0. Matriz de dispersión La descripción de una guía de microondas a partir de las matrices de impedancia y admitancia es formalmente acertada, pero experimentalmente resulta complicado medir tensiones y corrientes en frecuencias de microondas. Uno no puede simplemente conectar un voltímetro o sonda de corriente y obtener medidas precisas debido a la impedancia de la sonda y a la dificultad de situarla en la posición deseada. Además, los dispositivos activos pueden oscilar o incluso destruirse con la conexión de cortocircuitos o circuitos abiertos. A frecuencias de microondas resulta habitual disponer de sondas de campo para la medida de magnitudes de naturaleza ondulatoria que viajan en una dirección dada, o dispositivos capaces de separar eficientemente ondas incidentes y reflejadas (acopladores direccionales).Tal es el caso del analizador vectorial de redes. Figura : Diagrama de bloques de un analizador vectorial de redes.
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0. Matriz de dispersión
La descripción de una guía de microondas a partir de las matrices de impedancia y admitancia es formalmente acertada, pero experimentalmente resulta complicado medir tensiones y corrientes en frecuencias de microondas.
Uno no puede simplemente conectar un voltímetro o sonda de corriente y obtener medidas precisas debido a la impedancia de la sonda y a la dificultad de situarla en la posición deseada. Además, los dispositivos activos pueden oscilar o incluso destruirse con la conexión de cortocircuitos o circuitos abiertos.
A frecuencias de microondas resulta habitual disponer de sondas de campo para la medida de magnitudes de naturaleza ondulatoria que viajan en una dirección dada, o dispositivos capaces de separar eficientemente ondas incidentes y reflejadas (acopladores direccionales).Tal es el caso del analizador vectorial de redes.
Figura : Diagrama de bloques de un analizador vectorial de redes.
Así es como la matriz dispersión se desarrolló, ya que tiene muchas ventajas respecto a las matrices de impedancia o admitancia:
– Hacen referencia a medidas como ganancia, pérdidas y coeficiente de reflexión.– La medida de los parámetros S no requiere la introducción de indeseables cargas en el
DUT. Además la medida de múltiples dispositivos se puede disponer en cascada y obtener la respuesta global del sistema.
– Si se desea, los parámetros Y y Z se pueden obtener a partir de la matriz de dispersión.
La matriz de dispersión, también llamada de parámetros S o de scattering, proporciona una descripción global de la guía de microondas en términos de incidencias, transmisiones y reflexiones.
Snn es el coeficiente de reflexión visto en el puerto n cuando todos los demás puertos están adaptados. Smn es el coeficiente de transmisión del puerto n al m cuando los demás están adaptados.
1. Caracterización de dispositivos
1.1 Filtro 1:
1.1.1 Conceptos:
• Revisión de la carta de Smith
La Carta de Smith es una ayuda gráfica que permite representar coeficientes de reflexión, impedancias y coeficientes de onda estacionaria sobre un conjunto de curvas normalizadas. Partiendo del coeficiente de reflexión ρ, la impedancia normalizada con respecto a la impedancia característica, viene dada por la expresión:
Desarrollando Z y ρ en sus partes real e imaginaria: Z = r + jx , ρ = u + jv y separando partes real e imaginaria se puede deducir que el lugar geométrico de los puntos del plano complejo ρ = u + jv asociado al coeficiente de reflexión que da lugar a una determinada resistencia, r, es una circunferencia. Igualmente, el lugar geométrico de los puntos del plano complejo asociado al coeficiente de reflexión que da lugar a determinada reactancia, x, es otra circunferencia. La carta de Smith no es más que la representación de todas estas circunferencias en el plano u, v del coeficiente de reflexión.Para una impedancia de entrada concreta, el coeficiente de reflexión viene determinado por la intersección de ambas circubferencias.
La carta de Smith simplifica, a su vez, los desplazamientos a lo largo de una línea de transmisión. Si se trata, por ejemplo, de obtener la impedancia a la entrada, a partir de la de carga, si se conoce la longitud de la línea:
El anazlizador vectorial de redes HP nos proporciona una medida de reflexión sobre la carta de Smith como la que aparece en la figura, en ella nos indica los valores real e imaginario de la impedancia así como la inducatancia o capacidad equivalente a esa reactancia a la frecuencia en cuestión.
• Adaptación de impedancias mediante líneas de transmisión
En el caso de una línea sin pérdidas, la curva que se describe en la carta al desplazarse por la línea según la expresión anterior se corresponde con una circunferencia cuyo centro coincide con el de la carta de Smith y cuyo radio es el módulo del coeficiente de reflexión.
