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Revista de la Ingeniería Industrial, Vol. 7, No. 1, 2013, 37-50 ISSN 1940-2163 AcademiaJournals.com
ANÁLISIS COMPARATIVO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA CALCULAR LOS
NIVELES DE INVENTARIO Y MINIMIZAR LOS COSTOS DEL ALMACÉN DE REFACCIONES
DE UNA EMPRESA VIDRIERA
I.I. Juan Pablo Sánchez Olivos 1, M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez2, Dr. Guillermo Cortés Robles3, Dr. Daniel Hernández Marín4, M.C. José Efraín Ferrer Cruz 5
Resumen—En el presente artículo se describe el uso de la simulación como herramienta de evaluación de alternativas
para la minimización de los costos del almacén de una empresa vidriera. Estos costos han aumentado en los últimos años,
condición que perjudica la rentabilidad de la empresa. En consecuencia, se requiere un análisis de los modelos
matemáticos existentes para conocer cuándo y cuánto debe pedir la empresa para manejar adecuadamente su almacén de
acuerdo a las necesidades actuales. Los modelos matemáticos a evaluar son: modelo heurístico de la empresa, lote
económico de pedido, lote económico de pedido para la demanda normal, modelo matemático de una empresa externa de
consultoría y un modelo optimizador. Por medio de la aplicación de la metodología de simulación se analizarán los costos
totales de cada modelo matemático y se elegirá aquél que conlleve los menores costos del inventario y minimice el riesgo
de ruptura de existencias.
Palabras Clave— Inventarios, Evaluación, Simulación, Optimización, Plant Simulation.
Introducción Todas las empresas quieren obtener mayores ganancias agregando valor a sus productos y tratando de mejorar
continuamente sus procesos. No obstante, en cualquier empresa existen actividades que se consideran necesarias,
pero que no agregan valor al producto. Un ejemplo de este tipo de actividades son los almacenes, debido a que se
considera que el dinero está “inmóvil” cuando un producto, insumo o refacción, tiene un tiempo de residencia en
estas áreas, ya que no genera ninguna ganancia. Sin embargo, su importancia para la operatividad de la empresa no
está a discusión, debido a que esta actividad asegura tener las piezas adecuadas en el momento necesario. El tenerlos
o no, representa costos; el tenerlos en demasía representa incrementar los costos de almacenaje, y el no tenerlos,
incrementar los costos de penalización. Es por esto que es de gran necesidad optimizar su funcionamiento. En los últimos años, una empresa dedicada a la fabricación de vidrio ha experimentado un incremento en los
costos de llevar el inventario. Se cree que esto se debe a que el almacén se administra utilizando técnicas heurísticas
y por ello es conveniente reestructurar las prácticas del almacén para que se ajusten a las necesidades actuales. Por lo
antes descrito, se define el objetivo del presente proyecto como: determinar el mejor modelo matemático de
selección de los niveles de inventario para los productos de mayor importancia económica existentes en el almacén
de refacciones de una empresa vidriera, con el objeto de minimizar los costos totales del inventario y los riesgos de
ruptura de inventario. Los modelos matemáticos a evaluar y su descripción se muestran en el cuadro 1.
1 El I. I. Juan Pablo Sánchez Olivos es alumno de la maestría en ingeniería industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba.
[email protected] 2 El M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez es profesor de la maestría en ingeniería industrial del Instituto Tecnológico de Orizaba. [email protected] 3 El Dr. Guillermo Cortés Robles es profesor de la maestría en ingeniería administrativa del Instituto Tecnológico de Orizaba. [email protected] 4 El Dr. Daniel Hernández Marín es Gerente de Planta de Sílices de Veracruz. [email protected] 5 M.C. José Efraín Ferrer Cruz es profesor de Ingeniería en el Instituto Tecnológico de Tuxtepec. [email protected]
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Modelo matemático Descripción
1. Actual (modelo heurístico de
la empresa).
En la empresa se manejan ciertos niveles de inventario que se obtuvieron
por medio de la experiencia de los años. Este modelo se toma en
consideración porque:
Representa seguir tal como se encuentra funcionando actualmente el
almacén. Si resulta ser la mejor alternativa se deberían mantener los
niveles de inventario.
Si existe una alternativa mejor al estado actual, los resultados permitirán determinar el porcentaje de mejora sobre éste.
2. Lote económico de pedido.
Modelo determinístico
(EOQ).
Es la fórmula con mayor popularidad sobre los cálculos de los niveles de
inventario. De no haberse hecho un análisis de los modelos matemáticos,
quizás se hubiera implementado este modelo matemático para tratar de
mejorar el modelo actual.
3. Lote económico de pedido
demanda normal. Modelo
estocástico.
Este modelo matemático sirve para contemplar la incertidumbre presente
en el sistema. Se tomó en cuenta la distribución normal para la demanda
debido a que el análisis estadístico de la información sugiere que tal
distribución se puede utilizar para modelar la demanda observada.
4. Modelo matemático de una
empresa externa de
consultoría.
Al inicio del proyecto se tenía una propuesta por parte de una empresa
externa de consultoría sobre los niveles de inventario. Por motivos de
confidencialidad solo se expondrá que este modelo matemático considera
niveles de confianza para establecer los niveles de inventario.
