Date post: | 23-Jun-2015 |
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1
5.- MÉTODO DE LAS FUERZAS (FLEXIBILIDAD)
5.1.- FORMULACIÓN DEL MÉTODO
El método de las fuerzas, permite resolver las estructuras hiperestáticas considerando
como incógnitas a las fuerzas y momentos.
En una estructura hiperestática, tales incógnitas pueden ser exteriores o interiores,
estando las primeras asociadas a las componentes de reacción en los apoyos, en tanto
las segundas corresponden a fuerzas en los elementos tales como: N, V, M, Mt.
Sea la siguiente estructura aporticada mediante la cuál se expondrá el método:
2
En la figura 1 se muestra a una estructura continua cuyo grado de hiperestaticidad
exterior es 3; el procedimiento consiste en isostatizar la estructura incluyendo como
cargas a las incógnitas escogidas en la isostatización. En este caso, corresponde a las
componentes de reacción del apoyo D, tal como se aprecia en la figura 2.
Aplicando el “principio de superposición”, la estructura isostatizada puede
descomponerse en tantas estructuras parciales como cargas existan en ella. Así, en la
figura 2a se muestra la estructura isostatizada con todas las cargas externas actuantes.
En las figuras 2b, 2c y 2d se muestra la estructura con cada una de las fuerzas
incógnitas actuantes en el apoyo D.
A continuación, se determinan los desplazamientos horizontal, vertical y giro en D para
cada estructura parcial, con lo cuál aplicando el ‘principio de compatibilidad’ se originan
las siguientes ecuaciones:
Incognita3ºIncognita2ºIncognita1ºactuantes
reales
cargas
00
00
00
3
2
1
0
3
2
1
0
3210
DDD
DDDDD
VDVDVDVDVD
HD HD HD HD HD
MVH
↑↑↑↑
=+++→=
=+++→=
=+++→=
θθθθθ
δδδδδ
δδδδδ
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene las reacciones o incógnitas
hiperestáticas de la estructura propuesta. Aplicando luego las ecuaciones de equilibrio
que nos da la estática, se pueden encontrar las reacciones restantes.
3
Problema: Calcular las reacciones en A (EI=cte). Considere sólo efectos de flexión
Solución:
a) Calculo del G.H.E, ( )eErge +−=
( ) º2 035 =→+−= gege
b) Alternativas para isostatizar.
c) Empleando la alternativa b.1)
4
( ) ( )
22 12 21 11 20 10 21
2
1
2222332
22232
2
2
221
2
12121
,110
0
22422422
2222
000000
mmm··
δδδδδδ===
=↑↑↑↑↑↑↑↑
+−−−−+−−
−−−−
xxx
x
xaaxaaxqaqaqaxaaqaaCCD
aaxxqaxqxaxqxaBBC
xxaAAB
mmMmMmmMLOTRAMO
d) Ecuaciones de compatibilidad
=++→=
=++→=
0'·'· 0'
0'·'· 0'
222 121 20
212 111 10
xx
xx
VA
HA
δδδδ
δδδδ (I)
Resolviendo las integrales:
IE
aq
IE
dxqa
IE
dxqxaa
·
6
·4
·2
4
0
3
2
0
3
10 ⋅⋅
=+= ∫∫δ
( )IE
aq
IE
dxxqaqa
IE
dxqaxaa
··
3
13
·22
··
2
4
0
23
2
0
2
20 ⋅
−=−−+
−= ∫∫δ
∫∫ ⋅⋅
⋅=⋅+=
aa
IE
a
IE
dxa
IE
dxx
0
32
2
0
2
11
3
20
·4
··δ
( )∫∫ ⋅
⋅−=⋅−⋅−+⋅−==
aa
IE
a
IE
dxxaa
IE
dxxa
0
32
2
0
12 21 5
·22
··δδ
[ ]∫ ∫∫ ⋅⋅
⋅=+++=
a aa
IE
a
IE
dxxa
IE
dxa
IE
dxx
2
0
3
0
22
0
2
22
3
14
··
···δ
Finalmente:
↓⋅⋅=
←⋅⋅=
aqx
aqx
18.0
036.1
2
1
5
Problema: Determinar los diagramas de momento flector y fuerza cortante, de la
siguiente estructura que se encuentra sometida a la acción de una fuerza lateral.
Datos:
2cm 210 tonEHA
=
3,2
HAHA
EG =
2,1=K (Factor de forma de una sección rectangular)
Solución:
1) Cálculo del grado de hiperestaticidad exterior: ( ) º2 035 =→+−= ee gg .
2) Modelación de la estructura: línea formada por loe ejes neutros de cada elemento.
6
En que: TP 10=
mh 85,2=
mL 07,5=
3) Isostatización: se liberará al apoyo D.
4) Método de solución: se empleará el método de las fuerzas. Se considera el efecto de
la flexión en todos los elementos, además en el muro se introducirá el efecto del corte,
debido a que una de las dimensiones de su sección transversal es comparable con su
altura.
