Date post: | 07-Nov-2015 |
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CEP Santa Mara de la Providencia
DESIGUALDAD.- Es una relacin entre dos cantidades de diferente valor.
Si: a b ( a > b o a < b La notacin a emplear es:a > b; se lee: "a es mayor que b". a < b; se lee: "a es menor que b".
a b; se lee: "a es mayor o igual que b"
a b; se lee: "a es menor o igual que b". CLASES DE DESIGUALDADES:1. DESIGUALDAD ABSOLUTA.- Es aquella que e verifica para todos los valores reales que se asignan a sus variables.Ejemplo:x2 + 1 > 0; se verifica x ( R.(: se lee: para todo; ( R: pertenece a los reales). As:52 + 1 > 0 ( 26 > 0 (-3)2 + 1 > 0 ( 26 > 0 (-3)2 +1 > 0 ( 10 >0
2. DESIGUALDAD RELATIVA.- Tambin es conocida con el nombre de desigualdad condicional o inecuacin. Es aquella que se verifica slo para ciertos valores de sus incgnitas.
Ejemplo: 5x -1 > 9 ( x > 2As: 5(4) 1 > 9 ( 19 > 9 5(10) - 1 > 9 ( 49 > 9RECTA NUMRICA REAL.- Es una recta geomtrica; donde se establece una biyeccin es decir; a cada nmero real se hace corresponder un nico punto de la recta y para cada punto de la recta slo le corresponde un nico nmero real.
NMEROS POSITIVOS.- Es aquel conjunto de nmeros mayores que el cero. Es decir:
Si: "a" es positivo, entonces: a > 0.NMEROS NEGATIVOS.- Es aquel conjunto de nmeros menores que el cero. Es decir:
Si: "b" es negativo, entonces: b < 0.NMERO MAYOR QUE OTRO.- Un nmero ser mayor que otro, s, y slo s, su diferencia es un nmero positivo. Es decir: Si: a ( b ( a - b > 0Ejemplos:1) 12 > 7 ( 12 7 > 0 ; 5 > 0
2) 8 > -3 ( 8 (-3) > 0; 11 > 0
NMERO MENOR QUE OTRO.- Un nmero ser menor que otro, s y slo s; su diferencia es un nmero negativo. Es decir:Si:
a < b ( a b < 0
Ejemplos:
1) 5 < 14 ( 5 14 < 0; -9 < 0
2) -6 < 10 ( -6 10 < 0; -16 < PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:
1. Siendo una cantidad mayor que otra y sta mayor que una tercera, entonces la primera cantidad ser mayor que la tercera (principio de transitividad). Es decir:
Si: a > b y b > c, entonces: a > c. Ejemplo:
24 > 13 y 13 > 5, entonces: 24 > 5.
2. Si una cantidad es mayor que otra, entonces sta ser menor que la primera. Es decir.
Si: a > b, entonces: b < a. Ejemplos:
1) Si: 16 > 9, entonces: 9 < 16.',
2) Si: 6 < x, entonces: x > 6.3. Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m ( R entonces: a + m > b + m
a m > b mEjemplos:1) Dada la desigualdad: 8 > 3. Adicionemos 7 a cada miembro: 8 + 7 > 3 + 7 ( 15 > 10 iCierto!2) Dada la desigualdad: 6 > -2. Restemos 5 a cada miembro: 6 5 > - 2 5 ( 1 > - 7 Cierto!
3) Dada la desigualdad: x + 4 < 15. Restemos 4 a cada miembro: x + 4 4 < 15 - 4 ( x < 114. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m > 0 ; entonces: am > bm. Ejemplos:1) Dada la desigualdad: 7 > 2 y adems: m = 6. Entonces: 7 x 6 > 2 x 6
42 > 12 Es verdad!2) Dada la desigualdad: > 10 y adems: m = 2. Entonces: x 2 > 10 x 2 x > 205. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Es decir:
Si: a > b y m < 0 ; entonces: am < bm. Ejemplos:1) Dada la desigualdad: 16 > 5 y m = -3. Entonces:16(-3) < 5(-3) Se invierte el sentido !
- 48 < - 15 Verdadero !2) Dada la desigualdad: < 1 y adems: m = -6. Entonces:- x (-6) > 1 X (-6) Se invierte el sentido! x > - 6
6. Si dividimos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m > 0. Entonces:
Ejemplo:
Si: 35 > 20 y m = 5. Entonces: >
7 > 4 Verdadero !
7. Si dividimos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Es decir:Si: a > b y m < 0. Entonces:
Ejemplo:Si: 40 > 8 y m = - 4.Entonces:
Se invierte el sentido! -10 < -2
Verdadero!
