quarks diferentes:
u d s
S = 0 u dS = 1 scarga +2
3 13
u
u
d
d
ud
proton neutron
u d s
pion π+ kaon Ko
d s
... mas ainda novas partículas foram descobertas!!
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
10/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Quarks & Léptons: os férmions (spin 12) fundamentais
? o quark charme é predito em 71 edescoberto em 74? um novo lépton, tau, observado em 75(3a família de léptons!)? o quark bottom é descoberto em 77(3a família de quarks!)? o último quark top é observado em 95? o último férmion é detectado em 2000
⇐ então estes são os constituintesmais elementares da matéria
... ah ...mas tem anti-matéria também
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
11/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Digressão: Predição e Observação da AntiMatériaF Início dos anos 30: “Física Moderna” recém nascia
Teoria da Relatividade
velocidade da luzno vácuo é absoluta tempo é relativo E2 = p2c2 +m2c4
Mecânica Quântica
partícula livre: ~2
2mr2 = i~@
@tmassa ainda não é parte da energia ...
como compatibilizar?
Paul Dirac (1928): equação de onda relativística para o elétron
soluções com energias+p
p2c2 +m2c4 e p
p2c2 +m2c4
?!?!
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
12/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
A Predição e Observação da AntiMatéria
Dirac 1931→ estado de energia negativaé anti-elétron com energia positivaa partir de considerações puramente teóricas,prediz a existência da antimatéria
Carl Anderson (1932): câmara debolhas para o estudo de partículas de raioscósmicos: ) existência do pósitron Nobel: Dirac (1933) e Anderson (1936)
Então ....
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
13/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
As Interações Fundamentais
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
14/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
O que une a matéria?
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
15/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
O Modelo Padrão da Física de Partículas| O que hoje chamamos de Modelo Padrão abrange oentendimento teórico das partículas e suas interações
Força Eletrofraca: “combinação” das força EM (EletrodinâmicaQuântica) e fraca: A Teoria EletrofracaForça Forte: Cromodinâmica Quântica
Modelo Padrão explica com enorme êxito todos os experimentosfeitos até agora peça faltante até 2012: o Bóson de Higgs
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
16/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Mas como se construiu o Modelo Padrão?
Mecânica Quântica+
Relatividade Especial⇒ Teoria Quântica de
Campos
partículas fundamentais interagem pela troca debósons de gauge : os quanta do campo
* o fóton é o bóson de gauge da Eletrodinâmica Quântica (QED)!
| O alcance da interação está relacionado com a massa de seubóson de gauge (Princípio da Incerteza)
Et ~a distância de vôo de uma partícula é
x = ct = c~=E = c~=Mc2
fóton: massa nula ) alcance infinito bóson W : Mc2 80GeV ) alcance 2 103fm
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
17/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Interações Fundamentais (cont.)
A partir de agora ... usaremos unidades naturais: ~ = c = 1 energia [GeV], momentum [GeV/c], massa (GeV/c2) ! GeV tempo [(GeV/~)1], distância [(GeV/~ c)1] ! GeV 1
) A intensidade da interação é dada pela carga g , ou maisconvenientemente pela constante de acoplamento
QED: e = gem =p4"0~c =
p4
Interação Intens. Bóson de Massa Quemrelativa Gauge (GeV =c2) sente
Forte 1 glúons (g) 0 quarksEletroMag. 103 fóton ( ) 0 part. carregadas
Fraca 105 W+,W−,Z 0 80, 91 quarks & léptonsGravitacional 1038 gráviton ? 0 todos
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
18/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
A equação de Dirac e Diagramas deFeynman
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
19/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
A equação de Dirac
Férmions livres com spin 12 são representados por um spinor de
4 componentes que obedece a equação de Dirac
(iγµ∂µ −m)ψ =
onde = ( 0; i ) = (; ~) são as matrizes de Dirac com
=
I 00 I
!; ~ =
0 ~~ 0
!