A continuación se analizará cada estructura:
4.1) Estructura 0.
00
00
··
==
==
−==
DCDC
BCBC
ABAB
MV
MV
hPxPMPV
7
4.2) Estructura 1.
xHMHV
HhMV
xHMHV
DDCDDC
DBCBC
DABDAB
·
· 0
·
−=−=
−==
−=−=
4.3) Estructura 2.
0 0
··
· 0
==
−=−=
==
DCDC
DDBCDBC
DABAB
MV
xVVLMVV
VLMV
5) Compatibilidad:
0
0
2
1
0
2
1
0
=++
=++
DDD
DDD
VVV
HHH
δδδ
δδδ
8
6) Desplazamientos:
∑∫∑∫∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑∫
+=+=
+=+=
+=+=
LL
V
LL
H
LL
V
LL
H
LL
V
LL
H
dxAG
vVKdx
IE
mMdx
AG
vVKdx
IE
mM
dxAG
vVKdx
IE
mMdx
AG
vVKdx
IE
mM
dxAG
vVKdx
IE
mMdx
AG
vVKdx
IE
mM
DD
DD
DD
··
· ,
··
·
··
· ,
··
·
··
· ,
··
·
22222
12122
21211
11111
20200
10100
δδ
δδ
δδ
Reemplazando:
( )( ) ( )MM
H
h
M
h
M
HAG
Kph
IE
Phdx
AG
PKdx
IE
xhxPDD ··6
·
1
·
30
00
0 −
⋅=→
−+
−−= ∫∫ δδ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫
−−+
−−+
−−+
−−=
h
M
D
h
P
D
L
V
D
h
M
D
H dxAG
HKdx
IE
xxHdx
IE
hHhdx
IE
xxHD
0000
1
·
1
·
·
·
·
·
·δ
D
MPVM
H HAG
hK
IE
h
IE
Lh
IE
hD
···3·
·
·3
3231
⋅+
⋅++=→ δ
( ) ( )( )D
VM
H
L
V
D
h
M
D
H VIE
hL
EI
Lhdx
IE
hxLVdx
IE
xVLDD
··22
··
· 222
00
2
−−=→
−−+
−= ∫∫ δδ
( )M
V
h
M
VIE
hLPdx
IE
LhxPDD ·2
··
·
· 20
0
0 −=→
−= ∫ δδ
( )D
VM
V
L
V
D
h
M
D
V HIE
hL
IE
hLdx
IE
xLHhdx
IE
LxHDD
··2
·
·2
·
·
·
·
·· 221
00
1
−−=→
−−+
−= ∫∫ δδ
( )D
VM
V
L
V
D
h
M
D
V VIE
L
IE
hLdx
IE
xLVdx
IE
LVLDD
··3·
·
··
·· 322
0
2
0
2
+=→
−+= ∫∫ δδ
9
Finalmente:
444 3444 21
321
444444444 3444444444 21B
I
Lh
A
Kh
I
h
P
R
V
H
A
I
L
I
hL
I
hL
I
Lh
I
hL
I
Lh
A
Kh
I
h
I
Lh
I
h
M
MM
D
D
VMVM
VMMPVM
+−
=
+−−
−−+⋅
++
·2
·44.0·6·
·3·2·2
·2·2·44.03·32
3
3222
22323
La ecuación matricial tiene la forma:
=
e
d
V
H
cb
ba
D
D
Aplicando GAUSS-JORDAN, se tiene:
−⋅
⋅−⋅−⋅
⋅−⋅
=
2
2
bca
dbeabca
ebdc
V
H
D
D
2 56,0414,0 mAM
=×=
43
75,012
414,0mIM =
×= , 4 00032,0 mI
V= , 4 00003,0 mI
P=
luego:
53,385927 56.0·44.0
85.22.1
00003.03
85.2
00032.0
07.585.2
75.0·3
85.2 323
=→⋅
+⋅
+⋅
+= aa
59,114494 00032.0·2
85.207.5
75.0·2
85.207.5 22
−=→⋅
−⋅
−= bb
68,135851 00032.0·3
07.5
75.0
85.207.5 32
=→+⋅
= cc
PdPd ⋅=→
⋅+−= 74.8 ·
56.0·44.0
85.22.1
75.0·6
85.23
P, eP e 452775.0·2
85.207.5 2
=→⋅
=
10
Evaluando en la solución de GAUSS:
⋅
⋅=
P
P
V
H
D
D
0003.0
0001.0
11
1.- CARGAS DE NUDOS COMBINADAS
El cálculo de los desplazamientos en una estructura mediante ecuaciones matriciales requiere
que la estructura esté sujeta a cargas que actúen únicamente en los nudos.
En general, las cargas reales que actúan sobre una estructura no cumplen con este requisito.
Por esta razón existen dos tipos de carga:
a) Cargas que actúan en los nudos.
b) Cargas que actúan en los miembros o tramos.