5. Optimizador GAWizard de
Plant Simulation.
Este modelo analiza los factores involucrados en los inventarios (demanda,
tiempos entrega, cantidades solicitadas), los cuales se comportan de manera probabilística. La mejor forma de tomar en cuenta la variabilidad
en dichos factores es por medio de un modelo de simulación. A su vez, con
la ayuda del optimizador GAWizard de Plant Simulation, se pretendía
minimizar los costos totales del inventario.
Cuadro 1. Modelos evaluados para minimizar los costos en el almacén.
En el presente artículo se desarrolla la metodología de simulación recomendada por la Asociación de Ingenieros
Alemanes (Bangsow, 2010) para evaluar y seleccionar el mejor modelo matemático que minimice los costos totales
del inventario. La metodología comprende los siguientes pasos: formulación del problema, prueba de solvencia de la
simulación, formulación de objetivos, recolección y análisis de los datos, modelación, ejecutar las corridas de la
simulación, análisis e interpretación de los resultados, documentación.
La naturaleza del problema de los inventarios consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. Los modelos de inventarios ayudan a responder las
preguntas esenciales de los inventarios: ¿Cuándo hacer un pedido o una orden de producción?, ¿Cuál es el tamaño
óptimo del pedido? Las respuestas a estas preguntas se basan en la búsqueda de la minimización de los costos del
almacén. En la figura 1 se puede observar la clasificación de los modelos de inventarios con base en las
características de la demanda. Se incluye un listado de tan solo unos cuantos modelos representativos de cada tipo de
inventarios. Se observan la diferenciación entre los modelos determinísticos y los estadísticos y los diversos intentos
para optimizar los modelos propuestos tradicionalmente propuestos en la literatura.
Simulación
En un contexto global, Plant Simulation es una de las herramientas de la plataforma tecnológica de Siemens y
está orientada al manejo del ciclo de vida del producto, PLM (Product Life cycle Management) por sus siglas en
inglés. Plant Simulation pertenece a la división llamada Tecnomatix; la cual es una completa cartelera de soluciones
de fabricación digital que ofrece la innovación mediante la vinculación de todas las disciplinas de fabricación, desde
el diseño de procesos y productos, simulación de procesos y validación, hasta la ejecución de fabricación. De
manera particular, Plant Simulation es un software de simulación de eventos discretos que permite la creación de un
modelo computarizado dinámico de un sistema complejo, explora sus características y optimiza el desempeño del
sistema.
GAWizard es una herramienta de Plant Simulation que sirve para optimizar los resultados de las variables de
salida. El GAWizard soporta la integración de algoritmos genéticos dentro del modelo de simulación. Se recomienda
utilizar esta herramienta cuando se quiera optimizar una tarea que tenga un amplio rango de valores de entrada.
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Los algoritmos genéticos son un procedimiento de optimización estocástica que en la mayoría de los casos
producen una solución aproximada a la óptima. Para la mayoría de las aplicaciones prácticas dichas soluciones aproximadas son suficientes. Los algoritmos genéticos administran muchas propuestas de solución durante la
optimización. De acuerdo con la evolución en biología esas propuestas de solución son llamadas individuos. Los
individuos gestionados en una optimización simple son combinados en cada una de las generaciones.
Para llevar a cabo el análisis de los niveles de inventario adecuados para el almacén de la empresa vidriera, se
propuso evaluar los cinco modelos matemáticos mencionados en el cuadro 1 a través de un modelo de simulación
que compararía los resultados obtenidos y permitiera elegir el modelo matemático que minimizara los costos totales
del inventario. A continuación se describe la aplicación de la metodología propuesta por la Asociación de Ingenieros
Alemanes para efectuar un estudio de simulación y lograr el objetivo mencionado.
Formulación del problema En conjunto con los responsables del almacén de refacciones, se determinó la necesidad de minimizar los costos
de operación del almacén. Existen muchas respuestas para las preguntas básicas para la gestión de los niveles de
inventario, ¿cuánto pedir? y ¿cuándo pedir? la respuesta adecuada depende invariablemente del comportamiento de
la demanda. En esencia, se debería analizar cada uno de los comportamientos de la demanda de los productos para
asignarle a cada uno su mejor tratamiento y así obtener el costo mínimo en el manejo del inventario. Sin embargo, en
un almacén donde existe un total de 4,690 productos diferentes, este tipo de análisis exhaustivo sería impráctico. Se
tomó así la decisión de evaluar cuál es la mejor respuesta para calcular los niveles de inventario tomando en cuenta
el análisis del 80-20. En este caso, el análisis 80-20 indicaría que el 20% de los productos provoca el 80% de los
costos del inventario. La sorprendente respuesta al realizar este análisis en la empresa bajo estudio fue que tan sólo
el 5% de los productos del almacén producen el 80% de los costos totales.
Prueba de solvencia de la simulación
Se consideró que la simulación era una técnica adecuada para el presente estudio dado que los datos a representar
(tiempos de pedidos, de entrega de proveedores, de descarga, y cantidades solicitadas) se comportaban
probabilísticamente y que era preciso modelar turnos de trabajo (ShiftCalendar en Plant Simulation) dentro del
modelo de simulación para representar las condiciones de trabajo.
