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An´ alisis Real Apuntes de clase Preparado por JC Trujillo O. Agosto - Diciembre 2013
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Analisis Real
Apuntes de clase
Preparado por JC Trujillo O.
Agosto - Diciembre 2013
Indice general
1 Numeros Reales 5
1 Clase 1 - 2013/07/29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Los numeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Axiomas de cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Axiomas de orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 El axioma del supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Un par de ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Clase 2 - 2013/07/31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Caracterizacion del supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Clase 3 - 2013/08/02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 Infimo de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.1 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 El inverso aditivo de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3 El teorema del nfimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 El principio del buen orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 La arquimediana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9 La parte entera de un numero real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
10 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Sucesiones de numeros reales 14
1 Clase 4 - 2013/08/05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Sucesion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Subsucesion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Clase 5 - 2013/08/07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Sucesion convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1 Ejemplo de una sucesion convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Clase 6 - 09/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Sucesion acotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Clase 7 - 12/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.1 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.2 Algunas propiedades sencillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 Clase 8 - 14/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10 Sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 Clase 9 - 16/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 Clase 10 - 19/08/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
13 Clase 11 - 21/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
14 Monotona del lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16 Clase 12 - 23/08/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
17 Clase 13 - 26/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18 Clase 14 - 28/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Series numericas 33
1 Clase 15 - 30/08/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Clase 16 - 02/09/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Clase 17 - 04/09/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Clase 18 - 06/09/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Abiertos en R 40
5 Conjuntos compactos 41
6 Espacios metricos 42
7 Espacios Producto 43
8 Continuidad 44
1 Clase ? - 16/10/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Clase ? - 17/10/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1 Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Clase ? - 18/10/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Clase ? - 21/10/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Clase ? - 23/10/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Clase ? - 01/11/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Clase ? - 04/11/2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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Captulo 1
Numeros Reales
1 Clase 1 - 2013/07/29
2 Los numeros reales. La definicion del conjunto de numeros reales aqu presentada es
axiomatica.
Consideramos un conjunto no vaco de objetos cuyos elementos se denominan nume-
ros reales. Se utilizaran las letras minusculas del alfabeto latino: a, b, c, . . . para representar
numeros reales, y al conjunto de numeros reales lo representaremos con R.
Hay dos operaciones binarias internas sobre el conjunto de numeros reales: (a, b) 7a+ b y (a, b) 7 ab, de R R en R, denominadas suma y multiplicacion, respectivamente.La El numero real a+ b es denominado la suma de a y b; el numero real ab, la multiplicacionde a y b.
Hay una relacion binaria sobre el conjunto de numeros reales: RR, denominadamenor que o igual a. Si a y b estan en la relacion, es decir, si (a, b) , entonces se escribira a b y se leera: a es menor que o igual a b.
En resumen, los terminos no definidos son: numero real, suma, multiplicacion, mayor que
o igual a.
La teora axiomatica sobre numeros que estamos presentando esta construida sobre la
teora de conjuntos, ya que los numeros reales has sido definidos como objetos de un con-
junto. Por lo tanto, todos los axiomas de la teora de conjuntos son tambien axiomas de la
teora sobre numeros reales que estamos presentado.
La teora de conjuntos es una teora con igualdad; es decir, sobre cualquier conjunto, hay
una relacion binaria, representada con =, que es reflexiva, simetrica y transitiva; es decir:
1. Reflexiva: a = a para todo a R.2. Simetrica: si a = b, entonces b = a para todo a R y todo b R.3. Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c para todo a R, todo b R y todo c R.
Ademas, la igualdad satisface el principio de sustitucion por iguales:
Si en una proposicion sobre numeros reales se sustituye uno de ellos por otro igual, el
valor de verdad de la proposicion resultante es el mismo que el valor de verdad de la
proposicion original.
Los axiomas se reunen en tres grupos: cuerpo, orden y continuidad o completitud.
5
2.1 Axiomas de cuerpo.
1. Conmutativas: a+ b = b+ a y ab = ba.
2. Asociativas: a+ (b+ c) = (a+ b) + c y a(bc) = (ab)c.
3. Distributiva: a(b+ c) = ab+ ac.
4. Neutros: existen dos numeros reales distintos, que se representan con 0 y 1, respecti-
vamente, tales que para todo numero real a, se verifican las proposiciones:
0+ a = a+ 0 = a y 1a = a1 = a.
El numero 0 es denominado elemento neutro para la suma o cero; el elemento 1,
neutro para la multiplicacion o uno.
5. Inversos: para todo numero real a, existe un unico numero real b tal que a + b =b+ a = 0, y para todo numero real c, distinto de 0, existe un unico numero real d talque cd = dc = 1.
El numero b es denominado inverso aditivo de a y se representa cona. Por lo tanto,la proposicion siguiente es verdadera:
a+ (a) = 0.
El numero d es denominado inverso multiplicativo de c y se representa con a1 o
tambien con1
c. Entonces, la siguiente proposicion es verdadera:
cc1 = 1,
que tambien puede ser expresada de la siguiente manera:
c1
c= 1.
2.2 Axiomas de orden.
1. Transitiva: si a b y b c, entonces a c.2. Antisimetrica: a b y b es equivalente a a = b.3. Tricotoma: para dos elementos cualesquiera a y b de R, se verifica la disyuncion:
a b o b a.
4. Aditiva: si a b, entonces a+ c b+ c.5. Clausura: si 0 a y 0 b, entonces 0 ab.En lugar de a b se puede escribir b a, y se leera: b es mayor que o igual a a. Escribire-
mos a < b o b > a si a b y a 6= b.
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2.3 El axioma del supremo.
DEFINICION 1.1 (Conjunto acotado superiormente). Sea A un conjunto no vaco de R. Se
dice que A esta acotado superiormente si y solo si existe un numero real M tal que
x M
para todo x A. El numero M es denominado cota superior del conjunto A.Si M es una cota superior de un conjunto A, entonces todo numero mayor que M tam-
bien es una cota superior de A.
Hay conjuntos que no son acotados superiormente. Por ejemplo, cualquier intervalo
B = (a,+).En efecto, razonemos por reduccion al absurdo. Supongamos que existe un numeroM que es una
cota superior de B. Entonces, para todo x (a,+), se verifica que
a < x M. (1.1)
Luego a < M.
Por otro lado, como M < M+ 1, entonces a < M+ 1, de donde M+ 1 (a,+). Por lo tanto, ladesigualdad (1.1) se debe verificar tambien para M+ 1:
M+ 1 M;
es decir, se cumple que
1 0,lo que es imposible. Se concluye, entonces, que el intervalo (a,+) no es un conjunto acotado supe-
riormente.
Si un conjunto acotado superiormente tiene una cota superior que es la menor de todaslas cotas superiores, esa cota es unica. En efecto, si y son dos cotas superiores de A R, y lasdos son las menores de todas las cotas superiores, como es la menor de las cotas superiores y es
una cota superior, tenemos . Con el mismo razonamiento, . Es decir:
y .
Por lo tanto, = .
AXIOMA 1 (Supremo). Todo conjunto de numeros reales A, no vaco y acotado superior-
mente, posee la menor de las cotas superiores. A ese numero se le denomina el supremo
del conjunto A y se le representa con sup A.
De una manera mas precisa, tenemos que = sup A si y solo si
1. es una cota superior de A y
2. es la menor de las cotas superiores.
Es decir, = sup A si y solo si
1. Para todo x A, se verifica que x , y2. Si es una cota superior de A, entonces .
2.4 Un par de ejemplos. Demostraremos mas adelante que los supremos de [0, 1) y de[0, 1] son iguales, el numero 1. En Este ejemplo muestra que el supremo de un conjunto notiene que ser, necesariamente, elemento del conjunto.
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3 Clase 2 - 2013/07/31
4 Caracterizacion del supremo.
TEOREMA 1.1 (Caracterizacion del supremo). Sea A R, A 6= . Entonces = sup A si ysolo si
1. es una cota superior de A, y
2. para todo > 0, existe x A tal que
a < x.
Demostracion.
1. Supongamos que = sup A. Entonces es una cota superior de A. Nos falta probar unicamentela segunda proposicion. Para ello, sea > 0. Debemos demostrar que existe x A tal que
a < x. (1.2)
Razonemos por reduccion al absurdo; es decir, supongamos que para todo x A, se verificala desigualdad
a > x.Puesto que esta desigualdad se verifica para todo x A, se colige que el numero a es una cotasuperior del conjunto A. Luego, como es el supremo de A, es la menor de las cotas superiores,
lo que nos permite concluir que
,es decir, concluimos que
0 ,o, lo que es lo mismo, que
0,lo que contradice a la hipotesis de que > 0 y a la propiedad de tricotoma de los numeros reales.
Esta contradiccion prueba, entonces, la validez de la desigualdad (1.2).
2. Ahora supongamos que es una cota superior de A y que para todo > 0, existe x A tal que severifica la desigualdad (1.2). Probemos que es el supremo de A.
Para ello, debemos probar unicamente que es la menor de las cotas superiores de A. Supon-
gamos, entonces, que tambien es una cota superior de A; demostremos que
. (1.3)
Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que
< . (1.4)
Entonces, tenemos que > 0. Por lo tanto, la desigualdad (1.2) es verdadera para ; esdecir, existe un x A tal que
( ) < x,lo que implica que, para un cierto x A, se debe cumplir que
< x,
lo que contradice con la desigualdad
x ,
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pues es una cota superior de A. Por lo tanto, lo supuesto es falso (desigualdad (1.4)); es decir,
, como se quera demostrar.
5 Clase 3 - 2013/08/02
6 Infimo de un conjunto.
DEFINICION 1.2 (Conjunto acotado inferiormente). Sea A un conjunto no vaco de R. Se
dice que A esta acotado superiormente si y solo si existe un numero real M tal que
x M
para todo x A. El numero M es denominado cota inferior del conjunto A.
6.1 Ejemplos. Los conjuntos [a,+), (a,+, [a, b] estan acotados inferiormente. En cam-bio, los conjuntos (, a) y (, a] no estan acotados inferiormente.DEFINICION 1.3 (Infimo de un conjunto). Sea A un conjunto de numeros reales, no vaco
y acotado inferiormente. En caso de existir, la mayor de las cotas inferiores es denominada
el nfimo del conjunto A y se le representa con nf A.
De una manera mas precisa, tenemos que = nf A si y solo si
1. es una cota inferior de A y
2. es la mayor de las cotas inferiores.
