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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE HUICHAPAN

BITACORA

MECANISMOS

INGENIERÍA MECATRÓNICA

QUINTO SEMESTRE

Temario de mecanismos

Unidad I - Introducción de los Mecanismos.1.1- Generalidades de los Mecanismos.1.2- Conceptos Básicos.1.2.1- Eslabones y Pares Cinemáticos.1.2.2- Nodos.1.2.3- Cadenas Cinemáticas.1.3- Grados de Libertad.1.4- Inversión Cinemática.1.5- Criterio de Gruebler y sus Excepciones.

Unidad II - Análisis Cinemáticos de Mecanismos Planos.2.1- Análisis de Posición de Mecanismos planos por método Grafico y Analítico.2.2- Análisis de Velocidad de Mecanismos Planos por método Didáctico y Analítico.2.3- Análisis de Aceleración de Mecanismos Planos por métodos Planos y Analíticos.2.4- Teorema de Kenedin.2.5- Análisis de Posición, Velocidad y Aceleración.

Unidad III - Levas3.1- Nomenclatura, Clasificación y Aplicación de Levas y Seguidores.3.2- Análisis de Diagramas y Curvas de Desplazamiento, Velocidad y Aceleración para el Seguidor.3.3- Diseño Gráfico y Analítico del perfil de Levas (Con Seguidor Radial, de Centrado y de Movimiento Oscilatorio).3.4- Diseño de Levas Planas con la Aplicación de SOFTWARE.

Unidad IV - Engranes y Trenes de Engranes.4.1- Nomenclatura, Clasificación y Aplicación de los engranes (Cónicos, Rectos y Ecoidales).4.2- Diseño de Engranes Cónicos, Rectos y Ecoidales.4.3- Estandarización y Normalización de Engranes.4.4- Análisis Cinemáticos de Trenes y Engranes Simples y compuestos Planetarios.4.5- Diseño de Engranes por medio de SOFTWARE.

Unidad V - Síntesis de Mecanismos.5.1- Introducción a la Esencia de los Mecanismos.5.2- Espaciamiento de los Puntos de Precisión para la Generación de Funciones.5.3- Diseño Gráfico y Analítico de un Mecanismo de 4 Barras Particuladas como un Generador.5.4- Síntesis Analítica empleando Números Complejos.5.5- Aplicación de Síntesis en la Aplicación de Mecanismos.

Unidad 1

Introduccion a los mecanismos

1.1GENERALIDADES DE MECANISMOS

Un mecanismo es un dispositivo que transforma el movimiento producido por un elemento motriz (fuerza de entrada) en un movimiento deseado de salida.

• Es un utensilio que el hombre creó para resolver necesidades y facilitar las tareas; un conjunto de elementos rígidos y móviles unidos.

• La combinación adecuada de operadores mecánicos forma un mecanismo.

Los mecanismos se clasifican según la actividad que realizan:

Acumulan energía.

Reducen el esfuerzo.

Transmisores de fuerzas (y tipos de palancas)

Transmisores del movimiento y fuerzas de tracción.

Transformadores del movimiento.

Reguladores del movimiento

Mecanismos transmisores de movimiento

Son los elementos de un mecanismo encargados de transmitir movimiento desde el eje opunto de salida hasta el movimiento motriz

Árboles

Tienen la misma forma que lo ejes, pero a diferencia de estos, los árboles transmiten energía y y potencia y están sometidos a torsión. En definitiva, los ejes

han sido creados para soportar las piezas, en cambio los árboles transmiten movimiento.

Cuando es necesario transmitir movimiento entre dos puntos muy distanciados entre si, se usa un árbol largo, o se acoplan entre ellos. Según las condiciones de transmisión, usan dos tipos de acoplamientos:

Acoplamiento rígido: Los árboles se encuentran en el mismo eje geométrico y giran en el mismo sentido, en este caso se usan bridas para su acoplamiento.

Acoplamiento móvil: Permite una cierta inclinación entre los árboles de transmisión, es decir, los ejes geométricos pueden no estar alineados, en este caso se usan Juntas para su acoplamiento.

Como su nombre lo indica transmiten el movimiento desde un punto hasta otro sitio o siendo en ambos casos el mismo tipo de movimiento por ejemplo:

Palanca

Sistema de poleas

Sistemas de poleas con correa

Sistema de ruedas de fricción

Sistema de engranes

Mecanismos transformadores de movimiento

En estos mecanismos, el tipo de movimiento que tiene el elemento de entrada del mecanismo es diferente del tipo de movimiento que tenga el elemento de salida, es decir, el tipo de movimiento se transforma en otro distinto, de ahí el nombre de mecanismo de transformación.

Los mecanismos de transformación pueden ser, a su vez, agrupados en dos grandes grupos:

1. Mecanismos de transformación circular-lineal: En este caso, el elemento de entrada tiene movimiento circular, mientras que el elemento de salida tiene movimiento lineal. Ejemplo: El mecanismo piñón-cremallera.

2. Mecanismos de transformación circular-alternativa: En este caso, el elemento de entrada tiene movimiento circular, mientras que el elemento de salida tiene movimiento alternativo. Ejemplos:

Piñón cremallera

Leva

Sistema biela manivela

Rueda excéntrica

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS

LAS MÁQUINAS

Prácticamente cualquier objeto puede llegar a convertirse en una máquina sin más que darle la utilidad adecuada. Por ejemplo, una cuesta natural no es, en principio, una máquina, pero se convierte en ella cuando el ser humano la usa para elevar objetos con un menor esfuerzo (es más fácil subir objetos por una cuesta que elevarlos a pulso); lo mismo sucede con un simple palo que nos encontramos tirado en el suelo, si lo usamos para mover algún objeto a modo de palanca ya lo hemos convertido en una máquina.

TIPOS DE MÁQUINAS

Las máquinas inventadas por el hombre se pueden clasificar atendiendo a tres puntos de vista:

Según su complejidad, que se verá afectada por el número de operadores (piezas) que la componen.

Según el número de pasos o encadenamientos que necesitan para realizar su trabajo.

Según el número de tecnologías que la integran.

Analizando nuestro entorno podemos encontrarnos con máquinas sencillas (como las pinzas de depilar, el balancín de un parque, un cuchillo, un cortaúñas o un motor de gomas), complejas (como el motor de un automóvil o una excavadora) o muy complejas (como un cohete espacial o un motor de reacción), todo ello dependiendo del número de piezas empleadas en su construcción.

Máquinas simples

Cuando la máquina es sencilla y realiza su trabajo en un solo paso nos encontramos ante una máquina simple. Muchas de estas máquinas son conocidas desde la prehistoria o la antigüedad y han ido evolucionando incansablemente (en cuanto a forma y materiales) hasta nuestros días. Algunas inventos que cumplen las condiciones anteriores son: cuchillo, pinzas, rampa, cuña, polea simple, rodillo, rueda, manivela, torno, hacha, pata de cabra, balancín, tijeras, alicates, llave fija... Las máquinas simples se pueden clasificar en tres grandes grupos que se corresponden con el principal operador del que derivan: palanca, plano inclinado y rueda.

LA PALANCA

La palanca es un operador compuesto de una barra rígida que oscila sobre un eje (fulcro). Según los puntos en los que se aplique la potencia (fuerza que provoca el movimiento) y las posiciones relativas de eje y barra, se pueden conseguir tres tipos diferentes de palancas a los que se denomina: de primero, segundo y tercer género (o grado). El esqueleto humano está formado por un conjunto de palancas cuyo punto de apoyo (fulcro) se encuentra en las articulaciones y la potencia en el punto de unión de los tendones con los huesos; es por tanto un operador presente en la naturaleza. De este operador derivan multitud de máquinas muy empleadas por el ser humano: cascanueces, alicates, tijeras, pata de cabra, carretilla, remo, pinzas.

EL PLANO INCLINADO

El plano inclinado es un operador formado por una superficie plana que forma un ángulo oblicuo con la horizontal. Las rampas que forman montañas y colinas son planos inclinados, también pueden considerarse derivados de ellas los dientes y las rocas afiladas, por tanto este operador también se encuentra presente en la naturaleza. De este operador derivan máquinas de gran utilidad práctica como: broca, cuña, hacha, sierra, cuchillo, rampa, escalera, tornillo-tuerca, tirafondos.

LA RUEDA

La rueda es un operador formado por un cuerpo redondo que gira respecto de un punto fijo denominado eje de giro.

Normalmente la rueda siempre tiene que ir acompañada de un eje cilíndrico (que guía su movimiento giratorio) y de un soporte (que mantiene al eje en su posición). Aunque en la naturaleza también existen cuerpos redondeados (troncos de árbol, cantos rodados, huevos...), ninguno de ellos cumple la función de la rueda en las máquinas, por tanto se puede considerar que esta es una máquina totalmente artificial. De la rueda se derivan multitud de máquinas de las que cabe destacar: polea simple, rodillo, tren de rodadura, noria, polea móvil, polipasto, rodamiento, engranajes, sistema correa-polea.

Máquinas compuestasCuando no es posible resolver un problema técnico en una sola etapa hay que recurrir al empleo de una máquina compuesta, que no es otra cosa que una sabia combinación de diversas máquinas simples, de forma que la salida de cada una de ellas se aplica directamente a la entrada de la siguiente hasta conseguir cubrir todas las fases necesarias. Las máquinas simples, por su parte, se agrupan dando lugar a los mecanismos, cada uno encargado de hacer un trabajo determinado. Si analizamos un taladro de sobremesa podremos ver que es una máquina compuesta formada por varios mecanismos: uno se encarga de crear un movimiento giratorio, otro de llevar ese movimiento del eje del motor al del taladro, otro de mover el eje del taladro en dirección longitudinal, otro de sujetar la broca,

TIPOS DE MOVIMIENTO

Movimiento giratorioSi analizamos la mayoría de las máquinas que el ser humano ha construido a lo largo de la historia: molinos de viento (empleados para moler cereales o elevar agua de los pozos), norias movidas por agua (usadas en molinos, batanes, martillos pilones...), motores eléctricos (empleados en electrodomésticos, juguetes, maquinas herramientas...), motores de combustión interna (usados en automóviles, motocicletas, barcos...); podremos ver que todas tienen en común el hecho de que transforman un determinado tipo de energía (eólica, hidráulica, eléctrica, química...) en energía de tipo mecánico que aparece en forma de movimiento giratorio continuo en un eje.

Por otra parte, si nos fijamos en los antiguos tornos de arco, los actuales exprimidores de cítricos, el mecanismo del péndulo de un reloj o el eje del balancín de un parque infantil, podemos observar que los ejes sobre los que giran están dotados de un movimiento giratorio de vaivén; el eje gira alternativamente en los dos sentidos, es el denominado movimiento giratorio alternativo.

Movimiento lineal Analizando el funcionamiento de una cinta transportadora (como las empleadas en aeropuertos o en las cajas de los supermercados) vemos que todo objeto que se coloque sobre ella adquiere un movimiento lineal en un sentido determinado, lo mismo sucede si nos colocamos en un peldaño de una escalera mecánica. Es el denominado movimiento lineal continuo. Este mismo tipo de movimiento lo encontramos también en las lijadoras de banda o las sierras de cinta. Si ahora nos paramos a estudiar el movimiento de la aguja de una máquina de coser podemos ver que esta sube y baja siguiendo también un movimiento lineal, pero a diferencia del anterior, este es de vaivén; lo mismo sucede con las perforadoras que se emplean para abrir las calles, las bombas de inflar balones o el émbolo de las máquinas de vapor. A ese movimiento de vaivén que sigue un trazado rectilíneo se le denomina movimiento lineal alternativo.

Movimiento complejo: combinación simultanea de rotación y traslación. En el espacio tridimensional, puede haber rotación alrededor de un eje (cualquier eje oblicuo o uno de los 3 ejes principales) y también traslación simultanea.

Rotación pura: el cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento respecto al marco de referencia “estacionario”. Todos los demás puntos del cuerpo rescriben arcos alrededor del centro. Una línea de referencia trazada en el cuerpo a través del centro cambia solo su orientación angular.

Traslación pura: todos los puntos de cuerpo describen líneas paralelas entre ellas (curvilíneas o rectilíneas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal pero no su posición angular.

Movimiento complejo: combinación simultanea de rotación y traslación. Cualquier línea de referencia trazada en el cuerpo cambiara su posición lineal o angular. Los puntos en el cuerpo recorren líneas paralelas, y habrá en todo instante un centro de rotación, el cual cambiara continuamente de ubicación.

MECANISMOSToda máquina compuesta es una combinación de mecanismos; y un mecanismo es una combinación de operadores cuya función es producir, transformar o controlar un movimiento.

Los mecanismos se construyen encadenando varios operadores mecánicos entre sí, de tal forma que la salida de uno se convierte en la entrada del siguiente.

Tipos de mecanismos

Dependiendo de la función que el mecanismo realiza en la máquina, podemos distinguir dos categorías:

1. Mecanismos de transmisión del movimiento.2. Mecanismos de transformación del movimiento.

Mecanismos de transmisión del movimiento.

Son mecanismos que reciben la energía o movimiento del elemento motriz y lo trasladan a otro sitio (elemento receptor).Ejemplo: el mecanismo de transmisión por cadena de la bicicleta.La polea es una rueda con una acanaladura por la que hace pasar una cuerda o cable, y un agujero en su centro para montarla en un eje.Una polea nos puede ayudar a subir pesos ahorrando esfuerzo: la carga que se quiere elevar se sujeta a uno de los extremos de la cuerda y desde el otro extremo se tira, provocando así el giro de la polea en torno a su eje.Existen dos tipos de poleas:a) Polea fija (polea simple).Se trata de una polea donde su eje se fija a un soporte, manteniéndola inmóvil. No proporciona ahorro de esfuerzo para subir una carga (F = R).Sólo se usa para cambiar la dirección o sentido de la fuerza aplicada y hacer más cómodo su levantamiento (porque nuestro peso nos ayuda a tirar).b) Polipasto.A un conjunto de dos o más poleas se le llama polipasto.El polipasto está constituido por dos grupos de poleas:_ Poleas fijas: son poleas inmóviles, porque están fijas a un soporte._ Poleas móviles: son poleas que se mueven.A medida que aumentamos el número de poleas en un polipasto, el mecanismo es más complejo, pero permite reducir mucho más el esfuerzo necesario para levantar una carga.Los polipastos se usan para elevar cargas muy pesadas con mucho menor esfuerzo.

Mecanismos de transformación de movimiento.

Son mecanismos que reciben la energía o movimiento del elemento motriz, y transforman el tipo de movimiento para adecuarlo a las necesidades o características del elemento receptor.Ejemplo: mecanismo biela-manivela de transformación lineal a circular en la locomotora de vapor.