Formulación de objetivos
Se determinaron tres objetivos principales para evaluar cuál de los cinco modelos matemáticos era el mejor:
Minimizar costos del inventario.
Minimizar los productos en el almacén.
Evitar la ruptura de inventario.
Figura 1. Clasificación de los modelos de inventarios.
MODELOS
de inventarios
Determinísticos
Demanda conocida
Estáticos
Demanda constante
Lote económico de
pedido
Dinámicos
Demanda variable
Programación dinámica
Programación entera
Estocásticos
Demanda incierta
Estáticos
Un solo periodo
Programación dinámica
Dinámicos
Varios periodos
Lote económico pedido
demanda incierta
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Los dos primeros objetivos son directamente proporcionales, dado que si se disminuye el número de productos
en el almacén el costo del inventario se decrementa. El tercer objetivo indica que no deben existir faltantes en el inventario debido a la importancia que tienen los productos en el proceso. Ocasionalmente se ha encontrado que una
reducción de costo puede producir un incremento en el riesgo de ruptura. Esta condición no era un estado aceptable
en el sistema que se evalúa.
Recolección y análisis de los datos
La recolección y análisis de los datos son tareas muy importantes de la simulación. . A través de varias reuniones
con los encargados del sistema se recolectó la información necesaria para la realización del modelo de simulación, la
cual se clasificó de la siguiente manera:
1. Proceso. o Forma en la que los clientes del proceso son atendidos.
o Manera en la que se colocan los pedidos a los proveedores.
o Demanda de los productos.
2. Costos.
o Costos de los productos.
o Costos de almacenamiento.
o Costos de pedidos.
3. Tiempos.
o Tiempos de atención a los clientes.
o Frecuencia con que los clientes van a realizar los pedidos.
o Tiempo que el departamento de compras se tarda en liberar la solicitud de pedido a los proveedores.
o Tiempo que se tardan los proveedores en entregar los productos.
o Tiempo de descarga de los materiales una vez que llegan al estacionamiento de la empresa
vidriera.
De los datos recolectados del proceso se definió la cantidad de productos que se pueden simular dado el número
de datos obtenidos (si se tenían muy pocos datos, por una baja rotación del producto u otra razón, no se podía
simular las condiciones de ese producto). El total de productos a simular, para evaluar los modelos matemáticos y
obtener los niveles de inventario, fue de 29.
Con la información de los costos se pudo calcular el tamaño de lote y punto de reorden para los modelos de
inventario de lote económico de pedido y lote económico de pedido cuando la demanda sigue una distribución
normal. Las fórmulas aplicadas a los 29 productos se describen a continuación.
Lote económico de pedido (modelo matemático 2)
El lote económico es la cantidad que se pedirá al proveedor para satisfacer la demanda en un periodo de tiempo.
La fórmula para calcular el lote económico de pedido es la siguiente:
√
Donde:
Q*= cantidad óptima a ordenar
A= costo de pedir
D= demanda anual
i= costo anual de llevar inventario, en porcentaje
C= costo unitario
Punto de reorden. Es el momento en que el inventario baja hasta cierto nivel y debe hacerse un pedido. Para obtener el punto de reorden se debe aplicar lo siguiente:
r =
Donde:
r= punto de reorden
= tiempo de espera o de adelanto (lead time) T= tiempo de ciclo
d= demanda, en la misma unidad de tiempo que el lead time
m= Es la parte entera del cociente de /T
Lote económico con demanda incierta, normal (modelo matemático 3)
La fórmula para calcular el lote económico de pedido para cuando la demanda es incierta (en este caso la
demanda se comporta con base en una distribución normal) es la siguiente:
d; <T
d(-mT); ≥T
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√
Donde: Q*= cantidad óptima a ordenar
A= costo de pedir
D= demanda anual
i= costo anual de llevar inventario, en
porcentaje
C= costo unitario
El punto de reorden se consigue aplicando la siguiente fórmula:
Adicional al punto de reorden, se debe calcular un stock de seguridad.
Donde:
w= stock de seguridad
r= punto de reorden
d= demanda, en la misma unidad de tiempo que el lead time
t= tiempo de espera o de adelanto (lead time)
En el cuadro 2 se muestran los niveles de inventario del sistema actual y de los modelos de lote económico de
pedido (EOQ), lote económico de pedido con demanda normal (LEP normal) y los niveles proporcionados por la
empresa externa de consultoría.
Como se puede notar en algunas celdas del cuadro 2, aparece el mensaje de “ERROR” o de “TIEMPO”. Esto se debe a que el modelo de la empresa externa de consultoría no propone una solución (en el caso de la leyenda
“ERROR”) o que propone un sistema de pedidos que solicite ciertas unidades cada determinado tiempo y no al
llegar al punto de reorden (en el caso de la leyenda “TIEMPO”).
Por otra parte, con la información recolectada de los costos, se pudieron evaluar los modelos matemáticos en
función del costo total del inventario.
