ETSEIB
ÀLGEBRA LINEAL - SOLUCIONS DELS PROBLEMES
Tardor 2018
Unitat 1
1.1 Nombres complexos
1. −z és el vector oposat a z. z−1 = z és la reflexió de z respecte l’eix real.
2. (a) 29. (b) 12 + 4√
3 + (12 − 4√
3)i. (c) 3−√
32 +
3+√
32 i. (d)
12 +
√3
2 i. (e)272 +
792 i. (f)
6345525 +
3885525i.
3. 3√
2 + 3√
2i, 2 − 2√
3i, −5, 3i.
4. (a) 1 + 7i. (b) 325 +425 i. (c) −4 − 5i. (d) 24 − 32i. (e) − i3 . (f) − 122025 + 92025i.
5. −32 .
6. 4√
2e−π
4i, 2
√3e
π
3i, 4
√3e
π
6i, 4
√2e
π
4i, 2
√3e
2π
3i, 4
√3e−
5π
6i,√
2eπ
4i,√
6eθi amb θ = π−arctg 1√5
=
2.721, 2eπ
6i.
7.√
2−3π/4, 2√
23π/4, 128π/3, 16−2π/3, (481)5π/6.
8. (a) −118 − 31√
3i. (b) −8i. (c) 8i. (d) −64√
3 + 64i.
9. (a)√
22 +
√2
2 i, −√
22 −
√2
2 i. (b)√
32 +
i2 , −
√3
2 +i2 , −i. (c) 32 +
√3 + (1− 32
√3)i. (d) 12 +
√3
2 i.
(e) 0. (f) ±225i. (g) 8 + 8√
3i, 8 − 8√
3i, −16.
10. (a) ±1, ±i, ±√
22 ±
√2
2 i. (b) ±(√
2+√
22 −
√2−
√2
2 i
)
, ±(√
2−√
22 +
√2−
√2
2 i
)
. (c) 1.059 −0.168i, 0.487+0.955i, −0.778+0.778i, −0.955−0.487i, 0.168−1.059i (es pot posar en formaexacta...). (d) ±
√3
2 ± i2 , ±i.
11. (a) 1.618± 0.588i, −0.618± 1.902i, −2 (admet forma exacta utilitzant cos π5 = 1+√
54 , sin
π5 =√
5−√
58 ). (b) 0, −12 ±
√3
2 i. (c) ±12 ±√
32 i.
12. (a) 1, i,−1,−i sumen 0. (b) Les arrels n-èsimes de z ∈ C són les arrels del polinomi xn − z.Si aquestes són z1, z2, · · · , zn:
xn − η = (x− z1)(x− z2) · · · (x− zn) = xn − (z1 + z2 + · · ·+ zn)xn−1 + · · ·+ (−1)nz1z2 · · · zn.
Comparant els polinomis ha de ser z1 + z2 + · · ·+ zn = 0 i z1z2 · · · zn = −(−1)nz.
13. (a) Si z = rθ, 4√
rθ =4√
rθ/4,4√
rθ/4+π/2,4√
rθ/4+π,4√
rθ/4+3π/2. El seu producte val rθ+π = −z.(b) Com s’ha vist en el problema 12(b): z1z2 · · ·zn = −(−1)nz.
1
14. Ha de ser |z| = 1 i z6 = 1: ±1, ±12 ±√
32 i.
15. −52 .
16. α = 43 , β =32 o α = −43 , β = −32 .
17. (a) Les dues rectes y = ± x√3. (b) Semiplà per sota de la recta y = x. (c) Interior de la
paràbola y = x2.
18. z = 3+5√
32 +
√3−12 i o z =
3−5√
32 −
√3+12 i.
19. z1 = 2, z2 = 1 + i o z1 = 1 − i, z2 = 2.
20. A = (3, 2), C = (1, 4).
21. C = (2√
2, 4√
2) o C = (4√
2,−2√
2).
22. z = 2√
2i o z = −2√
2i.
1.2 Polinomis
1. En p1 i en p2 és triple. En p3 és quàdruple
2. p: a = −5, triple. q: a = 12, triple.
3. Cap valor.
4. x4 − 4x3 + 30x2 − 100x + 25.
5. t2(t − 2)2(t − 259 ).
6. 6 − 203 t + t2 + t3 − 724t4.
7. t5 + 254 t4 + 10t3 − 10t2 − 40t + 10.
8. (a) Q: t4 − t2 − 2, R: (t −√
2)(t +√
2)(t2 + 1), C: (t −√
2)(t +√
2)(t − i)(t + i). (b) Q:(t− 1)(t + 1)(t2 + 2), R, C: (t− 1)(t + 1)(t−
√2)(t +
√2). (c) Q, R: (t− 1)(t + 1)(t2 + 1), C:
(t − 1)(t + 1)(t− i)(t + i). (d) Q, R, C: (t − 3)2(t + 2)2.
9. (a) mcd = (t−1)2, mcm = (t−1)2t2(t−2)(t−3). (b) mcd = t−1, mcm = (t−1)2(t−2)2(t+1)(t2 +1). (c) mcd = t−2, mcm = t(t−2)2(t−1)(t+3)(t2 +1). (d) mcd = 1, mcm = p4 · q4.
10. (a) P (2) = P ′(2) = P ′′(2) = 0, P ′′′(2) = 42. 2 és arrel triple. (b) R: (x− 2)3(x2 + x + 1), C:(x − 2)3(x + 12 −
√3
2 i)(x +12 +
√3
2 i).
11. λ = µ = 2.
12. No té arrels múltiples.
13. p(x) = 8+ 23(x− 1)+ 33(x− 1)2 + 25(x− 1)3 + 9(x− 1)4 + (x− 1)5. Resta: 33x2 − 43x+ 18.
14. m = −1 (arrel comú: 2).
15. P (x) = (x2 + 2x − 1)(x2 − 2x + 5).
16. P (x) = 116 (5x7 − 21x5 + 35x3 − 35x).
17. (a) (n2 + 3n − 3)x − n2 − 2n + 3. (b) P (1) = P ′(1) = P ′′(1) = 0.
18. (a) x + 3. (b) −x2 + 2x + 1.
2
19. (a) Ha de ser a = r5, b = r3 amb r real no nul. (b) mcd = x − r, mcm = x7 + rx6 + r2x5 −r5x2 − r6x − r7. (c) mcd = x − 2, mcm = x7 + 2x6 + 4x5 − 32x2 − 64x − 128.
20. (a) mcd = x − 2, mcm = x4 − 5x3 + 9x2 − 8x + 4, P1 = 13 , Q1 = −13 (x + 1).(b) mcd = (x− 1)3, mcm = (x − 1)4(x + 1)(x− 3), P1 = 16 , Q1 = −16 (x + 2).(c) mcd = 1, mcm = (x− 1)3(x − 3)2(x + 2), P1 = − 17400x, Q1 = 17400x3 + 350x2 + x400 + 29200 .
21. (a) P ′(x) = 3x2 + 2x − 8 = 3(x − 43)(x + 2). (b) −2 és arrel de P (doble, per tant).P (x) = (x − 3)(x + 2)2. (c) x + 2. (d) P1 = − 950 , Q1 = 350x + 150 .
1.3 Matrius
1.
