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7/29/2019 Anlisis Matemtico I -lmites y continuidad
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RESPONSABLES:
DIAZ ESPINOZA SANDY MEDALITH.
RAMIREZ CRUZ YALEMI LIBERTAD.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
12
ANLISISMATEMTICO I
7/29/2019 Anlisis Matemtico I -lmites y continuidad
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Universidad Nacional de Ingeniera CivilCajamarca-SJ II-ciclo
Lmites y continuidad
Lic. Snchez Culqui Eladio Pgina 2
INDICE
I. INTRODUCCIN 4II. OBJETIVOS 5
II.1. OBJETIVOS GENERALES: 5
II.2. OBJETIVOS ESPECFICOS: 5III. MARCO TERICO 6
LMITES Y CONTINUIDADIII.1 LMITES 6III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIN: 6III.1.2 FUNCIN ACOTADA: 7III.1.3 EL LMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL: 7
III.1.4 OBSERVACIONES: 10III.1.5 TEOREMAS SOBRE LMITES: 10TEOREMA 1: 10TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LMITE: 9TEOREMA3: TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH: 9
III.1.6. LMITES LATERALES: 10a) LMITE DE f POR LA DERECHA: 10a) LMITE DE f POR LA IZQUIERDA: 10
III.1.7 LMITES INDETERMINADOS: 11III.1.10LMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MXIMO ENTERO Y
SIGNO DE x:12
DEFINICIN DE VALOR ABSOLUTO: 12DEFINICN DE MXIMO ENTERO: 12DEFINICIN DE FUNCIN SIGNO DE X: 12
III.1.9. LMITES TRIGONOMTRICOS: 12III.1.10. LMITES FINITOS: 13III.1.11. LMITES AL INFINITOS: 13III.1.12. ASNTOTAS: 13
1) ASNTOTA VERTICAL: 132) ASNTOTA HORIZONTAL: 133) ASNTOTA OBLICUA: 13
III.2. CONTINUIDAD 14
III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: 14III.2.4. CONTINUIDAD EN TRMINOS DE VENCIDADES: 18III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD: 18III.2.6. DISCONTINUIDAD: 18
III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD: 18III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: 19
1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: 192) DISCONTINUIDAD INEVITABLE: 19
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3) DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE: 20 Discontinuidad finita. 20 Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: 24
DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: 24III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL: 24
III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA: 25III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA: 25
III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS: 29III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO: 29III.2.11. FUNCIONES ACOTADAS: 31III.2.11.1. FUNCIN ACOTADA SUPERIORMENTE: 31III.2.11.2. FUNCIN ACOTADA INFERIORMENTE: 34III.2.12. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: 34
III.2.12.1. TEOREMA DEL CERO: 34III.2.12.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO): 35
III.2.12.3.TEOREMA DE ACOTACI LOCAL: 35III.2.12.4. TEOREMA DE ACOTACIN GLOBAL: 35III.2.12.5. TEOREMA DEL VALOR MXIMO Y MNIMO (Teorema de Karl
Weierstrass):35
III.2.12.6. TEOREMA DE CONTINUIDAD: 35III.2.5. OBSERVACIONES: 35
IV. Anexos: 36V. MISCELNEA DE EJERCICIOS 37
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I. INTRODUCCIN
La nocin de lmite de una funcin es el tema central del clculo matemtico, es tal
vez el ms importante, pues esta ntimamente ligada a los conceptos de continuidad,
derivada e integral. Es por esto que antes de dar una definicin formal del concepto de
lmite analizaremos ciertas definiciones, como punto de acumulacin y una serie de
ejemplos que sentaran las bases y a la vez facilitarn la comprensin de diversos
trminos que intervienen en la definicin rigurosa.
Es preciso recalcar que es de suma importancia abordar los temas antes ya
mencionados debido a su estrecha relacin con el clculo matemtico la misma que
repercute e influye mucho en la realizacin y ejecucin de los proyectos de ingeniera
civil.
A continuacin trataremos los temas propuestos en este presente trabajo
monogrfico, de una manera profunda, tratando de enriquecer nuestro conocimientocon la ayuda de los conceptos obtenidos a travs de esta recopilacin de informacin.
