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Iniciativa de la Matemática Progresiva
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Algebra I
PolnomiosParte 1
www.njctl.org
2012-05-03
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Tabla de Contenidos
· Definiciones de Monomio, Polinomio y grados· Adición y sustracción de polinomios· Multiplicación de
Monomios· División de Monomios
· Multiplicación de Polinomios
· Multiplicación de un polinomio por un monomio
· Productos especiales de Binomios (Productos Notables)
· Resolución de ecuaciones por factoreo
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Definiciones de Monomio, Polinomio y grados
Volver
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Un monomio es una expresión de un término formada por un número, una variable, o el producto de números y variables.
Ejemplos de monomios....
81y4z
17x2
4x 28
mn3
rt6
32,457
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a + b - 5
5x + 7 x2(5 + 7y)
6+ 5rs
7x3y5 - 4
Monomios
Arrastra los siguientes términos a la caja seleccionadora correcta. Si seleccionás correctamente, el término será visible. Si seleccionás de modo incorrecto, el término desaparecerá.
48x2yz3
4(5a2bc2)
t
16- 12
15xy4
7
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Un polinomio es una expresión que contiene dos o más monomios.
Ejemplos de polinomios... .
5+ a2
8x3 + x2c2 + d
8a3- 2b2
4c- mn3rt6
a4b15
+
7+ b+ c2+ 4d3
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El grado de los MonomiosEl grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado de una constante distinta de cero como 5 o 12 es 0. La constante 0 no tiene grado.
Ejemplos:1) El grado de 3x es 1. La variable x tiene grado 1.
2) El grado de -6x3y es 4. La x tiene un exponente de 3 y la y tiene una potencia de 1, así que el grado es 3+1=4.
3) El grado de 9 es 0. Una constnte tiene grado 0, porque no hay variable.
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1 ¿Cuál es el grado de ?
A 0
B 1C 2D 3
Slide 9 / 128
2 ¿Cuál es el grado de ?
A 0
B 1C 2D 3
Slide 10 / 128
3 ¿Cuál es el grado de 3 ?
A 0
B 1C 2D 3
Slide 11 / 128
4 ¿Cuál es el grado ?
Slide 12 / 128
Grado de un polinomio
Ejemplo:Encuentre el grado del polinomio 4x 3y2 - 6xy2 + xy. El monomio 4x3y2 tiene grado 5, El monomio 6xy2 tiene 3, y el monomio xy tiene grado 2. El grado mayor es 5, así que el grado del polinomio es 5.
El grado de un polinomio es el mismo que el del término con el grado más grande.
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Encuentre el grado de cada polinomio
1) 32) 12c3
3) ab4) 8s4t
5) 2 - 7n
6) h4 - 8t
7) s3 + 2v2y2 - 1
Respuestas: 1) 0
2) 3 3) 2 4) 5
5) 1 6) 4
7) 4
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5 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?
A 3
B 4C 5D 6
Slide 15 / 128
6 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?
A 3
B 4C 5D 6
Slide 16 / 128
7 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?
A 3
B 4C 5D 6
Slide 17 / 128
8 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?
A 3
B 4C 5D 6
Slide 18 / 128
Sumar y restar polinomios
Volver
Slide 19 / 128
Forma Estándar
La forma estándar de una ecuación es poner los términos con los términos ordenados del grado mayor al grado menor.
La forma estándar es el modo esperado comúnmente para escribir polinomios.
Ejemplo: es en forma estándar.
Poner en forma estándar la siguiente ecuación:
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Monomios con las mismas variables y las mismas potencias son términos semejantes.
Términos Semejantes Términos no semejantes 4x y -12x -3b y 3a x3y y 4x3y 6a2b y -2ab2
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Combine estos términos semejantes usando la operación indicada.
Slide 22 / 128
9 Simplificar
A
B
C
D
Slide 23 / 128
10 Simplificar
A
B
C
D
Slide 24 / 128
11 Simplificar
A
B
C
D
Slide 25 / 128
Para sumar polinomios, combinar los términos semejantes de cada polinomio.
Para sumar verticalmente, primero encolumnar los términos semejantes y luego sumar.
Ejemplos:(3x2 +5x -12) + (5x 2 -7x +3) (3x 4 -5x) + (7x4 +5x2 -14x)
Encolumnar términos Encolumnar términos semajntes Semejantes 3x2 + 5x - 12 3x 4 -5x (+) 5x2 - 7x + 3 (+) 7x4 +5x2 - 14x 8x2 - 2x - 9 10x 4 +5x2 - 19x
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Podemos sumar también horizontalmente (3x2 + 12x - 5) + (5x2 - 7x - 9)
Usar las propiedades asociativas y conmutativas para agrupar términos semejantes.
