ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas que expresan la relación

existen entre la magnitud derivada y

las magnitudes fundamentales

Las ecuaciones dimensionales se usan

los símbolos de las magnitudes

fundamentales .Cada símbolo está

afectado de un exponente que indica

las veces que dicha dimensión

interviene en la magnitud derivada.

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y

planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis

dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que

van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en

condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes

dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces

en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de

las que se tuvieron durante los experimentos

UTILIDAD DEL ANALISIS DIMENSIONAL

Para determinar las dimensiones de

coeficientes empíricos.

Para establecer y realizar

experimentos, descubriendo

aspectos desconocidos del

problema.

Para formular leyes de similitud de

considerable importancia en la

investigación experimental.

Para determinar la forma de ecuaciones

físicas a partir de las variables

principales y de sus dimensiones. Para

comprobar cualitativamente ecuaciones.

MAGNITUDES FISICAS

En nuestra vida cotidiana todostenemos la necesidad de medirlongitudes , contar el tiempo opesar cuerpos, por ejemplopodemos medir la longitud deuna tubería, el volumen de unbarril , la temperatura delcuerpo humano, la velocidad delbus, etc. todas estas sonmagnitudes o cantidades físicas

Magnitud es todo aquelloque podemos medir directao indirectamente yasignarle un numero yunidad .

Las magnitudes fundamentales son aquellas magnitudes físicas que, gracias a

su combinación, dan origen a las magnitudes derivadas. Tres de las

magnitudes fundamentales más importantes son la masa, la longitud y

el tiempo, pero en ocasiones en la física también se agrega la temperatura,

la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia y la intensidad de corriente.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES

La siguiente

tabla muestra

las

unidades del

sistema

internacional (

SI).

Magnitud Unidad Símbolo DIM.

Longitud Metro m L

Masa Kilogramo Kg M

Tiempo Segundo s T

Temperatura Kelvin K 𝜃

Int.corriente Ampere Amp. I

Int.luminosa Candela cd J

Cant.de sustancia mol mol N

Magnitud Dimensiones

Longitud (L) [L] = 𝐿

superficie(A) [A] = 𝐿2

Volumen(V) [V] = 𝐿3

Momento de inercia(I) [I] = 𝐿4

Velocidad(v) [v] =L𝑇−1

Aceleración(a) [a] = 𝐿 𝑇−2

Velocidad angular(𝜔) [𝜔] =T−1

Aceleración angular(𝛼) [𝛼] =T−2

Densidad(𝜌) [𝜌] =ML−3

Caudal volumétrico(Q) [Q] =L3T−1

Las ecuaciones dimensionales tienen el siguiente objetivo :

Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes

fundamentales

Demostrar la validez de una formula

Determinar formulas empíricas.

MAGNITUD DIMENSIONES

Gravedad [g] =L𝑇−2

Fuerza [F] =ML𝑇−2

Presión [p] =M𝐿−1𝑇−2

Energía [E] =M𝐿2𝑇−2

Calor especifico [c] =L2T-2 -1

Viscosidad absoluta [𝜇] =M𝐿−1𝑇−1

Viscosidad dinámica [𝑣] =𝐿2𝑇−1

Tensión superficial [𝜎] =M𝑇−2

compresibilidad [K] =M𝐿−1𝑇2

Método de Buckingham (Π)

Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen

en el problema, se debe tener una función que las

relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m,

representan los grupos adimensionales que

representan a las variables ∏1, ∏2, ..., ∏n; el

teorema de BUCKINGHAM también establece que

existe una función de la forma:

El teorema Π de BUCKINGHAM establece que

en un problema físico en que se tengan “n”

variables que incluyan “m” dimensiones

distintas; las variables se pueden agrupar en

“n-m” grupos adimensionales

independientes.

Edgar Buckingham

Φ(∏1,∏2,..., ∏n-m) = 0

EJEMPLO 01:Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal 𝑄 a través de un orificio en función de

la densidad del líquido, el diámetro del orificio y la diferencia de presiones.

SOLUCIÓN:

𝑄 = 𝑓(𝜌, 𝑃, 𝑑)

𝑄 = 𝐾 𝜌𝑎 , 𝑃𝑏 , 𝑑𝑐

𝐹0𝐿3𝑇−1 = (𝐹𝑛𝑇2𝑎𝐿−4𝑎)(𝐹𝑏𝐿−2𝑏)(𝐿𝑐)

Matemáticamente:

Dimensionalmente:

0 = 𝑎 + 𝑏−1 = 2𝑎 3 = −4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐,

En donde igualamos:

"𝑇” “𝐹" "𝐿”

𝑎 = −1

2, 𝑏 =

1

2, 𝑐 = 2

Despejamos y nos sale:

𝑄 = 𝐾 𝜌−12, 𝑃

12 , 𝑑2

Sustituyendo:

𝑄 = 𝐾 𝑑2 𝑃/𝜌 (Fluido Ideal)

El coeficiente K ha de obtenerse mediante el

análisis físico o por experimento.

EJEMPLO 02:Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso

específico del fluido del caudal en 𝑚3/𝑠𝑒𝑔 y de la altura comunicada a la

corriente, resolver aplicando el teorema de Buckingham

𝑓 𝑃, 𝑤, 𝑄, 𝐻 = 0

SOLUCIÓN:

Matemáticamente:

Dimensionalmente:

Potencia 𝑃 = 𝐹𝐿 𝑇−1

Peso Especifico 𝑤 = 𝐹𝐿−3

Caudal 𝑄 = 𝐿3𝑇−1

Carga 𝐻 = 𝐿

Usando el Teorema de Buckingham tenemos que existen 4 magnitudes físicas

y de ellas 3 son fundamentales, de donde (4-3)=1 (un grupo) 𝜋

Donde escogemos 𝑄,𝑤 𝑦 𝐻 como magnitudes con los

exponentes desconocidos:

𝜋1 = (𝑄𝑥1) 𝑤𝑦1 𝐻𝑧1 𝑃

𝜋1 = (𝐿3𝑥1𝑇−𝑥1) 𝐹𝑦1𝐿−3𝑦1 𝐿𝑧1 (𝐹 𝐿 𝑇−1 )

Igualando los exponentes:

0 = 𝑦1 + 1 0 = 3𝑥1 − 3𝑦1 + 𝑧1 + 1

"𝐹” "𝐿” "𝐹”

0 = −𝑥1 − 1

Donde:

𝑥1 = −1𝑦1 = −1𝑧1 = −1

Lo sustituimos en:

𝜋1 = (𝑄𝑥1) 𝑤𝑦1 𝐻𝑧1 𝑃

𝜋1 = (𝑄−1) 𝑤−1 𝐻−1 𝑃

𝝅𝟏 =𝑷

𝒘𝑸𝑯