AN`LISIS MATEM`TICO I, 2015 TRABAJO PR`CTICO 0 Estos son ejercicios introductorios para realizar en el hogar. Los mismos se pueden con- sultar la primer semana de clases. Ejercicio 1. Realizar, sin utilizar calculadora, las siguientes operaciones en Q. 1. 8 7 2 5 5 2 + 5 6 2 (5) 2 1 2 5 2. 1 3 2 2 3 3 4 2 1 3 1 = 2 5 2 3. 1 3 + 1 2 1 6 + 2 3 1 Ejercicio 2. Resolver las siguientes ecuaciones 1. x + 5 = 14 1 2 x 2. 2x x +1 = 2x 1 x 3. 2x 2 +4x +1=0 4. x 4 3x 2 +2=0 5. 7 2 x +5 x 2 4x +3 =0 Ejercicio 3. Factorizar las siguientes expresiones. 1. 4x 2 25 2. x 2 + x + 1 4 3. 2x 2 +5x 12 4. 9x 2 6x +1 5. x 3 3x 2 4x + 12 6. x 4 + 27x 1
Transcript
ANÁLISIS MATEMÁTICO I, 2015
TRABAJO PRÁCTICO 0
Estos son ejercicios introductorios para realizar en el hogar. Los mismos se pueden con-sultar la primer semana de clases.
Ejercicio 1. Realizar, sin utilizar calculadora, las siguientes operaciones en Q.
1.�8
7� 25
�� 52+
�56
��2 � (�5)�21� 2
5
2.
�1� 3
2
���23� 3
4
�2�13� 1�=�25� 2�
3.�1
3+1
2
���1
6+2
3
��1Ejercicio 2. Resolver las siguientes ecuaciones
1. x+ 5 = 14� 12x
2.2x
x+ 1=2x� 1x
3. 2x2 + 4x+ 1 = 0
4. x4 � 3x2 + 2 = 0
5.�7
2x+ 5
��x2 � 4x+ 3
�= 0
Ejercicio 3. Factorizar las siguientes expresiones.
1. 4x2 � 25
2. x2 + x+1
4
3. 2x2 + 5x� 12
4. 9x2 � 6x+ 1
5. x3 � 3x2 � 4x+ 12
6. x4 + 27x
1
Ejercicio 4. Simpli�car las siguientes expresiones indicando el conjunto de validez de lasoperaciones
1.x2 + 3x+ 2
x2 � x� 2
2.2x2 � x� 1x2 � 9 � x+ 3
2x+ 1
3.x2
x2 � 4 �x� 1x+ 2
4.9 + 6x+ x2
9� x2
5.x+ 1
7� x :x2 � 1x2 � 49
6.(x� 1)(x+ 1)2 � (x2 � x)(x+ 1)
2x2 � 2
Ejercicio 5. Reescribir las siguientes expresiones completando cuadrados
1. x2 + x+ 1
2. 2x2 � 12x+ 11
3. x2 � 3x+ 8
4. �15x2 +
1
5x� 1
20
Ejercicio 6. Si se sabe que en un kilo de manzanas entran 6 manzanas, ¿cuántas man-zanas entran en 4 kilos y medio?Ejercicio 7. Si una habitación tiene un perímetro de 30m y ocupa una super�cie de50m2, ¿cuáles son sus dimensiones (el ancho y el largo)?Ejercicio 8. Con $1050 se pueden comprar una cierta cantidad de ejemplares de uncierto libro. Si el precio por unidad se rebaja en $20 se pueden comprar seis ejemplaresmás por el mismo dinero. ¿Cuál es el precio por ejemplar?Ejercicio 9. Un comerciante compró 30 metros de tela a $35 el metro. Vende una partea $47 el metro y el resto a $41 el metro. Si obtuvo una ganancia de $210 averiguar cuántosmetros vendió a cada precio.
Ejercicio 1. Encontrar el conjunto de numeros reales que verifiquen las siguientes de-sigualdades. En cada caso, analizar previamente el conjunto de validez de las expresionesdadas. Expresar la solucion con la notacion de conjunto y con la notacion de intervalo.
1. 3x− 1 < x+ 2 2. x (x− π) < 0 3. u2 < 8
4. w3 + w > 0 5.1
2x− 1< 4 6. x+
1
x> 0
7.d
d2 − 2d> 2 8. (2x+ 27)20(4x− 1) < 0
Ejercicio 2. Resolver las siguientes desigualdades. Expresar la solucion con la notacionde conjunto y con la notacion de intervalo.
Ejercicio 3. Encontrar una expresion para las siguientes funciones indicando el dominiode las mismas.
1. El perımetro p de un cuadrado como funcion de la longitud l del lado.
2. El costo p de l lamparas si cada una cuesta 4 pesos. ¿Que diferencia hay entre estafuncion y la del inciso anterior?
3. El area de un triangulo equilatero como la funcion de la longitud x de un lado. Lomismo para el perımetro.
4. La longitud de un lado de un cuadrado como funcion de la longitud d de la diagonal.
Ejercicio 4. Un auto transita por una carretera recta. A las 10 de la manana paso porel pueblo A. Con el objeto de describir la posicion del auto a cada instante despues delas 10 horas, adoptamos las siguientes convenciones:
• Llamamos t al tiempo en minutos transcurridos desde las 10hs.
• Para cada valor de t (a partir de t = 0) el auto esta a determinada distancia medidaen kilometros desde A; llamemos d(t) a esa distancia.
1. ¿Que horas representan t = 0, t = 30 y t = 70?
2. ¿Cuanto vale d(0)?
3. Expresar en forma simbolica, de acuerdo a las convenciones que adoptamos, lossiguientes hechos:
1
• A las 10:30 hs. el auto llego al pueblo B, situado a 63 km. desde A.
• Despues de detenerse en B por 15 minutos, el auto regreso por la misma ruta,pasando por A a las 11:20 hs.
4. Teniendo en cuenta los datos anteriores, ¿cual de las siguientes graficas es descriptivade la situacion presentada? Explicar brevemente por que.
Ejercicio 5. No toda curva del plano es el grafico de una funcion. En vista de la definicionde funcion y de su grafico, indicar cuales de los siguientes dibujos corresponden a la graficade alguna funcion:
2
Ejercicio 6. Determinar, justificando, si y puede expresarse en funcion de x o si x puedeexpresarse en funcin de y para cada uno de los siguientes casos:
1. x2 + y2 = 9
2. y2 = x2 − 1
3. x2 + y = 3
4. x2y − x2 + 4y = 0
Ejercicio 7. Determinar el dominio de las siguientes funciones.
1. f(x) =1
x+ 1 2. g(x) =
√x− 5 3. h(x) =
√x
x− 1
4. m(x) =x
1 +5
x2 − 9
5. t(x) =
√√5−√
9− x2
Ejercicio 8. Hacer una representacion grafica de las siguientes funciones lineales. Iden-tificar en cada caso, la pendiente y la ordenada al origen.