Para realizar el análisis estadístico de los tiempos observados se utilizó la herramienta DataFit del software de
simulación Plant Simulation. Por medio de dicha herramienta es posible realizar pruebas de bondad de ajuste al
conjunto de datos recolectados. Las tres pruebas de bondad de ajuste que el DataFit ofrece son: Chi Cuadrada,
Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling. Con su utilización se puede conocer si es posible modelar los datos con
el uso de una distribución conocida; de no ser así, la herramienta proporciona una tabla con valores que permiten
emplear una distribución empírica. Las pruebas se emplearon utilizando un nivel de significancia del 0.05. El uso de
DataFit sugirió que sería posible modelar la mayoría de los datos observados con las distribuciones log normal y exponencial.
Modelación
Para una lograr una correcta representación del sistema real se realizaron dos pasos:
1. Obtener un modelo base de un modelo conceptual.
2. Transferir el modelo hacia un software de simulación.
A continuación se describe cada una de ellas.
1. Obtener un modelo base de un modelo conceptual
La creación del modelo conceptual se realizó al término de las pláticas con los encargados del sistema. La información recolectada se muestra en la figura 3.
Con esta información se tiene un panorama más amplio y conciso del sistema que se pretende simular. Este paso
muchas veces es omitido y tiene como consecuencia la reelaboración del modelo de simulación porque éste no se
apega a la realidad o está incompleto.
2. Transferir el modelo hacia un software de simulación.
Plant Simulation fue el software utilizado para realizar el modelo de simulación y evaluar las alternativas de los
niveles de inventario propuestos por los cinco modelos matemáticos para cada uno de los 29 productos principales
del almacén de la empresa. En la figura 4 se muestra la representación del layout del almacén de la empresa por
medio de los objetos del software de simulación
42
.
Se realizaron dos modelos de simulación. Primeramente se construyó un modelo que optimiza los niveles de
inventario a partir del sistema actual, el cual es el modelo matemático 5. Una vez que se obtuvieron los niveles de
inventarios de los cinco modelos matemáticos, entonces se procedió a construir un segundo modelo de simulación
que evalúa las cinco alternativas (modelos matemáticos) en función del costo. A continuación se detallan las características de cada uno de los modelos.
Modelo 1. Modelo optimizador
El modelo optimizador (modelo matemático 5) tiene como objetivo obtener los mejores niveles de inventario
resultantes de un optimizador de algoritmos genéticos, GAWizard, a partir del sistema actual. El mejor tamaño de
Producto
Actual (Modelo 1)
EOQ (Modelo 2)
LEP normal (Modelo 3)
Consultoría (Modelo 4)
Tam
lote PRO
Tam
lote PRO
Tam
lote PRO Tam lote PRO
1 12 12 9 5 9 9 6 8
2 120 221 128 16 128 19 14 18
3 100 120 165 62 165 68 55 68
4 80 65 147 50 147 57 40 50
5 60 70 121 48 121 55 41 51
6 130 100 182 24 182 27 17 19
7 10 10 99 13 99 16 17 19
8 30 21 59 13 59 17 22 28
9 40 61 80 6 80 9 9 11
10 50 50 77 29 77 32 24 29
11 80 60 144 33 144 36 27 33
12 0 0 116 21 116 24 18 22
13 100 100 81 14 81 17 32 40
14 220 180 138 99 138 109 90 TIEMPO
15 300 201 222 100 222 110 88 TIEMPO
16 110 91 79 25 79 28 32 40
17 80 61 98 37 98 44 33 41
18 150 174 125 11 125 14 11 17
19 250 151 180 38 180 42 0 0
20 100 201 137 13 137 17 10 13
21 126 160 140 13 140 16 13 16
22 500 301 453 85 453 95 119 TIEMPO
23 120 81 167 61 167 67 45 56
24 100 81 88 6 88 9 5 6
25 30 31 51 8 51 11 7 9
26 50 51 72 14 72 17 ERROR 0
27 100 101 197 28 197 31 33 41
28 80 81 119 10 119 13 8 10
29 200 201 555 126 555 139 94 117
Cuadro 2. Niveles de inventario para los 29 productos a analizar en los primeros cuatro modelos matemáticos
43
.
Figura 2. Modelo conceptual del sistema de inventarios de una empresa vidriera.
1. Un cliente llega al almacén a realizar un
pedido
2. El encargado del almacén busca el
material y lo despacha
3. El nivel del inventario se
decrementa con cada pedido
4. Al llegar al punto de reorden se emite una solicitud de pedido al
departamento de compras
5. Después de unos días, el departamento de compras emite el pedido al proveedor
6.El proveedor transporta y entrega el
material
7. El material llega y es descargado al
almacén
Figura 3. Layout del modelo de simulación construido en Plant Simulation.
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lote y punto de reorden serían los que otorgaran el menor costo del inventario. En el cuadro 3 se pueden observar las características utilizadas en el GAWizard.
La función objetivo de este modelo incluye los costos de pedidos (el número de pedidos por el costo del pedido),
los costos de mantener el inventario (número de piezas en el inventario por el costo de mantener las piezas en el
inventario). A su vez, entre las principales restricciones destacan: que no exista ruptura de inventario, que se
respeten los horarios de oficina (en el caso del departamento de compras), y que se sigan las distribuciones de probabilidad de los tiempos del sistema.
Modelo 2. Modelo de evaluación de alternativas.