(
42 10 −7 433 12 27 86
)
. La primera no és possible i la segona śı.
2. Per files:
A ∼
8 −5 −130 1 −160 0 492
, B ∼
0.2 1.1 3.2
0 −4.9 −15.70 0 −2.14690 0 0
, C ∼
0.8 −0.5 −1.3 2.40 −1.4 −2.9 −2.10 0 0.9875 −3.5375
.
3.
4. Veure que queden igual al transposar.
5. Denotem com T kn , k = 0, 1, · · · , n, el conjunt de matrius quadrades d’ordre n amb tot zerosexcepte les n − k últimes diagonals superiors. T 0n són les triangulars superiors, T 1n són lestriangulars superiors estrictes,..., T nn = {0}. Es demostra que al multiplicar matrius de T knper matrius de T ln s’obtenen matrius de T
k+ln . La matriu A del problema pertany a T
1n d’on
An pertany a T 1+1+···+1n = Tnn = {0}.
6. rang A = 3. rang B = 2. rangC = 3. rang D = 2.
7. rang A = 3. rang B = 4. rangC = 5. rang D = 3.
8. α 6= 0 i β 6= α: rang = 3. α = 0 i β = 0: rang = 0. α = 0 i β 6= 0: rang = 2. α = β 6= 0:rang = 1.
9. 2.
10. |A| = 17, |A−1| = 117 , |An| = 17n.
11. |A| = 30, |B| = 0, |C| = −1, |D| = 32.
12. |A| = 14, |B| = −6, |C| = −4, |D| = 1.
13. |A| = −12, |B| = 12.
14. Prenent determinants arribem a |B| = (−1)n|B| = −|B| d’on |B| = 0.
15. Prenent determinants arribem a |A|p = 0 d’on |A| = 0.
16. Fem c5 + 10c4 + 100c3 + 1000c2 + 10000c1 i treiem a fora un factor 13 de c5.
17. (a) 1. (b) 131. (c) (x − 1)3(x + 3). (d) 0. (e) 0. (f) 0.
18. |A(t)| = t4 − 12t2 + 16. |B(t)| = t5 − 7t3 + 6t2 + 3t − 2.
3
19.
20.
21. |B| = 5, |C| = 15.
22. A i C.
23. A−1 = 15
−3 4 6−4 2 13
2 −1 −4
, B−1 = 5
−3 4 6−4 2 13
2 −1 −4
, C−1 = 150
−3 4 6−4 2 13
2 −1 −4
.
24. A−1 =
1 −1 01 2 −1
−1 −1 1
, B−1 = 103
−5 2 110 −7 1−4 4 −1
,
C−1 = 15
4 −1 −1 −1−1 4 −1 −1−1 −1 4 −1−1 −1 −1 4
, D−1 = 13
3 3 −1 −70 3 −2 10 0 1 1
0 0 −1 −2
.
25. A−1 = 120
−5 −15 0 −103 7 2 10
7 13 −12 106 4 −6 0
,
C−1 = 184
−7 12 23 −4 107 24 −17 −8 20
49 36 −29 16 214 24 −10 20 −870 72 −44 4 −10
, D−1 = 125
18 −6 0 17 −2−25 0 −25 −25 25−9 3 0 −21 1
−11 12 0 −9 4−13 −4 0 −22 7
.
26. Per α 6= 1, A−1 =
2α−1α−1 − 1α−1 −1
− 1α−1 1α−1 0−1 0 1
.
27. Invertible per a 6= −1. En aquest cas: A−1 = 1a+1
1 −2 0 1−a a − 1 0 1a 2 0 −1
−2a − 2 −a − 1 a + 1 0
.
28. A−1 =
−1 −i ii 0 1
−i 1 0
.
29. Multiplicar per caixes.
30. |A| = |P | · |Q|. la inversa es troba operant per caixes.
4
1.4 Sistemes lineals
Nota: g designa els graus de llibertat d’un SCI.
1. SCI, g = 1. x = −1 − 3z, y = 2 + 2z, z = z.SCI, g = 2. x = −7z − 5z, y = 5z + 4t, z = z, t = t.SCI, g = 2. x1 = 1 − 2x4 − 32x5, x2 = 23 − 113 x4 − 32x5, x3 = 13 − 73x4 − 12x5, x4 = x4, x5 = x5.
2. Només és compatible per λ = 4. En aquest cas, SCI, g = 1, x = x, y = 1 − 34x, z = 1− x4 .
3. SCD. x = 140(−9a + b + c + 11d), y = 140(a + b + 11c − 9d), z = 140(a + 11b − 9c + d),t = 140(11a − 9b + c + 11d).
4. ω = 1:
a 6= b, SI.a = b, SCI, g = 2, x = a − y − z, y = y, z = z.ω 6= 1 (és a dir, ω = −12 ±
√3
2 i):
SCD, x = a3 +23b, y = z =
a3 − b3 .
5. (a)
a = 1, b 6= 1, SI.a = 1, b = 1, SCI, g = 3, x = 1 − y − z − t, y = y, z = z, t = t.a = −3, b 6= −1, SI.a = −3, b = −1, SCI, g = 1, x = t − 12 , y = t, z = t − 12 , t = t.a 6= 1,−3, SCD.x = −b
3−b2−b+a+2(a−1)(a+3) , y =
−b3−b2+(a+2)b−1(a−1)(a+3) , z =
−b3+(a+2)b2−b−1(a−1)(a+3) , t =
(a+2)b3−b2−b−1(a−1)(a+3) .
(b)
a = b = c 6= 1, SI.a = b = c = 1, SCI, g = 2, x = 1 − y − z, y = y, z = z.a = b 6= c:a 6= 1 i c 6= 1, SI.a = 1 i c 6= 1, SCI, g = 1, x = 1 − y, y = y, z = 0.a 6= 1 i c = 1, SCI, g = 1, x = −y, y = y, z = 1.(els casos a = c 6= b, b = c 6= a es fan de manera similar.)a, b, c diferents, SCD. x =
(b−1)(c−1)(b−a)(c−a) , y =
(a−1)(c−1)(a−b)(c−b) , z =
(a−1)(b−1)(a−c)(b−c) .
6. n 6= 1: SCD, x1 = 0, x2 = a1, · · · , xn+1 = an.n = 1: SCI, g = 1, x1 = a1 − x2, x2 = x2.
7. X =
(92
114
152
94
)
, Y =
(
−12 54−3 52
)
.
8. SCI, g = 1, x1 =2−31x4
11 , x2 =3+43x4
11 , x3 =5−17x4
11 , x4 = x4.
SCI, g = 1, x1 =13+7x4
5 , x2 = −6+2x4
5 , x3 = −2 − x4, x4 = x4.SCI, g = 2, x1 =
43 − 23x4 − 56x5, x2 = −16 − x46 + 23x5, x3 = 13fr + 43x4 + x56 , x4 = x4, x5 = x5.
5
9. (a) SCD, x1 = 1, x2 = x3 = 0. (b) SCI, g = 1, x1 = x3, x2 = 1 − 2x3, x3 = x3. (c) SCI,g = 3, x1 = x1, x2 = 1 + x1 − x5, x3 = x6, x4 = 1 + x5, x5 = x5, x6 = x6.
