An lisis Estructural de Cables, Herramienta Computacional ... · PDF fileiii An´alisis...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES

Trabajo Final

Analisis Estructural de Cables, HerramientaComputacional y Aplicaciones

Ingenierıa Civil - Plan 88

Asesor: Dr. Ing. Jose A. Inaudi

Marcos P. Barberis

Octubre 2001

ii

iii

Analisis Estructural de Cables,Herramienta Computacional y

Aplicaciones

Resumen

Se presentan los conceptos teoricos fundamentales para el analisis estructural de cables y sus apli-caciones. Se comparan metodos con distinto grado de aproximacion y generalidad disponibles paraesta clase de problemas.Se desarrolla una herramienta de calculo versatil y expandible, que permiteel estudio del comportamiento no lineal geometrico de cables y estructuras reales que incorporaneste tipo de elemento. Se realiza una breve descripcion del entorno de trabajo SAT-Lab, la he-rramienta de analisis estructural tomada como marco para la implementacion de la programaciondesarrollada. Se destacan las funciones que facilitan la generacion de modelos computacionales, loque permite mostrar a traves de ejemplos las principales caracterısticas de la respuesta estatica ydinamica de estructuras como torres arriostradas, puentes atirantados y colgantes. Se describen losalgoritmos que permiten una solucion eficiente de los problemas planteados.

Agradecimientos

Quiero expresar mi mas sincero agradecimiento:

Al Dr. Jose A. Inaudi, docente asesor de este trabajo, por interesarme en el tema de estu-dio y su asistencia permanente en en el desarrollo de la programacion.

Al Dr. Fernando Flores por atender mis consultas sobre metodos numericos.

A mi hermano Franco Barberis, por su colaboracion en la preparacion del texto, y las ilus-traciones.

iv

Indice General

Resumen iii

Indice de figuras vii

1 Introduccion 11.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Organizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Conceptos Fundamentales 52.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 La Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 La Catenaria como Solucion a un Problema Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Solucion Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 El Cable Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Respuesta a Cargas Puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Solucion de las Ecuaciones de Equilibrio Estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Estatica del Cable Suspendido 173.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 El Perfil Parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 El Perfil de un Cable Tenso Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Influencia de la Rigidez Flexional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Respuesta a una Carga Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Graficos para el Tiro Adicional h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.2 Solucion Linealizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3 Cable Tirante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Respuesta a una Carga Uniformemente Distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Analisis vıa Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6.1 Elemento de barra equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6.2 Modelo de multiples elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.3 Elemento finito derivado del metodo de los desplazamientos . . . . . . . . . . 303.6.4 Elemento derivado de la ecuacion exacta de la catenaria . . . . . . . . . . . . 32

4 Funciones para el Entorno de Trabajo SAT-Lab 354.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Breve Descripcion de SAT-Lab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Funciones para el Analisis de Estructuras con Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Ejemplo: Construccion de un modelo estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Aplicaciones 455.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Estatica de una Torre Arriostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Puentes Atirantados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Puentes Colgantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Metodos de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5.1 Metodo de Solucion para Problemas Estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

v

vi INDICE GENERAL

5.5.2 Metodo de Relajacion y Problemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Dinamica del Cable Suspendido 556.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Teorıa Lineal de Vibraciones Libres de un Cable Suspendido . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Movimiento Fuera del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.2 Movimiento En el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Vibraciones Libres de un Cable Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 Analisis por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4.1 Ejemplo de aplicacion: modos de vibrar de una torre arriostrada . . . . . . . 60

7 Conclusiones 67

Bibliografıa 70

Indice de Figuras

1.1 Puente colgante en Simo, Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Antiguo puente colgante en Gran Bretana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 H/W vs. l/L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Relacion de aspecto l/L0 vs. d/l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Parametro ε de Irvine vs. d/l para distintos angulos de inclinacion . . . . . . . . . . 203.3 Influencia en la flecha de la rigidez flexional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Relacion h/P para cables horizontales con carga en el centro de la luz vs. λ2 . . . . 253.5 Relacion h/P para cables horizontales con carga en el cuarto de la luz vs. λ2 . . . . 263.6 Solucion linealizada para h/P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 h/P para un cable tenso con carga en el centro y en el cuarto . . . . . . . . . . . . . 283.8 Carga en el decimo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9 Carga en los dos decimos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Carga en los cuatro decimos central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.11 Carga en los seis decimos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.12 Carga en los ocho decimos central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.13 Carga en toda la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Ploteo de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Ejemplo de solucion de problemas estaticos: deformada de la estructura . . . . . . . 44

5.1 Esquema muy simple de una torre arriostrada, con cables relativamente sueltos . . . 465.2 Torre bajo la accion de una carga horizontal en el extremo superior . . . . . . . . . . 465.3 Rigidizacion de la torre, L0/L = 1.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Idem anterior, L0/L = 1.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.5 Puente atirantado Sunshine, Tampa Bay, Florida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6 Esquema de un puente de atirantado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.7 Deformada exagerada de un puente de atirantado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.8 Puente colgante Akashi Kaiko, Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.9 Esquema simple de un puente colgante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.10 Modelo de torre multiplemente arriostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.11 Solucion obtenida por el metodo de relajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1 Primeros 5 modos de vibracion antisimetricos en el plano. (w en lınea discontinua) . 616.2 Las 5 primeras formas antisimetricas de tension adicional h . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Formas posibles para la componente vertical del primer modo simetrico en el plano. 636.4 Formas posibles para la componente vertical del segundo modo simetrico en el plano. 646.5 Los dos primeros modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos . . . 646.6 Tercer y cuarto modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos . . . . 656.7 Los dos primeros modos de un cable inclinado 45◦ calculados por elementos finitos . 656.8 Tercer y cuarto modos de un cable inclinado 45◦ calculados por elementos finitos . . 656.9 Los dos primeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas . . 666.10 Tercer y cuarto modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas . . 66

vii

viii INDICE DE FIGURAS

Capıtulo 1

Introduccion

1.1 Motivacion

La seleccion del tema surge como propuesta del docente asesor 1 de este trabajo, como una opor-tunidad para aprender sobre una materia no cubierta por los cursos regulares de estructuras de lacarrera de ingenierıa civil.

Construir modelos computacionales simples de estructuras reales, como las que se muestran enlas figuras 1.1 y 1.2, para el analisis de su comportamiento representa un desafıo interesante ymotivo la tarea de programacion realizada.

Figura 1.1: Puente colgante en Simo, Japon

1.2 Objetivos

• Comprender los conceptos fundamentales relativos al comportamiento no lineal geometrico deun cable suspendido y estructuras que cuentasn con este tipo de elemento.

1Dr. Ing. Jose A. Inaudi

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.2: Antiguo puente colgante en Gran Bretana

• Presentar una comparacion entre metodos con distinto grado de aproximacion, generalidad ycosto computacional.

• Desarrollar una herramienta de calculo versatil y expandible que permita una solucion eficien-te.

• Estudiar algunos esquemas simplificados de estructuras reales como aplicacion practica deltrabajo de programacion realizado.

1.3 Organizacion

Siguiendo la secuencia teorıa → implementacion computacional → aplicaciones, el material de estetrabajo se ha organizado de la siguiente forma:

En el capıtulo 2 se exponen los conceptos fundamentales relativos tanto al cable inextensiblecomo al elastico. Se obtienen las expresiones para el cable suspendido bajo la accion del peso propio,y las que resultan de la aplicacion de fuerzas puntuales.

En el capıtulo 3 se tratan problemas de la estatica, comparando los resultados aproximados delcable parabolico [14], y metodos simplificados de solucion con los resultados del capıtulo anterior.Se estudian ademas una serie de modelos de elementos finitos derivados de la teoria expuesta [14],[15].

En el capıtulo 4 se presenta la caja de herramientas 2 SAT -Lab, 3 creada para analisis deestructuras.

El capıtulo 5 contiene el estudio del comportamiento no lineal de estructuras que cuentan concables entre sus elementos, como torres arriostradas , puentes atirantados y colgantes. En todos loscasos los modelos son extremadamente simples, para no distraer con detalles que no son motivo deesta trabajo.

El capıtulo 6 se dedica al estudio de la dinamica del cable suspendido, y como en el anterior, serealizan algunas simplificaciones en las ecuaciones generales para poder obtener soluciones analıticas

2MatLab ToolBox, conjunto de funciones o subrutinas agrupadas por tema3Juan C. de la Llera y Jose A. Inaudi

1.3. ORGANIZACION 3

[14], las que se comparan con resultados del metodo de elementos finitos.En los capıtulos precedentes, al finalizar la presentacion de cada tema, se encuentra una breve

referencia a las funciones de Matlab empleadas, como una manera de introducir paulatinamente elconjunto de funciones desarrolladas.

Por ultimo, en el capıtulo 7 se escriben las conclusiones y algunas ideas para trabajos futuros.

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Capıtulo 2

Conceptos Fundamentales

2.1 Introduccion

El proposito de este capıtulo es presentar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de uncable suspendido bajo la accion de su peso propio. Para la preparacion de este trabajo se ha tomadocomo referencia principal el libro de Irvine: Cable Structures. Para comenzar se apela al caso massecillo: el cable se asume inextensible y los soportes se encuentran al mismo nivel. Luego se considerael caso de extremos a distinta altura, y se obtienen ademas las expresiones parametricas para lascoordenadas cartesianas. En todos los casos, el tradicional ejemplo de problema isoperimetricodel calculo de variaciones se emplea como punto de partida para la obtencion de las ecuacionesde equilibrio. Dentro de este marco se incorpora la ley de Hooke para analizar el cable elastico.Finalmente, se considera la respuesta frente a la aplicacion de cargas concentradas. Siguiendo eldesarrollo del texto se presentaran las funciones de Matlab, el software elegido para implementaciondel material de este trabajo, con las que se obtienen los resultados de cada seccion. Por razones declaridad y espacio, el cable se estudia en el plano (x, z), la extension a tres dimensiones es directay de esta manera se encuentra en la programacion desarrollada.

2.2 La Catenaria

En esta seccion se presenta la formulacion clasica del cable inextensible, que puede encontrarse, conligeras variaciones, en los libros de Irvine, Rekach y Timoshenko mencionados en la bibliografıa.

Se analiza en este punto la curva resultante y otras propiedades de un cable o cadena uniformeinextensible, que se encuentra suspendido entre dos puntos fijos ubicados al mismo nivel. Se des-precia la rigidez flexional del cable y se asume ademas que solo puede soportar fuerzas de traccion.Considerando el equilibrio vertical de un elemento de cable aislado ubicado en (x, z), se requiereque:

d

ds

(T

dz

ds

)= mg, (2.1)

donde T es la traccion en el cable, dz/ds es el seno del angulo subtendido por la tangente a la curvaformada por el mismo respecto a la horizontal, y mg es el peso propio por unidad de longitud. Elequilibrio horizontal del elemento conduce a:

d

ds

(T

dx

ds

)= 0. (2.2)

La ecuacion (2.2) puede ser integrada directamente resultando:

Tdx

ds= H, (2.3)

donde H es la componente horizontal de la traccion en el cable, que resulta una constante para todopunto, dado que no existen cargas longitudinales actuando. Por otro lado (2.1) puede expresarse:

Hd2z

dx2= mg

ds

dx, (2.4)

5

6 CAPITULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

donde puede notarse que cuando mgds/dx, la intensidad de carga por unidad de longitud, esconstante, la curva resultante es una parabola. Para cables de baja flecha esta es una aproximacionrazonable y simplifica considerablemente la la solucion del problema, tal como se vera en el proximocapıtulo.

Dado que debe satisfacerse la siguiente restriccion geometrica:(dx

ds

)2

+(dz

ds

)2

= 1, (2.5)

y la ecuacion diferencial de la catenaria resulta entonces:

Hd2z

dx2= mg

[1 +

(dz

dx

)2] 12. (2.6)

Para la solucion de esta ecuacion resulta conveniente escribirla en la forma:

dz′√1 + z′2

=mg

Hdx, (2.7)

donde z′ = dz/dx, y puede integrarse directamente resultando:

emgH (x+c1) = z′ +

√1 + z′2. (2.8)

Notando que:

e−mgH (x+c1) = −z′ +

√1 + z′2, (2.9)

y restando (2.9) de (2.8) se obtiene:

z′ =12

(e

mgH (x+c1) − e−

mgH (x+c1)

)= sinh

mg

H(x + c1). (2.10)

Finalmente, la expresion para z(x) se obtiene al integrar la ecuacion anterior:

z + c2 =H

mgcosh

(mg

H(x + c1)

), (2.11)

en la que incorporando las condiciones z(0) = z(l) = 0 (extremos el mismo nivel) resulta:

z =H

mg

[− cosh

mgl

2H+ cosh

mg

H

(x− l

2

)]. (2.12)

La expresion para la longitud del tramo de cable es:

s =

x∫0

[1 +

(dz

dx

)2] 12dx =

H

mg

[sinh

(mgl

2H

)− sinh

mg

H

( l

2− x

)], (2.13)

resultando que, si un cable de longitud L0 es usado para cubrir la distancia entre soportes, lacomponente horizontal H de la traccion en el cable puede encontrarse resolviendo la ecuacion:

sinh(mgl

2H

)=

mgL0

2H, (2.14)

asumiendo conocidos los valores de mg y l. Mientras no se relaje la condicion de inextensibilidad,no existe solucion si L0 no es mayor que l. La traccion en cualquier punto es:

T = H coshmg

H

( l

2− x

). (2.15)

Para concluir con este punto, cabe notar que cuando la longitud del cable es escasamente superior ala luz mgl/H es una cantidad pequena en comparacion con la unidad. Sustituyendo en la ecuacion(2.14) la funcion hiperbolica por su desarrollo en serie de potencias (y despreciando terminos deorden superior) se obtiene la ecuacion de una parabola, la que resulta una muy buena aproximacionen cables de flecha reducida. De acuerdo con lo anterior puede escirbirse:

mgl

2H+

16

(mgl

2H

)3

=mgL0

2H, (2.16)

2.3. LA CATENARIA COMO SOLUCION A UN PROBLEMA VARIACIONAL 7

de donde, introduciendo la notacion χ = H/W , γ = l/L0 con W = mgL0 puede derivarse una so-lucion aproximada para la componente horizontal de la traccion:

χ =γ

32√

24(1− γ), (2.17)

la que produce buenos resultados en el rango 0.8 ≤ γ < 1. Resulta evidente en esta expresion queχ → ∞ cuando γ → 1. En la figura 2.1 se comparan los valores producidos por la aproximacion(2.17) y la solucion exacta de (2.14).

Figura 2.1: H/W vs. l/L0

2.3 La Catenaria como Solucion a un Problema Variacional

Se presenta en este apartado una forma alternativa de derivar las ecuaciones de la catenaria. Elcable se supone inextensible y de rigidez flexional nula, con apoyos a distinto nivel. Se trata deencontrar la curva que minimiza la energıa potencial gravitacional Vg, sujeta a la restriccion demantener una longitud prefijada. En coordenadas cartesianas la expresion para la energıa es:

Vg =

lb∫−la

mgz√

1 + z′2dx =

lb∫−la

F (x, , z, z′)dx. (2.18)

Por la condicion de inextensibilidad debe satisfacerse la restriccion:

G(x, z, z′) =

lb∫−la

√1 + z′2dx− L0 = 0, (2.19)

donde la y lb son las proyecciones horizontales de las distancias del punto con tangente horizontal,en la curva del cable, a los extremos. Entonces puede escribirse el funcional extendido del problemaisoperimetrico como:

I(x, z, z′) =

lb∫−la

[mgz

√1 + z′2 + λ

(√1 + z′2 − L0

lb + la

)]dx, (2.20)

donde λ es el multiplicador de Lagrange. La solucion de (2.20) se encuentra a partir de la ecuacionde Euler:

d

dx

(∂FE

∂z′

)− ∂FE

∂z= 0 (2.21)

donde FE = F + λG. Desarrollando se obtiene:

(mgz + λ)z′′ −mg(1− z′2) = 0. (2.22)


La forma del segundo termino sugiere la sustitucion:

z′ = sinh(ax), (2.23)

que implica adoptar como origen de abcisas (x = 0), un punto con tangente horizontal; mientrasque a es una constante a determinar. Incorporando la condicion z(0) = 0, puede escribirse:

z(x) =1a[cosh(ax)− 1], (2.24)

z′′(x) = a cosh(ax), (2.25)

lo que permite obtener a = mg/λ. Para completar la solucion falta encontrar la expresion para elmultiplicador de Lagrange. este se deriva de la ecuacion de restriccion:

L0 =

lb∫−la

√1 + z′2dx =

λ

mg

[sinh

(mglbλ

)+ sinh

(mg(l − lb)λ

)], (2.26)

donde se reemplazo la = l − lb. Designando z(−la) = fa y z(lb) = fb, valores en los extremos delcable y haciendo h = fa − fb, pueden plantearse las ecuaciones para la determinacion de las dosincognitas restantes, lb y fb:

l =λ

mg

[cosh−1

(mg(h + fb)λ

+ 1)

+ cosh−1(mgfb

λ+ 1

)], (2.27)

h =λ

mg

[cosh

(mg(l − lb)λ

)− cosh

(mglbλ

)]. (2.28)

Entonces la solucion del problema de la catenaria inextensible con soportes a distinto nivel requiereresolver un sistema de tres ecuaciones no lineales. Por ultimo, corresponde aclarar que la ecuacionde la catenaria z(x) esta definida para −la ≤ x ≤ lb y puede ser −la > 0 y/o lb < 0, en los casosen que no existe en el cable un punto de tangente horizontal, como ocurre en la mayorıa de lasaplicaciones estructurales de cables inclinados.