Mecanismos de transmisión lineal: reciben un movimiento lineal y lo transmiten manteniéndolo lineal.- Mecanismos de transmisión circular: reciben un movimiento circular y lo transmiten manteniéndolo circular.En ocasiones, son necesarios mecanismos que no sólo transmitan el movimiento, sino que tambiénlo transformen:a) de circular a lineal.b) de lineal a circular.De ello se encargan los mecanismos de transformación de movimiento.Ejemplo: para subir-bajar la banqueta del fotomatón (movimiento lineal) hay que girar el asiento (movimiento circular).Mecanismos de transformación del movimiento:

1. Tornillo – tuerca.

Este mecanismo consta de un tornillo y una tuerca que tienen como objetotransformar el movimiento circular en lineal.Funcionamiento:a) Si se hace girar el tornillo, la tuerca avanza con movimiento rectilíneo.b) Si se hace girar la tuerca, el tornillo avanza con movimiento rectilíneo.Aplicaciones: gatos de coches, sargentos, tornos de banco, grifos, prensas, prensas, lápiz de labios, pegamento en barra, etc.

2. Piñón – cremallera.

Se trata de una rueda dentada (piñón) que se hace engranar con una barra dentada (cremallera). Es un mecanismo de transformación de circular a lineal, y viceversa (lineal a circular).Funcionamiento:a) Si la rueda dentada gira (por la acción de un motor), la cremallera se desplaza con movimiento rectilíneo.b) Y viceversa: si a la cremallera se le aplica un movimiento lineal, empuja a la rueda dentada haciendo que ésta gire.Aplicaciones: movimientos lineales de precisión (microscopios), sacacorchos, regulación de altura de los trípodes, movimiento de estanterías móviles en archivos, farmacias o bibliotecas, cerraduras, funiculares, apertura y cierre de puertas automáticas de corredera, desplazamiento máquinas herramientas(taladros, tornos, fresadoras...), cerraduras, gatos de coche, etc.

3. Levas.

Mecanismo que permite convertir un movimiento rotativo en un movimiento lineal (pero no viceversa). Se compone de una leva (pieza de contorno especial que recibe el movimiento rotativo a través del eje motriz) y de un elemento seguidor que está permanentemente en contacto con la leva gracias a la acción de un muelle. De este modo, el giro del eje hace que el perfil o contorno de la leva toque, mueva o empuje al seguidor. Funcionamiento: El eje motriz hace girar a la leva (movimiento circular); el seguidor está siempre en contacto con ella gracias al empuje del muelle, por lo que realizará un recorrido ascendente y descendente (movimiento lineal) que depende del movimiento y la forma de la leva.

Aplicaciones: motores de automóviles (para la apertura y cierre de las válvulas), programadores de lavadoras (para la apertura y cierre de los circuitos que gobiernan su funcionamiento), carretes de pesca (mecanismo de avance-retroceso del carrete), etc.

4. Biela – manivela.

Está formado por una manivela y una barra denominada biela. La biela se encuentra articulada por un extremo con la manivela, mientras que por el otro extremo describe un movimiento lineal en el interior de una guía.Funcionamiento: La manivela se conecta a eje motriz, que le proporciona el movimiento giratorio. Al girar, la manivela transmite un movimiento circular a la biela que experimenta un movimiento de vaivén (movimiento lineal).Este sistema también funciona a la inversa, es decir, transforma el movimiento rectilíneo de la manivela en un movimiento de rotación en la biela.Aplicaciones: antiguas locomotora de vapor, motor de combustión (motorde los automóviles), limpiaparabrisas, rueda de afilar, máquina de coser, compresor de pistón, sierras automáticas, etc.Cigüeñal:Si se disponen varios sistemas biela - manivela conectada a un eje común, se forma un cigüeñal.

Se utiliza en objetos tan distintos como un motor de gasolina o las atracciones de feria.

Una cadena cinemática se define como: una cadena cinemática en la cual por lo menos un eslabón se a “fijado” o sujetado a el marco de referencia el cual por si mismo puede estar en movimiento.

Una maquina se define como: una combinación de componentes enlazados para hacer que las fuerzas de la naturaleza realicen trabajo acompañados por movimientos determinados.

Manivela: se define como un eslabón que realiza una revolución completa y esta pivotada a la bancada, un balancín como un eslabón que tiene rotación oscilatoria (va y ven) y esta pivotada a la bancada y un acoplador o biela como un eslabón que tiene movimiento complejo y no esta pivotado a la bancada

1.2.1 Eslabones y pares cinemáticos

ESLABON

Los cuerpos sólidos que forman parte de un mecanismo se denominan (eslabones). Un eslabón tiene dos o más pares o elementos de conexión, por medio de los cuales se pueden unir a otros elementos con el fin de transmitir fuerza o movimiento.

Los cuerpos sólidos que forman parte de un mecanismo se denominan (eslabones). Un eslabón tiene dos o más pares o elementos de conexión, por medio de los cuales se pueden unir a otros elementos con el fin de transmitir fuerza o movimiento.

Un eslabón tiene en ambos extremos la posibilidad de conectarse con otros dos eslabones.

EJEMPLO DE ESLABONES.

Bancada:

se define como cualquier eslabón o eslabones que están fijos (móviles con respecto al marco de referencia)

Determinación del GDL: el GDL también llamado movilidad (M) se define como el número de entradas que se necesita proporcionar para crear una salida predecible. También el número de coordenadas independientes requerido para definir su posición. Las cadenas cinemáticas o mecanismos pueden ser abiertos o cerrados. Un mecanismo cerrado no tendrá puntos de fijación o nodos y puede tener uno o más GDL. Un mecanismo abierto con más de un eslabón siempre tendrá más de un grado de libertad por lo que requerirá tantos actuadores (motores) como GDL tenga. Un mecanismo abierto es un robot industrial. Una cadena cinemática abierta de dos eslabones binarios y una junta se llama diada.

1.2.2 Nodos

Nodos:Son puntos específicos donde se enlazan conexiones de un armado o retener conexiones para un ensamble de mecanismos de diferentes funciones (maquinas, poleas, estructuras, entre otros) donde se retiene la fuerza en la unión de una o mas conexiones pueden multiplicar la fuerza en resistencia mejor comodidad, seguridad y hasta el ahorro de trabajo rustico. Ellos se forman al unir las conexiones o armados de mecanismos, la función de los nodos es que pueden ser puntos para retener el peso y ajustar de manera mutua los ensambles de diferentes armados, otra de sus funciones es que no solo se pueden usarse para mantener todo cuerpo estático , también se pueden usar para generar movimientos dinámicos.

Todos los nodos describen movimientos paralelos, sea rectilíneo o curvo. La línea que une dos puntos de referencia del cuerpo podrá cambiar su posición, su orientación angular.

En esta división del capítulo de mecanismos se presentarán los conceptos básicos de mecanismos junto con la descripción de algunos casos típicos. Se expondrán algunas nociones elementales de cinemática del cuerpo rígido y tipologías de movimientos: rotación, traslación y roto-traslación con el uso de los nodos. Juntas, eslabones, cadenas, poleas, cigüeñales, torques, cuñas, bandas, eslabones, grados de libertad.

Conceptos elementales de Cinemática de Movimientos

Existen dos movimientos básicos, uno de rotación pura y otro de translación pura, de acuerdo a los cuales se pueden definir un movimiento más complejo de roto-translación.

Movimiento de Translación:

Todos los puntos de un cuerpo describen un movimiento paralelo, sea rectilíneo o curvo. La línea que une dos puntos de referencia del cuerpo podrá cambiar su posición pero no su orientación angular.

Movimiento de Rotación Pura:

El cuerpo posee un punto, llamado centro de rotación, que no tiene movimiento respecto del marco de referencia estacionario. Todos los restantes puntos del cuerpo describen movimientos curvilíneos respecto del centro de rotación. La línea que une dos puntos de referencia y que pasa por el centro, cambia únicamente su orientación angular.

Movimiento de Roto-Translación:

Es una combinación simultánea de rotación y translación. Cualquier línea de referencia trazada por el cuerpo cambiará de posición y de orientación angular respecto del marco de referencia. Habrá en todo momento un centro de rotación, el cual irá cambiando de ubicación.

1.2.3 Cadenas cinemáticas

Una cadena cinemática se define como:

Es un ensamble de eslabones y juntasinterconectados de modo que proporcionen un movimiento de salida controladoen respuesta a un movimiento de entrada proporcionado.

Un mecanismo se define como:

Una cadena cinemática en la cual por lómenos un eslabón se a fijado o sujetado al marco de referencia (el cual por si mismo puede estar en movimiento.

Existen dos tipos de cadenas cinemáticas las cuales son:

Abiertas: involucran movimientos en los cuales el segmento distal (mano o pie) tiene libertad para moverse en el espacio, sin causar necesariamente movimientos simultáneos en articulaciones adyacentes. El movimiento de la extremidad ocurre distalmente a la articulación que se mueve. La activación muscular ocurre en los músculos que cruzan la articulación que se mueve. Por ejemplo, durante la flexión de rodilla en un ejercicio de cadena abierta

Cerrada: es aquella que en la articulación terminal se encuentra con una resistencia externa considerable que prohíbe o restringe su movimiento libre.

1.3GRADOS DE LIBERTAD

Un cuerpo aislado puede desplazarse libremente en un movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las 3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones).

Para un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos), algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como grados de libertad los movimientos independientes que permanecen.

Grados de libertad o movilidad (GDL): es igual al número de parámetros independientes que se requieren para definir de manera única su posición en el espacio en cualquier instante de tiempo estos pueden ser longitudes y ángulos.

Más concretamente, los grados de libertad son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holónomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes.

En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertadGL, d = 2·GL.

Grados de libertad en mecanismos planos

Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:

Dónde:

, movilidad.

, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) de un

mecanismo.

, número de uniones de 1 grado de libertad.

, número de uniones de 2 grados de libertad.

Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. Para poder emplear el criterio, debemos eliminar los enlaces redundantes y calcular entonces los grados de libertad del mecanismo.

Todas las partes fijas (uniones al suelo) se engloban como el primer elemento. Aunque el grado de libertad de algunas uniones es fácil de visualizar, en otras ocasiones se pueden cambiar por sistemas equivalentes.

Los grados de libertad también llamados DOF por sus siglas en inglés (degree of freedom)hacen referencia al número de movimientos independientes que se pueden realizar. En otras palabras, un grado de libertad es la capacidad de moverse a los largo de un eje (movimiento lineal) o de rotar a lo largo de un eje (movimiento rotacional).Por ejemplo, un automóvil posee 3 grados de libertad, dos de posición y uno de orientación.

ROBOTS MANIPULADORES

Los robots manipuladores, son esencialmente, brazos articulados. La estructura básica de un manipulador consiste en una serie de elementos estructurales sólidos o eslabones unidos mediante articulaciones que permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabones consecutivos.

Cartesiana Cilíndrica Polar

La estructura de un robot manipulador tiene diferentes propiedades en cuanto al espacio de trabajo y el tipo de movimiento que puede realizar. Podemos clasificarlas en: cartesiana, cilíndrica, polar y angular. Las tres primeras se pueden observar en la figura 2 y la angular en la figura 1. Para más información sobre el tema consulte las referencias

Grados de libertad (movilidad en mecanismos planos)

Para determinar GLD global en cualquier mecanismo, se debe considerar el número de eslabones, así como las juntas y las interacciones entre ellos. El GLD de cualquier ensamble de eslabones se puede pronosticar con una investigación de la condición de Grübler. Cualquier eslabón en un plano tiene 3 GDL, por consiguiente, un sistema se l eslabones no conectados en el mismo plano tendrá 3l GDL como se muestra en la figura (a), donde los dos eslabones no conectados por una junta completa como en la figura (b), ∆ Y 1 y ∆ Y 2 se combinan como ∆ Y y ∆ X1 y ∆ X2 se combinan como ∆ X. Esto elimina 2 GDL y deja 4; en la figura (c) la

semijunta elimina solo 1 GDL del sistema (por que una semijunta tiene 2 GDL y deja el sistema de 2 eslabone conectados por una semijunta con un total de 5 GDL) además, cuando cualquier eslabón esta conectado a tierra o unido al marco de referencia se eliminaran sus 3 GDL, esto llevan la ecuación de grübler.

m = 3L – 3J – 3G

m= grados de libertadJ=numero de juntasL=numero de eslabonesG=numero de eslabones conectados a tierra

Hay que observar que aun cuando uno de los eslabones este conectado a tierra hay que crear un eslabón que este conectado a tierra mas grande. Ya que solo puede haber un plano de tierra. Por lo tanto que siempre es 1 y la ecuación de Grübler se convierte en: m = 3(L-1) – 2J

El valor de J de las ecuaciones debe reflejar el valor de todas las juntas en el mecanismo. Esto es: las semijuntas cuentan como medio por que solo eliminan 1 GDL, esto es menos confuso si se utiliza la modificación de Kutzbach de la ecuación de Grübler en esta forma

m = 3(L-1) – 2J1 – 2J2

m=numero de grados de libertad o movilidadL=numero de eslabonesJ1= numero de juntas de 1 GDL (completas)J2=numero de juntas de 2 GDL (semi)

GDL y movilidad en mecanismos en el espacio.

El método utilizado para la movilidad de un mecanismo plano se puede ampliar con facilidad a tres dimensiones. Cada eslabón no conectado en 3 espacios tiene 6GDL y uno de los 6 pares inferiores se puede utilizar para conectarlos, al igual que los paras superiores con mal libertad. Una junta de un grado de libertad elimina 5 GDL, una de 2 GDL elimina 4 GDL , la bancada elimina 6 GDL .

Esto conduce a la ecuación de Kutzbatch para eslabonamientos espaciales

M=6(L-1)-5j1-4j2-3j3-2j4-j5

Donde el subíndice se refiere a los grados de libertad de la junta

1.4 INVERSIÓN CINEMÁTICA

Una inversión es creada por la conexión a tierra de un eslabón diferente en la cadena cinemática. Por lo tanto, existen muchas inversiones de un eslabonamiento como los eslabones que tiene.

Los movimientos que resultan de cada inversión pueden ser muy diferentes, pero algunas inversiones de un eslabonamiento pueden producir movimientos similares a otras inversiones del mismo eslabonamiento. En estos casos, sólo algunas de las inversiones pueden tener movimientos enteramente diferentes. Se denotarán las inversiones que tienen movimientos enteramente diferentes con inversiones distintas.