Es decir, = nf A si y solo si
1. Para todo x A, se verifica que x , y2. Si es una cota inferior de A, entonces .De una manera totalmente similar a la caracterizacion del supremo, se obtiene una para
el nfimo, y cuya demostracion se deja como ejercicio.
TEOREMA 1.2 (Caracterizacion del nfimo). Sea A R, A 6= . Entonces = nf A si ysolo si
1. es una cota inferior de A, y
2. para todo > 0, existe x A tal que
x < a+ .
Los conjuntos (0, 1) y [0, 1) tienen al numero 1 como el nfimo. Esto muestra que elnfimo de un conjunto no tiene que ser un elemento del conjunto.
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6.2 El inverso aditivo de un conjunto.
DEFINICION 1.4 (El inverso aditivo de un conjunto). Sea A R. El conjunto
A = {y : x A tal que y = x} = {x : x A}
se denomina inverso aditivo del conjunto A.
De la definicion, se colige la equivalencia siguiente:
u A Existe z A tal que u = z.
Tambien se deduce con facilidad que
u A u A.
6.3 El teorema del nfimo.
TEOREMA 1.3. Sea A R. El numero es una cota superior de A si y solo si a es unacota inferior de A.
Demostracion. Demostraremos unicamente la implicacion: si es una cota superior de A,
entonces a es una cota inferior de A. La otra queda como ejercicio.Supongamos que es una cota superior de A. Para probar que a es una cota superior
de A, vamos a demostrar que x (1.5)
para todo x A.Sea x A. Entonces existe u A tal que x = u. Ahora, como es cota superior de
A y u A, tenemos queu ,
de donde obtenemos que
u ,de donde, como x = u, concluimos que
x ,
lo que demuestra (1.5).
TEOREMA 1.4. Sea A R, A 6= . Entonces = sup A si y solo si = nf(A).
Demostracion. Probaremos unicamente una de las dos implicaciones; la otra queda como
ejercicio.
Supongamos que = sup A. Debemos demostrar que = nf(A). Para ello, de-bemos demostrar que es una cota inferior de A y, ademas, es la mayor de las cotasinferiores.
La primera proposicion se deriva del teorema (1.3), pues es el una cota superior de A
(por ser el supremo); entonces, es una cota inferior de A.Ahora demostremos que es la mayor de las cotas inferiores de A; para ello, tome-
mos una cota inferior de A, a saber, ; probemos que .
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Como = (), entonces () es una cota inferior de A. Luego, por el teore-ma (1.3), es una cota superior de A, de donde, al ser el supremo de A, concluimos que ; es decir, , que es lo que se quera demostrar.
De estos dos teoremas y del axioma del supremo se obtiene que todo conjunto de nume-
ros reales, no vaco y acotado inferiormente posee nfimo. Lo enunciamos a continuacion y
dejamos la demostracion como ejercicio.
TEOREMA 1.5 (Existencia del nfimo). Todo conjunto de numeros reales no vaco y acotado
inferiormente posee nfimo.
7 El principio del buen orden. Para el conjunto de los numeros naturales, se verifica el
principio del buen orden:
TEOREMA 1.6 (Principio del buen orden). Todo subconjunto no vaco A N posee elmenor elemento. Es decir, existe n0 A tal que n0 n para todo n A.
Que el numero n0 sea el menor elemento implica que si m < n0, entonces m 6 A. Enparticular, n0 1 6 A.
8 La arquimediana. Una consecuencia del axioma del supremo es el hecho de que el
conjunto de los numeros naturales no esta acotado superiormente.
TEOREMA 1.7. El conjunto de los numeros naturales N no esta acotado superiormente.
Demostracion. Razonemos por reduccion al absurdo. Para ello, supongamos queN esta aco-
tado superiormente. Como es un conjunto no vaco, posee supremo. Sea = supN. En-tonces, como 1 > 0, existe n N tal que
1 < n,
es decir, existe un numero natural n tal que
< n+ 1.
Pero esta desigualdad implica que no es una cota superior de N, pues n+ 1 N. Por lotanto, N no puede ser un conjunto acotado superiormente.
De esta proposicion se deriva la llamada propiedad arquimediana.
TEOREMA 1.8 (Arquimediana). Para todo a > 0 y todo b > 0, existe n N tal que na > b.
Demostracion. En primer lugar, notemos que N no sea un conjunto acotado superiormente
quiere decir que para todo numero real , existe n N tal que n > .En efecto, si ocurriera lo contrario, existira un numero real tal que para todo n N,
se verificara que n ; es decir, N estara acotado superiormente.Ahora bien, como ba R, ya que b 6= 0, entonces existe n N tal que
n >b
a,
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 04 11 de 56
de donde
na > b,
como se quera demostrar.
9 La parte entera de un numero real.Que todo numero real tenga parte entera se deduce
de la propiedad arquimediana y de principio del buen orden.
TEOREMA 1.9 (Parte entera). Para todo x R, existe n Z tal que
n x n+ 1.
Demostracion. Demostremos la proposicion para x > 0. El otro caso queda como ejercicio.
Por la propiedad arquimediana (o porque N no es un conjunto acotado superiormente),
tenemos que existem N tal quem > x. Ahora bien, por el principio del buen orden, existeel mas pequeno de esos numeros m; nombremos ese numero con m0. Esto significa que
x < m0 y m0 1 x.
Hagamos n = m0 1; entoncesn x n+ 1.
Al numero n se le denomina la parte entera de x o, tambien, el suelo de x y se lo repre-
senta con x.
10 Ejemplos. Con ayuda de la arquimediana y la densidad1 de R, vamos a demostrar
nf
{1
n: n N
}= 0 y sup[0, 1) = 1.
1. Sea
A =
{1
n: n N
}.
Para demostrar que 0 = nf A, por el teorema de caracterizacion del nfimo, probaremos que 0 es
una cota inferior y que para todo > 0, existe x A tal que x < 0+ .Sea x A; vamos a demostrar que 0 x. En efecto, como x A, existe n > 0 tal que
x =1
n.
Como n > 0, 1n > 0, de donde x > 0; es decir, 0 es cota inferior de A.
Ahora, sea > 0. Buscamos x A tal que
x < 0+ = .
Es decir, buscamos n N tal que1
n< .
1La densidad de R se refiere al hecho de que, dado dos numeros reales a y b tales que a < b, existe c R talque a < c < b. Por ejemplo, ese numero es
a+ b
2.
La palabra densidad tambien se utiliza en otro sentido como en que Q, el conjunto de los numeros racionales,es denso en R; mas adelante, se tratara este tema.
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Este n se puede encontrar facilmente si aplicamos la propiedad arquimediana al numero real 1 .
En efecto, como 1 > 0, existe n N tal que1
< n,
de donde1
n< .
Si hacemos x = 1n , tenemos que x A y x < , como se quera.2. De la definicion del conjunto B = [0, 1), tenemos que 1 es cota superior de B. Ahora probemos
que, para todo > 0, existe x B tal que
1 < x. (1.6)
De esta desigualdad, se ve que la demostracion tiene que considerar dos casos: > 1 y 1.En el primer caso, tenemos que 1 < 0. Entonces, cualquier x B satisface la desigual-
dad (1.6), pues x 0.Si ocurriera el segundo caso, entonces
0 1 < 1.
Por la densidad de los numeros reales, existe x tal que
1 < x < 1;
Entonces 0 x 1, lo que implica que x B y que 1 < x, como se quera probar.
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Captulo 2
Sucesiones de numeros reales
1 Clase 4 - 2013/08/05
2 Sucesion.
DEFINICION 2.1 (Sucesion). Una sucesion de numeros reales es una funcion de N en R.
Sea x : N R una sucesion. Entonces, para cada n N, se tiene que x(n) R. Enlugar de escribir x(n), escribiremos xn, y escribiremos
(xn)nN
en lugar de x. El numero xn se denomina termino nesimo de la sucesion x.
La imagen de la sucesion x es el conjunto
{xn : n N}
y no debe ser confundido con la sucesion misma:
(xn)nN 6= {xn : n N}.
Es comun tambien representar las sucesiones de la manera siguiente:
x = (x1, x2, x3, . . . , xn, . . .).
Por ejemplo, la sucesion
x : N Nn 7
{1 si n es par,
1 si n es impar,
se puede representar de las siguientes dos formas:
((1)n)nN y (1, 1, 1, 1, . . .).
En este mismo ejemplo, tenemos que {xn : n N} = {1, 1}.
3 Subsucesion.
14
DEFINICION 2.2 (Subsucesion). Dadas una sucesion x : N R y : N N, estricta-mente creciente, la composicion x , que tambien es una sucesion, se denomina subsuce-sion de la sucesion x.
Tambien se suele decir que la sucesion (xn)nN posee la subsucesion (x(n))nN, o quela subsucesion ha sido extrada de la sucesion x.
Por ejemplo, la sucesion
x : N Nn 7
{1 si n es par,
1 si n es impar,
posee la subsucesion (1)nN. En efecto, si
: N Nn 7 2n,
entonces es estrictamente creciente y
(x )(n) = x(2n) = 1,
para todo n N, pues 2n es siempre un numero par.De la sucesion x, tambien podemos extraer la subsucesion (1)nN, que esta definida
por x , donde : N N
n 7 2n+ 1.El siguiente lema sera de utilidad mas adelante.
LEMA 1. Sea : N N una funcion estrictamente creciente. Entonces, para todo n N, setiene que
(n) n.Demostracion. Utilicemos induccion matematica. En primer lugar, demostremos que
(0) = 0.
Esto se deduce inmediatamente del hecho de que (0) N.Ahora supongamos que, para todo k N, se verifica que
(k) k, (2.1)
y demostremos que
(k+ 1) k+ 1.Puesto que k < k+ 1 y es estrictamente creciente, tenemos que
(k) < (k+ 1),
que junto con (2.1), nos da
k < (k+ 1),
que, a su vez, implica que k+ 1 (k+ 1), como se quera.
4 Clase 5 - 2013/08/07
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 15 de 56
5 Sucesion convergente.
DEFINICION 2.3 (Sucesion convergente). Se dice que una sucesion de numeros reales (xn)nNes convergente si y solo si existe L R tal que para todo > 0, existe n0 N tal que paratodo n n0, se verifica la desigualdad
|xn L| < .
Puesto que
|xn L| < < xn L < L < xn < L+ xn (L , L+ ),
que la sucesion (xn)nN converja es equivalente a que exista un numero real L tal que paratodo > 0, existe n0 N tal que para todo n n0, se verifica que
xn (L , L+ ).
