ANALISIS ESTRUCTURAL ANALISIS ESTRUCTURAL ESTÁTICA ESTÁTICA La estática como parte de la mecánica estudia los cuerpos en equilibrio dinámico La estática como parte de la mecánica estudia los cuerpos en equilibrio dinámico bajo la condición de velocidad cero. bajo la condición de velocidad cero. Plantea dos principios básicos, el de transmisibilidad y el de superposición Plantea dos principios básicos, el de transmisibilidad y el de superposición causas y efectos, bajo sistemas cerrados desde el punto de vista de la causas y efectos, bajo sistemas cerrados desde el punto de vista de la termodinámica. termodinámica. El principio de transmisibilidad afirma que una fuerza conserva su magnitud El principio de transmisibilidad afirma que una fuerza conserva su magnitud dirección y sentido, a menos que otro sistema de fuerzas lo modifique. En dirección y sentido, a menos que otro sistema de fuerzas lo modifique. En forma práctica, la carga actúa donde está aplicada. forma práctica, la carga actúa donde está aplicada. El principio de superposición causas y efectos permite separar los efectos de un El principio de superposición causas y efectos permite separar los efectos de un sistema de acciones y posteriormente sumarlos por separados para conocer el sistema de acciones y posteriormente sumarlos por separados para conocer el resultado final. Este principio permite sencillez en el análisis de cualquier resultado final. Este principio permite sencillez en el análisis de cualquier estructura. estructura.
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ANALISIS ESTRUCTURALANALISIS ESTRUCTURAL
ESTÁTICAESTÁTICA
La estática como parte de la mecánica estudia los cuerpos en equilibrio dinámico La estática como parte de la mecánica estudia los cuerpos en equilibrio dinámico bajo la condición de velocidad cero. bajo la condición de velocidad cero.
Plantea dos principios básicos, el de transmisibilidad y el de superposición Plantea dos principios básicos, el de transmisibilidad y el de superposición causas y efectos, bajo sistemas cerrados desde el punto de vista de la causas y efectos, bajo sistemas cerrados desde el punto de vista de la termodinámica.termodinámica.
El principio de transmisibilidad afirma que una fuerza conserva su magnitud El principio de transmisibilidad afirma que una fuerza conserva su magnitud dirección y sentido, a menos que otro sistema de fuerzas lo modifique. En dirección y sentido, a menos que otro sistema de fuerzas lo modifique. En forma práctica, la carga actúa donde está aplicada.forma práctica, la carga actúa donde está aplicada.
El principio de superposición causas y efectos permite separar los efectos de un El principio de superposición causas y efectos permite separar los efectos de un sistema de acciones y posteriormente sumarlos por separados para conocer el sistema de acciones y posteriormente sumarlos por separados para conocer el resultado final. Este principio permite sencillez en el análisis de cualquier resultado final. Este principio permite sencillez en el análisis de cualquier estructura.estructura.
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ESTÁTICAESTÁTICA
Se requieren pocos conceptos para el manejo de la estáticas los cuales se Se requieren pocos conceptos para el manejo de la estáticas los cuales se mencionan en seguida:mencionan en seguida:
Elementos mecánicos. Nombre que reciben las acciones internas y externas de Elementos mecánicos. Nombre que reciben las acciones internas y externas de una estructura. En la naturaleza se conocen 6 elementos mecánicos una estructura. En la naturaleza se conocen 6 elementos mecánicos independientes. Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz.independientes. Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz.
Compatibilidad. Es la congruencia en la respuesta de la estructura y sus apoyos Compatibilidad. Es la congruencia en la respuesta de la estructura y sus apoyos cuando se le somete a un sistema de acciones; bajo condiciones de equilibrio cuando se le somete a un sistema de acciones; bajo condiciones de equilibrio dinámico, la estructura tiene una sola respuesta para cada sistema de acciones.dinámico, la estructura tiene una sola respuesta para cada sistema de acciones.
Equilibrio estático. Se presenta solo si Equilibrio estático. Se presenta solo si ∑Fx = ∑Fy = ∑Fz = ∑Mx = ∑My = ∑Fx = ∑Fy = ∑Fz = ∑Mx = ∑My = =∑Mz = 0, para un espacio tridimensional.=∑Mz = 0, para un espacio tridimensional.
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ESTÁTICAESTÁTICA
En el plano se presenta solo si En el plano se presenta solo si ∑Fx = ∑Fy = ∑Mx =0 ∑My =0.∑Fx = ∑Fy = ∑Mx =0 ∑My =0.