Z = r + jx L o C equivalente
• Adición de un stub en serie o en paralelo
Teniendo en cuenta que la impedancia a la entrada de una línea sin pérdidas terminada en circuito abierto o cortocircuito es:
cortocircuito : Z instub = jZ_0 tan(β d ) circuito abierto : Z instub = − jZ_0 cot(β d )
Los movimientos sobre la carga se realizan sobre circunferencias de parte real de impedancia o admitancia constante.
• SWR – Coeficiente de onda estacionaria.Es una medida de la energía enviada por el transmisor que es reflejada por el sistema de
transmisión y vuelve al transmisor.Un ROE muy alto puede dañar al transmisor. Se considera que un ROE máximo de 1,5 es un límite de seguridad aceptable para transmisores modernos.
• Diseño de filtros mediante pérdidas de inserción
Se definen las pérdidas de inserción de un filtro como:
ρ(ω) es una función par, de manera que puede expresarse como:
y por lo tanto
de manera que el diseño de filtros se realiza implementado una respuesta para las pérdidas por retorno en función de la frecuencia que satisfaga los requerimientos de diseño.
1.1.2 Análisis del filtro rechazo de banda.Al aplicar estos conceptos al diseño de filtros, podemos conseguir implementar filtros que
produzcan una reflexión total a determinadas frecuencias gracias a una linea de transmisión terminada en circuito abierto.
Si conseguimos que en el inicio de la T la impedancia de entrada del stub sea nula, el coeficiente de reflexión será 1 y toda la potencia incidente se reflejará. Para ello y teniendo en cuenta que el stub está terminado a circuito abierto, si la longitud de la linea es tal que a una determinada frecuencia f_1 con longitud de onda λ_1,
β d = 2ᴨ/ λ_1 * d = (m+1)ᴨ/2
Z instub se anula. Ésto sucede para una distancia d múltiplo impar de λ_1/4
• Respuesta del filtro en transmisión
De la posición de los marker se deduce que a la frecuencia de 700 Mhz la longitud de la linea es un múltiplo impar de λ/4. A 700 Mhz le corresponde una longitud de onda de 428 mm si el medio es el vacío,por lo que la línea debería medir 107 mm aprox. Para el sustrato FR4 ε_r= 4.4 por lo que c = sqrt(µ/ε) = c/sqrt( ε_r) y la longitud sería 51 mm.
• Respuesta del filtro en reflexión
Respuesta logarítmica
SWRComo se puede apreciar en la figura y gracias a los valores obtenidos del analizador vectorial, si consideramos como criterio para el ancho de banda pasante un SWR < 2, nuestro filtro tiene para la banda inferior un ancho de banda aproximado de 266 Mhz
Como podemos observar, la parte imaginaria de la impedancia es bastante alta para las tres posiciones de los cursores, lo que nos viene a confirmar lo ya visto anteriormente con los valores obtenidos para el SWR: éste filtro no posee una buena adaptación en la banda de paso.Sin embargo para las posiciones 2 y 3 el valor real de la impedancia está bastante próximo a los 50 Ohm, por lo que no sería complicado adaptar la entrada por medio de componentes discretos o un stub.
1.2 Análisis de filtro 2 – Filtro Paso Bajo
1.2.1 Conceptos – Diseño de filtros de microondas
El diseño de filtros comprende las siguientes etapas: Establecimiento de especificaciones.
Diseño de un prototipo paso de baja. Escalado y conversión. Realización.
Prototipo paso de baja
Para evitar las pérdidas se utilizan elementos de circuito que presenten impedancias reactivas puras, de parámetros concentrados (L o C). Se acostumbra a utilizar una topología en forma de escalera LC doblemente enlazada, como se indica en la siguiente figura.
Los valores de las inmitancias gk están tabulados para diferentes tipos de respuesta., máximamente plana, igual rizado, etc.
Posteriormente se realiza el escalado, si las impedancias y frecuencias están normalizadas:
Si se desea implementar uin filtro paso alto, paso banda o rechazo de banda será necesario aplicar las transformaciones correspondientes vistas en Análisis y síntesis de circuitos y que no recordaremos aquí puesto que el filtro en cuestión es un filtro paso bajo.
Realización de filtros paso bajo de microondas
Filtros de impedancia escalonada Se puede demostrar que una línea de transmisión eléctricamente corta (θ < π/4) se comporta como una inductancia serie o como una capacidad en paralelo, siempre que la impedancia característica de la línea sea, respectivamente, muy grande o muy pequeña.
Los parámetros Z de una línea son
Esta matriz se puede representar mediante el circuito equivalente de la figura.Cuando la longitud eléctrica es pequeña ( θ = β < π 4 ) puede aproximarse:
Si se escoge Z_0 = Z máx el valor máximo de la impedancia característica, por ejemplo, la línea más estrecha que se pueda realizar (tecnología microstrip), entonces:
La línea equivale a una inductancia serie.
