Anlisis de Rendimiento en Redes

Cuando se trabaja con redes es de suma importancia conocer la manera en cmo se estn

comunicando los datos, para de esta manera realizar un anlisis que permita determinar la

calidad del enlace de comunicaciones. Para esto es necesario analizar el comportamiento de la

red y de esta manera estimar su rendimiento, debido a que una red mal configurada o con un

pobre rendimiento puede ocasionar grandes prdidas de tiempo, bajas en la productividad, etc

en sistemas de comunicaciones de gran tamao.

Para poder resolver problemas que se puedan presentar es necesario conocer a profundidad

todos los parmetros de la red en cuestin adems de realizar un monitoreo de la misma para

poder detectar cualquier anomala, con estas herramientas se puede hacer un diagnostico

acertado de cualquier tipo de eventualidad para poder corregirla a tiempo. Los parmetros

ms comunes para chequear el comportamiento de una red son la eficiencia, el throughput y

el retraso o latencia que sufren los paquetes debido a las congestiones que pueden encontrar

entre el origen y el destino.

El tipo de red determinara la rata de transmisin a la cual los paquetes son enviados, y por lo

tanto es importante conocer cul es la eficiencia de estos tipos de redes, en este caso

hablaremos de dos esquemas ampliamente utilizados como lo son CSMA/CD y Token Ring.

Parmetros a considerar

Antes de estudiar los modelos de eficiencia de estos mtodos de acceso es conveniente

recordad ciertos parmetros relacionados con la transmisin de datos:

Longitud mxima del medio: Lm (en metros) que ser la longitud mxima del medio de

transmisin.

Velocidad de propagacin del medio: V, define la velocidad de propagacin sobre el

medio de la seal electromagntica que representa a los datos sobre el medio.

Demora mxima de propagacin: D relaciona los dos parmetros anteriores: D = Lm / V

Capacidad: de una LAN C, es la cantidad de bits que una estacin puede transmitir por

segundo. Ejemplo. Ethernet: 10Mbps

Longitud promedio del frame en bits: Lframe-bits incluyendo overhead (encabezado y cola)

Tiempo promedio de transmisin de un frame: Tframe (en segundos). Este parmetro

se calcula usando la longitud del frame y la capacidad de la red: Tframe = Lframe-bits / C

Longitud de bits del medio: Lmedium-bits es la mxima longitud del medio en bits, y define la

cantidad de bits que el medio puede alojar. Para calcularlo necesitamos encontrar cuanto

tiempo requiere un bit para recorrer de una punta a la otra punta del medio, o sea D. Sin

embargo, durante el mismo tiempo, otros bits pueden dejar la estacin y llenar el medio: D *

C. Lmedium-bits = C * D = C * Lmedium / V = C / V * Lmedium. Esto nos permite comparar la

longitud del medio con la longitud del frame.

El parmetro "a": el desempeo de una LAN se calcula normalmente basado en la relacin

entre la demora mxima de propagacin y el tiempo promedio de transmisin del frame

(Tframe) a = D / Tframe, tambin lo podemos definir en otros trminos:

a = D / Tframe = (Lm / V) / (Lframe-bits / C) =

= C *(Lm / V) / Lframe-bits

Como el primer trmino es la longitud de medio en bits, podemos poner:

a = Lmedium / Lframe-bits

en otras palabras define cuantos frames caben en el medio fsico al mismo tiempo, y

podemos reconocer tres casos; a > 1, a = 1 y a > 1 (Se puede ver que a es proporcional a la

capacidad de la red. Una red con una capacidad de 100 Mbps tiene un valor mayor de a que

una con capacidad de 10 Mbps)

Caso a > 1:

Significa que la longitud del medio es mayor que la longitud de un frame. Varios

frames podran ocupar el medio al mismo tiempo. En este caso, la estacin podra enviar

varios frames antes que el primer frame alcance la otra punta del medio.

Caso a = 1:

Un solo frame sobre el medio.

Caso a < 1:

Un frame no cabe en el medio.