En esta monografa hemos considerado importante mencionar y tratar ciertos
puntos caractersticos relacionados con los temas: lmites y continuidad, cuyos conceptos
nos facilitara reforzar el proceso de aprendizaje para que luego podamos aplicarlo en la
realidad.
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II. OBJETIVOSII.1. OBJETIVOS GENERALES:
Conocer y manejar las nociones de Anlisis Matemtico que son bsicas para elestudio de esta y otras asignaturas del rea: Lmites y continuidad de funciones
reales de varias variables reales. Este objetivo se abordar al analizar e interpretar geomtricamente diversos
conceptos y resultados, y plantear problemas.
Adquirir destreza en la modelizacin y resolucin de problemas de la vida realque se puedan abordaren nuestro campo de trabajo.
II.2. OBJETIVOS ESPECFICOS: Calcular el lmite de una funcin real. Establecer la continuidad o discontinuidad de una funcin real dada, en
cualquier punto de su dominio.
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III. MARCO TERICO
LMITES Y CONTINUIDAD
III.1 LMITES
III.1.1 PUNTO DE ACUMULACIN:
DEFINICIN 1:
Dado un subconjunto A de nmeros reales ), diremos que un punto es unpunto de acumulacin de A si cualquier vecindad contiene por lo menos unpunto x de A distinto de
.
DEFINICIN 2:
Sea , diremos que es punto de acumulacin de A si: Es decir:
| |
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
Pg.DEFINICIN 1:Sea el conjunto entonces se llama punto de acumulacin de S, si solosi, todo intervalo abierto y cerrado en contiene por lo menos un punto distintode s.Esto es
es punto de acumulacin de
y
se cumple:
Equivalentemente es es punto de acumulacin de:
| | ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag140.
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III.1.2 FUNCIN ACOTADA:
Se dice que una funcin
es acotada sobre un conjunto
si el conjunto de
imgenes f(s) est acotado, es decir, si existe un nmero real llamado cota, talque: || Equivalentemente:
Es acotada sobre Donde m yMson las cotas inferiores y superiores respectivamente.
ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pg.143
III.1.3 EL LMITE DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL:
DEFINICIN 1:
Sea una funcin con valores reales definidos en :Sea
un punto de acumulacin de A.
Diremos que el numero L es el lmite de f(x) cuando x tiende hacia y escribiremos si para cada nmero real , dado arbitrariamente podemosencontrar tal que si y | | entonces | | .Definicin simblica:
Sea es punto de acumulacin de A.
| | | | ANLISIS MATEMTICO ILMITES Y CONTINUIDAD.
Autor: Moiss Lzaro C.
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DEFINICIN 1:
Sea
una funcin definida en cada nmero de algn intervalo abierto que
contiene a , excepto posiblemente en el numero mismo. Se dice que L es el lmite dela funcinfen sin y slo si para cada nmero existe un nmero tal que si con la propiedad de que si:Formalmente:
| | | |
| | | |
ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
pg.151III.1.4 OBSERVACIONES:
III.1.5 TEOREMAS SOBRE LMITES:
TEOREMA 1:
Sea
puno de acumulacin de
, entonces:
Es decir, si alguno de estos lmites existe entonces, el otro tambin existe.
DEMOSTRACIN:
1)Si ; tal que: | | | | 2)Hagamos que:
; donde si
entonces
3)Sustituimos 2) en 1): || | | Por tanto esto implica que:
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.
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Autor: Moiss Lzaro C.Pg.
TEOREMA 2: UNICIDAD DEL LMITE:
Si existe este es nico.DEMOSTRCIN:Sea punto de acumulacin deSi , entonces:
1)Debemos comprobar que: | | , lo cual implica: 2)Por hiptesis se tiene:
Luego dado cualquier
existe
tales que para:
| | | | | | | |
3)Obtenemos: . Como es punto de acumulacin de A podemosencontrar tal que | | . Entonces:| | | | | | | |
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
TEOREMA 3:TEOREMA DEL ENCAJO O TEOREMA DEL SANDWINCH:
Sea punto de acumulacin deSi para todo tenemos y adems:
, entonces:
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
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III.1.5. LMITES LATERALES: Los limites laterales def, por la izquierda y por la derechade , se presentan cuando se realiza restringiendo el dominio de la funcin f a lossubconjuntos siguientes:
.
