UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 1Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaVARIAS VARIABLESpara MAT023Vernica Gruenberg Sternveronica.gruenberg@usm.cl1. Nociones de Topologa en RnDenicin1.1. Seax Rn, x=(x1, x2, , xn). Denimoslanormadex, yescribimos|x| =_n

i=1x2iNotar que la norma de un vector en Rnas denida es un nmero real no negativo y correspondeal tamao magnitud de dicho vector.Denicin 1.2.Si x, y Rn, x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn), entonces la distanciaentre ellos est dada pord(x, y) =|x y| =_n

i=1(xi yi)2.Sin = 1, 2 3, la distancia as denida coincide con la distancia euclideana usual.En efecto, sin = 1, x = x R, y = y R, por lo que la distanciad(x, y) = d(x, y) =_(x y)2= [x y[Sin = 2, x = (x1, x2), y = (y1, y2), entoncesd(x, y) = |x y| =_2

i=1(xi yi)2=_(x1 y1)2+ (x2 y2)2Anlogamente en el caso en quen = 3.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 21.1. PropiedadesSean x, y Rn, R. Entonces se cumplen las siguientes:1. |x| 0, y |x| = 0 x = 0 .2. |x| = [[ |x|.3. |x y| = |y x| .4.n

i=1xiyi |x| |y|, conocida como la desigualdaddeCauchySchwarz.5. |x +y| |x| +|y|, conocida como la desigualdadtriangular.Demostracin. Demostraremos slo 4 y 5.4. Supongamos que x, y son vectores l.i. Luego, txy ,= 0 , t R, de donde |tx y|2,= 0,es decir:(tx1 y1)2+ (tx2 y2)2+ + (txn yn)2,= 0Reescribiendo esta relacin como una cuadrtica en la variablet:_n

i=1x2i_t22_n

i=1xiyi_t +_n

i=1y2i_,=0Esto signica queeldiscriminantedela correspondienteecuacindesegundo grado ent esnegativo, es decir,4_n

i=1xiyi_24_n

i=1x2i_ _n

i=1y2i_0:B(x0, r) U.Ejemplos1. En R, los intervalos de la formaI1 =]a, b[, I2 =] , b[, I3 =]a, [ son conjuntos abiertos.En cambio no son conjuntos abiertos los intervalos de la forma I4 = [a, b], I5 =]a, b],I6 = [a, b[, I7 =] , b], I8 = [a, [.2. En R2, el conjunto A = (x, y) R2: x2+y2< 1 = B_(0, 0), 1_es un conjunto abierto. Esfcil ver que, en general, B_(a0, b0), r_es un abierto, (a0, b0) R2.XYhttp://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 43. En R2, el conjunto H= (x, y) R2:y> 0 es abierto. Se conoce como el semiplanosuperior.XY4. En R3,elconjuntoA= (x, y, z) R3: x2+ y2+ z2 1 es un conjunto abierto.3. En R2, el conjuntoA = (x, y) R2:x 0, y 0 es cerrado. Corresponde, grcamente,al primer cuadrante del plano cartesiano, incluyendo el borde.4. En R3, el conjuntoA= (x, y, z) R3: x2+ y2+ z2=9escerrado, ytambinloeselconjuntoA = (x, y, z) R3: x2+y2+z2 9.Denicin 1.6.Sea A Rn; diremos que q Rnes un punto de acumulacinde A si y slosi,r > 0,_B(q, r) q_ A,=Denotamos al conjunto de los puntos de acumulacin deA comoA

= q Rn: q es punto de acumulacin deAhttp://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 5Ejemplos1. En R, consideremos el intervaloI=]a, b]. Si x ]a, b[ entonces (B(x, r) x) I ,= . Porlo tanto, todos losx R : a 0 : B(x0, ) A,= B(x0, ) A