Modelo de Eficiencia para redes CSMA/CD (Ethernet)

En Ethernet definimos la eficiencia como en tiempo en el cual los paquetes son transmitidos

sin que existan colisiones en el canal, cuando hay una cantidad suficientemente grande de

nodos transmitiendo, esto debido a que cuando hay muchas estaciones que quieren transmitir

la rata de transmisin de Ethernet disminuye frecuentemente hasta un 50 % del valor de

diseo de la red.

Recordemos un poco el funcionamiento de CSMA/CD:

Al utilizar el mtodo conocido como acceso mltiple por deteccin de portadora por deteccin

de colisiones (CSMA/CD), cada uno de los equipos de la red, incluyendo a los clientes y a los

servidores, comprueban el cable para detectar el trfico de la red. Los equipos slo pueden

transmitir datos si el cable est libre.

Un equipo slo puede enviar datos cuando detecta que el cable est libre y que no hay

trfico en el cable. Una vez que el equipo haya trasmitido los datos al cable, ningn equipo

puede transmitir datos hasta que stos hayan llegado a su destino y el cable vuelva a estar

libre. Recuerde que si dos o ms equipos tratan de enviar datos en el mismo instante de

tiempo, habr una colisin de datos. Cuando eso ocurre, los dos equipos implicados dejarn de

transmitir datos durante un perodo de tiempo aleatorio y volvern a transmitir los datos. Cada

equipo determina su propio perodo de espera, por lo que se reduce la posibilidad de que los

dos equipos vuelvan a transmitir simultneamente.

Teniendo esto en cuenta, comprender el nombre del mtodo de acceso, acceso mltiple por

deteccin de portadora por deteccin de colisiones (CSMA/CD). Los equipos oyen o

detectan el cable (deteccin de portadora). Normalmente, muchos equipos de la red

intentan transmitir datos (acceso mltiple); primero, cada uno oye para detectar posibles

colisiones. Si un equipo detecta una posible colisin, espera un perodo de tiempo aleatorio

antes de volver a intentar transmitir (deteccin de colisiones). La posibilidad de deteccin de

colisiones es el parmetro que impone una limitacin en cuanto a distancia en CSMA/CD.

Debido a la atenuacin, el debilitamiento de una seal transmitida a medida que se aleja del

origen, el mecanismo de deteccin de colisiones no es apropiado a partir de 2.500 metros (1.5

millas). Los segmentos no pueden detectar seales a partir de esa distancia y, por tanto, no se

puede asegurar que un equipo del otro extremo est transmitiendo. Si ms de un equipo

transmite datos en la red al mismo tiempo, se producir una colisin de datos y los datos se

estropearn.

Consideraciones sobre CSMA/CD

A mayor cantidad de equipos en la red, mayor trfico de red. A medida que

aumenta el trfico, tienden a aumentar la anulacin de colisiones y las colisiones,

que ralentizan la red, de forma que CSMA/CD puede convertirse en un mtodo de

acceso lento.

Despus de cada colisin, ambos equipos tendrn que retransmitir sus datos. Si la

red est muy saturada, es posible que los intentos de ambos equipos produzcan

colisiones en la red con los paquetes de otros equipos. Si ocurre esto, tendremos

cuatro equipos (los dos originales y los dos equipos cuyos paquetes han colisionado

con los paquetes retransmitidos) que tienen que volver a transmitir. Este aumento

de las retransmisiones puede hacer que la red quede paralizada.

La ocurrencia de este problema depende del nmero de usuarios que intenten

utilizar la red y de las aplicaciones que estn utilizando. Las aplicaciones de bases de

datos tienen a colocar en la red ms datos que las aplicaciones de procesamiento de

textos.

Dependiendo de los componentes hardware, del cableado y del software de red, la

utilizacin de una red CSMA/CD con muchos usuarios utilizando aplicaciones de

bases de datos puede llegar a ser frustrante, debido al elevado trfico de la red.

Con esto en mente pasemos ahora a analizar el modelo de rendimiento: como vimos cada

estacin puede enviar un paquete pero no est garantizada una transmisin exitosa, por lo

que tendremos que utilizar un mtodo probabilstico para determinar el rendimiento.