La figuras2-13 muestra las cuatro inversiones del eslabonamiento de corredera-manivela de cuatro barras y todas tienen movimientos distintos. La inversión número 1, con el eslabón 1 como bancada y su corredera en traslación pura, es la más común y se utiliza en motores de pistones y bombas de pistón. La inversión número 2 se obtiene al fijar el eslabón 2 y produce el mecanismo de retorno rápido Whitworth o limadora de manivelas, en el que la corredera tiene movimiento complejo.

La inversión número 3 se obtiene al fijar el eslabón 3 y da a la corredera rotación pura. La inversión numero 4 se obtiene al fijar el eslabón 4 y se utiliza en mecanismos manuales de bomba de pozo, en los que la manija es el eslabón 2 (extendido) y el eslabón 1 baja hasta la tubería del pozo para montar un pistón en su extremo inferior, (En la figura esta invertido.)

Figuras2-13

a) Inversión número 1 traslación de la corredera

b) Inversión número 2 la corredera tiene movimiento complejo

c) Inversión número 3 la corredera gira

d) Inversión número 4 la corredera es estacionaria

La cadena de seis barras de Watt (tiene dos inversiones distintas y la de seis barras deStephensontiene tres inversiones distintas, como se muestra en la figura 2- 14. Las cuatro barras con juntas de pasador tiene cuatro inversiones distintas:

La manivela-balancín La doble manivela Doble balancín

Figuras 2- 14

a) Inversión I de seis barras de Stephenson

b) Inversión II de seis barras de Stephenson

c) Inversión III de seis barras de Stephenson

d) Inversión I de seis barras de Watt

e) Inversión II de seis barras de Watt

1.5 CRITERIO DE GRUEBLER Y SUS ACEPCIONES

Una de las preocupaciones, ya sea en el diseño o en el análisis de un mecanismo, el número de gados de libertad, conocido también como movilidad del dispositivo.Se define movilidad del dispositivo o grados de libertad (G) como el número de parámetros mínimo para que quede completamente definida la posición de un mecanismo.El número de grados de libertad se define como el número de elementos de entrada. Es decir, el número de motores y/o actuadores que deben colocarse en el mecanismo para proporcionar movimiento.

Es factible determinar la movilidad de un mecanismo directamente a través de un recuento del número de eslabones y la cantidad y tipos de articulaciones que incluye.Para desarrollar esta relación considérese que, antes de conectarse entre si, cada eslabón de un mecanismo plano posee tres grados de libertad cuando se mueven en relación al eslabón fijo. Por consiguiente, sin contar este ultimo, un mecanismo plano de n eslabones posee 3(n-1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones. Al conectar una articulación con un grado de libertad, como por ejemplo, un par de revoluta, se tiene el efecto de proveer dos restricciones entre los eslabones conectados. Si se conecta un par con dos grados de libertad, se proporciona una restricción. Cuando las restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante de un mecanismo conectado. Cuando se usa j1 para denotar el número de pares con un solo grado de libertad y j2 para el número de pares con dos grados de libertad, la movilidad resultante m de un mecanismo plano de n eslabones esta dada por:

m=3(n-1)-2j1-j2

Escrita en esta forma la ecuación se le conoce como criterio de Kutzbach para la movilidad de un mecanismo plano.Si el criterio de Kutzbach da m > 0, el mecanismo posee m grados de libertad.Si m = 1, el mecanismo se puede impulsar con un solo movimiento de entrada.

Si m = 2 entonces se necesitan dos movimientos de entrada separados para producir el movimiento restringido del mecanismo.Si m = 0 el movimiento es imposible y el mecanismo forma una estructuraSi m = -1 o menos, entonces, hay restricciones redundantes en la cadena y forma una estructura estáticamente indeterminada

Hay casos en los que el criterio de Kutzbach conducirá a un resultado incorrecto, puesto que en el desarrollo del criterio de Kutzbach no se hizo consideración alguna con respecto a las longitudes de los eslabones u otras propiedades dimensionales, no es sorprendente encontrar excepciones a criterio, en casos particulares con longitudes equivalentes de los eslabones, eslabones paralelos u otras características geométricas especiales.

Aunque este criterio tiene excepciones, sigue siendo útil gracias a su aplicación tan sencilla. Para evitar excepciones, seria necesario incluir todas las propiedades dimensionales del mecanismo. En tal caso, el criterio resultante seria muy complejo y resultaría inútil en las etapas iniciales de diseño, cuando es muy ´probable que se desconozcan aun las dimensiones.Un criterio de movilidad anterior al criterio de Kutzbach y que lleva el nombre de Grübler, se aplica a mecanismos de un solo grado de libertad en los que la movilidad global del mecanismo es igual a la unidad. Al substituir j2=0 y m=1 en la ecuacion del criterio de Kutzbach para la movilidad de un mecanismo plano, se encuentra el criterio de Grübler para mecanismos planos con movimiento restringido: 3n - 3j1 – 4 = 0

Esto permite ver, por ejemplo, que un mecanismo plano con movilidad 1 y que solo tiene articulaciones de un grado de libertad, no puede tener un número impar de eslabones. Del mismo modo es factible encontrar el mecanismo más simple posible de este tipo; suponiendo que todos los eslabones son binarios, se encuentra que n=j1=4. Esto de muestra por que el eslabonamiento de cuatro barras y el mecanismo de corredera-manivela tienen tantas aplicaciones.El criterio de Grübler sirve para la determinación del número de grados de libertad de un mecanismo. El criterio para el caso de mecanismos planos es el siguiente:

G = 3(N - 1) – 2PI -PII

G = n = GDLPI : N° de pares clase IPII : N° de pares de clase II

Los pares de clase I permiten el movimiento en 1 GDL y lo restringen en 2GDL.Los pares de clase II restringen el movimiento en 1 GDL

Criterio de grüebler ejemplos:

Incongruencias:

Mecanismos espaciales:

MECANISMOS Y ESTRUCTURAS

El GDL predice por completo su consideración de una estructura existen solo 3 posibilidades si el GDL es positivo será un mecanismo y los eslabones tendrán un movimiento relativo si el GDL es exactamente cero entonces se tendrá una estructura lo que significa que no tendrá ningún movimiento.

Si el GDL es negativo entonces se tiene una estructura precargada lo que significa que no seria posible ningún movimiento y en algunos puede estar presente el momento del ensamble.

c)

A) Muestra para 4 juntas completas lo cual según la ecuación de grübler de 1 GDL se moverá y solo se requiere una entrada para producir los resultados predecibles

B) Nuestros 3 eslabones unidos por 3 juntas completas tienes 0 GDL y por lo tanto es una estructura

C) Muestra 2 eslabones unidos por 2 juntas completas tiene un GDL de -1 por lo que es una estructura precargada

Síntesis de número

El termino síntesis de numero significa la determinación del orden y numero de eslabones y juntas necesarios para producir un movimiento de 1 GDL en particular en este contexto el orden de eslabón se refiere al numero de nodos por eslabones es decir, binario, terciario, cuaternario etc. el valor de síntesis de numero permite la exhaustiva determinación de todas las posibles combinaciones de eslabones que puede confinarse en cualquier GDL producido

PARADOJAS

Como el criterio de gruebler no enfatiza a los tamaños y las formas de eslabones puede dar resultados equivocados en el caso de configuraciones geométricas únicas

En la figura (A) muestra una estructura de 0 GDL en los eslabones ternarios de forma arbitraria. Este arreglo de eslabones en ocasiones se llama quinteto E por su parecido ala letra E y el echo de que tiene 5 eslabones incluyendo la bancada. Es el bloque de construcción estructura mas simple después de triple delta

La figura (B) muestra el mismo quinteto (E) en eslabones terciarios rectos y paralelos y con nodos especiados. Los tres binarios también son iguales en longitud. Para esta peculiaridad geométrica se puede ver que se moverá a pesar de que la predicción de grübler diga lo contrario.

La figura C) muestra un mecanismo fijo que no cumple el criterio de grübler la junta entre 2 ruedas puede ser fijada para que no permita el desplazamiento de suficiente fricción si no ocurre deslizamiento, entonces este es una junta de 1 GDL o completa que permite solo movimiento angular relativo (Δθ) entre las ruedas. Con estas suposición existe tres eslabones y tres juntas completas, y de la ecuación de grübler se predice que 1 GDL es igual a cero sin embargo este eslabonamiento si se mueve GDL=1 por que la distancia entre centros del eslabón 1 es exactamente igual ala suma de radios de las dos ruedas.

E J E R C I C I O S D E G R A D O S D E L I V E R T A D ( C R I T E R I O D E G R U B L E R )

n= 3 n= 4

j1=3 j1=4

m= 3(n-1)-2j1-j2 m= 3(n-1)-2j1-j2

m= 3(3-1)-2(3) m= 3(4-1)-2(4)

m=0 m=1

n=4 n=5

j1=4 j1=5

m= 3(n-1)-2j1-j2 m= 3(n-1)-2j1-j2

m= 3(4-1)-2(4) m= 3(5-1)-2(5)

m= 1 m=2

UNIDAD II

Análisis Cinemáticos de Mecanismos Planos

2.1- ANÁLISIS DE POSICIÓN DE MECANISMOS PLANOS POR MÉTODO GRAFICO Y ANALÍTICO.

ANALISIS DE POSICION DE MECANISMOS PLANOS POR METODO GRAFICO

Cuando las trayectorias de los puntos móviles de un mecanismo se encuentran enun solo plano o en planos paralelos, se le asigna el nombre de mecanismo plano.Puesto que una porción substancial de las investigaciones incluidas en esta obra serelacionan con mecanismos planos, queda plenamente justificado el desarrollode métodos especiales adecuados para este género de problemas. Cuando se sigue un planteamiento analítico que con frecuencia resulta abrumador. Con todo, particularmente en el caso de mecanismos planos, si se sigue un método gráfico, la solución es casi siempre directa.En primer lugar se hará una revisión sucinta del proceso de la adición vectorial.Dos vectores A y B cualesquiera conocidos se pueden sumar gráficamente como se ilustra en la figura 2-8a. Según la escala seleccionada, los vectores se trazan haciendo coincidir la punta de uno con el origen del otro, en cualquier orden y su suma e se identifica como:

C=A+B B+A

Nótese que se usan tanto las magnitudes como las direcciones y sentidos de los dos vectores A y B para efectuar la adición, y que tanto la magnitud como la dirección (y sentido) de la suma e se encuentran como parte del resultado. La operación de la sustracción vectorial gráficamente se ilustra en la figura b, en donde los vectores se trazan con sus puntas coincidentes, para resolver la ecuación:

A=C-B

Una ecuación vectorial tridimensional

C=D+E+B

Se puede dividir en componentes a lo largo de cualesquiera ejes convenientes, loque lleva a las tres ecuaciones escalares:

Puesto que son componentes de la misma ecuación vectorial, estas tres expresiones escalares deben ser coherentes. Si sucede que, al mismo tiempo, las tres son linealmente independientes, se pueden resolver en forma simultánea para las tres incógnitas, que pueden ser tres magnitudes, tres direcciones t o cualquier combinación de tres magnitudes y direcciones. Sin embargo, para algunas combinaciones el problema es marcadamente no lineal y muy difícil de resolver. Una ecuación vectorial bidimensional se puede resolver para dos incógnitas: dos magnitudes, dos direcciones o una magnitud y una dirección. En algunas circunstancias es conveniente indicar las cantidades conocidas (V) y las desconocidas (o) arriba de cada vector en una ecuación, como sigue:

En donde el primer símbolo (\1 u o) colocado arriba de cada vector indica su magnitud y el segundo su dirección. Otra forma equivalente es:

Cualquiera de estas ecuaciones identifica con claridad las incógnitas y señala si se puede llegar a una solución. En la ecuación (e), los vectores D y E están definidos por completo y se pueden sustituir con su suma:

A=D+E

Lo que daC=A+B

De la misma manera, cualquier ecuación vectorial en el plano, si puede resolverse,podrá reducirse a una expresión de tres términos con dos incógnitas.Dependiendo de las formas de las dos incógnitas, es factible encontrar cuatroCasos distintos. Chace: los clasifica de acuerdo con las incógnitas; es decir, los casos y sus incógnitas correspondientes son:

Caso 1 magnitud y dirección del mismo vector, por ejemplo,Caso 2a magnitudes de dos vectores diferentes, por ejemplo,Caso 3b magnitud de un vector y dirección de otro, por ejemplo,Caso 4c direcciones de dos vectores diferentes, por ejemplo,

En el caso 1 las dos incógnitas son la magnitud y la dirección del mismo vector.Este caso se puede resolver mediante la adición o la sustracción gráficas directasde los vectores restantes, que estén completamente definidos. Esta situación seilustró en la figura de arriba en la parte a y b

Para el caso 2a se deben encontrar dos magnitudes, por ejemplo, A y B

La solución de este caso se muestra en la figura 2, y los pasos comprendidos son los siguientes:

1. Se elige un sistema de coordenadas y un factor de escala, y se traza el vector C.

2. Se traza una recta que pase por el origende C, paralela a 3. Se traza otra recta que pase por el extremo de e paralela a B.4. La intersección de estas dos rectas define ambas magnitudes, A y B, que

pueden ser positivas o negativas

Se observa que el caso 2a tiene una solución única a menos que las rectas seanColineales; si son paralelas, pero distintas, las dos magnitudes, A y B, son infinitas

Para el caso 2b se encuentra una magnitud y una dirección de vectores distintos, por caso,

La solución, que se presenta en la figura 3, se obtiene en el orden que se indica a continuación:

1. Se elige un sistema de coordenadas y un factor de escala, y se traza un vector C

2. Se traza una recta que pase por el origen de C paralela a A.3. Se ajusta un compas con la magnitud de B, de acuerdo con la escala

elegida, y se construye un arco circular cuyo centro se localice en el extremo de C.

4. Las dos intersecciones de la recta y el arco definen los dos conjuntos de soluciones

Por último, para el caso 2c, se encuentran las direcciones de dos vectores,

Los pasos de esta solución se muestran en la figura 4

1. Se elige un sistema de coordenadas y un factor de escala, y se traza el vector C.

2. Se traza un arco circular de radio A con centro situado en el origen C.3. Se traza un arco circular de radio B con centro localizado en el extremo de

C.4. Las dos intersecciones de estos arcos definen los dos conjuntos de

soluciones Se observa que es factible encontrar una solución real solo si A y B ≥C.

