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21 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Propsito de la secuencia didctica:
Analiza los elementos de las funciones algebraicas y las clasifica de acuerdo a su forma y presentacin analtica, su grfica y variacin; posteriormente efecta operaciones con funciones.
Competencias genricas y atributos que se promueven:
1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
1.4 Analiza crticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de
medios, cdigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.2 Ordena informacin de acuerdo a categoras, jerarquas y relaciones.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de
vista de manera crtica y reflexiva.
6.1 Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas
de acuerdo a su relevancia y confiablidad.
6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integra
nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica.
7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.
7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y
prcticas sociales.
10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la
ubicacin de sus propias circunstancias en un contexto ms amplio.
Bloque 2 Funciones
Grfico de x2 y2 en tercera dimensin
22 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
SSEECCUUEENNCCIIAA DDIIDDCCTTIICCAA 22:: FFUUNNCCIIOONNEESS
LECTURA 1: FUNCIONES MATEMTICAS CONCEPTOS
BSICOS
2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCIN
Las funciones matemticas, en trminos simples,
corresponden al proceso lgico comn que se
expresa como depende de. Este proceso lgico
se aplica a todo lo que tiene relacin a un
resultado o efecto sea este medible o no en
forma cuantitativa.
Las funciones matemticas pueden referirse a
situaciones cotidianas, tales como: el valor del
consumo mensual de agua potable que depende
del nmero de metros cbicos consumidos en el
mes; el valor de un departamento que depende
del nmero de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende
de la hora del da; el costo de una llamada telefnica que depende de su duracin; el costo de
enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un nio que depende de su edad.
A modo de ejemplo, cul sera la regla que relaciona los nmeros de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los nmeros de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado": x -------> x2.
23 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
funcin). f es la regla "elevar al cuadrado el nmero".
Usualmente se emplean dos notaciones
x --------> x2 f(x) = x2
As, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.
Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones matemticas.
A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la
entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que
una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos tambin
que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente) y el mismo
conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del nmero ms 3".
x -------> 2x + 3
Algunos pares de nmeros que se corresponden por medio de esta regla son:
X Y -1 ------------> 1 0 -------------> 3 1 -------------> 5 2 - ------------> 7
Estos ejemplos van introduciendo la nocin de funcin: se pretende que todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto estn asociados a un y slo a un elemento del segundo conjunto.
Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente
elemento en Y. Un y slo a un significa que a un mismo elemento en X no le puede corresponder
dos elementos distintos en Y.
X Y
Pablo 88
Jorge 88
Marcela 55
Sergio 62
Ren 90
24 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Ahora podemos enunciar la siguiente definicin formal:
Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X exactamente un
elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.
Otra definicin equivalente es: Sean X e Y dos conjuntos.
Una funcin de X en Y es una regla (o un mtodo) que asigna un (y slo un) elemento en Y a
cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de nmeros.
Podemos comparar una funcin con una mquina a la cual
se le introduce el elemento x y cuya salida
correspondiente es f(x).
Generalizando, si se tiene una funcin f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A -----> B (, usando X por A e Y por B f : X -----> Y)
El primer conjunto A se conoce como DOMINIO (Dom) de la funcin y
B es el CODOMINIO o CONJUNTO DE LLEGADA.
f(x) denota la IMAGEN de x bajo f, mientras que x se llama la
PREIMAGEN de f(x).
En el ejemplo B) anterior el nmero 3 es la imagen del nmero 0 bajo
f; 1 es la preimagen del nmero 5.
El RANGO o RECORRIDO (Rec) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen
cuando x vara en todo el dominio de la funcin.
Ejemplo 1. Suponga que el conjunto A es A = {1,2,3} y que el conjunto B (de llegada) es B =
{0,4,6,8,10,12} y que la relacin de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada
25 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
elemento su cudruplo". Examine y decida si esta relacin es una funcin de A en B y determine su
dominio y recorrido.
Solucin. A los elementos 1,2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los
elementos 4,8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un nico elemento
de Y, la relacin de dependencia es una funcin (funcin de A en B).
Dominio = {1,2,3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Ejemplo 2. Sea X = {-4, -1, 0, 4, 9}, Y = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia
es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raz cuadrada". Determine si esta regla
constituye funcin de X en Y.
Solucin. Se aprecia que los nmeros 0, 4, 9 tienen imagen en Y, pero a los nmeros -4 y -1 no les
corresponde elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con
elementos de Y, esta relacin no es funcin de X en Y.