En otras palabras, excepto para un numero finito de terminos (los de ndice menores a n0),
todos los terminos de la sucesion estan en el intervalo de centro L y radio .
TEOREMA 2.1. Sean (xn)nN, L1 R y L2 R tales que para todo > 0, existe n1 N yn2 N tales que
|xn L1| < (2.2)para todo n n1, y
|xn L2| < (2.3)para todo n n2. Entonces L1 = L2.
Demostracion. Vamos a probar que |L1 L2| = 0. Para ello, vamos a probar que, para todo > 0, severifica la desigualdad
|L1 L2| < .Sean > 0 y n N. Entonces
|L1 L2| = |(L1 xn) + (xn L2)| |L1 xn|+ |xn L2|;
es decir, para todo n N, se verifica la desigualdad
|L1 L2| |xn L1|+ |xn L2|. (2.4)
Como 2 > 0, existe n1 N tal que para todo n n1, se verifica la desigualdad
|xn L1| < 2 (2.5)
y existe n2 N tal que para todo n n2:
|xn L2| < 2 . (2.6)
Por lo tanto, si tomamos n0 = max{n1, n2}, entonces, para todo n n0, se verifican las desigualda-des
n n1 y n n2,
16 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
y tambien las desigualdades (2.5) y (2.6) para todos estos n, por lo que obtenemos, para este n y por
la desigualdad (2.4), que
|L1 L2| |xn L1|+ |xn L2| < 2 +
2= ;
es decir, tenemos que
|L1 L2| < como se quera.
Deducimos de este teorema que si una sucesion es convergente, el L R de la definiciones unico. A este numero se le denomina el lmite de la sucesion (xn)ninN y escribiremos decualquiera de las siguientes maneras:
lm xn = L o xn L,
y tambien diremos que la sucesion converge a L.
5.1 Ejemplo de una sucesion convergente. Vamos a demostrar que la sucesion
(1
n
)n>0
converge a 0; es decir, vamos a demostrar que
lm1
n= 0.
Sea > 0. Debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, se verifique que 1n 0 = 1n < .
Para encontrar n0, observamos que
1
n< 1
< n,
lo que nos sugiere aplicar la propiedad arquimediana para lograr la demostracion.
En efecto, por la propiedad arquimediana, existe n0 N tal que1
< n0,
luego, para todo n n0, se tiene que1
< n,
de donde1
n< ,
como se quera.
6 Clase 6 - 09/08/2013
7 Sucesion acotada.Una sucesion es acotada si y solo si su imagen es un conjunto acotado
(es decir, es acotado superiormente e inferiormente).
DEFINICION 2.4 (Sucesion acotada). Una sucesion (xn)nN es acotada si y solo si existeM > 0 y n0 N tal que para todo n n0, se verifica la desigualdad |xn| < .
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 17 de 56
Esta definicion es equivalente a la siguiente: (xn)nN es acotada si y solo si existe M > 0tal que para todo n N, se verifica la desigualdad |xn| < .
7.1 Ejemplos.
1. La sucesion
(1
n
)n>0
es convergente y su lmite es 0.
Demostracion. Sea > 0. Hay que demostrar que existe n0 N tal que para todo n n0, severifica la desigualdad 1n 0
= 1n < .Puesto que
1
n< 1
< n,
el n0 buscado se obtiene por aplicacion de la propiedad arquimediana. En efecto, existe n0 tal que
1
< n0.
Luego, para todo n n0, se verifica que1
< n,
de donde, para todo n n0, es verdadera la desigualdad1
n< ,
como se quera.
2. La sucesion
(n
n+ 1
)nN
converge a 1.
Demostracion. Sea > 0. Debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, es verdad que nn+ 1 1 < .
Se tiene que nn+ 1 1 <
n n 1n+ 1 <
1n+ 1
< 1
n+ 1<
1 1 < n;
es decir: nn+ 1 1 < 1 1 < n. (2.7)
Por la propiedad arquimediana, existe n0 N tal que
n0 >1
1.
18 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
Entonces, si n n0, por (2.7), se tiene que nn+ 1 1 < ,
como se quera.
3. Se tiene que
lmn+ 1
n= 1.
La demostracion queda como ejercicio.
4. La sucesion (1, 1, . . .) no es convergente. Demuestre esta afirmacion utilizando ladefinicion.
TEOREMA 2.2. Toda sucesion convergente es acotada. Es decir, si una sucesion no es aco-
tada, entonces no es convergente.
El recproco de este teorema no es verdadero, pues una sucesion puede ser acotada,
pero no convergente, necesariamente. Por ejemplo, la sucesion (1, 1, . . .). A continuacionprobemos el teorema.
Demostracion. Sean (xn) una sucesion convergente y L su lmite. Para demostrar que la sucesion esacotada, vamos a probar que existen M > 0 y n0 N tales que para todo n n0, se verifica laigualdad
|xn| M.Como 1 > 0, por la definicion de lmite, existe n0 N tal que para todo n n0, se verifica las
desigualdades
L 1 xn L+ 1. (2.8)Sea
M = max |L 1|, |L+ 1|.Entonces
M |L 1| L 1 y L+ 1 |L+ 1| M,que, junto con (2.8), nos permite concluir que
M xn M
para todo n n0; es decir, se verifica|xn| M
para todo n n0, como se quera.
TEOREMA 2.3. Toda subsucesion de una sucesion convergente es convergente y su lmite
es el mismo de la sucesion.
De este resultado, se deduce que la sucesion (1, 1, , . . .) no converge, dos de sussubsucesiones poseen lmites diferentes1: la sucesion constante (1), que converge a 1, y lasucesion constante (1), que converge a 1.
1Formalmente, las dos subsucesiones se pueden definir a traves de las funciones
: N Nk 7 2k y
: N Nk 7 2k+ 1.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 19 de 56
Demostracion. Sean (xn) una sucesion convergente al numero L y : N N, una funcion estricta-mente creciente. Debemos demostrar que la subsucesion (x(n)) converge a L.
Para ello, sea > 0. Probemos que existe n0 N tal que para todo n n0, se verifica la desigual-dad x(n) L < .
Como xn L y > 0, de la definicion de convergencia, podemos asegurar la existencia den0 N tal que para todo n n0, es verdadera la desigualdad
|xn L| < . (2.9)
Luego, como (n) n para todo n N, en particular se tendra tambien que (n) n paratodo n n0. Entonces, para n n0, (n) n0, lo que significa que (n) satisfara tambien ladesigualdad (2.9): x(n) L < para todo n n0, que es lo que se quera demostrar.
8 Clase 7 - 12/08/2013
DEFINICION 2.5 (Suma de sucesiones). Sean x = (xn)nN y y = (yn)nN dos sucesionesreales. Se define la suma de las sucesiones x y y, notada con x+ y, como la sucesion
(xn + yn)nN.
DEFINICION 2.6 (Producto de un escalar y una sucesion). Sea x = (xn)nN una sucesionreal y R. Se define el producto del escalar y la sucesion x, notada x, como la sucesion
(xn)nN.
Con estas operaciones, el conjunto s de todas las sucesiones es un subespacio vectorial
del espacio de las funciones reales. Ademas, con estas operaciones, el conjunto de todas las
sucesiones reales convergentes, es un subespacio vectorial del subespacio s, pues la suma
de sucesiones convergentes es convergente y el producto de un escalar por una sucesion
convergente tambien es una sucesion convergente.
TEOREMA 2.4. Sean x = (xn)nN y y = (yn)nN dos sucesiones reales, y R. Si xn L1 y yn L2, entonces:
1. xn + yn L1 + L2, y2. xn L1.
Demostracion.
1. Para demostrar que xn + yn L1 + L2, sea > 0; debemos encontrar n0 N tal que para todon n0, se verifica la desigualdad
|(xn + yn) (L1 + L2)| < .
En primer lugar, tenemos que
|(xn + yn) (L1 + L2)| = |(xn L1) + (yn L2)| |xn L1|+ |yn L2|,
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es decir:
|(xn + yn) (L1 + L2)| |xn L1|+ |yn L2|. (2.10)Esta desigualdad nos sugiere aplicar la definicion de convergencia a xn L1 y yn L2 con2 . Al hacerlo, obtenemos que existen n1 N y n2 N tales que para todo n n1, se verifica ladesigualdad
|xn L1| < 2 (2.11)y para todo n n2, se verifica la desigualdad
|yn L2| < 2 . (2.12)
Ahora, si elegimos n0 = max n1, n2. Entonces, si n n0, obtenemos que
n n0 n1 y n n0 n2,
razon por la cual ambas desigualdades, (2.11) y (2.12), se satisfacen simultaneamente, lo que, junto
con la desigualdad (2.10), nos da:
|(xn + yn) (L1 + L2)| |xn L1|+ |yn L2| 0. Debemos encon-
trar n0 N tal que para todo n n0, se verifica la desigualdad
|xn L1| < .
Puesto que
|xn L1| = |||xn L1|, (2.13)y || > 0, apliquemos la definicion de convergencia a xn L1 con
|| ,
lo que nos permite afirmar que existe n0 N tal que para todo n n0, se verifica la desigualdad
|xn L1| < || , (2.14)
de donde, junto con(2.13), se obtiene que
|xn L1| = |||xn L1| < || || =
para todo n 0, como se quera.
TEOREMA 2.5. Toda subsucesion de una sucesion acotada es acotada.
Demostracion. Se deja como ejercicio.
DEFINICION 2.7 (Sucesiones monotonas). Sea (xn) una sucesion real.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 21 de 56
1. (xn) es creciente si y solo si para todo n N, se verifica
xn xn+1.
2. (xn) es estrictamente creciente si y solo si para todo n N, se verifica
xn < xn+1.
3. (xn) es decreciente si y solo si para todo n N, se verifica
xn xn+1.
4. (xn) es estrictamente decreciente si y solo si para todo n N, se verifica
xn > xn+1.
5. (xn) es monotona si y solo si es o bien creciente (estrictamente) o bien decreciente(estrictamente).
8.1 Ejemplos. La sucesion (n
n+ 1
)
es estrictamente creciente y la sucesion (n+ 1
n
)
es estrictamente decreciente.