e ~ são as matrizes de Pauli
1 =
0 11 0
; 2 =
0 ii 0
; 3 =
1 00 1
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
20/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
A equação de Dirac
As matrizes têm as seguintes propriedades
+ = 2g
0y = 0
iy = i( i )2 = I
Escrevendo no espaço de momento, (x ) = ae
i~pxu(p) = ae
i~ (Et~p~r)u(E ; ~p)
a equação de Dirac fica( 6p m)u(p) = 0
As soluções satifazem E = pp2 +m2. A solução de energianegativa é interpretada como uma solução de anti-partículacom energia positiva.De fato, as soluções podem ser escritas como
fermion: (6p m)u = 0 antifermion: ( 6p +m)v = 0
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
21/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Diagramas de FeynmanInterações entre as partículas são descritas em termos de Diagramas de Feynman
tempo corre da esquerda para direita (variação: de baixo paracima)
anti-partículas representadas como viajando para trás no tempo
energia, momentum, momento angular, etc, conservados emtodos os vértices
partículas intermediárias sempre virtuais
apenas linhas externas representam partículas reais (estadosassintóticos)
Os Vértices do Modelo Padrão:
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
22/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Eletrodinâmica Quântica (QED)
O processo básico é simplesmente: γ
f
f
Diagramas árvore
γ
e−
µ−
e−
µ−
e
γ
γ
e−
e+
e
e−
γ
γ
e−
2a ordem: box e loops
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
23/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Eletrodinâmica Quântica (QED)
partículas carregadas interagem pela troca de fótonsa intensidade dada pela constante de estrutura fina 1=137a teoria quântica–relativística que descreve as interações EM é aEletrodinâmica Quântica (QED)cálculos explícitos de QED: extrema precisão nos processos EM
Diagramas Árvore
γ
e−
µ−
e−
µ−
e
γ
γ
e−
e+
e
e−
γ
γ
e−
2a ordem: box e loops
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
e−
µ−
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
24/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Espalhamento e e aniquilação e+e ! +
A amplitude do processo estádada por:iM =
(ie uC uA) ig
q2
(ie uD uB )
uB(p) u_
D(p’)
uA(k) u_
C(k’)
- igµν/q2
ieγν
ieγµ
taxas, seções de choque nãopolarizadas dependem dej Mj2
deste processo, pode-se facilmentepor “crossing” calcular o processo deaniquilação e+e ! +
pode-se mostrar que a seção dechoque de espalhamento para 2corpos está dada por
dd
=1
(8)2sjpf jjpi j jMj2
onde s é a (energia)2 disponível, pi ,pf os momenta inicial e final,calculados no CM.
encontra-se :
(e+e ! +) =42
3s
ver Apêndice
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
25/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Renormalização e (q2) em QEDcálculos envolvendo loops (ordens superiores em QED) levam ainfinitos
)
“screening” da carga nua doelétron devido a parese+e
renormalização: redefine carga e massa, o que cancela os infinitos
na prática, a constante de acoplamento passa a depender daescala de energia envolvida no processo:
(q2) = (q20 ).
1(q2
0 )
3lnq2
q20
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
26/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Renormalização e (q2) em QED (cont.)
? em QED, depende fracamente de q2
baixas energias (q2 0): 1= 137 altas energias: 1=(200GeV) 127
Predição e medida do momento magnético anômalo do elétron:
[(g 2)=2]teo = (1:159:652:181; 82 0; 78) 1012
[(g 2)=2]exp = (1:159:652:180; 76 0; 27) 1012
A mais precisa predição verificada experimentalmenteda história da física!
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
27/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Cromodinâmica Quântica (QCD)
QCD é a teoria que descreve asinterações fortes
O mediador é o glúon e a carga é a “cor”
Como os glúons carregam cor, eles têmauto-interação !
