An Lisis de Estructuras Sim Tricas y Antisimetricas

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

PROFESOR: JULIO BACHMANN A. 1

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

1.1 INTRODUCCIÓN:

En la concepción de sistemas estructurales se trata, siempre que sea posible, de

diseñar conjuntos que tengan alguna propiedad de simetría, pues así se facilita su

cálculo y construcción. Frecuentemente, la simetría estructural se da respecto a un

plano, con lo que parece interesante disponer de un método que permita simplificar el

análisis de la estructura.

Sin embargo, muchas de las cargas exteriores no son simétricas por su propia

naturaleza (viento…) por lo que aunque actúen sobre una estructura simétrica en cuanto

a geometría, la respuesta obtenida (deformaciones, esfuerzos…) no lo será. La solución

a este problema consiste en descomponer el sistema de cargas en dos sistemas distintos,

que cumplen relaciones de simetría diferentes, denominados sistemas simétricos y

antisimétricos, de tal forma que sea más fácil calcular la respuesta de la mitad de la

estructura para cada caso, y finalmente sumarlas.

El sistema de cargas que actúa sobre una estructura simétrica se dice que es

simétrico si en puntos de la estructura simétricos actúan cargas simétricas, es decir con

el mismo módulo, dirección y sentido.

El sistema de cargas que actúa sobre una estructura simétrica se dice que es

antisimétrico si en puntos de la estructura simétrica actúan cargas antisimétricas, es

decir con el mismo módulo y dirección pero con distinto sentido.

Figura 1.1. Simetría y antisimetría de estructuras.

MECÁNICA DE ESTRUCTURAS


Figura 1.2. (a)-(d) Estructuras simétricas, (e)-(f) estructuras no simétricas

1.2 DESCOMPOSICIÓN DEL SISTEMA DE CARGAS

En una estructura simétrica es siempre posible descomponer un caso de carga

general en suma de dos estados de carga, uno simétrico y otro antisimétrico, tal como se

muestra en la figura 1.3. Aplicando el principio de superposición, la solución del

problema original puede obtenerse resolviendo, primero, los problemas parciales y,

después superponiendo los esfuerzos y los desplazamientos correspondientes a dichos

problemas parciales. Este procedimiento permite aprovechar la información adicional

que proporcionan las condiciones de simetría y antisimetría que se analizarán a

continuación.

En general cualquier magnitud vectorial puede descomponerse en suma de dos

componentes, una simétrica y otra antisimétrica.



Figura 1.3. Descomposición del sistema de cargas.

Ejemplo 1:

1.3 ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

Una estructura plana simétrica sometida a un sistema de cargas simétrico, se

deforma de manera simétrica, y las solicitaciones internas tienen asimismo una

distribución simétrica. La figura 1.4 muestra las relaciones que cumplen las

deformaciones y los esfuerzos internos

Deformaciones esfuerzos internos

Figura 1.4. Comportamiento de estructuras con cargas simétricas

1.3.1 NUDOS CONTENIDOS EN EL EJE DE SIMETRÍA

En el nudo situado en el eje de simetría las deformaciones deben satisfacer a la

vez las condiciones de deformación simétrica y de compatibilidad geométrica.

Aplicando estas condiciones al elemento diferencial situado justo en el eje de simetría

se obtiene el valor que deben tener sus deformaciones para respetar a la vez ambos

criterios (figura 1.5).



Deformación en X: no es posible

Deformación en Y: si es posible

Giro Z: no es posible

Figura 1.5. Deformaciones del elemento diferencial bajo cargas simétricas.

Así un punto situado en el eje de simetría sólo puede tener desplazamiento según

Y, siendo nulos el desplazamiento X y el giro Z. La condición de contorno a aplicar en

este punto es por lo tanto la de empotramiento ( ) deslizante según Y ( ,

), como se muestra en la figura 1.6.

Figura 1.6. Condición de apoyo estructura simétrica.

Al mismo resultado se llega si se efectúa el razonamiento con las fuerzas,

aplicando las condiciones de equilibrio del nudo, como se muestra en la figura 1.7.

Fuerza X: si es posible (indeterminado, donde, )

Fuerza Y: no es posible (para que exista equilibrio en el nudo)

Momento Z: si es posible (indeterminado, donde, )

Figura 1.7. Fuerzas en elemento diferencial bajo cargas simétricas.

Por lo tanto, el nudo debe ser un empotramiento deslizante según Y para poder

absorber este sistema de fuerzas.