8.2 Algunas propiedades sencillas.
1. Toda sucesion (xn) creciente esta acotada inferiormente, pues para todo n N, setiene
x0 xn.2. Toda sucesion (xn) decreciente esta acotada superiormente, pues para todo n N, se
tiene
x0 xn.3. Para que una sucesion monotona este acotada es suficiente que posea una subsuce-
sion acotada.En efecto, supongamos que la sucesion (xn) es creciente. Entonces esta acotada inferior-
mente. Basta probar que esta acotada superiormente. Es decir, hay que probar que existen
M R y n0 N tales quexn M (2.15)
para todo n n0.Sea : N N una funcion estrictamente creciente tal que la subsucesion
(x(n)
)es
acotada; entonces, esta acotada superiormente. Por lo tanto, existen M R y n0 N tales que
x(n) M (2.16)
22 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
para todo n n0.Por otro lado, dado que (n) n para todo n, en particular (n) n para todo n n0.
Luego, como la sucesion es creciente, entonces
xn x(n)para todo n n0, de donde, junto con (2.16), se obtiene que (2.15) es verdadero para todon n0, como se quera.
TEOREMA 2.6. Toda sucesion monotona y acotada es convergente.
Demostracion. Sea x = (xn) una sucesion decreciente y acotada. Vamos a demostrar que x converge.
Como la sucesion x es acotada, la imagen de x es un conjunto acotado; en particular, es un con-
junto acotado inferiormente; es decir, el conjunto
A = {xn : n N}
es un conjunto no vaco y acotado inferiormente. Entonces, A posee nfimo. Sea L = nf A. Ahorademostremos que L es el lmite de x.
Para ello, sea > 0. Buscamos n0 N tal que para todo n n0, se verifique que
|xn L| < .
Como L es el nfimo de A, entonces xn L para todo n. Entonces, para todo n n0, debera satisfacerla desigualdad
xn L < .Por el teorema del nfimo, existe a A tal que
x0 < L+ ,
y, como existe n0 N tal que a = xn0 , entonces
xn0 < L+ . (2.17)
Finalmente, si n n0, y, como la sucesion x es decreciente, se tiene que
xn xn0 < L+ ,
es decir:
xn L < para todo n n0, como se quera.
TEOREMA 2.7. Lmite del producto y cociente de sucesiones. Es decir, si (xn) y (yn) sondos sucesiones convergentes a L y M, respectivamente, entonces:
1. la sucesion (xnyn) converge a LM; y
2. si M 6= 0, entonces(xnyn
)converge a LM .
Demostracion. Se deja como ejercicio.
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9 Clase 8 - 14/08/2013
TEOREMA 2.8 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion de numeros reales y acotada posee
una subsucesion convergente.
Para demostrar este teorema, introducimos la siguiente definicion:
DEFINICION 2.8 (Termino destacado). Sea (xn)nN una sucesion real. El termino xp de lasucesion es destacado si y solo si para todo n > p, xp xn.
Por ejemplo, en una sucesion decreciente, todos los terminos son destacados. En efecto,
si (xn) es una sucesion tal que para todo n N, se verifica xn xn+1, entonces, para todop N, se tiene que si m > p, entonces
xp xp+1 xm1 xm.
En cambio, ningun termino de una sucesion creciente es destacado.
Demostracion del teorema de Bozano-Weierstrass. Sea (xn) una sucesion acotada. Para probar que posee
una subsucesion convergente, por el teorema (2.6), es suficiente con demostrar que existe una subsu-
cesion monotona. Como esta subsucesion tambien sera acotada, pues la sucesion lo es, entonces esta
subsucesion sera convergente.
Sea D es conjunto de todos los ndices de terminos destacados de la sucesion (xn); es decir:
D = {n N : xn es destacado.}.
Tenemos tres posibilidades:
1. D = .
2. D es numerable.
3. D es finito.
Supongamos, en primer lugar, que D = ; es decir, ningun termino de la sucesion es destacado.
En particular, x1 no es destacado; luego, por la definicion de destacado, existe un ndice m tal que
x1 < xm. (2.18)
Por el principio del buen orden, sea n2 N el menor de todos los ndices m que satisfacen (2.18). Porlo tanto, tenemos que
x1 < xn2 y 1 < n2. (2.19)
Ahora bien, xn2 tambien no es destacado, pues D = . Entonces existe un natural p > n2 tal que
xn2 < xp. Sea n3 el menor de esos numeros naturales p; entonces, se verifica la desigualdad
xn2 < xn3 y n2 < n3.
Supongamos ahora que para todo k N, existen nj N con j {1, 2, 3, . . . , k} tales que
n1 < n2 < < nk (2.20)
naturales tales que n1 = 1 y
xnj < xnj+1 (2.21)
para todo j {1, 2, . . . , k}.Pero, como xnk no es un termino destacado, entonces existira un ndice q N tal que
xnk < xq y nk < q.
24 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
Sea nk+1 el menor de estos ndices q. Entonces, se verifica que
nk < nk+1 y xnk < xnk+1 . (2.22)
Concluimos, entonces, por el principio de induccion matematica aplicado a (2.19), (2.20), (2.21) y
(2.22), que existe una funcion
: N Nk 7 nk
que es estrictamente tal que para todo k N, se verifica
(k) = nk < nk+1 = (k+ 1).
Por lo tanto, la sucesion(x(n)
)nN
es una subsucesion creciente (monotona) de (xn), y al ser
acotada, es convergente.
Supongamos ahora que D es numerable. Como N esta ordenado totalmente, entonces D tambien
lo esta; por lo tanto, podemos escribir D de la manera siguiente:
D = {nk : nk < nk+1, para todo k N}.
Sea k N. Como xnk es un termino destacado, entonces para todo p > nk, se verifica que xk xp ;en particular, nk+1 > nk, entonces se cumple que
xk xnk+1 .
Por lo tanto, si definimos la funcion de N tal que a cada k, (k) = nk, obtenemos tambien una
subsucesion decreciente de (xn), y, por tanto, convergente.Finalmente, supongamos que D es finito. Sea n0 el maximo de D. Eso significa que, para todo
n > n0, n 6 D; es decir, para todo n > n0, xn no es un termino destacado. En particular, el terminoxn1 , con n1 = n0 + 1, no es destacado. Entonces, con el mismo razonamiento utilizado el caso en queD es un conjunto vaco, podemos concluir que existe un ndice n2 (el menor de todos los posibles) tal
que
n1 < n2 y xn1 < xn2 .
Y puesto que n2 > n0, podemos concluir otra vez que existe un ndice n3 (el menor de todos los
posibles) tal que
n2 < n3 y xn2 < xn3 .
Y, una vez, con el mismo procedimiento y razonamiento del caso en que D = , probamos la
existencia de una subsucesion creciente de (xn), y por lo tanto, convergente.
10 Sucesiones de Cauchy. Una sucesion de numeros reales es de Cauchy cuando a partir
de un cierto ndice, todo par de terminos de la sucesion estan tan cerca como se quiera. Va-
mos a probar que este concepto es equivalente al de convergencia. Uno de sus aplicaciones
principales va a ser el de poder demostrar que una sucesion es convergente si conocer su
lmite.
DEFINICION 2.9 (Sucesion de Cauchy). Sea (xn) una sucesion real. Se dice que es de Cauchysi y solo si para todo > 0, existe n0 N tal que para todo n n0 y todom n0, se verificala desigualdad
|xn xm| < .
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 25 de 56
Ejemplos.
La sucesion(1n
)es de Cauchy. En efecto, sean > 0. Debemos encontrar n0 N tal que
para todo m N y n N tales que n n0 y m n0, se verifique la desigualdad 1n 1m < .
Sean m N y n N. La desigualdad 1n 1m 1n + 1m ,
nos sugiere aplicar la arquimediana para encontrar n0. En efecto, existe un n0 tal que
2
< n0.
Entonces, para todo n n0 y todo m n0, vamos a obtener que2
< n y
2
< m,
de donde tendremos que 1n 1m 1n + 1m < 2 + 2 =
para todo n n0 y todo m n0, como se quera.La sucesion ((1)n) no es de Cauchy. En efecto, vamos a encontrar un 0 > 0 tal que
para todo n N, existen dos ndices n0 > n y m0 n tales que
|(1)n0 (1)m0 | 0.
Para encontrar 0, n0 y m0, notemos que, si n es par y m es impar, entonces
|(1)n (1)m| = |1 (1)| = 2.
Entonces, tomemos 0 = 1. Si n N cualquiera, entonces, tomamos n0 como el primernumero par mayor que n y m0 como el primer numero impar mayor que n. En ese caso
tendremos que
|(1)n0 (1)m0 | = 2 > 1 = 0,como se quera.
11 Clase 9 - 16/08/2013
Evaluacion No. 1
1. Sean A un conjunto de numeros reales acotado inferiormente y B A. Demuestre que B tambienesta acotado inferiormente.
Demostracion. Debemos demostrar que existe un numero real M tal que para todo x B, se veri-fica la desigualdad
x M.
26 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
Sea x B. Como B A, entonces x A. Como A esta acotado inferiormente, existe unnumero real M que es cota inferior de A. Entonces
x M,
como se quera.
2. Sean A un conjunto de numeros reales no vaco y acotado superiormente, y < 0. Demuestre que
nf(A) = sup A.
Demostracion. Debemos demostrar que el numero sup A es cota inferior del conjunto A y que
es la mayor de las cotas superiores de este conjunto.
(a) Vamos a demostrar que para todo x A, se verifica la desigualdad
x sup A.
De la definicion de A, tenemos que existe u A tal que x = u. Luego, como sup A es unacota superior de A, tenemos que
u sup A,de donde, como < 0, concluimos que
u sup A,
es decir, concluimos que x sup A, como se quera.(b) Supongamos ahora que es una cota inferior de A. Debemos demostrar que
sup A,
o, como < 0, de manera equivalente, vamos a demostrar que
1 sup A.
Para ello, probemos que el numero 1 es una cota superior de A. Sea x A; entonces
x A;
por lo tanto, como es una cota inferior de A, tenemos que
x ,
de donde, como < 0, tenemos
x 1 sup A,que es lo que queramos demostrar.
3. Sea (xn)nN una sucesion de numeros reales. Escriba la definicion de
lm xn = +.
Ahora suponga que xn > 0 para todo n N y que lm xn = 0. Demuestre que
lm1
xn= +.
Demostracion. La igualdad lm xn = + es equivalente a que para todo M > 0, existe n0 N talque para todo n n0, se verifica la desigualdad
xn > M.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 27 de 56
Ahora supongamos que xn > 0 para todo n N y que lm xn = 0. Vamos a demostrar que
lm1
xn= +.