10. a 6= 0: SCD, X = 14
0 a − 2b + c0 −2a + 2c4a 7 +
2b−5ca
.
a = 0: SI.
11. a 6= b: SCD, X = 1b−a
(
0 b −a0 −1 1
)
.
a = b: SI.
12. (a) X = 1b−a
(
1 0
−1 1
)
.
(b) X =
(
1 − 2z −1 + z z1 − 2v 2 − v v
)
, z, v ∈ R.
(c) Cap solució.
(d) X =
(
−14 + z2 74 − 32z z54 +
v2 −34 − 32v v
)
, z, v ∈ R.
13. α 6= 1,−2: X = 1α+2
(
−1 − α 1 (α + 1)21 1 1
)
.
α = 1: X =
(
1 − y − z y z1 − u − v u v
)
, x, y, u, v ∈ R.
α = −2: SI.
14. (a) X = 15
(
6 −17−37 14
)
, Y = 15
(
12 6
6 3
)
.
(b) X =
(
28 5
−11 −2
)
, Y =
(
6 1
0 0
)
.
15. És SCD.
16. Falta la figura...
Si els nodes entrants són E1, E2, E3 i els nodes sortints S1, S2, S3, sembla que la xarxa interna
seria:
E1 → S3 (x1), S3 → E3 (x6), E3 → S2 (x5), S2 → E2 (x4), E2 → S1 (x3), S1 → E1 (x2).∑
αi =∑
βi si es conserva el flux en cada node. La distribució interna no és única ja que
la xarxa interna forma un camı́ tancat. Si sumen una constant igual a cada ĺınia internaobtenim una nova solució.
És un SCI amb g = 1. La solució és x6 = x6, x5 = x6 + α3, x4 = x6 + α3 − β2, x3 =x6 + α3 − β2 + α2, x2 = x6 + α3 − β2 + α2 − β1, x1 = x6 + α3 − β2 + α2 − β1 + α1.Amb els valors donats: x6 = x6, x5 = x6 + 80, x4 = x6 − 70, x3 = x6 + 60, x2 = x6 + 10,x1 = x6 + 100.
Si volem xi ≥ 0, podem prendre x6 = 70.
17. T1 = −70, T2 = −40, T3 = −60, T4 = −30.
6
18. P1 = 23, P2 = 120, P3 = 40.
19. 12.5% P1, 75% P2, 12.5% P3.
7
Unitat 2
2.1 Espais vectorials
Nota: ei, i = 1, . . . , n, denoten els vectors de la base canònica de Rn, Bc = {e1, . . . , en}.
1. (a) l.i. (b) l.i. (c) l.d. (rang = 4).
2. Per exemple, w1 = (1, 0, 0), w2 = (0, 0, 1). Els quatre vectors són l.d. (en R3 no podem tenir
4 vectors l.i.).
3. (a) Per exemple, w1 = (1, 0, 0, 0), w2 = (0, 0, 0, 1). (b) Per exemple, w1 = (1, 0, 0, 0), w2 =
(0, 0, 1, 0).
4. a = 0, a = 1 i a = −1.
5. (a) rang = 2. Podem triar {v1, v2}. (b) Per exemple, {v1, v2, e1, e2}
6. (a) Són generadors per a tot α (rang = 3). (b) Per α 6= 0, {v1, v2, v3}. Per α = 0, {v2, v3, v4}.
7. Els polinomis (x − α1)2, (x − α2)2, (x − α3)2, amb α1, α2, α3 diferents són l.i. i , per tant,base de l’espai vectorial de dimensió 3 R2[x]. Llavors tot polinomi de grau 2 és combinació
d’ells.
8. Treballant en la base canònica s’arriba a un determinant de Vandermonde que és no nul siles ai són tottes diferents.
9. (a) (1, 2, 3)B1, (2, 1, 0)B2. (b) (α, β, γ)B1, (−α+β+γ
2 ,α−β+γ
2 ,α+β−γ
2 )B2.
10. (a) (3, 3, 1). (b) Taylor.
11. (a) (1, 2, 3, 4)B1, (−8, 2, 3, 4)B2, ( 52 , 52 ,−12 ,−1)B3. (b) (α, β, γ, δ)B1, (α − β − γ − δ, β, γ, δ)B2,(α+δ2 ,
β+γ2 ,
α+β+γ−δ4 ,
α+β−γ−δ4 )B3.
12. Bc = {1, t, t2}.
(a) B1 → Bc, C1 =
0 1 0
1 0 1
0 1 1
. Bc → B1, C−11 =
1 1 −11 0 0
−1 0 1
.
(b) B2 → Bc, C2 =
−1 0 00 2 0
0 1 1
. Bc → B2, C−12 =
−1 0 00 1/2 0
0 −1/2 1
.
(c) B1 → B2, C−12 C1 =
−1 −1 01/2 0 1/2
−1/2 1 1/2
.
(d) (1, 1, 0)B1, (−1, 12 , 12 )B2.
13. (a)
x = 1
y = 2
2x + 4y + z = 1
(b) AC
x
y
z
= b.
14. (a) 3 dies. (b) 4 dies. (c) Combinant les 3 (αP1+βP2 +γP3) s’obté un SCI. La solució òptimaés α = 2, β = 2, γ = 1, que correpon a 2 dies.
8
15. (a) A partir de u1, u2, u3 els sis àtoms de l’exàgon inferior són: u1,−u2,−u1−u2,−u1, u2, u1+u2. Per l’exàgon superior: u1 + u3,−u2 + u3,−u1 − u2 + u3,−u1 + u3, u2 + u3, u1 + u2 + u3.En coordenades:
Inferior: (1, 0, 0), (0,−1, 0), (−1,−1, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0).Superior: (1, 0, 1), (0,−1, 1), (−1,−1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).(b) u1 = (3, 0, 0), u2 = (−32 ,−32
√3, 0), u3 = (0, 0, 4.8).
(c) v = u14 +u22 +
u36 , w =
u12 +
u22 +
u33 . ‖v‖ = 1.525, ‖w‖ = 2.193.
2.2 Subespais vectorials
1. (a) F śı, G no. (b) F i G śı. (c) F śı, G no. (d) F śı, G no.
2. (a) {v1, v2, v3}. (b) {v1, v2}. (c) {v1, v2}.
3. (a) dim = 3, {v1, v2, v3}. (b) dim = 3, {v1, v2, v3}. (c) dim = 2, {v1, v2}.
4. dimF = 3, dimG = 4, dim H = 3.
5. dimF = 2, dimG = 2.
6. (Nota: hi ha moltes maneres de triar una base)
(a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1,−1, 0), (0, 1, 0,−1)}.(b) {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)}.(c) Raonant per Taylor: {(t − 1)2, (t− 1)3}. Amb equacions: {1 − 2t − t2, 2− 3t + t3}.
(d) {(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
}.
(e) {(0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 3, 0, 1)}.(f) {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}.(g) {t2 − t3, 1 + t − t2}.
(h) {(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)
}.
7. dimF = 0, dimG = 3, dim H = 3.
8. dimF1 = 3, dim F2 = 8, dimF3 = 7.