Las cargas tipo (b) deben reemplazarse por cargas estáticamente equivalentes que actúen en
los nudos, denominándose así por CARGAS EQUIVALENTES EN NUDOS. Cuando estas
cargas se suman a las cargas de nudo reales o cargas tipo (a), resultan las cargas totales o
CARGAS DE NUDO COMBINADAS. Con estas cargas es posible analizar estructuras por
métodos matriciales.
Es ventajoso en el análisis que las CARGAS DE NUDO COMBINADAS se valoren de tal modo
que los desplazamientos resultantes de la estructura sean los mismos que los desplazamientos
producidos por las cargas reales. Este resultado se consigue mediante el empleo de
ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO, tal como se muestra en el ejemplo siguiente.
Se establece la siguiente convención de signo en el método matricial de flexibilidad:
“Un momento que genere compresión en la cara superior del elemento y un corte hacia
arriba son positivos”.
Figura 1. Cargas de nudo combinadas.
12
La figura 1a muestra una viga ABC apoyada en los nudos A y B, y sujeta a varias
cargas. En la figura 1b pueden verse las cargas de nudo reales, en tanto que en la
figura 1c las cargas reales actúan sobre los elementos. Para determinar las cargas de
nudo equivalentes, se fijan los nudos de la estructura completamente. En consecuencia,
en la figura 1d se tienen dos vigas doblemente empotradas sujetas a las cargas de
miembro, originándose en cada una de ellas acciones de empotramiento. En la figura
1e se tienen dichas acciones de empotramiento, actuando en la estructura completa y
fija. Si estas acciones se invierten en dirección, constituyen un juego de fuerzas y
momentos que son estáticamente equivalentes a las cargas de miembro. Finalmente, la
figura 1f resulta de sumar las cargas de nudo de las figuras 1b y 1e, dando lugar a las
CARGAS DE NUDO COMBINADAS de la estructura mostrada en la figura 1a.
2.- ELEMENTO RETICULADO PLANO O ESPACIAL
Se estudiarán estructuras reticulares planas o espaciales y se supondrán en principio
que son estáticamente determinadas y sometidas a cargas que actúan únicamente en
los nudos.
Como método básico se empleará el método de la carga unitaria para determinar los
desplazamientos en cualquier nudo de la estructura. El desplazamiento D en un nudo
cualquiera es:
∑∫ ⋅
⋅=
L
dxEA
nND (1)
Siendo D el desplazamiento a calcularse, N representa la fuerza axial en cualquier
barra o elemento de la estructura debido a las cargas externas, n representa la fuerza
axial en cualquier barra o elemento de la estructura debido a una carga unitaria
ubicada en donde se desea evaluar D, L es la longitud del elemento y AE es la rigidez
axial de elemento. El símbolo ∑ ubicado en el segundo miembro de la ecuación, indica
13
que la integral debe evaluarse para cada miembro de la estructura y los resultados
sumarse a fin de obtener el desplazamiento D.
Si se tienen que N y AE son constantes, la ecuación (1) adopta la siguiente forma:
∑ ⋅⋅⋅
=EA
LnND (2)
Se puede adoptar como convención de signos que todos los miembros en tracción son
positivos. También el sentido positivo para el desplazamiento D será el mismo que en el
sentido positivo de la carga unitaria. Se supondrá que la carga unitaria y el
desplazamiento D son positivos cuando tienen direcciones positivas de los ejes
coordenados utilizados como una referencia para la estructura.
Con la finalidad de generalizar las expresiones que se derivarán más adelante, se
introduce a continuación el término ACCIONES DE EXTREMO. En el caso de un
miembro de un reticulado plano o espacial, sólo son posibles dos acciones de extremo,
a saber, las fuerzas axiales que actúan en los dos extremos del elemento. A pesar que
pueden emplearse cualquiera de las dos acciones de extremo, se adoptará una
convención que es la que a continuación se explica.
En la figura 2a y 2b se muestran dos miembros típicos pertenecientes a una estructura
plana y a otra espacial, respectivamente. El elemento de la estructura plana esta
localizado en el plano XY, donde se supone está la estructura, mientras que el
elemento de la estructura espacial puede encontrarse en cualquier dirección con
respecto a los ejes X, Y, Z.
14
Figura 2. Acciones de extremo a) Elemento de una estructura plana, b) Elemento de
una estructura espacial.
El elemento e se encuentra conectado a la estructura a través de los nudos i y j. Los
ejes X, Y, Z son ejes referidos a la estructura y comúnmente se les conocen como ejes
globales, en tanto que los ejes Xm, Ym, Zm son los ejes referidos al elemento y se les
conoce como ejes locales.
La acción de extremo a utilizar es la fuerza axial ubicada en el extremo j, denominada
AM en la figura 2. La acción de extremo ubicada en i, se omite en la figura debido a que
no se utiliza en el análisis.