Para ello, sea M > 0; debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, se verifique ladesigualdad
1
xn> M.
Como M > 0, tenemos que M1 > 0, de donde, aplicando la definicion de convergencia alm xn = 0, tenemos que existe n0 N tal que para todo n n0, se cumple que
|xn 0| = |xn| < M1;
Y, como xn > 0 para todo n N, en particular, tenemos que para todo n n0, se verifica
xn = |xn| < M1,
de donde, para todo n n0, tenemos que1
xn> M,
que es lo que se quera demostrar.
4. Demuestre que una sucesion acotada y decreciente converge.
Demostracion. Vea el teorema 2.6 y su demostracion en la pagina 23.
12 Clase 10 - 19/08/2013. Se presento la solucion de la Evaluacion No. 1; previo a ello, se
hizo un recordatorio de las cuatro reglas de inferencia para la eliminacion e introduccion
de cuantificadores.
TEOREMA 2.9. Toda sucesion convergente es una sucesion de Cauchy.
Demostracion. Sean (xn) una sucesion convergente y L su lmite. Vamos a probar que es una sucesion
de Cauchy. Para ello, sea > 0; debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0 y todo m n0,se verifica la desigualdad
|xn xm| < .Sean m N y n N; entonces
|xn xm| = |(xn L) + (L xm)| |xn L|+ |xm L|;
es decir:
|xn xm| |xn L|+ |xm L| (2.23)para todo m N y todo n N.
Por otro lado, como xn L, por la definicion de convergencia, existe n0 N tal que para todon n0, se verifica la desigualdad
|xn L| < 2. (2.24)
Por lo tanto, si m n0, entonces tambien se cumple la desigualdad (2.24) tambien para m, por lotanto, de (2.23), obtenemos que para todo n n0 y todo m , se verifica
|xn xm| |xn L|+ |xm L| < 2+
2= ,
que es lo que se quera obtener.
28 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
TEOREMA 2.10. Toda sucesion de Cauchy es acotada.
Demostracion. Se deja como ejercicio.
El recproco de este teorema no es verdadero. Por ejemplo, la sucesion((1)1) es
acotada pero no es de Cauchy.
TEOREMA 2.11. Toda sucesion de Cauchy que posee una subsucesion convergente es con-
vergente.
Demostracion. Sean (xn) una sucesion de Cauchy, : N N una funcion estrictamente crecientetal que la subsucesion (x(n)) es convergente. Sea, entonces, L R tal que
x(n) L. (2.25)
Vamos a probar que la sucesion (xn) es convergente. Obviamente, vamos probar que
xn L.
Para ello, sea > 0; debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, se verifica la desigual-dad
|xn L| < .En primer lugar, tenemos que para todo n N, la desigualdad
|xn L| |xn x(n)|+ |x(n) L| (2.26)
es verdadera.
En segundo lugar, como 2 > 0, al aplicar la definicion de sucesion convergente, tenemos que
existe n1 N tal que para todo n n1, es verdadera la desigualdad
|x(n) L| 0. Y si L < 0, entonces existe n0 N tal que para todon n0, se tiene que xn < 0.
Demostracion. Se deduce inmediatamente del teorema 2.13 tomando M = 0.
TEOREMA 2.14 (Monotona del lmite). Supongamos que lm xn = L y lm yn = M. Siexiste n0 N tal que para todo n n0, se tiene que
xn yn,
entonces L M. En particular, si existe n0 N tal que para todo n n0, se cumple quexn M, entonces lm xn M (o si xn M, entonces lm xn M).
Demostracion. En la clase.
Aunque xn < yn para todo n, no se puede concluir que lm xn lm yn, como se puedeconstatar con la sucesion
(1n
), cuyo lmite es 0.
TEOREMA 2.15 (Teorema del Sandwich). Si lm xn = lm yn = L y existe n0 N tal quepara todo n n0, se verifican las desigualdades
xn zn yn,
entonces
lm zn = L.
Demostracion. En la clase.
TEOREMA 2.16. Si lm xn = 0 y (yn) es una sucesion acotada, entonces lm(xnyn) = 0.
30 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
15 Criterios de convergencia
TEOREMA 2.17 (Criterio del cociente). Si xn > 0 para todo n N y
lmxn+1xn
= L (2.29)
y L < 1. Entonces lm xn = 0.
Como aplicacion del criterio del cociente, se prueban las siguientes igualdades, donde
a > 1 y k N:lm
nk
an= 0, lm
an
n!= 0 y lm
n!
nn= 0.
1. Para cada n N, definamosxn =
nk
an.
Entonces
xn+1xn
=
(n+ 1)k
an+1
nk
an
=(n+ 1)k
ank
=1
a
(n+ 1
n
)k
=1
a
(1+
1
n
)k;
es decir:xn+1xn
=1
a
(1+
1
n
)k.
Como lm 1n = 0, entonces
lm
(1+
1
n
)k= 1k = 1.
Entonces
lmxn+1xn
= lm1
a
(1+
1
n
)k=
1
a< 1,
pues a > 1. Por lo tanto, por el criterio del cociente, concluimos que
lmnk
an= 0.
Demostracion del criterio del cociente. En la clase.
16 Clase 12 - 23/08/2013.
1. Mas criterios de convergencia y ejemplos.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01 31 de 56
TEOREMA 2.18. Sea (xn) una sucesion de numeros reales tales que las subsucesiones (x2n)y (x2n1) son convergentes y tienen el mismo lmite L. Entonces la sucesion (xn) converge(a L).
17 Clase 13 - 26/08/2013
1. Lmites al infinito.
18 Clase 14 - 28/08/2013
1. Ejercicios resueltos.
32 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 01
Captulo 3
Series numericas
1 Clase 15 - 30/08/2013
1. Ejemplos.
2. Criterio de comparacion.
3. Condicion necesaria de convergencia.
DEFINICION 3.1 (Serie numerica). Sea (xn) una sucesion real. Para cada n N, se define
sn =n
k=1
xk.
Entonces la pareja de sucesiones (xn) y (sn) se denomina serie de termino general xn, y seutiliza cualesquiera de los siguientes smbolos para representarla:
nN
xn, k1
xn,+
k=1
xn, n
xn, xn.
La sucesion (sn) es denominada sucesion de sumas parciales.
DEFINICION 3.2 (Serie convergente). Una serie xn es convergente si y solo si la sucesion
de sumas parciales (sn) es convergente. Y si sn s, entonces diremos que la serie tienesuma s y escribiremos
xn = s.
Si la sucesion de sumas parciales no converge, diremos que la serie es divergente.
2 Clase 16 - 02/09/2013
1. Criterio de Cauchy para la convergencia.
2. Series absolutamente convergentes.
3. Criterios de convergencia.
33
TEOREMA 3.1 (Criterio de Cauchy). La serie nN xn es convergente si y solo si para todo > 0, existe n0 N tal que para todo p N, se verifica la desigualdad
n+p
k=n+1
xk
< .
Demostracion. En clase.
DEFINICION 3.3 (Convergencia absoluta). Una serie nN xn converge absolutamente siy solo si la serie nN |xn| es convergente.
Vamos a probar mas adelante, que la convergencia absoluta implica la convergencia de
una serie. El recproco no es cierto. En efecto, la serie
n1
(1)n+1 1n
(3.1)
converge, pero no converge absolutamente, pues la serie
n1
(1)n+1 1n =
n1
1
n
diverge.
La demostracion de que la serie (3.1) converge es una consecuencia del siguiente teore-
ma.
TEOREMA 3.2 (Leibniz). Si (an) es una sucesion decreciente que tiende a 0, entonces laserie
n
(1)n+1an
es convergente.
Antes de la demostracion, probemos el siguiente lema.
LEMA 2. Sea (an) una sucesion decreciente que converge a 0. Entonces para todo n N, severifica que an 0.Demostracion del lema. Una primera demostracion, muy sencilla es la siguiente. La conclusion se de-
duce inmediatamente del hecho de que, como la sucesion es decreciente y convergente a 0, tenemos
que
0 = nf{an : n N}.Entonces, para todo n N, se verifica an 0.Demostracion del teorema de Leibniz. Para demostrar que la serie
n(1)n+1xn
converge, debemos demostrar que la sucesion de sumas parciales (sn), definida por Sea
sn =n
k=1
(1)k+1xk,
34 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 10
es convergente. Para ello, vamos a utilizar el teorema 2.18. Es decir, vamos a demostrar que las sub-
sucesiones (s2n) y (s2n1) convergen y lo hacen al mismo lmite.Para demostrar la convergencia de estas dos sucesiones, vamos a demostrar que son monotonas
y acotadas. De manera mas precisa, vamos a probar que:
1. la subsucesion de ndices pares es creciente y acotada superiormente, y
2. la subsucesion de ndices impares es decreciente y acotada inferiormente.
Empecemos demostrando que la sucesion (s2n) es creciente. Para ello, vamos a comparar entre
s los terminos s2n y s2n2. Esto obtenemos facilmente de la definicion recursiva de s2n:
s2n = s2n1 + (1)2n+1x2n=(s2n2 + (1)(2n1)+1x2n1
) x2n
= s2n2 + x2n1 x2n ;
es decir:
s2n s2n2 = x2n1 x2n. (3.2)Como (xn) es decreciente, entonces x2n1 x2n 0, de donde
s2n s2n2 0,
lo que prueba que la subsucesion de ndices pares es creciente. De manera similar se demuestra que
la subsucesion de ndices impares es decreciente.
Ahora vamos a probar que ambas sucesiones son acotadas. Para ello, observemos que, como para
todo n N, se verifica ques2n = s2n1 x2n ,
tenemos que
s2n s2n1 = x2n,de donde, ya que x2n 0 (vease el lema), concluimos que
s2n s2n1 0;
es decir, tenemos que
s2 s2n s2n1 s1.De estas desigualdades se desprende que ambas subsucesiones estan acotadas.
Finalmente, hay que demostrar ambas sucesiones convergen al mismo lmite. Pero esto es inme-
diato de la siguiente igualdad y del hecho de que la sucesion (xn) converge a 0:
s2n = s2n1 x2n ;
as
lm s2n = lm s2n1 lm x2n = lm s2n1,como se afirmo.
TEOREMA 3.3 (Convergencia absoluta implica convergencia). Toda serie que converge ab-
solutamente es convergente.
Demostracion. Supongamos que la serie n xn es convergente absolutamente. Vamos a probar que la
serie converge.