9. (a) U = {(x, y, z, t) | 2x + y + z = 0, −3y + 5z + 2t = 0}.(b) V = {(x, y, z, t) | y = 2x, z = 0, t = x}.(c) F = {a+ bx+ cx2 +dx3 | c = 3a, b = 0, d = 0}. Alternativament, F = {p ∈ R3[x] | p′(0) =0, p′′′(0) = 0, 2p′′(0) = 3p(0)}.
(d) G = {(
a b
c d
)
| a + d = 0, b = 0, c = 0}.
(e) U = {(x, y, z, t) |x− y + 3z − t = 0}.(f) V = {(x, y, z, t) |x = 0}.(g) F = {a + bx + cx2 | 9a − 26b + 16d = 0}. Alternativament, F = {p ∈ R2[x] | 9p(0) −24p′(0) + 32p′′(0) = 0}.
(h) G = {(
a b
c d
)
| a− 4b + c + d = 0}.
9
10. (a) F = {(x, y, z, t) | − 3x + y + 5z + t = 0}.(b) {(1, 1, 0, 0), (1, 0,−1, 0), (1, 0, 0,−1)}.(c) F ∩G = {(x, y, z, t) | −3x+y +5z + t = 0, x−y +z + t = 0}, base {(3, 4, 1, 0), (1, 2, 0, 1)}.F + G = R4.
11. (a) dim F ∩ G = 0, dim F + G = 3.(b) {(1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 2, 0, 1), (1, 0, 0, 0)} (dos vectors de F , un de G i un vector més).
12. (a) dim V1 = 2, B1 = {(1,−1, 0), (1, 0,−1)}. dimV2 = 1, B2 = {(1, 2, 3)}.(b) Veient que V1 ∩ V2 = {0} i dim(V1 + V2) = 3.v ∈ R3, v = v1 + v2 amb v1 ∈ V1 i v2 ∈ V2. Si v = (x, y, z) llavors:v1 = (
5x−y−z6 ,
x+y+z3 ,
x+y+z2 ). v2 = (
x+y+z6 ,
−x+2y−z3 ,
−x−y+z2 ).
13. E = F ⊕ G.(a) G =< (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >.
(b) G =< t3 >.
(c) G =<
(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)
}. Alternativament, G = {A ∈ M2|A = At}
(d) G =< 1, t2 >.
(e) G = {0} (ja que F = E).
(f) G =<
(
0 1
1 0
)
>.
14. (a) No són l.i. F + G = M2.(b) Són l.i. F + G = M2.
2.3 Aplicacions lineals
1. (a) No. (b) Śı. (c) Śı. (d) No. (e) Śı. (f) Śı. (g) No. (h) Śı.
2. f(v) = 3u1 + 4u2 − 2u3 − 3u4, f(w) = u1 − u2 + u4. M =
0 0 −1 00 0 0 1
1 2 0 −10 0 1 0
.
3. ( 233 ,43 ,
203 ).
4. Mf =
1 0 1
1 1 2
0 1 3
. Mg =
2 1 0
−1 1 01 −1 1
. Mf+g =
3 1 1
0 2 2
1 0 3
.
Mf◦g =
3 0 1
3 0 2
2 −2 3
. Mg◦f =
3 1 4
0 1 1
0 0 2
. Mλf =
λ 0 λ
λ λ 2λ
0 λ 3λ
.
5. (a)
(
α β γ
α′ β′ γ ′
)
. (b)
−1 −1−1 1
1 0
0 1
. (c)
−1 0 00 0 0
0 0 1
. (d)
(2 12
13
).
10
(e)
2 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
.
6.
1 3 −1 −1−1 2 1 1
2 1 −2 −23 0 −3 −3
.
7. (2, 2).
8. (a) −1. (b) (ad− bc)2
9. (a) . (b) Im f =< (1, 0, 1), (1, 1, 1) >, Ker f =< (2, 1,−1) >. (c) f no injectiva (Ker f 6= {0}).f no exhaustiva (Im f 6= R3). Per tant, no bijectiva.
10. (a) Mf =
(
2 −1 00 2 1
)
. Mg =
4 2
0 1
1 1
.
(b) Im g =< (4, 0, 1), (2, 1, 1) >, Ker f =< (1, 2,−4) >.(c) f exhaustiva, no injectiva. g injectiva, no exhaustiva.
11. (a) p 6= 1. (b) Si p = 1, Ker f =< (1, 0,−1) >. (c) Correspon a p = 1, Im f =<(2, 1, 0), (−1, 2, 2) >.
12. α 6= 1, 12 : dim Im f = 3, dimKer f = 0.α = 1: dim Im f = 2, dimKer f = 1.
α = 12 : dim Im f = 2, dimKer f = 1.
13. (a)
1 −1 −1 12 −1 −1 −33 −2 −2 −21 0 0 −4
. (b) dim Im f = 2, dimKer f = 2. Im f =< (1, 2, 3, 1), (1, 1, 2, 0) >,
Ker f =< (4, 5, 0, 1), (0,−1, 1, 0) >.
14. M : matriu en Bc, M′: matriu en base u.
(a) M =
2 3 −11 2 −10 1 2
, M ′ =
1 2 −10 3 0
−1 0 2
.
(b) M =
1 3 −11 0 1
0 1 1
, M ′ =
−2 0 −5−1 1 −2
0 1 3
.
(c) M =
−3 2 −11 −1 10 1 1
, M ′ =
−1 3 31 3 6
−2 −1 −5
.
(d) M =
4 1 −2−3 1 0
0 6 −7
, M ′ =
−7 −3 −8−11 −2 −14
5 1 7
.
11
15. (a)
(
1 6 −31 4 −2
)
. (b)
(
−13 83 30 23 1
)
. (c) ( 263 ,113 ).
16.
2 4 −40 0 0
−1 −2 2
, Im f =< (2, 0,−1) >.
17.
3/2 1/2 1/2
3/2 −3/2 −1/2−1 1 1
.
18.1
6
2 2 −8 −41 4 −1 13 0 9 −3
−2 −2 −10 4
.
19. (a)
(
0 1 0
0 0 2
)
. (b)
(
2 3 4
0 −1 −2
)
. (c) u′ → v′:(
−1/2 1/21/2 1/2
)
. v → u:
1 4 9
−2 −4 −61 1 1
.
(d) .
20. a 6= ±1.
21. (a)
3 0 0
1 −1 02 1 1
. (b)
1
4
9 17 21
1 1 1
2 −14 2
. (c) És bijectiva. En la base canònica: Mf−1 =
1/3 0 0
1/3 −1 0−1 1 1
. En la base u: M ′f−1 =
112
−4 82 10 6 −34 −40 2
. (d) .
22. g ◦ f és invertible (és la identitat). f ◦ g no és invertible (nucli diferent de {0}).
23. (a) Mf
1 2 0
0 −1 01/2 1 2
. Mg
1 1 2
0 1 0
−1/4 −7/4 −1/2
. (b) Mf◦g =
1 3 2
0 −1 00 −2 0
.
(c) És bijectiva. Mf−1 =
1 3 2
0 −1 00 −2 0
. (d) No. (e) No té antiimatges.
24. No és invariant.
25. Dimensió 1: < e1 >. Dimensió 2: < e1, e2 > o < e2, e4 >. Dimensió 3: < e1, e3, e4 >.
26. No és invariant.
27. dimKer f = 1 (Ker f =< (1, 0, 1) >).