PRCTICA DIRIGIDA N 1
01.-Escribir el smbolo > o < en cada casillero segn corresponda.
1) 12 10
4) (-34) (-4)3
2) 7 9
5) (-2)5 (-5)23) -42 -24
6)
02.- Llenar cada espacio en blanco con un nmero que haga cierto el enunciado.
1) 23 >
4) (-7)4 > ..
2) -5 < ...
5) < (-3)33) 0 >
6) > -5403.- Indicar que enunciado son verdaderos y cules son los falsos:
1) 12 7 > 15 9 ...
2) (-4)(5) > (6)(-3).
3) (5)(2)(4)2 > (15)(2)2 .
4) -8 < -4 < 0 .
5) (4)(3) < (5)(4) < (4)(7) .
6) -10 4 < -4 < 10 4
04.- Completar los casilleros en blanco, escribiendo S o No segn corresponda:
DesigualdadMultiplicando a ambos miembrosCambia el sentido
14 > 9+5
10 > 0-100
-8 < 3+4
-12 < -7-6
5 > -26-8
DesigualdadMultiplicando a ambos miembros por Cambia el sentido
-6 < 64
12 > -4-2
-1/3< 5-9
-15 < -16
1 > -11-18
05.- Si: a > 5. Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son falsos?
1) a + (-9) > 5 + (-9)( )
2) a + 12 > 5 + 12 ( )
3) a x 7 > 5 x 7 ( )
4) ( )
5) a(-4) > 5 (-4) ( )
TAREA DOMICILIARIA 01.- Escribir el smbolo > o < en cada casillero segn corresponda:
1) -4 -3
6) 0 -9
2) -72 (-7)2
7) - 1 13)
8)
4) (-2)6 33
9) 5)
10)
02.- Llenar en cada espacio en blanco con un nmero que haga cierto el enunciado.
1) 23 <
7) (-5)3 > .
2) -15 >
8) 10 <
3) (-6)2
9) -9 >
4) .. > -60
10) <
5) . <
11) >
6) .. > (-5)3
12) .. < 0
03.-Indicar que enunciados son verdaderos y cules son falsos:
1) 17 5 < 24 10 ( )
2) (-6)(8) > (7)(-8) ( )
3) 4 x 52 < 53 ( )
4) -10 > -15 > - 20 ( )
5) -18 < -7 < 1 ( )
6) -1 5 < 0 < 9 7 ( )
04.- Si: -8 < -5. Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son falsos?
1) -8 10 < - 5 10 ( )
2) 8 + 3 > -5 + 3 ( )
3) (-8)(6) < (-5)(6) ( )
4) (-3)(-8) > (-3)(-5) ( )
5) ( )
6) ( )
05.- Dar 5 nmeros enteros que escritos en cada casillero permitan que la desigualdad sea cierta.
1) + 8 < 12
Rpta:
2) - 3 < 3
Rpta:
3) 2( ) ) 5 < 11
Rpta: ..
4) -9 ( +2
Rpta: ..
INTERVALO.- Es aquel subconjunto de los nmeros reales (R), cuyos elementos x estn comprendidos entre los extremos a y b; siendo estos tambin nmeros reales que pueden estar o no incluidos en el intervalo.
CLASES DE INTERVALOS: Se llaman intervalo abierto, al subconjunto de nmeros reales, comprendidos entre a y b. El intervalo abierto se representa: (a; b) o [a; b].
Grficamente:
x ( (a; b) ( a < x < b.
Ejemplo:
Representa grficamente: x ( (-1;4)
II. INTERVALO CERRADO.- Se llama intervalo cerrado, al subconjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b, incluyendo a y b.
El intervalo cerrado se presenta: [a; b].
Grficamente:
x ( [a; b] ( a ( x ( b.
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( [-4; 2].
III. INTERVALOS MIXTOS.- Los intervalos mixtos pueden ser:
1. INTERVALO CERRADO A LA IZQUIERDA Y ABIERTO A LA DERECHA DE EXTREMOS a y b.- Es el subconjunto de los nmero reales x comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo b, sin incluir el extremo b, se representa: [a; b] o [a; b].
Grficamente:
x ( [a; b] ( a ( x < b.
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( [-3; 3].
2. INTERVALO CERRADO A LA DERECHA Y ABIERTO A LA IZQUIERDA DE EXTREMOS a y b.- Es el subconjunto de los nmeros reales x comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo a, se representa: [a; b] o [a; b].
Grficamente:
x ( [a; b] ( a < x ( b
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( [-2; 1].