Si se escoge, por el contrario, Z_0 = Z mín el valor mínimo de la impedancia característica, por ejemplo, la línea más ancha que se pueda realizar (tecnología microstrip), entonces:
La línea equivale a una capacidad paralelo.
De esta manera, se pueden sintetizar fácilmente filtros de microondas a partir de escaleras LC, sustituyendo las inductancias serie por segmentos de línea de transmisión con Z 0 = Z máx , y los condensadores paralelo por líneas de transmisión con Z 0 = Z mín .
Las longitudes de las líneas deben ser tales que, evaluadas a la frecuencia de corte, satisfagan las siguientes identidades:
Transformada de RichardPermite la sustitución de inductancias y condensadores por stubs en
cortocircuito o circuito abierto, estructuras adecuadas para la realizaciónde filtros de microondas.
Supongamos la transformación
que convierte el plano ω en plano Ω, con una periodicidad de
Si en lugar de trabajar con la frecuencia ω, lo hacemos con Ω, tenemos:Para una inductancia:
de modo que se puede reemplazar por un stub terminado encortocircuito, que tenga L por impedancia característica.
Para un condensador:
que es equivalente a un stub , terminado en circuito abierto, con impedancia característica 1/ C .
Suponiendo que se trabaja con un prototipo paso de baja, con frecuencia escalada a la unidad, para que la transformación de Richard conduzca al mismo prototipo, se debe verificar:
En otras palabras, todos los stubs deben tener la misma longitud, quedebe ser λ/8 a ω = ω_c.
Identidades de Kuroda
Utilizan líneas de transmisión redundantes para que el filtro que resulta de aplicar la transformada de Richard sea más cómodo de realizar, permitiendo las siguientes operaciones:
• Separar físicamente stubs que están conectados en el mismo punto.• Transformar stubs serie por stubs paralelo.• Cambiar a impedancias características con valores más prácticos.
Las líneas de transmisión redundantes se llaman elementos unitarios, y miden 8 λ a =ω ω_c.
1.2.2 Ejemplo. Síntesis de filtro paso bajo mediante esta técnica:
Sustituimos los elementos por lineas de transmisión de impedancia característica Z0=L o Z0 = 1/ C.
Añadimos lineas de transmisión redundantes al filtro aplicando las identidades de Kuroda. Dando como reultado la figura
Al inicio del filtro Z2=1 Z1=1 , n^2=2 lo que convierte Z2=2 Z1=2. Se obtiene el mismo valor para las impedancias características de las lineas de la parte final del filtro.
1.2.3 Caracterización del filtro paso bajo
Respuesta en transmisión
Se observa una respuesta en transmisión semejante a la de un filtro con dos ceros, a f= 735 Mhz y a f = 1041 Mhz; y un polo doble a f = 1200 Mhz aproximadamente.
Se observa un gran ancho de banda ( rango de frecuencias con SWR pequeño y reactancia pequeña, en el que el coeficiente de reflexión está próximo al centro de la carta de Smith).
1.3 Anillo híbrido 180 deg.
Es un acoplador que puede ser alimentado por dos puertos: 1 ó 4.Si se alimenta por el puerto 1, los puertos 2 y 3 están en fase entre sí, con un desfase
respecto a la fuente de -180 grados. El puerto 4 queda aislado.Si se alimenta por el puerto 4 las salidas 2 y tres tienen un desfase de 180 grados y el
puerto 1 queda aislado.
Alimentaremos el acoplador por el puerto 4.
Comprobamos los niveles de transmisión y reflexión a l pujerto 2:
El acoplador funcionará para una frecuencia de 790 Mhz con unas pérdidas de retorno de 1.6 dB.
S11 debería ser prácticamente nulo, la medición muestra un valor de -10 db que se corresponde con S11= 0,1
El desfase respecto a la entrada
Existe un desfase respecto a la entrada de -58 grados a la frecuencia de trabajo.
Teóricamente deberíamos obterner un valor cercano a-90 grados.
En el puerto 3
Las pérdidas de retorno son de 5.5 dB.
Y el desfase respecto al puerto 4A la frecuencia de 791 Mhz existe un desfase de 122 grados.
Teóricamente deberíamos obtener un desfase de 90 grados.
El desfase entre los puertos 2 y 3 = 122 - (-58) = 180 grados que coincide con el valor teórico.
Documentación utilizada:
Capítulos 1 y 2 de los apuntes de la asignatura de Microondas.
Capítullos 3 y 4 de los apuntes de la asignatura de Transmisión por soporte físico.