28. Mf |F =
(
1 1
1 1
)
.
29. És invariant.
12
30. (a) . (b) M =
0 −c b 0−b a − d 0 b
c 0 d − a −c0 c −b 0
. (c) dimKer f pot valer 2 i 4.
(d) a = b = c = d = 0, M = 0, Ker f = R4. a = 1, b = c = d = 0, M =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 00 0 0 0
.
Ker f = {(
x y
z t
)
| y = z = 0}.
31. (a) Mf =
2 1 1
−1 0 12 −1 01 0 0
, Mg =
0 0 3
−4 3 30 1 0
0 0 4
1/2 0 −1/2
, Mh =
1 1 −1 11 −1 1 −1
−1 1 0 1
.
(b) Im f =< (2,−1, 2, 1), (1, 0,−1, 0), (1, 1, 0, 0) >, Ker f = {0}.Im g =< (0, 8, 0, 0, , 1), (0, 3, 1, 0, 0), (6, 6, 0, 8,−1) >, Ker g = {0}.Im h = R3, Ker f =< (0, 1, 0,−1) >.(c) f i g són injectives i no exhaustives. h és exhaustiva i no injectiva.
32. (a) . (b) Im f = R[x], Ker f =< 1 >. (c) Im g = {p ∈ R[x] | p(0) = 0}, Ker g = {0}.(d) f és exhaustiva i no injectiva. g és injectiva i no exhaustiva. (e) f ◦ g = I , (g ◦ f)(p) =p − p(0).
33. (a) Im f =< e1, e2 >, Ker f =< e1 >.
(b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (0,12 , 0), u3 = (0,− 112, 16).
34. (a)
(
1 −11 1
)
. (b)
(
−2 −42 2
)
.
35. (a) El 2010: x1 = 250, x2 = 750. (b)
(
3/5 1/10
2/5 9/10
)
.
36. (1) Fórmules de la probabilitat total. Anomenem Ak = ‘k fitxes abans d’una jugada’, Bk =
‘k fitxes després d’una jugada’, G = ‘guanyar la jugada’, G = ‘perdre la jugada’.
P (Ak) = xk, P (G) = P (G) =12 .
P (B0) = P (A0) · 1 + P (A1)P (G) = x0 + x12 .P (B1) = P (A2)P (G) =
x22 .
P (B2) = P (A1)P (G) + P (A3)P (G) =x12 +
x32 .
P (B3) = P (A2)P (G) =x22 .
P (B4) = P (A3)P (G) + P (A4) · 1 = x32 + x4.(2) Passat molt temps haurem acabat el joc, ja sigui havent perdut totes les fitxes o havent-no
guanyat 4. Si comencem amb 0 acabem segur amb 0. Si comencem amb 4 acabem segur amb4. Si comencem amb 1, 2 o 3 hi ha probabilitats 34 ,
12 ,
14 , respectivament, d’acabar amb 0.
37. (a) ARGB = S−12 AS2. (b) ACIE = S1S
−12 AS2S
−11 .
13
Unitat 3. Reducció d’endomorfismes
Valors propis i vectors propis
1. (a) No en té. (b) La direcció de l’eix (λ = 1) i la seva perpendicular (λ = −1). (c) Tots elsvectors són propis (λ = −1).
2. α = −12 +√
32 , β = 0, λ =
√3. α = −12 −
√3
2 , β = 0, λ = −√
3.
3. (a) a − b, a − c, a − d, a + b + c + d. (b) 0, b − a, c, 2a + b.
Diagonalització
Nota: diag(a1, a2, . . . , an) indica una matriu n × n, diagonal amb valors ai en la diagonal. D és laforma diagonal d’una matriu diagonalitzable, l’ordre en que posem els valors propis és arbitrari (valligat a l’ordre dels vectors en la base de vectors propis).
1. (a) Només diagonalitza en C amb D = diag(3, 1 +√
2i, 1−√
2i).
(b) Diagonalitza en R, C amb D = diag(−1, 5+√
172 ,
5−√
172 ).
(c) Diagonalitza en Q, R, C amb D = diag(−2, 2, 2, 2).(d) No diagonalitza.
2. (a) λ1 =12 , λ2 =
2−√
34 , λ3 =
2+√
34 .
D = diag(12 ,2−
√3
4 ,2+
√3
4 ). S =
2 1 1
−1 1 1−2 −1 −
√3 −1 +
√3
.
(b) λ1 = 1, λ2 = 2 (doble). D = diag(1, 2, 2). S =
1 1 1
1 −2 02 0 2
.
3. (a) Diagonalitza per a tot a 6= 0. D = diag(−1,−1, 2). S =
a a2 a2
−1 0 a0 −1 1
. S−1 =
13
a−1 −2 aa−2 a−1 −2a−2 a−1 1
. (b) 13
2p + 2(−1)p (2p − (−1)p)a (2p − (−1)p)a2(2p − (−1)p)a−1 2p + 2(−1)p (2p − (−1)p)a(2p − (−1)p)a−2 (2p − (−1)p)a−1 2p + 2(−1)p
.
4. (a) M =
1 0 −1 a + 20 1 1 −20 0 2 a − 30 0 0 a
. (b) Diagonalitza per a 6= 1, 2.
5. (a) a = f = 0. (b) Sempre. (c) bf = 2c.
6. −1, α, γ diferents: λ1 = −1, λ2 = α, λ3 = γ. D = diag(−1, α, γ). B = {(0, 1, 0), (α−γ, β, 3+3α), (0, β, γ + 1)}.α 6= −1, γ = −1: Ha de ser β = 0. λ1 = −1 (doble), λ2 = α. D = diag(−1,−1, α).B = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (α+ 1, 0, 3)}.γ 6= −1, α = −1: Ha de ser β = 0. λ1 = −1 (doble), λ2 = γ. D = diag(−1,−1, γ).B = {(0, 1, 0), (γ + 1, 0,−3), (0, 0, 1)}.En la resta de casos (α = β = −1 o α = β 6= −1) no diagonalitza.
14
7. (a) λ1 = 0 (doble), V1 =< (3,−5, 0, 0), (0, 0, 0, 1) >, λ2 = 12 , V2 =< (1,−1, 0, 0) >, λ3 = 3,V2 =< (6, 4, 15, 0) >. (b) Diagonalitza.
8. (a) Només té els valors propis 1 i −1 ja que f2 = I . A λ1 = 1 correspon el subespai deles matrius simètriques, de dimensió 3. A λ2 = −1 correspon el subespai de les matriusantisimètriques, de dimensió 1.
D = diag(1, 1, 1,−1), en la base B = {(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)(
0 −1−1 0
)
}.
(b) Només té els valors propis 1 i −1 ja que g2 = I . A λ1 = 1 correspon el subespai deles matrius amb la segona fila igual a la primera, de dimensió 2. A λ2 = −1 correspon elsubespai de les matrius amb la segona fila igual a menys la primera, de dimensió 2. D =
diag(1, 1,−1,−1), en la base B = {(
1 0
1 0
)
,
(
0 1
0 1
)
,
(
1 0
−1 0
)(
0 1
0 −1
)
}.