Habiendo definido la eficiencia como la relacin entre el tiempo que se transmite el paquete y

el tiempo que el canal est ocupado para que no existan colisiones. Ese tiempo de ocupacin

del canal lo podemos ver como el tiempo que le lleva a la estacin enviar el paquete y esperar

hasta que es recibido en el destino, considerando el tiempo de espera que puede haber en

caso de que haya alguna otra estacin transmitiendo, o el tiempo de retransmisin en caso de

que haya habido alguna colisin.

Como las reglas de este protocolo son complicadas para realizar un anlisis practico se utilizara

un modelo un poco simplificado el cual ser comparado con el modelo real, siendo ambos

bastante similares. En el modelo simplificado forzaremos la condicin de que la estacin utiliza

ranuras de tiempo para efectuar la transmisin, por lo que cada estacin sigue el siguiente

procedimiento para transmitir:

1. la estacin espera para empezar hasta el comienzo del siguiente slot time

2. la estacin escucha la lnea

3. si la lnea est libre, la estacin enva el frame

4. si la estacin escucha una colisin durante el resto del tiempo del slot, vuelve al paso 1.

Podemos asegurar que la estacin puede escuchar la colisin antes del comienzo del

prximo time slot. Ponemos el time slot Ts = 2*D = 2*D, considerando el peor caso, de una

estacin en cada punta del cable. La seal llega a la punta en tiempo D, si la otra estacin

comienza a transmitir un instante antes, hay una colisin. La colisin requiere otros D

segundos para llegar hasta la primera estacin. Necesitamos dos veces el tiempo de demora

de propagacin para garantizar que la primera estacin escuche la colisin.

Probabilidad de xito

Ahora calcularemos la probabilidad de que el paquete llegue a destino de manera exitosa, es

decir que una estacin encuentre una ranura sin que haya colisiones. Suponemos que hay n

estaciones, y que la probabilidad que cada estacin tenga un frame para transmitir sea p,

asumiremos igual probabilidad para cada una y denominaremos p = 1/n, lo que maximiza la

probabilidad. Podemos entonces escribir la probabilidad de xito como:

Podemos, a manera ilustrativa evaluar esa relacin para varios ejemplos de redes:

a. Si hay 3 estaciones: sustituyendo n = 3 en (1) obtenemos P = 0.44 0 44%

b. Para n = 10, P = 0.39 o 39%

c. Para n = 1000, P = 0.368 o 36.8 %

d. Para n = 10000, P = 0.3679 o 36,79%

Observamos que ya para cuando n sigue aumentando el valor se acerca al lmite que es 1/e,

cuando n tiende a infinito, o 0.36, lo cual sera el lmite inferior. Por tanto en este modelo una

estacin puede enviar exitosamente un frame por lo menos un 36 % del tiempo. Ahora este

clculo no nos da la eficiencia del modelo, para eso tenemos que ver primero cuantas ranuras

se requieren, en promedio, para que la estacin pueda encontrar una ranura que le permita

enviar la informacin sin que exista colisin.

Esto se determina de manera sencilla, si la probabilidad de una ranura sin colisiones es Pe,

entonces en promedio, la probabilidad de una ranura exitosa es 1/Pe. Por ejemplo si Pe es

0.25, entonces la cuarta ranura (1/0.25) es en el que se puede enviar el frame de manera

exitosa. Con esto podemos calcular cuntas ranuras debemos esperar para poder enviar la

informacin de manera exitosa:

Calculo de la Eficiencia

Asi que en promedio se necesitan esperar 1.71 ranuras para asegurar que el paquete se

enviara sin colisiones. Ahora si se puede determinar la eficiencia terica para este modelo

simplificado:

El tiempo que la estacin ocupa el medio es Nranura antes de enviar el paquete ms el tiempo

necesario para enviar el paquete:

Esta vendra siendo la eficiencia del modelo simplificado que se asumi para poder realizar la

aproximacin, la eficiencia real de una red Ethernet esta computada (mediante mediciones) y

es inclusive menor a esta aproximacin:

Modelo de Eficiencia para redes Token Ring

Recordemos un poco el funcionamiento de las redes con Token Ring como mtodo de acceso

al medio: Cuando el primer equipo de Token Ring entra en lnea, la red genera un testigo. El

anillo es una formacin de bits predeterminada (una serie de datos) que permite a un equipo

colocar datos en los cables. El testigo viaja a travs de la red preguntando a cada equipo hasta

que un equipo indica que quiere transmitir datos y se apodera del testigo y ningn equipo

puede transmitir hasta que no tome el control del testigo.