.b) LMITE DE f POR LA DERECHA:Definicin:L es el lmite por la derecha de si dado: tal que: | | | | O tambin:
| | Denotacin:
Se lee:Lmite lateral derecho defen
c) LMITE DE f POR LA IZQUIERDA:Definicin:El valor L es el lmite de f por la izquierda de si:
Dado , que depende de y del punto tal que: | |
O equivalentemente:
| | Denotacin: Se lee:Lmite lateral izquierdo defen
III.1.5.1. TEOREMAS:
Sifest definida en un entorno reducido de a, y si
entonces se cumple
que: ANLSIS MATEMTICO I
Autor: A. Venero B.Pag.267
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III.1.6 LMITES INDETERMINADOS:
Las formas indeterminadas ms usadas son:
a)
b)
c)
Otras formas indeterminadas son:
a) b) c) d) 1. Clculo de lmites indeterminados de forma:
Si , entonces para evitar la indeterminacin se harn ciertas operacionesen el numerador y/o denominador de modo que se pueda simplificar el binomio .Casos que se presentan:CASO I:
Si son POLINOMIOS de grado n y m respectivamente, y ,entonces la indeterminacin se evita tan solo FACTORIZANDO el numeradory/o eldenominador, de modo que el binomio se simplifique as: .CASO II:
Si
son RADICALSE y
, entonces la indeterminacin se evita
RACIONALIZANDO en el denominador y /o numerador.
CASO III:
Si son FUNCINES TRIGONOMETRICAS, y , entonces laindeterminacin se evita haciendo uso del teorema de y algunasidentidades trigonomtricas.
ANALSIS MATEMATICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.III.1.7 LMITES DE FUNCIONES CON: VALOR ABSOLUTO, MXIMO ENTERO Y SIGNODE x:
Cada vez que se tenga funciones con valor absoluto, mximo entero y signo de x, sedeber tener en cuenta las correspondientes definiciones:
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1. DEFINICIN DE VALOR ABSOLUTO: || . .2. DEFINICN DE MXIMO ENTERO:
3. DEFINICIN DE FUNCIN SIGNO DE X:
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
III.1.10. LMITES TRIGONOMTRICOS:
Para calcular lmites trigonomtricos, se har uso del siguiente teorema:
De este teorema se deducen los siguientes teoremas siguientes:
ANLSIS MATEMTICO I
LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
III.1.9. LMITES FINITOS:
III.1.10. LMITES AL INFINITOS:
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III.1.11. ASNTOTAS:
1)ASNTOTA VERTICAL: La recta se una asntota verticalde la grfica de lafuncion de si:
i. Si
tal que
siempre que: ii. Si tal que siempre que:
iii. Si tal que siempre que:
iv. Si tal que siempre que:
2)ASNTOTA HORIZONTAL: La recta
se una asntota horizontal de lagrfica de la funcion de si:i. Sea A es ilimitado superiormente.
Dada , escribamos: S y slo si: Tal que: | |
ii. Dada , A es ilimitado inferiormente.
Dado que
existe un nmero
,
Tal que: | | 3)ASNTOTA OBLICUA:la recta es asntota oblicua de la grfica de la
funcin si se cumple lo siguiente:i.
ii.
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III.2. CONTINUIDAD
III.2.1. DEFINICIN:
La idea de continuidad de una continuidad de una funcin f en un punto
de su
dominio , es decir que la grfica no tenga rupturas tipo saltovertical a lo largo de la recta vertical . La funcinfes continua en si par cada , existe un tal que: | | | |
GRFICA
ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag.307
III.2.2 DEFINICIN2:Sea Si es punto que pertenece al dominio de en el cualno es continua, entoncesdecimos que
es discontinua
en o que tiene una discontinuidad en
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LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
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III.2.3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO:
Se dice que una funcines continua en si y solo si:
Ejemplos de funciones continuas en un punto de sus dominios son:
Funciones polinmicas: Funciones racionales:
Funciones trigonomtricas:
y
es continua en todo punto de
, en todo tal que . en todo tal que
ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
pag.308
Para que valores de la funcin definida es continua:
Solucin:
Siendofuna funcin seccionada, los posibles puntos de continuidad se presentan en launin de los intervalos de definicin, esto es, en Analicemos lacontinuidad en cada caso.