2.3.1 Solucion Parametrica

Para muchas aplicaciones resulta conveniente expresar las coordenadas del cable en la forma (x(s), z(s)),donde s es la coordenada lagrangiana que barre la longitud del cable (0 ≤ s ≤ L0). Entonces, elfuncional a minimizar se expresa:

I(s, x, z, x′, z′) =

L0∫0

{mgz +

(λ

2

)[(dx

ds

)2

+(dz

ds

)2

− 1]}

ds, (2.29)

donde el multiplicador de Lagrange se escribio λ/2 por conveniencia y las primas denotan derivadasrespecto a s. Las ecuaciones de Euler conducen directamente a las ecuaciones de equilibrio estatico:

d

ds

(λ

dx

ds

)= 0, (2.30)

d

ds

(λ

dz

ds

)= mg, (2.31)

las que pueden escribirse alternativamente:

λdx

ds= H, (2.32)

2.3. LA CATENARIA COMO SOLUCION A UN PROBLEMA VARIACIONAL 9

λdz

ds= V + mgs, (2.33)

de donde se deriva que:

λ(s) = T (s) =√

H2 + (V + mgs)2. (2.34)

Sustituyendo (2.34) en (2.32) y (2.33) se obtiene:

dx

ds=

H√H2 + (V + mgs)2

, (2.35)

dz

ds=

V + mgs√H2 + (V + mgs)2

. (2.36)

Para la integracion de estas ecuaciones diferenciales se emplean las formulas:∫dx√

ax2 + bx + c=

1√a

ln(2√

a√

ax2 + bx + c + 2ax + b), (2.37)

∫xdx√

ax2 + bx + c=√

ax2 + bx + c

a− b

2a

∫dx√

ax2 + bx + c, (2.38)

y las expresiones para las coordenadas cartesianas de la curva descripta por el cable son:

x(s) =H

mg

[ln

(T (s) + mgs + V

)− ln

(T (0) + V

)], (2.39)

z(s) =1

mg

(T (s)− T (0)

). (2.40)

Los valores desconocidos de H y V se obtienen de las ecuaciones (2.39) y (2.40) junto con lascondiciones de borde x(L0) = l y z(L0) = h. Si se desigan con los subındices i, j los valoresrelativos a los extremos s = 0, s = L0 respectivamente, el sistema de ecuaciones no lineales aresolver es:

l =H

mg

[ln

(Tj + W + V )

)− ln

(Ti + V

)], (2.41)

h =1

mg

(Tj − Ti

). (2.42)

La funcion para Matlab que resuelve este problema es cbf0i.m.

Matlab� f0=cbf0i(xyzi, xyzj, props [, f0ap])

xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.

props = [E A Lo mg eo so], propiedades materiales y geometricas del cable.

E, A, eo y so no son utilizadas por esta funcion.

f0ap = [Hxap Hyap Vap] aproximacion inicial (opcional).

fo = [Hx Hy V]’, acciones del cable en el nodo i.

Para obtener las coordenadas de la curva que forma el cable inextensible en su posicion de equilibriose desarrollo la funcion cbinext.m.


Matlab� XYZ=cbinext(f0, s, xyzi, xyzj, props)


s = [s0 s1 ... sN], puntos donde se valuara la funcion.




XYZ = [x0 ... xN; y0 ... yN; z0 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos requeridos.

Nota: Los parametros de entrada y salida que figuran entre corchetes son opcionales.Cabe aclarar que en la programacion se resuelve el problema en tres dimensiones para abarcar

un mayor numero de aplicaciones. Como la ecuacion que falta para la coordenada horizontal y noaporta ninguna informacion adicional, se ha optado por omitirla, para no entorpecer la presentacionde la teorıa.

2.4 El Cable Elastico

En esta seccion se trata la respuesta estatica de un cable suspendido de dos soportes fijos que no seencuentran necesariamente al mismo nivel. El cable tiene una seccion transversal constante cuandose encuentra descargado y esta compuesto por un material homogeneo y linealmente elastico. Lascoordenadas cartesianas que describen el perfil deformado se obtienen como funcion de una unicavariable independiente convenientemente tomada como la coordenada lagrangiana asociada al perfilno deformado, la longitud de cable inextensible entre el soporte origen y un punto cualquiera, de lamisma forma que en §2.3.1. Estas expresiones contienen como incognitas las reacciones horizontaly vertical en el apoyo de partida (i, s = 0), valores que pueden ser determinados resolviendo unsistema no lineal de dos ecuaciones planteado a partir de las condiciones de borde. El cable cuelgade dos puntos fijos I y J (nodos extremos del elemento) de coordenadas cartesianas (0, 0) y (l, h),respectivamente. Entonces la luz cubierta por el cable es l, y la diferencia de nivel entre soporteses h. La longitud indeformada del cable es L0 y no es necesario que sea mayor que (l2 + h2)

12 ,

sin embargo, no puede ser mucho menor para no violar la ley de Hooke. Un punto cualquiera enel cable tiene coordenada lagrangiana s en la curva de equilibrio estatico para el cable inextensible(la longitud desde el origen hasta este punto cuando el cable se encuentra descargado). Bajo laaccion del peso propio W (= mgL0) este punto se desplaza a su nueva posicion en el perfil deformadodescrito por las coordenadas cartesianas x y z y la coordenada lagrangiana p.

Recurriendo nuevamente al enfoque variacional para la deduccion de las ecuaciones, la energıapotencial V del sistema se compone ahora de dos terminos, energıa de deformacion Ve y la variacionde la energıa gravitacional ∆Vg respecto al estado inextensible:

Ve =

L0∫0

12EA

(dp

ds− 1

)2

ds, (2.43)

∆Vg =

L0∫0

mg(z − z)ds, (2.44)

donde z es la coordenada correspondiente del cable inextensible. La ecuacion de restriccion en estecaso es:

G(x′, z′, p′) =

√(dx

ds

)2

+(dz

ds

)2

− dp

ds= 0. (2.45)

El funcional a minimizar resulta entonces:

I(s, x, y, p, x′, y′, p′) =

L0∫0

{12EA

(dp

ds− 1

)2

−mg(z − z) + λ[(√(dx

ds

)2

+(dy

ds

)2

− dp

ds

]}ds,

(2.46)

2.4. EL CABLE ELASTICO 11

y la ecuacion de Euler correspondiente para la variable p es:

d

ds

(FE

∂p′

)=

d

ds

[EA

(dp

ds− 1

)−λ

]= 0, (2.47)

de donde surge que el multiplicador de Lagrange es igual a la traccion en el cable (± una constantearbitraria), ya que la ecuacion anterior no es otra cosa que la ley de Hooke:

λ(s) = T (s) = EA(dp

ds− 1− ε0

). (2.48)

Escrita de esta forma, la constante representa una deformacion inicial, elongacion o contraccionuniforme a lo largo del cable. Esto permite incorporar al analisis el efecto de variaciones en latemperatura, haciendo ε0 = α∆T , donde α es el coeficiente de expansion termica. Por otro lado:

d

ds

(λ

x′√x′2 + z′2

)= 0 (2.49)

conduce como antes a:

λx′√

x′2 + z′2= H, (2.50)

y analogamente:

d

ds

(λ

z′√x′2 + z′2

)= mg (2.51)

expresa que

λz′√

x′2 + z′2= V + mgs. (2.52)

Las ecuaciones (2.49) y (2.51) junto con (2.45) permiten eliminar el multiplicador de Lagrange a lavez que dan la expresion para la traccion en el cable:

λ2 = H2 + (V + mgs)2. (2.53)

Reemplazando (2.53) en (2.51) y (2.52) e incorporando la ley de Hooke resulta:

dx

ds=

H

EA+

H√H2 + (V + mgs)2

(1 + ε0), (2.54)

dz

ds=

V + mgs

EA+

V + mgs√H2 + (V + mgs)2

(1 + ε0). (2.55)

Para la integracion de estas ecuaciones se procede como en el caso anterior y se obtienen las expre-siones para las coordenadas cartesianas de la curva descripta por un cable elastico bajo la accionde su peso propio:

x(s) =Hs

EA+

H

mg

[ln

(T (s) + mgs + V

)− ln

(T (0) + V

)], (2.56)

z(s) =mgs

EA

( V

mg− s

2

)+

1mg

(T (s)− T (0)

). (2.57)

Como antes, los valores desconocidos de H y V se encuentran de las ecuaciones anteriores haciendouso de las condiciones de borde x(L0) = l y z(L0) = h. La funcion cbf0.m resuelve el sistema:

l =HL0

EA+

H

mg

[ln

(Tj + W + V

)− ln

(Ti + V

)], (2.58)


h =Lo

EA

(V +

W

2

)+

1mg

(Tj − Ti

). (2.59)

Matlab� f0=cbf0(xyzi, xyzj, props [,f0ap])



f0ap = [Hxap Hyap Vap]’, aproximacion inicial (opcional).


Para un conjunto discreto de valores de s se pueden obtener las coordenadas correspondientes dela curva con la funcion cbelast.m.

Matlab� XYZ=cbelast(f0, s, xyzi, xyzj, props)





XYZ = [x0 x1 ... xN; y0 y1 ... yN; z0 z1 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos reque-

ridos.

Si bien resulta de poco interes resolver problemas de cables aislados como los que se presentanaquı, estas funciones se emplean en la construccion del elemento de cable con el que se puedenanalizar modelos de estructuras reales mas complejas.

2.5 Respuesta a Cargas Puntuales

Se obtienen en este apartado las expresiones para las coordenadas de los puntos de un cable elasticosometido a la accion de fuerzas concentradas, tanto verticales como horizontales, y como en loscasos anteriores, el sistema de ecuaciones correspondiente al tiro horizontal y a la reaccion verticalen el soporte.

Las ecuaciones de equilibrio para un punto s en el interior del cable deformado son:

Tdx

dp= H −

k∑i=0

Fxi, (2.60)

Tdz

dp= V + mgs−

k∑i=0

Fzi, (2.61)

donde k se elige de manera que s se ubique entre sk y sk+1 para n = 0, 1, . . . , N + 1. Los extremosson s0 = 0 y sN+1 = L0. Las fuerzas externas Fi se descomponen segun las direcciones de losejes coordenados en Fxi y Fzi. Se aplican N cargas y se define F0 = 0, con lo que los resultadosgenerales incluiran el caso del cable bajo peso propio (cuando N = 0, se obtienen los resultados dela catenaria elastica). Por condiciones de borde se toman x = z = 0 para s = 0 y x = l y z = h paras = L0, iguales a las precedentes. Las condiciones de compatibilidadd en los puntos de aplicacionde las cargas concentradas son:

x−n = x+n , z−n = z+

n , p−n = p+n , para s = sn, (2.62)

para n = 1, 2, . . . , N . Donde x−n = limε→0 x(sn − ε), ε > 0, y ası sucesivamente.Los detalles restantes de la deduccion de la solucion no requieren mayores comentarios dado

que se sigue un procedimiento identico al ya expuesto en este capıtulo. Solo cabe destacar larelacion de recurrencia que surge para las constantes de integracion como resultado de las condiciones

2.5. RESPUESTA A CARGAS PUNTUALES 13

de compatibilidad en cada punto de carga. Para poder presentar una solucion sintetica resultaconveniente introducir las siguientes funciones auxiliares:

Sxk = H −k∑

i=0

Fxi, (2.63)

Syk = V −k∑

i=0

Fxi, (2.64)

Tk(s) =[S2

xk + (Szk + mgs)2] 1

2, (2.65)

para k = 0, 1, . . . N , Rx0 = Rz0 = 0 y

Rxk =Sxk+1sk+1

EA

+ Sxk+1

{ln

[Tk+1(sk+1) + mgsk+1 + Szk+1

]− ln

[T0(0) + V

]} (1 + ε0)mg

− Sxksk+1

EA

− Sxk

{ln

[Tk(sk+1) + mgsk+1 + Szk

]− ln

[T0(0) + V

]} (1 + ε0)mg

,

(2.66)

Rzk =(Szk+1 − Szk)sk+1

EA+

[Tk+1(sk+1)− Tk(sk+1)

] (1 + ε0)mg

, (2.67)

para k = 1, . . . N . Las ecuaciones de las coordenadas para sk ≤ s ≤ sk+1 resultan:

x(s) = Skx

{ln

[Tk(s) + mgs + Szk

]− ln

[T0(0) + V

]} (1 + ε0)mg

+Skxs

EA−Rxk,

(2.68)

z(s) =2Szks + mgs2

2EA+

[Tk(s)− T0

] (1 + ε0)mg

−Rzk, (2.69)

Las ecuaciones (2.68) y (2.69) constituyen la solucion exacta para la respuesta estatica de uncable elastico bajo peso propio y N cargas concentradas en cada direccion cartesiana. Para N = 0,se obtienen los resultados anteriores, como era de esperar. Para este problema se desarrollo lafuncion cbelastcp.m.

Matlab� XYZ=cbelastcp(f0, s, xyzi, xyzj, props, sp, Fx, Fy, Fz)





sp = [sp0 sp1 ... spM], puntos donde se aplican cargas concentradas.

Fx, Fy, Fz, fuerzas aplicadas.

XYZ = [x0 x1 ... xN; y0 y1 ... yN; z0 z1 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos reque-

ridos.

Extender estos resultados al caso inelastico no presenta mayores dificultades, ya que como se vioanteriormente solo se diferencian por la presencia del termino que contiene EA y el factor (1 + ε0).

Las incognitas H y V se determinan de la misma forma que en los casos ya presentados, fijan-do las condiciones de borde para L0: x(L0) = l y z(L0) = h. La funcion para esta tarea es cbf0cp.m.


Matlab� f0=cbf0cp(xyzi, xyzj, props, Fx, Fy, Fz [,f0ap])






En la siguiente seccion se presentan algunos comentarios sobre la implementacion computacionalde los metodos empleados para resolver las ecuaciones planteadas en este capıtulo.

2.6 Solucion de las Ecuaciones de Equilibrio Estatico

Antes de describir los metodos empleados para la solucion de ecuaciones no lineales simultaneas,conviene mencionar algunos aspectos del marco de trabajo en que estos se implementan, dado quejustifican el formato elegido para la programacion.

En primer lugar, las funciones cbf0.m, cbf0i.m y cbf0cp.m, que son las que calculan Hx, Hy

y V permiten que se les pase como parametro una aproximacion inicial a estos valores, necesariapara dar arranque a los algoritmos. Cuando se omite, se llama a la funcion auxiliar cbf0ap.m enlos dos primeros casos y a cbf0apcp.m en el ultimo, para calcularla.

Matlab� f0=cbf0ap(xyzi, xyzj, props)



fo = [Hx Hy V]’, valores aproximados para las acciones del cable en el nodo i.

Matlab� f0=cbf0apcp(xyzi, xyzj, props, Fx, Fy, Fz)




fo = [Hx Hy V]’, valores aproximados para las acciones del cable en el nodo i.

De esta forma, se libera al usuario de la tarea fastidiosa de proveer un valor inicial adecuado, queno puede derivarse directamente y por otro lado, se permite pasarlo cuando este valor se dispone,como por ejemplo, cuando resulta de la iteracion anterior de un algoritmo de aproximaciones suce-sivas. Esto mejora considerablemente la eficiencia de los metodos de solucion que requieren evaluarla matriz de rigidez tangente en cada paso, evitando empezar de cero cada vez, con las funcionesantes mencionadas.

Para la solucion de las ecuaciones del cable elastico se emplea el metodo de Newton, utilizandola expresion exacta de la matriz jacobiana en cada paso, debido a que resulta bien condicionaday relativamente facil de evaluar. Como paso previo, en cada iteracion se realiza una busquedaen lınea 1 inexacta, para determinar tamano del paso, lo que asegura la convergencia del metodoindependientemente de la aproximacion inicial.

El problema se plantea de manera que la solucion resulta de minimizar la funcion escalarf = 1

2rT r, donde el vector r (residuo) es la diferencia entre el valor de la funcion en L0 para el

vector de fuerzas:

F =[

Hx Hy V]T (2.70)

y el valor prefijado. El vector d = −J−1r es la direccion de descenso calculada por el metodo deNewton, y J = dr/dF es la matriz jacobiana.

Por busqueda en lınea se entiende el problema de minimizar el valor de f a lo largo del rayo{F + td, 0 < t < 1}. En la practica este procedimiento puede resultar muy costoso, debido a querequiere un gran numero de evaluaciones de la funcion, por lo que en su lugar se utiliza una busqueda

1Traduccion directa del ingles line search

2.6. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTATICO 15

inexacta, que determina un valor de t capaz de producir un descenso considerado suficiente en lafuncion. El procedimiento que se describe a continuacion depende de dos constantes α y β talesque 0 < α < 0.5 y 0 < β < 1.

t = 1;

mientrasf(F + td) > αt∇f(F)T d

t = βt;fin

El valor de α comunmente se toma entre 0.1 y 0.3, lo que significa que se acepta un descenso enf dentro del 10% y el 30% de la prediccion basada en la extrapolacion lineal. Por otro lado, losvalores tıpicos de β se encuentran entre 0.1 y 0.5. En este trabajo se usaron α = 0.25 y β = 0.5.La incorporacion de estas lıneas divide al algoritmo en dos etapas, la primera se denomina faseamortiguada, para la que t < 1, y la segunda, fase pura, con t = 1 coincide con la implementacionclasica del metodo de Newton y posee, por supuesto, convergencia cuadratica.

En el caso del cable inextensible, dado que el problema no esta definido cuando la longitud delcable es menor que la distancia entre apoyos, y la fuerza horizontal tiende a infinito cuando estevalor se aproxima al primero, la matriz jacobiana puede no resultar bien condicionada en todos loscasos, por lo que se emplea el metodo de Broyden [2] 2, en el que se elimina la necesidad de calcularen cada paso esta matriz, empleando una actualizacion que la mantiene definida positiva. Esto es:

J−1k+1 = J−1

k +qkqT

k

qTk pk

−J−1

k pkpTk J−1

k

pTk J−1

k pk

, (2.71)

donde:

pk = tdk = Fk+1 − Fk, (2.72)qk = ∇f(Fk+1)−∇f(Fk). (2.73)

Este ultimo paso se realiza sobre la factorizacion de Cholesky de la matriz (J−1 = LtL), paramejorar la eficiencia del algoritmo llamando dos veces a la funcion de Matlab cholupdate.m.