3. INTERVALO CERRADO EN a POR LA IZQUIERDA.-Es el subconjunto de los nmeros reales x mayores o iguales que a; se representa: [a; +(] o [a; +(].
Grficamente:
x ( [a; (] ( a ( x < + (.
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( [-2; +(].
4. INTERVALO ABIERTO EN a POR LA IZQUIERDA.-
Es el subconjunto de los nmeros reales x mayores que a, se representa: (a; +() o [a; +(].
Grficamente:
x ( [a; +(] o [a; +(] o [a; +(].
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( (-1; +().
05.- INTERVALO CERRADO EN b POR LA DERECHA.- Es el subconjunto de los nmeros reales x menores o iguales que b, se representa: (-(; b) o [-(; b].
Grficamente:
x ( (-(; b) ( -( < x ( b.
Ejemplo:
Representar grficamente: x ( (-( ; 4]
6. INTERVALO ABIERTO EN b POR LA DERECHA.-Es el subconjunto de los nmeros reales x menores que b, se representa: (-( ;b) o [-(; b].
Grficamente:
x ( (-(; b) ( -( < x ( b.
Ejemplo:
Representa grficamente: x ( (-(; 2).
PRCTICA DIRIGIDA N 2a) Expresar de forma de intervalo y grficamente.
01. 5 ( x ( 9
08. 10 ( 0
Rpta:
Rpta: ...
02. -1 ( x ( 4
09. -2 ( x < + (Rpta: ...
Rpta: ...
03. -7 < x < 2
10. -5 ( x < + (Rpta:
Rpta:
04. -3 < x < 5
11. +( > x > -3Rpta:
Rpta: 05. -6 ( x < 1
12. 0 < x < + (
Rpta:
Rpta:
06. 4 ( x ( 8
13. -( < x ( 7
Rpta:
Rpta:
07. 12 > x > -5
14. -( < x < -2Rpta:
Rpta:
b) Dadas las grficas; expresarlo en forma de intervalo.
1.
2.
03.
04.-
05.-
06.-
07.-
08.-
TAREA DOMICILIARIA a) Expresar de forma de intervalo y grficamente.
01. -2 ( x < 10
09. -1 ( x < + (Rpta:
Rpta: ...
02. -4 < x ( 0
10. 12 > x > 5
Rpta: ...
Rpta: ...
03. 7 < x < + (
11. -8 > x ( -10Rpta:
Rpta:
04. -8 ( x ( 2
12. < x ( 3Rpta:
Rpta: 05. < x x > 0
Rpta:
Rpta:
07. - < x (
15. -7 > x > -15
Rpta:
Rpta:
08. -( < x < 9
16. -20 < x < -15
Rpta:
Rpta:
b) Dadas las grficas expresarlo en forma de intervalo.1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Se llama inecuacin de primer grado a toda inecuacin que admite algunas de las siguientes formas:
ax + b > 0
; ax + b ( 0
ax + b < 0
; ax + b ( 0
Donde:
x: es la incognita.
a y b: parmetros / {a; b} ( R
Consideramos a la inecuacin:
ax + b < 0 ( ax < -b
I) Si: a > 0 ( x < -; es decir el conjunto solucin es:
x ( (-(; -).
II) Si: a < 0 ( x > -; es decir el conjunto solucin es:
x ( (-; +().
RESOLUCIN DE INECUACIN DE PRIMER GRADO:
Se produce de la siguiente manera:
1. Suprimimos los signos de coleccin.
2. Reducimos trminos semejantes.3. hacemos transposicin de trminos empleando las propiedades de las desigualdades.4. volvemos a reducir los trminos semejantes.5. se despeja la incgnita.Ejemplo:
Resolver: 4x 8 < x (3x - 4)
Resolucin:
Suprimimos los signos de coleccin.
4x 8 < x (3x - 4)
Reducimos los trminos semejantes:
4x 8 < x 2x + 4
Transponemos trminos:
4x + 2x < 4 + 8
Reducimos trminos:
6x < 12
Despejamos la incgnita (x) dividiendo a ambos miembros por 6;
Graficamos:
x ( (-(; 2).
PRCTICA DIRIGIDA N 3
Resolver las siguientes inecuaciones:
01. x - 7 > 2
09. 6x 7 < 2(x + 1)Rpta:
Rpta: ...
02. x + 12 < 8
10. 2x + 3 > 3(x 2)
Rpta: ...
Rpta: ...