Una vez que un equipo se apodera del token, enva una trama de datos a travs de la red. La

trama viaja por la red hasta que alcanza el equipo con una direccin que coincida con la

direccin de destino de la trama. El equipo de destino copia la trama en su bfer de recepcin

y marca la trama en el campo de estado de la trama para indicar que se ha recibido la

informacin. La trama contina por el anillo hasta que llegue al equipo que la envi, de forma

que se valida la transmisin. A continuacin, el equipo que enva retira la trama del anillo y

transmite un testigo nuevo a ste. En la red slo puede haber un testigo activo y el testigo

puede viajar slo en una direccin del anillo.

Circula el testigo en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario? Realmente, la

respuesta no importa. La direccin depende de las conexiones del hardware. Se puede hacer

que el testigo viaje en el orden que desee. Los diseadores de los hubs determinan el orden en

que direcciona cada puerto y usted puede determinar el orden en que se conectan los equipos

al hub. El estndar IEEE 802.5 dice que es en el sentido de las agujas del reloj, y la seccin 3 de

la publicacin SC30-3374 de IBM dice que es en el sentido contrario de las agujas del reloj.

El paso de testigos es determinante, lo que significa que un equipo no puede imponer su turno

en la red, tal y como ocurre en un entorno CSMA/CD. Si el testigo est disponible, el equipo

puede utilizarlo para enviar datos. Cada equipo acta como un repetidor unidireccional,

regenera el testigo y lo contina pasando.

Ahora si pasemos a determinar la eficiencia, en este caso asumiremos que cada estacin tiene

datos para transmitir, cuando cada estacin recibe el token lo retiene y enva sus datos, luego

que enva lo enva hacia la siguiente estacin la cual realiza el mismo proceso. Este es un

modelo simplificado ya que es ms conveniente para realizar el anlisis. Volvemos con el

clculo de la eficiencia:

En este caso el tiempo que ocupa el medio la estacin viene dado por la suma de los tiempos

para transmitir un frame, el tiempo para recibir el primer bit nuevamente (recuerde

que la estacin recibe su propio frame enviado), el tiempo para transmitir el token y el

tiempo para que el token llegue a la siguiente estacin, si suponemos que hay n estaciones

entonces tenemos:

Analizando esta expresin podemos, sin temor a cometer algn error, descartar algunos

miembros: el tamao del token es pequeo (24 bits) en comparacin con el tamao del frame,

por lo que podemos ignorar el tiempo del token. Adems en muchas implementaciones de

token ring, la estacin no debe esperar hasta que recibe el ltimo bit de vuelta antes de

regenerar el token, Luego que ella enva el ltimo bit del frame, libera el token. De esta

manera el segundo trmino del denominador D no es relevante y puede eliminarse de la

frmula. Quedando entonces la eficiencia de una red Token Ring:

Si observamos esta expresin y la comparamos con la eficiencia en CSMA/CD, notamos

claramente que en Token Ring la eficiencia es mucho mayor (en este caso el parmetro a esta

divido por n, mientras que en Ethernet esta multiplicado por 5). En Token Ring la eficiencia

esta cercana al 100 % mientras que en Ethernet en menor al 50 % (entre 30 y 40%). Adems

claramente se observa que a medida que aumenta el nmero de estaciones la eficiencia de de

Token Ring aumenta (debido a que disminuye el tiempo de paso del token), todo lo contrario

de Ethernet, donde una mayor cantidad de estaciones incrementa la posibilidad de colisiones

disminuyendo por ende la eficiencia.