1. g(x) = 3x 2. h(x) = −1
2x+ 4 3. f(x) = 3x+ 1
4. m(x) = −3x− 1
Ejercicio 9. Hallar la ecuacion de la recta en cada uno de la siguientes casos. En loscasos que sea posible, determinar su pendiente y su ordenada al origen y escribir la funcionlineal cuya grafica es la recta indicada.
1. Pasa por los puntos (2, 1), (3, 4).
2. Pasa por los puntos (−1,√
3), (−1, 5).
3. Pasa por el punto (1, 0) y tiene pendiente −2.
4. Pasa por el punto (4,−3) y tiene pendiente√
7.
5. Pasa por los puntos (4, 1) y (4, 8).
6. Pasa por los puntos (4, 1) y (8, 1).
Si bien el grafico de toda funcion lineal es una recta, no toda recta es el grafico de unafuncion lineal (justifique esta observacion).
Ejercicio 10. Encontrar y graficar las funciones lineales que satisfacen las siguientescondiciones:
1. f(−1) = 0 y f(1) = 2.
2. Su grafica pasa por el origen y su razon de cambio es igual a 3.
3. Corta al eje y 2 unidades hacia arriba del origen de coordenadas y al eje x 3 unidadesa la izquierda del origen de coordenadas.
3
4. Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta de ecuacion 3x− 4y = 0
5. Pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (2, 1) y (0, 3) y es per-pendicular a 4x− 5y = 0
Ejercicio 11. Un escritor esta por firmar un contrato que establece que ganara 400.000pesos mas 100 pesos por libro vendido.
1. Graficar la funcion ganancia y establecer cual es la pendiente.
2. Una nueva editorial le ofrece al escritor un contrato de 300.000 pesos pero le pagara120 pesos por cada libro vendido. ¿Que decision tomara el escritor? ¿Le convienecambiar de editorial?
3. En el mismo grafico, representar la funcion ganancia del item anterior.
Ejercicio 12. Dado el triangulo determinado por los puntos (−1, 2), (4, 0), (1,−5).Graficar y calcular las ecuaciones de las rectas que contienen sus lados y sus alturas.
Ejercicio 13. Graficar las siguientes funciones e indicar el dominio e imagen de lasmismas:
1. f(x) =
{2x+ 3 si x > 2−x− 2 si x ≤ 2
2. f(x) =
{1 si x ≤ 0
−2x+ 1 si x > 0
3. f(x) =
x si x ≤ 00 si 0 < x ≤ 1
x− 1 si x > 1
4. f(x) =
{−x+ 2 si −3 < x ≤ 2x− 2 si 2 < x ≤ 5
Ejercicio 14. Reescribir las siguientes funciones como funciones a trozos utilizando ladefinicion de valor absoluto y, a continuacion graficarlas:
1. f(x) = |3x− 1|+ 2
2. g(x) = −|x− 1|+ x
3. h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|
Ejercicio 15. Graficar una funcion f : IR → IR que cumpla simultaneamente las sigu-ientes condiciones:
1. f(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (4, 6)
2. f(x) > 0 si x ∈ (−1, 4) ∪ (6,∞)
3. f(x) = 0 si x = −1, x = 4 y x = 6.
4
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 2
Funciones cuadraticas
Ejercicio 1. Hallar en cada caso, las funciones cuadraticas que verifican:
(a) La grafica contiene los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).
(b) El vertice de la grafica esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.
(c) La grafica coontiene el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.
(d) La grafica contiene el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo.
Ejercicio 2. Hacer la grafica de las siguientes funciones y senalar raıces, vertice y eje desimetrıa
(a) y = −x2 + 2x− 1
(b) y = 2x2 − 4x− 3
(c) y = −1/2 x2 − 3x+ 7/2
(d) y = x2 − 3x+ 2
Ejercicio 3. Determinar el o los valores de k tales que
(a) y = x2 + 7x+ k tiene una sola interseccion con el eje x,
(b) y = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pasa por el origen.
Ejercicio 4. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones avalores reales: f(x) = 2x2 − 10x+ 8, g(x) = |2x2 − 10x+ 8|
Ejercicio 5. Problemas
(a) Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un perımetro de 30 m. Expresar lasuperficie del gallinero en funcion de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 maveriguar la superficie del gallinero. ¿Cual es el ancho si se sabe que la superficiees de 44 m2? ¿Puede ser el ancho de 18 m?
(b) Una flecha se lanza hacia arriba en direccion al horizonte y viaja trazando un arcoparabolico dado por la ecuacion y = ax2 + x+ c. Utilizar el hecho de que la flechase lanza a una altura vertical de 1,5 m y que vuelve a alcanzar la misma alturaluego de recorrer una distancia horizontal de 60 m, para hallar a y c. ¿Cual es lamaxima altura alcanzada por la flecha? ¿En que intervalo sube la flecha? ¿En queintervalo baja?
(c) Hallar los puntos de la grafica de la funcion y = 2x + 1 que esten a dos unidadesde distancia del origen.
1
(d) Se corta un alambre de 2.4 metros de longitud en cuatro partes para formar unrectangulo.
i. ¿Puede encontrar una expresion para el area A del rectangulo? En caso afir-mativo representar la funcion.
ii. Utilizar la grafica para estimar el area maxima del rectangulo. ¿Cuales son lasdimensiones del rectangulo en ese caso?
Funciones Polinomicas
Ejercicio 6. Determinar analıticamente si las siguientes funciones son pares, impares oninguna de las dos:
(a) f(x) = 2x2 + 1,
(b) f(x) = 3x3,
(c) f(x) = x4 − x2,
(d) f(x) = x7 − x2.
Ejercicio 7. Problemas:
(a) Con un cuadrado de carton de 1 metro de lado se desea construir una caja de basecuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados haciaarriba. Expresar el volumen de la caja en funcion de la altura.
(b) Expresar el volumen de un cubo como una funcion de la diagonal. ¿Que tipode funcion resulta? ¿Que sucede con el volumen del cubo si la diagonal creceindefinidamente?
(c) Un meteorologo hallo que la temperatura T (en oF ) en un perıodo de 24 horasdurante el invierno estaba dada por la funcion T (t) = 0, 05 t(t− 12)(t− 24), dondet representa el tiempo, t = 0 se corresponde con las 6 horas de cierto dıa y ademasrepresenta el inicio del perıodo. Indique la franja horaria en donde la temperaturaes mayor que 0oF . ¿Cuando esta por debajo de los 0oF?.
Funciones Racionales
Ejercicio 8.
(a) A partir de la grafica de f(x) =1
xgraficar las siguientes funciones
i. g(x) =1
x− 2
ii. h(x) =1
x+ 2
(b) A partir de lo realizado en el inciso anterior y teniendo en cuenta las sugerencias,graficar las siguientes funciones e indicar cual es el dominio de cada una de ellas.
2
i. z(x) =−x+ 4
x− 2(Sugerencia: verificar primero que −x+4
x−2= −1 + 2
x−2).
ii. w(x) =x
x+ 2(Sugerencia: verificar primero que x
x+2= 1− 2
x+2).