Si la acción de extremo AM está originada por las cargas reales, se denominará AML y si
es causada por la carga unitaria se denominará AMU. Así, la ecuación (2) se escribe en
términos de acciones de extremo:
∑=AE
LAAD
MUML ·· (3)
15
Es posible introducir en la ecuación (3) la noción de flexibilidad de miembro,
denominada FM. En el caso de un miembro cargado axialmente, la flexibilidad FM puede
entenderse como el desplazamiento del extremo del elemento debido a una fuerza axial
unitaria, como lo muestra la figura 2 para el elemento e. En consecuencia, la flexibilidad
de un elemento reticulado se define como:
EA
LFM
·= (4)
Figura 3. Flexibilidad FM para un miembro de un reticulado.
Introduciendo la ecuación (4) en la ecuación (3), se tiene:
...······ 222111 ++==∑ MLMMUMLMMUMLMMU AFAAFAAFAD (5)
Con la finalidad de expresar la ecuación (5) matricialmente, es necesario contar con
tres matrices tales como:
[ ]MUnMUMUMUT
MU AAAAA ...321= (6)
[ ]MLnMLMLMLT
ML AAAAA ...321= (7)
16
=
Mn
M
M
M
F
F
F
F
L
MOLM
L
L
00
00
00
2
1
(8)
n = número total de elementos
en la estructura.
en que, AMU es un vector formado por las acciones de extremo AMU debidas a la carga
unitaria, AML es un vector formado por las acciones de miembro debidas a las cargas
reales y FM es la matriz de flexibilidad formada por las flexibilidades de los elementos
de la estructura ubicados en la diagonal principal.
Sustituyendo adecuadamente las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuación (5), se tiene:
MLMMU AFAD T ··= (9)
La ecuación (9) puede emplearse para determinar cualquier desplazamiento de nudo D
en una estructura plana o espacial. Las matrices AMU y AML representan acciones de
extremo debidas a la carga unitaria y a las cargas reales, respectivamente. Todas estas
acciones se obtienen mediante análisis de equilibrio estático de la estructura.
17
Ejemplo 1. En la estructura plana mostrada en la figura, determinar el desplazamiento
vertical del nudo B. Suponer AE = cte.
Nótese que la estructura es isostática.
Sol.-
EA
L
catrimeSi
FM
·
1
01
001
0002
00001
= , Matriz de flexibilidad.
Por estática se tiene: [ ][ ]01021
01121
−−=
−=T
MU
TML
A
PA
Finalmente, empleando la ecuación (9) se tiene que:
( )↓=EA
PLD 83,4
18
CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS.
Por lo general, es necesario calcular varios desplazamientos en los nudos de una
estructura. Para ello, basta con generalizar la definición de la matriz de acción extrema
AMU. Anteriormente, por tener una sola carga unitaria, se tenía un vector; ahora debido
a que existen tantas cargas unitarias como desplazamientos se desean conocer, la
matriz AMU adopta la forma:
=
MUmnMUmMUm
nMUMUMU
nMUMUMU
MU
AAA
AAA
AAA
A
L
MMM
L
L
21
22221
11211
(10)
El coeficiente AMUij es la fuerza en la barra i-ésima debido a la j-ésima carga unitaria.
Los diferentes desplazamientos en la estructura pueden colocarse en un vector
desplazamiento D, tal como:
[ ]nDDDD L21= (11)
Por consiguiente:
MLMU AFMAD T ··= (12)
Nótese que en forma las ecuaciones (12) y (9) son las mismas.
19
Ejemplo 2. Determinar todos los desplazamientos de los nudos B y D de la estructura
del ejemplo 1.
Sol.- Tanto la matriz de flexibilidad FM y la matriz de cambio AML de las acciones de
extremo causadas por la carga P son las mismas que las obtenidas en el ejemplo 1.
La matriz de cambio AMU es distinta e igual a:
1111 4321
0 1 0 0
1011
1000
2020
1 0 1 0
====
−−
−
−−
=
DDDD
MUA
Sustituyendo en la ecuación (12), se obtiene que:
AE
PLD
−
−=
83,5
0
83,4
1
20
3.- ELEMENTO RETICULADO HIPERESTÁTICO
Hasta este momento se ha desarrollado la formulación para obtener el o los
desplazamiento(s) de un sistema de reticulado isostático. A partir de esta formulación y
la compatibilidad de desplazamientos estableceremos una que nos permita determinar
los valores de las incógnitas escogidas como redundantes, así como también el
desplazamiento en cualquier nudo. Cabe señalar que al momento de decidir cual
reacción del apoyo o elemento de reticulado queremos liberar, debemos estar
concientes que en todo momento debemos asegurar la estabilidad tanto externa como
interna de la estructura.
La ecuación de compatibilidad para un sistema de 1 grado de hiperestaticidad es:
R
DDD +=0 (13)
Donde,
,0D es el desplazamiento que sufre el apoyo o la barra.