El modelo de evaluación de alternativas tiene como objetivo evaluar los cinco modelos matemáticos para elegir
cuál es la mejor forma de calcular los niveles de inventario y, por ende, determinar los mejores niveles de inventario
que minimicen el costo del inventario. La comparación de los costos de inventario se realizó por medio de gráficas y
numéricamente. Esta evaluación se llevó a cabo con ayuda del objeto de análisis Experiment Manager de Plant
Simulation. En el cuadro 4 se pueden observar las características ocupadas en el Experiment Manager.
Validación del modelo
Se realizó la validación del modelo de simulación de la evaluación de las alternativas del sistema actual por
medio de la prueba t-apareada. Esta prueba indicó si los resultados del modelo son significativamente diferentes a
los del sistema real. La medida de desempeño que se evaluó es la cantidad de piezas que salen del almacén al mes
para los 29 productos. Se eligió esta medida dado que se quiso probar los niveles de inventario y si se toman
decisiones con base en cantidades erróneas, las conclusiones no serían útiles.
Se propusieron las siguientes hipótesis para la validación:
H0: La cantidad media de piezas despachadas en un mes para los 29 productos obtenida por el modelo de simulación, no presenta una diferencia significativa con respecto a la cantidad media
de piezas despachadas para los 29 productos en un mes del sistema real que se está estudiando.
H1: La cantidad media de piezas despachadas en un mes para los 29 productos obtenida por el
modelo de simulación, presenta una diferencia significativa con respecto a la cantidad media de
piezas despachadas en un mes para los 29 productos del sistema real.
Se utilizó la siguiente ecuación:
El desarrollo de algunos cálculos de la ecuación anterior se muestra en el cuadro 5.
Característica Valor
Variables de entrada Tamaño de lote y punto de reorden
Variable de salida Costo total del inventario
Dirección de la optimización Minimizar
Número de generaciones 15
Tamaño de la generación 200
Observaciones individuales 30 (número óptimo de corridas)
Referencia de ajuste Absoluta
Selección de los padres Determinística
Selección de la descendencia 1 de 4
Cuadro 3. Características relevantes utilizadas en el GAWizard para optimizar el sistema actual.
Característica Valor
Variables de entrada Tamaño de lote y punto de reorden
Variable de salida Costo total de llevar el inventario
Observaciones por experimento 30 (número óptimo de corridas)
Nivel de confianza 95%
Cuadro 4. Características relevantes utilizadas en el Experiment Manager para comparar los resultados de los
cinco modelos matemáticos.
)(ˆ)(2/1,1)( nnn ZarVtZ
45
Datos Valores
12Z -2
0.05
n 12
Var[Z12] 100.98
tn-1,0.95 0.6974
Cuadro 6. Datos para la prueba t-apareada.
Los datos a utilizar en la fórmula de la t-apareada se
sintetizan en el cuadro 6. Finalmente, se sustituyen los datos
obtenidos en el intervalo de confianza al 95%.
Debido a que el intervalo resultante (-9.01, 5.01) sí contiene al 0, se acepta la hipótesis nula y se concluye que la
diferencia ̅=x-y no es estadísticamente significativa, por lo que se puede deducir que el modelo es válido.
Ejecución de las corridas de simulación
Para determinar el número óptimo de corridas del modelo de simulación se empleó la prueba nβ (Law y Kelton,
2000). Esta prueba sirve para obtener resultados estadísticamente confiables. Una vez que se establece este valor, se
introduce al objeto Experiment Manager y se cambian automáticamente (por efecto del software de simulación,
Plant Simulation) las semillas del generador de números pseudoaleatorios. Con esto se evita caer en el error de
emitir conclusiones a partir de una sola corrida del modelo de simulación y poder establecer un intervalo de confianza para los resultados.
Al igual que en la prueba t-apareada, para determinar el número óptimo de corridas, se tomó como medida de
desempeño la cantidad de piezas solicitadas en el almacén durante un mes para los 29 productos. Para estimar la
cantidad de piezas solicitadas por el almacén durante un mes con un error absoluto () de 24 piezas y un nivel de confianza del 95% se utilizó la fórmula:
Los datos que se ocuparon en la ecuación anterior se presentan en el cuadro 7.
Replicación
Cantidad de piezas en
el sistema real
Xj
Cantidad de piezas
en el modelo
Yj
Diferencia
Zj (Zj-Z12)
2
1 1,899 1,842 57 3,481
2 1,045 1,101 -56 2,916
3 1,318 1,306 12 196
4 1,704 1,685 19 441
5 1,668 1,712 -44 1,764
6 1,238 1,262 -24 484
7 1,276 1,289 -13 121
8 1,408 1,400 8 100
9 1,152 1,137 15 289
10 1,417 1,438 -21 361
11 1,513 1,539 -26 576
12 1,391 1,342 49 2,601
13,330
12Z -2
Cuadro 5. Cálculos de la prueba t-apareada para la validación del modelo de simulación.