9. (a) A =
2 0 −10 2 0
−1 0 2
. (b) En la base {1 + x2, x, 1− x2} f té matriu D = diag(1, 2, 3).
(c) B =
1 0 1
0 1 0
1 0 −1
.
10. (a) Av1 = 4v1, Av2 = 3v2, Av3 = −v3. (b) λ1 = 4, λ2 = 3, λ3 = −1. λ1 + λ2 + λ3 + λ4 =trA = 4, d’on λ4 = −2. Diagonalitza ja que té quatre valors propis simples. Per λ4 trobemv4 = (1, 1,−5,−5). (c) D = diag(4, 3,−1,−2) en la base {v1, v2, v3, v4}.
11. Per a = 0, A = 0 que és diagonal. Per a 6= 0 no diagonalitza (cA(λ) = (λ−2a)4, dimKer(A−2aI) = 3).
12. (a) Si b = 0, A és diagonal. Si b 6= 0, diagonalitza si a 6= c+√
2b, c−√
2b. En la resta de casos
no diagonalitza. (b) D = diag(1, 1, 0,√
22 ,−
√2
2 ). B = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1), (1,−2, 0, 2,−1),(1 −
√2,√
2, 2,√
2, 1−√
2), (1 +√
2,−√
2, 2,−√
2, 1 +√
2)}.
Matrius no diagonalitzables. Forma redüıda de Jordan
Nota: Per una caixa de Jordan, passem de tenir el uns sobre la diagonal a tenir-los a sota (i a la
inversa) invertint l’ordre dels vectors de la base. Sobre una “torre” de Jordan tenim uns a sobre siels prenem de baix a dalt i tenims uns a sota si els prenem de dalt a baix.
1. (a) J =
(
4 1
0 4
)
, BJ = {(1, 1), (1, 0)}.
(b) J =
3 0 0
0 16 1
0 0 16
, BJ = {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 0)}.
(c) J =
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
, BJ = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 2, 4, 8), (−1,−1, 0, 4)}.
2. J =
2 0 0
0 2 1
0 0 2
, BJ = {(0, 1, 0), (−1, 0,−1), (0, 0, 1)}.
15
3. J =
4 1 0 0 0
0 4 0 0 0
0 0 4 1 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
, BJ = {(0, 2, 2, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0), (−2, 0, 0, 0,−2), (1,−1,−1,−1, 0),
(0, 0, 0, 0, 1)}.
4. (a) J =
0 0 0
0 0 1
0 0 0
, BJ = {(1, 2, 0), (2, 3, 3), (0, 0,−1)}.
(b) J =
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
, BJ = {(1,−7, 4, 2), (0, 0, 1, 0), (3, 9, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.
(c) J =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
, BJ = {(0, 0, 0, 8), (0, 0, 4, 12), (0, 2, 3, 4), (1, 0, 0, 0)}.
(d) J =
2 0 0
0 2 1
0 0 2
, BJ = {(0, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 0)}.
(e) J =
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
, BJ = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}.
(f) J =
0 0 0 0
0 −2 0 00 0 −2 10 0 0 −2
, BJ = {(1, 1, 1,−1), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 0)}.
Miscel.lània
1. (a) Calculant M2 + I = −M . (b) {(1, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (−1, 3, 1, 2)} té rang 4.
M ′ =
0 −1 0 01 −1 0 00 0 0 −10 0 1 −1
. (c) Ee1 =< e1, g(e1) >. (d)
(
0 −11 −1
)
.
2. Veient que si p és un polinomi, p(f |F ) = p(f)|F quan F és invariant per f . Llavors, amb elpolinomi mı́nim de f , mf (λ) tenim que mf (f |F ) = 0 d’on el polinomi mı́nim de f |F nomésté arrels simples i f |F diagonalitza.
3. (a) De f2 − α2I = 0 tenim el polinomi mı́nim mf (λ) = λ2 − α2 = (λ − α)(λ + α). Com téarrels simples, f diagonalitza.
(b) λ1 = α, multiplicitat k1, λ2 = −α, multiplicitat k2, k1 + k2 = n (n = dimE). tr f =
(k1 − k2)α. D = diag(k1
︷ ︸︸ ︷α, · · · , α,
k2︷ ︸︸ ︷
−α, · · · ,−α).
16
(c) S2 = I , α = 1. (d) M =
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
.
(e) D = diag(1, 1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1).
(f) {
1 0 0
0 0 0
0 0 1
,
0 1 0
0 0 0
0 1 0
,
0 0 1
0 0 0
1 0 0
,
0 0 0
1 0 1
0 0 0
,
0 0 0
0 1 0
0 0 0
,
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
,
0 1 0
0 0 0
0 −1 0
,
0 0 1
0 0 0
−1 0 0
,
0 0 0
1 0 −10 0 0
}.
4. (a) f(u1) = 4u1 + 6u2, f(u2) = 2u1 − 3u2, d’on f(F ) = F .
(b) B =
(
4 2
6 −3
)
. (c) A =
1 −1 0 02 −2 0 05 0 4 −2
10 −2 6 −3
.
(d) c(λ) = λ2(λ + 1)(λ − 1). J =
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 −1 00 0 0 1
.
5. (a) Av = λv, amb v 6= 0, implica Akv = λkv, és a dir, 0 = λkv d’on 0 = λk, és a dir, λ = 0.c(λ) = (−1)nλn.(b) cA+I (λ) = det(A+I−λI) = det(A−(λ−1)I) = cA(λ−1) = (−1)n(λ−1)n. det(A+I) =cA+I (0) = 1.
(c) Si det B 6= 0, existeix B−1 i det(A + B) = det(AB−1B + B) = det((AB−1 + I)B) =det(AB−1 + I) detB = det B, ja que AB−1 és nilpotent (en efecte, com A i B commuten, Ai B−1 també commuten i (AB−1)k = Ak(B−1)k = 0) i, tal com s’ha vist a l’apartat anterior,det(AB−1 + I) = 1.
Si det B = 0, (det(A+B))k = det(A+B)k = det(Ak +kBAk−1 + · · ·+Bk) = det(B(kAk−1 +· · ·+ Bk−1)) = det B det(kAk−1 + · · ·+ Bk−1) = 0 (s’ha aplicat el binomi de Newton ja queA i B commuten) d’on det(A + B) = 0.
6.
−2/5 −3/5 −7/55 10/3 5
2/5 3/5 7/5
.
7.
3 −2 −20 1 0
4 −4 −3
.
17
8. D = diag(0, 0, 1) o D = diag(0, 1, 1).
9.
2 0 0 0
−1/2 1/2 −3/2 −3/21/2 1/2 5/2 1/2
0 1 1 3
.
10. (a) Si a + 2b + 3c 6= 0: D = diag(0, 0, a+ 2b + 3c), B = {(2,−1, 0), (3, 0,−1), (a, b, c)}.
Si a+2b+3c = 0: En el cas a = b = c = 0, la matriu és 0, diagonal. Si no, J =
0 0 0
0 0 1
0 0 0
,
B = {(α, β, γ), (a, b, c), (1, 0, 0)} on α + 2β + 3γ = 0 i els dos primers vectors són l.i.