,D es el desplazamiento en la dirección de la redundante que ha sido liberada producto
de las cargas reales y equivale a MLMMU AFAD T ··= .
,RD es el desplazamiento en la dirección de la redundante (R) producto de esta misma.
La definición de RD , implica que se ha analizado una estructura isostática sometida a
una carga desconocida (R) y que con la finalidad de conocer el desplazamiento que
esta provoca, se ha aplicado y analizado la misma estructura bajo la acción de una
carga unitaria en la dirección de R. En consecuencia se tiene la misma estructura, la
misma dirección de la carga, pero distinta magnitud, por lo que es esperable que la
tensión de la barra i-ésima producto de R sea R veces la tensión de la misma barra
producto de la carga unitaria. Al generalizar, podemos concluir que:
MUML ARA ⋅= (14)
21
Reemplazando (14) en (9)
RAFAD MU
T
MU
RM ⋅⋅= · (15)
Finalmente reemplazando (9) y (15) en (13) obtenemos
RAFAAFAD MU
T
MUML
T
MU MM ⋅⋅+= ···0 (16)
Para varios desplazamientos al igual que el caso isostático se tendrá la siguiente
ecuación
RAFAAFADMU
T
MUML
T
MUMM ⋅⋅+= ···
0 (17)
Ejemplo 3. Determinar el desplazamiento vertical del nudo C de la siguiente estructura.
Note que la estructura es una sola vez externamente hiperestática.
22
Sol.-
La matriz de flexibilidad es:
⋅=
10000
01000
00100
00020
00001
AE
LFM
Aplicando la estática en la figura (b), determinamos el vector de acción extrema MLA
[ ]01121 ++−+⋅= PAT
ML
Aplicando la estática en las figuras (c) y (d), determinamos la matriz de acción extrema
MUA
−+−
−=
01021
00001T
MUA
Evaluando en la ecuación (17)
⋅
⋅+
−
−
⋅
⋅=
0828.41
11
828.4
10 A
VC
V
AE
L
AE
LP
δ
Resolviendo
↓⋅
⋅⋅=
AE
LPVC
83.3δ
23
Ejemplo 4. Determinar el desplazamiento vertical del nudo C de la siguiente estructura.
Note que la estructura es una sola vez externamente hiperestáticas y una vez
internamente.
Sol.-
La matriz de flexibilidad es:
⋅=
200000
010000
001000
000100
000020
000001
AE
LFM
Aplicando la estática en la figura (b), determinamos el vector de acción extrema MLA
[ ]001121 ++−+⋅= PAT
ML
24
Aplicando la estática en las figuras (c), (d) y (e), determinamos la matriz de acción
extrema MU
A
+−−−
+−
−+−
−
=
12
1
2
1
2
11
2
1001021
000001T
MUA
Evaluando en la ecuación (17)
⋅
⋅+
−
−
−
⋅⋅
=
6
0
828.4414.37071.0
414.3828.41
7071.011
121.4
828.4
1
0
0
T
V
AE
L
AE
LPA
VCδ
Resolviendo
↓⋅
⋅⋅=
AE
LPVC
69.1δ
4.- ELEMENTO VIGA
El análisis de una viga por el método de las fuerzas, requiere el cálculo de los
desplazamientos de nudo en la estructura libre. Por tal razón, se desarrollarán las
ecuaciones matriciales necesarias para encontrar los desplazamientos de nudo en una
viga estáticamente determinada.
Considerando efectos de flexión, el desplazamiento de una viga en algún punto
específico se obtiene de:
dxIE
mMD ∫ ⋅
⋅= (18)
25
Siendo D el desplazamiento a calcularse, M el momento flector debido a las cargas
reales que actúan sobre la estructura, m el momento flector debido a la carga unitaria
aplicada en el punto donde se desea evaluar el desplazamiento y EI es la rigidez
flexural de la sección transversal de la viga.
En caso de existir más de un elemento en el sistema estructural, la ecuación (18)
adopta la siguiente forma:
∑∫ ⋅⋅
= dxIE
mMD (19)
Indicando el símbolo de sumatoria el aporte o contribución de todos los elementos de la
estructura.
Si se considera para la evaluación de la ecuación (19) el miembro típico e de una viga,
ubicado entre los nudos i y j, con ejes locales orientados con el miembro y con el origen
de coordenadas en el extremo i, se tiene que el eje Xl está dirigido de i a j y el eje Yl
está orientado de forma tal que el plano Xl-Yl quede en el plano de flexión de la viga,
según lo muestra la figura 4.
Figura 4. Acciones en los extremos de un elemento viga.
Como se aprecia en la figura 4, el elemento está sujeto a fuerzas y momentos aplicados
en el nudo j, únicamente. Tales acciones consisten en una fuerza cortante AM1 y un
momento flexionante AM2, ambos con sentidos positivos según la convención. Nótese
que el efecto axial, el cuál puede estar presente, fue omitido.