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE
Una funcin del conjunto A en el conjunto Y , es una relacin que asocia a cada elemento x del
conjunto A un nico elemento del conjunto Y . Si f es una funcin de A en Y, definimos f : A Y .
Si al elemento x A la funcin f le asocia el elemento y Y , entonces definimos f(x) = y.
Si f : A Y es una funcin entonces llamamos a A dominio de la funcin f, y al conjunto
Im(f) ={ y Y / f(x) = y para alguna x A }
rango o imagen de f. En este semestre estudiaremos solamente funciones cuyo dominio e imagen
son subconjuntos de R.
Por ejemplo el dominio e imagen de la funcin f(x) = x2 son los con- juntos R y [0,)
respectivamente.
26 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
VALORACIN CRITICA
Es importante recordar que para hallar el dominio no est permitido,
A. Dividir por cero.
B. Extraer races de orden par de nmero negativos.
Ejemplo del caso 1: Dividir por cero
Dado que x=1 anula al denominador, lo hace cero, por ello x=1 no se contempla en el dominio.
Ejemplo del caso 2: Extraer races de orden par de nmero negativos.
Para determinar el dominio, en problemas aplicados, es necesario considerar las
restricciones fsicas propias del problema.
Llamaremos dominio fsico al conjunto de argumentos permisibles del problema.
Por ejemplo, si A(r) = r2 es el rea de un crculo, el dominio es R, pero el dominio fsico
es el conjunto (0,), ya que no consideramos radios negativos.
27 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Instrucciones: Subraya las ideas principales de la Lectura 1: Funciones matemticas conceptos
bsicos, y en base a lo subrayado realiza un mapa conceptual. Guate de la rbrica de mapa
conceptual para realizar tu tarea y anexa la rbrica al entregar esta actividad para que se te
califique.
Nombre: ________________________________________________
Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. #2
ACTIVIDAD 1
28 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
LECTURA 2: OPERACIONES CON FUNCIONES MEDIANTE
FRMULAS, TABLAS Y GRFICAS
Introduccin
La oficina de personal de una compaa cuenta con estas dos funciones:
As, para realizar el pago a los empleados necesitamos una nueva funcin: h(x)=f(x) g(x)
Como sabemos, la tasa de impuestos en artculos diferentes cambia. Por ejemplo, la leche no tiene
impuestos. La caja de una tienda se conecta a una computadora que tiene dos funciones:
Para indicar al cliente cunto tiene que pagar por un artculo, creamos una nueva funcin :
h(x)=f(x) + g(x)
Dadas dos funciones f y g, en ocasiones necesitamos nuevas funciones que consisten de
f + g, f - g, fg f/g
Operaciones de Funciones mediante Frmulas
Sean dos funciones f y g, la suma, la diferencia, el producto y el cociente para todos los valores de
x comunes a ambos dominios, se definen de la siguiente manera:
Suma (f+g)(x)=f(x)+g(x)
29 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Diferencia (f-g)(x)=f(x) - g(x)
Producto (fg)(x)=f(x)g(x)
Cociente F/g = f(x)/g(x ) , g(x)0
Ejemplo: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones
f(x)= x + 2 y g(x)= x - 2.
1. f+g
(f+g) (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x
2. f-g
( f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4
3. fg
( f g ) ( x ) = f x g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x 2 - 4
4. f/g
f/g = (x+2) /(x-2) = (x+2) /( x-2)
Operaciones de Funciones representadas como Tablas
Considere la siguiente tabla de valores que corresponde a las funciones f y g.
x -2 -1 0 1 2
f(x) -2 0 -1 -1 1
g(x) 1 1 0 2 2
Ejemplo: Usar los valores de f y g en la tabla anterior para obtener : f + g, f - g, fg y f/g .
La siguiente tabla muestra los resultados de efectuar las operaciones requeridas. Para obtener los
valores para un valor de x, simplemente aplicamos la operacin a los valores dados en la tabla de
f(x) y g(x).
30 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
f(x) g(x) (f+g)(x) (f-g)(x) (fg)(x) (f/g)(x)
-2 -2 1 -1 -3 -2 -2
-1 0 1 1 -1 0 0
0 -1 0 -1 -1 0 No definido
1 -1 2 1 -3 -2 -1
2 1 2 3 -1 2 1
Operaciones de Funciones mediante Grficas
Es posible realizar operaciones con funciones utilizando sus
grficas. Lo que hacemos es evaluar ambas funciones en los
puntos correspondientes y aplicar la operacin
correspondiente.