,=Denotamos al conjunto de puntos frontera deA por Fr A oA.Ejemplos1. En R, los puntos frontera del intervaloI =]a, b] son los puntosa yb. Los mismos puntos sonfrontera para los intervalos ]a, b[, [a, b] y [a, b[.]a, b]ab]a, b[ab[a, b]ab[a, b[ab2. En R, el conjunto de puntos frontera deA =_1n, n N_es A=A 0.0 1121314153. EnR2, el conjuntodepuntosfronteradeA= (x, y) R2: x2+ y2 0. Grcamente, el dominio se representa por:2. Seaf : A R2R, conf(x, y)=ln x_4 x2y. El dominiodeestafuncinesel conjuntoDom(f) = (x, y) R2: 4 > x2y x > 0. Grcamente:3. Seag :A R2R, cong(x, y) =_1 x2y2.En este caso, para determinar el dominio deg se necesita que la raz est denida, es decir,Dom(g) =(x, y) R2: 1 x2y2 0 =(x, y) R2: x2+y2 1.Tambin, en este caso es posible determinar el Rec(g). Para ello, notar que x2+y2 1 =1 x2y2 0, de donde Rec(g) = [0, 1].http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 8Denicin 2.1. Seaf :A RnR una funcin, donde Dom(f) = A, y tal que(x1, x2, , xn)f(x1, x2, , xn).Denimos el grcodefcomo el conjuntoGf= (x1, x2, , xn, f(x1, x2, , xn)) Rn+1: (x1, x2, , xn) AEs decir, el grco de una funcin den variables es un subconjunto de Rn+1, por lo cual slopodemos dibujar los grcos de funciones de 1 2 variables.1. Seaf :A R2 R, conf(x, y) = e(x2+y2). En este caso,fest bien denida para todoslosvaloresde R2,dedondeDom(f)= R2SerposibledeterminarelRec(f)?Notarquex2+y2 0, (x, y) R2. Luego, como el exponente tiene signo negativo, tenemos que el valormximo lo obtenemos para (x, y) = (0, 0), y los valores de la funcin decrecen a medida quex2+y2crece. Por tanto, Rec(f) =]0, 1].El grco dez = f(x, y) es:x yz2. Seaf :A R2 R, conf(x, y) = sen xy. Nuevamente, fest bien denida para todoslos valores de R2, de donde Dom(f) = R2. Como u R : 1 sen u 1, es claroque Rec(f) =] 1, 1[.Para poder relacionar cuerpos, supercies y curvas en el espacio con sus correspondientes ecua-cionescartesianas, esrecomendableaprovechar el conocimientoalgebraicodeecuaciones(ysuscorrespondientes representaciones grcas) en el plano y en espacio, conseguido en cursos anterio-res.Por ello, comenzaremos recordando brevemente las ecuaciones cannicas y correspondientes gr-cas de las cnicas, en el plano.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 9Recta1 2 1 2121y = mx +nCircunferencia x2+y2= r2Elipsex2a2+y2b2= 1Parbola y =14px2Hiprbolax2a2 y2b2= 1Figura 1: Algunos grcos.De cursos pasados, sabemos que estas cnicas pueden encontrarse trasladadas y/o rotadas en elplano. En ese caso, la forma de la ecuacin es una cudrica, es decir, de la formaAx2+By2+Cxy +Dx +E y +F= 0y que mediante traslaciones y rotaciones es posible llevarlas a una de las formas anteriores.Anlogamente las supercies cudricas, es decir, supercies con ecuacin de la formaAx2+By2+C z2+Dxy +E yz +F xz +Gx +H y +I z +J = 0representan supercies en el espacio tridimensional, y es posible demostrar, usando traslaciones yrotaciones, que se obtiene alguna de las siguientes formas cannicas:Ax2+By2+Cz2+D = 0 (1)Ax2+By2+Cz = 0 (2)Generalicemos al espacio, en primer lugar, las grcos de la gura 1.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 10Ecuacin Grco en R2Grco en R3(a)y = mx +n1 2 1 2121xyz(b)x2+y2= r2yzx(c)x2a2+y2b2= 1yzx(d)y = cx2yzxFigura 2: Representaciones en R2y R3Sabemos, sin embargo, que hay otras supercies cudricas. Las ms relevantes:1. Esfera:x2+y2+z2= r22. Elipsoide:x2a2+y2b2+z2c2= 1 a, b, c > 0-2-1-2-2-1-100xz1y021122http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 113. Hiperboloidedeunahoja:x2a2+y2b2 z2c2= 1-2-1-2-20-1x-10yz10121224. Hiperboloidededoshojas: x2a2+y2b2 z2c2= 1-4-20 x-4-42-2-202zy044245. Paraboloide:x2a2+y2b2= cz, c > 0-2-1y012-2-10x1-12012z346. Cono:x2a2+y2b2=z2c2-4-2-4-40x-2-2020zy 224447. Paraboloidehiperblico:y2a2 x2b2= cz, c > 0-4-20 x2 -4-4-2-2zy0022444Observacin. El intercambio de posicin de las variables en las ecuaciones no altera la naturalezabsica de una supercie, pero s cambia la orientacin de la supercie en el espacio.Ejercicios. Graque las siguientes:1. y = x2+z2e y = x2z22. 2x24y2+z2= 0 y 2x2+ 4y2+z2= 36http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 122.2. Funciones VectorialesEnestaseccin, estudiaremosfuncionesquetienencomodominiounsubconjuntoAdeRnrecorrido en Rm, es decir,f :A RnRm.Ejemplos: PENDIENTE2.3. Curvas y Supercies de NivelDenicin 2.2. Sea f: A R2R. Para cada z0 Rec(f) denimos la correspondiente curvade nivel como el conjuntoCz0=(x, y) A: f(x, y) = z0Observacin. En otras palabras, si fes una funcin de dos variables, las intersecciones de Gfconplanos paralelos al planoXY(o sea, planos en los quez =z0 =cte.), se llaman curvasdenivelo de contorno(muy usadas en mapas topogrcos, hidrogrcos, meteorolgicos, etc.)Ejemplo. Seaf :A R2 R, f(x, y) = 9 x2 y2dondeA = (x, y) R2:x2+ y2 9.Entonces, las curvas de nivel se obtienen al hacerz=f(x, y) =k=cte. Para distintos valores dela constantek, obtenemos circunferencias de diferentes radios. Por ejemplo, sik = 0, obtenemos lacircunferencia centrada en el origen y de radio 3. Sik = 5, obtenemos la circunferencia centrada enel origen de radio 2, y as sucesivamente.XYk = 5k = 8Denicin2.3. Seaf : A R3R. Paracadaw0 Rec(f)denimoslacorrespondientesupercie de nivel como el conjuntoCw0=(x, y, z) A: f(x, y, z) = w0Observacin.1. Si f es una funcin de 3 variables, es decir, f :A R3R, el anlogo a las curvas de nivel defson las grcas def(x, y, z) = k =cte., y por lo tanto en lugar de curvas lo que obtenemosson superciesdenivel .http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 132. Es posible generalizar el concepto de superciesdenivel, considerando funciones de RnaRm. Ms precisamente, si F: A RnRm, F(x1, x2, , xn) = (f1(x), f2(x), , fm(x)),para cada