Para el cable con cargas puntuales aplicadas, no se tiene una expresion analıtica facil de evaluarde la matriz jacobiana, por lo que se la obtiene numericamente, empleando un esquema de dife-renciacion de precision O(h5); elegido para lograr una buena aproximacion inicial a la matriz. Lafuncion jacobiana.m es la que realiza esta tarea.

Matlab� J=jacobiana(@fun, X, args)

@fun, puntero a la funcion.

X, Vector para el que se evaluara la matriz jacobiana.

args = {{P1}, {P2}, ...} parametros requeridos por la funcion.

J, matriz jacobiana.

Dado que solo se realiza una vez, no tiene un peso importante en el desempeno global de lafuncion. En lo demas el algoritmo es identico al del cable inextensible.

2Tambien conocido como BFGS, Broyden, Fletcher, Goldfarb y Shanno.


Capıtulo 3

Estatica del Cable Suspendido

3.1 Introduccion

Revisando los resultados obtenidos en el capıtulo anterior, resulta claro que la solucion de problemasrelativos a un simple cable suspendido, es laboriosa debido a la necesidad de recurrir a metodosnumericos. Esta circunstancia no parece a priori un gran obstaculo, debido a la difusion que estastecnicas tienen en el area de ingenierıa en la actualidad, sin embargo, la etapa de diseno preliminarrequiere metodos mas expeditivos. Con estos no solo se logra agilizar el proceso, sino que ademasse obtiene un mayor conocimiento de las magnitudes fısicas que participan del problema, con unaperdida de precision inconsecuente en esta instancia. Con este fin, se exponen en el presente capıtulolas simplificaciones que pueden realizarse en cables de flecha reducida, que son los que comunmentese encuentran en aplicaciones estructurales.

En su gran mayorıa, el material que se presenta en este capıtulo puede encontrarse en el librode Irvine Cable Structures. Debido a la trascendencia del trabajo de este autor en la materia,se lo ha tomado como referencia principal. Se destaca la definicion de variables adimensionalesque permiten expresar la ecuaciones en forma compacta, y la derivacion del parametro λ2, defundamental importancia en la descripcion del comportamiento estructural de cables suspendidos.

3.2 El Perfil Parabolico

Considerese la curva formada por un cable suspendido de dos apoyos ubicados al mismo nivel, bajola accion de su propio peso. Si el perfil es muy tendido, de manera que la relacion entre la flechay la luz sea 1 : 8 o menor, la ecuacion diferencial que aproxima la condicion de equilibrio verticalpuede escribirse como:

Hd2z

dx2= mg, (3.1)

la que resulta de tomar ds/dx = 1 y permite obtener por integracion una expresion para z en funcionde x. Si se incorporan las condiciones de borde z(0) = z(l) = 0, la solucion es:

z(x) =mgl2

2H

x

l

(x

l− 1

). (3.2)

Introduciendo las variables adimensionales x = x/l y z = z/(mgl2/H), la ecuacion anterior pue-de expresarse:

z =12x(x− 1). (3.3)

designando la flecha por d = −z(l/2) 1, la componente horizontal de la traccion en el cable es:

H =mgl2

8d, (3.4)

1Por conveniencia la flecha se define positiva.

17

18 CAPITULO 3. ESTATICA DEL CABLE SUSPENDIDO

donde resulta claro que para la aplicacion de las teorıas de este capıtulo debe ser H ≥ mgl, envirtud del lımite impuesto a la relacion d/l.

La longitud del cable puede escribirse:

L =

l∫0

[1 +

(dz

dx

)2]dx

= l[1 +

83

(d

l

)2

− 325

(d

l

)4

+2567

(d

l

)6

. . .] (3.5)

la forma comunmente encontrada en la literatura, donde se usa el desarrollo en serie de potencias:√

1 + u = 1 +12u− 1

8u2 +

116

u3 − . . . , (3.6)

con u = (dz/dx)2 = [4d/l(1− 2x/l)]2, y se integra termino a termino. Otra forma de obtener lalongitud es, expresando dz/dx = mgx/H:

L = 2

l/2∫0

√1 +

(mgx

H

)2

dx =l

2

√1 +

(mgl

2H

)2

+H

mgsinh−1

(mgl

2H

). (3.7)

Figura 3.1: Relacion de aspecto l/L0 vs. d/l

Para concluir con esta seccion se presenta la expresion obtenida por Irvine [14] para cables consoportes a distinto nivel.

3.2.1 El Perfil de un Cable Tenso Inclinado

Se presenta aquı una expresion para la curva descripta por un cable relativamente tenso, de ma-nera que permanece proximo a la cuerda, la que se encuentra inclinada un angulo θ respecto a lahorizontal, con 0 ≤ θ < π/2.

3.2. EL PERFIL PARABOLICO 19

Si z se mide ahora desde la cuerda, la ecuacion de equilibrio vertical puede escribirse:

Hd2z

dx2= mg

[1 +

(tan θ +

dz

dx

)2]1/2

, (3.8)

y si el valor dz/dx se considera suficientemente pequeno como para poder despreciar su cuadrado,se obtiene:

Hd2z

dx2= −mg sec θ

(1 + 2

sin θ

sec θ

dz

dx

)1/2

, (3.9)

donde se uso la identidad 1 + tan2 θ = sec2 θ. Aproximando la raız por√

1 + x ≈ 1 + x/2 resulta:

1(mg sec θ/H)

d2z

dx2+

sin θ

sec θ

dz

dx= −1. (3.10)

Despues de introducir las variables adimensionales z = z/(mgl2 sec θ/H), y ε = mgl sin θ/H se tiene:

d2zdx

+ εdzdx

= 1. (3.11)

El parametro introducido ε es pequeno debido a que para los cables que se consideran en esteanalisis mgl debe ser una pequena fraccion de H. Para distintos angulos de inclinacion, ε puedeobtenerse de la figura 3.2, como funcion de d/l.

Para la solucion de la ecuacion (3.11), Irvine emplea el siguiente metodo de perturbacion, debidoa que se han despreciado las potencias de dz/dx superiores a la primera, no tiene sentido emplearlos metodos usuales para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. La solucionprosigue expresando:

z = z0 + εz1 + . . . . (3.12)

Sustituyendo (3.12) en (3.11) y agrupando terminos semejantes se obtiene:

d2z0

dx2= −1, (3.13)

y

d2z1

dx2= −dz0

dx, (3.14)

cuyas soluciones deben satisfacer la condicion de desplazamiento nulo en los soportes. Esas solu-ciones son:

z0 =12x(x− 1), z1 =

112

x(x− 1)(1− 2x), (3.15)

y la solucion completa resulta entonces:

z =12x(x− 1)

[1 +

ε

6(1− 2x)

]. (3.16)

De una simple observacion de la ecuacion (3.15) resulta que existe la misma relacion entre H y dque en el caso de soportes horizontales. Por otro lado, no existe una expresion simple para la longituddel cable y debe recurrirse a metodos numericos. De todas formas, el procedimiento expuestoanteriormente no tiene aplicacion practica, sino un valor teorico importante, ya que muestra unmetodo de solucion consistente con las hipotesis simplificativas adoptadas y sera utilizado cuandose presenten otros resultados obtenidos por Irvine, considerados clasicos en esta materia.


Figura 3.2: Parametro ε de Irvine vs. d/l para distintos angulos de inclinacion

3.3 Influencia de la Rigidez Flexional

En virtud de las simplificaciones admitidas en este capıtulo, para investigar la influencia de la rigidezflexional del cable, se plantea la ecuacion de la fuerza de corte para una viga uniforme bajo pesopropio y traccion axial:

−EId3z

dx3+ H

dz

dx= mg

(x− l

2

), (3.17)

donde E es el modulo de Young e I el segundo momento de area de la seccion transversal. La solucionque se busca es la que satisface las condiciones de desplazamiento y momento (derivada segunda)nulos en los extremos. Puede escribirse z = zp + zh, donde zp representa la solucion particular y zh

la homogenea. La solucion particular es, como antes:

zp =mgl2

H

x

l

(x

l− 1

), (3.18)

y la homogenea:

zh = C1 + C2 sinhαx + C3 coshαx, (3.19)

donde α =√

H/EI. Incorporando las condiciones de borde, y empleando nuevamente variablesadimensionales, resulta la solucion completa:

z =12x(x− 1) +

1γ2

[1 + tanh

γ

2sinh γx− cosh γx

], (3.20)

donde el parametro γ = αl =√

Hl2/EI, indica la importancia relativa de las acciones de cable yviga. En el centro la flecha es:

d =mgl2

8H

[1− 8

γ2

(1− sech

γ

2

)]<

mgl2

8H. (3.21)

3.4. RESPUESTA A UNA CARGA PUNTUAL 21

Cuando γ es muy pequeno, indicando que predomina la accion de viga, se puede reemplazar en(3.21) sec(γ/2) por el desarrollo en serie sech(x) = 1− 1/2x2 + 5/24x4 − . . . , de manera que:[

1− 8γ2

(1− sech

γ

2

)]→ 5

12

(γ

2

)2

. (3.22)

Entonces se obtiene la deflexion en el centro de la luz en una viga simplemente apoyada bajo pesopropio:

d → 5384

mgl4

EI. (3.23)

Por otro lado, cuando γ es grande, la accion de cable es la principal y d → mgl2/8H, como puedeverse en la figura 3.3. En la gran mayorıa de las aplicaciones estructurales de cables γ es grande, del

Figura 3.3: Influencia en la flecha de la rigidez flexional

orden de 103 o mayor. Los efectos de la rigidez flexional son entonces poco importantes y pueden serignorados. Sin embargo, cuando no pueden evitarse cambios bruscos de curvatura, como ocurre enlos puntos de aplicacion de cargas concentradas, o en los apoyos de las torres de puentes colgantes,los efectos de flexion son localmente importantes. Por otro lado, cabe senalar que los cables, al estarcompuestos de un gran numero de alambres, poseen un segundo momento de area mucho menor alque corresponderıa si se considerara la seccion transversal maciza.

3.4 Respuesta a una Carga Puntual

Continuando con el cable parabolico, se presenta en esta seccion una solucion analıtica simple parala fuerza horizontal y la curva resultante cuando se aplica una carga puntual. Se muestra a traves


de graficos y valores tabulados, el efecto no lineal de rigidizacion, y la precision de los resultados secompara con los correspondientes a las expresiones exactas del capıtulo anterior.

Las ecuaciones de equilibrio son resueltas aquı de forma directa, y la compatibilidad de despla-zamientos se satisface reteniendo todos los terminos importantes en la ecuacion del cable. Entoncespueden realizarse simplificaciones para obtener resultados generales. Las soluciones pueden ser li-nealizadas o adaptadas para su aplicacion a cables inicialmente tensos y de pequena flecha. Encualquier caso los resultados son considerablemente simplificados.

Un enfoque alternativo a este problema, basado en sus aplicaciones, es tratado por Timoshenko[24] y un comentario sobre la historia de estos resultados puede encontrarse en el libro de IrvineCable Structures donde ademas puede encontrarse una discusion mas detallada de este tema.

Considerese por ejemplo una carga puntual P actuando a una distancia x1 desde el soporteizquierdo. Asumiendo que el movimiento adicional del cable es pequeno, de manera que el perfilse mantiene relativamente suave, el equilibrio vertical de una seccion transversal del cable requiereque:

(H + h)d

dx(z + w) = P

(x1

l− 1

)+

mgl

2

(2x

l− 1

), (3.24)

para 0 ≤ x < x1, donde w es la deflexion adicional y h es el incremento en la componente horizontalde la traccion en el cable debidos a la carga puntual. El miembro derecho de (3.24) es analogo ala expresion para el corte en una viga simplemente apoyada de peso uniforme bajo la accion deuna fuerza concentrada. Expandiendo (3.24), y removiendo los terminos correspondientes al pesopropio (los cuales se cancelan identicamente), se obtiene:

(H + h)dw

dx= P

(x1

l− 1

)− h

dz

dx. (3.25)

De la misma forma, se tiene:

(H + h)dw

dx=

Px1

l− h

dz

dx, (3.26)

para x1 < x ≤ l. Las ecuaciones (3.25) y (3.26) pueden integrarse directamente de la siguientemanera:

(H + h)w = P(x1

l− 1

)x− h

[mgl2

2H

(x

l

)(x

l− 1

)], (3.27)

de donde, reemplazando por las variables adimensionales x = x/l, w = w/(Pl/H), h = h/H yP = P/mgl, se obtiene:

w =1

1 + h

[(x1 − 1)x− h

2Px(x− 1)

], (3.28)

para 0 ≤ x < x1, y analogamente:

w =1

1 + h

[x1(x− 1)− h

2Px(x− 1)

], (3.29)

para x1 < x ≤ 1.Para completar la solucion, h debe ser evaluada. Con este fin se incorpora aquı la ley de Hooke,para establecer una relacion entre el cambio en la traccion en el cable y el cambio correspondienteen su geometrıa cuando este se deforma desplazandose de su posicion de equilibrio original. Si dses la longitud original de un elemento, y dp es la nueva longitud, entonces:

ds2 = dx2 + dz2, (3.30)

dp2 = (dx + du)2 + (dz + dw)2, (3.31)

donde u y w son las componentes horizontal y vertical del desplazamiento respectivamente. A partirde (3.30) y (3.31) se puede escribir:(dp

ds+ 1

)(dp

ds− 1

)= 2

du

ds

dx

ds+ 2

dw

ds

dz

ds+

(du

ds

)2

+(dw

ds

)2

, (3.32)


la que para cables tensos de flecha reducida se puede simplificar resultando la expresion para ladeformacion longitudinal:

dp− ds

ds=

du

ds

dx

ds+

dw

ds

dz

ds+

12

(dw

ds

)2

. (3.33)

Por otro lado, la ley de Hooke establece que:

τ

EA=

dp− ds

ds, (3.34)

donde τ es el incremento de traccion en el elemento, de manera consistente con las simplificacioneshechas anteriormente puede tomarse como τ = h ds/dx, con lo que la ecuacion del cable para elelemento resulta:

h(ds/dx)3

EA=

du

dx+

dz

dx

dw

dx+

12

(dw

dx

)2

. (3.35)

Es conveniente expresar esta ecuacion en forma integral, teniendo en cuenta que h es una constante,dado que no existen cargas longitudinales actuando dentro del tramo. Se tiene entonces:

hLe

EA= u(l)− u(0) +

l∫0

dz

dx

dw

dxdx +

12

l∫0

(dw

dx

)2

dx, (3.36)

donde Le =∫ l

0(ds/dx)3dx ≈ l(1+8(d/l)2), una magnitud por lo comun ligeramente mayor a la luz,

y u(l) y u(0) los movimientos horizontales de los apoyos.(Si los efectos de un incremento uniformede temperatura ∆T deben ser incorporados, se anade el termino −α∆TLt, al miembro derechode la ecuacion (3.36), donde α es el coeficiente de dilatacion termica y Lt =

∫ l

0(ds/dx)2dx). Si el

movimiento longitudinal se debe a la traccion adicional y es ademas lineal en la misma, la reduccionen la traccion adicional debida a esta flexibilidad de los soportes puede considerarse de una manerasencilla: si f1 y f2 son las flexibilidades horizontales de los soportes en cada extremo, respecti-vamente, puede reemplazarse la rigidez axial del cable por EA/[1 + (f1 + f2)EA/Le]2, y procedercomo si los apoyos permanecieran fijos. Tomando como condiciones de contorno desplazamientos uy w nulos en los extremos, y dado que dz/dx es continua en todo el desarrollo del cable, el primertermino del miembro derecho de (3.36) se integra por partes resultando:

hLe

EA= −mg

H

l∫0

wdx +12

l∫0

(dw

dx

)2

dx, (3.37)

que es una forma final conveniente para la ecuacion del cable. El movimiento longitudinal puedeser calculado dejando las integrales en su forma indefinida, esto es:

u(x) =hLx

EA+

mg

H

x∫0

wdx− 12

x∫0

(dw

dx

)2

dx, (3.38)

donde Lx =∫ x

0(ds/dx)3dx. Bajo la accion de la carga puntual dw/dx es discontinua en el punto

de aplicacion y la ultima integral en la ecuacion (3.37) debe integrarse por partes:

l∫0

(dw

dx

)2

dx = −dw

dxw

∣∣∣x+1

x−1

−d2w

dx2

x1∫0

wdx− d2w

dx2

l∫x1

wdx. (3.39)

Sustituyendo la ecuacion (3.38) en (3.37), y realizando la integracion empleando (3.38) y (3.39)resulta la siguiente ecuacion adimensional cubica para h:

h3 + (2 + λ2/24)h2 + (1 + λ2/12)h− λ2x1(1− x1)P(1 + P)/2 = 0, (3.40)

donde λ2 = (mgl/H)2l/(HLe/EA).

2Los desplazamientos horizontales de los extremos son u(0) = hf1 y u(l) = −hf2.


Matlab� lambda2=cblambda2(xyzi, xyzj, props)



lambda2, parametro λ2 de Irvine.

Esta agrupacion de parametros en uno solo, λ2 es uno de los resultados mas destacados de lateorıa de Irvine y es de importancia fundamental en la respuesta estatica (y tambien dinamica)de cables suspendidos. Basicamente representa la relacion entre efectos geometricos y elasticos.Generalmente la descripcion del perfil mgl/H determina el tamano de λ2. Para cables de acero, ladeformacion, medida por H/EA, es pequena, pero (mgl/H)2 es menor aun para un cable tenso deflecha reducida. En consecuencia λ2 es pequeno y resulta tanto mas pequeno cuanto mas extensiblees el material del cable. Un cable de este tipo debe estirarse para resistir la carga aplicada, y esteestiramiento es de segundo orden en la deflexion adicional, de manera que no se presentan cam-bios de primer orden en la tension. Por otro lado, cuando mgl/H es mas apreciable, por ejemplo,proximo a la unidad como ocurre en cables de puentes suspendidos, λ2 es tıpicamente grande y semanifiesta la relativa inextensibilidad caracterıstica de cables metalicos. Cambios de primer ordenen la tension adicional pueden generarse dado que el cable cargado debe adoptar un nuevo perfilno necesariamente debido a un cambio en su longitud. Estas distinciones resultaran mas claras yseran ampliadas posteriormente en esta seccion, pero es entre estos lımites donde se encuentran lamayorıa de los cables de uso estructural.