Ahora se aplicarán estos procedimientos para resolver la ecuación de cierre del circuito. Para ilustrar la situación, considérese el mecanismo de corredera- manivela ilustrado en la figura 5a. En estas circunstancias, el eslabón 2 es una manivela restringida a girar en torno al pivote fijo A; el eslabón 3 es la biela y el eslabón 4, la corredera. La ecuación de cierre del circuito es:

RC = RBA +RCB

El problema del análisis de posición es determinar los valores de todas las variables de posición (las posiciones de todos los puntos y articulaciones) dadas las dimensiones de cada eslabón, y el valor (o valores) de la variable independiente (o variables independientes), es decir, aquellas que se escogen para representar el grado (o grados) de libertad del mecanismo. En el mecanismo de corredera-manivela, cuando la corredera se desplaza a una ubicación conocida RC, es preciso encontrar los ángulos desconocidos θ2 y θ3 , las direcciones de RBA

y RCB' Después de identificar l as dimensiones conocidas de los eslabones,

Se reconoce que se trata del caso 2c de la ecuación de cierre del circuito. El procedimiento gráfico de resolución que se explicó con anterioridad se aplica en la figura 5b. Nótese que se encuentran dos soluciones posibles,θ2,θ3y θ2 ',θ3 ', que corresponden a dos configuraciones diferentes del eslabonamiento, es decir, dos maneras de ensamblar los eslabones, siendo ambas coherentes con la posición dada de la corredera. Estas dos soluciones son raíces igualmente válidas para la ecuación de cierre del circuito, y es necesario escoger entre ambas, según la aplicación de que se trate.

Como ejemplo adicional, véase el eslabonamiento de cuatro barras ilustrado en la figura 6. En este caso se desea encontrar la posición del punto del acoplador P correspondiente a un ángulo de la manivela en particularθ2 La ecuación de cierre del circuito es:

Y la posición del punto P está dada por la ecuación de diferencia de posición:

Aunque parece que esta ecuación tiene tres incógnitas, se pueden reducir a dos después de resolver la ecuación de cierre del circuito (h), observando la relación angular constante entre RPB y RCB

La resolución gráfica de este problema se inicia combinando los dos términos conocidos de la ecuación (h), localizando así las posiciones de los puntos B y D, como se muestra en la figura 7

Se aplica entonces el procedimiento de resolución para el caso 2C, dos direcciones desconocidas, para encontrar la ubicación del punto C; y se obtienen dos soluciones posibles,θ3,θ4y θ3 ',θ4 ' .A continuación se aplica la ecuación (j) para determinar las dos direccionesposibles de RPB Luego se puede resolver la ecuación (i), siguiendo los procedimientos para el caso 1. Por último se obtienen dos soluciones para la solución del punto RP y RP; y ambas son soluciones válidas para las ecuaciones (h) a (j); aunque pudo suceder que la posición RP no se lograra físicamente a partir de la configuración ilustrada en la figura 6, sin desmontar el mecanismo.

METODO ANALITICO (POSICION)

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas:

R=r eiθ=(cosθ+isenθ),

Donde: r denota la magnitud y e i θ su dirección. Nota: En la figura el eje: y=iy.

Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico, se utiliza el desacoplo cinemático, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.

Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la Figura 4.

RAB=R AC+RCB (2.1)

RAC=R AB−RCB (2.2)

Dónde, en términos de números complejos:

RAB=r AB eiФ

RCB=rCB eiФ 2

RAC= {0.25,0 } m (Dato)

En este caso el único ángulo conocido es Ф=60 °, por lo que es necesario encontrar el valor del ángulo Ф2, y la longitudRAB que no es constante ya que siempre varía. Desarrollando la ecuación 2.1 se tiene

RAC=R AB−RCB

RAC=r ABe iФ−rCB eiФ 2(2.3)

Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:

e iФ=cosФ+ i senФ (2.4 )

e iФ 2=cosФ2+i senФ2 (2.5)

Sustituyendo las ecuaciones (2.4) y (2.5) en (2.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas cartesianas, esto es; para el lazo I.

r AC=r ABcos (Ф )+ir AB sen (Ф )−rCB cos (Ф2 )−i rCB sen (Ф2 )

Separando en componentes reales e imaginarias:

0.25=r AB cos (Ф )−rCB cos (Ф2)

0=r AB sen (Ф )−rCB sen (Ф2)

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: Ф2 y r AB para encontrar la solución

Figura 6. Lazo IIFigura 6. Lazo 2 para el método analítico

La solución obtenida, es:

Ф2 = 92.7699º r AB = 0.0461341m

Ahora que se conocen los ángulos del lazo I y la longitud r AB en ese instante de tiempo, de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior, se obtienen las siguientes ecuaciones de lazo: Lazo II.

RD=R AB+RBD

(2.7)

RD= {RD x ,0.050 } (2.8)

Igualando las ecuaciones (2.7) y (2.8)

RAB+RBD= {RD x ,0.050 }(2.9)

Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler.

RAB=r AB eiФ=rAB (cosФ+i senФ )

RBD=r BD ei Ф3=r BD (cosФ3+i sen Ф3 )

La ecuación (2.9) se puede reescribir de la siguiente forma:

{RD x ,0.50 }=r AB e iФ+r BD e iФ3(2.10)

Separando la ecuación (2.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienen dos ecuaciones:

RD x=rB cos (Ф )+rBD cos (Ф3)(2.10a)

0.05=rB sen (Ф )+rBD sen (Ф3 )(2.10b)

Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuaciones anterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es la corredera D, y el ángulo Ф3, auxiliándose nuevamente con el software

Wolfram Mathematica 8.0.

El código se encuentra en la figura 5 junto con el lazo 1

La solución obtenida es:

Ф3 = -13.475º

RD x = 0.168938 m

II.3 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA (posición)

Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformación es la siguiente: ρ ( p ,∙ ) :V →V , donde el punto “∙” significa todo el espacio vectorial V , y la letra p=( p1 , p2)∈V es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro p son los siguientes: p1=cosθ y p2=senθ.

La transformación está definida como: ρ ( p ,∙ )= 1|p|

: { p∗r } , p∈V ,est á fijo, y donde r

es el vector a rotar y tiene componentes r=(r1 , r2)∈V , por otro lado la norma

|p|=1 se vuelve unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación

binaria ¿ : R2 x R2 →R2, se define como:

( x1 , x2 )∗( y1 , y2 )=(x1 y1−x2 y2, x2 y1+x1 y2)

Siendo ( x1 , x2 ) , ( y1 , y2 )∈V ,

Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:

r p=l1∙ e '1⊕ l2∙ e ' ' 1

r p=l1 ∙ ρ( p , e1)⊕ l2 ∙ ρ (q ,e1)

1) Definir el problema:

Cinemática Directa: Dados como datos l1 ,l2 , p y q se debe hallar r p, que satisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver.Cinemática Inversa: Dados como datos l1 ,l2 , r p. Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver.Síntesis: dados como datos: p y q y r p encontrar: l1 ,l2, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal.

2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base inercial y construir los vectores de posición.

3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo.

Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles.

1) Planteamiento del problema.

Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y las longitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto F.

2) Definición de las bases.

En este punto, se define la base global (inercial) alineado paralelamente al sistema de

Coordenadas xy, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el vector

e1i ,i=1…n( primas ) de cada base con cada eslabón del mecanismo. Número de

bases locales: n=4.

Base Inercial:

e= {e1 , e2 }

e1={1,0 }

e2={0,1 }

Bases móviles:

p={p1 , p2 }

q={q1 , q2 }

s={s1 , s2}

e1' =e ( p ,e1 )=( p1 , p2)

e1' '=e (q , e1 )=(q1 , q2)

e1' ' '=e (s , e1 )=(s1 , s2 )

Datos:

r BC=0.4m, r BD=1.5m, r AC=0.025m, Ф=60 º

Entonces:b1={2.5,0 }

b2=rBC e1' '=r BCq1 ,r BCq2

b3=rBD e1' ' '=r BD s1, r BD s2

Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones.

b 4=b1+b2

Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:

(r BA p1, r BA p2 )=(2.5,0 )+(rBD s1 , rBD s2) (2.12)

Separando en componentes la ecuación (2.11):

r BA p1=2.5+r BD s1

r BA p2=0+rBD s2

La ecuación auxiliar que falta es (2.12):

q12+q2

2=1

Donde p1 y p2 son conocidas, ya que φ=60 º:

p1=cos φ=0.5

p2=senφ=0.8660

Por lo tanto, las variables a determinar son: q1, q2 ,r BA

Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente:

r BA p1=2.5+r BD s1

r BA p2=0+rBD s2

q12+q2

2=1

.

Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación:

(rCD x ,0.5 )=(r BCq1 , rBCq2 )+(r BD s1 , rBD s2 ) (2.11)

Separando en componentes la ecuación (2.11):

rCD x=rBC q1+rBD s1

0.5=rBC q2+rBD s2

La ecuación auxiliar que falta es (2.12):

s12+s2

2=1

Donde q1 y q2 son conocidas, ya que Ф2=92.77 ° (fue lo que se encontró primero):

q1=cosФ2=−0.04832

q2=senФ2=0.9988

Por lo tanto, las variables a determinar son: s1, s2 ,rCD x

Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente:

rCD x=rBC q1+rBD s1

0.5=rBC q2+rBD s2

s12+s2

2=1

2.2- ANÁLISIS DE VELOCIDAD DE MECANISMOS PLANOS POR MÉTODO DIDÁCTICO Y ANALÍTICO.

Definición de velocidad

Se define velocidad como la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.La posición (R) es una cantidad vectorial. La velocidad puede ser angular (ω) o lineal (V).

V=dRdt

ω=dθdt

Para determinar la velocidad en un mecanismo vamos a utilizar estas formulas que son las anteriores derivando con respecto al tiempo y nos quedan las siguientes ecuaciones.

V=ω∗rVb=Va+V b/a

La Vb/a en la figura se denomina velocidad absoluta, ya que se refiere a A, que es donde se encuentra el centro de giro de la barra. Como tal se podría hacer referencia a ella como V, que determina su magnitud con la ecuación V=ω∗r analizando la figura se aprecia que la velocidad se encuentra siempre en dirección perpendicular al radio de rotación y es tangente a la trayectoria del movimiento.

La solución grafica de esta ecuación Vpa=Vp−Va se muestra en la siguiente figura. Observe que es similar a la fig. 2 excepto por un vector diferente que es la

resultante.

Solución grafica (fig. 2)

Figura 1

Análisis grafico de la velocidad

Para resolver de manera grafica cualquier análisis de velocidad son necesarias solo 2 ecuaciones.

Vp=Va−Vp/a

Vp=Va+Vp/a

Que son simplemente la forma escalar de:

V=ω∗r

Si no cambia la velocidad del punto P con respecto a A permanece igual que en el ejemplo anterior pero V ya no se considera una velocidad absoluta (V) ahora es diferencia de velocidad y debe llevar el subíndice como Vpa.

Método analítico (centros instantáneos)

Uno de los conceptos más interesantes de la cinemática es el de un eje instantáneo de velocidad para los cuerpos rígidos que se mueven en relación con otro. En particular, se verá que existe un eje común a ambos cuerpos y en torno al cual puede considerarse que cualquiera de ellos gira con respecto al otro.

Puesto que el estudio que se va a hacer de estos ejes se restringirá a movimientos planos, t cada eje es perpendicular al plano del movimiento. A estos ejes se les asignará el nombre de centros o polos instantáneos. Estos centros instantáneos se consideran como un par de puntos coincidentes, uno en cada cuerpo, en torno a los cuales uno de estos tiene una rotación aparente en relación con el otro. Esta propiedad es verdadera sólo instantáneamente y al siguiente instante surgirá un nuevo par de puntos coincidentes que se convertirán en el centro instantáneo. Por ende, no es correcto mencionar a un centro instantáneo como el centro de rotación, ya que generalmente no se localiza en el centro de curvatura de la trayectoria aparente que genera un punto de un cuerpo con respecto al sistema de coordenadas del otro. Sin embargo, incluso con esta restricción, se encontrará que los centros instantáneos contribuyen de manera sustancial a entender la cinemática del movimiento plano.El centro instantáneo de velocidad se define como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales. También s e puede definir como la ubicación de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos rígidos diferentes para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero tal y como la percibe un observador situado en el otro cuerpo.

El centro instantáneo se puede localizar con mayor facilidad cuando se dan las velocidades absolutas de dos puntos.En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos.

Problemas expuestos en clase

1. Una turbina trabaja a 15000 rpm. Calcule la velocidad del alabe del rotor que se encuentre a 10 inch del centro de rotación.

V=w r

w=15 000revmin (1min

60 s )(2 π rad1 rev )=1570.8

rads

V=1570.8rad

s∗10 inch=15707.9 ¿

s

2. la punta de un alabe de una turbina tiene una velocidad lineal de 600m /s. calcule la velocidad angular en rpm para los siguientes diámetros de rueda: 70, 400, 750 y 900 mm.

w= vr=600m /s

.035m=17142.85 rad /s

w=17142.85 rad / s( 60 s1min )( 1 rev

2π rad )=163702.22 rpm

w= vr=600m /s

.2m=3000 rad /s

w=3000 rad / s( 60 s1min )( 1 rev

2 πrad )=28647.88 rpm

w= vr=600m /s

.375m=1600 rad /s

w=1600 rad / s( 60 s1min )( 1 rev

2π rad )=15278.87 rpm

w= vr=600m /s

.45m=1333.33 rad /s

w=1333.33 rad / s( 60 s1min )( 1 rev

2π rad )=12732.36 rpm

3. del mecanismo mostrado, la manivela AB tiene una velocidad angular cte. En el sentido de las manecillas del reloj de 2000rpm para la posición indicada de la manivela determínese:

a) la velocidad angular de la manivela AB

b) la velocidad del pistón.

w=2000 rpm( 1min60 s )( 2π rad

1 rev )=200.4 rad /s

V=w r=( 209.4 rads )∗¿

Vd

vd=vb+v d /b

vd /b

sen50= 628.3

sen76.06+

vd

sen53.99

V d /b=495.9∈¿s

76.06 °¿

V b=523.4∈¿s¿

w=495.9∈¿

s8∈¿=62rad /seg¿

¿

2.3- ANÁLISIS DE ACELERACIÓN DE MECANISMOS PLANOS POR MÉTODOS PLANOS Y ANALÍTICOS

ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.

Como se comentó en el tema anterior, los métodos gráficos empleados en el análisis cinemático de mecanismos están fundamentados en las relaciones geométricas existentes entre las diferentes magnitudes mecánicas. Por este motivo, y aún a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos básicos de la cinemática para, así, poder hacer un uso coherente en su aplicación al estudio de mecanismos.Hecho este pequeño inciso, se desarrollarán a continuación las bases necesarias para proceder al estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicación de métodos gráficos.

Vd/b

Vd 53.9 Vd/b

76.06 Vd/b

50 Vd/b

POLÍGONO DE ACELERACIONES: MÉTODO DE LAS ACELERACIONES RELATIVAS.

El método gráfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de lasvelocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar gráficamente una suma vectorial.