(b) J =
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
, B = {(a5, 0, 0, 0, 0, 0), (0, a4, 0, 0, 0, 0), (0, 0, a3, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, a2, 0, 0), (0, 0, 0, 0, a, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}
11. cA(λ) = −λ3 + 3λ + 2. det A = cA(0) = 2 6= 0 aix́ı que A és invertible. Cayley-Hamilton:cA(A) = 0, és a dir −A3 + 3A + 2I = 0 d’on −A2 + 3I + 2A−1 = 0 i A−1 = 12 (A2 − 3I) =
12
−1 a a2a−1 −1 aa−2 a−1 −1
.
Aplicacions, càlcul matricial, matrius equivalents,...
1. (a) λ1 = a + b + c, λ2 = −bβ − cβ, λ3 = −bβ − cβ, on β = eπ
3i.
Si b 6= c tenim tres valors propis diferents i A diagonalitza en C.Podem triar v1 = (1, 1, 1), v2 = (1,−β,−β), v3 = (1,−β,−β). Definint α = e
2π
3i tenim que
−β = α, −β = α2.D = diag(a + b + c, a + αb + α2c, a + α2b + αc) en la base {(1, 1, 1), (1, α, α2), (1, α2, α)}.(b) La matriu de canvi de base no depèn de a, b, c. Per qualsevol matriu diagonal D, SDS−1
és circulant ja que podem calcular a, b, c igualant D a la matriu diagonal de l’apartat anterior.
Llavors, si A = SDAS−1, B = SDBS−1, resulta A+B = S(DA+DB)S−1, AB = SDADBS−1
on DA + DB i DADB són diagonals i, per tant, A + B i AB són circulants.
(Si A té paràmetres a, b, c i B té paràmetres a′, b′, c′, A + B té paràmetres a + a′, b+ b′, c+ c′
i AB té paràmetres aa′ + bc′ + cb′, ab′ + ba′ + cc′, ac′ + bb′ + ca′.)
2. (a) Jk+1 = 0.33Ak, els adults es reprodueixen.
Sk+1 = 0.33Jk, els joves esdevenen subadults.
Ak+1 = 0.71Jk + 0.94Ak, els subadults esdevenen adults, els adults segueixent sent-ho.
(b) c(λ) = −λ3 + 0.94λ2 + 0.042174. Com c(0) > 0 i c(1) < 0, té una arrel real en (0, 1).Calculant-la numèricament λ1 = 0.983597. Fent Ruffini, queda un polinomi de segon grauamb arrels λ2 = −0.0217964 + 0.205918i, λ3 = λ2.(c) Si definim Mk = (Jk, Sk, Ak), Mk+1 = AMk. Llavors, si partim d’una població M0,després de k anys tindrem Mk = A
kM0.
18
Expressant M0 = αv1 + βv2 + γv3 on vi són vectors propis: Mk = λk1αv1 + λ
k2βv2 + λ
k3γv3.
Com |λi| < 1 per i = 1, 2, 3, per k → ∞, Mk → 0 (extinció).(d) Canviant 0.71 per 1, c(λ) = −λ3+0.94λ2+0.0594. Encara resulta λ1 < 1 i segueix haventextinció.
(e) Canviant 0.18 per 0.30, c(λ) = −λ3 + 0.94λ2 + 0.07029. Ara, λ1 = 1.009037, λ2 =−0.03451 + 0.2616i, λ3 = λ2. Ara λk1 → ∞ i la població va creixent.(f) Quant k és gran, Mk ∼ λk1αv1. L’increment anual, en tant per cent, és (λ1−1)100 = 0.9%.Les proporcions les dóna el vector v1 = (1, 3.0577, 0.2973). Dividint per la suma de les seves
components trobem un 23% per Jk, un 70.2% per Sk i un 6.8% per Ak.
3. (a) S =
(
1 1
0 1
)
. (b) B = ±14
(
9 −11 7
)
.
4. (a) λ = 16, µ = 3, S =
2 1 0
1 0 0
0 1 1
. (b) B =
4 18 0
0 4 0
4 −√
3 2√
3 − 638√
3
.
(també si canviem el signe de les√
3 o el signe d’aquestes matrius.
5. (a) α = 2, β = 53 . (b) Ak =
4k 0 0
2(4k − 1) 1 053 (4
k − 1)− 2k k 1
. (c) B =
2 0 0
2 1 023
12 1
.
6. a = b = 0. S =
1 0 −20 1 −20 0 1
. No és única ja que tS amb qualsevol escalar t 6= 0 produeix
el mateix efecte.
7. Pel teorema de Cayley-Hamilton cA(A) = 0 d’on podem äıllar An = α0I + α1A + · · · +
αn−1An−1. Llavors AnB = α0B+α1AB+· · ·+αn−1An−1B és combinació lineal de B, AB, . . . ,An−1B i afegint-la no augmenta el rang.
19
Unitat 4. Sistemes dinàmics discrets
En ocasions s’indiquen els valors propis. La solució del sistema homogeni es dóna com a combinació
de solucions independents o amb Ak (a vegades, les dues formes).
1. (a) (λ1 = 1, k1 = 4, d1 = 2, d2 = 3, d3 = 4.) x(k) =
1 0 0 0
k 1 0 0k(k−1)
2 k 1 0
−k(k+1)2 −k 0 1
x(0).
(b) (λ1 = −1, λ2 = −2.)
x(k) = c1
(
3
−2
)
(−1)k + c2(
1
−1
)
(−2)k.
x(k) =
(
3(−1)k + (−2)k+1 3(−1)k − 3(−2)k−2(−1)k + (−2)k+1 −2(−1)k + 3(−2)k
)
x(0).
(c) (λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i, mòdul√
5 i argument ϕ = π − arctg 2.)
x(k) = c1
(
cos kϕ + sinkϕ
− cos kϕ
)
√5
k+ c2
(
sin kϕ − cos kϕ− sin kϕ
)
√5k.
x(k) =√
5k
(
cos kϕ − sin kϕ −2 sinkϕsinkϕ cos kϕ + sinkϕ
)
x(0).
(d) (λ1 = 1, k1 = 2, d1 = 1, d2 = 2.) x(k) =
(
1 − k −kk k + 1
)
x(0).
(e) (λ1 = 1, λ2 = 5i, λ3 = −5i.)
x(k) = c1
25
−76
+ c2
cos k π2 − 5 sink π2cos k π2cos k π2
5k + c3
5 cos k π2 + sinkπ2
sink π2sink π2
5k.
c1
c2
c3
= 165
0 −5 50 30 35
13 19 −32
x(0).
2. (λ1 = 1, λ2 = 1 − α − β.) x(k) = 1α+β
(
α + β(1 − α − β)k β − β(1− α − β)kα − α(1 − α − β)k β + α(1− α − β)k
)
x(0).
Si α + β = 1 la solució és constant x(k) =
(
α β
α β
)
x(0).
3. (a) x(k) =
(
1 k
0 1
)
x(0) +
(k(k−1)
2
k
)
. (b) x(k) =
1 k 0
0 1 0
0 0 1
x(0) +
k
0
k
.
(c) (λ1 = −16 , k1 = 2, λ2 = 5+√
306 , λ3 =
5−√
306 .)
x(k) = c1
0
1
0
−1
(−16)k+c2
0
0
1
−1
(−16 )k+c3
6
6√30√30
( 5+√
306 )
k+c4
6
6
−√
30
−√
30
( 5−√
306 )
k.