03. 5 x > 0
11. 4(x - 1) + 2 ( x + 5Rpta:
Rpta:
04. 6 6x < 0
12. 3(x + 2) (x -1) > 8 + xRpta:
Rpta: 05. 7x 1 < x + 8
13. x(x + 3) x2 < 2 - xRpta:
Rpta:
06. 5x 8 ( 1 - x
14. 6 (x + 4) ( -3x + 1
Rpta:
Rpta:
07. 3x + 2 ( 23
15. 5(x - 2) < 3(2x + 7)
Rpta:
Rpta:
08. 3 + 2(x - 1) > 5 + x
16. 3x 8 < 5(2x - 3)
Rpta:
Rpta:
TAREA DOMICILIARIA
Resolver las siguientes inecuaciones:
01. x + 12 > 15
09. 9(x+7)6(18+2(x+9)
Rpta:
Rpta: ...
02. x 6 ( 1
10. 2(x+1)+3>5(x2)+7
Rpta: ...
Rpta: ...
03. 4x + 2 < 2x + 12 11. 3x(x+1)+2x(x+2)(5x(x+3)-24
Rpta:
Rpta:
04. 3(2x - 1) > 2(x + 3) 12. 0 ( x +(2x + 1) - (3x + 2)Rpta:
Rpta: 05. 2(x + 1) (x 4) < -x + 13 13. 1 > 7x2-(3x2+1)-4x(x+1)+4x
Rpta:
Rpta:
06. x(x + 5)x(x2)>3(-2 - x) + 2 14. 3(x-4)+7 19c) x < -19d) x < -21e) x > -19
04.- Resolver: x + 7 > 9 indicar el menor valor entero que verifique la inecuacin.
a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
05.- Luego de resolver:
hallar el menor valor entero que verifique la inecuacin.
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7
06.- Luego de resolver: 2(x - 2) > 3x - 10
Indique el mayor valor entero que verifique la inecuacin.
a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4
07.- Resolver: 2x - 5 < x + 3
a) x > 8b) x < 8c) x < 7d) x < -7e) x < 9
08.- Resolver: x + 3 < 3x - 7 indicar el menor nmero entero que toma "x".
a) 7b) 5c) 6d) 8e) 9
09.- Resolver: (x - 1)(x + 2) > (x + 4)(x - 2)
a) x < 6b) x > 6c) x > 5d) x < 5e) x < 7
10.- Resolver la siguiente inecuacin:
3x - 8 > -2x + 2
a) x < 3b) x > 5c) x > 2d) x < 2e) x < 5
11.- De los siguientes enunciados cuntos son verdaderos?
1. ( ................( )
2. ( ................( )3. ( ................( )4. ( ................( )5. ( ................( )a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
12.- De los siguientes enunciados cuntos son verdaderos?
1. -2x > -3 (2x > 3 .............()
2. 2x > -8 (x < 4 ...............()
3. 12x > -24 (x < -2 ..............()
4. -13x < 26 (x > -2 ..............()
5. -4x > 16 (x < -4 ...............()
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
13.- Resolver: 3x - 5 > 2x - 4
a) x < 3b) x < 2c) x < 4d) x < 5e) x > 1
14.- Resolver la siguiente inecuacin:
a) x < 8b) x < 7c) x > 7d) x < 8e) x < 9
13.- Indique el mayor valor entero que verifica la inecuacin:
a) -17b) -18c) -16d) 14e) 17
14.- Resolver:
a)
b)
c)
d)
e)
15.- Dar como respuesta el nmero de soluciones enteras de la siguiente inecuacin:
2x - 5 < x + 3 < 3x - 7
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 516.- Cul es el menor entero que satisface la siguiente inecuacin?
a) 14b) 15c) 16d) 17e) 13
17.- Hallar el menor entero que no satisface a la siguiente inecuacin:
a) -11b) -10c) -12d) 1e) 0
18.- Indicar la suma de los valores enteros y positivos que verifican la inecuacin:
a) 28b) 36c) 49d) 66e) 21
19.- Cul es el mayor nmero entero x que verifica:
a) -2b) -1c) 0d) 1e) 2
20.- Encontrar el menor nmero natural par que verifica:
a) 8b) 6c) 4d) 10e) 12
21.- Cul es el menor nmero natural impar que verifica la siguiente inecuacin?
a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9
22.- Hallar le valor de x, entero positivo, que satisface a la inecuacin siguiente?
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
23.- El mayor entero que cumpla relacin:
Es tal que la mitad del cuadrado del consecutivo dicho valor es:
a) 16b) 20c) 18d) 12e) 14
24.- Resolver:
a) x (
e) x ( [1, 4; + (>
Captulo 1
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED PBrush
C.E.P. Santa Mara de la Providencia
Captulo 3
Captulo 2
EMBED MSPhotoEd.3
140
Cuarto Periodo 1ero. de Secundaria
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