b Rec(F) denimos la correspondiente superciedenivel como el conjuntoC

b=x A: F(x) = bEjemplo. Determine las supercies de nivel def, si1. f: R3R, dada porf(x, y, z) = x2+y2+z2.2. f: R3R, dada porf(x, y, z) = x2+y2z2. .Solucin1. Comox2+y2+z2 0 (x, y, z) R3, se tiene que:a) w < 0 Cw = .b) w = 0 Cw = (0, 0, 0).c) w > 0 Cw = x2+y2+z2= w, es decir, esferas de centro en 0 y radio w.2. Tenemos los siguientes tres casos:Caso I) x2+y2z2= 0-4-2-4-40x-2-2020zy 22444Caso II) x2+y2z2> 0-2-1-2-20-1x-10yz1012122Caso III) x2+y2z2< 0-4-20 x-4-42-2-202zy04424http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 14Ejercicios1. Determine y graqueA R2tal que sea el dominio de:(a) f(x, y) =_36 x2y2(b) f(x, y) =_x2+y216x(c) f(x, y) =x + 1[y 1[2. Describa las curvas de nivel correspondientes a los valores de f(x, y) = C, que se indican, paralas supercies:(a) f(x, y) = x2y2, C = 0, 1, 4, 9(b) f(x, y) = cos(x +y), C = 1, 0,12, 13. Sea f: R2R2, dada por f(s, t) =(s2+t2, 2st). Encuentre la imagen del crculos2+t2a2.4. Sea f: R2 R3, dada por f(u, v) =(v cos 2u, v sen 2u, 1 v). Determine la imagende R2, y la imagen del cuadrado 0 u 1, 0 v 1.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 153. Lmites y ContinuidadTal comoenel casodefuncionesdeunavariable, si f : A RnResunafuncindenvariables, yx0 Rnes un punto de acumulacin deA, diremos que el lmite defcuandox seacerca a x0 es L R si la diferencia [f(x) L[ puede hacerse arbitrariamente pequea, si se escogex sucientemente cerca de x0.En otras palabras, si f es una funcin que est denida en alguna bola abierta B(x0, r) excepto,posiblemente en x0 (es decir, x0 es un punto de acumulacin del Dom(f)), entonceslmxx0f(x) = L > 0 > 0 : 0 < d(x, x0) < = [f(x) L[ < EjemplosDemuestre que:1. lm(x,y)(1,3)2x + 3y = 11.2. lm(x,y)(1,2)5x 3y = 1.3. lm(x,y)(0,1)4x +y2= 1.4. lm(x,y)(1,2)4x2+y = 6.5. lm(x,y)(0,0)x2y2x2+y2= 0.6. lm(x,y)(0,0)xyx2y2x2+y2= 0.7. lm(x,y)(4,1)3x + 2y = 14.8. lm(x,y)(1,1)xy= 1.Solucin1. Probar que lm(x,y)(1,3)2x + 3y= 11 requiere demostrar que dado cualquier> 0 esposible encontrar un> 0 de modo que si la distancia entre (x, y) y (1, 3)) es menor que,es decir, si 0 0 : 0 0 : 0 0 = ftiene un mnimo enx0.2. D11f(x0) < 0 = ftiene un mximo enx0.Sin = 3:Seaf : R3R, x0 R3tal que f(x0) =