Para ello, se definen para todo n N:
pn =
{an si xn 0,0 si zn < 0
y qn =
{an si xn 0,0 si xn > 0.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 10 35 de 56
Vamos a demostrar que las series n pn y n qn son convergentes y, como
xn = pn qn,
tenemos que
nxn =
n(pn qn)
convergera, y lo hara a n pn n qn.Para cada n N, se tienen las desigualdades:
pn |xn| y qn |xn|.
Por lo tanto, ya que la serie converge absolutamente, se tiene que las serie de termino general |xn|converge absolutamente, de donde se colige que las series de terminos pn y qn convergen.
3 Clase 17 - 04/09/2013
Evaluacion No. 2
1. Demuestre que toda sucesion de Cauchy es acotada.
Solucion. Sea (xn)nN una sucesion de Cauchy. Vamos a demostrar que existen M > 0 y n Ntales que para todo n n, se verifica la desigualdad
|xn| M.
Sean n N y p N. Entonces
|xn| = |(xn xp) + xp| |xn xp|+ |xp|;
es decir, para todo n N y todo p N, se verifica que
|xn| |xn xp|+ |xp|. (3.3)
Ahora bien, como 1 > 0 y la sucesion es de Cauchy, existe n0 N tal que para todo n n0 ytodo m n0, se verifica la desigualdad
|xn xm| 1.
En particular, se verifica, para todo n n0, la desigualdad
|xn xn0 | 1. (3.4)
Por lo tanto, de esta desigualdad y de (3.3), tenemos que
|xn| |xn xn0 |+ |xn0 | < 1+ |xn0 |
para todo n n0. Entonces, si tomamos M = 1+ |xn0 |, tenemos que M > 0 y que
|xn| < M
para todo n n0, como se quera demostrar.2. Si lm xn = L y lm yn = M tales que L < M, demuestre que para n suficientemente
grande se cumple que xn < yn.
Solucion No. 1. Debemos demostrar que existe n0 N tal que para todo n n0, se verifica ladesigualdad
xn < yn.
36 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 10
La demostracion que se presenta a continuacion es, quizas, la mas corta; se aplica la densidad
de los reales y el teorema 2.13.
Sea a R tal que L < a < M. Por el teorema 2.13, ya que lm xn = L y lm yn = M, existenn1 N y n2 N tales que si p n1 y q n2, se verifican las desigualdades
xp < a y yq > a.
Por lo tanto, para todo n n0, con n0 = max{n1, n2}, se tiene que estas dos desigualdades severifican simultaneamente para este n:
xn < a < yn,
que es lo que se quera demostrar.
Solucion No. 2. Esta demostracion es esencialmente la misma que la anterior, solo que, en lugar de
utilizar el teorema 2.13 directamente, se utiliza la tecnica aplicada para probar el teorema mismo.
A continuacion, una version breve.
Igual que en la prueba anterior, sea a R tal que
L < a < M.
Como a L > 0 yM a > 0, existen n1 N y n2 N tales que para todo n n0 = max{n1, n2},se verifican las desigualdades
L (a L) < xn < L+ (a L) y M (M a) < yn < M+ (M a);
es decir, para todo n n0, se verifica que
xn < a < yn,
que es lo que se quera demostrar.
Solucion No. 3. Esta demostracion es la mas complicada. Su valor esta en que ilustra el metodo
de reduccion al absurdo, por un lado, y por otro, la construccion de subsucesiones utilizando el
principio del buen orden y la induccion matematica.
Queremos demostrar que existe n0 N tal que para todo n > n0, se verifica que
xn < yn.
Supongamos lo contrario; es decir, supongamos que para todo p N, existe q N tal queq > p y
xq yq. (3.5)Bajo esta suposicion, utilizando el principio del buen orden, vamos a construir dos subsuce-
siones: (x(n)) y (y(n)) tales quex(n) y(n) (3.6)
para todo n N.Entonces, estas dos subsucesiones convergen a L y a M, respectivamente. Y, por el teore-
ma 2.14, podemos concluir que
L M,lo que contradice la hipotesis de que L < M.
Ahora, construyamos las dos subsucesiones; es decir, construyamos la funcion .
Como 1 N, existe q > 1 tal que la desigualdad (3.6) se verifica para q:
xq yq.
VERSION: 0.10 2013 - AGO - 10 37 de 56
Sea n1 el mas pequeno de estos numeros q; entonces se verifica la desigualdad
xn1 yn1 . (3.7)
Como n1 N, existe q > n1 tal que la desigualdad (3.6) se verifique para este q:
xq yq.
Sea n2 el mas pequeno de estos numeros q; entonces, se verifica
n2 > n1 y xn2 yn2 . (3.8)
Utilizando induccion, podemos afirmar que para todo k N, existen n1 N, n2 N, . . . , nktales que
nj < nj+1 y xnj ynj (3.9)para todo j tal que 1 j k 1; ademas xnk ynk .
Definimos, entonces : N N
k 7 nk.Entonces (x(n)) y y(n) son las sucesiones buscadas.
3. Si lm xn = + y existe > 0 tal que para n suficientemente grande se cumple queyn > , demuestre que lm xnyn = +.
Solucion. Debemos demostrar que para todo M > 0, existe n0 N tal que para todo n n0, severifica la desigualdad
xnyn > M.
Sean M > 0 y n1 N tal que para todo n n1, se verifica la desigualdad
yn > . (3.10)
Entonces, para todo n n1, se tiene que
xnyn > xn. (3.11)
Como lm xn = + y M1
> 0, existe n2 N tal que
xn > M1. (3.12)
Por lo tanto, si tomamos n0 = max{n1, n2}, entonces, para todo n n0 se verificaran, si-multaneamente, las desigualdades (3.11) y (3.12), lo que dara lugar a
xnyn > xn > M1 = M
para todo n n0, como se quera demostrar.4. Suponga que (xn) es una sucesion de Cauchy. Si L y M son los lmites de dos subsuce-
siones de (xn), demuestre que L = M. Sugerencia: demuestre que para todo > 0, severifica |LM| < . Para ello, sume y reste a LM terminos adecuados de la sucesion.Solucion. Sea (xn) una sucesion de Cauchy, y sean : N N y : N N dos funcionesestrictamente crecientes tales que
x(n) L y x(n) M. (3.13)
Vamos a probar que L = M. Para ello, vamos a probar que
|LM| <
38 de 56 VERSION: 0.10 2013 - AGO - 10
para todo > 0.
Sea n N. Entonces
|LM| = |(L x(n)) + (x(n) x(n)) + (x(n) M)| |L x(n)|+ |x(n) x(n)|+ |M x(n)|;
es decir, para todo n N, se verifica la desigualdad
|LM| |L x(n)|+ |x(n) x(n)|+ |M x(n)|. (3.14)
Ahora, sea > 0. Como la sucesion es de Cauchy, entonces existe n1 N tal que para todon n1 y todo m n1, se verifica la desigualdad
|xn xm | < 3. (3.15)
Y de (3.13) podemos asegurar la existencia de n2 N y n3 N tales que para todo p n2y todoq n3, se verifican las desigualdades
|x(p) L| < 3
y |x(q)M| < 3. (3.16)
Tomemos, ahora, n0 = max{n1, n2, n3}. Sea n n0. Entonces (n) n1 y (n) n1,(n) n2 y (n) n3, por lo que se verifican, simultaneamente, las desigualdades (3.15) y (3.16),particularizando p a (n) y q a (n), respectivamente:
|x(n) x(q)| < 3, |x(q) L| <
3y |x(q)M| <
3,
de donde, junto con (3.14), se obtiene que para todo n n0:
|LM| |L x(n)|+ |x(n) x(n)|+ |M x(n)| 0, existe > 0 tal que, para todo x E, la siguiente implicaciones verdadera:
d1(x, a) < = d2( f (x), f (a)) < .La funcion f es continua en A E si es continua en cada uno de los puntos de A.A partir de las siguientes equivalencias logicas:
d1(x, a) < = d2( f (x), f (a)) < x B(a) = f (x) B( f (a)) x B(a) = x f1 (B( f (a))) B(a) f1 (B( f (a))) ,
se deduce la siguiente caracterizacion de la continuidad de una funcion en un punto:
TEOREMA 8.1 (Caracterizacion de la continuidad por vecindades). Sean f : E F y a E. La funcion f es continua en a si y solo si para todo > 0, existe > 0 tal que
B(a) f1 (B( f (a))) .
Ahora vamos a caracterizar la continuidad a traves de sucesiones.
TEOREMA 8.2 (Caracterizacion de la continuidad por sucesiones). Sean f : E F y a E. La funcion f es continua en a si y solo si para toda sucesion (xn) en E tal que xn a,entonces f (xn) f (a).
Demostracion.
1. Supongamos que f es continua en a. Sea (xn) una sucesion en E tal que
xn a. (8.1)
Debemos demostrar que
f (xn) f (a). (8.2)
44
Para ello, sea > 0; debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, se verifica
d2( f (xn), f (a)) < .
Como > 0, de la continuidad de f en a, deducimos que existe > 0 tal que la siguiente
implicacion es verdadera para todo x E:
d1(x, a) < d2( f (x), f (a)) < . (8.3)
Ahora, apliquemos la definicion de convergencia a (8.1) y a > 0; obtenemos que existe n0 N tal que
d1(xn, a) < . (8.4)
Como para todo n N, se tiene que xn A, en particular, para todo n n0, tambien se tieneque xn A. Luego, la implicacion (8.3) es tambien verdadera para xn con n n0:
d1(xn , a) < d2( f (xn), f (a)) < . (8.5)
Entonces, de (8.5) y (8.4), obtenemos que
d2( f (xn), f (a)) <
para todo n n0, lo que prueba (8.2), como se quera.2. Ahora supongamos que para toda sucesion (xn) en E tal que
xn a, (8.6)
entonces
f (xn) f (a). (8.7)Debemos demostrar que f es continua en a.
Razonemos por reduccion al absurdo. Supongamos, entonces, que f no es continua en a. Lue-
go, podemos asegurar que existe 0 > 0 tal que para todo > 0, existe x0 E tal que
d1(x0, a) < y d2( f (x0), f (a)) 0. (8.8)
Sea n N tal que n 6= 0. Luego 1n > 0, entonces, existe yn E tal que se verifican lasdesigualdades (8.8) para igual a 1n y x0 igual a yn:
d1(yn, a) 0,entonces existe > 0 tal que f (x) > 0 para todo x (x0 , x0 + ).