En la figura 1 se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisisde velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de

los puntos A y B y la velocidad relativaV⃗ BA , con lo que la velocidad angular del

eslabón quedará determinada por:

Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, α, así como la

aceleración del puntoA. Para calcular la aceleración del punto B por medio del

método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:

Y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las

componentes tangencial y normal:

Donde:

ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES

Mecanismo de tres eslabones

En al figura 6 se muestra el mecanismo de tres eslabones del que se realizó el estudio de posiciones y velocidades en temas pasados.

Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvo:

derivando estas funciones respecto al tiempo y operando se llegó a:

que sustituyendo los valores para el caso en estudio quedará:

y operando, se llegó finalmente a obtener las expresiones de los coeficientes de velocidad:

El brazo AB tiene una velocidad angular constante de 16 rad/segundo en sentido

contrario al de las manecillas del reloj. En el instante en que ø=0 determine la

aceleración

Del collarín D

El punto de modelo G de la barra BD.

Diagrama de cuerpo libre del mecanismo.

Se buscan todas las velocidades para continuar con todas las aceleraciones.

Análisis de la aceleración con ayuda de los centros instantáneos.

Diagrama de Vectores.

2.4- TEOREMA DE KENEDIN

Centros instantáneos de velocidad

Los centros instantáneos se consideran como un par de puntos coincidentes, uno en cada cuerpo, en torno a los cuales uno de estos tiene una rotación aparente en relación con el otro. Esta propiedad es verdadera sólo instantáneamente y al siguiente instante surgirá un nuevo par de puntos coincidentes que se convertirán el centro instantáneo. Por lo tanto no es conveniente mencionar a un centro instantáneo como un centro de rotación, ya que generalmente no se localiza en el centro de curvatura de la trayectoria aparente que genera un punto de un cuerpo con respecto al sistema de coordenadas del otro.

El centro instantáneo de velocidad se define como la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales.

Un mecanismo tiene tantos centros instantáneos como formas existan de parear los números de los eslabones. Por tanto, el número de centros instantáneos en un mecanismo de n eslabones es

Teorema de Kennedy

El teorema de Kennedy establece que para tres cuerpos independientes en movimiento plano general, los tres centros instantáneos se encuentran en una línea recta en común.

Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

Fig. 1 Localización de un centro instantáneo partiendo de dos velocidades conocidas

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro quew2 ha de ser mayor que w3

Fig. 1.2

Determinación de los centros instantáneos mediante el teorema de Kennedy

El número de ubicaciones de centros aumenta rápidamente con el número de eslabones, como se muestra a continuación

n Eslabones N CENTROS

4 6

5 10

6 15

7 21

Encuentre los centros instantaneos de el siguiente mecanismo.

Primero aplicamos la fórmula para calcular los centros instantáneos.

Se encuentran los centros instantáneos que se pueden determinar por simple inspección.

Ahora en un círculo ubicamos los eslabones en el orden de las manecillas del reloj y marcamos los centros instantáneos encontrados previamente.

Ahora utilizando el teorema de Kennedy encontraremos los centros instantáneos restantes. Marcándolos en el círculo; primero se prolongan líneas de los eslabones entre los cuales se encontrara el centro instantáneo, el centro instantáneo estará ubicado donde se intersecten las líneas.

Y asi es como se encontraran los demás centros instantáneos.

Centro 46

Centro 31

Al final:

2.5- ANÁLISIS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

En el desarrollo y diseño de mecanismos, es necesario el apoyo en algún software que cuente con aplicaciones en las que se pueda trabajar adecuadamente y que ayude a resolver problemas prácticos o con simulaciones en las que se pueda apreciar mejor el mecanismo con el cual se este trabajando, diseñando o con el cual se pretenda operar.

El software llamado Working model creado en la UNIVERSIDAD DE IBAGUÉ Estados unidos de norte América es un programa de diseño y modelado de mecanismos en dos dimensiones (2D), en el cual pueden realizarse sin numero de combinación de mecanismos, hasta la conformación interna de una máquina. Con todos los elementos que esta tiene internamente. Posee una gran utilidad e importancia para el trazo de componentes mecánicos en el cual se observar su posición, aceración y velocidad en estos aparatos.

TUTORIAL-Working model

Para poder empezar a trabajar con Working model se planteo un ejercicio y la serie de pasos necesarios para poder resolverlo en el programa.

Una fuerza F = 2 libras es aplicada perpendicularmente al eje de la varilla de 5Libras y se desplaza de O a A con rapidez constante de 4 ft/sg. Si la varilla seencuentra en reposo cuando = 0º y F está en O cuando t = 0, grafique la fuerzaresultante sobre el pivote en función del Angulo de la varilla. ¿Hasta qué ánguloha girado la varilla cuando esto ocurre? La varilla gira en el plano horizontal.

Desarrollo

1. Configure como quiere ver el espacio de trabajo. Despliegue View menú, y escoja WorkSpace, active las opciones Coordinates, Grid Lines y XYAxes. Por ultimo, click Close. Esto hace que en el espacio de trabajo se active la grilla, el sistema de coordenadas y los ejes coordenados.2. Seleccione las unidades a trabajar: En el menú View, seleccione Number and Units, en la casilla Unit System, seleccione English(Slugs). Clic sobre More Choises, esto permite ver todas las unidades que están seleccionadas, cambie la distancia a pies (feet). Revise que el resto de unidades concuerdan con el ejercicio. Clic Close.3. Dibuje los cuerpos: Para este caso es solo uno, la varilla. Clic sobre rectangle, dibuje un rectángulo de cualquier longitud y espesor. Seleccione el rectángulo, y abra Window menú, y escoja Geometry (Tambiénlo puede hacer simplemente tipiando Crtl+K). Height y Width son 4 y 0.5 respectivamente. La geometría del rectángulo cambia automáticamente; cierre la ventana.4. Propiedades de los elementos: Doble clic sobre la varilla, aparece la ventana de Propiedades. Coloque lasiguiente información:x = 0, y = -2 , mass = 0.155 (Recuerde que esta en Slugs)

5. Por medio del Zoom,amplié o reduzca el tamaño visual del objeto:

6. Coloque las uniones: Clic sobre Pin Join, y ubíquelo en la parte superior media de lavarilla. Esto une con un pivote de un grado de libertad, la varilla y la tierra de referencia.

7. Aplique la carga: Haga clic sobre Force, y luego sobre la esquina superior izquierda de la varilla haga clic, esto ubica el punto de aplicación del vector Fuerza sobre la varilla. Mueva el mouse hacia la izquierda de la varilla y clic sobre cualquier lugar, no importa como quede la Fuerza, más adelante se configurará.

8. Configure la carga :Con doble clic sobre la fuerza, abre la ventana de propiedades de la misma. La fuerza en X es igual a 2,en Y = 0. También active la función Rotate with body, esta opción hace que la fuerza gire con el cuerpo, si este lo hace,en esta caso, la fuerza siempre será perpendicular a la varilla (Lo cual es requerido en el ejercicio). Cierre la ventana.

Tip : Si la fuerza se ve muy grande o muy pequeña, puede configurar el tamaño (no la magnitud), en el menú Define, y seleccionando VectorLengths, aparece una ventana donde se puede configurar la longitud de los vectores Velocidad, Aceleración y Fuerza. Si quiere hacer más pequeña la fuerza, solo desplace hacia abajo el sintonizador respectivo, si no baja más y quiere ver más pequeña la fuerza, escriba un valor más pequeño del que esta sobre la casilla inferior; lo

mismo puede hacer pero al contrario, si quiere ver los vectores más largos.

9. Desplazar la fuerza sobre la barra: En el lugar en donde esta aplicada la fuerza hay un point, este también tiene propiedades, haciendo doble clic sobre el punto donde esta aplicada la fuerza, se abre la ventana de propiedades del point. Como propiedades se encuentra un X y Y, esta es la posición del point conrespecto al centro del cuerpo, entonces se debe garantizar que este point se desplace en Y con respecto al tiempo. Así, digite sobre la casilla Y la función: 2-4*time, esto hace que la posición del punto en Y, con respecto al centro del cuerpo, se mueva en función del tiempo (time).}

10. Pause Control: Se debe detener la simulación, cuando la fuerza llegue al final de la varilla. Para esto, En el menú World, seleccione Pause Control, clic New Condition, se activa una delas opciones, en el menú desplegable, seleccione Stop When, y enla siguiente casilla, digite time = 1, clic OK. Esto hace que lasimulación pare cuando haya transcurrido un segundo, tiempo quedemora la fuerza en llegar al extremo de la varilla. RUN, RESET.

11. Plano Horizontal: El ejercicio plantea que le varilla esta en el plano horizontal, es decir, que la fuerza de la gravedad no esta afectando el sistema, por lo tanto se debe

suprimir la gravedad. En el menú World, seleccione Gravity, escoja None. De esta forma se desprecia la gravedad.Tip. Puede hacer la simulación más lenta: el menú World, seleccione Accuracy, en el recuadro AnimationStep, active las opciones, y en la primera casilla, digite 0.01, esto hará la simulación más lenta, clic OK.

RUN, RESET.

12. Obtenga Graficas: Seleccione el punto de pivote entre la varilla y la tierra, en menú Measure, escoja Force. (Aparece la ventanade grafico de Fuerza). RUN. En la parte superior izquierda de la grafica, se encuentra una flecha blanca, clic sobre ella hasta que se aprecien las curvas en la grafica. RESET. Doble clic sobre la grafica para apreciar las propiedades de la grafica; en la fila X, digite como label : Angulo, y como Equation : Body[1].p.r. El label no modifica la forma de la grafica, lo único que hace es cambiarle el nombre al eje, lo importante, es que sobre la columna Equation este la función que define la grafica. Las filas y1, y2 y y3 se configuran automáticamente.

Los valores de los cuadros inferiores, definen las escalas de cada una de las curvas sobre la gráfica, por defecto, la columna Auto, esta totalmente seleccionada, esto significa que cada curva tendrá una escala diferente sobre la grafica; sería bueno que todas las curvas tengan la misma escala.

Su simulación debe parecerse a esto:

Es muy importante el apoyo del diseñador en algún software que ayude al diseño y simulación de mecanismos, para que así el diseñador se puede dar una idea más amplia en cuanto a lo que está haciendo y como es su trabajo entes de ser hecho físicamente. Con este se puede observar más detalladamente los elementos que conformaran los o el mecanismo, para prevenir posibles fallas o mejoras en el planteo.

UNIDAD III LEVAS

3.1- Nomenclatura, Clasificación y Aplicación de Levas y Seguidores.

DEFINICION

Las levas son mecanismos que permiten convertir el movimiento de rotación uniforme, en otro movimiento previamente establecido, que se transmite a otro miembro de cadena cinemática; pudiendo ser una palanca, una corredera, un balancín, etc.

Las levas son un elemento mecánico muy utilizado desde la revolución Industrial. Su enorme potencial se centraba en que podían imponer un tipo de movimiento muy preciso con el simple desarrollo de la ley de la leva (o función desplazamiento) y su eficacia no ha sido igualada hasta la aparición de la electrónica y la aplicación de programas de control de los actuadores. Esta propiedad hizo que, desde hace muchos años, fuera empleada en muchos dispositivos avanzados: las primeras máquinas de calcular (mecánicas) fueron creadas apoyándose en controles efectuados por mecanismos de levas (figura 1.1).

CLASIFICACION DE LAS LEVAS

Leva de placa, llamada también de disco o radial: 

El cuerpo de estas tienen la forma de un disco con el contorno de la leva formando sobre la circunferencia, en estas levas por lo general la línea de acción del seguidor es perpendicular al eje de la leva y hace contacto con la leva con ayuda de un resorte.

Leva cilíndrica o de tambor: En las levas de tambor la pista de la leva generalmente se labra alrededor del tambor Normalmente la línea de acción del seguidor es estas levas es paralela al eje de la leva.

Leva lateral o de cara:

En las pistas de la leva se labra en la parte frontal el disco 

CLASIFICACION DE LOS SEGUIDORES

Los seguidores se clasifican en:

Traslacionales Oscilatorios

Palpador circular o de rodillo. Figura (a)

Palpador puntual. Figura (b)

Palpador plano o de cara plana.

Recto. (c) Inclinado. (d)

Palpador curvo o en forma de hongo.

Simétrico. Figura (e) Asimétrico. Figura (f)

NOMENCLATURA

Circunferencia base (Rb):Es la circunferencia más pequeña puede dibujarse tangente a la superficie de la leva y concéntrica al eje de esta.

Circunferencia principal (Rp):Es la circunferencia a más pequeña y puede dibujarse tangente a la curva primitiva y concéntrica al eje de la leva.

Curva primitiva:Es la curva generada por la trayectoria del centro del rodillo.

Punto trazador o primitivo:Es el punto en el centro del rodillo del seguidor que genera la curva primitiva.

  Diagrama de desplazamiento:

Es le representación gráfica de la relación entrada (giro de la leva) y la salida (desplazamiento del seguidor).

Excentricidad:La distancia entre el eje de movimiento del seguidor y el eje de giro de la leva.

  

Angulo de presión (Φ):

Es el Angulo entre la dirección del movimiento del seguidor y la normal a la curva primitiva en la posición actual del punto trazado.

Normalmente: • Φ<30° para seguidores de traslación. • Φ<35° para seguidores oscilantes

 

 

APLICACIONES

Accionar un juguete:Las levas y excéntricas se utilizan en muchas máquinas para impulsar piezas con movimiento de vaivén. En la foto puedes ver un ejemplo: un juguete que utiliza una excéntrica.

  Encender y apagar un circuito:

Las levas se utilizan a menudo para abrir y cerrar circuitos eléctricos, neumáticos o hidráulicos. En el caso de la foto, una leva acciona un micro ruptor que enciende una bombilla, produciendo un efecto de intermitencia.

Cuentarrevoluciones:

En combinación con sensores eléctricos, neumáticos o hidráulicos, las levas se utilizan para captar información sobre el funcionamiento de máquinas o sistemas técnicos de todo tipo. En la foto, por ejemplo, se usa una leva, un microrruptor y un contador electrónico para averiguar el número de vueltas que da un eje.

  Abrir y cerrar las válvulas de un motor de combustión:

Una de las aplicaciones más conocidas de las levas es la de abrir y cerrar las válvulas de los motores de gasolina y diesel. Para que un motor funcione correctamente, sus válvulas deben abrirse y cerrarse siguiendo un ciclo muy preciso, esto se consigue accionándolos con levas que tienen la forma necesaria. Todas las levas de un motor se montan sobre uno o dos ejes, a estos ejes se les llama árboles de levas.

 

     

3.2- Análisis de Diagramas y Curvas de Desplazamiento, Velocidad y Aceleración para el Seguidor.

