UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

.

TESIS

APLICACIN DE LA CONDENSACIN CINEMTICA AL ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS

POR

EDUARDO MARTNEZ MARN

O

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS

MADRID JUNIO DE 1979

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

TESIS

APLICACIN DE LA CONDENSARON CINEMTICA AL ANLISIS DINMICO DE ESTRUCTURAS

POR

EDUARDO MARTJNE2 MARN

% \

yy'

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS

MADRID JUNIO DE Ii7

A mis padres y

a mi esposa

1

R E S U M E N

La evolucin en los ltimos aos del clculo dinmico de estructuras tiende a usar el mtodo de elementos finitos a escala masiva, lo que hace aumentar considerablemente el tamao de los sistemas de ecuaciones dinmicas a resolver,

Si bien el clculo electrnico ha permitido esta evulu -cin, se puede comprobar que estos largos clculos tienen lgi_ cament un lmite y, por otra parte, resultan caros. Adems se corre el riesgo de perder la visin de conjunto del problema por un volumen abusivo de informacin.

Varios autores han reducido el tamao de los problemas di_ nmicos, bien por mtodos iterativos, bien con soluciones apro ximadas, bien reduciendo grados de libertad.

En la presente tesis se estudia la simplificacin del pro blema por medio de la condensacin cinemtica, que reduce el nmero de grados de libertad dinmicos en los ms significatj^ vos, que reflejan el comportamiento global de la estructura sin perder de vista la interpretacin a nivel de Ingeniera.

Se propone un algoritmo que permite una reduccin eficien te en grandes sistemas de ecuaciones.

Se comparan sus resultados con otras soluciones aproximadas y con soluciones rigurosas, estudiando su campo de aplicacin tanto en elementos estructurales (vigas, muros, losas, etc.) como en estructuras reales.

Por ltimo, se plantea el problema de la seleccin de los grados de libertad que han de ser considerados como base de la condensacin. Dentro de este problema, se dan una serie de cri. terios estructurales para una correcta eleccin de stos.

Agradezco profundamente al profesor J.R. Dominguez de Miguel el inters y la comprensin con que ha revisado este trabajo, as como sus certeras directrices, gracias a las cuales ha sido posible su realizacin.

A A. Ordoez Villalobos, cuya ayuda, tanto cientficas como humana, ha sido decisiva.

A R.M. de Pablo el extraordinario inters y esmero en la tarea de mecanografiado,

A mi esposa por su colaboracin y apoyo mo ral que han sido para m indispensables.

N D I C E

Pg. 1. EL I WBLEMA DINMICO EN LAS ESTRUCTURAS 1

1.1 Introduccin 2 1.2 Metodologa del anlisis dinmico 4 1.3 Determinacin de las matrices de masas,

flexibilidad y amortiguamiento 6 1.4 Mtodo de resolucin de ecuaciones dina

micas 9 1.5 Anlisis Modal , 14 1.6 Situacin actual del clculo dinmico

aplicado a la Ingeniera 29

2. LA CONDENSACIN CINEMTICA 31

2.1 Introduccin 32 2.2 Desarrollo terico 40 2.3 Seleccin de grados de libertad 44 2.4 Problemas locales producidos por la con

densacin; la doble condensacin 49

3. MTODO MATEMTICO Y PROGRAMA DE ORDENADOR 50

3.1 Planteamiento matemtico 51 3.2 Procedimiento de clculo y ejemplo num

rico 58 3.3 Programa de ordenador 70

4. COMPARACIN CON SOLUCIONES ANALTICAS Y CON OTROS MTODOS , 82

4.1 Introduccin 83 4.2 Viga biapoyada 84 4.3 Viga continua . . 90 4.4 Losa simplemente apoyada 96 4.5 Muro con movimiento en su plano 105 4.6 Estudio paramtrico de la influencia

del material y las dimensiones en una viga continua, realizando un estudio comparativo . 116

5. APLICACIN DE LA CONDENSACIN A ESTRUCTURAS REALES 119

5.1 Objetivos 120 5.2 Descripcin de la estructura y modelo

de elementos finitos del primer ejemplo 121 5.3 Acciones Dinmicas 125 5.4 Matr'z de masas y de flexibilidad 126 5.5 Seleccin de grados de libertad ....... 130 5.6 Matrices de masas y de flexibilidad con

densadas 133 5.7 Autovalores y modos de vibracin 136 5.8 Respuesta dinmica de la estructura ... 141 5.9 Expresin y clculo de esfuerzos 147 5.10 Estudio paramtrico en funcin del nme

ro de grados de libertad considerados.. 148

V

P5g. 5.11 Ejemplo de estructura de edificacin.... 152 5.12 Seleccin de grados de libertad. Matriz

de masas condensada y matriz de flexibilidad 155

5.13 Autovalores y modos de vibracin 158 5.14 Estudio comparativo con mayor nmero de

grados de libertad 161

6. CONCLUSIONES . . . 164

6.1 Conclusiones generales 165 6.2 La condensacin como mtodo prctico;

cuantificacin del error cometido 167 6.3 Uso prcMco de la condensacin; unifica^

cin de los modelos estticos y dinmi -eos 170

6.4 Anlisis de los resultados dinmicos a travs de la condensacin 171

6.5 El coste de clculo de la condensacin . 172 6.6 Eleccin de los grados de libertad 174 6.7 Otras aplicaciones de la condensacin .. 176

BIBLIOGRAFA .., 178

ANEJO A : EL AMORTIGUAMIENTO VISCOSO .. 184

ANEJO B : MTODO DE JACOBI 1 8 7

ANEJO C : DESCRIPCIN DEL PROGRAMA DE ORDENADOR 1 9 2

ANEJO D : PROGRAMA DE ORDENADOR 213

VI

Trminos en cosenos de la serie de Fourier rea de una pieza prismtica Trminos en senos de la serie de Fourier Matriz de transformacin de corrimientos Matriz de amortiguamiento Matriz condensada de amortiguamiento Vector unitario de excitacin Mdulo de elasticidad Vector de energas relativas de los distintos modos. Fuerzas dinmicas Matriz de rigidez transformada, en el meto do de las diferencias centrales. Frecuencia (hertzios) Matriz de Hooke Matriz unitaria Momento de inercia Matriz de rigidez s-Matriz de rigidez condensada Particiones de la matriz de rigidez Matriz de Lame Matriz de masas Matriz de masas condensada Matriz de masas transformada en el mtodo de las diferencias centrales. Particiones de la matriz de masas

vii

Matrices de rotacin en el mtodo de Jacobi. Vector de cargas en el clculo matricial Cortante de una seccin Radio de curvatura Respuesta estructural ante una accin dependiente del tiempo. Aceleraciones mximas absolutas del espec tro. Subndice indicando Transpuesta Matriz de transformacin en la condensacin Coordenada cartesiana Coordenada cartesiana Coordenada cartesiana Ancho en una seccin Aceleraci6n producida a lo largo del tiempo por un sismo. Media aritmtica de la variable a Valor mximo de la variable a Espesor en una lmina o muro Canto en una pieza prismtica Vector de deformacin en el clculo matricial de estructuras. Fuerzas elsticas Fuerzas inerciales Fuerzas de amortiguamiento Aceleracin de la gravedad Altura en las dirensiones de piezas prism_ ticas.

viii

i ndice fila de una matriz j ndice columna de una matriz 1 Longitud en piezas prismticas m Masa por unidad de longitud, superficie o

volumen. m. Masas puntuales concentradas q Peso por unidad de longitud t Tiempo v(t) Vector desplazamiento v(t) Vector velocidad v(t) Vector aceleracin vol Volumen y(t) Vector desplazamiento ortogonalizado y(t) Vector velocidad ortogonalizado y(t) Vector aceleraciones ortogonalizado z(t) Aceleracin del suelo en un terremoto

Parmetro en el mtodo de las diferencias centrales.

/*> Amortiguamiento relativo /3 Amortiguamiento critico Q Parmetro en el mtodo de las diferencias

centrales. A t Incremento de tiempo Av Incremento de desplazamiento C Vector de deformaciones

IX

X. Vector de coeficientes de participacin /4 Amortiguamiento crtico

l^ Mdulo de Poison /> Densidad G~ Tensin OJ Frecuencia (en radianes/segundo)

I

1. EL PROBLEMA DINMICO EN LAS ESTRUCTURAS

2.

1.1 Introduccin

Una parte importante de las acciones sobre las estructuras tales como viento, oleaje, sismos, impactos o vibraciones producidos por maquinaria, son funcin del tiempo, y se las denomina cargas dinmicas. Si bien algunas de estas acciones son conocidas y expresables como funcin del tiempo, otras tienen un carcter esencialmente aleatorio y deben ser trat das por mtodos probabilsticos.

La capacidad resistente de los materiales que componen la estructura y ms aun el comportamiento del suelo dan tambin un cierto carcter indeterminado, debindose estudiar sus p rmetros por medios estadsticos.

El comportamiento de la estructura no siempre se puede coi* siderar en el dominio de lo "lineal", bien porque el aprovechamiento de los materiales sea muy alto, bien porque las car gas dinmicas en algn momento sobrepasen el campo de lineal dad de los materiales; otras veces son los materiales como el hormign con muy distintas caractersticas a tensin y compre sin que, aun con cargas "no excesivas" presentan problemas de "no linealidad" por efectos de fisuracin.

En un planteamiento muy general, el clculo dinmico pretendera encontrar una funcin o relacin, por algunos autores llamada "funcin de transferencia", tal que permita pasar de un estado de cargas, a conocer la respuesta de la estructu ra, es decir :

En el caso ms general, las cargas F sern una funcin del tiempo {cargas dinmicas) :

F - F(t)

i-. ri],r'2],[3],r4),r5] 2: [6J,E7] 3s m,L92

3 p-fl> 3 r t

o fl> 03 r t h C O r t C H, tu P*

< 3 p 3 a H. (- O 0 Q, n> M> O H 3 CU o o 1 P-3 O & O

r t P,

u r t 0) h fia 3

(0 3

P-0)

r t

ro 03 p-co ^ 0* e 0) o fu 3 & o 3 C c o (D 0)

a

a f Cu 3 f t re * i

0) 3 r t (I> P, P-o N 3 (t> 3 r t ro O P-r t tu a o 01 en 0 3

D CO r t 0) 01

OJ P-i-h P-O c p" r t CU & ro 01 P < CU co

J2 d (D

03 (>

a (D 3 p-(0 n P * p

o 0 3 o a ro o >x p" O c P" o 3 C (Ifc H P-O O * o. ro tr P-& O fi>

P" O 03

m 0) o r t O 1 B 99

O O 3 V P (0

l_l. o p-O 01

a p. O tr P* (D 3 Cu 03

O o (u 03 P-O 3 CU a O 03

o O p.

(D P-

O Cu M Uk O f t M fu I- (!) CU r t O H H-O

a 9

01 (9 03 0 (D P" n> o P* cu 3 r t (9 S H

tr CU I _ I .