3.4.1 Graficos para el Tiro Adicional h

Para un amplio rango de valores de λ2 y P la solucion a la cubica se presenta en los graficos 3.4 y3.5, donde se eligieron el centro, como punto de carga, por ser el caso mas desfavorable, y el cuartode la luz, para mostrar la diferencia cuando el cable se carga asimetricamente.

3.4.2 Solucion Linealizada

El problema de la carga concentrada planteado es linealizado despreciando todos los terminos desegundo orden que aparecen en la ecuacion diferencial de equilibrio y en la ecuacion del cable. Estoimplica remover el termino hdw/dx de (3.37) y (3.38) y 1

2

∫ l

0(dw/dx)2dx de (3.52). En consecuencia

se tiene:

w =[(x1 − 1)x− h

2Px(x− 1)

], (3.41)

para 0 ≤ x < x1, y:

w =[x1(x− 1)− h

2Px(x− 1)

], (3.42)

para x1 < x ≤ 1. Sustituyendo estas expresiones en la ecuacion del cable reducida resulta:

h =6P

(1 + 12/λ2)x1(1− x1). (3.43)

Para cables tensos de baja flecha λ2 � 1 y h→ 0. Por otro lado, cuando λ2 � 1 se tieneh→ 6Px1(1− x1), valor tıpico para cables de puentes colgantes. El punto a partir del cual larespuesta de un cable suspendido se asemeja a la de una cuerda tensa no puede determinarse pre-cisamente, sin embargo la teorıa lineal provee una guıa. El maximo global de la deflexion adicionalocurrira en el punto de aplicacion de la carga y requiere maximizar:

w(x1) = x1(1− x1)[1− 3

1 + 12/λ2x1(1− x1)

], (3.44)

respecto a x1. Los ceros de la derivada de (3.44) son:

x1 =12

{1∓

[1− 2

3

(1 +

12λ2

)] 12}

,12. (3.45)


Figura 3.4: Relacion h/P para cables horizontales con carga en el centro de la luz vs. λ2

Esto conduce a las siguientes observaciones:1. Si λ2 ≥ 24, la deflexion adicional bajo carga tiene un maximo global de:

wmax =112

(1 +

12λ2

), (3.46)

cuando la carga se ubica en:

x1 =12

{1∓

[1− 2

3

(1 +

12λ2

)] 12}

. (3.47)

Cuando λ2 � 24, wmax → (1∓ 1/√

3)/2 = 0.211, 0.789.2. Si λ2 ≤ 24, el maximo global es:

wmax =14

[1− 3

4(1 + 12/λ2)

], (3.48)

cuando la carga se aplica en x1 = 1/2. Nuevamente, cuando λ2 � 24, wmax → 1/4. Puedeconcluirse entonces que λ2 = 24 indica una separacion, por encima la respuesta se asemeja a la deun cable pesado y por debajo a la de una cuerda tensa.

El rango dentro del cual la solucion linealizada es valida resulta difıcil de establecer, ya quedepende tanto de λ2 como de P. En un cable de puente colgante un valor de P = 0.1 representauna buena aproximacion al lımite superior por encima del cual cambios en la traccion adicional sonconsiderados demasiado importantes (por la rigidizacion no lineal caracterıstica de la respuesta congrandes desplazamientos) como para ser ignorados. Por otro lado, una cuerda tensa puede soportarcargas del orden de P = 100 y no mostrar una no linealidad apreciable.


Figura 3.5: Relacion h/P para cables horizontales con carga en el cuarto de la luz vs. λ2

3.4.3 Cable Tirante

Cuando un cable se encuentra inicialmente lo suficientemente tenso como para no tener flecha (oen realidad, una situacion aproximada a esta), puede tomarse z(x) = 0. Las ecuaciones para eldesplazamiento adicional quedan:

w =1

(1 + h)(x1 − 1)x, (3.49)

para 0 ≤ x ≤ x1, y:

w =1

(1 + h)x1(x− 1), (3.50)

para x1 ≤ x ≤ 1. La ecuacion del cable resulta:

hl

EA=

12

l∫0

(dw

dx

)2

dx. (3.51)

Despues de la integracion por partes se reduce a:

hl

EA=

12w

dw

dx

∣∣∣x−1x+1

, (3.52)

de la que finalmente se obtiene:

h(1 + h)2 =λ2x1(1− x1)P2

2, (3.53)

3.5. RESPUESTA A UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 27

Figura 3.6: Solucion linealizada para h/P

la ecuacion cubica a partir de la que se determina h. Como era de esperarse este resultado podrıahaberse derivado de la cubica general cuando λ2 es pequena. La raız de la ecuacion anterior semuestra en la figura 3.7.Las ecuaciones (3.50) y (3.53) pueden utilizaarse para obtener expresiones en las que se relacionan

directamente fuerza y desplazamiento. Si el desplazamiento del punto de aplicacion de la carga sedenota por w1, resulta:

λ2P2

2x1(x1 − 1)w3

1 −w1 = x1(x1 − 1)P, (3.54)

h =λ2P2

2x1(x1 − 1)w2

1. (3.55)

Las ecuaciones anteriores, si bien estan restringidas a cable tensos, son utiles para mostrar el efectode rigidizacion en la relacion fuerza-dezplazamiento.

3.5 Respuesta a una Carga Uniformemente Distribuida

Considerese ahora una carga uniformemente distribuida de intensidad p por unidad de longitud enproyeccion horizontal, aplicada entre los puntos x = x2 y x = x3. Nuevamente, recurriendo a laanalogıa que existe con la viga simplemente apoyada (§3.4), pueden derivarse las expresiones parael equilibrio vertical en las tres diferentes regiones del cable. Luego de la integracion y el ajustede las condiciones de borde se obtienen las siguientes ecuaciones adimensionales para la deflexionvertical adicional del cable:

w =1

(1 + h)

{[(x3 − x2)− 1

2(x3

2 − x22)

]x− h

2px(1− x)

}, (3.56)


Figura 3.7: h/P para un cable tenso con carga en el centro y en el cuarto

para 0 ≤ x ≤ x2,

w =1

(1 + h)

{−1

2x2

2 + x3x−12x2

2 − 12(x3

2 − x22)x

]− h

2px(1− x)

}, (3.57)

para x2 ≤ x ≤ x3, y:

w =1

(1 + h)

[12(x3

2 − x22)(1− x)− h

2px(1− x)

], (3.58)

para x3 ≤ x ≤ 1, donde w = w/(pl2/H), h = h/H, x = x/l y p = p/mg.El incremento en la componente horizontal de la traccion se encuentra resolviendo la ecuacion delcable, la que, como dw/dx es continua en este caso, puede escribirse:

hLe

EA= −

l∫0

(d2z

dx2+

12

d2w

dx2

)wdx. (3.59)

Despues de sustituir (3.56), (3.57) y (3.58) en (3.59), integrando y reordenando las ecuaciones, seobtiene la siguiente ecuacion cubica adimensional para h:

h3 +(2 +

λ2

24

)h2 +

(1 +

λ2

12

)h

− λ2

2

[12(x3

2 − x22)− 1

3(x3

3 − x23)

]p

− λ2

2

[13(x3

3 − x23)− x2

2(x3 − x2)− 14(x3

2 − x22)2

]p2

= 0.

(3.60)

Cuando p es positiva, existe solo una raız real, como se requiere.Existe simetrıa en el coeficiente que involucra a x2 y x3. Esto tambien era de esperarse, la soluciones la misma para x3 = 1, x2 = 0.9, que para x3 = 0.1, x2 = 0, y ası sucesivamente. Puede probarseademas que para p y λ2 dados, h toma su valor maximo cuando la carga se dispone simetricamenterespecto al centro.Para el caso en que la carga se extiende desde un soporte al otro, se tiene:

w =1

2(1 + h)

(1− h

p

)x(1− x), (3.61)

h3 +(2 +

λ2

24

)h2 +

(1 +

λ2

12

)h− λ2

12p(1 +

p2

)= 0. (3.62)

Es necesario que h < p y esto queda garantizado por la cubica. La respuesta a una carga distribuidapuede tambien linealizarse, restringiendo el analisis a cables inicialmente tirantes. Los valores deh/p que resultan de la solucion de (3.62) se presentan en las figuras 3.8 a 3.13.

3.6. ANALISIS VIA ELEMENTOS FINITOS 29

Figura 3.8: Carga en el decimo central Figura 3.9: Carga en los dos decimos centrales

Figura 3.10: Carga en los cuatro decimos central Figura 3.11: Carga en los seis decimos centrales

3.6 Analisis vıa Elementos Finitos

3.6.1 Elemento de barra equivalente

En aplicaciones que involucran cables relativamente tensos, de flecha reducida, como torres arrios-tradas y puentes atirantados, es una practica comun modelar cada cable como un elemento de barracon modulo equivalente [6]. En coordenadas locales la matriz de rigidez de este elemento es

Ke =AEeq

Lc

1 0 −1 00 0 0 0

−1 0 1 00 0 0 0

(3.63)

con Eeq, modulo de elasticidad equivalente dado por:

Eeq =E

1 + (mgLh)2AE/12T 3, (3.64)

donde Lc es la longitud de la cuerda, Lh es la proyeccion horizontal de la longitud del cable y T es latension del cable actualizada, supuesta constante en todo el elemento. Para considerar el efecto dela flecha se ha asumido una curva parabolica para el cable, de la que se derivo la expresion anterior;sin embargo, una vez que el modulo equivalente ha sido obtenido, la configuracion del cable noparticipa del modelo, y, en consecuencia, no es posible analizar vibraciones transversales con estetipo de elemento.


Figura 3.12: Carga en los ocho decimos central Figura 3.13: Carga en toda la luz

3.6.2 Modelo de multiples elementos

Una alternativa para sortear las deficiencias del modelo anterior consiste en modelar cada cable conuna serie de elementos con el modulo original. Para la matriz de rigidez tangente en coordenadaslocales, Broughton y Ndumbaro [4] dan la siguiente expresion:

Kte =EA

L0(L0 + ε)2

(L0 + u)2 v(L0 + u) −(L0 + u)2 −v(L0 + u). . . . . . . . . v2 −v(L0 + u) −v2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (L0 + u)2 v(L0 + u)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v2

+T

(L0 + ε)3

v2 −v(L0 + u) −v2 v(L0 + u). . (L0 + u)2 v(L0 + u)2 −(L0 + u)2

. . . . . . . . . . . . . . . . v2 −v(L0 + u)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (L0 + u)2

,

(3.65)

y las ecuaciones para la tension actualizada T y la extension sobre la cuerda son respectivamente:

T = T0 +EA

L0ε, (3.66)

ε =√

(L0 + u)2 + v2 − L0. (3.67)

La pre-tension original del elemento es T0; u y v son los desplazamientos relativos de los nodossobre la cuerda y la normal respectivamente.

3.6.3 Elemento finito derivado del metodo de los desplazamientos

Como se ha visto anteriormente la parabola provee una aproximacion adecuada a la catenaria, y estanto mejor cuanto mas reducida es la flecha del cable. Como estos casos son los mas comunes enla practica, se desarrolla un elemento finito de tres nodos que emplea las funciones de interpolacionde Lagrange de segundo orden:

φ1 =12ξ(ξ − 1), (3.68)

φ2 = 1− ξ2, (3.69)

φ3 =12ξ(ξ + 1), (3.70)

con−1 ≤ ξ ≤ −1, y, agrupando las coordenadas nodales en el vector X = [x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3]T

se puede escribir el vector posicion como:

r0 = NX, (3.71)


donde:

N =

φ1 0 0 φ2 0 0 φ3 0 00 φ1 0 0 φ2 0 0 φ3 00 0 φ1 0 0 φ2 0 0 φ3

(3.72)

El vector tangente al cable se escribe:

t =1

1 + ε

dr

ds, (3.73)

donde ε es la deformacion longitudinal y r = r0 + u es el vector posicion en la configuraciondeformada del elemento. Multiplicando cada miembro de la ecuacion (3.66) por su transpuesto seobtiene la ecuacion cinematica:

ε =drT

0

ds

du

ds+

duT

ds

du

ds, (3.74)

en la que se desprecia ε2.Como ecuacion constitutiva se adopta:

σ = E(ε− ε0) + σ0, (3.75)

donde ε0 representa una deformacion inicial, que por practicidad se tomara constante, y σ0 el estadotensional en la posicion descargada, para el que se adoptara una aproximacion de segundo ordencomo la empleada para los desplazamientos: σ0 = [φ1 φ2 φ3][σ01 σ02 σ03 ]

T . La matriz de rigidez sederiva de la ecuacion de trabajos virtuales:

L0e∫0

δεσAds−L0e∫0

δuT bds = δuT Fe, (3.76)

donde b = [0 0 mg 0 0 mg 0 0 mg]T y:1∫

−1

(σ0 − Eε0)NT,ξN,ξr0A

(L0e

2

)dξ =

1∫−1

NT b(L0e

2

)dξ. (3.77)

La matriz de rigidez tangente se compone de los siguientes tres terminos:

K0 = EA( 2

L0e

)31∫

−1

NT,ξN,ξr0r

T0 NT

,ξN,ξdξ, (3.78)

que no depende de los desplazamientos,

Kσ = A2

L0e

1∫−1

σ0NT,ξN,ξdξ, (3.79)

que considera el efecto de la tension inicial y

KNL = EA( 2

L0e

)3[ 1∫−1

NT,ξN,ξr0r

T0 NT

,ξN,ξ+ (3.80)

1∫−1

NT,ξN,ξr0u

T NT,ξN,ξ+ (3.81)

1∫−1

NT,ξN,ξuuT NT

,ξN,ξdξ], (3.82)

que depende de los desplazamientos y debe actualizarse en cada operacion. Para mejorar la eficienciadel algoritmo, no se realiza la integracion numerica en tiempo de ejecucion, sino que se reemplazanpor su solucion generica y se valuan para los desplazamientos dados. La principal desventaja deeste elemento radica en la expresion del vector de fuerzas resistententes, que requiere un calculolaborioso adicional.


3.6.4 Elemento derivado de la ecuacion exacta de la catenaria

A partir de las ecuaciones exactas de la catenaria es posible derivar un modelo de elemento finitono lineal, siguiendo el procedimiento empleado para la solucion del sistema de ecuaciones:

lx =HxL0

EA+ Hx

[ln

(Tj + V + W

)− ln

(Ti + V

)] (1 + ε0)mg

, (3.83)

ly =HyL0

EA+ Hy

[ln

(Tj + V + W

)− ln

(Ti + V

)] (1 + ε0)mg

, (3.84)

lz =W

EA

( V

mg− L0

2

)+

(Tj − Ti

) (1 + ε0)mg

. (3.85)

donde W = mgL0, Ti = T (0), Tj = T (L0) y l =[

lx ly lz]t = rj−ri. Si se definen las variables

auxiliares Aj = Tj + V + W , Ai = Ti + V y como antes, F =[

Hx Hy V]t, los elementos de

la matriz jacobiana J = dl/dF son3:

J11 =L0

EA+

[ln(Aj)− ln(Ai) + H2

x

( 1TjAj

− 1TiAi

)] (1 + ε0)mg

,

J12 = J21 = HxHy

( 1TjAj

− 1TiAi

) (1 + ε0)mg

,

J13 = J31 = Hx

( 1Tj− 1

Ti

) (1 + ε0)mg

,

J22 =L0

EA+


y

( 1TjAj

− 1TiAi

)] (1 + ε0)mg

,

J23 = J32 = Hy

( 1Tj− 1

Ti

) (1 + ε0)mg

,

J33 =L0

EA+

(V + W

Tj− V

Ti

) (1 + ε0)mg

.

(3.86)

La inversa de esta matriz,k = J−1, es la submatriz de la matriz de rigidez tangente Kte del elementode cable de dos nodos, de la misma forma que en los elementos lineales comunes de barra, o sea:

Kte =[

k −k−k k

](3.87)

y el vector no lineal de fuerzas resistentes resulta:

Fnle =[−Hx −Hy −V Hx Hy V + W

]T, (3.88)

y se obtiene directamente. Para el calculo de la matriz jacobiana se emplea la misma funcion quepara el calculo de la fuerza: cbf0.m.

Matlab� [f0, k]=cbf0(xyzi, xyzj, props [,f0ap])





k, submatriz de rigidez tangente.

La matriz de rigidez tangente y el correspondiente vector de fuerzas resistentes del elemento seobtienen con la funcion encable.m.

3Irvine utiliza otras expresiones, en las que la simplificacion resulta menos evidente, y senala que la matriz resultano simetrica. Cable Structures pag. 153


Matlab� [Ktk, Fk, Ktkp1, Fkp1, Zkp1]=encable(props, vk, vkp1, vdk, vdkp1, Zk)


vk, desplazamientos nodales para el paso k.

vkp1, idem para k+1 (opcional).

vdk, vdkp1, velocidades nodales (opcionales). No se requiren.

Zk = [xyzi xyzj Hx Hy V], variables de estado en el paso k.

Ktk, matriz de rigidez tangente (opcional Ktkp1).

Fx, vector de fuerzas resistentes (opcional Fkp1).

Zkp1, variables de estado en el paso k+1.

Nota: si se requiere mas de un valor, el ultimo debe ser Zkp1.