)01.5,01.9(
01.72
98.100,2
)(ˆ,
25.011
2/112
t
nZarVtZ n
i
nstnin i
)(:min)(*
2
2/1,1
46
Datos Valores
12X 1,419.08
Var[Z12] 31,840.94
24
0.05
ti-1,0.95 0.6974
Cuadro 7. Datos para la prueba n*()
La sustitución de los valores quedó de la siguiente manera:
El proceso de selección del número de corridas es un
proceso iterativo que se realiza hasta encontrar un valor que
cumpla con la condición especificada. En el cuadro 8 se
muestra dicho proceso. Por lo tanto, el número óptimo de corridas fue de 30.
Análisis e interpretación de los resultados
Dado que se realizaron dos modelos de simulación, se muestran los resultados de cada uno por separado.
1. Resultados obtenidos del modelo optimizador Como ya se explicó previamente, el GAWizard es el optimizador de Plant Simulation que obtuvo los mejores
tamaños de lote y puntos de reorden para cada uno de los 29 productos analizados.
La forma en la que se evaluó el rendimiento del optimizador fue por medio de una gráfica que muestra las
condiciones de la optimización (figura 5). En dicha figura se puede apreciar que los mejores niveles de inventario se
obtienen desde el principio de la optimización. Esto se concluye porque la peor solución y la mejor se aproximan
desde la tercera generación. Dado que en las generaciones posteriores se mantiene una distancia estrecha entre estas
dos soluciones, se concluye que se ha encontrado la mejor respuesta (el mínimo costo total del inventario).
i Resultado de la fórmula Relación Error absoluto Recomendación
12 35.9263 ≥ 24 Seguir buscando
15 32.1334 ≥ 24 Seguir buscando
20 27.8283 ≥ 24 Seguir buscando
25 24.8904 ≥ 24 Seguir buscando
30 22.7217 ≤ 24 Número óptimo
Cuadro 8. Cálculo del número óptimo de corridas.
Figura 4. Gráfica de la actuación del optimizador.
24431,840.944
,:12min 95.01i
ti i
47
Con este modelo de simulación optimizado se determinaron os niveles de inventario del modelo matemático 5
que generaron los menores costos totales del almacén y no presentaron ruptura de inventario.
2. Resultados obtenidos del modelo de evaluación de alternativas
Se analizaron 29 productos para seleccionar cuál es el mejor modelo matemático de los cinco para la elección de
los niveles de inventario del almacén de refacciones de la empresa vidriera. Para realizar la evaluación se diseñaron
cinco experimentos, los cuales fueron los siguientes:
Experimento 1. Modelo empírico actual de la empresa.
Experimento 2. Lote económico de pedido. Modelo determinístico.
Experimento 3. Lote económico de pedido cuando la demanda es normal. Modelo estocástico.
Experimento 4. Modelo matemático de una empresa externa de consultoría.
Experimento 5. Modelo optimizador.
Cada uno de los experimentos se corrió 30 veces con diferentes números pseudoaleatorios para contemplar la variedad existente en el sistema real. A continuación se muestra un ejemplo de cómo se evaluaron los experimentos
para uno de los 29 productos. En la figura 6 se muestran los intervalos obtenidos por los resultados de cada
experimento para un producto determinado.
Los mejores resultados son los del optimizador (experimento 5), debido a que aparece más abajo en el eje Y de la
gráfica (eje Y=costo total del inventario), lo que indica que tiene menores costos totales en el inventario que las
demás alternativas. En segundo lugar se ubica el sistema actual (experimento 1) por tener mayores costos del
inventario que el experimento 5 pero menores a los demás. Para ejemplificar con mayor claridad esta diferencia de
costos se muestra en el cuadro 9, donde se encuentran los parámetros numéricos de los experimentos obtenidos por el Experiment Manager de Plant Simulation.
Aunque se puede observar en el cuadro 9 que el experimento 1 (modelo heurístico) tiene un menor valor mínimo
en el costo total del inventario que las alternativas restantes, se nota que su valor máximo es muy grande, motivo por
el cual esta alternativa demuestra poca estabilidad.
El optimizador (experimento 5) es la alternativa de menor promedio del costo total del inventario y la de menor
desviación estándar. Por lo tanto se elige como el mejor modelo matemático para la elección de los niveles de inventario del producto analizado. De igual manera que se evaluaron las cinco alternativas para el producto antes
citado, se procedió a analizar los otros 28 productos. Al término de la evaluación de resultados se identificaron las
posiciones que ocuparon cada una de las alternativas, asignándole el primer lugar a la alternativa con menor valor
promedio del costo total del inventario y desviación estándar, y así consecutivamente. Por ejemplo, en el caso
expuesto anteriormente, el optimizador ocuparía el primer lugar, el modelo actual el segundo lugar, el lote
Figura 5. Gráfica de los resultados de cada uno de los modelos matemáticos para un producto.
Experimento Costo total
del inventario
Desviación
estándar Mínimo Máximo
Límite del
intervalo
izquierdo
Límite del
intervalo
derecho
1 1,207,494 2,086,807 87,111 7,101,041 428,054 1,986,934
2 3,184,110 2,770,055 88,463 9,136,682 2,149,470 4,218,749
3 2,714,784 2,448,330 91,801 9,136,682 1,800,312 3,629,256
4 32,464,781 5,481,521 22,031,446 44,031,446 30,417,387 34,512,175
5 158,867 17,593 131,004 204,649 152,296 165,439
Cuadro 9. Resultados numéricos de los modelos matemáticos.