Ejemplo:

1.3.2 BARRAS Y/O CARGAS CONTENIDAS EN EL EJE DE SIMETRÍA

Cuando una barra está contenida en el eje de simetría se debe separar en dos semi-

barras situadas cada una de ellas en una de las dos mitades de la estructura. Esta

separación debe hacerse con la condición de que la energía acumulada en cada semi-

barra sea la mitad de la energía acumulada en la barra completa .

Es decir, que la semi-barra tiene que tener la mitad de rigidez que la barra

original. Para ello basta con dar a la semi-barra los valores de y/o , según

corresponda.

Con este método se garantiza que se obtienen las deformaciones reales en el plano

de simetría. Por otra parte, las solicitaciones obtenidas en el eje de la semi-barra

(esfuerzo axial), son la mitad de las solicitaciones en la barra completa.

De la misma forma si existe una carga puntual aplicada en el eje de simetría, esta

se divide en cada semi-barra.

Ejemplos:

(a)



b)

PROBLEMA : Resolver la siguiente estructura, utilizando conceptos de simetría.

Resolviendo el problema mediante el software SAP2000. Y considerando AE=10·EI

con EI=1, se tiene:

DIAGRAMA DE MOMENTO

Modelo de apoyo empotrado

deslizante en SAP 2000



DIAGRAMA DE CORTE

DIAGRAMA DE ESFUERZO AXIAL

DEFORMACIÓN DE LA ESTRUCTURA

Se aprecia en los resultados como se obtienen las deformaciones reales en el eje

de simetría, mientras que las fuerzas axiales ubicadas en la barra contenida en este

resultan ser la mitad de las reales.



1.4 ESTRUCTURAS ANTISIMÉTRICAS

Una estructura plana simétrica geométricamente, sometida a cargas asimétricas; se

deforma de manera asimétrica. Las solicitaciones internas tienen asimismo una

distribución asimétrica, como se indica en la figura 1.8.

Deformaciones esfuerzos internos

Figura 1.8. Comportamiento de estructuras con cargas asimétricas

1.4.1 NUDOS CONTENIDOS EN EL EJE DE ANTISIMETRÍA

En el nudo situado en el eje de asimetría las deformaciones deben satisfacer a la

vez las condiciones de deformación asimétrica y de compatibilidad geométrica.

Aplicando estas condiciones al elemento diferencial situado justo en el eje de asimetría

(figura 1.9) se obtienen los valores que deben tener sus deformaciones para respetar a la

vez ambos criterios.

Deformación en X: si es posible

Deformación en Y: no es posible

Giro Z: si es posible

Figura 1.9. Deformaciones del elemento diferencial bajo cargas asimétricas.

Así pues un punto situado en el eje de asimetría puede tener desplazamientos

según X y giro según Z, pero el desplazamiento vertical Y debe ser nulo. Nótese que

estas deformaciones son las complementarias a las permitidas en el caso simétrico

(figura 1.5). La condición de contorno a aplicar en este punto es por lo tanto la

articulación deslizante según X , como se muestra en la

figura 1.10

Figura 1.10. Condición de apoyo estructura asimétrica.



También se puede efectuar el razonamiento con las fuerzas internas, aplicando las

condiciones de equilibrio en cada dirección, bajo la acción de una pareja de fuerzas

antisimétricas (figura 1.11).

Fuerza X: no es posible (para que exista equilibrio en el nudo)

Fuerza Y: si es posible (indeterminado, donde, )

Momento Z: no es posible (para que exista equilibrio en el nudo)

Para poder absorber este sistema de fuerzas el nudo debe ser un apoyo articulado

deslizante según X.

Figura 1.10. Fuerzas en elemento diferencial bajo cargas simétricas.

Ejemplos:

(a)

(b)

(c)



1.4.2 BARRAS Y/O CARGAS CONTENIDAS EN EL EJE DE ANTISIMETRÍA

Al igual que en el caso simétrico, se debe separa en dos semi-barras situadas cada

una de ellas en una de las dos mitades de la estructura. Esta separación debe hacerse con

la condición de que la energía acumulada en cada semi-barra sea la mitad de la

energía acumulada en la barra completa .

Es decir, que la semi-barra tiene que tener la mitad de rigidez que la barra

original. Para ello basta con dar a la semi-barra los valores de y/o , según

corresponda, garantizando así que las deformaciones obtenidas sean las reales, mientras

que para este caso las solicitaciones de corte y momento flector en el eje de la semi-

barra resultan ser la mitad.

Ejemplo:

1.5 ESTRUCTURAS CON ESTADO DE CARGA GENERAL

Como ya se ha dicho toda estructura geométricamente simétrica, su estado de carga se

puede descomponer en una suma de estados de carga simétricos y antisimétricos.

Ejemplo: Para la siguiente estructura, determinar los diagramas de momento, corte y

axial, utilizando conceptos de simetría y antisimetría.