(c) Determinar en base a las graficas realizadas en el inciso anterior, para que valoresde x se satisfacen las siguientes condiciones:
i. w(x) = 0
ii. z(x) > 0
iii. w(x) < 1
iv. z(x) > −1
Ejercicio 9. Indicar el dominio de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =x+ 2
x3 − x
(b) f(x) =x+ 4
−2x− π
(c) f(x) =x5 + 3
x2 + x+ 1
(d) f(x) =x− 1
x3 − x
Ejercicio 10. Dada f(x) =a
xn, con n ∈ IN, ¿que puede decir de su grafico para los
distintos valores de a y de n?
Ejercicio 11. Problemas:
(a) La regla de Young es una formula que se usa para modificar las dosis de medicamen-tos de adultos, a fin de adaptarlas a ninos. Si d representa la dosis de un adultoen miligramos y t es la edad del nino en anos, entonces la dosis del nino puederepresentarse por medio de la siguiente funcion:
F (t) =t d
t+ 12.
i. ¿El valor de t podrıa ser negativo?
ii. Trace la grafica de la funcion F (t), para t > 0 y d = 200 miligramos.
iii. Si la dosis del adulto es de 150 miligramos ¿cuanto sera la dosis de un nino de3 anos?
iv. Si un nino de 4 anos toma una dosis de medicamentos de 250 miligramos, ¿decuanto sera la dosis de ese mismo medicamento si la quiere tomar un adulto?
v. ¿Que puede decir sobre el crecimiento (o decrecimiento) de F (t)? ¿Que ocurrecon la funcion F (t) cuando t toma valores muy grandes?
(b) En un recipiente que contiene 1 kg de agua, se deja gotear alcohol a razon de 25gpor segundo. Expresar el porcentaje de alcohol en funcion del tiempo de goteo.¿Cual sera el porcentaje de alcohol al cabo de 1 minuto de goteo? ¿Cuanto tiempohabra que esperar para que haya un 10% de alcohol en la mezcla?
3
Otras curvas
Ejercicio 12. En cada caso dar la ecuacion de la circunferencia que verifica las siguientescondiciones y graficar.
(a) Centro C(−1, 2) y radio 1.
(b) Centro C(−2, 3) y tangente al eje x.
(c) Centro C(1, 2) y pasa por el punto (2, 4).
Ejercicio 13. Graficar las siguientes circunferencias
(a) 2x2 − 4x+ 2y2 − 8y − 2 = 0
(b) 4x2 + (2y + 2)2 = 1
Ejercicio 14. Graficar las siguientes elipses
(a)x2
12+y2
9= 1
(b) 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15
Ejercicio 15. Encontrar b para que la elipse de ecuacionx2
4+y2
b= 1 sea tangente a la
recta y = 1.
Ejercicio 16. Graficar las siguientes hiperbolas
(a)(x+ 2)2
9− y2
4= 1 (b) −x2 + 4y2 = 4
Ejercicio 17. Determina los puntos de interseccion de la hiperbola x2 − 2y2 = 1 concada una de las siguientes curvas (verificar los resultados graficamente):
(a) x+ y − 1 = 0
(b) x2 + y2 = 10
4
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 3
Traslaciones, dilataciones y reflexiones. Composicion de funciones.
Ejercicio 1. Si la funcion h(x) tiene la grafica de lafigura, dibuje la grafica de las funciones indicadas:
a) h(x+ 4) b) h(x) + 4
c) 2h(x) d)1
3h(x)
e) 2h(x− 1)− 2
Ejercicio 2. En cada caso, indicar el dominio de la funcion y realizar su grafica.
Ejercicio 4. Sea f(x) la funcion determinada por la siguiente grafica:
1
Calcular los siguientes lımites y, en caso de que no existan, indicar por que.
a) limx→3+
f(x) b) limx→3−
f(x) c) limx→4+
f(x) d) limx→4−
f(x) e) limx→9+
f(x)
f) limx→9−
f(x) g) limx→3
f(x) h) limx→4
f(x) i) limx→9
f(x)
¿Que puede observar comparando el valor que toma la funcion f en x = 2 y x = 4 con el valor dellımite en cada uno de esos puntos?
Ejercicio 5. Hallar, en caso de que existan, los siguientes lımites usando las propiedades basicas delos lımites de funciones. Justificar.
(a) limx→1
3x3 − 2x2 + 4
(b) limx→−3
2
x+ 2
(c) limx→1+
|x− 1|x− 1
(d) limx→1
|x− 1|x− 1
(e) limx→2
x2 + 3x− 1
x4 + 6x2 + 5
(f) limx→3−
x− 2
x− 3
(g) limx→−1
x−√
2
x+ 1
(h) limx→a
x2 − a2
x− a
(i) limx→2
x3 − 8
x− 2
(j) limx→0
x3 + 3x2 + 4x
x2 + x
(k) limx→1
x− 1√x− 1
Ejercicio 6. Graficar una funcion f : [1, 8]→ R que cumpla las siguientes condiciones:
(a) f(1) = f(3) = f(5) = f(8) = 1
(b) limx→2+
f(x) = 1
(c) limx→2−
f(x) = 3
(d) limx→5
f(x) = 1
(e) limx→3
f(x) no existe
(f) limx→8−
f(x) = 1
Ejercicio 7. Graficar la funcion
f(x) =
x2 si x < 0−x si 0 ≤ x ≤ 34 si x > 3
Calcular los siguientes lımites y corroborar los resultados con la grafica propuesta.
(a) limx→0+
f(x)
(b) limx→0−
f(x)
(c) limx→3+
f(x)
(d) limx→3−
f(x)
(e) limx→1/2+
f(x)
(f) limx→0
f(x)
(g) limx→3
f(x)
(h) limx→4
f(x)
Ejercicio 8. Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar su respuesta.
(a) Aunque no exista limx→a
f(x) ni limx→a
g(x) puede existir limx→a
(f(x) + g(x)).
(b) Si limx→a
f(x) y limx→a
(f(x) + g(x)) existen (es decir, son finitos), entonces limx→a
g(x) existe.
(c) Si limx→a
f(x) existe (es decir, es finito), y limx→a
g(x) no existe, entonces limx→a
(f(x) + g(x)) existe.
2
(d) Si limx→a
f(x) y limx→a
(f(x).g(x)) existen y son finitos, entonces limx→a
g(x) existe.
(e) Si limx→a
f(x) y el limx→a
g(x) existen entonces tambien existe el limx→a
f(x)
g(x)
Ejercicio 9. A partir de la informacion suministrada en cada inciso hallar los siguientes lımites.
a) Si limx→4
f(x) = −1 y limx→4
g(x) = 5, hallar limx→4
[f(x)− 2
5g(x)].
b) Si limx→x0
f(x) = 5 y limx→x0
g(x) = −2, hallar limx→x0
f(x)− 2
f(x)− g(x).
c) Si limx→−2
f(x)
x2= 1, hallar lim
x→−2
f(x)
x.
d) Si limx→0
f(x)
x= 1, hallar lim
x→0
f(x2)
x.