(3x2 + 5x2) + (12x + -7x) + (-5 + -9)
8x2 + 5x - 14
Slide 27 / 128
12 Sumar
A
B
C
D
Slide 28 / 128
13 Sumar
A
B
C
D
Slide 29 / 128
14 Sumar
A
B
C
D
Slide 30 / 128
15 Sumar
A
B
C
D
Slide 31 / 128
16 Sumar
A
B
C
D
Slide 32 / 128
Para restar polinomios, resta los coeficientes de los términos semejantes.
Ejemplo: -3x - 4x = -7x
13y - (-9y) = 22y
6xy - 13xy = -7xy
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Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente.
Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. Distribuya el -1 aplicando distributiva y luego
siga las reglas para suamr polinomios.(3x2 +4x -5) - (5x 2 -6x +3)
(3x2+4x-5) +(-1) (5x2-6x+3)(3x2+4x-5) + (-5x 2+6x-3)
3x 2 + 4x - 5 (+) -5x2 - 6x + 3
-2x 2 +10x - 8
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Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente.
Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. Distribuya el -1 aplicando distributiva y luego siga las
reglas para suamr polinomios.(4x3 -3x -5) - (2x3 +4x2 -7)
(4x3 -3x -5) +(-1)(2x3 +4x2 -7)(4x3 -3x -5) + (-2x 3 -4x2 +7)
4x 3 - 3x - 5 (+) -2x3 - 4x2 + 7 2x 3 - 4x2 - 3x + 2
Slide 35 / 128
También podemos restar polinomios horizontalmente.
(3x2 + 12x - 5) - (5x 2 - 7x - 9)
Cambia la resta en suma agregando un -1 y distribuyendo es -1 .
(3x2 + 12x - 5) +(-1)(5x 2 - 7x - 9)(3x2 + 12x - 5) + (-5x 2 + 7x + 9)
Usa las propiedades conmutativa y asociativa para agrupar términos semejantes .(3x2 +-5x2) + (12x +7x) + (-5 +9)
-2x2 + 19x + 4
Slide 36 / 128
17 Substraer
A
B
C
D
Slide 37 / 128
18 Substraer
A
B
C
D
Slide 38 / 128
19 Substraer
A
B
C
D
Slide 39 / 128
20 Substraer
A
B
C
D
Slide 40 / 128
21 Substraer
A
B
C
D
Slide 41 / 128
22 ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura (las respuestas están en unidades)
A
B
C
D
Slide 42 / 128
Multiplicción de Monomios
Volver
Slide 43 / 128
Recordar: un monomio es una expresión formada por un número, una variable o el producto de números y variables..
Ahora que sabemos cómo sumar y restar polinomios, necesitamos aprender cómo mult iplicarlsos. Comencemos con dos monomios.
Escribe esta expresión en forma expandida. (sin exponentes)
(x x x x )(x x x )
Simplif ica. (x elevada una potencia)
x7
¿Podrías ver la regla que se usa como atajo para encontrar el producto de potencias?
Desliza
Desliza
Slide 44 / 128
Multiplicando monomios sin coeficientes
Regla: am an = am + n
Ejemplos:
x4 x7 = x4 + 7 = x11
a3b5 a2b6 = a3+2b5+6 = a5b11
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Multiplicación de monomios con coeficientes.
6x3 7x4
reagrupar los coeficientes (6 7) (x3 x4)y las variables.
multiplica los números 42x7 usa la regla para multiplicar los exponentes
Slide 46 / 128
Multiplicación de Monomios
-3x7y3 9x4y6
(-3 9) (x7x4) (y3y6)
-27x11y9
Slide 47 / 128
Producto de potenciasAl multiplicar monomios con bases iguales, suma los exponentes.
Ejemplos
1)
2)
3y7
12a8b8
Deslizar
Deslizar
Slide 48 / 128
23 El producto de 4ab2 6a3b es 10a4b3.
True
False
Slide 49 / 128
24 Multiplica
A
B
C
D
Slide 50 / 128
25 Cuál es el coeficiente de ?
Slide 51 / 128
26 ¿Cuál es el grado del producto ?
Slide 52 / 128
27
A
B
C
D
Slide 53 / 128
Ahora intenta esto
Al expandir la expresión, tenemos
¿Podrías ver la regla que puede usarse como atajo para simplificar una potencia de una potencia?
Deslizar
Slide 54 / 128
¿Se aplica tu regla para el ejemplo anterior, a este ejemplo?
Expandiendo la expresión queda
¿Se puede refinar la regla para que pueda usarse como atajo para simplificar la potencia de un producto?
( )( )( )= Deslizar
Slide 55 / 128
Potencia de una potenciaRegla:
Ejemplos:
2)
1)
Deslizar
Deslizar
Slide 56 / 128
28 Simplifica
A
B
C
D
Slide 57 / 128
29 Simplifica
A
B
C
D
Slide 58 / 128
30 Simplifica
A
B
C
D
Slide 59 / 128
31 Simplifica
A
B
C
D
Slide 60 / 128
División de Monomios
Volver
Slide 61 / 128
x x x x x x x
x x x
Considera: x7
x3
Escribe en notación expandida.
Simplifica.
x x x x x x x
x x x
1 11
11 1
x4=
¿Podrías dar una regla que sirva como atajo para dividir monomios con base semejante?
Slide 62 / 128
División de monomios de igual base
Regla:
Ejemplos:
Slide 63 / 128
Ahora, considera esto:
x3
x5
x x xxxx x x
Escribe en notación expandida.
Simplifica. 1 11
11 1
=x x x
xxx x x1x2
Si usáramos el atajo restando los exponentes, tendríamos:
= x3 - 5 = x- 2x3
x5
Como es imposible tener dos resultados diferentes a este problema, concluimos que:
Slide 64 / 128
Regla del exponente negativo
Para todos los reales, .
Ejemplos:
Slide 65 / 128
Ahora, considera esto:
x x x x
xx x x
Escribe en notación expandida.
Simplifica. 1 11
1
1
1
x x x x
xx x x11
1=
Si hiciéramos esto usando el atajo de restar los exponentes, tendríamos: x4
x4 = x4 - 4 = x0
Como es imposible tener dos respuestas distintas a este problema, .
Slide 66 / 128
Regla del exponente cero
Para todos los reales distintos de cero, .
Slide 67 / 128
Reglas
Slide 68 / 128
Ejemplos
k9
k31)
h3
h103)
g8
g4)
d5
d52)
6)
p5
p185)
k6
1
g7
1
1p13
1h7Slide to check. Slide to check.
Combina los términos semejantes. En la forma más sencilla de modo que no haya exponentes negativos.
Deslizar
Deslizar Deslizar
Deslizar
Slide 69 / 128
b5
c2d2
1g3h11
g- 2h- 4
gh73)
m- 4n2p5
(mnp8)2
4) m6p11
Ejemplos
j- 4k9
j- 7k- 21)
b0cd- 3
b- 5c3d- 12)
j3k11
Intentemos ahora, unos problemas más:
DeslizarDeslizar
Deslizar Deslizar
Slide 70 / 128
32 Simplifica
A
B
C
D
Slide 71 / 128
33 Simplifica
A
B
C
D
Slide 72 / 128
34 Simplifica
A
B
C
D
Slide 73 / 128
35 Simplifica
A
B
C
D
Slide 74 / 128
36 Simplifica
A
B
C
D
Slide 75 / 128
37 Simplifica
A
B
C
D
Slide 76 / 128
38 Simplifica
A
B
C
D
Slide 77 / 128
39 Simplifica
A
B
C
D
Slide 78 / 128
40 Simplifica
A B
C D
x4
y4z5
x0
y4z5
x4
y3z5
1
y4z5
x2y- 3z0
x- 2yz5
Slide 79 / 128
41 Simplifica
A B
C D
x5y4z0 xy4
x- 5y4z0 xy4z0
x- 2y4zx- 3z
Slide 80 / 128
42 Simplifica
A
B
C
D
1751x4y4z3
13y3z3
13x4y4z3
1751x0y3z3
17x- 2y- 3
51x2yz3
Slide 81 / 128
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Volver
Slide 82 / 128
Hallar el área total de los rectángulos
3
5 8 4
unidades cuadradas
unidades cuadradas
Slide 83 / 128
Para mult iplicar un polinomio por un monomio, se usa la propiedad distribut iva junto con las leyes de los exponentes para la mult iplicación.Ejemplos: Simplificar
- 2x(5x2 - 6x + 8)
- 2x(5x2 + - 6x + 8)
(- 2x)(5x2) + (- 2x)(- 6x) + (- 2x)(8)
- 10x3 + 12x2 + - 16x
- 10x3 + 12x2 - 16x
Slide 84 / 128
Para mult iplicar un polinomio por un monomio, se usa la propiedad distribut iva junto con las leyes de los exponentes para la mult iplicación.