20
4. (a) x(k) =
k
−(k − 1)!k−1∑
l=0
1
l!
, k ≥ 1. (b) x(k) =(
k(k+1)2
1
)
.
5. (λ1 = 1, λ2 = 0.92.) Solució general x(k) = c1
(
3
5
)
+ c2
(
1
−1
)
0.92k.
Per k → ∞, x(k) → c1(
3
5
)
. En el nostre cas, c1 =18 , c2 =
940 i x(k) →
(
3/8
5/8
)
.
6. (λ1 = −1, k1 = 2, d1 = 1, d2 = 2.) No té punts d’equilibri, tret de x(k) = 0. Les solucions
fitades corresponen al vector propi: x(k) = c1
(
1
−1
)
(−1)k.
7. (λ1 = 1, λ2 = 0.5, λ3 = 0.2.) limk→∞
x(k) = c1
3
6
1
.
8. (a) Punt d’equilibri: x(k) =
1/4
−3/41/4
. (b) (λ1 = −1, k1 = 2, λ2 = 5.) Inestable ja que
|λ2| > 1.
9. (λ1 = − 112 , k1 = 2, λ2 = 1112 .) Els modes propis són c1
1
0
−1
(− 112)k, c2
0
1
−1
(− 112)k i
c3
1
1
1
( 1112)
k. El dominant és el tercer. Per k → ∞, x(k) ∼ c3
1
1
1
( 1112)
k → 0.
10. x(k) =
x1
x2
x3
on xi és la proporció de clients en Si, i = 1, 2, 3. x(k + 1) = Ax(k), amb
A =
0.8 0.2 0.1
0.1 0.7 0.3
0.1 0.1 0.6
. x(0) =
0.2
0.3
0.5
.
(λ1 = 1, λ2 = 0.6, λ3 = 0.5.) Per k → ∞, x(k) →
9/20
7/20
4/20
.
11. Fet en la unitat 3.
12. x(k) =
P (F )
P (C1)
P (C2)
P (C3)
P (C)
. x(0) =
0
0
1
0
0
. x(k+1) = Ax(k), amb A =
1 1/2 0 0 0
0 0 1/2 0 0
0 1/2 0 1/2 0
0 0 1/2 0 0
0 0 0 1/2 1
.
21
(λ1 = 1, k1 = 2, λ2 =√
22 , λ3 = −
√2
2 , λ4 = 0.) v1 =
1
0
0
0
0
, v2 =
0
0
0
0
1
, v3 =
1 +√
2
−√
2
−2−√
2
1 +√
2
,
v4 =
1 −√
2√2
−2√2
1 −√
2
, v5 =
1
−20
2
−1
.
Solució general: x(k) = c1v1 + c2v2 + c3v3(√
22 )
k + c4v4(−√
22 )
k + c5v5δk,0. Per k → ∞,
x(k) →
c1
0
0
0
c2
. A partir de la condició inicial es determina c1 = c2 =12 , c3 = c4 = −14 ,
c5 = 0. Per tant, en el ĺımit pot trobar-se a la feina o a casa amb probabilitats iguals al 50%.
13. (a) x(k) =
(
p(k)
q(k)
)
. La probabilitat d’error l’anomenem � = 0.05. La probabilitat de
transmissió correcta és 1 − � = 0.95 (s’entén que dos errors deixen el missatge correcte). Dep(k + 1) = (1 − �)p(k) + �q(k) i q(k + 1) = �p(k) + (1 − �)q(k) s’obté x(k + 1) = Ax(k) on
A =
(
1 − � �� 1 − �
)
.
(b) (λ1 = 1 − 2�, λ2 = 1.) v1 =(
1
−1
)
, v2 =
(
1
1
)
. Els punts d’equilibri són els vectors
propis de valor propi 1: x = c
(
1
1
)
.
(c) p(k+1)+q(k+1) = ((1−�)p(k)+�q(k))+(�p(k)+(1−�)q(k)) = p(k)+q(k). La constantés la suma de probabilitats p(0) + q(0) = 1.
(d) La solució del sistema és x(k) = 12
(
1 + (1 − 2�)k 1 − (1 − 2�)k1 − (1 − 2�)k 1 + (1 − 2�)k
)
x(0). Aix́ı, p(k) =
12 (1 + (1 − 2�)k)p(0) + 12 (1 − (1 − 2�)k)q(0) = 12 +
p(0)−q(0)2 (1 − 2�)k. El punt d’equilibri és(
1/2
1/2
)
, estable.
(e) q(k) = 12 (1 − (1 − 2�)k)p(0) + 12 (1 + (1 − 2�)k)q(0) = 12 −p(0)−q(0)
2 (1 − 2�)k. Per k → ∞,q(k) → 12 .(f) En el transcurs del temps es van produint errors i a la llarga és igual de probable tenir elmissatge correcte o incorrecte.
14. (Ha de ser α > 0.)
(a) λ1 = 0.8 +√
0.09− 0.4α, λ2 = 0.8−√
0.09− 0.4α.Per 0 < α ≤ 0.225 tenim dos valors propis reals. Si 0 < α ≤ 0.125, λ1 ≥ 1. Si 0.125 < α ≤0.225, λ1, λ2 < 1.
22
Per α > 0.225 tenim dos valors propis complexos conjugats. |λi| < 1 si 0.225 < α < 1.125.Per α ≥ 1.125 |λi| ≥ 1.Llavors |λi| < 1 per 0.125 < α < 1.125.(b) Quan |λi| < 1, λki → 0 i la solució tendeix a zero.(c) Per α < 0.125, λ1 > 1 i la solució conté λ
k1 que va creixent. Per α = 0.125, λ1 = 1 i
λ2 < 1. Llavors el sistema tendeix al mode de valor propi 1, constant.
(d) Per α = 0.125, la solució tendeix a c
(
4
5
)
, constant amb proporcions 4/9 i 5/9 (44.4%
i 55.6%).
Per α = 0.104, la solució creix com c
(
10
13
)
1.02k, amb proporcions 10/23 i 13/23 (43.5% i
56.5%). Com més petit és α menys efecte té el depredador sobre la pressa.
15. (a) Sistema x(k + 1) = Mx(k) on x(k) =
a(k)
b(k)
c(k)
d(k)
i M =
1/3 0 1/3 1/3
0 1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 0 1/3
1/3 1/3 1/3 0
.
(λ1 = 1, λ2 =13 , λ3 = −13 , k3 = 2.)
x(k) = c1
1
1
1
1
+ c2
1
−10
0
( 13)k + c3
1
1
−20
(−13)k + c4
1
1
0
−2
(−13 )k.
c1 =a(0)+b(0)+c(0)+d(0)
4 , c2 =a(0)−b(0)
2 , c3 =a(0)+b(0)−3c(0)+d(0)
8 , c4 =a(0)+b(0)+c(0)−3d(0)
8 .
(b) a(k)+b(k)+c(k)+d(k) = 4c1 = a(0)+b(0)+c(0)+d(0). Aix́ı, la suma es manté constant.
(c) Amb la successió d’intercanvis els autobusos acaben repartint-se uniformement.
23