La estructura como no es ni simétrica ni antisimétrica, se descompone en una

suma de ambos casos, de esta forma:

General Antisimétrica Simétrica



Estructura Antisimétrica

Estructura Simétrica

Diagramas de estructura

COROLARIO: El análisis de marcos que no son considerados simétricos ni

antisimétricos, solicitados horizontalmente por cargas puntuales a nivel de las vigas, se

puede simplificar resolviendo solo la descomposición antisimétrica de la estructura,

siempre y cuando la componente axial de las vigas no sea necesaria para efectos de

cálculo.



PROBLEMA 1: Para el marco que se muestra, determine el desplazamiento a nivel de

las vigas, utilice las conclusiones expuestas en el corolario. Considere AE=10·EI

Toda estructura que no es ni simétrica ni antisimétrica, se puede descomponer

como la suma de ambos casos, de esta forma se tiene:

Sabiendo que al ser las vigas elementos del tipo EI en donde su diagrama axial no

influye en el cálculo de las deformaciones, y utilizando el corolario, el problema se

simplifica a:

Notar que los grados hiperestáticos de la estructura son 6, quedando en 2 tras la

simplificación.



MODELO SAP2000

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR



DIAGRAMA DE CORTE

DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL



DEFORMACIONES ESTRUCTURA COMPLETA

DEFORMACIONES ESTRUCTURA SIMPLIFICADA



PROBLEMA 2: Para el marco que se muestra, determine el desplazamiento de todos

los nudos. Considere AE=10·EI

De igual manera que el problema anterior, solo se considerará la descomposición

antisimetrica de la estructura para el cálculo de los desplazamientos. De esta forma se

tiene:

MODELO SAP2000



DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

DIAGRAMA DE CORTE



DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL

DEFORMACIONES ESTRUCTURA COMPLETA



DEFORMACIONES ESTRUCTURA SIMPLIFICADA

Donde:

U1: Deformación horizontal

U3: Deformación vertical

R2: Giro en torno al eje Z

En ambos ejemplos resueltos mediante SAP2000 se puede apreciar que la

simplificación realizada correspondiente a analizar solo descomposición antisimetrica

de una estructura con un estado general de cargas puntuales laterales a nivel de las vigas

axialmente indeformables, entrega los diagramas de momento y de corte correctos, con

excepción de la barra contenida en el eje de antisimetría (PROBLEMA 2), los cuales

como se vio anteriormente resultan ser la mitad de los reales.

Para el caso del diagrama de fuerzas axiales se aprecia que los resultados de las

vigas no son correctos, siendo en este punto donde cobra importancia la descomposición

simétrica de la estructura, la cual entregará el complemento de la fuerza axial que da

como resultado las fuerzas reales de la estructura. Sin embargo, a pesar de que estos

esfuerzos axiales resultan no ser los reales, se puede apreciar que las deformaciones si

lo son, esto se explica por el simple hecho que en barras axialmente indeformables (EI)

la fuerza axial no aporta energía de deformación.



A continuación se muestra el diagrama de fuerzas axiales de la estructura original,

más sus descomposiciones antisimetrica y simétrica, para apreciar como el

complemento de las fuerzas axiales de cada descomposición da como resultado las

fuerzas reales.

(a) (b) (c)

Figura 1.11. Diagrama de fuerzas axiales: (a) estructura con estado de carga

general. (b) Descomposición antisimetrica de la estructura. (c) Descomposición

simétrica de la estructura

1.6 RESUMEN

En la sección perteneciente al eje de simetría tendremos.

M N Q u v

Cargas

Simétricas ≠ 0 ≠ 0 0 0 0 ≠ 0

Cargas

Antisimétricas 0 0 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0 0

Donde:

u: Deformación perpendicular al eje de simetría

v: Deformación paralela al eje de simetría

Referente a los ejemplos de estos apuntes u, corresponde a la deformación en el eje X,

mientras que v, corresponder a la deformación en el eje Y.

En cuanto a las fuerzas en la barras contenidas en el eje de simetría.

N Q M

Barras en el eje

de simétria La mitad del real Correcto Correcto

Barras en el eje

de antisimétria Correcto La mitad del real La mitad del real



1.7 BIBLIOGRAFÍA

Celigüeta, Juan Tomás. Curso de Análisis Estructural. Ediciones Universidad de

Navarra. San Sebastián, España. 1998

Cervera R, Miguel. Blanco D., Elena. Mecánica de Estructuras: Libro 2, Métodos de

Análisis. Ediciones UPC. Barcelona, España: Universidad Politécnica de Cataluña,

2001.

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