1. Continuidad en
EJEMPLOS 1
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i) fest definida en pues en -3 = -2ii) siest en la vecindad de 1 y , entonces los valores defse acumulan
cerca de: Siesta en la vecindad de 1 y , entonces los valores de f se acumulancerca de:
Como existe
iii) se cumple que:
, luego fes continua en 2. continuidad en i) en , existe.
ii) Si est en la vecindad de 2 y , entonces los valores defseacumulan cerca de: Si est en la vecindad de 2 y , entonces los valores defseacumulan cerca de:
Como
iii) No se cumple la condicin: Entonces la funcinfno es continua en En consecuencia, la funcin es continua en todo su dominio, exceptoen Grafica
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Sea la funcin:
Analizar la continuidad de f en los puntos Solucin:
Al eliminar las barras del valor absoluto obtenemos:
1. Continuidad en
i) ii)
Luego, existe iii) Como , la funcin es discontinua en 2.Anlogamente se determina que tambinfes discontinua en
EJEMPLOS 2
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3.La grafica de f es:
III.2.4. CONTINUIDAD EN TRMINOS DE VENCIDADES:
Una funcines continua y solo si, para prximo a,es prximo a ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.309
III.2.5. CONDICIONES DE CONTINUIDAD:
Se dice que una funcin es continua en el punto si, y solo si, se satisfacenlas siguientes condiciones:
i.
esta definida, es decir, existe
.
ii. Existe .iii. ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.309
III.2.6. DISCONTINUIDAD:
III.2.6.1. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD:
En trminos de la grfica de una funcin, la discontinuidad implica una interrupcin, unsalto o ruptura en el trazado de dicha grfica, originadas por dos motivos:
a) Que el existe, pero debe ser diferente ab) Que elno exista.
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ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag.315
III.2.6.2. TIPOS DE DISCONTINUIDAD:1) DISCONTINUIDAD EVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidadremovible o evitable si se cumple lo siguiente:i. .
ii. Graficas:
ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.315
2)DISCONTINUIDAD INEVITABLE: Un punto se dice que es de discontinuidadesencial o inevitable si se cumple que:
i. ii.
Grafico
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ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag.315Se puede distinguir dos clases de discontinuidad: DISCONTINUIDAD DE PRIMERA CLASE:
Discontinuidadfinita: se tiene en cuenta las siguientes condiciones:
Discontinuidad evitable o discontinuidad de punto faltante: secumple lo siguiente:
DISCONTINUIDAD DE SEGUNDA CLASE: si no existe limites laterales en Es decir: Si esto ocurre tambin se denomina discontinuidad infinita.
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LMITES Y CONTINUIDAD.Autor: Moiss Lzaro C.
Sea la funcin:
EJEMPLOS 1
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Lic. Snchez Culqui Eladio Pgina 21
Analizar la continuidad de fen todo su dominio.
Solucin:
Teniendo en cuenta que:
=
1, si 0, -1,
Entonces:
Analicemos ahora las condiciones de continuidad en 1. Continuidad en
i) ii)
Dado que existe iii) Se cumple que:
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Lic. Snchez Culqui Eladio Pgina 22
2. Continuidad en i) ii)
Como no existe iii) No se cumple que:
3. Continuidad en
Comono est definida, pues Si existe, significa que Luego la extensin continua de la funcin fen es:
Sea la funcin:
, si 1
, si Esbozar la grfica mostrando todas las asntotas existentes e indicar los puntos
de discontinuidad.Solucin:
1. Interseccin con los ejes coordenados.En a) Eje
EJEMPLOS 2
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Lmites y continuidad
Lic. Snchez Culqui Eladio Pgina 23
b) Eje y: No hay interseccin.En
a)Eje y: La curva pasa por el origen.2.Asntotas verticales
Para , ; Luego, es una asntota vertical en ambos sentidos.Para Es una asntota vertical hacia abajo.