Ejercicio 10. Para cada una de las siguientes funciones hallar limh→0
f(x+ h)− f(x)
h.
(a) f(x) = 2− x (b) f(x) = x2 + 3
Funciones continuas.
Ejercicio 11. Considerar la funcion f(x) =
1
x+ 2si x ≥ −1
x2 + 1 si x < −1
1. Indicar el dominio de la funcion.
2. Realizar su grafica
3. Estudiar la continuidad de f(x) en el punto x = −1.
4. Estudiar la continuidad de f(x) en el resto de su dominio.
Ejercicio 12. Considerar la funcion g(x) =
1
x− 2si x < 2
x+ 1 si x ≥ 2
1. Indicar el dominio de la funcion.
2. Realizar su grafica
3. Estudiar la continuidad de g(x) en el punto x = 2.
4. Estudiar la continuidad de g(x) en el resto de su dominio.
Ejercicio 13. Dadas las funciones
f(x) =x2 − x− 6
x− 3g(x) =
x2 − x− 6
x− 3si x 6= 3
3 si x = 3h(x) =
x2 − x− 6
x− 3si x 6= 3
5 si x = 3
Construir un grafico de cada una de ellas y analizar su continuidad en x = 3.
3
Ejercicio 14. Si f tiene una discontinuidad evitable en a, mostrar que existe una funcion g continuaen a y que coincide con f en todo punto salvo en a.
Ejercicio 15. Determinar, justificando, si las siguientes funciones son continuas en todo su dominio
f(x) =x− |x|
2f(x) =
{3x+ 1 si x ≥ 0x+ |x| si x < 0
Ejercicio 16. Considerar la funcion f(x) =
√x+ 1− 1
xdefinida para x 6= 0.
1. Hallar el lımite de f(x) cuando x tiende a 0.
2. ¿Como debe definirse f(x) en x = 0 para que resulte continua en todos los reales?
Ejercicio 17. Graficar f(x) =x2 − 4
|x− 2|. Hallar los lımites laterales de f(x) cuando x tiende a 2.
¿Existe limx→2
f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua?
Ejercicio 18. Trazar, para cada ıtem, la grafica de una funcion f(x) que:
a) sea continua en el intervalo [a, b].
b) sea continua en el intervalo [a, b] excepto en x = x0 con x0 ∈ (a, b).
c) sea discontinua en el intervalo [a, b] pero |f | sea continua en [a, b].
d) limx→x0
+f(x) = f(x0) y lim
x→x0−f(x) 6= f(x0).
e) esta definida en x = x0 y existe limx→x0
f(x) pero no coincide con f(x0).
f) no esta definida en x = x0 y existe limx→x0
f(x).
Ejercicio 19. Dada f(x) continua en [a,b], construir una funcion que sea continua en R y que coincidacon f en [a,b] (en realidad existe una infinidad de dichas funciones).
Ejercicio 20. Determinar el valor de c para el cual la funcion f es continua en R
f(x) =
{x+ 3 si x ≤ 2cx+ 6 si x > 2
Ejercicio 21. Hallar los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua en R.
f(x) =
{x+ 1 si 1 < x < 3
x2 + bx+ c si |x− 2| ≥ 1
Ejercicio 22. Considerar las funciones g(x) = x4 − x2 + 2 y h(x) = x2 + 1. Probar que h(x) ≤ g(x)para todo x. Suponiendo que cierta funcion f(x) verifica h(x) ≤ f(x) ≤ g(x). Calcular lim
x→1f(x)
4
Teorema del Valor Intermedio.
Ejercicio 23. Estudiar el signo de las siguientes funciones en todo su dominio.
a) h(x) = 2x3 − 9x b) m(x) =x2 − 3x
x− πc) f(t) = t4 + t2 + 1
Ejercicio 24. Supongamos que f y g son dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y que f(a) <g(a) pero f(b) > g(b). Demostrar que f(x) = g(x) para algun x ∈ [a, b].
Ejercicio 25. Sea f una funcion continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrar que hayalgun valor x ∈ [0, 24] para el cual f(x) = f(x+ 24).
Ejercicio 26. Un docente sube y baja una montana por el mismo camino en 48 hs (parte a las 0 hsde un dıa y llega a las 24 hs del dıa siguiente. Mostrar que independiente de la velocidad a la quevaya en cada momento y de los descansos que pueda haber hecho, hay un punto del camino por elcual paso ambos dıas a la misma hora.
Ejercicio 27. Para cada una de las siguientes funciones, hallar un entero n tal que p(x) = 0 paraalgun x entre n y n+ 1.
(a) p(x) = x3 − x+ 3 (b) p(x) =2x3 − 7x2 + 2x− 7
x2 + 1
Ejercicio 28. Sea f una funcion continua definida en [0, 1] cuyos valores f(x) caen todos en [0, 1].Demostrar que existe un x0 tal que f(x0) = x0.
5
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 4
Derivada de una funcion en un punto. Funcion derivada. Regla de la cadena
Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes funciones hallar (usando la definicion de derivada)una ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion en el punto indicado. Graficar.
a) f(x) = 2x2 en (1,2). b) g(x) =1
xen (1,1).
Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones calcular, por definicion, su derivadaen los puntos indicados.
a) f(x) = k (constante), en un punto x0 arbi-trario,
b) f(x) = x en un punto x0 arbitrario,
c) f(x) = x2 en un punto x0 arbitrario,
d) f(x) =1
xen un punto x0 6= 0,
e) f(x) =√x en un punto x0 > 0,
f) f(x) =1√x
en un punto x0 > 0.
Ejercicio 3. Dada f(x) = x3,
a) Hallar la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en x = 0.
b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto (1, 1). Observar que esarecta tangente tambien corta a la grafica de f en (−2,−8).
c) Graficar
Ejercicio 4. Determinar en que punto de la curva y = 3x2 + 2x la recta tangente es paralelaa la recta L que une los puntos (1, 0) y (0, 1). Graficar la situacion.
Ejercicio 5. ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica de y = x2 + 1 pasan por el punto (2, 1)?Hallar la ecuacion de cada una. Graficar.
Ejercicio 6. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f(x) = − 1x
quepasan por el punto (1,0). Graficar la situacion. ¿Cuantas rectas tangentes a dicha grafica pasanpor el punto (0, 1)?
Ejercicio 7. Determinar si existe la recta tangente a la grafica de cada una de las siguientesfunciones en (0,0). Graficar.
1
a) f(x) = x+ |x|
b) g(x) = x.|x|c) h(x) =
{3x+ 1 si x > 00 si x ≤ 0.
Ejercicio 8. Determinar los posibles valores de la constante c para que la recta de ecuaciony = x sea tangente a la grafica de f(x) = x3 + c. Graficar.
