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8/16/2019 ANTIDERIVADA. ANTIDERIVADAS BÁSICAS.doc
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CURSO: CÁLCULO II
Tema : Antiderivacion e integral indefinida
ANTIDERIVADAUn ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua
de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante
cierto tiempo. Un administrador que conoce el costo marginal de una
producción puede interesarse en deducir el costo total de la
producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya
derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le
denomina una ANTIDERIVADA de f .Defnición:Una función F recibe el nombre de A!"#E$"%A#A de f en unintervalo ", si&
Ejemplo:2
F '(
x)
f ( x) x I
2Sea
f ( x) . Una antiderivada es F ( x) 4
x
x porque F '( x)
f '( x) . x
Teorema:Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada m's
general de f en I es&
#onde ( es una constante arbitraria.
F ( x) C ;
Ejemplos:1. )a antiderivada m's general de
f ( x) sin( x) es F ( x) C cos( x) C .
2. )a antiderivada m's general de
Defnición:
f ( x) x 2 es F ( x) C 2 x x
3
2 x C .
Al con*unto de todas las antiderivadas de f se le llama "!E+$A)
"#EF""#A de f yse representa por&
∫ f ( x)dx F ( x) C
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Ejemplos:
1. ∫ cos( x)dx
sin( x) C
12. ∫ x
dxln( x) C
Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I
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F%R&'(A! )*!I+A! DE INTE,RA+I%NSea
n
.
f , g funciones derivables, adem's k , C constantes, entonces tenemos&
∫ kf (u)du k
∫ f (u)du
-. ∫ f (u) g (u)du
∫ f (u)du ∫ g (u)du
. ∫ 0du C
/. ∫ du u C
0. ∫ kdu ku C
1. ∫ u
n
duu
n 1
C n 1
du2. ∫ u
ln u C
3.
∫ eu
du eu
C
4. au du
aC , a
0, a 1
∫ ln(a)
5. ∫ sin(u)du
cos(u) C
.
∫ cos(u)dusin(u) C
-.
cos(ku)dusin(ku)
C k
.
sin(ku)ducos(ku)
C k
/. ∫ tan(u)du ln cos(u) C
0. ∫ c tg (u)du
u
∫
∫
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ln sin(u) C
1. ∫ sec(u)du
ln sec(u) tan(u) C ln tan
u C
2. ∫ csc(u)du
ln csc(u) ctg (u) C ln tan
u C
Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I
2 4
2
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3. ∫ sec2(u)du
tan(u) C
4. ∫ csc2 (u)du ctg (u) C
-5. ∫ sec(u)tan(u)du
sec(u) C
-. ∫ csc(u)ctg
(u)du
csc(u) C
du1
∫
u
--.
d
uu
2a
2
du
1
arctan C aa
u
a-. ∫
u
2
a2
ln C 2a u a
du 1 u a-/. ∫
a2
u
2
du
-0.
ln
C 2a u a
ar csin
u
C ∫
-1. ∫
-2. ∫
a2
u2
d
u
u2
a2
du
u2
a2
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ln
u
l
n u u2
a2
C
2
-3∫ a2
u 2 u
a2
u 2
a arcsin u
C
2
2
-4
∫ u
a2
d u
uu
2a
2
a
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8/37
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aln u u
2a
2C
2 2
5. ∫ u
2
a2
duu
u2
a2
aln u u
2a
2C
2 2
du. ∫ 2
2uu
a
1 u
arcsin
a a
C , a 0
du-.
∫2
2 ua
u
1 ln(a) a2
u2
C a u
Facultad de Ingeniera !emestre 2"1#$I
2
2
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T-+NI+A! DE INTE,RA+I%N
INTE,RA+INDIRE+TA:
Se trata aqu6 de lograr las primitivas en forma inmediata con elconocimiento de derivadas y la aplicación de la tabla b'sica
considerando algunos recursos algebraicos y las propiedades
se7aladas. Algunas veces, antes de realizar la
integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por
si de esa forma se puede integrar me*or. 8osteriormente, haciendo uso
de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras m's
sencillas, transform'ndose en una simple suma de
integrales m's
elementales.
Ejemplos:6
1. ∫ 6 x5
dx
x6 x
5 dx 6
6
C x6
C
4 3 2
2. ∫ 3 x3
5 x2
3 x 4 dx 3 x
5 x
3 x 4 x C
4 3 2
#. ∫ x2
3 dx ∫ x 2 3 x
x2
4 3 3
3 dx
∫ xdx 2 3 ∫ xdx
3∫ xdx
x 2 3 x C 2 3
∫ x x 13
x 1 dx ∫ x1 dx 2
x5
x C
/.
2 x30. ∫
7 x2
x2
2 2
5
4 dx
!olución:#escomponiendo la fracción en suma de fracciones&
3 2 3 22 x 7 x
x2
4 2 x 7 x
x2
x2
42 x
x2
7 4 x2
8or tanto&3 2 2 x 7
x∫ x2
4 dx ∫ 2 x
7 4 x2dx
x
2 x
1
2 7 x 4 C
∫
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2 1
x2
7 x4
C x
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2 x3 7 3 x
5
4 x . #eterminar ∫ dx . 3 5 x2
!olución: !ransformando las ra6ces en
potencia, descomponiendo en
suma de fracciones y
simplificando, tenemos&
2 x3
7 3
x5
4 x
35 x
2
3
2 x
2
5
7 x3
4 x2
3 x 5
3
2 x
2
2
3 x
5
5
7 x
3
2
3 x
5
4
x2
3 x 5
11
19
3
2 x 10 7 x15
4 x 5
3
3
3
8or lo que la integral nos queda&
335
11
19 3
2 x7
x4 x
2
x 10
7 x15
4 x 5
∫ dx ∫ dx3 5 x2
3 3 3
11
19
3
2 x 10
∫ dx 7
x 1
5
∫ dx
4 x 5
∫ d x
3
3
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3
20 21 10534 5
8
x 10 x 15 x 5C
3 x5
∫
2
x2
3
63 1026
x6
.#eterminar
dx .