Demostracion. La idea de la demostracion es aplicar la definicion de continuidad con un adecuado.
Para ver cual es ese , supongamos que > 0; entonces, como f es continua en x0, existe > 0 tal
que para todo x [a, b], se verifica la implicacion
|x x0| < | f (x) f (x0)| < .
El consecuente de esta implicacion se puede reescribir de la manera siguiente:
|x x0| < f (x0) < f (x) < f (x0) + ,
y es verdadero para todo x [a, b]1.Como buscamos que f sea mayor que 0 en un entorno de x0, ponemos nuestra atencion a la
desigualdad de la izquierda en el consecuente. De esta desigualdad, podemos ver que, si tomamos
< f (x0), lograremos lo buscado. Por ejemplo, si tomamos = f (x0)/2, entonces, para todo x (x0 , x0 + ), se verifica
f (x0)
2= f (x0) f (x0)
2< f (x),
y, como f (x0) > 0, se tiene que f (x) > 0 para todo los x del intervalo centrado en x0 y radio .
A continuacion, veamos una aplicacion de este resultado a integrales.
TEOREMA 8.4. Supongamos que f : [a, b] R es una funcion continua tal que f (x) 0para todo x [a, b]. Si b
af (t)dt = 0,
entonces f (x) = 0 para todo x [a, b].
Demostracion. Razonemos por reduccion al absurdo. Supongamos que existe x0 [a, b] tal que f (x0) 6=0. Supongamos, sin perdida de generalidad, que f (x0) > 0 y que x0 (a, b). Si x0 es uno de los ex-tremos del intervalo, el razonamiento es similar, y se deja como ejercicio.
Por el teorema 8.3, existe > 0 tal que (x0 , x0 + ) [a, b] y tal que f (x) > 0 para todox (x0 , x0 + ). Por lo tanto: x0+
x0f (t)dt > 0,
de donde
0 = ba
f (t)dt x0+x0
f (t)dt > 0,
lo que es una contradiccion.
1Podemos asumir, sin perdida de generalidad que el intervalo (x0 , x0 + ) esta contenido totalmente en elintervalo [a, b].
46 de 56 VERSION: 0.10 ?
A su vez, este teorema nos permite demostrar que la funcion
dp : C[a, b] C[a, b] R
(x, y) 7( b
a|x(t) y(t)|pdt
) 1p
satisface la propiedad
d(x, y) = 0 si y solo si x = y,
que junto con las propiedades simetrica y desigualdad transitiva, hace de dp una metrica
sobre el espacio de todas las funciones reales continuas definidas en el intervalo [a, b].
2.1 Ejemplo. Vamos a determinar todas las funciones f : R R que son continuas en 0y que satisfacen la igualdad
f (x+ y) = f (x) + f (y) (8.11)
para todo x R y todo y R.Vamos a determinar f , primero, en N, luego en Z, luego en Q, y luego, por la continui-
dad, en R.
1. En primer lugar, tenemos que f (0) = 0; en efecto, por (8.11), tenemos que
f (0) = f (0+ 0) = f (0) + f (0) = 2 f (0);
es decir:
f (0) = 2 f (0),
de donde, si f (0) 6= 0, tendramos que 1 = 2, lo que es imposible. Entonces, f (0) = 0.2. En segundo lugar, para todo numero natural n, f (n) se expresa en funcion de f (1). En
efecto:
f (2) = f (1+ 1) = f (1) + f (1) = 2 f (1);
es decir, f (2) = 2 f (1).Para n = 3:
f (3) = f (2+ 1) = f (2) + f (1) = 2 f (1) + f (1) = 3 f (1).
Si, suponemos que f (k) = k f (1) para todo k N, entonces
f (k+ 1) = f (k) + f (1) = k f (1) + f (1) = (k+ 1) f (1),
lo que, por induccion, muestra que
f (n) = n f (1)
para todo n N.3. Ahora vamos a probar que f (n) = (n) f (1) para todo n N. En efecto, si n N,
tenemos que
0 = f (0) = f (n+ (n)) = f (n) + f (n).Entonces
f (n) = f (n) = (n f (1)) = (n) f (1),
VERSION: 0.10 ? 47 de 56
como queramos.
4. De los dos ultimos puntos, deducimos que para todo p Z, se tiene que
f (p) = p f (1).
En efecto, si p Z, entonces o bien p N o bien p = q con q N. En cualquiercaso, tenemos que f (p) = p f (1).
5. Sean n N y x R. Entonces, por induccion podemos demostrar facilmente que
f (nx) = n f (x).
Luego, se deduce que si n N tal que n 6= 0, entonces
f (1) = f
(n1
n
)= n f
(1
n
),
de donde obtenemos que
f
(1
n
)=
f (1)
n=
1
nf (1).
6. De la ultima igualdad, tenemos que si q Q, entonces existen m y n dos enteros, primosentre s, con n 6= 0 tales que
q =m
n.
Entonces
f (q) = f(mn
)= f
(1
nm
)
=1
nf (m)
=1
nm f (1)
=m
nf (1)
= q f (1),
de donde
f (q) = q f (1)
para todo q Q.7. Probemos que para todo x R, se verifica la igualdad
f (x) = f (x).
Esta igualdad se obtiene facilmente de
0 = f (0) = f (x+ (x)) = f (x) + f (x).
8. Probemos que f es continua en R; es decir, es continua en todo a R a partir de sucontinuidad en 0 y de la igualdad (8.11).
48 de 56 VERSION: 0.10 ?
Sea a R tal que a 6= 0 (por hipotesis, f es continua en 0). Vamos a demostrar que fes continua en a.
Sea > 0. Debemos encontrar > 0 tal que para todo x R se verifica la siguienteimplicacion:
|x a| < | f (x) f (a)| < .Sea x R. Por un lado, tenemos que
| f (x) f (a)| = | f (x) + ( f (a))|= | f (x) + f (a)|= | f (x+ (a))|= | f (x a)|;
es decir, para todo x R, se verifica que
| f (x) f (a)| = | f (x a)|. (8.12)
Por otro lado, como f es continua en 0 y > 0, existe > 0 tal que para todo u R,se verifica la implicacion
|u| < | f (u)| < . (8.13)Entonces, si tomamos x R tal que |x a| < , por (8.13), concluimos que
| f (x a)| < ,
es decir, gracias a (8.12), tenemos que
| f (x) f (a)| < ,
lo que prueba que f es continua en a.
9. Para terminar, vamos a calcular f (x) para todo x R. Para ello, sea x R. Existe,entonces, una sucesion (qn) en Q tal que
qn x. (8.14)
Ahora bien, como f es continua en R, entonces, de (8.14), concluimos que
f (qn) f (x). (8.15)
Ahora bien, como qn Q para todo n N, entonces
f (qn) = qn f (1),
de donde, por (8.14), se tiene que
f (qn) x f (1),
y, por (8.15) y la unicidad del lmite, concluimos que
f (x) = x f (1).
VERSION: 0.10 ? 49 de 56
Es decir, si = f (1), entonces, para todo x R, se tiene que
f (x) = x.
3 Clase ? - 18/10/2013.Clase:
1. Caracterizacion de continuidad con abiertos.
2. Caracterizacion de continuidad con cerrados.
3. K = xnUa es compacto.
Ejercicio realizado: Si A es compacto, existe x0 tal que d(x, x0) = d(x, A).
4 Clase ? - 21/10/2013.
1. Repaso de continuidad.
2. Ejercicios propuestos: las funciones distancias son continuas. Uno hecho en clase, de
la distancia. Se aprovecho para reforzar el metodo para demostrar que una funcion es
continua, en lo que concierne a la eleccion del delta a partir del epsilon dado; tambien
se reforzaron dos desigualdades de las metricas elementales.
3. Continuidad uniforme: vision general de los resultados principales. Definicion y ejem-
plos sin demostrar; enunciado de los principales teoremas (2) y aplicacion de los teo-
remas a casos concretos: x2, 1x . Como ejercicio se pidiox.
5 Clase ? - 23/10/2013.
Evaluacion No. 4
1. Escriba las definiciones de los siguientes conceptos:
(a) Conjunto abierto: Un conjunto A R es abierto si para todo x A, existe r > 0tal que (x r, x+ r) A.
(b) Conjunto compacto: Un conjunto A R es compacto si es cerrado y acotado.(c) Punto de acumulacion: Sean A R y x R. El punto x es punto de acumulacion
del conjunto A si para todo > 0, existe y A tal que y 6= x y y (x , x+ ).(d) Distancia de un punto a un conjunto.
2. Enuncie las caracterizaciones siguientes.
(a) Conjunto cerrado a traves de sucesiones.
(b) Adherencia de un conjunto a traves sucesiones.
(c) Adherencia de un conjunto a traves de distancias (epsilon).
(d) Compacidad a traves de sucesiones.
3. Demuestre que si A B, entonces int A int B.4. Demuestre que todo subconjunto cerrado de un conjunto compacto tambien es compac-
to.
5. Sea A un conjunto de numeros reales que satisface la siguiente propiedad: si (xn) es unasucesion de numeros reales que converge al punto a A, entonces xn A para todo nsuficientemente grande.
Demuestre que el conjunto A es abierto.
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6 Clase ? - 01/11/2013.
TEOREMA 8.5. Sean E un espaciometrico, F un espaciometrico completo, A E y f : E F una funcion continua uniformemente. Entonces existe una extension de f a A, nombrada
con f , que es continua uniformemente.
Para simplificar la notacion, utilizaremos d tanto para indicar la metrica de E como la
de F, que, en general, son diferentes.
Demostracion. La funcion buscada f debe ser igual a f en A. La pregunta es, entonces, como definir
f cuando x A A? En realidad, vamos a ver que la definicion en la adherencia de A va a ser lamisma que en A.
En efecto, sea x A. Entonces existe una sucesion (xn) en A tal que
xn x. (8.16)
La idea es utilizar la sucesion ( f (xn)) para definir f (x). Para ello, debemos asegurarnos de lo siguien-
te:
1. La sucesion ( f (xn)) es convergente.
2. El lmite de la sucesion ( f (xn)) depende de x y no depende de la sucesion (xn). Es decir, si(un) y (vn) son dos sucesiones en E tales que
un x y vn x,
vamos a demostrar que lm f (un) = lm f (vn).
Asegurado esto, podemos definir
f (x) = lm f (xn)
para todo x A, pues as a cada x A, le corresponde un unico f (x) (que solo depende de x y no dela sucesion que converge a x).