3.Asntotas horizontales
6 || 7=-1 (par ||
Entonces, es una asntota horizontal * += No existe asntota horizontal.4. asntotas oblicuas
En: = No existe asntota oblicua izquierda.En
:
=
=1
= =-2Luego, es una asntota oblicua derecha.
5. Puntos de continuidadEn la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas sonasntotas verticales. Sin embargo en :
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1)= , existeAdems como
1), no existe pues
y
Existe; entonces es un punto de discontinuidad evitable y podemosredefinir.
, si
III.2.7. CONTINUIDAD LATERAL:
III.2.7.1. CONTINUIDAD POR LA DERECHA:
Una funcin es continua por la derecha de , si y slo si:i.
existe.
ii. | | ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.324
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Una funcin fes continua por la derecha en si para cada existe uncorrespondiente tal que:
| |
i) est definida.ii)
ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.
Pag.348III.2.7.2. CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA:
Una funcin
es continua por la izquierda de
si y slo si:
i. existe.ii. | |
ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag.324
Una funcin fes continua por la izquierda en si para cada existe uncorrespondiente tal que: | | i) est definida.ii)
ANLSIS MATEMTICO IAutor: A. Venero B.Pag.348
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III.2.10. CONTINUIDAD EN INTERVALOS:
III.2.10.1. CONTINUIDAD SOBRE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO:
DEFINICIN1:
Una funcines continua sobre un conjunto , si la funcin restringida,denotado por es continua en cada punto deSegn la forma de
a) Si la funcines continua sobre , si escontinua se cumple:
b) Si , la funcines continua sobre , si secumple:
i. ii. c) Si , la funcines continua sobre, si se
cumple: d) Si la funcines continua sobre, si se
cumple:
ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.329
DEFINICIN2:
La funcinfse dice que es continua sobre un conjunto si la funcinrestringida es continua en cada punto de De manera que:
Si
la definicin dada resulta equivalente a:La funcines continua sobre si es continuacada punto de
Si la definicin dada resulta equivalente a:La funcines continua sobre .
Si , la definicin equivale a que:La funcines continua sobre
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Determinar la continuidad de la funcin || en el intervalo Solucin:La funcin f es discontinua en
Sin embargo fes continua sobre el conjunto
.
En consecuencia, la funcin f es continua en
La funcin definida por:
Es continua sobre Solucin:
Dado que f es continua en , lo ser en
EJEMPLOS 1
EJEMPLOS 2
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i) = =
ii) Sea entonces Luego pero como
=
Por lo tanto, f ser continua en , si definimos:
Sea la funcin:
, si
, si Hallar las asntotas de la grfica, analizar la continuidad defen Solucin:
a)Determinacin de las asntotas1.Asntotas horizontales:En asintotas horizontales.2.Asntotas verticales:
EJEMPLOS 3
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En es una asntotavertical hacia arriba.
En
Entonces es una asntota vertical hacia arriba.3.Asntotas oblicuas:
En * + Por lo tanto
es una asntota oblicua derecha
b)Continuidad de f en Continuidad en :i)
Luego, f es continua por la izquierda de ydiscontinua en Continuidaden
Entonces
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III.2.9. FUNCIONES ACOTADAS:
III.2.9.1. FUNCIN ACOTADA SUPERIORMENTE:
Una funcin est acotada superiormente sobre un conjunto , si elconjunto de imgenes est acotado superiormente, es decir, si existe un nmeroreal tal que
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Autor: R. Figueroa G.Pag.341
III.2.9.2. FUNCIN ACOTADA INFERIORMENTE:
Una funcin est acotada inferiormente sobre un conjunto , si elconjunto de imgenes est acotado inferiormente, es decir, si existe un nmero real tal que
ANLSIS MATEMTICO I
Autor: R. Figueroa G.Pag.341
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Hallar el supremo e nfimo de la funcin
, siSolucin:
Sea= Si Invirtiendo se tiene: Luego: ,* +-
{ }
Sea la funcin:
|| Y S= Hallar si existen el y el .