0

c 3 0 03

O 0 3 C i P-O p-0 3 Cu 3 r t (9 03

a 9 fO 03 r t fO

o o 3 0 t i CU 3 tu Q, (V

O O 3 t5 P" P-O cu O p-Ok 3 > ro P -

n H O tr P* m 3 tu a p-3 t f t 3 ico

(9 3 C 3 t3 H 1 tu 3 r t (D tu 3 p-(D 3 r t O D 03 r t CA rt p-O O

01 p 01 3 p-o cu 03 03

re ro x p-

3 p-ro 3 r t o W 03 r t tu

p-3 O P C 03 P-a 3

a p-3 tUk 3 p-O 0 03

ro p-3 O P c o p. CUk o r t p-O tu

C 3 tu

>a H. tu 3

a p-H> P-O c p< r t tu a ro 3 y~> tu

a ro Mi P-3 P-O P-Ok 3

a (9

> o tu H r t ro a ro P > 0 01

D P,

O tr M (9 3 tu 03

tu 3 rt ro 51 p-O M

~3 ro 3 r t ro o p-r t CU a o 09 ro X p -01 r t (0 3

< TJ P. (9 01 ro 3 r t tu P, CUk

ro P >

o tu 11 fUk o r t ro H CU p-ro cu r t O H p-o 3 C ro T> O Cfl ro ro 3 P

o 03 o Q 1

i3 es 0

4.

1.2 Metodologa del anlisis dinmico

Partiendo de unas cargas dinmicas deterministas F(t) y de una estructura real, la ecuacin de equilibrio se deber cum plir para cada punto de la estructura, es decir que existirn infinitas ecuaciones. Evidentemente, este planteamiento resul ta inabordable y se necesita reducir el ndmero de puntos donde se establezcan las ecuaciones a uno finito que permita establecer soluciones matemticas al problema,

El proceso anterior se denomina modelizacin. En la gran mayora de los casos se realiza por el mtodo de los elementos finitos, que se ha generalizado en las dos ultimas dcadas y que, por usar mtodos matriciales, presenta ventajas para su resolucin por medio de ordenador.

Las ecuaciones dinmicas son muy fcilmente obtenibles, bien por las ecuaciones de equilibrio dinmico, bien por con sideraciones energticas. En cualquier caso, las fuerzas exteriores actuantes sobre una estructura son equilibradas por tres tipos de respuestas : Las elsticas, las inerciales y las de amortiguamiento o disipacin, es decir :

F(t) - fs + fx + D [l.l]

Donde f son las fuerzas elsticas que vienen representadas por :

fs - K v Donde v representa el vector de desplazamientos y K la matriz de rigidez.

Las fuerzas f_ son las inerciales y se pueden representar por :

f x - M V Donde v representa el vector de aceleraciones y M la matriz de masas.

1: [10] ,[ll] ,[l2]

5.

Por ltimo, f representa las fuerzas disipadas por efecto del amortiguamiento del material :

fD = C v Donde v representa el vector de velocidades y C la matriz de amortiguamiento de la estructura.

En estas condiciones la ecuacin fl.l") toma la forma : F(t) -K'V(t) + C V(t) + M'V(t) fl.fj

Esta ecuacin deber satisfacerse para cada punto de la estructura. En el caso de la modelizacin con elementos finitos se deber de cumplir para cada nudo del modelo.

Imponiendo la condicin anterior se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales que permite obtener el vector v(t),que representa los desplazamientos en funcin del tiem po y,lgicamente,los valores de v(t) y 'v(t) . Con esto se podra obtener las fuerzas y tensiones en cada elemento de la estructura con lo que el problema quedara resuelto.

6.

1.3 Determinacin de las matrices de rigidez, masas y amortiguamiento

Partiendo de la ecuacin general dinmica : F(t) = K-v(t) + C-v(t) + M-V(t)

que, como se indic en el punto anterior, debe cumplirse en todos los puntos del sistema, pero que para poder abor darlo desde un punto de vista numrico hay que limitarlo a un nmero de puntos finitos, que es habitual denominar como grados de libertad . En esta hiptesis las matrices K, C, M sern de grado n. En la prctica la discreti, zacin de la estructura para obtener los n grados de li. bertad, se realiza por el mtodo de elementos finitos; es decir, supone el sistema dividido en una serie de eleraen-

3 tos conectados entre s por los nudos

Bajo esta perspectiva, la matriz de rigidez del sistema K se obtiene mediante el ensamblaje de las matrices K. de todos los elementos finitos que integran el sistema.

Su significado fsico es anlogo al del clculo est tico y corresponde a la ecuacin

Kv F donde v es el vector de deformaciones y F el vector de fuerzas exteriores.

La matriz de rigidez se puede obtener por considera ciones energticas de acuerdo con el siguiente desarrollo:

T ~ p r , [14] , [l5J 1 El concepto de grado de libertad es ms especfico que el

de nudo de la estructura, ya que incluye la libertad de TO vimientos. En el caso ms general, un nudo tendr 6 grados de libertad (3 desplazamientos y 3 giros).

3 Se puede pensar que una modelizacin con pocos elementos puete eliminar los problemas que anteriormente se comenta ron y que, en cierta medida, son el objeto de este trabajo. Esto no es cierto, pues si bien el clculo dinmico uede a veces realizarse con modelos simples, no as el clculo esttico, con lo cual se creara una complicacin complementaria para trasladar los esfuerzos dinmicos al modelo esttico.

7.

Si llamamos y

8.

Si la discretizacin es de un tamao apreciable, caso habitual, se puede adoptar como primera aproximacin la matriz diagonal de masas, donde en cada nudo del siste ma se ha supuesto condensada la masa. Una segunda aproxima cin es la matriz de masas consistente para cada elemento y realizar un ensamblaje anlogo al de la matriz de rigidez. Por otra parte, se puede obtener por consideraciones energticas una expresin anloga a la obtenida para la matriz de rigidez K.

La matriz de amortiguamiento se puede calcular de forma anloga a la de masas o a la de rigidez para cada elemento y posteriormente realizar un ensamblaje. La prc tica no es sta, sino el tomar un valor dado para el amor tiguamiento en funcin del tipo de material y montar una matriz diagonal de amortiguamiento, como se indica ms adelante.

Es clsico dar el amortiguamiento como porcentaje del amortiguamiento crtico, es decir aqul que por encima de l no se produce ya vibracin libre.

Este tema es uno de los ms polmicos dentro del cam po dinmico, tanto por la indeterminacin de medida como por la forma de hacerlo actuar. En el apartado del anlisis modal se insistir en el tema.

9.

Mtodos de resolucin de las ecuaciones dinmicas1

La ecuacin general de la dinmica fl.2"] aplicada a los n grados de libertad en que se ha discretizado el proble ma tiene en general muy pocas veces solucin analtica, salvo en algn caso especial, por lo cual hay que acudir a mtodos de resolucin numricos.

Esta ecuacin general escrita en la forma s F(t) = K-v(t) + Cv(t) + M.v(t)

es un sistema de ecuaciones diferenciales con el tiempo como variable independiente. Los mtodos numricos que se han desarrollado para su resolucin se pueden agrupar en tres grandes apartados :

a) Integracin numrica completa del sistema en el tiem po.

b) Anlisis en el dominio de frecuencias, desarrollado en series de Fourier.

c) Anlisis modal.

La integracin completa del sistema en el tiempo se basa en suponer conocido v, v y V para un tiempo t y adoptar una expresin aproximada de v, v y v para un tiempo t+t que se sustituye en el sistema inicial, comprobando el grado de error. Si no es suficiente se comienza una nue_ va iteracin con valores ms aproximados de desplazamien -tos, velocidades y aceleraciones. Conocidas v, v y v para el tiempo t+At se inicia un nuevo ciclo, incrementando de nuevo el tiempo.

Dentro de este tipo de solucin tenemos varios mtodos que todos ellos difieren fundamentalmente en la forma de expresar los valores de velocidades y aceleraciones en el tiempo t+t o en el intervalo t incrementado en cada pa so.

1: [l0],[ll] ,[l2] ,[i5]

10.

De entre estos mtodos podemos citar : a.l) Mtodo de las diferencias centrales, que adopta

la clsica expresin : Vt = "S^2 ( v t -At " 2 v t + V t + A t }

1 v t = rst(vt+At" vt-^t'

Introducidas estas expresiones en la ecuacin general, queda en la forma :

donde

M* V = F* t + A t

?* - Ft - K vt * 7^5 M ( 2 v t - v t - A t ) + rzt c v A t

que permite obtener V . ya que M* y F* son fun cin de V. y V. . ya conocidos.

2 b.l) Mtodo de Newmark-Wilson. Parte de unas expresio

nes distintas de v y v, tales como :

*t+At = *t + ^ t ( l - J ) v f c + At - / V t + A t V t + A t = v t + A t " *t +^2^ - ^ ) ' V t 2 . o < .

* V t+At

donde los parmetros si y o permiten una maniobra sobre la velocidad de convergencia del mtodo. Como en el caso anterior, estas expresiones sustituJL das en la ecuacin general nos permiten obtener una expresin de la forma :

"K*V = F* vt+ At que posibilita la obtencin de las U. ., siendo K* una matriz de coeficientes independientes del tiempo que puede ser triangularizada una sola vez.

1: [15], [16] 2: |171

11.

1 El anlisis en el dominio de frecuencias, se basa fun

damentalmente en transformar el trmino F(t) de la ecuacin fundamental de manera que quede independiente del tiempo. Un mtodo es el uso de las series standard de Fourier, con las que la funcin F(t) queda en la forma :

F ( t> * n?0 An c 3 ! 4 L t + So Bn s e n H T *

donde supondremos que con un numero finito de trminos expresamos F(t) con suficiente aproximacin.

Otra alternativa para eliminar el tiempo en la ecuacin general dinmica es expresar F(t) por medio de la transformada de Fourier como una integral infinita :

J 0 F(t) = / (A(c)cosuit + B(uJ) senuJt) di*

donde las funciones gral de Fourier t

A(aJ)

B(tf)

A(uJ)

2_ TT

2_ TT

y B(U< ) vienen dadas por la inte

J F(t) cosut dt 0 f F(t) senot dt 0

Aun ms eficiente es expresar la integral de Fourier en complejos, quedando de la forma :

F(t) - / P(u) eiuJt du;

donde F(u) - | [A(MJ) - i B(u/)J

En estas condiciones la ecuacin general queda en la forma s / o9

Kv + Cv + Mv - / F(uJ) eiUJt dyj

que tiene una solucin de la forma :

1: [10],[18)

1 2 .

v ( t ) - J Y(uJ) . euJt du Qfif

y donds v ( t ) y v ( t ) t i e n e n la expres in :

v ( t > ^J.-e1 J *M > ' eiUJt aJ

V ( t ) - / -t / - no

tu2 Y(a) eiuJt uJ O

que s u s t i t u y e n d o en l a ecuacin genera l queda s

(K + i t C -V2K) Y(L) = F ( a > )

que se puede resolver para cada valor de u> y aplicando la transformada inversa de Fourier podemos pasar a la e :uacin inicial.

1 El anlisis modal partiendo de la ecuacin general Kv(t) + Cv(t) + Mv(t) = F(t)

supone un cambio de variables 0 v(t) = 0Y(t)

Con esta hiptesis, tenemos s v(t) = 0Y{t) v(t) = 0Y*(t)

Sustituyendo, tenemos : K0Y(t) + C0Y(t) + M0Y(t) = F(t)

T Si premultiplicamos por 0 , tenemos s

o bien 0TK0Y(t) + 0TC0Y(t) + 0TM0Y(t) = 0TF(t)

K*Y(t) + C*Y(t) + M*Y(t) = 0TF(t) Si la transformacin 0 es tal que K* C* y M* sean ma

trices diagonales, la ecuacin anterior se dice que est desacoplada y permite una solucin inmediata, pues cada fi la tiene solo un trmino, para cada matriz.

.: fio] , [lij ,[l2

I 13.

La matriz 0 se le llama de autovalores o de coordenadas normales. El problema de obtencin de autovalores se trata en el apartado siguiente.

14.

1.5 Anlisis Modal

Partiendo de la ecuacin general dinmica F(t) = K v + C v + Mv..

Si se supone un movimiento no amortiguado, es decir C s 0, y sin acciones exteriores F(t) = 0 , la ecuacin anterior queda en la forma

K v(t) + M v(t) - 0 r1"5,1"] Esta ecuacin rige el movimiento de un sistema carente

de amortiguamiento y con vibraciones libres. En estas condjL ciones la ecuacin dinmica tiene solucin de la forma :

v{t) = [0] Sen oU t Sus t i tuyendo queda en l a forma s

2

K 0 sen uj t - uJ M 0 sen uf t = 0

(K 0 - UJ 2M 0) sen ui t 0

O b ien s

K 0 - UJ 2 tofr* 0 Ya que senU/t no es idnt icamente c e r o . Quedando en l a

forma : K -u/2M 1-0 = 0 [l.5.2j

Esta ecuacin tiene solucin distinta de la 0 = 0, que corresponde a la ausencia de vibracin, si :

'K -U, 2M = 0

Al desarrollar el determinante anterior se obtiene una 2 ecuacin de grado n en a) que nos permite obtener n so-2 luciones de w .A partir de cada una de ellas se obtiene un valor tu. de la frecuencia de vibracin circular o libre.

15.

K 0 - UJ2 M 0

K 0J = Oj2 M 0j

Una vez obtenidos los valores de u) . para cada uno pode mos sustituirlo enri.5.2jy dando un valor arbitrario a uno de los 0 y eliminando esa ecuacin (ya que es un sistema homogneo) y resolviendo el sistema, obtenemos un vector 0. que corresponde a las amplitudes de un modo normal de vibra cin y se designa como deformada modal. De estos vectores tendremos tantos como valores de u' . que habitualmente se ordenan segn frecuencias crecientes y en forma de columnas y determinan la matriz 0 denominada matriz de deformadas modales.

Si consideramos dos autovalores y sus dos deformadas mo dales u). , u/. y 0. 0. podemos escribir s 1 3 i 1

[1.5.3J

Premultiplicando por 0. la ecuacinI i.5.31 y por 0 lafl. 5.4*Jnos queda :

0^ K 0 = 2 0^ M 0 ri-5.5]

0 T K 0j = UJ 2 0 i T M 0.. [1.5.I

Si en la ecuac idn [l.5.6)8e transponen los dos miembros resulta :

0 T K 0 = UJj2 0^ M 0 f1'5'7] ya que j(y M son matrices simtricas.

Si observamos [l.5.3 yJl-5.5]y recordamos que hemos supuesto que u). f1 I). podemos decir que se cumple

0 T K 0. = . 3 * > Si i ? j 0^T M 0 1 = 0

0 T K 0 . M

0..T M ^ / 0 Si i * j

16.

lo que quiere indicar que los vectores 0.0. son ortogonales respecto a la matriz de masas y a la matriz de rigidez.

Por lo anterior, se puede escribir i p f w o o - j y j [i.5.8] [0f O] M - V | [1.5.9]

Las matrices M* y K* son matrices diagonales y se denomi nan matriz de rigidez y de masas generalizadas. Con estas con sideraciones la ecuacin[l.5.2Ise puede expresar en la forma

K 0 = u)2 M 0 T Si p remul t ip l i camos por 0

0 b ien

T ? T 0 K 0 = t> 0 M

K* = {Ml M* \ i [l.5.10] La ecuacin anterior indica que las matrices diagonales

de masas y de rigidez son proporcionales trmino a trmino, 2 segn el factor (jj .

Vibraciones forzadas

Volviendo a la ecuacin dinmica general y haciendo en ella la transformacin

[l.S.ll.] v - 0 y que derivando permite escribir

v = 0 y [l.5.11bj v = 0 y J1.5.11C

podemos escribir M 0 y + C 0 y + K 0 y - P ( t )

17.

donde 0 es la matriz de deformadas modales y a los valores y se les denomina coordenadas normales. Si en las ecuaciones [l.5.lljpremultiplicamos por 0T podemos escribir s

M y + 0 C 0 y + J M . u/ y - 0 F(t) y premultiplicando por Vi""1 nos queda :

y +J'1 0T c 0 y + | W j y ^Ji'1 0T F(t) [1.5.12]

En la ecuacin[l.5.12Jla matriz Pi' es diagonal como se va indicando anteriormente. El trmino independiente viene multiplicado por la matriz J^1 0T y corresponde al vector ponderado de cargas que indica la participacin de las accio nes exteriores en cada uno de los modos.

El trmino de amortiguamiento J \ 0 C 0 debe de ser diagonal, es decir que la matriz C debe de ser ortogonal a los autovectores 0.

En general no resulta fcil cuantificar los trminos de la matriz de amortiguamiento, ya que stos dependen adems de los materiales y de la forma de vibracin, de los mecanijs mos de disipacin de la energa.

Entre las distintas soluciones que se han adoptado para expresar el amortiguamiento tenemos :

a) Suponer para cada modo un amortiguamiento B. Esta 30 lucin que es evidentemente muy simple tiene el inconveniente de ^ener que definir el amortiguamiento que se asigna a cada nodo.

2 b) Mtodo de Rayleigh, partiendo de la idea de que la

matriz C sea ortogonal a los autovectores 0,este mtodo propone una matriz de amortiguamiento del tipo C = a K + b M donde K, M son las matrices de rigidez y de masas.

l ! 2: [19]

Cl8J , [l9]

18.

a y b son parmetros que se determinan asignando a dos modos concretos unos amortiguamientos ya determinados. Como casos lmite, si en la ecuacin 1.5.12 se sustituye la matriz C por el trmino aK se obtendra la propie dad de ortogonalidad :

/"t"1 0 T aK 0 = a |\i>* I quedando el trmino de amortiguamiento de la ecuacin general en la forma anloga a la de un oscilador simple, es decir s

2 WJ/5 I = \ VJ2 I Con lo cual:

/st - - j - i Siendo /S . la fraccin de amortiguamiento crtico.

Es decir que los amortiguamientos de cada modo son pro porcionales a las frecuencias (ver fig. I.l).

Anlogamente si sustituimos la matriz C por el trmino bM, se obtiene s

>H 0l bM 0 H bN| quedando el trmino de amortiguamiento en la forma :

o bien cada modo tendr un amortiguamiento /S . tal que es inversamente proporcional a la frecuencia (ver fig. I.l)

' i 2uJx La solucin de Rayleigh nos determina una variacin

de /S intermedia entre las anteriores. En la fig. I.l se ha representado de forma general esta ley que se particulariza para dos valores concretos de a y b determinados al definir dos amortiguamientos /$ y /3, correspondien

19.

tes a dos valores de las frecuencias uJ y uJ.. Esto permite seleccionar el rango de variacin de los amortiguamientos para las restantes frecuencias modales * . La dificultad de este procedimiento, igual que en el caso anterior, estriba en la seleccin de los amortiguamientos y las frecuencias de partida.

El mtodo de Rayleigh propone una dependencia funcional del amortiguamiento y la frecuencia. Esta afirmacin se puede demostrar matemticamente (ver Anejo A), en el cual se desarrolla una teora basada en el amor tiguamiento viscoso y que aplicada a una viga logra la expresin matemtica de esta funcin.

20.

frcunei08 W

Fig. .1 AMORTIGUAMIENTOS SEGN RAYLEIGH.

21.

c) Mtodo del amortiguamiento modal ponderado. Asigna a cada modo un amortiguamiento equivalente, que ob tiene de la suma de los amortiguamientos de las dis tintas componentes del sistema, ponderados por su contribucin a la energa mxima de deformacin del sistema para cada modo :

/3_ = 2L Eni/4

n 5- E * "i

donde E es la energa de la componente i para ni

el modo n, /3, es el amortiguamiento de la componen te i. Los valores de/3. se estiman de forma expe rimental para cada componente.

d) Ensamblaje de la matriz de amortiguamiento. Este mtodo propone la formacin de una matriz C a partir de la de los distintos elementos y obliga a una integracin del sistema de ecuaciones, ya que en ge

T "~ neral el producto 0 C0 no ser una matriz diagonal, salvo que se desprecien los trminos fuera de la diagonal; esto equivaldra al procedimiento anterior.

Una vez estudiado y, en cierta medida, resuelto el pro blema del amortiguamiento, la ecuacin dinmica [l.5.12j 9". da formada por matrices cuyos coeficientes son diagonales. Con esta condicin, el sistema de ecuaciones est formado por n ecuaciones desacopladas entre s que pueden integrar se directamente obteniendo :

De acuerdo con las ecuaciones [l.5.11aj , b, c, podemos obtener :

v = 0 y v = 0 y

y V 0 y

[20] ,[21] ,[22]

22.

Una vez obtenidas las aceleraciones v, las fuerzas dinmicas vienen expresadas por :

'l-WW Con el desarrollo realizado podemos resolver el proble_

ma dinmico producido en una estructura por la accin de fuerzas dinmicas exteriores.

23.

1 Respuesta dinmica a terremotos

El efecto de un terremoto sobre una estructura corresponde a la actuacin sobre la cimentacin de una aceleracin que depende del tiempo, es decir s

z = z(t) Al aplicar esta aceleracin al sistema la ecuacin ge

neral queda en la felina : m(v + z) + C v + K v = 0 ("1.5.13]

Notemos que no se han incluido los trminos Cz y Kz ya que las fuerzas elsticas y el amortiguamiento solo dependen de los movimientos relativos entre los elementos y que el terremoto corresponde solo a una aceleracin en el cimien to.

La ecuacin anterior se puede expresar en la forma : m v + C v + K v =-m z

ya que el trmino F(t) es nulo al no existir fuerzas exterio res.

A la ecuacin anterior puede aplicrsele la transformacin descrita anteriormente

v - 0 y quedando en la forma s

y +p2UJ/sl y + [ V 2 ] y = - ' ( t j f x ) " 1 ^ [m] Es habitual denominar I A."} a la expresin :

A los trminos del vector k se les denomina coeficientes de participacin.

La ecuacin dinmica aplicada a los terremotos queda en la forma :

{y} + l%2uj/*3{*} + [V 2 ] y\ = "z(t) P$ [1,5,1l

1: [l0] , [12] , [23]

24.

que puede ser integrada directamente o bien calculados los esfuerzos a travs de los espectros da respuesta.

Como luego se ver 1 es el coeficiente de ndice i dal desarrollo del desplazamiento mximo total en forma de serie de deformadas modales.

a) Integracin numrica

La ley de aceleraciones del terremoto z(t) presenta una serie de caractersticas de variabilidad que hacen que la fnica forma de expresarla es de form? numrica. En estas condiciones se pueden integrar las ecuaciones dinmicas por los mtodos clsicos numricos, pudindose obte- ner las aceleraciones relativas de la estructura por superposicin y que de acuerdo con el cambio de variable queda :

v = 0 y y las aceleraciones absolutas sern s

ic(t) = 0 y + z(t) y las fuerzas se obtienen segn :

'}-H} . Notemos que en todo este desarrollo hemos supuesto

conocida la ley z(t) del terremoto. Esto solo se puede a-firmar "a posteriori" de ocurrir uno, pues la experiencia de otros anteriores apenas nos sirve dado el carcter alea_ torio de stos y ms aun la distribucin de las aceleracio nes en ellos y aun ms la duracin del terremoto. Todos e tos factores hacen que este mtodo no sea el indicado y que se haya desarrollado otro mtodo en el que no es necesario conocer la ley de aceleraciones del terremoto de for ma explcita.

l: [23]

25.

b) Espectros de respuesta

Dado el desacoplamiento de los distintos modos de la ecuacin dinmica del oscilador mltiple (con n arados de libertad) se puede estudiar eficientemente su respuesta dinmica utilizando el "espectro de respuesta5 del terremoto z (t).

El espectro de respuesta se obtiene excitando con una serie de acelerogramas registrados de terremotos normalizados por su aceleracin mxima, una serie de OJJ ciladores simples de frecuencia u). y amortiguamiento /3>a y representando grficamente las envolventes de sus respuestas mximas S (ver fig. 1.2) que incluyen acele raciones relativas ms aceleracin del suelo (z + y).

Anlogamente se pueden obtener "espectros" de velocidades o desplazamientos mximos. En la prctica de la Ingeniera se suelen presentar en forma unificada y 2 a escala logartmica como se indica en la fig. 1.3.

En el caso de un sistema mltiple, se obtienen las frecuencias de vibracin de cada modo t. y sus coeficientes de participacin )\ . segn [l.5.14j. Entrando en el espectro se obtienen las aceleraciones para cada modo S . a

Las aceleraciones absolutas para el modo i tendrn la expresin s

S < ai i

Las aceleraciones para cada g.de 1. y para cada modo sern la resultante del producto del vector de defo madas modales 0. por las aceleraciones modales absolutas S A., es decir s

ai x 0, Sa A, 1.5.16

1: [12], [24] 2: (25)

2 6 .

Amortiguomianto fth

FVocuanclee w

fia. 1.2 ESPECTRO DE RESPUESTA

27.

Las fuerzas dinmicas mximas para el modo i tendrn la expresin :

Con estos resultados se plantea problema de combinar estas fuerzas de manera que los resultados estando del lado de la seguridad sean lo ms aproximados a las soluciones reales, ya que estadsticamente los mximos no pueden presentarse al mismo tiempo.

Existen varias propuestas de solucin a este problema, entre las que podemos describir s

a) Suma algebraica. Esta suma directa de las fuerzas nos da una idea general de los mximos valores.

b) Suma de valores absolutos. Este valor es lgicamente la cota superior que puede alcanzar.

c) Raz cuadrada de la suma de los cuadrados. Este corresponde estadsticamente al valor ms probable, y

2 usado de forma muy generalizada.

Todas las soluciones propuestas son vlidas si supo nemos aplicable el principio de superposicin, en caso contrario el problema se complica. Tal es el caso de los problemas de estabilidad, cimentaciones, etc.

1 [26] 2 Este mtodo propuesto por Rosenblueth 1.951 27 ha

sido ampliamente aceptado, incluso en muchas norma tivas oficiales, se basa en un planteamiento estadstico de la distribucin de los distintos modos en la vibracin de la estructura.

H

W en d M o 05

O H

en T> a w en

Q'Luiiiimliiwiw tuiLu 0 0 1 004 05 OS i OI CL9 0 4 0.3 0 * 0.8 10 < I 4 S

FROJNCY tft CYCLES/SECCNO

29.

16 Situacin actual del clculo dinmico aplicado a la Ingeniera

A lo largo del captulo se ha desarrollado la metodologa fundamental del clculo dinmico. Su situacin actual se puede contemplar desde dos puntos de vista: Uno de investigacin cientfica y un otro desde la prctica real en la Ingeniera. Desde el punto de vista de investigacin la tendencia actual se orienta hacia una serie de temas muy especializados u otros que por su complejidad aun no tienen soluciones rigurosas. Entre estos temas podemos ci_ tar :

* Nuevos elementos finitos para modelos ms complejos1 (elementos isoparamtricos, macro-elementos, etc.).

2 * Problemas dinmicos no lineales. * Definicin de las acciones dinmicas de forma proba 3 bilstica. * Nuevos cauces en la definicin y clculo del amorti guarniente -

* Tratamiento estadstico de xas respuestas dinmicas. * Nuevas cargas dinmicas actuando sobre estructuras.

Por otra parte, en el clculo dinmico en Ingeniera se ha tendido en los ltimos aos a un uso masivo del ordenador. Los modelos dinmicos cada vez son ms precisos y, por supuesto, ms complejos, por lo cul el volumen de informacin ha aumentado enormente. Esto produce una complicacin a la hora del anlisis y tratamiento de estos resultados dinmicos. Una parte de la investigacin en el campo dinmico de los ltimos aos se ha interesado por este tema, tratando de simplificar los resultados dinmicos o bien de dar criterios y normas a la hora de cuanti-ficar la importancia o no de determinados grupos de resu.1 tados. 1: [28) ,129) 2 : 130] , f31] 3 : 132] . ' 4; P3J , t34j,[35)

30.

Dentro de este campo podemos citar como un gran apartado el tema de postprocesamiento de datos. Como se ha comentado, la tendencia actual de clculo dinmico en Ingenie ra produce un gran volumen de informacin que resulta prc ticamente imposible de tratar por medios convencionales y por tanto impone un tratamiento informtico que permita acceder de forma directa y selectiva a esta informacin,para su posterior tratamiento.

Otra faceta de la investigacin prctica dentro del clculo dinmico es la relacin ccn campos afines tales como Hidrulica, Termodinmica o Mecnica del Suelo, que hoy resultan temas de gran inters prctico. Entre ellos 2 el problema de interaccin suelo-estructura, imposible en la prctica de eludir, resulta enormemente complejo debido principalmente al carcter no lineal del comportamiento del suelo.

Por otra parte, existen problemas que por tamao re-~ sultn en la prctica normal de la Ingeniera inabordables debido a que requieren tiempos de utilizacin del ordenador excesivamente grandes. Debido a esto se siguen realizando estudios en el campo del clculo numrico que permitan opti_ mizar los recursos que la Informtica ofrece a la Ingeniera. Dentro de esta linea est la tendencia a ahorrar grados de libertad en los grandes problemas dinmicos, lgicamente manteniendo un nivel suficiente de precisin ds los clculos.

El presente estudio pretende enfocar el ahorro de gra dos de libertad, no solo desde un punto de vista de clculo numrico sino desde un planteamiento combinado mimrico-estructural.

7TW* 2 : 37j

i

2. LA CONDENSACIN CINEMTICA

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. 9 | p

o o a f i fA SU

r t o 3 su n o 0 3 0

fD

33.

FI6. 11.1 ESTRUCTURA RESISTENTE A EFECTO

DINMICO HORIZONTAL.

34.

" * " " , j . . i i

FIG. 11.2 MOOELO DE ELEMENTOS FINITOS

( 2 7 5 nudos) (550 libertades)

35.

Como es lgico pensar, el manejar este enorme volumen de informacin resulta muy costoso y, como anteriormente se ci. t, puede incluso inducir a error en el clculo, con lo cual las ventajas que, en un principio, se pudieran obtener de un modelo con suficiente grado de detalle, se pierden. Ante esta perspectiva, se pueden adoptar varias soluciones que comen tamos a continuacin.

a) Uso de elementos finitos ms precisos. Resulta claro pensar que el excesivo nmero de grados de libertad es el cau sar.te del problema que planteamos. Su solucin puede ser muy simple, es decir, disminuir el numero de nudos del modelo, claro est que sin causar deterioro en el nivel de precisin del modelo. En esta lnea se estn desarrollando elementos f nitos complejos que permiten mantener un buen nivel de precisin con pocos nudos de enlace entre ellos. Paralelamente a esto y dentro de esta lnea, existe una tendencia al uso de subestructuras que en algn modo se comportan como este tipo de macro-elementos.

2 b) Limitacin del nmero de modos significativos. Resulta

prctica habitual del clculo dinmico y es recomendado por muchos autores el considerar que nicamente una parte de los modos de vibracin de la estructura son significativos a efec tos del clculo de esfuerzos. Bajo esta perspectiva, se puede limitar el volumen de informacin, considerando una parte de esta como significativa y despreciando el resto.

En esta lnea se pueden considerar dos tendencias. Unos au tores limitan el nmero de modos a considerar, siendo clsica la recomendacin de tomar el 10% de los modos y otros autores son partidarios de limitar los modos significativos por el va lor de la frecuencia de vibracin, pues es una conclusin pr tica que para altas frecuencias los esfuerzos dinmicos son ba_ jos. En todo caso, esta forma de limitar los modos de vibracin resulta a veces difcil por la aparicin de frecuencias parsjL tas. 1: fl3] 2: [lOj

26.

c) Modelos de masas concentradas. Este sistema muy gene ralizado en la prctica del clculo dinmico en Ingeniera, consiste en realizar un modelo muy simple de la estructura, formado por masas puntuales unidas entre s por barras (ver fig. II. 3). El estudio dinmico se realiza en este modelo de masas concentradas y posteriormente se trasladan estos esfuerzos al modelo de elementos finitos para obtener los esfuerzos con suficiente grado de detalle.

Este mtodo, que ha tenido un gran desarrollo en las of Cias de Ingeniera, permite un grado de aproximacin modera do, pero no impone un gran volumen de informacin, permitiera do una visin global del comportamiento de la estructura. Co mo resulta lgico, las decisiones que hay que tomar a la hora de dimensionar las barras exigen un profundo conocimiento de la estructura y una prctica de la Ingeniera Dinmica que no siempre estn a nuestro alcance.

d) La condensacin cinemtica. Como se ver a lo largo de este captulo, en el presente estudio se desarrolla una metodologa alternativa que permite simplificar el clculo dinmico en la linea de obtener modelos ms simples, pero sin obligar a la toma de decisiones tan fuertes como en los n>odelos de masas concentradas y que, pese a su simplicidad, permite un grado de aproximacin suficiente, como se comprobar en el Captulo 4.

La condensacin se puede enmarcar dentro de esta perspectiva como un mtodo de reduccin de grados de libertad dinmicos.

De forma general podamos definir la condensacin como una transformacin que permite pasar de un sistema dinmico a otro equivalente en sus respuestas fundamentales, con un grado de simplicidad mucho mayor.

1: [40] ,[4l] , [42]

37.

//////////////////////////^

> - > m 1 9

^

> n i

4

? -* m ' 5

>*v ^ ^

FI6. II.S MODELO SIMPLIFICADO DE MASAS

CONCENTRADAS Y BARRAS.

38.

Desde un punto de vista estructural, la condensacin cinemtica puede entenderse como un paso posterior y comple mentario a la modelizacin de la estructura, es decir que,"* partiendo de un modelo complejo realizado reflejando muy fielmente la estructura inicial por medio de elementos fin tos, permita obtener un modelo simple de masas concentradas de una forma rigurosamente matemtica y que adems psrmita la seleccin ingenieril de los parmetros estructurales.Una vez conseguido un modelo dinmico simple, ste permite su estudio de forma cmoda, eliminando toda la problemtica que trae consigo un exceso de informacin. Por otra parte, debido a que la condensacin es una transformacin definible matemticamente, como se desarrollar posteriormente, permite, una vez realizado el estudio dinmico, aplicar la transforma cin en sentido inverso, proceso que denominamos expansin, y lograr de forma matemticamente rigurosa el paso de los e fuerzos dinmicos calculados en el modelo condensado al mode lo de elementos finitos, con lo que podemos calcular de forma precisa los esfuerzos y tensiones con un alto grado de precisin.

La transformacin antes aludida se basa en la dependen cia funcional de las caractersticas dinmicas: desplazamien tos, velocidades y aceleracin, de todos los puntos de la es_ tructura, respecto de estas mismas caractersticas en unos pocos que denominaremos como primarios.

Se podra expresar la condensacin desde un punto de vista matemtico partiendo de la ecuacin general dinmica s

Mv + Cv + Kv = F(t) [2.1.l] y suponiendo conocida una funcin de transformacin T de mane ra que podemos expresar las deformaciones v en funcin de otras (de menor nmero) que denominaremos vc, es decir :

v = TV L2,1,2i c

Donde T es una matriz de n por s, siendo n los grados de libertad y s una parte de estos que se denominarn condensados o primarios.

39.

Si en esta ecuacin derivamos dos veces, suponiendo que la matriz de transformacin T no depende del tiempo, nos que dar :

v = Tv c v = Tv

Sustituyendo estas ecuaciones en la 2.1.1 obtendremos s

M*v* + C*v + K*v =*F(t) fz.l.sl c c c L J

Esta ecuacin diferencial es lgicamente anloga a la {2.I.I3 Y s u s soluciones podrn aplicarse a sta simplemente usando la transformacin j_2.1.2J.

A lo largo de este captulo se desarrollar la expresin matemtica de esta transformacin.

Notemos que en la ecuacin\2.1.1Jsi se trata del ejemplo anterior, las matrices K, M y C sern de orden (550,550) que al aplicar la transformacin f"2. 1.2Jy convertirse en las matrices K*, M* y C* sern del orden de (20,20), con lo cul el grado de compilacin del anlisis dinmico queda muy redu cido.

40.

2.2 Desarrollo terico

De acuerdo con el apartado anterior, partiendo de un sistema en vibracin libre s

K v - u J H v - 0 [2.2.l] Entendiendo por condensar encontrar una matriz de trans_

formacin T que nos permita el deducir los valores de v en funcin de unos pocos que denominaremos v (es decir desplaza mientos del modelo condensad) obtendramos :

v = T v

Con este planteamiento la condensacin cinemtica se ha planteado bajo la perspectiva de que la masa de todo el siste ma se concentra en unos pocos grados de libertad que corres -ponden a los condensados. Es decir que desarrollando la ecuacin [2.2.1] en forma de submatrices, tendremos s

K l l

K21

K12

K22

v c

v s

- v 2 M n ; M2i

M 12 M 22 3! 0

que multiplicando por submatrices podramos escribir 5 K21 Vc + K22 Vs -^2(M12 vc + M22v.) =

Kll Vc + K12 Vs ~^2 =

[2.2.2]

La condensacin cinemtica considera que la matriz de masas es diagonal. Hiptesis justificable si el grado de deta -lie de la modelizacin es alto. Con esta hiptesis la matriz de masas solo tendr los trminos de la diagonal, es decir que M 12 0 y M01 - 0. Bajo estas condiciones la ecuacin^2.2.2J se puede expresar en la forma

K21 Vc + K22 Vs = * M22 VS

41.

Analizando los resultados del clculo dinmico en las es tructuras se v que la participacin de las fuerzas inerciales en el esfuerzo total de la estructura es variable, depen diendo en gran parte del valor de la frecuencia, comprobando se que para bajas frecuencias las fuerzas inerciales son des_ preciables frente a las de deformacin en los grados de 1.1 -bertad secundarios.

Con estas consideraciones podemos escribir que : K21Vr + K22Va - ^ M 22 Vs * [2.2.3]

Premultiplicando esta ecuacin por K_2 queda s K22~lK21 Vc + ( K22 1 K22 ) VS

0 bien : Vs = -K22~lK21 VC

Llamando TQ a la matriz : T0 = ~K22 K21

Y si se forma una matriz T de la forma 1.

1 T = T0=S""K22 K21

Se puede escribir :

[2.2.4]

V T v

0 bien en su forma desarrollada s

v_ 1 1 T0

la afirmacin anterior es cierta en la medida en que los arados de libertad secundarios se hayan elegido eficientemente. El desarrollo terico pudiera haberse planteado tomando la ecuacin[2.2,3jcomo hiptesis de partida y de finiendo como grados de libertad secundarios a aquellos que cumplen esta ecuacin.

42.

Esta ecuacin corresponde a la transformacin que estaba mos buscando para la condensacin.

A partir de esta ecuacin podemos deducir la ecuacin di nmica del modelo condensado :

K*v - \jj 2M* v * 0

La obtencin de las matrices K* y M* se puede deducir por consideraciones energticas. ,.

Segn el clculo modal/ la energa de deformacin Ed se puede expresar en la forma :

Ed = 1/2 vTK v Pero como s

v = T v c queda :

Ed = 1/2(T Vc)TK(T vc) 0 bien :

Ed = 1/2 VcT(TTK T)vc

Si llamamos :

nos queda t K* - TT K T

Ed - 1/2 v / K* vc

[2.2.5]

De forma totalmente anloga tendremos la energa cintica E = 1/2 IA/2VT M v

donde sustituyendo v = T vc nos queda 1

Ej - 1/2 u/*(T v c ) T M(T vc)

0 bien 1 2 T/mT

, s 1 / Z II' ET - 1/2 u v (T1 M T)vc

43.

Si llamamos M* = TT M T f2.2.6l nos queda :

Ej = 1/2 vo v_ M*v_ .2 T "'c - -c Como conclusin podramos escribir que el problema inicial;

2 K v -o) M v 0 se ha reducido o condensado al problema

K*v - u}2 M*v = 0 c w c Donde s

K* = TT K T M* = TT M T

Y la matriz : T -

T0 donde TQ - -K22 K2i siendo K21 y K-, una particin de la roa trz K inicial.

Hasta este punto se ha logrado reducir el problema inicial a otro de menor nmero de ecuaciones dinmicas a travs de la matriz

T - -K22 K 2 1 Notemos que la matriz K22 es muy grande respecto a la ma

triz inicial K, pues en caso contrario la reduccin por conden sacin no tendra sentido. Bajo este punto de vista el obtener la matriz T resulta costosa,por lo que en una primera visin se podra dudar de la eficiencia de la condensacin en la reduccin de grados de libertad. Ms adelante se desarrolla en la Tesis una nueva metodologa que elimina esta serie de opera cienes y que permite la eficiencia prctica del mtodo.

a H-O 3 rt-O

a

ut. O

ffl jta

rt-n 3 m 3 rt-O

a (9 H re a c o o p-Ov 3

a r> iQ h CU a 0 (a

a fD P* p-tr

45.

El criterio ms claro a la hora de elegir grados de liber tad se podra resumir en que el comportamiento de zonas que estn unidas entre si por elementos muy rgidos resulta similar. En este caso toda la zona puede ser representada por un solo grado de libertad. Por ejemplo, en la figura H.fl.a se representa un forjado que est cimentado con cuatro pilares; si suponemos que la rigidez del forjado en su plano es alta ante un esfuerzo horizontal, es lgico que un punto cualquiera del forjado, por ejemplo el A, pueda representar de forma eficiente a todo l. En este caso resultara poco til colocar ms grados de libertad en el forjado. Notemos que ante un esfuerzo horizontal el forjado se desplazara todo 61 de forma anloga. (Ver Fig.ll,4.b).

En contraposicin, si intentamos ver el comportamiento del forjado ante un esfuerzo dinmico en direccin vertical y elegimos el punto A como grado de libertad, ste no nos representara bien el movimiento pues existiran unos "efectos locales" debidos a la diferencia de rigidez del forjado a flexin con los pilares a traccin que introduciran un error considerable. (Ver Fig.II.4.c).

En este caso deberamos elegir puntos como el 1,2,3,4 en los arranques de los pilares que nos daran idea de la forma de comportamiento de la estructura ante esfuerzos verticales. Figura H.4 .d.

La segunda alternativa de eleccin de grados de libertad es tomar un criterio matemtico estructural a la hora de ca sificar la importancia relativa de los grados de libertad. Entre los mtodos empleados el ms general es el de la compa racin entre la matriz de masas y la de rigidez. Parte del criterio de que las frecuencias ms bajas producen los mayores esfuerzos en la estructura. Este criterio es ampliamente aceptado, ya que la prctica lo confirma. Con esta

1: 43]

46

hiptesis el mtodo consiste en encontrar una relacin entre la frecuencia circular oj y los trminos de las matrices de rigidez y de masas.

Empleando la analoga con el oscilador simple establecer una proporcionalidad entre el cuadrado de la frecuencia circular y el cociente entre los trminos de la diagonal de la matriz de rigidez y la de masas :

Mii Eligiendo los grados de libertad que tengan menor rea-

cin K / M i l

Este criterio da unos resultados satisfactorios y solo queda la decisin de qu nmero de grados de libertad se toman.

47.

11.4.8

II. 4 b

FI6. I I .4 .a y b VIBRACIN HORIZONTAL DE UN FORMOO

I I .4.

I I . 4.t

FI6. II.4.c y d VIBRACIN VERTICAL DEL FORJADO

49.

Problemas producidos en la condensacin cinemtica

A lo largo de los apartados anteriores se han enumerado una serie de caractersticas de la condensacin, enuncindose las ventajas numricas y estructura]s que proporciona. Con esta premisa quizs no haya quedado suficientemente claro el carcter de "mtodo aproximado" que tiene la condensacin. Como tal mtodo aproximado comete un error que a lo largo del caplt.ilo 4 va a ser cuantificado y que, para casos normales, est dentro de los limites tolerables en el Clculo Dinmico.

Volviendo al apartado 2.2, donde se enunci la base matts mtica de la condensacin, se deca que para frecuencias bajas las fuerzas inerciales son despreciables frente a las deformaciones en los grados de libertad que no fuesen primarios, Esto es cierto en la medida en que los grados de libertad secundarios se hayan elegido de forma acertada. En caso contrario pueden aparecer, como se comentar en captulos suces_ vos, una serie de problemas que pueden hacer perder precisin al mtodo. La mayor parce de estos problemas suelen estar pro ducidos por una mala eleccin de los grados de libertad, aunque existe otro cuya causa es la propia flexibilidad de algfln tipo de estructuras. Tpicos dentro de este tipo de problemas tenemos los fenmenos locales producidos por amplificacin de deformaciones en estructuras blandas, por ejemplo en forjados o vigas secundarias en edificios. Sin embargo, si se conoce la respuesta global de la estructura principal, estos efectos locales se pueden analizar en forma desacoplada estudiando su vibracin, considerando en detalle su flexibilidad local, sujts ta en sus puntos de apoyo a la estructura principal a la &xci_ tacin global.

3. MTODO MATEMTICO Y PROGRAMA DE ORDENADOR

51.

Planteamiento matemtico

En el apartado anterior se ha dado una visin general y terica de la condensacin cinemtica que ofrece una primera im presin muy clara y simple del objetivo y de sta. Al profun dizar en la prctica de la condensacin aparecen una serie de nuevos planteamientos matemticos que ofrecen nuevas pesgpec tivas reales al uso prctico de la condensacin como mtodo de trabajo en el clculo dinmico de estructuras.

La idea bsica a la hora de condensar un sistema dinmico de muchos grados de libertad, es el obtener la matriz de tran formacin T que permita una relacin entre las variables dinmicas v y un subconjunto de stas v . La expresin de es-

c ta matriz de obtena de la ecuacin general dinmica K operan do por submatrices, llegando a la expresin :

T0 S - K22" 1 K21 C3'1'*] Donde K12, K.. y K22 son submatrices de la matriz de rigidez. A partir de esta expresin se obtena la matriz de transforma cin T :

T T 0

Por consideraciones energticas obtenamos las matrices K* y M* que denominamos matrices de rigidez y masas condensa-das. Volviendo a la expresin 3.1.1 que es el punto de arranque de la metodologa de la condensacin, se observa que 1 obtencin de esta matriz impone la inversin de la submatrz K__ y el producto matricial (K22~ *K 2 1). Si estas operaciones las enmarcamos en el terreno real, es decir en un caso prct:i co en que podramos imaginar que el numero de ecuaciones dinS micas sea por ejemplo 1.000, la condensacin tratara de calcular las respuestas dinmicas para los grados de libertad fundamentales que en un caso normal no sobrepasarn de 20. En

o

estas condiciones la matriz 22 ser de (980 , 980) . La inver sin de una matriz de este tamao resulta enormemente costosa, quizs ms que otro tipo de clculo que nos permita obte ner los 20 primeros autovalores del sistema dinmico inicial. Con esta limitacin de planteamiento el desarrollo de la con densacin cinemtica no tendra una base real de uso y su utilidad se limitara a la especulacin matemtica.

A partir de sste momento se desarrolla una metodologa que permite eliminar gran parte de esas operaciones y que ha ce que el mtodo sea enormemente simple. Casi todo el esfuer zo matemtico trata de obtener la matriz de transformacin T de una forma simple. Como resulta lgico, la obtencin de e ta matriz no es el nico problema matemtico que plantea la condensacin cinemtica sino que existen otros problemas tales como inversin de matrices u obtencin de autovalores, etc., que se usan en el presente trabajo pero que han sido muchas veces estudiados y que dentro de la Bibliografa clsica estn profusamente tratados.

En el Captulo 1 se deduje la expresin de la matriz de rigidez de una estructura y que se denomina habitualmente Kj .podemos definir la matriz F que denominaremos matriz de flexibilidad y que por definicin es la inversa de la matriz de rigidez, es decir :

F K = K F = I 3.1.2J donde I es la matriz unidad. El sentido fsico de la matriz de flexibilidad se podra resumir diciendo que es el conjunto de deformaciones de toda la estructura, cuando se ha some tido a cada punto de esa estructura a un esfuerzo unitario.

Por claridad del desarrollo futuro es consecuente expresar la ecuacin [3.1.2] en forma de producto de submatrices y cuya expresin podra ser :

53.

K l l

K21

K12

K22

Fu F21

0

F r12 F f22 0

[3.1.3]

Notemos que la matriz F que refleja la flexibilidad de la estructura es simtrica, como se podra fcilmente demostrar aplicando el teorema de la reciprocidad. Con esta premi sa, la matriz de rigidez K tambin es simtrica. Con estas condiciones podemos escribir :

(K12)* = K n 9 (F 1 2) A=P 2 1 De la ecuacin 3.1.3 podemos deducir multiplicando por

partes : K21 Fll * K22 F21 "

-1 En esta expresin premultiplicando por K22 tenemos :

0 K22 K21 F U + K22 K22 F21 0 bien :

F21 = "K22 K21 Fll -1 Multiplicando por la derecha por F^ nos queda en la

forma : F21 Fll ' ~K22 K21 [3.1.4]

Segn se desarroll en el apartado anterior, la expresin rior corresponde a la matriz TQ, con lo (

transformacin T puede ponerse en la forma ; anterior corresponde a la matriz TQ, con lo que la matriz de

54.

T m *22 K21 F21P11

O bien se puede poner como producto de

F 11

21 F 11

-1 D-1-5]

Esta expresin nos permite calcular la matriz de transformacin T como producto de una zona de la matriz de flexibilidad correspondiente a la zona donde seleccionemos los grados de libertad fundamentales y la matriz F de la submatrz de flexibilidad F.-.

-1 11 inversa

Con estas condiciones podemos calcular directamente la matriz M* de masas condensadas :

M* = TT M T T Para calcular K* = T K T desarrollando el producto en

forma de submatrices, tendremos en primer lugar el producto T T K para el cul hay que observar que

-1 T T -1T (~K22 K21} = "K21 K22 -1 -1

ya que K~9 es por ser una submatrz de K es una matriz simtrica. Con esta aclaracin podramos escribir el produ

T to T K en la forma :

- - ^ r 1 f3-1-6]

\ "K12K22

-1

K 11 K 21 Kll"

K12K22 K21

K 12 K 22

K12"K12K22 K22

55.

T El producto (T K)T queda en la forma

K l l "

K12K22 K21 0

1

~K22 K21

K*

Segn la expresin anterior la matrs de rigidez conden-sada K* tiene la expresin :

K* * Kll " K12 K22_:L K21 [3.1.7] A partir de esta expresin de K* se va a demostrar que

la matriz (F13) es idntica a la matriz K*. Para esto bastara comprobar que F.. e? la inversa de K, o bien que su producto es la matriz unidad, es decir :

K* P n = I

De la ecuacin 3.1.3 se puede deducir multiplicando por submatrices que :

I K F + K F *11 11 *12 *21 Por otra parte, segn la expresin 3.1.4

-1 -1 F21 Fll = ~K22 K21 Si sustituimos 3.1.9 en 3.1.7 tenemos s

K* s Kli + K12 F21 'll'1

[3.1.9]

[3.1.10] Si esta ecuacin la multiplicamos por la derecha por F--

nos queda -1, K* F 11 (K11 + K12 F21 Fll } 11

56.

O bien : K* Fll = Kll Fll + K12 F21 C3'1-11]

Pero el segundo trmino de esta ecuacin es segn 3.1.8 la matriz unidad, por lo que podemos escribir :

K* p = i *11 x 0 bien :

-i K* = p

0 de forma explcita poner que s K* = TT K T - F 1 1~ 1 [3.1.12J

Observando la ecuacin 3.1.12 se v que la expresin de K* es la inversa de la submatrz de flexibilidad de los grados de libertad dinmicos que hemos considerado como funda -mentales.

La matriz F . se podra obtener directamente colocando una carga unidad en los puntos que suponemos como grados de libertad fundamentales.Una vez obtenida F.. la inversin es ms rpida, no olvidemos que la matriz F*. es pequea,En un caso prctico pueden ser 10 20 grados de libertad.

Viendo la expresin 3.1.5 se deduce que la matriz de transformacin T se puede obtener del producto de la subma-trz F... y F12 por la matriz F.~ .

Bajo estas consideraciones las operaciones que obliga la condensacin cinemtica es a obtener las deformadas de todos los puntos de la estructura cuando esta se carga con fuer_ zas unidad en los grados considerados como fundamentales. Otra ventaja complementaria, pero no manos importante, es la posibilidad que la condensacin tiene de permitir te_ ner un solo modelo de la estructura y realizar el anlisis d nmico y esttico en un solo clculo.

I a (9 0 H 0 . (0 3 CU & 0 H

A C (t)

03 (9

3* pi

(9 3 TJ * -

O & & O

9 3

(8 p"

a ro 03 Di l-S n 0 P P< 0

o. 6 P* 0)

f t

O

o 01 p, H *1 O p p" t>> 3

D 3

O M

0) 13 SU 1 (9 03 o p" c o p-

a D i - '

03 P-03 r t o o P-o 3 (U

P> SU 03

o. D 3 (ft 63

O TJ

58.

2 Procedimiento de clculo y ejemplo numrico

En el apartado anterior se ha desarrollado la metodologa de la condensacin, desde un punto de vista matemtico. En este se intenta dar una visin prctica de todo el clculo dinitrt co, sin limitarnos a la parte de condensacin, ya que en caso contrario perderamos la continuidad del planteamiento. Este desarrollo se realizar sobre un caso prctico y con da tos reales, realizando todas las ope .-aciones necesarias sin depender del ordenador. El ejemplo ilustra la metodol. del clculo dinmico y por otra parte es un caso de comprobacin del programa de ordenador que posteriormente se emplear.

El ejemplo seleccionado es muy simple, dada la complejidad de las operaciones que hay que realizar normalmente. Se trata de una simple mnsula que se ha representado en la figura III.3, con las caractersticas geomtricas y de material t

- Longitud:4 m, - Material:Mdulo E 2-106 Tn/ra

\> 0,2 Densidad 2,5

- Seccin: Ancho 0,5 Canto 0,5

Sobre este ejemplo se desarrollar toda la metodologa numrica del clculo dinmico y de la condensacin cinemtica.

59.

Moteriol: Mdulo E 2 106 Tn/m2

0,2 Densidad 2,5

E

4 .0 f 5

} - 4

3.0

B-3

2 .0

B-2

1.0

B-1

14

FI6. f l l .3 EJEMPLO NUMRICO

so,

Las operaciones que se realizarn a lo largo del ejemplo se pueden agrupar en los siguientes apartados :

a) Definicin geomtrica de la estructura.

b) Clculo de las matrices elementales de rigidez.

c) Ensamble de la matriz de rigidez general.

d) Obtencin de la matriz de masas.

e) Eleccin de los grados de libertad primarios.

f) Clculo de las deformaciones generales de la estructu ra.

g) Obtencin de la matriz de transformacin T y de rigidea.

h) Clculo de la matriz de masas condensad.

i) Obtencin de las frecuencias y autovalores.

j) Aplicacin de la transformacin T (proceso de expansin),

k) Obtencin de esfuerzos y tensiones.

61.

a) La definicin geomtrica de la estructura incluye la localizacin geomtrica de les nudos, as como la determina cin de los distintos elementos que forman la estructura. Como se coment en apartados anteriores, este proceso recibe el nombre de model.zacin. En nuestro ejemplo tomamos 5 nudos y 4 barras segn :

a.l) Definicin geomtrica de los nudos : da 1 2 3 4 5

Coordenada 0. 0. 0. 0. 0.

X Coordenada Y 0. 1.0 2.0 3.0 4.0

a.2) Caractersticas de las barras : Barra 1 2 3 4

Origen 1 2 3 4

Final 2 3 4 5

rea 0.25 0.25 0.25 0.25

Inercia 0.00521 0.00521 0.00521 0.00521

b) Clculo de las matrices elementales de rigidez. Empleando el mtodo de las deformaciones, es decir resolver la ecuacin s

k d P Donde P es el vector de carges, d el vector de deformaciones que es nuestra incgnita y k la matriz de rigidez d la estructura. Esta matriz se forma por ensamble o acoplaraien to de las matrices de rigidez elementales- Estas representan las reacciones (fuerzas o momentos) que se producen en los nudos de un elemento cuando a uno de ellos se le provoca una deformacin o un giro unitario.

62.

En nuestro ejemplo les elementos son barras cuya matriz de rigidez elemental aparece en la figura III.4. En el caso de elementos finitos las expresiones de la matriz de rigidez resultan ms complejas, pero en todo caso responden -D caractersticas anlogas.

Notemos que en el caso de barras la matriz de rigidez viene expresada en coordenadas locales de la barra,donde el eje X' cor esponde al eje de la barra en el sentido del nudo i al nudo j y el eje Y* es perpendicular a ste y for mando sentido positivo.

En la figura III.5 se han escrito todos los coeficientes numricos de la matriz de rigidez de la barra numero I de nuestro ejemplo.

63.

M y 1 : \

Barra k L

"*3

A = rea I = Inercia E = Mdulo de elasticidad

k=

EA L

0

0

-EA L

0

o ka

0

12EI L3

6EI L*

0

-12EI L3

6EI L2

0

6EI L2

4EI L

0

- 6EI L2

2EI L

-EA L

0

0

EA L

0

0

0

-12EI L3

- 6EI L2

0

12EI L3

- 6EI L

0

6EI LT

2EI L

0

- 6EI L

4EI L

FIG. III.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UNA BARRA

64.

0.25 -0.25

0 0.0625 0.0312 0 -0.0625 0.0312

2 10* 0 0.0312 0.0208

-0.25

0 -0.0312 0.0104

0.25 0

0 -0.0625 -0.0312 0.0625 -0.0312

0 0.0312 0.0104 0 -0.0312 0.0208

FIGURA III.5 COEFICIENTES NUMRICOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DE UNA BARRA.

3 0* H

0< ffi

\-> 0. 3 B> rt H H> M

(6 3 01 t M O

g 0 3" fU cr i * rt e f *-

(5 01

D-ro O H-H

o, (0 3 0) 3 ro H o i t (0 i - 1 0)

o M. H-3 fl> H, B

O O P" C g 3 0i

M. re o M fD en (6 3 rt Cu M 0> Q> 1 * O

3 JO

H 0) H H H a - j

(D 0> f t 0 H (6 *0 H (i 09 (D 3 rt 01 a Q> I -1

0)

3 0) r t w. A N

X

re 3 01 e Mi O H g 0) o. A tr 3 a 0)

3 (9 H O D fl> I-" !- cr fD H rt 0i

o, (D 09

*o O M 3 C a o w 3 3 t fD CO rt M O O 0) (0 O

ro w CTl w 3 H-Qf

Mi K

iS

O M. O 3

a (5 3 t a O 0)

t 3 H-O. O (0

a O H.

t 3 0 (- (9 g fD 3 f t O

< g c M r t p-a (- P-O Q) O. O

-o O I

re M 3

l a

0J (D O. (D 3 O 3 P-3 0> 0) 3 O V O

a (9 tr 0) 3 Qj 01

< A t ro n re 'O M ro 01 re 3 r t o> t-1

& 3 0 X P-3 0> (0 O O 3 O (t> 3 f t M 0> 3

O n o X H-3 O 0)

0) M & a p-0) P* ro 3 t 3 D>

N O 3 0)

tQ t (9

(0 O 3

os ^ * rt H P-o 0* 0) * p* 0

3 0) rt H (-* N

iQ re 3 a H, 0) i-

re (0 0) p-g r> r t H p . O 0)

K:

P o CO r t * H 3 P> 3 o SI

3 K 3 o < re M Mi F -

tJ c i &> M H M o\ O re cr H-a o 0) J c re \-> p> 01

g 0) r t M P-O re m o o 3 O o 3 ro 3 rt 05

10 H-O p-r> 3 a ro M o 0i 3 01 rt n H. o ro (0 a re P* o CO ro !- ro 3 ro 3 r t o en 01 c g ftl 3 a o r t ros M 3 P-3 O 0) ri-

O O 3 U

M H-tr ro n r t 0i a ro en o o n 3 t a o w en r t 0>

3 0> r t H Hk N

en re O O" r t H-re 3 ro o O i

cut o ro H B

i rt H Hi N

>o t ro ro 3 3 t ro en rt f- o o 0) m o 0) ro 0) o. ro - U l X P* t n re 3 Q 3 O en y

3 t o> O tn

f 0*

0 *0 ro f i 0! o H-r> 3 P i re re 3 01 oj g o i - 1

re o 0 3 en H-en r t ro ro 3 H" m Mi o g 0) o H-o 3 a ro t 3 0

a ro H" o 01 ro LJ. ro en X

ro

(9 3 r t O CL fU 01

M (U 01

t r tf N M. 0> 09

ro 01

o> 3 Qft *- o iQ O

*< O

o 1-1 M ro en 'O o 3 a ro 0) M o> 09 t en n H-rt t o H . a 3

o O H t-> O O t 0 M

a ro tr ro 3 a ro ^ ro &> M H-N 0> M 01 ro ro p* o Pj g o* y-O

a re o 0 O M a ro 3 0> a pj en aa t ffl

re 3 3 t ro 01 r t M O

re a 0) 03

jQ ro 3 ro M 0f M r en

a C e H 0 o C l ro e a r M ( c D M h 0 * >Q t O

66

Nudo

1

FIG. I I I . 6 ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

67.

Nudo

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

Libertad

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

0.125 0.500 0.0417

0.250 1.0 0.0833

0.25 1.0 0.083

0.250 1.0 0.083

0.125 0.500 0.0416

2

0.0 0.0 0.625

0.0 0.0 0.0625

0.0 0.0 0.0625

0.0 0.0 0.0625

0.0 0.0 0.0

3

-0.0625 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0625 0.0 0.0

4

-0.125 -0.500 0.0208

-0.125 -0.5 0.0208

-0.125 -0.5 0.0208

0,0 -0.5 0.0208

0.0 0.0 0.0

3

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

6

-00625 0.0 0.0

-0.0625 0.0 0.0

-0.0625 0.0 00

-0.0625 0.0 0,0

0.0 0.0 0.0

Nota : Todos los trminos estn afectados del coeficiente

FIG. III.7 MATRIZ DE RIGIDEZ EN SU FORMA DE BANDA.

68.

d) Obtencin de la matriz de masas. Considerando la matriz de masas diagonal, como se desarroll en el primer cap tulo, nos encontramos con una matriz con todos los elementos finitos fuera de la diagonal nulos, as como tambin las ma sas de giro. En nuestro ejemplo tendrn el valor 0.625 en los nudos no extremos y 0.3125 en los dos nudos extremos, teniendo la matriz de masas la forma s

Nudo 1

Nudo 2

Nudo 3

Nudo 4

Nudo 5

0 .3125 0.3125

0.0

Elemente nulos

0.

58

625 0.625 0.0 0

Elementos nulos

.625 0.625 0.0 0.625 0.625 0.0 0.3125 0.3125 0.0

~ Matriz de ra&sas general

69.

e) Eleccin de grados de libertad primarios. Como se ha descrito en el apartado anterior, esta operacin es esencial mente importante en todo el proceso de condensacin, pues de ella depende en una parte la buena calidad de los resultados. En el ejemplo que estamos desarrollando se han tomado dos gre dos de libertad, ambos de movimiento horizontal, y situados en los nudos 3 y 5.

De acuerdo con la expresin [3.1.12J la matriz de rigidez condensada K* tiene la expresin :

K* = F -i Donde F_ es la inversa de la particin de la matriz de fie

xibilidad correspondiente a los grados de libertad primarios. Con esta idea, la forma prctica de operar ser cargar la estructura con carg's unitarias en los puntos donde hemos sita do los-grados de libertad y resolver la estructura contestas cargas, calculando las deformaciones generales de la estructura. En el ejemplo que estamos desarrollando las cargas unitarias sern en direccin X y en los nudos 3 y 5. Una vez resue.1 to el sistema :

K d = F donde F son estas fuerzas unitarias, obtenemos la matriz de deformaciones de la estructura que aparece escrita en la figu ra III.8, donde la primera columna corresponde a las deformaciones cuando se sita en el nudo 3 una fuerza unitaria en la direccin X. La columna 2 son las deformaciones cuando la fuer za unitaria est en el nudo 5. En la figura III.8 est escrita -1 la matriz F ^ y su inversa F^ .

70.

f) Obtencin de la matriz de transformacin T. Este proceso es inmediato si nos remitimos a la expresin {jJ.l.Sj :

T = 11

12 * F i-1 11

donde las matrices F., y F-2 son las deforraaciones ya calculadas y cuya expresin est en la figura III.8.

El producto matricial para el ejemplo que estamos desarrollando se incluye en la figura III.9.

0 . 0 0 .0 0 .0 0 . 0 8 0 0 . 0

- 0 . 1 4 4

IjTIsp" 0 . 0

- 0 . 1 9 2 0 .448 0 .0

- 0 . 1 9 2

0 . 0 0 . 0 0 .0 0 .176 0 .0

- 0 . 3 3 6

0 . 0 - 0 . 1 9 2

0 . 0 - 0 . 7 6 8

d> Pn-10 -3 0.256;0.640

0.640;2.048

-1 11 10"

1.79

-0.558

-0.558

0.223

FIG, III.8 MATRIZ DE DEFORMADAS PARA CARGAS UNITARIAS EN LOS GRADOS DE LBER TAD PRIMARIOS Y OLIJITCION DE LAS MATRICES F,, Y _ 11 F -1 11

72.

T -11

21 -1

11 ; F -1 11 10 1-?9 -0.558

-0.558 0.223

|FJ= 10 -3

0.0 0.0 0.0 0.080 0.0

-0 .144 0.256 0.0

-0 .192 0.448 0.0

-0 .192 0.640 0.0

-0 .192

0.0 0.0 0.0 0.176 0.0

-0 .336 0.640 0.0

-0 .576 1.296 0.0

-0 .720 2.048 0.0

-0 .768

^ T

0.0 0.0 0.0 0.448 0.0

-0 .695 1.0 0.0

-0 .215 0.76 0.0 0.58 0.0 0.0 0.85

0.0 0.0 0.0

-0 .053 0.0 0.053 0.0 0.0

-0.214 0.39 0.0

-0 .53 1.0 0.0

-0 .64

FIG. III.9 OBTENCIN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIN T.

73.

h) La matriz de rigidez condensada K* es, segn se ha visto, _ -1 por lo cul su expresin es :

*11

K* = p x 10 1.79

-0.558

-0.558

0.223 La matriz de masas condensada se obtiene segn la expre

sin : M* = TT M T

Debido a ser M una matriz diagonal, la expresin anterior queda en la forma z

T M ij xil Mll xlj

que para elementos de la diagonal queda :

ii* = i ki * k m. y para elementos fuera de la diagonal :

n

74.

iJ Obtencin de frecuencias y autovalores. Segn la expresin 1.5.2 :

K* - u; 2 M * I = 0 podemos, desarrollando este determinante, obtener una ecuacin de grado "n" en u) , cuayas soluciones son las frecuencias pro pias de vibracin. En nuestro caso las soluciones son ;

W 2 - 7460

1 2 - 2.61 105

que corresponden a las frecuencias en ciclos por segundo :

f. = 13.74 (c.p.s.) f2 = 81.30 (c.p.s.)

Las soluciones analticas para una mnsula tienen la ex -presin :

0 - (0-597 77 ) 2 ./""l"" 1 .2 y m

2 2 , . 2 = 81 .30 ( c . p . s . )

De la comparacin de las frecuencias tericas y las obtenidas por el mtodo de la condensacin, se deduce la buena apro ximacin proporcionada por este mtodo, dado que las diferen -cias en las frecuencias son pequeas.

Si se sustituye el valor de U>. en el determinante ante -rior y se elimina una ecuacin, por ejemplo, la primera, reso viendo la expresin 1.5.2, se obtienen las deformadas modales.

75.

En este caso

0 = 0.416 0.885

0.885 -1.04

La obtencin de los coeficientes de participacin se realiza a travs de la expresin :

Es decir :

MrC'iT}.

W- 0.68 0.58 0.81 -0.27

(l

j) Aplicacin de la transformacin T (proceso de expansin) Obtenida la expresin de la matriz 0 de autovalores del modelo condensado, se realiza el producto T0 (ver anexo de la figura III.10 que permite obtener las deformadas de todos los nudos de la estructura para cada uno de los modos condensados. Estas deformadas estn representadas en la figura III.11).

k) Obtencin de esfuerzos y tensiones. Como ditimo aparta_ do, ya conocidos los movimientos de los nudos de la estructura, es inmediato calcular los esfuerzos modales que actan en los distintos elementos, o bien las tensiones. Como ejemplo, en la figura III.12 se han indicado las deformaciones de la barra 2 y se han escrito los esfuerzos. Como es habitual, se consideran positivos los de la cara dorsal respecto de los ejes locales de la barra.

Los esfuerzos corresponden al espectro de respuesta repre sentado en la figura 1.3 del Captulo 1, y, como es lgico, vienen afectados del coeficiente de particin de cada modo.

76.

0 .0 0 . 0 0 . 0

0.448 0 . 0

-0 .695

1.0 0 . 0

-0 .215

0.76 0 . 0 0.58

0 . 0 0 . 0 0.85

0 .0 0 .0 0 .0

-0 .053 0 .0 0.053

0.0 0 . 0

-0 .214

0.39 0 .0

-0 .53

1.0 0 . 0 0.64

0.416 0.885

1.24 -1.04

0 .0 0 . 0 0 . 0

0.119 0 .0

-0 .223

0.416 0 .0

-0 .35

0.80 0 .0

-0.418

1.24 0 , 0

-0 .439

0 . 0 0 . 0 0 . 0

0.451 0 .0

- 0 . 6 7 2

0.885 0.0 0.032

0.273 0.0 1.08

-1.04 0 . 0 1.43

FIG. III.10 PROCESO DE EXPANSIN D=T0

77.

4 . 0

3 . 0 ..

2 . 0 .

1 .0 ...

Modo Modo 2

W = 13.74 (e .p . 8.) vu = 8 1 . 3 0 (c.p.6.)

FI6. 111.11 PRIMERA Y SEGUNDA DEFORMADA MODAL

$

Y

78,

IB

Nudo 2 Barra 2 Nudo 3

Deformaciones del modo 1 : Dx - 0.119

Nudo 2 ej Dy = 0.0 Gx - 0.223

Nudo 3 Dx Dy Gx

0.416 = 0.0 '-0.354

Coeficientes de participacin s 1.26

Aceleracin mxima S leda en el espectro s 3.21 C-

Barra 2 2

Nudo 2 3

Axil 0.0 0.0

Cortante 5.09

-5. OS

Momento 9.77 -4.70

FIG. III.12 ESFUERZOS MODALES EN UNA BARRA.

79.

Programa de ordenador

Una gran parte del trabajo presente, en lo que tiene de aplicacin prctica de la condensacin cinemtica al clculo dina mico, se ha realizado con un programa de anlisis estructural con elementos finitos que contiene la programacin de la condensacin cinemtica y que el clculo de esfuerzos se realiza por el mtodo modal y a travs de espectros de respuesta.

El programa se ha realizado especficamente para este estudio y en este apartado se pretende dar una visin general del programa y de su metodologa, dejando para el Anejo 1 la descripcin detallada de l, la entrada de datos, descripcin de los listados de salida, as como un listado del programa fuente.

El programa est dividido en una serie de fases que siguen de forma muy fiel a los apartados en que se han seguido de forma manual en el punto anterior.

La modelizacin de la estructura se realiza por la dis-cretizacin a travs de una serie de elementos finitos que se unen entre s a travs de nudos.

El anlisis esttico y la obtencin de la matriz de flexibilidad condensada se realiza por el mtodo de las deforma ciones : ~

K - d = P l3'3'1] Donde K es la matriz de rigidez del sistema completo, d os la matriz de movimientos de los nudos, y P es la matriz de cargas aplicadas en los nudos.

80.

La matriz K se forma por la superposicin de las matrices de rigidez de los distintos elementos y las columnas de la ma trz P con las distintas hiptesis de carga. Las condiciones de sustentacin se introducen como elementos unidimensionales de desplazamiento o giro de rigidez igual a la del soporte elstico. En caso de soportes rgidos, se suponen unos elemen tos de rigidez muy alta que equivalen a anular esos grados de libertad.

La solucin del sistema de ecuaciones lineales se efecta por el procedimiento de eliminacin de Gauss, que pese a ser un clsico no por ello resulta ser superado por otros siste -mas en los que el ahorro de operaciones es muy limitado y en contraposicin son mtodos mucho ms complejos de preparar. Como es lgico, el mtodo aprovecha las caractersticas del problema estructural, es decir la simetra del sistema de ecua ciones y la presencia de una banda diagonal de valores distintos de cero.

El ancho de esta banda depender de la numeracin de los nudos del modelo, procurndose la numeracin de forma que la diferencia entre los nmeros de los elementos sea mnima. El mtodo de Gauss contempla todo tipo de simplificaciones inherentes a ecuaciones anuladas, elementos nulos, etc., que in -tentan disminuir las operaciones y eliminar problemas de precisin.

Una vez obtenida la matriz de corrimientos d (un vector para cada hiptesis de carga) el programa calcula a nivel de elemento los esfuerzos o tensiones correspondientes a estos corrimientos.

En la fase anterior, ec decir la esttica, tambin se realiza el clculo de hiptesis de carga para fuerzas unidad en los puntos que se consideran como grados de libertad funda_ mentales y que sern la base del clculo en la condensacin cinemtica.

1: [l5]

81.

El proceso dinmico contiene los siguientes apartados :

a) Obtencin de la matriz de masas b) Obtencin de la matriz de transformacin T c) Clculo de las matrices de masas y flexibili

dad condensadas. d) Anlisis modal e) Obtencin de fuerzas y tensiones dinmicas

La obtencin de la matriz de masas se realiza por superposicin en los nudos de las partes proporcionales de la masa de cada elemento que incide en l. Se presupone que el grado de detalle del modelo es suficiente para suponer que la matriz de masas es diagonal, aunque la metodologa del clculo podra aplicarse a una matriz de masas consistente, es decir con trminos no nulos fuera de la diagonal.

La obtencin de la matriz T de transformacin de la conden sacin cinemtica se realiza segn la frmula 3.1.5,en la que la matriz T resulta como producto de una parte de la matriz de flexibilidad multiplicada por F-." .

T La matriz de masas condensada M* = T M T se realiza por un simple producto debido a que la matriz M es diagonal.

La matriz de flexibilidad es,segn se coment en el apartado anterior, es K* = F,."* con lo que su clculo es inmedia to.

El clculo de las ecuaciones dinmicas ya condensado se realiza por el mtodo modal, es decir obtenciones de los auto valores y los autovectores. El mtodo matemtico empleado es el de Jacobi, clsico en su campo, que permite obtener los autovalores en orden creciente por un mtodo iterativo muy eficiente (Ver anejo B).La obtencin de los esfuerzos se realiza calculando las aceleraciones modales a travs de espectros de respuesta. i> i ii i m u a ^

l: [15]

4. COMPARACIN CON SOLUCIONES ANALTICAS Y CON OTROS METO-DOS.

83.

Introduccin

Realizado ya el planteamiento estructural y matemtico de la t condensacin y realizado un ejemplo numrico en el capitulo anterior, en este captulo se pretende cubrir un amplio campo de componentes estructurales realizando en ellos estudios paramtricos en funcin del numero de grados de libertad pri marios seleccionados, asi como observaciones sobre los crifce rios de seleccin de estos grados de libertad. Las estructuras bsicas estudiadas son :

- viga biapoyada - viga continua - losa simplemente apoyada - muro con movimiento en su plano

La segunda parte del captulo recoge dos estudios paramtricos de la viga continua. El primero de ellos consiste en variar el mdulo de elasticidad, comprobando que el error relativo en las frecuencias no cambia. 1 segundo estudio es anlogo pero variando la longitud de la viga continua.

En los casos estudiados en este captulo las soluciones logradas por condensacin son comparadas con soluciones analticas y en su defecto con mtodos iterativos de obtencin de frecuencias y autovalores. Estas comparaciones pretenden lgicamente confirmar la buena aproximacin obtenida con la condensacin, as como apreciar la simplicidad de los resultados obtenidos.

Viga biapoyada

El estudio comparativo de la viga simplemunte apoyada se ha rea lizado sobre el caso real representado en la figura IV.1, con las caractersticas :

a) Material Mdulo E = 2.106 Tns./n2 Mdulo l)= 0.2

b) Seccin Maciza ancho =0.5 cante =0.5

c) Longitud 10 m. Peso 0.6 Tn./ml.

El estudio de condensacin se ha realizado sobre cuatro hiptesis crecientes en el nmero de grados de libertad conden sados, segn :

a) Hiptesis 1 1 g.de 1. a mitad de la luz b) Hiptesis 2 3 g.de 1. a mitad y cuarto de luz c) Hiptesis 3 5 g.de 1. a distancias 2 m., 3,5 m. y

5 m. y sus simetra! d) Hiptesis 4 9 g.de 1. repartidos uniformemente a di

tancias de 1 m

En todas las hiptesis se han calculado lis. frecuencias* propias y las deformadas modales del modelo condensado, as como los esfuerzos en la estructura expandida Los resultados se recogen en los cuadros de las figuras IV.1 y IV.2.

X La viga simplemente apoyada tiene solucin analtica'que puede expresarse segn :

Ia.) Frecuencias (en c.p.s.) :

.2 P - SlIL. i/-S- 4 2 1 r ~ IF V M

H

8 5 .

2 A . ) Deformadas moda le s :

0 (x) - s en 5-JlJL 4 . 2 . 2 n L

En las expresiones anteriores los valores de E, I son res pectivamente el mdulo de elasticidad y el momento de inercia de la seccin segn el plano en que vibra, M representa la masa por unidad de longitud, L la longitud de la viga y n es un pa rmetro que puede ser cualquier nmero natural.