Siguiendo un procedimiento semejante al anterior se obtienen las expresiones correspondientespara el cable inextensible, y su correspondiente implementacion computacional. La matriz jacobianaes, en este caso

J11 =1

mg


x

( 1TjAj

− 1TiAi

)],

J12 = J21 =HxHy

mg

( 1TjAj

− 1TiAi

),

J13 = J31 =Hx

ng

( 1Tj− 1

Ti

),

J22 =1

mg


y

( 1TjAj

− 1TiAi

)],

J23 = J32 =Hy

mg

( 1Tj− 1

Ti

),

J33 =1

mg

(V + W

Tj− V

Ti

).

(3.89)

La funcion cbf01.m calcula la submatriz de rigidez elemental correspondiente.

Matlab� [f0, k]=cbf0i(xyzi, xyzj, props [,f0ap])






k, submatriz de rigidez tangente.

Para finalizar, la matriz de rigidez tangente y el vector de fuerzas resistentes del elemento se obtie-nen con la funcion encablei.m.

Matlab� [Ktk, Fk, Ktkp1, Fkp1, Zkp1]=encablei(props, vk, vkp1, vdk, vdkp1, Zk)



vk, desplazamientos nodales para el paso k.

vkp1, idem para k+1 (opcional).

vdk, vdkp1, velocidades nodales (opcionales). No se requiren.

Zk = [xyzi xyzj Hx Hy V], variables de estado en el paso k.

Ktk, matriz de rigidez tangente (opcional Ktkp1).

Fx, vector de fuerzas resistentes (opcional Fkp1).

Zkp1, variables de estado en el paso k+1.

Nota: si se requiere mas de un valor, el ultimo debe ser Zkp1.

Los elementos descriptos en este ultima subseccion son el principal resultado de este trabajo.Con ellos se puede analizar numericamente el comportamiento de estructuras reales, logrando uno


de los objetivos propuestos. En todos los ejemplos de aplicacion que se presentan en los capıtulossiguientes se han utilizado estos elementos para la construccion de los modelos estructurales, analisisestatico y dinamico.

Capıtulo 4

Funciones para el Entorno deTrabajo SAT-Lab

4.1 Introduccion

Como uno de los objetivos planteados para este trabajo es el desarrollo de una herramienta compu-tacional que permita el analisis de estructuras con cables, se presenta en este capıtulo la tarea deprogramacion realizada, y el marco en que se implementa. Se describe brevemente el conjunto defunciones que integran el entorno de trabajo SAT-Lab y las funciones incorporadas para extenderel campo de aplicacion de esta herramienta.

4.2 Breve Descripcion de SAT-Lab

SAT-Lab es un conjunto de funciones de Matlab desarrollado para el analisis de estructuras. Porsu diseno es una herramienta versatil ya que permite tratar una amplia gama de problemas yexpandible, porque permite al usuario crear sus propias funciones y extender, de esta forma, sucampo de aplicacion. La programacion realizada en este trabajo sigue esta idea, al incorporarse lasfunciones para el analisis de estructuras con cables. Por otro lado, ademas de su poder de calculo,por tratarse de software abierto se destaca su utilidad como herramienta didactica. A continuacionse presentan sinteticamente las funciones disponibles agrupadas por tema.

\gp Herramientas para graficar la estructura

• gpelem Graficacion de los elementos de una estructura

• gpelset Graficacion de elementos de una parte de la estructura

• gpelemc Graficacion de los elementos con colores por elemento

• gpnodes Graficacion de los nodos de una estructura

• gpdofs Graficacion de los grados de libertad de una estructura

• gpdofset Graficacion de los grados de libertad de un conjuntos de nodos

• gpdefst Graficacion de la estructura deformada

• gpdefst2 Graficacion de estructura deformada considerando giros

• gpstress Graficacion de esfuerzos internos en elementos

• gpmovie Pelıcula del movimiento de una estructura

• gploads Graficacion de cargas en la estructura

\en Librerıa de elementos no lineales (para analisis estatico y dinamico)Elementos 1-D elasticos

• engap1d Elemento elastico no lineal con holgura

• enpol1d Elemento elastico 1D con relacion constitutiva polinomica

Elementos 1-D con memoria

35

36 CAPITULO 4. FUNCIONES PARA EL ENTORNO DE TRABAJO SAT-LAB

• entakeda Elemento elastoplastico de Takeda (con degradacion)

• ensma Elemento con comportamiento supereslastico

• envisc1d Elemento viscoso no lineal

• enbouwen Elemento plastico de Bouc-Wen

• enep1d Elemento elastoplastico perfecto

• enep1dh Elemento elastoplasrtico con endureciemiento cinematico

• enedr Elemento friccional de resistencia variable

• enfrict Elemento de friccion seca

Elementos n-D elasticos

• entruss Elemento de barra elastica con grandes deformaciones

• enbeam2d Elemento viga 2D con deformaciones grandes

\lk Cinematica Lineal

• lka2ne Transformacion cinematica L para elementos axiales de dos nodos

• lks2ne Transformacion cinematica L para elementos de corte de dos nodos

• lk1ne Transformacion cinematica para elementos de un nodo

\ns Analisis no lineal estatico

• nsnle Armado de L y caracterizacion de elementos no lineales de una estructura

• nsktan Matriz de rigidez tangente para elementos de n-deformaciones

• nsktan1d Matriz de rigidez tangente para elementos de una deformacion

• nskokt Solucion del problema no-lineal mediante iteracion con Ko o Kt

• nskokt1d Solucion del problema no-lineal mediante iteracion con Ko o Kt para estruc-turas con elementos de una deformacion

• nsincf Solucion incremental para estructuras con elementos n-D

• nsincf1d Solucion incremental para estructuras con elementos 1-D

\nd Analisis no lineal de vibraciones

• ndnewmk Integracion de ecuaciones de movimiento (metodo de Newmark, elementos n-D)

• ndnewmk1 Integracion de ecuaciones de movimiento (metodo de Newmark, elementos1-D)

• ndppc Integracion de ecuaciones de movimiento (metodo PPC, elementos n-D)

• ndppc1d Integracion de ecuaciones de movimiento (metodo PPC, elementos 1-D)

• ndpec Integracion por metodo predictor de n-D

• ndpec1d Integracion por metodo predictor de 1D

• ndirs Calculo de espectros de respuesta de oscilador no-lineal

\cs Sistemas continuos

• cstrussf Rigidez dinamica de barra recta uniforme en el dominio de la frecuencia

• csbeamf Rigidez dinamica de viga recta uniforme en el dominio de la frecuencia

• css Construccion de la matriz de rigidez dinamica de una estructura

\ve Viscoelasticidad lineal

• vemxbar Representacion en espacio de estado de elemento viscoelastico lineal 1-D

• vess Construccion de modelo en espacio de estado de estructura con elementos VE

• veelemf Elemento viscoelastico para analisis en el dominio de la frecuencia

• vefmxbar Elemento viscoelastico lineal 1D en espacio de estado

4.2. BREVE DESCRIPCION DE SAT-LAB 37

• vemse Metodo de la energıa modal de deformacion

\fa Analisis en el dominio de la frecuencia

• fahmck Calculo de la matriz de respuesta en frecuencia para sistema MCK

• fafft Analisis de sistemas lineales mediante transformada discreta de Fourier

\ss Analisis dinamico en espacio de estado

• ssintegr Integracion numerica exacta de sistema lineal AB con entrada constante olineal en intervalo de integracion

• ssmck2ab Construccion de la matriz de espacio de estado para sistema lineal MCK

• ssnfdr Calculo de las frecuencias naturales y coeficientes de amortiguamiento en sistemaslineales

• sstf Funcion de transferencia para sistema lineal ABDE

• ssfrf Funcion respuesta en frecuencia para sistema lineal ABDE

\lv Analisis lineal de vibraciones

• lvnewmk Integracion de ecuaciones de movimiento del stma MCK (metodo de Newmark)

• lvnewmk2 Integracion de ecuaciones de movimiento del stma MCK (metodo de Newmark,M singular)

• lvnewmki Integracion de ecuaciones de movimiemto del stma MCK (metodo de Newmarkiterativo

• lvers Calculo de espectros de respuesta de oscilador lineal mck

• lvnmodes Calculo de primeros n modos de vibracion natural de una estructura

• lvlanczo Calculo de los vectores de Ritz-Lanczos para reduccion de orden de un sistemaMCK

• lvcladam Calculo de la matriz de amortiguamiento clasica dadas M y K

• lvforced Solucion exacta del sistema MKC con cargas representables en espacio deestado

• lvsssimu Simulacion de sistemas lineales mediante integracion en espacio de estado

• lvmodal Analisis modal en el dominio del tiempo

• lvcqc Analisis espectral por el metodo CQC

• lvsma Analisis modal espectral para un espectro especificado

\sa Analisis estatico de estructuras

• sah Ensamblaje de matriz de equilibrio estatico de una estructura

• sasupp Apoyo estructural tridimensional (restriccion de desplazamientos y rotaciones)

• sasuppd Apoyo estructural unidireccional (restriccion de desplazamiento)

• sabeam3 Transformacion de esfuerzos internos a cargas nodales para viga 3D

• satruss Transformacion de esfuerzos internos a cargas nodales para barra 3D

• sabeamhi Transformacion de esfuerzos internos a cargas nodales para viga articulada

\se Calculo de la solucion de las ecuaciones de equilibrio

• sekc Condensacion estatica de la matriz de rigidez

• sekcs Particion de la matriz de rigidez en bloques para subestructuras

• sesolve Solucion del sistema K y = F con o sin desplazamientos impuestos

• sendisp Calculo de desplazamientos nodales a partir de los grados de libertad conden-sados de una estructura

• sendisp2 Calculo de desplazamientos nodales a partir de los grados de libertad

• sendisp3 Solucion del problema lineal estatico y calculo de desplazamientos nodales


• sendsub Calculo de desplazamientos nodales para subestructuras

\st Ensamblaje de matrices de rigidez, masa o amortiguamiento (M,C,K)

• stkcm Ensamblaje de las matrices de masa, amortiguamiento o rigidez M, C o K

• stkcm2 Ensamblaje de las matrices M, C o K para estructuras con restricciones

• stconnct Ensamblaje de la matriz de rigidez a partir de subestructuras

• stsubkc Ensamblaje de la matriz de rigidez a partir de subestructuras condensadas

\ld Definicion de cargas nodales, en elementos y en grados de libertad (LOADS, NODELOADS)

• ldelds Generacion de patrones de cargas de elementos (LOADS)

• ldbeam3 Cargas nodales de empotramiento perfecto para viga recta uniforme

• ldbeamre Cargas nodales de empotramiento perfecto para viga con extremos rıgidos

• ldbeamhi Cargas nodales de empotramiento perfecto para viga con un extremo articulado

• ldtruss Cargas nodales de empotramiento perfecto para barra recta uniforme

• ldnlds Generacion de matriz de cargas nodales (NODELOADS) a partir de patron

• lde2nlds Ensamblaje de cargas de elementos a nivel de estructura

• ldnld2f Ensamblaje de matriz de cargas nodales en grados de libertad de estructura

\ef Calculo de esfuerzos y deformaciones en elementos lineales (EL*)

• eftruss Esfuerzos y deformaciones en barra tridimensional

• efbeam3 Esfuerzos y deformaciones en viga recta

• efbeamre Esfuerzos y deformaciones en viga recta con extremos rıgidos

• efbeamhi Esfuerzos y deformaciones en viga recta con rotula

• efbeam2 Esfuerzos y deformaciones de viga recta 2D

• efstress Calculo de deformaciones y esfuerzos de los elementos

• efvtruss Esfuerzos y velocidad de deformacion en disipador viscoso axial

\el Librerıa de elementos lineales (para incorporar en EDICT y ensamblar con STKCM)

• eltruss Matriz de rigidez de una barra elastica recta

• elbeam3 Matriz de rigidez de una viga elastica recta

• elbeamre Matriz de rigidez de viga con extremos rıgidos

• elbeamhi Matriz de rigidez de viga con extremos rıgidos y rotulas

• elgbeam2 Matriz de rigidez geometrica de una viga recta 2-D con carga axial dada

• elbeam2 Matriz de rigidez de viga plana

• elgtruss Matriz de rigidez geometrica de una barra recta con carga axial dada

• elvtruss Matriz de amortiguamiento de elemento axial viscoso

• elmtruss Matriz de masa consistente de elemento de barra uniforme

• elmbeam Matriz de masa consistente de barra recta uniforme

\ge Definicion de elementos y grados de libertad de elementos(ELEMENTS, IDMATRIX)

• gegen Generacion de elementos (ELEMENTS)

• gelocate Localizacion o busqueda de un elemento en ELEMENTS

• gedof2id Construccion de la matriz de grados de libertad DOFS a partir de IDMATRIX

• geid2dof Construccion de la matriz de grados de libertad DOFS a partir de IDMATRIX

\gn Definicion de coordenadas nodales (XYZ)

• gngen1d Coordenadas nodales en una recta

• gngen2d Coordenadas nodales en una malla plana

4.3. FUNCIONES PARA EL ANALISIS DE ESTRUCTURAS CON CABLES 39

• gngen3d Coordenadas nodales en una malla espacial

• gncsurf Coordenadas nodales en una superficie de revolucion o cilındrica

\gd Definicion de restricciones y grados de libertad (DOF01, DOFS, RESTRAINTS)

• gdgenrs Generacion de restricciones cinematicas a partir de patrones

• gdgendof Matriz de desplazamientos nodales libres y restringidos (DOF01)

• gdnumdof Numeracion de los grados de libertad (construccion de DOFS)

• gdoflgen Numeracion de los grados de libertad siguiendo un orden especificado

• gdslcoef Construccion de la matriz de dependencias cinematicas (COMBCOEFF)

• gdgenslv Construccion de la matriz SLAVDATA para estructuras de porticos

4.3 Funciones para el Analisis de Estructuras con Cables

A esta altura muchas de las funciones desarrolladas para el analisis estructural de cables ya fueronpresentadas, siguiendo la exposicion de los conceptos teoricos. Por esta razon solo se hara en estaseccion una breve sıntesis de las funciones incorporadas a la caja de herramientas.

\cb Analisis de estructuras con cables.

• cbf0. Calcula las fuerzas resistentes no lineales y la matriz de rigidez tangente para elelemento de cable elastico.

• cbelast. Ecuacion de la catenaria elastica.

• cbf0i. Calcula las fuerzas resistentes no lineales y la matriz de rigidez tangente para elelemento de cable inextensible.

• cbinext. Ecuacion de la catenaria.

• cbf0cp. Calcula las fuerza resistentes para un cable elastico bajo la accion de cargasconcentradas aplicadas.

• jacobiana. Para el calculo de la matriz jacobiana del problema anterior.

• cbelastcp. Ecuacion del cable elastico bajo la accion de cargas puntuales.

• encable. Elemento de cable elastico.

• encablei. Elemento de cable inextensible.

• nsktan2. Modificacion de nsktan. Ensambla la matriz de rigidez tangente.

• nsincf2. Modificacion de nsincf. Solucion de problemas estaticos por el metodo deincrementos sucesivos de carga. La matriz de rigidez puede ser muy mal condicionada.

• nsincf3. Idem anterior. Version amortiguada para trabajar con cables inextensibles.

• nsode. Solucion de problemas estaticos por metodo dinamico.

• cblambda. Calcula el parametro λ2 de Irvine.

• cbfrecsip. Calcula frecuencias adimensionales de los modos simetricos el el plano.

En el listado anterior se encuentran algunas funciones que no han sido introducidas aun. De lamisma forma que las conocidas seran presentadas en los capıtulos siguientes.

4.4 Ejemplo: Construccion de un modelo estructural

Para aclarar la forma de utilizar las funciones anteriores se presenta el siguiente ejemplo. Se cons-truye el modelo computacional de un puente atirantado y se resuelve un problema estatico arbitrarioa modo de ilustracion.