26
Las acciones de extremo debido a las cargas reales serán AML1 y AML2, mientras que
para la carga unitaria serán AMU1 y AMU2, respectivamente. De esta forma, los
momentos M y m de la ecuación (19), que aparecen en cualquier sección X quedan
expresados de la siguiente manera:
( )( ) 21
21
·
·
MUMU
MLML
AxLAm
AxLAM
+−=
+−= (20)
Siendo L la longitud de la viga. Cabe destacar que se ha supuesto que el momento
flector es positivo si ocasiona compresión en la cara superior de la viga.
Sustituyendo las ecuaciones (20) en la Ec. (19) e integrando de 0 a L, teniendo en
consideración de que EI es constante, se tiene:
+++=∫ LAA
LAA
LAA
LAA
EIdx
EI
MmMLMUMLMUMLMUMLMU
L
··2
··2
··3
··1
22122111
223
0
(21)
Expresando la ecuación (21) en la forma matricial, se tiene:
MLMMU AFAdxIE
mM T
L
··0
=⋅
⋅∫ (22)
siendo: [ ]21 MUMUMU AAA T = : vector con acciones de extremo debido a la carga
unitaria.
[ ]21 MLMLML AAA T = : vector con acciones de extremo debido a las cargas
reales.
=
=
EI
L
EI
LEI
L
EI
L
FF
FFF
MM
MM
M
2
232
23
2221
1211
: Matriz de flexibilidad del elemento viga e.
27
Una forma de interpretar los coeficientes de la matriz FM es mediante la visualización
de los desplazamientos en el extremo libre de una viga en voladizo originados por
valores unitarios de las acciones de extremo (ver figura 5).
Figura 5. Coeficientes de flexibilidad de un elemento viga.
Si se aplica el símbolo sumatoria a la ecuación (22), a fin de considerar el aporte de
todos los elementos que conforman la estructura a la determinación del desplazamiento
D, se tiene:
( ) ...······ 222111 ++==∑ MLMMUMLMMUMLMMU AFAAFAAFAD TT
ii
T
i (23)
Expresando la ecuación (23) matricialmente:
MLMMU AFAD T ··= (24)
28
siendo:
[ ]MUmMUMUMU AAAA T L21=
[ ]MLmMLMLML AAAA L21=
: vectores de acciones de extremo de cada
: elemento debido a carga unitaria y cargas reales.
=
Mm
M
M
M
F
F
F
F
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
: Matriz de flexibilidad de la estructura.
Ejemplo 1. La viga que se muestra en la figura está sometida a un momento puntual M
aplicado en el nudo B y a una fuerza concentrada P aplicada en el nudo C.
Considerando sólo efectos de flexión, se pide determinar el desplazamiento vertical del
nudo C.
Sol.- a) Determinación de las matrices de flexibilidad de los elementos 1 y 2.
=
=
EI
L
EI
LEI
L
EI
L
F
EI
L
EI
LEI
L
EI
L
F MM
28
824
2
232
23
2
23
21
Luego la matriz de flexibilidad de la estructura es:
=
12300
300
002412
00128
24 2
2
L
LL
L
LL
EI
LFM
29
Debido a las cargas reales sobre la estructura, empleando la estática se obtienen las
acciones de extremo tales como:
−=
−
+−=
0
2
221
PA
PLM
P
L
M
A MLML
Del mismo modo:
=
−=
0
1
2
2
1
21 MUMU AL
A
Finalmente se tienen los vectores de cambio AML y AMU:
−−+−= 0,,2
,2
PPL
MP
L
MA
TML
−= 0,1,2
,2
1 LA
TMU
Sustituyendo en la ecuación (24), se obtiene:
EI
PL
EI
MLD
86
32
−=
Siendo D, el desplazamiento vertical del nudo C.
30
Ejemplo 2. La viga que se muestra en la figura está sometida a una carga
uniformemente distribuida de intensidad q en el tramo A B. Considerando sólo efectos
de flexión, se pide determinar el desplazamiento vertical del nudo C.
Sol.- a) Del ejemplo 1 se tiene que:
=
12300
300
002412
00128
24 2
2
L
LL
L
LL
EI
LFM
Debemos determinar las cargas equivalentes en los nudos.
Por Tabla 1 (Ver Anexo A) se sabe que los momentos y reacciones verticales en una
viga doblemente empotrada sometida a una carga uniformemente distribuida son:
2
12
2
LqVV
LqMEPMEP
BA
BA
⋅==
⋅==
31
Las cargas equivalentes en los nudos quedan representadas en la figura 2.1
Debido a las cargas reales sobre la estructura, empleando la estática se obtienen las
acciones de extremo tales como:
=
⋅=
0
0
12
021
2MLML ALqA
Del ejemplo 1 se sabe que:
=
−=
0
1
2
2
1
21 MUMU AL
A
Finalmente se tienen los vectores de cambio AML y AMU:
⋅= 0,0,
12,0
2LqA
TML
−= 0,1,2
,2
1 LA
TMU
Sustituyendo en la ecuación (24), se obtiene:
IE
LqD
⋅⋅
⋅=
48
4
Siendo D, el desplazamiento vertical del nudo C.