vértice de QCDbásico
g
q q
Auto-interação Ordens superiores
q1
q2
q1
q2
q1
q2
q1
q2
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
28/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Interação fracavértice carregado
W−
νe, d
e, u vértice neutro
Z0
ℓ, q, ν ℓ, q, ν
Alguns exemplos no setor leptônico
electron scattering
Z0
e−
e−
e−
e−
e scattering
Z0
e−
νµ
e−
νµ
muon decay
W−µ−
e−
νe
νµ
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
29/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Examplos de processos fracos hadrônicosDecaimentos:
Decaimento beta
n
d
u
u p
u
u
d
W-
e-
ν_
e
Decaimento do píon
π-
d
u_
W- µ-
ν_
µ
Decaimento de umméson B
B-b
u_
D0c
u_
u_
dW- π-
EspalhamentoEspalhamento p
puud
puud
Z0
νµ νµ
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
30/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman
Interações EM e auto-interações dos bósons fracosAuto-interações
W+
Z0
W−
W W
W W
W Z
W Z
Interações EM
W+
γ
W−
W W
Z γ
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
31/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Simetrias e NúmerosQuânticos
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
32/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Simetrias e Leis de Conservação
Teorema de NoetherPara cada simetria da natureza corresponde uma lei deconservação (e vice-versa)Exemplos:
invariância frente a translações no espaço , conservaçãode momentuminvariância frente a translações no tempo, conservação deenergiainvariância frente a rotações espaciais , conservação demomento angularinvariância frente a transformações de gauge no EM ,conservação da carga
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
33/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Grupos e Simetrias
O conjunto de operações de simetria formam um GRUPO e temas seguintes propriedades
1 Clausura: Ri ;Rj 2 G ) Rk = RiRj 2 G2 Identidade: existe I para a qual IRi = RiI = Ri3 Inversão: existe R1
i para a qual R1i Ri = RiR1
i = I4 Associação: Ri (RjRk ) = (RiRj )Rk
Ademais, com relação à comutação:se todos os elementos comutam, RiRj = RjRi ; 8i ; j )grupo abelianocaso contrário, grupo não abeliano
Em Física : geralmente grupos de matrizesU (n) : coleção de matrizes n n unitáriasSU (n) : U (n) com determinante 1
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
34/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Um exemplo: grupo de spin 1=2 ) SU (2)
Para spin semi-inteiro, existem dois possíveis estados:
js msi = j 1212 i =
10
; jsmsi = j 12 1
2 i =
01
um estado de spin-1/2 genérico está dado por
=
10
+
01
; jj2 + jj2 = 1
~S : matriz de spin 2 2 ) Sx = ~21, Sy = ~
22, Sz = ~23
Através de uma rotação0
0
= U ()
com U () = ei~~=2
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
35/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Isospin
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
36/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Isospin: uma simetria de sabor
Heisenberg 1932 ) o nêutron é quase idêntico ao próton(exceto pela carga) mp = 938:26MeV ; mn = 939:57MeV
) dois estados do mesmo nucleon p =
10
n =
01
analogia com spin ) novo número quântico ISOSPIN
interações fortes: invariantes sob rotações no espaço deisospin (simetria interna) ) isospin é conservado~T = 1
2~, [Ti ;Tj ] = iijkTkcom operadores T T1 iT2; T+ = T1 + iT2
T+u = 0; T+d = u ; Tu = d ; Td = 0
| Modelo a Quark: isospin vem de mu mdu = j12 +
12i d = j12 1
2ioutros sabores: j0 0i
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
37/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Combinando quark + antiquark
Os dubletos quark e antiquark são:
q =
ud
q =
du
Combinando −1/2 +1/2 −1/2 +1/2II 33
u dd u
estados tripleto e singleto são obtidos:
I3
u d21/ ( u d )+d
I3
u
u d21/ ( u d )
ud −
) estes são os píons, I=1:+ = j1 1i; 0 = j1 0i; = j1 1io singleto obedece: T+j0 0i = Tj0 0i = 0
dimensão mais alta ! ’s: quatro estados ) I = 3=2++ = j32 +
32i; + = j32 +
12i; 0 = j32 1
2i; = j32 32i
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
38/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Algumas Consequências de Isospin
interações fortes: não diferencia p/n ou u/d) I e I3 conservadas
interações fracas: u $ d) I e I3 não conservadas
interações EM: u = d mas distingue u/d (carga)ex.: 0 !