48
Figura 8. Segunda mejor alternativa.
0%
79%
17%
4% 0%
Optimizador
Actual
LEP normal
EOQ
Empresa externa
económico de pedido demanda normal el tercero, el lote económico el cuarto y el modelo matemático de la empresa
externa, el quinto lugar. Esta identificación de posiciones sirvió para la elección del mejor modelo matemático para la determinación de los niveles de inventario.
Se contabilizó la cantidad de veces que aparece cada alternativa en primer lugar. Se pudo observar que el mejor
modelo matemático fue el optimizador, donde se percibe que el 100% de las veces fueron mejores los resultados del
optimizador para los 29 productos que los resultados de los demás modelos.
La figura 8 muestra que el segundo mejor modelo matemático es el modelo actual. Esto se debe a que las demás
alternativas fueron penalizadas en gran medida por presentar ruptura de inventario. Por lo que se intuye que los
puntos de reorden no están considerando la totalidad del tiempo que conlleva realizar un pedido como puede ser el
tiempo de entrega, tiempo de pedido
y/o tiempo de descarga.
La evaluación de alternativas para
determinar el mejor modelo matemático de selección de niveles de
inventario se hizo para 29 productos
para ahorrar tiempo de análisis. Debido
a que al concluir la evaluación no hubo
ninguna duda de que el mejor modelo
matemático fue el modelo optimizador
en todos los casos, se calcularon los
niveles de inventario para los demás
productos de mayor importancia
económica (los cuales fueron 38, que
sumados a los 29 da un total de 67
productos) por medio del modelo matemático 5 y sólo se comparó dicho modelo contra el sistema actual para observar el porcentaje de mejora.
Una vez hecha la evaluación y el respectivo cálculo de los tamaños de lote y puntos de reorden usando el modelo
matemático 5 y el actual, para poderlos comparar, incluyendo los 67 productos (esta cantidad equivale al 5% de los
productos que hacen el 80% de los costos del inventario), se obtuvieron los costos totales del almacén con los
nuevos niveles de inventario. La figura 9 ilustra la comparación del comportamiento del presupuesto mensual del
almacén durante un año entre el sistema actual y el sistema propuesto por el optimizador para un producto en una
corrida de simulación.
Después de realizar 30 corridas de simulación (número óptimo de corridas) para el modelo optimizador y para el
modelo actual, se obtuvieron los resultados económicos para los 67 productos. Éstos se pueden clasificar en dos
categorías:
1. Costos de inventario esperados para los productos que se penalizaron por presentar ruptura de inventario.
Se registró un total de 38 productos penalizados en el modelo actual. El modelo optimizador no presentó
ninguna ruptura.
2. Costos de inventario para los productos no penalizados. Al obtener los costos totales de ambos sistemas
(actual y propuesto) se calcularon los ahorros que se podrían tener de implementar los niveles del modelo
optimizador. Se obtuvo un total de 29 productos no penalizados en ninguno de los dos modelos.
Figura 9. Comparación de los costos totales del almacén para el sistema actual y para el sistema
propuesto por el modelo matemático 5 (optimizador) para un producto dado.
010,00020,00030,00040,00050,000
En
ero
Feb
rero
Mar
zo
Ab
ril
May
o
Jun
io
Juli
o
Ag
ost
o
Sep
tiem
bre
Oct
ub
re
Nov
iem
bre
Dic
iem
bre
Presu
pu
est
o m
en
sua
l
Actual
Optimizador
49
Se consideró necesario realizar la división de los resultados, dado que no sería adecuado comparar los costos del
sistema propuesto contra el actual para los productos que están penalizados. Esto se debe porque al estar penalizados los productos del sistema actual, contemplan costos muy elevados que en la realidad no son tangibles en el sistema
contable actual y de haber realizado la comparación contra el sistema propuesto parecería que se ahorraron
cantidades muy grandes y en realidad lo único que se consiguió es evitar la ruptura de inventario. Fue necesario
incluir la penalización en los modelos de simulación, debido a que se necesita “castigar” a los sistemas que presenten
ruptura de inventario porque los productos que se encuentran en el almacén son indispensables para el correcto
funcionamiento de la empresa vidriera y se debe satisfacer la demanda de ellos en cada momento.
1. Costos de inventario esperados para los productos con penalización en el sistema actual. Los resultados
económicos obtenidos por el optimizador para este tipo de productos se dieron a la empresa mediante
intervalos de confianza al 95%. Por razones de confidencialidad no se pueden mostrar los montos
económicos para los 38 productos penalizados.
2. Ahorros del sistema propuesto contra el sistema actual para los productos que no tuvieron penalización. Los ahorros potenciales para los productos que no tuvieron penalización van desde el 1% hasta el 91% de
mejora en los costos totales del inventario sobre el sistema actual. Estos porcentajes de ahorro corresponden
a la cantidad de $2,452,730.37 pesos con tan sólo 29 productos del almacén.
Documentación
Se elaboró un reporte del proyecto que incluye el análisis de los resultados de los modelos matemáticos, la
funcionalidad del modelo optimizador y los resultados económicos obtenidos por éste. Dicho reporte se le entregó al
gerente de producción de la empresa vidriera, el cual se mostró satisfecho con los resultados obtenidos. No obstante,
antes de implementar los niveles de inventario propuestos se consultará con los clientes de los materiales dichos
cambios para tener su aprobación.