DIAGRAMAS DE DESPLAZAMIENTOS.

Durantelarotacióndelalevaalolargodeunciclodelmovimientodeentrada,el

seguidorejecutaunaseriedeeventos.

Subidaoavance:enelmovimientoelseguidorsealejadel centrodelaleva.

Retornoodescenso:enelmovimientoelseguidorseaproximaalcentrodela leva.

Reposoodetención:elseguidormantieneladistanciaalcentrodelaleva.

Elevación:eslasubidamáximaqueexperimenteelseguidor

CURVASDEDESPLAZAMIENTOS.

Velocidadconstante.Esunarectaconunapendienteconstante,porlo

tantolavelocidaddelseguidortambiénloes.

a) No es útil para la evaluación completa debido a los vértices que se producen en los limites, provocando grandes fuerzas inerciales.

b) Cambios de velocidad se suavizan por medio de una curvatura de radio igual ala carrera del seguidor.

Aceleraciónconstante/parabólico. Alternativaparaperfilesqueoperan con velocidades moderadas. Es necesario conocer “ω”,elángulo de rotacióndelaleva“β”paracadamovimientoylalongituddelacarreradel seguidor.

3.3- Diseño Gráfico y Analítico del perfil de Levas (Con Seguidor Radial, de Centrado y de Movimiento Oscilatorio).

LEVAS PLANAS CON SEGUIDOR RADIAL CENTRADO Y DESCENTRADO POR EL METODO GRAFICO

Levas de cara o cerrada

En las pistas de la leva se labra en la parte frontal el disco.

Clasificaciones de los seguidores

Por la manera de hacer contacto con la leva.

De cuchilla.

De carretilla o rodaja.

De cara plana.

De cara esférica.

Por posición con respecto al eje de la leva.

Centrado.

Descentrado.

Para leva cerrada.

Nomenclatura de las levas

El desplazamiento del seguidor: En general se define como la posición del mecanismo seguidor a partir de un punto especifico denominado cero o reposo, en relación con el tiempo o con alguna fracción del ciclo de la maquinaria (desplazamiento de la leva) medida en forma angular.

El desplazamiento de la leva; medido en grados o milímetros, es el movimiento de la leva medido desde un punto específico, ce o reposo, en relación con el mecanismo seguidor definido antes.

El perfil de la leva: es el contorno de la superficie de trabajo de la leva.

Punto trazador: es la línea de centro del rodillo o su equivalente. Cuando se utiliza un seguidor plano.

Curva primitiva: es el lugar geométrico de la sucesión de puntos descritos por el punto trazador, cuando la leva se desplaza.

El círculo de la base: Es el menor círculo inscrito en el perfil de la leva.

Círculo primario: Es el menor círculo inscrito de la curva primitiva y con centro en el centro de la leva. Es concéntrico con el círculo de base y separado de este a un radio del rodillo seguidor.

Ángulo de presión: Es el ángulo entre la normal a la curva primitiva y la dirección instantánea del movimiento del seguidor

Punto primitivo: es el punto de la curva primitiva donde tiene su máximo valor el ángulo de presión

Círculo primitivo: Es él círculo que pasa por el punto primitivo.

Punto de transición: Es el punto de máxima velocidad donde la aceleración cambia de signo (cambia la dirección de la fuerza en el seguidor). En las levas cerradas, este punto se denomina con frecuencia punto de cruce, donde, debido al cambio de dirección de la aceleración, el seguidor deja un perfil de la leva para entrar en contacto con el perfil opuesto (o conjugado).

Diámetro de agujero para su montaje en el árbol de levas

Cuñero

Circulo base

Distancia entre centros (seguidor y leva)

Distancia que correera el seguidor

Leva de plato o disco

Perfil de leva

Diámetro del rodillo de la varilla

Ancho del rodillo seguidor

Ancho del circulo base

Ancho de perfil de la leva

Leva con seguidor radial descentrado

Leva con seguidor radial centrado

LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR OSCILATORIO (DISEÑO GRAFICO)

La Figura 3.5 muestra una leva de disco con un seguidor oscilatorio de cara plana. Empleando el mismo principio de construcción que en la leva de disco con elseguidor radial, este último se gira alrededor de la leva. Al mismo tiempo el seguidor se debe girar alrededor de su propio centro pasando por el ángulo requerido de desplazamiento para cada posición. Existen varias formas de hacer girar elseguidor alrededor de su propio centro. El método mostrado en la figura 3.5 consiste en emplear la intersección de dos radios (por ejemplo el punto 3') para determinar un punto en la posición girada de la cara del seguidor. El primero de estos dos radios (el centro de la leva a la posición 3 en la escala de desplazamiento) se gira desde el centro de la leva. El segundo radio (el centro del seguidor a la escala de desplazamiento) se gira desde el centro del seguidor, el cual se ha girado a la posición 3. La intersección de estos dos radios da el punto 3'. Debido al número infinito de líneas que se pueden dibujar por el punto 3', es necesario tener información adicional para localizar la posición correcta de la cara del seguidor por el punió 3'. Como se muestra en la figura, esta información la proporcionó un circulo tangente a la cara del seguidor que se ha extendido a la posición cero. En el diseño mostrado para el seguidor, este círculo coincide con el exterior del cubo del seguidor. El radio de este círculo se gira a continuación desde cada una de las posiciones giradas del centro del seguidor. Para la posición 3, la cara del seguidor se dibuja por el punto 3' tangente al círculo girado del cubo del seguidor. Repitiendo este proceso, se obtiene el polígono de las distintas posiciones de la cara del seguidor a partir del cual se dibuja la leva.

La fígura 3.6 muestra una leva de disco con seguidor oscilatorio de carretilla. El procedimiento para determinar los puntos marcados con primas (por ejemplo el punto 3') es semejante al de la figura 3.5. Sin embargo, en este caso los puntos con primas son los centros del seguidor de carretilla girado. Después de dibujar estos círculos, puede dibujarse la leva tangente a los mismos. Se debe notar que en un diseño real se usarán divisiones más pequeñas para la leva de manera que los círculos se intersequen mutuamente para minimizar el error en el contorno de la leva. También se debe mencionar que para el diseño de una leva con un seguidor oscilatorio de carretilla se puede emplear el mismo procedimiento que el que se utilizó para la leva con seguidor trasladante descentrado. Aunque la mayoría de las levas empleadas actualmente son de los tipos mencionados, hay muchas otras, algunas de las cuales tienen amplia aplicación. En las siguientes secciones se estudian tres de ellas.

LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR OSCILATORIO DE CARRETILLA (DISEÑO ANALÍTICO)

La figura 3.34 muestra el inicio del diagrama de una leva de disco con un seguidor oscilatorio de carretilla. El ángulo de desplazamientoψestá en función del ángulo θ

de la leva. Aunque la leva gira un ángulo θcorrespondiente al ángulo ψ de desplazamiento, el radio R gira un ángulo ɸ. Es posible generar la leva si se especifican valores para R y ɸ.De la figura 3.34 se puede ver que:

(3.15)ɸ=θ−٨

en donde

٨=β−r

(3.16)

El ángulo β es una constante para el sistema y su ecuación se puede obtener a partir del triángulo oAO' como

cos β=S2+R0

2−I2

2 S R0

en donde S,R0y Ison dimensiones fijas.

El ángulo Г es un a función de R ; su ecuación se puede obtener a partir del triángulo OBO' (3.18)

cos Г=S2+ R2−I 2

2SR

A partir del triángulo OBO' también se puede escribir una ecuación para R de la siguiente forma:(3.19)

R2=I 2+S2 2/Scos (ψ+∑)

El ángulo ∑ es una constante determinada a partir del triángulo OAO'(3.20)

cos∑=I2+S2−R0

2

2 /S

y el ángulo ѱ es el ángulo de desplazamiento para un ángulo θ determinado de la leva. Por lo tanto, y a partir de !as ecuaciones anteriores, se pueden calcular los valores de R y ɸpara valores dados del ángulo θ de la leva y sus ángulos corres-pondientes de desplazamientoѱ .

Al diseñar este tipo de leva es necesario verificar igualmente el ángulo máximo de presión. Las ecuaciones para el radio de curvatura y el ángulo de presión se pueden desarrollar de una mejor forma usando variables complejas. La figura 3.35 muestra la ilustración de una leva de disco y un seguidor oscilatorio de carretilla, en donde el radio de curvatura de la superficie de paso se designa como p y el ángulo de presión como a. El punto O es el centro de la leva, el punió D el centro de la curvatura y el punto O' el centro de oscilación del seguidor. Ecuación para radio de curvatura

ρ=¿¿

Ecuación para hallar puntos en la superficie de la RS=r e i δ+( p−Rr)

i γ

Rr= radio del seguidor de carretilla

LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR RADIAL DE CARA PLANA (DISEÑO ANALÍTICO).

El tratamiento del seguidor de cara plana permite determinar analíticamente el perfil real de la leva. En el método grafico se desconocen los puntos de contacto entre la leva y el seguidor, por lo que es difícil determinar su ubicación exacta al momento de delinear la leva.

Adicionalmente, el radio mínimo de la leva para evitar los picos solo se pueden determinar experimentalmente.

En un seguidor radial de cara plana la leva gira con velocidad angular constante. El punto de contacto entre la leva y el seguidor esta en x y y; que esta a una distancia I de la línea radial de centros de seguidor. El desplazamiento del seguidor desde el origen está dado por la siguiente ecuación:

R = C + f()

En donde:

C: representa el radio mínimo de la leva y;

f(): representa el movimiento deseado del seguidor en función del desplazamiento angular de la leva. La ecuación para la longitud del contacto i se puede determinar con facilidad a partir de la geometría

R _= Y SEN + COS

Ejemplo:

A manera de ejemplo de cómo se puede determinar el radio minimoCy la longitud de la cara del seguidor, considere un seguidor radial de cara plana que se mueve hacia afuera y regresa 50.8 mm con movimiento armonico simple durante mediante revolución de la leva. Ocurren dos ciclos de movimiento del seguidor por una revolución de la leva.

(Para resolver el ejercicio solo es con la ecuación de desplazamiento para especificar el movimiento del seguidor)

s=12¿

En donde

L= 50.8 mm y;

β=π2

Por lo tanto:

S = f() = 25.4 ( 1 – cos 2

f() = 50.8 sen 2 y;

fi () = 101.6 cos 2

Para encontrar el radio mínimo, la suma C + f () + fii() debe ser mayor que cero. Sustituyendo los valores de f() y fii() y simplificando,

C+ 25.4 + 76.2 cos 2>0

La suma de 25.4 + 76.2 cos 2, tendrá un valor minino en = π2

, lo cual da

C + 25.4 – 76.2 >0 o, C > 50.8 mm

La longitud de la cara del seguidor se determina a partir de : I =f()¿50.8 sen 2

IMax = 50.8 mm

Conclusión: Debido a que el movimiento es simétrico, la longitud teorica de la cara del seguidor es de 50.8 mm a cada lado de la línea de centros. Se debe agregar una cantidad adicional a cada lado del seguidor para evitar que ocurra contacto en el extremo de la cara.

3.4- Diseño de Levas Planas con la Aplicación de SOFTWARE

La indiscutible presencia de los sistemas computacionales en la mayoría de las actividades humanas y en forma específica en las actividades de la docencia, hace necesaria la asimilación de estas nuevas técnicas, además de la permanente actualización en las mismas. Un mecanismo se puede definir como un conjunto de elementos rígidos (eslabones) ensamblados entre ellos por medio pares cinemáticos que les permiten unos determinados movimientos relativos y cuyo objetivo es la transformación del movimiento. Teniendo en cuenta la transformación del movimiento deseada, la síntesis de un mecanismo consiste en la elección de los eslabones y los pares de unión entre ellos, para que el conjunto realice el trabajo previsto.

WorkingModel, es un paquete de simulación de movimiento, que permite construir y analizar rápidamente sistemas mecánicos en una computadora. Con la posibilidad de aplicar las leyes de la mecánica sobre un diseño virtual antes de construir prototipos. Específicamente en la asignatura de Análisis de Mecanismos, es posible probar un mecanismo en sus primeras etapas y saber con gran exactitud si el diseño está listo para construir o requiere más tiempo para su ajuste y refinamiento de mecanismos que integran una máquina, considerando los requerimientos de fuerza y movimiento, contribuyendo en las bases del Diseño Mecánico.

PRACTICA: Creación de un mecanismo por leva.

Pasos a seguir para el desarrollo de la práctica.

1.- haga clic en la herramienta Rectángulo, luego hagaclic en el Espacio de trabajo y dibuje un bloque rectangular largo y delgado.

2.- Para representar gráficamente el movimiento del péndulo, haga clic en elrectángulo. En el menú Medir, seleccione Posición y luego Gráfica de rotación.

3.-Para agregar un resorte, haga clic en la herramienta Resorte. Haga clic en laesquina superior derecha del bloque y estire el resorte hacia arriba y hacia laizquierda.

4.- Para controlar la constante de un resorte, seleccione el resorte. En el menúDefinir, seleccione Nuevo control y luego Constante del resorte.El deslizador que controla el resorte aparecerá en el lado izquierdo del espaciode trabajo.

Para acercar el botón deslizante al resorte, haga clic en el título y arrástrelo hasta que quede junto al resorte.

5.- haga clic en la herramienta polígono curvo, luego haga varios clics en el espacio de trabajo y termine el polígono haciendo doble clic.

6.-seleccione la herramienta de motor, y después haga clic sobre el polígono curvo.

3. Para ejecutar la simulación y ver caer el bloque por acción de la gravedad, haga clic en run.

Unidad IV Engranes y Trenes de Engranes.

4.1- Nomenclatura, Clasificación y Aplicación de los engranes (Cónicos, Rectos y Helicoidales).