Las expresiones de equilibrio estático también son conocidas como ecuaciones Las expresiones de equilibrio estático también son conocidas como ecuaciones de la estática y permiten conocer en una gran cantidad de casos si el sistema de la estática y permiten conocer en una gran cantidad de casos si el sistema estructural es inestable, isostático o hiperestático; para el primer caso (inestable) estructural es inestable, isostático o hiperestático; para el primer caso (inestable) existirán mas ecuaciones que variables independientes (reacciones), en el existirán mas ecuaciones que variables independientes (reacciones), en el segundo caso (isostático), el número de ecuaciones es igual que el número de segundo caso (isostático), el número de ecuaciones es igual que el número de variables independientes y en el tercer caso (hiperestático), habrá mas reacciones variables independientes y en el tercer caso (hiperestático), habrá mas reacciones o variables independientes que ecuaciones de la estática.o variables independientes que ecuaciones de la estática.
Es bueno aclarar que los subíndices x, y, z, corresponden a la dirección de los Es bueno aclarar que los subíndices x, y, z, corresponden a la dirección de los ejes globales que generalmente se orientan en coincidencia con los ejes de la ejes globales que generalmente se orientan en coincidencia con los ejes de la estructura.estructura.
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VIGASVIGAS
A partir de las expresiones de equilibrio se resuelve una viga isostática en A partir de las expresiones de equilibrio se resuelve una viga isostática en seguida.seguida.
Determine las reacciones de la viga mostrada: Determine las reacciones de la viga mostrada: 2.5 T/m2.5 T/m
RBY = 2.2916RBY = 2.2916 Kg. Kg.RAY = 6.25 – 2.2916 = 3.95833 Kg. RAY = 6.25 – 2.2916 = 3.95833 Kg.
3 5
AB
2
c ed
+
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VIGASVIGAS
Para diseñar la viga es necesario obtener los diagramas de cortante y de Para diseñar la viga es necesario obtener los diagramas de cortante y de momento flector. Estos se obtiene a continuación:momento flector. Estos se obtiene a continuación:
Para el intervalo Para el intervalo 0 ≤ x ≤ 30 ≤ x ≤ 3, haciendo un corte en el punto c:, haciendo un corte en el punto c:
Se pueden analizar armaduras isostáticas para una infinidad de usos; para ello se Se pueden analizar armaduras isostáticas para una infinidad de usos; para ello se debe verificar si son aplicables los conceptos ya mencionados.debe verificar si son aplicables los conceptos ya mencionados.
Requisitos:Requisitos:1.-Ser estable externa e internamente.1.-Ser estable externa e internamente.
-Estable internamente. La geometría no se altera.-Estable internamente. La geometría no se altera. -Estable externamente. No se mueve en su conjunto.-Estable externamente. No se mueve en su conjunto. 2.- Que sea isostática: ( que se resuelva con las ecuaciones de la estática), si la 2.- Que sea isostática: ( que se resuelva con las ecuaciones de la estática), si la
armadura es isostática externamente, en la mayoría de los casos será isostática armadura es isostática externamente, en la mayoría de los casos será isostática si se cumple lo siguiente:si se cumple lo siguiente:
22(Número de Nodos) – (Número de Nodos) – 33(Ecuaciones de la Estática) = (Ecuaciones de la Estática) = ## de Barras. de Barras.
4 Nodos4 Nodos
4 Barras4 Barras
2(4) – 3 = 5 no es Isostática.2(4) – 3 = 5 no es Isostática.
En resumen:En resumen:
Si 2N – 3 = # de Barras (ISOSTÁTICA)Si 2N – 3 = # de Barras (ISOSTÁTICA)
Si 2N – 3 < # de Barras (HIPERESTÁTICA)Si 2N – 3 < # de Barras (HIPERESTÁTICA)
Si 2N – 3 > # de Barras ( INESTABLE)Si 2N – 3 > # de Barras ( INESTABLE)
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ARMADURASARMADURASSe conocen algunos métodos para resolver armaduras isostáticas, entre ellos se Se conocen algunos métodos para resolver armaduras isostáticas, entre ellos se
encuentran, el método de nodos, el método de secciones y el método matricial. A encuentran, el método de nodos, el método de secciones y el método matricial. A continuación se presentan 3 ejemplos, uno para cada método, respectivamente.continuación se presentan 3 ejemplos, uno para cada método, respectivamente.
MÉTODO DE LOS NODOS.MÉTODO DE LOS NODOS.
2n – 3 = # Barras2n – 3 = # Barras
2(8) – 3 = 13 por lo2(8) – 3 = 13 por loque es isobática.que es isobática.
El método de secciones permite resolver parcialmente la armadura, bastará realizar un corte y El método de secciones permite resolver parcialmente la armadura, bastará realizar un corte y plantear las ecuaciones de equilibrio estático.plantear las ecuaciones de equilibrio estático.