0. Formamos la matriz hessiana defenx0:Hf(x0) =__D11f(x0) D12f(x0) D13f(x0)D12f(x0) D22f(x0) D23f(x0)D13f(x0) D23f(x0) D33f(x0)__Por lo tanto,ftiene un mnimo relativo enx0 si, y slo si,1. D11f(x0) > 02. det_D11f(x0) D12f(x0)D12f(x0) D22f(x0)_> 03. detHf(x0) > 0yftiene un mximo relativo enx0 si, y slo si,1. D11f(x0) > 0 D11f(x0) < 02. det_ D11f(x0) D12f(x0)D12f(x0) D22f(x0)_> 0 det_D11f(x0) D12f(x0)D12f(x0) D22f(x0)_> 03. det (Hf(x0)) > 0 detHf(x0) < 0Denicin6.3. Seaf: Rn R, x0 Rn, f C2tal que f(x0) =

0. Si los subdeterminantesno se anulan y los signos son diferentes a lo sealado arriba, entonces decimos quex0 es un puntosilla.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 46EjemplosHallar los extremos locales, si existen, de las siguientes funciones:1. f(x, y) = x24xy +y3+ 4y2. f(x, y) = x3+y327x 12y3. f(x, y, z) = x3+ 3xz + 2y y23z26.2. Mximos y Mnimos sujeto a restriccionesEn los problemas clsicos de mximos y mnimos, se trata de determinar el mximo y/o mn-imodeunafuncinf(x, y) o f(x1, x2, , xn) sujetaaunarestriccindel tipo g(x, y) =0og(x1, x2, , xn) = 0, respectivamente. En el primer caso, es claro que se podra resolver el prob-lema,enteora,despejandolavariableyenlaecuacing(x, y)=0,ysustituirelvalorobtenidoy = (x).Entrminosmatemticos, estetipodeproblemaspuedemirarsecomoel dedeterminarlosextremos de funciones denidas sobre conjuntos cerrados y acotados. Para resolverlos, usaremos latcnica conocida como multiplicadoresdeLagrange.Teorema 12. SeaF : RnR, G: RnR dos funciones de claseC1, es decir, con primerasderivadas continuas. Si la funcin Falcanza un extremo en x0 en la regin de Rnen donde G(x) = 0,y si G(x0) ,= 0, entonces R :F(x0) = G(x0)G(x0) = 0Observaciones1. FeslafuncinamaximizarominimizaryGsedenominausualmentelacondicinolarestriccin.2. Una formulacin equivalente del teorema:Los extremos de la funcin F(x) sujetos a la restriccin G(x) = 0, se encuentran en los puntoscrticos de la funcin L : Rn+1R, con L(x, ) = F(x) +G(x)Ejemplos1. Determinemximoymnimoabsolutosde f(x, y, z) =x +y +z, denidaenel dominioD = (x, y, z) R3: |(x, y, z)| 1SolucinNotar que f= (1, 1, 1) ,= (0, 0, 0), por lo cual no hay extremos de la funcin en el interiorde la esfera. Comofes continua enD, que es un cerrado y acotado de R3, los extremos defdeben encontrarse en la frontera de D, es decir, en los (x, y, z) : x2+y2+z2= 1. Denimosentonces G(x, y, z) = x2+y2+z21 = 0Aplicando el teorema de Lagrange, R : f= G, i.e.(1, 1, 1) = (2x, 2y, 2z) y x2+y2+z21 = 0http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 47es decir,1 = 2x1 = 2y1 = 2z1 = x2+y2+z2Elevando al cuadrado las primeras tres ecuaciones y sumndolas obtenemos3 = 42(x2+y2+z2) 3 = 42 = 32 = 32, x = y = z = 13 f_13, 13, 13_= 33= 3=32, x = y = z =13 f_13,13,13_=33= 3Luego,ftiene un mximo en_13,13,13_y un mnimo en_13, 13, 13_.2. Determine el volumen mximo del paraleleppedo recto que se puede inscribir en el elipsoidex2a2+y2b2+z2c2= 1.SolucinEl volumen del paraleleppedo est dado por V (x, y, z) =8xyz. Como esta funcin escontinua y la condicin G(x, y, z) =x2a2 +y2b2 +z2c2 1 = 0 es un conjunto cerrado y acota-do, sabemos que podemos encontrar los extremos de Vsujetos a G usando los multiplicadoresde Lagrange: R : f= G, i.e.