Engranaje: rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un movimiento giratorio o alternativo desde una parte de una máquina a otra. Un conjunto de dos o más engranajes que transmite el movimiento de un eje a otro se denomina tren de engranajes. Los engranajes se utilizan sobre todo para transmitir movimiento giratorio, pero usando engranajes apropiados y piezas dentadas planas pueden transformar movimiento alternativo en giratorio y viceversa.El engranaje más sencillo es el engranaje recto, una rueda con dientes paralelos al eje tallados en su perímetro. Los engranajes rectos transmiten movimiento giratorio entre dos ejes paralelos. En un engranaje sencillo, el eje impulsado gira en sentido opuesto al eje impulsor. Si se desea que ambos ejes giren en el mismo sentido se introduce una rueda dentada denominada 'rueda loca' entre el engranaje impulsor o motor y el impulsado. La rueda loca gira en sentido opuesto al eje impulsor, por lo que mueve al engranaje impulsado en el mismo sentido que éste. En cualquier sistema de engranajes, la velocidad del eje impulsado depende del número de dientes de cada engranaje. Un engranaje con 10 dientes movido por un engranaje con 20 dientes girará dos veces más rápido que el engranaje impulsor, mientras que un engranaje de 20 dientes impulsado por uno de 10 se moverá la mitad de rápido. Empleando un tren de varios engranajes puede variarse la relación de velocidades dentro de unos límites muy amplios. Los engranajes interiores o angulares son variaciones del engranaje recto en los que los dientes están tallados en la parte interior de un anillo o de una rueda con reborde, en vez de en el exterior. Los engranajes interiores suelen ser impulsados por un piñón, un engranaje pequeño con pocos dientes. La cremallera (barra dentada plana que avanza en línea recta) funciona como una rueda dentada de radio infinito y puede emplearse para transformar el giro de un piñón en movimiento alternativo, o viceversa. Los engranajes cónicos, así llamados por su forma, tienen dientes rectos y se emplean para transmitir movimiento giratorio entre ejes no paralelos. Los dientes de estos engranajes no son paralelos al eje de la rueda dentada, sino que se enroscan en torno al eje en forma de hélice. Estos engranajes son apropiados para grandes cargas porque los dientes engranan formando un ángulo agudo, en lugar de 90º como en un engranaje recto. Los engranajes helicoidales sencillos tienen la desventaja de producir una fuerza que tiende a mover las ruedas dentadas a lo largo de sus ejes. Esta fuerza puede evitarse empleando engranajes helicoidales dobles, o bihelicoidales, con dientes en forma de V compuestos de medio diente helicoidal dextrógiro y medio diente helicoidal levógiro. Los engranajes hipoides son engranajes cónicos helicoidales utilizados cuando los ejes son perpendiculares pero no están en un mismo plano. Una de las aplicaciones más corrientes del engranaje hipoide es para conectar el árbol de la transmisión con las ruedas en los automóviles de tracción trasera. A veces se denominan de forma incorrecta engranajes en espiral los engranajes helicoidales empleados para transmitir rotación entre ejes no paralelos.

Otra variación del engranaje helicoidal es el engranaje de husillo, también llamado tornillo sin fin. En este sistema, un tornillo sin fin largo y estrecho dotado de uno o más dientes helicoidales continuos engrana con una rueda dentada helicoidal. La diferencia entre un engranaje de husillo y un engranaje helicoidal es que los dientes del primero se deslizan a lo largo de los dientes del engranaje impulsado en lugar de ejercer una presión de rodadura directa. Los engranajes de husillo se utilizan para transmitir rotación (con una gran reducción de velocidad) entre dos ejes perpendiculares.

CLASIFICACIÓN

RECTOSEstá formado por dos ruedas dentadas cilíndricas rectas. Es un mecanismo de transmisión robusto, pero que sólo transmite movimiento entre árboles próximos y, en general, paralelos. En algunos casos puede ser un sistema ruidoso, pero que es útil para transmitir potencias elevadas.

HELICOIDALESUn engrane helicoidal tiene los dientes del engranaje cortados en una espiral que se envuelve alrededor de un cilindro. Los dientes helicoidales entran a la zona de acoplamiento progresivamente y, por lo tanto, tienen una acción más suave que los dientes de los engranajes rectos.

CONICOSLos engranajes cónicos tienen forma de tronco de cono y permiten transmitir movimiento entre ejes que se cortan

NOMENCLATURA

Los parámetros que permiten definir un engranaje y la nomenclatura empleada en ellos son:

Circunf. primitiva (R), o de paso: la del cilindro rodante o de fricción equivalente. Circunf. exterior (Re): llamada también de cabeza o de addendum. Circunf. interior (Rp): Llamada también de fondo, de pie o de dedendum. Anchura de cara o Longitud del diente: dimensión del diente medida en dirección

axial. Addendum (a): distancia radial entre la c. primitiva y la de cabeza. a = Re – R Dedendum (l): distancia radial entre la c. primitiva y la de pie: l = R - Rp Paso circular (p): distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos.

En general, se mide sobre la c. primitiva: p = 2πR/z Paso angular (pa): ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos

pa = 2 π /z Hueco (h): anchura del hueco entre dientes sobre la c. primitiva: h = p - e Juego (j): diferencia entre el hueco de un diente y el espesor del que engrana con él: j

= h1 - e2 Holgura o espacio libre de fondo (c): diferencia entre el dedendum de un diente y el

addendum del que engrana con él: c = l2 - a1 Altura del diente (hT): distancia radial entre la c. de pie y la de cabeza: hT = a + l Espesor del diente (e): medido sobre la c. primitiva. Nº de dientes (z): nº de dientes que tiene el engranaje. Módulo o paso diametral (m, pd):cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y

el nº de dientes: m = 2R/z = p/ð

ASIGNACION

PASO DIAMETRAL. Es el sistema de paso que se usa con más frecuencia hoy en estados unidos, igual al número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Su definición básica es:

Pd=N G

DG

=N P

DP

A los engranes que tienen como paso 20 o mayor se les llama engranes de paso fino y los de paso 20 o menor, paso grueso.

TAMAÑO DE DIENTES EN FUNCION DEL PASO DIAMETRAL.

Modulo métrico.

m = DG /NG = D p/N p

CALIDAD DEL ENGRANE

4.2- Diseño de Engranes Cónicos, Rectos y Helicoidales.

m =1/Pd

ENGRANES RECTOSLos engranes rectos sirven para transmitir movimiento rotatorio entre ejes paralelos; por lo común son cilíndricos y los dientes son rectos y paralelos al eje de rotación.

FUERZAS EN LOS ENGRANES RECTOSRelación de velocidades

V R=np

nG

Potencia de diseño

Pdes=Ko P

Tabla 9-5 Factores de sobrecarga sugeridos, KoMaquina impulsada

Fuente de potencia

Uniforme Choque ligero

Choque moderado

Choque pesado

Uniforme 1.00 1.25 1.50 1.75Choque ligero

1.20 1.40 1.75 2.25

Choque moderado

1.30 1.70 2.00 2.75

Dp=Npm

NG=Np(VR)

DG=NGm

Velocidad de salida final

nG=np((N p

NG

)

Distancia entre los centros

C=(Np+NG)m2

Velocidad de línea de paso

V t=π (D p np)/60000

Carga transmitida

W t=1000 P/V t

PROBLEMA MODELO

Se va a diseñar un par de engranes para transmitir 15 kw de potencia a una gran moledor de carne, en una planta procesadora comercial de carne. El piñón esta fijo al eje de un motor eléctrico que gira a 575 rpm. El engrane debe girar entre 270 y 280 rpm, y la transmisión estará encerrada y será de calidad comercial. La distancia entre centros máxima debe ser 200 mm.

La relación de velocidad nominal es:

Especifique un factor de sobrecarga , de acuerdo con la tabla 9-5, para una fuente uniforme de potencia y choque moderado en el motor de carne. Entonces, la potencia de diseño es:

De acuerdo con la fig. 9-27, m=4 es un módulo razonable. Entonces

Velocidad de salida final

Distancia entre centros

En unidades SI, la velocidad de la línea de paso en metros por segundo donde

está en mm y está en revoluciones por minuto. Entonces:

En unidades SI, la carga transmitida está en newtons (N). Si la potencia P está

en Kw y está en m/s.

ENGRANES CÓNICOS

FUERZAS EN LOS ENGRANES CÓNICOSDebido a la forma de los engranes y a la forma involuta del diente actúan un conjunto de fuerzas con tres componentes.

La fuerza tangencial La fuerza radial La fuerza axial

LA FUERZA TANGENCIAL

Lo es para el cono de paso la fuerza que produce el par de torsión sobre el piñón y sobre el engrane. Se puede calcular el par torsional a partir de la potencia transmitida conocida de la velocidad de giro

T=63000Pn

rm=d2−(F

2 ) senγ

W t=Trm

FUERZA RADIAL

La carga radial actúa hacia el centro del piñón, perpendicular a su eje, y causa flexionen el eje del piñón.

El Angulo ɸ es el Angulo de presión para los dientes

W r=W t tanΦcosΥ

FUERZA AXIAL

La carga axial actúa paralela al eje del piñón y tiende a separarlos de su engrane acoplado. Esto causa una carga de empuje sobre los cojinetes del eje.

W x=W t tanΦsinΥ

PROBLEMA MODELOUn par de engranes cónicos rectos con un paso diametral 8, un Angulo de presión de 20º, con 16 dientes del piñón y 48 dientes del engrane. Calcule las fuerzas del piñón, transmite 2.5 hp con una velocidad de 600 rpm en el piñón.

DATOS

Np=16

NG=48

Pd=8

F= 1.00 in

∅=20º

P =2.5HP

ω=n=600 rpm

Formulas

D p=N p/Pd

DG=NG/Pd

γ=tan−1( N p

NG)τ=tan−1( NG

N p)w t=

Trm

w r=wt tan∅ cos γ

w x=wn=wt tan∅ senγ

rm=D p

2−(F

2 )sin γ

T=63000 P/n

Sustitución

D p=168

=2∈¿

γ=tan−1( 1648 )=18.43º

rm=2∈¿2−¿¿

T=63000 (2.5HP )

600 rpm=263 lbin

w t=263lb∈ ¿0.84∈¿=313lb ¿

¿

w r=(3 13 lb ) tan(20)cos (18.43 )=108 lb

w x=wn=(313 lb) tan (20)sin (18.43 )=36 lb

ENGRANES HELICOIDALES

FUERZAS EN LOS ENGRANES HELICOIDALES Debido a su forma en los engranes helicoidales ejercen una serie de fuerzas que actúan entre los dientes de los engranes y son tres:

Fuerza tangencia Wt Fuerza radial Wr Fuerza axial Wx

FUERZA NORMAL VERDADERA

WN es la fuerza normal verdadera que actúa en dirección perpendicular a la cara del diente, en el plano normal a la superficie del diente. Rara vez se necesitará emplear el valores de WN, porque sus tres componentes individuales, se utilizan para el análisis para los engranes helicoidales. Los valores de los componentes ortogonales dependen de los siguientes tres ángulos, los cuales ayudan a definir la geometría de los dientes de engranes helicoidales:

Ángulo de presión normal: Фn

Ángulo de presión transversal: Фt

Ángulo de hélice: ψ

Para los engranes helicoidales, se especifican el ángulo de la hélice y uno de los otros dos. El tercer ángulo se puede calcular con:

tan Фn =tan Фt cos ψ

FUERZA TANGENCIAL

Wt es la fuerza tangencial que actúa en el plano transversal, y es tangente al de paso del engrane helicoidal, y produce el lar torsional que se transmitirá del engrane motriz al engrane conducido. Por consiguiente, a esta fuerza se le llama con frecuencia fuerza transmitida.

Si se conocen el par torsional transmitido y el diámetro del engrane (D):

Wt=T/ (D/2)

Sise conoce la potencia transmitida (P) y la velocidad de giro (n):

T= (P/n)

Para el caso especifico de unidades, donde la potencia está en caballos y la velocidad de giro está en rpm, el par torsional en lb∙pul es:

T=63000(P)/n

Entonces, la fuerza tangencial también se puede expresar como:

Wt=63000(P)/ [(n) (D/2)]=126000(P)/ [(n) (D)]

Si se conoce la velocidad vt de la línea de paso (pies/mi), también la potencia P que se transmite (HP), la carga tangencial es:

Wt=33000(P)/vt

El valor de la carga tangencial es el componente más fundamental de los tres ortogonales, de la fuerza normal verdadera. El cálculo del número de esfuerzo flexionante y la resistencia a la picadura de los dientes del engrane depende de Wt.

FUERZA RADIAL

Wr es la fuerza radial que acta hacia el centro del engrane, perpendicular al círculo de paso y a la fuerza tangencial. Tiende a separar los dos engranes.

Wr=Wt tan Фt

Donde Фt = ángulo de presión transversal para los dientes helicoidales.

FUERZA AXIAL

Wx es la fuerza axial que actúa paralela al eje del engrane, y causa una carga de empuje que deben resistir los cojinetes que soportan al eje. Si se conoce la fuerza tangencial, la fuerza se calcula como:

Wx=Wt tanψ

PROBLEMA MODELOUn engrane helicoidal tiene un paso diametral normal de 8, un ángulo de presión de 20°, con 32 dientes, el ancho de cara de 3 lN. Y 15° como ángulo de hélice. Calcule el paso diametral, el ángulo de presión transversal y el diámetro de paso. Si el engrane gira a 650 rpm y transmite 7.5 HP, calcule la velocidad de la línea de paso, la fuerza axial y la fuerza radial.

Paso diametral:

Pd=Pndcosψ=8cos (15)=7.727

Ángulo de presión transversal:

Фt =tan-1(tan Фn /cos ψ)

Фt =tan-1[tan (20) /cos (15)]=20.65°

Diámetro del círculo de paso:

D=N/Pd=32/7.727=4.141 pulgadas

Velocidad de la línea de paso, vt:

Vt=πDn/12=π(4.141)(650)/12=704.7 pies/min

Fuerza tangencial Wt:

Wt=33000(P)/vt=33000(7.5)/704.7=351lb

Fuerza axial Wx:

Wx=Wt tanψ =351tan (15)=94lb

Fuerza radial Wr:

Wr=Wt tanФt =351 tan (20.65)=132lb

4.3- Estandarización y Normalización de Engranes.

ESTANDARIZACIÓN DE ENGRANAJES

Hasta el momento no se ha intentado tratar el problema de la estandarización de los engranes rectos para facilitar el desarrollo de engranes intercambiables. Lo que se vio anteriormente sólo se aplica a los engranes rectos en general sin considerar el aspecto de la intercambiabilidad. Junto al problema de la intercambiabilidad se encuentra la forma como se van a cortar los engranes.Existen varias formas para maquinar los engranes rectos, la más antigua de los cuales consiste en utilizar una fresa de forma para quitar el material entre los dientes a medida que el disco para el engrane se posiciona a lo largo de una revolución completa en una fresadora. Este método produce un perfil compuesto de involuta y cicloide y encuentra aplicación principalmente en la fabricación de los engranes de repuesto que no se pueden obtener económicamente a partir de las formas convencionales. Este método también se utiliza para producir engranes con dientes de gran tamaño que no pueden cortarse en generadores para engranes convencionales. Los engranes rectos modernos se generan para producir un perfil le involuta en los dientes. Los dos métodos más usuales para producir los engranes rectos actuales son el método de fresado y el método de formado Fellows. Las figuras 4.15 y 4.16 muestran, respectivamente, los principios del fresado y del método Fellows para el corte de engranes externos.