PRINCIPIOS BÁSICOS DE ESTRUCTURASPRINCIPIOS BÁSICOS DE ESTRUCTURAS
EJEMPLO: Determine la fuerza en la barra AB.EJEMPLO: Determine la fuerza en la barra AB.
++ ΣFx = -Fad (3/5) + Fab = 0 ΣFx = -Fad (3/5) + Fab = 0
Método matricial para armaduras se resume en el siguiente diagrama:Método matricial para armaduras se resume en el siguiente diagrama:
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Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las barras de la siguiente armadura.barras de la siguiente armadura.
NODO ANODO A
(+) Σ Fx = - Rax + Fab – Fad (3/5) = 0 (+) Σ Fx = - Rax + Fab – Fad (3/5) = 0 (1)(1)
(+) Σ Fy = Ray + Fad(4/5) = 0 (+) Σ Fy = Ray + Fad(4/5) = 0 (2)(2)
NODO BNODO B
(+) Σ Fx = Fbc + Fbe(3/5) + Fbd(3/5) – Fab = 0 (3)(+) Σ Fx = Fbc + Fbe(3/5) + Fbd(3/5) – Fab = 0 (3)
Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las Ejemplo del método matricial para armaduras. Determine las reacciones y las fuerzas en todas las barras de la siguiente armadura.barras de la siguiente armadura.
NODO CNODO C
(+) Σ Fx = -Fbc + Fce(3/5) = 0 (+) Σ Fx = -Fbc + Fce(3/5) = 0 (5)(5)
Conocidas las reacciones se pueden obtener los diagramas de fuerza normal, fuerza Conocidas las reacciones se pueden obtener los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector. Para la fuerza normal se necesita obtener la carga axial en la cortante y momento flector. Para la fuerza normal se necesita obtener la carga axial en la barra que es paralela al eje de la barra, para la fuerza cortante bastará obtener la fuerza barra que es paralela al eje de la barra, para la fuerza cortante bastará obtener la fuerza perpendicular al eje. Ya que las reacciones se obtienen en coordenadas que pueden o no perpendicular al eje. Ya que las reacciones se obtienen en coordenadas que pueden o no coincidir con los ejes de la barra, se requiere obtener las componentes de dichas coincidir con los ejes de la barra, se requiere obtener las componentes de dichas acciones conforme a la orientación de la barra; se sugiere el uso de las siguientes matrices acciones conforme a la orientación de la barra; se sugiere el uso de las siguientes matrices de rotación. de rotación.
Rgx = 2.57
Rgy = 9.42
Rix = 2.57
Riy = 2.57
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MARCOS ISOSTÁTICOSMARCOS ISOSTÁTICOS
..
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MARCOS ISOSTÁTICOSMARCOS ISOSTÁTICOS::
Siguiendo con el ejemplo:Siguiendo con el ejemplo:
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MARCOS ISOSTÁTICOSMARCOS ISOSTÁTICOS
ELEMENTOS MECÁNICOS EN LA BARRA. PARA FORMULAR LAS ECUACIONES DE ELEMENTOS MECÁNICOS EN LA BARRA. PARA FORMULAR LAS ECUACIONES DE FUERZA NORMAL, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.FUERZA NORMAL, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE.
FUNCION DE FUERZA FUNCION DE FUERZA NORMALNORMAL
N(X) = -1.92 x + 9.07 N(X) = -1.92 x + 9.07
FUNCION DE FUERZA CORTANTEFUNCION DE FUERZA CORTANTE
V(X) = -1.44 x + 3.59V(X) = -1.44 x + 3.59
FUNCION DE MOMENTO FLEXIONANTEFUNCION DE MOMENTO FLEXIONANTE
M(X) = 3.596 x – (1.44/2) x2 M(X) = 3.596 x – (1.44/2) x2
Por ahora se han planteado soluciones a problemas isostáticos, sin embargo existen en la Por ahora se han planteado soluciones a problemas isostáticos, sin embargo existen en la práctica una gran cantidad de estructuras hiperestáticas que para obtener sus elementos práctica una gran cantidad de estructuras hiperestáticas que para obtener sus elementos mecánicos se deben seguir otros caminos, una vez obtenidos, el procedimiento para mecánicos se deben seguir otros caminos, una vez obtenidos, el procedimiento para obtener los diagramas de fuerza normal, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y obtener los diagramas de fuerza normal, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y momento torzor es el mismo que se presentó anteriormente.momento torzor es el mismo que se presentó anteriormente.