Ejercicio 9. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivacion)e indicar los dominios de cada funcion y su derivada.
a) f(x) = 2x−√x− 3x2
b) g(x) = x31
x+ 1
c) h(x) =1
x√x
d) l(x) =x4(x+ 1)
x− 1
e) m(t) =
(t6 +
1
t
)(t5 + 1)
f) n(u) =−5
u3 + 2u2
Ejercicio 10. Sea f : R→ R una funcion tal que |f(x)| ≤ |x|. Probar que f es continua enx = 0. ¿Es derivable?
Ejercicio 11. Sea f(x) definida en un entorno del origen. Mostrar que si |f(x)| ≤ x2 entoncesf es derivable en 0. Calcular f ′(0). Interpretar graficamente.
Ejercicio 12. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable enx = 0. ¿Cuanto vale f ′(0)?
Ejercicio 13. Si f es una funcion par y derivable en x = 0, demostrar que f ′(0) = 0.
Ejercicio 14. Considerar la siguiente situacion: desde una altura de 40 metros se deja caerun objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, la posicion delobjeto (medida en metros desde el suelo) esta dada por la funcion h(t) = 40− 5t2.
a) En el contexto descripto, entre que valores de t es valida la expresion h(t) = 40− 5t2.
b) Hacer un grafico que represente la posicion del objeto en funcion del tiempo.
c) Estimar en ese grafico la velocidad del objeto en t = 2.
d) Determine la velocidad del objeto a los t segundos. ¿Entre que valores es correcta la expresionencontrada?
e) Graficar la velocidad en funcion del tiempo.
f) Calcular la razon de cambio instantanea de la funcion velocidad ¿Que representa?
2
Regla de la cadena y derivadas de orden superior
Ejercicio 15. Calcular las derivadas segunda, tercera y 50-esima de cada una de las siguientesfunciones:
a) f(x) = x3 + 3x2 − 2x b) f(x) = (x2 + 1)3
Ejercicio 16. Utilizando la informacion de la tabla, calcular la derivada de las siguientesfunciones en el valor dado de x:
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)2 8 2 1/3 -33 3 -4 2π 5
a) (f ◦ g)(x) en x = 2
b) g(f(x)) en x = 3
c) 1/(g(x))2 en x = 2
d)√f(x) en x = 3
e)√f 2(x) + g2(x) en x = 3
f) f(x).g3(x) en x = 2.
Ejercicio 17. En cada caso, hallar f ◦ g, su dominio natural y calcular su derivada.
a) f(x) =1
x, g(x) = x2 + 1. b) f(x) =
x√1− x3
, g(x) = x2.
Ejercicio 18. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivacion)e indicar los dominios de cada funcion y su derivada.
a) (x5/3 −√x)(x2 + 3
√x)
b)1
(x2 + 1)6
c)
√(x2 − 1)
x−1
d)1
2 + 1x+1
Ejercicio 19. Sea f(x) =x− |x|
2
a) Calcular las derivadas laterales de f en x = 0 y determinar si es derivable en todo sudominio.
b) Determinar si g(x) =(f(x)
)2es derivable en x = 0. Graficar la funcion g.
Ejercicio 20. Utilizando la ecuacion del cırculo, realizar un grafico de f(x) =√
4− x2. Cal-cular f ′(0) y f ′(
√2) sin derivar, solo usando argumentos graficos. Luego verificar los resultados
hallados calculando la derivada.
3
Derivacion Implıcita.
Ejercicio 21. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntosindicados.
a) 2y2 + (xy)53 = 2x2 + 17 en (0,
√17
2).
b)x2
16− y2
9= 1 en (−5,
9
4).
c) y2 = x3(2− x) en (1, 1).
d) 2(x2 + y2) =5
2(x2 − y2) en (3, 1).
Ejercicio 22. El siguiente grafico corresponde a la curva de ecuacion x2 + xy + y2 = 7.
a) Encontrar en el grafico todos los puntos sobre lacurva para los cuales la tangente tiene pendiente 1.
b) Comprobar graficamente que esos puntos se en-cuentran sobre la recta y = −x.
c) Usar derivacion implıcita para demostrar lo afir-mado en el apartado anterior.
d) Encontrar las coordenadas de esos puntos.
Ejercicio 23. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. Si elextremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 0.5m/s, ¿con que velocidadse desliza hacia abajo el extremo superior cuando esta a 1.8m del suelo?
Ejercicio 24. Hallar el valor de y′′ en el punto (−1, 1) de la curva x2y + 3y2 = 4.
Ejercicio 25. Sean f, g : R→ R tales que f(g(x2 + x)) + 3g(x) = 3x3 + 2 para todo x ∈ R,y donde g cumple, ademas, que g(0) = 0 y g′(0) = 2.
a) Calcular f ′(0).
b) Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0.
Ejercicio 26. Dada la curva de ecuacion 2y3 + y2− y5 = x4− 2x3 + x2, hallar las abscisas delos puntos en los que la recta tangente es horizontal.
Ejercicio 27. Hallar y′ en los siguientes casos y senalar el conjunto de puntos donde es validadicha expresion.
a)√xy = y2. b)
y
x− y= xy + 1.
4
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 5
Crecimiento y decrecimiento de funciones. Maximos y mınimos, locales y absolutos.
Ejercicio 1. Hallar, en caso de que existan, los valores maximos y mınimos absolutos y relativos(o locales) de las funciones f , g y h. Indicar, ademas, donde se alcanzan y localizarlos en cadauna de las graficas.
f : [−2, 2]→ R h : R− {0} → R.
g : [0, 6]→ R
Ejercicio 2. Sean g(x) = −3x2 − 4x y h(x) = x|x|. Graficar ambas funciones y determinar,para cada una: a) regiones de crecimiento y decrecimiento y b) maximos y mınimos locales y/oabsolutos.
Ejercicio 3. Determinar, justificando sin usar derivadas, si las siguientes afirmaciones son ver-daderas o falsas.
a) La funcion f(x) = x2
x2+4tiene un maximo absoluto en el intervalo [−10, 10].
b) La funcion f(x) = 1− |x| tiene un maximo relativo en x = 0.
c) h(x) = 1x+1
es decreciente en (−∞,−1).
d) La funcion g(x) =√x4 + 4x2 + 4 no tiene mınimo absoluto en el intervalo [−
√2, 7
3].
1
Ejercicio 4. Justificar por que es posible afirmar que la siguientes funciones tienen al menos unmaximo y un mınimo absoluto en el intervalo indicado. Hallarlos.
a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2, en [−1/2, 1/2] b) f(x) =x
x− 2, en [3, 5]
c) f(x) = 4− |x− 4|, en [1, 6] d) f(x) = 2x− 3|x|1/2, en [−1, 3]
Teorema del valor medio. Aplicacion de la derivada al analisis de funciones.
Ejercicio 5. Determinar, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Si la grafica de una funcion continua tiene tres intersecciones con el eje x, debe haber al menosdos puntos en los que su tangente sea horizontal.
b) Si un polinomio tiene tres raıces reales, debe haber al menos dos puntos en su grafica en losque su tangente es horizontal.