Para el corte de engranes internos pequeños es necesario utilizar el método Fellows; sin embargo, si se cuenta con espacio es posible fresar engranes internos grandes. El método Fellows también se emplea para cortar engranes con resalto o reborde en donde el espacio en un extremo de los dientes es insuficiente para permitir la carrera de una fresa, como se muestra en la figura 4.15a.

AI desarrollarse la tecnología de los engranes se buscó una forma para clasificar los cortadores y los engranes que éstos producen. El método adoptado por los Estados Unidos consistió en especificar la relación del número de dientes con respecto al diámetro de paso. A esta relación se le dio el nombre de paso diametral y se expresa como:

Pd=N /D D=diametrode paso , pulg. N=numerode dientes

Aunque las unidades del paso diametral están en dientes por pulgada, no se acostumbra dar las unidades cuando se especifican valores numéricos.En Europa, el método de clasificación consiste en especificar la relación del diámetro de paso con respecto al número de dientes, y a esta relación se le abomina módulo. Por lo tanto, el módulo es el reciproco del paso diametral y se expresa como

m=D /N

D=diametrode paso ,mm

N=numerode dientes

m=modulo

Los valores numéricos de los módulos se especifican en unidades de milímetros.Debe notarse que el paso diametral y el módulo se definen como relacionesY no son distancias físicas que se puedan medir en un engrane. El paso circular,por el contrario, se definió anteriormente como la distancia medida a lo largo delcirculo de paso desde un punto en un diente hasta el punto correspondiente en elsiguiente diente. La relación entre el paso circular y el paso diametral o móduloexpresarse como sigue:

p= DπN

= πPd

(FPS)

p= DπN

=πm(SI )

En donde:

p=paso circular

Pd=pasodiametral

m=modulo

Para fines de especificar los cortadores de engranes, los valores del paso diametral y del módulo se tomaron generalmente como números enteros. La siguiente es una lista de fresas para engranes disponibles comercialmente en pasos diametrales con ángulos de presión de 14 ½ ° y 20°:2, 24, 3, 3i, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 50, 64, 12, 80, 96, 120

Se pueden especificar pasos más finos con incrementos pares hasta llegar a 200. Los pasos que se utilizan comúnmente para los engranes de precisión en instru-mentos son 48, 64, 72, 80, 96 y 120. La AGMA (Asociación Americana de Fabri-cantes de Engranes) también incluye en la lista pasos diametrales de ½ y 1,aunque los fabricantes de herramientas generalmente no mantienen en existencia fresas con estos tamaños. La siguiente es una lista de fresas estándar en módulos métricos (ángulo de presión de 20°).1, 1.25, 1.50, 1.75, 2, 2.25, 2.50, 2.75, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20

Cuando los cortadores se estandarizaron, se adoptó un ángulo de presión de 14 ½. Esto se dio como consecuencia del proceso de fundido de engranes que empleaba un ángulo de 14 ½ debido a que seno I4 ½ se aproxima a ¼. Posteriormente, también se adoptó un ángulo de 20°. Tanto 14 ½ ° como 20° se han utilizado durante muchos años, pero la tendencia en años recientes ha sido hacia el empleo de 200 en preferencia sobre el ángulo de 14 ½. En una sección posterior se muestra que es posible cortar un piñón con menos dientes y sin

socavación cuando se utiliza una fresa con un ángulo de presión de 20° en lugar de una de 14 ½ °. Como resultado de la tendencia hacia mayores ángulos de presión, la AGMA ha adoptado 20° y 25° para engranes de paso grueso (1-19.99 Pd) y 20° para engranes de paso fino (20-200 Pd). Los estándares métricos británicos y alemanes especifican un ángulo de presión de 20°. La Sociedad de Ingenieros Automotrices (SEA) en su norma aeroespacial AS 1560 para engranes métricos recomienda un ángulo de presión de 20° para propósitos generales. También se incluyen ángulos de presión de 22.5° y 25° debido a que estos ángulos de alta presión se emplean para los engranes de la industria aeroespacial.

Las proporciones de los dientes de los engranes rectos de involuta de la norma americana (FPS) se presentan en la tabla 4.1.

NORMAS Y CODIGOS DE DISEÑO

Las normas para el diseño de los engranes están definidas por la Asociación Estadounidense para la Manufactura de Engranes (AGMA)

Paso circular, p.

La distancia de un punto del diente de un engrane en el círculo de paso al punto correspondiente del siguiente diente, medida a lo largo del circulo de paso, es el paso circular

Pasos circulares normalizados (pulgadas)10 7.5 5.09.5 7.0 4.59.0 6.5 4.08.5 6.0 3.58.0 5.5

Paso diametral, Pd.

Es el sistema de paso que se usa con más frecuencia hoy en estados unidos, igual al número de dientes por pulgada de diámetro de paso. Su definición básica es:

Pd=N G

DG

=N P

DP

A los engranes que tienen como paso 20 o mayor se les llama engranes de paso fino y los de paso 20 o menor, paso grueso.

Pasos diametrales normalizados (dientes/pulg)Paso grueso (Pd<20) Paso fino (Pd ≥ 20)1 2 5 12 20 721.25 2.5 6 14 24 801.5 3 8 16 32 961.75 4 10 18 48 120

64

Tabla 11-1 Especificaciones de dientes AGMA de profundidad totalParámetro Paso fino (

Pd<20¿Paso grueso (Pd ≥ 20¿

Ángulo de presión 𝞥 20 o 25 20Altura de la cabeza d 1.000/Pd 1.000/Pd

Altura de la raíz b 1.250/Pd 1.250/Pd

Profundidad de trabajo 2.000/Pd 2.000/Pd

Profundidad total 2.250/Pd 2.200/Pd+ 0.002 inEspesor circular del diente 1.571/Pd 1.571/Pd

Radio del filete- cremallera básica 0.300/Pd No estándarHolgura básica mínima 0.250/Pd 0.200/Pd+ 0.002 inAncho mínimo en la cresta superior 0.250/Pd No estándarHolgura (dientes rasurados o rectificados)

0.350/Pd 0.350/Pd+ 0.002 in

Modulo métrico. En el SI, una unidad de longitud es el milímetro. El paso de los engranes en el sistema métrico se basa en esta unidad y se llama modulo m.

m=DG

NG

=D p

N p

m=1 /Pd

Módulos métricos estándarModulo métrico (mm)

EquivalentePd

(¿−1 )

0.3 84.670.4 63.500.5 50.800.8 31.751 25.401.25 20.351.5 16.932 12.703 8.474 6.355 5.86 4.238 3.2810 2.5412 2.1216 1.5920 1.2725 1.02

Calidad del engrane

El estándar 2000-A88 de AGMA define las tolerancias dimensionales para dientes de engranes así como un índice de calidad Qv cuyo rango va desde la más baja calidad (3) hasta la precisión más elevada (14). El método de manufactura esencialmente determina el índice de calidad Qv del engrane.

Otra forma de elegir el índice de calidad adecuado se basa en la velocidad lineal de los dientes de engranes en el punto de paso, que se conoce como velocidad

Tabla 9-2. Numero de calidad AGMA recomendadosAplicación Numer

o de calidad

Aplicación Numero de calidad

Accionamiento de tambor mezclador de cemento

3-5 Taladro pequeño 7-9

Horno de cemento 5-6 Lavadora de ropa 8-10Impulsoras de laminadoras de acero

5-6 Prensa de impresión 9-10

Cosechadora de granos 5-7 Mecanismo de cómputo 10-11Grúas 5-7 Transmisión automotriz 10-11Prensas de punzo nado 5-7 Accionamiento de

antena de radar10-12

Transportador de mina 5-7 Accionamiento de propulsión marina

10-12

lineal de paso. Rara a la vez se utilizan engranes rectos a velocidades de línea superiores a 10000 ft/min (50m/s) debido al ruido y vibración excesivos

Accionamiento de máquinas herramienta y de otros sistemas mecánicos de alta calidadVelocidad de la línea de paso(pies/min)

Número de calidad Velocidad de la línea de paso

0-800 6-8 0-4800-2000 8-10 4-112000-4000 10-12 11-12Más de 4000 12-14 Más de 22

La ecuación de esfuerzos de flexión

La ecuación de esfuerzos de flexión AGMA difiere ligeramente para los engranes de especificación norteamericana y SI, debida a la razón recíproca entre el paso diametral y modulo.

σ b=W t pd

FJ

K a Km

K v

K s KB K L (us)

σ b=W t

FJ

Ka K m

K v

K s KB K L (SI)

Factor geométrico de resistencia a la flexión J

El factor geométrico J se calcula a partir de un algoritmo complicado, que se define en el estándar 908-B89 de AGMA.

Las gráficas de la figura 9-17 son una réplica de los factores geométricos AGMA J, pero para un subconjunto de combinaciones de dientes de engrane cubiertos en el estándar.

Factor dinámico Kv

AGMA proporciona curvas empíricas para Kv como función de la velocidad en la línea de paso Vt. las ecuaciones empíricas para las curvas numeradas del 6 al 11 de la figura son

Los factores A y B se definen de la forma

A=50+56(1-B)

B¿(12−Qv )2 /3

4 para 6≤ Qv ≤ 11

Factor de tamaño Ks

AGMA todavía no ha establecido normas para factores de tamaño, y recomienda que Ks se defina con un valor de 1, a menos que el diseñador desee elevar su valor para tomar en consideración situaciones particulares, como por ejemplo dientes muy grandes.

Factor de espesor de aro Kb

Este factor recientemente fue agregado por AGMA, a fin de tomar en consideración situaciones en las cuales un engrane de gran diámetro, fabricado con aro y radios en vez de ser un disco sólido, tiene un aro de un peralte reducido, en comparación con la profundidad del diente.

AGMA define la razón de respaldo mB de la forma

mB=t R

ht

Donde tR es el espesor de aro, a partir del diámetro de la raíz del diente hasta el

diámetro interior del aro y ht es la profundidad total del diente(suma de la altura de cabeza y altura de la raíz).

K B=−2mB+3.4 0.5≤ mB ≤1.2

K B=¿ 1.0 mB>¿1.2

4.4- Análisis Cinemáticos de Trenes y Engranes Simples y compuestos Planetarios.

Tren de engranaje.

Un tren de engranajes es uno o mas pares de engranes que trabajan en conjunto para transmitir potencias

Los trenes de engranes son arreglos o acomodos que se pueden formar al acoplar dos o mas engranes entre si para transmitir el movimiento o la potencia

Trenes de engranes recurrentes simples.

• Existe cuando un engrane está unido a una flecha y se encuentra transmitiendo con otro o más engranes

Trenes de engranes recurrentes compuestos.

Se forma cuando un eje tiene montados más de un engrane no importando ladistancia entre estos. (+ de 1eng/eje).

Trenes de engranes planetarios simples.

• Poseen un engrane por eje del brazo

Problema engrane recurrente simple.

La operación en reversa para una trasmisión automática de tres velocidades esta ilustrada esquemáticamente en la figura. Si el eje G esta girando con una velocidad angular de 60 rad/seg. Determine la velocidad angular del eje H. cada uno de los engranes están enganchados, el radio de los engranes se reporta en la figura.

Transmisión automática Diferencial

Problema de engranes planetarios simples.

El engrane planetario A esta ligada por el piñón B. La barra BC gira en sentido horario con una velocidad angular de 8 rad/seg. Cuando el engrane D gira en sentido anti horario con una velocidad de 2rad/seg. Determine la velocidad angular del engrane A.

4.5- Diseño de Engranes por medio de SOFTWARE.

Generación de un Engrane

El desarrollarse la tecnología de los engranes se buscó una forma para clasificar los cortadores los engranes que estos produce. El método adoptado en los EU consistió en especificar la relación del número de dientes con respecto al diámetro de paso. A esta relación se le dio el nombre de paso diametral y se expresa:

Pd=ND

En donde

N= Numero de dientes

D= Diámetro de paso, in

Aunque las unidades de paso diametral están en dientes por pulgada, no se acostumbra dar las unidades cuando se especifican valores numéricos.

En Europa, el método de clasificación consiste en especificar la relación del diámetro de paso con respecto al número de dientes a esta relación se le denomina modulo. Por lo tanto, el modulo es el reciproco del paso diametral y se expresa como:

m= DN

En donde

D=Diámetro de paso

N= Numero de dientes

M =modulo

Debe notarse que el paso diametral y el modulo se define como la relación y no son distancias físicas que se pueden medir en un engrane. El paso circular, por el contrario se definió anteriormente como la distancia media a lo largo del círculo de

paso desde un punto en un diente hasta el punto correspondiente en el sig diente. La relación entre el paso circular y diametral o el modulo puede expresarse como:

P= πDN

= πPd

En donde

P=paso Circular

Pd=paso diametral

M= modulo

FUENTES DE INFORMACIÓN

1.-Joseph Vicker y Edward Shigley. TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS ULTIMA EDCION, Mc Graw Hill

2.- Mott. R., Diseño de elementos de máquinas, 4ª. Edición, Pearson Educación, 2006.

3.- Tecnología Industrial I, Máquinas y mecanismos, IES Gran Canaria

4.- http://www.legga.com

5.- 2005. Norton R. Diseño de maquinaria. Tercera edición. Ed. Mc Graw Hill. 007-286447

6.- MOTT , ROBERT L. DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS, , Cuarta edición. Ed Prentice Hall, 2006, ISBN 970-26-0812-0

7.- Introducción a la Robótica. [Documento PDF]. http://robotica.li2.uchile.cl/EL63G/capitulo1.pdf

8.- Robert L. Norton síntesis y análisis de maquinas y mecanismos. 3era edición. Editorial Mc Graw Hill. ISBN 970-10-4656-0

9.- Joseph Edward Shigley. Teoría de maquinas y mecanismos. 3era edición. Editorial Mc Graw Hill. ISBN 968-451-297-X

10.- 1988. Shigley Joseph E., Uicker John J., Teoría de máquinas y mecanismos, 1ª edición, Mc Graw Hill.

11.- 2007 Mabie Hamilton H., Mecanismos y dinámica de maquinaria,2ª edición, LimusaWiley

12.- http://workingmodel-tutorials.com

13.-http:// www.downtr.net

14.- http://Portable_Working_Model_2D_8.0.1.0.com

15.-Título: MECHANICS OF MACHINES. Samuel Doughty. John Wiley & Son

16.- H. MABIE, HAMILTON & F.REINHOLTZ, CHARLES. Mecanismos y Dinámica de Maquinaria. Segunda edición, Editorial LIMUSA, México 2005.

17.- TransparenciasEngranajes.pdf.

18.- CINEMATICA DE TRENES DE ENGRANES-ACAD.pdf