Anlisis de Trafico en Redes Locales

Antes de efectuar un anlisis como tal es importante definir ciertos parmetros que permiten

determinar el rendimiento de una red, y la calidad en la comunicacin, dichos parmetros son:

Tasa de Transferencia: La tasa de transferencia expresa la velocidad a la que se puede

transmitir y se mide en bits/segundo (bps); No hay que confundir ancho de banda con tasas de

transferencia, el primero mide en hertzios y no mide realmente la capacidad de transmisin de

la red, mientras que la tasa de transferencia s, ya que toma en cuenta todos los factores para

hacer una medicin real. Por desgracia ningn tipo de red es capaz de proporcionar una

tasa de transferencia igual a la terica. Cuando hacemos referencia a la que en realidad se

obtiene, se habla de tasa de transferencia real o simplemente tasa de transferencia.

Troughput: de este parmetro hemos hablado anteriormente y recordamos que se refiere a la

cantidad real de informacin que se recibe, la cual difiere de la capacidad terica del enlace

de comunicaciones debido a diversos factores ya mencionados.

Perdida de paquetes: es una medicin de la probabilidad de que se pierdan datos en el

proceso de comunicacin, debido a la falta de espacio en buffers por ejemplo. Esto debido a

que los buffers no tiene un tamao infinito, si un paquete llega a un buffer que est lleno se

descarta.

Retrasos: esto se refiere los tiempos de retardo que sufren los datos en las colas generadas por

los buffers en los dispositivos de conmutacin.

Latencia

La latencia de una lnea de transmisin expresa el tiempo que tardan los datos en entrar por

un extremo del enlace hasta que aparecen por el otro. Depende de tres factores:

Del retardo de propagacin de las seales a travs del medio de transmisin.

Este tiempo depende de la velocidad de propagacin de las seales a travs del medio

(3,0 x 10^8 metros/segundo en el vaci). El retardo de propagacin es insalvable

y se conoce como latencia mnima.

El mensaje a transferir normalmente se divide en bloques o paquetes. Por tanto el

tiempo que tarda un BIT depende de la tasa de transferencia de la red.

Tambin depende de la congestin de la red.

Por lo tanto la latencia es igual a:

Latencia = Retardo de propagacin + Tiempo de emisin + Tiempo de cola + Retardo de

procesamiento

Donde:

Retardo de propagacin: es el tiempo que tarda la informacin en llegar desde su

punto de partida al destino, depende de la trayectoria fsica y del medio fsico de

transmisin.

Tiempo de emisin: es el tiempo requerido para enviar todos los bits en un paquete al

medio de transmisin utilizado.

Tiempo de cola: es el tiempo que un paquete es puesto en una cola hasta que es

transmitido, el nmero de paquetes en cola depender en la cantidad y el tipo de

trfico de la red.

Retardo de procesamiento: es el tiempo requerido para analizar el encabezado de un

paquete y decidir a donde enviarlo.

Un concepto relacionado con la latencia es el tiempo de ida y vuelta (Round Trip Time o RTT en

TCP) que no es ms que el tiempo que se toma enviar un bit a travs del canal de

comunicacin y recibir un ACK del receptor.

Producto Latencia/Tasa de Transferencia: Suponemos un enlace que posee 50 milisegundos

de latencia y una tasa de transferencia de 45 Mbps, el nmero de bits que podemos inyectar

en el enlace sin que el primero de ellos llegue al otro extremo es de

50 ms*45Mbps = 2.25 Mb, o ms o menos 275 KB

Esto significa que en el momento en el que el receptor se percata de que le estn

llegando datos a travs del enlace, el emisor ya ha enviado unos 275 KB de datos, tiene que

tener el receptor una unidad de almacenamiento capaz de almacenar esa

informacin.

Entonces vemos que estos parmetros nos van a dar una idea exacta del comportamiento de

una red, y poder determinar si en algn punto donde se estn transportando cualquier

cantidad de datos se est generando alguna congestin (la cual como vimos puede ocasionar

perdida de datos) para poder aplicar polticas eficientes de gestin de trfico que eviten una

disminucin en la calidad del servicio.