) I3 conservada, I não conservadahádrons “estáveis”: próton e aqueles que decaem porinterações fracas e EMressonâncias: hádrons que decaem por interações fortescom / 1020
taxas de decaimento das ressonâncias dependembasicamente de regras de isospin: razão dos coeficientes deClebsh–Gordan
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
39/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Um exemplo
ex.: +(1232) ) j32 +12i com dois modos de decaimento
+ ! p 0 + ! n +
with p0 = j12 +12ij1 0i, n+ = j12 1
2ij1 + 1i Coeficientes de Clebsh-Gordan:
j32 + 12i ,
8<:q
23 j12 +
12ij1 0iq
13 j12 1
2ij1 1i
(+ ! p0) / 23 jA3=2j2(E)
(+ ! n+) / 13 jA3=2j2(E)
Então(+ ! p0)
(+ ! n+)= 2
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
40/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Números Quânticos Aditivos
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
41/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Carga Elétrica
Conservação de carga elétrica , invariância de gauge local –U(1)
Carga é conservada em todas as interações
exemplos? Interação forte
+ p ! K 0 + 0
Q 1 +1 0 0
? Interação fraca
n ! p + e + eQ 0 +1 1 0
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
42/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Número Bariônico
Número Bariônico (B) é conservado em todas as interações
#(quarks) - #(antiquarks) = constante
bárions +1 quarks 13
antibárions 1 antiquarks 13
mésons 0exemplos? interação forte + p ! K 0 + 0
B 0 +1 0 +1
? interação fraca 0 ! p +
B +1 +1 0
? um decaimento p 9 e+ + 0
proibido B +1 0 0
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
43/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Número Leptônico
Número Leptônico (L) é conservado em todas as interações
léptons e; e ; ; ; ; +1antiléptons e+; e ; +; ; +; 1
exemplos
? + N ! e+ + e + N
? + ! + +
? + ! e+ + e +
? um decaimento proibido: ! e + e
? e este: ! e + é possível ?(viola L e Le mas ... são estes números conservados?)
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
44/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Estranheza
Estranheza (S) é conservada nas interações forte e EMnão é conservada nas interações fracas
ex: + p ! K 0 + 0, K 0 ! +, 0 ! p
d
u
u
u−d d
s−
s
u
d
p
π-
Λ0
K0
d
s−
s
u
d
d
u−
u
d−
u−
d
u
u
d
p
π-
π+
π-
W+
W-
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
45/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Estranheza (cont.)
hádrons com s ex.:K+(us);K 0(ds);0(u ds) +1hádrons com s ex.:K(s u);K 0(s d);0(uds) 1bárions com ss ex.:+(dss);0(uss) +2bárions com sss ex.:(sss) 3
♣ o mesmo conceito e implicações de estranheza também seestendem aos quarks pesados: “charmness”, “bottoness”,“topness”
apenas uma consequência de que as interações EM e fortes nãotrocam sabor!
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
46/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Estranheza e SU(3) de Sabor
Isospin + S ) u d s ) SU (3) de saborms > mu=md ) simetria não tão boa como isospinSU (3) ! 8 geradores: ~T = 1
2~; U = ei~~T
~ : matrizes de Gell–Mann (3 and 8 diagonais)define-se hypercarga: Y = B + S
Y = 1p38; I3 = 1
23
Y e I3 são números quânticos aditivos conservados (eminterações fortes e EM)
++
+
Y
I3
−2/3
1/2
1/3
−1/2
s
ud
U V
T T = 12 (1 i2)
V = 12 (4 i5)
V = 12 (6 i7)
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
47/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Construindo multipletos de SU (3)
Y
I3 ss
ds us
sdsu
du uddd uu
s
ud
s
u d
=
Y
I3
I3
Y
noneto pseudoescalar
Ko
Ko
K
π π
+
+_
K_
η
π
η´
o
1p6(u u + d d 2ss)
0 1p6(u u + d d + ss)
noneto de mésons vetoriais
K
K
+_
_
ρ ρρ
Ko
o
*
**K
*+
ω φ
o
! 1p2(u u d d)
ss
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
48/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Simetrias Discretas
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
49/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Paridade
P : operação discreta que inverte as coordenadas espaciais(x ; y ; z ) P! (x ;y ;z ) ) reflexão em relação à origem
transforma um sistema de coordenadas mão–direita emmão–esquerdasatisfaz P2 = 1P é unitária, PyP = 1 ) Py = P
P é hermitiana ) auto–estados de paridade são observáveisparidade é um número quântico multiplicativosistema invariante sob P , [H ;P ] = 0 , paridade éconservada
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
50/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Paridade (cont.)