Solucin:
Como la funcin seno es acotada, esto es: y|| || ||
EJEMPLOS 1
EJEMPLOS 2
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Por consiguiente:
, -
, - 0Como Grafica
III.2.10. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:III.2.10.1. TEOREMA DEL CERO:
Sea una funcin continua en Si ytiene signosopuestos, es decir, si:
Entonces existe un nmero c en el intervalo abierto
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Usando el teorema del cero, demostrar que la parbola seintersecta con la curva
Solucin:
1. SeanA: C
NOTA: Este teorema tiene su aplicacin en la solucin de ecuacin de la forma .
EJEMPLOS 1
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2.Si P( A
P(
C
3. Sea la funcin que es continua en 4.Analicemos el signo que toma la funcin f en los extremos de los intervalos y
Si a)Para
Si
Si b)Para
Si
5. Por tanto la parbola A intercepta a la curva C en dos puntos: Y
Sin resolver la ecuacin hallar el nmero desus races reales.
Solucin:
Sea , continua Por el teorema del cero sabemos que si y , entonces existe
EJEMPLOS 2
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Elegiremos entonces puntos del dominio de f tales que cumplan con elantecedente de la condicin dada, esto es:
1.
2.
3.
Por lo tanto, la ecuacin dad tiene tres races reales
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III.2.10.2. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO (BERNARD BOLZANO):Sea una funcin continua en y o .
Entonces y existe un nmero centre a yb tal que:
GRAFICA
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III.2.10.3.TEOREMA DE ACOTACI LOCAL:
Si es continua en el punto , entonces existe un nmero , tal queestacotada superiormente en el intervalo abierto es decir, existe un nmeroreal; tal que:
||
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III.2.10.4. TEOREMA DE ACOTACIN GLOBAL:
Sea una funcin continua sobre , se verifica quees acotadasobre
ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag352
III.2.10.5. TEOREMA DEL VALOR MXIMO Y MNIMO (Teorema de Karl Weierstrass):
Si es una funcin continua sobre , entonces existe en los cualesla funcin toma su valor mximo y su mnimo
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III.2.10.5. TEOREMA DE CONTINUIDAD:
Sea es una funcin univalente. Si es continua sobre el intervalo ,entonces la funcin inversa es continua sobre el intervalo con extremos en los
puntos .ANLSIS MATEMTICO IAutor: R. Figueroa G.
Pag.354III.2.5. OBSERVACIONES:
1. Debido a la definicin dada solamente tiene sentido analizar la continuidad de fen puntos del dominio de
2. No es necesario la restriccin: | | , pues al pertenecer alentonces para tambin se cumple que: | | ,puesto que
|
| .
3.
Si es adems un punto de acumulacin del entonces se tiene enforma equivalente que: F es continua en si se cumple las tres condiciones:
i. est definido.ii. iii.
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4. Si no es apunto de acumulacin del entonces f resultaautomticamente continua en . En efecto:
Existe una vecindad de de radio donde no existe ningn otro puntodel que sea diferente de de esta manera la condicin | |
es satisfecha por un nico punto
y para el
cual:
| | | |
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ANEXOS
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MISCELNEA DE EJERCICIOS
1.Evaluar los siguientes lmites:a) Solucin:
i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la
forma indeterminada:
. / . / . /
(
0 [ ] 1 0 1
)
(0 1
)
(0 1 0 1 )
( 20 1 0 1 3 )
20 1 0 1 3
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0 1 0 1 iii. Levantamos el lmite:
0 1 0 1
b)
. /Solucin:
i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que da la forma
indeterminada:
4 5
(
)
(
. /
)
(
)
(
)
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(
6 7)
(
6 7 )
iii. Levantamos el lmite:
c) Solucin:i. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada
ii. Factorizamos tratando de eliminar , factor que da la formaindeterminada:
. / (
)
)
( )
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(
)
( )
)
( )
( )
iv. Levantamos el lmite:
d)
Solucin:v. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada
vi. Factorizamos tratando de eliminar el factor que da la formaindeterminada:
. /
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. /
(
)
(
)
(
)
( )
( . /
. /)
( . / . /)
vii. Levantamos el lmite:
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e) Solucin:
viii. Al evaluar obtenemos la forma indeterminada ix. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la forma
indeterminada:
. / . /
(
)
( )
(
)
4 5
4 5x. Levantamos el lmite:
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4 5
f)
Solucin:i. Determinamos el valor absoluto:
ii. Evaluamos el lmite: . /
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g) Solucin:
i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada.
ii. Factorizamos tratando de eliminar , que es el factor que da la formaindeterminada: . / . /
.