En un enlace donde hay congestin ocurren retrasos por las colas, perdida de datos, y esto

generara una disminucin del troughput, por lo que es necesario implementar mecanismos

que permitan evitar dichas cogestiones, la congestin ocurrir cuando la cantidad de paquetes

que se manejan alcancen la capacidad nominal de la red, y es donde se formaran los

denominados cuellos de botella.

Los cuellos de botella son los puntos de menor capacidad en un trayecto, y la velocidad de ese

trayecto estar limitada a dicho cuello de botella, una vez identificados estos puntos se hace

necesario aplicar mecanismos para tratar de aliviar la congestin y evitar que el rendimiento

de la red caiga dramticamente, veremos cuales mecanismos son aplicados para evitar esto.

Consecuencias de la congestin

Retardos: Trabajar cerca de la capacidad de los enlaces es ideal desde el punto de vista

de la productividad, pero no loes respecto al retardo. Se experimentan grandes

retardos en una cola segn la tasa de llegadas de paquetes se acerca a la capacidad del

enlace.

Prdidas: Como los bferes no son de tamao innito el emisor debe realizar

retransmisiones para compensar los paquetes perdidos debido al desbordamiento de

los bferes.

Desperdicio de recursos: Las retransmisiones innecesarias realizadas por el emisor en

presencia de grandes retardos, que provocan que venzan los temporizadores de

retransmisin antes de que lleguen los asentimientos, hacen que el ancho de banda de

los en-laces se utilice para encaminar copias innecesarias de los paquetes. Cuando un

paquete es desechado a lo largo de un camino, la capacidad de almacenamiento,

procesamiento y transmisin que fue utilizada en cada uno de los nodos y enlaces

anteriores, para encaminar ese paquete hasta el punto en el que es desechado, est

siendo desperdiciada.

Dinmica del control de la congestin

Bsicamente se distinguen dos tipos de mecanismos de control de congestin, atendiendo al

momento en el que actan:

Preventivos: Mecanismos que pretenden prevenir la congestin, denominados de lazo abierto.

Control de admisin: Se limita el nmero de usuarios o ujos.

Monitorizacin: Se vigila que un ujo no exceda su cuota de trco.

Regulacin de trco: Se modica el patrn de trco a la entrada de forma que sea ms

predicible.

Ejemplo: Servicio CBR (Constant Bit Rate) en ATM.

Reactivos: Mecanismos que intentan resolver el problema de la congestin cuando sta

aparece, denominados de lazo cerrado o con realimentacin.

Realimentacin directa: Los nodos de conmutacin avisan a los extremos cuando estn

congestionados o en peligro de congestin (envan paquetes especiales o marcan los paquetes

de datos si no los van a descartar). Ejemplo: Servicio ABR (Available Bit Rate) en ATM.

Realimentacin indirecta: Los extremos ineren la presencia de congestin en la red

basndose en las prdidas o en los retardos. Ejemplo: Control de congestin en TCP.

Control de Trafico

Dado que una de las principales causas de la congestin es que el trco es a rfagas, los

mecanismos de regulacin de trco fuerzan a las fuentes a transmitir de forma ms

predecible. En realidad, lo que se pretende es regularla tasa media y la variabilidad del trco

de entrada a la red. Aunque esta regulacin es ms fcil de implementar con circuitos

virtuales, puede aplicarse igualmente a redes de datagramas. Entre estos controles tenemos:

Leaky Bucket y Token Bucket.

Existen adems otros mecanismos que utilizan algo de teora de colas para regular la

congestin (Random Early Detection: equipos notan que la cola se est llenando y

aleatoriamente descartan paquetes para sealar congestin, Notificacin de Congestin

Explcita: Routers marcan los paquetes con un bit ECN (Explicit Congestion Notification) y host

Tx interpreta como signo de congestin).