| Muitos sistemas quânticos são auto–estados de partidade
P j (~r)i = +j (~r)i = +1 parP j (~r)i = j (~r)i = 1 ímpar
| Para vetores: P(~a) = ~a| Para vetores-axiais (pseudo-vetores): P(~c) = P(~a ~b) = +~c
| Para as partículas fundamentais, uma paridade intrínseca éassignada
quarks P = +1antiquarks P = 1
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
51/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
| Hádrons: objetos compostos ) paridade é o produto daparidade intrínseca pela contribuição do momento angular
Mésons estáveis têm paridade negativa: ;K ; ;B ;D ; :::Bárions estáveis têm paridade positiva: p;n ;;; :::
| Assim, para mésons P = (1)L+1
ex. píon
L = 0 P = P(u d) = 1) JP () = 0
pseudoescalar
dL
u
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
52/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Conjugação de Carga
C: transforma partícula em sua antipartícula, deixando todas asoutras variáveis dinâmicas intactas
C jpi = jpiC j0i = j0iC j+i = ji
claramente C 2 = 1, C yC = 1 ) hermitianaSe um estado é descrito por jA; ~p; ~i onde A is é oconjunto de números quânticos aditivos (isospin, carga,estranheza, etc)
C deixa ~p; ~ invariantesC troca o sinal dos números quânticos aditivos
C jA; ~p; ~i = jA; ~p; ~i
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
53/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Conjugação de Carga (cont.)
| Sistema invariante sob C ) [H ;C ] = 0, C é um bom númeroquântico| B ;Q ;L;S ; ::: também conservados (comutam com H ) masem geral BC 6= CB
ex. CB jpi = C jpi = jpiBC jpi = B jpi = jpi
para um estado ser autoestado de C é necessário terB = Q = L = S = ::: = 0 ) partícula = antipartícula| Autoestados de C : fóton C = 1 mésons no centro de seus nonetos C = (1)L+S
0; ; 0; 0; ; !;J= ; :::
ex. 0 ! ) C (0) = +10 9
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
54/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Apêndice I:Seção de Choque, Tempo de Vida, Decaimentos
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
55/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Width and Lifetime
? Decay Rate Γ : desintegration probability per unit time
dN = −ΓNdt ⇒ N (t) = N (0)e−Γt
? Mean Lifetime : average lifetime of a particle in its rest frame
τ = 1/Γ
If the decaying particle has n different decay modes:ex.: + ! +, + ! e+e , + ! +
Each mode has a partial width i ) tot =Pn
i=1 i and = 1=tot
? Branching ratio:
BR =Γi
Γtot
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
56/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Scattering
Cross-Section“Size of the target” ) effective cross-sectional areaA measure of the chance of success of the interaction
Each possible final state of a collision is characterized by ascattering cross-section i
σtot =Xσi
ex: e + p ! e + pe + p ! e + p + e + p ! e + p + 0
e + p ! e +
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
57/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Scattering (cont.)
| If the incoming particle passes through an infinitesimal aread it will scatter into a corresponding angle d. The larger d,the larger d| Differential Cross-Section D()
d = D()d
| Luminosity L: number of particles per unit time per unitarea
dN = Ld = L D() d
thusD() =
dd
=1LdNd
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
58/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Fermi’s Golden Rule
We want to be able to calculate actualdecay rates and cross-sections
Need to know:
♣ The physical amplitudeM ) dynamical info♣ The phase space of the process ) kinematical info
ex.:D0 ! + + ) big phase space since mD 2m
n ! p ee ) tiny phase space since mn mp
Fermi’s Golden Rule
transition rate =2~jMj2 phase space
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
59/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Fermi’s Golden Rule (cont.)
♣ For decays: 1 → 2 + 3 + ... + n
d =jMj2
2m1
d3p2
(2)32E2:::
d3pn
(2)32En
(2)44(p1 p2 p3 ::: pn)
♣ For scattering: 1 + 2 → 3 + 4 + ... + n
d =jMj2(2)44(p1 + p2 p3 ::: pn)
4p(p1 p2)2 (m1m2)2
d3p3
(2)32E3:::
d3pn
(2)32En
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
60/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
ex.: 1 + 2 ! 3 + 4
Let’s calculate d=dCM: ~p2 = ~p1 ) p1 p2 = E1E2 + j~p1j2p
(p1 p2)2 (m1m2)2 = (E1 + E2)j~p1jThus
d =1
(8)2jMj2
(E1 + E2)j~p1j
d3p3
E3
d3p4
E44(p1 + p2 p3 p4)
steps: write E3;E4 in terms of ~p3; ~p4 integrate in ~p4 using 3
use d3p3 = p2dpd (p j~p3j) substitute E 0 =
pm2
3+~p23p
m24+~p
23 , dE 0 = E 0p3p
m23+~p
23
pm2
4+~p23dp
We obtaindσdΩ
=1
(8π)2s|pf ||pi ||M|2
where s = (E1+E2)2 is the available energy2 in the CM frame.