% Puente atirantado

% Diccionario de elementosEDICT = str2mat(eltruss3’,’lk’,elbeam3’,’lk’,engtruss’,~nl’,encable’,~nl’);

% Diccionario de funciones de transformacion cinematica linealLKDICT = str2mat(’lka2ne’,’lk6v2ne’);

% Definicion de algunas longitudes caracterısticas de la estructuraLT = 600; % Largo totalLt = 3/13*LT; % Longitud de los tramos extremosLc = 7/13*LT; % Longitud del tramo centralHp = 20; % Altura de las pilas, de la fundacion al tableroHt = 60; % Altura de los pilones (torres), desde el tablero

% Definicion de las coordenadas nodales de referenciaXYZ = [0 0 0; % Primer apoyo, primer tramo de viga, origen del tablero

Lt 0 0; % Ubicacion del primer pilon(Lt+Lc) 0 0; % Ubicacion del segundo pilonLT 0 0; % Fin del tableroLt 0 -Hp; % Fundacion del primer pilon(Lt+Lc) 0 -Hp; % Fundacion del segundo pilonLt 0 Ht; % Extremo superior del primer pilon(Lt+Lc) 0 Ht]; % Extremo superior del segundo pilon

% Variables auxiliares que definen la configuracion del modelonct = 5; % Cantidad de cables a cada lado de los pilonesnvt = 3; % Numero de elementos de viga entre puntos de suspensionnv = (4*nct+1)*nvt; % Numero total de elementos de vigaLv = LT/nv; % Longitud de cada elemento de viganp = 3;nt = 5;

% Matriz de datos para la generacion de elementosEDATA = [1 2 nct*nvt 2 1 1 1;

2 3 (2*nct+1)*nvt 2 1 1 1;3 4 nct*nvt 2 1 1 1;2 5 np 2 2 1 1;3 6 np 2 2 1 1;2 7 nt 2 3 1 1;3 8 nt 2 3 1 1];

% Generacion de elementos de viga para el tablero y los pilones[XYZ, ELEM] = gegenexp(XYZ, [], EDATA); % Se actualiza XYZ

% Ploteo de nodosviewpoint=[0,0]; % Azimut y elevacion, problema planoaxdata=[0 LT 0 1 -Hp Ht]; % Lımites para los ejes coordenadosf1 = gpelem(XYZ, ELEM, viewpoint, axdata);axis(equal’); % Relacion de aspecto

% Definicion de las propiedades mecanicas de los elementos% Propiedades de los cablesAc = 2e-4; % Seccion transversalEc = 1.5e8; % Modulo de Youngmg = 0.025; % Peso por unidad de longitudeo = 0; % Deformacion inicialTo = 0; % Traccion inicial

4.4. EJEMPLO: CONSTRUCCION DE UN MODELO ESTRUCTURAL 41

so = To/Ac; % Tension inicial

% Variables auxiliares para la generacion de elementos de cableindv = nct:-1:1;unos = ones(nct,1);ind = 1:nvt:nct*nvt;i1t = [1 8+ind(1:end-1)+nvt-1];i1c = [i1t(end)+ind+2*(nvt-1)];i2c = [i1c(end)+ind+(nvt-1)];i2t = [i2c(end)+ind(1:end-1)+2*(nvt-1) 4];for k = 1:nct

Lo1(k) = 1.001*norm(XYZ(i1t(k),:)-XYZ(7,:));Lo2(k) = 1.001*norm(XYZ(i1c(k),:)-XYZ(7,:));

endcprops1 = [Ec*unos Ac*unos Lo1’ mg*unos eo*unos so*unos]; % Cables externoscprops2 = [Ec*unos Ac*unos Lo2’ mg*unos eo*unos so*unos]; % Cables internos

% Propiedades de las torresE = 2e8;G = 0.8*E;A = 1;Iz = 1.5e-3;Iy = Iz;J = sqrt(Iy^2+Iz^2);tprops = [E G A Iz 0 1 0 Iy J 0 0];

% Propiedades de las pilasE = 2e8;G = 0.8*E;A = 1.2;Iz = 1.5e-3;Iy = Iz;J = sqrt(Iy^2+Iz^2);pprops = [E G A Iz 0 1 0 Iy J 0 0];

% Propiedades de las vigas del tableroE = 2e8;G = 0.8*E;A = 0.5;Iz = 1.5e-3;Iy = Iz;J = sqrt(Iy^2+Iz^2);vprops = [E G A Iz 0 1 0 Iy J 0 0];

% Propiedades de los elementos lineales de la estructuraPROPS = [vprops; pprops; tprops];

% Propiedades de las cinematicas (no se requieren)GPROP = [0];

% Variables auxiliares[Nelem, dum] = size(ELEM); % Numero de elementos linealesnec = 1; % Cantidad de elementos de cable por cableindp = 1:nct;

% Matriz de datos para la generacion de elementos de cablesCABDATA = [i1t’ 7*unos nec*unos cprops1 4*unos 2*unos 1*unos;

i1c’ 7*unos nec*unos cprops2 4*unos 2*unos 1*unos;


Figura 4.1: Ploteo de la estructura

i2c’ 8*unos nec*unos cprops2(indv,:) 4*unos 2*unos 1*unos;i2t’ 8*unos nec*unos cprops1(indv,:) 4*unos 2*unos 1*unos];

% Generacion de elementos de cable% Se actualizan las matrices XYZ, ELEM y PROPS para incorporar los datos% de los nuevos elementos. Se crea la matriz Z con las variables de estado% de los elementos no lineales de cable[XYZ, ELEM, PROPS, Z] = cbgen(CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, []);

% Ploteo de elementosf2 = gpelem(XYZ, ELEM, viewpoint, axdata);axis(equal’);

En este momento es posible obtener el grafico del modelo construido y se muestra en la figura4.1. El ejemplo continua con la solucion de un problema estatico ilustrativo.

% Numero de nodosNnodes = length(XYZ(:,1));

% Numero de elementos (actualizado)Nelem = length(ELEM(:,1));

% Restriccionesa1 = 2*(np-1) + 2*nt + nv-3 + 6;% Matriz de datos para la definicion de las restricciones nodalesRESTDATA = [1 1 1 0 1 1 1 1 0;

2 3 1 0 1 0 1 1 0;4 4 1 0 1 1 1 1 0;5 6 1 1 1 1 1 1 1;7 a1 1 0 1 0 1 1 0];

if nec > 1RESTDATA = [RESTDATA; a1+1 Nnodes 1 0 1 0 1 1 1];

end

% Generacion de restricciones nodalesREST = gdgenrs(RESTDATA);

% Grados de libertad de la estructuraDOF01 = gdgendof(Nnodes, REST);

% Grados de libertad numeradosDOFS = gdnumdof(DOF01);

% Ploteo de grados de libertadf3 = gpdofs(full(XYZ), full(ELEM), DOFS, viewpoint, axdata);

% Matriz de rigidez de elementos linealesK = stkcm(XYZ, DOFS, ELEM, PROPS, EDICT, ’lk’);

% Elementos no lineales

4.4. EJEMPLO: CONSTRUCCION DE UN MODELO ESTRUCTURAL 43

NLELEM = ELEM; % Estan definidos en la misma matriz

% Identificador de elementos no linealeseltype = ~nl’;

% Calculo de la martiz de transformaciones cinematicas[L, enamelist, elprop, enlist, vptr] = nsnle(XYZ, DOFS, NLELEM, PROPS, ...

EDICT, GPROP, LKDICT, eltype);

% Grados de libertad de la estructuragdl = max(max(DOFS));

% Desplazamientos inicialesyo = sparse(gdl,1); % Vector nulo

% Matriz de rigidez tangente inicial de elementos no lineales[Kto, Fo, Zo] = nsktan2(L, enamelist, elprop, yo, Z, vptr);

% Matriz de rigidez tangente inicialKTo = K + Kto;

% Vector de fuerzas nodales (solo un ejemplo)F = sparse(gdl, 1);inif = 2*2+3*4+2;finf = inif-1 + (nv-3)*3;indf = inif:3:finf;F(indf, 1) = -50*ones(length(indf), 1);

% Solucion por incrementos sucesivos de carga% Definicion de parametros para el algoritmo de solucionNp = 10; % Cantidad de incrementos de cargatol = 1e-3; % Tolerancia para la solucionniter = 15; % Numero maximo de iteraciones para lograr convergenciaparam = [Np tol niter];

% Solucion del problema estatico no lineal[Y, R, P, v, Zf] = nsincf2(K, L, vptr, enamelist, elprop, Zo, F, param, yo);

% Y : historia de desplazamientos% R : historia de fuerzas resistentes% P : historia de cargas aplicadas% v : historia de deformaciones (desplazamientos, segun la cinematica)% Zf: Variables de estado finales

% Calculo de rotaciones y desplazamientos segun los ejes coordenados[dx, dy, dz, ax, ay, az] = sendisp(Y(:,Np+1), DOFS);

% Grafico de la estructura deformadagpdefst3(XYZ, dx, dy, dz, ax, ay, az, ELEM, PROPS, EDICT, viewpoint, axdata);axis(equal’);

% Fin

El codigo anterior se encuentra en la funcion cbdemo12.m, que forma parte del conjunto de ejem-plos elaborados para facilitar el aprendizaje de la herramienta y la promocion de de sus capacidades.El resultado de las ultimas lıneas del programa precedente se presenta en la figura 4.2.


Figura 4.2: Ejemplo de solucion de problemas estaticos: deformada de la estructura

Capıtulo 5

Aplicaciones

5.1 Introduccion

En este capıtulo se presentan algunas aplicaciones directas de la teorıa presentada en los anteriores.Para esto las secciones incluyen modelos estructurales que ilustran aspectos de la respuesta de torresarriostradas y puentes atirantados 1 y colgantes. En todos los casos los esquemas empleados comomodelos de estructuras reales son extremadamente simples, para tratar exclusivamente de analizarsu comportamiento no lineal geometrico. Se describen ademas los algoritmos empleados para lasolucion de los problemas planteados y las funciones correspondientes de Matlab.

5.2 Estatica de una Torre Arriostrada

En esta seccion se analiza el comportamiento estructural estatico de torres arriostradas. Se trataademas la construccion de modelos de este tipo de estructuras usando SAT-Lab para mostrar lafacilidad con la que pueden generarse. Por simplicidad la torre se modela con elementos clasicosde barra o viga lineales. Para los cables se muestran diferentes alternativas, como modelos de unoy varios elementos. Se muestra que pueden analizarse de la misma forma problemas de equilibrioinestable, muy mal condicionados, como ocurre en casos de estructuras con cables inicialmentesueltos.

Uno de los esquemas mas simples que se puede construir de este tipo de estructuras es el quese muestra en la figura 5.1, donde el mastil es simplemente un elemento de viga, articulado en labase, y los cables se encuentran muy sueltos y tienen disposicion simetrica en planta. Debido aque la funcion para el ploteo de los elementos de la estructura dibuja una recta entre sus extremos,cada uno de los cables se ha modelado con 10 elementos. De esta forma es posible apreciar la curvaque forma cada uno de ellos. Para analisis estaticos no es necesario descomponer el cable en varioselementos porque tanto la fuerza resistente no lineal en los nodos como la matriz de rigidez tangentese calculan en forma exacta. Por esta razon en aplicaciones como la presente, donde no se aplicancargas dentro de los tramos de los cables, no se requiere emplear mas que un elemento. Por otrolado, en aplicaciones dinamicas como calculo de frecuencias y modos de vibracion es necesaria ladiscretizacion de los cables en una serie de elementos para distribuir la masa.

A modo de ejemplo se calcula la respuesta estatica para una carga arbitraria horizontal, aplicadaen el extremo superior, segun la direccion X. Como puede verse en el grafico de la estructuradeformada (5.2) uno de los cables, el que resiste la carga, se tensa, mientras que los otros se aflojan.Si bien se trata de un caso atıpico, ya que la tension inicial de los cables es muy baja, y en lapractica ocurre lo contrario, es util como ejemplo dado que resulta muy marcado el comportamientode rigidizacion no lineal. Este fenomeno puede verse claramente en la figura 5.3, donde se muestraademas la respuesta que resulta si se mantiene el comportamiento lineal con la rigidez tangenteinicial. En este ejemplo la relacion entre la longitud de los cables y la distancia entre sus extremosinicialmente es L0/L = 1.01. Para comparar en la figura 5.4 se muestra la respuesta de la estructuraa la misma solicitacion cuando la relacion anterior es L0/L = 1.001.

1En ingles: Cable-Stayed Bridges. Puentes atirantados es la designacion en castellano que utilizan autores comoF. Leonhardt en Estructuras de Hormigon Arnmado, Bases para la Construccion de Puentes Monolıticos; y G.Grattesat en Concepcion de Puentes. Las refencias detalladas [16] [12] pueden encontrarse en la bibliografıa.

45

46 CAPITULO 5. APLICACIONES

Figura 5.1: Esquema muy simple de una torrearriostrada, con cables relativamente sueltos

Figura 5.2: Torre bajo la accion de una cargahorizontal en el extremo superior

5.3 Puentes Atirantados

En este apartado se realiza una breve descripcion de los puentes atirantados, sus diferentes tipos ysu diseno estructural. El proposito de esta seccion es mostrar con unos ejemplos los modelos com-putacionales de estas estructuras creados con la herramienta desarrollada y los metodos disponiblespara el analisis estatico de los mismos.

En esta clase de puentes el tablero cuelga de los pilones mediante cables oblicuos. Cuando elnumero de cables empleados es pequeno, el tablero puede tratarse como una viga sobre apoyoselasticos. En este caso, si bien es posible construir un modelo completo, es posible analizar el com-portamiento del tablero en forma independiente. La rigidez de los apoyos se obtiene por separadopara cada cable con la funcion cbf0.m. A esta clase de diseno pertenecen los primeros puentesde este tipo. La tendencia contemporanea en este tipo de estructuras se inclina hacia vigas maslivianas y esbeltas. De esta forma ha sido posible cubrir luces mayores, ampliando el campo de

Figura 5.3: Rigidizacion de la torre, L0/L = 1.01 Figura 5.4: Idem anterior, L0/L = 1.001

5.3. PUENTES ATIRANTADOS 47

Figura 5.5: Puente atirantado Sunshine, Tampa Bay, Florida

aplicacion de estos puentes. En estos casos se emplean un numero myor de cables y se reduce ladistancia entre puntos de suspension. Los cables inclinados pueden estar dispuestos en forma deabanico (figura 5.6) o de arpa (figura 5.5), o bien combinaciones de las dos anteriores. La forma enabanico es mas economica y tecnicamente mas eficiente. Por otro lado, la forma en arpa simplificalos anclajes al evitar la concurrencia de los cable a un mismo punto. Se han construido puentes deeste tipo con luces de hasta aproximadamente 700 m..

En la figura 5.6 de muestra un esquema de un puente atirantado, construido con SAT-Lab. Loscables se modelan con elementos de catenaria de dos nodos derivados de la teorıa exacta, de acuerdoa los desarrollos mas recintes en esta area [15]. La principal ventaja de estos elementos consiste enpoder analizar en forma preciza el comportamiento de la estructura bajo grandes desplazamientos.El elemento de de modulo equivalente solo considera el efecto de la flecha inicial lo produce unasubestimacion de la rigidez de los cables y resulta inadecuado para los esbeltos puentes atirantadosmodernos. El elemento de Broughton y Ndumbaro requiere que se empleen varios por cada cabley requiere de dos conversiones de coordenadas, lo que lo hace computacionalmente ineficiente. Porotro lado, para la fuerza resistente no lineal se obtiene una aproximacion que es satisfactoria solopara cables muy tensos, casi rectos. Esto ultimo afecta la convergencia de los algoritmos iterativosde solucion para problemas estaticos.

Figura 5.6: Esquema de un puente de atirantado

Para estudiar el comportamiento estatico bajo carga, se emplea la funcion nsincf2.m incorpo-rada a SAT-Lab o nsincf3.m si se utilizan cables inextensibles en el modelo. Un ejemplo de lasalida que se obtiene se encuentra en la figura 5.7.

Como se ha aclarado anteriormente, para problemas dinamicos, donde se quieren conocer fre-cuencias y modos de vibracion es necesario emplear varios, para capturar el movimiento mediante


Figura 5.7: Deformada exagerada de un puente de atirantado

un numero adecuado de grados de libertad. Esto puede hacerse con facilidad empleando la funcioncbgen.m, que divide un cable en un numero definido de elementos.

Matlab� [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgen([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])

Genera elementos de cable elastico de igual longitud.

CABDATA=[ni nj Ne etype eprop lktype lkprop; ...], parametros para la generacion de elementos.

XYZ=[...; xi yi zi; ...], matriz de coordenadas nodales.

ELEM=[...; ni nj etype eprop lktype, lkprop; ...], matriz de elementos.

PROPS=[...; E A Lo mg eo so; ...], propiedades de cables y otros elementos, si corresponde.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado de cables y otros elementos si corres-

ponde.

En todos los casos, las matrices anteriores se expanden para incorporar los elementos generados.

Con esta herramienta se generan automaticamente los nodos internos y actualiza todas los para-metros del modelo que se modifican con la incorporacion de nuevos elementos, liberando al usuario deun calculo laborioso. Para cables inextensibles se desarrollo una funcion analoga llamada cbgeni.m.

5.4 Puentes Colgantes

Otra clase de estructuras de cables (la mas antigua) son los puentes colgantes, en los que loscables tienen una flecha marcada, a diferencia de los anteriores. El tablero puede aportar, segun eldiseno, rigidez o no, y en general, se encuentra suspendido a traves de cables verticales regularmenteespaciados. En general se componen de tres tramos, siendo el central de una longitud del ordendel 60 ∼ 70% del desarrollo total. En los primeros disenos de esta clase de puentes, el tablero erasimplemente un medio para transmitir las cargas a los cables y no aportaba ninguna rigidez. Paraestas aplicaciones se desarrollo originalmente la teorıa sintetizada por Irvine que fue presentada enla seccion §3.5. En este caso, debido a la proximidad de los puntos de suspension, el peso del tablerose considera como una carga uniforme en proyeccion horizontal. Debido a que en este modelo noexiste interaccion entre las fuerzas aplicadas y los desplazamientos es posible analizar el cable concargas concentradas empleando las expresiones del capıtulo 2.

En los puentes colgantes modernos, el tablero contribuye con su rigidez, y resulta de fundamen-tal importancia poder analizar la interaccion entre los distintos elementos de la estructura. Estorequiere la construccion de un modelo estructural completo. En la figura 5.9 se presenta un ejemplode los que se pueden generar con la herramienta desarrollada. En este caso, los cables no se sub-dividen en elementos de igual longitud, sino de identica proyeccion horizontal. Para generar estoselementos se emplea cbgenh.m, la que como cbgen.m realiza todas las actualizaciones necesarias almodelo.Matlab� [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgenh([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])

Genera elementos de cable elastico de igual proyeccion horizontal.






ponde.


5.4. PUENTES COLGANTES 49

Figura 5.8: Puente colgante Akashi Kaiko, Japon

Para cables inextensibles se dispone de la funcion cggenhi.m.

Matlab� [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgenhi([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])

Genera elementos de cable inextensible de igual proyeccion horizontal.






ponde.



Figura 5.9: Esquema simple de un puente colgante

5.5 Metodos de Solucion

5.5.1 Metodo de Solucion para Problemas Estaticos

Para resolver los problemas planteados anteriormente se emplea un metodo de incrementos sucesi-vos de carga implementado en la funcion la funcion nsincf2.m:

Matlab� [Y,R,f,v,Z]=nsincf2(K,L,vptr,enamelist,elprop,Zo,F,param,yo)

Resuelve problemas estaticos por metodo de incrementos sucesivos de carga.

K, matriz de rigidez de elementos lineales.

L, matriz de transformaciones cinematicas.

vptr, matriz de punteros a elementos, para usar con L y ensamblar la matriz de rigidez tangente.

enamelist, lista de elementos no lineales.

elprop, propiedades de elementos no lineales.

Zo=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado iniciales de cables y otros elementos.

F, vector de fuerzas externas aplicadas.

param=[Np tol niter], nro. de incrementos de carga, tolerancia y maximo de iteraciones internas,

respectivamente.

yo, desplazamiento inicial. (opcional si yo=0).

Y, matriz con el vector solucion valuado en cada incremento de carga.