32
Ejemplo 3: El marco mostrado en la figura tiene cargas aplicadas en los nudos B y C.
Suponiendo que EI = cte, determinar el desplazamiento horizontal del nudo C.
Sol. Las matrices de flexibilidad de los elementos son:
==
63
32
6
2
21
L
LL
EI
LFF MM
Las acciones de extremo debido a las cargas mostradas en la figura (a) son:
−=
−=
L
PA
L
PA MLML
4
9
24
1
8
321
Las acciones de extremo debido a la carga unitaria son:
=
−=
0
1
2
1
1
2
121 MUMU A
LA
Finalmente, reemplazando en la ecuación (24):
EI
PLAFAD MLM
TMUHC
12··
3
==
33
CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS
Para determinar más de un desplazamiento en la estructura, debe de introducirse
ciertos cambios en la ecuación (24). Tanto la matriz de flexibilidad FM y el vector
acciones de extremo AML debido a las cargas reales, no sufren modificación alguna. Sin
embargo, el vector AMU se transforma en matriz, siendo cada una de las columnas un
conjunto de submatrices de acciones de extremo correspondientes a la carga unitaria
ubicada en el lugar en donde se desea conocer el desplazamiento. Así se tiene:
=
MUmnMUmMUm
nMUMUMU
nMUMUMU
MU
AAA
AAA
AAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
(25)
siendo: m, el número de elementos y n el número de desplazamientos a calcular.
Sustituyendo la ecuación (25) en la Ec. (24), se tiene:
MLMT
MU AFAD ··= (26)
CALCULO DE VARIOS DESPLAZAMIENTOS CON VARIOS ESTADOS DE CARGA
Ante la necesidad de considerar más de un estado de carga, el vector AML cambiará a
la matriz AML, conteniendo cada una de las columnas acciones de extremo debido a
distintas cargas reales, así se tiene:
=
MLmnMLmMLm
nMLMLML
nMLMLML
ML
AAA
AAA
AAA
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
(27)
siendo p, el número de estados de cargas a considerar.
34
Sustituyendo la ecuación (27) en la Ec. (24), se tiene:
MLMMU AFAD T ··= (28)
Ejemplo 4. La misma estructura del ejemplo 1, es sometida a dos estados de carga
diferentes. Se puede determinar todos los desplazamientos posibles.
Sol.- Por estática se obtiene:
+
−−−−
=
−−
+
−−
+−
=
1000
0100
12
10
1
2
111
00
22
2
22
M
M
LLLL
M
M
M
M
LL
M
M
LLLL
A
PP
PLM
PLM
PP
L
M
A MUML
Además:
=
12300
300
002412
00128
24 2
2
L
LL
L
LL
EI
LFM
35
Reemplazando en la ecuación (23):
−−
−−
−−
+−+−
=
==
PLMPLM
PLMLPLML
PLMPLM
PLMPLM
EI
L
DD
DD
DD
DD
AFAD MLMMUT
72478
31234
42448
22424
·24
··22
4241
3231
2221
1211
M
M
M
M
Donde ijD indica el desplazamiento i producto del estado de carga j
ELEMENTO VIGA HIPERESTATICA
En la resolución de sistemas de vigas o marcos hiperestáticos se emplea la ecuación
(16) ó (17) determinada para la resolución de armaduras de este tipo.
Ejemplo 5. Para la estructura mostrada en la figura 4.1 se pide determinar las
reacciones en el empotramiento C y la rotación en B.
36
Sol.- Debido a que no tenemos una carga axial externa las reacciones horizontales de
la viga son, 0== CA HH . Entonces las incógnitas o redundantes serán la reacción
vertical en B y C y el momento en C.
La matriz de Flexibilidad es la misma que la del ejemplo 1
=
12300
300
002412
00128
24 2
2
L
LL
L
LL
EI
LFM
Para la viga (a) debemos determinar las cargas equivalentes en los nudos.