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
61/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Apêndice IIQED e os Processos e! e e e+e ! +
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
62/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Quantum Electrodynamics – QED
| A free electron with 4–momentum p is described by a4-component wave function (spinor) given by:
= u(~p)eipx
satisfying the Dirac equation (6p m) = 0| Classical EM: upon interaction with an EM potentialA = (A0; ~A) replace p ! p + eA
| quantum prescription then givesi@ ! i@ + eA
and the Dirac equation becomes
( 6p m) = 0V ; 0V = e A
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
63/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
QED (cont.)
| e2
4 1137 is small ) treat potential as a perturbation
1st order:
Tfi = iZd4x yf (x )V (x ) i (x ) = ie
Zd4x f A i
with y o . In terms of the EM current densityj fi = e f i = e uf uiei(pfpi )x
we haveTfi = i R jAd4x
Giving interpretation: A ! field generated by a sourceex: a muon, in e scattering
From Maxwell’s equation: 2Aµ = jµBD
with j BD = e uD uBei(pDpB )x
2eiqx = q2eiqx , thusAµ = − 1
q2 jµ with q pD pB
uB uD
γ
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
64/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Calculating e scattering
Let’s calculate a e scattering explicitly. From before,
Tfi = iZ
jmuon
1
q2
j elecd
4x =
= i(e uC uA) 1
q2
(e uD uB )
Zei(pCpA)x ei(pDpB )xd4x =
= i (e uC uA) 1
q2
(e uD uB )| z
M
(2)44(pA + pB pC pD)
iM = (ie uC uA)
igq2
(ie uD uB )
↓photon
propagator
uB(p) u_
D(p’)
uA(k) u_
C(k’)
- igµν/q2
ieγν
ieγµ
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
65/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
e scattering (cont.)
In general we are interested in non–polarized cross-sections:average over initial spin states, sum over final spin states
jMj2 = 1(2sA+1)(2sB+1)
Xspin states
jMj2
= e4
q4 Lelec L
muon
where
Lelec =
Xspin elec
u(k 0) u(k)
u(k 0) u(k)
Lmuon =
Xspin muon
u(p0) u(p)
u(p0) u(p)
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
66/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
e scattering (cont..)
steps: use [u(k 0) u(k)] = [u(k) u(k 0)] use completeness relations
Ps 0 u
s 0 (k 0)us 0
(k0) = (6k +m) to
obtainL
elec =12Tr [( 6k
0 +m) (6k +m) ]
use trace theorems for matrices to obtainL
elec = 2k 0k + k 0k (k 0 k m2)g
analogously for Lmuon
Finally calculate LelecL
muon
jMj2 = 8e4
q4 [(k 0 p0)(k p) + (k 0 p)(k p0)
m2(p0 p)M 2(k 0 k) + 2m2M 2 ]
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
67/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
e scattering (cont...)
Introduce Mandelstam variables:s (k + p)2; t (k k 0)2; u (k p0)2
ultrarelativistic limit: neglect m ;Ms 2k 0 p0; t 2p p0; u 2k 0 p
Thus
jMj2 = 8e4
q4
(k 0 p0)(k p) + (k 0 p)(k p0)
= 2e4 s2 + u2
t2
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
68/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
Crossing: e+e ! +
| From e scattering it is easy to obtain e+e ! + fromcrossing
−k′
k
−p
p′
Me+e!+(k ; k 0; p; p0)=
Me!e(k ;p;k 0; p0)
just change k 0 $ p (t $ s) in the previous result:
jMj2 = 2e4 t2 + u2
s2 = 2e4h
12(1+ cos2 )
iwhere the last equality is obtained by getting s ; t ;u in the CMframe, with the scattering angle
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula
69/ 69
Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos
IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas
e+e ! + (cont.)
Recalling the expression for differential cross–section
ddCM
= 1642s
pfpijMj2 = 1
642s 2e4h(1+ cos2 )
iwe finally get for the total cross-section
(e+e ! +) =42
3s
Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula