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8/17/2019 Algebra Lineal Unidad Cuatro
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Índice de contenido.
Página
Unidad 4. Espacios vectoriales. 2-16
4.1 Defnición de espaciosvectoriales………………………………………….... 2
4.2 Defnición de suespacio vectorial ! suspropiedades………………. "
4." #o$inación lineal e %ndependencialineal……………………………….. &
4.4 'ase ! di$ensión de un espacio vectorial !ca$io de ase…… 1(
4.& Espacio vectorial con producto interno ! suspropiedades………14
'iliogra)*a……………………………………………………………………………………1&
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4.1.- Espacio vectorial.
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominadosvectores, junto con dos operaciones binarias llamadas su$a !$ultiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas
enumerados a continuación.
+,io$as de un espacio vectorial.
1. Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V !erradura bajo la suma".
#. $ara todo x , y , z en V, x + y " + z % x + y + z"&ey asociati'a de la suma de 'ectores"
(. )xiste un 'ector ( Є V tal que para todo x Є V, x + ( % ( + x % x
*. Si x Є V, existe un 'ector x en V tal que x + x " % ( x se llama in'erso aditi'o de x "
. Si x y y est-n en V, entonces x + y % y + x .&ey conmutati'a de la suma de 'ectores".
. Si x Є V y / es un escalar, entonces α x Є V!erradura bajo la multiplicación por un escalar".
0. Si x y y est-n en V y α es un escalar, entonces α x + y " % α x + αy
$rimer ley distributi'a"
. Si x Є V y α y 2 son escalares, entonces α + 2" x % α x + 2 x
Se3unda ley distributi'a"
4. Si x Є V y α y 2 son escalares, entonces α2 x " % α2" x
&ey asociati'a de la multiplicación por escalares"
15. $ara cada 'ector x Є V, 1 x % x .
1
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4.2.- uespacio vectorial.
Defnición Sea H un subconjunto no 'ac6o de un espacio 'ectorial V ysupon3a que H es en s6 un espacio 'ectorial bajo las operaciones desuma y multiplicación por un escalar de7nidas en V . )ntonces se diceque 8 es un subespacio de V
$ara que H sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades decierre de la suma y la multiplicación por un escalar tambi9n debecumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el in'erso bajo la sumay el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Propiedades
I. Si x H y y H, entonces x + y H.
%%. Si x H, entonces αx H para todo escalar α.
#
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)jemplos:
(
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4.".- #o$inación lineal. E independencia lineal.
#o$inación lineal.
Se ;a 'isto que todo 'ector ' % a, b, c" en R( se puede escribir en laforma
V % ai 1 b j 1 ck
Defnición )n cuyo caso se dice que ' es una combinación lineal de lostres 'ectores i, / y 0 . <e manera m-s 3eneral, se tiene la si3uientede7nición.
Sean v1, v2, . . . , vn. 'ectores en un espacio 'ectorial V. )ntonces
cualquier 'ector de la forma
a1v1 + a2v2 + . . . + anvn
donde, a1, a2, . . . , an son escalares se denomina una co$inaciónlineal de
v1, v2, . . . , vn.
)jemplo 1: Una combinación &ineal en ( .
)jemplo #: Una combinación lineal en M23.
)jemplo (: !ombinaciones lineales en Pn
)n Pn todo polinomio se puede describir como una combinación lineal de
los =monomios> 1, x, x 2 ,…, x n.
*
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%ndependencias lineales.
%ntroducción )n el estudio del -l3ebra lineal, una de las ideascentrales es la de dependencia o independencia lineal de los 'ectores.)n esta sección se de7ne el si3ni7cado de independencia lineal y semuestra su relación con la teor6a de sistemas ;omo39neos deecuaciones y determinantes.
?)xiste una relación especial entre los 'ectores
@
por supuesto, se puede apreciar que '# #'1A o si se escribe estaecuación de otra manera,
#1 2 % (
)n otras palabras, el 'ector cero se puede escribir como unacombinación no tri'ial de '1 y '# es decir, donde los coe7cientes en lacombinación lineal no son ambos cero". ?Bu9 tienen de especial los'ectores
v 1% @ @ &a respuesta a esta pre3unta es:
m-s dif6cil a simple 'ista. Sin embar3o, es sencillo 'eri7car que v" % (v1 + #v2A rescribiendo esto se obtiene
(1 C #2 " % (
Se ;a escrito el 'ector cero como una combinación lineal de '1, '# y '(.$arece que los dos 'ectores en la ecuación 1" y los tres 'ectores en la
ecuación #" tienen una relación m-s cercana que un par arbitrario de #C'ectores o una terna arbitraria de (C'ectores. )n cada caso, se dice quelos 'ectores son linealmente dependientes. )n t9rminos 3enerales, setiene la importante de7nición que a continuación se presenta.
Defnición Sean v 1 , v 2 , … , v n , n 'ectores en un espacio 'ectorial V .)ntonces se dice que los 'ectores son linealmente dependientes si
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existen n escalares c1 , c2 , . . . , cn no todos cero tales que c1v 1 + c2v 2
+ … + cnv n = 0
Si los 'ectores no son linealmente dependientes, se dice que sonlinealmente independientes.
$ara decirlo de otra forma, '1, '#, D , 'n son linealmente independientessi la ecuación c1'1 + c#'# + . . . + cn'n % 5 se cumple Enicamente parac1 % c# % . . . % cn % 5. Son linealmente dependientes si el 'ector cero enV se puede expresar como una combinación lineal de '1, '#, . . . , 'n concoe7cientes no todos i3uales a cero. Fota. Se dice que los 'ectores'1, '#, . . . , 'n son linealmente independientes o dependientes", o que elconjunto de 'ectores G'1, '#, . . . , 'nH es linealmente independiente odependiente". )sto es, se usan las dos frases indistintamente.
?!ómo se determina si un conjunto de 'ectores es linealmente
dependiente o independiente@ )l caso de #C'ectores es sencillo.3eore$a <os 'ectores en un espacio 'ectorial son linealmentedependientes si y sólo si uno de ellos es un mEltiplo escalar del otro.$rimero supon3a que v 2 + cv 1 para al3En escalar c I 0. )ntonces cv 1 –
v 0 y v 1 y v 2 son linealmente dependientes. $or otro parte, supon3aque v 1 y v 2 son linealmente dependientes. )ntonces existen constantesc1 y c2 al menos uno distinto de cero, tales que c1'1 1 c#'# 5. Si c1 I5, entonces di'idiendo entre c1 se obtiene v1 + c#Jc1"v# % 0, o sea,
V 1 !"#1 $c2 % v 2
)s decir, v 1 es un mEltiplo escalar de v #. Si c1 % 5, entonces c# I 5 y, porlo tanto, v # % 5 % 5v 1.
)jemplo1: <os 'ectores linealmente dependientes en K*
)jemplo #: <os 'ectores linealmente dependientes en K(.
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)jemplo (: <eterminación de la dependencia o independencia lineal detres 'ectores en K(
0
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)jemplo *: <eterminación de la dependencia lineal de tres 'ectores en K(
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4.4.- 'ase ! di$ensión de un espacio vectorial. #a$iode ase
'ase de un espacio vectorial.
%ntroducción
Defnición Un conjunto 7nito de 'ectores Gv 1 , v 2 , . . . , v nH es una base paraun espacio 'ectorial V si L. Gv 1 , v 2 , . . . , v nH es linealmente independiente.
LL. Gv1 v2 . . . vnH 3enera a V .
Ma se ;an analizado al3unos ejemplos de bases. )n el teorema *..0, porejemplo, se 'io que cualquier conjunto de n 'ectores linealmenteindependientes en n 3enera a n. <e esta forma,
Nodo conjunto de n 'ectores linealmente independiente en n es una base en n.
)jemplo: una base para un sub espacio R(
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Di$ensión.
Defnición Si el espacio 'ectorial V tiene una base con un nEmero 7nito de
elementos, entonces la dimensión de V es el nEmero de 'ectores en todas lasbases y V se denomina espacio vectorial de di$ensión fnita. <e otramanera , V se denomina espacio 'ectorial de dimensión in7nita. Si V %G(H, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
5otación. &a dimensión V se denota por di$ V .
)jemplo 1: <imensiones de Rn
!omo n 'ectores linealmente independientes en n constituyen una base, seobser'a que
di$ Rn n
)jemplo #: &a dimensión de &n
S6 los polinomios G1, x, x#, . . . , xnH constituyen una base en &n. )ntonces di$&n = n + 1.
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)jemplo (: &a dimensión de 7$n.
)n Omn sea Pij la matriz de m ( n con un uno en la posición ij y cero en otraparte. )s sencillo demostrar que las matrices P ij para i 1, #, . . . , m y j % 1,#, . . . , n forman una base para Omn. Ps6, dim Omn % mn.
)jemplo *: & tiene dimensión in7nita.
Si se sabe que nin3En conjunto 7nito de polinomios 3enera a &. )ntonces $ notiene una base 7nita y, por lo tanto, es un espacio 'ectorial de dimensiónin7nita.
#a$io de ase.
En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica . )n Kn se
de7nió la base canonica . )n $n se de7nió la base estandra como
. )stas bases se usan ampliamente por la sencillez queofrecen a la ;ora de trabajar con ellas. $ero en ocasiones ocurre que es mascon'eniente al3una otra base. )xiste un numero in7nito de bases para ele3ir,
ya que en un espacio 'ectorial de dimensión n, cualesquiera n 'ectores,linealmente independientes, forman una base. )n esta sección se 'era comocambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. Lniciaremos
por un ejemplo sencillo. Sean u . entonces, es la
base canonica en K#. Sean !omo '1 y '# son linealmente
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independientes porque '1 no es un mEltiplo de '#", es una
se3unda base en K#. Sea un 'ector en K#. )sta notación si3ni7ca que
)s decir, x esta expresando en t9rminos de los 'ectores de la base Q. para
;acer ;incapi9 en este ;ec;o, se escribe !omo Q es otra base en
K#, existen escalares c1 y c# tales que 1" Una 'ez que se
encuentran estos escalares. Se puede escribir para indicar que xesta a;ora expresado en t9rminos de los 'ectores en Q. para encontrar los
nEmeros c1 y c#, se escribe la base anterior en t9rminos de la nue'a base. )s
sencillo 'eri7car que #"
y es decir,
)ntonces,
Ps6, de 1",
ó
$or ejemplo, si
1#
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entonces
1(
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4.&.- Espacio vectorial con producto interno ! suspropiedades
Un espacio 'ectorial complejo V se denomina espacio con productointerno si para cada par ordenado de 'ectores u y v en V , existe un
nEmero complejo Enico u, v ", denominaC do producto interno de u y v ,tal que si u, v y ' est-n en V y a / R ! , entonces se dan las si3uientespropiedades
(. !V ,V%%0((. !V , V % si y solo si V % 0(((. !u, V + )% !*,V% + !*,)%(V. !* +V , )% !*,)% + !V ,)%V. !*, V% !*, V%V(. !*, V% !*, V%V((. !* , V% !*, V%
&a barra en las condiciones '" y 'LL" denota el conju3ado complejo.
Fota. Si u, '" es real, entonces u, '" + u, '" y se puede eliminar labarra en '".
)jemplo 1: producto interno de dos 'ectores en !(
)n !( sean x%1+i, C(, *C(i" y y%#Ci, Ci, #+i". entonces
Sea V un espacio con producto interno y supon3a que u y ' est-n en V.entonces
Fota 1. Pqu6 se usa la doble barra en lu3ar de una sola para e'itarconfusión con el 'alor absoluto. $or ejemplo Tsen tT denota la norma desen t como un ='ector> en !5, #W mientras que Xsen tX denota el 'alorabsoluto de la función sen t.Fota #. &a ecuación anterior tiene sentido ya que u, u"Y5.
1*
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)jemplo #: dos 'ectores orto3onales en c#
)n !# los 'ectores (,Ci" y #,i" son orto3onales porque
'iliogra)*a
1
Pl3ebra &ineal V: SubespaciosVectoriales. Z
[os9 Oar6a Kico Oart6nez
<epartamento de Ln3enier6aOec-nica
\acultad de Ln3enier6a Oec-nica)l9ctrica y electrónica
Uni'ersidad de ]uanajuato
Álgebra lineal
Sexta edición
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