Ejemplo: Usar las grficas de f y g en la siguiente figura para
obtener f + g, f - g y fg.
En la seccin anterior encontramos la tabla de valores de estas funciones. Podemos utilizar estos
valores para graficar las funciones.
x f(x) g(x) (f+g)(x)
-2 -2 1 -1
-1 0 1 1
0 -1 0 -1
1 -1 2 1
2 1 2 3
x f(x) g(x) (f-g)(x)
-2 -2 1 -3
-1 0 1 -1
0 -1 0 -1
1 -1 2 -3
2 1 2 -1
31 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
x f(x) g(x) (fg)(x)
-2 -2 1 -2
-1 0 1 0
0 -1 0 0
1 -1 2 -2
2 1 2 2
Dominio y Campo de Valores
Cuando estudiamos funciones aprendimos a obtener el dominio y campo de valores de funciones.
Como al combinar funciones obtenemos nuevas funciones, estas tambin tendrn su dominio y
campo de valores. Recordemos que para combinar aritmticamente las funciones, estas deben
tener un dominio comn.
El dominio de la funcin que resulta de combinar aritmticamente dos funciones f y g, depende
del dominio de f y g, como se muestra en la siguiente tabla:
dominio de f+g dominio comn a f y g.
dominio de f-g dominio comn a f y g.
dominio defg dominio comn a f y g.
dominio de f/g dominio comn a f y g, excluyendo los valores donde g(x)=0.
Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= . Hallar:
1. f+g
(f+g) (x) = f(x) + g(x) = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4
dominio de f Todos los nmero reales
dominio de g Todos los nmero reales
dominio de f+g Todos los nmero reales
campo de valores de f Todos los nmero reales
campo de valores de g Todos los nmero reales
campo de valores de f+g Todos los nmero reales
32 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
2. f+h
(f+ h ) (x) = f(x) + h(x) = 2 x + = 2 x +
dominio de f Todos los nmero reales
dominio de h Los nmero reales positivos y el cero
dominio de f+h Los nmero reales positivos y el cero
campo de valores de f Todos los nmero reales
campo de valores de h Los nmero reales positivos y el cero
campo de valores de f+h Los nmero reales positivos y el cero
3. f /g
f/ g = (2x)/ ( x - 4 )
dominio de f Todos los nmero reales
dominio de g Todos los nmero reales
dominio de f g Todos los nmero reales excepto x=4
En el tutorial de funciones racionales se cubre con detalle la forma de obtener el campo de
valores de este tipo de funciones.
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE
En la lectura vimos operaciones de funciones con frmulas, tablas y grficas. A veces nos conviene
poner una relacin en forma de una mquina con entrada y salida.
Por ejemplo, cuando realizamos compras en una tienda, sabemos que hay una relacin entre el
producto y su precio. El cajero necesita esa relacin en forma de una mquina donde l escanea el
cdigo del producto y la mquina devuelve el precio de este producto.
Observa que el dominio en las operaciones suma, resta y multiplicacin es la interseccin del
dominio de las dos funciones; pero en la divisin el dominio resultante ser todos los reales
33 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
excepto aquel nmero que haga cero al denominador, D(F + G) =(D F D G) {X /
G(X) = 0}.
VALORACIN CRTICA
A lo largo de tu vida has aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros reales, haces
estas operaciones todos los das en una variedad de situaciones. En secundaria aprendiste a
realizar estas cuatro operaciones bsicas en expresiones algebraicas. Entonces, aunque no
necesitas calcular 3x2 /10x muy a menudo, sabes cmo hacerlo.
Si sabes cmo realizar las cuatro operaciones bsicas en polinomios, entonces a travs de esta
lectura te dars cuenta que puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. La notacin se
ver diferente al principio, pero luego te dars cuenta que es simplemente algebra.
34 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Instrucciones: Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones
f(x)= x + 3 y g(x)= x +7 mediante frmulas. Anexa la grfica de cada operacin utilizando un
software graficador.