Ejemplos: Simplificar
- 3x2(- 2x2 + 3x - 12)
- 3x2(- 2x2 + 3x + - 12)
(- 3x2)(- 2x2) + (- 3x)(3x) + (- 3x)(- 12)
6x4 + - 9x2 + 36x
6x4 - 9x2 + 36x
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12x4y3 - 15x3y4 + 24x2y5
Intentémoslo Mult iplica para simplif icar.1.
2. 4x2(5x2 - 6x - 3)
3. 3xy(4x3y2 - 5x2y3 + 8xy4)
- 2x4 + 4x 3 - 7x2
20x4 - 24x3 - 12x
Slide to check.
Deslizar
Deslizar
Slide 86 / 128
43 ¿Cuál es el área del rectángulo mostrado?
A
B
C
D
x2x2 + 2x + 4
Slide 87 / 128
44
A
B
C
D
6x 2 + 8x - 12
6x 2 + 8x 2 - 12
6x 2 + 8x 2 - 12x
6x 3 + 8x 2 - 12x
Slide 88 / 128
45
A
B
C
D
Slide 89 / 128
46
A
B
C
D
Slide 90 / 128
47 Hallar el área de un triángulo (A=1/2bh) con una base de 4x y una altura de 2x - 8. Todas las respuestas están en unidades cuadradas.
A
B
C
D
Slide 91 / 128
Multiplicación de Polinomios
Volver
Slide 92 / 128
Encontrar el área total de los rectángulos.5 8
2
6
sq.units
Área del rectángulo grandeÁrea de los rectángulos horizontalesÁrea de cada caja
Slide 93 / 128
sq.units
Observemos el ejemplo del ejemplo anterior,
De a , hemos cambiado el problema para tener un monomio por un polinomio, en vez de un polinomio por un polinomio.Use esto para resolver el siguiente ejemplo.
Slide 94 / 128
Encuentre el área total de los rectángulos2x 4
x
3
Slide 95 / 128
Para mult iplicar un polinomio por otro polinomio, se mult iplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Luego se suman los términos semejantes.Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
(2x + 4y)(3x + 2y)2x(3x + 2y) + 4y(3x + 2y)2x(3x) + 2x(2y) + 4y(3x) + 4y(2y)6x 2 + 4xy + 12xy + 8y 2
6x 2 + 16xy + 8y 2
Slide 96 / 128
El Método PEIU puede utilizarse para recordar cómo multiplicar dos binomios.Para multiplicar dos binomios, encuentra la suma dePrimero términos Externos, Términos Internos y Últimos
Ejemplo:
Primero Externos Internos Últimos
Slide 97 / 128
x2 - 7x + 12
2x3 + x2 - 14x - 16
¡Inténtalo! Encuentra cada producto
1) (x - 4)(x - 3)
2) (x + 2)(2x2 - 3x - 8)
Deslizar
Deslizar
Slide 98 / 128
8x2 - 2xy - 15y2
x4 + x3 - 8x2 + 24x - 24
3) (2x - 3y)(4x + 5y)
4) (x2 + 3x - 6)(x2 - 2x + 4)
¡Inténtalo! Encuentra cada producto
Deslizar
Deslizar
Slide 99 / 128
48 ¿Cuál es el área total de los rectánglos mostrados?
A
B
C
D
4x 5
2x
4
Slide 100 / 128
49
A
B
C
D
Slide 101 / 128
50
A
B
C
D
Slide 102 / 128
51
A
B
C
D
Slide 103 / 128
52
A
B
C
D
Slide 104 / 128
53 Encuentra el área de un cuadrado con lados que miden:
A
B
C
D
Slide 105 / 128
54 ¿Cuál es el área del rectángulo (en unidades cuadradas)?
A
B
C
D
Slide 106 / 128
¿Cómo podríamos encontrar el área de la región sombreada?
Área sombreada = Área Total - Área sin sombrear
sq. units
Slide 107 / 128
55 ¿Cuál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas?
