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ELEMENTOS DE CONTORNO
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Elementos de Contorno – Problemas Elípticos
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ELEMENTOS DE CONTORNO
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Elementos de Contorno – Problemas Elípticos
• Formulación Integral
• Función de Green
• Discretización
• Formulación Indirecta
• Discretización de Formulación con fuentes
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PROBLEMA BASE
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
2 ( , , ) 0 u f u x y en
1( , ) u x y u sobre
2( , ) u
x y q sobren
Formulación diferencial:
u clase C2
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FORMULACION PONDERADA
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1
2
2
0
u f wd u u wd
uq wd
n
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INTEGRACION POR PARTES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1
0
w
u u sobre Formulacion debil
w w
1 2
1 2
.
0
uu wd fwd w d
n
uu u wd q wd
n
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SEGUNDA INTEGRACION POR PARTES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
ww
n
w w
1 2 1 2
1 2
2
0
w uu wd fwd u d w d
n n
uu u wd q wd
n
7/29
SEGUNDA INTEGRACION POR PARTES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1 2
1 2
2
0
uu wd fwd w d wqd
n
w wu d u d
n n
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FORMULACION INTEGRAL
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
Caso particular: ( , , ) ( , )f u x y u g x y
2
2
u wd fwd
u w w d gwd
2 Operador:
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SOLUCION FUNDAMENTAL
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
(2)
* 0
1( , ; , ) ( )
4P Pu x y x y H r
i
2
* * ( , )P Pu u x x y y
2 2( ) ( )P Pr x x y y
* 0 u para r
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FUNCION DE PESO
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
*w u
2
* *
( , ) si interior a
1( , ) si sobre
2
0 si exterior a
P P
P P
u x y P
u u u d u x y P
P
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FORMULACION INTEGRAL DIRECTA
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
1 2
2 1
**
** *
1( , )
2P P
u uu x y u d u d
n n
ugu d u qd u d
n
Ecuación integral para u sobre 2
y u/n sobre 1
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FORMULACION INTEGRAL DIRECTA
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral
** *( , )P P
u uu x y gu d u d u d
n n
Solución en el interior de :
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FUNCION DE GREEN
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFunción de Green
2 ( , )P PG G x x y y
1( , ) 0 G x y sobre
2( , ) 0 G
x y sobren
Resolver por formulación integral
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FUNCION DE GREEN
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFunción de Green
1 2
**
*
1( , )
2P P
uGG x y u d G d
n n
gu d
1 2
2 1
**
** *
1( , )
2P P
u uu x y u d u d
n n
ugu d u qd u d
n
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FUNCION DE GREEN
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFunción de Green
** *( , )P P
uGG x y gu d u d G d
n n
En el interior de :
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FUNCION DE GREEN
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFunción de Green
2 1
( , )P P
u Gu x y gGd G d u d
n n
P en el interior de
Uso de la Función de Green:
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FORMULACION INTEGRAL DIRECTA
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 2
2 1
**
** *
1( , )
2P P
u uu x y u d u d
n n
ugu d u qd u d
n
Ecuación integral para u sobre 2
y u/n sobre 1
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DISCRETIZACION DEL DOMINIO
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
Método panel:
• Elementos: segmentos de recta
• Valores de u y u/n constantes sobre cada
elemento
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DISCRETIZACION DE ECUACION
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
**
1 1
*
1
2
0,
j j
N N
i j j
j j
uu u d q d u
n
ugu d q
n
1 i N, N : cantidad de elementos
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ECUACIONES ALGEBRAICAS
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 1
0N N
ij j ij j i
j j
G q H u B
*
j
ij ijG u r d
* 1
2j
ij ij ij
uH r d
n
*i iB gu r d
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INCOGNITAS
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 1
0N N
ij j ij j i
j j
G q H u B
uj sobre 2 y qj sobre 1
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SOLUCION EN EL INTERIOR
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
1 1
N N
kjk kj j j i
j j
u G q H u B
*
j
kj kj
uH r d
n
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CALCULOS
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización
0iiH
1 ln
:
iii i
i
dG d
d semi longitud de segmento i
*
1m
M
i i
m
B gu r d
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PROBLEMA EXTERIOR
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
2 ' ' 0u u ', en exterior a
2
'
'' ' 0
' '
u wu w w d w d u d
n n
2u u g en
*w u P sobre
**
1 ''( , ) ' 0
2 ' 'P P
u uu x y u d u d
n n
' 0 u para r
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FORMULACION CON FUENTES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
Distribución de elementos sobre para
representar efecto de las condiciones de
borde en el problema original
u continuo a través de
u/n discontinuo a través de
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ECUACION INTEGRAL
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
**
1 ''( , ) ' 0
2 ' 'P P
u uu x y u d u d
n n
**
*
1( , )
2P P
uuu x y u d u d
n n
gu d
* *( , )P Pu x y u d gu d
'u u
n n
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SISTEMA DE ECUACIONES INTEGRALES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
Incógnita: sobre
* *( , )P Pu x y u d gu d
* *( , ) 1( , )
2
P PP P
P P P
u x y u ud x y g d
n n n
P sobre 1
P sobre 2
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SOLUCION EN EL INTERIOR
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta
** *( , )P P
u uu x y gu d u d u d
n n
**
'' 0
' '
u uu d u d
n n
* *( , )P Pu x y gu d u d
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FORMULACION CON FUENTES
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
Ecuación integral para sobre
* *( , )P Pu x y u d gu d
* *( , ) 1( , )
2
P PP P
P P P
u x y u ud x y g d
n n n
P sobre 1
P sobre 2
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DISCRETIZACION DEL DOMINIO
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
Método panel:
• Elementos: segmentos de recta
• Valores de constantes sobre cada
elemento
Análogo que para formulación directa
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ECUCIONES ALGEBRAICAS
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
1
0N
ij j i i
j
G B u
*
j
ij ijG u r d
* 1
2j
ij ij ij
P
uF r d
n
*i i
P
uC g r d
n
1
0N
ij j i i
j
F C q
*i iB gu r d
i sobre 1
i sobre 2
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SOLUCION EN EL INTERIOR
Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes
1
N
k kj j i
j
u G B