Modelos de colas

En este tema se desarrollarn modelos sencillos para anlisis de colas que permitan

cuantificar el retardo y las prestaciones de los nodos de las redes de comunicacin. Una

caracterstica clave de las redes de comunicacin es la comparticin de recursos tales como el

ancho de banda, el almacenamiento y la capacidad de procesamiento.

Como la demanda de estos recursos es imprevisible, se da el caso en que los recursos no estn

disponibles cuando el usuario haga la peticin, lo que conduce a un retardo o la prdida del

servicio.

Anlisis del retardo y frmula de Little

La figura (1) muestra un modelo bsico para un sistema retardo/prdida. Los clientes llegan

al sistema de acuerdo con algn patrn de llegada, presentando peticiones de conexin

mensajes individuales, paquetes o celdas. El sistema puede ser una lnea de transmisin

individual, un multiplexor, un conmutador o incluso una red completa. El cliente pasa algn

tiempo T en el sistema y despus de este tiempo el cliente sale del sistema. Es posible

que bajo ciertas condiciones el sistema est en un estado de bloqueo, por ejemplo, debido a

la falta de recursos. Los clientes que llegan al sistema cuando est en este estado

quedan bloqueados o se pierden.

Insertar img1

Nos interesan las siguientes medidas de prestaciones:

1) Tiempo pasado en el sistema: T

2) Nmero de clientes en el sistema: N(t)

3) Fraccin de clientes que llegan que se pierden o se bloquean: Pb

4) Nmero medio de mensajes/segundo que pasan a travs del sistema: rendimiento

Los clientes llegan de forma aleatoria al sistema y permanecen en l un tiempo tambin

aleatorio. Sea A(t) el nmero de llegadas al sistema en el intervalo de tiempo de 0 a t. Sea B(t)

el nmero de clientes bloqueados y D(t) el nmero de clientes que salen en el mismo intervalo

de tiempo. El nmero de clientes en el sistema en un instante t viene dado por:

N(t) = A(t)-D(t)-B(t) ya que el nmero que ha entrado en el sistema hasta el instante t es A(t)-

B(t) y ya que B(t) de esos clientes se han ido en el instante t. Se supone que el

sistema est vaco en el instante t=0.

A largo plazo la velocidad de llegada al sistema viene dada por:

El rendimiento del sistema es igual a la velocidad de salida a largo plazo, que viene

dada por:

El nmero medio en el sistema viene dado por:

La fraccin de clientes bloqueados es por tanto

La figura 2 representa una funcin muestra tpica A(t) que representa el nmero de llegadas al

sistema. Se supone que se empiezan a contar los clientes en el instante t=0. El primer cliente

llega en el instante 1 y A(t) cambia de 0 a 1 en este instante. La llegada del n-simo cliente

es en el instante 1+ .....+ n donde i es el tiempo transcurrido entre la llegada del

cliente i-1 y el i. La velocidad de llegada en el instante en el que el n-simo cliente llega viene

dada por n/(1+ ....+ n) clientes /segundo.

Insertar Img2

Por tanto la velocidad de llegada a largo plazo viene dada por:

Se supone que todos los tiempos entre llegadas son estadsticamente

independientes y tienen la misma distribucin de probabilidad y que el valor medio o

esperado viene dado por E[t]; por tanto la velocidad de llegada viene dada por el

recproco del tiempo medio entre llegadas.

Frmula de Little

Relaciona el tiempo medio pasado en el sistema E[T] y la velocidad de llegada con el nmero

medio de clientes en el sistema E[N] por medio de la siguiente frmula:

E*N+ = E*T+

Insertar img3

Suponemos que el sistema no bloquea a ningn cliente, como se ve en la figura (3) El nmero

en el sistema N (t) vara segn A(t) D(t). Supngase que se representan A(t) y D(t) en el

mismo grfico de la figura (4).