Comentarios finales Conclusiones
Con los resultados obtenidos por los modelos de simulación se concluye que la mejor alternativa de selección de
los niveles de inventario es el optimizador GAWizard (modelo matemático 5). Esto no parece ser una conclusión
sorprendente debido a que el optimizador busca diferentes valores para el tamaño de lote y punto de reorden, observa
sus resultados, y elige los mejores niveles en función al costo. De implementarse el modelo matemático del
optimizador ningún producto presentaría ruptura de inventario y se podrían tener ahorros por casi $2.5 millones de
pesos. Esta cantidad representaría un 40% de mejora sobre el sistema actual.
Por otra parte, se pudo observar que en los otros cuatro modelos matemáticos (del modelo 1 al 4) la mayoría de
los productos presentaron ruptura de inventario, por lo que se considera que al calcular los niveles de inventario con
esos modelos matemáticos se estaría omitiendo información importante para establecer un punto de reorden
adecuado. Si por alguna razón se deseara aplicar un modelo matemático de inventarios tradicional como lo puede ser el lote económico de pedido o el lote económico de pedido para la demanda normal, se deberían incrementar los
puntos de reorden para evitar rupturas de inventario.
Recomendaciones
Se sugiere realizar el análisis de los niveles de inventario al menos una vez por semestre, porque se sabe que los
datos (la demanda, los costos, entre otros) cambian a través del tiempo. Un paso importante para el cálculo de los
niveles de inventario para los productos restantes (95%) es realizar la clasificación ABC para obtener los tamaños de
lote y punto de reorden para los productos B por medio del modelo optimizador, y para los productos C elegir un
método de pedido visual (establecer una línea a cierto nivel del contenedor de las piezas para que al llegar a esa línea
se deberá realizar un pedido para llenar el contenedor, o establecer un sistemas de tarjetas con una funcionalidad
similar a la de la línea en el contenedor).
Referencias
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Springer. Alemania, 2010.
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Jiménez Sánchez, J.E. Estado del arte de los modelos matemáticos para la coordinación de inventarios en la cadena de suministro. Publicación
Técnica, No. 281 ISSN 0188-7297 Querétaro, 2005.
Krajewski, L. y Ritzman, L. Administración de operaciones: estrategia y análisis, Pearson Educación, 2006.
50
Law, A. M y Kelton, W. D., Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill International Editions, U.S.A., 2000.
Míguez Pérez, M. y Bastos Boubeta, A. I. Introducción a la gestión de stocks. El proceso de control, valoración y control de stocks. Ideas propias
editorial. México, 2006
Muller, M. Fundamentos de administración de inventarios. Editorial Norma, 2004.
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Plant Simulation Programming and Strategies, Student Guide. Siemens, Estados Unidos, 2007.
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Prawda, J. Método y modelos de investigación de operaciones. Volumen II. Editorial Limusa. México, 1991.
Taha, H. A. Investigación de operaciones. Editorial Pearson Educación. 7ª. edición. México, 2004.
Winston, W. Investigación de operaciones, aplicaciones y algoritmos. Editorial Thomson. México, 2004.
Notas Bibliográficas El I.I. Juan Pablo Sánchez Olivos es egresado del Instituto Tecnológico de Orizaba. Actualmente es estudiante de la maestría en Ingeniería
Industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es simulación de procesos. Correo electrónico:
[email protected] El M.C. Constantino Gerardo Moras Sánchez estudió la licenciatura en Ingeniería Industrial en la Universidad de las Américas, Puebla,
México. Posteriormente, estudió la maestría en Ingeniería Industrial en Texas Tech University, U.S.A. Es profesor de la maestría en Ingeniería
Industrial del Instituto Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es simulación de procesos. Correo electrónico: [email protected] El Dr. Guillermo Cortés Robles estudió la maestría en ingeniería industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba y el doctorado en
ingeniería industrial en el Instituto Nacional Politécnico de Toulouse. Es profesor de la maestría en Ingeniería Administrativa del Instituto
Tecnológico de Orizaba. La técnica que trabaja es TRIZ. Correo electrónico: [email protected]
El Dr. Daniel Hernández estudió el doctorado en Planeación Estratégica y Dirección de Tecnología en la Universidad Popular Autónoma
del Estado de Puebla. Es profesor en el Instituto Tecnológico Estudios Superiores de Monterrey y Gerente de Planta de la empresa Sílices de
Veracruz. Correo electrónico: [email protected] El M.C. José Efraín Ferrer Cruz es egresado del Instituto Tecnológico de Tuxtepec, Oaxaca. Realizó la maestría en Ciencias en Ingeniería
Industrial en el Instituto Tecnológico de Orizaba, Ver. También cuenta con una maestría en Electrónica por parte de la Universidad del Centro de
Veracruz, Ver., y una maestría en Educación por parte de la Universidad Interamericana para el Desarrollo, Oaxaca. Es profesor del Instituto
Tecnológico de Tuxtepec en las áreas de electrónica,simulación de procesos e investigación de nuevas tecnologías. Correo electrónico: