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8/7/2019 aplicaciones_trigonometria
1/28
Aplicaciones de la Trigonometra
Jose Antonio Salgueiro GonzalezDepartamento de Matematicas
IES Bajo Guadalquivir
Lebrija - Sevilla
dpto mates [email protected]
23 de marzo de 2007
Jose Antonio Salgueiro Gonzalez () Aplicaciones de la Trigonometra 23 de marzo de 2007 1 / 12
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Aplicaciones de la Trigonometra
1 Ejemplos
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Polgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el area de un octogono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
de radio.
Solucion.- Uniendo el centro con los vertices, el octogono queda divididoen ocho triangulos isosceles iguales.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
Ejemplo
Hallar el area de un octogono regular inscrito en una circunferencia de 8 m
de radio.
Solucion.- Uniendo el centro con los vertices, el octogono queda divididoen ocho triangulos isosceles iguales.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El angulo en el vertice C sera la octava parte de una circunferencia, esdecir:
C =360o
8= 45o
Obviamente, el area del octogono sera ocho vecesel area del triangulo ABC. Por ello, necesitaremoscalcular la base y altura de este triangulo.Al ser isosceles, la altura relativa al vertice Ccoincidira con la mediana y la bisectriz.
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididosen dos mitades.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El angulo en el vertice C sera la octava parte de una circunferencia, esdecir:
C =360o
8= 45o
Obviamente, el area del octogono sera ocho vecesel area del triangulo ABC. Por ello, necesitaremoscalcular la base y altura de este triangulo.Al ser isosceles, la altura relativa al vertice Ccoincidira con la mediana y la bisectriz.
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididosen dos mitades.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El angulo en el vertice C sera la octava parte de una circunferencia, esdecir:
C =360o
8= 45o
Obviamente, el area del octogono sera ocho vecesel area del triangulo ABC. Por ello, necesitaremoscalcular la base y altura de este triangulo.Al ser isosceles, la altura relativa al vertice Ccoincidira con la mediana y la bisectriz.
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididosen dos mitades.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El angulo en el vertice C sera la octava parte de una circunferencia, esdecir:
C =360o
8= 45o
Obviamente, el area del octogono sera ocho vecesel area del triangulo ABC. Por ello, necesitaremoscalcular la base y altura de este triangulo.Al ser isosceles, la altura relativa al vertice Ccoincidira con la mediana y la bisectriz.
Al trazar h, tanto C como AB quedan divididosen dos mitades.
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El triangulo BMC es rectangulo en M.
Por que?b =
45o
2= 22,5o = 22o30
MB =AB
2
sen b = sen 22o30 = MB8
MB = 8 sen22o30 = 3,061
cos b = cos 22o30 =h
8
h = 8 cos 22o30 = 7,391Con estos valores, debes obtener que la superficie del octogono es
S = 181,02 m2
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El triangulo BMC es rectangulo en M.
Por que?b =
45o
2= 22,5o = 22o30
MB =AB
2
sen b = sen 22o30 = MB8
MB = 8 sen22o30 = 3,061
cos b = cos 22o30 =h
8
h = 8 cos 22o30 = 7,391Con estos valores, debes obtener que la superficie del octogono es
S = 181,02 m2
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Polgono regular inscrito en circunferencia
El triangulo BMC es rectangulo en M.
Por que?b =
45o
2= 22,5o = 22o30
MB =AB
2
sen b = sen 22o30 = MB8
MB = 8 sen22o30 = 3,061
cos b = cos 22o30 =h
8
h = 8 cos 22o30 = 7,391Con estos valores, debes obtener que la superficie del octogono es
S = 181,02 m2
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Metodo de la observacion directa
Ejemplo
Para determinar la altura de un monumento, a 50 m de distancia de subase se dispone un teodolito, y desde el mismo se lanza una visual al
punto mas alto del monumento, observandose que forma un angulo de
38o32 con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito seencuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo,calcular la altura del
monumento.
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Metodo de la observacion directa
Solucion.- La altura del monumento viene dada por el segmentoBP = BA + AP = BA + h = BA + 170. Por otra parte, en el triangulorectangulo BAC se tiene:
tg38o32 = BAAC
= BA50
BA = 50 tg38o32 = 39,819
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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Metodo de la observacion directa
Solucion.- La altura del monumento viene dada por el segmentoBP = BA + AP = BA + h = BA + 170. Por otra parte, en el triangulorectangulo BAC se tiene:
tg38o32 = BAAC
= BA50
BA = 50 tg38o32 = 39,819
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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Metodo de la observacion directa
Solucion.- La altura del monumento viene dada por el segmentoBP = BA + AP = BA + h = BA + 170. Por otra parte, en el triangulorectangulo BAC se tiene:
tg38o32 = BAAC
= BA50
BA = 50 tg38o32 = 39,819
Con este resultado, debes obtener que la altura del monumento es
h = 41,52 m
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Metodo de la doble observacion
Ejemplo
Con objeto de determinar la altura de unarbol situado en un lugar inaccesible, sedispone un teodolito en un punto accesible ydesde el mismo se lanza una visual al punto
mas alto del arbol, obteniendose un angulode inclinacion de 22o47. A continuacion, seadelanta el teodolito una distancia de 10metros en direccion al arbol y se vuelve alanzar otra visual al mismo punto,
obteniendose, en este caso, un angulo de31o19. Calcular la altura del arbol,considerando que el anteojo del teodolitomide 150 m.
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M
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Metodo de la doble observacion
Solucion.- La altura del arbol sera BA + t, siendo t la altura del teodolito,es decir, BA + 150. Ahora bien, en el triangulo BAD:
tg = tg 31o19 =BA
AD=
BA
d
Por otra parte, en el triangulo BAC:
tg = tg 22o47 =BA
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
tg31o19 =x
d
tg22o47 =x
d + 10
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M
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Metodo de la doble observacion
Solucion.- La altura del arbol sera BA + t, siendo t la altura del teodolito,es decir, BA + 150. Ahora bien, en el triangulo BAD:
tg = tg 31o19 =BA
AD=
BA
d
Por otra parte, en el triangulo BAC:
tg = tg 22o47 =BA
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
tg31o19 =x
d
tg22o47 =x
d + 10
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M
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Metodo de la doble observacion
Solucion.- La altura del arbol sera BA + t, siendo t la altura del teodolito,es decir, BA + 150. Ahora bien, en el triangulo BAD:
tg = tg 31o19 =BA
AD=
BA
d
Por otra parte, en el triangulo BAC:
tg = tg 22o47 =BA
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
tg31o19 =x
d
tg22o47 =x
d + 10
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M
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Metodo de la doble observacion
Solucion.- La altura del arbol sera BA + t, siendo t la altura del teodolito,es decir, BA + 150. Ahora bien, en el triangulo BAD:
tg = tg 31o19 =BA
AD=
BA
d
Por otra parte, en el triangulo BAC:
tg = tg 22o47 =BA
d + 10
Llamando BA = x, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
tg31o19 =x
d
tg22o47 =x
d + 10
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Metodo de la doble observacion
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Metodo de la doble observacion
Equivalente a
0, 61 = xd
0, 42 =x
d + 10
Que podemos resolver por el metodo de igualacion despejando x en ambasecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) 0, 19d = 4, 2 d = 22, 11
Por tanto, la altura del arbol es
BA + 1, 50 = x + 150 = 13, 484 + 150 = 14, 98 m
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Metodo de la doble observacion
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Metodo de la doble observacion
Equivalente a
0, 61 = xd
0, 42 =x
d + 10
Que podemos resolver por el metodo de igualacion despejando x en ambasecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) 0, 19d = 4, 2 d = 22, 11
Por tanto, la altura del arbol es
BA + 1, 50 = x + 150 = 13, 484 + 150 = 14, 98 m
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Metodo de la doble observacion
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Metodo de la doble observacion
Equivalente a
0, 61 = xd
0, 42 =x
d + 10
Que podemos resolver por el metodo de igualacion despejando x en ambasecuaciones:
0, 61d = 0, 42(d + 10) 0, 19d = 4, 2 d = 22, 11
Por tanto, la altura del arbol es
BA + 1, 50 = x + 150 = 13, 484 + 150 = 14, 98 m
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Estrategia de la altura
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Estrategia de la altura
Ejemplo
Una montana de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se vela cima C de la montana con un angulo de elevacion de 24o, y desde Bcon 36o. Cual es la distancia entre los dos pueblos?
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Estrategia de la altura
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Estrategia de la altura
Como el angulo C = 180o (24o + 36o) = 120o, el triangulo ABC no esrectangulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonometricas. En
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste entrazar una de las alturas y dividir el triangulo en otros dos que ya seranrectangulos. En el triangulo AHC:
tg24o
=
h
a =
650
a
a =
650
tg24o = 1459, 92
Por otra parte, en el triangulo CHB:
tg36o =h
b
=650
b
b =650
tg36o
= 894, 65
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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Estrategia de la altura
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Estrategia de la altura
Como el angulo C = 180o (24o + 36o) = 120o, el triangulo ABC no esrectangulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonometricas. En
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste entrazar una de las alturas y dividir el triangulo en otros dos que ya seranrectangulos. En el triangulo AHC:
tg24o
=
h
a =
650
a
a =
650
tg24o = 1459, 92
Por otra parte, en el triangulo CHB:
tg36o =h
b
=650
b
b =650
tg36o
= 894, 65
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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Estrategia de la altura
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Estrategia de la altura
Como el angulo C = 180o (24o + 36o) = 120o, el triangulo ABC no esrectangulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonometricas. En
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste entrazar una de las alturas y dividir el triangulo en otros dos que ya seranrectangulos. En el triangulo AHC:
tg24
o
=
h
a =
650
a
a =
650
tg24o = 1459, 92
Por otra parte, en el triangulo CHB:
tg36o =h
b
=650
b
b =650
tg36o
= 894, 65
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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Estrategia de la altura
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Estrategia de la altura
Como el angulo C = 180o (24o + 36o) = 120o, el triangulo ABC no esrectangulo y, por tanto, no podemos usar las razones trigonometricas. En
estos casos suele emplearse la estrategia de la altura, que consiste entrazar una de las alturas y dividir el triangulo en otros dos que ya seranrectangulos. En el triangulo AHC:
tg24
o
=
h
a =
650
a
a =
650
tg24o = 1459, 92
Por otra parte, en el triangulo CHB:
tg36o =h
b
=650
b
b =650
tg36o
= 894, 65
Se deduce, que la distancia entre los pueblos es
a + b = 2354, 57 m
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