R, matriz con el vector de fuerzas resistentes valuado en los pasos anteriores.

f, matriz con el vector de fuerzas en elementos no linales.

v, matriz con el vector de deformaciones nodales.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado actuales de cables y otros elementos.

Para cada incremento se logra la convergencia a traves de un ciclo interno de iteraciones de New-ton. Se eligio este metodo debido a que no resultaba economico realizar un paso de busqueda enlınea para determinar el tamano de paso de la direccion de descenso y no es posible asegurar laconvergencia del algoritmo para la carga total. Si bien tampoco tiene convergencia asegurada, esmucho mas rubusto y funciona en la gran mayorıa de los casos practicos. Cuando no se logra laconvergencia a la solucion es posible modificar el numero de incrementos y el de iteraciones hastalograrla.

Para cables inextensibles, se emplea el mismo algoritmo con una ligera modificacion: el tamanodel paso se escala por una constante h < 1 para no producir desplazamientos inadmisibles (queviolen la condicion cinematica de inextensibilidad).

Matlab� [Y,R,f,v,Z]=nsincf3(K,L,vptr,enamelist,elprop,Zo,F,param,yo)

Resuelve problemas estaticos por metodo de incrementos sucesivos de carga con amortiguamiento en las

iteraciones internas, para poder usar con elementos de cable inextensible encablei.m. Tanto las variables

de entrada como las de salida son iguales a las de nsincf2.m.

Las funciones mencionadas anteriormente tienen el mismo formato que la original de SAT-Labnsincf.m, con ligeras modificaciones que permiten trabajar con matrices de rigidez muy mal con-dicionadas.

5.5.2 Metodo de Relajacion y Problemas Dinamicos

Una alternativa para resolver probemas estaticos sin la necesidad de invertir la matriz de rigidez, esemplear un metodo dinamico, mas precisamente, un metodo para integrar un sistema de ecuaciones

5.5. METODOS DE SOLUCION 51

diferenciales ordinarias equivalente al problema original. Esto es:

Cu + Ku + F(u) = P, (5.1)

junto con la condicion inicial u(0) = u0, donde C es una matriz de amortiguamiento ficticia, quepor cuestiones de eficiencia computacional se toma generalmente diagonal. El vector F(u) contienelas fuerzas resistentes de los elementos no lineales.

El conjunto de metodos comunmente usados para resolver (5.1) emplea un promedio ponderadode la velocidad en dos pasos consecutivos aproximado por interpolacion lineal de los valores deldesplazamiento en esos pasos:

(1− α)uk + αuk+1 =uk+1 − uk

∆tk+1, para 0 ≤ α ≤ 1, (5.2)

con tiempo [0, tf ] se divide en partes iguales ∆t, entonces tk = k∆t y la ecuacion (5.2) puedeescribirse:

uk+1 = uk + ∆tuk+α,

uk+α = (1− α)uk + αuk+1, para 0 ≤ α ≤ 1,(5.3)

y para diferentes valores de α se obtienen los conocidos esquemas de integracion:

α =

0, diferencias hacia adelante, condicionalmente estable; orden de precision: O(∆t)12 , Crank-Nicolson, estable; O(∆t2)23 , Galerkin, estable; O(∆t2)1, diferencias hacia atras, estable; O(∆t).

(5.4)

Para alcanzar la solucion planteando la ecuacion (5.1) en dos pasos consecutivos:

Cuk + Kuk + Fk = Pk,

Cuk+1 + Kuk+1 + Fk+1 = Pk+1,(5.5)

y se adopta para la fuerza resistente en el paso k +1 la aproximacion Fk+1 = Fk +Ktk(uk+1−uk),donde Ktk es, como antes, la matriz de rigidez tangente del paso k. Para eliminar los terminos conu se multiplican ambos miembros de la ecuacion (5.2) por C∆tk+1, y se obtiene:

∆tk+1αCuk+1 + ∆tk+1(1− α)Cuk = C(uk+1 − uk), (5.6)

en la que se introducen las ecuaciones (5.5):

∆tk+1α(Pk+1 −Kk+1uk+1 − Fk −Ktk(uk+1 − uk)

)+ ∆tk+1(1− α)

(Pk −Kkuk − Fk

)= C(uk+1 − uk).

(5.7)

Finalmente, agrupando terminos conocidos y desconocidos resulta la expresion:

Kk+1uk+1 = Kkuk + Pk,k+1, (5.8)

donde:

Kk+1 = C + a1(Kk+1 + Ktk),Kk = C − a2Kk + a1Ktk,

Pk,k+1 = ∆tk+1[αPk+1 + (1− α)Pk − Fk],a1 = α∆tk+1,

a2 = (1− α)∆tk+1.

(5.9)

Para el caso α = 0 se tiene K = C de manera que resulta un esquema explıcito. Sin embargo, paraasegurar la estabilidad del metodo, el tamano del paso de calculo debe satisfacer la restriccion:

∆t < ∆tcr =2

(1− 2α)λ, para λ <

12, (5.10)

donde λ es el mayor de los valores propios de la matriz K−1K. Esta condicion hace que los esquemasexplıcitos tengan dos problemas fundamentales:


1. El tamano del paso que cumple con (5.10) resulta muy pequeno causando que la convergenciadel metodo sea prohibitivamente lenta.

2. Como la matriz de rigidez depende de los desplazamientos, tambien lo hacen los valores propiosy el paso debe ser verificado durante el proceso, y actualizado si es necesario, lo que agravaaun mas el problema anterior.

Sistemas de ecuaciones de este tipo se conocen en la literatura como problemas rıgidos y se resuelvencon metodos implıcitos (en general con α ≥ 1/2). En la practica estos metodos se implementan conpaso variable y esquemas eficientes de diferenciacion numerica que permiten extrapolar la soliciondel paso siguiente y edecuar en consecuencia el paso de calculo. En Matlab existe una familia defunciones que permiten tratar problemas como este y la elegida para usar en el siguiente ejemplo esode15s.m. Para facilitar su uso se programo la funcion nsode.m, la que realiza simplemente tareasde preparacion del problema y configuracion para llamar a ode15s.m.

Matlab� [t, y, Z]=nsode(K, L, vptr, enamelist, elprop, Zo, F, yo)

Resuelve problemas estaticos por metodo de relajacion.

K, matriz de rigidez de elementos lineales.

L, matriz de transformaciones cinematicas.

vptr, matriz de punteros a elementos, para usar con L y ensamblarla matriz de rigidez tangente.

enamelist, lista de elementos no lineales.

elprop, propiedades de elementos no lineales.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado iniciales de cables y otros elementos.

F, vector de fuerzas externas aplicadas.

yo, desplazamiento inicial. (opcional si yo=0).

t, tiempos para los que se calcula la solucion.

y, matriz con el vector solucion valuado en los tiempos anteriores.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado actuales de cables y otros elementos.

Un ejemplo de la solucion que se obtiene por este metodo se puede ver en la figura 5.11, dondese observa claramente la variacion del paso de calculo en el tiempo, de manera que resulta mayorcuando es menor la derivada. La estructura analizada es la torre multiplemente arriostrada quese muestra en la figura 5.10. Se aplica una fuerza horizontal segun la direccion X en el extre-mo superior y se grafica el desplazamiento correspondiente. Los detalles de este problema puedenconsultarse en la funcion de demostracion cbdemo7.m.

Como ultimo comentario, se destaca que si bien es una implementacion eficiente del metodo derelajacion, su desempeno resulta muy inferior al de los procedimientos de incrementos sucesivos decarga. Por otro lado, y aunque es de menor importancia, no es posible emplear estas funciones conelementos de cable inextensible, porque al proyectar la solucion pueden producir desplazamientosincompatibles con la condicion de inextensibilidad, para los que no es posible evaluar la matriz derigidez tangente.

5.5. METODOS DE SOLUCION 53

Figura 5.10: Modelo de torre multiplemente arriostrada

Figura 5.11: Solucion obtenida por el metodo de relajacion


Capıtulo 6

Dinamica del Cable Suspendido

6.1 Introduccion

Este capıtulo esta dedicado al estudio de la respuesta dinamica de un cable suspendido, destacandola diferencia en su comportamiento respecto a la cuerda vibrante. La inclusion del efecto de la elas-ticidad resulta indispensable para obtener expresiones capaces de modelar con suficiente precisionel fenomeno fısico. El uso de variables adimensionales facilita el analisis parametrico por lo cual seempleara este recurso para presentar los resultados mas importantes. Como en todo este trabajo,el libro de H. M. Irvine Cable Structures es la referencia principal.

6.2 Teorıa Lineal de Vibraciones Libres de un Cable Sus-pendido

Si un cable suspendido de pequena flecha, anclado en soportes al mismo nivel, sufre una ligeraperturbacion, pueden plantearse las siguientes ecuaciones de equilibrio dinamico:

∂

∂s

[(T + τ)

(dx

ds+

∂u

∂s

)]= m

∂2u

∂t2,

∂

∂s

[(T + τ)

(dz

ds+

∂w

∂s

)]= m

∂2w

∂t2−mg,

∂

∂s

[(T + τ)

∂v

∂s

]= m

∂2v

∂t2,

(6.1)

donde u y w son las componentes vertical y longitudinal del movimiento en el plano, respectivamente,v es la componente fuera del plano, y τ es la traccion adicional generada por el movimiento respectode la posicion estatica.

Estas ecuaciones pueden ser simplificadas para el problema en cuestion. Cada ecuacion seexpande, se sustituyen las expresiones de equilibrio estatico y se desprecian los terminos de segundoorden. Ademas, como la flecha es reducida, la ecuacion de movimiento longitudinal no se consideraimportante y es eliminada. En consecuencia las ecuaciones de movimiento se reducen a:

H∂2w

∂x2+ h

d2z

dx2= m

∂2w

∂t2, (6.2)

H∂2v

∂x2= m

∂2v

∂t2, (6.3)

donde en concordancia con la definicion para la respuesta estatica h es la componente horizontal dela traccion adicional y es tambien funcion del tiempo. Con terminos de primer orden la ecuaciondel cable es:

h(ds/dx)3

EA=

∂u

∂s+

dz

dx

∂w

∂x, (6.4)

55

56 CAPITULO 6. DINAMICA DEL CABLE SUSPENDIDO

la que puede integrarse en la forma:

hLe

EA=

mg

H

l∫0

wdx. (6.5)

6.2.1 Movimiento Fuera del Plano

Los modos de balanceo se consideran primero debido a que son los mas faciles de analizar. Escri-biendo v(x, t) = v(x)eiωt, donde ω es la frecuencia natural de vibracion, la ecuacion (6.3) se reducea:

Hd2v

dx2+ mω2v = 0. (6.6)

Las condiciones de borde son v(0) = v(l) = 0, con las que se encuentra que las frecuencias naturalesy modos asociados son:

ωn =nπ

l

(H

m

) 12,

vn = An sinnπx

l,

(6.7)

donde n = 1, 2, 3, . . . denota el primer, segundo y tercer modo respectivamente, y ası sucesivamente.La frecuencia del primer modo fuera del plano es la mas baja de todas en un cable suspendido depequena flecha.

6.2.2 Movimiento En el Plano

En la ecuacion (6.5) se ve claramente que h = 0 cuando∫ l

0wdx = 0. Los modos que cumplen con

esta condicion y no generan un incremento global de tension pueden llamarse antisimetricos. (Debeinterpretarse cuidadosamente lo anterior, debido a que cuando λ2 es muy grande

∫ l

0wdx → 0 para

los modos simetricos. La diferencia es que en este caso se produce un incremento de tension). Todoslos otros modos inducen traccion adicional global y son simetricos. Los modos antisimetricos en elplano constan de una componente vertical antisimetrica y una longitudinal simetrica, mientras quela situacion se invierte para los modos simetricos. Para los modos antisimetricos en el plano de laecuacion (6.2) resulta:

Hd2w

dx2+ mω2w = 0, (6.8)

donde se realizo la sustitucion w(x, t) = w(x)eiωt. La ecuacion del cable se reduce a una expresionde compatibilidad geometrica:

du

dx+

dz

dx

dw

dx= 0, (6.9)

donde tambien se ha hecho el reemplazo u(x, t) = u(x)eiωt. Junto con las condiciones de bordew(0) = w(l/2) = 0, las ecuaciones (6.8) y (6.9) permiten obtener las frecuencias naturales y lascomponentes modales de los modos antisimetricos en el plano:

ωn =2nπ

l

(H

m

) 12, (6.10)

wn = An sin(2nπx

l

). (6.11)

Los modos longitudinales se encuentran a partir de (6.9):

un = −12

(mgl

H

)An

[(1− 2x

l

)sin

(2nπx

l

)+

1− cos(2nπx/l)nπ

], (6.12)

6.2. TEORIA LINEAL DE VIBRACIONES LIBRES DE UN CABLE SUSPENDIDO 57

donde, como antes, An es la amplitud del n-esimo modo antisimetrico en el plano.Una distribucion antisimetrica de tension adicional h(x) es posible, de manera que

∫ l

0h(x)dx = 0.

Para demostrar esto se recurre a la ecuacion de movimiento longitudinal:

∂h

∂x= −H

∂2u

∂x2+ m

∂2u

∂t2, (6.13)

o

dh

dx= −

(H

d2u

dx2+ mω2u

), (6.14)

donde se ha eliminado la variable tiempo. Sustituyendo, integrando e incorporando el requisito deantisimetrıa en h(x) resulta:

h(x)H

= −mgl

H

An

l

[nπ

(1− 2x

l

)+ sin

(2nπx

l

)]. (6.15)

La funcion seno aporta una modulacion al perfil basico.En el caso de los modos simetricos en el plano, se induce una tension adicional. Entonces (6.2)

se expresa:

Hd2w

dx2+ mω2w =

mg

Hh. (6.16)

La solucion que satisface condiciones de borde nulas es (escrita en variables adimensionales):

w =hω2

(1− tanω

2sinωx− cos ωx), (6.17)

donde w = w/(mgl2/H), x = x/l, h = h/H, y ω = ωl/(H/m)1/2. Se recurre a la ecuacion (6.15)para eliminar h y obtener la siguiente ecuacion trascendental de donde se determinan las frecuenciasnaturales:

tanω

2=

ω

2− 4

λ2

(ω

2

)2

. (6.18)

donde, como antes, λ2 = (mgl/H)2l/(HLe/EA). En la tabla 6.1 se encuentran las frecuencias delos primeros 10 modos simetricos en el plano, para un amplio rango de λ2, con lo que se cubren lascombinaciones mas comunes de geometrıa y elasticidad de cables.

Uno de los puntos mas importantes para destacar de esta teorıa de Irvine es la presencia deun solo parametro, lo que constituye un avance significativo frente a estudios previos, puramentenumericos, en los que se utilizan dos o tres parametros, y se requiere un analisis previo de los mismos.Por esto, esta aproximacion analıtica es de considerable ayuda para determinar las caracterısticasfısicas del fenomeno. Por otro lado, sera la referencia con la que se compararan posteriormente losresultados del analisis numerico mediante elementos finitos.

Para completar el analisis de la ecuacion (6.18) cabe mencionar que cuando λ2 es muy grandepuede reducirse a:

tanω

2=

ω

2. (6.19)

Por otro lado, cuando λ2 → 0, la configuracion del cable se aproxima a la de una cuerda tensa, yse tiene el otro caso lımite:

tanω

2= ±∞, (6.20)

y las raıces correspondientes son ωn = (2n−1)π, n = 1, 2, 3, . . . . Estos casos estan incluidos en la ta-bla 6.1 donde puede verse que la condicion de inextensiblidad produce un salto de aproximadamente2π en las raıces de la ecuacion de las frecuencias (6.18).

Segun el valor de λ2 se pueden establecer tres rangos:

1. Si λ2 < 4π2, la frecuencia del primer modo simetrico es menor que la del antisimetrico, y lacomponente vertical no tiene nodos internos.(Ver la figura 6.3).


λ2 ω1/π ω2/π ω3/π ω4/π ω5/π ω6/π ω7/π ω8/π ω9/π ω10/π0 1.000 3.000 5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0001 1.040 3.002 5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0002 1.079 3.003 5.001 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0004 1.152 3.006 5.001 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0006 1.220 3.010 5.002 7.001 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0008 1.284 3.013 5.003 7.001 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.00010 1.345 3.017 5.003 7.001 9.001 11.000 13.000 15.000 17.000 19.00020 1.610 3.038 5.007 7.002 9.001 11.001 13.000 15.000 17.000 19.0004π2 2.000 3.093 5.015 7.005 9.002 11.001 13.001 15.000 17.000 19.00060 2.291 3.185 5.026 7.008 9.004 11.002 13.001 15.001 17.001 19.00080 2.480 3.315 5.038 7.011 9.005 11.003 13.002 15.001 17.001 19.000100 2.597 3.480 5.053 7.015 9.006 11.003 13.002 15.001 17.001 19.00116π2 2.737 4.000 5.122 7.028 9.011 11.006 13.003 15.002 17.001 19.00136π2 2.820 4.778 6.000 7.135 9.035 11.016 13.008 15.005 17.003 19.00264π2 2.840 4.870 6.794 8.000 9.142 11.041 13.019 15.011 17.007 19.005100π2 2.848 4.892 6.889 8.802 10.000 11.147 13.044 15.021 17.013 19.008144π2 2.852 4.902 6.913 8.900 10.808 12.000 13.151 15.047 17.024 19.014196π2 2.854 4.907 6.923 8.924 10.906 12.811 14.000 15.153 17.049 19.025256π2 2.856 4.909 6.928 8.934 10.931 12.911 14.814 16.000 17.155 19.051324π2 2.857 4.911 6.932 8.940 10.941 12.935 14.914 16.816 18.000 19.156400π2 2.858 4.913 6.934 8.944 10.947 12.946 14.939 16.916 18.817 20.000∞ 2.861 4.918 6.942 8.955 10.963 12.969 14.973 16.976 18.979 20.981

Tabla 6.1: Frecuencias de los modos simetricos en el plano

2. Si λ2 = 4π2, las frecuencias de esos modos son iguales, y la componente modal vertical estangente a la horizontal en los extremos. Este valor de λ2 es el primer cruce modal, y denotaun cambio de comportamiento, del correspondiente a una cuerda tensa al de una catenaria.