(8yz, 8xz, 8xy) =_2xa2, 2yb2 , 2zc2_yx2a2+y2b2+z2c2 1 =0 es decir,8yz = 2xa28xz = 2yb28xy = 2zc21 =x2a2+y2b2+z2c2Multiplicando la primera ecuacin, porx, la segunda pory, la tercera porzy sumndolas,obtenemos:38xyz =2_x2a2+y2b2+z2c2_=21http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 48Si xoyoz=0, entoncesel volumenV =0, queesmnimo. Supongamosentoncesqueninguno es 0. Reemplazando el valor de 2 en las ecuaciones, obtenemos:x2=a23, y2=b23 , z2=c23= x =a3, y =b3, z =c3Luego, en_a3,b3,c3_la funcin alcanza su mximo, que esVMAX = 8 abc33.3. Considere el plano de ecuacinx + 4y + 4z = 39. Encuentre el punto de este plano que seencuentre a distancia mnima de (2, 0, 1).SolucinLa distancia entre (x, y, z) y (2, 0, 1) en R3viene dada pord((x, y, z), (2, 0, 1)) = _(x 2)2+ (y 0)2+ (z 1)2Como la funcin raz cuadrada es montona, el problema es equivalente a minimizar la funcinsubradical, vale decir, f(x, y, z) =(x 2)2+y2+(z 1)2, con la restriccin que elpunto (x, y, z) , es decir, x + 4y + 4z = 39.Luego, f =g, de donde2(x 2) = 2y = 42(z 1) = 4x + 4y + 4z = 39Dejandox, y, z en funcin de, reemplazamos en la ltima ecuacin obteniendo=2 dedonde x=3, y =4, z =5.6.3. Multiplicadores de Lagrange sujeto a dos o ms condicionesPara maximizarF(x, y, z) sujeto a dos condiciones: G1(x, y, z) = 0, G2(x, y, z) = 0 se deberesolver:F(x) = G1(x) +G2(x)G1(x) = 0G2(x) = 0Ejemplos1. Determine los extremos absolutos def(x, y, z) = x + 2y +z sujeto ax2+y2= 1 yy +z = 1.2. Hallar los puntos de la curva de interseccin de las supercies x2xy+y2z2= 1 y x2+y2= 1que estn ms cerca del origen.http://www.utfsm.cl/UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 49ndice1. Nociones de Topologa en Rn11.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Funciones Reales de Varias Variables 72.1. Funciones escalares de Varias Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Curvas y Supercies de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Lmites y Continuidad 153.1. Algebra de Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Cambio de variable. Caso particular: Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Lmites y Continuidad de Funciones de RnRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6. Derivadas Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7. Interpretacin Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.8. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274. Diferenciabilidad 294.1. Diferenciabilidad de funciones de RnR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. Diferenciabilidad de funciones de RnRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Regla de la Cadena 355.1. Derivadas Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2. Teoremas de la funcin inversa y de la funcin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1. Teorema de la funcin inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2. Teorema de la funcin implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416. Mximos y Mnimos 436.1. Mximos y Mnimos sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2. Mximos y Mnimos sujeto a restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3. Multiplicadores de Lagrange sujeto a dos o ms condiciones . . . . . . . . . . . . . . 48ndice de Materias 50UniversidadTcnicaFedericoSantaMara. 50ndice de Materiasbolaabierta, 3conjuntoabierto, 3cerrado, 4continuidaden una regin, vasefuncin continuapuntual, vasefuncin continuacurvade contorno, vasecurva de nivelde nivel, 12derivadadireccional, 31parcial, 24de segundo orden, 27desigualdadde CauchySchwarz, 2triangular, 2diferencial, 29distancia, 1extremorelativo, 43funcincontinuaen un punto, 20en una regin, 21diferenciable, 29grcode una funcinde variables, 8lmiteiterado, 18matrizdenida positiva, 44hessiana, 43jacobiana, 29mximorelativo, 43mnimorelativo, 43multiplicadoresde Lagrange, 46norma, 1puntocrtico, 43de acumulacin, 4frontera, 6interior, 5silla, 45raznde cambio, 32regin, 6superciede nivel, vasecurva de nivelteoremade la funcin implcita, 41de la funcin inversa, 40del acotamiento, 19vecindadabierta, vasebola abiertavectorgradiente, 26unitario, 31