Nombre: ________________________________________________
Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 2
ACTIVIDAD 2
35 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
LECTURA: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES Y
POTENCIALES
Funcin lineal
En la vida real existe un buen nmero de ocasiones en
que se pueden aplicar las funciones lineales. Las
aplicaciones ms comunes de las funciones lineales se
dan en el campo de la economa y especialmente en el
clculo de intereses y el clculo de descuentos.
En el primer caso, si un banco una cantidad
determinada a un 7% de inters, para calcular el monto total de los intereses se habr de
multiplicar el capital prestado por 7/100 = 0.07; por lo tanto la funcin ser I(x) = 0.07x pues por
un capital de 1000 euros debern pagarse I(1000) = 0.077 * 1000 = 70 euros.
De la misma manera, el clculo de descuento en unas rebajas se puede llevar a cabo mediante una
funcin lineal. Por ejemplo, si a un determinado artculo se le aplica un descuento del 25%, ello
significa que, para calcular el descuento, habr que multiplicar el precio del articulo por
25/100 = 0.25; es decir, si denominamos d(x) a la funcin de descuento, entonces d(x) = 0.25x. Por
lo tanto, si el precio del artculo fuera 160 euros, su descuento seria
d(160) = 0.25 * 160 = 40 euros.
Funcin potencial
Las funciones potenciales tienen una gran importancia
matemtica, puesto que pueden ser aplicadas en
muchos campos para describir una gran variedad de
fenmenos o procesos de crecimiento, razn por la
cual dichas funciones tambin se denominan, a
menudo, funciones de crecimiento. Por ejemplo,
aplicando funciones potenciales se pueden determinar
el crecimiento de una poblacin de bacterias en el
laboratorio, el crecimiento vegetativo de una
Funcin exponencial
36 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
determinada especie animal, el modo en que decrece la materia radiactiva o el proceso temporal
de la difusin de las enfermedades contagiosas. Las funciones potenciales tambin desempean
una importante funcin en el clculo de los intereses producidos por las cuentas bancarias, pues
mediante ellas se puede determinar, por ejemplo, el aumento monetario que experimenta una
determinada cuenta sujeta a intereses compuestos.
Una de las funciones potenciales principales es la que tiene como base el numero e, que es, como
sabemos, un numero irracional cuyos primeros decimales son: 2.71828182845904523... La funcin
ex se denomina funcin exponencial, y su aplicacin tiene especial importancia sobre todo, en la
determinacin de los procesos de descomposicin radiactiva.
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE
Unos de los conceptos ms importantes en la matemtica es el de las funciones , ya que se
puede aplicar a numerosas situaciones de la vida cotidiana , y determinar las relaciones que
existen entre magnitudes tanto en matemtica, fsica, economa, y as poder calcular el valor
de una de ellas en funcin de otra de las que depende.
La funcin exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el
aumento (o disminucin) en un pequeo intervalo de tiempo sea proporcional a lo que haba al
comienzo del mismo.
A continuacin se ven tres aplicaciones:
Crecimiento de poblaciones.
Inters del dinero acumulado
Desintegracin radioactiva.
VALORACION CRTICA
En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenmenos que se rigen por leyes de
crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a inters
continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, tambin las sustancias
37 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegracin para producir otros tipos de
tomos y generar energa y radiaciones ionizantes.
Se llama funcin exponencial de base a aquella cuya forma genrica es f (x) = ax, siendo a un
nmero positivo distinto de 1. Por su propia definicin, toda funcin exponencial tiene por
dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales R.
La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de la funcin logartmica, por cuanto
se cumple que:
Un caso particularmente interesante de funcin exponencial es f (x) = ex. El nmero e, de valor
2,7182818285..., se define matemticamente como el lmite al que tiende la expresin: (1 + 1/n)n
cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este nmero es la base elegida para los
logaritmos naturales o neperianos.
La funcin ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su inters en las
descripciones fsicas y matemticas. Una de ellas es que coincide con su propia derivada
38 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AO 2015
Instrucciones: Contesta lo que se te pide.
1.- Aplicaciones ms comunes de la funcin lineal:
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ .
2.- Una de las funciones potenciales principales es: _____________________________________
3.- En la funcin f (x) = ax, a representa un nmero positivo distinto de: __________
4.- El dominio de una funcin exponencial es: _______________________________
5.-El valor de e es: ____________________________________
6.- La funcin ex se llama: _____________________________________________________
7.- La funcin exponencial puede considerarse como la inversa de: __________________________
Nombre: ________________________________________________
Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 2
ACTIVIDAD 3