3. Si λ2 > 4π2, la frecuencia del modo simetrico es mayor y aparecen dos nodos internos.

Continuando el analisis anterior, si 4π2 < λ2 < 16π2, tanto el primero como el segundo modotienen dos nodos internos. Cuando λ2 = 16π2, la frecuencia del segundo modo simetrico es igual ala del antisimetrico correspondiente y se presenta el segundo cruce (Ver la figura 6.4). En general,para la n-esima frecuencia, los valores lımite son λ2 = (2nπ)2, y las frecuencias de cruce ωn = 2nπ,tal como se observa en el cuadro 6.1

La componente modal longitudinal asociada dada por Irvine es:

u =hω2

{ω2

λ2

Lx

Le− 1

2(1− 2x)

[1− tan

ω

2sinωx− cos ωx

]− 1

ω

[ωx− tan

ω

2(1− cos ωx)− sinωx

]},

(6.21)

donde u = u/((mgl/H)(mgl2/H)) y Lx = l[x + 38 (mgl/H)2(x− 2x2 + 4x3/4)].

6.3 Vibraciones Libres de un Cable Inclinado

El objetivo de este apartado es extender los resultados del anterior para cubrir el caso de un cableinclinado suspendido bajo la accion de su propio peso, de manera analoga a §3.2.1. En esa seccionse presenta una solucion aproximada para la curva que forma un cable inclinado proximo a lacuerda. Sin embargo, esa no es una forma conveniente para el analisis dinamico, debido a que,con ejes dirigidos segun la horizontal y la vertical, la inercia horizontal adquiere cada vez mayorimportancia a medida que aumenta el desnivel entre soportes. Esta dificultad puede ser superadamediante una transformacion de coordenadas. Sea x∗ mide la distancia desde la cuerda y z∗ ladistancia entre el cable y la cuerda sobre la perpendicular a esta. Entonces, x∗ = x sec θ + z sin θ,z∗ = z cos θ, l∗ = l sec θ,y H∗ = H sec θ, con lo que resulta:

z∗ =12x∗(1− x∗)

[1− ε∗

3(1− 2x∗)

], (6.22)

6.4. ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS 59

donde z∗ = z∗/(mgl2∗ cos θ/H∗), x∗ = x∗/l y ε∗ = mgl∗ sin θ/H∗(= ε). Se asume que ε∗ essuficientemente pequeno como para que la parabola describa bien la configuracion del cable. Estoocurre en casos relativamente comunes en la practica, como en torres o mastiles arriostrados, dondela tension no varıa demasiado a lo largo de los cables.

Con esta eleccion de ejes el problema se simplifica significativamente, y no se requiere mucho masque expresar los resultados de la seccion anterior en las correspondientes nuevas variables. Retenien-do solo terminos de primer orden, el movimiento fuera del plano resulta como antes, desacopladodel movimiento en el plano. Las componentes sobre la cuerda de los modos en el plano se considerande importancia secundaria en comparacion con las asociadas a la direccion perpendicular.

Las frecuencias naturales de los modos fuera del plano son:

ω∗n = nπ, n = 1, 2, 3, . . . , (6.23)

y las de los modos antisimetricos en el plano son:

ω∗n = 2nπ, n = 1, 2, 3, . . . , (6.24)

mientras que la de los modo simetricos en el plano estan contenidas en las raıces no nulas de laecuacion trascendental:

tanω∗

2=

ω∗

2− 4

λ2∗

(ω∗

2

)3

, (6.25)

donde las nuevas variables son ω∗ = ω∗l∗/(H∗/m)1/2 y λ2∗ = (mgl∗ cos θ/H∗)2l∗/(HLe∗/EA), en la

que Le∗ = l∗[1 + (mgl∗ cos θ/H∗)2/8].Estas ecuaciones son mas generales y tienen en consecuencia mayor aplicacion que las de la

seccion anterior, que no son mas que el caso particular θ = 0. Por esta razon se emplea en la pro-gramacion el valor de λ2 dado aquı.

Matlab� lambda2=cblambda(xyzi, xyzj, props)



lambda2, parametro λ2 de Irvine.

El rango de aplicacion de las expresiones anteriores se limita a θ ≤ 60, lo que no reviste mayorimportancia dado que valores mayores no son frecuentes en la practica.

6.4 Analisis por Elementos Finitos

Para todos los elementos de cable de dos nodos descriptos en el capıtulo anterior se emplea unamatriz de masas concentradas, como es practica comun, para agilizar los calculos. Para problemasplanos es:

M =mL0

2

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, (6.26)

y para casos tridimensionales la extension es trivial, solo hay que reemplazar la matriz identidad4× 4 por otra 6× 6. Con este metodo es posible tratar de la misma forma tanto cable horizontalescomo inclinados. Por otro lado es independiente del grado de tension o de la flecha debido a queno se introduce ninguna hipotesis simplificativa al respecto. Los modos y las frecuencias naturalesde vibracion se obtienen como la solucion al problema de valores propios (−ω2M + Kt)X = 0,y la precision se regula con el numero de elementos. En la tabla 6.2 se muestran los valores delas 10 primeras frecuencias de un cable horizontal con λ2 = 13.0 contra el numero de elementosempleados para calcularlas. Debido a los errores propios del metodo numerico las componentes delos modos calculados de esta forma no estan, en general, perfectamente desacopladas. Esto quieredecir que los vectores modales contienen desplazamientos en el plano del cable y fuera de el. El


N ω1/π ω2/π ω3/π ω4/π ω5/π ω6/π ω7/π ω8/π ω9/π ω10/π6 0.989 1.646 1.907 1.910 2.701 2.732 3.307 3.308 3.688 3.6907 0.992 1.660 1.931 1.934 2.779 2.814 3.483 3.484 4.015 4.0188 0.994 1.670 1.946 1.949 2.830 2.867 3.600 3.601 4.235 4.2389 0.995 1.676 1.957 1.960 2.865 2.904 3.682 3.683 4.389 4.39410 0.996 1.681 1.964 1.967 2.890 2.931 3.741 3.742 4.502 4.50715 0.998 1.692 1.982 1.986 2.951 2.994 3.883 3.884 4.775 4.78120 0.999 1.696 1.989 1.992 2.972 3.017 3.933 3.935 4.873 4.88025 1.000 1.698 1.992 1.995 2.982 3.027 3.957 3.958 4.918 4.92630 1.000 1.699 1.993 1.997 2.988 3.033 3.969 3.971 4.943 4.95135 1.000 1.699 1.994 1.997 2.991 3.036 3.977 3.979 4.958 4.96640 1.000 1.700 1.995 1.998 2.993 3.038 3.982 3.984 4.968 4.97645 1.000 1.700 1.995 1.999 2.995 3.040 3.986 3.987 4.975 4.98250 1.000 1.700 1.996 1.999 2.996 3.041 3.988 3.990 4.980 4.987

Tabla 6.2: Frecuencias de los 10 primeros modos por elementos finitos

hecho de que las formas secundarias no resulten simetricas ni antisimetricas no tiene fundamentofısico alguno y por eso se atribuye al error de calculo. Por otro lado si se presta atencion a losfactores de escala de las figuras, se observa que resultan insignificantes respecto a la unidad por loque el error mencionado no le resta validez al metodo. Segun el modo, varıa la importancia de lascomponentes no principales como puede verse en las figuras 6.5 y 6.6, y estos resultados muestranla razon de las simplificaciones anteriores (Irvine) como ası tambien, la magnitud del error que secomete al adoptarlas.

Como se menciono anteriormente, se pueden tratar con la misma facilidad cables inclinados,y para estos casos es mayor la ventaja de este metodo numerico, debido a que la calidad de lasolucion no se degrada al aumentar el angulo de inclinacion. En las figuras 6.7 y 6.8 se muestran loscuatro primeros modos de un cable inclinado 45◦ donde es mucho mas marcada la diferencia conla solucion analıtica. Por ultimo, como se ha desarrollado un elemento de cable inextensible, esposible resolver con este metodo esa clase de problemas de la misma forma. Solo se requiere elegirel tipo de elemento que se desea utilizar.

6.4.1 Ejemplo de aplicacion: modos de vibrar de una torre arriostrada

Para concluir con este capıtulo se analiza una de las aplicaciones mas comunes. Como es conocido,una de las principales ventajas del metodo de elementos finitos es su capacidad de tratar estructurascomplejas, con distintos tipos de elementos, que serıan imposibles de tratar analıticamente sinintroducir simplificaciones significativas.

Para el problema de la torre en particular, un enfoque de este tipo consiste en tratarla comouna viga sobre apoyos elasticos puntuales, a los que se asigna la rigidez del conjunto de riostrascorrespondientes, estimada analıticamente. Se desprecia la influencia de la masa de los cables, porconsiderarse de menor importancia frente a la de la torre.

Por otro lado, empleando elementos finitos, se evitan esos calculos auxiliares laboriosos y seobtienen resultados mas realistas sobre el comportamiento de la estructura en su conjunto. No esnecesario que los cables esten tensos y tengan una flecha reducida. Pueden considerarse las vibra-ciones de los cables si se modelan con varios elementos. En las figuras 6.9 y 6.10 se muestran losprimeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas. Estos resultados seobtuvieron resolviendo el problema de valores propios con la matriz de rigidez tangente de la estruc-tura valuada en la posicion de equilibrio estatico. Puede estudiarse la influencia del movimiento dela torre sobre los modos de vibrar con la misma facilidad, simplemente evaluando la rigidez tangenteen la posicion que se desea analizar.


Figura 6.1: Primeros 5 modos de vibracion antisimetricos en el plano. (w en lınea discontinua)


Figura 6.2: Las 5 primeras formas antisimetricas de tension adicional h


1) λ2 < 4π2

2) λ2 = 4π2

3) λ2 > 4π2

Figura 6.3: Formas posibles para la componente vertical del primer modo simetrico en el plano.


1) λ2 < 16π2

2) λ2 = 16π2

3) λ2 > 16π2

Figura 6.4: Formas posibles para la componente vertical del segundo modo simetrico en el plano.

Figura 6.5: Los dos primeros modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos


Figura 6.6: Tercer y cuarto modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos

Figura 6.7: Los dos primeros modos de un cable inclinado 45◦ calculados por elementos finitos

Figura 6.8: Tercer y cuarto modos de un cable inclinado 45◦ calculados por elementos finitos


a) Modo 1: Perıodo = 0.95 seg. b) Modo 2: Perıodo = 0.72 seg.

Figura 6.9: Los dos primeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas

c) Modo 3: Perıodo = 0.46 seg. d) Modo 4: Perıodo = 0.34 seg.

Figura 6.10: Tercer y cuarto modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas

Capıtulo 7

Conclusiones

En el trabajo se desarrolla la teorıa exacta como ası tambien algunos metodos aproximados deanalisis de estructuras de cables, que gracias a simplificaciones permiten un tratamiento mas simpley facilitan la comprension de las caracterısticas fısicas del problema. Son, por otro lado, referenciaobligada en los trabajos sobre este tema.

La implementacion computacional desarrollada en este trabajo para el elemento de catenariade dos nodos tiene una programacion mas eficiente que la que presentan los autores [14] [15] queestudiaron anteriormente este tipo de elemento, ya que se mantiene la ventaja de tratar con sim-plicidad los efectos de la pretension, la flecha y el peso propio, como ası tambien el fenomeno nolineal de rigidizacion y mejora la rapidez de convergencia de los algoritmos iterativos. La idea deincluir en la variable de estado del elemento el valor actual de la fuerza no lineal, permite agilizarla etapa de proceso, trasladando los calculos previos a la etapa de definicion del problema, dondese fija la geometrıa (preproceso) y, por otro lado, acelera la convergencia de los ciclos internos delos metodos de incrementos sucesivos de carga. Como curiosidad se escribe en el mismo formato elelemento de cable inextensible.

Para problemas dinamicos, se obtienen valores precisos tanto para las frecuencias como para losmodos de vibracion, empleando relativamente pocos elementos y a pesar de que se emplea la matrizde masas concentradas, debido a que se cuenta con la expresion exacta de la matriz de rigideztangente.

Las funciones escritas para ayudar a definir los elementos de cable de la estructura permitentratar cada cable como uno o varios elementos con la misma facilidad y la integracion de estos a unmodelo estructural completo.

Debido a que la matriz de rigidez tangente de la estructura puede resultar mal condicionadasegun la configuracion adoptada por los cables, no se puede emplear el procedimiento de incrementode carga usual seguido de la iteracion de Newton porque requiere la inversion de esta matriz.Para sortear este problema se escribio una funcion mas robusta y que mantiene a la vez buenaconvergencia. Otra alternativa para resolver este problema, es el metodo de relajacion dinamica,que de acuerdo a los resultados obtenidos, no se recomienda, por tener una convergencia muchomas lenta. Los algoritmos no estan disenados especıficamente para cables, sino que son generales,y pueden emplearse con otros tipos de elementos no lineales de la misma forma.

Finalmente, como el principal objetivo fue desarrollar una herramienta de analisis quedo enel campo de las aplicaciones mucho por hacer. Entre otras, modelos de sistemas para control devibraciones en cables, y respuesta frente a fuerzas dinamicas como las originadas por el vientoo sismos. Sobre estos temas es creciente el numero de investigadores interesados y seguramenteseran motivo de los proximos trabajos. Otro tema interesante que no ha sido tratado aquı es elcomportamiento no lineal del material, que incluye por ejemplo, deformaciones permanentes bajocarga y descarga despues de incursion postelastica. Por otro lado, no hay que descartar otras areasde investigacion, como puede ser la experimental, para determinar por ejemplo, el coeficiente deamortiguamiento, propiedades mecanicas o estado de dano de cables mediante ensayos dinamicosin-situ.

67

68 CAPITULO 7. CONCLUSIONES

Bibliografıa

[1] O. Armitano et al. Programacion No Lineal. Limusa, Mexico, D. F., 1985.

[2] M. S. Bazaraa et al. Nonlinear Programming. John Wiley & Sons, New York, segunda edicion,1993.

[3] G. Birkhoff and G. C. Rota. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, New York,cuarta edicion, 1989.

[4] P. Broughton and P. Ndumbaro. The Analysis of Cable and Catenary Structures. ThomasTelford, Londres, 1994.

[5] R. L. Burden and J. D. Faires. Analisis Numerico. Grupo Editorial Iberoamerica, Mexico, D.F., segunda edicion, 1996.

[6] Y. K. Cheung et al. Modeling of stay cables and its effect on free vibration analysis ofcable-stayed bridges. Reporte tecnico, Department of Civil Engineering, The University ofHong Kong, Hong Kong, 1998.

[7] R. Courant and F. John. Introduction to Calculus and Analysis, volumen II. Springer-Verlag,New York, 1989.

[8] J. Courbon. Resistencia de Materiales, volumen I. Aguilar, Madrid, segunda edicion, 1968.

[9] J. Courbon. Resistencia de Materiales, volumen II. Aguilar, Madrid, segunda edicion, 1968.

[10] Ediciones de la Reconquista. Tabla de Derivadas e Integrales. Coleccion Preediciones. Edicionesde la Reconquista, Buenos Aires, decima edicion, 1996.

[11] V. I. Feodosiev. Resistencia de Materiales. Mir, Moscu, 1980.

[12] G. Grattesat. Concepcion de Puentes. Editores Tecnicos Asociados, Barcelona, 1981.

[13] J. A. Inaudi and J. C. de la Llera. Sat-Lab herramientas para el analisis de estructuras enMatlab. Reporte tecnico, Universidad Catolica de Chile, Santiago, 2001.

[14] H. M. Irvine. Cable Structures. Dover Publications, Mineola, NY, 1992.

[15] R. Karoumi. Modeling of cable-stayed bridges for analysis of traffic induced vibrations. Reportetecnico, Department of Structural Engineering, Royal Institute of Technology, Stockholm, 1996.

[16] F. Leonhardt. Estructuras de Hormigon Armado, Bases para la Construccion de PuentesMonolıticos. El Ateneo, Avellaneda, Buenos Aires, 1992.

[17] J. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. Engineering Mechanics. McGraw-Hill,New York, segunda edicion, 1993.

[18] J. Reddy and M. L. Rasmussen. Analisis Matematico Avanzado, con aplicaciones a ingenierıay ciencias. Limusa, Mexico, D. F., 1992.

[19] V. G. Rekach. Problemas de la Teorıa de la Elasticidad. Mir, Moscu, segunda edicion, 1978.

[20] U. Starossek. Boundary induced vibration and dynamic stiffness of a sagging cable. Reportetecnico, Institut fur Tragwerksentwurf und konstruktion der Universitat Stuttgart, Stuttgart,1990.

69

70 BIBLIOGRAFIA

[21] U. Starossek. Die dynamik des durchhangenden seiles. Reporte tecnico, Institut fur Tragwerk-sentwurf und konstruktion der Universitat Stuttgart, Stuttgart, 1990.

[22] S. M. Targ. Curso breve de Mecanica Teorica. Mir, Moscu, cuarta edicion, 1981.

[23] W. T. Thomson. Teorıa de Vibraciones. Prentice-Hall Hispanoamericana, Mexico D. F., 1996.

[24] S. P. Timoshenko and D. H. Young. Teorıa de las Estructuras. Urmo, Bilbao, segunda edicion,1976.

[25] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor. El Metodo de los Elementos Finitos, Mecanica de Solidosy Fluidos. Dinamica y No Linealidad, volumen II. McGraw-Hill/Interamericana de Espana,Madrid, cuarta edicion, 1995.

Date post:	05-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	vunhan
View:	229 times
Download:	2 times

An lisis Estructural de Cables, Herramienta Computacional ... · PDF fileiii An´alisis...

Documents