Con esta definicion tambien nos aseguramos que f es una extension de f a A. En efecto, probemos
que para todo x A, se tiene que f (x) = f (x).Sea x A. Entonces xn x con xn = x para todo n N. Luego
f (x) = lm f (xn) = lm f (x) = f (x).
Probemos, entonces, las dos condiciones que se requieren para asegurar la definicion de f .
1. Sea x A y sea (xn) una sucesion en A tal que xn x. La sucesion ( f (xn)) es convergente en F.En efecto, vamos a demostrar que esta sucesion es de Cauchy, de donde, como F es un espacio
completo, la sucesion es convergente.
Sea > 0. Debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0 y todo m n0, se verifica ladesigualdad
d( f (xn), f (xm)) < .
Como f es continua uniformemente y > 0, por la definicion de funcion continua uniforme-
mente, existe > 0 tal que para todo u E y todo v E, se verifica la implicacion
d(u, v) < d( f (u), f (v)) < .
En particular, esta implicacion es verdadera para xn y xm para todo n N y todo m N, ya quexn E y xn E:
d(xn, xm) < d( f (xn), f (xm)) < . (8.17)Por otro lado, ya que xn x, (xn) es tambien una sucesion de Cauchy; entonces, como > 0,
por la definicion de sucesion de Cauchy, existe n0 N tal que para todo n n0 y todo m n0, severifica la desigualdad
d(xn , xm) < . (8.18)
VERSION: 0.10 ? 51 de 56
Luego, para todo n n0 y todo m n0, por la aplicacion de modus ponens a (8.17) y (8.18),tenemos que
d( f (xn), f (xm)) < ,
como se quera demostrar.
En resumen, la sucesion ( f (xn)) es de Cauchy y, como F es completo, es tambien convergente.
2. Ahora supongamos que (un) y (vn) son dos sucesiones en E tales que
un x (8.19)
y
vn x. (8.20)Entonces, por el punto anterior, las sucesiones ( f (un)) y ( f (vn)) son convergentes. Vamos a probarque sus lmites son iguales; es decir, vamos a demostrar que
lm f (un) = lm f (vn).
Para ello, vamos a probar que estas dos sucesiones son subsucesiones de una sucesion conver-
gente, razon por la cual deben tener el mismo lmite que dicha sucesion.
Definamos la sucesion (wn) de la manera siguiente:
wn =
{un si n = 2k,
vn si n = 2k 1.(8.21)
Es decir, tenemos que:
(wn) = (w1, w2, w3, w4, w5, w6, . . .) = (v1, u1, v2, u2, v3, u3, . . .).
Demostremos que wn x. Entonces, por el punto anterior, sabremos que ( f (wn)) es convergente.Y, como (un) y (vn) son subsucesiones de (wn), entonces ( f (un)) y ( f (vn)) son subsucesiones de
( f (wn)), razon por la cual, las sucesiones ( f (un)) y ( f (vn)) convergen al mismo lmite; es decir:
lm f (un) = lm f (vn).
Probemos, entonces, que wn x.Para ello, sea > 0. Debemos encontrar n0 N tal que para todo n n0, se verifique la
desigualdad
d(wn, x) < .
En primer lugar, sea n N. Entonces
wn =
{d(uk, x) si n = 2k,
d(vk, x) si n = 2k 1.(8.22)
Ahora bien, como > 0, de (8.19), de (8.20) y de la definicion de convergencia, existen n1 Ny n2 N tales que para todo k n1, se verifica la desigualdad
d(uk, x) < , (8.23)
y para todo k n2, se verifica la desigualdad
d(vk, x) < . (8.24)
Para la eleccion de n0, observemos que si k n1, entonces 2k 2n1, es decir, n 2n1, donden = 2k. De manera similar, si k n2, entonces 2k 1 2n1 1, es decir, n 2n1 1, donden = 2k 1.
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Sea n0 = max{2n1, 2n2 1}. As, si tomamos n n0, tenemos que
n 2n1 y n 2n2 1.
Por lo tanto, si n = 2k para algun k, entonces k n1, y se verifica la desigualdad (8.23). Encambio, si n = 2k 1 para algun k, se tiene k n2, de donde se obtiene la desigualdad (8.24). Enresumen, tenemos que para este n, se tiene, por (8.22), que
d(wn, x) =
{d(uk, x) < si n = 2k,
d(vk , x) < si n = 2k 1.
En otras palabras, tenemos que si n n0, se verifica
d(xn , x) < ,
como se quera.
Por ultimo, probemos que f es continua uniformemente. Para ello, supongamos que > 0. De-
bemos encontrar > 0 tal que para todo x A y todo y A, se verifica la implicacion
d(x, y) < d( f (x), f (y)) < .
Sean x A y y A. Luego, existen sucesiones (xn) y (yn) en A tales que
xn x y yn y.
Por lo tanto, por el lmite de una sucesion en el espacio producto y por la continuidad de la funcion
distancia d, tenemos:
d( f (x), f (y)) = d(lm f (xn), lm f (yn))
= d(lm( f (xn), f (yn)))
= lm d( f (xn), f (yn)).
Es decir, tenemos que
d( f (x), f (y)) = lm d( f (xn), f (yn)). (8.25)
Por otro lado, como f es continua uniformemente y 2 > 0, por la definicion de continuidad
uniforme, sabemos que existe > 0 tal que para todo u A y todo v A, se verifica la implicacion
d(u, v) < d( f (u), f (v)) < 2. (8.26)
En particular, como para todo n N, se tiene que xn A y yn A, la implicacion (8.26) es verdaderapara xn y yn:
d(xn, yn) < d( f (xn), f (yn)) < 2
(8.27)
para todo n N.Ahora tomemos x A y y A tal que
d(x, y) <
(el obtenido por la continuidad uniforme de f y ). Entonces
d(x, y) = d(lm xn, lm yn)
= d(lm(xn , yn))
= lm d(xn, yn) < ;
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es decir, tenemos que
lm d(xn , yn) < ,
desigualdad que, por el teorema 2.13 en la pagina 30, podemos concluir que existe n0 N tal quepara todo n n0:
d(xn, yn) < . (8.28)
Por lo tanto, por modus ponens aplicado a (8.27) y a (8.28), obtenemos que, para todo n n0, que lasiguiente desigualdad es verdadera:
d( f (xn), f (yn)) 0, existe > 0 tal que para todo x E y todo y E, se verifica lasiguiente implicacion:
d1(x, a) < d2( f (x), f (a)) < .Una funcion es continua en E si y solo si es continua en cada punto de E.
A continuacion, van las caracterizaciones.
(a) f es continua en a si y solo para todo > 0, existe > 0 tal que
B(a) f1(B( f (a))).
(b) f es continua en a si y solo para toda sucesion (xn) en E tal que xn a, se verifica que( f (xn)) f (a).
(c) f es continua en E si y solo para todo abierto A de F, el conjunto f1(A) es un abierto de E.
(d) f es continua en E si y solo para todo cerrado A de F, el conjunto f1(A) es un cerrado deE.
2. Sean E1 y E2 dos espacios metricos, A1 E1, A2 E2. Demuestre que la adherenciadel producto cartesiano de A1 y A2 es igual al producto cartesianos de las respectivas
adherencias, considerando la metrica d en el espacio producto E1 E2.Demostracion. Debemos demostrar que
A1 A2 = A1 A2.
En realidad, esta igualdad se verifica para todas las metricas definidas sobre E1 E2. Y se obtienea traves de las siguientes equivalencias:
(x, y) A1 A2 Existe (xn , yn) en A1 A2 tal que (xn, yn) (x, y)
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Existen (xn) en A1 y (yn) en A2 tales que (xn, yn) (x, y) Existen (xn) en A1 y (yn) en A2 tales que xn x y yn y (Existe (xn) en A1 tal que xn x) y ( Existe (yn) en A2 tal que yn y) x A1 y y A2 (x, y) A1 A2.
Notese que la demostracion utiliza la caracterizacion de la convergencia de sucesiones en un es-
pacio producto.
3. Demuestre que f : E F es continua si y solo si para todo A F, se verifica lasiguiente inclusion
f1(A) f1(A).Demostracion. Supongamos, en primer lugar, que f es continua en E. Sea A F. Vamos a demos-trar que la siguiente inclusion es verdadera:
f1(A) f1(A). (8.29)
Puesto que A A, tenemos que
f1(A) f1(A). (8.30)
Como A es un conjunto cerrado y f es continua, entonces el conjunto f1(A) tambien es unconjunto cerrado. Por lo tanto, de (8.30) obtenemos que
f1(A) f1(A),
ya que f1(A) = f1(A).Ahora supongamos que para todo A de F se verifica la inclusion (8.29). Vamos a probar que f
es continua.
Para ello, sea B F, un conjunto cerrado. Probaremos que f1(B) es tambien un conjuntocerrado. Para ello, vamos a demostrar que
f1(B) = f1(B).
Como f1(B) f1(B), es suficiente demostrar que
f1(B) f1(B).
Ahora bien, esta inclusion se obtiene facilmente de la inclusion (8.29), si tomamos, en lugar de
A, el conjunto B. En efecto: tenemos que la inclusion (8.29) aplicada a B nos da:
f1(B) f1(B) = f1(B),
ya que B = B, pues B es un conjunto cerrado.
4. Sean E un espacio metrico, f : E R y g : E R dos funciones continuas. Demues-tre que el conjunto
X = {x E : f (x) = g(x)}es un conjunto cerrado.
Demostracion. Sea (xn) una sucesion en X tal que xn x. Vamos a demostrar que x X; es decir,vamos a probar que f (x) = g(x).
Sea n N; entonces xn X; por lo tanto:
f (xn) = g(xn).
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Como f es continua, entonces f (xn) f (x) y como g es continua, g(xn) g(x). Por lo tanto:
f (x) = lm f (xn) = lm g(xn) = g(x),
como se quera probar.
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Nmeros RealesredClase 1 - 2013/07/29Los nmeros reales. Axiomas de cuerpo. Axiomas de orden. El axioma del supremo. Un par de ejemplos.
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Series numricasred Clase 15 - 30/08/2013red Clase 16 - 02/09/2013red Clase 17 - 04/09/2013red Clase 18 - 06/09/2013
Abiertos en RConjuntos compactosEspacios mtricosEspacios ProductoContinuidadred Clase ? - 16/10/2013. red Clase ? - 17/10/2013. red Ejemplo.
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