A
B
C
D
11x 2 + 3x - 8
7x 2 + 3x - 9
7x 2 - 3x - 10
11x 2 - 3x - 8
Slide 108 / 128
56 ¿Cuál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas?
A
B
C
D
2x 2 - 2x - 8
2x 2 - 4x - 6
2x 2 - 10x - 8
2x 2 - 6x - 4
Slide 109 / 128
Productos binomiales especiales(Productos Notables)
Volver
Slide 110 / 128
El cuadrado de una suma
(a + b)2 (a + b)(a + b) a2 + 2ab + b2
El cuadrado de a+ b es el cuadrado de a más el doble del producto de a y be más el cuadrado de b.
Ejemplo: (5x + 3)2
(5x + 3)(5x + 3) 25x2 + 30x + 9
Slide 111 / 128
Cuadrado de una diferencia
(a - b)2 (a - b)(a - b) a2 - 2ab + b2
El cuadrado de a - b es el cuadrado de a menos el doble del producto de a y b más el cuadrado de b.
Ejemplo: (7x - 4)2
(7x - 4)(7x - 4) 49x2 - 56x + 16
Slide 112 / 128
Producto de una suma y una diferencia (a + b)(a - b) a2 + - ab + ab + - b2 Note los - ab y ab a2 - b2 es igual a 0.
El producto de a + b y a - b es el cuadrado de a menos el cuadrado de b.
Ejemplo: (3y - 8)(3y + 8) Recuerde que los términos interior 9y2 - 64 y exterior son igual a 0.
Slide 113 / 128
Intenéntalo! Encontrar cada producto
1. (3p + 9)2 9p2 + 54p + 81
2. (6 - p)2 36 - 12p + p2
3. (2x - 3)(2x + 3) 4x2 - 9
Deslizar
Deslizar
Deslizar
Slide 114 / 128
57
A
B
C
D
x2 + 25
x2 + 10x + 25
x2 - 10x + 25
x2 - 25
Slide 115 / 128
58
A
B
C
D
Slide 116 / 128
59 ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 2x + 4?
A
B
C
D
Slide 117 / 128
60
A
B
C
D
Slide 118 / 128
Resolución de ecuaciones
Return toTable ofContents
Slide 119 / 128
Dada la siguiente ecuación, ¿A qué conlusión puede llegarse?
ab = 0
Como el producto es 0, uno de los factores a, o b debe ser 0.
Esto se conoce como Propiedad del elemento neutro.
Slide 120 / 128
Propiedad del elemento nulo
Regla: Si ab=0, entonces o a=0 o b=0
Slide 121 / 128
Dada la siguiente ecuación ¿A qué conclusión se puede llegar?
(x - 4)(x + 3) = 0
Como el producto es 0, uno de los factores debe ser 0. Por lo tanto, o x - 4 = 0 o x + 3 = 0.
x - 4 = 0 o x + 3 = 0 + 4 + 4 - 3 - 3
x = 4 o x = - 3Por lo tanto, nuesro conjunto solución es {- 3, 4}. Para verif icar los resultados,
sust ituye cada solución en la ecuación original.
(x - 4)(x + 3) = 0
(- 3 - 4)(- 3 + 3) = 0(- 7)(0) = 0
0 = 0
Verif icar x = - 3: (x - 4)(x + 3) = 0
(4 - 4)(4 + 3) = 0(0)(7) = 0
0 = 0
Verif icar x = 4:
Slide 122 / 128
¿Qué pasaría si te dieran la siguiente ecuación?
(x - 6)(x + 4) = 0
Por la propiedad del elemento nulo:
x - 6 = 0 or x + 4 = 0 x = 6 x = - 4
Luego de resolver cada ecuación, llegamos a nuestra solución
{- 4, 6}
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61 Resuelve (a + 3)(a - 6) = 0.
A {3 , 6}
B {-3 , -6}
C {-3 , 6}
D {3 , -6}
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62 Resuelve (a - 2)(a - 4) = 0.
A {2 , 4}
B {-2 , -4}
C {-2 , 4}
D {2 , -4}
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63 Resuelve (2a - 8)(a + 1) = 0.
A {-1 , -16}
B {-1 , 16}
C {-1 , 4}
D {-1 , -4}
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Términos Clave
· Suma y resta de Polinomios· Definición de Monomios, Polinomios y Grado
· Multiplicación de Monomios· División por monomios· Multiplicación de un polinomio por un monomio
· Productos binomiales especiales· Multiplicación de polinomios
· Resolución de ecuaciones por Factoreo
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