!olución:
3 x
5
∫
2
x2
3
x6
x
5
∫ 2
x
3
x2
x6
∫ 2 ∫ 2
x 3
x 3
d
x
3
d dx
dx
13
3∫ x3
d
x
4
2
∫ x
3d
x
16
∫
x
3
d x
9 16 6 7 3 19 x
13
#e
t
mi
n
∫ d
!ión
16 7
19
5 1
1 x x
C 1
C ∫ ∫
5
4 x4
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x2
4. #eterminar ∫ 2 x
25dx .
16
!olución:
x2
25
∫ d x
x2
16 9∫ d x
x2
16 d x
∫ dx 9∫
x2
∫ x2
16
16d x
x2
1
6
9∫d x
x2
1
6
x2
16
x2
16
1
x
x2
2
16 16 ln
x x2
1
6
9 ln x x2
16 C
E5ER+I+I! 6R6'E!T!
En los siguientes e*ercicios, halle las integrales dadas&
x5
1.
∫
d
x
e3
x
2 sin x d x
2.
∫
3
3
x
3
2 x5d x
∫ 3
002t
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013t
#. ∫ y2
y4
e
e
2
4 dt 12. ∫
1
tan x
3 cos x dx
/.
∫ y
3 d
y
22 sin 2 x dx
∫ x
x2
3 x
2
1! 2 2
0.
d x 1/. ∫ ttt 2 dt ∫
x
2
3 2 1
∫
.
∫
3
x2
5 x
2dx
x
2 x
x
5 dx
4.
51
2
∫
t
∫ 2 x
1
5
3.e
x !2
1.
d
dx
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∫ 3 x x
24
.
∫ e
y
1 dy
$esuelve los siguientes problemas
17 IN,RE! &AR,INA(. El ingreso marginalderivado de la producción de q
unidades
decierto art6culo es
R
' (q)4
q
1
2
q2
dólares por unidad. Si
el
ingreso
derivado de
la producción
de -5
unidades es
de 95555,
:cu'l ser' el
ingreso
esperado por
la producción
de /5 unidades;
27 +!T &AR,INA(. Un fabricante estima que el
costo marginal por producir q
unidades de cierto bien es
C ' (q)
3q2
2
4
q
48 dólares por unidad. Si el
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costo de producción de 5 unidades es de 90555, :cu'l es
el costo de producción de 5 unidades;
#7 'TI(IDAD &AR,INA(. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser'
R ' (q) 200q
1! 2
dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q
unidades. Se ha determinado que el costo marginalcorrespondiente es de
04q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante
es 9-555 cuando en nivel de producción es de -0 unidades.
:(u'l es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción
sea de 1 unidades;
/7 +RE+I&IENT DE 'N AR)(. Un ecologista encuentra que cierto tipo de 'rbol
crece de tal forma que su altura h(t ) despu :(u'ntos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 5
minutos ?del tiempo t
10 al t
20 >;
7 DE!+N,E(A&IENT. Un trozo de carne se saca del
refrigerador y se de*a en el mostrador para que se descongele.(uando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era
de @/(, y t horas m's tarde se incrementaba a
una tasa de
T ' (t ) 7e035t o
$!%
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a> #etermine una fórmula para la temperatura de la carne despu :(u'l es la temperatura despu Suponga que la carne est' descongelada cuando su
temperatura llega a5(. :(u'nto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne;
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INTE,RA+I%N 6R !'!TIT'+I%N +A&)I DE VARIA)(E:El m
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3 4
2
55 x
2 6 5 C 12
#. #eterminar ∫ x
1 3 x dx .
!olución:
Bagamos u x
3
1 ⇒ du
3 x2 dx . $eemplazando en la integral,
tenemos&
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∫ x3
1 3 x2 dx u
5
u4 du C
5
5
x
1C 5
/. #eterminar ∫ sin( x) cos( x)dx .
!olu
ción:Bagamos u
sin( x)
⇒
du
cos( x)dx . $eemplazando en la integral,
tenemos&u2
∫ co
∫ udu 2 C
xdx
sin( x)
C 2
0.
#eter
minar
∫ cos
2
x2
!olución:
Bag
amos u x2
⇒ du
4
3
2
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dx du∫ ∫
arcsin(u) C x 1 ln
2( x) 1 u
2
arcsin ln( x) C
E5ER+I+I! 6R6'E!T!
Usando el m
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d c
17 VA(R DE (A
TIERRA. Se
estima que dentro de t
a7os, el valor
hect'rea de
tierra cultivable
crecer' a una
tasa de
04t 3
V
(
t
)
de una
V '(t ) 0 8000
dólares por a7o. Actualmente la tierra vale &500 por hect'rea.
a7 #etermine V (t )
97 :(u'nto valdr' la tierra dentro de 5 a7os;
27 +RE+I&IENT DE 'N AR)(. Se trasplantó un 'rbol y despu
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alcanzó una altura de 0 metros. :Cu
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Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es
menor que 5.50 mgDcm
.
a> #etermine una expresión para C (t ) .
b> :(u'l es la concentración despu
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