/
. /
. /
iii. Levantamos el lmite:
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h) . /
Solucin:
iv. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .v. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que da la forma
indeterminada:
. / . /
4*
+ 5 4* + 5
. / .
/
. / . /vi. Levantamos el lmite:
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i) Solucin:
i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada.
ii. Factorizamos tratando de eliminar, que es el factor que dala forma indeterminada:
.
/
.
/
. / . /
iii. Levantamos el lmite:
j) Solucin:
i. Al evaluar el lmite, tenemos la forma indeterminada .ii. Factorizamos tratando de eliminar
que es el factor que da la forma
indeterminada:
. / . /
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4 5
4
5
. / . / . /
.
/
. /iii. Levantamos el lmite:
k)
Solucin:i. Podemos expresar el lmite de la siguiente forma:
ii. Al evaluar el lmite del numerador, tenemos la forma indeterminada
.
iii. Pero cuando evaluamos el lmite del denominador obtenemos: iv. Para determinar el lmite del numerador, seguiremos el siguiente
procedimiento:
ii.1.
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ii.2.
Donde:
ii.3. ii.4 evaluamos para
Al levantar el lmite obtenemos:
Como:
v. Por ltimo:
l) *+ Solucin:
i. Podemos expresar el lmite de la siguiente forma:
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0 1
ii. Al evaluar los lmites, tenemos la forma indeterminada .iii. Para determinar el lmite del numerador, seguiremos el siguiente
procedimiento:
iii.1. iii.2.
Donde: iii.3. iii.4 evaluamos para
Al levantar el lmite obtenemos: Como:
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iv. Para determinar el lmite del denominador, seguiremos el siguienteprocedimiento:
iv.1.
iv.2. Donde: iv.3.
iv.4 evaluamos para Al levantar el lmite obtenemos:
Como: v. Por ltimo:
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2.Dada la circunferencia de radio y centro , en donde se cumple que ,calcular el lmite cuando tiende hacia del cociente entre el rea del tringuloyel rea del tringulo
Solucin:i. Reemplazamos y completamos datos:
ii. Calculamos el lmite:Cuando tiende a, entonces
iii. Determinamos el rea del tringulo:
iv. Determinamos el rea del tringulo : v. Determinamos :
vi. Reemplazamos en el lmite:
B
C DO
A
B
C DOA
sen
cos
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. /
vii. Levantamos el lmite:
3.Analizar la continuidad de la funcin en el punto , siendo:
Solucin:
i. Por definicin: ii. Si
iii. Analizamos: iii.1.
Tratamos de eliminar , factor que le da la formaindeterminada
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Levantamos lmite: iii.1
Tratamos de eliminar , factor que le da la formaindeterminada
Levantamos lmite:
Nos podemos dar cuenta que: 4.Analizar la continuidad de la funcin dada por:
Solucin:a)Determinamos la continuidad en el punto :
i. ii. Como , analizamos el lmite por la derecha de :
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Evaluamos el lmite: b)Determinamos la continuidad en el punto :
i. Determinamos: ii. Como , analizamos el lmite por la izquierda de
Evaluamos el lmite: 5.Dada la funcin:
Hallar los valores de y para que sea una funcin continua en Solucin:
c)Determinamos la continuidad en el punto :i.
ii. Determinamos para
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Evaluamos los lmites:
6.Hallar los valores de las constantes y que posibilitan la continuidad, en todo sudominio, en las funciones dadas:a)
Solucin:
i.
Determinamos la continuidad en el punto :i.1. i.2. Evaluamos los lmites por la derecha como por la izquierda los cualesdeben ser iguales:
Evaluamos para:
Determinamos :
Reemplazamos y levantamos el lmite:
Evaluamos para:
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Levantamos el lmite:
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ii. Por ltimo:
b) Solucin:i. Determinamos la continuidad en el punto :
i.1.
i.2. Evaluamos los lmites por la derecha como por la izquierda los cualesdeben ser iguales:
Evaluamos para:
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Levantamos el lmite:
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