Por Tabla 1 (Ver Tabla anexo A) se sabe que los momentos y reacciones verticales en
una viga doblemente empotrada de longitud L sometida a una carga uniformemente
distribuida son:
2
12
2
LqVV
LqMEPMEP
BA
BA
⋅==
⋅==
Y que para una viga de longitud 2
L son:
4
48
2
LqVV
LqMEPMEP
CB
CB
⋅==
⋅==
37
Las cargas equivalentes en los nudos quedan representadas en la figura 4.2
Aplicando la estática a (a) determinamos el vector de acción extrema producto de las
cargas reales
−
−
−
=
48
4
124
1
L
L
qLAML
Aplicando la estática a (b) (c), (d) y (e) determinamos el vector de acción extrema
producto de las cargas unitarias
=
0010
1010
012
1
0001L
AT
MU
38
Sustituyendo en la ecuación (17)
⋅
+
−
−
−
−
=
024242412
24362712
24272714
1212148
·24
134
5416
2432
17
·240
0
022
22
3
C
C
B
B
M
V
V
LL
LL
LLLL
LLLL
EI
LL
L
EI
qL
θ
Resolviendo
IE
Lq
M
qLV
B
C
C
⋅⋅
⋅=
=
↑=
192
0
8
3
θ
EFECTOS DE DEFORMACIONES DE CORTE
Todo lo que se requiere es incorporar en la ecuación (22), donde se define la matriz de
flexibilidad FM, lo siguiente:
+
=
EI
L
EI
LEI
L
GA
Lf
EI
L
FM
2
232
23
(29)
39
El coeficiente FM11 es incrementado al considerar la deformación debido al corte.
Nótese que el término GA/f es la rigidez del elemento debido a dicho efecto. f es el
factor de forma de la sección. En la Tabla 2 del Anexo A se presenta el factor de forma
(f) para cada sección.
EFECTOS DE DEFORMACIONES DE CARGA AXIAL
En la figura 6 se muestran las acciones de extremo del elemento e , tales como la
fuerza axial AM1, la fuerza de corte AM2 y el momento flector AM3.
Figura 6. Acciones de extremo de un elemento marco plano: Fuerza Axial, Fuerza
cortante, momento flector.
De esta forma la matriz de flexibilidad del elemento e es:
=
EI
L
EI
LEI
L
EI
LEA
L
FM
20
230
00
2
23
(30)
40
Ejemplo 6: Determinar el desplazamiento horizontal del nudo C, del ejemplo 3,
considerando además el efecto axial. Suponer EA = cte.
Sol.- las matrices de flexibilidad son:
Ψ
==
630
320
006
6
2
2
21
L
LL
L
EI
LFF MM , en que:
2AL
I=Ψ
Y los vectores de acciones extremo son:
[ ]LLP
A TML 4909912
24−−−=
[ ]012122
1LA T
MU −=
Finalmente el desplazamiento será igual a:
)61(12
··3
Ψ−==EI
PLAFAD MLMMUHC
T
5.- ELEMENTO PARRILLA
Las acciones de extremo de un elemento parrilla se muestran en la figura 7. Se supone
que el elemento e está en el plano x-z, mientras que todas las cargas que actúan sobre
él son paralelas al eje Y.
Figura 7. Acciones de extremo del elemento parrilla.
41
Las acciones de extremo del elemento parrilla son la fuerza cortante AM1, el momento
torsor AM2 y el momento flector AM3, respectivamente. Los términos de la matriz de
flexibilidad que a continuación se muestran, pueden interpretarse como los
desplazamientos que ocurren en el extremo libre de una viga en voladizo debido a
valores unitarios de las acciones de extremo, tal como lo muestra la figura 8.
=
EI
L
EI
LGJ
LEI
L
EI
L
FM
02
00
20
3
2
23
(31)
En que GJ representa la rigidez torsional del elemento.
Figura 8. Coeficientes de flexibilidad del elemento parrilla.
42
Ejemplo 1. Determinar los desplazamientos del nudo C de la estructura mostrada en la
figura. Suponer que los elementos son iguales y con propiedades L, EI y GJ constantes.
Sol. Las matrices de flexibilidad de los elementos son:
==
603
060
302
6
2
21
L
LL
EI
LFF MM ρ ,en que:
GJ
EI=ρ
Las acciones de extremo causadas por las cargas reales son:
[ ]LLP
A
L
PALPA MLMLML 060612
6 ,0
6
6 ,
0
2
21 −−=
−
=
−
=
Las acciones de extremo causadas por las cargas unitarias son:
−
−
=
010
100
001
100
01
001
L
AMU
Finalmente:
( )( )
−
+
+−
==
12
314
1211
12··
2
ρ
ρL
EI
PLAFAD MLMMU
T
43
6. ELEMENTO MARCO ESPACIAL
El elemento marco espacial, es el elemento más generalizado y posee un total de seis
acciones de extremo en cada nudo. Tales acciones se muestran en la figura 9.
Figura 9. Acciones de extremo del elemento marco espacial.
La matriz de flexibilidad correspondiente es igual a:
−=
Z
Y
YY
ZZ
EI
LcatrimeSi
EI
LGJ
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LAE
L
FM
0
00
02
03
2000
3
00000
23
23
(32)
44
Los coeficientes de la matriz de flexibilidad del elemento e mostrados en la figura 10,
pueden interpretarse como los desplazamientos del extremo libre de una viga en
voladizo debido a valores unitarios en cada uno de las seis acciones de extremo
indicadas en la figura 9.
Figura 10. Coeficientes de flexibilidad del elemento marco espacial.
45
ANEXO A
46