Se conocen 2 métodos par resolver estructuras hiperestáticas, que se basan en métodos Se conocen 2 métodos par resolver estructuras hiperestáticas, que se basan en métodos energéticos, uno se conoce como método de rigideces o de las fuerzas y el otro como energéticos, uno se conoce como método de rigideces o de las fuerzas y el otro como método de flexibilidades o de los desplazamientos.método de flexibilidades o de los desplazamientos.
El método de rigideces consiste en plantear un número suficiente de ecuaciones de El método de rigideces consiste en plantear un número suficiente de ecuaciones de compatibilidad equivalente al número de grados de libertad de la estructura, mediante las compatibilidad equivalente al número de grados de libertad de la estructura, mediante las suma de las contribuciones a la rigidez de cada junta de las barras concurrentes.suma de las contribuciones a la rigidez de cada junta de las barras concurrentes.
Por rigidez se entiende, la fuerza necesaria para desplazar una unidad el grado de libertad Por rigidez se entiende, la fuerza necesaria para desplazar una unidad el grado de libertad correspondiente.correspondiente.
[ ]{ } { }TT FK =δ[ ]{ } { }TT FK =δ
ANALISIS ESTRUCTURALANALISIS ESTRUCTURALLa expresión de compatibilidad de la estructura se presenta en seguida: La expresión de compatibilidad de la estructura se presenta en seguida:
Donde es la matriz de rigidez de la estructura, es el vector desplazamientosDonde es la matriz de rigidez de la estructura, es el vector desplazamientos correspondiente al vector dependiente y es el vector fuerzas o vector independiente.correspondiente al vector dependiente y es el vector fuerzas o vector independiente.
La solución de la expresión anterior permite conocer los desplazamientos totales en los La solución de la expresión anterior permite conocer los desplazamientos totales en los nodos; para determinar los efectos en cada barra concurrente al nudo, será suficiente nodos; para determinar los efectos en cada barra concurrente al nudo, será suficiente realizar el producto del desplazamiento del nudo por la rigidez de la barra realizar el producto del desplazamiento del nudo por la rigidez de la barra correspondiente. Si se desean obtener los elementos mecánicos, a los efectos del correspondiente. Si se desean obtener los elementos mecánicos, a los efectos del desplazamiento se le deberán sumar los efectos cruzados y las fuerzas de fijación desplazamiento se le deberán sumar los efectos cruzados y las fuerzas de fijación correspondiente.correspondiente.
El método de flexibilidades, busca la solución de la estructura resolviendo la frontera, es El método de flexibilidades, busca la solución de la estructura resolviendo la frontera, es decir, se obtienen las reacciones. A diferencia del método de rigideces, el de flexibilidades decir, se obtienen las reacciones. A diferencia del método de rigideces, el de flexibilidades plantea un número de ecuaciones igual al número de restricciones de la estructura y se plantea un número de ecuaciones igual al número de restricciones de la estructura y se resume en la siguiente expresión:resume en la siguiente expresión:
[ ]{ } { }TT FK =δ[ ]{ } { }TT FK =δ
[ ]{ } { }TT FK =δ
[ ]K { }δ{ }F
[ ]{ } { }TTFf δ=
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Donde es la matriz de flexibilidad de la estructura, es el vector desplazamientosDonde es la matriz de flexibilidad de la estructura, es el vector desplazamientos correspondiente al vector independiente y es el vector fuerzas o vector dependiente.correspondiente al vector independiente y es el vector fuerzas o vector dependiente.
La solución del sistema da como resultado el valor de las reacciones.La solución del sistema da como resultado el valor de las reacciones.
Existe una relación inversa entre la matriz de rigidez y la matriz de flexibilidad solo si las Existe una relación inversa entre la matriz de rigidez y la matriz de flexibilidad solo si las coordenadas coinciden, el caso específica se da en un elemento barra sin modificar su coordenadas coinciden, el caso específica se da en un elemento barra sin modificar su lugar espacial.lugar espacial.
Para otro tipo de estructuras diferentes a los esqueletos altamente hiperestáticas, su Para otro tipo de estructuras diferentes a los esqueletos altamente hiperestáticas, su solución se realiza mediante métodos numéricos, pues el planteamiento de las ecuaciones solución se realiza mediante métodos numéricos, pues el planteamiento de las ecuaciones de compatibilidad queda en medios continuos y por lo regular se deben resolver de compatibilidad queda en medios continuos y por lo regular se deben resolver ecuaciones diferenciales. En estos casos son recomendables los métodos de diferencias ecuaciones diferenciales. En estos casos son recomendables los métodos de diferencias finitas, elementos finito, elementos fronteras, etc.finitas, elementos finito, elementos fronteras, etc.