Ejercicio 6. Dar la expresion de una funcion continua en algun intervalo cerrado [a, b] para la
cual no exista c en (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a . Graficar la situacion.
Ejercicio 7. Esbozar, para cada ıtem, la grafica de una funcion f(x) que satisfaga todas lascondiciones.
a) Dom(f) = R; 0 /∈ Img(f); f es continua en su dominio excepto en x = 5; f ′(x) < 0,∀ x ∈(−∞,−2); f ′(x) > 0,∀x ∈ (−2, 5) ∪ (5,+∞).
b) f alcanza el mınimo absoluto en dos puntos del dominio pero no tiene maximo absoluto; f escontinua en IR; f ′(x) < 0,∀ x ∈ (−∞;−2); f ′(x) > 0,∀ x ∈ (−2; 0); f es par y no es derivableen x = 0.
Ejercicio 8. Sean f , g y h las funciones definidas en el ejercicio 1. Indicar, a partir de las graficas,regiones donde la funcion sea convexa (concava hacia arriba) o concava (concava hacia abajo) ypuntos de inflexion.
Ejercicio 9. Dada la funcion f(x) =
{−x2 si x < 0,x3 si x ≥ 0.
Graficar. Mostrar que f ′′ no existe en x = 0. Analizar si en x = 0 hay un punto de inflexion.
Ejercicio 10. Sea f : (a, b) 7−→ IR una funcion dos veces derivable y sea x0 ∈ (a, b) tal quef ′(x0) = 0. Demostrar que
a) si f ′′(x0) < 0 entonces x0 es un maximo local de f ;
b) si f ′′(x0) > 0 entonces x0 es un mınimo local de f .
2
Si f ′′(x0) = 0, dar ejemplos que muestren que en x0 puede haber un maximo, un mınimo oun punto de inflexion. En tal caso habra que clasificar el punto x0 mediante el crecimiento odecrecimiento de la funcion o el signo de su derivada.
Ejercicio 11. Hallar las constantes b y c para que la funcion f(x) = x4 + bx2 + c tenga un valormınimo de 2 en x = 1.
Ejercicio 12. Estudiar regiones de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad y, en casode que existan, determinar los extremos locales y puntos de inflexion de las siguientes funciones.
a) f (x) = (x2 − 4)2
b) g (x) = x3 − 6x2 + 12x
c) l (y) = y (y + 1)1/2
d) k (y) =2y2 − y + 1
y − 1
e) h (v) = 3v +2
v − 1
f) m (x) = x4 − x2 con x ∈ [−1,+∞)
g) n (u) =u3
1 + u2
h) r (u) =
{3 + u si 0 ≤ u ≤ 1
1
u− 1si 1 < u ≤ 2
Funcion inversa.
Ejercicio 13. Considerar las siguientes funciones
• f(x) =√x
• g(x) = 1x
• h(x) = 4− x2
• k(x) = 2− |x|
a) Analizar si cada una de las funciones dadas admiten inversa en su dominio natural y, en casoafirmativo, dar su expresion e indicar su dominio.
b) Para aquellas que no tengan inversa, restringir su dominio de manera tal que la funcion obtenidatenga inversa (notar que no hay una unica manera de restringir el dominio).
Ejercicio 14. Demostrar que toda funcion lineal no constante admite inversa. ¿Que tipo defuncion resulta la inversa de una funcion lineal?.
Ejercicio 15. Demostrar que la funcion la funcion f(x) =2x + 1
3x + 2admite inversa. Hallarla e
indicar su dominio.
Ejercicio 16. Demostrar que la funcion f (x) = x3 + x + 2 es invertible. Llamando g (x) a suinversa, hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de g (x) en x = 2.
Ejercicio 17. La recta tangente a la grafica de una funcion f (x) por el punto (3, 4) es y = 3x−5.Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la inversa de f (x) por el punto (4, 3).
3
Optimizacion - Parte 1
Ejercicio 18. Una ventana normanda tiene forma de rectangulo con unsemicırculo en su parte superior (ver figura). Si el perımetro de la ventanaes de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que admita lamayor cantidad de luz posible.
Ejercicio 19. Hallar las coordenadas del punto sobre la curva y2 = 52(x+1) que esta mas proximo
al origen.
Ejercicio 20. Un trozo de alambre de 10 metros de longitud se corta en dos partes. Con unaparte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Puede cortarse elalambre de modo tal que el area total de las dos figuras sea maxima? ¿Y si se deseara que el areasea mınima?
Ejercicio 21. Determinar las dimensiones del triangulo de area maximainscripto en la circunferencia de radio 1 segun la figura.
Ejercicio 22. La resistencia a la flexion de una viga de seccion rectangular es directamenteproporcional a la base b y al cuadrado de la altura h de dicho rectangulo. Hallar la viga de seccionrectangular con maxima resistencia que puede sacarse de un tronco de arbol de diametro d.
4
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 6
Funciones trigonometricas
Ejercicio 1. Considerando validas las siguientes identidades
cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sen(x) sen(y)
sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)
demostrar que
a) 2 cos(x) cos(y) = cos(x− y) + cos(x+ y) b) cos2(x) =1 + cos(2x)
2
c) sen2(x) =1− cos(2x)
2d) tan
(x+
π
2
)= −cotan(x)
Ejercicio 2. Hallar los valores de x para los cuales se satisfacen las siguientes igualdades:
a) sen(x) = 0.5 b) cos(32π − x
)= 1 c) cos
(x+ π
2
)sen
(x− 3
2π)
= 0
Ejercicio 3. Utilizando la identidad cos(x) = sen(x+
π
2
)trazar la grafica de f(x) = cos(x):
a) Considerar su dominio, periodicidad, continuidad y derivabilidad.
b) Encontrar (grafica y analıticamente) los valores de x en donde la funcion cos(x) se anula,alcanza el maximo absoluto o el mınimo absoluto. Usar la periodicidad de la funcion.
Ejercicio 4. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso eldominio de la funcion y de su derivada:
a) tan(x) =sen(x)
cos(x)b) cosec(x) =
1
sen(x)c) sec(x) =
1
cos(x)d) cotan(x) =
1
tanx
Ejercicio 5. Hallar, en el caso que existan, los lımites cuando x→ 0 de:
a)sen (2x)
xb)
sen (x2)
xc)
x sen(x)
sen (x2)d)
sen(|x|)x
e)1− cos(x)
x2f)
sen (π − x)
xg)
tan (2x)
x
1
Ejercicio 6. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = sec(x2 + 1
)b) g (x) =
x+ cos(x)
cos(x) sen(x)c) g (x) = tan
(sen
(√x))
Ejercicio 7.
1. Determinar en que intervalos las funciones cos(x) y tan(x) admiten inversa local.
2. Para f (x) = cos(x) con x ∈ (0, π) calcular la derivada de f−1 (x) = arccos(x).
3. Para g (x) = tan x con x ∈(−π
2,π
2
)calcular la derivada de g−1(x) = arctan(x).
4. Graficar las funciones cos(x), tan(x), arccos(x) y arctan(x).
Ejercicio 8. Hallar los puntos de la grafica de la funcion f (x) = sen(x) donde la rectatangente es paralela a la recta de ecuacion y = x+ 1.
Ejercicio 9. Demostrar que existe algun numero x tal que sen(x) = x− 1.
Ejercicio 10. Dadas las funciones f(x) = x sen
(1
x
), g(x) = x2 sen
(1
x
).
En caso de ser posible, redefinir estas funciones de manera que resulten continuas en x = 0, yanalizar su derivabilidad en ese punto. Si alguna de las funciones resultara derivable en x = 0,analizar la continuidad de su derivada en x = 0.
Ejercicio 11. Para cualquier angulo agudo demedida x, sea A(x) el area sombreada segun se indicaen la figura. Si el triangulo mas grande es isosceles,
calcular limx→0
A(x)
x3
Ejercicio 12. Considerar el ejercicio 23 de la Practica 4. ¿Cual es la razon de cambio delangulo que la escalera forma con el piso cuando el extremo superior esta a 1.8m del suelo?
Funciones exponenciales y logarıtmicas.
Ejercicio 13. Hallar los valores de x para los cuales se satisfacen las siguientes igualdades:
a) log2
(x2)
= 4 b) ex+3 + 5 = 0 c) ln(x+√
2)
= 1 d) e4x−x2 − 8 = 0
Ejercicio 14. A partir de la grafica de f(x) = ex obtener las graficas de
a) g (x) = e−x b) h (x) = ex+1 c) l (x) = ex/2
d) f (x) = 1− 3ex e) k (x) = e|x|
2
Ejercicio 15. Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Explicitar dominio de lafuncion y de su derivada:
a) f (x) = ln(x2 + 1
)b) f (x) =
ex
xc) f (x) = x
√x
d) f (x) =(√
x+ ln(x))x
e) f (x) = xsen(x) f) f (x) =6x
x3
Ejercicio 16. Demostrar
a) (loga (x))′ =1
x ln(a)=
1
xloga (x) b) (ax)′ = ax ln a
Ejercicio 17. Probar que si 0 < a < 1, ax es estrictamente decreciente. ¿Puede definirse lafuncion exponencial si a < 0? Explicar la respuesta.
Ejercicio 18. Analizar crecimiento y decrecimiento de f(x) = loga(x) de acuerdo a losdistintos valores de a.
Ejercicio 19. Hallar los puntos de la grafica de la funcion f (x) = ln(x) donde la rectatangente es paralela a la recta de ecuacion πy − x = 0.
Sobre lımites en el infinito y asıntotas verticales
Ejercicio 20. Calcular los siguientes lımites
a) limx→+∞
x2.1
xb) lim
x→+∞x.
1
xc) lim
x→+∞x.
1
x2
d) ¿Que se puede decir del limx→+∞
g(x)f(x) cuando limx→+∞
f(x) = 0 y limx→+∞
g(x) = +∞?
Ejercicio 21. Hallar
a) limx→+∞
3x4 + 4x3
x6 − 7x4 + 1b) lim
x→+∞
14x5 − 12x2 + 4
2x4 − 13x+ 4c) lim
x→+∞
2x3 + 3x2 − 2
3x3 − 12x+ 2
d) Dados dos polinomios p(x) y q(x) de grados m y n respectivamente, analizar el compor-
tamiento de la funcion racionalp(x)
q(x)cuando x→ +∞ si m > n, m = n y m < n.
3
Ejercicio 22.
a) Calcular
i) limx→+∞
sen(x)
xii) lim
x→+∞
sen(2x)− cos (x4)
ln(x)
b) Demostrar que limx→+∞
f(x).g(x) = 0 si limx→+∞
f(x) = 0 y g(x) es una funcion acotada.
Ejercicio 23. Calcular:
a) limx→+∞
2x
ln(x)b) lim
x→+∞
xx
e√x
c) limx→+∞
ln (1 +√x)
ex
d) limx→+∞
(1 +
4
x
)−xe) lim
x→+∞x(
x√a− 1
)para a > 0 f) lim
x→−∞
1
xex
g) limx→+∞
ln (1 + ex)− x h) limx→+∞
(1 +
1
x3
)x
i) limx→−∞
√x2 + 1
x
j) limx→+∞
x2 − ln(x)
ex − x
Ejercicio 24. Analizar si las siguientes funciones tienen asıntota vertical.
a) f (x) =x− 2
ex+1 − 1b) g (x) =
x− 1
(x− 1) (x+ 2)xc) h (x) = tan x
d) m(x) = x ln(x) e) r(x) = arctan
(1
x
)f) t(x) = e1/x
4
ANALISIS MATEMATICO I (2015)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 7
Estudio y grafico de funciones.
Ejercicio 1. Probar las siguientes desigualdades:
1. sen(x) 6= x para todo x 6= 0. 2. tan(x) > x si 0 < x < π/2.
3. 2 ln(x) ≤ x2 − 1
xsi x ≥ 1. 4. x+ e−x 6= 0
Ejercicio 2. Graficar las siguientes funciones explicitando en cada caso, si es posible:
• Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados.
• Puntos crıticos. Maximos y mınimos, locales y absolutos.
• Regiones de crecimiento y de decrecimiento.
• Comportamiento de la funcion cuando x→ +∞ y x→ −∞.
Ejercicio 3. Hallar que punto de la recta y = x + 2 se encuentra mas proximo al (12, 2).
Demostrar que la recta que pasa por el punto hallado y el (12, 2) es perpendicular a y = x+ 2.
Ejercicio 4. Hallar la distancia entre la grafica de y =1√x
y el origen.
1
Ejercicio 5. Hallar dos numeros positivos cuyo producto sea 16 y
a) cuya suma sea mınima.
b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mınima.
Ejercicio 6. En la figura se presenta un semicırculo de radio 1,
a) Expresar el area sombreada en funcion delangulo θ.
b) ¿Para que valor/valores de θ se consigue som-brear la menor area posible?
c) ¿Para que valor/valores de θ se consigue som-brear la mayor area posible?
Ejercicio 7. La optica geometrica es una rama de la fısica que estudia la direccion depropagacion de la luz y su comportamiento al incidir en distintos medios materiales (aire,agua, etc). Para ello utiliza el concepto de rayo luminoso, que consiste en pensar que la luz semueve en lıneas rectas imaginarias. Existen dos leyes importantes en este contexto, las leyesde reflexion y refraccion (esta ultima tambien conocida como ley de Snell). La primera de ellasestablece que el angulo de incidencia α es igual al angulo de reflexion β. Es decir,
α = β (ley de reflexion)
En la figura se muestra una situacion particularde una fuente lumınica ubicada a 5 unidades de lahorizontal en el punto A.Tanto la ley de reflexion como la de refraccionpueden deducirse a partir del principio de Fermat:”El trayecto seguido por la luz al propagarse deun punto A a otro punto B es tal que el tiempoempleado en recorrerlo es un mınimo”. Este enun-ciado requiere una modificacion en casos mas ge-nerales.
En este ejercicio vamos a deducir la ley de reflexion a partir del principio de Fermat pensandoque, como la luz se propaga con velocidad constante en un mismo medio, basta pensar enminimizar la distancia recorrida por un rayo luminoso (en lugar de minimizar el tiempo).De acuerdo a la figura de la derecha,
a) Expresar la longitud de los segmentos AC y BC en funcion de x.
b) Encontrar x0 para el cual la suma de las longitudes de los segmentos anteriores es mınima.
c) Mostrar que para el valor x0 encontrado se cumple sen(α) = sen(β).
d) A partir de los puntos anteriores, ¿como podemos justificar que α = β?
2
Ejercicio 8. Ley de refraccion (Ley de Snell): Supongamos que la velocidad de la luz es v1en el aire y v2 en el agua. Un rayo de luz que pasa de un punto P situado sobre la superficiedel agua a un punto Q debajo de dicha superficie recorrera el camino que requiera el tiempomınimo.
En este ejercicio vamos a deducir que la trayectoria delrayo de luz cruza la superficie en el punto R que cumple
sen(θ1)
v1=
sen(θ2)
v2
a) Expresar el tiempo empleado por la luz en recorrercada segmento PR y RQ en funcion de x.
b) Encontrar x0 para el cual la suma de los tiemposanteriores es mınima.
c) Mostrar que para el valor x0 encontrado se cumple
sen(θ1)
v1=
sen(θ2)
v2
3
ANALISIS MATEMATICO I, 2015
Trabajo Practico de repaso: Primer parcial
Lımites y Continuidad
1. Calcular los siguientes lımites:
a) lımx→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2b) lım
x→0
x√1 + x2 − 1
c) lımx→1
x3 − 2x+ 1
x− 1
d) lımx→+∞
(x2 − 2x) e) lımx→−∞
x(x+√
2x2 + 3) f) lımx→+∞
x+ 1
x2 + 3
g) lımx→+∞
2x5 + 3
−x2 + xh) lım
x→−∞
3√x− 5√x
3√x+ 5√x
i) lımx→+∞
1− 12x2
4x2 + 12
j) lımx→+∞
x23 − x 3
7
x25 + x
34
k) lımx→+∞
2x53 − x 1
3 ln(x) + 7
x85 + 3x+
√x
lımx→+∞
(x+ 1
x+ 2
)2x
l) lımx→π
2
sen(x− π2 )
π − 2xm) lım
x→0
tg(x)− sen(x)
sen2(x)n) lım
x→1
sin(x2 − 1)
x− 1
n) lımx→0+
ln(x)
cotg(x)o) lım
x→0
x2 sen( 1x )
senxp) lım
x→1
ex−1 − 1
1− x
2. Analizar si las siguientes funciones pueden redefinirse en x0 = 0 de modo que resulten continuas.
a) f(x) =|x| − x|x|+ x
b) g(x) =sen(x)− x
xc) h(x) =
1− e−x2
x2
3. Estudiar la continuidad en todo su dominio de la funcion f(x) =
−x2 − 3x− 1 si x < −1|x| si − 1 ≤ x < 2x− 2 si x ≥ 2
4. Mostrar que g(x) es continua en todo R: g(x) =
x
1 + x, x ≥ 0
x
1− x, x < 0
Derivada
1. Determinar los valores de a y b para que la funcion sea derivable en todos los numeros reales.Graficar f .
f(x) =
1
xsi x < −1
a+ bx2 si x ≥ −1
2. Determinar si la funcion continua y/o derivable en el punto indicado.
f(x) =
(x− 2)5/2 cos
(1
x− 2
)si x 6= 2
0 si x = 2en x0 = 2
Estudiar la continuidad de la funcion derivada en x0 = 2.
1
3. Determinar si la funcion continua y/o derivable en el punto indicado.
g(x) =
x3/2 ln (x+ 1) si x > 0
x2 sen(x) si x ≤ 0
en x0 = 0
Estudiar la continuidad de la funcion derivada en x0 = 0.
4. Determinar si r(t) =√t2 + t4 es derivable en t0 = 0.
5. Suponer en cada caso que la ecuacion dada define a y implıcitamente como funcion de x. Hallar y′.
(a) ln(y) = ey senx (b) e2x = sen(x+ 3y) (c)y
x− y= xy + 1
6. Dada la funcion
f(x) =
{x2 x > 0
x2 − 1 x ≤ 0.
Calcular lımx→0+
f ′(x) y lımx→0−
f ′(x). ¿Es f derivable en x = 0?
7. Encontrar el(los) punto(s) de la grafica de f(x) = 3 lnx donde la recta tangente es paralela a larecta 8x− 2y + 1 = 0. Graficar.
8. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) = x lnx−x+ 3 que es perpendiculara la recta x+ 2y = 1.
9. Encontrar la ecuacion de la recta normal a la grafica de f(x) =senx
xen el punto (π, 0).
10. ¿Existe algun punto de la grafica de f(x) = x3 − senx donde la recta tangente sea perpendicular ala recta de ecuacion x = 3?
11. ¿Existe algun punto de la grafica de f(x) = sen(x) + 1 donde la recta tangente sea paralela a la
recta tangente a g(x) = ex2
en (0, 1)?
12. Encontrar, si existen, todos los puntos de la curva y2 + xy = 2 donde la pendiente de la rectatangente es −1.
Optimizacion
1. Determinar dos numeros cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea mınimo.
2. Encontrar el punto sobre la grafica de f(x) = −2x4 + 8x3 − 9x2 + 5x + 1, x ∈ [1, 2], que tiene larecta tangente con mayor pendiente.
3. ¿Existe algun punto sobre la grafica de f(x) = x3 − 2x2 + x − 2, x ∈ [0, 3], donde la pendiente dela recta tangente sea mayor que 10?
4. Sea f(x) =1
x. Sea P un punto de la grafica de f . Sea traza la recta tangente hasta cortar el eje Y
en el punto Q. ¿Como elegirıa P si quiere que el segmento PQ sea lo maas corto posible?
5. Hallar las coordendas de los puntos sobre la curva y = x2 que estan mas proximos a l punto (9, 0).
6. Encontrar cual es el rectangulo de mayor area y cual es el de mayor perımetro que queda inscriptosen una circunferencia de radio 1.
2
Graficas
1. Realizar un estudio analıtico completo de cada una de las siguientes funciones. Graficar.
(a) f(x) = xln2(x) (b) g(x) =x2√
4− x2(c) m(x) = arctan
(1
x
)
(d) h(x) =
e1/x2
si x 6= 0
0 si x = 0
(e) c(x) = e−x2
(f) a(x) =x
ln(x)
2. Realizar las graficas de las siguientes funciones