Ins img4

A(t) aumenta 1 cada vez que un cliente llega, y D(t) aumenta 1 cada vez que se va un cliente. El

nmero de clientes en el sistema N(t) viene dado por diferencia entre A(t) y D(t). El nmero de

salidas nunca puede ser mayor que el nmero de llegadas, y por tanto D(t) no puede estar

por detrs de A(t) como se muestra en la figura. Supongamos que los clientes se

atienden en forma de FIFO, entonces el tiempo T1 utilizado por el primer cliente es el

tiempo transcurrido entre el instante en el que A(t) pasa de 0 a 1 y en el instante en el

que D(t) pasa de 0 a 1, siendo T1 el rea del rectngulo definido por esos dos instantes

en la figura.

Considrese un instante t0 en el que D(t) alcanza a A(t); es decir N(t0) A(t0) D(t0) = 0.

Ntese que el rea entre A(t) y D(t) viene dada por la suma de los tiempos T0 empleados en el

sistema por los primeros A(t0) clientes. El tiempo medio del nmero de clientes en el sistema

hasta el instante t0 es pues:

Si se multiplica y divide la expresin anterior por A(t0) se obtiene:

Esta ecuacin quiere decir que hasta el instante t0 el nmero medio de clientes en el sistema

viene dado por el producto de la velocidad media de llegada A(t0)/t0 y la media

aritmtica del tiempo pasado en el sistema por los primeros A(t0) clientes. La frmula

de Little supone que:

Se puede demostrar que la frmula de Little es vlida si los clientes no han sido atendidos en el

orden en que llegaron. Ahora consideremos un sistema en que los clientes se pueden

bloquear. La frmula anterior implica que si reemplazamos A(t) por A(t) B(t), tenemos

el verdadero nmero de clientes que entran en el sistema. La verdadera velocidad de

llegada al sistema con bloqueo es (1- Pb) donde Pb es la fraccin de llegadas que estn

bloqueadas, por tanto la frmula de Little para un sistema con bloqueo es: E*N+ = ( 1- Pb)

E[T]. Esta frmula es vlida para un sistema que puede ser una lnea de transmisin individual,

un multiplexor, un conmutador o una red.

Figura (5)

En la figura (5) muestra una red de conmutacin de paquetes formada por

conmutadores de paquetes interconectados. Suponemos que cuando un paquete llega a un

conmutador el paquete es encaminado instantneamente y situado en un multiplexor para

esperar su transmisin por una lnea de salida. Entonces cada conmutador de paquetes

se puede ver como un conjunto de multiplexores. Empezamos a aplicar la frmula de

Little a la red como un todo. Sea Nred el nmero total de paquetes en la red; Tred el tiempo

que pasa el paquete en la red y red la velocidad total de llegada del paquete a la red.

Entonces la frmula de Little establece E*Nred+ = red E*Tred+

Esta frmula implica que el retardo medio experimentado por los paquetes al atravesar

la red es:

E*Tred+ = E*Nred+/red

Podemos refinar la ecuacin anterior aplicando la frmula de Little a cada multiplexor

individualmente. Para el multiplexor m la frmula de Little da: E*Nm+ = mE*Tm+ donde m

es la velocidad de llegada del paquete al multiplexor y E[Tm] es el tiempo medio que ha

pasado el paquete en el multiplexor.

El nmero total de paquetes en la red Nred es igual a la suma de los paquetes en todos los

multiplexores:

E*Nred+ = m E*Nm+ = m E*Tm+

Combinando las tres ecuaciones anteriores se obtiene una expresin para el retardo total

experimentado por un paquete cuando atraviesa toda la red:

E*Tred+ = E*Nred+/red = ,m m E*Tm+ - / red

Por tanto el retardo de la red depende de la velocidad total de llegada a la red, de la velocidad

de llegada a los multiplexores individuales, y del retardo en cada multiplexor. La

velocidad de llegada a cada multiplexor viene dada por el algoritmo de encaminamiento. El

retardo en un multiplexor depende de la velocidad de llegada y de la velocidad a la que la

lnea de transmisin asociada pueda transmitir paquetes. Entonces la frmula anterior

simplemente incorpora el efecto del encaminamiento as como el efecto de las capacidades

de las lneas de transmisin en la red. Por este motivo la expresin anterior se usa

frecuentemente en el diseo y gestin de redes de conmutacin de paquetes.